Bemerkenswerte Grenzen. Beispiele für Lösungen. Die zweite bemerkenswerte Grenze: Fundbeispiele, Probleme und detaillierte Lösungen

Die erste bemerkenswerte Grenze ist die folgende Gleichheit:

\begin(Gleichung)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(Gleichung)

Da für $\alpha\to(0)$ $\sin\alpha\to(0)$ gilt, sagt man, dass der erste bemerkenswerte Grenzwert eine Unsicherheit der Form $\frac(0)(0)$ offenbart. Im Allgemeinen kann in Formel (1) anstelle der Variablen $\alpha$ ein beliebiger Ausdruck unter dem Sinuszeichen und im Nenner platziert werden, sofern zwei Bedingungen erfüllt sind:

1. Die Ausdrücke unter dem Sinuszeichen und im Nenner gehen gleichzeitig gegen Null, d.h. Es besteht eine Unsicherheit der Form $\frac(0)(0)$.
2. Die Ausdrücke unter dem Sinuszeichen und im Nenner sind gleich.

Häufig werden auch Folgerungen aus der ersten bemerkenswerten Grenze verwendet:

\begin(Gleichung) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(Gleichung) \begin(Gleichung) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(gleichung) \begin(gleichung) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(Gleichung)

Elf Beispiele werden auf dieser Seite gelöst. Beispiel Nr. 1 ist dem Beweis der Formeln (2)-(4) gewidmet. Die Beispiele Nr. 2, Nr. 3, Nr. 4 und Nr. 5 enthalten Lösungen mit ausführlichen Kommentaren. Die Beispiele Nr. 6-10 enthalten nahezu kommentarlose Lösungen, da in den vorherigen Beispielen ausführliche Erläuterungen gegeben wurden. Die Lösung verwendet einige trigonometrische Formeln, die gefunden werden können.

Ich möchte darauf hinweisen, dass das Vorhandensein trigonometrischer Funktionen in Verbindung mit der Unsicherheit $\frac (0) (0)$ nicht unbedingt die Anwendung des ersten bemerkenswerten Grenzwerts bedeutet. Manchmal reichen einfache trigonometrische Transformationen aus – siehe zum Beispiel.

Beispiel Nr. 1

Beweisen Sie, dass $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) Da $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, dann:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Da $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ und $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , Das:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

b) Nehmen wir die Änderung $\alpha=\sin(y)$ vor. Da $\sin(0)=0$, dann gilt aus der Bedingung $\alpha\to(0)$ $y\to(0)$. Darüber hinaus gibt es eine Umgebung von Null, in der $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, also:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Die Gleichheit $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ ist bewiesen.

c) Machen wir die Ersetzung $\alpha=\tg(y)$. Da $\tg(0)=0$, dann sind die Bedingungen $\alpha\to(0)$ und $y\to(0)$ äquivalent. Darüber hinaus gibt es eine Umgebung von Null, in der $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, daher erhalten wir basierend auf den Ergebnissen von Punkt a):

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Die Gleichheit $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ ist bewiesen.

Die Gleichungen a), b), c) werden oft zusammen mit der ersten bemerkenswerten Grenze verwendet.

Beispiel Nr. 2

Berechnen Sie den Grenzwert $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) ( x+7))$.

Da $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ und $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, d.h. und sowohl der Zähler als auch der Nenner des Bruchs gleichzeitig gegen Null tendieren, dann haben wir es hier mit einer Unsicherheit der Form $\frac(0)(0)$ zu tun, d. h. Erledigt. Darüber hinaus ist klar, dass die Ausdrücke im Sinuszeichen und im Nenner übereinstimmen (d. h. erfüllt sind):

Somit sind beide am Anfang der Seite aufgeführten Bedingungen erfüllt. Daraus folgt, dass die Formel anwendbar ist, d.h. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.

Antwort: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

Beispiel Nr. 3

Finden Sie $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

Da $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ und $\lim_(x\to(0))x=0$, dann haben wir es mit einer Unsicherheit der Form $\frac zu tun (0 )(0)$, d.h. Erledigt. Allerdings stimmen die Ausdrücke unter dem Sinuszeichen und im Nenner nicht überein. Hier müssen Sie den Ausdruck im Nenner an die gewünschte Form anpassen. Wir brauchen den Ausdruck $9x$ im Nenner, dann wird er wahr. Im Wesentlichen fehlt uns im Nenner ein Faktor von $9$, was nicht so schwer einzugeben ist – multiplizieren Sie einfach den Ausdruck im Nenner mit $9$. Um die Multiplikation mit 9 $ zu kompensieren, müssen Sie natürlich sofort durch 9 $ dividieren:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$

Jetzt stimmen die Ausdrücke im Nenner und unter dem Sinuszeichen überein. Beide Bedingungen für den Grenzwert $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ sind erfüllt. Daher ist $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. Und das bedeutet:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

