Ένα τρίγωνο είναι ένα γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από τρεις ευθείες γραμμές που συνδέονται σε σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Τα σημεία σύνδεσης των γραμμών είναι οι κορυφές του τριγώνου, οι οποίες ορίζονται με λατινικά γράμματα (για παράδειγμα, A, B, C). Οι συνδετικές ευθείες ενός τριγώνου ονομάζονται τμήματα, τα οποία συνήθως συμβολίζονται και με λατινικά γράμματα. Διακρίνονται οι ακόλουθοι τύποι τριγώνων:

• Ορθογώνιος.
• Κουτός.
• Οξεία γωνιακή.
• Πολύπλευρος.
• Ισόπλευρος.
• Ισοσκελής.

Γενικοί τύποι για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός τριγώνου

Τύπος για το εμβαδόν ενός τριγώνου με βάση το μήκος και το ύψος

S= a*h/2,
όπου a είναι το μήκος της πλευράς του τριγώνου του οποίου το εμβαδόν πρέπει να βρεθεί, h είναι το μήκος του ύψους που τραβιέται στη βάση.

Η φόρμουλα του Heron

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
όπου √ είναι η τετραγωνική ρίζα, p η ημιπερίμετρος του τριγώνου, a,b,c το μήκος κάθε πλευράς του τριγώνου. Η ημιπερίμετρος ενός τριγώνου μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο p=(a+b+c)/2.

Τύπος για το εμβαδόν ενός τριγώνου με βάση τη γωνία και το μήκος του τμήματος

S = (a*b*sin(α))/2,
όπου b,c είναι το μήκος των πλευρών του τριγώνου, sin(α) είναι το ημίτονο της γωνίας μεταξύ των δύο πλευρών.

Τύπος για το εμβαδόν ενός τριγώνου δεδομένης της ακτίνας του εγγεγραμμένου κύκλου και των τριών πλευρών

S=p*r,
όπου p είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου του οποίου το εμβαδόν πρέπει να βρεθεί, r είναι η ακτίνα του κύκλου που εγγράφεται σε αυτό το τρίγωνο.

Τύπος για το εμβαδόν ενός τριγώνου που βασίζεται σε τρεις πλευρές και την ακτίνα του κύκλου που περιβάλλεται γύρω από αυτό

S= (a*b*c)/4*R,
όπου a,b,c είναι το μήκος κάθε πλευράς του τριγώνου, R είναι η ακτίνα του κύκλου που περιβάλλεται γύρω από το τρίγωνο.

Τύπος για το εμβαδόν ενός τριγώνου χρησιμοποιώντας τις καρτεσιανές συντεταγμένες σημείων

Οι καρτεσιανές συντεταγμένες σημείων είναι συντεταγμένες στο σύστημα xOy, όπου x είναι η τετμημένη, y η τεταγμένη. Το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων xOy σε ένα επίπεδο είναι οι αμοιβαία κάθετοι αριθμητικοί άξονες Ox και Oy με κοινή αρχή στο σημείο O. Εάν οι συντεταγμένες των σημείων σε αυτό το επίπεδο δίνονται με τη μορφή A(x1, y1), B(x2, y2 ) και C(x3, y3), τότε μπορείτε να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο, ο οποίος προκύπτει από το διανυσματικό γινόμενο δύο διανυσμάτων.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
όπου || σημαίνει ενότητα.

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός ορθογώνιου τριγώνου

Ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο με μία γωνία που μετρά 90 μοίρες. Ένα τρίγωνο μπορεί να έχει μόνο μία τέτοια γωνία.

Τύπος για το εμβαδόν ενός ορθογώνιου τριγώνου σε δύο πλευρές

S= a*b/2,
όπου a,b είναι το μήκος των ποδιών. Τα πόδια είναι οι πλευρές που γειτνιάζουν με ορθή γωνία.

Τύπος για το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου με βάση την υποτείνουσα και την οξεία γωνία

S = a*b*sin(α)/ 2,
όπου a, b είναι τα σκέλη του τριγώνου και sin(α) είναι το ημίτονο της γωνίας στην οποία τέμνονται οι ευθείες a, b.

Τύπος για το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου με βάση την πλευρά και την αντίθετη γωνία

S = a*b/2*tg(β),
όπου a, b είναι τα σκέλη του τριγώνου, tan(β) είναι η εφαπτομένη της γωνίας στην οποία συνδέονται τα σκέλη a, b.

Πώς να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τριγώνου

Ισοσκελές τρίγωνο είναι αυτό που έχει δύο ίσες πλευρές. Αυτές οι πλευρές ονομάζονται πλευρές και η άλλη πλευρά είναι η βάση. Για να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τριγώνου, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε έναν από τους παρακάτω τύπους.

Βασικός τύπος για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός ισοσκελούς τριγώνου

S=h*c/2,
όπου c είναι η βάση του τριγώνου, h είναι το ύψος του τριγώνου που έχει χαμηλώσει στη βάση.

Τύπος ισοσκελούς τριγώνου με βάση την πλευρά και τη βάση

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
όπου c είναι η βάση του τριγώνου, a είναι το μέγεθος μιας από τις πλευρές του ισοσκελούς τριγώνου.

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου

Ισόπλευρο τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο στο οποίο όλες οι πλευρές είναι ίσες. Για να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο τύπο:
S = (√3*a*a)/4,
όπου α είναι το μήκος της πλευράς του ισόπλευρου τριγώνου.

Οι παραπάνω τύποι θα σας επιτρέψουν να υπολογίσετε την απαιτούμενη περιοχή του τριγώνου. Είναι σημαντικό να θυμάστε ότι για να υπολογίσετε το εμβαδόν των τριγώνων, πρέπει να λάβετε υπόψη τον τύπο του τριγώνου και τα διαθέσιμα δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό.

