भिन्नता खोजने का एक उदाहरण. एक असतत यादृच्छिक चर की अपेक्षा

झगड़ा एक यादृच्छिक चर का (बिखराव) उसकी गणितीय अपेक्षा से एक यादृच्छिक चर के वर्ग विचलन की गणितीय अपेक्षा है:

विचरण की गणना करने के लिए, आप थोड़ा संशोधित सूत्र का उपयोग कर सकते हैं

क्योंकि एम(एक्स), 2 और
– स्थिर मान. इस प्रकार,

4.2.2. फैलाव गुण

संपत्ति 1.एक स्थिर मान का प्रसरण शून्य है। दरअसल, परिभाषा के अनुसार

संपत्ति 2.अचर गुणनखंड को विचरण चिह्न से वर्गित करके निकाला जा सकता है।

सबूत

केंद्रित एक यादृच्छिक चर एक यादृच्छिक चर का उसकी गणितीय अपेक्षा से विचलन है:

एक केन्द्रित मात्रा में परिवर्तन के लिए सुविधाजनक दो गुण होते हैं:

संपत्ति 3.यदि यादृच्छिक चर X और वाईफिर स्वतंत्र हैं

सबूत. चलो निरूपित करें
. तब।

दूसरे पद में, यादृच्छिक चर की स्वतंत्रता और केन्द्रित यादृच्छिक चर के गुणों के कारण

उदाहरण 4.5.अगर एऔर बी– स्थिरांक, फिरD (एएक्स+बी)= डी(एएक्स)+डी(बी)=
.

4.2.3. मानक विचलन

यादृच्छिक चर के प्रसार की एक विशेषता के रूप में फैलाव में एक खामी है। यदि, उदाहरण के लिए, एक्स- माप त्रुटि का एक आयाम होता है मिमी, तो फैलाव का आयाम है
. इसलिए, वे अक्सर एक और बिखराव विशेषता का उपयोग करना पसंद करते हैं - मानक विचलन , जो विचरण के वर्गमूल के बराबर है

मानक विचलन का आयाम यादृच्छिक चर के समान ही होता है।

उदाहरण 4.6.एक स्वतंत्र परीक्षण डिज़ाइन में किसी घटना की घटनाओं की संख्या में भिन्नता

प्रस्तुत एनस्वतंत्र परीक्षण और प्रत्येक परीक्षण में एक घटना घटित होने की प्रायिकता है आर. आइए, पहले की तरह, घटना की घटनाओं की संख्या व्यक्त करें एक्सव्यक्तिगत प्रयोगों में घटना की घटनाओं की संख्या के माध्यम से:

चूँकि प्रयोग स्वतंत्र हैं, यादृच्छिक चर प्रयोगों से जुड़े हैं स्वतंत्र। और आज़ादी के कारण हमारे पास है

लेकिन प्रत्येक यादृच्छिक चर का एक वितरण कानून होता है (उदाहरण 3.2)

और
(उदाहरण 4.4). इसलिए, विचरण की परिभाषा के अनुसार:

कहाँ क्यू=1- पी.

परिणामस्वरूप हमारे पास है
,

किसी घटना के घटित होने की संख्या का मानक विचलन एनस्वतंत्र प्रयोग बराबर
.

4.3. यादृच्छिक चर के क्षण

पहले से ही विचार किए गए लोगों के अलावा, यादृच्छिक चर में कई अन्य संख्यात्मक विशेषताएं हैं।

आरंभिक क्षण क एक्स (
) को गणितीय अपेक्षा कहा जाता है क-इस यादृच्छिक चर की शक्ति।

केंद्रीय क्षण कवें क्रम का यादृच्छिक चर एक्सगणितीय अपेक्षा कहलाती है क-संबंधित केंद्रित मात्रा की शक्ति।

यह देखना आसान है कि पहले क्रम का केंद्रीय क्षण हमेशा शून्य के बराबर होता है, दूसरे क्रम का केंद्रीय क्षण फैलाव के बराबर होता है, क्योंकि।

तीसरे क्रम का केंद्रीय क्षण एक यादृच्छिक चर के वितरण की विषमता का अंदाजा देता है। दूसरे से ऊंचे क्रम के क्षणों का उपयोग अपेक्षाकृत कम ही किया जाता है, इसलिए हम खुद को केवल अवधारणाओं तक ही सीमित रखेंगे।

4.4. वितरण कानून खोजने के उदाहरण

आइए यादृच्छिक चर के वितरण कानूनों और उनकी संख्यात्मक विशेषताओं को खोजने के उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 4.7.

यदि प्रत्येक शॉट के साथ हिट की संभावना 0.4 है, तो लक्ष्य पर तीन शॉट्स के साथ लक्ष्य पर हिट की संख्या के वितरण के लिए एक कानून बनाएं। अभिन्न फलन ज्ञात कीजिए एफ(एक्स)एक असतत यादृच्छिक चर के परिणामी वितरण के लिए एक्सऔर इसका एक ग्राफ बनाएं. अपेक्षित मूल्य ज्ञात कीजिए एम(एक्स) , विचरण डी(एक्स) और मानक विचलन
(एक्स) अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्स.

समाधान

1) असतत यादृच्छिक चर एक्स- तीन शॉट्स के साथ लक्ष्य पर हिट की संख्या - चार मान ले सकते हैं: 0, 1, 2, 3 . संभावना है कि वह उनमें से प्रत्येक को स्वीकार करेगी, बर्नौली के सूत्र का उपयोग करके पाई जाती है: एन=3,पी=0,4,क्यू=1- पी=0.6 और एम=0, 1, 2, 3:

आइए संभावित मानों की प्रायिकताएँ ज्ञात करें एक्स:;

आइए एक यादृच्छिक चर के वितरण का वांछित नियम बनाएं एक्स:

नियंत्रण: 0.216+0.432+0.288+0.064=1.

आइए परिणामी यादृच्छिक चर का एक वितरण बहुभुज बनाएं एक्स. ऐसा करने के लिए, आयताकार समन्वय प्रणाली में हम बिंदुओं (0; 0.216), (1; 0.432), (2; 0.288), (3; 0.064) को चिह्नित करते हैं। आइए इन बिंदुओं को सीधी रेखा खंडों से जोड़ें, परिणामी टूटी हुई रेखा वांछित वितरण बहुभुज है (चित्र 4.1)।

2) यदि एक्स 0, फिर एफ(एक्स)=0. दरअसल, शून्य से कम मूल्यों के लिए, मूल्य एक्सस्वीकार नहीं करता है। इसलिए, सभी के लिए एक्स0, परिभाषा का उपयोग करते हुए एफ(एक्स), हम पाते हैं एफ(एक्स)=पी(एक्स< एक्स) =0 (एक असंभव घटना की प्रायिकता के रूप में)।

यदि 0 , वह एफ(एक्स) =0.216. दरअसल, इस मामले में एफ(एक्स)=पी(एक्स< एक्स) = =पी(- < एक्स 0)+ पी(0< एक्स< एक्स) =0,216+0=0,216.

