Μια συνάρτηση της μορφής όπου καλείται τετραγωνική λειτουργία.

Γράφημα τετραγωνικής συνάρτησης – παραβολή.

Ας δούμε τις περιπτώσεις:

Ι ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ, ΚΛΑΣΙΚΗ ΠΑΡΑΒΟΛΑ

Αυτό είναι , ,

Για την κατασκευή, συμπληρώστε τον πίνακα αντικαθιστώντας τις τιμές x στον τύπο:

Σημειώστε τους πόντους (0;0). (1;1); (-1;1) κ.λπ. στο επίπεδο συντεταγμένων (όσο μικρότερο είναι το βήμα που κάνουμε οι τιμές x (σε αυτή την περίπτωση, βήμα 1) και όσο περισσότερες τιμές x πάρουμε, τόσο πιο ομαλή θα είναι η καμπύλη), παίρνουμε μια παραβολή:

Είναι εύκολο να δούμε ότι αν πάρουμε την περίπτωση , , , δηλαδή, τότε παίρνουμε μια παραβολή που είναι συμμετρική ως προς τον άξονα (ω). Είναι εύκολο να το επαληθεύσετε συμπληρώνοντας έναν παρόμοιο πίνακα:

ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ II, το "a" ΔΙΑΦΕΡΕΙ ΑΠΟ ΤΗ ΜΟΝΑΔΑ

Τι θα συμβεί αν πάρουμε , , ; Πώς θα αλλάξει η συμπεριφορά της παραβολής; Με title="Απόδοση από QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Στην πρώτη εικόνα (βλ. παραπάνω) φαίνεται καθαρά ότι τα σημεία από τον πίνακα για την παραβολή (1;1), (-1;1) μετατράπηκαν σε σημεία (1;4), (1;-4), δηλαδή με τις ίδιες τιμές η τεταγμένη κάθε σημείου πολλαπλασιάζεται επί 4. Αυτό θα συμβεί σε όλα τα βασικά σημεία του αρχικού πίνακα. Ομοίως συλλογιζόμαστε στις περιπτώσεις των εικόνων 2 και 3.

Και όταν η παραβολή «γίνεται ευρύτερη» από την παραβολή:

Ας συνοψίσουμε:

1)Το πρόσημο του συντελεστή καθορίζει την κατεύθυνση των κλαδιών. Με title="Απόδοση από QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Απόλυτη τιμήο συντελεστής (modulus) είναι υπεύθυνος για την «διαστολή» και τη «συμπίεση» της παραβολής. Όσο μεγαλύτερη, τόσο στενότερη είναι η παραβολή· όσο μικρότερη είναι η |a|, τόσο μεγαλύτερη είναι η παραβολή.

III ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ, ΕΜΦΑΝΙΖΕΤΑΙ «Γ».

Τώρα ας εισαγάγουμε στο παιχνίδι (δηλαδή, εξετάστε την περίπτωση πότε), θα εξετάσουμε τις παραβολές της μορφής . Δεν είναι δύσκολο να μαντέψετε (μπορείτε πάντα να ανατρέξετε στον πίνακα) ότι η παραβολή θα μετακινηθεί προς τα πάνω ή προς τα κάτω κατά μήκος του άξονα, ανάλογα με το σημάδι:

IV ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ, «b» ΕΜΦΑΝΙΖΕΤΑΙ

Πότε θα «απομακρυνθεί» η παραβολή από τον άξονα και τελικά θα «βαδίσει» σε όλο το επίπεδο συντεταγμένων; Πότε θα πάψει να είναι ίσο;

Εδώ για να κατασκευάσουμε μια παραβολή χρειαζόμαστε τύπος για τον υπολογισμό της κορυφής: , .

Σε αυτό το σημείο λοιπόν (όπως και στο σημείο (0;0) του νέου συστήματος συντεταγμένων) θα φτιάξουμε μια παραβολή, την οποία μπορούμε ήδη να κάνουμε. Εάν ασχολούμαστε με την περίπτωση, τότε από την κορυφή βάζουμε ένα τμήμα μονάδας προς τα δεξιά, ένα προς τα πάνω, - το σημείο που προκύπτει είναι δικό μας (ομοίως, ένα βήμα προς τα αριστερά, ένα βήμα προς τα πάνω είναι το σημείο μας). αν έχουμε να κάνουμε, για παράδειγμα, τότε από την κορυφή βάζουμε ένα τμήμα μονάδας προς τα δεξιά, δύο - προς τα πάνω κ.λπ.

Για παράδειγμα, η κορυφή μιας παραβολής:

Τώρα το κύριο πράγμα που πρέπει να καταλάβουμε είναι ότι σε αυτή την κορυφή θα κατασκευάσουμε μια παραβολή σύμφωνα με το μοτίβο της παραβολής, γιατί στην περίπτωσή μας.

Κατά την κατασκευή μιας παραβολής αφού βρεθούν οι συντεταγμένες της κορυφής πολύΕίναι βολικό να λάβετε υπόψη τα ακόλουθα σημεία:

1) παραβολή σίγουρα θα περάσει από το σημείο . Πράγματι, αντικαθιστώντας x=0 στον τύπο, παίρνουμε ότι . Δηλαδή η τεταγμένη του σημείου τομής της παραβολής με τον άξονα (oy) είναι . Στο παράδειγμά μας (παραπάνω), η παραβολή τέμνει την τεταγμένη στο σημείο , αφού .

2) ΑΞΟΝΑΣ συμμετριας παραβολές είναι μια ευθεία γραμμή, οπότε όλα τα σημεία της παραβολής θα είναι συμμετρικά ως προς αυτήν. Στο παράδειγμά μας, παίρνουμε αμέσως το σημείο (0; -2) και το χτίζουμε συμμετρικά σε σχέση με τον άξονα συμμετρίας της παραβολής, παίρνουμε το σημείο (4; -2) από το οποίο θα περάσει η παραβολή.

3) Εξισώνοντας με , βρίσκουμε τα σημεία τομής της παραβολής με τον άξονα (ω). Για να γίνει αυτό, λύνουμε την εξίσωση. Ανάλογα με το διακριτικό, θα λάβουμε ένα (, ), δύο ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Στο προηγούμενο παράδειγμα, η ρίζα του διακριτικού δεν είναι ακέραιος· όταν κατασκευάζουμε, δεν έχει πολύ νόημα να βρούμε τις ρίζες, αλλά βλέπουμε καθαρά ότι θα έχουμε δύο σημεία τομής με τον άξονα (oh) (από τον τίτλο="Απόδοση από QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Ας το λύσουμε λοιπόν

Αλγόριθμος κατασκευής παραβολής αν δίνεται στη μορφή

1) προσδιορίστε την κατεύθυνση των κλαδιών (a>0 – επάνω, α<0 – вниз)

2) βρίσκουμε τις συντεταγμένες της κορυφής της παραβολής χρησιμοποιώντας τον τύπο , .

