Σήμερα θα δούμε ποιες ποσότητες ονομάζονται αντιστρόφως ανάλογες, πώς μοιάζει ένα γράφημα αντίστροφης αναλογικότητας και πώς όλα αυτά μπορούν να σας φανούν χρήσιμα όχι μόνο στα μαθήματα μαθηματικών, αλλά και εκτός σχολείου.

Τόσο διαφορετικές αναλογίες

Αναλογικότηταονομάστε δύο ποσότητες που εξαρτώνται αμοιβαία η μία από την άλλη.

Η εξάρτηση μπορεί να είναι άμεση και αντίστροφη. Κατά συνέπεια, οι σχέσεις μεταξύ των ποσοτήτων περιγράφονται με άμεση και αντιστρόφως αναλογικότητα.

Άμεση αναλογικότητα– αυτή είναι μια τέτοια σχέση μεταξύ δύο ποσοτήτων κατά την οποία μια αύξηση ή μείωση της μιας από αυτές οδηγεί σε αύξηση ή μείωση της άλλης. Εκείνοι. η στάση τους δεν αλλάζει.

Για παράδειγμα, όσο περισσότερη προσπάθεια καταβάλλετε για να μελετήσετε για εξετάσεις, τόσο υψηλότεροι είναι οι βαθμοί σας. Ή όσο περισσότερα πράγματα παίρνετε μαζί σας σε μια πεζοπορία, τόσο πιο βαρύ θα είναι να μεταφέρετε το σακίδιό σας. Εκείνοι. Το ποσό της προσπάθειας που δαπανάται για την προετοιμασία για τις εξετάσεις είναι ευθέως ανάλογο με τους βαθμούς που αποκτήθηκαν. Και ο αριθμός των πραγμάτων που συσκευάζονται σε ένα σακίδιο είναι ευθέως ανάλογος με το βάρος του.

Αντιστρόφως αναλογικότητα- αυτή είναι μια λειτουργική εξάρτηση στην οποία μια μείωση ή αύξηση κατά πολλές φορές σε μια ανεξάρτητη τιμή (ονομάζεται όρισμα) προκαλεί μια αναλογική (δηλαδή, τον ίδιο αριθμό φορών) αύξηση ή μείωση σε μια εξαρτημένη τιμή (λέγεται λειτουργία).

Ας το εξηγήσουμε με ένα απλό παράδειγμα. Θέλετε να αγοράσετε μήλα στην αγορά. Τα μήλα στον πάγκο και το χρηματικό ποσό στο πορτοφόλι σας είναι σε αντίστροφη αναλογία. Εκείνοι. Όσο περισσότερα μήλα αγοράσετε, τόσο λιγότερα χρήματα θα σας απομείνουν.

Η συνάρτηση και η γραφική παράσταση της

Η συνάρτηση αντίστροφης αναλογικότητας μπορεί να περιγραφεί ως y = k/x. Στο οποίο Χ≠ 0 και κ≠ 0.

Αυτή η συνάρτηση έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

1. Το πεδίο ορισμού του είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών εκτός Χ = 0. ρε(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Το εύρος είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί εκτός y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Δεν έχει μέγιστες ή ελάχιστες τιμές.
4. Είναι περίεργο και η γραφική παράσταση του είναι συμμετρική ως προς την προέλευση.
5. Μη περιοδική.
6. Η γραφική παράσταση του δεν τέμνει τους άξονες συντεταγμένων.
7. Δεν έχει μηδενικά.
8. Αν κ> 0 (δηλαδή το όρισμα αυξάνεται), η συνάρτηση μειώνεται αναλογικά σε καθένα από τα διαστήματα της. Αν κ< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Καθώς το επιχείρημα αυξάνεται ( κ> 0) οι αρνητικές τιμές της συνάρτησης βρίσκονται στο διάστημα (-∞; 0) και οι θετικές τιμές στο διάστημα (0; +∞). Όταν το όρισμα μειώνεται ( κ< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης αντίστροφης αναλογικότητας ονομάζεται υπερβολή. Εμφανίζεται ως εξής:

Προβλήματα αντίστροφης αναλογικότητας

Για να γίνει πιο σαφές, ας δούμε διάφορες εργασίες. Δεν είναι πολύ περίπλοκα και η επίλυσή τους θα σας βοηθήσει να οπτικοποιήσετε τι είναι η αντίστροφη αναλογικότητα και πώς αυτή η γνώση μπορεί να είναι χρήσιμη στην καθημερινή σας ζωή.

Εργασία Νο. 1. Ένα αυτοκίνητο κινείται με ταχύτητα 60 km/h. Του πήρε 6 ώρες για να φτάσει στον προορισμό του. Πόσο καιρό θα του πάρει για να διανύσει την ίδια απόσταση αν κινηθεί με διπλάσια ταχύτητα;

Μπορούμε να ξεκινήσουμε γράφοντας έναν τύπο που περιγράφει τη σχέση μεταξύ χρόνου, απόστασης και ταχύτητας: t = S/V. Συμφωνώ, μας θυμίζει πολύ τη συνάρτηση της αντίστροφης αναλογικότητας. Και δείχνει ότι ο χρόνος που περνάει ένα αυτοκίνητο στο δρόμο και η ταχύτητα με την οποία κινείται είναι σε αντίστροφη αναλογία.

Για να το επαληθεύσουμε, ας βρούμε το V 2, το οποίο σύμφωνα με τη συνθήκη είναι 2 φορές υψηλότερο: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Στη συνέχεια υπολογίζουμε την απόσταση χρησιμοποιώντας τον τύπο S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Τώρα δεν είναι δύσκολο να μάθουμε τον χρόνο t 2 που απαιτείται από εμάς σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος: t 2 = 360/120 = 3 ώρες.

Όπως μπορείτε να δείτε, ο χρόνος ταξιδιού και η ταχύτητα είναι πράγματι αντιστρόφως ανάλογες: με ταχύτητα 2 φορές μεγαλύτερη από την αρχική ταχύτητα, το αυτοκίνητο θα περάσει 2 φορές λιγότερο χρόνο στο δρόμο.

