STAATLICHE BILDUNGSEINRICHTUNG

„Krivlyanskaya-Sekundarschule“

BEZIRK SCHABINKOWSKY

FIBONACCI-ZAHLEN UND DER GOLDENE VERHÄLTNIS

Forschung

Arbeit abgeschlossen:

Schüler der 10. Klasse

Sadovnichik Valeria Alekseevna

Aufsicht:

Lawrenjuk Larisa Nikolajewna,

Informatiklehrer und

Abschluss Mathematik 1

Fibonacci-Zahlen und Natur

Ein charakteristisches Merkmal der Struktur von Pflanzen und ihrer Entwicklung ist die Spiralität. Schon Goethe, der nicht nur ein großer Dichter, sondern auch ein Naturwissenschaftler war, betrachtete die Spiralität als eines der charakteristischen Merkmale aller Organismen, als Manifestation des innersten Wesens des Lebens. Die Ranken von Pflanzen drehen sich spiralförmig, das Gewebewachstum in Baumstämmen erfolgt spiralförmig, Samen einer Sonnenblume liegen spiralförmig, beim Wachstum von Wurzeln und Trieben werden Spiralbewegungen (Nutationen) beobachtet.

Auf den ersten Blick mag es scheinen, dass die Anzahl der Blätter und Blüten in sehr weiten Grenzen schwanken und beliebige Werte annehmen kann. Eine solche Schlussfolgerung erweist sich jedoch als unhaltbar. Untersuchungen haben gezeigt, dass die Anzahl der gleichnamigen Organe in Pflanzen nicht willkürlich ist; es gibt Werte, die häufig vorkommen, und Werte, die sehr selten sind.

In der belebten Natur sind Formen, die auf fünfeckiger Symmetrie basieren, weit verbreitet – Seesterne, Seeigel, Blumen.

Foto 13. Butterblume

Kamille hat 55 oder 89 Blütenblätter.

Foto 14. Kamille

Pyrethrum hat 34 Blütenblätter.

Foto. 15. Pyrethrum

Schauen wir uns einen Tannenzapfen an. Die Schuppen auf seiner Oberfläche sind streng regelmäßig angeordnet – entlang zweier Spiralen, die sich ungefähr im rechten Winkel schneiden. Die Anzahl solcher Spiralen in Tannenzapfen beträgt 8 und 13 oder 13 und 21.

Foto 16. Kegel

Auch in Sonnenblumenkörben sind die Samen in zwei Spiralen angeordnet, ihre Anzahl beträgt meist 34/55, 55/89.

Foto 17. Sonnenblume

Schauen wir uns die Muscheln genauer an. Zählt man zufällig die Anzahl der „Versteifungsrippen“ der ersten Schale, so sind es 21. Nehmen wir die zweite, dritte, fünfte, zehnte Schale – sie haben alle 21 Rippen auf der Oberfläche. Anscheinend waren die Mollusken nicht nur gute Ingenieure, sie „kannten“ auch die Fibonacci-Zahlen.

Foto 18. Hülse

Auch hier sehen wir eine natürliche Kombination von Fibonacci-Zahlen in der Nähe: 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55, 55/89. Ihr Verhältnis tendiert im Grenzfall zum goldenen Verhältnis, ausgedrückt durch die Zahl 0,61803...

Fibonacci-Zahlen und Tiere

Die Anzahl der Seesternstrahlen entspricht den Fibonacci-Zahlen oder liegt ihnen sehr nahe und beträgt 5,8, 13,21,34,55.

Foto 19. Seestern

Moderne Arthropoden sind sehr vielfältig. Der Hummer hat außerdem fünf Beinpaare, fünf Federn am Schwanz, der Hinterleib ist in fünf Segmente unterteilt und jedes Bein besteht aus fünf Teilen.

Foto. 20. Hummer

Bei manchen Insekten besteht der Hinterleib aus acht Segmenten, es gibt drei Gliedmaßenpaare bestehend aus acht Teilen und aus der Mundöffnung treten acht verschiedene antennenartige Organe hervor. Unsere bekannte Mücke hat drei Beinpaare, der Hinterleib ist in acht Segmente unterteilt und am Kopf befinden sich fünf Fühler. Die Mückenlarve ist in 12 Segmente unterteilt.

Foto. 21. Moskito

Der Hinterleib der Kohlfliege ist in fünf Teile unterteilt, es gibt drei Beinpaare und die Larve ist in acht Segmente unterteilt. Jeder der beiden Flügel ist durch dünne Adern in acht Teile unterteilt.

Die Raupen vieler Insekten sind in 13 Segmente unterteilt, beispielsweise die des Hautkäfers, des Schleimkäfers und des Maulkäfers. Bei den meisten Schädlingskäfern ist die Raupe in 13 Segmente unterteilt. Die Struktur der Käferbeine ist sehr charakteristisch. Jedes Bein besteht wie bei höheren Tieren aus drei Teilen – Schulter, Unterarm und Pfote. Die dünnen, durchbrochenen Beine der Käfer sind in fünf Teile geteilt.

Die durchbrochenen, transparenten, schwerelosen Flügel einer Libelle sind ein Meisterwerk der „Ingenieurskunst“ der Natur. Welche Proportionen liegen dem Design dieses winzigen fliegenden Muskelflugzeugs zugrunde? Das Verhältnis von Flügelspannweite zu Körperlänge beträgt bei vielen Libellen 4/3. Der Körper der Libelle ist in zwei Hauptteile unterteilt: einen massiven Körper und einen langen, dünnen Schwanz. Der Körper besteht aus drei Teilen: Kopf, Brust, Bauch. Der Hinterleib ist in fünf Segmente unterteilt und der Schwanz besteht aus acht Teilen. Hier müssen Sie auch drei Beinpaare hinzufügen, die in drei Teile geteilt sind.

Foto. 22. Libelle

Es ist nicht schwer, in dieser Abfolge der Aufteilung des Ganzen in Teile die Entwicklung einer Reihe von Fibonacci-Zahlen zu erkennen. Die Länge von Schwanz, Körper und Gesamtlänge einer Libelle stehen im Verhältnis zueinander durch den Goldenen Schnitt: Das Verhältnis der Längen von Schwanz und Körper ist gleich dem Verhältnis der Gesamtlänge zur Länge des Schwanzes.

Dass die Libelle so perfekt aussieht, ist nicht verwunderlich, denn sie wurde nach den Gesetzen des Goldenen Schnitts erschaffen.

Der Anblick einer Schildkröte vor dem Hintergrund eines mit Rissen bedeckten Takyr ist ein erstaunliches Phänomen. In der Mitte der Schale befindet sich ein großes ovales Feld mit großen, verwachsenen Hornplatten und an den Rändern befindet sich ein Rand aus kleineren Platten.

Foto. 23. Schildkröte

Nehmen Sie eine beliebige Schildkröte – von der nahegelegenen Sumpfschildkröte bis zur Riesenmeeresschildkröte – und Sie werden überzeugt sein, dass das Muster auf ihrem Panzer ähnlich ist: Auf dem ovalen Feld befinden sich 13 verschmolzene Hornplatten – 5 Platten in der Mitte und 8 an der Seite an den Rändern und am Umfangsrand etwa 21 Platten (die chilenische Landschildkröte hat genau 21 Platten entlang der Peripherie ihres Panzers). Schildkröten haben 5 Zehen an den Füßen und die Wirbelsäule besteht aus 34 Wirbeln. Es ist leicht zu erkennen, dass alle diese Werte Fibonacci-Zahlen entsprechen. Folglich erfolgte die Entwicklung der Schildkröte, die Bildung ihres Körpers, die Aufteilung des Ganzen in Teile nach dem Gesetz der Fibonacci-Zahlenreihe.

Die höchste Tierart auf dem Planeten sind Säugetiere. Die Anzahl der Rippen liegt bei vielen Tierarten bei oder nahe bei dreizehn. Bei völlig verschiedenen Säugetieren – Wal, Kamel, Hirsch, Auerochse – beträgt die Anzahl der Rippen 13 ± 1. Die Anzahl der Wirbel variiert stark, insbesondere aufgrund der Schwänze, die auch bei derselben Tierart unterschiedlich lang sein können. Aber in vielen von ihnen liegt die Anzahl der Wirbel bei oder nahe bei 34 und 55. Ein Riesenhirsch hat also 34 Wirbel, ein Wal hat 55.

Das Skelett der Gliedmaßen von Haustieren besteht aus drei identischen Knochengliedern: dem Oberarmknochen (Beckenknochen), dem Unterarmknochen (Tibia) und dem Pfotenknochen (Fuß). Der Fuß wiederum besteht aus drei Knochengliedern.

