Die Gleichung einer Geraden, die durch einen bestimmten Punkt in einer bestimmten Richtung verläuft. Gleichung einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft. Der Winkel zwischen zwei Geraden. Der Zustand der Parallelität und Rechtwinkligkeit zweier Geraden. Bestimmen des Schnittpunkts zweier Geraden

1. Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt verläuft A(X 1 , j 1) in einer bestimmten Richtung, bestimmt durch die Neigung k,

j - j 1 = k(X - X 1). (1)

Diese Gleichung definiert ein Bündel von Linien, die durch einen Punkt verlaufen A(X 1 , j 1), das Strahlzentrum genannt wird.

2. Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte geht: A(X 1 , j 1) und B(X 2 , j 2), so geschrieben:

Der Winkelkoeffizient einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft, wird durch die Formel bestimmt

3. Winkel zwischen Geraden A Und B ist der Winkel, um den die erste Gerade gedreht werden muss A um den Schnittpunkt dieser Linien gegen den Uhrzeigersinn herum, bis er mit der zweiten Linie zusammenfällt B. Wenn zwei Geraden durch Gleichungen mit Steigung gegeben sind

j = k 1 X + B 1 ,

In diesem Artikel betrachten wir die allgemeine Gleichung einer Geraden in einer Ebene. Geben wir Beispiele für die Konstruktion einer allgemeinen Geradengleichung, wenn zwei Punkte dieser Geraden bekannt sind oder wenn ein Punkt und der Normalenvektor dieser Geraden bekannt sind. Lassen Sie uns Methoden zur Umwandlung einer Gleichung in allgemeiner Form in kanonische und parametrische Formen vorstellen.

Gegeben sei ein beliebiges kartesisches rechtwinkliges Koordinatensystem Oxy. Betrachten Sie eine Gleichung ersten Grades oder eine lineare Gleichung:

Wo A, B, C− einige Konstanten und mindestens eines der Elemente A Und B verschieden von Null.

Wir werden zeigen, dass eine lineare Gleichung auf einer Ebene eine gerade Linie definiert. Beweisen wir den folgenden Satz.

Satz 1. In einem beliebigen kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystem auf einer Ebene kann jede Gerade durch eine lineare Gleichung angegeben werden. Umgekehrt definiert jede lineare Gleichung (1) in einem beliebigen kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystem auf einer Ebene eine Gerade.

Nachweisen. Es genügt zu beweisen, dass die Gerade ist L wird durch eine lineare Gleichung für jedes beliebige kartesische rechtwinklige Koordinatensystem bestimmt, da es dann durch eine lineare Gleichung für jedes beliebige kartesische rechtwinklige Koordinatensystem bestimmt wird.

In der Ebene sei eine Gerade gegeben L. Wählen wir ein Koordinatensystem mit der Achse Ochse fiel mit einer geraden Linie zusammen L und die Achse Oy stand senkrecht dazu. Dann die Gleichung der Geraden L wird folgende Form annehmen:

Alle Punkte auf einer Linie L wird die lineare Gleichung (2) erfüllen, und alle Punkte außerhalb dieser Linie werden Gleichung (2) nicht erfüllen. Der erste Teil des Satzes ist bewiesen.

Gegeben sei ein kartesisches rechtwinkliges Koordinatensystem und eine lineare Gleichung (1), in der mindestens eines der Elemente gegeben sei A Und B verschieden von Null. Finden wir den geometrischen Ort von Punkten, deren Koordinaten Gleichung (1) erfüllen. Da mindestens einer der Koeffizienten A Und B von Null verschieden ist, dann hat Gleichung (1) mindestens eine Lösung M(X 0 ,j 0). (Zum Beispiel, wann A≠0, Punkt M 0 (−C/A, 0) gehört zum gegebenen geometrischen Ort der Punkte). Wenn wir diese Koordinaten in (1) einsetzen, erhalten wir die Identität

Subtrahieren wir Identität (3) von (1):

Offensichtlich ist Gleichung (4) äquivalent zu Gleichung (1). Daher reicht es zu beweisen, dass (4) eine bestimmte Linie definiert.

Da wir ein kartesisches rechtwinkliges Koordinatensystem betrachten, folgt aus Gleichung (4), dass der Vektor mit Komponenten ( x−x 0 , y−y 0 ) orthogonal zum Vektor N mit Koordinaten ( A, B}.