उदाहरण के लिए, यदि हम लें, एक्स=0.2, फिर एफ(0,2)=पी(एक्स<0,2) . लेकिन किसी घटना की संभावना एक्स<0,2 равна 0,216, так как случайная величинаएक्सकेवल एक ही स्थिति में इसका मान 0.2 से कम होता है 0 संभावना 0.216 के साथ।

यदि 1 , वह

वास्तव में, एक्सप्रायिकता 0.216 के साथ मान 0 और प्रायिकता 0.432 के साथ मान 1 ले सकते हैं; इसलिए, इनमें से एक अर्थ, चाहे कोई भी हो, एक्स 0.648 की संभावना के साथ (असंगत घटनाओं की संभावनाओं के योग के प्रमेय के अनुसार) स्वीकार कर सकते हैं।

यदि 2 , फिर, इसी तरह बहस करते हुए, हम पाते हैं एफ(एक्स)=0.216+0.432 + + 0.288=0.936. वास्तव में, मान लीजिए, उदाहरण के लिए, एक्स=3. तब एफ(3)=पी(एक्स<3) किसी घटना की संभावना व्यक्त करता है एक्स<3 – стрелок сделает меньше трех попаданий, т.е. ноль, один или два. Применяя теорему сложения вероятностей, получим указанное значение функцииएफ(एक्स).

अगर एक्स>3, फिर एफ(एक्स)=0.216+0.432+0.288+0.064=1. दरअसल, घटना एक्स
विश्वसनीय है और इसकी संभावना एक के बराबर है, और एक्स>3 – असंभव. ध्यान में रख कर

एफ(एक्स)=पी(एक्स< एक्स) =पी(एक्स 3) + पी(3< एक्स< एक्स) , हमें संकेतित परिणाम मिलता है।

तो, यादृच्छिक चर X का आवश्यक अभिन्न वितरण फ़ंक्शन प्राप्त होता है:

एफ(एक्स) =

जिसका ग्राफ चित्र में दिखाया गया है। 4.2.

3) असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा सभी संभावित मूल्यों के उत्पादों के योग के बराबर है एक्सउनकी संभावनाओं पर:

एम(एक्स)=0=1,2.

यानी औसतन तीन शॉट में लक्ष्य पर एक वार होता है.

विचरण की गणना विचरण की परिभाषा से की जा सकती है डी(एक्स)= एम(एक्स- एम(एक्स)) या सूत्र का उपयोग करें डी(एक्स)= एम(एक्स
, जो तेजी से लक्ष्य की ओर ले जाता है।

आइए एक यादृच्छिक चर के वितरण का नियम लिखें एक्स :

आइए इसके लिए गणितीय अपेक्षा ज्ञात करें एक्स:

एम(एक्स ) = 04
= 2,16.

आइए आवश्यक विचरण की गणना करें:

डी(एक्स) = एम(एक्स ) – (एम(एक्स)) = 2,16 – (1,2)= 0,72.

हम सूत्र का उपयोग करके मानक विचलन ज्ञात करते हैं

(एक्स) =
= 0,848.

मध्यान्तर ( एम- ; एम+ ) = (1.2-0.85; 1.2+0.85) = (0.35; 2.05) - यादृच्छिक चर के सबसे संभावित मूल्यों का अंतराल एक्स, इसमें मान 1 और 2 शामिल हैं।

उदाहरण 4.8.

एक सतत यादृच्छिक चर का एक अंतर वितरण फ़ंक्शन (घनत्व फ़ंक्शन) दिया गया है एक्स:

एफ(एक्स) =

1) स्थिर पैरामीटर निर्धारित करें ए.

2) अभिन्न फलन ज्ञात कीजिए एफ(एक्स) .

3) फ़ंक्शन ग्राफ़ बनाएं एफ(एक्स) और एफ(एक्स) .

4) संभाव्यता दो तरीकों से ज्ञात करें पी(0.5< एक्स 1,5) और पी(1,5< एक्स<3,5) .

5). अपेक्षित मूल्य ज्ञात कीजिए एम(एक्स), विचरण डी(एक्स)और मानक विचलन
अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्स.

समाधान

1) संपत्ति द्वारा विभेदक कार्य एफ(एक्स) शर्त पूरी करनी होगी
.

आइए हम इस फ़ंक्शन के लिए इस अनुचित अभिन्न अंग की गणना करें एफ(एक्स) :

इस परिणाम को समानता के बाईं ओर प्रतिस्थापित करने पर, हमें वह प्राप्त होता है ए=1. के लिए शर्त में एफ(एक्स) पैरामीटर बदलें एसे 1:

2) ढूँढ़ना एफ(एक्स) आइए सूत्र का उपयोग करें

.

यदि एक्स
, वह
, इस तरह,

यदि 1
वह

यदि x>2, तो

तो, आवश्यक अभिन्न कार्य एफ(एक्स) इसका रूप है:

3) आइए फ़ंक्शंस के ग्राफ़ बनाएं एफ(एक्स) और एफ(एक्स) (चित्र 4.3 और 4.4)।

4) किसी यादृच्छिक चर के किसी दिए गए अंतराल में गिरने की संभावना (ए,बी) सूत्र द्वारा गणना की गई
, यदि फ़ंक्शन ज्ञात है एफ(एक्स), और सूत्र के अनुसार पी(ए < एक्स < बी) = एफ(बी) – एफ(ए), यदि फ़ंक्शन ज्ञात है एफ(एक्स).

हम ढूंढ लेंगे
दो सूत्रों का उपयोग करके परिणामों की तुलना करें। शर्त से ए=0.5;बी=1,5; समारोह एफ(एक्स) बिंदु 1 में निर्दिष्ट)। इसलिए, सूत्र के अनुसार आवश्यक संभाव्यता इसके बराबर है:

उसी संभाव्यता की गणना चरण 2 में प्राप्त वृद्धि के माध्यम से सूत्र बी) का उपयोग करके की जा सकती है। अभिन्न कार्य एफ(एक्स) इस अंतराल पर:

क्योंकि एफ(0,5)=0.

इसी प्रकार हम पाते हैं

क्योंकि एफ(3,5)=1.

5) गणितीय अपेक्षा ज्ञात करना एम(एक्स)आइए सूत्र का उपयोग करें
समारोह एफ(एक्स) बिंदु 1 के समाधान में दिया गया), यह अंतराल (1,2] के बाहर शून्य के बराबर है:

एक सतत यादृच्छिक चर का प्रसरण डी(एक्स)समानता से निर्धारित होता है

, या समतुल्य समानता

.

