Λύστε ένα σύστημα εξισώσεων χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Cramer. Ο κανόνας του Cramer. Μέθοδος αντίστροφης μήτρας

Η μέθοδος του Cramer βασίζεται στη χρήση οριζόντων στην επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Αυτό επιταχύνει σημαντικά τη διαδικασία λύσης.

Η μέθοδος του Cramer μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση ενός συστήματος τόσων γραμμικών εξισώσεων όσες υπάρχουν άγνωστοι σε κάθε εξίσωση. Εάν η ορίζουσα του συστήματος δεν είναι ίση με μηδέν, τότε η μέθοδος του Cramer μπορεί να χρησιμοποιηθεί στη λύση, αλλά αν είναι ίση με μηδέν, τότε δεν μπορεί. Επιπλέον, η μέθοδος του Cramer μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων που έχουν μοναδική λύση.

Ορισμός. Μια ορίζουσα που αποτελείται από συντελεστές για αγνώστους ονομάζεται ορίζουσα του συστήματος και συμβολίζεται (δέλτα).

Καθοριστικές

λαμβάνονται αντικαθιστώντας τους συντελεστές των αντίστοιχων αγνώστων με ελεύθερους όρους:

;

Θεώρημα Cramer. Εάν η ορίζουσα του συστήματος είναι μη μηδενική, τότε το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων έχει μία μοναδική λύση και ο άγνωστος είναι ίσος με τον λόγο των οριζόντων. Ο παρονομαστής περιέχει την ορίζουσα του συστήματος και ο αριθμητής περιέχει την ορίζουσα που προκύπτει από την ορίζουσα του συστήματος αντικαθιστώντας τους συντελεστές αυτού του αγνώστου με ελεύθερους όρους. Αυτό το θεώρημα ισχύει για ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων οποιασδήποτε τάξης.

Παράδειγμα 1.Να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων:

Σύμφωνα με Θεώρημα Cramerέχουμε:

Λοιπόν, η λύση στο σύστημα (2):

διαδικτυακή αριθμομηχανή, μέθοδος επίλυσης του Cramer.

Τρεις περιπτώσεις επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων

Όπως είναι σαφές από Θεώρημα Cramer, κατά την επίλυση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων, μπορούν να προκύψουν τρεις περιπτώσεις:

Πρώτη περίπτωση: ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων έχει μια μοναδική λύση

(το σύστημα είναι συνεπές και συγκεκριμένο)

Δεύτερη περίπτωση: ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων έχει άπειρο αριθμό λύσεων

(το σύστημα είναι συνεπές και αβέβαιο)

** ,

εκείνοι. οι συντελεστές των αγνώστων και των ελεύθερων όρων είναι ανάλογοι.

Τρίτη περίπτωση: το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων δεν έχει λύσεις

(το σύστημα είναι ασυνεπές)

Το σύστημα λοιπόν Μγραμμικές εξισώσεις με nπου ονομάζονται μεταβλητές μη άρθρωση, αν δεν έχει μια ενιαία λύση, και άρθρωση, εάν έχει τουλάχιστον μία λύση. Ένα ταυτόχρονο σύστημα εξισώσεων που έχει μόνο μία λύση ονομάζεται βέβαιοςκαι περισσότερα από ένα - αβέβαιος.

Παραδείγματα επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο Cramer

Ας δοθεί το σύστημα

Με βάση το θεώρημα του Cramer

………….
,

Οπου
-

καθοριστικός παράγοντας συστήματος. Λαμβάνουμε τις υπόλοιπες ορίζουσες αντικαθιστώντας τη στήλη με τους συντελεστές της αντίστοιχης μεταβλητής (άγνωστη) με ελεύθερους όρους:

Παράδειγμα 2.

Επομένως, το σύστημα είναι καθορισμένο. Για να βρούμε τη λύση του, υπολογίζουμε τις ορίζουσες

Χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer βρίσκουμε:

Άρα, (1; 0; -1) είναι η μόνη λύση στο σύστημα.

Για να ελέγξετε λύσεις σε συστήματα εξισώσεων 3 X 3 και 4 X 4, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μια ηλεκτρονική αριθμομηχανή χρησιμοποιώντας τη μέθοδο επίλυσης του Cramer.

Αν σε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων δεν υπάρχουν μεταβλητές σε μία ή περισσότερες εξισώσεις, τότε στην ορίζουσα τα αντίστοιχα στοιχεία είναι ίσα με μηδέν! Αυτό είναι το επόμενο παράδειγμα.

Παράδειγμα 3.Λύστε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Cramer:

Λύση. Βρίσκουμε τον ορίζοντα του συστήματος:

Κοιτάξτε προσεκτικά το σύστημα των εξισώσεων και την ορίζουσα του συστήματος και επαναλάβετε την απάντηση στο ερώτημα σε ποιες περιπτώσεις ένα ή περισσότερα στοιχεία της ορίζουσας είναι ίσα με μηδέν. Άρα, η ορίζουσα δεν είναι ίση με το μηδέν, επομένως το σύστημα είναι οριστικό. Για να βρούμε τη λύση του, υπολογίζουμε τις ορίζουσες για τους αγνώστους

Χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer βρίσκουμε:

Άρα, η λύση στο σύστημα είναι (2; -1; 1).