Betrachten wir eine gerade Linie L, durch den Punkt gehen M 0 (X 0 , j 0) und senkrecht zum Vektor N(Abb.1). Lassen Sie den Punkt M(X,y) gehört zur Linie L. Dann der Vektor mit Koordinaten x−x 0 , y−y 0 senkrecht N und Gleichung (4) erfüllt ist (Skalarprodukt von Vektoren). N und gleich Null). Umgekehrt, wenn Punkt M(X,y) liegt nicht auf einer Geraden L, dann der Vektor mit Koordinaten x−x 0 , y−y 0 ist nicht orthogonal zum Vektor N und Gleichung (4) ist nicht erfüllt. Der Satz ist bewiesen.

Nachweisen. Da die Linien (5) und (6) dieselbe Linie definieren, gelten die Normalenvektoren N 1 ={A 1 ,B 1) und N 2 ={A 2 ,B 2) kollinear. Da Vektoren N 1 ≠0, N 2 ≠0, dann gibt es eine solche Zahl λ , Was N 2 =N 1 λ . Von hier aus haben wir: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ . Lasst uns das beweisen C 2 =C 1 λ . Offensichtlich haben zusammenfallende Linien einen gemeinsamen Punkt M 0 (X 0 , j 0). Gleichung (5) multiplizieren mit λ und wenn wir Gleichung (6) davon subtrahieren, erhalten wir:

Da die ersten beiden Gleichungen aus den Ausdrücken (7) erfüllt sind, dann C 1 λ −C 2 =0. Diese. C 2 =C 1 λ . Die Bemerkung ist bewiesen.

Beachten Sie, dass Gleichung (4) die Gleichung der geraden Linie definiert, die durch den Punkt verläuft M 0 (X 0 , j 0) und einen Normalenvektor haben N={A, B). Wenn also der Normalenvektor einer Geraden und der zu dieser Geraden gehörende Punkt bekannt sind, kann die allgemeine Gleichung der Geraden mit Gleichung (4) konstruiert werden.

Beispiel 1. Eine Gerade geht durch einen Punkt M=(4,−1) und hat einen Normalenvektor N=(3, 5). Konstruieren Sie die allgemeine Gleichung einer Geraden.

Lösung. Wir haben: X 0 =4, j 0 =−1, A=3, B=5. Um die allgemeine Gleichung einer Geraden zu konstruieren, setzen wir diese Werte in Gleichung (4) ein:

Antwort:

Der Vektor ist parallel zur Linie L und daher senkrecht zum Normalenvektor der Linie L. Konstruieren wir einen Normallinienvektor L, unter Berücksichtigung, dass das Skalarprodukt von Vektoren N und gleich Null. Wir können zum Beispiel schreiben: N={1,−3}.

Um die allgemeine Gleichung einer Geraden zu konstruieren, verwenden wir Formel (4). Ersetzen wir die Koordinaten des Punktes in (4) M 1 (wir können auch die Koordinaten des Punktes nehmen M 2) und Normalenvektor N:

Ersetzen der Koordinaten der Punkte M 1 und M 2 in (9) können wir sicherstellen, dass die durch Gleichung (9) gegebene Gerade durch diese Punkte verläuft.

Antwort:

Subtrahiere (10) von (1):

Wir haben die kanonische Gleichung der Geraden erhalten. Vektor Q={−B, A) ist der Richtungsvektor der Linie (12).

Siehe umgekehrte Konvertierung.

Beispiel 3. Eine gerade Linie auf einer Ebene wird durch die folgende allgemeine Gleichung dargestellt:

Verschieben wir den zweiten Term nach rechts und dividieren beide Seiten der Gleichung durch 2·5.

Gleichung einer Geraden in einer Ebene.

Bekanntlich wird jeder Punkt auf der Ebene durch zwei Koordinaten in einem Koordinatensystem bestimmt. Koordinatensysteme können je nach Wahl der Basis und des Ursprungs unterschiedlich sein.

Definition. Liniengleichung heißt die Beziehung y = f(x) zwischen den Koordinaten der Punkte, aus denen diese Linie besteht.