Antwort: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Beispiel Nr. 4

Finden Sie $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

Da $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ und $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, haben wir es hier mit der Unsicherheit der Form zu tun $\frac(0)(0)$. Allerdings wird die Form der ersten bemerkenswerten Grenze verletzt. Ein Zähler, der $\sin(5x)$ enthält, erfordert einen Nenner von $5x$. In dieser Situation ist es am einfachsten, den Zähler durch 5x$ zu dividieren und sofort mit 5x$ zu multiplizieren. Darüber hinaus führen wir eine ähnliche Operation mit dem Nenner durch, indem wir $\tg(8x)$ mit $8x$ multiplizieren und dividieren:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

Wenn wir um $x$ reduzieren und die Konstante $\frac(5)(8)$ außerhalb des Grenzwertzeichens nehmen, erhalten wir:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Beachten Sie, dass $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ die Anforderungen für den ersten bemerkenswerten Grenzwert vollständig erfüllt. Um $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ zu finden, ist die folgende Formel anwendbar:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Antwort: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Beispiel Nr. 5

Finden Sie $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Da $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (denken Sie daran, dass $\cos(0)=1$) und $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, dann haben wir es mit einer Unsicherheit der Form $\frac(0)(0)$ zu tun. Um jedoch die erste bemerkenswerte Grenze anzuwenden, sollten Sie den Kosinus im Zähler entfernen und zu Sinus (um dann die Formel anzuwenden) oder Tangens (um dann die Formel anzuwenden) übergehen. Dies kann mit der folgenden Transformation erfolgen:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Gehen wir zurück zum Limit:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$

Der Bruch $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ kommt bereits der Form nahe, die für den ersten bemerkenswerten Grenzwert erforderlich ist. Lassen Sie uns ein wenig mit dem Bruch $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ arbeiten und ihn an die erste bemerkenswerte Grenze anpassen (beachten Sie, dass die Ausdrücke im Zähler und unter dem Sinus übereinstimmen müssen):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$

Kehren wir zum betreffenden Grenzwert zurück:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0 ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

Antwort: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Beispiel Nr. 6

Finden Sie den Grenzwert $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

Da $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ und $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, dann wir haben es mit der Unsicherheit $\frac(0)(0)$ zu tun. Lassen Sie es uns anhand der ersten bemerkenswerten Grenze aufdecken. Gehen wir dazu vom Kosinus zum Sinus über. Da $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, dann:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Wenn wir im gegebenen Grenzwert auf Sinuswerte übergehen, erhalten wir:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Antwort: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Beispiel Nr. 7

Berechnen Sie den Grenzwert $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ abhängig von $\alpha\neq \ beta$.

Ausführliche Erläuterungen wurden bereits früher gegeben, aber hier stellen wir lediglich fest, dass wiederum die Unsicherheit $\frac(0)(0)$ besteht. Gehen wir mit der Formel vom Kosinus zum Sinus über

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Mit dieser Formel erhalten wir:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

Antwort: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alpha^2)(2)$.

Beispiel Nr. 8

Finden Sie den Grenzwert $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

Da $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (denken Sie daran, dass $\sin(0)=\tg(0)=0$) und $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, dann haben wir es hier mit einer Unsicherheit der Form $\frac(0)(0)$ zu tun. Teilen wir es wie folgt auf:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$

Antwort: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Beispiel Nr. 9

Finden Sie den Grenzwert $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

Da $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ und $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, dann gibt es eine Unsicherheit der Form $\frac(0)(0)$. Bevor mit der Erweiterung fortgefahren wird, ist es zweckmäßig, die Variable so zu ändern, dass die neue Variable gegen Null tendiert (beachten Sie, dass in den Formeln die Variable $\alpha \to 0$ ist). Der einfachste Weg ist die Einführung der Variablen $t=x-3$. Aus Gründen der Bequemlichkeit weiterer Transformationen (dieser Vorteil ist im Verlauf der Lösung unten zu sehen) lohnt es sich jedoch, die folgende Ersetzung vorzunehmen: $t=\frac(x-3)(2)$. Ich stelle fest, dass in diesem Fall beide Ersetzungen anwendbar sind. Die zweite Ersetzung ermöglicht es Ihnen lediglich, weniger mit Brüchen zu arbeiten. Da $x\to(3)$, dann $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\right| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Antwort: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Beispiel Nr. 10

Finden Sie den Grenzwert $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2 )$.

