Επιστημονικό και πρακτικό συνέδριο

Δημοτικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα «Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης» ολοκληρωμένο σχολείοΝο. 23"

πόλη Vologda

ενότητα: φυσικές επιστήμες

σχεδιαστική και ερευνητική εργασία

ΕΙΔΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ

Την εργασία ολοκλήρωσε ένας μαθητής της 8ης τάξης

Κρένεβα Μαργαρίτα

Επικεφαλής: ανώτερος καθηγητής μαθηματικών

έτος 2014

Δομή έργου:

1. Εισαγωγή.

2. Στόχοι και στόχοι του έργου.

3. Τύποι συμμετρίας:

3.1. Κεντρική συμμετρία;

3.2. Αξονική συμμετρία;

3.3. Συμμετρία καθρέφτη(συμμετρία σε σχέση με το επίπεδο).

3.4. Περιστροφική συμμετρία;

3.5. Φορητή συμμετρία.

4. Συμπεράσματα.

Η συμμετρία είναι η ιδέα μέσω της οποίας ο άνθρωπος προσπάθησε για αιώνες να κατανοήσει και να δημιουργήσει τάξη, ομορφιά και τελειότητα.

G. Weil

Εισαγωγή.

Το θέμα της εργασίας μου επιλέχθηκε μετά από μελέτη της ενότητας «Αξονική και κεντρική συμμετρία" στο μάθημα "Γεωμετρία Στ' Δημοτικού". Με ενδιέφερε πολύ αυτό το θέμα. Ήθελα να μάθω: ποιοι τύποι συμμετρίας υπάρχουν, πώς διαφέρουν μεταξύ τους, ποιες είναι οι αρχές για την κατασκευή συμμετρικών σχημάτων σε κάθε τύπο.

Στόχος της εργασίας : Εισαγωγή σε διαφορετικούς τύπους συμμετρίας.

Καθήκοντα:

Μελετήστε τη βιβλιογραφία για αυτό το θέμα.

Συνοψίστε και συστηματοποιήστε το υλικό που μελετήθηκε.

Ετοιμάστε μια παρουσίαση.

Στην αρχαιότητα, η λέξη «ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ» χρησιμοποιήθηκε για να σημαίνει «αρμονία», «ομορφιά». Μετάφραση από τα ελληνικά, αυτή η λέξη σημαίνει «αναλογικότητα, αναλογικότητα, ομοιότητα στη διάταξη τμημάτων ενός πράγματος σε αντίθετες πλευρές ενός σημείου, ευθείας γραμμής ή επιπέδου.

Υπάρχουν δύο ομάδες συμμετριών.

Η πρώτη ομάδα περιλαμβάνει συμμετρία θέσεων, σχημάτων, δομών. Αυτή είναι η συμμετρία που φαίνεται άμεσα. Μπορεί να ονομαστεί γεωμετρική συμμετρία.

Η δεύτερη ομάδα χαρακτηρίζει τη συμμετρία φυσικά φαινόμενακαι τους νόμους της φύσης. Αυτή η συμμετρία βρίσκεται στην ίδια τη βάση της φυσικής επιστημονικής εικόνας του κόσμου: μπορεί να ονομαστεί φυσική συμμετρία.

Θα σταματήσω να μελετώγεωμετρική συμμετρία .

Με τη σειρά τους, υπάρχουν επίσης διάφοροι τύποι γεωμετρικής συμμετρίας: κεντρική, αξονική, καθρέφτη (συμμετρία σε σχέση με το επίπεδο), ακτινική (ή περιστροφική), φορητή και άλλα. Σήμερα θα εξετάσω 5 τύπους συμμετρίας.

Κεντρική συμμετρία

Δύο σημεία Α και Α 1 λέγονται συμμετρικά ως προς το σημείο Ο αν βρίσκονται σε ευθεία που διέρχεται από το σημείο Ο και βρίσκονται σε αντίθετες πλευρές του στην ίδια απόσταση. Το σημείο Ο ονομάζεται κέντρο συμμετρίας.