Beachten Sie, dass die Gleichung einer Geraden parametrisch ausgedrückt werden kann, d. h. jede Koordinate jedes Punktes wird durch einen unabhängigen Parameter ausgedrückt T.

Ein typisches Beispiel ist die Flugbahn eines sich bewegenden Punktes. In diesem Fall spielt die Zeit die Rolle des Parameters.

Gleichung einer Geraden in einer Ebene.

Definition. Jede gerade Linie in der Ebene kann durch eine Gleichung erster Ordnung angegeben werden

Axt + Wu + C = 0,

Darüber hinaus sind die Konstanten A und B nicht gleichzeitig gleich Null, d.h. A 2 + B 2  0. Diese Gleichung erster Ordnung heißt allgemeine Gleichung einer Geraden.

Abhängig von den Werten der Konstanten A, B und C sind folgende Sonderfälle möglich:

C = 0, A  0, B  0 – die Gerade geht durch den Ursprung

A = 0, B  0, C  0 (By + C = 0) – Gerade parallel zur Ox-Achse

B = 0, A  0, C  0 (Ax + C = 0) – Gerade parallel zur Oy-Achse

B = C = 0, A  0 – die Gerade fällt mit der Oy-Achse zusammen

A = C = 0, B  0 – die Gerade fällt mit der Ox-Achse zusammen

Die Gleichung einer Geraden kann je nach gegebenen Anfangsbedingungen in verschiedenen Formen dargestellt werden.

Gleichung einer Geraden aus einem Punkt und einem Normalenvektor.

Definition. Im kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystem steht ein Vektor mit den Komponenten (A, B) senkrecht auf der Geraden, die durch die Gleichung Ax + By + C = 0 gegeben ist.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung der Geraden, die senkrecht zum Vektor durch den Punkt A(1, 2) verläuft (3, -1).

Mit A = 3 und B = -1 stellen wir die Gleichung der Geraden auf: 3x – y + C = 0. Um den Koeffizienten C zu ermitteln, ersetzen wir die Koordinaten des gegebenen Punktes A in den resultierenden Ausdruck.

Wir erhalten: 3 – 2 + C = 0, also C = -1.

Insgesamt: die erforderliche Gleichung: 3x – y – 1 = 0.

Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte verläuft.

Seien zwei Punkte M 1 (x 1, y 1, z 1) und M 2 (x 2, y 2, z 2) im Raum gegeben, dann lautet die Gleichung der Geraden, die durch diese Punkte verläuft:

Wenn einer der Nenner Null ist, sollte der entsprechende Zähler gleich Null gesetzt werden.

In der Ebene wird die Gleichung der oben geschriebenen Geraden vereinfacht:

wenn x 1  x 2 und x = x 1, wenn x 1 = x 2.

Fraktion
=k heißt Neigung gerade.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung der Geraden, die durch die Punkte A(1, 2) und B(3, 4) verläuft.

Wenn wir die oben geschriebene Formel anwenden, erhalten wir:

Gleichung einer Geraden unter Verwendung eines Punktes und einer Steigung.

Wenn die allgemeine Gleichung der Geraden Ax + By + C = 0 auf die Form reduziert wird:

und benennen
, dann heißt die resultierende Gleichung Gleichung einer Geraden mit Steigungk.

Gleichung einer Geraden aus einem Punkt und einem Richtungsvektor.

Analog zur Punktbetrachtung der Gleichung einer Geraden durch einen Normalenvektor können Sie die Definition einer Geraden durch einen Punkt und den Richtungsvektor der Geraden eingeben.

Definition. Jeder Vektor ungleich Null ( 1,  2), dessen Komponenten die Bedingung A 1 + B 2 = 0 erfüllen, wird als Richtungsvektor der Linie bezeichnet

Axt + Wu + C = 0.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung einer Geraden mit einem Richtungsvektor (1, -1) und durch Punkt A(1, 2) verläuft.

Wir suchen nach der Gleichung der gewünschten Geraden in der Form: Ax + By + C = 0. Gemäß der Definition müssen die Koeffizienten die Bedingungen erfüllen:

1A + (-1)B = 0, d.h. A = B.

Dann hat die Gleichung der Geraden die Form: Ax + Ay + C = 0, oder x + y + C/A = 0.

bei x = 1, y = 2 erhalten wir C/A = -3, d.h. erforderliche Gleichung:

Gleichung einer Geraden in Segmenten.