3) βρίσκουμε το σημείο τομής της παραβολής με τον άξονα (oy) χρησιμοποιώντας τον ελεύθερο όρο, κατασκευάζουμε ένα σημείο συμμετρικό σε αυτό το σημείο ως προς τον άξονα συμμετρίας της παραβολής (θα πρέπει να σημειωθεί ότι συμβαίνει να είναι ασύμφορο να επισημάνουμε αυτό το σημείο, για παράδειγμα, επειδή η τιμή είναι μεγάλη... παραλείπουμε αυτό το σημείο...)

4) Στο σημείο που βρέθηκε - την κορυφή της παραβολής (όπως στο σημείο (0;0) του νέου συστήματος συντεταγμένων) κατασκευάζουμε μια παραβολή. If title="Απόδοση από QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Βρίσκουμε τα σημεία τομής της παραβολής με τον άξονα (oy) (αν δεν έχουν ακόμη «ανέβει στην επιφάνεια») λύνοντας την εξίσωση

Παράδειγμα 1

Παράδειγμα 2

Σημείωση 1.Εάν η παραβολή αρχικά μας δοθεί με τη μορφή , όπου υπάρχουν κάποιοι αριθμοί (για παράδειγμα, ), τότε θα είναι ακόμα πιο εύκολο να την κατασκευάσουμε, γιατί μας έχουν ήδη δοθεί οι συντεταγμένες της κορυφής. Γιατί;

Ας πάρουμε ένα τετραγωνικό τριώνυμο και ας απομονώσουμε το πλήρες τετράγωνο σε αυτό: Κοίτα, καταλάβαμε ότι , . Εσείς και εγώ προηγουμένως ονομάζαμε την κορυφή μιας παραβολής, δηλαδή τώρα,.

Για παράδειγμα, . Σημειώνουμε την κορυφή της παραβολής στο επίπεδο, καταλαβαίνουμε ότι τα κλαδιά κατευθύνονται προς τα κάτω, η παραβολή διαστέλλεται (σε ​​σχέση με ). Δηλαδή εκτελούμε τα σημεία 1. 3; 4; 5 από τον αλγόριθμο κατασκευής παραβολής (βλ. παραπάνω).

Σημείωση 2.Αν η παραβολή δίνεται με παρόμοια μορφή (δηλαδή παρουσιάζεται ως γινόμενο δύο γραμμικών παραγόντων), τότε βλέπουμε αμέσως τα σημεία τομής της παραβολής με τον άξονα (βόδι). Σε αυτήν την περίπτωση – (0;0) και (4;0). Για τα υπόλοιπα ενεργούμε σύμφωνα με τον αλγόριθμο ανοίγοντας τις αγκύλες.

Αυτό το διδακτικό υλικό είναι μόνο για αναφορά και σχετίζεται με ένα ευρύ φάσμα θεμάτων. Το άρθρο παρέχει μια επισκόπηση των γραφημάτων των βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων και εξετάζει το πιο σημαντικό ζήτημα - πώς να φτιάξετε ένα γράφημα σωστά και ΓΡΗΓΟΡΑ. Κατά τη διάρκεια της μελέτης ανώτερων μαθηματικών χωρίς γνώση των γραφημάτων των βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων, θα είναι δύσκολο, επομένως είναι πολύ σημαντικό να θυμάστε πώς μοιάζουν τα γραφήματα μιας παραβολής, υπερβολής, ημιτόνου, συνημίτονο κ.λπ., και να θυμάστε μερικά των σημασιών των συναρτήσεων. Θα μιλήσουμε επίσης για ορισμένες ιδιότητες των κύριων συναρτήσεων.

Δεν διεκδικώ την πληρότητα και την επιστημονική πληρότητα των υλικών· η έμφαση θα δοθεί, πρώτα απ 'όλα, στην πράξη - εκείνα τα πράγματα με τα οποία συναντά κανείς κυριολεκτικά σε κάθε βήμα, σε οποιοδήποτε θέμα ανώτερων μαθηματικών. Διαγράμματα για ανδρείκελα; Θα μπορούσες να το πεις και αυτό.

Λόγω πολλών αιτημάτων αναγνωστών πίνακα περιεχομένων με δυνατότητα κλικ:

Επιπλέον, υπάρχει μια εξαιρετικά σύντομη περίληψη για το θέμα
– κατακτήστε 16 τύπους γραφημάτων μελετώντας ΕΞΙ σελίδες!

Σοβαρά, έξι, ακόμα κι εγώ εξεπλάγην. Αυτή η σύνοψη περιέχει βελτιωμένα γραφικά και είναι διαθέσιμη με ονομαστική χρέωση· μπορείτε να δείτε μια δοκιμαστική έκδοση. Είναι βολικό να εκτυπώσετε το αρχείο έτσι ώστε τα γραφήματα να είναι πάντα διαθέσιμα. Ευχαριστούμε για την υποστήριξη του έργου!

Και ας ξεκινήσουμε αμέσως:

Πώς να κατασκευάσετε σωστά τους άξονες συντεταγμένων;

Στην πράξη, τα τεστ ολοκληρώνονται σχεδόν πάντα από τους μαθητές σε ξεχωριστά τετράδια, γραμμωμένα σε τετράγωνο. Γιατί χρειάζεστε καρό σημάδια; Μετά από όλα, η εργασία, κατ 'αρχήν, μπορεί να γίνει σε φύλλα Α4. Και το κλουβί είναι απαραίτητο μόνο για υψηλής ποιότητας και ακριβή σχεδιασμό σχεδίων.

Οποιοδήποτε σχέδιο ενός γραφήματος συνάρτησης ξεκινά με άξονες συντεταγμένων.

Τα σχέδια μπορεί να είναι δισδιάστατα ή τρισδιάστατα.

Ας εξετάσουμε πρώτα τη δισδιάστατη περίπτωση Καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων:

1) Σχεδιάστε άξονες συντεταγμένων. Ο άξονας ονομάζεται άξονας x , και ο άξονας είναι άξονας y . Προσπαθούμε πάντα να τα σχεδιάζουμε τακτοποιημένο και όχι στραβό. Τα βέλη δεν πρέπει επίσης να μοιάζουν με τα γένια του Papa Carlo.

2) Υπογράφουμε τους άξονες με μεγάλα γράμματα «Χ» και «Υ». Μην ξεχάσετε να επισημάνετε τα τσεκούρια.

