Φυσικοί αριθμοί (Ν). Πρώτοι και σύνθετοι αριθμοί. Διαιρέτης, πολλαπλός. Μέγιστος κοινός διαιρέτης, λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο. Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο και μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης Πολλαπλασιασμός. πολλαπλασιαστής * πολλαπλασιαστής = γινόμενο

Το σύνολο των φυσικών αριθμών = (1, 2, 3...). Δηλαδή, το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι το σύνολο όλων των θετικών ακεραίων. Οι πράξεις πρόσθεσης, πολλαπλασιασμού, αφαίρεσης και διαίρεσης ορίζονται στους φυσικούς αριθμούς. Το αποτέλεσμα της πρόσθεσης, του πολλαπλασιασμού και της αφαίρεσης δύο φυσικών αριθμών είναι ένας ακέραιος αριθμός. Το αποτέλεσμα της διαίρεσης δύο φυσικών αριθμών μπορεί να είναι είτε ακέραιος είτε κλάσμα.

Για παράδειγμα: 20: 4 = 5 - το αποτέλεσμα της διαίρεσης είναι ένας ακέραιος αριθμός.
20: 3 = 6 2/3 - το αποτέλεσμα της διαίρεσης είναι ένα κλάσμα.
Ένας φυσικός αριθμός n λέγεται ότι διαιρείται με έναν φυσικό αριθμό m αν το αποτέλεσμα της διαίρεσης είναι ακέραιος. Στην περίπτωση αυτή, ο αριθμός m ονομάζεται διαιρέτης του αριθμού n και ο αριθμός n ονομάζεται πολλαπλάσιο του αριθμού m.

Στο πρώτο παράδειγμα, ο αριθμός 20 διαιρείται με το 4, το 4 είναι διαιρέτης του 20 και το 20 είναι πολλαπλάσιο του 4.
Στο δεύτερο παράδειγμα, ο αριθμός 20 δεν διαιρείται με τον αριθμό 3, επομένως δεν μπορεί να τεθεί θέμα διαιρετών και πολλαπλασίων.

Ένας αριθμός n ονομάζεται πρώτος αν δεν έχει άλλους διαιρέτες εκτός από τον εαυτό του και το ένα. Παραδείγματα πρώτων αριθμών: 2, 7, 11, 97, κ.λπ.
Ένας αριθμός n ονομάζεται σύνθετος αν έχει άλλους διαιρέτες εκτός από τον εαυτό του και έναν.

Οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός μπορεί να αποσυντεθεί σε γινόμενο πρώτων, και αυτή η αποσύνθεση είναι μοναδική, μέχρι την τάξη των παραγόντων. Για παράδειγμα: 36=2 2 3 3 = 2 3 2 3 = 3 2 3 2 – όλες αυτές οι επεκτάσεις διαφέρουν μόνο ως προς τη σειρά των παραγόντων.

Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης δύο αριθμών m και n είναι ο μεγαλύτερος φυσικός αριθμός που είναι διαιρέτης και του m και του n. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 34 και 85 έχουν τον μεγαλύτερο κοινό παράγοντα 17.

Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο αριθμών m και n είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός που είναι πολλαπλάσιο και του m και του n. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 15 και 4 έχουν ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 60.

Ένας φυσικός αριθμός, που διαιρείται με δύο πρώτους αριθμούς, διαιρείται και με το γινόμενο τους. Για παράδειγμα, αν ένας αριθμός διαιρείται με το 2 και το 3, τότε διαιρείται με το 6 = 2 3, αν με το 11 και το 7, τότε με το 77.

Παράδειγμα: ο αριθμός 6930 διαιρείται με το 11 - 6930: 11 = 630, και διαιρείται με το 7 - 6930: 7 = 990. Μπορούμε να πούμε με ασφάλεια ότι αυτός ο αριθμός διαιρείται επίσης με το 77. Ας ελέγξουμε: 6930: 77 = 90.