Wieder einmal haben wir es mit der Unsicherheit $\frac(0)(0)$ zu tun. Bevor mit der Erweiterung fortgefahren wird, ist es zweckmäßig, die Variable so zu ändern, dass die neue Variable gegen Null tendiert (beachten Sie, dass die Variable in den Formeln $\alpha\to(0)$ ist). Der einfachste Weg besteht darin, die Variable $t=\frac(\pi)(2)-x$ einzuführen. Da $x\to\frac(\pi)(2)$, dann $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\left|\frac(0)(0)\right| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0 ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

Antwort: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

Beispiel Nr. 11

Finden Sie die Grenzwerte $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2). \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

In diesem Fall müssen wir nicht die erste wunderbare Grenze verwenden. Bitte beachten Sie, dass sowohl der erste als auch der zweite Grenzwert nur trigonometrische Funktionen und Zahlen enthalten. In Beispielen dieser Art ist es oft möglich, den unter dem Grenzzeichen stehenden Ausdruck zu vereinfachen. Darüber hinaus verschwindet die Unsicherheit nach der oben genannten Vereinfachung und Reduzierung einiger Faktoren. Ich habe dieses Beispiel nur zu einem Zweck angeführt: um zu zeigen, dass das Vorhandensein trigonometrischer Funktionen unter dem Grenzwertzeichen nicht unbedingt die Verwendung des ersten bemerkenswerten Grenzwerts bedeutet.

Da $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (denken Sie daran, dass $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) und $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (ich möchte Sie daran erinnern, dass $\cos\frac(\pi)(2)=0$), dann gilt Umgang mit Unsicherheit der Form $\frac(0)(0)$. Dies bedeutet jedoch nicht, dass wir die erste wunderbare Grenze nutzen müssen. Um die Unsicherheit aufzuzeigen, reicht es aus, zu berücksichtigen, dass $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

Eine ähnliche Lösung findet sich im Lösungsbuch von Demidovich (Nr. 475). Was die zweite Grenze betrifft, haben wir wie in den vorherigen Beispielen in diesem Abschnitt eine Unsicherheit der Form $\frac(0)(0)$. Warum entsteht es? Es entsteht, weil $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ und $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Wir verwenden diese Werte, um die Ausdrücke in Zähler und Nenner umzuwandeln. Ziel unseres Handelns ist es, die Summe im Zähler und Nenner als Produkt niederzuschreiben. Übrigens ist es innerhalb eines ähnlichen Typs oft sinnvoll, eine Variable so zu ändern, dass die neue Variable gegen Null tendiert (siehe zum Beispiel Beispiele Nr. 9 oder Nr. 10 auf dieser Seite). In diesem Beispiel macht das Ersetzen jedoch keinen Sinn, obwohl das Ersetzen der Variablen $t=x-\frac(2\pi)(3)$ bei Bedarf nicht schwer zu implementieren ist.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2 \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$

Wie Sie sehen, mussten wir die erste wunderbare Grenze nicht anwenden. Natürlich können Sie dies tun, wenn Sie möchten (siehe Hinweis unten), aber es ist nicht notwendig.

Was ist die Lösung unter Verwendung des ersten bemerkenswerten Grenzwerts? Anzeigen Ausblenden

Mit der ersten bemerkenswerten Grenze erhalten wir:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ rechts))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Antwort: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.

Im obigen Artikel können Sie herausfinden, wie hoch die Grenze ist und womit gegessen wird – das ist SEHR wichtig. Warum? Möglicherweise verstehen Sie nicht, was Determinanten sind, und können sie nicht erfolgreich lösen; Sie verstehen möglicherweise überhaupt nicht, was eine Ableitung ist, und finden sie mit einem „A“. Wenn Sie jedoch nicht verstehen, was eine Grenze ist, wird es schwierig, praktische Aufgaben zu lösen. Es wäre auch eine gute Idee, sich mit den Musterlösungen und meinen Gestaltungsempfehlungen vertraut zu machen. Alle Informationen werden in einer einfachen und zugänglichen Form präsentiert.

Und für die Zwecke dieser Lektion benötigen wir folgende Unterrichtsmaterialien: Wunderbare Grenzen Und Trigonometrische Formeln. Sie sind auf der Seite zu finden. Drucken Sie die Handbücher am besten aus – das ist viel bequemer und außerdem müssen Sie oft offline darauf zurückgreifen.

Was ist das Besondere an bemerkenswerten Grenzen? Das Bemerkenswerte an diesen Grenzen ist, dass sie von den größten Köpfen berühmter Mathematiker bewiesen wurden und dankbare Nachkommen nicht unter schrecklichen Grenzen mit einem Haufen trigonometrischer Funktionen, Logarithmen und Potenzen leiden müssen. Das heißt, bei der Ermittlung der Grenzen greifen wir auf vorgefertigte Ergebnisse zurück, die theoretisch bewiesen sind.

Es gibt mehrere wunderbare Grenzen, aber in der Praxis haben Teilzeitstudierende in 95 % der Fälle zwei wunderbare Grenzen: Die erste wunderbare Grenze, Zweite wunderbare Grenze. Es sollte beachtet werden, dass es sich hierbei um historisch etablierte Namen handelt, und wenn sie beispielsweise von „der ersten bemerkenswerten Grenze“ sprechen, meinen sie damit eine ganz bestimmte Sache und nicht irgendeine zufällige Grenze, die von der Obergrenze genommen wird.

Die erste wunderbare Grenze

Beachten Sie die folgende Einschränkung: (anstelle des einheimischen Buchstabens „er“ werde ich den griechischen Buchstaben „alpha“ verwenden, dies ist aus Sicht der Präsentation des Materials bequemer).