Το τρίγωνο είναι μια φιγούρα γνωστή σε όλους. Και αυτό παρά την πλούσια ποικιλία των μορφών του. Ορθογώνιο, ισόπλευρο, οξεία, ισοσκελή, αμβλεία. Κάθε ένα από αυτά είναι διαφορετικό κατά κάποιο τρόπο. Αλλά για οποιονδήποτε πρέπει να μάθετε το εμβαδόν ενός τριγώνου.

Κοινοί τύποι για όλα τα τρίγωνα που χρησιμοποιούν τα μήκη των πλευρών ή των υψών

Οι ονομασίες που υιοθετήθηκαν σε αυτά: πλευρές - α, β, γ. ύψη στις αντίστοιχες πλευρές στο a, n σε, n με.

1. Το εμβαδόν ενός τριγώνου υπολογίζεται ως το γινόμενο του ½, μιας πλευράς και του ύψους που αφαιρείται από αυτό. S = ½ * a * n a. Οι τύποι για τις άλλες δύο πλευρές πρέπει να γράφονται με παρόμοιο τρόπο.

2. Ο τύπος του Ήρωνα, στον οποίο εμφανίζεται η ημιπερίμετρος (συνήθως συμβολίζεται με το μικρό γράμμα p, σε αντίθεση με την πλήρη περίμετρο). Η ημιπερίμετρος πρέπει να υπολογιστεί ως εξής: αθροίστε όλες τις πλευρές και διαιρέστε τις με το 2. Ο τύπος για την ημιπερίμετρο είναι: p = (a+b+c) / 2. Τότε η ισότητα για το εμβαδόν του ​​το σχήμα μοιάζει με αυτό: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).

3. Εάν δεν θέλετε να χρησιμοποιήσετε ημιπερίμετρο, τότε ένας τύπος που περιέχει μόνο τα μήκη των πλευρών θα είναι χρήσιμος: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (α + γ - γ) * (α + β - γ)). Είναι ελαφρώς μεγαλύτερο από το προηγούμενο, αλλά θα σας βοηθήσει αν έχετε ξεχάσει πώς να βρείτε την ημιπερίμετρο.

Γενικοί τύποι που αφορούν τις γωνίες ενός τριγώνου

Σημειώσεις που απαιτούνται για την ανάγνωση των τύπων: α, β, γ - γωνίες. Βρίσκονται απέναντι από τις πλευρές a, b, c, αντίστοιχα.

1. Σύμφωνα με αυτό, το μισό γινόμενο δύο πλευρών και το ημίτονο της γωνίας μεταξύ τους είναι ίσο με το εμβαδόν του τριγώνου. Δηλαδή: S = ½ a * b * sin γ. Οι τύποι για τις άλλες δύο περιπτώσεις θα πρέπει να γράφονται με παρόμοιο τρόπο.

2. Το εμβαδόν ενός τριγώνου μπορεί να υπολογιστεί από μία πλευρά και τρεις γνωστές γωνίες. S = (α 2 * αμαρτία β * αμαρτία γ) / (2 αμαρτία α).

3. Υπάρχει επίσης ένας τύπος με μια γνωστή πλευρά και δύο γειτονικές γωνίες. Μοιάζει με αυτό: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Οι δύο τελευταίοι τύποι δεν είναι οι απλούστεροι. Είναι αρκετά δύσκολο να τα θυμάστε.

Γενικοί τύποι για καταστάσεις όπου είναι γνωστές οι ακτίνες εγγεγραμμένων ή περιγεγραμμένων κύκλων

Πρόσθετες ονομασίες: r, R - ακτίνες. Το πρώτο χρησιμοποιείται για την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου. Το δεύτερο είναι για αυτό που περιγράφεται.

1. Ο πρώτος τύπος με τον οποίο υπολογίζεται το εμβαδόν ενός τριγώνου σχετίζεται με την ημιπερίμετρο. S = r * r. Ένας άλλος τρόπος για να το γράψετε είναι: S = ½ r * (a + b + c).

2. Στη δεύτερη περίπτωση, θα χρειαστεί να πολλαπλασιάσετε όλες τις πλευρές του τριγώνου και να τις διαιρέσετε με το τετραπλάσιο της ακτίνας του περιγεγραμμένου κύκλου. Στην κυριολεκτική έκφραση μοιάζει με αυτό: S = (a * b * c) / (4R).

3. Η τρίτη κατάσταση σας επιτρέπει να κάνετε χωρίς να γνωρίζετε τις πλευρές, αλλά θα χρειαστείτε τις τιμές και των τριών γωνιών. S = 2 R 2 * sin α * αμαρτία β * αμαρτία γ.

Ειδική περίπτωση: ορθογώνιο τρίγωνο

Αυτή είναι η απλούστερη κατάσταση, αφού απαιτείται μόνο το μήκος και των δύο ποδιών. Ονομάζονται με τα λατινικά γράμματα a και b. Το εμβαδόν ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι ίσο με το μισό του εμβαδού του ορθογωνίου που προστίθεται σε αυτό.

Μαθηματικά μοιάζει με αυτό: S = ½ a * b. Είναι το πιο εύκολο να θυμάστε. Επειδή μοιάζει με τον τύπο για το εμβαδόν ενός ορθογωνίου, εμφανίζεται μόνο ένα κλάσμα, που δείχνει το μισό.