Die Anzahl der Zähne vieler Haustiere tendiert zu Fibonacci-Zahlen: Ein Kaninchen hat 14 Paar Zähne, ein Hund, ein Schwein und ein Pferd haben 21 ± 1 Paar Zähne. Bei Wildtieren variiert die Anzahl der Zähne stärker: Bei einem Beuteltier-Raubtier sind es 54, bei einer Hyäne 34 und bei einer Delfinart 233. Die Gesamtzahl der Knochen im Skelett von Haustieren (einschließlich Zähnen) In einer Gruppe sind es etwa 230, in einer anderen etwa 300. Es ist zu beachten, dass die Anzahl der Knochen des Skeletts keine kleinen Gehörknöchelchen und instabilen Gehörknöchelchen umfasst. Wenn man sie berücksichtigt, wird die Gesamtzahl der Skelettknochen bei vielen Tieren nahe bei 233 liegen, bei anderen sogar bei über 300. Wie wir sehen können, ist die Teilung des Körpers, die mit der Entwicklung des Skeletts einhergeht, charakterisiert durch eine diskrete Änderung der Anzahl der Knochen in verschiedenen Organen von Tieren, und diese Zahlen entsprechen den Fibonacci-Zahlen oder kommen ihnen sehr nahe und bilden eine Reihe 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233. Das Größenverhältnis der meisten Hühnereier beträgt 4:3 (etwa 3/2), Kürbiskerne – 3:2, Wassermelonenkerne – 3/2. Es stellte sich heraus, dass das Verhältnis der Länge der Tannenzapfen zu ihrem Durchmesser 2:1 betrug. Die Größe der Birkenblätter liegt im Durchschnitt sehr nahe bei 5:2, die der Eicheln.

Es wird angenommen, dass, wenn es notwendig ist, einen Blumenrasen in zwei Teile (Gras und Blumen) zu teilen, diese Streifen nicht gleich breit sein sollten; es wird schöner, wenn man sie im Verhältnis 5:8 oder nimmt 8: 13, d.h. Verwenden Sie ein Verhältnis, das als „Goldener Schnitt“ bezeichnet wird.

Fibonacci-Zahlen und Fotografie

Bei der Anwendung auf die Fotokunst teilt der Goldene Schnitt den Rahmen durch zwei horizontale und zwei vertikale Linien in neun ungleiche Rechtecke. Um sich die Aufnahme ausgewogener Bilder zu erleichtern, vereinfachten Fotografen die Aufgabe ein wenig und begannen, den Rahmen gemäß den Fibonacci-Zahlen in 9 gleiche Rechtecke zu unterteilen. So wurde die Regel des Goldenen Schnitts in die Drittelregel umgewandelt, die sich auf eines der Kompositionsprinzipien bezieht.

Foto. 24. Rahmen und Goldener Schnitt

In den Suchern moderner Digitalkameras liegen die Fokuspunkte an 2/8-Positionen oder auf imaginären Linien, die das Bild entsprechend dem Goldenen Schnitt teilen.

Foto 25. Digitalkamera und Fokuspunkte

Foto 26.

Foto 27. Fotografie und Fokuspunkte

Die Drittelregel gilt für alle Motivkompositionen: egal, ob Sie eine Landschaft oder ein Porträt, ein Stillleben oder eine Reportage aufnehmen. Bis Ihr Sinn für Harmonie erworben und unbewusst wird, können Sie durch Befolgen der einfachen Drittelregel ausdrucksstarke, harmonische und ausgewogene Bilder aufnehmen.

Foto 28. Fotografie und das Verhältnis von Himmel und Erde 1 zu 2.

Das erfolgreichste Demonstrationsbeispiel ist eine Landschaft. Das Kompositionsprinzip besteht darin, dass Himmel und Land (oder Wasseroberfläche) ein Verhältnis von 1:2 haben sollten. Ein Drittel des Bildes sollte dem Himmel und zwei Drittel dem Land zugewiesen werden oder umgekehrt.

Foto 29. Foto einer Blume, die sich spiralförmig dreht

Fibonacci und Raum

Das Verhältnis von Wasser und Land auf dem Planeten Erde beträgt 62 % und 38 %.

Die Größen der Erde und des Mondes liegen im Goldenen Schnitt.

Foto 30. Größen der Erde und des Mondes

Die Abbildung zeigt die relativen Größen von Erde und Mond im Maßstab.

Zeichnen wir den Radius der Erde. Zeichnen wir ein Segment vom Mittelpunkt der Erde zum Mittelpunkt des Mondes, dessen Länge gleich ist). Zeichnen wir ein Liniensegment, um die beiden angegebenen Liniensegmente zu einem Dreieck zu verbinden. Wir bekommen ein goldenes Dreieck.

Saturn zeigt den Goldenen Schnitt in mehreren seiner Dimensionen

Foto 31. Saturn und seine Ringe

Der Durchmesser des Saturn hängt sehr eng mit dem Goldenen Schnitt und dem Durchmesser der Ringe zusammen, wie die grünen Linien zeigen.Radius inDer innere Teil der Ringe steht in einem Verhältnis, das dem Außendurchmesser der Ringe sehr nahe kommt, wie die blaue Linie zeigt.

Auch die Entfernung der Planeten von der Sonne folgt dem Goldenen Schnitt.

Foto 32. Entfernung der Planeten von der Sonne

Goldener Schnitt im Alltag

Der Goldene Schnitt wird auch verwendet, um bei der Vermarktung und Gestaltung alltäglicher Konsumgüter Stil und Attraktivität zu verleihen. Es gibt viele Beispiele, aber wir werden nur einige veranschaulichen.

Foto 33. EmblemToyota

Foto 34. Goldener Schnitt und Kleidung

Foto 34. Der Goldene Schnitt und Automobildesign

Foto 35. EmblemApfel

Foto 36. EmblemGoogle

Fallstudien

Nun wenden wir das erworbene Wissen in der Praxis an. Nehmen wir zunächst Messungen bei Schülern der 8. Klasse vor.

Schaut man sich ein Fernsehbild genau an, liegen die Abmessungen bei 16 zu 9 oder 16 zu 10, was ebenfalls nahe am Goldenen Schnitt liegt.

Durchführung von Messungen und Konstruktionen in In CorelDRAW X4 und unter Verwendung eines Frames des Nachrichtensenders Russia 24 finden Sie Folgendes:

a) Das Verhältnis der Länge zur Breite des Rahmens beträgt 1,7.

b) Die Person im Bild befindet sich genau an den Fokuspunkten im Abstand von 3/8.

Als nächstes wenden wir uns dem offiziellen Microblog der Zeitung Izvestia zu, also der Twitter-Seite. Bei einem Monitorbildschirm mit 4:3-Seiten sehen wir, dass die „Kopfzeile“ der Seite 3/8 der gesamten Seitenhöhe ausmacht.

Wenn Sie sich die Militärmützen genau ansehen, können Sie Folgendes feststellen:

a) Die Obergrenze des Verteidigungsministers der Russischen Föderation hat ein Verhältnis der angegebenen Teile von 21,73 zu 15,52, was 1,4 entspricht.

b) Die Mütze des Grenzschutzes der Republik Belarus hat die Abmessungen der angegebenen Teile 44,42 bis 21,33, was 2,1 entspricht.

c) Die Kappe aus der Zeit der UdSSR hat die Abmessungen der angegebenen Teile 49,67 bis 31,04, was 1,6 entspricht.

Bei diesem Modell beträgt die Kleiderlänge 113,13 mm.

Wenn wir das Kleid auf die „ideale“ Länge „fertigstellen“, erhalten wir ein Bild wie dieses.

Alle Messungen weisen einige Fehler auf, da sie anhand von Fotos durchgeführt wurden, was die Erkennung des Trends nicht beeinträchtigt – alles, was ideal ist, enthält bis zu einem gewissen Grad den Goldenen Schnitt.

Abschluss

Die Welt der belebten Natur erscheint uns völlig anders – mobil, wandelbar und überraschend vielfältig. Das Leben zeigt uns einen fantastischen Karneval voller Vielfalt und Einzigartigkeit kreativer Kombinationen! Die Welt der unbelebten Natur ist vor allem eine Welt der Symmetrie, die seinen Kreationen Stabilität und Schönheit verleiht. Die natürliche Welt ist in erster Linie eine Welt der Harmonie, in der das „Gesetz des Goldenen Schnitts“ gilt.

“Der „Goldene Schnitt“ scheint der Moment der Wahrheit zu sein, ohne den im Allgemeinen nichts Existierendes möglich ist. Was auch immer wir als Forschungselement betrachten, der „Goldene Schnitt“ wird überall sein; Auch wenn es keine sichtbare Beobachtung gibt, findet es sicherlich auf energetischer, molekularer oder zellulärer Ebene statt.

Tatsächlich erweist sich die Natur in der Manifestation ihrer Grundgesetze als eintönig (und daher einheitlich!). Die „erfolgreichsten“ Lösungen, die sie gefunden hat, gelten für die unterschiedlichsten Objekte und für die unterschiedlichsten Organisationsformen. Kontinuität und Diskretion der Organisation ergeben sich aus der doppelten Einheit der Materie – ihrer Korpuskular- und Wellennatur, dringt in die Chemie ein, wo sie die Gesetze der ganzzahligen Stöchiometrie, chemische Verbindungen mit konstanter und variabler Zusammensetzung, vorgibt. In der Botanik finden Kontinuität und Diskretion ihren spezifischen Ausdruck in der Phyllotaxis, Quanten der Diskretion, Quanten des Wachstums, der Einheit von Diskretion und Kontinuität der Raum-Zeit-Organisation. Und nun taucht in den Zahlenverhältnissen pflanzlicher Organe das von A. Gursky eingeführte „Prinzip der Mehrfachverhältnisse“ auf – eine vollständige Wiederholung des Grundgesetzes der Chemie.

Natürlich klingt die Aussage, dass alle diese Phänomene auf der Fibonacci-Folge basieren, zu laut, aber der Trend ist klar. Und außerdem ist sie selbst alles andere als perfekt, wie alles auf dieser Welt.