Το σχήμα λέγεται ότι είναι συμμετρικό ως προς το σημείοΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ , αν για κάθε σημείο του σχήματος υπάρχει ένα σημείο συμμετρικό προς αυτό σε σχέση με το σημείοΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ανήκει επίσης σε αυτό το σχήμα. ΤελείαΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ που ονομάζεται κέντρο συμμετρίας ενός σχήματος, το σχήμα λέγεται ότι έχει κεντρική συμμετρία.

Παραδείγματα σχημάτων με κεντρική συμμετρία είναι ένας κύκλος και ένα παραλληλόγραμμο.

Τα σχήματα που εμφανίζονται στη διαφάνεια είναι συμμετρικά σε σχέση με ένα συγκεκριμένο σημείο

2. Αξονική συμμετρία

Δύο σημείαΧ Και Υ λέγονται συμμετρικά ως προς μια ευθεία γραμμήt , αν αυτή η ευθεία διέρχεται από το μέσο του τμήματος XY και είναι κάθετη σε αυτό. Πρέπει επίσης να πούμε ότι κάθε σημείο είναι μια ευθεία γραμμήt θεωρείται συμμετρικό με τον εαυτό του.

Ευθείαt - ΑΞΟΝΑΣ συμμετριας.

Το σχήμα λέγεται ότι είναι συμμετρικό ως προς μια ευθεία γραμμήt, αν για κάθε σημείο του σχήματος υπάρχει ένα σημείο συμμετρικό προς αυτό ως προς την ευθείαt ανήκει επίσης σε αυτό το σχήμα.

Ευθείαtπου ονομάζεται άξονας συμμετρίας ενός σχήματος, το σχήμα λέγεται ότι έχει αξονική συμμετρία.

Μια γωνία που δεν έχει αναπτυχθεί, τα ισοσκελή και ισόπλευρα τρίγωνα, ένα ορθογώνιο και ένας ρόμβος έχουν αξονική συμμετρία.επιστολές (βλ. παρουσίαση).

Συμμετρία καθρέφτη (συμμετρία ως προς ένα επίπεδο)

Δύο σημεία Π 1 Και Τα P ονομάζονται συμμετρικά σε σχέση με το επίπεδο a εάν βρίσκονται σε ευθεία γραμμή κάθετη στο επίπεδο a και βρίσκονται στην ίδια απόσταση από αυτό

Συμμετρία καθρέφτη γνωστό σε κάθε άνθρωπο. Συνδέει οποιοδήποτε αντικείμενο και την αντανάκλασή του σε έναν επίπεδο καθρέφτη. Λένε ότι η μία φιγούρα είναι συμμετρική με την άλλη.

Σε ένα επίπεδο, μια φιγούρα με αμέτρητους άξονες συμμετρίας ήταν ένας κύκλος. Στο διάστημα, μια μπάλα έχει αμέτρητα επίπεδα συμμετρίας.

Αλλά αν ένας κύκλος είναι μοναδικός, τότε στον τρισδιάστατο κόσμο υπάρχει μια ολόκληρη σειρά σωμάτων με άπειρο αριθμό επιπέδων συμμετρίας: ένας ευθύς κύλινδρος με έναν κύκλο στη βάση, ένας κώνος με μια κυκλική βάση, μια μπάλα.

Είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι κάθε συμμετρικό επίπεδο σχήμα μπορεί να ευθυγραμμιστεί με τον εαυτό του χρησιμοποιώντας έναν καθρέφτη. Είναι εκπληκτικό ότι τόσο περίπλοκα στοιχεία όπως πεντάκτινο αστέριή ισόπλευρο πεντάγωνο, είναι επίσης συμμετρικά. Όπως προκύπτει από τον αριθμό των αξόνων, διακρίνονται από υψηλή συμμετρία. Και το αντίστροφο: δεν είναι τόσο εύκολο να καταλάβουμε γιατί ένα τέτοιο φαινομενικά σωστό σχήμα, όπως ένα λοξό παραλληλόγραμμο, είναι ασύμμετρο.

4. Π περιστροφική συμμετρία (ή ακτινική συμμετρία)

Περιστροφική συμμετρία - αυτό είναι η συμμετρία, η διατήρηση του σχήματος ενός αντικειμένουόταν περιστρέφεται γύρω από έναν συγκεκριμένο άξονα μέσω γωνίας ίσης με 360°/n(ή πολλαπλάσιο αυτής της τιμής), όπουn= 2, 3, 4, … Ο υποδεικνυόμενος άξονας ονομάζεται περιστροφικός άξοναςn-η σειρά.

