Τι κοινό έχουν ένα δέντρο, μια ακρογιαλιά, ένα σύννεφο ή τα αιμοφόρα αγγεία στο χέρι μας; Υπάρχει μια ιδιότητα δομής που είναι εγγενής σε όλα τα αντικείμενα που παρατίθενται: είναι ίδια. Από κλαδί, όπως από κορμό δέντρου, εκτείνονται μικρότεροι βλαστοί, από αυτούς ακόμη μικρότεροι κ.λπ., δηλαδή ένα κλαδί μοιάζει με ολόκληρο το δέντρο. Το κυκλοφορικό σύστημα είναι δομημένο με παρόμοιο τρόπο: τα αρτηρίδια απομακρύνονται από τις αρτηρίες και από αυτά τα μικρότερα τριχοειδή αγγεία μέσω των οποίων το οξυγόνο εισέρχεται στα όργανα και τους ιστούς. Ας δούμε δορυφορικές εικόνες της θαλάσσιας ακτής: θα δούμε όρμους και χερσονήσους. Ας το δούμε, αλλά από ψηλά: θα δούμε όρμους και ακρωτήρια. Τώρα φανταστείτε ότι στεκόμαστε στην παραλία και κοιτάμε τα πόδια μας: πάντα θα υπάρχουν βότσαλα που προεξέχουν περισσότερο στο νερό από τα υπόλοιπα. Δηλαδή, η ακτογραμμή, όταν γίνεται μεγέθυνση, παραμένει παρόμοια με τον εαυτό της. Ο Αμερικανός (αν και μεγάλωσε στη Γαλλία) μαθηματικός Benoit Mandelbrot ονόμασε αυτή την ιδιότητα των αντικειμένων fractality, και τα ίδια τα αντικείμενα - φράκταλ (από το λατινικό fractus - σπασμένα).

Υπάρχει μια ενδιαφέρουσα ιστορία που συνδέεται με την ακτογραμμή, ή ακριβέστερα, με την προσπάθεια μέτρησης του μήκους της, η οποία αποτέλεσε τη βάση του επιστημονικού άρθρου του Mandelbrot, και περιγράφεται επίσης στο βιβλίο του «The Fractal Geometry of Nature». Μιλάμε για ένα πείραμα που πραγματοποίησε ο Lewis Fry Richardson, ένας πολύ ταλαντούχος και εκκεντρικός μαθηματικός, φυσικός και μετεωρολόγος. Μία από τις κατευθύνσεις της έρευνάς του ήταν μια προσπάθεια να βρει μια μαθηματική περιγραφή των αιτιών και της πιθανότητας μιας ένοπλης σύγκρουσης μεταξύ δύο χωρών. Μεταξύ των παραμέτρων που έλαβε υπόψη του ήταν το μήκος των κοινών συνόρων των δύο αντιμαχόμενων χωρών. Όταν συνέλεξε δεδομένα για αριθμητικά πειράματα, ανακάλυψε ότι τα δεδομένα στα κοινά σύνορα της Ισπανίας και της Πορτογαλίας διέφεραν πολύ από διαφορετικές πηγές. Αυτό τον οδήγησε στην εξής ανακάλυψη: το μήκος των συνόρων μιας χώρας εξαρτάται από τον χάρακα με τον οποίο τα μετράμε. Όσο μικρότερη είναι η κλίμακα, τόσο μεγαλύτερο είναι το περίγραμμα. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι με μεγαλύτερη μεγέθυνση καθίσταται δυνατό να λαμβάνονται υπόψη όλο και περισσότερες νέες στροφές της ακτής, οι οποίες προηγουμένως αγνοούνταν λόγω της αδρότητας των μετρήσεων. Και αν, με κάθε αύξηση της κλίμακας, αποκαλύπτονται προηγουμένως άγνωστες στροφές γραμμών, τότε αποδεικνύεται ότι το μήκος των ορίων είναι άπειρο! Είναι αλήθεια ότι αυτό δεν συμβαίνει στην πραγματικότητα - η ακρίβεια των μετρήσεών μας έχει ένα πεπερασμένο όριο. Αυτό το παράδοξο ονομάζεται φαινόμενο Richardson.

Στις μέρες μας, η θεωρία των φράκταλ χρησιμοποιείται ευρέως σε διάφορους τομείς της ανθρώπινης δραστηριότητας. Εκτός από τη ζωγραφική φράκταλ, τα φράκταλ χρησιμοποιούνται στη θεωρία πληροφοριών για τη συμπίεση γραφικών δεδομένων (η ιδιότητα της αυτο-ομοιότητας των φράκταλ χρησιμοποιείται κυρίως εδώ - τελικά, για να θυμάστε ένα μικρό κομμάτι μιας εικόνας και τους μετασχηματισμούς με τους οποίους μπορείτε να αποκτήσετε το τα υπόλοιπα μέρη, απαιτείται πολύ λιγότερη μνήμη από την αποθήκευση ολόκληρου του αρχείου). Προσθέτοντας τυχαίες διαταραχές στους τύπους που ορίζουν ένα φράκταλ, μπορείτε να αποκτήσετε στοχαστικά φράκταλ που μεταφέρουν πολύ εύλογα ορισμένα πραγματικά αντικείμενα - στοιχεία ανακούφισης, την επιφάνεια των δεξαμενών, ορισμένα φυτά, τα οποία χρησιμοποιούνται με επιτυχία στη φυσική, τη γεωγραφία και τα γραφικά υπολογιστών για να επιτύχετε περισσότερα ομοιότητα των προσομοιωμένων αντικειμένων με τα πραγματικά. Στα ραδιοηλεκτρονικά, την τελευταία δεκαετία άρχισαν να παράγονται κεραίες με σχήμα φράκταλ. Καταλαμβάνοντας λίγο χώρο, παρέχουν λήψη σήματος υψηλής ποιότητας. Και οι οικονομολόγοι χρησιμοποιούν φράκταλ για να περιγράψουν τις καμπύλες διακύμανσης των συναλλαγματικών ισοτιμιών (αυτή η ιδιότητα ανακαλύφθηκε από τον Mandelbrot πριν από περισσότερα από 30 χρόνια).

Οι πιο έξυπνες ανακαλύψεις στην επιστήμη μπορούν να αλλάξουν ριζικά την ανθρώπινη ζωή. Το εμβόλιο που εφευρέθηκε μπορεί να σώσει εκατομμύρια ανθρώπους· η δημιουργία όπλων, αντίθετα, αφαιρεί αυτές τις ζωές. Πιο πρόσφατα (στην κλίμακα της ανθρώπινης εξέλιξης) μάθαμε να «δαμάζουμε» τον ηλεκτρισμό - και τώρα δεν μπορούμε να φανταστούμε τη ζωή χωρίς όλες αυτές τις βολικές συσκευές που χρησιμοποιούν ηλεκτρισμό. Υπάρχουν όμως και ανακαλύψεις στις οποίες λίγοι άνθρωποι δίνουν σημασία, αν και επηρεάζουν επίσης πολύ τη ζωή μας.

Μία από αυτές τις «αφανείς» ανακαλύψεις είναι τα φράκταλ. Πιθανότατα να έχετε ξανακούσει αυτή την πιασάρικη λέξη, αλλά ξέρετε τι σημαίνει και πόσες ενδιαφέρουσες πληροφορίες κρύβονται σε αυτόν τον όρο;

Κάθε άτομο έχει μια φυσική περιέργεια, μια επιθυμία να κατανοήσει τον κόσμο γύρω του. Και σε αυτή την προσπάθεια, ένα άτομο προσπαθεί να τηρήσει τη λογική στις κρίσεις. Αναλύοντας τις διαδικασίες που συμβαίνουν γύρω του, προσπαθεί να βρει τη λογική αυτού που συμβαίνει και να αντλήσει κάποιο μοτίβο. Τα μεγαλύτερα μυαλά στον πλανήτη είναι απασχολημένα με αυτό το έργο. Σε γενικές γραμμές, οι επιστήμονες αναζητούν ένα μοτίβο όπου δεν θα έπρεπε να υπάρχει. Ωστόσο, ακόμη και στο χάος είναι δυνατό να βρούμε συνδέσεις μεταξύ γεγονότων. Και αυτή η σύνδεση είναι φράκταλ.

Η μικρή μας κόρη, τεσσεράμισι χρονών, είναι τώρα σε εκείνη την υπέροχη ηλικία που πολλές ερωτήσεις «Γιατί;» υπερβαίνει πολλές φορές τον αριθμό των απαντήσεων που καταφέρνουν να δώσουν οι ενήλικες. Πριν από λίγο καιρό, ενώ εξέταζε ένα κλαδί που είχε σηκωθεί από το έδαφος, η κόρη μου ξαφνικά παρατήρησε ότι αυτό το κλαδί, με τα κλαδιά και τα κλαδιά του, έμοιαζε με δέντρο. Και, φυσικά, αυτό που ακολούθησε ήταν η συνηθισμένη ερώτηση «Γιατί;», στην οποία οι γονείς έπρεπε να αναζητήσουν μια απλή εξήγηση που θα μπορούσε να καταλάβει το παιδί.

Η ομοιότητα ενός μόνο κλαδιού με ένα ολόκληρο δέντρο που ανακαλύφθηκε από ένα παιδί είναι μια πολύ ακριβής παρατήρηση, η οποία μαρτυρεί για άλλη μια φορά την αρχή της αναδρομικής αυτο-ομοιότητας στη φύση. Πολλές οργανικές και ανόργανες μορφές στη φύση σχηματίζονται με παρόμοιο τρόπο. Σύννεφα, κοχύλια, το «σπίτι» ενός σαλιγκαριού, ο φλοιός και το στέμμα των δέντρων, το κυκλοφορικό σύστημα και ούτω καθεξής—τα τυχαία σχήματα όλων αυτών των αντικειμένων μπορούν να περιγραφούν με έναν αλγόριθμο φράκταλ.

⇡ Benoit Mandelbrot: πατέρας της γεωμετρίας φράκταλ

Η ίδια η λέξη «fractal» εμφανίστηκε χάρη στον λαμπρό επιστήμονα Benoit B. Mandelbrot.

Ο ίδιος επινόησε τον όρο τη δεκαετία του 1970, δανειζόμενος τη λέξη fractus από τα λατινικά, όπου κυριολεκτικά σημαίνει «σπασμένο» ή «θρυμματισμένο». Τι είναι αυτό? Σήμερα, η λέξη «fractal» σημαίνει πιο συχνά μια γραφική αναπαράσταση μιας δομής που, σε μεγαλύτερη κλίμακα, είναι παρόμοια με την ίδια.

Η μαθηματική βάση για την εμφάνιση της θεωρίας των φράκταλ τέθηκε πολλά χρόνια πριν από τη γέννηση του Benoit Mandelbrot, αλλά μπορούσε να αναπτυχθεί μόνο με την εμφάνιση των υπολογιστικών συσκευών. Στην αρχή της επιστημονικής του καριέρας, ο Μπενουά εργάστηκε στο ερευνητικό κέντρο της IBM. Εκείνη την περίοδο, οι υπάλληλοι του κέντρου εργάζονταν για τη μετάδοση δεδομένων από απόσταση. Κατά τη διάρκεια της έρευνας, οι επιστήμονες αντιμετώπισαν το πρόβλημα των μεγάλων απωλειών που προκύπτουν από παρεμβολές θορύβου. Ο Benoit είχε ένα δύσκολο και πολύ σημαντικό έργο - να κατανοήσει πώς να προβλέψει την εμφάνιση παρεμβολών θορύβου σε ηλεκτρονικά κυκλώματα όταν η στατιστική μέθοδος αποδειχθεί αναποτελεσματική.

Εξετάζοντας τα αποτελέσματα των μετρήσεων θορύβου, ο Mandelbrot παρατήρησε ένα περίεργο μοτίβο - τα γραφήματα θορύβου σε διαφορετικές κλίμακες έμοιαζαν ίδια. Παρατηρήθηκε ένα πανομοιότυπο μοτίβο ανεξάρτητα από το αν ήταν γράφημα θορύβου για μία ημέρα, μία εβδομάδα ή μία ώρα. Ήταν απαραίτητο να αλλάξει η κλίμακα του γραφήματος και η εικόνα επαναλαμβανόταν κάθε φορά.

Κατά τη διάρκεια της ζωής του, ο Benoit Mandelbrot είπε επανειλημμένα ότι δεν μελέτησε τύπους, αλλά απλώς έπαιζε με εικόνες. Αυτός ο άνθρωπος σκέφτηκε πολύ μεταφορικά, και μετέφρασε οποιοδήποτε αλγεβρικό πρόβλημα στο πεδίο της γεωμετρίας, όπου, σύμφωνα με τον ίδιο, η σωστή απάντηση είναι πάντα προφανής.

Δεν αποτελεί έκπληξη το γεγονός ότι ήταν ένας άνθρωπος με τόσο πλούσια χωρική φαντασία που έγινε ο πατέρας της γεωμετρίας φράκταλ. Εξάλλου, η επίγνωση της ουσίας των φράκταλ έρχεται ακριβώς όταν αρχίζετε να μελετάτε τα σχέδια και να σκέφτεστε την έννοια των περίεργων μοτίβων στροβιλισμού.

Ένα φράκταλ μοτίβο δεν έχει πανομοιότυπα στοιχεία, αλλά είναι παρόμοιο σε οποιαδήποτε κλίμακα. Προηγουμένως ήταν απλώς αδύνατο να κατασκευαστεί μια τέτοια εικόνα με μεγάλο βαθμό λεπτομέρειας με το χέρι· αυτό απαιτούσε τεράστιο όγκο υπολογισμών. Για παράδειγμα, ο Γάλλος μαθηματικός Pierre Joseph Louis Fatou περιέγραψε αυτό το σύνολο περισσότερα από εβδομήντα χρόνια πριν την ανακάλυψη του Benoit Mandelbrot. Αν μιλάμε για τις αρχές της αυτο-ομοιότητας, αναφέρθηκαν στα έργα των Leibniz και Georg Cantor.

Ένα από τα πρώτα φράκταλ σχέδια ήταν μια γραφική ερμηνεία του συνόλου Mandelbrot, που γεννήθηκε χάρη στην έρευνα του Gaston Maurice Julia.

Gaston Julia (φορώντας πάντα μάσκα - τραυματισμός από τον Α' Παγκόσμιο Πόλεμο)

Αυτός ο Γάλλος μαθηματικός αναρωτήθηκε πώς θα έμοιαζε ένα σύνολο αν κατασκευαζόταν από έναν απλό τύπο που επαναλαμβανόταν μέσω ενός βρόχου ανάδρασης. Εάν το εξηγήσουμε "στα δάχτυλά μας", αυτό σημαίνει ότι για έναν συγκεκριμένο αριθμό βρίσκουμε μια νέα τιμή χρησιμοποιώντας τον τύπο, μετά την οποία την αντικαθιστούμε ξανά στον τύπο και παίρνουμε μια άλλη τιμή. Το αποτέλεσμα είναι μια μεγάλη ακολουθία αριθμών.

Για να έχετε μια πλήρη εικόνα ενός τέτοιου συνόλου, πρέπει να κάνετε έναν τεράστιο αριθμό υπολογισμών - εκατοντάδες, χιλιάδες, εκατομμύρια. Ήταν απλώς αδύνατο να γίνει αυτό με το χέρι. Αλλά όταν οι ισχυρές υπολογιστικές συσκευές έγιναν διαθέσιμες στους μαθηματικούς, μπόρεσαν να ρίξουν μια νέα ματιά σε τύπους και εκφράσεις που είχαν από καιρό ενδιαφέρον. Ο Mandelbrot ήταν ο πρώτος που χρησιμοποίησε υπολογιστή για να υπολογίσει ένα κλασικό φράκταλ. Αφού επεξεργάστηκε μια ακολουθία που αποτελείται από μεγάλο αριθμό τιμών, ο Benoit σχεδίασε τα αποτελέσματα σε ένα γράφημα. Αυτό πήρε.

Στη συνέχεια, αυτή η εικόνα χρωματίστηκε (για παράδειγμα, μια από τις μεθόδους χρωματισμού είναι από τον αριθμό των επαναλήψεων) και έγινε μια από τις πιο δημοφιλείς εικόνες που δημιουργήθηκαν ποτέ από τον άνθρωπο.

Όπως λέει η αρχαία ρήση που αποδίδεται στον Ηράκλειτο της Εφέσου, «Δεν μπορείς να μπεις στο ίδιο ποτάμι δύο φορές». Είναι απόλυτα κατάλληλο για την ερμηνεία της γεωμετρίας των φράκταλ. Ανεξάρτητα από το πόσο λεπτομερής κοιτάμε μια εικόνα φράκταλ, θα βλέπουμε πάντα ένα παρόμοιο μοτίβο.

Όσοι επιθυμούν να δουν πώς θα ήταν μια εικόνα του χώρου Mandelbrot όταν μεγεθύνεται πολλαπλά, μπορούν να το κάνουν κατεβάζοντας το κινούμενο GIF.

⇡ Lauren Carpenter: τέχνη που δημιουργήθηκε από τη φύση

Η θεωρία των φράκταλ βρήκε σύντομα πρακτική εφαρμογή. Δεδομένου ότι σχετίζεται στενά με την οπτικοποίηση όμοιων εικόνων, δεν προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι οι πρώτοι που υιοθέτησαν αλγόριθμους και αρχές για την κατασκευή ασυνήθιστων μορφών ήταν οι καλλιτέχνες.

Ο μελλοντικός συνιδρυτής του θρυλικού στούντιο της Pixar, Loren C. Carpenter, άρχισε να εργάζεται το 1967 στην Boeing Computer Services, η οποία ήταν ένα από τα τμήματα της διάσημης εταιρείας που αναπτύσσει νέα αεροσκάφη.