Es wird angenommen, dass die Fibonacci-Reihe ein Versuch der Natur ist, sich an eine grundlegendere und perfektere logarithmische Folge des Goldenen Schnitts anzupassen, die fast dieselbe ist, nur dass sie im Nichts beginnt und ins Nirgendwo führt. Die Natur braucht auf jeden Fall einen ganzheitlichen Anfang, von dem aus sie beginnen kann; sie kann nicht etwas aus dem Nichts erschaffen. Die Verhältnisse der ersten Terme der Fibonacci-Folge sind weit vom Goldenen Schnitt entfernt. Aber je weiter wir uns bewegen, desto mehr werden diese Abweichungen geglättet. Um eine Reihe zu definieren, reicht es aus, ihre drei nacheinander aufeinanderfolgenden Begriffe zu kennen. Aber nicht für die goldene Folge, dafür reichen zwei, es ist eine geometrische und arithmetische Folge zugleich. Man könnte meinen, dass es die Grundlage für alle anderen Sequenzen ist.

Jeder Term der goldenen logarithmischen Folge ist eine Potenz der Goldenen Proportion (). Ein Teil der Serie sieht in etwa so aus:... ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ... Wenn wir den Wert des Goldenen Schnitts auf drei Dezimalstellen runden, erhalten wir=1,618 , dann sieht die Serie so aus:... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... Jeder nächste Term kann nicht nur durch Multiplikation des vorherigen mit erhalten werden1,618 , sondern auch durch Hinzufügen der beiden vorherigen. Somit wird ein exponentielles Wachstum durch einfaches Hinzufügen zweier benachbarter Elemente erreicht. Es ist eine Reihe ohne Anfang und Ende, und genau so versucht die Fibonacci-Folge zu sein. Sie hat einen sehr klaren Anfang und strebt nach dem Ideal, ohne es jedoch zu erreichen. So ist das Leben.

Und doch stellen sich im Zusammenhang mit allem, was wir gesehen und gelesen haben, ganz logische Fragen:
Woher kommen diese Zahlen? Wer ist dieser Architekt des Universums, der versucht hat, es ideal zu machen? War jemals alles so, wie er es wollte? Und wenn ja, warum ist es schiefgegangen? Mutationen? Freie Wahl? Was kommt als nächstes? Rollt sich die Spirale auf oder ab?

Wenn Sie die Antwort auf eine Frage gefunden haben, erhalten Sie die nächste. Wenn Sie es lösen, erhalten Sie zwei neue. Sobald Sie mit ihnen fertig sind, werden drei weitere erscheinen. Wenn Sie auch diese gelöst haben, haben Sie fünf ungelöste Aufgaben. Dann acht, dann dreizehn, 21, 34, 55 ...

Liste der verwendeten Quellen

Vasyutinsky, N. Goldener Anteil / Vasyutinsky N, Moskau, Junge Garde, 1990, - 238 S. - (Heureka).

Vorobyov, N.N. Fibonacci-Zahlen,

Zugriffsmodus: . Zugriffsdatum: 17.11.2015.

Zugriffsmodus: . Zugriffsdatum: 16.11.2015.

Zugriffsmodus: . Zugriffsdatum: 13.11.2015.

Lassen Sie uns herausfinden, was die alten ägyptischen Pyramiden, Leonardo da Vincis Mona Lisa, eine Sonnenblume, eine Schnecke, ein Tannenzapfen und menschliche Finger gemeinsam haben.

Die Antwort auf diese Frage liegt in den erstaunlichen Zahlen verborgen, die entdeckt wurden Der italienische mittelalterliche Mathematiker Leonardo von Pisa, besser bekannt unter dem Namen Fibonacci (geboren um 1170 – gestorben nach 1228), Italienischer Mathematiker . Auf Reisen durch den Osten lernte er die Errungenschaften der arabischen Mathematik kennen; trug zu ihrer Verlagerung in den Westen bei.

Nach seiner Entdeckung wurden diese Zahlen nach dem berühmten Mathematiker benannt. Das ist das erstaunliche Wesen der Fibonacci-Zahlenfolge dass sich jede Zahl in dieser Folge aus der Summe der beiden vorherigen Zahlen ergibt.

Also die Zahlen, die die Folge bilden:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, …

werden „Fibonacci-Zahlen“ genannt, und die Folge selbst wird Fibonacci-Folge genannt.

Es gibt eine sehr interessante Eigenschaft der Fibonacci-Zahlen. Wenn man eine beliebige Zahl aus der Folge durch die Zahl davor in der Reihe dividiert, erhält man als Ergebnis immer einen Wert, der um den irrationalen Wert 1,61803398875 schwankt... und diesen manchmal überschreitet, manchmal nicht erreicht. (Ungefähr irrationale Zahl, d. h. eine Zahl, deren Dezimaldarstellung unendlich und nichtperiodisch ist)

Darüber hinaus wird dieses Divisionsergebnis nach der 13. Zahl in der Folge bis zur Unendlichkeit der Reihe konstant ... Es war diese konstante Anzahl von Teilungen, die im Mittelalter als göttliches Verhältnis bezeichnet wurde und heute als goldener Schnitt, goldene Mitte oder goldenes Verhältnis bezeichnet wird. . In der Algebra wird diese Zahl mit dem griechischen Buchstaben Phi (Ф) bezeichnet.

Goldener Schnitt = 1:1,618

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

987 / 610 = 1,618

1597 / 987 = 1,618

2584 / 1597 = 1,618

Der menschliche Körper und der Goldene Schnitt

Künstler, Wissenschaftler, Modedesigner, Designer erstellen ihre Berechnungen, Zeichnungen oder Skizzen auf der Grundlage des Verhältnisses des Goldenen Schnitts. Sie nutzen Messungen des menschlichen Körpers, der ebenfalls nach dem Prinzip des Goldenen Schnitts erstellt wurde. Bevor Leonardo Da Vinci und Le Corbusier ihre Meisterwerke schufen, nahmen sie die Parameter des menschlichen Körpers an, der nach dem Gesetz des Goldenen Schnitts geschaffen wurde.

Das wichtigste Buch aller modernen Architekten, E. Neuferts Nachschlagewerk „Building Design“, enthält grundlegende Berechnungen der Parameter des menschlichen Rumpfes, die den Goldenen Schnitt enthalten.

Die Proportionen der verschiedenen Teile unseres Körpers entsprechen einem Wert, der dem Goldenen Schnitt sehr nahe kommt. Wenn diese Proportionen mit der Formel des Goldenen Schnitts übereinstimmen, gilt das Aussehen bzw. der Körper der Person als ideal proportioniert. Das Prinzip der Berechnung des Goldmaßes am menschlichen Körper lässt sich in Form eines Diagramms darstellen:

M/m=1,618

Das erste Beispiel für den Goldenen Schnitt im Aufbau des menschlichen Körpers:
Wenn wir den Nabelpunkt als Mittelpunkt des menschlichen Körpers und den Abstand zwischen dem Fuß einer Person und dem Nabelpunkt als Maßeinheit nehmen, entspricht die Körpergröße einer Person der Zahl 1,618.

Darüber hinaus gibt es noch einige weitere grundlegende goldene Proportionen unseres Körpers:

* der Abstand von den Fingerspitzen über das Handgelenk bis zum Ellenbogen beträgt 1:1,618;

* der Abstand von Schulterhöhe bis zum Scheitel des Kopfes und die Größe des Kopfes beträgt 1:1,618;

* der Abstand vom Nabelpunkt bis zum Scheitel des Kopfes und von der Schulterhöhe bis zum Scheitel des Kopfes beträgt 1:1,618;

* der Abstand des Nabelpunktes zu den Knien und von den Knien zu den Füßen beträgt 1:1,618;

* der Abstand von der Kinnspitze bis zur Oberlippenspitze und von der Oberlippenspitze bis zu den Nasenlöchern beträgt 1:1,618;

* der Abstand von der Kinnspitze bis zur oberen Augenbrauenlinie und von der oberen Augenbrauenlinie bis zum Scheitel beträgt 1:1,618;

* der Abstand von der Kinnspitze bis zur Oberlinie der Augenbrauen und von der Oberlinie der Augenbrauen bis zum Scheitel beträgt 1:1,618:

Der Goldene Schnitt in menschlichen Gesichtszügen als Kriterium vollkommener Schönheit.

Auch in der Struktur menschlicher Gesichtszüge gibt es viele Beispiele, deren Wert der Formel des Goldenen Schnitts nahe kommt. Beeilen Sie sich jedoch nicht sofort mit einem Lineal, um die Gesichter aller Menschen zu messen. Denn exakte Entsprechungen zum Goldenen Schnitt gibt es laut Wissenschaftlern und Künstlern, Künstlern und Bildhauern nur bei Menschen mit vollkommener Schönheit. Tatsächlich ist die exakte Präsenz des goldenen Anteils im Gesicht eines Menschen das Schönheitsideal für den menschlichen Blick.

Wenn wir beispielsweise die Breite der beiden oberen Vorderzähne addieren und diese Summe durch die Höhe der Zähne dividieren, können wir nach Erhalt des Goldenen Schnitts sagen, dass die Struktur dieser Zähne ideal ist.

Es gibt andere Ausführungsformen der Regel des Goldenen Schnitts im menschlichen Gesicht. Hier sind einige dieser Beziehungen:

*Gesichtshöhe/Gesichtsbreite;

* Zentraler Verbindungspunkt der Lippen zum Nasenansatz / Länge der Nase;

* Gesichtshöhe / Abstand von der Kinnspitze bis zum zentralen Punkt, an dem sich die Lippen treffen;

*Mundbreite/Nasenbreite;

* Nasenbreite / Abstand zwischen den Nasenlöchern;

* Abstand zwischen Pupillen / Abstand zwischen Augenbrauen.