Αρχή σελίδας

Συνεχίζουμε να επιλύουμε συστήματα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Cramer από κοινού

Όπως ήδη αναφέρθηκε, εάν η ορίζουσα του συστήματος είναι ίση με μηδέν και οι ορίζουσες των αγνώστων δεν είναι ίσες με μηδέν, το σύστημα είναι ασυνεπές, δηλαδή δεν έχει λύσεις. Ας το εξηγήσουμε με το ακόλουθο παράδειγμα.

Παράδειγμα 6.Λύστε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Cramer:

Λύση. Βρίσκουμε τον ορίζοντα του συστήματος:

Η ορίζουσα του συστήματος είναι ίση με μηδέν, επομένως, το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων είναι είτε ασυνεπές και οριστικό, είτε ασυνεπές, δηλαδή δεν έχει λύσεις. Για να διευκρινίσουμε, υπολογίζουμε ορίζουσες για αγνώστους

Οι ορίζουσες των αγνώστων δεν είναι ίσες με το μηδέν, επομένως, το σύστημα είναι ασυνεπές, δηλαδή δεν έχει λύσεις.

Σε προβλήματα που αφορούν συστήματα γραμμικών εξισώσεων, υπάρχουν επίσης εκείνα όπου, εκτός από τα γράμματα που δηλώνουν μεταβλητές, υπάρχουν και άλλα γράμματα. Αυτά τα γράμματα αντιπροσωπεύουν έναν αριθμό, τις περισσότερες φορές πραγματικό. Στην πράξη, τέτοιες εξισώσεις και συστήματα εξισώσεων οδηγούνται από προβλήματα αναζήτησης γενικών ιδιοτήτων οποιωνδήποτε φαινομένων ή αντικειμένων. Δηλαδή, έχετε εφεύρει κάποιο νέο υλικό ή συσκευή και για να περιγράψετε τις ιδιότητές του, οι οποίες είναι κοινές ανεξάρτητα από το μέγεθος ή την ποσότητα του δείγματος, πρέπει να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων, όπου αντί για κάποιους συντελεστές για μεταβλητές υπάρχουν επιστολές. Δεν χρειάζεται να ψάξετε μακριά για παραδείγματα.

Το ακόλουθο παράδειγμα αφορά ένα παρόμοιο πρόβλημα, μόνο ο αριθμός των εξισώσεων, των μεταβλητών και των γραμμάτων που δηλώνουν έναν συγκεκριμένο πραγματικό αριθμό αυξάνεται.

Παράδειγμα 8.Λύστε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Cramer:

Λύση. Βρίσκουμε τον ορίζοντα του συστήματος:

Εύρεση ορίζουσες για αγνώστους

Θεωρήστε ένα σύστημα 3 εξισώσεων με τρεις αγνώστους

Χρησιμοποιώντας ορίζουσες 3ης τάξης, η λύση σε ένα τέτοιο σύστημα μπορεί να γραφτεί με την ίδια μορφή όπως για ένα σύστημα δύο εξισώσεων, δηλ.

(2.4)

αν 0. Εδώ

Ειναι εκει Ο κανόνας του Cramer επίλυση συστήματος τριών γραμμικών εξισώσεων σε τρεις αγνώστους.

Παράδειγμα 2.3.Λύστε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Cramer:

Λύση . Εύρεση της ορίζουσας του κύριου πίνακα του συστήματος

Από το 0, τότε για να βρούμε μια λύση στο σύστημα μπορούμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα του Cramer, αλλά πρώτα υπολογίζουμε τρεις ακόμη ορίζοντες:

Εξέταση:

Επομένως, η λύση βρέθηκε σωστά. 

Οι κανόνες του Cramer που ελήφθησαν για γραμμικά συστήματα 2ης και 3ης τάξης υποδηλώνουν ότι οι ίδιοι κανόνες μπορούν να διατυπωθούν για γραμμικά συστήματα οποιασδήποτε τάξης. Πραγματικά συμβαίνει

Θεώρημα Cramer. Τετραγωνικό σύστημα γραμμικών εξισώσεων με μη μηδενική ορίζουσα του κύριου πίνακα του συστήματος (0) έχει μία και μοναδική λύση και αυτή η λύση υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τους τύπους

(2.5)

Οπου  – ορίζουσα του κύριου πίνακα,  Εγώ – ορίζουσα μήτρας, που λαμβάνεται από το κύριο, αντικαθιστώνταςΕγώη στήλη ελεύθερων μελών.

Σημειώστε ότι αν =0, τότε ο κανόνας του Cramer δεν ισχύει. Αυτό σημαίνει ότι το σύστημα είτε δεν έχει καθόλου λύσεις είτε έχει άπειρες λύσεις.

Έχοντας διατυπώσει το θεώρημα του Cramer, ανακύπτει φυσικά το ερώτημα του υπολογισμού των οριζόντων υψηλότερων τάξεων.

2.4. Ορίζουσες νης τάξης

Επιπλέον ανήλικο Μ ijστοιχείο ένα ijείναι μια ορίζουσα που λαμβάνεται από ένα δεδομένο με διαγραφή Εγώη γραμμή και ιη στήλη. Αλγεβρικό συμπλήρωμα ΕΝΑ ijστοιχείο ένα ijη ελάσσονα αυτού του στοιχείου που λαμβάνεται με το πρόσημο (–1) ονομάζεται Εγώ + ι, δηλ. ΕΝΑ ij = (–1) Εγώ + ι Μ ij .