Αλγόριθμος για την αποσύνθεση του αριθμού n σε πρώτους παράγοντες:

1. Να βρείτε τον μικρότερο πρώτο διαιρέτη του αριθμού n (εκτός του 1) - a1.
2. Διαιρέστε τον αριθμό n με το a1, δηλώνοντας το πηλίκο ως n1.
3. n=a1 n1.
4. Κάνουμε την ίδια πράξη με το n1 μέχρι να πάρουμε πρώτο αριθμό.

Παράδειγμα: Παράγοντας τον αριθμό 17.136 σε πρώτους παράγοντες

1. Ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης εκτός του 1, εδώ 2.

2. 17 136: 2 = 8 568;

3. 17 136 = 8 568 2.

4. Ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης του 8568 είναι το 2.

5. 8 568: 2 = 4284;

6. 17 136 = 4284 2 2.

7. Ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης του 4284 είναι το 2.

8. 4284: 2 = 2142;

9. 17 136 = 2142 2 2 2.

10. Ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης του 2142 είναι το 2.

11. 2142: 2 = 1071;

12. 17 136 = 1071 2 2 2 2.

13. Ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης του 1071 είναι το 3.

14. 1071: 3 = 357;

15. 17 136 = 357 3 2 2 2 2.

16. Ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης του 357 είναι το 3.

17. 357: 3 = 119;

18. 17 136 = 119 3 3 2 2 2 2.

19. Ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης του 119 είναι το 7.

20. 119: 7 = 17;

21. Το 17 είναι πρώτος αριθμός, που σημαίνει 17 136 = 17 7 3 3 2 2 2 2.

Λάβαμε την αποσύνθεση του αριθμού 17.136 σε πρώτους παράγοντες.

Κοινά πολλαπλάσια φυσικών αριθμώνέναΚαισιείναι ένας αριθμός που είναι πολλαπλάσιο καθενός από αυτούς τους αριθμούς.

Ο μικρότερος αριθμός από όλα τα κοινά πολλαπλάσια ΕΝΑΚαι σιπου ονομάζεται ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών.

Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αριθμών ΕΝΑΚαι σιας συμφωνήσουμε να συμβολίσουμε K( ΕΝΑ, σι).

Για παράδειγμα, οι δύο αριθμοί 12 και 18 είναι κοινά πολλαπλάσια των: 36, 72, 108, 144, 180 κ.λπ. Ο αριθμός 36 είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 12 και 18. Μπορείτε να γράψετε: K(12, 18) = 36.

Για το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο ισχύουν οι ακόλουθες προτάσεις:

1. Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αριθμών ΕΝΑΚαι σι

2. Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αριθμών ΕΝΑΚαι σιόχι λιγότερο από τον μεγαλύτερο από αυτούς τους αριθμούς, δηλ. Αν α >σι, μετά Κ( ΕΝΑ, σι) ≥ ΕΝΑ.

3. Οποιοδήποτε κοινό πολλαπλάσιο αριθμών ΕΝΑΚαι σιδιαιρούμενο με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιό τους.

Μέγιστο κοινό διαιρέτη

Ο κοινός διαιρέτης των φυσικών αριθμών α καισιείναι ένας αριθμός που είναι διαιρέτης καθενός από τους δεδομένους αριθμούς.

Ο μεγαλύτερος αριθμός όλων των κοινών διαιρετών αριθμών ΕΝΑΚαι σιονομάζεται ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης αυτών των αριθμών.

Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης αριθμών ΕΝΑΚαι σιΑς συμφωνήσουμε να υποδηλώσουμε D( ΕΝΑ, σι).

Για παράδειγμα, για τους αριθμούς 12 και 18, οι κοινοί διαιρέτες είναι οι αριθμοί: 1, 2, 3, 6. Ο αριθμός 6 είναι 12 και 18. Μπορείτε να γράψετε: D(12, 18) = 6.

Ο αριθμός 1 είναι ο κοινός διαιρέτης οποιωνδήποτε δύο φυσικών αριθμών έναΚαι σι. Εάν αυτοί οι αριθμοί δεν έχουν άλλους κοινούς διαιρέτες, τότε D( ΕΝΑ, σι) = 1, και οι αριθμοί ΕΝΑΚαι σιλέγονται αμοιβαία πρωταρχική.