Menschliche Hand

Es genügt, die Handfläche näher an sich heranzuführen und genau auf den Zeigefinger zu schauen, und schon findet man darin sofort die Formel des Goldenen Schnitts. Jeder Finger unserer Hand besteht aus drei Fingergliedern.

* Die Summe der ersten beiden Fingerglieder im Verhältnis zur gesamten Fingerlänge ergibt die Zahl des Goldenen Schnitts (mit Ausnahme des Daumens);

* Darüber hinaus entspricht das Verhältnis zwischen Mittelfinger und kleinem Finger auch dem Goldenen Schnitt;

* Eine Person hat 2 Hände, die Finger jeder Hand bestehen aus 3 Fingergliedern (außer dem Daumen). An jeder Hand gibt es 5 Finger, also insgesamt 10, aber mit Ausnahme von zwei Zwei-Phalanx-Daumen sind nach dem Prinzip des Goldenen Schnitts nur 8 Finger entstanden. Während alle diese Zahlen 2, 3, 5 und 8 die Zahlen der Fibonacci-Folge sind:

Der Goldene Schnitt in der Struktur der menschlichen Lunge

Der amerikanische Physiker B.D. West und Dr. A.L. Goldberger stellte im Rahmen physikalischer und anatomischer Studien fest, dass der Goldene Schnitt auch in der Struktur der menschlichen Lunge existiert.

Die Besonderheit der Bronchien, aus denen die menschliche Lunge besteht, liegt in ihrer Asymmetrie. Die Bronchien bestehen aus zwei Hauptluftwegen, von denen einer (der linke) länger und der andere (der rechte) kürzer ist.

* Es wurde festgestellt, dass sich diese Asymmetrie in den Ästen der Bronchien, in allen kleineren Atemwegen, fortsetzt. Darüber hinaus ist das Verhältnis der Längen der kurzen und langen Bronchien auch der Goldene Schnitt und beträgt 1:1,618.

Struktur des goldenen orthogonalen Vierecks und der Spirale

Der Goldene Schnitt ist eine solche proportionale Aufteilung eines Segments in ungleiche Teile, bei der das gesamte Segment zum größeren Teil in Beziehung steht, wie der größere Teil selbst zum kleineren Teil; oder mit anderen Worten: Das kleinere Segment verhält sich zum Größeren wie das Größere zum Ganzen.

In der Geometrie wurde ein Rechteck mit diesem Seitenverhältnis als goldenes Rechteck bezeichnet. Seine langen Seiten stehen im Verhältnis zu seinen kurzen Seiten im Verhältnis 1,168:1.

Das goldene Rechteck hat auch viele erstaunliche Eigenschaften. Das goldene Rechteck hat viele ungewöhnliche Eigenschaften. Indem wir aus dem goldenen Rechteck ein Quadrat ausschneiden, dessen Seite gleich der kleineren Seite des Rechtecks ​​ist, erhalten wir wieder ein goldenes Rechteck mit kleineren Abmessungen. Dieser Vorgang kann unbegrenzt fortgesetzt werden. Während wir weiterhin Quadrate abschneiden, erhalten wir am Ende immer kleinere goldene Rechtecke. Darüber hinaus liegen sie in einer logarithmischen Spirale, was für mathematische Modelle natürlicher Objekte (z. B. Schneckenhäuser) wichtig ist.

Der Pol der Spirale liegt am Schnittpunkt der Diagonalen des Ausgangsrechtecks ​​und der ersten zu schneidenden Vertikale. Darüber hinaus liegen die Diagonalen aller nachfolgenden abnehmenden goldenen Rechtecke auf diesen Diagonalen. Natürlich gibt es auch das goldene Dreieck.

Der englische Designer und Kosmetiker William Charlton erklärte, dass Menschen Spiralformen als angenehm für das Auge empfinden und sie seit Tausenden von Jahren verwenden, und erklärte es folgendermaßen:

„Uns gefällt das Aussehen einer Spirale, weil wir sie visuell leicht erkennen können.“

In der Natur

* Die Regel des Goldenen Schnitts, die der Struktur der Spirale zugrunde liegt, findet sich in der Natur sehr häufig in Kreationen von unvergleichlicher Schönheit. Die offensichtlichsten Beispiele sind, dass die Spiralform in der Anordnung von Sonnenblumenkernen, Tannenzapfen, Ananas, Kakteen, der Struktur von Rosenblättern usw. zu sehen ist;

* Botaniker haben herausgefunden, dass sich in der Anordnung der Blätter auf einem Zweig, Sonnenblumenkernen oder Tannenzapfen die Fibonacci-Reihe deutlich manifestiert und damit das Gesetz des Goldenen Schnitts zum Ausdruck kommt;

Der allmächtige Herr hat für jede seiner Schöpfungen ein besonderes Maß festgelegt und ihr Verhältnismäßigkeit verliehen, was durch Beispiele in der Natur bestätigt wird. Man kann viele Beispiele nennen, bei denen der Wachstumsprozess lebender Organismen streng nach der Form einer logarithmischen Spirale abläuft.

Alle Federn in der Spirale haben die gleiche Form. Mathematiker haben herausgefunden, dass auch bei einer Vergrößerung der Federn die Form der Spirale unverändert bleibt. Es gibt keine andere Form in der Mathematik, die die gleichen einzigartigen Eigenschaften hat wie die Spirale.

Die Struktur von Muscheln

Wissenschaftler, die die innere und äußere Struktur der Schalen von Weichtieren, die auf dem Meeresgrund leben, untersuchten, stellten fest:

„Die Innenfläche der Schalen ist makellos glatt, während die Außenfläche vollständig mit Rauheiten und Unregelmäßigkeiten bedeckt ist. Das Weichtier befand sich in einer Schale und dafür musste die Innenfläche der Schale vollkommen glatt sein. Äußere Ecken und Biegungen der Schale erhöhen ihre Festigkeit, Härte und erhöhen somit ihre Festigkeit. Die Perfektion und erstaunliche Intelligenz der Struktur des Schneckenhauses ist erstaunlich. Die Spiralidee der Muscheln ist eine perfekte geometrische Form und besticht durch ihre ausgefeilte Schönheit.“

Bei den meisten Schnecken mit Gehäuse wächst das Gehäuse in Form einer logarithmischen Spirale. Es besteht jedoch kein Zweifel daran, dass diese unvernünftigen Kreaturen nicht nur keine Ahnung von der logarithmischen Spirale haben, sondern auch nicht über die einfachsten mathematischen Kenntnisse verfügen, um sich eine spiralförmige Hülle zu erschaffen.

Aber wie konnten diese unvernünftigen Wesen dann die ideale Wachstums- und Existenzform in Form einer Spiralhülle bestimmen und für sich selbst wählen? Könnten diese Lebewesen, die die Wissenschaft als primitive Lebensformen bezeichnet, berechnen, dass die logarithmische Schalenform ideal für ihre Existenz wäre?

Natürlich nicht, denn ohne Intelligenz und Wissen lässt sich ein solcher Plan nicht verwirklichen. Aber weder primitive Mollusken noch die unbewusste Natur besitzen eine solche Intelligenz, die einige Wissenschaftler jedoch als Schöpfer des Lebens auf der Erde bezeichnen (?!)

Der Versuch, den Ursprung selbst der primitivsten Lebensform durch eine zufällige Kombination bestimmter natürlicher Umstände zu erklären, ist gelinde gesagt absurd. Es ist klar, dass dieses Projekt eine bewusste Schöpfung ist.

Der Biologe Sir D'arky Thompson nennt diese Art des Wachstums Muscheln „Wachstumsform der Zwerge.“

Sir Thompson macht diesen Kommentar:

„Es gibt kein einfacheres System als das Wachstum von Muscheln, die proportional wachsen und sich ausdehnen und dabei die gleiche Form behalten. Das Erstaunlichste ist, dass die Schale wächst, aber nie ihre Form ändert.“

Der Nautilus mit einem Durchmesser von mehreren Zentimetern ist das auffälligste Beispiel für die Wuchsform der Gnome. S. Morrison beschreibt diesen Prozess des Nautiluswachstums wie folgt, der selbst mit dem menschlichen Verstand recht schwer zu planen scheint:

„Im Inneren der Nautilusmuschel gibt es viele Fächer – Räume mit Trennwänden aus Perlmutt, und die Muschel selbst im Inneren ist eine Spirale, die sich von der Mitte aus ausdehnt. Während die Nautilus wächst, wächst im vorderen Teil der Schale ein weiterer Raum, diesmal jedoch größer als der vorherige, und die zurückbleibenden Trennwände des Raums werden mit einer Perlmuttschicht bedeckt. Somit dehnt sich die Spirale ständig proportional aus.“

Hier sind nur einige Arten von Spiralmuscheln mit einem logarithmischen Wachstumsmuster entsprechend ihren wissenschaftlichen Namen:
Haliotis Parvus, Dolium Perdix, Murex, Fusus Antiquus, Scalari Pretiosa, Solarium Trochleare.

Auch alle entdeckten fossilen Muschelreste hatten eine ausgeprägte Spiralform.