Η λύση σε αυτό το πρόβλημα μπορεί επίσης να γραφτεί ως αναλογία. Ας δημιουργήσουμε λοιπόν πρώτα αυτό το διάγραμμα:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

Τα βέλη υποδεικνύουν μια αντιστρόφως ανάλογη σχέση. Προτείνουν επίσης ότι κατά την κατάρτιση μιας αναλογίας, η δεξιά πλευρά της εγγραφής πρέπει να αναποδογυριστεί: 60/120 = x/6. Πού παίρνουμε x = 60 * 6/120 = 3 ώρες.

Εργασία Νο. 2. Το εργαστήριο απασχολεί 6 εργαζόμενους που μπορούν να ολοκληρώσουν μια δεδομένη ποσότητα εργασίας σε 4 ώρες. Εάν ο αριθμός των εργαζομένων μειωθεί κατά το ήμισυ, πόσο καιρό θα χρειαστούν οι υπόλοιποι εργαζόμενοι για να ολοκληρώσουν την ίδια ποσότητα εργασίας;

Ας γράψουμε τις συνθήκες του προβλήματος με τη μορφή ενός οπτικού διαγράμματος:

↓ 6 εργάτες – 4 ώρες

↓ 3 εργάτες – x h

Ας το γράψουμε ως αναλογία: 6/3 = x/4. Και παίρνουμε x = 6 * 4/3 = 8 ώρες Αν υπάρχουν 2 φορές λιγότεροι εργαζόμενοι, οι υπόλοιποι θα αφιερώσουν 2 φορές περισσότερο χρόνο κάνοντας όλη τη δουλειά.

Εργασία Νο. 3. Υπάρχουν δύο σωλήνες που οδηγούν στην πισίνα. Μέσω ενός σωλήνα, το νερό ρέει με ταχύτητα 2 l/s και γεμίζει την πισίνα σε 45 λεπτά. Μέσω ενός άλλου σωλήνα, η πισίνα θα γεμίσει σε 75 λεπτά. Με ποια ταχύτητα εισέρχεται το νερό στην πισίνα μέσω αυτού του σωλήνα;

Αρχικά, ας μειώσουμε όλες τις ποσότητες που μας δίνονται σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος στις ίδιες μονάδες μέτρησης. Για να γίνει αυτό, εκφράζουμε την ταχύτητα πλήρωσης της πισίνας σε λίτρα ανά λεπτό: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Εφόσον η συνθήκη υποδηλώνει ότι η πισίνα γεμίζει πιο αργά μέσω του δεύτερου σωλήνα, αυτό σημαίνει ότι ο ρυθμός ροής του νερού είναι χαμηλότερος. Η αναλογικότητα είναι αντίστροφη. Ας εκφράσουμε την άγνωστη ταχύτητα μέσω x και ας συντάξουμε το ακόλουθο διάγραμμα:

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

Και στη συνέχεια σχηματίζουμε την αναλογία: 120/x = 75/45, από όπου x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

Στο πρόβλημα, η ταχύτητα πλήρωσης της πισίνας εκφράζεται σε λίτρα ανά δευτερόλεπτο, ας μειώσουμε την απάντηση που λάβαμε στην ίδια μορφή: 72/60 = 1,2 l/s.

Εργασία Νο. 4. Ένα μικρό ιδιωτικό τυπογραφείο τυπώνει επαγγελματικές κάρτες. Ένας υπάλληλος τυπογραφείου εργάζεται με ταχύτητα 42 επαγγελματικές κάρτες την ώρα και εργάζεται μια ολόκληρη μέρα - 8 ώρες. Αν δούλευε πιο γρήγορα και τύπωνε 48 επαγγελματικές κάρτες σε μια ώρα, πόσο νωρίτερα θα μπορούσε να πάει σπίτι;

Ακολουθούμε την δοκιμασμένη διαδρομή και σχεδιάζουμε ένα διάγραμμα σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, προσδιορίζοντας την επιθυμητή τιμή ως x:

↓ 42 επαγγελματικές κάρτες/ώρα – 8 ώρες

↓ 48 επαγγελματικές κάρτες/ώρα – x h

Έχουμε μια αντιστρόφως ανάλογη σχέση: πόσες φορές περισσότερες επαγγελματικές κάρτες τυπώνει ένας υπάλληλος ενός τυπογραφείου ανά ώρα, όσες φορές θα χρειαστεί λιγότερος χρόνος για να ολοκληρώσει την ίδια εργασία. Γνωρίζοντας αυτό, ας δημιουργήσουμε μια αναλογία:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 ώρες.

Έτσι, έχοντας ολοκληρώσει την εργασία σε 7 ώρες, ο υπάλληλος του τυπογραφείου μπορούσε να πάει σπίτι του μια ώρα νωρίτερα.

συμπέρασμα

Μας φαίνεται ότι αυτά τα προβλήματα αντίστροφης αναλογικότητας είναι πραγματικά απλά. Ελπίζουμε ότι τώρα και εσείς τα σκέφτεστε έτσι. Και το κύριο πράγμα είναι ότι η γνώση σχετικά με την αντιστρόφως ανάλογη εξάρτηση των ποσοτήτων μπορεί πραγματικά να σας είναι χρήσιμη περισσότερες από μία φορές.

Όχι μόνο στα μαθηματικά και στις εξετάσεις. Αλλά ακόμα και τότε, όταν ετοιμαστείτε να πάτε ένα ταξίδι, πάτε για ψώνια, αποφασίστε να κερδίσετε λίγα επιπλέον χρήματα στις διακοπές κ.λπ.

Πείτε μας στα σχόλια ποια παραδείγματα αντίστροφων και ευθέως αναλογικών σχέσεων παρατηρείτε γύρω σας. Ας είναι ένα τέτοιο παιχνίδι. Θα δείτε πόσο συναρπαστικό είναι. Μην ξεχάσετε να μοιραστείτε αυτό το άρθρο στα κοινωνικά δίκτυα για να μπορούν να παίζουν και οι φίλοι και οι συμμαθητές σας.