Ειδική περίπτωση: ισοσκελές τρίγωνο

Δεδομένου ότι έχει δύο ίσες πλευρές, ορισμένοι τύποι για την περιοχή του φαίνονται κάπως απλοποιημένοι. Για παράδειγμα, ο τύπος του Heron, ο οποίος υπολογίζει το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τριγώνου, έχει την ακόλουθη μορφή:

S = ½ σε √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

Αν το μεταμορφώσεις, θα γίνει πιο κοντό. Σε αυτή την περίπτωση, ο τύπος του Heron για ένα ισοσκελές τρίγωνο γράφεται ως εξής:

S = ¼ σε √(4 * a 2 - b 2).

Ο τύπος εμβαδού φαίνεται κάπως απλούστερος από ό,τι για ένα αυθαίρετο τρίγωνο εάν οι πλευρές και η γωνία μεταξύ τους είναι γνωστές. S = ½ a 2 * sin β.

Ειδική περίπτωση: ισόπλευρο τρίγωνο

Συνήθως στα προβλήματα η πλευρά σχετικά με αυτό είναι γνωστή ή μπορεί να βρεθεί με κάποιο τρόπο. Τότε ο τύπος για την εύρεση του εμβαδού ενός τέτοιου τριγώνου είναι ο εξής:

S = (a 2 √3) / 4.

Προβλήματα εύρεσης της περιοχής εάν το τρίγωνο απεικονίζεται σε καρό χαρτί

Η απλούστερη κατάσταση είναι όταν σχεδιάζεται ένα ορθογώνιο τρίγωνο έτσι ώστε τα σκέλη του να συμπίπτουν με τις γραμμές του χαρτιού. Στη συνέχεια, πρέπει απλώς να μετρήσετε τον αριθμό των κυττάρων που χωρούν στα πόδια. Στη συνέχεια πολλαπλασιάστε τα και διαιρέστε τα με δύο.

Όταν το τρίγωνο είναι οξύ ή αμβλύ, πρέπει να τραβηχτεί σε ένα ορθογώνιο. Τότε το σχήμα που θα προκύψει θα έχει 3 τρίγωνα. Το ένα είναι αυτό που δίνεται στο πρόβλημα. Και τα άλλα δύο είναι βοηθητικά και ορθογώνια. Οι περιοχές των δύο τελευταίων πρέπει να προσδιοριστούν χρησιμοποιώντας τη μέθοδο που περιγράφεται παραπάνω. Στη συνέχεια, υπολογίστε το εμβαδόν του ορθογωνίου και αφαιρέστε από αυτό αυτά που υπολογίστηκαν για τα βοηθητικά. Καθορίζεται το εμβαδόν του τριγώνου.

Η κατάσταση στην οποία καμία από τις πλευρές του τριγώνου δεν συμπίπτει με τις γραμμές του χαρτιού αποδεικνύεται πολύ πιο περίπλοκη. Στη συνέχεια, πρέπει να εγγραφεί σε ένα ορθογώνιο, έτσι ώστε οι κορυφές του αρχικού σχήματος να βρίσκονται στις πλευρές του. Σε αυτή την περίπτωση, θα υπάρχουν τρία βοηθητικά ορθογώνια τρίγωνα.

Παράδειγμα προβλήματος που χρησιμοποιεί τον τύπο του Heron

Κατάσταση. Κάποιο τρίγωνο έχει γνωστές πλευρές. Είναι ίσα με 3, 5 και 6 εκ. Πρέπει να μάθετε την περιοχή του.

Τώρα μπορείτε να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο. Κάτω από την τετραγωνική ρίζα είναι το γινόμενο τεσσάρων αριθμών: 7, 4, 2 και 1. Δηλαδή, το εμβαδόν είναι √(4 * 14) = 2 √(14).

Εάν δεν απαιτείται μεγαλύτερη ακρίβεια, τότε μπορείτε να πάρετε την τετραγωνική ρίζα του 14. Είναι ίση με 3,74. Τότε η περιοχή θα είναι 7,48.

Απάντηση. S = 2 √14 cm 2 ή 7,48 cm 2.

Παράδειγμα προβλήματος με ορθογώνιο τρίγωνο

Κατάσταση. Το ένα σκέλος ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι 31 cm μεγαλύτερο από το δεύτερο. Πρέπει να μάθετε τα μήκη τους εάν το εμβαδόν του τριγώνου είναι 180 cm 2.
Λύση. Θα πρέπει να λύσουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων. Το πρώτο σχετίζεται με την περιοχή. Το δεύτερο είναι με την αναλογία των ποδιών, που δίνεται στο πρόβλημα.
180 = ½ a * b;

α = β + 31.
Πρώτον, η τιμή του "a" πρέπει να αντικατασταθεί στην πρώτη εξίσωση. Αποδεικνύεται: 180 = ½ (σε + 31) * ίντσες. Έχει μόνο μία άγνωστη ποσότητα, επομένως είναι εύκολο να λυθεί. Αφού ανοίξετε τις παρενθέσεις, προκύπτει η τετραγωνική εξίσωση: 2 + 31 360 = 0. Αυτό δίνει δύο τιμές για το "in": 9 και - 40. Ο δεύτερος αριθμός δεν είναι κατάλληλος ως απάντηση, καθώς το μήκος της πλευράς ενός τριγώνου δεν μπορεί να είναι αρνητική τιμή.

Απομένει να υπολογίσουμε το δεύτερο σκέλος: προσθέστε το 31 στον αριθμό που προκύπτει. Βγαίνει 40. Αυτές είναι οι ποσότητες που αναζητούνται στο πρόβλημα.

Απάντηση. Τα σκέλη του τριγώνου είναι 9 και 40 cm.