Το 1977 δημιούργησε παρουσιάσεις με πρωτότυπα ιπτάμενα μοντέλα. Οι ευθύνες της Λόρεν περιελάμβαναν την ανάπτυξη εικόνων του αεροσκάφους που σχεδιαζόταν. Έπρεπε να δημιουργήσει εικόνες νέων μοντέλων, δείχνοντας μελλοντικά αεροσκάφη από διαφορετικές οπτικές γωνίες. Κάποια στιγμή, ο μελλοντικός ιδρυτής των Pixar Animation Studios σκέφτηκε τη δημιουργική ιδέα να χρησιμοποιήσει μια εικόνα βουνών ως φόντο. Σήμερα, κάθε μαθητής μπορεί να λύσει ένα τέτοιο πρόβλημα, αλλά στα τέλη του εβδομήντα του περασμένου αιώνα, οι υπολογιστές δεν μπορούσαν να αντιμετωπίσουν τόσο περίπλοκους υπολογισμούς - δεν υπήρχαν επεξεργαστές γραφικών, για να μην αναφέρουμε εφαρμογές για γραφικά 3D. Το 1978, η Lauren είδε κατά λάθος το βιβλίο του Benoit Mandelbrot Fractals: Form, Chance and Dimension σε ένα κατάστημα. Αυτό που τράβηξε την προσοχή του σε αυτό το βιβλίο ήταν ότι ο Benoit έδωσε πολλά παραδείγματα σχημάτων φράκταλ στην πραγματική ζωή και υποστήριξε ότι μπορούν να περιγραφούν με μια μαθηματική έκφραση.

Αυτή η αναλογία δεν επιλέχθηκε από τον μαθηματικό τυχαία. Γεγονός είναι ότι μόλις δημοσίευσε την έρευνά του, χρειάστηκε να αντιμετωπίσει ένα ολόκληρο μπαράζ κριτικής. Το κύριο πράγμα για το οποίο τον επέπληξαν οι συνάδελφοί του ήταν η αχρηστία της θεωρίας που αναπτύσσεται. «Ναι», είπαν, «αυτές είναι όμορφες εικόνες, αλλά τίποτα περισσότερο. Η θεωρία των φράκταλ δεν έχει πρακτική αξία». Υπήρχαν επίσης εκείνοι που πίστευαν γενικά ότι τα μοτίβα φράκταλ ήταν απλώς ένα υποπροϊόν της δουλειάς των «διαβολικών μηχανών», που στα τέλη της δεκαετίας του εβδομήντα φαινόταν σε πολλούς κάτι πολύ περίπλοκο και ανεξερεύνητο για να το εμπιστεύονται πλήρως. Ο Mandelbrot προσπάθησε να βρει προφανείς εφαρμογές για τη θεωρία φράκταλ, αλλά στο μεγάλο σχέδιο των πραγμάτων δεν χρειαζόταν. Τα επόμενα 25 χρόνια, οι οπαδοί του Benoit Mandelbrot απέδειξαν τα τεράστια οφέλη μιας τέτοιας «μαθηματικής περιέργειας» και η Lauren Carpenter ήταν από τις πρώτες που δοκίμασαν τη μέθοδο fractal στην πράξη.

Αφού μελέτησε το βιβλίο, ο μελλοντικός εμψυχωτής μελέτησε σοβαρά τις αρχές της γεωμετρίας φράκταλ και άρχισε να ψάχνει έναν τρόπο να το εφαρμόσει στα γραφικά υπολογιστών. Μέσα σε μόλις τρεις ημέρες εργασίας, ο Lauren κατάφερε να αποδώσει μια ρεαλιστική εικόνα του ορεινού συστήματος στον υπολογιστή του. Με άλλα λόγια, χρησιμοποίησε τύπους για να ζωγραφίσει ένα απόλυτα αναγνωρίσιμο ορεινό τοπίο.

Η αρχή που χρησιμοποίησε η Λόρεν για να πετύχει τον στόχο της ήταν πολύ απλή. Αποτελούνταν από τη διαίρεση ενός μεγαλύτερου γεωμετρικού σχήματος σε μικρά στοιχεία, και αυτά, με τη σειρά τους, χωρίστηκαν σε παρόμοια σχήματα μικρότερου μεγέθους.

Χρησιμοποιώντας μεγαλύτερα τρίγωνα, ο Carpenter τα χώρισε σε τέσσερα μικρότερα και στη συνέχεια επανέλαβε αυτή τη διαδικασία ξανά και ξανά μέχρι να αποκτήσει ένα ρεαλιστικό ορεινό τοπίο. Έτσι, κατάφερε να γίνει ο πρώτος καλλιτέχνης που χρησιμοποίησε έναν αλγόριθμο φράκταλ για την κατασκευή εικόνων σε γραφικά υπολογιστή. Μόλις έγινε γνωστή η λέξη του έργου, λάτρεις σε όλο τον κόσμο πήραν την ιδέα και άρχισαν να χρησιμοποιούν τον αλγόριθμο φράκταλ για να μιμηθούν ρεαλιστικά φυσικά σχήματα.

Μία από τις πρώτες τρισδιάστατες απεικονίσεις με χρήση αλγόριθμου φράκταλ

Μόλις λίγα χρόνια αργότερα, ο Lauren Carpenter μπόρεσε να εφαρμόσει τις εξελίξεις του σε ένα πολύ μεγαλύτερο έργο. Ο εμψυχωτής δημιούργησε ένα δίλεπτο demo του Vol Libre από αυτούς, το οποίο προβλήθηκε στο Siggraph το 1980. Αυτό το βίντεο συγκλόνισε όλους όσοι το είδαν και η Λόρεν έλαβε πρόσκληση από τη Lucasfilm.

Το animation αποδόθηκε σε έναν υπολογιστή VAX-11/780 από την Digital Equipment Corporation με ταχύτητα ρολογιού πέντε megahertz και κάθε καρέ χρειάστηκε περίπου μισή ώρα για να αποδοθεί.

Δουλεύοντας για τη Lucasfilm Limited, ο animator δημιούργησε τρισδιάστατα τοπία χρησιμοποιώντας το ίδιο σχέδιο για τη δεύτερη ταινία μεγάλου μήκους στο έπος του Star Trek. Στο The Wrath of Khan, ο Carpenter κατάφερε να δημιουργήσει έναν ολόκληρο πλανήτη χρησιμοποιώντας την ίδια αρχή μοντελοποίησης επιφανειών φράκταλ.

Επί του παρόντος, όλες οι δημοφιλείς εφαρμογές για τη δημιουργία τρισδιάστατων τοπίων χρησιμοποιούν παρόμοια αρχή για τη δημιουργία φυσικών αντικειμένων. Οι Terragen, Bryce, Vue και άλλοι επεξεργαστές 3D βασίζονται σε έναν αλγόριθμο φράκταλ για τη μοντελοποίηση επιφανειών και υφών.

⇡ Φράκταλ κεραίες: λιγότερο είναι περισσότερο

Τον τελευταίο μισό αιώνα, η ζωή έχει αρχίσει να αλλάζει γρήγορα. Οι περισσότεροι από εμάς θεωρούμε δεδομένες τις εξελίξεις της σύγχρονης τεχνολογίας. Συνηθίζεις πολύ γρήγορα όλα όσα κάνουν τη ζωή πιο άνετη. Σπάνια κάνει κανείς τις ερωτήσεις "Από πού προήλθε αυτό;" και "Πώς λειτουργεί;" Ένας φούρνος μικροκυμάτων ζεσταίνει το πρωινό - υπέροχο, ένα smartphone σας δίνει την ευκαιρία να μιλήσετε με άλλο άτομο - υπέροχο. Αυτό μας φαίνεται σαν μια προφανής πιθανότητα.

Αλλά η ζωή θα μπορούσε να ήταν τελείως διαφορετική εάν ένα άτομο δεν είχε αναζητήσει μια εξήγηση για τα γεγονότα που συνέβαιναν. Πάρτε για παράδειγμα τα κινητά τηλέφωνα. Θυμάστε τις αναδιπλούμενες κεραίες στα πρώτα μοντέλα; Παρενέβησαν, αύξησαν το μέγεθος της συσκευής και στο τέλος, συχνά έσπασαν. Πιστεύουμε ότι έχουν βυθιστεί στη λήθη για πάντα, και μέρος της αιτίας για αυτό είναι τα... φράκταλ.

Τα φράκταλ μοτίβα συναρπάζουν με τα μοτίβα τους. Σίγουρα μοιάζουν με εικόνες κοσμικών αντικειμένων - νεφελώματα, σμήνη γαλαξιών και ούτω καθεξής. Είναι επομένως πολύ φυσικό ότι όταν ο Mandelbrot εξέφρασε τη θεωρία του για τα φράκταλ, η έρευνά του προκάλεσε αυξημένο ενδιαφέρον μεταξύ εκείνων που σπούδασαν αστρονομία. Ένας από αυτούς τους ερασιτέχνες ονόματι Nathan Cohen, αφού παρακολούθησε μια διάλεξη του Benoit Mandelbrot στη Βουδαπέστη, εμπνεύστηκε από την ιδέα της πρακτικής εφαρμογής της αποκτηθείσας γνώσης. Είναι αλήθεια ότι το έκανε αυτό διαισθητικά και η τύχη έπαιξε σημαντικό ρόλο στην ανακάλυψή του. Ως ραδιοερασιτέχνης, ο Nathan προσπάθησε να δημιουργήσει μια κεραία με την υψηλότερη δυνατή ευαισθησία.

Ο μόνος τρόπος βελτίωσης των παραμέτρων της κεραίας, που ήταν γνωστό εκείνη την εποχή, ήταν να αυξηθούν οι γεωμετρικές της διαστάσεις. Ωστόσο, ο ιδιοκτήτης του ακινήτου στο κέντρο της Βοστώνης που νοίκιασε ο Nathan ήταν κατηγορηματικά ενάντια στην εγκατάσταση μεγάλων συσκευών στην οροφή. Στη συνέχεια, ο Nathan άρχισε να πειραματίζεται με διαφορετικά σχήματα κεραιών, προσπαθώντας να πάρει το μέγιστο αποτέλεσμα με το ελάχιστο μέγεθος. Εμπνευσμένος από την ιδέα των μορφών φράκταλ, ο Κοέν, όπως λένε, έφτιαξε τυχαία ένα από τα πιο διάσημα φράκταλ από σύρμα - τη «νιφάδα χιονιού Κοχ». Ο Σουηδός μαθηματικός Helge von Koch είχε αυτή την καμπύλη το 1904. Λαμβάνεται διαιρώντας ένα τμήμα σε τρία μέρη και αντικαθιστώντας το μεσαίο τμήμα με ένα ισόπλευρο τρίγωνο χωρίς πλευρά που συμπίπτει με αυτό το τμήμα. Ο ορισμός είναι λίγο δύσκολο να κατανοηθεί, αλλά στο σχήμα όλα είναι ξεκάθαρα και απλά.

Υπάρχουν επίσης και άλλες παραλλαγές της καμπύλης Koch, αλλά το κατά προσέγγιση σχήμα της καμπύλης παραμένει παρόμοιο

Όταν ο Nathan συνέδεσε την κεραία με τον ραδιοφωνικό δέκτη, εξεπλάγη πολύ - η ευαισθησία αυξήθηκε δραματικά. Μετά από μια σειρά πειραμάτων, ο μελλοντικός καθηγητής στο Πανεπιστήμιο της Βοστώνης συνειδητοποίησε ότι μια κεραία κατασκευασμένη σύμφωνα με ένα μοτίβο φράκταλ έχει υψηλή απόδοση και καλύπτει πολύ μεγαλύτερο εύρος συχνοτήτων σε σύγκριση με τις κλασσικές λύσεις. Επιπλέον, το σχήμα της κεραίας με τη μορφή φράκταλ καμπύλης καθιστά δυνατή τη σημαντική μείωση των γεωμετρικών διαστάσεων. Ο Nathan Cohen μάλιστα κατέληξε σε ένα θεώρημα που αποδεικνύει ότι για να δημιουργηθεί μια ευρυζωνική κεραία, αρκεί να της δοθεί το σχήμα μιας ίδιας παρόμοιας καμπύλης φράκταλ.

Ο συγγραφέας κατοχύρωσε με δίπλωμα ευρεσιτεχνίας την ανακάλυψή του και ίδρυσε μια εταιρεία για την ανάπτυξη και το σχεδιασμό κεραιών φράκταλ Fractal Antenna Systems, πιστεύοντας δικαίως ότι στο μέλλον, χάρη στην ανακάλυψή του, τα κινητά τηλέφωνα θα μπορούν να απαλλαγούν από ογκώδεις κεραίες και να γίνουν πιο συμπαγή.

Κατ' αρχήν αυτό έγινε. Είναι αλήθεια ότι μέχρι σήμερα ο Nathan βρίσκεται σε δικαστική μάχη με μεγάλες εταιρείες που χρησιμοποιούν παράνομα την ανακάλυψή του για να παράγουν συμπαγείς συσκευές επικοινωνίας. Ορισμένοι γνωστοί κατασκευαστές κινητών συσκευών, όπως η Motorola, έχουν ήδη καταλήξει σε φιλική συμφωνία με τον εφευρέτη της κεραίας φράκταλ.

⇡ Διαστάσεις φράκταλ: δεν μπορείτε να το καταλάβετε με το μυαλό σας

Ο Benoit δανείστηκε αυτή την ερώτηση από τον διάσημο Αμερικανό επιστήμονα Edward Kasner.

Ο τελευταίος, όπως και πολλοί άλλοι διάσημοι μαθηματικοί, αγαπούσε να επικοινωνεί με τα παιδιά, να τους κάνει ερωτήσεις και να λαμβάνει απροσδόκητες απαντήσεις. Μερικές φορές αυτό οδηγούσε σε εκπληκτικές συνέπειες. Για παράδειγμα, ο εννιάχρονος ανιψιός του Έντουαρντ Κάσνερ βρήκε τη γνωστή πλέον λέξη «googol», που σημαίνει ένα ακολουθούμενο από εκατό μηδενικά. Ας επιστρέψουμε όμως στα φράκταλ. Στον Αμερικανό μαθηματικό άρεσε να κάνει την ερώτηση πόσο μακριά είναι η ακτογραμμή των ΗΠΑ. Αφού άκουσε τη γνώμη του συνομιλητή του, ο ίδιος ο Έντουαρντ είπε τη σωστή απάντηση. Εάν μετρήσετε το μήκος σε έναν χάρτη χρησιμοποιώντας σπασμένα τμήματα, το αποτέλεσμα θα είναι ανακριβές, επειδή η ακτογραμμή έχει μεγάλο αριθμό ανωμαλιών. Τι θα συμβεί αν μετρήσουμε όσο το δυνατόν ακριβέστερα; Θα πρέπει να λάβετε υπόψη το μήκος κάθε ανομοιομορφίας - θα χρειαστεί να μετρήσετε κάθε ακρωτήριο, κάθε κόλπο, βράχο, το μήκος μιας βραχώδους προεξοχής, μια πέτρα πάνω της, έναν κόκκο άμμου, ένα άτομο κ.λπ. Δεδομένου ότι ο αριθμός των ανωμαλιών τείνει στο άπειρο, το μετρούμενο μήκος της ακτογραμμής θα αυξηθεί στο άπειρο κατά τη μέτρηση κάθε νέας παρατυπίας.

Όσο μικρότερο είναι το μέτρο κατά τη μέτρηση, τόσο μεγαλύτερο είναι το μετρούμενο μήκος

Είναι ενδιαφέρον ότι ακολουθώντας τις προτροπές του Έντουαρντ, τα παιδιά ήταν πολύ πιο γρήγορα από τους ενήλικες στο να πουν τη σωστή λύση, ενώ οι τελευταίοι δυσκολεύτηκαν να δεχτούν μια τόσο απίστευτη απάντηση.

Χρησιμοποιώντας αυτό το πρόβλημα ως παράδειγμα, ο Mandelbrot πρότεινε τη χρήση μιας νέας προσέγγισης στις μετρήσεις. Δεδομένου ότι η ακτογραμμή είναι κοντά σε μια καμπύλη φράκταλ, σημαίνει ότι μπορεί να εφαρμοστεί μια χαρακτηριστική παράμετρος - η λεγόμενη διάσταση φράκταλ.

Το τι είναι κανονική διάσταση είναι σαφές σε οποιονδήποτε. Εάν η διάσταση είναι ίση με ένα, παίρνουμε μια ευθεία γραμμή, εάν δύο - μια επίπεδη φιγούρα, τρεις - έναν όγκο. Ωστόσο, αυτή η κατανόηση της διάστασης στα μαθηματικά δεν λειτουργεί με καμπύλες φράκταλ, όπου αυτή η παράμετρος έχει κλασματική τιμή. Η διάσταση φράκταλ στα μαθηματικά μπορεί συμβατικά να θεωρηθεί ως «τραχύτητα». Όσο μεγαλύτερη είναι η τραχύτητα της καμπύλης, τόσο μεγαλύτερη είναι η φράκταλ διάστασή της. Μια καμπύλη που, σύμφωνα με τον Mandelbrot, έχει μια φράκταλ διάσταση μεγαλύτερη από την τοπολογική της διάσταση, έχει κατά προσέγγιση μήκος που δεν εξαρτάται από τον αριθμό των διαστάσεων.