3) Ρυθμίστε την κλίμακα κατά μήκος των αξόνων: σχεδιάστε ένα μηδέν και δύο ένα. Όταν κάνετε ένα σχέδιο, η πιο βολική και συχνά χρησιμοποιούμενη κλίμακα είναι: 1 μονάδα = 2 κελιά (σχέδιο στα αριστερά) - αν είναι δυνατόν, τηρήστε την. Ωστόσο, κατά καιρούς συμβαίνει ότι το σχέδιο δεν ταιριάζει στο φύλλο του σημειωματάριου - τότε μειώνουμε την κλίμακα: 1 μονάδα = 1 κελί (σχέδιο στα δεξιά). Είναι σπάνιο, αλλά συμβαίνει ότι η κλίμακα του σχεδίου πρέπει να μειωθεί (ή να αυξηθεί) ακόμη περισσότερο

ΔΕΝ ΧΡΕΙΑΖΕΤΑΙ για «πολυβόλο» …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ….Γιατί το επίπεδο συντεταγμένων δεν είναι μνημείο του Ντεκάρτ και ο μαθητής δεν είναι περιστέρι. Βάζουμε μηδένΚαι δύο μονάδες κατά μήκος των αξόνων. Ωρες ωρες αντίμονάδες είναι βολικό να "μαρκάρετε" άλλες τιμές, για παράδειγμα, "δύο" στον άξονα της τετμημένης και "τρεις" στον άξονα τεταγμένων - και αυτό το σύστημα (0, 2 και 3) θα ορίζει επίσης μοναδικά το πλέγμα συντεταγμένων.

Είναι καλύτερο να εκτιμήσετε τις εκτιμώμενες διαστάσεις του σχεδίου ΠΡΙΝ την κατασκευή του σχεδίου. Έτσι, για παράδειγμα, εάν η εργασία απαιτεί τη σχεδίαση ενός τριγώνου με κορυφές , , , τότε είναι απολύτως σαφές ότι η δημοφιλής κλίμακα 1 μονάδα = 2 κελιά δεν θα λειτουργήσει. Γιατί; Ας δούμε το σημείο - εδώ θα πρέπει να μετρήσετε δεκαπέντε εκατοστά κάτω και, προφανώς, το σχέδιο δεν θα χωρέσει (ή μόλις χωράει) σε ένα φύλλο σημειωματάριου. Επομένως, επιλέγουμε αμέσως μια μικρότερη κλίμακα: 1 μονάδα = 1 κελί.

Παρεμπιπτόντως, περίπου εκατοστά και κελιά σημειωματάριου. Είναι αλήθεια ότι 30 κελιά σημειωματάριων περιέχουν 15 εκατοστά; Για διασκέδαση, μετρήστε 15 εκατοστά στο σημειωματάριό σας με ένα χάρακα. Στην ΕΣΣΔ, αυτό μπορεί να ίσχυε... Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι αν μετρήσετε αυτά τα ίδια εκατοστά οριζόντια και κάθετα, τα αποτελέσματα (στα κελιά) θα είναι διαφορετικά! Αυστηρά μιλώντας, τα μοντέρνα σημειωματάρια δεν είναι καρό, αλλά ορθογώνια. Αυτό μπορεί να φαίνεται ανοησία, αλλά το να σχεδιάζετε, για παράδειγμα, έναν κύκλο με πυξίδα σε τέτοιες καταστάσεις είναι πολύ άβολο. Για να είμαι ειλικρινής, σε τέτοιες στιγμές αρχίζεις να σκέφτεσαι την ορθότητα του συντρόφου Στάλιν, ο οποίος στάλθηκε σε στρατόπεδα για χάκερ στην παραγωγή, για να μην αναφέρουμε την εγχώρια αυτοκινητοβιομηχανία, την πτώση αεροπλάνων ή την έκρηξη σταθμών παραγωγής ενέργειας.

Μιλώντας για ποιότητα, ή μια σύντομη σύσταση για χαρτικά. Σήμερα, τα περισσότερα από τα σημειωματάρια που πωλούνται είναι, τουλάχιστον, χάλια. Για τον λόγο ότι βρέχονται και όχι μόνο από στυλό gel, αλλά και από στυλό! Εξοικονομούν χρήματα στα χαρτιά. Για την ολοκλήρωση των δοκιμών, συνιστώ να χρησιμοποιήσετε σημειωματάρια από το Arkhangelsk Pulp and Paper Mill (18 φύλλα, τετράγωνο) ή το "Pyaterochka", αν και είναι πιο ακριβό. Συνιστάται να επιλέξετε ένα στυλό τζελ· ακόμη και το φθηνότερο κινέζικο ξαναγέμισμα gel είναι πολύ καλύτερο από ένα στυλό, το οποίο είτε μουντζουρώνει είτε σκίζει το χαρτί. Το μόνο «ανταγωνιστικό» στυλό που θυμάμαι είναι το Erich Krause. Γράφει καθαρά, όμορφα και με συνέπεια – είτε με γεμάτο πυρήνα είτε με σχεδόν άδειο.

Επιπροσθέτως: Το όραμα ενός ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων μέσα από τα μάτια της αναλυτικής γεωμετρίας καλύπτεται στο άρθρο Γραμμική (μη) εξάρτηση διανυσμάτων. Βάση διανυσμάτων, λεπτομερείς πληροφορίες σχετικά με τα τέταρτα συντεταγμένων μπορείτε να βρείτε στη δεύτερη παράγραφο του μαθήματος Γραμμικές ανισότητες.

τρισδιάστατη θήκη

Είναι σχεδόν το ίδιο εδώ.

1) Σχεδιάστε άξονες συντεταγμένων. Πρότυπο: άξονας εφαρμογή – κατευθυνόμενος προς τα πάνω, άξονας – κατευθυνόμενος προς τα δεξιά, άξονας – κατευθυνόμενος προς τα κάτω προς τα αριστερά αυστηράσε γωνία 45 μοιρών.

2) Σημειώστε τα τσεκούρια.

3) Ρυθμίστε την κλίμακα κατά μήκος των αξόνων. Η κλίμακα κατά μήκος του άξονα είναι δύο φορές μικρότερη από την κλίμακα κατά μήκος των άλλων αξόνων. Σημειώστε επίσης ότι στο σωστό σχέδιο χρησιμοποίησα μια μη τυπική "εγκοπή" κατά μήκος του άξονα (Αυτή η δυνατότητα έχει ήδη αναφερθεί παραπάνω). Από την άποψή μου, αυτό είναι πιο ακριβές, πιο γρήγορο και πιο ευχάριστο αισθητικά - δεν χρειάζεται να αναζητήσετε τη μέση του κυττάρου κάτω από ένα μικροσκόπιο και να "γλύψετε" μια μονάδα κοντά στην αρχή των συντεταγμένων.

Όταν κάνετε ένα τρισδιάστατο σχέδιο, πάλι, δώστε προτεραιότητα στην κλίμακα
1 μονάδα = 2 κελιά (σχέδιο στα αριστερά).

Σε τι χρησιμεύουν όλοι αυτοί οι κανόνες; Οι κανόνες είναι φτιαγμένοι για να παραβιάζονται. Αυτό θα κάνω τώρα. Το γεγονός είναι ότι τα επόμενα σχέδια του άρθρου θα γίνουν από εμένα στο Excel και οι άξονες συντεταγμένων θα φαίνονται λανθασμένοι από την άποψη του σωστού σχεδιασμού. Θα μπορούσα να σχεδιάσω όλα τα γραφήματα με το χέρι, αλλά είναι πραγματικά τρομακτικό να τα σχεδιάζω, καθώς το Excel είναι απρόθυμο να τα σχεδιάσει με μεγαλύτερη ακρίβεια.