Στοn=2 όλα τα σημεία του σχήματος περιστρέφονται υπό γωνία 180 0 ( 360 0 /2 = 180 0 ) γύρω από τον άξονα, ενώ διατηρείται το σχήμα του σχήματος, δηλ. κάθε σημείο του σχήματος πηγαίνει σε ένα σημείο του ίδιου σχήματος (το σχήμα μεταμορφώνεται στον εαυτό του). Ο άξονας ονομάζεται άξονας δεύτερης τάξης.

Το σχήμα 2 δείχνει έναν άξονα τρίτης τάξης, Σχήμα 3 - 4η τάξη, Εικόνα 4 - 5η τάξη.

Ένα αντικείμενο μπορεί να έχει περισσότερους από έναν άξονες περιστροφής: Εικ. 1 - 3 άξονες περιστροφής, Εικ. 2 - 4 άξονες, Εικ. 3 - 5 άξονες, Εικ. 4 – μόνο 1 άξονας

Τα γνωστά γράμματα "I" και "F" έχουν περιστροφική συμμετρία. Εάν περιστρέψετε το γράμμα "I" κατά 180° γύρω από έναν άξονα κάθετο στο επίπεδο του γράμματος και που διέρχεται από το κέντρο του, το γράμμα θα ευθυγραμμιστεί με τον εαυτό του. Με άλλα λόγια, το γράμμα "I" είναι συμμετρικό ως προς μια περιστροφή 180°, 180°= 360°: 2,n=2, που σημαίνει ότι έχει συμμετρία δεύτερης τάξης.

Σημειώστε ότι το γράμμα "F" έχει επίσης περιστροφική συμμετρία δεύτερης τάξης.

Επιπλέον, το γράμμα έχει κέντρο συμμετρίας και το γράμμα F έχει άξονα συμμετρίας

Ας επιστρέψουμε σε παραδείγματα από τη ζωή: ένα ποτήρι, ένα κιλό παγωτό σε σχήμα κώνου, ένα κομμάτι σύρμα, ένα σωλήνα.

Αν ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά σε αυτά τα σώματα, θα παρατηρήσουμε ότι όλα τους, με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, αποτελούνται από έναν κύκλο, μέσα από έναν άπειρο αριθμό αξόνων συμμετρίας υπάρχουν αμέτρητα επίπεδα συμμετρίας. Τα περισσότερα από αυτά τα σώματα (ονομάζονται σώματα περιστροφής) έχουν, φυσικά, ένα κέντρο συμμετρίας (το κέντρο ενός κύκλου), από το οποίο διέρχεται τουλάχιστον ένας περιστροφικός άξονας συμμετρίας.

Για παράδειγμα, ο άξονας του χωνιού παγωτού φαίνεται καθαρά. Τρέχει από τη μέση του κύκλου (που κολλάει έξω από το παγωτό!) μέχρι το αιχμηρό άκρο του χωνιού του χωνιού. Αντιλαμβανόμαστε το σύνολο των στοιχείων συμμετρίας ενός σώματος ως ένα είδος μέτρου συμμετρίας. Η μπάλα, χωρίς αμφιβολία, από άποψη συμμετρίας, είναι μια αξεπέραστη ενσάρκωση της τελειότητας, ένα ιδανικό. Οι αρχαίοι Έλληνες το αντιλαμβάνονταν ως το πιο τέλειο σώμα και τον κύκλο, φυσικά, ως την πιο τέλεια επίπεδη φιγούρα.

Για να περιγράψουμε τη συμμετρία ενός συγκεκριμένου αντικειμένου, είναι απαραίτητο να υποδείξουμε όλους τους άξονες περιστροφής και τη σειρά τους, καθώς και όλα τα επίπεδα συμμετρίας.

Σκεφτείτε, για παράδειγμα, γεωμετρικό σώμα, που αποτελείται από δύο πανομοιότυπες κανονικές τετραγωνικές πυραμίδες.

Έχει έναν περιστροφικό άξονα 4ης τάξης (άξονας ΑΒ), τέσσερις περιστροφικούς άξονες 2ης τάξης (άξονες CE,DF, βουλευτής, NQ), πέντε επίπεδα συμμετρίας (επίπεδαCDEF, AFBD, ACBE, AMBP, ANBQ).