Για παράδειγμα, ας βρούμε τα ελάσσονα και τα αλγεβρικά συμπληρώματα των στοιχείων ένα 23 και ένα 31 προκριματικά

Παίρνουμε



Χρησιμοποιώντας την έννοια του αλγεβρικού συμπληρώματος μπορούμε να διατυπώσουμε καθοριστικό θεώρημα επέκτασηςn-η σειρά ανά γραμμή ή στήλη.

Θεώρημα 2.1. Καθοριστική μήτραΕΝΑισούται με το άθροισμα των γινομένων όλων των στοιχείων μιας συγκεκριμένης γραμμής (ή στήλης) από τα αλγεβρικά τους συμπληρώματα:

(2.6)

Αυτό το θεώρημα αποτελεί τη βάση μιας από τις κύριες μεθόδους για τον υπολογισμό των οριζόντων, τη λεγόμενη. μέθοδος μείωσης παραγγελίας. Ως αποτέλεσμα της επέκτασης της ορίζουσας nμε τη σειρά σε οποιαδήποτε γραμμή ή στήλη, παίρνουμε n ορίζοντες ( n–1)η τάξη. Για να έχετε λιγότερους τέτοιους ορίζοντες, συνιστάται να επιλέξετε τη γραμμή ή τη στήλη που έχει τα περισσότερα μηδενικά. Στην πράξη, ο τύπος επέκτασης για την ορίζουσα συνήθως γράφεται ως:

εκείνοι. Οι αλγεβρικές προσθήκες γράφονται ρητά με όρους δευτερεύουσες.

Παραδείγματα 2.4.Υπολογίστε τις ορίζουσες ταξινομώντας τις πρώτα σε κάποια γραμμή ή στήλη. Συνήθως, σε τέτοιες περιπτώσεις, επιλέξτε τη στήλη ή τη γραμμή που έχει τα περισσότερα μηδενικά. Η επιλεγμένη γραμμή ή στήλη θα υποδεικνύεται με ένα βέλος.



2.5. Βασικές ιδιότητες των οριζόντων

Επεκτείνοντας την ορίζουσα σε οποιαδήποτε γραμμή ή στήλη, παίρνουμε n ορίζοντες ( n–1)η τάξη. Τότε καθένας από αυτούς τους ορίζοντες ( n–1)η τάξη μπορεί επίσης να αποσυντεθεί σε ένα άθροισμα οριζόντων ( n–2)η τάξη. Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία, μπορεί κανείς να φτάσει στις ορίζουσες 1ης τάξης, δηλ. στα στοιχεία του πίνακα του οποίου η ορίζουσα υπολογίζεται. Έτσι, για να υπολογίσετε ορίζοντες 2ης τάξης, θα πρέπει να υπολογίσετε το άθροισμα δύο όρων, για ορίζοντες 3ης τάξης - το άθροισμα 6 όρων, για ορίζουσες 4ης τάξης - 24 όρους. Ο αριθμός των όρων θα αυξάνεται απότομα καθώς αυξάνεται η σειρά της ορίζουσας. Αυτό σημαίνει ότι ο υπολογισμός των καθοριστικών παραγόντων πολύ υψηλών εντολών γίνεται μια αρκετά απαιτητική εργασία, πέρα από τις δυνατότητες ακόμη και ενός υπολογιστή. Ωστόσο, οι ορίζοντες μπορούν να υπολογιστούν με άλλο τρόπο, χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των οριζόντων.

Ιδιοκτησία 1 . Η ορίζουσα δεν θα αλλάξει εάν οι σειρές και οι στήλες σε αυτήν αντικατασταθούν, π.χ. κατά τη μεταφορά ενός πίνακα:

Αυτή η ιδιότητα υποδεικνύει την ισότητα των γραμμών και στηλών της ορίζουσας. Με άλλα λόγια, οποιαδήποτε δήλωση σχετικά με τις στήλες μιας ορίζουσας ισχύει και για τις γραμμές της και αντίστροφα.

Ιδιοκτησία 2 . Η ορίζουσα αλλάζει πρόσημο όταν εναλλάσσονται δύο σειρές (στήλες).

Συνέπεια . Αν η ορίζουσα έχει δύο πανομοιότυπες σειρές (στήλες), τότε ισούται με μηδέν.

Ιδιοκτησία 3 . Ο κοινός παράγοντας όλων των στοιχείων σε οποιαδήποτε σειρά (στήλη) μπορεί να αφαιρεθεί από το σημείο της ορίζουσας.

Για παράδειγμα,

Συνέπεια . Εάν όλα τα στοιχεία μιας συγκεκριμένης σειράς (στήλης) μιας ορίζουσας είναι ίσα με μηδέν, τότε η ίδια η ορίζουσα είναι ίση με μηδέν.

Ιδιοκτησία 4 . Η ορίζουσα δεν θα αλλάξει εάν τα στοιχεία μιας σειράς (στήλης) προστεθούν στα στοιχεία μιας άλλης σειράς (στήλης), πολλαπλασιαζόμενα με οποιονδήποτε αριθμό.

Για παράδειγμα,

Ιδιοκτησία 5 . Η ορίζουσα του γινομένου των πινάκων είναι ίση με το γινόμενο των οριζόντιων πινάκων:

Η μέθοδος Cramer χρησιμοποιείται για την επίλυση συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων (SLAE) στα οποία ο αριθμός των άγνωστων μεταβλητών είναι ίσος με τον αριθμό των εξισώσεων και η ορίζουσα του κύριου πίνακα είναι μη μηδενική. Σε αυτό το άρθρο θα αναλύσουμε πώς βρίσκονται άγνωστες μεταβλητές χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Cramer και θα λάβουμε τύπους. Μετά από αυτό, ας προχωρήσουμε σε παραδείγματα και ας περιγράψουμε λεπτομερώς τη λύση συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων με τη μέθοδο του Cramer.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Μέθοδος Cramer - παραγωγή τύπων.