Wenn in der allgemeinen Gleichung die Gerade Ах + Ву + С = 0 С 0 ist, dann erhalten wir durch Division durch –С:
oder

, Wo

Die geometrische Bedeutung der Koeffizienten ist der Koeffizient A ist die Koordinate des Schnittpunkts der Linie mit der Ox-Achse und B– die Koordinate des Schnittpunkts der Geraden mit der Oy-Achse.

Beispiel. Gegeben ist die allgemeine Gleichung der Geraden x – y + 1 = 0. Finden Sie die Gleichung dieser Geraden in Segmenten.

C = 1,
, a = -1,b = 1.

Normalgleichung einer Geraden.

Wenn beide Seiten der Gleichung Ax + By + C = 0 sind, werden sie durch die Zahl geteilt
Was heisst Normalisierungsfaktor, dann bekommen wir

xcos + ysin - p = 0 –

Normalgleichung einer Geraden.

Das Vorzeichen  des Normierungsfaktors muss so gewählt werden, dass С< 0.

p ist die Länge der Senkrechten, die vom Ursprung zur Geraden fällt, und  ist der Winkel, den diese Senkrechte mit der positiven Richtung der Ox-Achse bildet.

Beispiel. Gegeben ist die allgemeine Gleichung der Geraden 12x – 5y – 65 = 0. Es ist erforderlich, verschiedene Arten von Gleichungen für diese Gerade zu schreiben.

Gleichung dieser Geraden in Segmenten:

Gleichung dieser Geraden mit Steigung: (durch 5 dividieren)

Normalgleichung einer Geraden:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p = 5.

Es ist zu beachten, dass nicht jede Gerade durch eine Segmentgleichung dargestellt werden kann, beispielsweise Geraden parallel zu den Achsen oder durch den Koordinatenursprung.

Beispiel. Die Gerade schneidet gleiche positive Segmente auf den Koordinatenachsen ab. Schreiben Sie eine Gleichung für eine gerade Linie, wenn die Fläche des aus diesen Segmenten gebildeten Dreiecks 8 cm 2 beträgt.

Die Gleichung der Geraden lautet:
, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 ist gemäß den Bedingungen des Problems nicht geeignet.

Gesamt:
oder x + y – 4 = 0.

Beispiel. Schreiben Sie eine Gleichung für eine gerade Linie, die durch Punkt A(-2, -3) und den Ursprung verläuft.

Die Gleichung der Geraden lautet:
, wobei x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

Der Winkel zwischen geraden Linien in einer Ebene.

Definition. Wenn zwei Linien gegeben sind y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, dann wird der spitze Winkel zwischen diesen Linien definiert als

.

Zwei Geraden sind parallel, wenn k 1 = k 2.

Zwei Geraden stehen senkrecht, wenn k 1 = -1/k 2 .

Satz. Direkte Linien Ax + Wu + C = 0 und A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sind parallel, wenn die Koeffizienten A proportional sind 1 =  A, B 1 =  B. Wenn auch C 1 =  C, dann fallen die Linien zusammen.

Die Koordinaten des Schnittpunkts zweier Geraden werden als Lösung des Gleichungssystems dieser Geraden ermittelt.

Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt verläuft

senkrecht zu dieser Linie.

Definition. Eine Gerade, die durch den Punkt M 1 (x 1, y 1) verläuft und senkrecht zur Geraden y = kx + b steht, wird durch die Gleichung dargestellt:

Abstand von einem Punkt zu einer Linie.

Satz. Wenn der Punkt M(x) gegeben ist 0 , ja 0 ), dann ist der Abstand zur Geraden Ах + Ву + С =0 definiert als

.

Nachweisen. Der Punkt M 1 (x 1, y 1) sei die Basis der Senkrechten, die vom Punkt M zu einer gegebenen Geraden fällt. Dann ist der Abstand zwischen den Punkten M und M 1:

Die Koordinaten x 1 und y 1 können durch Lösen des Gleichungssystems ermittelt werden:

Die zweite Gleichung des Systems ist die Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt M 0 senkrecht zu einer gegebenen Geraden verläuft.

Wenn wir die erste Gleichung des Systems in die Form umwandeln:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

dann erhalten wir beim Lösen:

Wenn wir diese Ausdrücke in Gleichung (1) einsetzen, finden wir:

.