5 . Φορητή συμμετρία

Ένας άλλος τύπος συμμετρίας είναιφορητός Με συμμετρία.

Μια τέτοια συμμετρία αναφέρεται όταν, όταν μετακινείτε ένα σχήμα κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής σε κάποια απόσταση "a" ή μια απόσταση που είναι πολλαπλάσιο αυτής της τιμής, συμπίπτει με τον εαυτό του Η ευθεία κατά μήκος της οποίας πραγματοποιείται η μεταφορά ονομάζεται άξονας μεταφοράς και η απόσταση "a" ονομάζεται στοιχειώδης μεταφορά, περίοδος ή βήμα συμμετρίας.

ΕΝΑ

Ένα περιοδικά επαναλαμβανόμενο μοτίβο σε μια μακριά λωρίδα ονομάζεται περίγραμμα. Στην πράξη, τα περιγράμματα συναντώνται σε διάφορες μορφές (τοιχογραφία, χυτοσίδηρος, γύψινα ανάγλυφαή κεραμικά). Τα σύνορα χρησιμοποιούνται από ζωγράφους και καλλιτέχνες όταν διακοσμούν ένα δωμάτιο. Για να φτιάξετε αυτά τα στολίδια, γίνεται ένα στένσιλ. Μετακινούμε το στένσιλ, αναποδογυρίζοντάς το ή όχι, χαράσσοντας το περίγραμμα, επαναλαμβάνοντας το σχέδιο και παίρνουμε ένα στολίδι (οπτική επίδειξη).

Το περίγραμμα είναι εύκολο να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας ένα στένσιλ (το αρχικό στοιχείο), μετακινώντας ή αναποδογυρίζοντας το και επαναλαμβάνοντας το σχέδιο. Το σχήμα δείχνει πέντε τύπους στένσιλ:ΕΝΑ ) ασύμμετρη?προ ΧΡΙΣΤΟΥ ) με έναν άξονα συμμετρίας: οριζόντιο ή κατακόρυφο.σολ ) κεντρικά συμμετρικό?ρε ) με δύο άξονες συμμετρίας: κάθετο και οριζόντιο.

Για την κατασκευή περιγραμμάτων, χρησιμοποιούνται οι ακόλουθοι μετασχηματισμοί:

ΕΝΑ ) παράλληλη μεταφορά?σι ) συμμετρία ως προς τον κατακόρυφο άξονα.V ) κεντρική συμμετρία.σολ ) συμμετρία ως προς τον οριζόντιο άξονα.

Μπορείτε να φτιάξετε πρίζες με τον ίδιο τρόπο. Για να γίνει αυτό, ο κύκλος χωρίζεται σεn ίσους τομείς, σε έναν από αυτούς γίνεται ένα δείγμα μοτίβο και στη συνέχεια το τελευταίο επαναλαμβάνεται διαδοχικά στα υπόλοιπα μέρη του κύκλου, περιστρέφοντας το σχέδιο κάθε φορά κατά γωνία 360°/n .

Ένα σαφές παράδειγμα χρήσης αξονικής και φορητής συμμετρίας είναι ο φράκτης που φαίνεται στη φωτογραφία.

Συμπέρασμα: Έτσι, υπάρχουν διαφορετικά είδησυμμετρία, τα συμμετρικά σημεία σε κάθε έναν από αυτούς τους τύπους συμμετρίας κατασκευάζονται σύμφωνα με ορισμένους νόμους. Στη ζωή, συναντάμε ένα είδος συμμετρίας παντού, και συχνά στα αντικείμενα που μας περιβάλλουν, μπορούν να σημειωθούν αρκετοί τύποι συμμετρίας ταυτόχρονα. Αυτό δημιουργεί τάξη, ομορφιά και τελειότητα στον κόσμο γύρω μας.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ:

Εγχειρίδιο Μαθηματικών Δημοτικού. M.Ya. Vygodsky. – Εκδοτικός οίκος «Nauka». - Μόσχα 1971 – 416 σελίδες.

Σύγχρονο λεξικό ξένες λέξεις. - Μ.: Ρωσική γλώσσα, 1993.

