Παραδείγματα λύσεων: Ρίξτε δύο ζάρια ταυτόχρονα. Πιθανότητα ζαριών

Καθήκοντα για πιθανότητα ζάρια όχι λιγότερο δημοφιλή από τα προβλήματα εκτίναξης νομισμάτων. Η συνθήκη ενός τέτοιου προβλήματος συνήθως ακούγεται ως εξής: όταν ρίχνετε ένα ή περισσότερα ζάρια (2 ή 3), ποια είναι η πιθανότητα το άθροισμα των πόντων να είναι ίσο με 10 ή ο αριθμός των πόντων να είναι 4, ή το γινόμενο του αριθμού των πόντων ή το γινόμενο του αριθμού των πόντων διαιρούμενο με 2 κ.λπ.

Εφαρμογή του τύπου κλασική πιθανότηταείναι η κύρια μέθοδος για την επίλυση προβλημάτων αυτού του τύπου.

Ένας θάνατος, πιθανότητα.

Είναι πολύ απλό να το αντιμετωπίσεις ζάρια. καθορίζεται από τον τύπο: P=m/n, όπου m είναι ο αριθμός των αποτελεσμάτων ευνοϊκών για το συμβάν και n είναι ο αριθμός όλων των στοιχειωδών εξίσου δυνατών αποτελεσμάτων του πειράματος με τη ρίψη ενός οστού ή κύβου.

Πρόβλημα 1. Τα ζάρια ρίχνονται μία φορά. Ποια είναι η πιθανότητα να πάρεις ζυγό αριθμό πόντων;

Δεδομένου ότι η μήτρα είναι κύβος (ή ονομάζεται επίσης κανονική μήτρα, η μήτρα θα προσγειωθεί σε όλες τις πλευρές με ίση πιθανότητα, αφού είναι ισορροπημένη), η μήτρα έχει 6 πλευρές (ο αριθμός των σημείων από 1 έως 6, που είναι συνήθως υποδεικνύεται με τελείες), αυτό σημαίνει ότι το πρόβλημα έχει συνολικό αριθμό αποτελεσμάτων: n=6. Το γεγονός ευνοείται μόνο από αποτελέσματα στα οποία εμφανίζεται η πλευρά με ζυγά σημεία 2,4 και 6· η μήτρα έχει τις εξής πλευρές: m=3. Τώρα μπορούμε να προσδιορίσουμε την επιθυμητή πιθανότητα του ζαριού: P=3/6=1/2=0,5.

Εργασία 2. Τα ζάρια ρίχνονται μία φορά. Ποια είναι η πιθανότητα να πάρεις τουλάχιστον 5 βαθμούς;

Αυτό το πρόβλημα επιλύεται κατ' αναλογία με το παραπάνω παράδειγμα. Όταν ρίχνετε ένα ζάρι, ο συνολικός αριθμός των εξίσου δυνατών αποτελεσμάτων είναι: n=6, και μόνο 2 αποτελέσματα ικανοποιούν την κατάσταση του προβλήματος (τουλάχιστον 5 πόντοι, δηλαδή, 5 ή 6 πόντοι μοιρασμένοι), που σημαίνει m =2. Στη συνέχεια, βρίσκουμε την απαιτούμενη πιθανότητα: P=2/6=1/3=0,333.

Δύο ζάρια, πιθανότητα.

Όταν επιλύετε προβλήματα που περιλαμβάνουν ρίψη 2 ζαριών, είναι πολύ βολικό να χρησιμοποιείτε έναν ειδικό πίνακα βαθμολόγησης. Σε αυτό, ο αριθμός των πόντων που έπεσαν στο πρώτο ζάρι εμφανίζεται οριζόντια και ο αριθμός των πόντων που έπεσαν στο δεύτερο ζάρι εμφανίζεται κάθετα. Το τεμάχιο εργασίας μοιάζει με αυτό:

Όμως τίθεται το ερώτημα, τι θα υπάρχει στα άδεια κελιά του πίνακα; Εξαρτάται από το πρόβλημα που πρέπει να λυθεί. Εάν το πρόβλημα αφορά το άθροισμα των βαθμών, τότε το άθροισμα γράφεται εκεί, και αν είναι για τη διαφορά, τότε η διαφορά καταγράφεται και ούτω καθεξής.