के लिए खोज डी(एक्स) आइए अंतिम सूत्र का उपयोग करें और सभी संभावित मानों को ध्यान में रखें एफ(एक्स) अंतराल से संबंधित (1,2]:

मानक विचलन
=
=0,276.

किसी यादृच्छिक चर के सर्वाधिक संभावित मानों का अंतराल एक्सके बराबर होती है

(एम-
,एम+
) = (1,58-0,28; 1,58+0,28) = (1,3; 1,86).

संभाव्यता सिद्धांत गणित की एक विशेष शाखा है जिसका अध्ययन केवल उच्च शिक्षण संस्थानों के छात्र ही करते हैं। क्या आपको गणनाएँ और सूत्र पसंद हैं? क्या आप सामान्य वितरण, एन्ट्रापी, गणितीय अपेक्षा और असतत यादृच्छिक चर के फैलाव से परिचित होने की संभावनाओं से भयभीत नहीं हैं? तो यह विषय आपके लिए बहुत दिलचस्प होगा। आइए विज्ञान की इस शाखा की कई सबसे महत्वपूर्ण बुनियादी अवधारणाओं से परिचित हों।

आइए मूल बातें याद रखें

भले ही आपको संभाव्यता सिद्धांत की सबसे सरल अवधारणाएँ याद हों, लेख के पहले पैराग्राफ की उपेक्षा न करें। मुद्दा यह है कि बुनियादी बातों की स्पष्ट समझ के बिना, आप नीचे चर्चा किए गए सूत्रों के साथ काम नहीं कर पाएंगे।

तो, कुछ यादृच्छिक घटना घटती है, कुछ प्रयोग। हमारे द्वारा किए गए कार्यों के परिणामस्वरूप, हमें कई परिणाम मिल सकते हैं - उनमें से कुछ अधिक बार घटित होते हैं, कुछ कम बार। किसी घटना की संभावना एक प्रकार के वास्तव में प्राप्त परिणामों की संख्या और संभावित परिणामों की कुल संख्या का अनुपात है। केवल इस अवधारणा की शास्त्रीय परिभाषा को जानने के बाद ही आप निरंतर यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और फैलाव का अध्ययन शुरू कर सकते हैं।

औसत

स्कूल में, गणित के पाठों के दौरान, आपने अंकगणितीय माध्य के साथ काम करना शुरू किया। संभाव्यता सिद्धांत में इस अवधारणा का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, और इसलिए इसे नजरअंदाज नहीं किया जा सकता है। इस समय हमारे लिए मुख्य बात यह है कि हम गणितीय अपेक्षा और यादृच्छिक चर के फैलाव के सूत्रों में इसका सामना करेंगे।

हमारे पास संख्याओं का एक क्रम है और हम अंकगणितीय माध्य ज्ञात करना चाहते हैं। हमें जो कुछ भी आवश्यक है वह उपलब्ध सभी चीजों को जोड़ना और अनुक्रम में तत्वों की संख्या से विभाजित करना है। मान लीजिए हमारे पास 1 से 9 तक संख्याएँ हैं। तत्वों का योग 45 के बराबर होगा, और हम इस मान को 9 से विभाजित करेंगे। उत्तर:- 5.

फैलाव

वैज्ञानिक शब्दों में, फैलाव अंकगणितीय माध्य से किसी विशेषता के प्राप्त मूल्यों के विचलन का औसत वर्ग है। इसे एक बड़े लैटिन अक्षर D से दर्शाया जाता है। इसकी गणना करने के लिए क्या आवश्यक है? अनुक्रम के प्रत्येक तत्व के लिए, हम मौजूदा संख्या और अंकगणितीय माध्य के बीच अंतर की गणना करते हैं और इसका वर्ग करते हैं। जिस घटना पर हम विचार कर रहे हैं उसके लिए उतने ही मूल्य होंगे जितने परिणाम हो सकते हैं। इसके बाद, हम प्राप्त सभी चीजों को जोड़ते हैं और अनुक्रम में तत्वों की संख्या से विभाजित करते हैं। यदि हमारे पास पाँच संभावित परिणाम हैं, तो पाँच से विभाजित करें।

फैलाव में ऐसे गुण भी होते हैं जिन्हें समस्याओं को हल करते समय उपयोग करने के लिए याद रखने की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, जब किसी यादृच्छिक चर को X गुना बढ़ाया जाता है, तो विचरण X वर्ग गुना (यानी X*X) बढ़ जाता है। यह कभी भी शून्य से कम नहीं होता है और मूल्यों को समान मात्रा में ऊपर या नीचे स्थानांतरित करने पर निर्भर नहीं करता है। इसके अतिरिक्त, स्वतंत्र परीक्षणों के लिए, योग का प्रसरण प्रसरण के योग के बराबर होता है।

अब हमें निश्चित रूप से एक असतत यादृच्छिक चर और गणितीय अपेक्षा के विचरण के उदाहरणों पर विचार करने की आवश्यकता है।

मान लीजिए कि हमने 21 प्रयोग चलाए और 7 अलग-अलग परिणाम प्राप्त किए। हमने उनमें से प्रत्येक को क्रमशः 1, 2, 2, 3, 4, 4 और 5 बार देखा। विचरण किसके बराबर होगा?

सबसे पहले, आइए अंकगणितीय माध्य की गणना करें: तत्वों का योग, निश्चित रूप से, 21 है। इसे 7 से विभाजित करें, 3 प्राप्त करें। अब मूल अनुक्रम में प्रत्येक संख्या से 3 घटाएं, प्रत्येक मान का वर्ग करें, और परिणामों को एक साथ जोड़ें। परिणाम 12 है। अब हमें बस संख्या को तत्वों की संख्या से विभाजित करना है, और, ऐसा प्रतीत होता है, बस इतना ही। लेकिन वहाँ एक पकड़ है! आइए इस पर चर्चा करें.

प्रयोगों की संख्या पर निर्भरता

यह पता चलता है कि विचरण की गणना करते समय, हर में दो संख्याओं में से एक हो सकती है: या तो N या N-1। यहां N निष्पादित प्रयोगों की संख्या या अनुक्रम में तत्वों की संख्या है (जो मूलतः एक ही चीज़ है)। यह किस पर निर्भर करता है?