Gemäß unserer Regel zur Grenzfindung (siehe Artikel Grenzen. Beispiele für Lösungen) versuchen wir, Null in die Funktion einzusetzen: Im Zähler erhalten wir Null (der Sinus von Null ist Null), und im Nenner gibt es natürlich auch Null. Wir stehen also vor einer Formunsicherheit, die glücklicherweise nicht offengelegt werden muss. Im Zuge der mathematischen Analyse wird Folgendes bewiesen:

Diese mathematische Tatsache heißt Die erste wunderbare Grenze. Ich werde keinen analytischen Beweis des Grenzwerts liefern, aber wir werden uns in der Lektion darüber mit seiner geometrischen Bedeutung befassen Infinitesimalfunktionen.

Oftmals können bei praktischen Aufgaben Funktionen anders angeordnet werden, das ändert aber nichts:

- die gleiche erste wunderbare Grenze.

Aber Sie können Zähler und Nenner nicht selbst umstellen! Wenn eine Grenze in der Form angegeben ist, muss sie in derselben Form gelöst werden, ohne etwas umzuordnen.

In der Praxis kann als Parameter nicht nur eine Variable, sondern auch eine Elementarfunktion oder eine komplexe Funktion fungieren. Wichtig ist nur, dass er gegen Null tendiert.

Beispiele:
, , ,

Hier , , , , und alles ist gut – die erste wunderbare Grenze gilt.

Aber der folgende Eintrag ist Ketzerei:

Warum? Da das Polynom nicht gegen Null strebt, strebt es gegen fünf.

Übrigens eine kurze Frage: Wie hoch ist das Limit? ? Die Antwort finden Sie am Ende der Lektion.

In der Praxis läuft nicht alles so reibungslos; fast nie wird einem Schüler angeboten, ein kostenloses Limit zu lösen und einen einfachen Pass zu bekommen. Hmmm... Ich schreibe diese Zeilen und mir kam ein sehr wichtiger Gedanke in den Sinn – schließlich ist es besser, sich „freie“ mathematische Definitionen und Formeln auswendig zu merken, das kann im Test eine unschätzbare Hilfe sein, wenn die Frage gestellt wird Es muss zwischen „zwei“ und „drei“ entschieden werden, und der Lehrer beschließt, dem Schüler eine einfache Frage zu stellen oder anzubieten, ein einfaches Beispiel zu lösen („Vielleicht weiß er noch was?!“).

Betrachten wir nun praktische Beispiele:

Beispiel 1

Finden Sie die Grenze

Wenn wir einen Sinus im Grenzwert bemerken, sollte uns dies sofort dazu veranlassen, über die Möglichkeit nachzudenken, den ersten bemerkenswerten Grenzwert anzuwenden.

Zuerst versuchen wir, 0 in den Ausdruck unter dem Grenzwertzeichen einzufügen (wir tun dies im Kopf oder in einem Entwurf):

Wir haben also eine Unsicherheit der Form unbedingt angeben bei der Entscheidungsfindung. Der Ausdruck unter dem Grenzzeichen ähnelt dem ersten wunderbaren Grenzzeichen, aber das ist nicht genau das, es steht unter dem Sinus, sondern im Nenner.

In solchen Fällen müssen wir die erste bemerkenswerte Grenze mithilfe einer künstlichen Technik selbst organisieren. Die Argumentation könnte wie folgt lauten: „Unter dem Sinus haben wir, was bedeutet, dass wir auch den Nenner erreichen müssen.“
Und das geht ganz einfach:

Das heißt, der Nenner wird in diesem Fall künstlich mit 7 multipliziert und durch dieselben sieben dividiert. Nun hat unsere Aufnahme eine vertraute Form angenommen.
Wenn die Aufgabe von Hand erstellt wird, empfiehlt es sich, die erste auffällige Grenze mit einem einfachen Bleistift zu markieren:

Was ist passiert? Tatsächlich wurde unser eingekreister Gesichtsausdruck zu einer Einheit und verschwand im Werk:

Jetzt müssen wir nur noch den dreistöckigen Bruchteil loswerden:

Wer die Vereinfachung mehrstufiger Brüche vergessen hat, der bitte das Material im Nachschlagewerk auffrischen Heiße Formeln für den Schulmathematikkurs .

Bereit. Endgültige Antwort:

Wenn Sie keine Bleistiftmarkierungen verwenden möchten, kann die Lösung wie folgt geschrieben werden:

“

Nutzen wir die erste wunderbare Grenze

“

Beispiel 2

Finden Sie die Grenze

Wieder sehen wir einen Bruch und einen Sinus im Grenzwert. Versuchen wir, Null in Zähler und Nenner einzusetzen:

Wir haben in der Tat Unsicherheit und müssen deshalb versuchen, die erste wunderbare Grenze zu schaffen. Im Unterricht Grenzen. Beispiele für Lösungen Wir haben die Regel berücksichtigt, dass wir bei Unsicherheit den Zähler und den Nenner faktorisieren müssen. Hier ist es dasselbe, wir stellen die Grade als Produkt (Multiplikatoren) dar:

Ähnlich wie im vorherigen Beispiel zeichnen wir einen Bleistift um die bemerkenswerten Grenzen (hier sind es zwei davon) und geben an, dass sie zur Einheit tendieren:

Eigentlich ist die Antwort fertig:

In den folgenden Beispielen werde ich keine Kunst in Paint machen, ich denke, wie man eine Lösung in einem Notizbuch richtig erstellt – Sie verstehen bereits.

