4 titik indah dari segitiga siku-siku. Poin-poin luar biasa dari segitiga
Distrik Liskinsky, lembaga pendidikan kota, sekolah menengah Anoshkinskaya.
Guru matematika Smorchkova E.B.
Tujuan proyek: belajar menggunakan berbagai literatur tentang geometri, bahan referensi untuk mempelajari topik “Poin-poin luar biasa dari segitiga” secara lebih rinci, memberikan pemahaman yang lebih lengkap tentang topik tersebut, menyiapkan presentasi tentang topik ini untuk demonstrasi selama pidato dan pelajaran.
Geometri dimulai dengansegi tiga. Ini sudah jam dua setengahmilenium baru, segitiga ibarat simbol geometri; namun bukan sekedar simbol, segitiga adalah atom geometri.Dan bahkan saat ini geometri sekolah menjadi menarik danbermakna, menjadi geometri yang sebenarnya hanya dari awalpenampakan segitiga. Konsep sebelumnya adalah titik, garis lurusah, sudut - sepertinya abstraksi yang samar-samar, tapi terusKumpulan teorema dan masalah yang terkait dengannya sungguh membosankan.
Sudah dari langkah pertama perkembangannya, kawan, dan khususnya manusia modern, bertabrakan dengan semua jenis objek geometris - gambar dan benda. Ada kasus ketika seseorang di usia muda, jika bukan masa bayi, menjadi tertarik pada geometri dan bahkan membuat penemuan geometris secara mandiri. Jadi, Blaise Pascal kecil datang dengan "permainan geometri", yang melibatkan "koin" - lingkaran, "topi miring" - segitiga, "meja" - persegi panjang, "tongkat" - segmen. Ayahnya, yang memiliki pengetahuan mendalam tentang matematika, pada awalnya dengan tegas mengecualikan matematika dari jumlah mata pelajaran yang diajarkan putranya, karena Blaise kecil juga demikian. kesehatan yang baik. Namun, setelah mengetahui minat putranya, dia memberitahunya sesuatu tentang geometri misterius, dan ketika dia menangkap Blaise pada saat dia menemukan bahwa sudut-sudut sebuah segitiga berjumlah dua sudut siku-siku, ayah yang tersentuh itu memberikan anaknya yang berusia 12 tahun. anak akses ke buku matematika yang disimpan di perpustakaan rumah.
Segitiga tidak ada habisnya - sifat-sifat barunya terus ditemukan. Untuk membicarakan semua sifat-sifatnya yang diketahui, Anda memerlukan volume yang sebanding dengan volume Ensiklopedia Besar. Tentang beberapa dari mereka, atau lebih tepatnya, tentang beberapa poin yang luar biasa, terkait dengan segitiga, kami ingin memberitahukannya kepada anda.
Mari kita jelaskan terlebih dahulu arti dari ungkapan “ poin yang luar biasa segi tiga." Kita semua tahu bahwa garis bagi sudut dalam segitiga berpotongan di satu titik - pusat lingkaran yang tertulis di segitiga ini. Dengan cara yang sama, median, tinggi segitiga, dan garis bagi yang tegak lurus sisi-sisinya berpotongan di satu titik.
Tentu saja, titik-titik yang dihasilkan dari perpotongan ketiga garis tersebut sungguh luar biasa (bagaimanapun juga, tiga garis biasanya berpotongan di tiga titik berbeda). Titik-titik luar biasa dari jenis lain juga dimungkinkan, misalnya titik-titik di mana beberapa fungsi yang ditentukan untuk semua titik dalam segitiga mencapai titik ekstrem. Di sisi lain, konsep “titik-titik luar biasa dari sebuah segitiga” harus ditafsirkan pada tingkat sastra-emosional daripada pada tingkat formal-matematis. Ada sofisme terkenal yang “membuktikan” bahwa segalanya bilangan bulat"menarik". (Dengan asumsi ada angka-angka yang “tidak menarik”, mari kita ambil angka yang terkecil di antara angka-angka tersebut. Tidak diragukan lagi, angka ini “menarik”: menarik hanya karena merupakan yang terkecil di antara angka-angka yang “tidak menarik”.) Alasan serupa, “membuktikan” bahwa semua titik segitiga adalah “luar biasa” ", dapat dibangun dalam kasus kita. Mari kita lanjutkan untuk mempertimbangkan beberapa contoh.