Allerdings kommt die logarithmische Wuchsform in der Tierwelt nicht nur bei Weichtieren vor. Auch die Hörner von Antilopen, Wildziegen, Widdern und anderen ähnlichen Tieren entwickeln sich nach den Gesetzen des Goldenen Schnitts spiralförmig.

Goldener Schnitt im menschlichen Ohr

Im menschlichen Innenohr gibt es ein Organ namens Cochlea („Schnecke“), das die Funktion hat, Schallschwingungen zu übertragen. Diese knöcherne Struktur ist mit Flüssigkeit gefüllt und hat auch die Form einer Schnecke mit einer stabilen logarithmischen Spiralform = 73º 43'.

Tierhörner und Stoßzähne entwickeln sich spiralförmig

Die Stoßzähne von Elefanten und ausgestorbenen Mammuts, die Krallen von Löwen und die Schnäbel von Papageien haben eine logarithmische Form und ähneln der Form einer Achse, die dazu neigt, sich in eine Spirale zu verwandeln. Spinnen weben ihre Netze immer in Form einer logarithmischen Spirale. Auch die Struktur von Mikroorganismen wie Plankton (Arten Globigerinae, Planorbis, Vortex, Terebra, Turitellae und Trochida) weist eine Spiralform auf.

Goldener Schnitt in der Struktur von Mikrokosmen

Geometrische Formen beschränken sich nicht nur auf ein Dreieck, ein Quadrat, ein Fünfeck oder ein Sechseck. Wenn wir diese Figuren auf unterschiedliche Weise miteinander verbinden, erhalten wir neue dreidimensionale geometrische Figuren. Beispiele hierfür sind Figuren wie ein Würfel oder eine Pyramide. Daneben gibt es jedoch auch andere dreidimensionale Figuren, die uns im Alltag nicht begegnet sind und deren Namen wir vielleicht zum ersten Mal hören. Zu solchen dreidimensionalen Figuren gehören das Tetraeder (regelmäßige vierseitige Figur), das Oktaeder, das Dodekaeder, das Ikosaeder usw. Das Dodekaeder besteht aus 13 Fünfecken, das Ikosaeder aus 20 Dreiecken. Mathematiker weisen darauf hin, dass diese Zahlen mathematisch sehr leicht umzuwandeln sind und ihre Umwandlung gemäß der Formel der logarithmischen Spirale des Goldenen Schnitts erfolgt.

Im Mikrokosmos sind dreidimensionale logarithmische Formen, die nach goldenen Proportionen aufgebaut sind, allgegenwärtig . Viele Viren haben beispielsweise die dreidimensionale geometrische Form eines Ikosaeders. Der vielleicht bekannteste dieser Viren ist der Adeno-Virus. Die Proteinhülle des Adenovirus besteht aus 252 Einheiten von Proteinzellen, die in einer bestimmten Reihenfolge angeordnet sind. An jeder Ecke des Ikosaeders befinden sich 12 Einheiten Proteinzellen in Form eines fünfeckigen Prismas, und von diesen Ecken erstrecken sich spitzenartige Strukturen.

Der Goldene Schnitt in der Struktur von Viren wurde erstmals in den 1950er Jahren entdeckt. Wissenschaftler vom Birkbeck College London A. Klug und D. Kaspar. 13 Der Polyo-Virus war der erste, der eine logarithmische Form aufwies. Es stellte sich heraus, dass die Form dieses Virus der Form des Rhino-14-Virus ähnelte.

Es stellt sich die Frage, wie Viren solch komplexe dreidimensionale Formen bilden, deren Struktur den Goldenen Schnitt enthält, die selbst mit unserem menschlichen Verstand nur schwer zu konstruieren sind. Der Entdecker dieser Virenformen, der Virologe A. Klug, äußert sich dazu wie folgt:

„Dr. Kaspar und ich haben gezeigt, dass für die Kugelhülle des Virus die Symmetrie wie die Ikosaederform die optimalste Form ist.“ Diese Reihenfolge minimiert die Anzahl der Verbindungselemente... Die meisten geodätischen Halbkugelwürfel von Buckminster Fuller sind nach einem ähnlichen geometrischen Prinzip aufgebaut. 14 Die Installation solcher Würfel erfordert ein äußerst genaues und detailliertes erklärendes Diagramm. Während unbewusste Viren selbst eine so komplexe Hülle aus elastischen, flexiblen Proteinzelleinheiten aufbauen.“

basierend auf Materialien aus dem Buch von B. Biggs „Ein Hedger tauchte aus dem Nebel auf“

Über Fibonacci-Zahlen und Handel

Als Einführung in das Thema wenden wir uns kurz der technischen Analyse zu. Kurz gesagt zielt die technische Analyse darauf ab, die zukünftige Preisbewegung eines Vermögenswerts auf der Grundlage vergangener historischer Daten vorherzusagen. Die bekannteste Formulierung seiner Befürworter ist, dass im Preis bereits alle notwendigen Informationen enthalten seien. Die Umsetzung der technischen Analyse begann mit der Entwicklung der Börsenspekulation und ist vermutlich noch nicht ganz abgeschlossen, da sie potenziell unbegrenzte Erträge verspricht. Die bekanntesten Methoden (Begriffe) in der technischen Analyse sind Unterstützungs- und Widerstandsniveaus, japanische Candlesticks, Zahlen, die eine Preisumkehr ankündigen usw.

Das Paradoxe an der Situation liegt meiner Meinung nach darin, dass die meisten der beschriebenen Methoden so weit verbreitet sind, dass sie trotz fehlender Evidenzbasis für ihre Wirksamkeit tatsächlich die Möglichkeit haben, das Marktverhalten zu beeinflussen. Daher sollten selbst Skeptiker, die Fundamentaldaten verwenden, diese Konzepte berücksichtigen, einfach weil so viele andere Akteure („Technikfreaks“) sie berücksichtigen. Die technische Analyse kann sich gut mit der Geschichte befassen, aber in der Praxis schafft es fast niemand, mit ihrer Hilfe stabiles Geld zu verdienen – es ist viel einfacher, reich zu werden, indem man in großen Mengen ein Buch zum Thema „Wie man mit technischer Analyse Millionär wird“ veröffentlicht. .

In diesem Sinne zeichnet sich die Fibonacci-Theorie aus, die auch zur Vorhersage von Preisen für verschiedene Zeiträume verwendet wird. Ihre Anhänger werden üblicherweise „Waver“ genannt. Es zeichnet sich dadurch aus, dass es nicht gleichzeitig mit der Markteinführung erschien, sondern viel früher – bis zu 800 Jahre. Ein weiteres Merkmal davon ist, dass die Theorie fast als Weltkonzept zur Beschreibung von allem und jedem reflektiert wird und der Markt nur ein Sonderfall für ihre Anwendung ist. Die Wirksamkeit der Theorie und die Zeit ihres Bestehens bescheren ihr sowohl neue Befürworter als auch neue Versuche, auf ihrer Grundlage die am wenigsten kontroverse und allgemein akzeptierte Beschreibung des Verhaltens von Märkten zu erstellen. Aber leider ist die Theorie nicht über einzelne erfolgreiche Marktvorhersagen hinausgekommen, die mit Glück gleichgesetzt werden können.

Die Essenz der Fibonacci-Theorie

Fibonacci lebte ein langes Leben, insbesondere für seine Zeit, die er der Lösung einer Reihe mathematischer Probleme widmete und diese in seinem umfangreichen Werk „Das Buch des Abakus“ (frühes 13. Jahrhundert) formulierte. Er interessierte sich schon immer für die Mystik der Zahlen – er war wahrscheinlich nicht weniger brillant als Archimedes oder Euklid. Probleme im Zusammenhang mit quadratischen Gleichungen wurden bereits vor Fibonacci gestellt und teilweise gelöst, beispielsweise vom berühmten Omar Khayyam, einem Wissenschaftler und Dichter; Fibonacci formulierte jedoch das Problem der Fortpflanzung von Kaninchen, dessen Schlussfolgerungen ihm etwas brachten, das es seinem Namen ermöglichte, im Laufe der Jahrhunderte nicht verloren zu gehen.

Kurz gesagt lautet die Aufgabe wie folgt. Ein Kaninchenpaar wurde an einem allseitig von einer Mauer umzäunten Ort untergebracht, und jedes Kaninchenpaar bringt ab dem zweiten Monat seines Bestehens jeden Monat ein weiteres Paar zur Welt. Die Fortpflanzung von Kaninchen im Laufe der Zeit wird durch die Reihenfolge beschrieben: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 usw. Aus mathematischer Sicht erwies sich die Sequenz als schlicht einzigartig, da sie eine Reihe herausragender Eigenschaften aufwies:

• die Summe zweier aufeinanderfolgender Zahlen ist die nächste Zahl in der Folge;

• das Verhältnis jeder Zahl in der Folge, beginnend mit der fünften, zur vorherigen beträgt 1,618;

• Die Differenz zwischen dem Quadrat einer beliebigen Zahl und dem Quadrat einer Zahl zwei Positionen weiter links ist die Fibonacci-Zahl.