Η ιστορία των μαθηματικών στο σχολείοIX - Χτάξεις. Γ.Ι. Γκλέιζερ. – Εκδοτικός οίκος «Prosveshcheniye». - Μόσχα 1983 – 351 σελίδες.

Εικαστική γεωμετρία Ε ́ – ΣΤ ́ τάξεις. ΑΝ. Sharygin, L.N. Εργκανζίεβα. – Εκδοτικός οίκος «Δρόφα», Μόσχα 2005. – 189 σελίδες

Εγκυκλοπαίδεια για παιδιά. Βιολογία. S. Ismailova. – Εκδοτικός Οίκος Avanta+. - Μόσχα 1997 – 704 σελίδες.

Urmantsev Yu.A. Συμμετρία της φύσης και η φύση της συμμετρίας - Μ.: Μυσλ arxitekt / arhkomp2. htm, , ru.wikipedia.org/wiki/

(σημαίνει "αναλογικότητα") - η ιδιότητα των γεωμετρικών αντικειμένων να συνδυάζονται με τον εαυτό τους υπό ορισμένους μετασχηματισμούς. Με τον όρο «συμμετρία» εννοούμε οποιαδήποτε κανονικότητα εσωτερική δομήσώματα ή φιγούρες.

Κεντρική συμμετρία— συμμετρία ως προς ένα σημείο.

σε σχέση με το σημείοΟ, αν για κάθε σημείο ενός σχήματος ένα σημείο συμμετρικό προς αυτό σε σχέση με το σημείο Ο ανήκει επίσης σε αυτό το σχήμα. Το σημείο Ο ονομάζεται κέντρο συμμετρίας του σχήματος.

ΣΕ μονοδιάστατηχώρος (σε ευθεία γραμμή) η κεντρική συμμετρία είναι συμμετρία καθρέφτη.

Σε αεροπλάνο (σε 2-διάστατοχώρος) η συμμετρία με το κέντρο Α είναι μια περιστροφή 180 μοιρών με το κέντρο Α. Η κεντρική συμμετρία σε ένα επίπεδο, όπως η περιστροφή, διατηρεί τον προσανατολισμό.

Κεντρική συμμετρία σε τρισδιάστατηο χώρος ονομάζεται επίσης σφαιρική συμμετρία. Μπορεί να αναπαρασταθεί ως σύνθεση ανάκλασης σε σχέση με ένα επίπεδο που διέρχεται από το κέντρο συμμετρίας, με περιστροφή 180° σε σχέση με μια ευθεία που διέρχεται από το κέντρο συμμετρίας και κάθετη στο προαναφερθέν επίπεδο ανάκλασης.

ΣΕ 4-διάστατοχώρος, η κεντρική συμμετρία μπορεί να αναπαρασταθεί ως σύνθεση δύο περιστροφών 180° γύρω από δύο αμοιβαία κάθετα επίπεδα που διέρχονται από το κέντρο συμμετρίας.

Αξονική συμμετρία- συμμετρία σε σχέση με ευθεία γραμμή.

Το σχήμα ονομάζεται συμμετρικό σχετικά ευθείαα, αν για κάθε σημείο ενός σχήματος ένα σημείο συμμετρικό προς αυτό σε σχέση με την ευθεία και επίσης ανήκει σε αυτό το σχήμα. Η ευθεία α ονομάζεται άξονας συμμετρίας του σχήματος.

Αξονική συμμετρία έχει δύο ορισμούς:

- Ανακλαστική συμμετρία.

Στα μαθηματικά, η αξονική συμμετρία είναι ένας τύπος κίνησης (αντανάκλαση καθρέφτη) στην οποία το σύνολο των σταθερών σημείων είναι μια ευθεία γραμμή, που ονομάζεται άξονας συμμετρίας. Για παράδειγμα, ένα επίπεδο ορθογώνιο είναι ασύμμετρο στο χώρο και έχει 3 άξονες συμμετρίας, αν δεν είναι τετράγωνο.

- Περιστροφική συμμετρία.