Για παράδειγμα, οι αριθμοί 14 και 15 είναι σχετικά πρώτοι, αφού D(14, 15) = 1.

Για τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη ισχύουν οι ακόλουθες προτάσεις:

1. Μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης αριθμών έναΚαι σιυπάρχει πάντα και είναι μοναδικό.

2. Μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης αριθμών ΕΝΑΚαι σιδεν υπερβαίνει τον μικρότερο από τους δεδομένους αριθμούς, δηλ. Αν ένα< σι, Οτι ρε(ένα, σι) ≤ ένα.

3. Μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης αριθμών έναΚαι σιδιαιρείται με οποιονδήποτε κοινό διαιρέτη αυτών των αριθμών.

Μεγαλύτερο κοινό πολλαπλάσιο αριθμών ΕΝΑΚαι σικαι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης τους είναι αλληλένδετοι: το γινόμενο του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου και του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη αριθμών ΕΝΑΚαι σιίσο με το γινόμενο αυτών των αριθμών, δηλ. Κ( ένα, σι)·ΡΕ( ένα, σι) = ένα· σι.

Από αυτή τη δήλωση προκύπτουν τα ακόλουθα συμπεράσματα:

α) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο αμοιβαία πρώτων αριθμών είναι ίσο με το γινόμενο αυτών των αριθμών, δηλ. ΡΕ( ένα, σι) = 1 => K( ένα, σι) = ένα· σι;

Για παράδειγμα, για να βρούμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 14 και 15, αρκεί να τους πολλαπλασιάσουμε, αφού D(14, 15) = 1.

σι) ΕΝΑδιαιρούμενο με το γινόμενο συμπρώτων αριθμών ΜΚαι n, είναι απαραίτητο και αρκετό να διαιρείται με Μ, και σε n.

Αυτή η δήλωση είναι ένα σημάδι της διαιρετότητας με αριθμούς που μπορούν να αναπαρασταθούν ως το γινόμενο δύο σχετικά πρώτων αριθμών.

γ) Τα πηλίκα που λαμβάνονται διαιρώντας δύο δεδομένους αριθμούς με τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη τους είναι σχετικά πρώτοι αριθμοί.

Αυτή η ιδιότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί κατά τον έλεγχο της ορθότητας του ευρεθέντος μέγιστου κοινού διαιρέτη δεδομένων αριθμών. Για παράδειγμα, ας ελέγξουμε αν ο αριθμός 12 είναι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των αριθμών 24 και 36. Για να γίνει αυτό, σύμφωνα με την τελευταία πρόταση, διαιρούμε το 24 και το 36 με το 12. Παίρνουμε τους αριθμούς 2 και 3, αντίστοιχα, που είναι coprime. Επομένως, D(24, 36)=12.

Πρόβλημα 32.Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το τεστ διαιρετότητας με το 6.

Λύση Χδιαιρείται με το 6, είναι απαραίτητο και αρκετό να διαιρείται με το 2 και το 3.

Αφήστε τον αριθμό Χδιαιρείται με το 6. Τότε από το γεγονός ότι Χ 6 και 62, προκύπτει ότι Χ 2. Και από το γεγονός ότι Χ 6 και 63, προκύπτει ότι Χ 3. Αποδείξαμε ότι για να διαιρείται ένας αριθμός με το 6 πρέπει να διαιρείται με το 2 και το 3.

Ας δείξουμε την επάρκεια αυτής της συνθήκης. Επειδή Χ 2 και Χ 3, λοιπόν Χ- κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 2 και 3. Κάθε κοινό πολλαπλάσιο αριθμών διαιρείται με το ελάχιστο πολλαπλάσιό τους, που σημαίνει ΧΚ(2;3).

Αφού D(2, 3)=1, τότε K(2, 3)=2·3=6. Ως εκ τούτου, Χ 6.

Πρόβλημα 33.Διατυπώστε τα 12, 15 και 60.

Λύση. Για έναν φυσικό αριθμό Χδιαιρείται με το 12, είναι απαραίτητο και αρκετό να διαιρείται με το 3 και το 4.