Der Satz ist bewiesen.

Beispiel. Bestimmen Sie den Winkel zwischen den Linien: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tg =
;  = /4.

Beispiel. Zeigen Sie, dass die Geraden 3x – 5y + 7 = 0 und 10x + 6y – 3 = 0 senkrecht zueinander stehen.

Wir finden: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, daher stehen die Geraden senkrecht.

Beispiel. Gegeben sind die Eckpunkte des Dreiecks A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Finden Sie die Gleichung der Höhe, die vom Scheitelpunkt C aus gezogen wird.

Wir finden die Gleichung der Seite AB:
; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Die erforderliche Höhengleichung hat die Form: Ax + By + C = 0 oder y = kx + b.

k = . Dann ist y =
. Weil die Höhe geht durch den Punkt C, dann erfüllen seine Koordinaten diese Gleichung:
daher b = 17. Gesamt:
.

Antwort: 3x + 2y – 34 = 0.

Analytische Geometrie im Raum.

Gleichung einer Linie im Raum.

Gleichung einer Geraden im Raum bei gegebenem Punkt und

Richtungsvektor.

Nehmen wir eine beliebige Linie und einen Vektor (m, n, p), parallel zur gegebenen Linie. Vektor angerufen Führungsvektor gerade.

Auf der Geraden nehmen wir zwei beliebige Punkte M 0 (x 0 , y 0 , z 0) und M (x, y, z).

z

M 1

Bezeichnen wir die Radiusvektoren dieser Punkte als Und , Es ist klar, dass - =
.

Weil Vektoren
Und kollinear sind, dann ist die Beziehung wahr
= t, wobei t ein Parameter ist.

Insgesamt können wir schreiben: = + T.

Weil Diese Gleichung wird durch die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der Linie erfüllt, dann lautet die resultierende Gleichung parametrische Gleichung einer Geraden.

Diese Vektorgleichung kann in Koordinatenform dargestellt werden:

Indem wir dieses System transformieren und die Werte des Parameters t gleichsetzen, erhalten wir die kanonischen Gleichungen einer Geraden im Raum:

.

Definition. Richtungskosinus direkt sind die Richtungskosinusse des Vektors , die mit den Formeln berechnet werden kann:

;

.

Von hier aus erhalten wir: m: n: p = cos : cos : cos.

Die Zahlen m, n, p heißen Winkelkoeffizienten gerade. Weil ist ein Vektor ungleich Null, dann können m, n und p nicht gleichzeitig gleich Null sein, aber eine oder zwei dieser Zahlen können gleich Null sein. In diesem Fall sollten in der Geradengleichung die entsprechenden Zähler gleich Null gesetzt werden.

Gleichung einer geraden Linie im Raumverlauf

durch zwei Punkte.

Markieren wir auf einer Geraden im Raum zwei beliebige Punkte M 1 (x 1, y 1, z 1) und M 2 (x 2, y 2, z 2), dann müssen die Koordinaten dieser Punkte die Geradengleichung erfüllen oben erhalten:

.

Darüber hinaus können wir für Punkt M 1 schreiben:

.

Wenn wir diese Gleichungen gemeinsam lösen, erhalten wir:

.

Dies ist die Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte im Raum verläuft.

Allgemeine Gleichungen einer Geraden im Raum.

Die Gleichung einer Geraden kann als Gleichung der Schnittlinie zweier Ebenen betrachtet werden.

Wie oben erläutert, kann eine Ebene in Vektorform durch die folgende Gleichung angegeben werden:

+ D = 0, wobei

- Ebene normal; - Radius ist der Vektor eines beliebigen Punktes auf der Ebene.

Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte verläuft. Im Artikel" " Ich habe Ihnen versprochen, den zweiten Weg zur Lösung der vorgestellten Probleme der Ermittlung der Ableitung zu betrachten, wenn ein Graph einer Funktion und eine Tangente an diesen Graphen gegeben sind. Wir werden diese Methode in besprechen , nicht verpassen! Warum im nächsten?