Ας χρειαστεί να λύσουμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων της μορφής

Όπου x 1, x 2, …, x n είναι άγνωστες μεταβλητές, a i j, i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n- αριθμητικοί συντελεστές, b 1, b 2, ..., b n - ελεύθεροι όροι. Μια λύση σε ένα SLAE είναι ένα τέτοιο σύνολο τιμών x 1 , x 2 , …, x n για το οποίο όλες οι εξισώσεις του συστήματος γίνονται ταυτότητες.

Σε μορφή πίνακα, αυτό το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως A ⋅ X = B, όπου - ο κύριος πίνακας του συστήματος, τα στοιχεία του είναι οι συντελεστές άγνωστων μεταβλητών, - ο πίνακας είναι μια στήλη ελεύθερων όρων και - ο πίνακας είναι μια στήλη άγνωστων μεταβλητών. Αφού βρεθούν οι άγνωστες μεταβλητές x 1, x 2, …, x n, ο πίνακας γίνεται λύση στο σύστημα των εξισώσεων και η ισότητα A ⋅ X = B γίνεται ταυτότητα.

Θα υποθέσουμε ότι ο πίνακας Α είναι μη ενικός, δηλαδή η ορίζουσά του είναι μη μηδενική. Σε αυτή την περίπτωση, το σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων έχει μια μοναδική λύση που μπορεί να βρεθεί με τη μέθοδο του Cramer. (Οι μέθοδοι επίλυσης συστημάτων για συζητούνται στην ενότητα συστήματα επίλυσης γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων).

Η μέθοδος του Cramer βασίζεται σε δύο ιδιότητες της ορίζουσας μήτρας:

Λοιπόν, ας αρχίσουμε να βρίσκουμε την άγνωστη μεταβλητή x 1. Για να γίνει αυτό, πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέρη της πρώτης εξίσωσης του συστήματος με A 1 1, και τα δύο μέρη της δεύτερης εξίσωσης με A 2 1, και ούτω καθεξής, και τα δύο μέρη της nης εξίσωσης με A n 1 (δηλαδή, πολλαπλασιάστε τις εξισώσεις του συστήματος με τα αντίστοιχα αλγεβρικά συμπληρώματα της πρώτης στήλης Α):

Ας αθροίσουμε όλες τις αριστερές πλευρές της εξίσωσης του συστήματος, ομαδοποιώντας τους όρους για άγνωστες μεταβλητές x 1, x 2, ..., x n, και εξισώνουμε αυτό το άθροισμα με το άθροισμα όλων των δεξιών πλευρών των εξισώσεων:

Αν στραφούμε στις προαναφερθείσες ιδιότητες της ορίζουσας, έχουμε

και η προηγούμενη ισότητα παίρνει τη μορφή

που

Ομοίως, βρίσκουμε το x 2. Για να γίνει αυτό, πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές των εξισώσεων του συστήματος με τα αλγεβρικά συμπληρώματα της δεύτερης στήλης του πίνακα Α:

Προσθέτουμε όλες τις εξισώσεις του συστήματος, ομαδοποιούμε τους όρους για άγνωστες μεταβλητές x 1, x 2, ..., x n και εφαρμόζουμε τις ιδιότητες της ορίζουσας:

Οπου
.

Οι υπόλοιπες άγνωστες μεταβλητές βρίσκονται παρόμοια.

Αν ορίσουμε

Μετά παίρνουμε τύπους για την εύρεση άγνωστων μεταβλητών με τη μέθοδο του Cramer .

Σχόλιο.

Αν το σύστημα των γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων είναι ομοιογενές, δηλαδή , τότε έχει μόνο μια ασήμαντη λύση (στο ). Πράγματι, για μηδενικούς ελεύθερους όρους, όλες οι ορίζουσες θα είναι ίσο με μηδέν, αφού θα περιέχουν μια στήλη με μηδενικά στοιχεία. Επομένως, οι τύποι θα δώσω .

Αλγόριθμος επίλυσης συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων με τη μέθοδο Cramer.

Ας το γράψουμε αλγόριθμος επίλυσης συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων με τη μέθοδο Cramer.

Παραδείγματα επίλυσης συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων με τη μέθοδο Cramer.

Ας δούμε λύσεις σε πολλά παραδείγματα.

Παράδειγμα.

Βρείτε μια λύση σε ένα ανομοιογενές σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Cramer .

Λύση.

Ο κύριος πίνακας του συστήματος έχει τη μορφή . Ας υπολογίσουμε την ορίζοντή του χρησιμοποιώντας τον τύπο :

Δεδομένου ότι η ορίζουσα του κύριου πίνακα του συστήματος είναι διαφορετική από το μηδέν, η SLAE έχει μια μοναδική λύση και μπορεί να βρεθεί με τη μέθοδο του Cramer. Ας γράψουμε τις ορίζουσες και . Αντικαθιστούμε την πρώτη στήλη του κύριου πίνακα του συστήματος με μια στήλη ελεύθερων όρων και παίρνουμε την ορίζουσα . Ομοίως, αντικαθιστούμε τη δεύτερη στήλη του κύριου πίνακα με τη στήλη των ελεύθερων όρων και παίρνουμε .