ιστοσελίδα, όταν αντιγράφετε υλικό εν όλω ή εν μέρει, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.

Πρώτο επίπεδο

Αντίστροφη σχέση. Πρώτο επίπεδο.

Τώρα θα μιλήσουμε για αντίστροφη εξάρτηση, ή με άλλα λόγια - αντίστροφη αναλογικότητα, ως συνάρτηση. Θυμάστε ότι μια συνάρτηση είναι ένα συγκεκριμένο είδος εξάρτησης; Εάν δεν έχετε διαβάσει ακόμα το θέμα, σας συνιστώ ανεπιφύλακτα να αφήσετε τα πάντα και να τα διαβάσετε, γιατί δεν μπορείτε να μελετήσετε κάποια συγκεκριμένη συνάρτηση χωρίς να καταλάβετε τι είναι - συνάρτηση.

Είναι επίσης πολύ χρήσιμο να κυριαρχήσετε δύο απλούστερες συναρτήσεις πριν ξεκινήσετε αυτό το θέμα: και . Εκεί θα ενισχύσετε την έννοια της συνάρτησης και θα μάθετε να εργάζεστε με συντελεστές και γραφήματα.

Λοιπόν, θυμάστε τι είναι μια συνάρτηση;
Ας επαναλάβουμε: μια συνάρτηση είναι ένας κανόνας σύμφωνα με τον οποίο κάθε στοιχείο ενός συνόλου (όρισμα) συνδέεται με ένα ορισμένο ( ο μοναδικός!) στοιχείο άλλου συνόλου (σύνολο τιμών συνάρτησης). Δηλαδή, εάν έχετε μια συνάρτηση, αυτό σημαίνει ότι για κάθε έγκυρη τιμή μιας μεταβλητής (που ονομάζεται «όρισμα») υπάρχει μια αντίστοιχη τιμή μιας μεταβλητής (που ονομάζεται «συνάρτηση»). Τι σημαίνει «αποδεκτό»; Εάν δεν μπορείτε να απαντήσετε σε αυτήν την ερώτηση, επιστρέψτε ξανά στο θέμα ""! Είναι όλα στο concept "τομέα": Για ορισμένες συναρτήσεις, δεν είναι όλα τα ορίσματα εξίσου χρήσιμα και μπορούν να αντικατασταθούν σε εξαρτήσεις. Για παράδειγμα, για μια συνάρτηση, δεν επιτρέπονται αρνητικές τιμές ορίσματος.

Συνάρτηση που περιγράφει την αντίστροφη σχέση

Αυτή είναι μια συνάρτηση της φόρμας όπου.

Με άλλο τρόπο, ονομάζεται αντίστροφη αναλογικότητα: μια αύξηση στο όρισμα προκαλεί αναλογική μείωση της συνάρτησης.
Ας ορίσουμε το πεδίο ορισμού. Με τι μπορεί να είναι ίσο; Ή, με άλλα λόγια, με τι δεν μπορεί να είναι ίσο;

Επομένως, ο μόνος αριθμός που δεν μπορεί να διαιρεθεί με είναι:

ή, τι είναι το ίδιο,

(μια τέτοια σημείωση σημαίνει ότι μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αριθμός, εκτός από: το σύμβολο " " δηλώνει το σύνολο των πραγματικών αριθμών, δηλαδή όλους τους πιθανούς αριθμούς, το σύμβολο " " δηλώνει την εξαίρεση κάποιου από αυτό το σύνολο (ανάλογα με το "μείον σημάδι) και ένας αριθμός σε σγουρές αγκύλες σημαίνει απλώς έναν αριθμό· αποδεικνύεται ότι από όλους τους πιθανούς αριθμούς εξαιρούμε).

Το σύνολο των τιμών της συνάρτησης, αποδεικνύεται, είναι ακριβώς το ίδιο: τελικά, εάν, ό,τι κι αν το διαιρέσουμε, δεν θα λειτουργήσει:

Ορισμένες παραλλαγές του τύπου είναι επίσης δυνατές. Για παράδειγμα, αυτή είναι επίσης μια συνάρτηση που περιγράφει μια αντίστροφη σχέση.
Προσδιορίστε μόνοι σας τον τομέα ορισμού και το εύρος τιμών αυτής της συνάρτησης. Θα πρέπει να μοιάζει με αυτό:

Ας δούμε αυτή τη συνάρτηση: . Έχει αντίστροφη σχέση;

Με την πρώτη ματιά, είναι δύσκολο να πούμε: τελικά, με μια αύξηση, τόσο ο παρονομαστής του κλάσματος όσο και ο αριθμητής αυξάνονται, επομένως δεν είναι σαφές εάν η συνάρτηση θα μειωθεί και αν ναι, θα μειωθεί αναλογικά; Για να το καταλάβουμε αυτό, πρέπει να μετατρέψουμε την έκφραση έτσι ώστε να μην υπάρχει μεταβλητή στον αριθμητή:

Πράγματι, λάβαμε μια αντίστροφη σχέση, αλλά με μια προειδοποίηση: .

Ιδού ένα άλλο παράδειγμα: .

Είναι πιο περίπλοκο εδώ: τελικά, ο αριθμητής και ο παρονομαστής τώρα σίγουρα δεν ακυρώνονται. Αλλά μπορούμε ακόμα να προσπαθήσουμε:

Καταλαβαίνετε τι έκανα; Στον αριθμητή, πρόσθεσα και αφαίρεσα τον ίδιο αριθμό (), οπότε δεν φαινόταν να άλλαξα τίποτα, αλλά τώρα υπάρχει ένα μέρος στον αριθμητή που είναι ίσο με τον παρονομαστή. Τώρα θα διαιρέσω όρο με όρο, δηλαδή θα χωρίσω αυτό το κλάσμα στο άθροισμα δύο κλασμάτων:

(πράγματι, αν μειώσουμε αυτό που πήρα σε κοινό παρονομαστή, θα πάρουμε το αρχικό μας κλάσμα):

Ουάου! Λειτουργεί ξανά αντίστροφη σχέση, μόνο τώρα προστίθεται ένας αριθμός σε αυτό.
Αυτή η μέθοδος θα μας είναι πολύ χρήσιμη αργότερα κατά την κατασκευή γραφημάτων.