Επί του παρόντος, οι επιστήμονες βρίσκουν όλο και περισσότερους τομείς για να εφαρμόσουν τη θεωρία των φράκταλ. Χρησιμοποιώντας φράκταλ, μπορείτε να αναλύσετε τις διακυμάνσεις στις τιμές του χρηματιστηρίου, να μελετήσετε όλα τα είδη φυσικών διεργασιών, όπως οι διακυμάνσεις στον αριθμό των ειδών ή να προσομοιώσετε τη δυναμική των ροών. Οι αλγόριθμοι φράκταλ μπορούν να χρησιμοποιηθούν για συμπίεση δεδομένων, όπως συμπίεση εικόνας. Και παρεμπιπτόντως, για να αποκτήσετε ένα όμορφο φράκταλ στην οθόνη του υπολογιστή σας, δεν χρειάζεται να έχετε διδακτορικό.

⇡ Fractal στο πρόγραμμα περιήγησης

Ίσως ένας από τους ευκολότερους τρόπους για να αποκτήσετε ένα μοτίβο φράκταλ είναι να χρησιμοποιήσετε ένα διαδικτυακό διανυσματικό πρόγραμμα επεξεργασίας από τον νεαρό ταλαντούχο προγραμματιστή Toby Schachman. Τα εργαλεία αυτού του απλού επεξεργαστή γραφικών βασίζονται στην ίδια αρχή της αυτο-ομοιότητας.

Στη διάθεσή σας υπάρχουν μόνο δύο απλούστερα σχήματα - ένα τετράγωνο και ένας κύκλος. Μπορείτε να τα προσθέσετε στον καμβά, να τα κλιμακώσετε (για να κάνετε κλίμακα κατά μήκος ενός από τους άξονες, κρατήστε πατημένο το πλήκτρο Shift) και να τα περιστρέψετε. Αλληλεπικαλυπτόμενα σύμφωνα με την αρχή των πράξεων πρόσθεσης Boole, αυτά τα απλούστερα στοιχεία σχηματίζουν νέες, λιγότερο ασήμαντες μορφές. Αυτά τα νέα σχήματα μπορούν στη συνέχεια να προστεθούν στο έργο και το πρόγραμμα θα επαναλάβει τη δημιουργία αυτών των εικόνων επ' άπειρον. Σε οποιοδήποτε στάδιο της εργασίας σε ένα φράκταλ, μπορείτε να επιστρέψετε σε οποιοδήποτε στοιχείο ενός πολύπλοκου σχήματος και να επεξεργαστείτε τη θέση και τη γεωμετρία του. Μια διασκεδαστική δραστηριότητα, ειδικά αν σκεφτείς ότι το μόνο εργαλείο που χρειάζεται να δημιουργήσεις είναι ένα πρόγραμμα περιήγησης. Εάν δεν κατανοείτε την αρχή της εργασίας με αυτόν τον επαναληπτικό διανυσματικό επεξεργαστή, σας συμβουλεύουμε να παρακολουθήσετε το βίντεο στον επίσημο ιστότοπο του έργου, το οποίο δείχνει λεπτομερώς ολόκληρη τη διαδικασία δημιουργίας ενός φράκταλ.

⇡ XaoS: φράκταλ για κάθε γούστο

Πολλοί επεξεργαστές γραφικών έχουν ενσωματωμένα εργαλεία για τη δημιουργία μοτίβων φράκταλ. Ωστόσο, αυτά τα εργαλεία είναι συνήθως δευτερεύοντα και δεν επιτρέπουν τη λεπτή ρύθμιση του παραγόμενου μοτίβου φράκταλ. Σε περιπτώσεις όπου είναι απαραίτητο να κατασκευαστεί ένα μαθηματικά ακριβές φράκταλ, ο επεξεργαστής cross-platform XaoS θα έρθει στη διάσωση. Αυτό το πρόγραμμα καθιστά δυνατή όχι μόνο τη δημιουργία μιας ίδιας εικόνας, αλλά και την εκτέλεση διαφόρων χειρισμών με αυτήν. Για παράδειγμα, σε πραγματικό χρόνο μπορείτε να κάνετε μια «βόλτα» κατά μήκος ενός φράκταλ αλλάζοντας την κλίμακα του. Η κινούμενη κίνηση κατά μήκος ενός φράκταλ μπορεί να αποθηκευτεί ως αρχείο XAF και στη συνέχεια να αναπαραχθεί στο ίδιο το πρόγραμμα.

Το XaoS μπορεί να φορτώσει ένα τυχαίο σύνολο παραμέτρων και επίσης να χρησιμοποιήσει διάφορα φίλτρα μετά την επεξεργασία εικόνας - να προσθέσει ένα εφέ θολής κίνησης, να εξομαλύνει ευκρινείς μεταβάσεις μεταξύ φράκταλ σημείων, να προσομοιώνει μια τρισδιάστατη εικόνα κ.λπ.

⇡ Fractal Zoomer: συμπαγής γεννήτρια fractal

Σε σύγκριση με άλλες γεννήτριες fractal εικόνας, έχει πολλά πλεονεκτήματα. Πρώτον, είναι πολύ μικρό σε μέγεθος και δεν απαιτεί εγκατάσταση. Δεύτερον, υλοποιεί τη δυνατότητα προσδιορισμού της χρωματικής παλέτας μιας εικόνας. Μπορείτε να επιλέξετε αποχρώσεις σε χρωματικά μοντέλα RGB, CMYK, HVS και HSL.

Είναι επίσης πολύ βολικό να χρησιμοποιήσετε την επιλογή τυχαίας επιλογής αποχρώσεων και τη λειτουργία αναστροφής όλων των χρωμάτων στην εικόνα. Για να ρυθμίσετε το χρώμα, υπάρχει μια λειτουργία κυκλικής επιλογής αποχρώσεων - όταν ενεργοποιείτε την αντίστοιχη λειτουργία, το πρόγραμμα ζωντανεύει την εικόνα, αλλάζοντας κυκλικά τα χρώματα σε αυτήν.

Το Fractal Zoomer μπορεί να απεικονίσει 85 διαφορετικές συναρτήσεις φράκταλ και οι τύποι εμφανίζονται καθαρά στο μενού προγράμματος. Υπάρχουν φίλτρα για μετα-επεξεργασία εικόνας στο πρόγραμμα, αν και σε μικρές ποσότητες. Κάθε εκχωρημένο φίλτρο μπορεί να ακυρωθεί ανά πάσα στιγμή.

⇡ Mandelbulb3D: Επεξεργαστής φράκταλ 3D

Όταν χρησιμοποιείται ο όρος "fractal", αναφέρεται συνήθως σε μια επίπεδη, δισδιάστατη εικόνα. Ωστόσο, η γεωμετρία φράκταλ υπερβαίνει τη δισδιάστατη διάσταση. Στη φύση, μπορείτε να βρείτε τόσο παραδείγματα επίπεδων φράκταλ μορφών, ας πούμε, τη γεωμετρία του κεραυνού, όσο και τρισδιάστατα ογκομετρικά σχήματα. Οι επιφάνειες φράκταλ μπορεί να είναι τρισδιάστατες και μια πολύ σαφής απεικόνιση των τρισδιάστατων φράκταλ στην καθημερινή ζωή είναι μια κεφαλή λάχανου. Ίσως ο καλύτερος τρόπος για να δείτε τα φράκταλ είναι στην ποικιλία Romanesco, ένα υβρίδιο κουνουπιδιού και μπρόκολου.

Μπορείτε επίσης να φάτε αυτό το φράκταλ

Το πρόγραμμα Mandelbulb3D μπορεί να δημιουργήσει τρισδιάστατα αντικείμενα με παρόμοιο σχήμα. Για να αποκτήσουν μια τρισδιάστατη επιφάνεια χρησιμοποιώντας έναν αλγόριθμο φράκταλ, οι συγγραφείς αυτής της εφαρμογής, Daniel White και Paul Nylander, μετέτρεψαν το σύνολο Mandelbrot σε σφαιρικές συντεταγμένες. Το πρόγραμμα Mandelbulb3D που δημιούργησαν είναι ένας πραγματικός τρισδιάστατος επεξεργαστής που μοντελοποιεί επιφάνειες φράκταλ διαφορετικών σχημάτων. Δεδομένου ότι παρατηρούμε συχνά μοτίβα φράκταλ στη φύση, ένα τεχνητά δημιουργημένο φράκταλ τρισδιάστατο αντικείμενο φαίνεται απίστευτα ρεαλιστικό και ακόμη και «ζωντανό».

Μπορεί να μοιάζει με φυτό, μπορεί να μοιάζει με παράξενο ζώο, πλανήτη ή κάτι άλλο. Αυτό το εφέ ενισχύεται από έναν προηγμένο αλγόριθμο απόδοσης, ο οποίος καθιστά δυνατή τη λήψη ρεαλιστικών ανακλάσεων, τον υπολογισμό της διαφάνειας και των σκιών, την προσομοίωση της επίδρασης του βάθους πεδίου κ.λπ. Το Mandelbulb3D έχει έναν τεράστιο αριθμό ρυθμίσεων και επιλογών απόδοσης. Μπορείτε να ελέγξετε τις αποχρώσεις των πηγών φωτός, να επιλέξετε το φόντο και το επίπεδο λεπτομέρειας του προσομοιωμένου αντικειμένου.

Ο επεξεργαστής φράκταλ Incendia υποστηρίζει εξομάλυνση διπλής εικόνας, περιέχει μια βιβλιοθήκη πενήντα διαφορετικών τρισδιάστατων φράκταλ και διαθέτει ξεχωριστή ενότητα για την επεξεργασία βασικών σχημάτων.

Η εφαρμογή χρησιμοποιεί φράκταλ σενάρια, με τα οποία μπορείτε να περιγράψετε ανεξάρτητα νέους τύπους σχεδίων φράκταλ. Το Incendia διαθέτει επεξεργαστές υφής και υλικού και η μηχανή απόδοσης σάς επιτρέπει να χρησιμοποιείτε ογκομετρικά εφέ ομίχλης και διάφορα σκίαστρα. Το πρόγραμμα υλοποιεί την επιλογή αποθήκευσης buffer κατά τη μακροπρόθεσμη απόδοση και υποστηρίζει τη δημιουργία κινούμενων εικόνων.

Το Incendia σάς επιτρέπει να εξάγετε ένα μοντέλο φράκταλ σε δημοφιλείς μορφές τρισδιάστατων γραφικών - OBJ και STL. Το Incendia περιλαμβάνει ένα μικρό βοηθητικό πρόγραμμα που ονομάζεται Geometrica, ένα ειδικό εργαλείο για τη ρύθμιση της εξαγωγής μιας φράκταλ επιφάνειας σε ένα τρισδιάστατο μοντέλο. Χρησιμοποιώντας αυτό το βοηθητικό πρόγραμμα, μπορείτε να προσδιορίσετε την ανάλυση μιας τρισδιάστατης επιφάνειας και να καθορίσετε τον αριθμό των φράκταλ επαναλήψεων. Τα εξαγόμενα μοντέλα μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε τρισδιάστατα έργα όταν εργάζεστε με προγράμματα επεξεργασίας 3D όπως το Blender, το 3ds max και άλλα.

Πρόσφατα, οι εργασίες για το έργο Incendia επιβραδύνθηκαν κάπως. Αυτή τη στιγμή ο συγγραφέας αναζητά χορηγούς για να τον βοηθήσουν να αναπτύξει το πρόγραμμα.

Εάν δεν έχετε αρκετή φαντασία για να σχεδιάσετε ένα όμορφο τρισδιάστατο φράκταλ σε αυτό το πρόγραμμα, δεν πειράζει. Χρησιμοποιήστε τη βιβλιοθήκη παραμέτρων, η οποία βρίσκεται στο φάκελο INCENDIA_EX\parameters. Χρησιμοποιώντας αρχεία PAR, μπορείτε να βρείτε γρήγορα τα πιο ασυνήθιστα σχήματα φράκταλ, συμπεριλαμβανομένων των κινούμενων.

⇡ Ακουστικό: πώς τραγουδούν τα φράκταλ

Συνήθως δεν μιλάμε για έργα που μόλις εργάζονται, αλλά σε αυτήν την περίπτωση πρέπει να κάνουμε μια εξαίρεση, καθώς πρόκειται για μια πολύ ασυνήθιστη εφαρμογή. Το έργο, που ονομάζεται Aural, επινοήθηκε από τον ίδιο άνθρωπο που δημιούργησε την Incendia. Ωστόσο, αυτή τη φορά το πρόγραμμα δεν οπτικοποιεί το σετ φράκταλ, αλλά το ηχεί, μετατρέποντάς το σε ηλεκτρονική μουσική. Η ιδέα είναι πολύ ενδιαφέρουσα, ειδικά λαμβάνοντας υπόψη τις ασυνήθιστες ιδιότητες των φράκταλ. Το Aural είναι ένα πρόγραμμα επεξεργασίας ήχου που δημιουργεί μελωδίες χρησιμοποιώντας αλγόριθμους φράκταλ, δηλαδή στην ουσία είναι ένας συνθέτης ήχου-sequencer.

Η σειρά των ήχων που παράγονται από αυτό το πρόγραμμα είναι ασυνήθιστη και... όμορφη. Μπορεί κάλλιστα να είναι χρήσιμο για τη συγγραφή σύγχρονων ρυθμών και, μας φαίνεται, είναι ιδιαίτερα κατάλληλο για τη δημιουργία soundtrack για προφύλαξη οθόνης τηλεοπτικών και ραδιοφωνικών προγραμμάτων, καθώς και «βρόχους» μουσικής υπόκρουσης για παιχνίδια στον υπολογιστή. Ο Ramiro δεν έχει παράσχει ακόμη ένα demo του προγράμματός του, αλλά υπόσχεται ότι όταν το κάνει, για να εργαστείτε με τον Aural, δεν θα χρειαστεί να μελετήσετε τη θεωρία φράκταλ - θα χρειαστεί απλώς να παίξετε με τις παραμέτρους του αλγορίθμου για τη δημιουργία μιας ακολουθίας των σημειώσεων. Ακούστε πώς ακούγονται τα φράκταλ και.

Φράκταλ: μουσικό διάλειμμα

Στην πραγματικότητα, τα φράκταλ μπορούν να σας βοηθήσουν να γράψετε μουσική ακόμα και χωρίς λογισμικό. Αλλά αυτό μπορεί να γίνει μόνο από κάποιον που είναι πραγματικά εμποτισμένος με την ιδέα της φυσικής αρμονίας και που δεν έχει μετατραπεί σε ατυχή «σπασίκλα». Είναι λογικό να πάρουμε ένα παράδειγμα από έναν μουσικό ονόματι Jonathan Coulton, ο οποίος, μεταξύ άλλων, γράφει συνθέσεις για το περιοδικό Popular Science. Και σε αντίθεση με άλλους ερμηνευτές, ο Colton δημοσιεύει όλα του τα έργα με άδεια Creative Commons Attribution-Noncommercial, η οποία (όταν χρησιμοποιείται για μη εμπορικούς σκοπούς) παρέχει δωρεάν αντιγραφή, διανομή, μεταφορά του έργου σε άλλους, καθώς και την τροποποίησή του ( δημιουργία παράγωγων έργων) ώστε να το προσαρμόσετε στις εργασίες σας.

Ο Jonathan Colton, φυσικά, έχει ένα τραγούδι για τα φράκταλ.

⇡ Συμπέρασμα

Σε ό,τι μας περιβάλλει, βλέπουμε συχνά χάος, αλλά στην πραγματικότητα αυτό δεν είναι ατύχημα, αλλά μια ιδανική μορφή, την οποία τα φράκταλ μας βοηθούν να διακρίνουμε. Η φύση είναι ο καλύτερος αρχιτέκτονας, ιδανικός οικοδόμος και μηχανικός. Είναι δομημένο πολύ λογικά και αν δεν βλέπουμε ένα μοτίβο κάπου, αυτό σημαίνει ότι πρέπει να το αναζητήσουμε σε διαφορετική κλίμακα. Οι άνθρωποι το καταλαβαίνουν όλο και καλύτερα, προσπαθώντας να μιμηθούν τις φυσικές μορφές με πολλούς τρόπους. Οι μηχανικοί σχεδιάζουν συστήματα ηχείων σε σχήμα κελύφους, δημιουργούν κεραίες σε σχήμα νιφάδας χιονιού και ούτω καθεξής. Είμαστε βέβαιοι ότι τα φράκταλ εξακολουθούν να περιέχουν πολλά μυστικά και πολλά από αυτά δεν έχουν ακόμη ανακαλυφθεί από τους ανθρώπους.

Συχνά, λαμπρές ανακαλύψεις που γίνονται στην επιστήμη μπορούν να αλλάξουν ριζικά τη ζωή μας. Για παράδειγμα, η εφεύρεση ενός εμβολίου μπορεί να σώσει πολλούς ανθρώπους, αλλά η δημιουργία νέων όπλων οδηγεί σε φόνο. Κυριολεκτικά χθες (στην κλίμακα της ιστορίας) ο άνθρωπος «δάμασε» τον ηλεκτρισμό και σήμερα δεν μπορεί πλέον να φανταστεί τη ζωή του χωρίς αυτόν. Ωστόσο, υπάρχουν και ανακαλύψεις που, όπως λένε, παραμένουν στη σκιά, παρά το γεγονός ότι έχουν επίσης τον ένα ή τον άλλο αντίκτυπο στη ζωή μας. Μία από αυτές τις ανακαλύψεις ήταν το φράκταλ. Οι περισσότεροι άνθρωποι δεν έχουν καν ακούσει ποτέ για αυτήν την έννοια και δεν θα μπορέσουν να εξηγήσουν τη σημασία της. Σε αυτό το άρθρο θα προσπαθήσουμε να κατανοήσουμε το ερώτημα του τι είναι ένα φράκταλ και να εξετάσουμε την έννοια αυτού του όρου από την οπτική γωνία της επιστήμης και της φύσης.