Πρόβλημα 3. Ρίχνονται 2 ζάρια ταυτόχρονα. Ποια είναι η πιθανότητα να πάρεις λιγότερους από 5 βαθμούς;

Αρχικά, πρέπει να υπολογίσετε ποιος θα είναι ο συνολικός αριθμός των αποτελεσμάτων του πειράματος. Όλα ήταν προφανή όταν πετάγαμε ένα ζάρι, 6 πλευρές της μήτρας - 6 αποτελέσματα του πειράματος. Αλλά όταν υπάρχουν ήδη δύο ζάρια, τα πιθανά αποτελέσματα μπορούν να αναπαρασταθούν ως διατεταγμένα ζεύγη αριθμών της μορφής (x, y), όπου το x δείχνει πόσοι πόντους έριξαν στο πρώτο ζάρι (από 1 έως 6) και y - πόσοι πόντους ρίχτηκαν στο δεύτερο ζάρι (από 1 έως 6). Θα υπάρχουν συνολικά τέτοια ζεύγη αριθμών: n=6*6=36 (στον πίνακα των αποτελεσμάτων αντιστοιχούν ακριβώς σε 36 κελιά).

Τώρα μπορείτε να συμπληρώσετε τον πίνακα· για να το κάνετε αυτό, ο αριθμός των πόντων που έπεσαν στο πρώτο και το δεύτερο ζάρι εισάγεται σε κάθε κελί. Ο συμπληρωμένος πίνακας μοιάζει με αυτό:

Χρησιμοποιώντας τον πίνακα, θα προσδιορίσουμε τον αριθμό των αποτελεσμάτων που ευνοούν το γεγονός «θα εμφανιστούν συνολικά λιγότεροι από 5 βαθμοί». Ας μετρήσουμε τον αριθμό των κελιών, την τιμή του αθροίσματος στο οποίο θα βρίσκεται μικρότερος αριθμός 5 (αυτά είναι τα 2, 3 και 4). Για ευκολία, ζωγραφίζουμε πάνω από τέτοια κελιά· θα υπάρχουν m=6 από αυτά:

Λαμβάνοντας υπόψη τα δεδομένα του πίνακα, πιθανότητα ζαριώνισούται με: P=6/36=1/6.

Πρόβλημα 4. Ρίχτηκαν δύο ζάρια. Να προσδιορίσετε την πιθανότητα το γινόμενο του αριθμού των σημείων να διαιρείται με το 3.

Για να λύσουμε το πρόβλημα, ας φτιάξουμε έναν πίνακα με τα γινόμενα των πόντων που έπεσαν στο πρώτο και το δεύτερο ζάρι. Σε αυτό, επισημαίνουμε αμέσως τους αριθμούς που είναι πολλαπλάσιοι του 3:

Καταγράφουμε τον συνολικό αριθμό των αποτελεσμάτων του πειράματος n=36 (ο συλλογισμός είναι ίδιος με το προηγούμενο πρόβλημα) και τον αριθμό των ευνοϊκών αποτελεσμάτων (ο αριθμός των κελιών που σκιάζονται στον πίνακα) m=20. Η πιθανότητα του συμβάντος είναι: P=20/36=5/9.

Πρόβλημα 5. Τα ζάρια ρίχνονται δύο φορές. Ποια είναι η πιθανότητα η διαφορά στον αριθμό των πόντων στο πρώτο και το δεύτερο ζάρι να είναι από 2 έως 5;

Να καθορίσει πιθανότητα ζαριώνΑς γράψουμε έναν πίνακα διαφορών σημείων και ας επιλέξουμε σε αυτόν εκείνα τα κελιά των οποίων η τιμή διαφοράς θα είναι μεταξύ 2 και 5:

Ο αριθμός των ευνοϊκών αποτελεσμάτων (ο αριθμός των κελιών που σκιάζονται στον πίνακα) είναι m=10, ο συνολικός αριθμός εξίσου πιθανών στοιχειωδών αποτελεσμάτων θα είναι n=36. Καθορίζει την πιθανότητα του συμβάντος: P=10/36=5/18.

Στην περίπτωση ενός απλού γεγονότος και όταν ρίχνετε 2 ζάρια, πρέπει να δημιουργήσετε έναν πίνακα, στη συνέχεια να επιλέξετε τα απαραίτητα κελιά σε αυτό και να διαιρέσετε τον αριθμό τους με το 36, αυτό θα θεωρείται πιθανότητα.

Άφησε μια απάντηση Επισκέπτης

Με ένα ζάρι η κατάσταση είναι απρεπώς απλή. Να σας υπενθυμίσω ότι η πιθανότητα βρίσκεται με τον τύπο P=m/n
Π
=
Μ
n
, όπου n
n
είναι ο αριθμός όλων των εξίσου πιθανών στοιχειωδών αποτελεσμάτων ενός πειράματος που περιλαμβάνει την ρίψη ενός κύβου ή ζαριού, και m
Μ
- τον αριθμό των αποτελεσμάτων που ευνοούν την εκδήλωση.