Τώρα μετατρέψτε τις εκφράσεις μόνοι σας σε αντίστροφη σχέση:

Απαντήσεις:

2. Εδώ πρέπει να θυμάστε πώς παραγοντοποιείται ένα τετράγωνο τριώνυμο (αυτό περιγράφεται λεπτομερώς στο θέμα ""). Να σας υπενθυμίσω ότι για αυτό πρέπει να βρείτε τις ρίζες της αντίστοιχης τετραγωνικής εξίσωσης: . Θα τα βρω προφορικά χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Βιέτα: , . Πώς γίνεται; Μπορείτε να το μάθετε διαβάζοντας το θέμα.
Έτσι, παίρνουμε: , επομένως:

3. Έχετε ήδη προσπαθήσει να το λύσετε μόνοι σας; Ποιά είναι η παγίδα? Σίγουρα το γεγονός είναι ότι έχουμε στον αριθμητή και στον παρονομαστή - είναι απλό. Δεν είναι πρόβλημα. Θα χρειαστεί να μειώσουμε κατά, οπότε στον αριθμητή θα πρέπει να το βάλουμε εκτός παρενθέσεων (έτσι ώστε σε αγκύλες να το βγάλουμε χωρίς τον συντελεστή):

Γράφημα αντίστροφης σχέσης

Όπως πάντα, ας ξεκινήσουμε με την πιο απλή περίπτωση: .
Ας κάνουμε έναν πίνακα:

Ας σχεδιάσουμε σημεία στο επίπεδο συντεταγμένων:

Τώρα πρέπει να συνδεθούν ομαλά, αλλά πώς; Μπορεί να φανεί ότι τα σημεία στη δεξιά και την αριστερή πλευρά σχηματίζουν φαινομενικά ασύνδετες καμπύλες γραμμές. Ετσι οπως ειναι. Το γράφημα θα μοιάζει με αυτό:

Αυτό το γράφημα ονομάζεται "υπερβολή"(υπάρχει κάτι σαν "παραβολή" σε αυτό το όνομα, σωστά;). Όπως μια παραβολή, μια υπερβολή έχει δύο κλάδους, μόνο που δεν συνδέονται μεταξύ τους. Καθένα από αυτά προσπαθεί με τα άκρα του να πλησιάσει τους άξονες και, αλλά δεν τους φτάνει ποτέ. Αν κοιτάξετε την ίδια υπερβολή από μακριά, θα έχετε την ακόλουθη εικόνα:

Αυτό είναι κατανοητό: αφού το γράφημα δεν μπορεί να διασχίσει τον άξονα. Αλλά επίσης, έτσι το γράφημα δεν θα αγγίξει ποτέ τον άξονα.

Λοιπόν, τώρα ας δούμε τι επηρεάζουν οι συντελεστές. Εξετάστε αυτές τις λειτουργίες:
:

Ουάου, τι ομορφιά!
Όλα τα γραφήματα σχεδιάζονται σε διαφορετικά χρώματα για να είναι ευκολότερη η διάκρισή τους μεταξύ τους.

Λοιπόν, τι πρέπει να προσέξουμε πρώτα; Για παράδειγμα, εάν μια συνάρτηση έχει μείον πριν από το κλάσμα, τότε το γράφημα αναστρέφεται, δηλαδή εμφανίζεται συμμετρικά σε σχέση με τον άξονα.

Δεύτερον: όσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός στον παρονομαστή, τόσο περισσότερο το γράφημα «φεύγει» από την αρχή.

Τι γίνεται αν η συνάρτηση φαίνεται πιο περίπλοκη, για παράδειγμα, ;

Σε αυτή την περίπτωση, η υπερβολή θα είναι ακριβώς η ίδια με τη συνηθισμένη, μόνο που θα μετατοπιστεί λίγο. Ας σκεφτούμε, πού;

Με τι δεν μπορεί να είναι ίσο τώρα; Σωστά, . Αυτό σημαίνει ότι το γράφημα δεν θα φτάσει ποτέ σε ευθεία γραμμή. Με τι δεν μπορεί να είναι ίσο; Τώρα. Αυτό σημαίνει ότι τώρα το γράφημα θα τείνει προς την ευθεία γραμμή, αλλά δεν θα το διασχίσει ποτέ. Έτσι, τώρα οι ευθείες γραμμές παίζουν τον ίδιο ρόλο με τους άξονες συντεταγμένων για τη συνάρτηση. Τέτοιες γραμμές ονομάζονται ασύμπτωτοι(γραμμές στις οποίες τείνει το γράφημα αλλά δεν φτάνει):

Θα μάθουμε περισσότερα για το πώς κατασκευάζονται τέτοια γραφήματα στο θέμα.

Τώρα προσπαθήστε να λύσετε μερικά παραδείγματα προς ενοποίηση:

1. Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα μιας συνάρτησης. Καθορίζω.

2. Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης. Καθορίζω

3. Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης. Καθορίζω.

4. Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης. Καθορίζω.

5. Το σχήμα δείχνει γραφήματα συναρτήσεων και.

Επιλέξτε τη σωστή αναλογία:

Απαντήσεις:

Αντίστροφη εξάρτηση στη ζωή

Πού βρίσκουμε μια τέτοια λειτουργία στην πράξη; Υπάρχουν πολλά παραδείγματα. Το πιο συνηθισμένο είναι η κίνηση: όσο μεγαλύτερη είναι η ταχύτητα με την οποία κινούμαστε, τόσο λιγότερος χρόνος θα μας πάρει για να διανύσουμε την ίδια απόσταση. Πράγματι, ας θυμηθούμε τον τύπο για την ταχύτητα: , όπου είναι ταχύτητα, είναι χρόνος ταξιδιού, είναι απόσταση (διαδρομή).