• Die Summe der Quadrate benachbarter Zahlen ergibt die Fibonacci-Zahl, die zwei Stellen hinter der größten der quadrierten Zahlen liegt

Von diesen Erkenntnissen ist der zweite der interessanteste, da er die Zahl 1,618 verwendet, die als „Goldener Schnitt“ bekannt ist. Diese Zahl war den alten Griechen bekannt, die sie beim Bau des Parthenon verwendeten (einigen Quellen zufolge diente die Zentralbank übrigens den Griechen). Nicht weniger interessant ist, dass die Zahl 1,618 in der Natur sowohl auf Mikro- als auch auf Makroebene vorkommt – von den Spiralwindungen auf einem Schneckenhaus bis hin zu den großen Spiralen kosmischer Galaxien. Auch die von den alten Ägyptern geschaffenen Pyramiden von Gizeh enthielten beim Bau mehrere Parameter der Fibonacci-Reihe. Ein Rechteck, dessen eine Seite 1,618-mal größer ist als die andere, sieht für das Auge am angenehmsten aus – dieses Verhältnis wurde von Leonardo da Vinci für seine Gemälde verwendet, und im alltäglicheren Sinne wurde es manchmal bei der Gestaltung von Fenstern oder Türen verwendet. Auch eine Welle, wie in der Abbildung am Anfang des Artikels, lässt sich als Fibonacci-Spirale darstellen.

In der belebten Natur kommt die Fibonacci-Folge nicht seltener vor – sie findet sich in Krallen, Zähnen, Sonnenblumen, Spinnennetzen und sogar im Wachstum von Bakterien. Wenn gewünscht, ist Konsistenz in fast allem zu finden, auch im menschlichen Gesicht und Körper. Dennoch wird angenommen, dass viele der Behauptungen, Fibonacci-Zahlen in natürlichen und historischen Phänomenen zu finden, falsch sind – dies ist ein weit verbreiteter Mythos, der sich oft als ungenau herausstellt, um das gewünschte Ergebnis zu erzielen.

Fibonacci-Zahlen auf den Finanzmärkten

Einer der ersten, der sich intensiv mit der Anwendung der Fibonacci-Zahlen auf den Finanzmarkt beschäftigte, war R. Elliot. Seine Arbeit war in dem Sinne nicht umsonst, dass Marktbeschreibungen mithilfe der Fibonacci-Theorie oft als „Elliott-Wellen“ bezeichnet werden. Die Entwicklung der Märkte erfolgte hier nach dem Modell der menschlichen Entwicklung aus Superzyklen mit drei Schritten vorwärts und zwei Schritten zurück. Dass sich die Menschheit nichtlinear entwickelt, ist für fast jeden offensichtlich – das Wissen des alten Ägypten und die atomistische Lehre des Demokrit gingen im Mittelalter völlig verloren, d.h. nach etwa 2000 Jahren; Das 20. Jahrhundert brachte einen solchen Schrecken und eine solche Bedeutungslosigkeit des menschlichen Lebens hervor, dass man es sich selbst in der Zeit der punischen Kriege der Griechen kaum vorstellen konnte. Doch selbst wenn wir die Theorie der Schritte und ihrer Anzahl als Wahrheit akzeptieren, bleibt die Größe jedes Schritts unklar, was Elliott-Wellen mit der Vorhersagekraft von Kopf und Zahl vergleichbar macht. Der Ausgangspunkt und die korrekte Berechnung der Wellenzahl waren und bleiben offenbar die Hauptschwäche der Theorie.

Dennoch hatte die Theorie lokale Erfolge. Bob Pretcher, der als Schüler von Elliott gelten kann, hat den Bullenmarkt der frühen 1980er Jahre richtig vorhergesagt und sah 1987 als Wendepunkt. Dies geschah tatsächlich, woraufhin Bob sich offensichtlich wie ein Genie fühlte – zumindest in den Augen anderer wurde er sicherlich zu einem Investment-Guru. Das Abonnement von Prechters Elliott Wave Theorist stieg in diesem Jahr auf 20.000.In den frühen 1990er-Jahren ging sie jedoch zurück, da die weiterhin prognostizierte „Untergangsstimmung“ für den amerikanischen Markt sich entschied, etwas zurückzuhalten. Für den japanischen Markt funktionierte es jedoch, und eine Reihe von Befürwortern der Theorie, die für eine Welle „zu spät“ dort waren, verloren entweder ihr Kapital oder das Kapital der Kunden ihrer Unternehmen. Auf die gleiche Weise und mit dem gleichen Erfolg versuchen sie oft, die Theorie auf den Handel am Devisenmarkt anzuwenden.

Die Theorie deckt eine Vielzahl von Handelsperioden ab – von wöchentlich, was sie den Standardstrategien der technischen Analyse ähnelt, bis hin zu Berechnungen über Jahrzehnte, d. h. betritt das Gebiet grundlegender Vorhersagen. Dies ist durch Variation der Wellenanzahl möglich. Die oben erwähnten Schwächen der Theorie erlauben es ihren Anhängern, nicht von der Inkonsistenz der Wellen, sondern von eigenen Fehleinschätzungen zwischen ihnen und einer falschen Definition der Ausgangslage zu sprechen. Es ist wie ein Labyrinth – selbst wenn man die richtige Karte hat, kann man ihr nur folgen, wenn man genau weiß, wo man sich befindet. Ansonsten ist die Karte nutzlos. Im Fall der Elliott-Wellen gibt es Anzeichen dafür, dass nicht nur Zweifel an der Richtigkeit Ihres Standorts, sondern auch an der Genauigkeit der Karte als solche bestehen.

Schlussfolgerungen

Die wellenförmige Entwicklung der Menschheit hat eine reale Grundlage – im Mittelalter wechselten sich Inflations- und Deflationswellen ab, als Kriege einem relativ ruhigen, friedlichen Leben Platz machten. Auch die Beobachtung der Fibonacci-Folge in der Natur lässt zumindest in einigen Fällen keinen Zweifel aufkommen. Daher hat jeder das Recht, seine eigene Antwort auf die Frage zu geben, wer Gott ist: ein Mathematiker oder ein Zufallszahlengenerator. Meine persönliche Meinung ist, dass zwar die gesamte Menschheitsgeschichte und die Märkte im Wellenkonzept dargestellt werden können, die Höhe und Dauer jeder Welle jedoch von niemandem vorhergesagt werden kann.

Gleichzeitig machen 200 Jahre Beobachtung des amerikanischen Marktes und mehr als 100 Jahre anderer Märkte deutlich, dass der Aktienmarkt wächst und verschiedene Phasen des Wachstums und der Stagnation durchläuft. Diese Tatsache reicht völlig aus, um an der Börse langfristig Gewinne zu erzielen, ohne auf kontroverse Theorien zurückzugreifen und ihnen mehr Kapital anzuvertrauen, als im Rahmen vertretbarer Risiken liegen sollte.

Als ich in letzter Zeit in Einzel- und Gruppenprozessen mit Menschen arbeitete, kam ich wieder auf die Idee, alle Prozesse (karmische, mentale, physiologische, spirituelle, transformative usw.) in einem zu vereinen.

Freunde hinter dem Schleier enthüllten zunehmend das Bild eines multidimensionalen Menschen und der Verbindung von allem in allem.

Ein innerer Drang veranlasste mich, zu alten Zahlenstudien zurückzukehren und noch einmal Drunvalo Melchisedeks Buch „Das uralte Geheimnis der Blume des Lebens“ durchzublättern.

Zu dieser Zeit lief der Film „The Da Vinci Code“ in den Kinos. Es ist nicht meine Absicht, die Qualität, den Wert oder die Wahrheit dieses Films zu diskutieren. Aber der Moment mit dem Code, als die Zahlen schnell zu scrollen begannen, wurde für mich zu einem der Schlüsselmomente in diesem Film.

Meine Intuition sagte mir, dass es sich lohnt, auf die Fibonacci-Zahlenfolge und den Goldenen Schnitt zu achten. Wenn Sie im Internet nach etwas über Fibonacci suchen, werden Sie mit Informationen bombardiert. Sie werden erfahren, dass diese Reihenfolge zu allen Zeiten bekannt war. Es ist in Natur und Raum, in Technik und Wissenschaft, in Architektur und Malerei, in Musik und Proportionen im menschlichen Körper, in DNA und RNA vertreten. Viele Forscher dieser Sequenz sind zu dem Schluss gekommen, dass auch wichtige Ereignisse im Leben eines Menschen, eines Staates und einer Zivilisation dem Gesetz des Goldenen Schnitts unterliegen.

Es scheint, dass dem Menschen ein grundlegender Hinweis gegeben wurde.

Dann entsteht der Gedanke, dass eine Person das Prinzip des Goldenen Schnitts bewusst anwenden kann, um die Gesundheit wiederherzustellen und das Schicksal zu korrigieren, d. h. die laufenden Prozesse im eigenen Universum rationalisieren, das Bewusstsein erweitern und zum Wohlbefinden zurückkehren.

Erinnern wir uns gemeinsam an die Fibonacci-Folge:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025…

Jede nachfolgende Zahl wird durch Addition der beiden vorherigen gebildet:

1+1=2, 1+2=3, 2+3=5 usw.

Jetzt schlage ich vor, jede Zahl in der Reihe auf eine Ziffer zu reduzieren: 1, 1, 2, 3, 5, 8,

13=1+3(4), 21=2+1(3), 34=3+4(7), 55=5+5(1), 89= 8+9(8), 144=1+4+4(9)…

Das haben wir bekommen:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 9…1, 1, 2…

eine Folge von 24 Zahlen, die sich ab der 25. noch einmal wiederholt:

75025=7+5+0+2+5=19=1+0=1, 121393=1+2+1+3+9+3=19=1+0=1…

Kommt Ihnen das nicht seltsam oder natürlich vor?