यदि परीक्षणों की संख्या सैकड़ों में मापी जाती है, तो हमें हर में N डालना होगा। यदि इकाइयों में, तो N-1। वैज्ञानिकों ने सीमा को काफी प्रतीकात्मक रूप से खींचने का निर्णय लिया: आज यह संख्या 30 से होकर गुजरती है। यदि हमने 30 से कम प्रयोग किए हैं, तो हम राशि को एन-1 से विभाजित करेंगे, और यदि अधिक है, तो एन से।

काम

आइए विचरण और गणितीय अपेक्षा की समस्या को हल करने के अपने उदाहरण पर वापस लौटें। हमें एक मध्यवर्ती संख्या 12 मिली, जिसे एन या एन-1 से विभाजित करने की आवश्यकता थी। चूँकि हमने 21 प्रयोग किए, जो 30 से कम है, हम दूसरा विकल्प चुनेंगे। तो उत्तर है: विचरण 12/2 = 2 है।

अपेक्षित मूल्य

आइए दूसरी अवधारणा पर चलते हैं, जिस पर हमें इस लेख में विचार करना चाहिए। गणितीय अपेक्षा सभी संभावित परिणामों को संबंधित संभावनाओं से गुणा करने का परिणाम है। यह समझना महत्वपूर्ण है कि प्राप्त मूल्य, साथ ही विचरण की गणना का परिणाम, पूरी समस्या के लिए केवल एक बार प्राप्त होता है, चाहे इसमें कितने भी परिणामों पर विचार किया जाए।

गणितीय अपेक्षा का सूत्र काफी सरल है: हम परिणाम लेते हैं, इसे इसकी संभावना से गुणा करते हैं, दूसरे, तीसरे परिणाम आदि के लिए इसे जोड़ते हैं। इस अवधारणा से संबंधित हर चीज की गणना करना मुश्किल नहीं है। उदाहरण के लिए, अपेक्षित मानों का योग योग के अपेक्षित मान के बराबर होता है। काम के लिए भी यही सच है. संभाव्यता सिद्धांत में प्रत्येक मात्रा आपको ऐसे सरल ऑपरेशन करने की अनुमति नहीं देती है। आइए समस्या लें और उन दो अवधारणाओं के अर्थ की गणना करें जिनका हमने एक साथ अध्ययन किया है। इसके अलावा, हम सिद्धांत से विचलित थे - यह अभ्यास करने का समय है।

एक और उदाहरण

हमने 50 परीक्षण चलाए और 10 प्रकार के परिणाम प्राप्त किए - 0 से 9 तक की संख्याएँ - अलग-अलग प्रतिशत में प्रदर्शित हुईं। ये क्रमशः हैं: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%,18%, 6%, 16%, 10%, 18%। याद रखें कि संभावनाएँ प्राप्त करने के लिए, आपको प्रतिशत मानों को 100 से विभाजित करना होगा। इस प्रकार, हमें 0.02 मिलता है; 0.1, आदि. आइए हम एक यादृच्छिक चर और गणितीय अपेक्षा के विचरण की समस्या को हल करने का एक उदाहरण प्रस्तुत करें।

हम उस सूत्र का उपयोग करके अंकगणित माध्य की गणना करते हैं जो हमें प्राथमिक विद्यालय से याद है: 50/10 = 5।

आइए अब संभावनाओं को "टुकड़ों में" परिणामों की संख्या में परिवर्तित करें ताकि गिनती करना आसान हो सके। हमें 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 और 9 प्राप्त होते हैं। प्राप्त प्रत्येक मान से, हम अंकगणितीय माध्य घटाते हैं, जिसके बाद हम प्राप्त परिणामों में से प्रत्येक का वर्ग करते हैं। उदाहरण के तौर पर पहले तत्व का उपयोग करके इसे कैसे करें देखें: 1 - 5 = (-4)। अगला: (-4) * (-4) = 16. अन्य मानों के लिए, ये ऑपरेशन स्वयं करें। यदि आपने सब कुछ सही ढंग से किया, तो उन सभी को जोड़ने के बाद आपको 90 मिलेंगे।

आइए 90 को N से विभाजित करके विचरण और अपेक्षित मान की गणना करना जारी रखें। हम N-1 के बजाय N क्यों चुनते हैं? सही है, क्योंकि किए गए प्रयोगों की संख्या 30 से अधिक है। इसलिए: 90/10 = 9। हमें भिन्नता मिली। यदि आपको कोई भिन्न नंबर मिलता है, तो निराश न हों। सबसे अधिक संभावना है, आपने गणना में एक साधारण गलती की है। आपने जो लिखा है उसे दोबारा जांचें, और संभवतः सब कुछ ठीक हो जाएगा।

अंत में, गणितीय अपेक्षा का सूत्र याद रखें। हम सभी गणनाएं नहीं देंगे, हम केवल एक उत्तर लिखेंगे जिसे आप सभी आवश्यक प्रक्रियाओं को पूरा करने के बाद जांच सकते हैं। अपेक्षित मान 5.48 होगा. आइए हम केवल यह याद करें कि उदाहरण के रूप में पहले तत्वों का उपयोग करके संचालन कैसे किया जाए: 0*0.02 + 1*0.1... इत्यादि। जैसा कि आप देख सकते हैं, हम परिणाम मान को उसकी संभाव्यता से गुणा करते हैं।

विचलन

फैलाव और गणितीय अपेक्षा से निकटता से संबंधित एक अन्य अवधारणा मानक विचलन है। इसे या तो लैटिन अक्षरों एसडी, या ग्रीक लोअरकेस "सिग्मा" द्वारा दर्शाया जाता है। यह अवधारणा दर्शाती है कि मान केंद्रीय विशेषता से औसतन कितना विचलित होते हैं। इसका मान ज्ञात करने के लिए, आपको प्रसरण के वर्गमूल की गणना करनी होगी।

यदि आप एक सामान्य वितरण ग्राफ बनाते हैं और उस पर सीधे वर्ग विचलन देखना चाहते हैं, तो यह कई चरणों में किया जा सकता है। छवि के आधे भाग को मोड (केंद्रीय मान) के बाईं या दाईं ओर ले जाएं, क्षैतिज अक्ष पर एक लंबवत बनाएं ताकि परिणामी आकृतियों का क्षेत्रफल बराबर हो। वितरण के मध्य और क्षैतिज अक्ष पर परिणामी प्रक्षेपण के बीच के खंड का आकार मानक विचलन का प्रतिनिधित्व करेगा।

सॉफ़्टवेयर

जैसा कि सूत्रों के विवरण और प्रस्तुत उदाहरणों से देखा जा सकता है, अंकगणित के दृष्टिकोण से भिन्नता और गणितीय अपेक्षा की गणना करना सबसे सरल प्रक्रिया नहीं है। समय बर्बाद न करने के लिए, उच्च शिक्षा संस्थानों में उपयोग किए जाने वाले कार्यक्रम का उपयोग करना समझ में आता है - इसे "आर" कहा जाता है। इसमें ऐसे फ़ंक्शन हैं जो आपको सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत से कई अवधारणाओं के लिए मूल्यों की गणना करने की अनुमति देते हैं।