Από εδώ μπορούμε να εκφράσουμε το χρόνο:

Παράδειγμα:

Ένα άτομο πηγαίνει στη δουλειά του με μέση ταχύτητα χλμ/ώρα και φτάνει εκεί σε μια ώρα. Πόσα λεπτά θα περάσει στον ίδιο δρόμο αν οδηγήσει με ταχύτητα χλμ/ώρα;

Λύση:

Σε γενικές γραμμές, έχετε ήδη λύσει τέτοια προβλήματα στην 5η και την 6η τάξη. Κάνατε την αναλογία:

Δηλαδή, η έννοια της αντίστροφης αναλογικότητας σας είναι ήδη γνωστή. Έτσι θυμηθήκαμε. Και τώρα το ίδιο πράγμα, μόνο με ενήλικο τρόπο: μέσω μιας συνάρτησης.

Συνάρτηση (δηλαδή εξάρτηση) του χρόνου σε λεπτά από την ταχύτητα:

Είναι γνωστό λοιπόν ότι:

Πρέπει να βρείτε:

Τώρα βρείτε μερικά παραδείγματα από τη ζωή στα οποία υπάρχει αντιστρόφως αναλογία.
Εφευρέθηκε; Μπράβο αν το κάνεις. Καλή τύχη!

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΕΞΑΡΤΗΣΗ. ΣΥΝΤΟΜΗ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΑ ΚΥΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ

1. Ορισμός

Συνάρτηση που περιγράφει την αντίστροφη σχέσηείναι συνάρτηση της μορφής όπου.

Με άλλο τρόπο, αυτή η συνάρτηση ονομάζεται αντίστροφη αναλογικότητα, αφού μια αύξηση του ορίσματος προκαλεί αναλογική μείωση της συνάρτησης.

ή, τι είναι το ίδιο,

Το αντίστροφο γράφημα είναι μια υπερβολή.

2. Συντελεστές, και.

Υπεύθυνος για «επιπεδότητα» και κατεύθυνση του γραφήματος: όσο μεγαλύτερος είναι αυτός ο συντελεστής, τόσο πιο μακριά βρίσκεται η υπερβολή από την αρχή και, επομένως, «γυρίζει» λιγότερο απότομα (βλ. σχήμα). Το πρόσημο του συντελεστή επηρεάζει σε ποια τέταρτα βρίσκεται το γράφημα:

• αν, τότε οι κλάδοι της υπερβολής βρίσκονται σε και τέταρτα.
• αν, τότε σε και.

x=a είναι κάθετη ασύμπτωτη, δηλαδή το κατακόρυφο προς το οποίο τείνει το γράφημα.

Ο αριθμός είναι υπεύθυνος για τη μετατόπιση του γραφήματος συνάρτησης προς τα πάνω κατά ένα ποσό if και για τη μετατόπισή του προς τα κάτω εάν .

Επομένως, αυτό είναι οριζόντια ασύμπτωτη.

1 μάθημα για το θέμα

Εκτελέστηκε:

Telegina L.B.

Σκοπός του μαθήματος:

1. επαναλάβετε όλο το υλικό που μελετήθηκε στις συναρτήσεις.
2. εισαγάγετε τον ορισμό της αντίστροφης αναλογικότητας και διδάξτε πώς να φτιάξετε το γράφημά της.
3. αναπτύξουν τη λογική σκέψη.
4. καλλιεργούν την προσοχή, την ακρίβεια, την ακρίβεια.

Πλάνο μαθήματος:

1. Επανάληψη.
2. Επεξήγηση νέου υλικού.
3. Λεπτό φυσικής αγωγής.
4. Ενοποίηση.

Εξοπλισμός: αφίσες.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων:

1. Το μάθημα ξεκινά με επανάληψη. Οι μαθητές καλούνται να λύσουν ένα σταυρόλεξο (το οποίο έχει προετοιμαστεί εκ των προτέρων σε ένα μεγάλο φύλλο χαρτιού).

Ερωτήσεις σταυρόλεξου:

1. Εξάρτηση μεταξύ μεταβλητών, στην οποία κάθε τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής αντιστοιχεί σε μία μόνο τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής. [Λειτουργία].

2. Ανεξάρτητη μεταβλητή. [Διαφωνία].

3. Το σύνολο των σημείων του επιπέδου συντεταγμένων της τετμημένης, τα οποία είναι ίσα με τις τιμές του ορίσματος και οι τεταγμένες είναι ίσες με τις τιμές της συνάρτησης. [Πρόγραμμα].

4. Συνάρτηση που δίνεται από τον τύπο y=kx+b. [Γραμμικός].

5. Τι συντελεστής ονομάζεται ένας αριθμός;κ στον τύπο y=kx+b; [Γωνία].

6. Τι είναι η γραφική παράσταση μιας γραμμικής συνάρτησης; [Ευθεία].

7. Αν k≠0, τότε η γραφική παράσταση y=kx+b τέμνει αυτόν τον άξονα, και αν k=0, τότε είναι παράλληλος προς αυτόν. Με ποιο γράμμα χαρακτηρίζεται αυτός ο άξονας; [Χ].

8. Η λέξη στο όνομα της συνάρτησης y=kx; [Αναλογικότητα].

9. Συνάρτηση που δίνεται από τον τύπο y=x 2. [Τετραγωνικός].

10. Όνομα της γραφικής παράστασης μιας τετραγωνικής συνάρτησης. [Παραβολή].

11. Γράμμα του λατινικού αλφαβήτου, που συχνά υποδηλώνει συνάρτηση. [Ιγκρέκ].

12. Ένας από τους τρόπους καθορισμού μιας συνάρτησης. [Τύπος].