Πρόβλημα εύρεσης πλευράς μέσω του εμβαδού, της πλευράς και της γωνίας ενός τριγώνου

Κατάσταση. Το εμβαδόν ενός συγκεκριμένου τριγώνου είναι 60 cm 2. Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε μια από τις πλευρές του εάν η δεύτερη πλευρά είναι 15 cm και η γωνία μεταξύ τους είναι 30º.

Λύση. Με βάση τον αποδεκτό συμβολισμό, η επιθυμητή πλευρά είναι "a", η γνωστή πλευρά είναι "b", η δεδομένη γωνία είναι "γ". Στη συνέχεια, ο τύπος περιοχής μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:

60 = ½ a * 15 * αμαρτία 30º. Εδώ το ημίτονο των 30 μοιρών είναι 0,5.

Μετά τους μετασχηματισμούς, το "a" αποδεικνύεται ίσο με 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Δηλαδή 16.

Απάντηση. Η απαιτούμενη πλευρά είναι 16 cm.

Πρόβλημα σχετικά με ένα τετράγωνο εγγεγραμμένο σε ορθογώνιο τρίγωνο

Κατάσταση. Η κορυφή ενός τετραγώνου με πλευρά 24 cm συμπίπτει με τη ορθή γωνία του τριγώνου. Τα άλλα δύο βρίσκονται στα πλάγια. Το τρίτο ανήκει στην υποτείνουσα. Το μήκος ενός από τα πόδια είναι 42 εκ. Ποιο είναι το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου;

Λύση. Θεωρήστε δύο ορθογώνια τρίγωνα. Το πρώτο είναι αυτό που καθορίζεται στην εργασία. Το δεύτερο βασίζεται στο γνωστό σκέλος του αρχικού τριγώνου. Μοιάζουν γιατί έχουν κοινή γωνία και σχηματίζονται από παράλληλες ευθείες.

Τότε οι αναλογίες των ποδιών τους είναι ίσες. Τα σκέλη του μικρότερου τριγώνου είναι ίσα με 24 cm (πλευρά του τετραγώνου) και 18 cm (δεδομένου σκέλους 42 cm αφαιρούμε την πλευρά του τετραγώνου 24 cm). Τα αντίστοιχα σκέλη ενός μεγάλου τριγώνου είναι 42 cm και x cm. Είναι αυτό το «x» που χρειάζεται για να υπολογιστεί το εμβαδόν του τριγώνου.

18/42 = 24/x, δηλαδή x = 24 * 42 / 18 = 56 (cm).

Τότε το εμβαδόν είναι ίσο με το γινόμενο των 56 και 42 διαιρούμενο με δύο, δηλαδή 1176 cm 2.

Απάντηση. Η απαιτούμενη επιφάνεια είναι 1176 cm 2.

Οδηγίες

Κόμματακαι οι γωνίες θεωρούνται βασικά στοιχεία ΕΝΑ. Ένα τρίγωνο ορίζεται πλήρως από οποιοδήποτε από τα ακόλουθα βασικά στοιχεία του: είτε τρεις πλευρές, είτε μία πλευρά και δύο γωνίες, είτε δύο πλευρές και μια γωνία μεταξύ τους. Για την ύπαρξη τρίγωνοπου δίνονται από τις τρεις πλευρές a, b, c, είναι απαραίτητο και αρκετό για να ικανοποιηθούν οι ανισότητες που ονομάζονται ανισότητες τρίγωνο:
α+β > γ,
a+c > b,
β+γ > α.

Για το χτίσιμο τρίγωνοστις τρεις πλευρές a, b, c, είναι απαραίτητο από το σημείο C του τμήματος CB = a να σχεδιάσετε έναν κύκλο ακτίνας b χρησιμοποιώντας μια πυξίδα. Στη συνέχεια, με τον ίδιο τρόπο σχεδιάστε έναν κύκλο από το σημείο Β με ακτίνα ίση με την πλευρά c. Το σημείο τομής τους Α είναι η τρίτη κορυφή του επιθυμητού τρίγωνο ABC, όπου AB=c, CB=a, CA=b - πλευρές τρίγωνο. Το πρόβλημα έχει , αν οι πλευρές a, b, c, ικανοποιούν τις ανισότητες τρίγωνοκαθορίζεται στο βήμα 1.

Η περιοχή S κατασκευάστηκε με αυτόν τον τρόπο τρίγωνοΤο ABC με γνωστές πλευρές a, b, c, υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο του Heron:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
όπου α, β, γ είναι πλευρές τρίγωνο, p – ημιπερίμετρος.
p = (a+b+c)/2

Αν ένα τρίγωνο είναι ισόπλευρο, δηλαδή όλες οι πλευρές του είναι ίσες (a=b=c). τρίγωνουπολογίζεται με τον τύπο:
S=(a^2 v3)/4

Αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, δηλαδή μια από τις γωνίες του είναι ίση με 90° και οι πλευρές που το σχηματίζουν είναι σκέλη, η τρίτη πλευρά είναι η υποτείνουσα. Σε αυτήν την περίπτωση τετράγωνοισούται με το γινόμενο των ποδιών διαιρούμενο με δύο.
S=ab/2

Να βρω τετράγωνο τρίγωνο, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε έναν από τους πολλούς τύπους. Επιλέξτε έναν τύπο ανάλογα με τα δεδομένα που είναι ήδη γνωστά.

Θα χρειαστείτε

• γνώση τύπων για την εύρεση του εμβαδού ενός τριγώνου

Οδηγίες

Εάν γνωρίζετε το μέγεθος μιας από τις πλευρές και την τιμή του ύψους που έχει χαμηλώσει σε αυτήν την πλευρά από την αντίθετη γωνία προς αυτήν, τότε μπορείτε να βρείτε την περιοχή χρησιμοποιώντας τα εξής: S = a*h/2, όπου S είναι η περιοχή του τριγώνου, το a είναι μία από τις πλευρές του τριγώνου και το h - ύψος, στην πλευρά α.