Beispiel 3

Finden Sie die Grenze

Wir ersetzen Null im Ausdruck unter dem Grenzzeichen:

Es liegt eine Unsicherheit vor, die offengelegt werden muss. Wenn im Grenzwert ein Tangens vorhanden ist, wird dieser fast immer mit der bekannten trigonometrischen Formel in Sinus und Cosinus umgerechnet (mit dem Kotangens machen sie übrigens ungefähr das Gleiche, siehe methodisches Material). Heiße trigonometrische Formeln Auf der Seite Mathematische Formeln, Tabellen und Referenzmaterialien).

In diesem Fall:

Der Kosinus von Null ist gleich eins und man kann ihn leicht entfernen (vergessen Sie nicht zu markieren, dass er gegen eins tendiert):

Wenn also der Kosinus im Grenzfall ein MULTIPLIKATOR ist, muss er grob gesagt in eine Einheit umgewandelt werden, die im Produkt verschwindet.

Hier ist alles einfacher geworden, ohne Multiplikationen und Divisionen. Auch die erste bemerkenswerte Grenze wird zu einer und verschwindet im Produkt:

Als Ergebnis erhält man die Unendlichkeit, und das geschieht.

Beispiel 4

Finden Sie die Grenze

Versuchen wir, Null in Zähler und Nenner einzusetzen:

Die Unsicherheit wird erhalten (der Kosinus von Null ist, wie wir uns erinnern, gleich Eins)

Wir verwenden die trigonometrische Formel. Beachten! Aus irgendeinem Grund sind Grenzwerte, die diese Formel verwenden, sehr verbreitet.

Verschieben wir die konstanten Faktoren über das Grenzwertsymbol hinaus:

Lassen Sie uns das erste wunderbare Limit organisieren:

Hier haben wir nur eine bemerkenswerte Grenze, die zu einer wird und im Produkt verschwindet:

Lassen Sie uns die dreistöckige Struktur loswerden:

Der Grenzwert ist tatsächlich gelöst, wir geben an, dass der verbleibende Sinus gegen Null tendiert:

Beispiel 5

Finden Sie die Grenze

Dieses Beispiel ist komplizierter. Versuchen Sie es selbst herauszufinden:

Einige Grenzwerte können durch Ändern einer Variablen auf den 1. bemerkenswerten Grenzwert reduziert werden. Dies können Sie etwas später im Artikel nachlesen Methoden zur Lösung von Grenzen.

Zweite wunderbare Grenze

In der Theorie der mathematischen Analyse wurde Folgendes bewiesen:

Diese Tatsache wird aufgerufen zweite wunderbare Grenze.

Referenz: ist eine irrationale Zahl.

Der Parameter kann nicht nur eine Variable, sondern auch eine komplexe Funktion sein. Wichtig ist nur, dass es nach Unendlichkeit strebt.

Beispiel 6

Finden Sie die Grenze

Wenn der Ausdruck unter dem Grenzzeichen in einem Grad steht, ist dies das erste Zeichen dafür, dass Sie versuchen müssen, die zweite wunderbare Grenze anzuwenden.

Aber zuerst versuchen wir wie immer, eine unendlich große Zahl in den Ausdruck einzusetzen, das Prinzip, nach dem dies geschieht, wird in der Lektion besprochen Grenzen. Beispiele für Lösungen.

Es ist leicht zu erkennen, wann Die Basis des Grades ist und der Exponent ist , das heißt, es besteht Unsicherheit über die Form:

Diese Unsicherheit wird mit Hilfe der zweiten bemerkenswerten Grenze genau offenbart. Aber wie so oft liegt die zweite wunderbare Grenze nicht auf dem Silbertablett, sondern muss künstlich organisiert werden. Sie können wie folgt argumentieren: In diesem Beispiel ist der Parameter , was bedeutet, dass wir auch den Indikator organisieren müssen. Dazu potenzieren wir die Basis und damit sich der Ausdruck nicht verändert, potenzieren wir ihn:

Wenn die Aufgabe von Hand erledigt ist, markieren wir mit einem Bleistift:

Fast alles ist fertig, aus dem schrecklichen Abschluss ist ein schöner Brief geworden:

In diesem Fall verschieben wir das Limit-Symbol selbst auf den Indikator:

Beispiel 7

Finden Sie die Grenze

Aufmerksamkeit! Diese Art von Begrenzung kommt sehr häufig vor. Bitte studieren Sie dieses Beispiel sorgfältig.