उदाहरण के लिए, आप मानों का एक वेक्टर निर्दिष्ट करते हैं। यह इस प्रकार किया जाता है: वेक्टर<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

अंत में

विचरण और गणितीय अपेक्षाएं ऐसी हैं जिनके बिना भविष्य में किसी भी चीज़ की गणना करना मुश्किल है। विश्वविद्यालयों में व्याख्यान के मुख्य पाठ्यक्रम में, विषय के अध्ययन के पहले महीनों में ही उन पर चर्चा की जाती है। इन सरल अवधारणाओं की समझ की कमी और उनकी गणना करने में असमर्थता के कारण ही कई छात्र तुरंत कार्यक्रम में पिछड़ने लगते हैं और बाद में सत्र के अंत में खराब ग्रेड प्राप्त करते हैं, जिससे वे छात्रवृत्ति से वंचित हो जाते हैं।

इस आलेख में प्रस्तुत कार्यों के समान कार्यों को हल करने के लिए प्रतिदिन आधा घंटा, कम से कम एक सप्ताह तक अभ्यास करें। फिर, संभाव्यता सिद्धांत में किसी भी परीक्षण पर, आप अनावश्यक युक्तियों और चीट शीट के बिना उदाहरणों का सामना करने में सक्षम होंगे।

जहां σ 2 j, jth समूह का इंट्राग्रुप विचरण है।

असमूहीकृत डेटा के लिए अवशिष्ट विचरण- सन्निकटन सटीकता का माप, यानी मूल डेटा के प्रतिगमन रेखा का सन्निकटन:
जहां y(t) - प्रवृत्ति समीकरण के अनुसार पूर्वानुमान; y t - प्रारंभिक गतिशीलता श्रृंखला; n – अंकों की संख्या; पी - प्रतिगमन समीकरण गुणांक की संख्या (व्याख्यात्मक चर की संख्या)।
इस उदाहरण में इसे कहा जाता है निष्पक्ष विचरण अनुमानक.

उदाहरण क्रमांक 1. टैरिफ श्रेणियों के अनुसार एक एसोसिएशन के तीन उद्यमों के श्रमिकों का वितरण निम्नलिखित डेटा द्वारा विशेषता है:

परिभाषित करना:
1. प्रत्येक उद्यम के लिए भिन्नता (अंतर-समूह भिन्नता);
2. समूह के भीतर भिन्नताओं का औसत;
3. अंतरसमूह फैलाव;
4. कुल विचरण.

समाधान।
समस्या का समाधान शुरू करने से पहले, यह पता लगाना आवश्यक है कि कौन सी सुविधा प्रभावी है और कौन सी तथ्यात्मक है। विचाराधीन उदाहरण में, परिणामी विशेषता "टैरिफ श्रेणी" है, और कारक विशेषता "उद्यम की संख्या (नाम)" है।
फिर हमारे पास तीन समूह (उद्यम) हैं, जिनके लिए समूह औसत और इंट्राग्रुप भिन्नताओं की गणना करना आवश्यक है:

व्यावहारिक समस्याओं को हल करते समय, किसी को अक्सर एक ऐसी सुविधा से निपटना पड़ता है जो केवल दो वैकल्पिक मान लेती है। इस मामले में, हम किसी विशेषता के किसी विशेष मूल्य के भार के बारे में बात नहीं कर रहे हैं, बल्कि समग्रता में उसके हिस्से के बारे में बात कर रहे हैं। यदि अध्ययन की जा रही विशेषता रखने वाली जनसंख्या इकाइयों का अनुपात "द्वारा दर्शाया गया है" आर", और जिनके पास नहीं है - के माध्यम से" क्यू", तो विचरण की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:
एस 2 = पी×क्यू

उदाहरण संख्या 2. एक टीम में छह श्रमिकों के उत्पादन डेटा के आधार पर, अंतरसमूह भिन्नता निर्धारित करें और यदि कुल भिन्नता 12.2 है तो उनकी श्रम उत्पादकता पर कार्य शिफ्ट के प्रभाव का मूल्यांकन करें।

समाधान. आरंभिक डेटा

उदाहरण संख्या 3. श्रमिकों के दो समूहों के लिए औसत मजदूरी के आंकड़ों और इसके मूल्य से वर्ग विचलन के आधार पर, भिन्नताओं को जोड़ने के नियम को लागू करके कुल भिन्नता ज्ञात करें:

आंकड़ों में बिखरावसे वर्गित विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के रूप में पाया जाता है। प्रारंभिक डेटा के आधार पर, यह सरल और भारित विचरण सूत्रों का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है:

1. (असमूहीकृत डेटा के लिए) की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

2. भारित विचरण (भिन्नता श्रृंखला के लिए):

जहां n आवृत्ति है (कारक X की पुनरावृत्ति)

भिन्नता खोजने का एक उदाहरण

यह पृष्ठ भिन्नता खोजने का एक मानक उदाहरण बताता है, आप इसे खोजने के लिए अन्य समस्याओं को भी देख सकते हैं

उदाहरण 1. निम्नलिखित डेटा 20 पत्राचार छात्रों के समूह के लिए उपलब्ध है। विशेषता के वितरण की एक अंतराल श्रृंखला का निर्माण करना, विशेषता के औसत मूल्य की गणना करना और उसके फैलाव का अध्ययन करना आवश्यक है

आइए एक अंतराल समूह बनाएं। आइए सूत्र का उपयोग करके अंतराल की सीमा निर्धारित करें:

जहां एक्स अधिकतम समूहीकरण विशेषता का अधिकतम मूल्य है;
एक्स मिनट - समूहीकरण विशेषता का न्यूनतम मूल्य;
n - अंतरालों की संख्या:

हम n=5 स्वीकार करते हैं। चरण है: h = (192 - 159)/5 = 6.6

आइए एक अंतराल समूह बनाएं

आगे की गणना के लिए, हम एक सहायक तालिका बनाएंगे:

X'i अंतराल का मध्य है। (उदाहरण के लिए, अंतराल 159 - 165.6 = 162.3 का मध्य)

हम भारित अंकगणितीय औसत सूत्र का उपयोग करके छात्रों की औसत ऊंचाई निर्धारित करते हैं:

आइए सूत्र का उपयोग करके विचरण निर्धारित करें:

फैलाव सूत्र को निम्नानुसार रूपांतरित किया जा सकता है:

इस सूत्र से यह निष्कर्ष निकलता है विचरण बराबर है विकल्पों के वर्गों के औसत और वर्ग तथा औसत के बीच का अंतर।