Για έναν φυσικό αριθμό Χδιαιρείται με το 15, είναι απαραίτητο και αρκετό να διαιρείται με το 3 και το 5.

Για έναν φυσικό αριθμό Χδιαιρείται με το 60, είναι απαραίτητο και αρκετό να διαιρείται με το 4, το 3 και το 5.

Πρόβλημα 34.Βρείτε αριθμούς έναΚαι σι, αν Κ( α, β)=75, ένα· σι=375.

Λύση.Χρησιμοποιώντας τον τύπο K( α, β)·ΡΕ( α, β)=ένα· σι, βρείτε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη των απαιτούμενων αριθμών ΕΝΑΚαι σι:

ΡΕ( ένα, σι) === 5.

Στη συνέχεια, οι απαιτούμενοι αριθμοί μπορούν να αναπαρασταθούν στη φόρμα ΕΝΑ= 5R, σι= 5q, Οπου ΠΚαι q Πκαι 5 qστην ισότητα α β= 275. Ας πάρουμε 5 Π·5 q=375 ή Π· q=15. Λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει με δύο μεταβλητές με επιλογή: βρίσκουμε ζεύγη σχετικά πρώτων αριθμών των οποίων το γινόμενο είναι ίσο με 15. Υπάρχουν δύο τέτοια ζεύγη: (3, 5) και (1, 15). Επομένως, οι απαιτούμενοι αριθμοί ΕΝΑΚαι σιείναι: 15 και 25 ή 5 και 75.

Πρόβλημα 35.Βρείτε αριθμούς ΕΝΑΚαι σι, αν είναι γνωστό ότι D( ένα, σι) = 7 και ένα· σι= 1470.

Λύση. Από το D( ένα, σι) = 7, τότε οι απαιτούμενοι αριθμοί μπορούν να αναπαρασταθούν στη φόρμα ΕΝΑ= 7R, σι= 7q, Οπου ΠΚαι qείναι αμοιβαία πρώτοι αριθμοί. Ας αντικαταστήσουμε τις εκφράσεις 5 Rκαι 5 qστην ισότητα α β = 1470. Τότε 7 Π·7 q= 1470 ή Π· q= 30. Λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει με δύο μεταβλητές με επιλογή: βρίσκουμε ζεύγη σχετικά πρώτων αριθμών των οποίων το γινόμενο είναι ίσο με 30. Υπάρχουν τέσσερα τέτοια ζεύγη: (1, 30), (2, 15), (3, 10). ), (5, 6). Επομένως, οι απαιτούμενοι αριθμοί ΕΝΑΚαι σιείναι: 7 και 210, 14 και 105, 21 και 70, 35 και 42.

Πρόβλημα 36.Βρείτε αριθμούς ΕΝΑΚαι σι, αν είναι γνωστό ότι D( ένα, σι) = 3 και ΕΝΑ:σι= 17:14.

Λύση. Επειδή ένα:σι= 17:14, λοιπόν ΕΝΑ= 17RΚαι σι= 14Π, Οπου R- μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης αριθμών ΕΝΑΚαι σι. Ως εκ τούτου, ΕΝΑ= 17·3 = 51, σι= 14·3 = 42.

Πρόβλημα 37.Βρείτε αριθμούς ΕΝΑΚαι σι, εάν είναι γνωστό ότι Κ( ένα, σι) = 180, ένα:σι= 4:5.

Λύση. Επειδή ένα: σι=4:5 τότε ΕΝΑ=4RΚαι σι=5R, Οπου R- μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης αριθμών έναΚαι σι. Επειτα R·180=4 R·5 R. Οπου R=9. Ως εκ τούτου, α= 36 και σι=45.

Πρόβλημα 38.Βρείτε αριθμούς ΕΝΑΚαι σι, αν είναι γνωστό ότι D( α, β)=5, K( α, β)=105.