Versuchen wir, eine unendlich große Zahl in den Ausdruck unter dem Grenzzeichen einzusetzen:

Das Ergebnis ist Unsicherheit. Aber die zweite bemerkenswerte Grenze betrifft die Unsicherheit der Form. Was zu tun ist? Wir müssen die Basis des Grades umrechnen. Wir argumentieren so: Im Nenner haben wir, was bedeutet, dass wir im Zähler auch organisieren müssen.

Es gibt mehrere bemerkenswerte Grenzen, aber die bekanntesten sind die erste und zweite bemerkenswerte Grenze. Das Bemerkenswerte an diesen Grenzwerten ist, dass sie weit verbreitet sind und man mit ihrer Hilfe andere Grenzwerte finden kann, die bei zahlreichen Problemen auftreten. Dies werden wir im praktischen Teil dieser Lektion tun. Um Probleme zu lösen, indem man sie auf die erste oder zweite bemerkenswerte Grenze reduziert, ist es nicht nötig, die darin enthaltenen Unsicherheiten offenzulegen, da die Werte dieser Grenzen seit langem von großen Mathematikern abgeleitet wurden.

Die erste wunderbare Grenze heißt die Grenze des Verhältnisses des Sinus eines infinitesimalen Bogens zum gleichen Bogen, ausgedrückt im Bogenmaß:

Kommen wir zur Lösung von Problemen an der ersten bemerkenswerten Grenze. Hinweis: Wenn unter dem Grenzwertzeichen eine trigonometrische Funktion steht, ist dies ein fast sicheres Zeichen dafür, dass dieser Ausdruck auf den ersten bemerkenswerten Grenzwert reduziert werden kann.

Beispiel 1. Finden Sie die Grenze.

Lösung. Stattdessen Ersatz X Null führt zu Unsicherheit:

.

Der Nenner ist Sinus, daher kann der Ausdruck auf die erste bemerkenswerte Grenze gebracht werden. Beginnen wir mit der Transformation:

.

Der Nenner ist der Sinus von drei X, aber der Zähler hat nur ein X, was bedeutet, dass Sie drei X im Zähler haben müssen. Wofür? Zur Einführung 3 X = A und erhalte den Ausdruck.

Und wir kommen zu einer Variation der ersten bemerkenswerten Grenze:

denn es spielt keine Rolle, welcher Buchstabe (Variable) in dieser Formel anstelle von X steht.

Wir multiplizieren X mit drei und dividieren sofort:

.

In Übereinstimmung mit der ersten bemerkenswerten Grenze, die wir bemerkt haben, ersetzen wir den Bruchausdruck:

Jetzt können wir dieses Limit endlich lösen:

.

Beispiel 2. Finden Sie die Grenze.

Lösung. Die direkte Substitution führt wiederum zur Unsicherheit „Null geteilt durch Null“:

.

Um den ersten bemerkenswerten Grenzwert zu erhalten, ist es notwendig, dass das x unter dem Sinuszeichen im Zähler und nur das x im Nenner denselben Koeffizienten haben. Dieser Koeffizient sei gleich 2. Stellen Sie sich dazu den aktuellen Koeffizienten für x wie folgt vor. Wenn wir Operationen mit Brüchen durchführen, erhalten wir:

.

Beispiel 3. Finden Sie die Grenze.

Lösung. Beim Einsetzen erhalten wir wieder die Unsicherheit „Null geteilt durch Null“:

.

Sie verstehen wahrscheinlich bereits, dass Sie aus dem ursprünglichen Ausdruck die erste wunderbare Grenze multipliziert mit der ersten wunderbaren Grenze erhalten können. Dazu zerlegen wir die Quadrate des x im Zähler und des Sinus im Nenner in identische Faktoren, und um die gleichen Koeffizienten für x und Sinus zu erhalten, dividieren wir das x im Zähler durch 3 und multiplizieren sofort um 3. Wir erhalten:

.

Beispiel 4. Finden Sie die Grenze.

Lösung. Wieder einmal erhalten wir die Unsicherheit „Null geteilt durch Null“:

.

Wir können das Verhältnis der ersten beiden bemerkenswerten Grenzen ermitteln. Wir teilen sowohl den Zähler als auch den Nenner durch x. Damit dann die Koeffizienten für Sinus und x übereinstimmen, multiplizieren wir das obere x mit 2 und dividieren sofort durch 2, und multiplizieren das untere x mit 3 und dividieren sofort durch 3. Wir erhalten:

Beispiel 5. Finden Sie die Grenze.

Lösung. Und wieder die Unsicherheit von „Null geteilt durch Null“:

Aus der Trigonometrie wissen wir, dass der Tangens das Verhältnis von Sinus zu Cosinus ist und der Cosinus von Null gleich eins ist. Wir führen die Transformationen durch und erhalten:

.

Beispiel 6. Finden Sie die Grenze.