Παράδειγμα 1: Η μήτρα ρίχνεται μία φορά. Ποια είναι η πιθανότητα να κυληθεί ζυγός αριθμός σημείων;

Δεδομένου ότι το ζάρι είναι κύβος (λέγουν και κανονικό ζάρι, δηλαδή ισορροπημένο ζάρι ώστε να προσγειώνεται σε όλες τις πλευρές με ίση πιθανότητα), ο κύβος έχει 6 όψεις (με αριθμό σημείων από 1 έως 6, συνήθως υποδεικνύονται κατά μονάδες), τότε και ο συνολικός αριθμός των αποτελεσμάτων στο πρόβλημα n=6
n
=
6
. Τα μόνα αποτελέσματα που ευνοούν το γεγονός είναι εκείνα όπου εμφανίζεται μια πλευρά με 2, 4 ή 6 πόντους (μόνο ζυγούς αριθμούς), υπάρχουν m=3 τέτοιες πλευρές
Μ
=
3
. Τότε η απαιτούμενη πιθανότητα είναι P=3/6=1/2=0,5
Π
=
3
6
=
1
2
=
0.5
.

Παράδειγμα 2. Πετάγεται ζάρι. Βρείτε την πιθανότητα κύλισης τουλάχιστον 5 πόντων.

Σκεφτόμαστε με τον ίδιο τρόπο όπως στο προηγούμενο παράδειγμα. Ο συνολικός αριθμός εξίσου πιθανών αποτελεσμάτων κατά τη ρίψη μιας μήτρας n=6
n
=
6
, και η συνθήκη «τουλάχιστον 5 σημεία έλασης», δηλαδή «είτε 5 ή 6 πόντους έλασης» ικανοποιείται από 2 αποτελέσματα, m=2
Μ
=
2
. Η απαιτούμενη πιθανότητα είναι P=2/6=1/3=0,333
Π
=
2
6
=
1
3
=
0.333
.

Δεν βλέπω καν νόημα να δίνω περισσότερα παραδείγματα, ας περάσουμε σε δύο ζάρια, όπου όλα γίνονται πιο ενδιαφέροντα και περίπλοκα.

Δύο ζάρια

Όταν πρόκειται για προβλήματα που αφορούν την ρίψη 2 ζαριών, είναι πολύ βολικό να χρησιμοποιήσετε έναν πίνακα βαθμολόγησης. Οριζόντια σχεδιάζουμε τον αριθμό των πόντων που έπεσαν στο πρώτο ζάρι και κατακόρυφα τον αριθμό των πόντων που έπεσαν στο δεύτερο ζάρι. Ας πάρουμε κάτι σαν αυτό (συνήθως το κάνω στο Excel, μπορείτε να κατεβάσετε το αρχείο παρακάτω):

πίνακας βαθμών για ρίψη 2 ζαριών
Τι υπάρχει στα κελιά του πίνακα, ρωτάτε; Και αυτό εξαρτάται από το τι πρόβλημα θα λύσουμε. Θα υπάρξει μια εργασία σχετικά με το άθροισμα των πόντων - θα γράψουμε το άθροισμα εκεί, για τη διαφορά - θα γράψουμε τη διαφορά και ούτω καθεξής. Ας αρχίσουμε?

Παράδειγμα 3: 2 ζάρια ρίχνονται ταυτόχρονα. Βρείτε την πιθανότητα το σύνολο να είναι μικρότερο από 5 βαθμούς.

Αρχικά, ας δούμε τον συνολικό αριθμό των αποτελεσμάτων του πειράματος. όταν ρίξαμε ένα ζάρι, όλα ήταν προφανή, 6 πλευρές - 6 αποτελέσματα. Υπάρχουν ήδη δύο ζάρια εδώ, οπότε τα αποτελέσματα μπορούν να αναπαρασταθούν ως διατεταγμένα ζεύγη αριθμών της μορφής (x,y)
Χ
,
y
, όπου x
Χ
- πόσοι πόντοι κυλήθηκαν στην πρώτη μήτρα (από 1 έως 6), y
y
- πόσοι πόντους ρίχτηκαν στο δεύτερο ζάρι (από 1 έως 6). Προφανώς, θα υπάρχουν n=6⋅6=36 τέτοια ζεύγη αριθμών
n
=
6
⋅
6
=
36
(και σε αυτά αντιστοιχούν ακριβώς 36 κελιά στον πίνακα αποτελεσμάτων).