Tatsache ist, dass dort die Formel für die Gleichung einer Geraden verwendet wird. Natürlich könnten wir diese Formel einfach zeigen und Ihnen raten, sie zu lernen. Aber es ist besser zu erklären, woher es kommt (wie es abgeleitet wird). Das ist notwendig! Wenn Sie es vergessen, können Sie es schnell wiederherstellenwird nicht schwierig sein. Im Folgenden wird alles im Detail beschrieben. Wir haben also zwei Punkte A auf der Koordinatenebene(x 1;y 1) und B(x 2;y 2) wird eine Gerade durch die angegebenen Punkte gezogen:

Hier ist die direkte Formel selbst:

*Das heißt, wenn wir bestimmte Koordinaten von Punkten ersetzen, erhalten wir eine Gleichung der Form y=kx+b.

**Wenn Sie sich diese Formel einfach „auswendig lernen“, besteht eine hohe Wahrscheinlichkeit, dass Sie mit den Indizes verwechselt werden X. Darüber hinaus können Indizes auf unterschiedliche Weise bezeichnet werden, zum Beispiel:

Deshalb ist es wichtig, die Bedeutung zu verstehen.

Nun die Herleitung dieser Formel. Alles ist sehr einfach!

Die Dreiecke ABE und ACF ähneln sich im spitzen Winkel (das erste Zeichen der Ähnlichkeit rechtwinkliger Dreiecke). Daraus folgt, dass die Verhältnisse der entsprechenden Elemente gleich sind, das heißt:

Jetzt drücken wir diese Segmente einfach durch die Differenz der Koordinaten der Punkte aus:

Natürlich entsteht kein Fehler, wenn Sie die Beziehungen der Elemente in einer anderen Reihenfolge schreiben (Hauptsache, die Konsistenz bleibt erhalten):

Das Ergebnis wird die gleiche Geradengleichung sein. Das ist alles!

Das heißt, egal wie die Punkte selbst (und ihre Koordinaten) bezeichnet werden, wenn Sie diese Formel verstehen, werden Sie immer die Gleichung einer geraden Linie finden.

Die Formel kann mithilfe der Eigenschaften von Vektoren abgeleitet werden, das Ableitungsprinzip bleibt jedoch dasselbe, da es sich um die Proportionalität ihrer Koordinaten handelt. In diesem Fall funktioniert die gleiche Ähnlichkeit rechtwinkliger Dreiecke. Meiner Meinung nach ist die oben beschriebene Schlussfolgerung klarer)).

Ausgabe über Vektorkoordinaten anzeigen >>>

Auf der Koordinatenebene soll eine Gerade konstruiert werden, die durch zwei gegebene Punkte A(x 1;y 1) und B(x 2;y 2) verläuft. Markieren wir einen beliebigen Punkt C auf der Geraden mit Koordinaten ( X; j). Wir bezeichnen auch zwei Vektoren:

Es ist bekannt, dass für Vektoren, die auf parallelen Linien (oder auf derselben Linie) liegen, ihre entsprechenden Koordinaten proportional sind, das heißt:

— Wir schreiben die Gleichheit der Verhältnisse der entsprechenden Koordinaten auf:

Schauen wir uns ein Beispiel an:

Finden Sie die Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte mit den Koordinaten (2;5) und (7:3) verläuft.

Sie müssen nicht einmal die gerade Linie selbst erstellen. Wir wenden die Formel an:

Es ist wichtig, dass Sie bei der Erstellung des Verhältnisses die Zusammenhänge verstehen. Sie können nichts falsch machen, wenn Sie schreiben:

Antwort: y=-2/5x+29/5 go y=-0,4x+5,8

Um sicherzustellen, dass die resultierende Gleichung korrekt gefunden wird, überprüfen Sie unbedingt die Koordinaten der Daten in der Bedingung der darin enthaltenen Punkte. Die Gleichungen sollten korrekt sein.

Das ist alles. Ich hoffe, das Material war für Sie nützlich.

Mit freundlichen Grüßen, Alexander.

P.S.: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie mir in den sozialen Netzwerken von der Seite erzählen würden.

Kanonische Gleichungen einer Linie im Raum sind Gleichungen, die eine Linie definieren, die durch einen bestimmten Punkt kollinear zum Richtungsvektor verläuft.

Gegeben seien ein Punkt und ein Richtungsvektor. Ein beliebiger Punkt liegt auf einer Geraden l nur wenn die Vektoren und kollinear sind, d. h. die Bedingung für sie erfüllt ist:

.