Στις φυσικές επιστήμες, η αξονική συμμετρία νοείται ως περιστροφική συμμετρία, σε σχέση με τις περιστροφές γύρω από μια ευθεία γραμμή. Σε αυτή την περίπτωση, τα σώματα ονομάζονται αξονικά συμμετρικά εάν μετασχηματίζονται στον εαυτό τους σε οποιαδήποτε περιστροφή γύρω από αυτήν την ευθεία γραμμή. Σε αυτή την περίπτωση, το ορθογώνιο δεν θα είναι ένα αξονικό σώμα, αλλά ο κώνος θα είναι.

Οι εικόνες σε ένα επίπεδο πολλών αντικειμένων στον κόσμο γύρω μας έχουν έναν άξονα συμμετρίας ή ένα κέντρο συμμετρίας. Πολλά φύλλα δέντρων και πέταλα λουλουδιών είναι συμμετρικά ως προς το μέσο στέλεχος.

Συχνά συναντάμε συμμετρία στην τέχνη, την αρχιτεκτονική, την τεχνολογία και την καθημερινή ζωή. Οι προσόψεις πολλών κτιρίων έχουν αξονική συμμετρία. Στις περισσότερες περιπτώσεις, τα σχέδια σε χαλιά, υφάσματα και ταπετσαρίες εσωτερικού χώρου είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα ή το κέντρο. Πολλά μέρη των μηχανισμών, όπως τα γρανάζια, είναι συμμετρικά.

Πόντοι Χ Και Χ" λέγονται συμμετρικός σχετικά ευθεία ένα,και καθένα από αυτά είναι συμμετρικό προς το άλλο, αν a είναι η σεριδίνη κάθετη του τμήματος XX". Κάθε σημείο της ευθείας a θεωρείται συμμετρικό με τον εαυτό του (σε σχέση με την ευθεία α). Αν δοθεί μια ευθεία, τότε κάθε Το σημείο Χ αντιστοιχεί σε ένα μόνο σημείο Χ", συμμετρικό στο Χ σε σχέση με το α.

Συμμετρία επίπεδο σχετικά ευθεία ένα που ονομάζεται τέτοιος απεικόνιση, στο οι οποίες καθε σημείο Αυτό επίπεδο τίθεται V αλληλογραφία τελεία, συμμετρικός σε αυτή σχετικά ευθεία ένα.

Ας αποδείξουμε ότι η αξονική συμμετρία είναι μια κίνηση χρησιμοποιώντας τη μέθοδο συντεταγμένων: παίρνουμε την ευθεία α ως άξονα x Καρτεσιανές συντεταγμένες. Στη συνέχεια, με συμμετρία γύρω από αυτό, ένα σημείο με συντεταγμένες (x;y) θα μετατραπεί σε σημείο με συντεταγμένες (x, -y).

Ας πάρουμε οποιαδήποτε δύο σημεία A(x1, y1) και B(x2, y2) και θεωρήσουμε τα σημεία A"(x1,- y1) και B"(x2, -y2) που είναι συμμετρικά με αυτά ως προς το x- άξονας. Υπολογίζοντας τις αποστάσεις Α"Β" και ΑΒ, παίρνουμε

Έτσι, η αξονική συμμετρία διατηρεί την απόσταση, επομένως είναι κίνηση.

Στροφή

Στροφή επίπεδο σχετικά κέντρο Ο επί ο γωνία () V δεδομένος κατεύθυνσηορίζεται ως εξής: κάθε σημείο X του επιπέδου συνδέεται με ένα σημείο X" έτσι ώστε, πρώτον, OX"=OX, δεύτερον και τρίτον, η ακτίνα OX" απομακρύνεται από την ακτίνα OX σε μια δεδομένη κατεύθυνση. Σημείο O λέγεται κέντρο στροφή, και η γωνία είναι γωνία στροφή.

Ας αποδείξουμε ότι η περιστροφή είναι κίνηση:

Έστω, όταν περιστρέφονται γύρω από το σημείο Ο, τα σημεία X και Y συνδέονται με τα σημεία X" και Y". Ας δείξουμε ότι Χ"Υ"=ΧΥ.