Γραφήματα και βασικές ιδιότητες στοιχειωδών συναρτήσεων

Μια γραμμική συνάρτηση δίνεται από την εξίσωση. Η γραφική παράσταση των γραμμικών συναρτήσεων είναι απευθείας. Για να κατασκευάσουμε μια ευθεία γραμμή, αρκεί να γνωρίζουμε δύο σημεία.

Παράδειγμα 1

Κατασκευάστε ένα γράφημα της συνάρτησης. Ας βρούμε δύο σημεία. Συμφέρει να επιλέξετε το μηδέν ως ένα από τα σημεία.

Αν τότε

Ας πάρουμε ένα άλλο σημείο, για παράδειγμα, 1.

Αν τότε

Κατά την ολοκλήρωση των εργασιών, οι συντεταγμένες των σημείων συνήθως συνοψίζονται σε έναν πίνακα:

Και οι ίδιες οι τιμές υπολογίζονται προφορικά ή σε προσχέδιο, αριθμομηχανή.

Βρέθηκαν δύο σημεία, ας κάνουμε ένα σχέδιο:

Όταν ετοιμάζουμε ένα σχέδιο, υπογράφουμε πάντα τα γραφικά.

Θα ήταν χρήσιμο να υπενθυμίσουμε ειδικές περιπτώσεις μιας γραμμικής συνάρτησης:

Προσέξτε πώς έβαλα τις υπογραφές, οι υπογραφές δεν πρέπει να επιτρέπουν αποκλίσεις κατά τη μελέτη του σχεδίου. Σε αυτήν την περίπτωση, ήταν εξαιρετικά ανεπιθύμητο να βάλετε μια υπογραφή δίπλα στο σημείο τομής των γραμμών ή κάτω δεξιά μεταξύ των γραφημάτων.

1) Μια γραμμική συνάρτηση της μορφής () ονομάζεται ευθεία αναλογικότητα. Για παράδειγμα, . Ένα γράφημα ευθείας αναλογικότητας διέρχεται πάντα από την αρχή. Έτσι, η κατασκευή μιας ευθείας γραμμής απλοποιείται - αρκεί να βρείτε μόνο ένα σημείο.

2) Μια εξίσωση της μορφής καθορίζει μια ευθεία παράλληλη προς τον άξονα, συγκεκριμένα, ο ίδιος ο άξονας δίνεται από την εξίσωση. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης σχεδιάζεται αμέσως, χωρίς να βρεθούν σημεία. Δηλαδή, η καταχώρηση πρέπει να γίνει κατανοητή ως εξής: «το y είναι πάντα ίσο με –4, για οποιαδήποτε τιμή του x».

3) Μια εξίσωση της μορφής καθορίζει μια ευθεία παράλληλη προς τον άξονα, συγκεκριμένα, ο ίδιος ο άξονας δίνεται από την εξίσωση. Το γράφημα της συνάρτησης απεικονίζεται επίσης αμέσως. Η καταχώριση πρέπει να γίνει κατανοητή ως εξής: «το x είναι πάντα, για οποιαδήποτε τιμή του y, ίση με 1».

Κάποιοι θα ρωτήσουν, γιατί να θυμάστε την 6η δημοτικού;! Έτσι είναι, ίσως να είναι έτσι, αλλά με τα χρόνια της εξάσκησης συνάντησα μια καλή ντουζίνα μαθητές που είχαν μπερδευτεί με το έργο της κατασκευής ενός γραφήματος όπως ή.

Η κατασκευή μιας ευθείας γραμμής είναι η πιο κοινή ενέργεια κατά τη δημιουργία σχεδίων.

Η ευθεία γραμμή συζητείται αναλυτικά στο μάθημα της αναλυτικής γεωμετρίας και οι ενδιαφερόμενοι μπορούν να ανατρέξουν στο άρθρο Εξίσωση ευθείας γραμμής σε επίπεδο.

Γράφημα τετραγωνικής, κυβική συνάρτηση, γράφημα πολυωνύμου

Παραβολή. Γράφημα τετραγωνικής συνάρτησης () αντιπροσωπεύει μια παραβολή. Σκεφτείτε την περίφημη περίπτωση:

Ας θυμηθούμε μερικές ιδιότητες της συνάρτησης.

Άρα, η λύση της εξίσωσής μας: – σε αυτό το σημείο βρίσκεται η κορυφή της παραβολής. Γιατί συμβαίνει αυτό, μπορούμε να βρούμε στο θεωρητικό άρθρο για την παράγωγο και το μάθημα για τα άκρα της συνάρτησης. Στο μεταξύ, ας υπολογίσουμε την αντίστοιχη τιμή "Y":

Έτσι, η κορυφή βρίσκεται στο σημείο

Τώρα βρίσκουμε άλλα σημεία, ενώ χρησιμοποιούμε ευθαρσώς τη συμμετρία της παραβολής. Πρέπει να σημειωθεί ότι η συνάρτηση – δεν είναι καν, αλλά, παρόλα αυτά, κανείς δεν ακύρωσε τη συμμετρία της παραβολής.

Με ποια σειρά θα βρεθούν οι υπόλοιποι βαθμοί, νομίζω ότι θα φανεί από τον τελικό πίνακα:

Αυτός ο αλγόριθμος κατασκευής μπορεί μεταφορικά να ονομαστεί "σαΐτα" ή η αρχή "μπρος-πίσω" με την Anfisa Chekhova.

Ας κάνουμε το σχέδιο:

Από τα γραφήματα που εξετάστηκαν, ένα άλλο χρήσιμο χαρακτηριστικό έρχεται στο μυαλό:

Για μια τετραγωνική συνάρτηση () ισχύει το εξής:

Αν , τότε οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω.

Αν , τότε οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα κάτω.

Σε βάθος γνώση για την καμπύλη μπορείτε να αποκτήσετε στο μάθημα Υπερβολή και παραβολή.

Μια κυβική παραβολή δίνεται από τη συνάρτηση. Εδώ είναι ένα οικείο σχέδιο από το σχολείο:

Ας απαριθμήσουμε τις κύριες ιδιότητες της συνάρτησης

Γράφημα μιας συνάρτησης

Αντιπροσωπεύει έναν από τους κλάδους μιας παραβολής. Ας κάνουμε το σχέδιο:

Βασικές ιδιότητες της συνάρτησης:

Σε αυτή την περίπτωση, ο άξονας είναι κάθετη ασύμπτωτη για τη γραφική παράσταση μιας υπερβολής στο .

Θα ήταν ΧΑΔΡΟ λάθος εάν, κατά την κατάρτιση ενός σχεδίου, αφήσετε απρόσεκτα το γράφημα να τέμνεται με μια ασύμπτωτη.

Επίσης τα μονόπλευρα όρια μας λένε ότι η υπερβολή δεν περιορίζεται από πάνωΚαι δεν περιορίζεται από κάτω.