Υπάρχει μια γνωστή μέθοδος για τον προσδιορισμό του εμβαδού ενός τριγώνου εάν είναι γνωστές οι τρεις πλευρές του. Είναι η φόρμουλα του Heron. Για να απλοποιηθεί η καταγραφή του, εισάγεται μια ενδιάμεση τιμή - ημιπερίμετρος: p = (a+b+c)/2, όπου a, b, c - . Τότε ο τύπος του Heron έχει ως εξής: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ εκθετική.

Ας υποθέσουμε ότι γνωρίζετε μία από τις πλευρές ενός τριγώνου και τρεις γωνίες. Στη συνέχεια, είναι εύκολο να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), όπου β είναι η γωνία απέναντι από την πλευρά a, και α και γ είναι γωνίες δίπλα στην πλευρά.

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Σημείωση

Η πιο γενική φόρμουλα που είναι κατάλληλη για όλες τις περιπτώσεις είναι η φόρμουλα του Heron.

Πηγές:

Συμβουλή 3: Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου με βάση τις τρεις πλευρές

Η εύρεση του εμβαδού ενός τριγώνου είναι ένα από τα πιο κοινά προβλήματα στη σχολική επιπεδομετρία. Η γνώση των τριών πλευρών ενός τριγώνου είναι αρκετή για να προσδιορίσει το εμβαδόν οποιουδήποτε τριγώνου. Σε ειδικές περιπτώσεις ισόπλευρων τριγώνων, αρκεί να γνωρίζουμε τα μήκη των δύο και της μίας πλευράς, αντίστοιχα.

Θα χρειαστείτε

• μήκη πλευρών τριγώνων, τύπος Heron, θεώρημα συνημιτόνου

Οδηγίες

Ο τύπος του Heron για το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι ο εξής: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Αν γράψουμε την ημιπερίμετρο p, παίρνουμε: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Μπορείτε να εξαγάγετε έναν τύπο για το εμβαδόν ενός τριγώνου από θεωρήσεις, για παράδειγμα, εφαρμόζοντας το θεώρημα συνημιτόνου.

Με το θεώρημα συνημιτόνου, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Χρησιμοποιώντας τις εισαγόμενες σημειώσεις, αυτές μπορούν επίσης να γραφτούν με τη μορφή: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Επομένως, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Το εμβαδόν ενός τριγώνου βρίσκεται επίσης με τον τύπο S = a*c*sin(ABC)/2 χρησιμοποιώντας δύο πλευρές και τη γωνία μεταξύ τους. Το ημίτονο της γωνίας ABC μπορεί να εκφραστεί μέσω αυτού χρησιμοποιώντας τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) Αντικαθιστώντας το ημίτονο στον τύπο για την περιοχή και γράφοντάς το , μπορείτε να καταλήξετε στον τύπο για το εμβαδόν του τριγώνου ABC.

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Για την εκτέλεση εργασιών επισκευής, μπορεί να χρειαστεί να μετρήσετε τετράγωνοτοίχους Αυτό διευκολύνει τον υπολογισμό της απαιτούμενης ποσότητας χρώματος ή ταπετσαρίας. Για μετρήσεις, είναι καλύτερο να χρησιμοποιείτε μεζούρα ή μεζούρα. Οι μετρήσεις πρέπει να γίνουν μετά τοίχουςισοπεδώθηκαν.

Θα χρειαστείτε

• -ρουλέτα;
• -σκάλα.

Οδηγίες

Να μετρήσει τετράγωνοτοίχους, πρέπει να γνωρίζετε το ακριβές ύψος των οροφών και επίσης να μετρήσετε το μήκος κατά μήκος του δαπέδου. Αυτό γίνεται ως εξής: πάρτε ένα εκατοστό και τοποθετήστε το πάνω από τη βάση. Συνήθως ένα εκατοστό δεν είναι αρκετό για όλο το μήκος, γι' αυτό ασφαλίστε το στη γωνία και μετά ξετυλίξτε το στο μέγιστο μήκος. Σε αυτό το σημείο, βάλτε ένα σημάδι με ένα μολύβι, σημειώστε το αποτέλεσμα που προέκυψε και πραγματοποιήστε περαιτέρω μετρήσεις με τον ίδιο τρόπο, ξεκινώντας από το τελευταίο σημείο μέτρησης.

Οι τυπικές οροφές είναι 2 μέτρα 80 εκατοστά, 3 μέτρα και 3 μέτρα 20 εκατοστά, ανάλογα με το σπίτι. Εάν το σπίτι χτίστηκε πριν από τη δεκαετία του '50, τότε πιθανότατα το πραγματικό ύψος είναι ελαφρώς χαμηλότερο από το υποδεικνυόμενο. Αν υπολογίζεις τετράγωνογια εργασίες επισκευής, τότε μια μικρή προσφορά δεν θα βλάψει - εξετάστε με βάση το πρότυπο. Εάν εξακολουθείτε να χρειάζεται να γνωρίζετε το πραγματικό ύψος, κάντε μετρήσεις. Η αρχή είναι παρόμοια με τη μέτρηση του μήκους, αλλά θα χρειαστείτε μια σκάλα.