PUSAT LINGKARAN
Mari kita buktikan bahwa ada sebuah titik yang berjarak sama dari titik sudut segitiga, atau dengan kata lain, itu ada lingkaran yang lewatmelalui ketiga titik sudut segitiga tersebut. Tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari titik-titik A Dan DI DALAM, tegak lurus terhadap segmen tersebut AB, melewati titik tengahnya (garis bagi yang tegak lurus terhadap ruas tersebut AB). Pertimbangkan maksudnya TENTANG, di mana garis-bagi dari garis-garis tegak lurus terhadap segmen-segmen tersebut berpotongan AB Dan Matahari. Dot TENTANG berjarak sama dari titik A dan B, serta dari titik DI DALAM Dan DENGAN. Oleh karena itu jaraknya sama dari titik-titik tersebut A Dan DENGAN, yaitu, ia juga terletak pada garis bagi yang tegak lurus terhadap segmen tersebut AC(Gbr. 50).
Tengah TENTANG lingkaran luar terletak di dalam segitiga hanya jika segitiga tersebut lancip. Jika segitiga tersebut siku-siku, maka titik TENTANG bertepatan dengan titik tengah sisi miring,
dan jika sudut di titik sudut DENGAN tumpul lalu lurus AB memisahkan titik O dan C.
Jika di Δ ABC sudut puncak DENGAN tajam lalu ke samping AB terlihat dari titik O dengan sudut sama dengan 2
Dalam matematika, sering kali benda-benda yang didefinisikan dengan cara yang sangat berbeda ternyata sama. Mari kita tunjukkan ini dengan sebuah contoh.
Misalkan A 1, B 1 dan C 1 adalah titik tengah sisi-sisinya VS, SA Dan AB. Dapat dibuktikan bahwa lingkaran-lingkaran tersebut dibatasi di sekitar Δ AB 1 C 1 , Δ A 1 SM 1 dan Δ A 1 B 1 C , berpotongan di satu titik, dan titik tersebut merupakan pusat lingkaran luar Δ ABC(Gbr. 51). Jadi, kita memiliki dua titik yang tampaknya sangat berbeda: titik potong garis bagi yang tegak lurus dengan sisi Δ ABC dan titik potong lingkaran yang dibatasi Δ AB 1 DENGAN 1 , Δ AiBCi dan Δ AiBiC . Namun ternyata entah kenapa kedua poin ini bertepatan!
Namun, marilah kita melaksanakan bukti yang dijanjikan. Cukuplah untuk membuktikan bahwa pusat O dari lingkaran luar adalah Δ ABC terletak pada lingkaran yang dibatasi di sekitar Δ AB 1 DENGAN 1 , Δ A iBCi dan Δ A 1 B 1 C . Sudut OB 1 A Dan sistem operasi 1 A garis lurus, jadi titik DI DALAM 1 Dan DENGAN 1 berbaring di atas lingkaran dengan diameter OA, yang berarti titik O terletak pada lingkaran yang dibatasi sekitar Δ AB 1 C 1 . Untuk Δ AiBCi dan Δ A 1 DI DALAM 1 DENGAN buktinya serupa.
Pernyataan yang terbukti merupakan kasus khusus dari teorema yang sangat menarik: jika di sampingAB, SMDanSAsegi tigaABCpoin sewenang-wenang diambilDENGAN 1 , A 1 DanDI DALAM 1 , kemudian dijelaskanlingkaran ΔAB 1 DENGAN 1 , ΔA 1 Matahari 1 dan ΔA 1 DI DALAM 1 DENGAN berpotongan menjadi satutitik.
Mari kita beri komentar terakhir mengenai pusat lingkaran luar. Langsung A 1 DI DALAM 1 Dan AB oleh karena itu adalah paralel sistem operasi 1 tegak lurus A 1 DI DALAM 1 Juga OB 1 tegak lurus A 1 C 1 Dan OA 1 tegak lurus DI DALAM 1 DENGAN 1 , yaitu TENTANG- titik potong ketinggian segitiga A 1 B 1 DENGAN 1 ... Tunggu tunggu! Kita belum membuktikan bahwa ketinggian suatu segitiga berpotongan di satu titik. Apakah tidak ada cara untuk membuktikannya? Kami akan kembali ke percakapan ini nanti.