Ας εξετάσουμε τη συνάρτηση στο άπειρο: , δηλαδή, αν αρχίσουμε να κινούμαστε κατά μήκος του άξονα προς τα αριστερά (ή δεξιά) προς το άπειρο, τότε τα «παιχνίδια» θα είναι σε ένα ομαλό βήμα απείρως κοντάπλησιάζει το μηδέν και, κατά συνέπεια, τους κλάδους της υπερβολής απείρως κοντάπλησιάζει τον άξονα.

Άρα ο άξονας είναι οριζόντια ασύμπτωτη για τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, αν το "x" τείνει στο συν ή πλην άπειρο.

Η συνάρτηση είναι Περιττός, και, επομένως, η υπερβολή είναι συμμετρική ως προς την προέλευση. Αυτό το γεγονός είναι προφανές από το σχέδιο, επιπλέον, επαληθεύεται εύκολα αναλυτικά: .

Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης της μορφής () αναπαριστά δύο κλάδους μιας υπερβολής.

Αν , τότε η υπερβολή βρίσκεται στο πρώτο και το τρίτο τέταρτο συντεταγμένων(βλ. εικόνα παραπάνω).

Αν , τότε η υπερβολή βρίσκεται στο δεύτερο και τέταρτο τέταρτο συντεταγμένων.

Το υποδεικνυόμενο μοτίβο της παραμονής της υπερβολής είναι εύκολο να αναλυθεί από την άποψη των γεωμετρικών μετασχηματισμών των γραφημάτων.

Παράδειγμα 3

Κατασκευάστε τον δεξιό κλάδο της υπερβολής

Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο κατασκευής κατά σημείο και είναι πλεονεκτικό να επιλέγουμε τις τιμές έτσι ώστε να διαιρούνται με ένα σύνολο:

Ας κάνουμε το σχέδιο:

Δεν θα είναι δύσκολο να κατασκευάσουμε τον αριστερό κλάδο της υπερβολής· εδώ θα βοηθήσει η παραδοξότητα της συνάρτησης. Χοντρικά στον πίνακα σημειακής κατασκευής προσθέτουμε νοερά ένα μείον σε κάθε αριθμό, βάζουμε τους αντίστοιχους πόντους και σχεδιάζουμε τον δεύτερο κλάδο.

Λεπτομερείς γεωμετρικές πληροφορίες σχετικά με τη γραμμή που εξετάζεται μπορείτε να βρείτε στο άρθρο Υπερβολή και παραβολή.

Γράφημα μιας εκθετικής συνάρτησης

Σε αυτή την ενότητα, θα εξετάσω αμέσως την εκθετική συνάρτηση, αφού σε προβλήματα ανώτερων μαθηματικών στο 95% των περιπτώσεων εμφανίζεται η εκθετική.

Να σας υπενθυμίσω ότι αυτός είναι ένας παράλογος αριθμός: , αυτό θα απαιτηθεί κατά την κατασκευή ενός γραφήματος, το οποίο, στην πραγματικότητα, θα κατασκευάσω χωρίς τελετή. Μάλλον αρκούν τρία σημεία:

Ας αφήσουμε μόνο το γράφημα της συνάρτησης προς το παρόν, περισσότερα για αυτό αργότερα.

Βασικές ιδιότητες της συνάρτησης:

Τα γραφήματα συναρτήσεων, κ.λπ., φαίνονται ουσιαστικά ίδια.

Πρέπει να πω ότι η δεύτερη περίπτωση εμφανίζεται λιγότερο συχνά στην πράξη, αλλά συμβαίνει, γι' αυτό θεώρησα απαραίτητο να το συμπεριλάβω σε αυτό το άρθρο.

Γράφημα λογαριθμικής συνάρτησης

Θεωρήστε μια συνάρτηση με φυσικό λογάριθμο.
Ας κάνουμε ένα σχέδιο σημείο προς σημείο:

Εάν έχετε ξεχάσει τι είναι ο λογάριθμος, ανατρέξτε στα σχολικά σας εγχειρίδια.

Βασικές ιδιότητες της συνάρτησης:

Τομέα:

Εύρος τιμών: .

Η λειτουργία δεν περιορίζεται από πάνω: , αν και αργά, αλλά ο κλάδος του λογαρίθμου ανεβαίνει στο άπειρο.
Ας εξετάσουμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης κοντά στο μηδέν στα δεξιά: . Άρα ο άξονας είναι κάθετη ασύμπτωτη για τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης καθώς το "x" τείνει προς το μηδέν από τα δεξιά.

Είναι επιτακτική ανάγκη να γνωρίζουμε και να θυμόμαστε την τυπική τιμή του λογαρίθμου: .

Κατ 'αρχήν, η γραφική παράσταση του λογάριθμου προς τη βάση φαίνεται ίδια: , , (δεκαδικός λογάριθμος στη βάση 10) κ.λπ. Επιπλέον, όσο μεγαλύτερη είναι η βάση, τόσο πιο επίπεδο θα είναι το γράφημα.

Δεν θα εξετάσουμε την περίπτωση· δεν θυμάμαι την τελευταία φορά που έφτιαξα ένα γράφημα με τέτοια βάση. Και ο λογάριθμος φαίνεται να είναι ένας πολύ σπάνιος επισκέπτης σε προβλήματα ανώτερων μαθηματικών.

Στο τέλος αυτής της παραγράφου θα πω ένα ακόμη γεγονός: Εκθετική συνάρτηση και λογαριθμική συνάρτηση– πρόκειται για δύο αμοιβαία αντίστροφες συναρτήσεις. Αν κοιτάξετε προσεκτικά το γράφημα του λογάριθμου, μπορείτε να δείτε ότι αυτός είναι ο ίδιος εκθέτης, απλώς βρίσκεται λίγο διαφορετικά.

Γραφήματα τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Από πού αρχίζει το τριγωνομετρικό μαρτύριο στο σχολείο; Σωστά. Από ημίτονο

Ας σχεδιάσουμε τη συνάρτηση

Αυτή η γραμμή ονομάζεται ημιτονοειδής.

Να σας υπενθυμίσω ότι το «πι» είναι ένας παράλογος αριθμός: , και στην τριγωνομετρία κάνει τα μάτια σας να θαμπώνουν.

Βασικές ιδιότητες της συνάρτησης:

Αυτή η λειτουργία είναι περιοδικόςμε περίοδο . Τι σημαίνει? Ας δούμε το τμήμα. Αριστερά και δεξιά του, το ίδιο ακριβώς κομμάτι του γραφήματος επαναλαμβάνεται ατελείωτα.

Τομέα: , δηλαδή, για οποιαδήποτε τιμή του «x» υπάρχει ημιτονική τιμή.

Εύρος τιμών: . Η συνάρτηση είναι περιορισμένος: , δηλαδή, όλα τα «παιχνίδια» βρίσκονται αυστηρά στο τμήμα .
Αυτό δεν συμβαίνει: ή, πιο συγκεκριμένα, συμβαίνει, αλλά αυτές οι εξισώσεις δεν έχουν λύση.