Υπολογίζουμε αυτούς τους ορίζοντες:

Βρείτε τις άγνωστες μεταβλητές x 1 και x 2 χρησιμοποιώντας τους τύπους :

Ας ελέγξουμε. Ας αντικαταστήσουμε τις λαμβανόμενες τιμές x 1 και x 2 στο αρχικό σύστημα εξισώσεων:

Και οι δύο εξισώσεις του συστήματος γίνονται ταυτότητες, επομένως, η λύση βρέθηκε σωστά.

Απάντηση:

Ορισμένα στοιχεία του κύριου πίνακα του SLAE μπορεί να είναι ίσα με μηδέν. Σε αυτήν την περίπτωση, οι αντίστοιχες άγνωστες μεταβλητές θα απουσιάζουν από τις εξισώσεις του συστήματος. Ας δούμε ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα.

Βρείτε μια λύση σε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Cramer .

Λύση.

Ας ξαναγράψουμε το σύστημα στη φόρμα , έτσι ώστε η κύρια μήτρα του συστήματος να γίνεται ορατή . Ας βρούμε την ορίζοντή του χρησιμοποιώντας τον τύπο

Εχουμε

Η ορίζουσα του κύριου πίνακα είναι μη μηδενική, επομένως, το σύστημα γραμμικών εξισώσεων έχει μια μοναδική λύση. Ας το βρούμε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Cramer. Ας υπολογίσουμε τις ορίζουσες :

Ετσι,

Απάντηση:

Οι ονομασίες άγνωστων μεταβλητών στις εξισώσεις του συστήματος μπορεί να διαφέρουν από x 1, x 2, ..., x n. Αυτό δεν επηρεάζει τη διαδικασία λήψης αποφάσεων. Όμως η σειρά των άγνωστων μεταβλητών στις εξισώσεις του συστήματος είναι πολύ σημαντική κατά τη σύνταξη του κύριου πίνακα και των απαραίτητων προσδιοριστικών παραγόντων της μεθόδου Cramer. Ας διευκρινίσουμε αυτό το σημείο με ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα.

Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Cramer, βρείτε μια λύση σε ένα σύστημα τριών γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων σε τρεις αγνώστους .

Λύση.

Σε αυτό το παράδειγμα, οι άγνωστες μεταβλητές έχουν διαφορετικό συμβολισμό (x, y και z αντί για x1, x2 και x3). Αυτό δεν επηρεάζει τη λύση, αλλά να είστε προσεκτικοί με τις μεταβλητές ετικέτες. ΔΕΝ ΜΠΟΡΕΙΣ να το πάρεις ως τον κύριο πίνακα του συστήματος . Είναι απαραίτητο να ταξινομηθούν πρώτα οι άγνωστες μεταβλητές σε όλες τις εξισώσεις του συστήματος. Για να γίνει αυτό, ξαναγράφουμε το σύστημα εξισώσεων ως . Τώρα η κύρια μήτρα του συστήματος είναι ξεκάθαρα ορατή . Ας υπολογίσουμε την ορίζουσα του:

Ο προσδιοριστής του κύριου πίνακα είναι μη μηδενικός, επομένως, το σύστημα εξισώσεων έχει μια μοναδική λύση. Ας το βρούμε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Cramer. Ας γράψουμε τις ορίζουσες (προσοχή στη σημειογραφία) και υπολογίστε τα:

Απομένει να βρούμε τις άγνωστες μεταβλητές χρησιμοποιώντας τους τύπους :

Ας ελέγξουμε. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε τον κύριο πίνακα με την προκύπτουσα λύση (αν χρειάζεται, δείτε την ενότητα):

Ως αποτέλεσμα, λάβαμε μια στήλη ελεύθερων όρων του αρχικού συστήματος εξισώσεων, οπότε η λύση βρέθηκε σωστά.

Απάντηση:

x = 0, y = -2, z = 3.

Παράδειγμα.

Να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο του Cramer , όπου a και b είναι κάποιοι πραγματικοί αριθμοί.

Λύση.

Απάντηση:

Παράδειγμα.

Να βρείτε τη λύση του συστήματος των εξισώσεων με τη μέθοδο του Cramer, - κάποιος πραγματικός αριθμός.

Λύση.

Ας υπολογίσουμε την ορίζουσα του κύριου πίνακα του συστήματος: . Η έκφραση είναι ένα διάστημα, επομένως για οποιεσδήποτε πραγματικές τιμές. Κατά συνέπεια, το σύστημα των εξισώσεων έχει μια μοναδική λύση που μπορεί να βρεθεί με τη μέθοδο του Cramer. Υπολογίζουμε και:

Με τον ίδιο αριθμό εξισώσεων με τον αριθμό των αγνώστων με κύρια ορίζουσα του πίνακα, που δεν ισούται με μηδέν, οι συντελεστές του συστήματος (για τέτοιες εξισώσεις υπάρχει λύση και υπάρχει μόνο μία).

Θεώρημα Cramer.

Όταν η ορίζουσα του πίνακα ενός τετραγωνικού συστήματος είναι μη μηδενική, σημαίνει ότι το σύστημα είναι συνεπές και έχει μία λύση και μπορεί να βρεθεί με Οι τύποι του Cramer:

όπου Δ - ορίζουσα του πίνακα συστήματος,

Δ Εγώείναι η ορίζουσα του πίνακα συστήματος, στον οποίο αντί για ΕγώΗ στήλη περιέχει τη στήλη των δεξιών πλευρών.