Λύση. Από το D( ένα, σι) Κ( ένα, σι) = ένα· σι, Οτι ένα· σι= 5 105 = 525. Επιπλέον, οι απαιτούμενοι αριθμοί μπορούν να αναπαρασταθούν στη φόρμα ΕΝΑ= 5RΚαι σι= 5q, Οπου ΠΚαι qείναι αμοιβαία πρώτοι αριθμοί. Ας αντικαταστήσουμε τις εκφράσεις 5 Rκαι 5 qστην ισότητα ΕΝΑ· σι= 525. Τότε 5 Π·5 q=525 ή Π· q=21. Βρίσκουμε ζεύγη σχετικά πρώτων αριθμών των οποίων το γινόμενο είναι ίσο με 21. Υπάρχουν δύο τέτοια ζεύγη: (1, 21) και (3, 7). Επομένως, οι απαιτούμενοι αριθμοί ΕΝΑΚαι σιείναι: 5 και 105, 15 και 35.

Πρόβλημα 39.Αποδείξτε ότι ο αριθμός n(2n+ 1)(7n+ 1) διαιρείται με το 6 για κάθε φυσικό n.

Λύση. Ο αριθμός 6 είναι σύνθετος και μπορεί να αναπαρασταθεί ως το γινόμενο δύο σχετικά πρώτων αριθμών: 6 = 2·3. Αν αποδείξουμε ότι ένας δεδομένος αριθμός διαιρείται με το 2 και το 3, τότε με βάση το τεστ διαιρετότητας με έναν σύνθετο αριθμό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι διαιρείται με το 6.

Για να αποδείξει ότι ο αριθμός n(2n+ 1)(7n+ 1) διαιρείται με το 2, πρέπει να εξετάσουμε δύο πιθανότητες:

1) nδιαιρείται με το 2, δηλ. n= 2κ. Στη συνέχεια το προϊόν n(2n+ 1)(7n+ 1) θα μοιάζει με: 2 κ(4κ+ 1)(14κ+ 1). Αυτό το γινόμενο διαιρείται με το 2, επειδή ο πρώτος παράγοντας διαιρείται με το 2.

2) nδεν διαιρείται με το 2, δηλ. n= 2κ+ 1. Στη συνέχεια το προϊόν n(2n+ 1 )(7n+ 1) θα μοιάζει με: (2 κ+ 1)(4κ+ 3)(14κ+ 8). Αυτό το γινόμενο διαιρείται με το 2, επειδή ο τελευταίος παράγοντας διαιρείται με το 2.

Για να αποδείξει ότι το έργο n(2n+ 1)(7n+ 1) διαιρείται με το 3, πρέπει να ληφθούν υπόψη τρία ενδεχόμενα:

1) nδιαιρείται με το 3, δηλ. n= 3κ. Στη συνέχεια το προϊόν n(2n+ 1)(7n+ 1) θα μοιάζει με: 3 κ(6κ+ 1)(21κ+ 1). Αυτό το γινόμενο διαιρείται με το 3, επειδή ο πρώτος παράγοντας διαιρείται με το 3.

2) nΌταν διαιρεθεί με το 3, το υπόλοιπο είναι 1, δηλ. n= 3κ+ 1. Στη συνέχεια το προϊόν n(2n+ 1)(7n+ 1) θα μοιάζει με: (3 κ+ 1)(6κ+ 3)(21κ+ 8). Αυτό το γινόμενο διαιρείται με το 3, επειδή ο δεύτερος παράγοντας διαιρείται με το 3.

3) nόταν διαιρείται με το 3, το υπόλοιπο είναι 2, δηλ. n= 3κ+ 2. Στη συνέχεια το προϊόν n(2n+ 1)(7n+ 1) θα μοιάζει με: (3 κ+ 2)(6κ+ 5)(21κ+ 15). Αυτό το γινόμενο διαιρείται με το 3, επειδή ο τελευταίος παράγοντας διαιρείται με το 3.

Έτσι, έχει αποδειχθεί ότι το προϊόν n(2n+ 1)(7n+ 1) διαιρείται με το 2 και το 3. Αυτό σημαίνει ότι διαιρείται με το 6.

Ασκήσεις για ανεξάρτητη εργασία

1. Δίνονται δύο αριθμοί: 50 και 75. Γράψτε το σύνολο:

α) διαιρέτες του αριθμού 50· β) διαιρέτες του αριθμού 75. γ) κοινούς διαιρέτες δεδομένων αριθμών.