Πολλαπλασιάστε τους δείκτες που προκύπτουν - αυτό είναι τετράγωνοδικος σου τοίχους. Είναι αλήθεια ότι κατά τη ζωγραφική ή για τη ζωγραφική είναι απαραίτητο να αφαιρέσετε τετράγωνοανοίγματα θυρών και παραθύρων. Για να το κάνετε αυτό, τοποθετήστε ένα εκατοστό κατά μήκος του ανοίγματος. Εάν μιλάμε για μια πόρτα που πρόκειται να αλλάξετε στη συνέχεια, προχωρήστε με την αφαίρεση του πλαισίου της πόρτας, λαμβάνοντας υπόψη μόνο τετράγωνοαπευθείας στο ίδιο το άνοιγμα. Η περιοχή του παραθύρου υπολογίζεται κατά μήκος της περιμέτρου του πλαισίου του. Μετά τετράγωνουπολογισμένο παράθυρο και πόρτα, αφαιρέστε το αποτέλεσμα από τη συνολική επιφάνεια του δωματίου που προκύπτει.

Λάβετε υπόψη ότι η μέτρηση του μήκους και του πλάτους του δωματίου πραγματοποιείται από δύο άτομα, κάτι που διευκολύνει τη στερέωση ενός εκατοστού ή μιας μεζούρας και, κατά συνέπεια, τη λήψη πιο ακριβούς αποτελέσματος. Κάντε την ίδια μέτρηση πολλές φορές για να βεβαιωθείτε ότι οι αριθμοί που λαμβάνετε είναι ακριβείς.

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Η εύρεση του όγκου ενός τριγώνου είναι πραγματικά μια μη τετριμμένη εργασία. Το γεγονός είναι ότι ένα τρίγωνο είναι ένα δισδιάστατο σχήμα, δηλ. βρίσκεται εξ ολοκλήρου σε ένα επίπεδο, πράγμα που σημαίνει ότι απλά δεν έχει όγκο. Φυσικά, δεν μπορείς να βρεις κάτι που δεν υπάρχει. Αλλά ας μην τα παρατάμε! Μπορούμε να δεχτούμε την ακόλουθη υπόθεση: ο όγκος ενός δισδιάστατου σχήματος είναι το εμβαδόν του. Θα αναζητήσουμε το εμβαδόν του τριγώνου.

Θα χρειαστείτε

• φύλλο χαρτί, μολύβι, χάρακα, αριθμομηχανή

Οδηγίες

Σχεδιάστε σε ένα κομμάτι χαρτί χρησιμοποιώντας χάρακα και μολύβι. Εξετάζοντας προσεκτικά το τρίγωνο, μπορείτε να βεβαιωθείτε ότι όντως δεν έχει τρίγωνο, αφού είναι σχεδιασμένο σε επίπεδο. Επισημάνετε τις πλευρές του τριγώνου: αφήστε τη μία πλευρά να είναι πλευρά "a", η άλλη πλευρά "b" και η τρίτη πλευρά "c". Σημειώστε τις κορυφές του τριγώνου με τα γράμματα "A", "B" και "C".

Μετρήστε οποιαδήποτε πλευρά του τριγώνου με ένα χάρακα και σημειώστε το αποτέλεσμα. Μετά από αυτό, επαναφέρετε μια κάθετη στη μετρούμενη πλευρά από την κορυφή απέναντι από αυτήν, μια τέτοια κάθετη θα είναι το ύψος του τριγώνου. Στην περίπτωση που φαίνεται στο σχήμα, η κάθετη "h" επαναφέρεται στην πλευρά "c" από την κορυφή "A". Μετρήστε το ύψος που προκύπτει με ένα χάρακα και σημειώστε το αποτέλεσμα της μέτρησης.

Μπορεί να σας είναι δύσκολο να επαναφέρετε την ακριβή κάθετο. Σε αυτή την περίπτωση, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε διαφορετικό τύπο. Μετρήστε όλες τις πλευρές του τριγώνου με έναν χάρακα. Μετά από αυτό, υπολογίστε την ημιπερίμετρο του τριγώνου "p" προσθέτοντας τα προκύπτοντα μήκη των πλευρών και διαιρώντας το άθροισμά τους στο μισό. Έχοντας την τιμή της ημιπεριμέτρου στη διάθεσή σας, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο του Heron. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να πάρετε την τετραγωνική ρίζα του παρακάτω: p(p-a)(p-b)(p-c).

Έχετε αποκτήσει την απαιτούμενη περιοχή του τριγώνου. Το πρόβλημα της εύρεσης του όγκου ενός τριγώνου δεν έχει λυθεί, αλλά όπως αναφέρθηκε παραπάνω, ο όγκος δεν έχει λυθεί. Μπορείτε να βρείτε έναν όγκο που είναι ουσιαστικά ένα τρίγωνο στον τρισδιάστατο κόσμο. Αν φανταστούμε ότι το αρχικό μας τρίγωνο έχει γίνει μια τρισδιάστατη πυραμίδα, τότε ο όγκος μιας τέτοιας πυραμίδας θα είναι το γινόμενο του μήκους της βάσης της με την περιοχή του τριγώνου που έχουμε αποκτήσει.

Σημείωση

Όσο πιο προσεκτικά μετράτε, τόσο πιο ακριβείς θα είναι οι υπολογισμοί σας.

Πηγές:

• Αριθμομηχανή "Όλα σε όλα" - μια πύλη για τιμές αναφοράς
• όγκος τριγώνου το 2019

Τα τρία σημεία που ορίζουν μοναδικά ένα τρίγωνο στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων είναι οι κορυφές του. Γνωρίζοντας τη θέση τους σε σχέση με κάθε έναν από τους άξονες συντεταγμένων, μπορείτε να υπολογίσετε οποιεσδήποτε παραμέτρους αυτού του επίπεδου σχήματος, συμπεριλαμβανομένων εκείνων που περιορίζονται από την περίμετρό του τετράγωνο. Αυτό μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους.