भिन्नता श्रृंखला में फैलावक्षणों की विधि का उपयोग करके समान अंतराल के साथ फैलाव की दूसरी संपत्ति (अंतराल के मूल्य से सभी विकल्पों को विभाजित करके) का उपयोग करके निम्नलिखित तरीके से गणना की जा सकती है। विचरण का निर्धारण, क्षणों की विधि का उपयोग करके गणना की गई, निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करना कम श्रमसाध्य है:

जहां i अंतराल का मान है;
ए एक पारंपरिक शून्य है, जिसके लिए उच्चतम आवृत्ति वाले अंतराल के मध्य का उपयोग करना सुविधाजनक है;
m1 प्रथम क्रम क्षण का वर्ग है;
एम2 - दूसरे क्रम का क्षण

(यदि किसी सांख्यिकीय जनसंख्या में कोई विशेषता इस प्रकार बदलती है कि केवल दो परस्पर अनन्य विकल्प हैं, तो ऐसी परिवर्तनशीलता को वैकल्पिक कहा जाता है) की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

इस विचरण सूत्र में q = 1-p प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

विचरण के प्रकार

कुल विचरणइस भिन्नता का कारण बनने वाले सभी कारकों के प्रभाव में संपूर्ण जनसंख्या में किसी विशेषता की भिन्नता को मापता है। यह x के समग्र माध्य मान से किसी विशेषता x के व्यक्तिगत मानों के विचलन के माध्य वर्ग के बराबर है और इसे सरल विचरण या भारित विचरण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

यादृच्छिक भिन्नता की विशेषता है, अर्थात भिन्नता का वह भाग जो बेहिसाब कारकों के प्रभाव के कारण होता है और समूह का आधार बनाने वाले कारक-विशेषता पर निर्भर नहीं होता है। ऐसा फैलाव समूह के अंकगणितीय माध्य से समूह X के भीतर विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के विचलन के माध्य वर्ग के बराबर है और इसकी गणना साधारण फैलाव या भारित फैलाव के रूप में की जा सकती है।

इस प्रकार, समूह के भीतर विचरण के उपायएक समूह के भीतर एक विशेषता की भिन्नता और सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:

जहां xi समूह का औसत है;
ni समूह में इकाइयों की संख्या है।

उदाहरण के लिए, किसी कार्यशाला में श्रम उत्पादकता के स्तर पर श्रमिकों की योग्यता के प्रभाव का अध्ययन करने के कार्य में इंट्राग्रुप भिन्नताएं निर्धारित की जानी चाहिए, जो सभी संभावित कारकों (उपकरणों की तकनीकी स्थिति, उपलब्धता) के कारण प्रत्येक समूह में आउटपुट में भिन्नता दिखाती हैं। उपकरण और सामग्री, श्रमिकों की आयु, श्रम तीव्रता, आदि), योग्यता श्रेणी में अंतर को छोड़कर (एक समूह के भीतर सभी श्रमिकों की योग्यता समान होती है)।

समूह के भीतर भिन्नताओं का औसत यादृच्छिक को दर्शाता है, यानी, भिन्नता का वह हिस्सा जो समूहीकरण कारक के अपवाद के साथ, अन्य सभी कारकों के प्रभाव में हुआ। इसकी गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

परिणामी विशेषता की व्यवस्थित भिन्नता को दर्शाता है, जो समूह का आधार बनाने वाले कारक-चिह्न के प्रभाव के कारण होता है। यह समग्र माध्य से समूह माध्य के विचलन के माध्य वर्ग के बराबर है। अंतरसमूह विचरण की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

सांख्यिकी में भिन्नता जोड़ने का नियम

के अनुसार प्रसरण जोड़ने का नियमकुल भिन्नता समूह के भीतर और समूह के बीच भिन्नता के औसत के योग के बराबर है:

इस नियम का अर्थयह है कि सभी कारकों के प्रभाव में उत्पन्न होने वाला कुल विचरण अन्य सभी कारकों के प्रभाव में उत्पन्न होने वाले विचरण और समूहीकरण कारक के कारण उत्पन्न होने वाले विचरण के योग के बराबर है।

भिन्नताओं को जोड़ने के सूत्र का उपयोग करके, आप दो ज्ञात भिन्नताओं में से तीसरा अज्ञात भिन्नता निर्धारित कर सकते हैं, और समूहीकरण विशेषता के प्रभाव की ताकत का भी न्याय कर सकते हैं।

फैलाव गुण

1. यदि किसी विशेषता के सभी मानों को समान स्थिर मात्रा से घटाया (बढ़ाया) जाए, तो विचरण नहीं बदलेगा।
2. यदि किसी विशेषता के सभी मानों को समान संख्या में n से कम (बढ़ाया) किया जाता है, तो विचरण तदनुसार n^2 गुना तक घट (बढ़) जाएगा।

कदम

नमूना विचरण की गणना

1. नमूना मान रिकॉर्ड करें.ज्यादातर मामलों में, सांख्यिकीविदों के पास केवल विशिष्ट आबादी के नमूनों तक पहुंच होती है। उदाहरण के लिए, एक नियम के रूप में, सांख्यिकीविद् रूस में सभी कारों की समग्रता को बनाए रखने की लागत का विश्लेषण नहीं करते हैं - वे कई हजार कारों के यादृच्छिक नमूने का विश्लेषण करते हैं। ऐसा नमूना कार की औसत लागत निर्धारित करने में मदद करेगा, लेकिन, सबसे अधिक संभावना है, परिणामी मूल्य वास्तविक से बहुत दूर होगा।

   • उदाहरण के लिए, आइए यादृच्छिक क्रम में 6 दिनों में एक कैफे में बेचे गए बन्स की संख्या का विश्लेषण करें। नमूना इस तरह दिखता है: 17, 15, 23, 7, 9, 13। यह एक नमूना है, जनसंख्या नहीं, क्योंकि हमारे पास कैफे के खुले रहने के प्रत्येक दिन बेचे गए बन्स का डेटा नहीं है।
   • यदि आपको मूल्यों के नमूने के बजाय जनसंख्या दी गई है, तो अगले भाग पर जारी रखें।

2. नमूना विचरण की गणना के लिए एक सूत्र लिखें।फैलाव एक निश्चित मात्रा के मूल्यों के प्रसार का माप है। विचरण मान शून्य के जितना करीब होता है, मान उतने ही करीब एक साथ समूहीकृत होते हैं। मानों के नमूने के साथ काम करते समय, विचरण की गणना के लिए निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करें:

   • s 2 (\displaystyle s^(2)) = ∑[(x i (\displaystyle x_(i))- एक्स) 2 (\डिस्प्लेस्टाइल ^(2))] / (एन - 1)
   • s 2 (\displaystyle s^(2))- यह फैलाव है. फैलाव को वर्ग इकाइयों में मापा जाता है।
   • x i (\displaystyle x_(i))- नमूने में प्रत्येक मान.
   • x i (\displaystyle x_(i))आपको x̅ घटाना होगा, उसका वर्ग करना होगा और फिर परिणाम जोड़ना होगा।
   • x̅ – नमूना माध्य (नमूना माध्य)।
   • n – नमूने में मानों की संख्या.