Die obigen Gleichungen sind die kanonischen Gleichungen der Geraden.

Zahlen M , N Und P sind Projektionen des Richtungsvektors auf die Koordinatenachsen. Da der Vektor ungleich Null ist, dann alle Zahlen M , N Und P kann nicht gleichzeitig gleich Null sein. Aber ein oder zwei davon könnten Null sein. In der analytischen Geometrie ist beispielsweise folgende Eingabe erlaubt:

,

was bedeutet, dass die Projektionen des Vektors auf der Achse Oy Und Oz sind gleich Null. Daher stehen sowohl der Vektor als auch die durch die kanonischen Gleichungen definierte Gerade senkrecht zu den Achsen Oy Und Oz, also Flugzeuge yOz .

Beispiel 1. Schreiben Sie Gleichungen für eine Linie im Raum senkrecht zu einer Ebene und durch den Schnittpunkt dieser Ebene mit der Achse verläuft Oz .

Lösung. Finden wir den Schnittpunkt dieser Ebene mit der Achse Oz. Da jeder Punkt auf der Achse liegt Oz, hat also Koordinaten , vorausgesetzt in der gegebenen Gleichung der Ebene x = y = 0, wir bekommen 4 z- 8 = 0 oder z= 2 . Daher der Schnittpunkt dieser Ebene mit der Achse Oz hat Koordinaten (0; 0; 2) . Da die gesuchte Linie senkrecht zur Ebene steht, ist sie parallel zu ihrem Normalenvektor. Daher kann der Richtungsvektor der Geraden der Normalenvektor sein gegebenes Flugzeug.

Schreiben wir nun die erforderlichen Gleichungen einer geraden Linie auf, die durch einen Punkt verläuft A= (0; 0; 2) in Richtung des Vektors:

Gleichungen einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft

Eine Gerade kann durch zwei darauf liegende Punkte definiert werden Und In diesem Fall kann der Richtungsvektor der Geraden der Vektor sein. Dann nehmen die kanonischen Gleichungen der Geraden die Form an

.

Die obigen Gleichungen bestimmen eine Linie, die durch zwei gegebene Punkte verläuft.

Beispiel 2. Schreiben Sie eine Gleichung für eine Gerade im Raum, die durch die Punkte und verläuft.

Lösung. Schreiben wir die erforderlichen Gleichungen der Geraden in der oben in der theoretischen Referenz angegebenen Form auf:

.

Da steht die gewünschte Gerade senkrecht zur Achse Oy .

Gerade wie die Schnittlinie der Ebenen

Eine Gerade im Raum kann als Schnittlinie zweier nichtparalleler Ebenen definiert werden, also als eine Menge von Punkten, die ein System aus zwei linearen Gleichungen erfüllen

Die Gleichungen des Systems werden auch allgemeine Gleichungen einer Geraden im Raum genannt.

Beispiel 3. Stellen Sie kanonische Gleichungen einer Linie im Raum auf, die durch allgemeine Gleichungen gegeben ist

Lösung. Um die kanonischen Gleichungen einer Geraden oder, was dasselbe ist, die Gleichungen einer Geraden zu schreiben, die durch zwei gegebene Punkte verläuft, müssen Sie die Koordinaten zweier beliebiger Punkte auf der Geraden ermitteln. Sie können beispielsweise die Schnittpunkte einer Geraden mit zwei beliebigen Koordinatenebenen sein yOz Und xOz .

Schnittpunkt einer Geraden und einer Ebene yOz hat eine Abszisse X= 0 . Daher wird in diesem Gleichungssystem davon ausgegangen X= 0, wir erhalten ein System mit zwei Variablen:

Ihre Entscheidung j = 2 , z= 6 zusammen mit X= 0 definiert einen Punkt A(0; 2; 6) die gewünschte Zeile. Dann wird im gegebenen Gleichungssystem angenommen j= 0, wir erhalten das System

Ihre Entscheidung X = -2 , z= 0 zusammen mit j= 0 definiert einen Punkt B(-2; 0; 0) Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene xOz .

Schreiben wir nun die Gleichungen der Geraden auf, die durch die Punkte verlaufen A(0; 2; 6) und B (-2; 0; 0) :

,

oder nach Division der Nenner durch -2:

,