Πώς να φτιάξετε μια παραβολή; Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για τη γραφική παράσταση μιας τετραγωνικής συνάρτησης. Κάθε ένα από αυτά έχει τα υπέρ και τα κατά του. Ας εξετάσουμε δύο τρόπους.

Ας ξεκινήσουμε σχεδιάζοντας μια τετραγωνική συνάρτηση της μορφής y=x²+bx+c και y= -x²+bx+c.

Παράδειγμα.

Να σχηματίσετε γραφική παράσταση τη συνάρτηση y=x²+2x-3.

Λύση:

Το y=x²+2x-3 είναι μια τετραγωνική συνάρτηση. Το γράφημα είναι μια παραβολή με διακλαδώσεις προς τα πάνω. Συντεταγμένες κορυφής παραβολής

Από την κορυφή (-1;-4) κατασκευάζουμε μια γραφική παράσταση της παραβολής y=x² (από την αρχή των συντεταγμένων. Αντί για (0;0) - κορυφή (-1;-4). Από (-1; -4) πηγαίνουμε προς τα δεξιά κατά 1 μονάδα και πάνω κατά 1 μονάδα, μετά αριστερά κατά 1 και πάνω κατά 1, περαιτέρω: 2 - δεξιά, 4 - επάνω, 2 - αριστερά, 4 - επάνω, 3 - δεξιά, 9 - επάνω, 3 - αριστερά, 9 - πάνω Αν αυτοί οι 7 πόντοι δεν είναι αρκετοί, τότε 4 προς τα δεξιά, 16 προς τα πάνω κ.λπ.).

Η γραφική παράσταση της τετραγωνικής συνάρτησης y= -x²+bx+c είναι μια παραβολή, οι κλάδοι της οποίας είναι στραμμένοι προς τα κάτω. Για να κατασκευάσουμε μια γραφική παράσταση, αναζητούμε τις συντεταγμένες της κορυφής και από αυτήν κατασκευάζουμε μια παραβολή y= -x².

Παράδειγμα.

Γράφημα τη συνάρτηση y= -x²+2x+8.

Λύση:

Το y= -x²+2x+8 είναι μια τετραγωνική συνάρτηση. Το γράφημα είναι μια παραβολή με κλάδους προς τα κάτω. Συντεταγμένες κορυφής παραβολής

Από την κορυφή χτίζουμε μια παραβολή y= -x² (1 - προς τα δεξιά, 1- κάτω; 1 - αριστερά, 1 - κάτω; 2 - δεξιά, 4 - κάτω; 2 - αριστερά, 4 - κάτω, κ.λπ.):

Αυτή η μέθοδος σας επιτρέπει να κατασκευάσετε μια παραβολή γρήγορα και δεν προκαλεί δυσκολίες εάν ξέρετε πώς να γράφετε τις συναρτήσεις y=x² και y= -x². Μειονέκτημα: εάν οι συντεταγμένες της κορυφής είναι κλασματικοί αριθμοί, δεν είναι πολύ βολικό να δημιουργηθεί ένα γράφημα. Εάν πρέπει να γνωρίζετε τις ακριβείς τιμές των σημείων τομής του γραφήματος με τον άξονα Ox, θα πρέπει επιπλέον να λύσετε την εξίσωση x²+bx+c=0 (ή -x²+bx+c=0), ακόμα κι αν αυτά τα σημεία μπορούν να προσδιοριστούν απευθείας από το σχέδιο.

Ένας άλλος τρόπος για να κατασκευάσετε μια παραβολή είναι με σημεία, δηλαδή μπορείτε να βρείτε πολλά σημεία στο γράφημα και να σχεδιάσετε μια παραβολή μέσα από αυτά (λαμβάνοντας υπόψη ότι η ευθεία x=xₒ είναι ο άξονας συμμετρίας της). Συνήθως για αυτό παίρνουν την κορυφή της παραβολής, τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τους άξονες συντεταγμένων και 1-2 επιπλέον σημεία.

Σχεδιάστε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y=x²+5x+4.

Λύση:

Το y=x²+5x+4 είναι μια τετραγωνική συνάρτηση. Το γράφημα είναι μια παραβολή με διακλαδώσεις προς τα πάνω. Συντεταγμένες κορυφής παραβολής

δηλαδή η κορυφή της παραβολής είναι το σημείο (-2,5; -2,25).

Ψάχνουν για. Στο σημείο τομής με τον άξονα Ox y=0: x²+5x+4=0. Οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης x1=-1, x2=-4, δηλαδή πήραμε δύο σημεία στη γραφική παράσταση (-1; 0) και (-4; 0).

Στο σημείο τομής της γραφικής παράστασης με τον άξονα Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4. Πήραμε τον βαθμό (0; 4).

Για να διευκρινίσετε το γράφημα, μπορείτε να βρείτε ένα επιπλέον σημείο. Ας πάρουμε x=1, μετά y=1²+5∙1+4=10, δηλαδή ένα άλλο σημείο στο γράφημα είναι (1; 10). Σημειώνουμε αυτά τα σημεία στο επίπεδο συντεταγμένων. Λαμβάνοντας υπόψη τη συμμετρία της παραβολής σε σχέση με την ευθεία που διέρχεται από την κορυφή της, σημειώνουμε δύο ακόμη σημεία: (-5; 6) και (-6; 10) και σχεδιάζουμε μια παραβολή μέσα από αυτά:

Γράφημα τη συνάρτηση y= -x²-3x.

Λύση:

y= -x²-3x είναι μια τετραγωνική συνάρτηση. Το γράφημα είναι μια παραβολή με κλάδους προς τα κάτω. Συντεταγμένες κορυφής παραβολής

Η κορυφή (-1,5, 2,25) είναι το πρώτο σημείο της παραβολής.

Στα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τον άξονα x y=0, δηλαδή λύνουμε την εξίσωση -x²-3x=0. Οι ρίζες του είναι x=0 και x=-3, δηλαδή (0;0) και (-3;0) - δύο ακόμη σημεία στο γράφημα. Το σημείο (o; 0) είναι επίσης το σημείο τομής της παραβολής με τον άξονα τεταγμένων.

Στο x=1 y=-1²-3∙1=-4, δηλαδή (1; -4) είναι ένα επιπλέον σημείο για γραφική παράσταση.

Η κατασκευή μιας παραβολής από σημεία είναι μια πιο απαιτητική μέθοδος σε σύγκριση με την πρώτη. Εάν η παραβολή δεν τέμνει τον άξονα Ox, θα απαιτηθούν περισσότερα πρόσθετα σημεία.

Πριν συνεχίσουμε να κατασκευάζουμε γραφήματα τετραγωνικών συναρτήσεων της μορφής y=ax²+bx+c, ας εξετάσουμε την κατασκευή γραφημάτων συναρτήσεων χρησιμοποιώντας γεωμετρικούς μετασχηματισμούς. Είναι επίσης πιο βολικό να κατασκευάζονται γραφήματα συναρτήσεων της μορφής y=x²+c χρησιμοποιώντας έναν από αυτούς τους μετασχηματισμούς—παράλληλη μετάφραση.