Οδηγίες

Χρησιμοποιήστε τον τύπο του Heron για να υπολογίσετε το εμβαδόν τρίγωνο. Περιλαμβάνει τις διαστάσεις των τριών πλευρών του σχήματος, οπότε ξεκινήστε τους υπολογισμούς σας με . Το μήκος κάθε πλευράς πρέπει να είναι ίσο με τη ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των μηκών των προεξοχών της στους άξονες συντεταγμένων. Αν συμβολίσουμε τις συντεταγμένες A(X1,Y1,Z1), B(X2,Y2,Z2) και C(X3,Y3,Z3), τα μήκη των πλευρών τους μπορούν να εκφραστούν ως εξής: AB = √((X1- X2)² + (Y1 -Y2)² + (Z1-Z2)²), BC = √((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²), AC = √(( X1-X3)2 + (Y1-Y3)2 + (Z1-Z3)2).

Για να απλοποιήσετε τους υπολογισμούς, εισαγάγετε μια βοηθητική μεταβλητή - ημιπερίμετρο (P). Από το γεγονός ότι αυτό είναι το ήμισυ του αθροίσματος των μηκών όλων των πλευρών: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X1-X2)² + (Y1-Y2)² + (Z1- Z2)²) + √ ((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²) + √((X1-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3) ²).

Για να προσδιορίσετε την περιοχή ενός τριγώνου, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε διαφορετικούς τύπους. Από όλες τις μεθόδους, η ευκολότερη και πιο συχνά χρησιμοποιούμενη είναι ο πολλαπλασιασμός του ύψους με το μήκος της βάσης και στη συνέχεια η διαίρεση του αποτελέσματος με το δύο. Ωστόσο, αυτή η μέθοδος απέχει πολύ από τη μοναδική. Παρακάτω μπορείτε να διαβάσετε πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου χρησιμοποιώντας διαφορετικούς τύπους.

Ξεχωριστά, θα εξετάσουμε τρόπους υπολογισμού του εμβαδού συγκεκριμένων τύπων τριγώνων - ορθογώνια, ισοσκελή και ισόπλευρα. Συνοδεύουμε κάθε φόρμουλα με μια σύντομη εξήγηση που θα σας βοηθήσει να κατανοήσετε την ουσία της.

Καθολικές μέθοδοι για την εύρεση του εμβαδού ενός τριγώνου

Οι παρακάτω τύποι χρησιμοποιούν ειδική σημείωση. Θα αποκρυπτογραφήσουμε καθένα από αυτά:

• a, b, c – τα μήκη των τριών πλευρών του σχήματος που εξετάζουμε.
• r είναι η ακτίνα του κύκλου που μπορεί να εγγραφεί στο τρίγωνό μας.
• R είναι η ακτίνα του κύκλου που μπορεί να περιγραφεί γύρω του.
• α είναι το μέγεθος της γωνίας που σχηματίζεται από τις πλευρές b και c.
• β είναι το μέγεθος της γωνίας μεταξύ a και c.
• γ είναι το μέγεθος της γωνίας που σχηματίζεται από τις πλευρές a και b.
• h είναι το ύψος του τριγώνου μας, χαμηλωμένο από τη γωνία α στην πλευρά α.
• p – το μισό άθροισμα των πλευρών a, b και c.

Είναι λογικά σαφές γιατί μπορείτε να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου με αυτόν τον τρόπο. Το τρίγωνο μπορεί εύκολα να συμπληρωθεί σε ένα παραλληλόγραμμο, στο οποίο η μία πλευρά του τριγώνου θα λειτουργεί ως διαγώνιος. Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου βρίσκεται πολλαπλασιάζοντας το μήκος μιας από τις πλευρές του με την τιμή του ύψους που τραβιέται σε αυτό. Η διαγώνιος διαιρεί αυτό το υπό όρους παραλληλόγραμμο σε 2 ίδια τρίγωνα. Επομένως, είναι προφανές ότι το εμβαδόν του αρχικού μας τριγώνου πρέπει να είναι ίσο με το μισό του εμβαδού αυτού του βοηθητικού παραλληλογράμμου.

S=½ a b sin γ

Σύμφωνα με αυτόν τον τύπο, το εμβαδόν ενός τριγώνου βρίσκεται πολλαπλασιάζοντας τα μήκη των δύο πλευρών του, δηλαδή των a και b, με το ημίτονο της γωνίας που σχηματίζεται από αυτές. Αυτός ο τύπος προέρχεται λογικά από τον προηγούμενο. Αν χαμηλώσουμε το ύψος από τη γωνία β στην πλευρά b, τότε, σύμφωνα με τις ιδιότητες ενός ορθογωνίου τριγώνου, όταν πολλαπλασιάσουμε το μήκος της πλευράς a με το ημίτονο της γωνίας γ, προκύπτει το ύψος του τριγώνου, δηλαδή h. .

Το εμβαδόν του εν λόγω σχήματος βρίσκεται πολλαπλασιάζοντας το μισό της ακτίνας του κύκλου που μπορεί να εγγραφεί σε αυτό με την περίμετρό του. Βρίσκουμε δηλαδή το γινόμενο της ημιπεριμέτρου και της ακτίνας του αναφερόμενου κύκλου.

S= a b c/4R

Σύμφωνα με αυτόν τον τύπο, η τιμή που χρειαζόμαστε μπορεί να βρεθεί διαιρώντας το γινόμενο των πλευρών του σχήματος με τις 4 ακτίνες του κύκλου που περιγράφεται γύρω του.

Αυτοί οι τύποι είναι καθολικοί, καθώς καθιστούν δυνατό τον προσδιορισμό του εμβαδού οποιουδήποτε τριγώνου (σκάλανο, ισοσκελές, ισόπλευρο, ορθογώνιο). Αυτό μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας πιο σύνθετους υπολογισμούς, στους οποίους δεν θα σταθούμε λεπτομερώς.