Δάσκαλος : Ποιοι είναι οι κύριοι τρόποι προσδιορισμού μιας συνάρτησης που γνωρίζουμε;

(Ένας μαθητής λαμβάνει μια εργασία στον πίνακα: συμπληρώστε έναν πίνακα τιμών της συνάρτησης 12/x χρησιμοποιώντας τις δεδομένες τιμές του ορίσματός της και στη συνέχεια σχεδιάστε τα αντίστοιχα σημεία στο επίπεδο συντεταγμένων).

Οι υπόλοιποι απαντούν στις ερωτήσεις του δασκάλου: (οι οποίες είναι γραμμένες εκ των προτέρων στον πίνακα)

1. Ποια είναι τα ονόματα των παρακάτω συναρτήσεων που δίνονται από τύπους: y=kx, y=kx+b, y=x 2 , y=x 3 ?

2. Καθορίστε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: y=x 2 +8, y=1/x-7, y= 4x-1/5, y=2x, y=7-5x, y=2/x, y=x 3, y=-10/x.

Στη συνέχεια οι μαθητές εργάζονται σύμφωνα με τον πίνακα, απαντώντας στις ερωτήσεις του εκπαιδευτικού:

1. Ποιο σχήμα από τον πίνακα δείχνει τα γραφήματα:

α) γραμμική συνάρτηση.

β) ευθεία αναλογικότητα.

γ) τετραγωνική συνάρτηση.

δ) συναρτήσεις της μορφής y=kx 3 ?

2. Τι πρόσημο έχει ο συντελεστής k σε τύπους της μορφής y=kx+b, που αντιστοιχούν στα γραφήματα των σχημάτων 1, 2, 4, 5 του πίνακα;

3. Βρείτε στον πίνακα γραφήματα γραμμικών συναρτήσεων των οποίων οι κλίσεις είναι:

α) ίσος·

β) ίσο σε μέγεθος και αντίθετο σε πρόσημο.

(Στη συνέχεια όλη η τάξη ελέγχει εάν ο μαθητής που καλείται στον πίνακα συμπλήρωσε σωστά τον πίνακα και τοποθέτησε τα σημεία στο επίπεδο συντεταγμένων).

2. Η εξήγηση ξεκινά με κίνητρο.

Δάσκαλος: Όπως γνωρίζετε, κάθε συνάρτηση περιγράφει ορισμένες διαδικασίες που συμβαίνουν στον κόσμο γύρω μας.

Σκεφτείτε, για παράδειγμα, ένα ορθογώνιο με πλευρές x και y και εμβαδόν 12 cm 2 . Είναι γνωστό ότι x*y=12, αλλά τι συμβαίνει αν αρχίσετε να αλλάζετε μια από τις πλευρές του ορθογωνίου, ας πούμε μια πλευρά με μήκοςΧ?

Μήκος πλευράς y μπορεί να βρεθεί από τον τύπο y=12/x. ΑνΧ αυξηθεί κατά 2 φορές, θα έχει y=12/2x, δηλ. πλευρά y θα μειωθεί κατά 2 φορές. Εάν η τιμήΧ αύξηση κατά 3, 4, 5... φορές και μετά η τιμή y θα μειωθεί κατά το ίδιο ποσό. Αντίθετα, ανΧ μειωθεί αρκετές φορές, λοιπόν y θα αυξηθεί κατά το ίδιο ποσό. (Εργαστείτε σύμφωνα με τον πίνακα).

Επομένως, μια συνάρτηση της μορφής y=12/x ονομάζεται αντιστρόφως αναλογικότητα. Γενικά, γράφεται ως y=k/x, όπου k είναι μια σταθερά και k≠0.

Αυτό είναι το θέμα του σημερινού μαθήματος, το γράψαμε στο τετράδιό μας. Δίνω έναν αυστηρό ορισμό. Για τη συνάρτηση y=12/x, που είναι ένας ειδικός τύπος αντίστροφης αναλογικότητας, έχουμε ήδη καταγράψει ορισμένες τιμές του ορίσματος και της συνάρτησης στον πίνακα και θα απεικονίσουμε τα αντίστοιχα σημεία στο επίπεδο συντεταγμένων. Πώς μοιάζει το γράφημα αυτής της συνάρτησης; Είναι δύσκολο να κρίνουμε ολόκληρο το γράφημα με βάση τα κατασκευασμένα σημεία, γιατί τα σημεία μπορούν να συνδεθούν με οποιονδήποτε τρόπο. Ας προσπαθήσουμε μαζί να βγάλουμε συμπεράσματα σχετικά με τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης που προκύπτει από την εξέταση του πίνακα και του τύπου.

Ερωτήσεις για την τάξη:

1. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης y=12/x;
2. Είναι οι τιμές y θετικές ή αρνητικές αν

α) x

β) x>0;

3. Πώς αλλάζει η τιμή μιας μεταβλητής y με μεταβαλλόμενη αξίαΧ?

Ετσι,

1. το σημείο (0,0) δεν ανήκει στο γράφημα, δηλ. δεν τέμνει ούτε τον άξονα OX ούτε τον άξονα OY.
2. το γράφημα είναι σε Ι και ΙΙΙ τέταρτα συντεταγμένων.
3. προσεγγίζει ομαλά τους άξονες συντεταγμένων τόσο στο τέταρτο συντεταγμένων Ι όσο και στο ΙΙΙ και προσεγγίζει τους άξονες όσο πιο κοντά επιθυμεί.

Έχοντας αυτές τις πληροφορίες, μπορούμε ήδη να συνδέσουμε τις τελείες στο σχήμα (ο δάσκαλος το κάνει μόνος του στον πίνακα) και να δούμε ολόκληρο το γράφημα της συνάρτησης y=12/x. Η καμπύλη που προκύπτει ονομάζεται υπερβολή, που στα ελληνικά σημαίνει «περνάω από κάτι». Η καμπύλη αυτή ανακαλύφθηκε από μαθηματικούς της αρχαίας ελληνικής σχολής γύρω στον 4ο αιώνα π.Χ. Ο όρος υπερβολή εισήχθη από τον Απολλώνιο από την πόλη της Περγάμου (Μικρά Ασία), ο οποίος έζησε τον 6ο-8ο αιώνα. ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ.