3. नमूना माध्य की गणना करें.इसे x̅ के रूप में दर्शाया जाता है। नमूना माध्य की गणना एक साधारण अंकगणितीय माध्य के रूप में की जाती है: नमूने में सभी मान जोड़ें, और फिर परिणाम को नमूने में मानों की संख्या से विभाजित करें।

   • हमारे उदाहरण में, नमूने में मान जोड़ें: 15 + 17 + 23 + 7 + 9 + 13 = 84
     अब परिणाम को नमूने में मानों की संख्या से विभाजित करें (हमारे उदाहरण में 6 हैं): 84 ÷ 6 = 14।
     नमूना माध्य x̅ = 14.
   • नमूना माध्य वह केंद्रीय मान है जिसके चारों ओर नमूने में मान वितरित किए जाते हैं। यदि नमूना माध्य के चारों ओर नमूना क्लस्टर में मान हैं, तो विचरण छोटा है; अन्यथा भिन्नता बड़ी है.

4. नमूने में प्रत्येक मान से नमूना माध्य घटाएँ।अब अंतर की गणना करें x i (\displaystyle x_(i))- x̅, कहाँ x i (\displaystyle x_(i))- नमूने में प्रत्येक मान. प्राप्त प्रत्येक परिणाम नमूना माध्य से किसी विशेष मान के विचलन की डिग्री को इंगित करता है, अर्थात, यह मान नमूना माध्य से कितनी दूर है।

   • हमारे उदाहरण में:
     x 1 (\displaystyle x_(1))- एक्स = 17 - 14 = 3
     x 2 (\displaystyle x_(2))- x̅ = 15 - 14 = 1
     x 3 (\displaystyle x_(3))- एक्स = 23 - 14 = 9
     x 4 (\displaystyle x_(4))- x̅ = 7 - 14 = -7
     x 5 (\displaystyle x_(5))- x̅ = 9 - 14 = -5
     x 6 (\displaystyle x_(6))- x̅ = 13 - 14 = -1
   • प्राप्त परिणामों की सत्यता की जांच करना आसान है, क्योंकि उनका योग शून्य के बराबर होना चाहिए। यह औसत की परिभाषा से संबंधित है, क्योंकि नकारात्मक मान (औसत से छोटे मान तक की दूरी) सकारात्मक मान (औसत से बड़े मान तक की दूरी) से पूरी तरह से ऑफसेट हो जाते हैं।

5. जैसा कि ऊपर बताया गया है, मतभेदों का योग x i (\displaystyle x_(i))- x̅ शून्य के बराबर होना चाहिए। इसका मतलब यह है कि औसत विचरण हमेशा शून्य होता है, जिससे किसी निश्चित मात्रा के मूल्यों के प्रसार के बारे में कोई पता नहीं चलता है। इस समस्या को हल करने के लिए, प्रत्येक अंतर का वर्ग करें x i (\displaystyle x_(i))- एक्स। इसके परिणामस्वरूप आपको केवल सकारात्मक संख्याएँ प्राप्त होंगी, जिनका योग कभी भी 0 नहीं होगा।

   • हमारे उदाहरण में:
     (x 1 (\displaystyle x_(1))- एक्स) 2 = 3 2 = 9 (\displaystyle ^(2)=3^(2)=9)
     (x 2 (\displaystyle (x_(2))- एक्स) 2 = 1 2 = 1 (\displaystyle ^(2)=1^(2)=1)
     9 2 = 81
     (-7) 2 = 49
     (-5) 2 = 25
     (-1) 2 = 1
   • आपको अंतर का वर्ग मिल गया - x̅) 2 (\डिस्प्लेस्टाइल ^(2))नमूने में प्रत्येक मान के लिए.

6. अंतरों के वर्गों का योग ज्ञात कीजिए।अर्थात्, सूत्र का वह भाग ज्ञात कीजिए जो इस प्रकार लिखा गया है: ∑[( x i (\displaystyle x_(i))- एक्स) 2 (\डिस्प्लेस्टाइल ^(2))]. यहां चिह्न Σ का अर्थ प्रत्येक मान के लिए वर्ग अंतरों का योग है x i (\displaystyle x_(i))नमूने में. आपको पहले से ही चुकता अंतर मिल गया है (x i (\displaystyle (x_(i))- एक्स) 2 (\डिस्प्लेस्टाइल ^(2))प्रत्येक मान के लिए x i (\displaystyle x_(i))नमूने में; अब बस इन वर्गों को जोड़ें।

   • हमारे उदाहरण में: 9 + 1 + 81 + 49 + 25 + 1 = 166 .

7. परिणाम को n - 1 से विभाजित करें, जहां n नमूने में मानों की संख्या है।कुछ समय पहले, नमूना विचरण की गणना करने के लिए, सांख्यिकीविदों ने परिणाम को केवल n से विभाजित किया था; इस मामले में आपको वर्गांकित प्रसरण का माध्य मिलेगा, जो किसी दिए गए नमूने के प्रसरण का वर्णन करने के लिए आदर्श है। लेकिन याद रखें कि कोई भी नमूना मूल्यों की आबादी का केवल एक छोटा सा हिस्सा है। यदि आप दूसरा नमूना लेते हैं और वही गणना करते हैं, तो आपको एक अलग परिणाम मिलेगा। जैसा कि यह पता चला है, n - 1 (सिर्फ n के बजाय) से विभाजित करने पर जनसंख्या भिन्नता का अधिक सटीक अनुमान मिलता है, जिसमें आपकी रुचि है। n-1 से विभाजन आम हो गया है, इसलिए इसे नमूना विचरण की गणना के सूत्र में शामिल किया गया है।

   • हमारे उदाहरण में, नमूने में 6 मान शामिल हैं, अर्थात n = 6।
     नमूना विचरण = s 2 = 166 6 − 1 = (\displaystyle s^(2)=(\frac (166)(6-1))=) 33,2

8. विचरण और मानक विचलन के बीच अंतर.ध्यान दें कि सूत्र में एक घातांक होता है, इसलिए फैलाव को विश्लेषण किए जा रहे मान की वर्ग इकाइयों में मापा जाता है। कभी-कभी ऐसे परिमाण को संचालित करना काफी कठिन होता है; ऐसे मामलों में, मानक विचलन का उपयोग करें, जो विचरण के वर्गमूल के बराबर है। इसीलिए नमूना विचरण को इस प्रकार दर्शाया गया है s 2 (\displaystyle s^(2)), और नमूने का मानक विचलन इस प्रकार है s (\डिस्प्लेस्टाइल s).