Τάξη στο χάος

Για να καταλάβουμε τι είναι φράκταλ, θα πρέπει να ξεκινήσουμε τον απολογισμό από τη θέση των μαθηματικών, αλλά πριν εμβαθύνουμε σε αυτό, θα το φιλοσοφήσουμε λίγο. Κάθε άτομο έχει μια φυσική περιέργεια, χάρη στην οποία μαθαίνει για τον κόσμο γύρω του. Συχνά, στην αναζήτησή του για γνώση, προσπαθεί να χρησιμοποιήσει τη λογική στις κρίσεις του. Έτσι, αναλύοντας τις διαδικασίες που συμβαίνουν γύρω του, προσπαθεί να υπολογίσει σχέσεις και να αντλήσει ορισμένα πρότυπα. Τα μεγαλύτερα μυαλά στον πλανήτη είναι απασχολημένα με την επίλυση αυτών των προβλημάτων. Σε γενικές γραμμές, οι επιστήμονές μας αναζητούν μοτίβα όπου δεν υπάρχουν και δεν πρέπει να υπάρχουν. Κι όμως, ακόμα και στο χάος υπάρχει σύνδεση μεταξύ ορισμένων γεγονότων. Αυτή η σύνδεση είναι αυτό που είναι το φράκταλ. Για παράδειγμα, σκεφτείτε ένα σπασμένο κλαδί που βρίσκεται στο δρόμο. Αν το κοιτάξουμε προσεκτικά, θα δούμε ότι με όλα τα κλαδιά και τα κλαδιά του μοιάζει με δέντρο. Αυτή η ομοιότητα ενός ξεχωριστού μέρους με ένα ενιαίο σύνολο υποδηλώνει τη λεγόμενη αρχή της αναδρομικής αυτο-ομοιότητας. Τα φράκταλ μπορούν να βρεθούν παντού στη φύση, επειδή πολλές ανόργανες και οργανικές μορφές σχηματίζονται με παρόμοιο τρόπο. Αυτά είναι τα σύννεφα, τα κοχύλια της θάλασσας, τα κοχύλια σαλιγκαριών, οι κορώνες δέντρων, ακόμη και το κυκλοφορικό σύστημα. Αυτή η λίστα μπορεί να συνεχιστεί επ' αόριστον. Όλα αυτά τα τυχαία σχήματα περιγράφονται εύκολα από έναν αλγόριθμο φράκταλ. Τώρα έχουμε φτάσει να εξετάσουμε τι είναι ένα φράκταλ από την οπτική των ακριβών επιστημών.

Μερικά ξερά στοιχεία

Η ίδια η λέξη "fractal" μεταφράζεται από τα λατινικά ως "μερική", "διαιρεμένη", "κατακερματισμένη" και ως προς το περιεχόμενο αυτού του όρου, δεν υπάρχει καμία διατύπωση ως τέτοια. Συνήθως ερμηνεύεται ως ένα αυτο-όμοιο σύνολο, ένα μέρος του συνόλου, που επαναλαμβάνει τη δομή του σε μικροεπίπεδο. Αυτός ο όρος επινοήθηκε τη δεκαετία του εβδομήντα του εικοστού αιώνα από τον Benoit Mandelbrot, ο οποίος αναγνωρίζεται ως ο πατέρας.Σήμερα, η έννοια του φράκταλ σημαίνει μια γραφική εικόνα μιας συγκεκριμένης δομής, η οποία, όταν κλιμακωθεί, θα είναι παρόμοια με την ίδια. Ωστόσο, η μαθηματική βάση για τη δημιουργία αυτής της θεωρίας τέθηκε ακόμη και πριν από τη γέννηση του ίδιου του Mandelbrot, αλλά δεν μπορούσε να αναπτυχθεί μέχρι να εμφανιστούν οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές.

Ιστορικό υπόβαθρο ή Πώς ξεκίνησαν όλα

Στο γύρισμα του 19ου και του 20ου αιώνα, η μελέτη της φύσης των φράκταλ ήταν σποραδική. Αυτό εξηγείται από το γεγονός ότι οι μαθηματικοί προτιμούσαν να μελετούν αντικείμενα που θα μπορούσαν να ερευνηθούν με βάση γενικές θεωρίες και μεθόδους. Το 1872, ο Γερμανός μαθηματικός K. Weierstrass κατασκεύασε ένα παράδειγμα συνεχούς συνάρτησης που δεν διαφοροποιείται πουθενά. Ωστόσο, αυτή η κατασκευή αποδείχθηκε εντελώς αφηρημένη και δύσκολο να γίνει αντιληπτή. Ακολούθησε ο Σουηδός Helge von Koch, ο οποίος το 1904 κατασκεύασε μια συνεχή καμπύλη που δεν είχε πουθενά εφαπτομένη. Είναι αρκετά εύκολο να σχεδιαστεί και αποδεικνύεται ότι έχει ιδιότητες φράκταλ. Μία από τις παραλλαγές αυτής της καμπύλης πήρε το όνομά της από τον συγγραφέα της - "Koch snowflake". Περαιτέρω, η ιδέα της αυτο-ομοιότητας των μορφών αναπτύχθηκε από τον μελλοντικό μέντορα του B. Mandelbrot, τον Γάλλο Paul Levy. Το 1938 δημοσίευσε το άρθρο «Επίπεδες και χωρικές καμπύλες και επιφάνειες που αποτελούνται από μέρη παρόμοια με το σύνολο». Σε αυτό, περιέγραψε έναν νέο τύπο - την καμπύλη Lewy C. Όλα τα παραπάνω σχήματα ταξινομούνται συμβατικά ως γεωμετρικά φράκταλ.

Δυναμικά ή αλγεβρικά φράκταλ

Το σύνολο Mandelbrot ανήκει σε αυτή την κατηγορία. Οι πρώτοι ερευνητές προς αυτή την κατεύθυνση ήταν οι Γάλλοι μαθηματικοί Pierre Fatou και Gaston Julia. Το 1918, η Τζούλια δημοσίευσε μια εργασία βασισμένη στη μελέτη των επαναλήψεων ορθολογικών μιγαδικών συναρτήσεων. Εδώ περιέγραψε μια οικογένεια φράκταλ που σχετίζονται στενά με το σύνολο του Mandelbrot. Παρά το γεγονός ότι αυτό το έργο δόξασε τον συγγραφέα μεταξύ των μαθηματικών, γρήγορα ξεχάστηκε. Και μόνο μισό αιώνα αργότερα, χάρη στους υπολογιστές, το έργο της Τζούλια έλαβε μια δεύτερη ζωή. Οι υπολογιστές κατέστησαν δυνατό να κάνουν ορατή σε κάθε άτομο την ομορφιά και τον πλούτο του κόσμου των φράκταλ που οι μαθηματικοί μπορούσαν να «δουν» εμφανίζοντάς τα μέσω συναρτήσεων. Ο Mandelbrot ήταν ο πρώτος που χρησιμοποίησε έναν υπολογιστή για να πραγματοποιήσει υπολογισμούς (ένας τέτοιος τόμος δεν μπορεί να γίνει με το χέρι) που κατέστησαν δυνατή την κατασκευή μιας εικόνας αυτών των σχημάτων.

Ένα άτομο με χωρική φαντασία

Ο Mandelbrot ξεκίνησε την επιστημονική του καριέρα στο IBM Research Center. Κατά τη μελέτη των δυνατοτήτων μετάδοσης δεδομένων σε μεγάλες αποστάσεις, οι επιστήμονες αντιμετώπισαν το γεγονός των μεγάλων απωλειών που προέκυψαν λόγω παρεμβολών θορύβου. Ο Benoit έψαχνε τρόπους για να λύσει αυτό το πρόβλημα. Εξετάζοντας τα αποτελέσματα των μετρήσεων, παρατήρησε ένα περίεργο μοτίβο, δηλαδή: τα γραφήματα θορύβου έμοιαζαν ίδια σε διαφορετικές χρονικές κλίμακες.

Παρόμοια εικόνα παρατηρήθηκε τόσο για διάστημα μιας ημέρας όσο και για επτά ημέρες ή για μία ώρα. Ο ίδιος ο Benoit Mandelbrot επαναλάμβανε συχνά ότι δεν δουλεύει με φόρμουλες, αλλά παίζει με εικόνες. Αυτός ο επιστήμονας διακρινόταν από ευφάνταστη σκέψη· μετέφρασε οποιοδήποτε αλγεβρικό πρόβλημα στη γεωμετρική περιοχή, όπου η σωστή απάντηση είναι προφανής. Δεν είναι λοιπόν περίεργο που διακρίνεται για τον πλούτο του και έγινε ο πατέρας της γεωμετρίας φράκταλ. Εξάλλου, η επίγνωση αυτής της φιγούρας μπορεί να έρθει μόνο όταν μελετήσετε τα σχέδια και σκεφτείτε τη σημασία αυτών των περίεργων στροβιλισμών που σχηματίζουν το σχέδιο. Τα φράκταλ μοτίβα δεν έχουν πανομοιότυπα στοιχεία, αλλά είναι παρόμοια σε οποιαδήποτε κλίμακα.

Τζούλια - Μάντελμπροτ

Ένα από τα πρώτα σχέδια αυτής της φιγούρας ήταν μια γραφική ερμηνεία του συνόλου, η οποία γεννήθηκε από το έργο του Gaston Julia και αναπτύχθηκε περαιτέρω από τον Mandelbrot. Ο Gaston προσπάθησε να φανταστεί πώς θα έμοιαζε ένα σύνολο με βάση έναν απλό τύπο που επαναλαμβανόταν μέσω ενός βρόχου ανάδρασης. Ας προσπαθήσουμε να εξηγήσουμε τι έχει ειπωθεί στην ανθρώπινη γλώσσα, ας πούμε, στα δάχτυλα. Για μια συγκεκριμένη αριθμητική τιμή, βρίσκουμε μια νέα τιμή χρησιμοποιώντας έναν τύπο. Το αντικαθιστούμε στον τύπο και βρίσκουμε το εξής. Το αποτέλεσμα είναι μεγάλο Για να αναπαραστήσετε ένα τέτοιο σύνολο είναι απαραίτητο να εκτελέσετε αυτή τη λειτουργία πολλές φορές: εκατοντάδες, χιλιάδες, εκατομμύρια. Αυτό έκανε ο Μπενουά. Επεξεργάστηκε την ακολουθία και μετέφερε τα αποτελέσματα σε γραφική μορφή. Στη συνέχεια, χρωμάτισε το σχήμα που προέκυψε (κάθε χρώμα αντιστοιχεί σε έναν ορισμένο αριθμό επαναλήψεων). Αυτή η γραφική εικόνα ονομάστηκε "Mandelbrot fractal".

L. Carpenter: τέχνη που δημιουργήθηκε από τη φύση

Η θεωρία των φράκταλ βρήκε γρήγορα πρακτική εφαρμογή. Δεδομένου ότι σχετίζεται πολύ στενά με την οπτικοποίηση όμοιων εικόνων, οι καλλιτέχνες ήταν οι πρώτοι που υιοθέτησαν τις αρχές και τους αλγόριθμους για την κατασκευή αυτών των ασυνήθιστων μορφών. Ο πρώτος από αυτούς ήταν ο μελλοντικός ιδρυτής της Pixar, Lauren Carpenter. Ενώ εργαζόταν σε μια παρουσίαση πρωτοτύπων αεροσκαφών, του ήρθε η ιδέα να χρησιμοποιήσει μια εικόνα βουνών ως φόντο. Σήμερα, σχεδόν κάθε χρήστης υπολογιστή μπορεί να αντιμετωπίσει μια τέτοια εργασία, αλλά στη δεκαετία του εβδομήντα του περασμένου αιώνα, οι υπολογιστές δεν ήταν σε θέση να εκτελέσουν τέτοιες διαδικασίες, επειδή δεν υπήρχαν τότε επεξεργαστές γραφικών ή εφαρμογές για τρισδιάστατα γραφικά. Και τότε η Λόρεν συνάντησε το βιβλίο του Μάντελμπροτ «Fractals: Form, Randomness and Dimension». Σε αυτό, ο Benoit έδωσε πολλά παραδείγματα, δείχνοντας ότι τα φράκταλ υπάρχουν στη φύση (fyva), περιέγραψε τα ποικίλα σχήματά τους και απέδειξε ότι περιγράφονται εύκολα με μαθηματικές εκφράσεις. Ο μαθηματικός ανέφερε αυτή την αναλογία ως επιχείρημα για τη χρησιμότητα της θεωρίας που ανέπτυξε ως απάντηση σε ένα μπαράζ κριτικής από τους συναδέλφους του. Υποστήριξαν ότι ένα φράκταλ είναι απλώς μια όμορφη εικόνα, δεν έχει καμία αξία και είναι ένα υποπροϊόν της εργασίας των ηλεκτρονικών μηχανών. Ο Carpenter αποφάσισε να δοκιμάσει αυτή τη μέθοδο στην πράξη. Αφού μελέτησε προσεκτικά το βιβλίο, ο μελλοντικός εμψυχωτής άρχισε να ψάχνει έναν τρόπο να εφαρμόσει τη γεωμετρία φράκταλ στα γραφικά υπολογιστών. Του πήρε μόνο τρεις μέρες για να αποδώσει στον υπολογιστή του μια εντελώς ρεαλιστική εικόνα του ορεινού τοπίου. Και σήμερα αυτή η αρχή χρησιμοποιείται ευρέως. Όπως αποδεικνύεται, η δημιουργία φράκταλ δεν απαιτεί πολύ χρόνο και προσπάθεια.

Λύση ξυλουργού

Η αρχή που χρησιμοποίησε η Lauren ήταν απλή. Συνίσταται στη διαίρεση των μεγαλύτερων σε μικρά στοιχεία και αυτών σε παρόμοια μικρότερα κ.ο.κ. Ο Carpenter, χρησιμοποιώντας μεγάλα τρίγωνα, τα χώρισε σε 4 μικρά και ούτω καθεξής, μέχρι να αποκτήσει ένα ρεαλιστικό ορεινό τοπίο. Έτσι, έγινε ο πρώτος καλλιτέχνης που χρησιμοποίησε έναν αλγόριθμο φράκταλ στα γραφικά υπολογιστών για να κατασκευάσει την απαιτούμενη εικόνα. Σήμερα αυτή η αρχή χρησιμοποιείται για τη μίμηση διαφόρων ρεαλιστικών φυσικών μορφών.

Η πρώτη τρισδιάστατη απεικόνιση με χρήση αλγόριθμου φράκταλ

Λίγα χρόνια αργότερα, ο Lauren εφάρμοσε τις εξελίξεις του σε ένα έργο μεγάλης κλίμακας - το βίντεο κινουμένων σχεδίων Vol Libre, που προβλήθηκε στο Siggraph το 1980. Αυτό το βίντεο συγκλόνισε πολλούς και ο δημιουργός του προσκλήθηκε να εργαστεί στη Lucasfilm. Εδώ ο εμψυχωτής μπόρεσε να αξιοποιήσει πλήρως τις δυνατότητές του· δημιούργησε τρισδιάστατα τοπία (ένας ολόκληρος πλανήτης) για την ταινία μεγάλου μήκους "Star Trek". Οποιοδήποτε σύγχρονο πρόγραμμα («Fractals») ή εφαρμογή για τη δημιουργία τρισδιάστατων γραφικών (Terragen, Vue, Bryce) χρησιμοποιεί τον ίδιο αλγόριθμο για τη μοντελοποίηση υφών και επιφανειών.

Τομ Μπεντάρντ

Πρώην φυσικός λέιζερ και τώρα ψηφιακός καλλιτέχνης και καλλιτέχνης, ο Beddard δημιούργησε μια σειρά από πολύ ενδιαφέροντα γεωμετρικά σχήματα, τα οποία ονόμασε φράκταλ Fabergé. Εξωτερικά, μοιάζουν με διακοσμητικά αυγά από Ρώσο κοσμηματοπώλη· έχουν το ίδιο λαμπρό, περίπλοκο σχέδιο. Ο Beddard χρησιμοποίησε μια μέθοδο προτύπου για να δημιουργήσει τις ψηφιακές του αποδόσεις των μοντέλων. Τα προϊόντα που προκύπτουν εκπλήσσουν με την ομορφιά τους. Αν και πολλοί αρνούνται να συγκρίνουν ένα χειροποίητο προϊόν με ένα πρόγραμμα υπολογιστή, πρέπει να ομολογήσουμε ότι οι φόρμες που προκύπτουν είναι εξαιρετικά όμορφες. Το αποκορύφωμα είναι ότι ο καθένας μπορεί να δημιουργήσει ένα τέτοιο φράκταλ χρησιμοποιώντας τη βιβλιοθήκη λογισμικού WebGL. Σας επιτρέπει να εξερευνήσετε διάφορες δομές φράκταλ σε πραγματικό χρόνο.

Φράκταλ στη φύση

Λίγοι άνθρωποι δίνουν προσοχή, αλλά αυτές οι εκπληκτικές φιγούρες είναι παρούσες παντού. Η φύση δημιουργείται από όμοιες φιγούρες, απλά δεν το παρατηρούμε. Αρκεί να κοιτάξουμε μέσα από ένα μεγεθυντικό φακό το δέρμα μας ή ένα φύλλο δέντρου και θα δούμε φράκταλ. Ή πάρτε, για παράδειγμα, έναν ανανά ή ακόμα και την ουρά ενός παγωνιού - αποτελούνται από παρόμοιες φιγούρες. Και η ποικιλία μπρόκολου Romanescu είναι γενικά εντυπωσιακή στην εμφάνισή της, γιατί μπορεί πραγματικά να ονομαστεί ένα θαύμα της φύσης.