Τώρα, δίπλα στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=12/x, θα κατασκευάσουμε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y=-12/x. (Οι μαθητές ολοκληρώνουν αυτή την εργασία σε τετράδια και ένας μαθητής στον μαυροπίνακα).

Συγκρίνοντας και τα δύο γραφήματα, οι μαθητές παρατηρούν ότι το δεύτερο καταλαμβάνει 2 και 4 τέταρτα συντεταγμένων. Επιπλέον, εάν η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=12/x εμφανίζεται συμμετρικά σε σχέση με τον άξονα op-amp, τότε θα προκύψει η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=-12/x.

Ερώτηση: Πώς εξαρτάται η θέση της γραφικής παράστασης της υπερβολής y=k/x από το πρόσημο και την τιμή του συντελεστή k;

Οι μαθητές είναι πεπεισμένοι ότι αν k>0, τότε η γραφική παράσταση βρίσκεται στο ΙΚαι ΙΙΙ τέταρτα συντεταγμένων, και αν κ

1. Το μάθημα φυσικής αγωγής διεξάγεται από τον δάσκαλο.

1. Η εμπέδωση των μελετούμενων γίνεται με τη συμπλήρωση του Νο 180, 185 από το σχολικό βιβλίο.

1. Το μάθημα συνοψίζεται, βαθμοί, εργασία: σελ. 8 Αρ. 179, 184.

Μάθημα 2 για το θέμα

«Η συνάρτηση αντίστροφης αναλογικότητας και το γράφημά της».

Εκτελέστηκε:

Telegina L.B.

Σκοπός του μαθήματος:

1. εμπέδωση της ικανότητας κατασκευής γραφήματος μιας συνάρτησης αντίστροφης αναλογικότητας.
2. ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, λογική σκέψη.
3. καλλιεργήστε την ανεξαρτησία και την προσοχή.

Πλάνο μαθήματος:

1. Έλεγχος ολοκλήρωσης της εργασίας.
2. Προφορική εργασία.
3. Επίλυση προβλήματος.
4. Λεπτό φυσικής αγωγής.
5. Πολυεπίπεδη ανεξάρτητη εργασία.
6. Σύνοψη, αξιολογήσεις, εργασίες για το σπίτι.

Εξοπλισμός: κάρτες.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων:

1. Ο δάσκαλος ανακοινώνει το θέμα του μαθήματος, τους στόχους και το σχέδιο μαθήματος.

Στη συνέχεια, δύο μαθητές συμπληρώνουν τους αριθμούς του σπιτιού 179, 184 στον πίνακα.

1. Οι υπόλοιποι μαθητές εργάζονται μετωπικά, απαντώντας στις ερωτήσεις του δασκάλου.

Ερωτήσεις:

• Να ορίσετε τη συνάρτηση αντίστροφης αναλογικότητας.
• Ποια είναι η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης αντίστροφης αναλογικότητας.
• Πώς εξαρτάται η θέση της γραφικής παράστασης της υπερβολής y=k/x από την τιμή του συντελεστή k;

Καθήκοντα:

1. Μεταξύ των συναρτήσεων που καθορίζονται από τους τύπους είναι οι συναρτήσεις της αντίστροφης αναλογικότητας:

α) y=x 2 +5, β) y=1/x, γ) y= 4x-1, δ) y=2x, ε) y=7-5x, στ) y=-11/x, g) y=x 3, η) y=15/x-2.

2. Για συναρτήσεις αντίστροφης αναλογικότητας, ονομάστε τον συντελεστή και υποδείξτε σε ποια τέταρτα βρίσκεται η γραφική παράσταση.

3. Να βρείτε το πεδίο ορισμού για συναρτήσεις αντιστρόφου αναλογικότητας.

(Στη συνέχεια οι μαθητές ελέγχουν ο ένας την εργασία του άλλου με ένα μολύβι με βάση τις λύσεις που έλεγξε ο δάσκαλος για τους αριθμούς στον πίνακα και δίνουν ένα βαθμό).

Μετωπική εργασία σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο Νο 190, 191, 192, 193 (προφορική).

1. Εκτέλεση σε τετράδια και στον πίνακα από το σχολικό βιβλίο αρ. 186(β), 187(β), 182.

4. Πραγματοποιείται μάθημα φυσικής αγωγής από τον δάσκαλο.

5. Η ανεξάρτητη εργασία δίνεται σε τρεις επιλογές διαφορετικής πολυπλοκότητας (διανέμονται σε κάρτες).

Ι γ. (πυγμάχος ελαφρού βάρους).

Σχεδιάστε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης αντίστροφης αναλογικότητας y=-6/x χρησιμοποιώντας τον πίνακα:

Χρησιμοποιώντας το γράφημα, βρείτε:

α) την τιμή του y αν x = - 1,5; 2;

β) την τιμή του x στην οποία y = - 1; 4.

ΙΙ αιώνα (μέτριας δυσκολίας)

Σχεδιάστε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης αντίστροφης αναλογικότητας y=16/x, αφού πρώτα συμπληρώσετε τον πίνακα.

Χρησιμοποιώντας το γράφημα, βρείτε σε ποιες τιμές x y >0.

ΙΙΙ αιώνας (αυξημένη δυσκολία)

Σχεδιάστε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης αντίστροφης αναλογικότητας y=10/x-2, αφού πρώτα συμπληρώσετε τον πίνακα.

Βρείτε το πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης.

(Οι μαθητές παραδίδουν φύλλα με γραφικές παραστάσεις για δοκιμή).

6. Συνοψίζει το μάθημα, αξιολογήσεις, εργασίες για το σπίτι: Αρ. 186 (α), 187 (α).