Lösung. Die trigonometrische Funktion unter dem Vorzeichen einer Grenze legt wiederum die Verwendung der ersten bemerkenswerten Grenze nahe. Wir stellen es als Verhältnis von Sinus zu Cosinus dar.

Der Begriff „bemerkenswerte Grenze“ wird in Lehrbüchern und Lehrmitteln häufig verwendet, um wichtige Identitäten zu bezeichnen, die erheblich helfen Vereinfachen Sie Ihre Arbeit beim Finden von Grenzen.

Aber zu bringen können Ihre Grenze zum Bemerkenswerten muss man sich genau ansehen, denn sie finden sich nicht in direkter Form, sondern oft in Form von Konsequenzen, ausgestattet mit zusätzlichen Begriffen und Faktoren. Aber zuerst Theorie, dann Beispiele, und Sie werden Erfolg haben!

Die erste wunderbare Grenze

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Der erste bemerkenswerte Grenzwert wird wie folgt geschrieben (Unsicherheit der Form $0/0$):

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin x)(x)=1. $$

Folgerungen aus der ersten bemerkenswerten Grenze

Beispiellösungen: 1 wunderbares Limit

Beispiel 1. Berechnen Sie den Grenzwert $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x).$$

Lösung. Der erste Schritt ist immer derselbe – wir setzen den Grenzwert $x=0$ in die Funktion ein und erhalten:

$$\left[ \frac(\sin 0)(0) \right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

Wir haben eine Unsicherheit der Form $\left[\frac(0)(0)\right]$ erhalten, die offengelegt werden sollte. Wenn man genau hinschaut, ist das ursprüngliche Limit dem ersten bemerkenswerten sehr ähnlich, aber nicht dasselbe. Unsere Aufgabe ist es, es zur Ähnlichkeit zu bringen. Lassen Sie es uns wie folgt umwandeln: Schauen Sie sich den Ausdruck unter dem Sinus an, machen Sie dasselbe im Nenner (relativ gesehen multiplizieren und dividieren Sie mit $3x$), reduzieren und vereinfachen Sie dann:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(3x)\frac(3x)(8x )=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x)\frac(3)(8)=\frac(3)(8). $$

Oben ist genau die erste bemerkenswerte Grenze: $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x) = \lim\limits_(y\to 0)\frac(\sin ( y ))(y)=1, \text( hat eine bedingte Ersetzung vorgenommen ) y=3x. $$ Antwort: $3/8$.

Beispiel 2. Berechnen Sie den Grenzwert $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x).$$

Lösung. Wir setzen den Grenzwert $x=0$ in die Funktion ein und erhalten:

$$\left[ \frac(1-\cos 0)(\tan 0\cdot \sin 0)\right] =\left[ \frac(1-1)( 0\cdot 0)\right] = \left [\frac(0)(0)\right].$$

Wir haben eine Unsicherheit der Form $\left[\frac(0)(0)\right]$ erhalten. Lassen Sie uns den Grenzwert vereinfachend mit dem ersten wunderbaren Grenzwert (dreimal!) transformieren:

$$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac( 2 \sin^2 (3x/2))(\sin 2x\cdot \sin 4x)\cdot \cos 2x = $$ $$ = 2\lim\limits_(x\to 0)\frac( \sin^2 (3x/2) )((3x/2)^2) \cdot \frac( 2x)(\sin 2x) \cdot \frac( 4x)( \sin 4x)\cdot \frac( (3x/2)^2)( 2x \ cdot 4x) \cdot \cos 2x = $$ $$ =2\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac( (9/4)x^2)( 8x^2 ) \cdot \cos 2x= 2 \cdot \frac( 9)( 32) \lim\limits_(x\to 0) \cos 2x=\frac(9)(16). $$

Antwort: $9/16$.

Beispiel 3. Finden Sie den Grenzwert $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5).$$

Lösung. Was ist, wenn es unter der trigonometrischen Funktion einen komplexen Ausdruck gibt? Es spielt keine Rolle, und hier verhalten wir uns genauso. Lassen Sie uns zunächst die Art der Unsicherheit überprüfen, $x=0$ in die Funktion einsetzen und erhalten:

$$\left[ \frac(\sin (0+0))(0-0)\right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

Wir haben eine Unsicherheit der Form $\left[\frac(0)(0)\right]$ erhalten. Multiplizieren und dividieren Sie durch $2x^3+3x$:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x ^3+3x))((2x^3+3x)) \cdot \frac(2x^3+3x)(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot \frac( 2x^3+3x)(5x-x^5)= \left[\frac(0)(0)\right] = $$

Wieder haben wir Unsicherheit, aber in diesem Fall ist es nur ein Bruchteil. Reduzieren wir Zähler und Nenner um $x$:

$$ =\lim\limits_(x\to 0) \frac(2x^2+3)(5-x^4)= \left[\frac(0+3)(5-0)\right] =\ frac(3)(5). $$

Antwort: $3/5$.