Μουσική παύση

Αποδεικνύεται ότι τα φράκταλ δεν είναι μόνο γεωμετρικά σχήματα, μπορούν επίσης να είναι ήχοι. Έτσι, ο μουσικός Jonathan Colton γράφει μουσική χρησιμοποιώντας αλγόριθμους φράκταλ. Ισχυρίζεται ότι αντιστοιχεί στη φυσική αρμονία. Ο συνθέτης δημοσιεύει όλα τα έργα του με άδεια CreativeCommons Αναφορά Αναφοράς-Μη εμπορική, η οποία προβλέπει δωρεάν διανομή, αντιγραφή και μεταφορά έργων σε άλλους.

Φράκταλ δείκτης

Αυτή η τεχνική έχει βρει μια πολύ απροσδόκητη εφαρμογή. Στη βάση του, δημιουργήθηκε ένα εργαλείο για την ανάλυση της χρηματιστηριακής αγοράς και, ως αποτέλεσμα, άρχισε να χρησιμοποιείται στην αγορά συναλλάγματος. Σήμερα, ο δείκτης φράκταλ βρίσκεται σε όλες τις πλατφόρμες συναλλαγών και χρησιμοποιείται σε μια τεχνική συναλλαγών που ονομάζεται breakout τιμής. Αυτή η τεχνική αναπτύχθηκε από τον Bill Williams. Όπως σχολιάζει ο συγγραφέας την εφεύρεσή του, αυτός ο αλγόριθμος είναι ένας συνδυασμός πολλών «κεριών», στα οποία το κεντρικό αντικατοπτρίζει το μέγιστο ή, αντίθετα, το ελάχιστο ακραίο σημείο.

Τελικά

Έτσι, εξετάσαμε τι είναι ένα φράκταλ. Αποδεικνύεται ότι στο χάος που μας περιβάλλει, υπάρχουν στην πραγματικότητα ιδανικές μορφές. Η φύση είναι ο καλύτερος αρχιτέκτονας, ιδανικός οικοδόμος και μηχανικός. Είναι διατεταγμένο πολύ λογικά, και αν δεν μπορούμε να βρούμε ένα μοτίβο, αυτό δεν σημαίνει ότι δεν υπάρχει. Ίσως πρέπει να δούμε σε διαφορετική κλίμακα. Μπορούμε να πούμε με σιγουριά ότι τα φράκταλ κρατούν ακόμα πολλά μυστικά που δεν έχουμε ανακαλύψει ακόμη.

Πίσω μπροστά

Προσοχή! Οι προεπισκοπήσεις διαφανειών είναι μόνο για ενημερωτικούς σκοπούς και ενδέχεται να μην αντιπροσωπεύουν όλα τα χαρακτηριστικά της παρουσίασης. Εάν ενδιαφέρεστε για αυτό το έργο, κατεβάστε την πλήρη έκδοση.

Συγγραφείς:
Μπεκμπουλάτοβα Αλίνα,
Getmanova Sofia

Αρχηγοί:
Μογκούτοβα Τατιάνα Μιχαήλοβνα,
Deryushkina Oksana Valerievna

Εισαγωγή.

Θεωρητικό μέρος του έργου:

• Ιστορία της ανάπτυξης της γεωμετρίας φράκταλ.
• Η έννοια του φράκταλ.
• Τύποι φράκταλ:

α) γεωμετρικά φράκταλ, παραδείγματα γεωμετρικών φράκταλ.
β) αλγεβρικά φράκταλ, παραδείγματα αλγεβρικών φράκταλ.
γ) στοχαστικά φράκταλ, παραδείγματα.

• Φυσικά φράκταλ.
• Πρακτική εφαρμογή φράκταλ:
• στη λογοτεχνία?
• στις τηλεπικοινωνίες?
• στην ιατρική?
• στην αρχιτεκτονική?
• στο σχέδιο?
• στα οικονομικά?
• σε παιχνίδια, κινηματογράφο, μουσική
• στις φυσικές επιστήμες
• στη φυσική?
• στη βιολογία
• φράκταλ για νοικοκυρές
• μοντέρνες ζωγραφιές – φράκταλ γραφικά.
• Φράκταλ γραφικά.
• Ο ρόλος της γεωμετρίας φράκταλ στη ζωή είναι ένας ύμνος στα φράκταλ!

Το πρακτικό μέρος του έργου

• Δημιουργία επιστημονικής εργασίας «Ταξίδι στον κόσμο των φράκταλ»
• Ανάρτηση στο Διαδίκτυο.
• Συμμετοχή σε Ολυμπιάδες και αγώνες.
• Δημιουργήστε τα δικά σας φράκταλ.
• Δημιουργία του φυλλαδίου «The Amazing World of Fractals»
• Διεξαγωγή του φεστιβάλ «The Amazing World of Fractals.

Εισαγωγή

Η γεωμετρία συχνά περιγράφεται ως ψυχρή και ξηρή. Ένας λόγος είναι η αδυναμία του να περιγράψει όλα όσα μας περιβάλλουν: το σχήμα ενός σύννεφου, βουνού, δέντρου ή αιγιαλού. Τα σύννεφα δεν είναι σφαίρες, τα βουνά δεν είναι κώνοι, οι ακτές δεν είναι κύκλοι και ο φλοιός δεν είναι λείος και οι κεραυνοί δεν ταξιδεύουν σε ευθεία γραμμή. Με μεγάλη χαρά για εμάς, μάθαμε ότι στον σύγχρονο κόσμο υπάρχει μια νέα γεωμετρία - η γεωμετρία των φράκταλ.

Η ανακάλυψη των φράκταλ έφερε επανάσταση όχι μόνο στη γεωμετρία, αλλά και στη φυσική, τη χημεία, τη βιολογία και όλους τους τομείς της ζωής μας.

Συνάφεια του έργου:

• Ο ρόλος των φράκταλ στον σύγχρονο κόσμο είναι αρκετά μεγάλος
• Τα πειστικά επιχειρήματα υπέρ της συνάφειας της μελέτης των φράκταλ είναι το εύρος της εφαρμογής τους

Ερευνητική υπόθεση:

Η γεωμετρία φράκταλ είναι μια σύγχρονη, πολύ ενδιαφέρουσα περιοχή της ανθρώπινης γνώσης. Η εμφάνιση της γεωμετρίας φράκταλ είναι απόδειξη της συνεχιζόμενης εξέλιξης του ανθρώπου και της επέκτασης των τρόπων κατανόησης του κόσμου.

Στόχος του έργου:

Μελετήστε τη θεωρία των φράκταλ για να δημιουργήσετε ένα επιστημονικό έργο «The Amazing World of Fractals» και αναπτύξτε και εφαρμόστε σε υπολογιστή αλγόριθμους για τη σχεδίαση φράκταλ σε ένα επίπεδο.

Στόχοι του έργου:

• Εξοικειωθείτε με την ιστορία της εμφάνισης και της ανάπτυξης της γεωμετρίας φράκταλ.
• Μελετήστε τους τύπους φράκταλ και την εφαρμογή τους στον σύγχρονο κόσμο.
• Εκτελέστε προγράμματα δημιουργίας φράκταλ σε γλώσσες προγραμματισμού Pascal και Logo
• Δημιουργήστε μια επιστημονική εργασία για τα φράκταλ και δημοσιεύστε την στο Διαδίκτυο.
• Δημιουργήστε ένα φυλλάδιο «The Amazing World of Fractals»
• Διοργανώστε ένα φεστιβάλ «The Amazing World of Fractals» για να εξοικειωθούν οι μαθητές με τα αποτελέσματα της δουλειάς μας.

Δουλέψαμε στο έργο για 4 μήνες.

Τα κύρια στάδια της δουλειάς μας:

• Συγκέντρωση των απαραίτητων πληροφοριών: χρήση του Διαδικτύου, βιβλίων, δημοσιεύσεων σχετικά με αυτό το θέμα. (2 εβδομάδες)
• Ταξινόμηση πληροφοριών ανά θέμα: συστηματοποίηση και καθορισμός της σειράς συγγραφής της εργασίας. Η εργασία κράτησε 2 εβδομάδες.
• Προετοιμασία εργασίας κειμένου: συγγραφή του κειμένου, μερική προετοιμασία συστηματοποιημένων πληροφοριών. Χρειάστηκε ένας μήνας.
• Δημιουργία της παρουσίασης: συμπίεση συστηματοποιημένων πληροφοριών, προσδιορισμός της δομής της παρουσίασης, δημιουργία και σχεδιασμός της και πραγματοποιήθηκε σε διάστημα ενός μήνα.
• Εκμάθηση ενός προγράμματος δημιουργίας φράκταλ και δημιουργία των δικών σας φράκταλ στις γλώσσες προγραμματισμού Pascal και Logo (μέχρι σήμερα)

Θεωρητικό μέρος του έργου

Μελετήσαμε την ιστορία της δημιουργίας της γεωμετρίας φράκταλ.

Το ενδιαφέρον για τα φράκταλ αντικείμενα αναβίωσε στα μέσα της δεκαετίας του '70 του 20ού αιώνα.

Η γέννηση της γεωμετρίας φράκταλ συνδέεται συνήθως με τη δημοσίευση του βιβλίου του Mandelbrot «The Fractal Geometry of Nature» το 1977. Τα έργα του χρησιμοποίησαν τα επιστημονικά αποτελέσματα άλλων επιστημόνων που εργάστηκαν την περίοδο 1875-1925 στον ίδιο τομέα (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff Αλλά μόνο στην εποχή μας κατέστη δυνατό να συνδυάσουμε τη δουλειά τους σε ένα ενιαίο σύστημα.

Τι είναι λοιπόν ένα φράκταλ;

Φράκταλ -ένα γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από πολλά μέρη, καθένα από τα οποία είναι παρόμοιο με ολόκληρο το σχήμα.

Ένα μικρό μέρος ενός φράκταλ περιέχει πληροφορίες για ολόκληρο το φράκταλ.Σήμερα, η λέξη "fractal" σημαίνει πιο συχνά μια γραφική αναπαράσταση μιας δομής που είναι παρόμοια με την ίδια σε μεγαλύτερη κλίμακα.

Τα φράκταλ χωρίζονται σε γεωμετρικά, γεωμετρικά και στοχαστικά.

Τα γεωμετρικά φράκταλ ονομάζονται επίσης κλασικά. Είναι τα πιο οπτικά, αφού έχουν τη λεγόμενη άκαμπτη αυτο-ομοιότητα, η οποία δεν αλλάζει όταν αλλάζει η κλίμακα. Αυτό σημαίνει ότι ανεξάρτητα από το πόσο κοντά κάνετε μεγέθυνση στο φράκταλ, εξακολουθείτε να βλέπετε το ίδιο μοτίβο.

Ας δώσουμε τα πιο διάσημα παραδείγματα γεωμετρικών φράκταλ.

Νιφάδα χιονιού Κοχ.

Εφευρέθηκε το 1904 από τον Γερμανό μαθηματικό Helge von Koch.

Για την κατασκευή του, λαμβάνεται ένα ενιαίο τμήμα, χωρισμένο σε τρία ίσα μέρη και ο μεσαίος σύνδεσμος αντικαθίσταται από ένα ισόπλευρο τρίγωνο χωρίς αυτόν τον σύνδεσμο. Στο επόμενο βήμα, επαναλαμβάνουμε τη λειτουργία για καθένα από τα τέσσερα τμήματα που προκύπτουν. Ως αποτέλεσμα της ατέρμονης επανάληψης αυτής της διαδικασίας, προκύπτει μια καμπύλη φράκταλ.

Το πεντάγωνο του Ντύρερ.

Ένα φράκταλ μοιάζει με ένα μάτσο πεντάγωνα συμπιεσμένα μεταξύ τους. Στην πραγματικότητα, σχηματίζεται χρησιμοποιώντας ένα πεντάγωνο ως εκκινητή και ισοσκελές τρίγωνα, η αναλογία της μεγαλύτερης πλευράς προς τη μικρότερη είναι ακριβώς ίση με τη λεγόμενη χρυσή τομή. Αυτά τα τρίγωνα κόβονται από τη μέση κάθε πενταγώνου, με αποτέλεσμα μια φιγούρα παρόμοια με 5 μικρά πεντάγωνα κολλημένα σε ένα μεγάλο.

Η χαρτοπετσέτα του Sierpinski.

Το 1915, ο Πολωνός μαθηματικός Waclaw Sierpinski βρήκε ένα ενδιαφέρον αντικείμενο.

Για να το κατασκευάσετε, πάρτε ένα συμπαγές ισόπλευρο τρίγωνο. Στο πρώτο βήμα, ένα ανεστραμμένο ισόπλευρο τρίγωνο αφαιρείται από το κέντρο. Το δεύτερο βήμα αφαιρεί τρία ανεστραμμένα τρίγωνα από τα υπόλοιπα τρία τρίγωνα και ούτω καθεξής.

Καμπύλη Δράκου.

Εφευρέθηκε από τον Ιταλό μαθηματικό Giuseppe Peano.

Χαλί Sierpinski.

Λαμβάνεται ένα τετράγωνο, χωρίζεται σε εννέα ίσα τετράγωνα, το μεσαίο πετιέται και η ίδια πράξη επαναλαμβάνεται επ' άπειρον με τα υπόλοιπα.

Ο δεύτερος τύπος φράκταλ είναι τα αλγεβρικά φράκταλ.

Πήραν το όνομά τους επειδή είναι χτισμένα με βάση αλγεβρικούς τύπους. Ως αποτέλεσμα της μαθηματικής επεξεργασίας αυτού του τύπου, εμφανίζεται στην οθόνη ένα σημείο συγκεκριμένου χρώματος. Το αποτέλεσμα είναι μια παράξενη φιγούρα στην οποία οι ευθείες γραμμές μετατρέπονται σε καμπύλες και φαινόμενα αυτο-ομοιότητας εμφανίζονται σε διάφορα επίπεδα κλίμακας. Σχεδόν κάθε σημείο στην οθόνη ενός υπολογιστή είναι σαν ένα ξεχωριστό φράκταλ.

Παραδείγματα των πιο διάσημων αλγεβρικών φράκταλ.

Σετ Mandelbrot.

Τα σύνολα Mandelbrot είναι τα πιο κοινά μεταξύ των αλγεβρικών φράκταλ. Μπορεί να βρεθεί σε πολλά επιστημονικά περιοδικά, εξώφυλλα βιβλίων, καρτ ποστάλ και προφύλαξη οθόνης υπολογιστών. Αυτό το φράκταλ μοιάζει με μια μηχανή λαναρίσματος με φλεγόμενες δεντροειδείς και κυκλικές περιοχές προσαρτημένες σε αυτό.

Πολλή Τζούλια.

Το σετ Julia εφευρέθηκε από τον Γάλλο μαθηματικό Gaston Julia. Ένα εξίσου διάσημο αλγεβρικό φράκταλ.

Newton Pools.

Στοχαστικά φράκταλ.

Τα φράκταλ, κατά την κατασκευή των οποίων σε ένα επαναληπτικό σύστημα κάποιες παράμετροι αλλάζουν τυχαία, ονομάζονται στοχαστικά. Ο όρος "στοχαστικότητα" προέρχεται από την ελληνική λέξη που σημαίνει "υπόθεση".

Σε αυτή την περίπτωση, τα αντικείμενα που προκύπτουν είναι πολύ παρόμοια με τα φυσικά - ασύμμετρα δέντρα, τραχιές ακτές κ.λπ. Τα δισδιάστατα στοχαστικά φράκταλ χρησιμοποιούνται στη μοντελοποίηση εδαφών και επιφανειών θάλασσας.

Αυτά τα φράκταλ χρησιμοποιούνται στη μοντελοποίηση εδάφους και επιφανειών θάλασσας και στη διαδικασία ηλεκτρόλυσης. Αυτή η ομάδα φράκταλ έχει γίνει ευρέως διαδεδομένη χάρη στην εργασία του Michael Barnsley από το Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Τζόρτζια.
Ένας τυπικός εκπρόσωπος αυτής της κατηγορίας φράκταλ είναι το "Πλάσμα".

Το πιο κατανοητό για εμάς είναι τα λεγόμενα φυσικά φράκταλ.

«Το μεγάλο βιβλίο της φύσης είναι γραμμένο στη γλώσσα της γεωμετρίας» (Galileo Galilei).

Φυσικά φράκταλ.

• Στην άγρια ​​ζωή:
• Αστερίες και αχινούς
• Λουλούδια και φυτά (μπρόκολο, λάχανο)
• Στέφανα δέντρων και φύλλα φυτών
• Φρούτα (ανανάς)
• Κυκλοφορικό σύστημα και βρόγχοι ανθρώπων και ζώων
• Στην άψυχη φύση:
• Σύνορα γεωγραφικών αντικειμένων (χώρες, περιφέρειες, πόλεις)
• Παγωμένα σχέδια στο τζάμι παραθύρου
• Σταλακτίτες, σταλαγμίτες, ελικτίτες.

Σχεδόν όλοι οι φυσικοί σχηματισμοί: κορώνες δέντρων, σύννεφα, βουνά, ακτές έχουν δομή φράκταλ.
Τι σημαίνει?

Εάν κοιτάξετε ένα φράκταλ αντικείμενο στο σύνολό του, μετά σε ένα μέρος του σε μεγέθυνση, μετά σε ένα μέρος αυτού του τμήματος, δεν είναι δύσκολο να δείτε ότι φαίνονται το ίδιο.

Θαλάσσια φράκταλ.

Το χταπόδι είναι ένα θαλάσσιο ζώο που κατοικεί στον βυθό από την τάξη των κεφαλόποδων.