   • हमारे उदाहरण में, नमूने का मानक विचलन है: s = √33.2 = 5.76।

   जनसंख्या भिन्नता की गणना

   1. मूल्यों के कुछ सेट का विश्लेषण करें.सेट में विचाराधीन मात्रा के सभी मान शामिल हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप लेनिनग्राद क्षेत्र के निवासियों की आयु का अध्ययन कर रहे हैं, तो समग्रता में इस क्षेत्र के सभी निवासियों की आयु शामिल है। जनसंख्या के साथ काम करते समय, एक तालिका बनाने और उसमें जनसंख्या मान दर्ज करने की अनुशंसा की जाती है। निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें:

      • एक निश्चित कमरे में 6 एक्वैरियम हैं। प्रत्येक एक्वेरियम में निम्नलिखित संख्या में मछलियाँ होती हैं:
        x 1 = 5 (\displaystyle x_(1)=5)
        x 2 = 5 (\displaystyle x_(2)=5)
        x 3 = 8 (\displaystyle x_(3)=8)
        x 4 = 12 (\displaystyle x_(4)=12)
        x 5 = 15 (\displaystyle x_(5)=15)
        x 6 = 18 (\displaystyle x_(6)=18)

   2. जनसंख्या विचरण की गणना के लिए एक सूत्र लिखिए।चूँकि जनसंख्या में एक निश्चित मात्रा के सभी मान शामिल होते हैं, नीचे दिया गया सूत्र आपको जनसंख्या विचरण का सटीक मान प्राप्त करने की अनुमति देता है। जनसंख्या भिन्नता को नमूना भिन्नता (जो केवल एक अनुमान है) से अलग करने के लिए, सांख्यिकीविद् विभिन्न चर का उपयोग करते हैं:

      • σ 2 (\डिस्प्लेस्टाइल ^(2)) = (∑(x i (\displaystyle x_(i)) - μ) 2 (\डिस्प्लेस्टाइल ^(2)))/एन
      • σ 2 (\डिस्प्लेस्टाइल ^(2))- जनसंख्या फैलाव ("सिग्मा वर्ग" के रूप में पढ़ें)। फैलाव को वर्ग इकाइयों में मापा जाता है।
      • x i (\displaystyle x_(i))– कुल मिलाकर प्रत्येक मान.
      • Σ - योग चिह्न. अर्थात् प्रत्येक मान से x i (\displaystyle x_(i))आपको μ घटाना होगा, उसका वर्ग करना होगा और फिर परिणाम जोड़ना होगा।
      • μ - जनसंख्या माध्य.
      • n – जनसंख्या में मूल्यों की संख्या.

   3. जनसंख्या माध्य की गणना करें.किसी जनसंख्या के साथ काम करते समय, इसका माध्य μ (mu) के रूप में दर्शाया जाता है। जनसंख्या माध्य की गणना एक साधारण अंकगणितीय माध्य के रूप में की जाती है: जनसंख्या में सभी मूल्यों को जोड़ें, और फिर परिणाम को जनसंख्या में मूल्यों की संख्या से विभाजित करें।

      • ध्यान रखें कि औसत की गणना हमेशा अंकगणितीय माध्य के रूप में नहीं की जाती है।
      • हमारे उदाहरण में, जनसंख्या का अर्थ है: μ = 5 + 5 + 8 + 12 + 15 + 18 6 (\displaystyle (\frac (5+5+8+12+15+18)(6))) = 10,5

   4. जनसंख्या के प्रत्येक मान से जनसंख्या माध्य घटाएँ।अंतर मान शून्य के जितना करीब होगा, विशिष्ट मान जनसंख्या माध्य के उतना ही करीब होगा। जनसंख्या में प्रत्येक मान और उसके माध्य के बीच अंतर ज्ञात करें, और आपको मूल्यों के वितरण का पहला अंदाजा मिल जाएगा।

      • हमारे उदाहरण में:
        x 1 (\displaystyle x_(1))- μ = 5 - 10.5 = -5.5
        x 2 (\displaystyle x_(2))- μ = 5 - 10.5 = -5.5
        x 3 (\displaystyle x_(3))- μ = 8 - 10.5 = -2.5
        x 4 (\displaystyle x_(4))- μ = 12 - 10.5 = 1.5
        x 5 (\displaystyle x_(5))- μ = 15 - 10.5 = 4.5
        x 6 (\displaystyle x_(6))- μ = 18 - 10.5 = 7.5

   5. प्राप्त प्रत्येक परिणाम का वर्ग करें।अंतर मान सकारात्मक और नकारात्मक दोनों होंगे; यदि इन मानों को एक संख्या रेखा पर आलेखित किया जाता है, तो वे जनसंख्या माध्य के दायीं और बायीं ओर स्थित होंगे। यह विचरण की गणना के लिए अच्छा नहीं है क्योंकि धनात्मक और ऋणात्मक संख्याएँ एक दूसरे को रद्द कर देती हैं। इसलिए विशेष रूप से सकारात्मक संख्याएँ प्राप्त करने के लिए प्रत्येक अंतर का वर्ग करें।

      • हमारे उदाहरण में:
        (x i (\displaystyle x_(i)) - μ) 2 (\डिस्प्लेस्टाइल ^(2))प्रत्येक जनसंख्या मान के लिए (i = 1 से i = 6 तक):
        (-5,5)2 (\डिस्प्लेस्टाइल ^(2)) = 30,25
        (-5,5)2 (\डिस्प्लेस्टाइल ^(2)), कहाँ x n (\displaystyle x_(n))- जनसंख्या में अंतिम मान.
      • प्राप्त परिणामों के औसत मूल्य की गणना करने के लिए, आपको उनका योग ज्ञात करना होगा और इसे n से विभाजित करना होगा:(( x 1 (\displaystyle x_(1)) - μ) 2 (\डिस्प्लेस्टाइल ^(2)) + (x 2 (\displaystyle x_(2)) - μ) 2 (\डिस्प्लेस्टाइल ^(2)) + ... + (x n (\displaystyle x_(n)) - μ) 2 (\डिस्प्लेस्टाइल ^(2)))/एन
      • आइए अब वेरिएबल्स का उपयोग करके उपरोक्त स्पष्टीकरण लिखें: (∑( x i (\displaystyle x_(i)) - μ) 2 (\डिस्प्लेस्टाइल ^(2))) / n और जनसंख्या विचरण की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करें।