Όταν η ορίζουσα ενός συστήματος είναι μηδέν, σημαίνει ότι το σύστημα μπορεί να γίνει συνεργάσιμο ή ασυμβίβαστο.

Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται συνήθως για μικρά συστήματα με εκτεταμένους υπολογισμούς και εάν είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί ένα από τα άγνωστα. Η πολυπλοκότητα της μεθόδου είναι ότι πρέπει να υπολογιστούν πολλοί καθοριστικοί παράγοντες.

Περιγραφή της μεθόδου Cramer.

Υπάρχει ένα σύστημα εξισώσεων:

Ένα σύστημα 3 εξισώσεων μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Cramer, η οποία συζητήθηκε παραπάνω για ένα σύστημα 2 εξισώσεων.

Συνθέτουμε μια ορίζουσα από τους συντελεστές των αγνώστων:

Θα είναι καθοριστικός παράγοντας συστήματος. Οταν D≠0, πράγμα που σημαίνει ότι το σύστημα είναι συνεπές. Τώρα ας δημιουργήσουμε 3 επιπλέον ορίζοντες:

Λύνουμε το σύστημα με Οι τύποι του Cramer:

Παραδείγματα επίλυσης συστημάτων εξισώσεων με τη μέθοδο του Cramer.

Παράδειγμα 1.

Δεδομένο σύστημα:

Ας το λύσουμε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Cramer.

Πρώτα πρέπει να υπολογίσετε την ορίζουσα του πίνακα συστήματος:

Επειδή Δ≠0, που σημαίνει ότι από το θεώρημα του Cramer το σύστημα είναι συνεπές και έχει μία λύση. Υπολογίζουμε επιπλέον ορίζοντες. Η ορίζουσα Δ 1 λαμβάνεται από την ορίζουσα Δ αντικαθιστώντας την πρώτη στήλη της με μια στήλη ελεύθερων συντελεστών. Παίρνουμε:

Με τον ίδιο τρόπο, λαμβάνουμε την ορίζουσα του Δ 2 από την ορίζουσα του πίνακα συστήματος αντικαθιστώντας τη δεύτερη στήλη με μια στήλη ελεύθερων συντελεστών:

Στο πρώτο μέρος, εξετάσαμε κάποιο θεωρητικό υλικό, τη μέθοδο αντικατάστασης, καθώς και τη μέθοδο προσθήκης εξισώσεων συστήματος ανά όρο. Συνιστώ σε όλους όσους έχουν πρόσβαση στον ιστότοπο μέσω αυτής της σελίδας να διαβάσουν το πρώτο μέρος. Ίσως κάποιοι επισκέπτες θα βρουν το υλικό πολύ απλό, αλλά κατά τη διαδικασία επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων, έκανα μια σειρά από πολύ σημαντικά σχόλια και συμπεράσματα σχετικά με την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων γενικά.

Τώρα θα αναλύσουμε τον κανόνα του Cramer, καθώς και θα λύσουμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας έναν αντίστροφο πίνακα (μέθοδος μήτρας). Όλα τα υλικά παρουσιάζονται απλά, λεπτομερώς και ξεκάθαρα· σχεδόν όλοι οι αναγνώστες θα μπορούν να μάθουν πώς να λύνουν συστήματα χρησιμοποιώντας τις παραπάνω μεθόδους.

Αρχικά, θα ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στον κανόνα του Cramer για ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων σε δύο άγνωστα. Για τι? – Άλλωστε το απλούστερο σύστημα μπορεί να λυθεί με τη μέθοδο του σχολείου, τη μέθοδο της πρόσθεσης κάθε όρου!

Το γεγονός είναι ότι, αν και μερικές φορές, συμβαίνει μια τέτοια εργασία - να λύσουμε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο άγνωστα χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer. Δεύτερον, ένα απλούστερο παράδειγμα θα σας βοηθήσει να κατανοήσετε πώς να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα του Cramer για μια πιο περίπλοκη περίπτωση - ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους.

Επιπλέον, υπάρχουν συστήματα γραμμικών εξισώσεων με δύο μεταβλητές, που καλό είναι να λυθούν χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Cramer!

Εξετάστε το σύστημα των εξισώσεων

Στο πρώτο βήμα, υπολογίζουμε την ορίζουσα, λέγεται κύριος καθοριστικός παράγοντας του συστήματος.

Μέθοδος Gauss.

Αν , τότε το σύστημα έχει μια μοναδική λύση και για να βρούμε τις ρίζες πρέπει να υπολογίσουμε δύο ακόμη ορίζοντες:
Και

Στην πράξη, τα παραπάνω χαρακτηριστικά μπορούν να υποδηλωθούν και με λατινικό γράμμα.

Βρίσκουμε τις ρίζες της εξίσωσης χρησιμοποιώντας τους τύπους:
,

Παράδειγμα 7

Να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων

Λύση: Βλέπουμε ότι οι συντελεστές της εξίσωσης είναι αρκετά μεγάλοι· στη δεξιά πλευρά υπάρχουν δεκαδικά κλάσματα με κόμμα. Το κόμμα είναι ένας μάλλον σπάνιος επισκέπτης σε πρακτικές εργασίες στα μαθηματικά· πήρα αυτό το σύστημα από ένα οικονομετρικό πρόβλημα.