Τώρα ήρθε η ώρα να συμπληρώσετε τον πίνακα. Σε κάθε κελί εισάγουμε το άθροισμα του αριθμού των πόντων που ρίχνονται στο πρώτο και το δεύτερο ζάρι και παίρνουμε την παρακάτω εικόνα:

πίνακας με το άθροισμα των πόντων κατά τη ρίψη 2 ζαριών
Τώρα αυτός ο πίνακας θα μας βοηθήσει να βρούμε τον αριθμό των αποτελεσμάτων που είναι ευνοϊκά για το γεγονός «θα εμφανιστούν συνολικά λιγότεροι από 5 βαθμοί». Για να γίνει αυτό, μετράμε τον αριθμό των κελιών στα οποία η τιμή του αθροίσματος είναι μικρότερη από 5 (δηλαδή 2, 3 ή 4). Για λόγους σαφήνειας, ας χρωματίσουμε αυτά τα κελιά, θα υπάρχουν m=6
Μ
=
6
:

πίνακας συνολικών πόντων λιγότερο από 5 όταν ρίχνετε 2 ζάρια
Τότε η πιθανότητα είναι: P=6/36=1/6
Π
=
6
36
=
1
6
.

Παράδειγμα 4. Ρίχνονται δύο ζάρια. Να βρείτε την πιθανότητα το γινόμενο του αριθμού των σημείων να διαιρείται με το 3.

Δημιουργούμε έναν πίνακα με τα προϊόντα των πόντων που ρίχνονται στο πρώτο και το δεύτερο ζάρι. Επισημαίνουμε αμέσως αυτούς τους αριθμούς που είναι πολλαπλάσιοι του 3:

Πίνακας του γινομένου των πόντων κατά τη ρίψη 2 ζαριών
Το μόνο που μένει είναι να σημειώσουμε ότι ο συνολικός αριθμός των αποτελεσμάτων είναι n=36
n
=
36
(δείτε το προηγούμενο παράδειγμα, ο συλλογισμός είναι ο ίδιος) και ο αριθμός των ευνοϊκών αποτελεσμάτων (ο αριθμός των σκιασμένων κελιών στον παραπάνω πίνακα) m=20
Μ
=
20
. Τότε η πιθανότητα του γεγονότος θα είναι ίση με P=20/36=5/9
Π
=
20
36
=
5
9
.

Όπως μπορείτε να δείτε, αυτού του είδους το πρόβλημα, με την κατάλληλη προετοιμασία (ας δούμε μερικά ακόμη προβλήματα), μπορεί να λυθεί γρήγορα και απλά. Για ποικιλία, ας κάνουμε μια ακόμη εργασία με διαφορετικό πίνακα (όλοι οι πίνακες μπορούν να ληφθούν στο κάτω μέρος της σελίδας).

Παράδειγμα 5: Ένα ζάρι ρίχνεται δύο φορές. Βρείτε την πιθανότητα η διαφορά στον αριθμό των πόντων στο πρώτο και το δεύτερο ζάρι να είναι από 2 έως 5.

Ας γράψουμε έναν πίνακα διαφορών σημείων, επισημάνουμε τα κελιά σε αυτόν στα οποία η τιμή διαφοράς θα είναι μεταξύ 2 και 5:

πίνακας διαφοράς πόντων κατά τη ρίψη 2 ζαριών
Άρα, ο συνολικός αριθμός εξίσου δυνατών στοιχειωδών αποτελεσμάτων είναι n=36
n
=
36
, και ο αριθμός των ευνοϊκών αποτελεσμάτων (ο αριθμός των σκιασμένων κελιών στον παραπάνω πίνακα) m=10
Μ
=
10
. Τότε η πιθανότητα του γεγονότος θα είναι ίση με P=10/36=5/18
Π
=
10
36
=
5
18
.

Έτσι, στην περίπτωση που μιλάμε για ρίψη 2 ζαριών και ένα απλό γεγονός, πρέπει να δημιουργήσετε έναν πίνακα, να επιλέξετε τα απαραίτητα κελιά σε αυτόν και να διαιρέσετε τον αριθμό τους με το 36, αυτή θα είναι η πιθανότητα. Εκτός από προβλήματα στο άθροισμα, το γινόμενο και τη διαφορά του αριθμού των σημείων, υπάρχουν επίσης προβλήματα στο συντελεστή διαφοράς, στον μικρότερο και μεγαλύτερο αριθμό σημείων που σύρθηκαν (θα βρείτε κατάλληλους πίνακες στο αρχείο Excel).