Περιοχές τριγώνων με συγκεκριμένες ιδιότητες

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός ορθογώνιου τριγώνου; Η ιδιαιτερότητα αυτού του σχήματος είναι ότι οι δύο πλευρές του είναι ταυτόχρονα και τα ύψη του. Αν τα a και b είναι σκέλη, και το c γίνεται η υποτείνουσα, τότε βρίσκουμε την περιοχή ως εξής:

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τριγώνου; Έχει δύο πλευρές με μήκος α και μια πλευρά με μήκος β. Συνεπώς, το εμβαδόν του μπορεί να προσδιοριστεί διαιρώντας με το 2 το γινόμενο του τετραγώνου της πλευράς α με το ημίτονο της γωνίας γ.

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου; Σε αυτό, το μήκος όλων των πλευρών είναι ίσο με a, και το μέγεθος όλων των γωνιών είναι α. Το ύψος του είναι ίσο με το μισό του γινόμενου του μήκους της πλευράς α και της τετραγωνικής ρίζας του 3. Για να βρείτε το εμβαδόν ενός κανονικού τριγώνου, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το τετράγωνο της πλευράς α με την τετραγωνική ρίζα του 3 και να διαιρέσετε με 4.

Έννοια της περιοχής

Η έννοια της περιοχής οποιουδήποτε γεωμετρικού σχήματος, ιδιαίτερα ενός τριγώνου, θα συσχετιστεί με ένα σχήμα όπως ένα τετράγωνο. Για τη μονάδα εμβαδού οποιουδήποτε γεωμετρικού σχήματος θα πάρουμε το εμβαδόν ενός τετραγώνου του οποίου η πλευρά είναι ίση με ένα. Για πληρότητα, ας υπενθυμίσουμε δύο βασικές ιδιότητες για την έννοια των περιοχών των γεωμετρικών σχημάτων.

Ιδιοκτησία 1:Αν τα γεωμετρικά σχήματα είναι ίσα, τότε τα εμβαδά τους είναι επίσης ίσα.

Ιδιοκτησία 2:Οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να χωριστεί σε πολλά σχήματα. Επιπλέον, το εμβαδόν του αρχικού σχήματος είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών όλων των σχημάτων που το αποτελούν.

Ας δούμε ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα 1

Προφανώς, μία από τις πλευρές του τριγώνου είναι μια διαγώνιος ενός ορθογωνίου, η μία πλευρά του οποίου έχει μήκος $5$ (καθώς υπάρχουν $5$ κελιά) και η άλλη είναι $6$ (αφού υπάρχουν $6$ κελιά). Επομένως, το εμβαδόν αυτού του τριγώνου θα είναι ίσο με το μισό ενός τέτοιου ορθογωνίου. Το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι

Τότε το εμβαδόν του τριγώνου είναι ίσο με

Απάντηση: $15 $.

Στη συνέχεια, θα εξετάσουμε διάφορες μεθόδους για την εύρεση των εμβαδών των τριγώνων, δηλαδή χρησιμοποιώντας το ύψος και τη βάση, χρησιμοποιώντας τον τύπο του Heron και το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου.

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου χρησιμοποιώντας το ύψος και τη βάση του

Θεώρημα 1

Το εμβαδόν ενός τριγώνου μπορεί να βρεθεί ως το μισό γινόμενο του μήκους μιας πλευράς και του ύψους σε αυτήν την πλευρά.

Μαθηματικά μοιάζει με αυτό

$S=\frac(1)(2)αh$

όπου $a$ είναι το μήκος της πλευράς, $h$ είναι το ύψος που τραβιέται προς αυτήν.

Απόδειξη.

Θεωρήστε ένα τρίγωνο $ABC$ στο οποίο $AC=α$. Το ύψος $BH$ τραβιέται σε αυτήν την πλευρά, το οποίο είναι ίσο με $h$. Ας το φτιάξουμε στο τετράγωνο $AXYC$ όπως στο Σχήμα 2.

Το εμβαδόν του ορθογωνίου $AXBH$ είναι $h\cdot AH$ και το εμβαδόν του ορθογωνίου $HBYC$ είναι $h\cdot HC$. Επειτα

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Επομένως, το απαιτούμενο εμβαδόν του τριγώνου, από την ιδιότητα 2, είναι ίσο με

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Παράδειγμα 2

Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου στο παρακάτω σχήμα εάν το κελί έχει εμβαδόν ίσο με ένα

Η βάση αυτού του τριγώνου είναι ίση με $9$ (αφού $9$ είναι $9$ τετράγωνα). Το ύψος είναι επίσης $9 $. Στη συνέχεια, με το Θεώρημα 1, παίρνουμε

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Απάντηση: $40,5 $.

Η φόρμουλα του Heron

Θεώρημα 2

Αν μας δοθούν τρεις πλευρές τριγώνου $α$, $β$ και $γ$, τότε το εμβαδόν του μπορεί να βρεθεί ως εξής

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

εδώ το $ρ$ σημαίνει την ημιπερίμετρο αυτού του τριγώνου.

Απόδειξη.

Σκεφτείτε το ακόλουθο σχήμα:

Με το Πυθαγόρειο θεώρημα, από το τρίγωνο $ABH$ προκύπτει

Από το τρίγωνο $CBH$, σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, έχουμε

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Από αυτές τις δύο σχέσεις προκύπτει η ισότητα

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Αφού $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, τότε $α+β+γ=2ρ$, που σημαίνει

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Με το Θεώρημα 1, παίρνουμε

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$