Πώς να λύσετε ένα τέτοιο σύστημα; Μπορείτε να προσπαθήσετε να εκφράσετε μια μεταβλητή με όρους μιας άλλης, αλλά σε αυτήν την περίπτωση πιθανότατα θα καταλήξετε με τρομερά φανταχτερά κλάσματα με τα οποία είναι εξαιρετικά άβολο να εργαστείτε και ο σχεδιασμός της λύσης θα φαίνεται απλά τρομερός. Μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τη δεύτερη εξίσωση με 6 και να αφαιρέσετε όρο προς όρο, αλλά θα προκύψουν τα ίδια κλάσματα και εδώ.

Τι να κάνω? Σε τέτοιες περιπτώσεις, οι φόρμουλες του Cramer έρχονται στη διάσωση.

;

Απάντηση: ,

Και οι δύο ρίζες έχουν άπειρες ουρές και βρίσκονται κατά προσέγγιση, κάτι που είναι αρκετά αποδεκτό (και ακόμη και συνηθισμένο) για οικονομικά προβλήματα.

Δεν χρειάζονται σχόλια εδώ, καθώς η εργασία επιλύεται χρησιμοποιώντας έτοιμες φόρμουλες, ωστόσο, υπάρχει μια προειδοποίηση. Όταν χρησιμοποιείτε αυτή τη μέθοδο, υποχρεωτικόςΈνα τμήμα του σχεδιασμού της εργασίας είναι το ακόλουθο τμήμα: «Αυτό σημαίνει ότι το σύστημα έχει μια μοναδική λύση». Διαφορετικά, ο κριτής μπορεί να σας τιμωρήσει για ασέβεια προς το θεώρημα του Cramer.

Δεν θα ήταν περιττό να ελέγξουμε, κάτι που μπορεί να πραγματοποιηθεί εύκολα σε μια αριθμομηχανή: αντικαθιστούμε κατά προσέγγιση τιμές στην αριστερή πλευρά κάθε εξίσωσης του συστήματος. Ως αποτέλεσμα, με ένα μικρό σφάλμα, θα πρέπει να λάβετε αριθμούς που βρίσκονται στις δεξιές πλευρές.

Παράδειγμα 8

Να παρουσιάσετε την απάντηση σε συνηθισμένα ακατάλληλα κλάσματα. Κάντε έναν έλεγχο.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να λύσετε μόνοι σας (ένα παράδειγμα του τελικού σχεδίου και η απάντηση στο τέλος του μαθήματος).

Ας προχωρήσουμε στην εξέταση του κανόνα του Cramer για ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους:

Βρίσκουμε τον κύριο καθοριστικό παράγοντα του συστήματος:

Αν , τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις ή είναι ασυνεπές (δεν έχει λύσεις). Σε αυτήν την περίπτωση, ο κανόνας του Cramer δεν θα βοηθήσει· πρέπει να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο Gauss.

Αν , τότε το σύστημα έχει μια μοναδική λύση και για να βρούμε τις ρίζες πρέπει να υπολογίσουμε τρεις ακόμη ορίζοντες:
, ,

Και τέλος, η απάντηση υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τους τύπους:

Όπως μπορείτε να δείτε, η περίπτωση "τρία με τρία" δεν διαφέρει ουσιαστικά από την περίπτωση "δύο προς δύο"· η στήλη των ελεύθερων όρων "περπατάει" διαδοχικά από αριστερά προς τα δεξιά κατά μήκος των στηλών της κύριας ορίζουσας.

Παράδειγμα 9

Λύστε το σύστημα χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer.

Λύση: Ας λύσουμε το σύστημα χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer.

, πράγμα που σημαίνει ότι το σύστημα έχει μια μοναδική λύση.

Απάντηση: .

Στην πραγματικότητα, και εδώ δεν υπάρχει κάτι ιδιαίτερο να σχολιάσουμε, λόγω του ότι η λύση ακολουθεί έτοιμες φόρμουλες. Υπάρχουν όμως μερικά σχόλια.

Συμβαίνει ότι ως αποτέλεσμα των υπολογισμών, λαμβάνονται "κακά" μη αναγώγιμα κλάσματα, για παράδειγμα: .
Συνιστώ τον ακόλουθο αλγόριθμο «θεραπείας». Εάν δεν έχετε υπολογιστή στο χέρι, κάντε το εξής:

1) Μπορεί να υπάρχει σφάλμα στους υπολογισμούς. Μόλις συναντήσετε ένα «κακό» κλάσμα, πρέπει αμέσως να ελέγξετε Έχει ξαναγραφτεί σωστά η συνθήκη;. Εάν η συνθήκη ξαναγραφτεί χωρίς σφάλματα, τότε πρέπει να υπολογίσετε εκ νέου τους ορίζοντες χρησιμοποιώντας επέκταση σε μια άλλη σειρά (στήλη).

2) Εάν δεν εντοπιστούν σφάλματα ως αποτέλεσμα του ελέγχου, τότε πιθανότατα υπήρξε τυπογραφικό λάθος στις συνθήκες εργασίας. Σε αυτή την περίπτωση, δουλέψτε ήρεμα και ΠΡΟΣΕΚΤΙΚΑ την εργασία μέχρι το τέλος και μετά φροντίστε να ελέγξετεκαι το καταρτίζουμε σε καθαρό φύλλο μετά την απόφαση. Φυσικά, ο έλεγχος μιας κλασματικής απάντησης είναι μια δυσάρεστη εργασία, αλλά θα είναι ένα αφοπλιστικό επιχείρημα για τον δάσκαλο, ο οποίος πραγματικά του αρέσει να δίνει ένα μείον για κάθε μαλακία όπως το . Ο τρόπος χειρισμού των κλασμάτων περιγράφεται λεπτομερώς στην απάντηση στο Παράδειγμα 8.