Ας εξετάσουμε τη γενική περίπτωση όταν τα σημεία Ο, Χ, Υ δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Τότε η γωνία X"OY" είναι ίση με τη γωνία XOY. Πράγματι, αφήστε τη γωνία XOY από OX σε OY να μετρηθεί κατά τη διεύθυνση περιστροφής. (Εάν αυτό δεν συμβαίνει, τότε σκεφτείτε τη γωνία YOX). Τότε η γωνία μεταξύ OX και OY" είναι ίση με το άθροισμα της γωνίας XOY και της γωνίας περιστροφής (από OY σε OY"):

στην άλλη πλευρά,

Αφού (όπως οι γωνίες περιστροφής), επομένως. Επιπλέον, OX"=OX, και OY"=OY. Ως εκ τούτου - σε δύο πλευρές και τη γωνία μεταξύ τους. Επομένως Χ"Υ"=ΧΥ.

Εάν τα σημεία O, X, Y βρίσκονται στην ίδια ευθεία, τότε τα τμήματα XY και X"Y" θα είναι είτε το άθροισμα είτε η διαφορά ίσων τμημάτων OX, OY και OX, OY". Επομένως, σε αυτή την περίπτωση X"Y"=XY. Η στροφή λοιπόν είναι κίνηση.

§ 1. Περιστροφή και κεντρική συμμετρία - Εγχειρίδιο για τα Μαθηματικά, τάξη 6 (Zubareva, Mordkovich)

Σύντομη περιγραφή:

Σε αυτή την ενότητα προχωράμε στη μελέτη νέο θέμαστη γεωμετρία: περιστροφή και κεντρική συμμετρία. Αυτό θα μας βοηθήσει να κατανοήσουμε τι είναι περιστροφή με γεωμετρική έννοια, πώς να περιστρέφουμε σημεία, τμήματα ή ολόκληρα σχήματα, καθώς και ποια σημεία τμημάτων ή σχημάτων μπορούν να θεωρηθούν συμμετρικά.
Περιστροφή ενός σημείου μπορεί να θεωρηθεί η κίνηση ενός σημείου σε κύκλο γύρω από ένα άλλο σημείο ενός επιπέδου, ενώ το άλλο σημείο παραμένει ακίνητο. Η περιστροφή μπορεί να γίνει σε οποιαδήποτε απόσταση, μια τέτοια απόσταση μετριέται σε μοίρες, μπορεί να μετρηθεί χρησιμοποιώντας ένα μοιρογνωμόνιο. Εκτός από σημεία, μπορούν να μετακινηθούν ολόκληρες φιγούρες και εικόνες. Έτσι, μπορούμε να δούμε πολλά παραδείγματα χρήσης στροφών πραγματική ζωή– συμμετρικά φυτά, λουλούδια, φρούτα, κομμένα στη μέση, δομικά στοιχεία, Για παράδειγμα, σπειροειδείς σκάλες, παπούτσια - δεξιά και αριστερά παπούτσια. Έτσι, τα αστέρια περιστρέφονται γύρω από τον πόλο, αλλάζοντας τη θέση τους μόνο σε σχέση με ένα σημείο. Για να κατασκευάσετε γεωμετρικά μια περιστροφή, είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε μια πυξίδα και ένα μοιρογνωμόνιο. Η συμμετρία μπορεί να οριστεί ως η εξίσου απομακρυσμένη διάταξη σημείων σε σχέση με ένα κέντρο. ΣΕ Καθημερινή ζωήσυναντάμε συχνά συμμετρικά αντικείμενα. Αλλά αξίζει να σημειωθεί ότι η τέλεια συμμετρία δεν υπάρχει στη φύση· ακόμη και το πρόσωπο ενός ατόμου δεν μπορεί να είναι απόλυτα συμμετρικό. Αλλά τα αντικείμενα που χρησιμοποιούμε για καθημερινές δραστηριότητες, το μαγείρεμα, την προετοιμασία της εργασίας, το παιχνίδι, είναι τις περισσότερες φορές συμμετρικά. Ενδιαφέρων? Σας προσκαλούμε να εξοικειωθείτε με το υλικό της παραγράφου στο σχολικό βιβλίο με περισσότερες λεπτομέρειες!