• Der Tag hat 24 Stunden,
• Weltraumhäuser - 24,
• DNA-Stränge - 24,
• 24 Älteste vom Gottstern Sirius,
• Die sich wiederholende Folge in der Fibonacci-Reihe besteht aus 24 Ziffern.

Wenn die resultierende Sequenz wie folgt geschrieben wird:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9

8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 9

9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9,

Dann werden wir sehen, dass die 1. und 13. Zahl der Folge, die 2. und 14., die 3. und 15., die 4. und 16. ... die 12. und 24. Zahl zusammen 9 ergeben.

3 3 6 9 6 6 3 9

Beim Testen dieser Zahlenreihen haben wir Folgendes erhalten:

• Kinderprinzip;
• Väterliches Prinzip;
• Mutterprinzip;
• Prinzip der Einheit.

Goldener Schnitt-Matrix

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

2 2 4 6 1 7 8 6 5 2 7 9 7 7 5 3 8 2 1 3 4 7 2 9

4 4 8 3 2 5 7 3 1 4 5 9 5 5 1 6 7 4 2 6 8 5 4 9

3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9

8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9

8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9

7 7 5 3 8 2 1 3 4 7 2 9 2 2 4 6 1 7 8 6 5 2 7 9

4 4 8 3 2 5 7 3 1 4 5 9 5 5 1 6 7 4 2 6 8 5 4 9

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

5 5 1 6 7 4 2 6 8 5 4 9 4 4 8 3 2 5 7 3 1 4 5 9

6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9

2 2 4 6 1 7 8 6 5 2 7 9 7 7 5 3 8 2 1 3 4 7 2 9

8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

Praktische Anwendung der Fibonacci-Reihe

Einer meiner Freunde äußerte die Absicht, individuell mit ihm an der Entwicklung seiner Fähigkeiten und Fertigkeiten zu arbeiten.

Unerwartet, gleich zu Beginn, mischte sich Sai Baba in den Prozess ein und lud mich ein, ihm zu folgen.

Wir begannen uns in der göttlichen Monade unseres Freundes zu erheben und fanden uns, indem wir sie durch den Kausalkörper verließen, in einer anderen Realität auf der Ebene des Kosmischen Hauses wieder.

Diejenigen, die die Werke der Propheten Mark und Elizabeth Claire studiert haben, kennen die Lehre über die kosmische Uhr, die Mutter Maria ihnen übermittelt hat.

Auf der Ebene des Kosmischen Hauses sah Yuri einen Kreis mit einem inneren Zentrum mit 12 Pfeilen.

Der Älteste, der uns auf dieser Ebene traf, sagte, dass die göttliche Uhr und die 12 Zeiger vor uns 12 (24) Manifestationen göttlicher Aspekte darstellen ... (möglicherweise Schöpfer).

Was die kosmische Uhr betrifft, so befanden sie sich nach dem Prinzip der Energie Acht unter der göttlichen Uhr.

— In welcher Beziehung stehen die Göttlichen Uhren zu Ihnen?

— Die Zeiger der Uhr stehen still, es gibt keine Bewegung.Jetzt kommen mir Gedanken, dass ich vor vielen Äonen das göttliche Bewusstsein aufgegeben und einen anderen Weg eingeschlagen habe, den Weg des Magiers. Alle meine magischen Artefakte und Amulette, die ich über viele Inkarnationen in mir habe und angesammelt habe, sehen auf dieser Ebene aus wie Babyrasseln. Auf der subtilen Ebene stellen sie ein Bild magischer Energiekleidung dar.

- Vollendet.Ich segne jedoch meine magische Erfahrung.Das Erleben dieser Erfahrung motivierte mich wirklich, zur Quelle, zur Ganzheit, zurückzukehren.Sie bieten mir an, meine magischen Artefakte abzunehmen und mich in die Mitte der Uhr zu stellen.

— Was muss getan werden, um die Göttliche Uhr zu aktivieren?

— Sai Baba erschien erneut und bietet an, seine Absicht zum Ausdruck zu bringen, die Silberschnur mit der Uhr zu verbinden. Er sagt auch, dass es eine Art Zahlenreihe gibt. Er ist der Schlüssel zur Aktivierung. Das Bild von Leonard da Vincis Mann erscheint vor Ihrem geistigen Auge.

- 12 Mal.

„Ich bitte Sie, den gesamten Prozess auf Gott auszurichten und die Energie der Zahlenreihe so zu lenken, dass sie die göttliche Uhr aktiviert.

Lesen Sie 12 Mal laut vor

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9…

Beim Ablesen bewegten sich die Zeiger der Uhr.

Energie floss entlang der silbernen Schnur und verband alle Ebenen von Yurinas Monade sowie irdische und himmlische Energien ...

Das Unerwartetste in diesem Prozess war, dass auf der Uhr vier Wesenheiten erschienen, die Teile des Einen Ganzen mit Yura sind.

Während der Kommunikation wurde klar, dass es einst eine Teilung der Zentralseele gab und jeder Teil seinen eigenen Bereich im Universum zur Umsetzung wählte.

Es wurde beschlossen, sich zu integrieren, was im Zentrum „Divine Hours“ geschah.

Das Ergebnis dieses Prozesses war die Schaffung des Gemeinsamen Kristalls auf dieser Ebene.

Danach fiel mir ein, dass Sai Baba einmal über einen bestimmten Plan sprach, der darin besteht, zunächst zwei Essenzen zu einer, dann zu vier und so weiter nach dem binären Prinzip zu verbinden.

Natürlich ist diese Zahlenreihe kein Allheilmittel. Dies ist nur ein Werkzeug, das es Ihnen ermöglicht, schnell die notwendige Arbeit mit einer Person durchzuführen, um sie vertikal auf verschiedene Seinsebenen auszurichten.

Der italienische Mathematiker Leonardo Fibonacci lebte im 13. Jahrhundert und war einer der ersten in Europa, der arabische (indische) Ziffern verwendete. Er entwickelte ein etwas künstliches Problem mit der Aufzucht von Kaninchen auf einem Bauernhof, bei denen alle als Weibchen gelten und die Männchen ignoriert werden. Kaninchen beginnen mit der Zucht, nachdem sie zwei Monate alt sind, und bringen dann jeden Monat ein Kaninchen zur Welt. Kaninchen sterben nie.

Wir müssen bestimmen, wie viele Kaninchen in der Farm sein werden N Monate, wenn es zum ersten Mal nur ein neugeborenes Kaninchen gab.

Offensichtlich hat der Bauer im ersten Monat ein Kaninchen und im zweiten Monat ein Kaninchen. Im dritten Monat werden es zwei Kaninchen sein, im vierten Monat werden es drei usw. sein. Lassen Sie uns die Anzahl der Kaninchen angeben N Monat wie . Auf diese Weise,
,
,
,
,
, …

Es ist möglich, einen Algorithmus zum Finden zu konstruieren überhaupt N.

Laut Problemstellung die Gesamtzahl der Kaninchen
V N+1 Monat ist in drei Komponenten unterteilt:

einmonatige, nicht fortpflanzungsfähige Kaninchen in der Menge

;

Somit erhalten wir

. (8.1)

Mit der Formel (8.1) können Sie eine Reihe von Zahlen berechnen: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, . ..

Die Zahlen in dieser Reihenfolge werden aufgerufen Fibonacci-Zahlen .

Wenn wir akzeptieren
Und
, dann können Sie mit Formel (8.1) alle anderen Fibonacci-Zahlen ermitteln. Formel (8.1) heißt wiederkehrend Formel ( Wiederauftreten – „zurückkehren“ auf Lateinisch).

Beispiel 8.1. Angenommen, es gibt eine Treppe N Schritte. Wir können ihn in Schritten von einer Stufe oder in Schritten von zwei Stufen erklimmen. Wie viele Kombinationen verschiedener Hebemethoden gibt es?

Wenn N= 1, es gibt nur eine Lösung für das Problem. Für N= 2 gibt es 2 Möglichkeiten: zwei Einzelschritte oder einen Doppelschritt. Für N= 3 gibt es 3 Möglichkeiten: drei Einzelschritte, oder ein Einzelschritt und ein Doppelschritt, oder ein Doppelschritt und ein Einzelschritt.

Im folgenden Fall N= 4, wir haben 5 Möglichkeiten (1+1+1+1, 2+1+1, 1+2+1, 1+1+2, 2+2).

Um die zufällig gestellte Frage zu beantworten N, bezeichnen wir die Anzahl der Optionen als , und versuchen wir es herauszufinden
laut bekannt Und
. Wenn wir mit einem einzigen Schritt beginnen, dann haben wir es geschafft Kombinationen für den Rest N Schritte. Wenn wir mit einem Doppelschritt beginnen, dann haben wir es getan
Kombinationen für den Rest N–1 Schritte. Gesamtzahl der Optionen für N+1 Schritte gleich

. (8.2)

Die resultierende Formel ähnelt der Formel (8.1) als Zwilling. Dies erlaubt uns jedoch nicht, die Anzahl der Kombinationen zu ermitteln mit Fibonacci-Zahlen . Das sehen wir zum Beispiel
, Aber
. Es besteht jedoch folgende Abhängigkeit:

.

Dies gilt für N= 1, 2 und gilt auch für alle N. Fibonacci-Zahlen und Anzahl der Kombinationen werden nach der gleichen Formel berechnet, jedoch mit den Anfangswerten
,
Und
,
Sie unterscheiden sich.