Εάν έχετε έναν υπολογιστή στο χέρι, χρησιμοποιήστε ένα αυτοματοποιημένο πρόγραμμα για έλεγχο, το οποίο μπορείτε να το κατεβάσετε δωρεάν στην αρχή του μαθήματος. Παρεμπιπτόντως, είναι πιο κερδοφόρο να χρησιμοποιήσετε το πρόγραμμα αμέσως (ακόμα και πριν ξεκινήσετε τη λύση), θα δείτε αμέσως το ενδιάμεσο βήμα όπου κάνατε λάθος! Η ίδια αριθμομηχανή υπολογίζει αυτόματα τη λύση του συστήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο matrix.

Δεύτερη παρατήρηση. Κατά καιρούς υπάρχουν συστήματα στις εξισώσεις των οποίων λείπουν κάποιες μεταβλητές, για παράδειγμα:

Εδώ στην πρώτη εξίσωση δεν υπάρχει μεταβλητή, στη δεύτερη δεν υπάρχει μεταβλητή. Σε τέτοιες περιπτώσεις, είναι πολύ σημαντικό να γράψετε σωστά και ΠΡΟΣΕΚΤΙΚΑ τον κύριο προσδιοριστικό παράγοντα:
– Τα μηδενικά τοποθετούνται στη θέση των μεταβλητών που λείπουν.
Παρεμπιπτόντως, είναι λογικό να ανοίγουμε ορίζουσες με μηδενικά σύμφωνα με τη σειρά (στήλη) στην οποία βρίσκεται το μηδέν, καθώς υπάρχουν αισθητά λιγότεροι υπολογισμοί.

Παράδειγμα 10

Λύστε το σύστημα χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση (ένα δείγμα του τελικού σχεδίου και η απάντηση στο τέλος του μαθήματος).

Για την περίπτωση ενός συστήματος 4 εξισώσεων με 4 αγνώστους, οι τύποι του Cramer γράφονται σύμφωνα με παρόμοιες αρχές. Μπορείτε να δείτε ένα ζωντανό παράδειγμα στο μάθημα Properties of Determinants. Μείωση της σειράς της ορίζουσας - πέντε ορίζουσες 4ης τάξης είναι αρκετά επιλύσιμες. Αν και το έργο θυμίζει ήδη πολύ το παπούτσι ενός καθηγητή στο στήθος ενός τυχερού μαθητή.

Επίλυση του συστήματος με χρήση αντίστροφου πίνακα

Η μέθοδος του αντίστροφου πίνακα είναι ουσιαστικά μια ειδική περίπτωση εξίσωση μήτρας(Βλ. Παράδειγμα Νο. 3 του καθορισμένου μαθήματος).

Για να μελετήσετε αυτήν την ενότητα, πρέπει να είστε σε θέση να επεκτείνετε ορίζουσες, να βρείτε το αντίστροφο ενός πίνακα και να εκτελέσετε πολλαπλασιασμό πίνακα. Σχετικοί σύνδεσμοι θα παρέχονται καθώς προχωρούν οι επεξηγήσεις.

Παράδειγμα 11

Λύστε το σύστημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο matrix

Λύση: Ας γράψουμε το σύστημα σε μορφή πίνακα:
, Οπου

Παρακαλούμε δείτε το σύστημα των εξισώσεων και των πινάκων. Νομίζω ότι όλοι κατανοούν την αρχή με την οποία γράφουμε στοιχεία σε πίνακες. Το μόνο σχόλιο: αν έλειπαν κάποιες μεταβλητές από τις εξισώσεις, τότε θα έπρεπε να τοποθετηθούν μηδενικά στις αντίστοιχες θέσεις του πίνακα.

Βρίσκουμε τον αντίστροφο πίνακα χρησιμοποιώντας τον τύπο:
, όπου είναι ο μετατιθέμενος πίνακας των αλγεβρικών συμπληρωμάτων των αντίστοιχων στοιχείων του πίνακα.

Αρχικά, ας δούμε τον προσδιοριστικό παράγοντα:

Εδώ η ορίζουσα επεκτείνεται στην πρώτη γραμμή.

Προσοχή! Εάν , τότε ο αντίστροφος πίνακας δεν υπάρχει και είναι αδύνατο να λυθεί το σύστημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του πίνακα. Στην περίπτωση αυτή, το σύστημα επιλύεται με τη μέθοδο της εξάλειψης αγνώστων (μέθοδος Gauss).

Τώρα πρέπει να υπολογίσουμε 9 δευτερεύοντα και να τα γράψουμε στον πίνακα δευτερευόντων

Αναφορά:Είναι χρήσιμο να γνωρίζουμε την έννοια των διπλών δεικτών στη γραμμική άλγεβρα. Το πρώτο ψηφίο είναι ο αριθμός της γραμμής στην οποία βρίσκεται το στοιχείο. Το δεύτερο ψηφίο είναι ο αριθμός της στήλης στην οποία βρίσκεται το στοιχείο:

Δηλαδή, ένας διπλός δείκτης υποδεικνύει ότι το στοιχείο βρίσκεται στην πρώτη σειρά, στην τρίτη στήλη και, για παράδειγμα, το στοιχείο βρίσκεται σε 3 σειρές, 2 στήλη