Ας επαναλάβουμε τη θεωρία για τις συναρτήσεις. Μια συνάρτηση είναι ένας κανόνας σύμφωνα με τον οποίο κάθε στοιχείο ενός συνόλου (όρισμα) συνδέεται με ένα ορισμένο ( ο μοναδικός!) στοιχείο άλλου συνόλου (σύνολο τιμών συνάρτησης). Αν υπάρχει δηλαδή συνάρτηση \(y = f(x)\), αυτό σημαίνει ότι για κάθε έγκυρη τιμή της μεταβλητής \(Χ\)(το οποίο ονομάζεται «όρισμα») αντιστοιχεί σε μία τιμή της μεταβλητής \(y\)(ονομάζεται «συνάρτηση»).

Συνάρτηση που περιγράφει την αντίστροφη σχέση

Αυτή είναι μια συνάρτηση της φόρμας \(y = \frac(k)(x)\), που \(k\ne 0.\)

Με άλλο τρόπο, ονομάζεται αντίστροφη αναλογικότητα: μια αύξηση στο όρισμα προκαλεί αναλογική μείωση της συνάρτησης.
Ας ορίσουμε το πεδίο ορισμού. Με τι μπορεί να είναι ίσο το \(x\); Ή, με άλλα λόγια, με τι δεν μπορεί να είναι ίσο;

Ο μόνος αριθμός που δεν μπορεί να διαιρεθεί με είναι το 0, άρα \(x\ne 0.\):

\(D(y) = (- \infty ;0) \κύπελλο (0; + \infty)\)

ή, που είναι το ίδιο:

\(D(y) = R\πίσω κάθετο \( 0\).\)

Αυτός ο συμβολισμός σημαίνει ότι ο \(x\) μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αριθμός εκτός από το 0: το σύμβολο "R" υποδηλώνει το σύνολο των πραγματικών αριθμών, δηλαδή όλους τους πιθανούς αριθμούς. το σύμβολο "\" υποδηλώνει την εξαίρεση κάτι από αυτό το σύνολο (ανάλογα με το σύμβολο "μείον") και ο αριθμός 0 σε σγουρές αγκύλες σημαίνει απλώς τον αριθμό 0. Αποδεικνύεται ότι από όλους τους πιθανούς αριθμούς εξαιρούμε το 0.

Το σύνολο των τιμών της συνάρτησης, αποδεικνύεται, είναι ακριβώς το ίδιο: τελικά, αν \(k \ne 0.\) , τότε ανεξάρτητα από το με τι το διαιρέσουμε, το 0 δεν θα λειτουργήσει:

\(E(y) = (- \infty ;0) \κύπελλο (0; + \infty)\)

ή \(E(y) = R\πίσω κάθετο \( 0\).\)

Ορισμένες παραλλαγές του τύπου είναι επίσης δυνατές \(y = \frac(k)(x)\). Για παράδειγμα, \(y = \frac(k)((x + a))\)είναι επίσης μια συνάρτηση που περιγράφει μια αντίστροφη σχέση. Το εύρος και το εύρος τιμών αυτής της συνάρτησης είναι τα εξής:

\(D(y) = (- \infty ; - a) \κύπελλο (- a; + \infty)\)

\(E(y) = (- \infty ;0) \κύπελλο (0; + \infty).\)

Ας σκεφτούμε παράδειγμα, ας μειώσουμε την έκφραση στη μορφή μιας αντίστροφης σχέσης:

\(y = \frac((x + 2))((x - 3)).\)

\(y = \frac((x + 2))((x - 3)) = \frac((x - 3 + 3 + 2))((x - 3)) = \frac(((x - 3 ) + 5))((x - 3)).\)

Εισάγαμε τεχνητά την τιμή 3 στον αριθμητή και τώρα διαιρούμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή όρο προς όρο, παίρνουμε:

\(y = \frac(((x - 3) + 5))((x - 3)) = \frac((x - 3))((x - 3)) + \frac(5)((x - 3)) = 1 + \frac(5)((x - 3)).\)

Πήραμε την αντίστροφη σχέση συν τον αριθμό 1.

Γράφημα αντίστροφης σχέσης

Ας ξεκινήσουμε με μια απλή υπόθεση \(y = \frac(1)(x).\)

Ας δημιουργήσουμε έναν πίνακα τιμών:

Ας σχεδιάσουμε σημεία στο επίπεδο συντεταγμένων:

Συνδέστε τις τελείες, το γράφημα θα μοιάζει με αυτό:

Αυτό το γράφημα ονομάζεται "υπερβολή". Όπως μια παραβολή, μια υπερβολή έχει δύο κλάδους, μόνο που δεν συνδέονται μεταξύ τους. Κάθε ένα από αυτά τείνει να μετακινεί τα άκρα του πιο κοντά στους άξονες ΒόδιΚαι Oy, αλλά δεν τους φτάνει ποτέ.

Ας σημειώσουμε μερικά χαρακτηριστικά της συνάρτησης:

1. Εάν μια συνάρτηση έχει μείον πριν από το κλάσμα, τότε το γράφημα αναστρέφεται, δηλαδή εμφανίζεται συμμετρικά σε σχέση με τον άξονα Βόδι.
2. Όσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός στον παρονομαστή, τόσο περισσότερο το γράφημα «φεύγει» από την αρχή.

Αντίστροφη εξάρτηση στη ζωή

Πού βρίσκουμε μια τέτοια λειτουργία στην πράξη; Υπάρχουν πολλά παραδείγματα. Το πιο συνηθισμένο είναι η κίνηση: όσο μεγαλύτερη είναι η ταχύτητα με την οποία κινούμαστε, τόσο λιγότερος χρόνος θα μας πάρει για να διανύσουμε την ίδια απόσταση. Ας θυμηθούμε τον τύπο ταχύτητας:

\(v = \frac(S)(t),\)

όπου v είναι η ταχύτητα, t είναι ο χρόνος ταξιδιού, S είναι η απόσταση (διαδρομή).

Από εδώ μπορούμε να εκφράσουμε το χρόνο: \(t = \frac(S)(v).\)