Το μήκος του τμήματος στον άξονα συντεταγμένων καθορίζεται από τον τύπο:

Το μήκος ενός τμήματος στο επίπεδο συντεταγμένων βρίσκεται χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Για να βρείτε το μήκος ενός τμήματος σε ένα τρισδιάστατο σύστημα συντεταγμένων, χρησιμοποιήστε τον ακόλουθο τύπο:

Οι συντεταγμένες του μέσου του τμήματος (για τον άξονα συντεταγμένων χρησιμοποιείται μόνο ο πρώτος τύπος, για το επίπεδο συντεταγμένων - οι δύο πρώτοι τύποι, για ένα τρισδιάστατο σύστημα συντεταγμένων - και οι τρεις τύποι) υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τους τύπους:

Λειτουργία– πρόκειται για αντιστοιχία της φόρμας y= φά(Χ) μεταξύ μεταβλητών μεγεθών, λόγω των οποίων καθεμία θεωρεί τιμή κάποιας μεταβλητής ποσότητας Χ(όρισμα ή ανεξάρτητη μεταβλητή) αντιστοιχεί σε μια ορισμένη τιμή μιας άλλης μεταβλητής, y(εξαρτημένη μεταβλητή, μερικές φορές αυτή η τιμή ονομάζεται απλώς τιμή της συνάρτησης). Σημειώστε ότι η συνάρτηση προϋποθέτει ότι μια τιμή ορίσματος Χμόνο μία τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής μπορεί να αντιστοιχεί στο. Ωστόσο, η ίδια αξία στομπορεί να ληφθεί με διαφορετικά Χ.

Τομέας συνάρτησης– αυτές είναι όλες οι τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής (όρισμα συνάρτησης, συνήθως αυτό Χ), για την οποία ορίζεται η συνάρτηση, π.χ. η σημασία του υπάρχει. Υποδεικνύεται η περιοχή ορισμού ρε(y). Σε γενικές γραμμές, είστε ήδη εξοικειωμένοι με αυτήν την έννοια. Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης ονομάζεται αλλιώς το πεδίο των επιτρεπόμενων τιμών ή VA, το οποίο μπορείτε να βρείτε εδώ και καιρό.

Εύρος Λειτουργίαςείναι όλες οι πιθανές τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής μιας δεδομένης συνάρτησης. Ορίστηκε μι(στο).

Η λειτουργία αυξάνεταιστο διάστημα στο οποίο μια μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος αντιστοιχεί σε μια μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης. Η συνάρτηση μειώνεταιστο διάστημα στο οποίο μια μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος αντιστοιχεί σε μια μικρότερη τιμή της συνάρτησης.

Διαστήματα σταθερού πρόσημου μιας συνάρτησης- αυτά είναι τα διαστήματα της ανεξάρτητης μεταβλητής κατά τα οποία η εξαρτημένη μεταβλητή διατηρεί το θετικό ή αρνητικό πρόσημο.

Συναρτήσεις μηδενικά– αυτές είναι οι τιμές του ορίσματος στο οποίο η τιμή της συνάρτησης είναι ίση με μηδέν. Σε αυτά τα σημεία, το γράφημα της συνάρτησης τέμνει τον άξονα της τετμημένης (άξονας OX). Πολύ συχνά, η ανάγκη εύρεσης των μηδενικών μιας συνάρτησης σημαίνει την ανάγκη απλής επίλυσης της εξίσωσης. Επίσης, συχνά η ανάγκη εύρεσης διαστημάτων σταθερότητας του πρόσημου σημαίνει την ανάγκη απλά να λυθεί η ανισότητα.

Λειτουργία y = φά(Χ) λέγονται ακόμη και Χ

Αυτό σημαίνει ότι για οποιεσδήποτε αντίθετες τιμές του ορίσματος, οι τιμές της άρτιας συνάρτησης είναι ίσες. Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης είναι πάντα συμμετρική ως προς τον άξονα τεταγμένων του op-amp.

Λειτουργία y = φά(Χ) λέγονται Περιττός, εάν ορίζεται σε συμμετρικό σύνολο και για οποιοδήποτε Χαπό τον τομέα ορισμού ισχύει η ισότητα:

Αυτό σημαίνει ότι για οποιεσδήποτε αντίθετες τιμές του ορίσματος, οι τιμές της περιττής συνάρτησης είναι επίσης αντίθετες. Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης είναι πάντα συμμετρική ως προς την προέλευση.

Το άθροισμα των ριζών άρτιων και περιττών συναρτήσεων (τα σημεία τομής του άξονα x OX) είναι πάντα ίσο με μηδέν, επειδή για κάθε θετική ρίζα Χέχει αρνητική ρίζα - Χ.

Είναι σημαντικό να σημειωθεί: κάποια συνάρτηση δεν χρειάζεται να είναι άρτια ή περιττή. Υπάρχουν πολλές συναρτήσεις που δεν είναι ούτε ζυγές ούτε περιττές. Τέτοιες συναρτήσεις ονομάζονται γενικές λειτουργίες, και για αυτούς καμία από τις ισότητες ή ιδιότητες που δίνονται παραπάνω δεν ικανοποιείται.

Γραμμική συνάρτησηείναι μια συνάρτηση που μπορεί να δοθεί από τον τύπο:

Το γράφημα μιας γραμμικής συνάρτησης είναι μια ευθεία γραμμή και στη γενική περίπτωση μοιάζει με αυτό (δίνεται ένα παράδειγμα για την περίπτωση που κ> 0, στην περίπτωση αυτή η συνάρτηση αυξάνεται. για την περίσταση κ < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

Γράφημα τετραγωνικής συνάρτησης (Parabola)

Η γραφική παράσταση μιας παραβολής δίνεται από μια τετραγωνική συνάρτηση:

Μια τετραγωνική συνάρτηση, όπως κάθε άλλη συνάρτηση, τέμνει τον άξονα OX στα σημεία που είναι οι ρίζες της: ( Χ 1 ; 0) και ( Χ 2 ; 0). Εάν δεν υπάρχουν ρίζες, τότε η τετραγωνική συνάρτηση δεν τέμνει τον άξονα OX· εάν υπάρχει μόνο μία ρίζα, τότε σε αυτό το σημείο ( Χ 0 ; 0) η τετραγωνική συνάρτηση αγγίζει μόνο τον άξονα OX, αλλά δεν τον τέμνει. Η τετραγωνική συνάρτηση τέμνει πάντα τον άξονα OY στο σημείο με συντεταγμένες: (0; ντο). Το γράφημα μιας τετραγωνικής συνάρτησης (παραβολή) μπορεί να μοιάζει με αυτό (το σχήμα δείχνει παραδείγματα που δεν εξαντλούν όλους τους πιθανούς τύπους παραβολών):