Ποιος είναι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης του 50 και του 75;

2. Είναι ο αριθμός 375 κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών: α) 125 και 75; β) 85 και 15;

3. Βρείτε αριθμούς ΕΝΑΚαι σι, εάν είναι γνωστό ότι Κ( ένα, σι) = 105, ένα· σι= 525.

4. Βρείτε αριθμούς ΕΝΑΚαι σι, αν είναι γνωστό ότι D( ένα, σι) = 7, ένα· σι= 294.

5. Βρείτε αριθμούς ΕΝΑΚαι σι, αν είναι γνωστό ότι D( ένα, σι) = 5, ένα:σι= 13:8.

6. Βρείτε αριθμούς ΕΝΑΚαι σι, εάν είναι γνωστό ότι Κ( ένα, σι) = 224, ένα:σι= 7:8.

7. Βρείτε αριθμούς έναΚαι σι, αν είναι γνωστό ότι D( ένα, σι) = 3, K( ένα; σι) = 915.

8. Να αποδείξετε το τεστ διαιρετότητας με το 15.

9. Από το σύνολο των αριθμών 1032, 2964, 5604, 8910, 7008 να γράψετε αυτούς που διαιρούνται με το 12.

10. Να διατυπώσετε τα κριτήρια διαιρετότητας με το 18, 36, 45, 75.

Λέξεις κλειδιά της περίληψης:Ακέραιοι. Αριθμητικές πράξεις σε φυσικούς αριθμούς. Διαιρετότητα φυσικών αριθμών. Πρώτοι και σύνθετοι αριθμοί. Παραγοντοποίηση ενός φυσικού αριθμού σε πρώτους παράγοντες. Σημάδια διαιρετότητας με 2, 3, 5, 9, 4, 25, 10, 11. Μέγιστος κοινός διαιρέτης (GCD), καθώς και ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCD). Διαίρεση με υπόλοιπο.

Ακέραιοι- αυτοί είναι αριθμοί που χρησιμοποιούνται για την μέτρηση αντικειμένων - 1, 2, 3, 4 , ... Αλλά ο αριθμός 0 δεν είναι φυσικό!

Το σύνολο των φυσικών αριθμών συμβολίζεται με Ν. Ρεκόρ "3 ∈ N"σημαίνει ότι ο αριθμός τρία ανήκει στο σύνολο των φυσικών αριθμών και στον συμβολισμό "0 ∉ N"σημαίνει ότι ο αριθμός μηδέν δεν ανήκει σε αυτό το σύνολο.

Σύστημα δεκαδικών αριθμών- σύστημα αριθμών ριζών θέσης 10 .

Αριθμητικές πράξεις σε φυσικούς αριθμούς

Για τους φυσικούς αριθμούς ορίζονται οι ακόλουθες ενέργειες: πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση,εκφορά, εξαγωγή ριζών. Οι τέσσερις πρώτες ενέργειες είναι αριθμητική.

Έστω a, b και c φυσικοί αριθμοί, λοιπόν

1. ΠΡΟΣΘΗΚΗ. Όρος + Όρος = Άθροισμα

Ιδιότητες προσθήκης
1. Επικοινωνιακό α + β = β + α.
2. Συνδετικός α + (β + γ) = (α + β) + γ.
3. a + 0= 0 + a = a.

2. ΑΦΑΙΡΕΣΤΕ. Minuend - Subtrahend = Διαφορά

Ιδιότητες Αφαίρεσης
1. Αφαίρεση του αθροίσματος από τον αριθμό α - (β + γ) = α - β - γ.
2. Αφαίρεση ενός αριθμού από το άθροισμα (a + b) - c = a + (b - c); (α + β) - γ = (α - γ) + β.
3. α - 0 = α.
4. α - α = 0.

3. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ. Πολλαπλασιαστής * Πολλαπλασιαστής = Προϊόν

Ιδιότητες πολλαπλασιασμού
1. Επικοινωνιακός α*β = β*α.
2. Συνδετικός a*(b*c) = (a*b)*c.
3. 1 * a = a * 1 = a.
4. 0 * a = a * 0 = 0.
5. Κατανεμητικό (a + b) * c = ac + bc; (a - b) * c = ac - bc.

4. ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ. Μέρισμα: Διαιρέτης = Πηλίκο

Ιδιότητες διαίρεσης
1. α: 1 = α.
2. α: α = 1. Δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν!
3. 0: a= 0.

Διαδικασία

1. Πρώτα από όλα οι ενέργειες σε παρένθεση.
2. Στη συνέχεια πολλαπλασιασμός, διαίρεση.
3. Και μόνο στο τέλος πρόσθεση και αφαίρεση.

Διαιρετότητα φυσικών αριθμών. Πρώτοι και σύνθετοι αριθμοί.

Διαιρέτης φυσικού αριθμού ΕΝΑείναι ο φυσικός αριθμός στον οποίο ΕΝΑδιαιρείται χωρίς υπόλοιπο. Αριθμός 1 είναι διαιρέτης οποιουδήποτε φυσικού αριθμού.

Ο φυσικός αριθμός ονομάζεται απλός, αν έχει μόνο δύοδιαιρέτης: ένα και ο ίδιος ο αριθμός. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 2, 3, 11, 23 είναι πρώτοι αριθμοί.

Ένας αριθμός που έχει περισσότερους από δύο διαιρέτες ονομάζεται σύνθετος. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 4, 8, 15, 27 είναι σύνθετοι αριθμοί.

Δοκιμή διαιρετότητας έργααρκετοί αριθμοί: εάν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες διαιρείται με έναν ορισμένο αριθμό, τότε το γινόμενο διαιρείται επίσης με αυτόν τον αριθμό. Δουλειά 24 15 77 διαιρείται με 12 , αφού ο πολλαπλασιαστής αυτού του αριθμού 24 διαιρείται με 12 .

Δοκιμή διαιρετότητας για άθροισμα (διαφορά)αριθμοί: αν κάθε όρος διαιρείται με έναν συγκεκριμένο αριθμό, τότε ολόκληρο το άθροισμα διαιρείται με αυτόν τον αριθμό. Αν α: βΚαι γ: β, Οτι (α + γ) : β. Κι αν α: β, ΕΝΑ ντοδεν διαιρείται με σι, Οτι α+γδεν διαιρείται με έναν αριθμό σι.

Αν μετα ΧριστονΚαι γ:β, Οτι α: β. Με βάση το γεγονός ότι 72:24 και 24:12, συμπεραίνουμε ότι 72:12.

Η παράσταση ενός αριθμού ως γινόμενο των δυνάμεων των πρώτων αριθμών ονομάζεται παραγοντοποίηση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες.

Θεμελιώδες Θεώρημα Αριθμητικής: οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός (εκτός 1 ) ή είναι απλός, ή μπορεί να παραγοντοποιηθεί με έναν μόνο τρόπο.

Κατά την αποσύνθεση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες, χρησιμοποιούνται τα σημάδια διαιρετότητας και χρησιμοποιείται ο συμβολισμός "στήλη" Σε αυτήν την περίπτωση, ο διαιρέτης βρίσκεται στα δεξιά της κάθετης γραμμής και το πηλίκο γράφεται κάτω από το μέρισμα.

Για παράδειγμα, εργασία: παράγετε έναν αριθμό σε πρώτους παράγοντες 330 . Λύση:

Σημάδια διαιρετότητας σε 2, 5, 3, 9, 10, 4, 25 και 11.

Υπάρχουν σημάδια διαιρετότητας σε 6, 15, 45 κ.λπ., δηλαδή σε αριθμούς των οποίων το γινόμενο μπορεί να παραγοντοποιηθεί 2, 3, 5, 9 Και 10 .

Μέγιστο κοινό διαιρέτη

Ο μεγαλύτερος φυσικός αριθμός με τον οποίο διαιρείται καθένας από δύο δεδομένους φυσικούς αριθμούς ονομάζεται μέγιστο κοινό διαιρέτηαυτοί οι αριθμοί ( GCD). Για παράδειγμα, GCD (10; 25) = 5; και GCD (18; 24) = 6; GCD (7; 21) = 1.