Τα σώματά του και τα κορόιδα και στα οκτώ πλοκάμια αυτού του ζώου έχουν φράκταλ δομή.

Ένας άλλος τυπικός εκπρόσωπος του φράκταλ υποβρύχιου κόσμου είναι τα κοράλλια.

Υπάρχουν πάνω από 3.500 είδη κοραλλιών γνωστά στη φύση.

Πράσινα φράκταλ – φύλλα φτέρης.

Τα φύλλα της φτέρης έχουν το σχήμα μιας φράκταλ φιγούρας - είναι ίδια.

Το κρεμμύδι είναι ένα φράκταλ που σε κάνει να κλαις.Φυσικά, είναι ένα απλό φράκταλ: συνηθισμένοι κύκλοι διαφορετικών διαμέτρων, θα μπορούσε κανείς να πει ακόμη και ένα πρωτόγονο φράκταλ.

Ένα εντυπωσιακό παράδειγμα ενός φράκταλ στη φύση είναι το «Romanescu», επίσης γνωστό ως «ρομανικό μπρόκολο» ή «κουνουπίδι κοραλλιού».

Κουνουπίδι- τυπικό φράκταλ.

Ας δούμε τη δομή του κουνουπιδιού.

Αν κόψετε ένα από τα λουλούδια, είναι προφανές ότι το ίδιο κουνουπίδι παραμένει στα χέρια σας, μόνο μικρότερο σε μέγεθος. Μπορούμε να συνεχίσουμε να κόβουμε ξανά και ξανά, ακόμη και κάτω από ένα μικροσκόπιο - αλλά το μόνο που παίρνουμε είναι μικροσκοπικά αντίγραφα του κουνουπιδιού.

Matryoshka - αναμνηστικό παιχνίδι- ένα τυπικό φράκταλ. Η αρχή του fractality είναι προφανής όταν όλες οι φιγούρες ενός ξύλινου παιχνιδιού είναι παραταγμένες σε μια σειρά και όχι φωλιασμένες η μία μέσα στην άλλη.

Ο άνθρωπος είναι φράκταλ.

Ένα παιδί γεννιέται και μεγαλώνει, και αυτή η διαδικασία συνοδεύεται από την αρχή της «αυτο-ομοιότητας», της fractality.

Το εύρος των φράκταλ είναι ευρύ.

Τα φράκταλ στη λογοτεχνία

Ανάμεσα στα λογοτεχνικά έργα υπάρχουν εκείνα που έχουν κειμενικό, δομικό ή φράκταλ χαρακτήρα. Στα λογοτεχνικά φράκταλ, στοιχεία του κειμένου επαναλαμβάνονται ασταμάτητα:

Ο παπάς είχε ένα σκύλο
την αγαπούσε.
Έφαγε ένα κομμάτι κρέας
τη σκότωσε.
Θαμμένος στο έδαφος
Η λεζάντα έγραψε:
Ο ιερέας είχε ένα σκύλο...

«Εδώ είναι το σπίτι.
Το οποίο έχτισε ο Τζακ.
Και εδώ είναι το σιτάρι.

Μέσα στο σπίτι,
Το οποίο κατασκεύασε ο Τζακ
Και εδώ είναι ένα χαρούμενο πουλάκι,
Που κλέβει έξυπνα το σιτάρι,
Το οποίο φυλάσσεται σε σκοτεινή ντουλάπα
Μέσα στο σπίτι,
Αυτό που έχτισε ο Τζακ...» .

Φράκταλ στις τηλεπικοινωνίες.

Για τη μετάδοση δεδομένων σε αποστάσεις χρησιμοποιούνται κεραίες με σχήματα φράκταλ, γεγονός που μειώνει σημαντικά το μέγεθος και το βάρος τους.

Φράκταλ στην ιατρική.

Επί του παρόντος, τα φράκταλ χρησιμοποιούνται ευρέως στην ιατρική. Το ίδιο το ανθρώπινο σώμα αποτελείται από πολλές φράκταλ δομές: το κυκλοφορικό σύστημα, τους μύες, τους βρόγχους, τις βρογχικές οδούς στους πνεύμονες, τις αρτηρίες.

Η θεωρία των φράκταλ χρησιμοποιείται για την ανάλυση ηλεκτροκαρδιογραφημάτων.

Η αξιολόγηση του μεγέθους και των ρυθμών της φράκταλ διάστασης επιτρέπει σε κάποιον να κρίνει σε πρώιμο στάδιο και με μεγαλύτερη ακρίβεια και πληροφόρηση σχετικά με τις διαταραχές της ομοιόστασης και την ανάπτυξη συγκεκριμένων καρδιακών παθήσεων.

Οι εικόνες ακτίνων Χ που επεξεργάζονται χρησιμοποιώντας αλγόριθμους φράκταλ παρέχουν μια εικόνα υψηλότερης ποιότητας και, κατά συνέπεια, καλύτερα διαγνωστικά!!

Ένας άλλος τομέας ενεργούς χρήσης φράκταλ είναι η γαστρεντερολογία.

Μια νέα ερευνητική μέθοδος στην ιατρική, η ηλεκτρογαστρεντερογραφία είναι μια ερευνητική μέθοδος που σας επιτρέπει να αξιολογήσετε τη βιοηλεκτρική δραστηριότητα του στομάχου, του δωδεκαδακτύλου και άλλων τμημάτων του γαστρεντερικού σωλήνα.

Φράκταλ στην αρχιτεκτονική.

Η αρχή του φράκταλ της ανάπτυξης φυσικών και γεωμετρικών αντικειμένων διεισδύει βαθιά στην αρχιτεκτονική τόσο ως εικόνα της εξωτερικής λύσης του αντικειμένου, όσο και ως εσωτερική αρχή του σχηματισμού της αρχιτεκτονικής μορφής.

Σχεδιαστές από όλο τον κόσμο ξεκίνησανχρησιμοποιήστε στην εργασία σας αξιόλογες δομές φράκταλ, που μόλις πρόσφατα περιγράφηκαν από εξέχοντες μαθηματικούς.

Η χρήση φράκταλ έχει φέρει σχεδόν όλους τους τομείς του μοντέρνου σχεδιασμού σε ένα νέο επίπεδο.

Η εισαγωγή των δομών φράκταλ έχει αυξήσει τόσο τα οπτικά όσο και τα λειτουργικά στοιχεία του σχεδίου σε πολλές περιπτώσεις.

Ο σχεδιαστής Takeshi Miyakawa ονειρευόταν να γίνει μαθηματικός από παιδί.

Πώς αλλιώς μπορούμε να εξηγήσουμε αυτό το έπιπλο: το κομοδίνο Fractal 23 περιέχει 23 συρτάρια διαφόρων μεγεθών και αναλογιών, τα οποία κατά κάποιο τρόπο καταφέρνουν να συνυπάρχουν μεταξύ τους μέσα στο κυβικό σώμα, γεμίζοντας σχεδόν όλο τον χώρο που τους διατίθεται.

Τα φράκταλ στα οικονομικά.

Πρόσφατα, τα φράκταλ έχουν γίνει δημοφιλή μεταξύ των οικονομολόγων για την ανάλυση των συναλλαγματικών ισοτιμιών, των νομισμάτων και των αγορών συναλλαγών.
Τα φράκταλ εμφανίζονται στην αγορά αρκετά συχνά.

Φράκταλ σε παιχνίδια.

Σήμερα, πολλά παιχνίδια (ίσως το πιο εντυπωσιακό παράδειγμα του Minecraft), όπου υπάρχουν διάφορα είδη φυσικών τοπίων, χρησιμοποιούν αλγόριθμους φράκταλ με τον ένα ή τον άλλο τρόπο. Έχει δημιουργηθεί ένας μεγάλος αριθμός προγραμμάτων για τη δημιουργία τοπίων και τοπίων με βάση αλγόριθμους φράκταλ.

Τα φράκταλ στον κινηματογράφο.

Στον κινηματογράφο, ένας αλγόριθμος φράκταλ χρησιμοποιείται για να δημιουργήσει διάφορα φανταστικά τοπία. Η γεωμετρία φράκταλ επιτρέπει στους καλλιτέχνες ειδικών εφέ να δημιουργούν εύκολα αντικείμενα όπως σύννεφα, καπνό, φλόγες, έναστρους ουρανούς κ.λπ. Τι μπορούμε να πούμε για το fractal animation, είναι πραγματικά ένα εκπληκτικό θέαμα.

Ηλεκτρονική μουσική.

Το θέαμα του fractal animation χρησιμοποιείται με επιτυχία από τους VJ. Τέτοιες εγκαταστάσεις βίντεο χρησιμοποιούνται ιδιαίτερα συχνά σε συναυλίες εκτελεστών ηλεκτρονικής μουσικής.

Φυσικές επιστήμες.

Τα φράκταλ χρησιμοποιούνται συχνά στη γεωλογία και τη γεωφυσική. Δεν είναι μυστικό ότι οι ακτές των νησιών και των ηπείρων έχουν μια ορισμένη φράκταλ διάσταση, γνωρίζοντας ποια μπορεί κανείς να υπολογίσει με μεγάλη ακρίβεια τα μήκη των ακτών.

Η μελέτη της τεκτονικής και της σεισμικότητας των ρηγμάτων μερικές φορές μελετάται επίσης χρησιμοποιώντας αλγόριθμους φράκταλ.

Η γεωφυσική χρησιμοποιεί φράκταλ και ανάλυση φράκταλ για να μελετήσει ανωμαλίες μαγνητικού πεδίου, να μελετήσει τη διάδοση κυμάτων και ταλαντώσεων σε ελαστικά μέσα, να μελετήσει το κλίμα και πολλά άλλα πράγματα.

Τα φράκταλ στη φυσική.

Στη φυσική, τα φράκταλ χρησιμοποιούνται πολύ ευρέως. Στη φυσική στερεάς κατάστασης, οι αλγόριθμοι φράκταλ καθιστούν δυνατή την ακριβή περιγραφή και πρόβλεψη των ιδιοτήτων στερεών, πορωδών, σπογγωδών σωμάτων και αεροπηκτών. Αυτό βοηθά στη δημιουργία νέων υλικών με ασυνήθιστες και χρήσιμες ιδιότητες.
Ένα παράδειγμα στερεού είναι οι κρύσταλλοι.

Η μελέτη των αναταράξεων στις ροές προσαρμόζεται πολύ καλά στα φράκταλ.

Η μετάβαση σε μια αναπαράσταση φράκταλ διευκολύνει το έργο των μηχανικών και των φυσικών, επιτρέποντάς τους να κατανοήσουν καλύτερα τη δυναμική των πολύπλοκων συστημάτων.
Χρησιμοποιώντας φράκταλ μπορείτε επίσης να προσομοιώσετε φλόγες.

Φράκταλ στη βιολογία.

Στη βιολογία, χρησιμοποιούνται για τη μοντελοποίηση πληθυσμών και για την περιγραφή συστημάτων εσωτερικών οργάνων (το σύστημα των αιμοφόρων αγγείων). Μετά τη δημιουργία της καμπύλης Koch, προτάθηκε η χρήση της κατά τον υπολογισμό του μήκους της ακτογραμμής.

Φράκταλ για νοικοκυρές.

Είναι εύκολο να μεταφερθεί η θεωρία των φράκταλ στο σπίτι, συμπεριλαμβανομένης της κουζίνας.

Το αποτέλεσμα της εφαρμογής μπορεί να είναι οτιδήποτε: φράκταλ σκουλαρίκια, φράκταλ νόστιμο συκώτι και πολλά άλλα. Χρειάζεται μόνο να χρησιμοποιήσετε γνώση και εφευρετικότητα!

Τα φράκταλ γραφικά χρησιμοποιούνται ευρέως στον σύγχρονο κόσμο. Οι πίνακες είναι δημοφιλείς - αποτέλεσμα φράκταλ γραφικών.

Και αυτό δεν είναι τυχαίο. Θαυμάστε την ομορφιά των φράκταλ γραφικών!

Πρακτικό μέρος του έργου

• Δημιούργησε μια επιστημονική εργασία «Ταξίδι στον κόσμο των φράκταλ»
• Μελετήσαμε προγράμματα δημιουργίας φράκταλ στις γλώσσες προγραμματισμού Pascal και Logo.
• Δημιούργησε τα δικά σου φράκταλ.
• Φτιάξαμε τις δικές μας «Πανκοειδές Sierpinski» και «Sierpinski Carpet»
• Φτιαγμένα "Σκουλαρίκια Φράκταλ"
• Δημιούργησε μια σειρά από πίνακες "Miracles of Fractal Graphics"
• Δημοσίευσε το έργο «Ταξίδι στον κόσμο των φράκταλ» στο Διαδίκτυο.
• Πήραμε μέρος με το έργο «Ταξίδι στον κόσμο των φράκταλ» στην VII Πανρωσική Ολυμπιάδα για μαθητές και μαθητές «Επιστήμη 2.0» στο ακαδημαϊκό μάθημα «Μαθηματικά». Πήραμε την πρώτη θέση.
• Πήραμε μέρος στον Πανρωσικό διαγωνισμό «Μεγάλες ανακαλύψεις και εφευρέσεις» με το έργο «Ταξίδι στον κόσμο των φράκταλ». Πήραμε την πρώτη θέση.
• Πήραμε μέρος με το έργο «Ταξίδι στον κόσμο των φράκταλ» στην VIII Πανρωσική Ολυμπιάδα για μαθητές και μαθητές «Είμαι ερευνητής» στο ακαδημαϊκό μάθημα των Μαθηματικών. Πήραμε την πρώτη θέση.
• Δημιούργησε μια παρουσίαση "The Amazing World of Fractals"
• Δημιούργησε φυλλάδια «Χρησιμοποιώντας Fractals» και «Fractals Around Us»
• Πραγματοποιήσαμε το φεστιβάλ «The Amazing World of Fractals» για μαθητές των τάξεων 8-11».

Έτσι, μπορούμε να πούμε με απόλυτη σιγουριά για την τεράστια πρακτική εφαρμογή των φράκταλ και των αλγορίθμων φράκταλ σήμερα.

Το φάσμα των περιοχών όπου χρησιμοποιούνται τα φράκταλ είναι πολύ εκτεταμένο και ποικίλο.

Και σίγουρα, στο εγγύς μέλλον, τα φράκταλ, η γεωμετρία των φράκταλ, θα γίνουν κοντά και κατανοητά στον καθένα μας. Δεν μπορούμε να ζήσουμε χωρίς αυτά στη ζωή μας!

Ας ελπίσουμε ότι η εμφάνιση της γεωμετρίας φράκταλ είναι απόδειξη της συνεχιζόμενης εξέλιξης του ανθρώπου και της επέκτασης των τρόπων του να γνωρίζει και να κατανοεί τον κόσμο. Ίσως τα παιδιά μας να λειτουργήσουν εύκολα και με νόημα με τις έννοιες των φράκταλ και της μη γραμμικής δυναμικής, όπως εμείς λειτουργούμε με τις έννοιες της κλασικής φυσικής και της Ευκλείδειας γεωμετρίας.

Αποτελέσματα του έργου

• Γνωριστήκαμε με την ιστορία της εμφάνισης και της ανάπτυξης της γεωμετρίας φράκταλ.
• Μελετήσαμε τους τύπους φράκταλ και την εφαρμογή τους στον σύγχρονο κόσμο.
• Δημιουργήσαμε τα δικά μας φράκταλ στις γλώσσες προγραμματισμού Pascal και Logo
• Δημιούργησε μια επιστημονική εργασία για τα φράκταλ.
• Δημιούργησε φυλλάδια «Τα φράκταλ γύρω μας» και «Χρήση φράκταλ»
• Πραγματοποιήσαμε το φεστιβάλ «The Amazing World of Fractals» για μαθητές των τάξεων 8-11.

Στείλτε την καλή δουλειά σας στη βάση γνώσεων είναι απλή. Χρησιμοποιήστε την παρακάτω φόρμα

Φοιτητές, μεταπτυχιακοί φοιτητές, νέοι επιστήμονες που χρησιμοποιούν τη βάση γνώσεων στις σπουδές και την εργασία τους θα σας είναι πολύ ευγνώμονες.

Δημοσιεύτηκε στις http://www.allbest.ru/

Υπουργείο Παιδείας και Επιστημών της Ρωσικής Ομοσπονδίας

Θέμα: Φράκταλ- ειδικόςαντικείμεναζωντανόςΚαιμη διαβίωσηςειρήνη

Khabarovsk TOGU 2015

• Πίνακας περιεχομένων
• φράκταλ γεωμετρικά φράκταλ γραφικά
• Ιστορία των φράκταλ
• Ταξινόμηση φράκταλ
• Γεωμετρικά φράκταλ
• Αλγεβρικά φράκταλ
• Εφαρμογή φράκταλ
• Τα φράκταλ και ο κόσμος γύρω μας
• Φράκταλ γραφικά
• Εφαρμογή φράκταλ
• Φυσικές επιστήμες
• Ραδιομηχανική
• Επιστήμη των υπολογιστών
• Οικονομικά και χρηματοοικονομικά

Ιστορία των φράκταλ

Πολύ συχνά συναντάμε ειδικά αντικείμενα, αλλά λίγοι γνωρίζουν ότι πρόκειται για φράκταλ. Τα φράκταλ είναι μοναδικά αντικείμενα που δημιουργούνται από τις απρόβλεπτες κινήσεις του χαοτικού κόσμου. Βρίσκονται τόσο σε μικρά αντικείμενα, όπως η κυτταρική μεμβράνη, όσο και σε μεγάλα, όπως το Ηλιακό Σύστημα και ο Γαλαξίας. Στην καθημερινή ζωή, μπορούμε να δούμε φράκταλ σε ταπετσαρία, σε ύφασμα, σε μια προφύλαξη οθόνης επιφάνειας εργασίας σε υπολογιστή και στη φύση - αυτά είναι φυτά, θαλάσσια ζώα και φυσικά φαινόμενα.