Beispiel 8.2. Dieses Beispiel ist für Probleme der fehlerkorrigierenden Codierung von praktischer Bedeutung. Finden Sie die Anzahl aller Binärwörter dieser Länge N, nicht mehrere Nullen hintereinander enthalten. Bezeichnen wir diese Zahl mit . Offensichtlich,
, und Wörter der Länge 2, die unsere Einschränkung erfüllen, sind: 10, 01, 11, d. h.
. Lassen
- so ein Wort von N Figuren. Wenn das Symbol
, Das
kann beliebig sein (
)-wörtliches Wort, das nicht mehrere Nullen hintereinander enthält. Dies bedeutet, dass die Anzahl der Wörter, die auf eins enden, beträgt
.

Wenn das Symbol
, dann auf jeden Fall
, und der erste
Symbol
kann vorbehaltlich der berücksichtigten Einschränkungen willkürlich sein. Daher gibt es
Wortlänge N mit einer Null am Ende. Somit ist die Gesamtzahl der Wörter, die uns interessieren, gleich

.

Bedenkt, dass
Und
, die resultierende Zahlenfolge sind die Fibonacci-Zahlen.

Beispiel 8.3. In Beispiel 7.6 haben wir festgestellt, dass die Anzahl der Binärwörter konstantes Gewicht hat T(und Länge k) gleich . Lassen Sie uns nun die Anzahl der Binärwörter mit konstantem Gewicht ermitteln T, nicht mehrere Nullen hintereinander enthalten.

So kann man denken. Lassen
die Anzahl der Nullen in den betreffenden Wörtern. Jedes Wort hat
Leerzeichen zwischen nächsten Nullen, die jeweils eine oder mehrere Einsen enthalten. Es wird angenommen dass
. Ansonsten gibt es kein einziges Wort ohne angrenzende Nullen.

Wenn wir aus jedem Intervall genau eine Einheit entfernen, erhalten wir ein Wort der Länge
enthaltend Nullen. Ein solches Wort kann auf die angegebene Weise von einigen (und nur einem) erhalten werden k-wörtliches Wort, das enthält Nullen, von denen keine zwei benachbart sind. Dies bedeutet, dass die erforderliche Anzahl mit der Anzahl aller Wörter der Länge übereinstimmt
, enthält genau Nullen, d.h. gleicht
.

Beispiel 8.4. Beweisen wir die Summe
gleich den Fibonacci-Zahlen für jede ganze Zahl . Symbol
steht für kleinste ganze Zahl größer oder gleich . Zum Beispiel, wenn
, Das
; und wenn
, Das
Decke("Decke"). Es gibt auch ein Symbol
, was bedeutet größte ganze Zahl kleiner oder gleich . Im Englischen heißt dieser Vorgang Boden ("Boden").

Wenn
, Das
. Wenn
, Das
. Wenn
, Das
.

Somit entspricht die Summe in den betrachteten Fällen tatsächlich den Fibonacci-Zahlen. Nun präsentieren wir den Beweis für den allgemeinen Fall. Da die Fibonacci-Zahlen mithilfe der Rekursionsgleichung (8.1) ermittelt werden können, muss die Gleichheit erfüllt sein:

.

Und es funktioniert tatsächlich:

Hier haben wir die zuvor erhaltene Formel (4.4) verwendet:
.

Summe der Fibonacci-Zahlen

Bestimmen wir die Summe des ersten N Fibonacci-Zahlen.

0+1+1+2+3+5 = 12,

0+1+1+2+3+5+8 = 20,

0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.

Es ist leicht zu erkennen, dass wir durch Addition von eins auf der rechten Seite jeder Gleichung wieder die Fibonacci-Zahl erhalten. Allgemeine Formel zur Bestimmung der Summe des ersten N Fibonacci-Zahlen haben die Form:

Beweisen wir dies mit der Methode der mathematischen Induktion. Dazu schreiben wir:

Dieser Betrag sollte gleich sein
.

Wenn wir die linke und rechte Seite der Gleichung um –1 reduzieren, erhalten wir Gleichung (6.1).

Formel für Fibonacci-Zahlen

Satz 8.1. Mit der Formel lassen sich Fibonacci-Zahlen berechnen

.

Nachweisen. Lassen Sie uns die Gültigkeit dieser Formel überprüfen N= 0, 1, und dann werden wir die Gültigkeit dieser Formel für einen beliebigen beweisen N durch Induktion. Berechnen wir das Verhältnis der beiden nächsten Fibonacci-Zahlen:

Wir sehen, dass das Verhältnis dieser Zahlen um 1,618 schwankt (wenn wir die ersten paar Werte ignorieren). Diese Eigenschaft der Fibonacci-Zahlen ähnelt den Bedingungen einer geometrischen Folge. Akzeptieren wir
, (
). Dann der Ausdruck

konvertiert zu

was nach Vereinfachungen so aussieht

.

Wir haben eine quadratische Gleichung erhalten, deren Wurzeln gleich sind:

Jetzt können wir schreiben:

(Wo C ist eine Konstante). Beide Mitglieder Und Geben Sie beispielsweise keine Fibonacci-Zahlen an
, während
. Allerdings der Unterschied
erfüllt die Wiederholungsgleichung:

Für N=0 dieser Unterschied ergibt , also:
. Wann jedoch N=1 haben wir
. Um zu bekommen
, Du musst akzeptieren:
.

Jetzt haben wir zwei Sequenzen: Und
, die mit den gleichen zwei Zahlen beginnen und die gleiche Wiederholungsformel erfüllen. Sie müssen gleich sein:
. Der Satz ist bewiesen.

Beim Erhöhen N Mitglied wird dabei sehr groß
und die Rolle des Mitglieds der Unterschied verringert sich. Daher im Großen und Ganzen N wir können ungefähr schreiben

.

Wir ignorieren 1/2 (da die Fibonacci-Zahlen ins Unendliche steigen als N zur Unendlichkeit).

Attitüde
angerufen Goldener Schnitt, es wird außerhalb der Mathematik verwendet (zum Beispiel in der Bildhauerei und Architektur). Der Goldene Schnitt ist das Verhältnis zwischen der Diagonale und der Seite regelmäßiges Fünfeck(Abb. 8.1).

Reis. 8.1. Regelmäßiges Fünfeck und seine Diagonalen

Zur Bezeichnung des Goldenen Schnitts ist es üblich, den Buchstaben zu verwenden
zu Ehren des berühmten athenischen Bildhauers Phidias.

Primzahlen

Alle natürlichen Zahlen, auch die großen, fallen in zwei Klassen. Die erste umfasst Zahlen, die genau zwei natürliche Teiler haben, einen und sich selbst, die zweite umfasst den gesamten Rest. Es werden erstklassige Nummern angerufen einfach, und der zweite - zusammengesetzt. Primzahlen innerhalb der ersten drei Zehner: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...

Die Eigenschaften von Primzahlen und ihre Beziehung zu allen natürlichen Zahlen wurden von Euklid (3. Jahrhundert v. Chr.) untersucht. Wenn Sie Primzahlen hintereinander aufschreiben, werden Sie feststellen, dass ihre relative Dichte abnimmt. Für die ersten zehn sind es 4, also 40 %, für hundert – 25, also 40 %. 25 %, Promille – 168, d.h. weniger als 17 %, pro Million – 78498, d. h. weniger als 8 % usw. Ihre Gesamtzahl ist jedoch unendlich.

Unter den Primzahlen gibt es Paare solcher Zahlen, deren Differenz gleich zwei ist (die sogenannten einfache Zwillinge), allerdings ist die Endlichkeit oder Unendlichkeit solcher Paare nicht bewiesen.

Euklid hielt es für offensichtlich, dass man durch die Multiplikation nur von Primzahlen alle natürlichen Zahlen erhalten kann und jede natürliche Zahl auf einzigartige Weise (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) als Produkt von Primzahlen dargestellt werden kann. Somit bilden Primzahlen eine multiplikative Basis der natürlichen Reihe.

Die Untersuchung der Verteilung von Primzahlen führte zur Entwicklung eines Algorithmus, der es ermöglicht, Tabellen mit Primzahlen zu erhalten. Ein solcher Algorithmus ist Sieb des Eratosthenes(3. Jahrhundert v. Chr.). Diese Methode besteht darin, die ganzen Zahlen einer bestimmten Folge zu eliminieren (z. B. durch Streichen).
, die durch mindestens eine der kleineren Primzahlen teilbar sind
.

Satz 8 . 2 . (Satz des Euklidischen). Die Anzahl der Primzahlen ist unendlich.

Nachweisen. Wir werden den Satz von Euklid über die Unendlichkeit der Anzahl der Primzahlen mit der von Leonhard Euler (1707–1783) vorgeschlagenen Methode beweisen. Euler betrachtete das Produkt über alle Primzahlen P:

bei
. Dieses Produkt konvergiert, und wenn es erweitert wird, stellt sich heraus, dass es aufgrund der Eindeutigkeit der Zerlegung natürlicher Zahlen in Primfaktoren gleich der Summe der Reihe ist , woraus Eulers Identität folgt:

.

Seit wann
Divergiert die rechte Reihe (harmonische Reihe), dann folgt der Satz von Euklid aus Eulers Identität.

Der russische Mathematiker P.L. Tschebyschew (1821–1894) leitete eine Formel ab, die die Grenzen festlegt, innerhalb derer die Zahl der Primzahlen liegt
, höchstens X:

,

Wo
,
.