Προβλήματα 1.4 - 1.6

Προβληματική συνθήκη 1.4

Υποδείξτε το λάθος στη «λύση» του προβλήματος: ρίχνονται δύο ζάρια. Να βρείτε την πιθανότητα το άθροισμα των σημείων να είναι 3 (γεγονός Α). "Λύση". Υπάρχουν δύο πιθανά αποτελέσματα του τεστ: το άθροισμα των βαθμών που κληρώθηκαν είναι 3, το άθροισμα των βαθμών που κληρώθηκαν δεν είναι ίσο με 3. Το γεγονός Α ευνοείται από ένα αποτέλεσμα, ο συνολικός αριθμός των αποτελεσμάτων είναι δύο. Επομένως, η επιθυμητή πιθανότητα είναι ίση με P(A) = 1/2.

Λύση στο πρόβλημα 1.4

Το λάθος σε αυτή τη «λύση» είναι ότι τα εν λόγω αποτελέσματα δεν είναι εξίσου δυνατά. Σωστή λύση: Ο συνολικός αριθμός των εξίσου δυνατών αποτελεσμάτων είναι ίσος (κάθε αριθμός σημείων που κυλούν σε μια μήτρα μπορεί να συνδυαστεί με όλους τους αριθμούς σημείων που κυλούν σε μια άλλη μήτρα). Μεταξύ αυτών των αποτελεσμάτων, μόνο δύο αποτελέσματα ευνοούν το συμβάν: (1; 2) και (2; 1). Αυτό σημαίνει ότι η απαιτούμενη πιθανότητα

Απάντηση:

Προβληματική συνθήκη 1.5

Ρίχνονται δύο ζάρια. Να βρείτε τις πιθανότητες των ακόλουθων γεγονότων: α) το άθροισμα των σημείων που κληρώθηκαν είναι επτά. β) το άθροισμα των βαθμών που κληρώθηκαν είναι οκτώ και η διαφορά είναι τέσσερις. γ) το άθροισμα των βαθμών που κληρώθηκαν είναι οκτώ, αν είναι γνωστό ότι η διαφορά τους είναι τέσσερις. δ) το άθροισμα των πόντων είναι πέντε και το γινόμενο είναι τέσσερα.

Λύση στο πρόβλημα 1.5

α) Έξι επιλογές στο πρώτο ζάρι, έξι στο δεύτερο. Σύνολο επιλογών: (σύμφωνα με τον κανόνα του προϊόντος). Επιλογές για άθροισμα ίσο με 7: (1.6), (6.1), (2.5), (5.2), (3.4), (4.3) - έξι επιλογές συνολικά. Που σημαίνει,

β) Μόνο δύο κατάλληλες επιλογές: (6.2) και (2.6). Που σημαίνει,

γ) Υπάρχουν μόνο δύο κατάλληλες επιλογές: (2,6), (6,2). Αλλά συνολικά πιθανές επιλογές 4: (2.6), (6.2), (1.5), (5.1). Που σημαίνει, .

δ) Για άθροισμα ίσο με 5, είναι κατάλληλες οι ακόλουθες επιλογές: (1.4), (4.1), (2.3), (3.2). Το προϊόν είναι 4 για δύο μόνο επιλογές. Επειτα

Απάντηση: α) 1/6; β) 1/18; γ) 1/2; δ) 18/1

Προβληματική συνθήκη 1.6

Ένας κύβος, του οποίου όλες οι άκρες είναι χρωματιστές, πριονίζεται σε χίλιους κύβους ίδιου μεγέθους, οι οποίοι στη συνέχεια αναμειγνύονται καλά. Βρείτε την πιθανότητα ο κύβος που σχεδιάστηκε από τύχη να έχει χρωματιστές όψεις: α) ένα; β) δύο? στις τρεις η ώρα.

Λύση στο πρόβλημα 1.6

Σχηματίστηκαν συνολικά 1000 κύβοι. Κύβοι με τρεις χρωματιστές όψεις: 8 (αυτοί είναι γωνιακοί κύβοι). Με δύο χρωματιστές όψεις: 96 (αφού υπάρχουν 12 άκρες ενός κύβου με 8 κύβους σε κάθε άκρη). Ζάρια με χρωματιστές άκρες: 384 (αφού υπάρχουν 6 όψεις και υπάρχουν 64 κύβοι σε κάθε πρόσωπο). Το μόνο που μένει είναι να διαιρέσουμε κάθε ποσότητα που βρέθηκε με το 1000.

Απάντηση: α) 0,384; β) 0,096 γ) 0,008