Οι επιστήμονες γοητεύονται από τα φράκταλ από την αρχαιότητα, και οι προγραμματιστές και οι ειδικοί στα γραφικά υπολογιστών αγαπούν επίσης αυτά τα αντικείμενα. Η ανακάλυψη των φράκταλ ήταν μια επανάσταση στην ανθρώπινη αντίληψη για τον κόσμο και η ανακάλυψη μιας νέας αισθητικής της τέχνης και της επιστήμης.

Τι είναι λοιπόν τα φράκταλ; Φράκταλ- ένα γεωμετρικό σχήμα που έχει την ιδιότητα της αυτο-ομοιότητας, δηλαδή αποτελείται από πολλά μέρη, καθένα από τα οποία είναι παρόμοιο με ολόκληρο το σχήμα στο σύνολό του.

Ο όρος φράκταλ προτάθηκε το 1975. Ο Benoit Mandelbrot να προσδιορίσει τις ακανόνιστες, όμοιες δομές με τις οποίες τον απασχολούσε. Η γέννηση της γεωμετρίας φράκταλ είναι η δημοσίευση του βιβλίου του «The Fractal Geometry of Nature» το 1977. Το έργο του βασίστηκε στα έργα των επιστημόνων Poincaré, Fatou, Julia, Cantor και Hausdorff, που εργάστηκαν το 1875; 1925 στην ίδια περιοχή. Αλλά μόνο στην εποχή μας μπόρεσαν να συνδυάσουν τη δουλειά τους σε ένα ενιαίο σύστημα.

Η έννοια του "fractal" προέρχεται από το λατινικό "fractus"; που αποτελείται από θραύσματα. Ένας από τους ορισμούς είναι: «Ένα φράκταλ είναι μια δομή που αποτελείται από μέρη που, κατά κάποια έννοια, είναι παρόμοια με το σύνολο».

Ο Benoit Mandelbrot στα έργα του έδωσε ζωντανά παραδείγματα χρήσης φράκταλ για να εξηγήσει ορισμένα φυσικά φαινόμενα. Έδωσε μεγάλη προσοχή σε μια ενδιαφέρουσα ιδιότητα που έχουν πολλά φράκταλ. Το γεγονός είναι ότι συχνά ένα φράκταλ μπορεί να χωριστεί σε αυθαίρετα μικρά μέρη, έτσι ώστε κάθε μέρος να αποδεικνύεται απλώς ένα μειωμένο αντίγραφο του συνόλου. Με άλλα λόγια, αν κοιτάξουμε ένα φράκταλ μέσα από ένα μικροσκόπιο, θα εκπλαγούμε να δούμε την ίδια εικόνα όπως χωρίς μικροσκόπιο. Αυτή η ιδιότητα της αυτο-ομοιότητας διακρίνει έντονα τα φράκταλ από τα αντικείμενα της κλασικής γεωμετρίας.

Για τους σύγχρονους επιστήμονες, που μελετούν τα φράκταλ; όχι απλώς μια νέα περιοχή γνώσης. Αυτή είναι η ανακάλυψη ενός νέου τύπου γεωμετρίας που περιγράφει τον κόσμο γύρω μας και ο οποίος μπορεί να δει όχι μόνο στα σχολικά βιβλία, αλλά και στη φύση και στο απέραντο Σύμπαν. Τώρα, ο Mandelbrot και άλλοι επιστήμονες έχουν επεκτείνει το πεδίο της γεωμετρίας φράκταλ, έτσι ώστε να μπορεί να εφαρμοστεί σχεδόν σε όλα στον κόσμο, από την πρόβλεψη των χρηματιστηριακών τιμών μέχρι τις νέες ανακαλύψεις στη θεωρητική φυσική.

Ταξινόμηση φράκταλ

Υπάρχουν διαφορετικές ταξινομήσεις φράκταλ.

Η κύρια ταξινόμηση των φράκταλ είναι η διαίρεση σε γεωμετρικά και αλγεβρικά.

Τα γεωμετρικά φράκταλ έχουν ακριβή αυτο-ομοιότητα και τα αλγεβρικά φράκταλ έχουν κατά προσέγγιση αυτο-ομοιότητα.

Υπάρχει επίσης μια διαίρεση σε φυσικά και ανθρωπογενή φράκταλ.

Τα τεχνητά φράκταλ περιλαμβάνουν αυτά που εφευρέθηκαν από επιστήμονες· έχουν φράκταλ ιδιότητες σε οποιαδήποτε κλίμακα. Τα φυσικά φράκταλ υπόκεινται σε περιορισμό στην περιοχή ύπαρξης - δηλαδή στο μέγιστο και ελάχιστο μέγεθος στο οποίο ένα αντικείμενο εμφανίζει ιδιότητες φράκταλ.

Τα πιο απλά φράκταλ είναι τα γεωμετρικά φράκταλ.

Γεωμετρικά φράκταλ

Τα γεωμετρικά φράκταλ ονομάζονται επίσης κλασικά, ντετερμινιστικά ή γραμμικά. Είναι τα πιο οπτικά, αφού έχουν τη λεγόμενη άκαμπτη αυτο-ομοιότητα, η οποία δεν αλλάζει όταν αλλάζει η κλίμακα. Αυτό σημαίνει ότι ανεξάρτητα από το πόσο κοντά κάνετε μεγέθυνση στο φράκταλ, εξακολουθείτε να βλέπετε το ίδιο μοτίβο.

Στη δισδιάστατη περίπτωση, τέτοια φράκταλ μπορούν να ληφθούν προσδιορίζοντας κάποια διακεκομμένη γραμμή που ονομάζεται γεννήτρια. Σε ένα βήμα του αλγορίθμου, καθένα από τα τμήματα μιας δεδομένης πολυγραμμής (εκκινητής) αντικαθίσταται από μια πολυγραμμή γεννήτριας στην κατάλληλη κλίμακα. Ως αποτέλεσμα της ατέρμονης επανάληψης αυτής της διαδικασίας, προκύπτει μια καμπύλη φράκταλ. Παρά τη φαινομενική πολυπλοκότητα αυτής της καμπύλης, το σχήμα της καθορίζεται μόνο από το σχήμα της γεννήτριας.

Τα πιο διάσημα γεωμετρικά φράκταλ: καμπύλη Koch, καμπύλη Minkowski, καμπύλη Levy, καμπύλη δράκου, χαρτοπετσέτα και χαλί Sierpinski, πεντάγωνο Durer.

Κατασκευή κάποιων γεωμετρικών φράκταλ

1). Καμπύλη Koch.

Εφευρέθηκε το 1904 από έναν Γερμανό μαθηματικό ονόματι Helge von Koch. Για την κατασκευή του, λαμβάνεται ένα ενιαίο τμήμα, χωρισμένο σε τρία ίσα μέρη και ο μεσαίος σύνδεσμος αντικαθίσταται από ένα ισόπλευρο τρίγωνο χωρίς αυτόν τον σύνδεσμο. Στο επόμενο βήμα, επαναλαμβάνουμε τη λειτουργία για καθένα από τα τέσσερα τμήματα που προκύπτουν. Ως αποτέλεσμα της ατέρμονης επανάληψης αυτής της διαδικασίας, προκύπτει μια καμπύλη φράκταλ.

2). Η χαρτοπετσέτα του Sierpinski.

Το 1915, ο Πολωνός μαθηματικός Waclaw Sierpinski βρήκε ένα ενδιαφέρον αντικείμενο. Για να το κατασκευάσετε, πάρτε ένα συμπαγές ισόπλευρο τρίγωνο. Στο πρώτο βήμα, ένα ανεστραμμένο ισόπλευρο τρίγωνο αφαιρείται από το κέντρο. Το δεύτερο βήμα αφαιρεί τρία ανεστραμμένα τρίγωνα από τα υπόλοιπα τρία τρίγωνα και ούτω καθεξής. Σύμφωνα με τη θεωρία, δεν θα υπάρχει τέλος σε αυτή τη διαδικασία και δεν θα υπάρχει χώρος διαβίωσης στο τρίγωνο, αλλά ούτε θα καταρρεύσει - το αποτέλεσμα θα είναι ένα αντικείμενο που αποτελείται μόνο από τρύπες.

3). Ο Δράκος του Χάρτερ-Χάθγουεϊ.

Ο δράκος του Χάρτερ, γνωστός και ως δράκος Χάρτερ-Χάιθαγουεϊ, μελετήθηκε για πρώτη φορά από φυσικούς της NASA; John Haithway, William Harter και Bruce Banks. Περιγράφηκε το 1967 από τον Martin Gardner στη στήλη "Mathematical Games" του Scientific American.

Στο επόμενο βήμα, καθένα από τα ευθύγραμμα τμήματα αντικαθίσταται από δύο τμήματα που σχηματίζουν τις πλευρικές πλευρές ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου, για το οποίο το αρχικό τμήμα θα ήταν η υποτείνουσα. Ως αποτέλεσμα, το τμήμα φαίνεται να κάμπτεται σε ορθή γωνία. Η κατεύθυνση της εκτροπής εναλλάσσεται. Το πρώτο τμήμα κάμπτεται προς τα δεξιά (καθώς κινείται από αριστερά προς τα δεξιά), το δεύτερο - προς τα αριστερά, το τρίτο - πάλι προς τα δεξιά κ.λπ.

Παραδείγματα γεωμετρικών φράκταλ

ΚαμπύληΚοχΧαρτοπετσέταΣιερπίνσκι

Ο δράκοςΧάρτερ-Χάθγουεϊ

Η δεύτερη μεγάλη ομάδα φράκταλ είναι αλγεβρικά. Πήραν το όνομά τους επειδή είναι χτισμένα με βάση αλγεβρικούς τύπους.

Αλγεβρικά φράκταλ

Τα σύνθετα (αλγεβρικά) φράκταλ δεν μπορούν να δημιουργηθούν χωρίς τη βοήθεια υπολογιστή. Για να αποκτήσετε πολύχρωμα αποτελέσματα, αυτός ο υπολογιστής πρέπει να διαθέτει έναν ισχυρό μαθηματικό συνεπεξεργαστή και μια οθόνη υψηλής ανάλυσης. Πήραν το όνομά τους επειδή είναι χτισμένα με βάση αλγεβρικούς τύπους. Ως αποτέλεσμα της μαθηματικής επεξεργασίας αυτού του τύπου, εμφανίζεται στην οθόνη ένα σημείο συγκεκριμένου χρώματος. Το αποτέλεσμα είναι μια παράξενη εικόνα στην οποία οι ευθείες γραμμές μετατρέπονται σε καμπύλες και φαινόμενα αυτοομοιότητας εμφανίζονται σε διάφορα επίπεδα κλίμακας, αν και όχι χωρίς παραμορφώσεις. Σχεδόν κάθε σημείο στην οθόνη ενός υπολογιστή είναι σαν ένα ξεχωριστό φράκταλ.

Τα πιο διάσημα αλγεβρικά φράκταλ: σύνολα Mandelbrot και Julia, πισίνες Newton.

Τα αλγεβρικά φράκταλ έχουν κατά προσέγγιση αυτο-ομοιότητα. Στην πραγματικότητα, εάν μεγεθύνετε μια μικρή περιοχή οποιουδήποτε πολύπλοκου φράκταλ και στη συνέχεια κάνετε το ίδιο σε ένα μικρό τμήμα αυτής της περιοχής, οι δύο μεγεθύνσεις θα διαφέρουν σημαντικά μεταξύ τους. Οι δύο εικόνες θα μοιάζουν πολύ στη λεπτομέρεια, αλλά δεν θα είναι εντελώς πανομοιότυπες.

ΑΛΓΕΒΡΙΚΟΣ ΦΡΑΚΤΑΛ

Ο Mandelbrot συνόλων προσεγγίσεων

Τα φράκταλ βρίσκουν όλο και περισσότερες εφαρμογές στην επιστήμη. Ο κύριος λόγος είναι ότι περιγράφουν τον πραγματικό κόσμο καλύτερα από την παραδοσιακή φυσική και τα μαθηματικά.

Εφαρμογή φράκταλ

1). Θεωρία χάους: Τα φράκταλ συνδέονται πάντα με τη λέξη χάος. Η θεωρία του χάους ορίζεται ως η μελέτη πολύπλοκων μη γραμμικών δυναμικών συστημάτων. Το χάος είναι η απουσία προβλεψιμότητας. Εμφανίζεται σε δυναμικά συστήματα όταν, για δύο πολύ κοντινές αρχικές τιμές, το σύστημα συμπεριφέρεται εντελώς διαφορετικά. Ένα παράδειγμα χαοτικού δυναμικού συστήματος είναι ο καιρός. Παραδείγματα τέτοιων συστημάτων είναι οι ταραγμένες ροές, οι βιολογικοί πληθυσμοί, η κοινωνία και τα υποσυστήματα της: οικονομικά, πολιτικά και άλλα κοινωνικά συστήματα. Μία από τις κεντρικές έννοιες αυτής της θεωρίας είναι η αδυναμία ακριβούς πρόβλεψης της κατάστασης ενός συστήματος. Η θεωρία του χάους δεν εστιάζει στην αταξία ενός συστήματος (την κληρονομική απρόβλεπτη λειτουργία του συστήματος), αλλά στη σειρά που κληρονομεί (η κοινή συμπεριφορά παρόμοιων συστημάτων). Έτσι, η επιστήμη του χάους είναι ένα σύστημα ιδεών για διάφορες μορφές τάξης, όπου η τυχαιότητα γίνεται η οργανωτική αρχή.

2). Οικονομικά: ανάλυση της αγοράς κινητών αξιών.

3). Αστροφυσική: περιγραφή των διεργασιών ομαδοποίησης γαλαξιών στο Σύμπαν.

4). Γεωλογία: μελέτη της τραχύτητας των ορυκτών.

5). Χαρτογραφία: μελέτη σχημάτων ακτών. μελέτη ενός εκτεταμένου δικτύου καναλιών ποταμών.

6). Μηχανική υγρών και αερίων, φυσική επιφανειών:

- δυναμική και αναταράξεις σύνθετων ροών.

- μοντελοποίηση φλόγας.

7). Βιολογία και Ιατρική:

- μοντελοποίηση πληθυσμών ζώων και μετανάστευση πτηνών.

- μοντελοποίηση επιδημιών.

- ανάλυση της δομής του κυκλοφορικού συστήματος.

- εξέταση σύνθετων επιφανειών κυτταρικών μεμβρανών.

- περιγραφή των διεργασιών μέσα στο σώμα, για παράδειγμα, καρδιακός παλμός.

8). Κεραίες Fractal: Η χρήση της γεωμετρίας φράκταλ στο σχεδιασμό συσκευών κεραίας χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τον Αμερικανό μηχανικό Nathan Cohen, ο οποίος τότε ζούσε στο κέντρο της Βοστώνης, όπου απαγορεύτηκε η εγκατάσταση εξωτερικών κεραιών σε κτίρια. Έκοψε ένα σχήμα καμπύλης Koch από αλουμινόχαρτο και το κόλλησε σε ένα κομμάτι χαρτί και μετά το προσάρτησε στον δέκτη. Αποδείχθηκε ότι μια τέτοια κεραία δεν λειτουργεί χειρότερα από μια κανονική. Και παρόλο που οι φυσικές αρχές λειτουργίας μιας τέτοιας κεραίας δεν έχουν ακόμη μελετηθεί, αυτό δεν εμπόδισε τον Κοέν να ιδρύσει τη δική του εταιρεία και να ξεκινήσει τη σειριακή παραγωγή τους.

9). Συμπίεση εικόνας: τα πλεονεκτήματα των αλγορίθμων συμπίεσης fractal εικόνας είναι το πολύ μικρό μέγεθος αρχείου και ο σύντομος χρόνος ανάκτησης εικόνας. Ένα άλλο πλεονέκτημα της συμπίεσης φράκταλ είναι ότι όταν η εικόνα μεγεθύνεται, δεν υπάρχει αποτέλεσμα pixelation (αύξηση του μεγέθους των κουκκίδων σε μεγέθη που παραμορφώνουν την εικόνα). Με τη συμπίεση φράκταλ, μετά τη μεγέθυνση, η εικόνα συχνά φαίνεται ακόμα καλύτερη από πριν.

10). Γραφικά υπολογιστών: Τα γραφικά υπολογιστών διανύουν μια περίοδο έντονης ανάπτυξης σήμερα. Μπόρεσε να αναδημιουργήσει μια ατελείωτη ποικιλία από φράκταλ σχήματα και τοπία στην οθόνη της οθόνης, βυθίζοντας τον θεατή σε έναν εκπληκτικό εικονικό χώρο. Σήμερα, με τη βοήθεια σχετικά απλών αλγορίθμων, έχει καταστεί δυνατή η δημιουργία τρισδιάστατων εικόνων φανταστικών τοπίων και σχημάτων που μπορούν να μετατραπούν με την πάροδο του χρόνου σε ακόμα πιο συναρπαστικές εικόνες. Η τάση των φράκταλ να μοιάζουν με βουνά, λουλούδια και δέντρα εκμεταλλεύονται ορισμένοι επεξεργαστές γραφικών (για παράδειγμα, φράκταλ σύννεφα από το 3D studio MAX, φράκταλ βουνά στο World Builder). Τα μοντέλα φράκταλ χρησιμοποιούνται ευρέως σήμερα σε ηλεκτρονικά παιχνίδια, δημιουργώντας ένα περιβάλλον σε αυτά που είναι δύσκολο να διακριθεί από την πραγματικότητα.