Αν ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης δύο φυσικών αριθμών είναι ίσος με 1 , τότε καλούνται αυτοί οι αριθμοί αμοιβαία πρωταρχική.

Αλγόριθμος για την εύρεση του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη(ΝΕΥΜΑ)

Το GCD χρησιμοποιείται συχνά σε προβλήματα. Για παράδειγμα, 155 τετράδια και 62 στυλό μοιράστηκαν εξίσου μεταξύ των μαθητών σε μια τάξη. Πόσοι μαθητές υπάρχουν σε αυτή την τάξη;

Λύση: Η εύρεση του αριθμού των μαθητών σε αυτήν την τάξη καταλήγει στην εύρεση του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη των αριθμών 155 και 62, αφού τα τετράδια και τα στυλό χωρίστηκαν ίσα. 155 = 5 31; 62 = 2 31. GCD (155; 62) = 31.

Απάντηση: 31 μαθητές στην τάξη.

Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο

Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού ΕΝΑείναι ένας φυσικός αριθμός που διαιρείται με ΕΝΑχωρίς ίχνος. Για παράδειγμα, αριθμός 8 έχει πολλαπλάσια: 8, 16, 24, 32 , ... Κάθε φυσικός αριθμός έχει άπειρα πολλαπλάσια.

Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο(LCM) είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός που είναι πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών.

Αλγόριθμος για την εύρεση του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου ( NOC):

Το LCM χρησιμοποιείται επίσης συχνά σε προβλήματα. Για παράδειγμα, δύο ποδηλάτες ξεκίνησαν ταυτόχρονα κατά μήκος μιας ποδηλατικής διαδρομής προς την ίδια κατεύθυνση. Ο ένας κάνει κύκλο σε 1 λεπτό και ο άλλος σε 45 δευτερόλεπτα. Σε ποιο ελάχιστο αριθμό λεπτών μετά την έναρξη της κίνησης θα συναντηθούν στην εκκίνηση;

Λύση: Ο αριθμός των λεπτών μετά από τα οποία θα συναντηθούν ξανά στην αρχή πρέπει να διαιρεθεί με 1 λεπτό, καθώς και στις 45 δευτ. Σε 1 λεπτό = 60 δευτ. Δηλαδή, είναι απαραίτητο να βρεθεί το LCM (45; 60). 45 = 32 5; 60 = 22 3 5. LCM (45; 60) = 22 32 5 = 4 9 5 = 180. Το αποτέλεσμα είναι ότι οι ποδηλάτες θα συναντηθούν στην εκκίνηση σε 180 s = 3 λεπτά.

Απάντηση: 3 λεπτά.

Διαίρεση με υπόλοιπο

Αν ένας φυσικός αριθμός ΕΝΑδεν διαιρείται με φυσικό αριθμό σι, τότε μπορείτε να κάνετε διαίρεση με υπόλοιπο. Στην περίπτωση αυτή καλείται το πηλίκο που προκύπτει ατελής. Η ισότητα είναι δίκαιη:

a = b n + r,

Οπου ΕΝΑ- διαιρούμενο, σι- διαχωριστικό, n- ατελές πηλίκο, r- υπόλοιπο. Για παράδειγμα, ας είναι ίσο το μέρισμα 243 , διαχωριστικό - 4 , Επειτα 243: 4 = 60 (υπόλοιπο 3). Δηλαδή, a = 243, b = 4, n = 60, r = 3, τότε 243 = 60 4 + 3 .

Αριθμοί που διαιρούνται με 2 χωρίς υπόλοιπο, καλούνται ακόμη και: a = 2n, n ∈ Ν.

Οι υπόλοιποι αριθμοί καλούνται Περιττός: b = 2n + 1, n ∈ Ν.

Αυτή είναι μια περίληψη του θέματος «Ακέραιοι αριθμοί. Σημάδια διαιρετότητας». Για να συνεχίσετε, επιλέξτε τα επόμενα βήματα:

• Μετάβαση στην επόμενη σύνοψη: