संकेतित अंतराल पर फूरियर श्रृंखला में व्यवस्थित करें। फोरियर श्रेणी। फूरियर श्रृंखला में किसी फ़ंक्शन का विस्तार। किसी फ़ंक्शन का साइन और कोसाइन की श्रृंखला में विस्तार

प्रकृति और प्रौद्योगिकी में होने वाली कई प्रक्रियाएं निश्चित अंतराल पर खुद को दोहराती रहती हैं। ऐसी प्रक्रियाओं को आवधिक कहा जाता है और गणितीय रूप से आवधिक कार्यों द्वारा वर्णित किया जाता है। ऐसे कार्यों में शामिल हैं पाप(एक्स) , ओल(एक्स) , पाप(wx), ओल(wx) . दो आवधिक कार्यों का योग, उदाहरण के लिए, प्रपत्र का एक फ़ंक्शन , सामान्यतया, अब आवधिक नहीं है। लेकिन यह साबित किया जा सकता है कि अगर रिश्ता डब्ल्यू 1 / डब्ल्यू 2 एक परिमेय संख्या है, तो यह योग एक आवर्त फलन है।

सबसे सरल आवधिक प्रक्रियाएं - हार्मोनिक दोलन - आवधिक कार्यों द्वारा वर्णित हैं पाप(wx) और ओल(wx). अधिक जटिल आवधिक प्रक्रियाओं का वर्णन किसी परिमित या अनंत संख्या में शब्दों से बने कार्यों द्वारा किया जाता है पाप(wx) और ओल(wx).

आइए प्रपत्र की एक कार्यात्मक श्रृंखला पर विचार करें:

इस श्रृंखला को कहा जाता है त्रिकोणमितीय; नंबर ए 0 , बी 0 , ए 1 , बी 1 ,ए 2 , बी 2 …, ए एन , बी एन ,… कहा जाता है गुणांकोंत्रिकोणमितीय श्रृंखला. श्रृंखला (1) को अक्सर इस प्रकार लिखा जाता है:

. (2)

चूँकि त्रिकोणमितीय श्रृंखला (2) के सदस्यों का एक सामान्य आवर्त होता है
, तो श्रृंखला का योग, यदि यह अभिसरण करता है, तो अवधि के साथ एक आवधिक कार्य भी है
.

चलिए मान लेते हैं कि function एफ(एक्स) इस श्रृंखला का योग है:

. (3)

इस मामले में उनका कहना है कि function एफ(एक्स) त्रिकोणमितीय श्रृंखला में विस्तारित किया गया है। यह मानते हुए कि यह श्रृंखला अंतराल पर समान रूप से अभिसरित होती है
, आप सूत्रों का उपयोग करके इसके गुणांक निर्धारित कर सकते हैं:

,
,
. (4)

इन सूत्रों द्वारा निर्धारित श्रृंखला के गुणांक कहलाते हैं फूरियर गुणांक.

त्रिकोणमितीय श्रृंखला (2), जिसके गुणांक फूरियर सूत्र (4) द्वारा निर्धारित किए जाते हैं, कहलाते हैं फूरियर के पास, फ़ंक्शन के अनुरूप एफ(एक्स).

इस प्रकार, यदि एक आवधिक कार्य एफ(एक्स) एक अभिसरण त्रिकोणमितीय श्रृंखला का योग है, तो यह श्रृंखला इसकी फूरियर श्रृंखला है।

सूत्र (4) बताते हैं कि फूरियर गुणांक की गणना अंतराल पर किसी भी पूर्णांक के लिए की जा सकती है

-आवधिक कार्य, यानी ऐसे फ़ंक्शन के लिए आप हमेशा फूरियर श्रृंखला का निर्माण कर सकते हैं। लेकिन क्या ये सीरीज फंक्शन में जुटेगी एफ(एक्स) और किन परिस्थितियों में?

याद रखें कि फ़ंक्शन एफ(एक्स), खंड पर परिभाषित [ ए; बी] , को टुकड़ा-वार चिकना कहा जाता है यदि इसमें और इसके व्युत्पन्न में पहली तरह के असंतोष बिंदुओं की एक सीमित संख्या से अधिक नहीं है।

निम्नलिखित प्रमेय फूरियर श्रृंखला में किसी फ़ंक्शन की विघटनशीलता के लिए पर्याप्त शर्तें देता है।

डिरिचलेट का प्रमेय.होने देना
-आवधिक कार्य एफ(एक्स) टुकड़ों में चिकना है
. फिर इसकी फूरियर श्रृंखला एकत्रित होती है एफ(एक्स) निरंतरता के प्रत्येक बिंदु पर और मूल्य पर 0,5(एफ(एक्स+0)+ एफ(एक्स-0)) टूटने के बिंदु पर.

उदाहरण 1।

फ़ंक्शन को फूरियर श्रृंखला में विस्तारित करें एफ(एक्स)= एक्स, अंतराल पर निर्दिष्ट
.

समाधान।यह फ़ंक्शन डिरिचलेट शर्तों को पूरा करता है और इसलिए, फूरियर श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है। सूत्रों का उपयोग करना (4) और भागों द्वारा एकीकरण की विधि
, हम फूरियर गुणांक पाते हैं:

इस प्रकार, फ़ंक्शन के लिए फूरियर श्रृंखला एफ(एक्स) एक नजर है.

फूरियर श्रृंखला एक श्रृंखला के रूप में एक विशिष्ट अवधि के साथ एक मनमाना कार्य का प्रतिनिधित्व है। सामान्य तौर पर, इस समाधान को ऑर्थोगोनल आधार पर किसी तत्व का अपघटन कहा जाता है। एकीकरण, विभेदीकरण के साथ-साथ तर्क और संकल्प द्वारा अभिव्यक्तियों को स्थानांतरित करने के दौरान इस परिवर्तन के गुणों के कारण फूरियर श्रृंखला में कार्यों का विस्तार विभिन्न समस्याओं को हल करने के लिए एक काफी शक्तिशाली उपकरण है।

एक व्यक्ति जो उच्च गणित के साथ-साथ फ्रांसीसी वैज्ञानिक फूरियर के कार्यों से परिचित नहीं है, वह संभवतः यह नहीं समझ पाएगा कि ये "श्रृंखला" क्या हैं और उनकी आवश्यकता क्यों है। इस बीच, यह परिवर्तन हमारे जीवन में काफी एकीकृत हो गया है। इसका उपयोग न केवल गणितज्ञों द्वारा किया जाता है, बल्कि भौतिकविदों, रसायनज्ञों, डॉक्टरों, खगोलविदों, भूकंपविज्ञानी, समुद्र विज्ञानियों और कई अन्य लोगों द्वारा भी किया जाता है। आइए हम उस महान फ्रांसीसी वैज्ञानिक के कार्यों पर भी नज़र डालें जिन्होंने एक ऐसी खोज की जो अपने समय से आगे थी।

फूरियर श्रृंखला तरीकों में से एक है (विश्लेषण और अन्य के साथ)। यह प्रक्रिया हर बार तब होती है जब कोई व्यक्ति ध्वनि सुनता है। हमारा कान स्वचालित रूप से एक लोचदार माध्यम में प्राथमिक कणों को विभिन्न ऊंचाइयों के स्वरों के लिए क्रमिक मात्रा स्तर की पंक्तियों (स्पेक्ट्रम के साथ) में बदल देता है। इसके बाद, मस्तिष्क इस डेटा को उन ध्वनियों में बदल देता है जिनसे हम परिचित हैं। यह सब हमारी इच्छा या चेतना के बिना, अपने आप होता है, लेकिन इन प्रक्रियाओं को समझने के लिए उच्च गणित का अध्ययन करने में कई साल लगेंगे।

फूरियर रूपांतरण विश्लेषणात्मक, संख्यात्मक और अन्य तरीकों का उपयोग करके किया जा सकता है। फूरियर श्रृंखला किसी भी दोलन प्रक्रियाओं को विघटित करने की संख्यात्मक विधि को संदर्भित करती है - समुद्र के ज्वार और प्रकाश तरंगों से लेकर सौर (और अन्य खगोलीय पिंडों) गतिविधि के चक्र तक। इन गणितीय तकनीकों का उपयोग करके, आप कार्यों का विश्लेषण कर सकते हैं, किसी भी दोलन प्रक्रियाओं को साइनसॉइडल घटकों की एक श्रृंखला के रूप में प्रस्तुत कर सकते हैं जो न्यूनतम से अधिकतम और पीछे की ओर बढ़ते हैं। फूरियर ट्रांसफॉर्म एक फ़ंक्शन है जो एक विशिष्ट आवृत्ति के अनुरूप साइनसॉइड के चरण और आयाम का वर्णन करता है। इस प्रक्रिया का उपयोग बहुत जटिल समीकरणों को हल करने के लिए किया जा सकता है जो थर्मल, प्रकाश या विद्युत ऊर्जा के प्रभाव में उत्पन्न होने वाली गतिशील प्रक्रियाओं का वर्णन करते हैं। इसके अलावा, फूरियर श्रृंखला जटिल दोलन संकेतों में निरंतर घटकों को अलग करना संभव बनाती है, जिससे चिकित्सा, रसायन विज्ञान और खगोल विज्ञान में प्राप्त प्रयोगात्मक टिप्पणियों की सही व्याख्या करना संभव हो जाता है।

इस सिद्धांत के संस्थापक फ्रांसीसी गणितज्ञ जीन बैप्टिस्ट जोसेफ फूरियर हैं। बाद में इस परिवर्तन का नाम उनके नाम पर रखा गया। प्रारंभ में, वैज्ञानिक ने तापीय चालकता - ठोस पदार्थों में ऊष्मा के प्रसार - के तंत्र का अध्ययन और व्याख्या करने के लिए अपनी पद्धति का उपयोग किया। फूरियर ने सुझाव दिया कि प्रारंभिक अनियमित वितरण को सरल साइनसॉइड में विघटित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक का अपना तापमान न्यूनतम और अधिकतम होगा, साथ ही साथ इसका अपना चरण भी होगा। इस मामले में, ऐसे प्रत्येक घटक को न्यूनतम से अधिकतम और इसके विपरीत मापा जाएगा। गणितीय फ़ंक्शन जो वक्र की ऊपरी और निचली चोटियों के साथ-साथ प्रत्येक हार्मोनिक्स के चरण का वर्णन करता है, उसे तापमान वितरण अभिव्यक्ति का फूरियर रूपांतरण कहा जाता है। सिद्धांत के लेखक ने सामान्य वितरण फ़ंक्शन को कम कर दिया, जिसे गणितीय रूप से वर्णित करना मुश्किल है, कोसाइन और साइन की एक बहुत सुविधाजनक श्रृंखला में, जो एक साथ मूल वितरण देते हैं।

वैज्ञानिक के समकालीन - उन्नीसवीं सदी की शुरुआत के प्रमुख गणितज्ञ - ने इस सिद्धांत को स्वीकार नहीं किया। मुख्य आपत्ति फूरियर का दावा था कि एक असंतत फ़ंक्शन, एक सीधी रेखा या एक असंतत वक्र का वर्णन करते हुए, साइनसॉइडल अभिव्यक्तियों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है जो निरंतर हैं। उदाहरण के तौर पर, हेविसाइड चरण पर विचार करें: इसका मान असंततता के बाईं ओर शून्य है और दाईं ओर एक है। यह फ़ंक्शन सर्किट बंद होने पर अस्थायी चर पर विद्युत प्रवाह की निर्भरता का वर्णन करता है। उस समय सिद्धांत के समकालीनों को कभी भी ऐसी स्थिति का सामना नहीं करना पड़ा था जहां एक असंतत अभिव्यक्ति को घातीय, साइन, रैखिक या द्विघात जैसे निरंतर, सामान्य कार्यों के संयोजन द्वारा वर्णित किया जाएगा।

आख़िरकार, यदि गणितज्ञ अपने कथनों में सही था, तो अनंत त्रिकोणमितीय फूरियर श्रृंखला को जोड़कर, चरण अभिव्यक्ति का सटीक प्रतिनिधित्व प्राप्त किया जा सकता है, भले ही इसमें कई समान चरण हों। उन्नीसवीं सदी की शुरुआत में ऐसा बयान बेतुका लगता था। लेकिन तमाम शंकाओं के बावजूद, कई गणितज्ञों ने इस घटना के अध्ययन के दायरे का विस्तार किया, इसे तापीय चालकता के अध्ययन से परे ले गए। हालाँकि, अधिकांश वैज्ञानिक इस प्रश्न से परेशान रहे: "क्या एक साइनसॉइडल श्रृंखला का योग असंतत फ़ंक्शन के सटीक मान में परिवर्तित हो सकता है?"

अभिसरण का प्रश्न तब उठता है जब संख्याओं की अनंत श्रृंखला का योग करना आवश्यक होता है। इस घटना को समझने के लिए एक उत्कृष्ट उदाहरण पर विचार करें। यदि प्रत्येक अगला कदम पिछले कदम के आधे आकार का हो तो क्या आप कभी दीवार तक पहुंच पाएंगे? मान लीजिए कि आप अपने लक्ष्य से दो मीटर दूर हैं, पहला कदम आपको आधे रास्ते तक ले जाता है, अगला आपको तीन-चौथाई तक ले जाता है, और पांचवें के बाद आप लगभग 97 प्रतिशत रास्ता तय कर लेंगे। हालाँकि, चाहे आप कितने भी कदम उठाएँ, सख्त गणितीय अर्थ में आप अपने इच्छित लक्ष्य को प्राप्त नहीं कर पाएंगे। संख्यात्मक गणनाओं का उपयोग करके, यह साबित किया जा सकता है कि अंततः एक निश्चित दूरी के करीब पहुंचना संभव है। यह प्रमाण यह प्रदर्शित करने के बराबर है कि आधा, एक-चौथाई आदि का योग एकता की ओर प्रवृत्त होगा।

यह मुद्दा उन्नीसवीं सदी के अंत में फिर से उठाया गया, जब उन्होंने ज्वार की तीव्रता की भविष्यवाणी करने के लिए फूरियर श्रृंखला का उपयोग करने की कोशिश की। इस समय, लॉर्ड केल्विन ने एक उपकरण का आविष्कार किया, एक एनालॉग कंप्यूटिंग डिवाइस जिसने सैन्य और व्यापारी समुद्री नाविकों को इस प्राकृतिक घटना की निगरानी करने की अनुमति दी। इस तंत्र ने पूरे वर्ष किसी दिए गए बंदरगाह में सावधानीपूर्वक मापी गई ज्वार की ऊंचाई और संबंधित समय बिंदुओं की तालिका से चरणों और आयामों के सेट निर्धारित किए। प्रत्येक पैरामीटर ज्वार ऊंचाई अभिव्यक्ति का एक साइनसॉइडल घटक था और नियमित घटकों में से एक था। मापों को लॉर्ड केल्विन के गणना उपकरण में डाला गया, जिसने एक वक्र संश्लेषित किया जिसने अगले वर्ष के लिए समय के एक फ़ंक्शन के रूप में पानी की ऊंचाई की भविष्यवाणी की। जल्द ही दुनिया के सभी बंदरगाहों के लिए समान वक्र तैयार किए गए।

उस समय यह स्पष्ट लग रहा था कि बड़ी संख्या में गिनती के तत्वों के साथ एक ज्वारीय तरंग भविष्यवक्ता बड़ी संख्या में चरणों और आयामों की गणना कर सकता है और इस प्रकार अधिक सटीक भविष्यवाणियां प्रदान कर सकता है। हालाँकि, यह पता चला कि यह पैटर्न उन मामलों में नहीं देखा गया है जहाँ ज्वारीय अभिव्यक्ति को संश्लेषित किया जाना चाहिए जिसमें तेज उछाल था, यानी, यह असंतत था। यदि समय क्षणों की तालिका से डेटा डिवाइस में दर्ज किया जाता है, तो यह कई फूरियर गुणांक की गणना करता है। मूल कार्य को साइनसॉइडल घटकों (पाये गए गुणांक के अनुसार) के कारण बहाल किया जाता है। मूल और पुनर्निर्मित अभिव्यक्ति के बीच विसंगति को किसी भी बिंदु पर मापा जा सकता है। बार-बार गणना और तुलना करने पर यह स्पष्ट है कि सबसे बड़ी त्रुटि का मान कम नहीं होता है। हालाँकि, वे विच्छेदन बिंदु के अनुरूप क्षेत्र में स्थानीयकृत होते हैं, और किसी अन्य बिंदु पर वे शून्य हो जाते हैं। 1899 में, इस परिणाम की सैद्धांतिक रूप से येल विश्वविद्यालय के जोशुआ विलार्ड गिब्स ने पुष्टि की थी।

फूरियर विश्लेषण एक निश्चित अंतराल पर अनंत संख्या में स्पाइक्स वाले अभिव्यक्तियों पर लागू नहीं होता है। सामान्य तौर पर, फूरियर श्रृंखला, यदि मूल फ़ंक्शन को वास्तविक भौतिक माप के परिणाम द्वारा दर्शाया जाता है, तो हमेशा अभिसरण होता है। कार्यों के विशिष्ट वर्गों के लिए इस प्रक्रिया के अभिसरण के बारे में प्रश्नों के कारण गणित में नई शाखाओं का उदय हुआ, उदाहरण के लिए, सामान्यीकृत कार्यों का सिद्धांत। वह एल. श्वार्ट्ज, जे. मिकुसिंस्की और जे. टेम्पल जैसे नामों से जुड़ी हैं। इस सिद्धांत के ढांचे के भीतर, डिराक डेल्टा फ़ंक्शन (यह एक बिंदु के एक अनंत पड़ोस में केंद्रित एकल क्षेत्र के क्षेत्र का वर्णन करता है) और हेविसाइड "स्टेप" जैसी अभिव्यक्तियों के लिए एक स्पष्ट और सटीक सैद्धांतिक आधार बनाया गया था। इस कार्य के लिए धन्यवाद, फूरियर श्रृंखला सहज अवधारणाओं से जुड़े समीकरणों और समस्याओं को हल करने के लिए लागू हो गई: बिंदु चार्ज, बिंदु द्रव्यमान, चुंबकीय द्विध्रुव, और एक बीम पर केंद्रित भार।

फूरियर श्रृंखला, हस्तक्षेप के सिद्धांतों के अनुसार, जटिल रूपों को सरल रूपों में विघटित करने से शुरू होती है। उदाहरण के लिए, गर्मी के प्रवाह में बदलाव को अनियमित आकार की गर्मी-रोधक सामग्री से बनी विभिन्न बाधाओं के माध्यम से इसके पारित होने या पृथ्वी की सतह में बदलाव - एक भूकंप, एक खगोलीय पिंड की कक्षा में बदलाव - के प्रभाव से समझाया जाता है। ग्रहों का. एक नियम के रूप में, ऐसे समीकरण जो सरल शास्त्रीय प्रणालियों का वर्णन करते हैं, प्रत्येक व्यक्तिगत तरंग के लिए आसानी से हल किए जा सकते हैं। फूरियर ने दिखाया कि सरल समाधानों को भी संक्षेप में प्रस्तुत करके अधिक जटिल समस्याओं का समाधान निकाला जा सकता है। गणितीय शब्दों में, फूरियर श्रृंखला एक अभिव्यक्ति को हार्मोनिक्स - कोसाइन और साइन के योग के रूप में प्रस्तुत करने की एक तकनीक है। इसलिए, इस विश्लेषण को "हार्मोनिक विश्लेषण" के रूप में भी जाना जाता है।

कंप्यूटर प्रौद्योगिकी के निर्माण से पहले, हमारी दुनिया की तरंग प्रकृति के साथ काम करते समय फूरियर तकनीक वैज्ञानिकों के शस्त्रागार में सबसे अच्छा हथियार थी। जटिल रूप में फूरियर श्रृंखला न केवल सरल समस्याओं को हल करना संभव बनाती है जिन्हें सीधे न्यूटन के यांत्रिकी के नियमों पर लागू किया जा सकता है, बल्कि मौलिक समीकरणों को भी हल किया जा सकता है। उन्नीसवीं शताब्दी में न्यूटोनियन विज्ञान की अधिकांश खोजें फूरियर की तकनीक से ही संभव हो सकीं।

कंप्यूटर के विकास के साथ, फूरियर रूपांतरण गुणात्मक रूप से नए स्तर पर पहुंच गया है। यह तकनीक विज्ञान और प्रौद्योगिकी के लगभग सभी क्षेत्रों में मजबूती से स्थापित है। एक उदाहरण डिजिटल ऑडियो और वीडियो है. इसका कार्यान्वयन उन्नीसवीं शताब्दी की शुरुआत में एक फ्रांसीसी गणितज्ञ द्वारा विकसित सिद्धांत के कारण ही संभव हो सका। इस प्रकार, जटिल रूप में फूरियर श्रृंखला ने बाहरी अंतरिक्ष के अध्ययन में एक सफलता हासिल करना संभव बना दिया। इसके अलावा, इसने अर्धचालक सामग्री और प्लाज्मा, माइक्रोवेव ध्वनिकी, समुद्र विज्ञान, रडार और भूकंप विज्ञान के भौतिकी के अध्ययन को प्रभावित किया।

गणित में, फूरियर श्रृंखला मनमाने ढंग से जटिल कार्यों को सरल कार्यों के योग के रूप में प्रस्तुत करने का एक तरीका है। सामान्य मामलों में, ऐसे भावों की संख्या अनंत हो सकती है। इसके अलावा, गणना में उनकी संख्या को जितना अधिक ध्यान में रखा जाएगा, अंतिम परिणाम उतना ही सटीक होगा। अक्सर, कोसाइन या साइन के त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग सबसे सरल के रूप में किया जाता है। इस मामले में, फूरियर श्रृंखला को त्रिकोणमितीय कहा जाता है, और ऐसे भावों के समाधान को हार्मोनिक विस्तार कहा जाता है। यह विधि गणित में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। सबसे पहले, त्रिकोणमितीय श्रृंखला कार्यों को चित्रित करने और उनका अध्ययन करने के लिए एक साधन प्रदान करती है; यह सिद्धांत का मुख्य उपकरण है। इसके अलावा, यह आपको गणितीय भौतिकी में कई समस्याओं को हल करने की अनुमति देता है। अंत में, इस सिद्धांत ने गणितीय विज्ञान की कई महत्वपूर्ण शाखाओं (अभिन्नों का सिद्धांत, आवधिक कार्यों का सिद्धांत) के विकास में योगदान दिया। इसके अलावा, इसने वास्तविक चर के निम्नलिखित कार्यों के विकास के लिए शुरुआती बिंदु के रूप में कार्य किया, और हार्मोनिक विश्लेषण की नींव भी रखी।

किसी वेबसाइट पर गणितीय सूत्र कैसे डालें?

यदि आपको कभी किसी वेब पेज पर एक या दो गणितीय सूत्र जोड़ने की आवश्यकता होती है, तो ऐसा करने का सबसे आसान तरीका लेख में बताया गया है: गणितीय सूत्र आसानी से चित्रों के रूप में साइट पर डाले जाते हैं जो वोल्फ्राम अल्फा द्वारा स्वचालित रूप से उत्पन्न होते हैं . सादगी के अलावा, यह सार्वभौमिक विधि खोज इंजन में साइट की दृश्यता को बेहतर बनाने में मदद करेगी। यह लंबे समय से काम कर रहा है (और, मुझे लगता है, हमेशा काम करेगा), लेकिन नैतिक रूप से यह पहले से ही पुराना हो चुका है।

यदि आप नियमित रूप से अपनी साइट पर गणितीय सूत्रों का उपयोग करते हैं, तो मैं आपको MathJax का उपयोग करने की सलाह देता हूं - एक विशेष जावास्क्रिप्ट लाइब्रेरी जो MathML, LaTeX या ASCIIMathML मार्कअप का उपयोग करके वेब ब्राउज़र में गणितीय नोटेशन प्रदर्शित करती है।

MathJax का उपयोग शुरू करने के दो तरीके हैं: (1) एक सरल कोड का उपयोग करके, आप जल्दी से एक MathJax स्क्रिप्ट को अपनी वेबसाइट से कनेक्ट कर सकते हैं, जो सही समय पर एक दूरस्थ सर्वर से स्वचालित रूप से लोड हो जाएगी (सर्वर की सूची); (2) मैथजैक्स स्क्रिप्ट को रिमोट सर्वर से अपने सर्वर पर डाउनलोड करें और इसे अपनी साइट के सभी पेजों से कनेक्ट करें। दूसरी विधि - अधिक जटिल और समय लेने वाली - आपकी साइट के पृष्ठों की लोडिंग को तेज कर देगी, और यदि मूल MathJax सर्वर किसी कारण से अस्थायी रूप से अनुपलब्ध हो जाता है, तो यह किसी भी तरह से आपकी अपनी साइट को प्रभावित नहीं करेगा। इन फायदों के बावजूद, मैंने पहला तरीका चुना क्योंकि यह सरल, तेज़ है और इसमें तकनीकी कौशल की आवश्यकता नहीं है। मेरे उदाहरण का अनुसरण करें, और केवल 5 मिनट में आप अपनी साइट पर MathJax की सभी सुविधाओं का उपयोग करने में सक्षम होंगे।

आप मुख्य MathJax वेबसाइट या दस्तावेज़ीकरण पृष्ठ से लिए गए दो कोड विकल्पों का उपयोग करके MathJax लाइब्रेरी स्क्रिप्ट को दूरस्थ सर्वर से कनेक्ट कर सकते हैं:

इन कोड विकल्पों में से एक को कॉपी करके आपके वेब पेज के कोड में पेस्ट करना होगा, अधिमानतः टैग के बीच और टैग के तुरंत बाद। पहले विकल्प के अनुसार, MathJax तेजी से लोड होता है और पेज को कम धीमा करता है। लेकिन दूसरा विकल्प स्वचालित रूप से MathJax के नवीनतम संस्करणों की निगरानी और लोड करता है। यदि आप पहला कोड डालते हैं, तो इसे समय-समय पर अद्यतन करने की आवश्यकता होगी। यदि आप दूसरा कोड डालते हैं, तो पेज अधिक धीरे-धीरे लोड होंगे, लेकिन आपको MathJax अपडेट की लगातार निगरानी करने की आवश्यकता नहीं होगी।

MathJax को कनेक्ट करने का सबसे आसान तरीका ब्लॉगर या वर्डप्रेस में है: साइट कंट्रोल पैनल में, तृतीय-पक्ष जावास्क्रिप्ट कोड डालने के लिए डिज़ाइन किया गया एक विजेट जोड़ें, ऊपर प्रस्तुत डाउनलोड कोड के पहले या दूसरे संस्करण को कॉपी करें, और विजेट को करीब रखें टेम्पलेट की शुरुआत में (वैसे, यह बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है, क्योंकि MathJax स्क्रिप्ट अतुल्यकालिक रूप से लोड की गई है)। बस इतना ही। अब MathML, LaTeX और ASCIIMathML का मार्कअप सिंटैक्स सीखें, और आप अपनी साइट के वेब पेजों में गणितीय सूत्र सम्मिलित करने के लिए तैयार हैं।

किसी भी फ्रैक्टल का निर्माण एक निश्चित नियम के अनुसार किया जाता है, जिसे लगातार असीमित संख्या में लागू किया जाता है। ऐसे प्रत्येक समय को पुनरावृत्ति कहा जाता है।

मेन्जर स्पंज के निर्माण के लिए पुनरावृत्त एल्गोरिथ्म काफी सरल है: 1 भुजा वाले मूल घन को उसके फलकों के समानांतर समतलों द्वारा 27 बराबर घनों में विभाजित किया जाता है। इसमें से एक केंद्रीय घन और उसके फलकों से लगे हुए 6 घन हटा दिए जाते हैं। परिणाम एक सेट है जिसमें शेष 20 छोटे घन शामिल हैं। इनमें से प्रत्येक घन के साथ ऐसा करने पर, हमें 400 छोटे घनों का एक सेट मिलता है। इस प्रक्रिया को अनवरत जारी रखने पर हमें मेन्जर स्पंज प्राप्त होता है।

अवधि 2π के साथ आवधिक कार्यों की फूरियर श्रृंखला।

फूरियर श्रृंखला हमें आवधिक कार्यों को घटकों में विघटित करके उनका अध्ययन करने की अनुमति देती है। वैकल्पिक धाराएं और वोल्टेज, विस्थापन, गति और क्रैंक तंत्र और ध्वनिक तरंगों का त्वरण इंजीनियरिंग गणना में आवधिक कार्यों के उपयोग के विशिष्ट व्यावहारिक उदाहरण हैं।

फूरियर श्रृंखला का विस्तार इस धारणा पर आधारित है कि अंतराल -π ≤x≤ π में व्यावहारिक महत्व के सभी कार्यों को अभिसरण त्रिकोणमितीय श्रृंखला के रूप में व्यक्त किया जा सकता है (एक श्रृंखला को अभिसरण माना जाता है यदि उसके पदों से बना आंशिक योग का क्रम अभिसरण):

सिनएक्स और कॉसएक्स के योग के माध्यम से मानक (=साधारण) संकेतन

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 synx+b 2 syn2x+b 3 syn3x+...,

जहां a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. वास्तविक स्थिरांक हैं, अर्थात्।

जहां, -π से π तक की सीमा के लिए, फूरियर श्रृंखला के गुणांकों की गणना सूत्रों का उपयोग करके की जाती है:

गुणांक ए ओ, ए एन और बी एन को फूरियर गुणांक कहा जाता है, और यदि उन्हें पाया जा सकता है, तो श्रृंखला (1) को फ़ंक्शन एफ (एक्स) के अनुरूप फूरियर श्रृंखला कहा जाता है। श्रृंखला (1) के लिए, पद (a 1 cosx+b 1 synx) को पहला या मौलिक हार्मोनिक कहा जाता है,

श्रृंखला लिखने का दूसरा तरीका संबंध acosx+bsinx=csin(x+α) का उपयोग करना है

f(x)=a o +c 1 पाप(x+α 1)+c 2 पाप(2x+α 2)+...+c n पाप(nx+α n)

जहां a o एक स्थिरांक है, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 विभिन्न घटकों के आयाम हैं, और a n =arctg a n के बराबर है /बी एन.

श्रृंखला (1) के लिए, पद (a 1 cosx+b 1 synx) या c 1 syn(x+α 1) को पहला या मौलिक हार्मोनिक कहा जाता है, (a 2 cos2x+b 2 syn2x) या c 2 syn(2x) +α 2) को दूसरा हार्मोनिक इत्यादि कहा जाता है।

किसी जटिल सिग्नल को सटीक रूप से प्रस्तुत करने के लिए आमतौर पर अनंत संख्या में शब्दों की आवश्यकता होती है। हालाँकि, कई व्यावहारिक समस्याओं में केवल पहले कुछ शब्दों पर विचार करना ही पर्याप्त है।

अवधि 2π के साथ गैर-आवधिक कार्यों की फूरियर श्रृंखला।

गैर-आवधिक कार्यों का विस्तार।

यदि फ़ंक्शन f(x) गैर-आवधिक है, तो इसका मतलब है कि इसे x के सभी मानों के लिए फूरियर श्रृंखला में विस्तारित नहीं किया जा सकता है। हालाँकि, चौड़ाई 2π की किसी भी सीमा पर एक फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करने वाली फूरियर श्रृंखला को परिभाषित करना संभव है।

एक गैर-आवधिक फ़ंक्शन को देखते हुए, एक निश्चित सीमा के भीतर f(x) के मानों का चयन करके और उन्हें 2π अंतराल पर उस सीमा के बाहर दोहराकर एक नया फ़ंक्शन बनाया जा सकता है। चूँकि नया फ़ंक्शन 2π की अवधि के साथ आवधिक है, इसे x के सभी मानों के लिए फूरियर श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, फलन f(x)=x आवर्त नहीं है। हालाँकि, यदि इसे o से 2π के अंतराल में फूरियर श्रृंखला में विस्तारित करना आवश्यक है, तो इस अंतराल के बाहर 2π की अवधि के साथ एक आवधिक फ़ंक्शन का निर्माण किया जाता है (जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है)।

गैर-आवधिक कार्यों जैसे कि f(x)=x के लिए, फूरियर श्रृंखला का योग किसी दी गई सीमा में सभी बिंदुओं पर f(x) के मान के बराबर है, लेकिन यह बिंदुओं के लिए f(x) के बराबर नहीं है सीमा के बाहर. 2π रेंज में एक गैर-आवधिक फ़ंक्शन की फूरियर श्रृंखला को खोजने के लिए, फूरियर गुणांक के समान सूत्र का उपयोग किया जाता है।

सम और विषम कार्य.

वे कहते हैं कि एक फ़ंक्शन y=f(x) भले ही x के सभी मानों के लिए f(-x)=f(x) हो। सम फलनों के ग्राफ़ हमेशा y-अक्ष के बारे में सममित होते हैं (अर्थात, वे दर्पण छवियाँ हैं)। सम फलनों के दो उदाहरण: y=x2 और y=cosx।

एक फ़ंक्शन y=f(x) को विषम कहा जाता है यदि x के सभी मानों के लिए f(-x)=-f(x) हो। विषम फलनों के ग्राफ सदैव मूल बिन्दु के सापेक्ष सममित होते हैं।

कई फलन न तो सम हैं और न ही विषम।

कोसाइन में फूरियर श्रृंखला का विस्तार।

अवधि 2π के साथ एक सम आवधिक फ़ंक्शन f(x) की फूरियर श्रृंखला में केवल कोसाइन पद शामिल हैं (यानी, कोई साइन पद नहीं) और इसमें एक स्थिर पद शामिल हो सकता है। इस तरह,

फूरियर श्रृंखला के गुणांक कहां हैं,

अवधि 2π के साथ एक विषम आवधिक फ़ंक्शन f(x) की फूरियर श्रृंखला में केवल साइन के साथ पद शामिल हैं (अर्थात, इसमें कोसाइन के साथ पद शामिल नहीं हैं)।

इस तरह,

फूरियर श्रृंखला के गुणांक कहां हैं,

आधे चक्र पर फूरियर श्रृंखला।

यदि किसी फ़ंक्शन को किसी श्रेणी के लिए परिभाषित किया गया है, मान लीजिए 0 से π तक, न कि केवल 0 से 2π तक, तो इसे एक श्रृंखला में केवल साइन में या केवल कोसाइन में विस्तारित किया जा सकता है। परिणामी फूरियर श्रृंखला को अर्ध-चक्र फूरियर श्रृंखला कहा जाता है।

यदि आप 0 से π की सीमा में फ़ंक्शन f(x) के कोसाइन का आधा-चक्र फूरियर विस्तार प्राप्त करना चाहते हैं, तो आपको एक सम आवधिक फ़ंक्शन का निर्माण करने की आवश्यकता है। चित्र में. नीचे फ़ंक्शन f(x)=x है, जो x=0 से x=π के अंतराल पर बनाया गया है। चूँकि सम फलन f(x) अक्ष के प्रति सममित है, हम रेखा AB खींचते हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। नीचे। यदि हम मानते हैं कि विचारित अंतराल के बाहर परिणामी त्रिकोणीय आकार 2π की अवधि के साथ आवधिक है, तो अंतिम ग्राफ इस तरह दिखता है: चित्र में नीचे। चूँकि हमें कोसाइन में फूरियर विस्तार प्राप्त करने की आवश्यकता है, पहले की तरह, हम फूरियर गुणांक ए ओ और एन की गणना करते हैं

यदि आप 0 से π तक की सीमा में फ़ंक्शन f(x) की साइन के संदर्भ में अर्ध-चक्र फूरियर विस्तार प्राप्त करना चाहते हैं, तो आपको एक विषम आवधिक फ़ंक्शन का निर्माण करने की आवश्यकता है। चित्र में. नीचे फ़ंक्शन f(x)=x है, जो x=0 से x=π के अंतराल पर बनाया गया है। चूँकि विषम फलन मूल बिन्दु के प्रति सममित है, हम रेखा CD बनाते हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। यदि हम मानते हैं कि विचारित अंतराल के बाहर परिणामी सॉटूथ सिग्नल 2π की अवधि के साथ आवधिक है, तो अंतिम ग्राफ़ में चित्र में दिखाया गया रूप है। चूँकि हमें पहले की तरह, साइन के संदर्भ में आधे-चक्र के फूरियर विस्तार को प्राप्त करने की आवश्यकता है, हम फूरियर गुणांक की गणना करते हैं। बी

एक मनमाने अंतराल के लिए फूरियर श्रृंखला।

अवधि एल के साथ एक आवधिक फ़ंक्शन का विस्तार।

जैसे-जैसे x L से बढ़ता है, आवर्त फलन f(x) दोहराता है, अर्थात। f(x+L)=f(x). 2π की अवधि के साथ पहले से विचार किए गए कार्यों से एल की अवधि के साथ कार्यों में संक्रमण काफी सरल है, क्योंकि यह चर के परिवर्तन का उपयोग करके किया जा सकता है।

-L/2≤x≤L/2 की श्रेणी में फ़ंक्शन f(x) की फूरियर श्रृंखला खोजने के लिए, हम एक नया वेरिएबल u पेश करते हैं ताकि फ़ंक्शन f(x) की अवधि u के सापेक्ष 2π हो। यदि u=2πx/L, तो u=-π के लिए x=-L/2 और u=π के लिए x=L/2। यह भी मान लीजिए कि f(x)=f(Lu/2π)=F(u). फूरियर श्रृंखला F(u) का रूप है

(एकीकरण की सीमा को L लंबाई के किसी भी अंतराल से बदला जा सकता है, उदाहरण के लिए, 0 से L तक)

अंतराल L≠2π में निर्दिष्ट कार्यों के लिए आधे-चक्र पर फूरियर श्रृंखला।

प्रतिस्थापन u=πх/L के लिए, x=0 से x=L तक का अंतराल u=0 से u=π तक के अंतराल से मेल खाता है। नतीजतन, फ़ंक्शन को केवल कोसाइन में या केवल साइन में एक श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है, अर्थात। आधे चक्र में फूरियर श्रृंखला में।

0 से L तक की सीमा में कोज्या विस्तार का रूप होता है

अवधि 2π के साथ आवधिक कार्यों की फूरियर श्रृंखला।

फूरियर श्रृंखला हमें आवधिक कार्यों को घटकों में विघटित करके उनका अध्ययन करने की अनुमति देती है। वैकल्पिक धाराएं और वोल्टेज, विस्थापन, गति और क्रैंक तंत्र और ध्वनिक तरंगों का त्वरण इंजीनियरिंग गणना में आवधिक कार्यों के उपयोग के विशिष्ट व्यावहारिक उदाहरण हैं।

फूरियर श्रृंखला का विस्तार इस धारणा पर आधारित है कि अंतराल -π ≤x≤ π में व्यावहारिक महत्व के सभी कार्यों को अभिसरण त्रिकोणमितीय श्रृंखला के रूप में व्यक्त किया जा सकता है (एक श्रृंखला को अभिसरण माना जाता है यदि उसके पदों से बना आंशिक योग का क्रम अभिसरण):

सिनएक्स और कॉसएक्स के योग के माध्यम से मानक (=साधारण) संकेतन

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 synx+b 2 syn2x+b 3 syn3x+...,

जहां a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. वास्तविक स्थिरांक हैं, अर्थात्।

जहां, -π से π तक की सीमा के लिए, फूरियर श्रृंखला के गुणांकों की गणना सूत्रों का उपयोग करके की जाती है:

गुणांक ए ओ, ए एन और बी एन को फूरियर गुणांक कहा जाता है, और यदि उन्हें पाया जा सकता है, तो श्रृंखला (1) को फ़ंक्शन एफ (एक्स) के अनुरूप फूरियर श्रृंखला कहा जाता है। श्रृंखला (1) के लिए, पद (a 1 cosx+b 1 synx) को पहला या मौलिक हार्मोनिक कहा जाता है,

श्रृंखला लिखने का दूसरा तरीका संबंध acosx+bsinx=csin(x+α) का उपयोग करना है

f(x)=a o +c 1 पाप(x+α 1)+c 2 पाप(2x+α 2)+...+c n पाप(nx+α n)

जहां a o एक स्थिरांक है, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 विभिन्न घटकों के आयाम हैं, और a n =arctg a n के बराबर है /बी एन.

श्रृंखला (1) के लिए, पद (a 1 cosx+b 1 synx) या c 1 syn(x+α 1) को पहला या मौलिक हार्मोनिक कहा जाता है, (a 2 cos2x+b 2 syn2x) या c 2 syn(2x) +α 2) को दूसरा हार्मोनिक इत्यादि कहा जाता है।

किसी जटिल सिग्नल को सटीक रूप से प्रस्तुत करने के लिए आमतौर पर अनंत संख्या में शब्दों की आवश्यकता होती है। हालाँकि, कई व्यावहारिक समस्याओं में केवल पहले कुछ शब्दों पर विचार करना ही पर्याप्त है।

अवधि 2π के साथ गैर-आवधिक कार्यों की फूरियर श्रृंखला।

गैर-आवधिक कार्यों का विस्तार।

यदि फ़ंक्शन f(x) गैर-आवधिक है, तो इसका मतलब है कि इसे x के सभी मानों के लिए फूरियर श्रृंखला में विस्तारित नहीं किया जा सकता है। हालाँकि, चौड़ाई 2π की किसी भी सीमा पर एक फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करने वाली फूरियर श्रृंखला को परिभाषित करना संभव है।

एक गैर-आवधिक फ़ंक्शन को देखते हुए, एक निश्चित सीमा के भीतर f(x) के मानों का चयन करके और उन्हें 2π अंतराल पर उस सीमा के बाहर दोहराकर एक नया फ़ंक्शन बनाया जा सकता है। चूँकि नया फ़ंक्शन 2π की अवधि के साथ आवधिक है, इसे x के सभी मानों के लिए फूरियर श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, फलन f(x)=x आवर्त नहीं है। हालाँकि, यदि इसे o से 2π के अंतराल में फूरियर श्रृंखला में विस्तारित करना आवश्यक है, तो इस अंतराल के बाहर 2π की अवधि के साथ एक आवधिक फ़ंक्शन का निर्माण किया जाता है (जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है)।

गैर-आवधिक कार्यों जैसे कि f(x)=x के लिए, फूरियर श्रृंखला का योग किसी दी गई सीमा में सभी बिंदुओं पर f(x) के मान के बराबर है, लेकिन यह बिंदुओं के लिए f(x) के बराबर नहीं है सीमा के बाहर. 2π रेंज में एक गैर-आवधिक फ़ंक्शन की फूरियर श्रृंखला को खोजने के लिए, फूरियर गुणांक के समान सूत्र का उपयोग किया जाता है।

सम और विषम कार्य.

वे कहते हैं कि एक फ़ंक्शन y=f(x) भले ही x के सभी मानों के लिए f(-x)=f(x) हो। सम फलनों के ग्राफ़ हमेशा y-अक्ष के बारे में सममित होते हैं (अर्थात, वे दर्पण छवियाँ हैं)। सम फलनों के दो उदाहरण: y=x2 और y=cosx।

एक फ़ंक्शन y=f(x) को विषम कहा जाता है यदि x के सभी मानों के लिए f(-x)=-f(x) हो। विषम फलनों के ग्राफ सदैव मूल बिन्दु के सापेक्ष सममित होते हैं।

कई फलन न तो सम हैं और न ही विषम।

कोसाइन में फूरियर श्रृंखला का विस्तार।

अवधि 2π के साथ एक सम आवधिक फ़ंक्शन f(x) की फूरियर श्रृंखला में केवल कोसाइन पद शामिल हैं (यानी, कोई साइन पद नहीं) और इसमें एक स्थिर पद शामिल हो सकता है। इस तरह,

फूरियर श्रृंखला के गुणांक कहां हैं,

अवधि 2π के साथ एक विषम आवधिक फ़ंक्शन f(x) की फूरियर श्रृंखला में केवल साइन के साथ पद शामिल हैं (अर्थात, इसमें कोसाइन के साथ पद शामिल नहीं हैं)।

इस तरह,

फूरियर श्रृंखला के गुणांक कहां हैं,

आधे चक्र पर फूरियर श्रृंखला।

यदि किसी फ़ंक्शन को किसी श्रेणी के लिए परिभाषित किया गया है, मान लीजिए 0 से π तक, न कि केवल 0 से 2π तक, तो इसे एक श्रृंखला में केवल साइन में या केवल कोसाइन में विस्तारित किया जा सकता है। परिणामी फूरियर श्रृंखला को अर्ध-चक्र फूरियर श्रृंखला कहा जाता है।

यदि आप 0 से π की सीमा में फ़ंक्शन f(x) के कोसाइन का आधा-चक्र फूरियर विस्तार प्राप्त करना चाहते हैं, तो आपको एक सम आवधिक फ़ंक्शन का निर्माण करने की आवश्यकता है। चित्र में. नीचे फ़ंक्शन f(x)=x है, जो x=0 से x=π के अंतराल पर बनाया गया है। चूँकि सम फलन f(x) अक्ष के प्रति सममित है, हम रेखा AB खींचते हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। नीचे। यदि हम मानते हैं कि विचारित अंतराल के बाहर परिणामी त्रिकोणीय आकार 2π की अवधि के साथ आवधिक है, तो अंतिम ग्राफ इस तरह दिखता है: चित्र में नीचे। चूँकि हमें कोसाइन में फूरियर विस्तार प्राप्त करने की आवश्यकता है, पहले की तरह, हम फूरियर गुणांक ए ओ और एन की गणना करते हैं

यदि आप 0 से π तक की सीमा में फ़ंक्शन f(x) की साइन के संदर्भ में अर्ध-चक्र फूरियर विस्तार प्राप्त करना चाहते हैं, तो आपको एक विषम आवधिक फ़ंक्शन का निर्माण करने की आवश्यकता है। चित्र में. नीचे फ़ंक्शन f(x)=x है, जो x=0 से x=π के अंतराल पर बनाया गया है। चूँकि विषम फलन मूल बिन्दु के प्रति सममित है, हम रेखा CD बनाते हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। यदि हम मानते हैं कि विचारित अंतराल के बाहर परिणामी सॉटूथ सिग्नल 2π की अवधि के साथ आवधिक है, तो अंतिम ग्राफ़ में चित्र में दिखाया गया रूप है। चूँकि हमें पहले की तरह, साइन के संदर्भ में आधे-चक्र के फूरियर विस्तार को प्राप्त करने की आवश्यकता है, हम फूरियर गुणांक की गणना करते हैं। बी

एक मनमाने अंतराल के लिए फूरियर श्रृंखला।

अवधि एल के साथ एक आवधिक फ़ंक्शन का विस्तार।

जैसे-जैसे x L से बढ़ता है, आवर्त फलन f(x) दोहराता है, अर्थात। f(x+L)=f(x). 2π की अवधि के साथ पहले से विचार किए गए कार्यों से एल की अवधि के साथ कार्यों में संक्रमण काफी सरल है, क्योंकि यह चर के परिवर्तन का उपयोग करके किया जा सकता है।

-L/2≤x≤L/2 की श्रेणी में फ़ंक्शन f(x) की फूरियर श्रृंखला खोजने के लिए, हम एक नया वेरिएबल u पेश करते हैं ताकि फ़ंक्शन f(x) की अवधि u के सापेक्ष 2π हो। यदि u=2πx/L, तो u=-π के लिए x=-L/2 और u=π के लिए x=L/2। यह भी मान लीजिए कि f(x)=f(Lu/2π)=F(u). फूरियर श्रृंखला F(u) का रूप है

(एकीकरण की सीमा को L लंबाई के किसी भी अंतराल से बदला जा सकता है, उदाहरण के लिए, 0 से L तक)

अंतराल L≠2π में निर्दिष्ट कार्यों के लिए आधे-चक्र पर फूरियर श्रृंखला।

प्रतिस्थापन u=πх/L के लिए, x=0 से x=L तक का अंतराल u=0 से u=π तक के अंतराल से मेल खाता है। नतीजतन, फ़ंक्शन को केवल कोसाइन में या केवल साइन में एक श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है, अर्थात। आधे चक्र में फूरियर श्रृंखला में।

0 से L तक की सीमा में कोज्या विस्तार का रूप होता है