Το τέλος του εικοστού αιώνα σηματοδοτήθηκε όχι μόνο από την ανακάλυψη εκπληκτικά όμορφων και απείρως διαφορετικών δομών που ονομάζονται φράκταλ, αλλά και από την επίγνωση της φράκταλ φύσης της φύσης. Ο κόσμος γύρω μας είναι πολύ διαφορετικός και τα αντικείμενά του δεν ταιριάζουν στο άκαμπτο πλαίσιο των ευκλείδειων γραμμών και επιφανειών.

Τα φράκταλ και ο κόσμος γύρω μας

« Η ομορφιά είναι πάντα σχετική...Δεν πρέπει να υποθέτουμε ότι οι ακτές του ωκεανού είναι πραγματικά άμορφες μόνο και μόνο επειδή το σχήμα τους είναι διαφορετικό από το κανονικό σχήμα των προβλήτων που έχουμε φτιάξει. το σχήμα των βουνών δεν μπορεί να θεωρηθεί ακανόνιστο με βάση το ότι δεν είναι κανονικοί κώνοι ή πυραμίδες. Ακριβώς επειδή οι αποστάσεις μεταξύ των αστεριών είναι άνισες, δεν σημαίνει ότι διασκορπίστηκαν στον ουρανό από ένα ανίκανο χέρι. Αυτά τα λάθη υπάρχουν μόνο στη φαντασία μας , Στην πραγματικότητα, δεν είναι τέτοιοι και δεν παρεμβαίνουν με κανέναν τρόπο στις αληθινές εκδηλώσεις της ζωής στη Γη, ούτε στο βασίλειο των φυτών και των ζώων, ούτε μεταξύ των ανθρώπων». Αυτά τα λόγια του Άγγλου επιστήμονα του 17ου αιώνα. Ο Richard Bentley αναφέρει ότι η ιδέα του συνδυασμού των μορφών των ακτών, των βουνών και των ουράνιων αντικειμένων και η αντιπαράθεσή τους με τις ευκλείδειες κατασκευές προέκυψε στο μυαλό των ανθρώπων για πολύ μεγάλο χρονικό διάστημα.

Ο Galileo Galilei είπε ότι «το μεγάλο βιβλίο της Φύσης είναι γραμμένο στη γλώσσα της γεωμετρίας». Τώρα μπορούμε να πούμε με βεβαιότητα ότι είναι γραμμένο στη γλώσσα της γεωμετρίας φράκταλ.

Αυτό που παρατηρούμε στη φύση συχνά μας ιντριγκάρει με την ατελείωτη επανάληψη του ίδιου μοτίβου, αυξανόμενο ή μειωμένο όσες φορές επιθυμούμε. Παράξενα σχήματα ακτών και περίπλοκες στροφές ποταμών, σπασμένες επιφάνειες οροσειρών και περιγράμματα νεφών, απλωμένα κλαδιά δέντρων και κοραλλιογενείς ύφαλοι, το δειλό τρεμόπαιγμα ενός κεριού και αφρισμένα ρυάκια των ποταμών βουνών - όλα αυτά είναι φράκταλ. Μερικά από αυτά, όπως τα σύννεφα ή τα θυελλώδη ρυάκια, αλλάζουν συνεχώς το σχήμα τους, άλλα, όπως τα δέντρα ή οι οροσειρές, διατηρούν τη δομή τους αμετάβλητη. Κοινό σε όλους τους τύπους δομών φράκταλ είναι η αυτο-ομοιότητά τους - η κύρια ιδιότητα που εξασφαλίζει την εκπλήρωση του βασικού νόμου στα φράκταλ - του νόμου της ενότητας στην ποικιλομορφία του σύμπαντος.

Τα ανθρώπινα συστήματα και όργανα είναι επίσης φράκταλ δομές. Για παράδειγμα, τα αιμοφόρα αγγεία διακλαδίζονται πολλές φορές, δηλ. έχουν φράκταλ φύση. Η ηλεκτρική δραστηριότητα της καρδιάς είναι μια φράκταλ διαδικασία. Οι καρδιολόγοι ανακάλυψαν ότι τα φασματικά χαρακτηριστικά των καρδιακών παλμών υπακούουν σε νόμους φράκταλ, όπως ακριβώς οι σεισμοί και τα οικονομικά φαινόμενα. Στους ιστούς της πεπτικής οδού, μια κυματιστή επιφάνεια είναι ενσωματωμένη σε μια άλλη. Οι πνεύμονες αντιπροσωπεύουν επίσης ένα παράδειγμα μιας μεγάλης περιοχής που συμπιέζεται σε ένα μικρό χώρο. Στην πραγματικότητα, ολόκληρη η δομή του ανθρώπινου σώματος είναι φράκταλ. αυτό έχει ήδη αναγνωριστεί από τους επιστήμονες. Η αρχή ενός απλού, που ορίζει ένα ποικίλο σύμπλεγμα, είναι ενσωματωμένη στο ανθρώπινο γονιδίωμα, όταν ένα κύτταρο ενός ζωντανού οργανισμού περιέχει πληροφορίες για ολόκληρο τον οργανισμό ως σύνολο.

Φράκταλ δομές στη φύση

Ακολουθούν μερικά δείγματα φωτογραφιών:

Όπως είπε ο βιολόγος John Haldane, «Ο κόσμος δεν είναι μόνο πιο παράξενος από όσο νομίζουμε, αλλά και πιο περίεργος από όσο μπορούμε να φανταστούμε». Τα φράκταλ δεν είναι εφευρέσεις του Mandelbrot. Υπάρχουν αντικειμενικά. Σε φυσικές μορφές και διαδικασίες, στην επιστήμη και την τέχνη, που αντανακλούν και κατανοούν αυτόν τον κόσμο. Ήταν «για την αλλαγή της οπτικής μας για τον κόσμο χάρη στις ιδέες της γεωμετρίας φράκταλ» που ο Benoit Mandelbrot τιμήθηκε με το τιμητικό βραβείο Wolf στη φυσική το 1993.

Επί του παρόντος, οι πίνακες fractal είναι πολύ δημοφιλείς. Κάνουν μια απολύτως φανταστική εντύπωση. Πολλές λεπτές γραμμές που σχηματίζουν ένα σύνολο ή ασυνήθιστα στοιχεία μπλέκονται σε μια ενιαία εικόνα. Λάμψεις έντονου φωτός και μέτριες ομαλές γραμμές. Το φράκταλ φαίνεται ζωντανό. Καίγεται, λάμπει, έλκει και δεν μπορείς να πάρεις τα μάτια σου από πάνω του, μελετώντας ακόμα και τις πιο μικροσκοπικές και ασήμαντες λεπτομέρειες.

Φράκταλ γραφικά

Φράκταλ ζωγραφιές στο εσωτερικό

Εφαρμογή φράκταλ

Φυσικές επιστήμες

Στη φυσική, τα φράκταλ προκύπτουν φυσικά κατά τη μοντελοποίηση μη γραμμικών διεργασιών, όπως η τυρβώδης ροή ρευστού, οι πολύπλοκες διαδικασίες διάχυσης-προσρόφησης, οι φλόγες, τα σύννεφα και τα παρόμοια. Τα φράκταλ χρησιμοποιούνται στη μοντελοποίηση πορωδών υλικών, για παράδειγμα, στα πετροχημικά. Στη βιολογία, χρησιμοποιούνται για τη μοντελοποίηση πληθυσμών και για την περιγραφή συστημάτων εσωτερικών οργάνων (το σύστημα των αιμοφόρων αγγείων). Μετά τη δημιουργία της καμπύλης Koch, προτάθηκε η χρήση της κατά τον υπολογισμό του μήκους της ακτογραμμής.

Ραδιομηχανική

Η χρήση της γεωμετρίας φράκταλ στο σχεδιασμό συσκευών κεραίας χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τον Αμερικανό μηχανικό Nathan Cohen, ο οποίος τότε ζούσε στο κέντρο της Βοστώνης, όπου απαγορεύτηκε η εγκατάσταση εξωτερικών κεραιών σε κτίρια. Ο Nathan έκοψε ένα σχήμα καμπύλης Koch από αλουμινόχαρτο και το κόλλησε σε ένα κομμάτι χαρτί και μετά το προσάρτησε στον δέκτη. Ο Κοέν ίδρυσε τη δική του εταιρεία και ξεκίνησε τη σειριακή παραγωγή τους.

Επιστήμη των υπολογιστών

Συμπίεση εικόνας

Φράκταλ δέντρο

Υπάρχουν αλγόριθμοι συμπίεσης εικόνας που χρησιμοποιούν φράκταλ. Βασίζονται στην ιδέα ότι αντί για την ίδια την εικόνα, μπορεί κανείς να αποθηκεύσει έναν χάρτη συμπίεσης για τον οποίο αυτή η εικόνα (ή κάποια κοντινή) είναι ένα σταθερό σημείο. Μία από τις παραλλαγές αυτού του αλγορίθμου χρησιμοποιήθηκε από τη Microsoft κατά τη δημοσίευση της εγκυκλοπαίδειάς της, αλλά αυτοί οι αλγόριθμοι δεν χρησιμοποιήθηκαν ευρέως.

Γραφικά υπολογιστή

Τα φράκταλ χρησιμοποιούνται ευρέως στα γραφικά υπολογιστών για την κατασκευή εικόνων φυσικών αντικειμένων, όπως δέντρα, θάμνοι, ορεινά τοπία, θαλάσσιες επιφάνειες κ.λπ. Υπάρχουν πολλά διαθέσιμα προγράμματα για τη δημιουργία φράκταλ εικόνων.

Αποκεντρωμένηδίκτυα

Το σύστημα εκχώρησης διευθύνσεων IP στο δίκτυο Netsukuku (αυτό το δίκτυο είναι ένα έργο για τη δημιουργία ενός κατανεμημένου αυτο-οργανωμένου δικτύου peer-to-peer ικανό να διασφαλίσει την αλληλεπίδραση ενός τεράστιου αριθμού κόμβων με ελάχιστο φορτίο στον κεντρικό επεξεργαστή και τη μνήμη) χρησιμοποιεί την αρχή της συμπίεσης πληροφοριών φράκταλ για συμπαγή αποθήκευση πληροφοριών σχετικά με κόμβους δικτύου. Κάθε κόμβος στο δίκτυο Netsukuku αποθηκεύει μόνο 4 KB πληροφοριών σχετικά με την κατάσταση των γειτονικών κόμβων, ενώ κάθε νέος κόμβος συνδέεται στο κοινό δίκτυο χωρίς την ανάγκη κεντρικής ρύθμισης της διανομής των διευθύνσεων IP, η οποία, για παράδειγμα, είναι τυπική για Διαδίκτυο. Έτσι, η αρχή της συμπίεσης πληροφοριών φράκταλ εγγυάται πλήρως αποκεντρωμένη, και ως εκ τούτου, την πιο σταθερή λειτουργία ολόκληρου του δικτύου.

Οικονομικά και χρηματοοικονομικά

Ο A. A. Almazov στο βιβλίο του «Fractal Theory. Πώς να αλλάξετε την άποψή σας για τις αγορές» πρότεινε έναν τρόπο χρήσης φράκταλ κατά την ανάλυση τιμών μετοχών, ιδίως στην αγορά συναλλάγματος.

Κάθε φορά που κοιτάτε τα φράκταλ, σκέφτεστε πόσο όμορφος είναι ο πραγματικός κόσμος και ο κόσμος των μαθηματικών, και ότι τα μαθηματικά είναι πραγματικά μια γλώσσα που μπορεί να περιγράψει σχεδόν όλα όσα υπάρχουν στο Σύμπαν.

Βιβλιογραφία

1. Mandelbrot B. Φράκταλ γεωμετρία της φύσης. M.: “Institute of Computer Research”, 2002. 656 p.

2. Morozov A.D. Εισαγωγή στη θεωρία των φράκταλ. N. Novgorod: Εκδοτικός οίκος Nizhny Novgorod. Πανεπιστήμιο, 1999, 140 σελ.

3. Peitgen H.-O., Richter P. H. Η ομορφιά των φράκταλ. Μ.: “Mir”, 1993. - 176 σελ.

4. Tikhoplav V.Yu., Tikhoplav T.S. Αρμονία χάους, ή φράκταλ πραγματικότητα. Αγία Πετρούπολη: Εκδοτικός Οίκος “Ves”, 2003. 340 p.

5. Feder E. Fractals. Μ: “Mir”, 1991. 254 σελ.

6. Schroeder M. Fractals, χάος, νόμοι εξουσίας. Μινιατούρες από τον απέραντο παράδεισο. Izhevsk: “RKhD”, 2001. 528 p.

Λίστα ιστότοπων για φράκταλ

1. http://www.fractals.nsu.ru.

2. http://www.fractalworld.xaoc.ru.

3. http://www.multifractal.narod.ru.

4. http://algolist.manual.ru.

Δημοσιεύτηκε στο Allbest.ru

Παρόμοια έγγραφα

Θεώρηση της διάστασης φράκταλ ως ένα από τα χαρακτηριστικά μιας μηχανικής επιφάνειας. Περιγραφή φυσικών φράκταλ. Μέτρηση του μήκους μιας μη λείας (σπασμένης) γραμμής. Ομοιότητα και κλιμάκωση, αυτο-ομοιότητα και αυτοσυνάφεια. Σχέση περιμέτρου-εμβαδού.

δοκιμή, προστέθηκε 23/12/2015


Η ιστορία της εμφάνισης της θεωρίας των φράκταλ. Ένα φράκταλ είναι μια αυτο-όμοια δομή της οποίας η εικόνα δεν εξαρτάται από την κλίμακα. Αυτό είναι ένα αναδρομικό μοντέλο, κάθε μέρος του οποίου επαναλαμβάνει στην ανάπτυξή του την ανάπτυξη ολόκληρου του μοντέλου ως συνόλου. Πρακτική εφαρμογή της θεωρίας των φράκταλ.

επιστημονική εργασία, προστέθηκε 05/12/2010


Κλασικά φράκταλ. Αυτο-ομοιότητα. Νιφάδα χιονιού Κοχ. Χαλί Sierpinski. L-συστήματα. Χαοτική δυναμική. Λόρεντς ελκυστής. Σετ Μάντελμπροτ και Τζούλια. Εφαρμογή των φράκταλ στην τεχνολογία των υπολογιστών.

εργασία μαθήματος, προστέθηκε 26/05/2006


Χαρακτηριστικά ορισμένων τετράγωνων. Υλοποίηση μοντέλων γεωμετρικών καταστάσεων σε περιβάλλοντα δυναμικής γεωμετρίας. Χαρακτηριστικά του δυναμικού περιβάλλοντος "Living Geometry", χαρακτηριστικά κατασκευής παραλληλογραμμών, ρόμβων, ορθογωνίων και τετράγωνων μοντέλων σε αυτό.

εργασία μαθήματος, προστέθηκε 28/05/2013


Γεωμετρική εικόνα του κόσμου και οι προϋποθέσεις για την εμφάνιση της θεωρίας των φράκταλ. Στοιχεία ενός ντετερμινιστικού συστήματος L: αλφάβητο, λέξη αρχικοποίησης και ένα σύνολο κανόνων παραγωγής. Ιδιότητες φράκταλ κοινωνικών διαδικασιών: συνεργίες και χαοτική δυναμική.

εργασία μαθήματος, προστέθηκε 22/03/2014


Μελέτη των εκδηλώσεων των γεωμετρικών νόμων στη ζωντανή φύση και η χρήση τους σε εκπαιδευτικές πρακτικές δραστηριότητες. Περιγραφή των γεωμετρικών νόμων και η ουσία των γεωμετρικών κατασκευών. Η γραφική εκπαίδευση και η θέση της στον σύγχρονο κόσμο.

διατριβή, προστέθηκε 24/06/2010


Ορισμός της έννοιας του μοντέλου, η ανάγκη εφαρμογής τους στην επιστήμη και την καθημερινή ζωή. Χαρακτηριστικά υλικού και ιδανικές μέθοδοι μοντελοποίησης. Ταξινόμηση μαθηματικών μοντέλων (ντετερμινιστικά, στοχαστικά), στάδια της διαδικασίας κατασκευής τους.

περίληψη, προστέθηκε 20/08/2015


Μελέτη των εννοιών της συμμετρίας, της αναλογικότητας, της αναλογικότητας και της ομοιομορφίας στη διάταξη των μερών. Χαρακτηριστικά των συμμετρικών ιδιοτήτων των γεωμετρικών σχημάτων. Περιγραφές του ρόλου της συμμετρίας στην αρχιτεκτονική, τη φύση και την τεχνολογία, στην επίλυση λογικών προβλημάτων.

παρουσίαση, προστέθηκε 12/06/2011


Ιστορία της μαθηματοποίησης της επιστήμης. Βασικές μέθοδοι μαθηματοποίησης. Όρια και προβλήματα μαθηματοποίησης. Προβλήματα εφαρμογής μαθηματικών μεθόδων σε διάφορες επιστήμες συνδέονται με τα ίδια τα μαθηματικά (η μαθηματική μελέτη μοντέλων), με το πεδίο της μοντελοποίησης.

περίληψη, προστέθηκε 24/05/2005


Η έννοια και η ιστορία της μελέτης της χρυσής τομής. Χαρακτηριστικά της αντανάκλασής του στα μαθηματικά, τη φύση, την αρχιτεκτονική και τη ζωγραφική. Η σειρά και οι αρχές κατασκευής, δομή και τομείς πρακτικής εφαρμογής της χρυσής τομής, μαθηματική αιτιολόγηση και νόημα.