Εν:

• αν ο συντελεστής ένα> 0, σε συνάρτηση y = τσεκούρι 2 + bx + ντο, τότε οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω.
• αν ένα < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Οι συντεταγμένες της κορυφής μιας παραβολής μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας τους παρακάτω τύπους. Χ τοπ (Π- στις παραπάνω εικόνες) παραβολές (ή το σημείο στο οποίο το τετραγωνικό τριώνυμο φτάνει τη μεγαλύτερη ή τη μικρότερη τιμή του):

Igrek τοπ (q- στα παραπάνω σχήματα) παραβολές ή το μέγιστο εάν οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα κάτω ( ένα < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (ένα> 0), η τιμή του τετραγωνικού τριωνύμου:

Γραφήματα άλλων συναρτήσεων

Λειτουργία ισχύος

Ακολουθούν μερικά παραδείγματα γραφημάτων συναρτήσεων ισχύος:

Αντιστρόφως ανάλογηείναι μια συνάρτηση που δίνεται από τον τύπο:

Ανάλογα με το πρόσημο του αριθμού κΈνα αντιστρόφως ανάλογο γράφημα εξάρτησης μπορεί να έχει δύο θεμελιώδεις επιλογές:

Ασύμπτωτοείναι μια ευθεία στην οποία το γράφημα μιας συνάρτησης πλησιάζει απείρως αλλά δεν τέμνει. Οι ασύμπτωτες για τα γραφήματα αντίστροφης αναλογικότητας που φαίνονται στο παραπάνω σχήμα είναι οι άξονες συντεταγμένων στους οποίους η γραφική παράσταση της συνάρτησης πλησιάζει απείρως κοντά, αλλά δεν τους τέμνει.

Εκθετικη συναρτησημε βάση ΕΝΑείναι μια συνάρτηση που δίνεται από τον τύπο:

έναΤο γράφημα μιας εκθετικής συνάρτησης μπορεί να έχει δύο θεμελιώδεις επιλογές (δίνουμε επίσης παραδείγματα, βλέπε παρακάτω):

Λογαριθμική συνάρτησηείναι μια συνάρτηση που δίνεται από τον τύπο:

Ανάλογα με το αν ο αριθμός είναι μεγαλύτερος ή μικρότερος από ένα έναΤο γράφημα μιας λογαριθμικής συνάρτησης μπορεί να έχει δύο θεμελιώδεις επιλογές:

Γράφημα μιας συνάρτησης y = |Χ| ως εξής:

Γραφήματα περιοδικών (τριγωνομετρικών) συναρτήσεων

Λειτουργία στο = φά(Χ) λέγεται περιοδικός, εάν υπάρχει ένας τέτοιος μη μηδενικός αριθμός Τ, Τι φά(Χ + Τ) = φά(Χ), Για οποιονδηποτε Χαπό τον τομέα της συνάρτησης φά(Χ). Εάν η συνάρτηση φά(Χ) είναι περιοδική με περίοδο Τ, τότε η συνάρτηση:

Οπου: ΕΝΑ, κ, σιείναι σταθεροί αριθμοί, και κόχι ίσο με μηδέν, επίσης περιοδικό με περίοδο Τ 1, ο οποίος καθορίζεται από τον τύπο:

Τα περισσότερα παραδείγματα περιοδικών συναρτήσεων είναι τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Παρουσιάζουμε γραφήματα των κύριων τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Το παρακάτω σχήμα δείχνει μέρος του γραφήματος της συνάρτησης y= αμαρτία Χ(ολόκληρο το γράφημα συνεχίζεται επ' αόριστον αριστερά και δεξιά), γράφημα της συνάρτησης y= αμαρτία Χπου ονομάζεται ημιτονοειδής:

Γράφημα μιας συνάρτησης y=κοσ Χπου ονομάζεται συνημίτονο. Αυτό το γράφημα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Εφόσον το ημιτονογράφημα συνεχίζεται επ' αόριστον κατά μήκος του άξονα OX προς τα αριστερά και προς τα δεξιά:

Γράφημα μιας συνάρτησης y= tg Χπου ονομάζεται εφαπτομενοειδές. Αυτό το γράφημα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Όπως τα γραφήματα άλλων περιοδικών συναρτήσεων, αυτό το γράφημα επαναλαμβάνεται επ' αόριστον κατά μήκος του άξονα OX προς τα αριστερά και προς τα δεξιά.

Και τέλος, το γράφημα της συνάρτησης y=ctg Χπου ονομάζεται συνταπτενοειδής. Αυτό το γράφημα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Όπως τα γραφήματα άλλων περιοδικών και τριγωνομετρικών συναρτήσεων, αυτό το γράφημα επαναλαμβάνεται επ' αόριστον κατά μήκος του άξονα OX προς τα αριστερά και προς τα δεξιά.

Η επιτυχής, επιμελής και υπεύθυνη εφαρμογή αυτών των τριών σημείων θα σας επιτρέψει να δείξετε ένα εξαιρετικό αποτέλεσμα στην αξονική τομογραφία, το μέγιστο από αυτό που μπορείτε.

Βρήκατε κάποιο λάθος;

Εάν πιστεύετε ότι έχετε βρει κάποιο σφάλμα στο εκπαιδευτικό υλικό, γράψτε σχετικά με αυτό μέσω email. Μπορείτε επίσης να αναφέρετε ένα σφάλμα στο κοινωνικό δίκτυο (). Στο γράμμα, αναφέρετε το θέμα (φυσική ή μαθηματικά), το όνομα ή τον αριθμό του θέματος ή του τεστ, τον αριθμό του προβλήματος ή τη θέση στο κείμενο (σελίδα) όπου, κατά τη γνώμη σας, υπάρχει σφάλμα. Περιγράψτε επίσης ποιο είναι το ύποπτο σφάλμα. Το γράμμα σας δεν θα περάσει απαρατήρητο, το σφάλμα είτε θα διορθωθεί είτε θα σας εξηγηθεί γιατί δεν είναι λάθος.

Η διατήρηση του απορρήτου σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε τις πρακτικές απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.

Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών

Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.

Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.

Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.

Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:

• Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνση email σας κ.λπ.

Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:

• Οι προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε μας επιτρέπουν να επικοινωνήσουμε μαζί σας με μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
• Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και επικοινωνίες.
• Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
• Εάν συμμετέχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοια προσφορά, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.

Αποκάλυψη πληροφοριών σε τρίτους

Δεν αποκαλύπτουμε τις πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.

Εξαιρέσεις:

• Εάν είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική διαδικασία, σε νομικές διαδικασίες ή/και βάσει δημόσιων αιτημάτων ή αιτημάτων από κυβερνητικούς φορείς στη Ρωσική Ομοσπονδία - να αποκαλύψετε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημόσιας σημασίας.
• Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τις προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.

Προστασία προσωπικών πληροφοριών

Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.

Σεβασμός του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο

Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε τα πρότυπα απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.