Κατά τη μελέτη του θέματος "Περιστροφή", οι μαθητές αναλαμβάνουν την εργασία: να σχεδιάσουν μια εικόνα σε ένα φύλλο τοπίου, να επιλέξουν το κέντρο περιστροφής και τη γωνία περιστροφής. Κατασκευάστε ένα νέο σχήμα. Η τεχνική εργασίας μπορεί να είναι διαφορετική. Για παράδειγμα, τα παιδιά χρησιμοποιούν συχνά εφαρμογέςλικέρισμα. Στην εικονική μας έκθεση, το δεύτερο έργο έγινε με αυτήν την τεχνική.Όμως στην εικόνα 3, ο μαθητής χρησιμοποίησε μια έτοιμη εικόνα (απλικέ) και σχεδίασε ανεξάρτητα τη δεύτερη κινούμενη φιγούρα.

Ιδιαίτερα ενδιαφέροντα είναι τα έργα που γίνονται με μολύβια, μαρκαδόρους ή μπογιές. Φυσικά, κατά τη σύνταξη αυτών των έργων, πρώτα τα παιδιάέφτιαξε ένα πρότυπο. Αυτό το πρότυπο στένσιλ τους βοήθησε να ολοκληρώσουν δημιουργικές εργασίεςσε άλλα θέματα "Συμμετρία ως προς μια γραμμή", "Συμμετρία για ένα σημείο», «Παράλληλη μεταφορά».

Τα παιδιά απολαμβάνουν ιδιαίτερα να φτιάχνουν δυναμικά μοντέλα. Μπορούν να συστραφούν και να περιστραφούν δεξιόστροφα και αριστερόστροφα. Στην έκθεση που παρουσιάζεται υπάρχει μόνο ένα στατικό έργο στο πρώτο σχέδιο. Το υπόλοιπο έργο είναι δυναμικό.

Για να δημιουργήσετε ένα δυναμικό μοντέλο, πρέπει να σχεδιάσετε ένα σχήμα σε ένα φύλλο τοπίου. Κόψτε το δεύτερο σχήμα χρησιμοποιώντας ένα πρότυπο από λευκό χαρτόνι. Μερικοί τύποι κάλυψαν επίσης τη δεύτερη κινητή φιγούρα με άχρωμη μεμβράνη για μεγαλύτερη αξιοπιστία. Για παράδειγμα, ένα όμορφο ψάρι στην επάνω σειρά. Είναι ήδη πάνω από 10 ετών, αλλά μοιάζει σαν καινούργια. Τα έντονα χρώματα δεν ξεθώριασαν ούτε ξεθώριασαν. Για να σημειώσουν το κέντρο, οι μαθητές χρησιμοποιούν μια μικρή στρογγυλή κουκκίδα από χαρτόνι, προσαρτούν την κινητή φιγούρα στο φύλλο άλμπουμ χρησιμοποιώντας συνηθισμένο κλωστές ραψίματος. Μερικά παιδιά χρησιμοποιούσαν μεταλλικά παξιμάδια. Είναι αλήθεια ότι αυτή η επιλογή δεν φαίνεται πολύ αισθητικά ευχάριστη.

Μεταξύ των καλύτερων έργων για το θέμα "Γύρισμα" υπάρχουν έργα κατασκευασμένα σε κόντρα πλακέ χρησιμοποιώντας μια συσκευή καύσης. Ανάμεσά τους υπάρχουν κινούμενα μοντέλα και στατικά σχέδια. Για δυναμικά μοντέλα, χρειάζεται να γίνει πολύ μεγαλύτερη εργασία, επειδή η κινούμενη φιγούρα πρέπει να αποκοπεί. Τι εργασία έντασης εργασίας!

Τα καλύτερα έργαεκτίθενται σε περίπτερο στην τάξη. Και τα έργα σε κόντρα πλακέ είναι σε ντουλάπια. Μετά την Έκθεση στο γραφείο, αρχειοθετώ δημιουργικές εργασίες σε θεματικούς φακέλους, συμπληρώνουν τη μεθοδολογική βάση του γραφείου. Αυτός ο φάκελος παρουσιάζεται σε Εκθέσεις στο γυμνάσιο, που πραγματοποιούνται στο πλαίσιο διαφόρων μεθοδολογικών εκδηλώσεων και σεμιναρίων. Για παράδειγμα, έκθεση δημιουργικών έργων μαθητών στο πλαίσιο της Ημέρας ανοιχτές πόρτεςστο γυμνάσιο, στο οποίο παραδοσιακά καλούνται οι γονείς των μαθητών.