Zweite wunderbare Grenze

Der zweite bemerkenswerte Grenzwert wird wie folgt geschrieben (Unsicherheit der Form $1^\infty$):

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(1)(x)\right)^(x)=e, \quad \text(or) \quad \lim\limits_( x\to 0) \left(1+x\right)^(1/x)=e. $$

Folgen der zweiten bemerkenswerten Grenze

Lösungsbeispiele: 2 wunderbare Grenze

Beispiel 4. Finden Sie den Grenzwert $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3).$$

Lösung. Lassen Sie uns die Art der Unsicherheit überprüfen, $x=\infty$ in die Funktion einsetzen und erhalten:

$$\left[ \left(1-\frac(2)(\infty)\right)^(\infty) \right] = \left.$$

Wir haben eine Unsicherheit der Form $\left$ erhalten. Die Grenze lässt sich auf die zweite bemerkenswerte Sache reduzieren. Lassen Sie uns transformieren:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) = \lim\limits_(x\to \infty)\left( 1+\frac(1)((-3x/2)\right)^(\frac(-3x/2)(-3x/2)(x+3))= $$ $$ = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\left(1+\frac(1)((-3x/2))\right)^((-3x/2))\right)^\frac(x+3 )(-3x/2)= $$

Der Ausdruck in Klammern ist tatsächlich der zweite bemerkenswerte Grenzwert $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, nur $t= - 3x/2$, also

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^\frac(x+3)(-3x/2)= \lim\limits_(x\to \infty)e^\ frac(1+3/x)(-3/2)=e^(-2/3). $$

Antwort:$e^(-2/3)$.

Beispiel 5. Finden Sie den Grenzwert $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x).$ $

Lösung. Wir setzen $x=\infty$ in die Funktion ein und erhalten eine Unsicherheit der Form $\left[ \frac(\infty)(\infty)\right]$. Und wir brauchen $\left$. Beginnen wir also damit, den Ausdruck in Klammern umzuwandeln:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x) = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\frac(x^3+(x-7)-(x-7)+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x ) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac((x^3+x-7)+(-x+7+2x^2+1))(x^3+x-7 )\right)^(x) = $$ $$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7) \right)^(x) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)\right) ^(\frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8))\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)) = $$

Der Ausdruck in Klammern ist tatsächlich der zweite bemerkenswerte Grenzwert $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, nur $t= \ frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8) \to \infty$ also

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7))= \lim\limits_ (x\to \infty)e^( \frac(2x^2-x+8)(x^2+1-7/x))= \lim\limits_(x\to \infty)e^( \frac (2-1/x+8/x^2)(1+1/x^2-7/x^3))=e^(2). $$

Der erste bemerkenswerte Grenzwert wird häufig zur Berechnung von Grenzwerten verwendet, die Sinus, Arkussinus, Tangens, Arkustangens und die daraus resultierenden Unsicherheiten von Null dividiert durch Null enthalten.

Formel

Die Formel für den ersten bemerkenswerten Grenzwert lautet: $$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin\alpha)(\alpha) = 1 $$

Wir stellen fest, dass wir für $ \alpha\to 0 $ $ \sin\alpha \to 0 $ erhalten, wir haben also Nullen im Zähler und Nenner. Daher wird die Formel des ersten bemerkenswerten Grenzwerts benötigt, um die Unsicherheiten $ \frac(0)(0) $ aufzudecken.

Um die Formel anzuwenden, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:

1. Die im Sinus und im Nenner des Bruchs enthaltenen Ausdrücke sind gleich
2. Ausdrücke im Sinus und Nenner eines Bruchs tendieren gegen Null

Aufmerksamkeit! $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(2x^2+1))(2x^2+1) \neq 1 $ Die Ausdrücke unter dem Sinus und im Nenner sind zwar gleich, jedoch $ 2x ^2+1 = 1 $, für $ x\to 0 $. Die zweite Bedingung ist nicht erfüllt, daher KÖNNEN Sie die Formel NICHT anwenden!

Folgen

Sehr selten sieht man in Aufgaben eine reine erste Wundergrenze, in die man die Antwort sofort aufschreiben könnte. In der Praxis sieht alles etwas komplizierter aus, aber für solche Fälle wird es nützlich sein, die Konsequenzen der ersten bemerkenswerten Grenze zu kennen. Dank ihnen können Sie schnell die erforderlichen Grenzwerte berechnen.

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\alpha)(\sin\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin(a\alpha))(\sin(b\alpha)) = \frac(a)(b) $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(tg\alpha)(\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\arcsin\alpha)(\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(arctg\alpha)(\alpha) = 1 $$

Beispiele für Lösungen

Betrachten wir den ersten bemerkenswerten Grenzwert, Beispiele seiner Lösung zur Berechnung von Grenzwerten, die trigonometrische Funktionen und die Unsicherheit $ \bigg[\frac(0)(0)\bigg] $ enthalten

Der Artikel „Die erste bemerkenswerte Grenze, Beispiele für Lösungen“ befasste sich mit Fällen, in denen es ratsam ist, diese Formel zu verwenden, und ihren Konsequenzen.