PUSAT LINGKARAN INDIKA
Mari kita buktikan bahwa garis bagi sudut Δ ABC berpotongan di satu titik. Perhatikan titik O pada perpotongan garis bagi sudut A dan B. Setiap titik garis bagi sudut A berjarak sama dari garis lurus AB Dan AC, dan setiap titik pada garis bagi sudut B berjarak sama dari garis lurus AB Dan matahari, oleh karena itu titik O berjarak sama dari garis AC Dan matahari, yaitu terletak pada garis bagi sudut C. Titik O berjarak sama terhadap garis lurus AB, SM Dan SA, Artinya ada lingkaran yang berpusat TENTANG, bersinggungan dengan garis-garis tersebut, dan titik singgungnya terletak pada sisi-sisinya, dan bukan pada perpanjangannya. Faktanya, sudut pada titik sudut A dan BΔ AOB tajam, maka proyeksi titik O pada garis lurus AB terletak di dalam segmen tersebut AB. Untuk pesta Matahari Dan SA buktinya serupa.
Membiarkan A 1 , DI DALAM 1 Dan DENGAN 1 - titik kontak lingkaran bertulisan segitiga dengan sisi-sisinya VS, SA Dan AB(Gbr. 52). Kemudian AB 1 =AC 1 , SM 1 = B.A. 1 Dan SA 1 = SV 1 . Selain itu, sudutnya B 1 A 1 C 1 sama dengan sudut pada alas sama kaki Δ AB 1 DENGAN 1 (dengan teorema sudut antara garis singgung dan tali busur), dst. Untuk sudut B 1 C 1 A 1 dan sudut A 1 B 1 C 1 buktinya serupa.
Sudut-sudut pada alas segitiga sama kaki adalah lancip, oleh karena itu Δ A 1 B 1 C 1 lancip untuk sembarang Δ ABC.
Jika X = AB 1 , kamu = SM 1 Dan z = C.A. 1 , Itu x+y = c,kamu + z = A Dan z + X = B , Di mana A,B Dan Dengan- panjang sisi Δ ABC. Menjumlahkan dua persamaan pertama dan mengurangkan persamaan ketiga, kita peroleh kamu= (a+c-c)/2. Juga x=(b+c-a)/2 Dan z =(a+b-c)/2. Perlu dicatat bahwa untuk segi empat, penalaran seperti itu tidak akan memberikan hasil yang diinginkan, karena sistem persamaan yang sesuai
entah tidak memiliki solusi sama sekali, atau memiliki solusi yang jumlahnya tak terhingga. Faktanya, jika x+y=sebuah,kamu + z = B , z + T = C Dan T + X = D , Itu kamu=a-X,z = B -kamu = B - a+x Dan T = C - B + A -X, dan dari kesetaraan T + X = D mengikuti itu A + C = B + D . Oleh karena itu jika a+c tidak sama dengan b+ D , maka sistem tidak memiliki solusi, dan jika A + C = B + D , Itu X dapat dipilih secara sewenang-wenang, dan kamu,z , T diungkapkan melalui X.
Mari kita kembali lagi ke keunikan penyelesaian sistem persamaan segitiga. Dengan menggunakannya, kita dapat membuktikan pernyataan berikut: misalkan lingkaran dengan pusat A, B, dan C bersentuhan secara eksternal di titik A 1, DI DALAM 1 Dan DENGAN 1 (Gbr. 53). Kemudian lingkaran luar Δ A 1 B 1 C 1 tertulis di Δ ABC. Faktanya, jika x, kamu Dan z - jari-jari lingkaran; A , B Dan Dengan- panjang sisi Δ ABC, Itu x+y = c,kamu + z = A , kamu + X = B .
Mari kita buktikan tiga sifat pusat TENTANG lingkaran tertulis Δ ABC .
1. Jika merupakan kelanjutan dari garis bagi sudut DENGAN memotong lingkaran luar Δ ABC pada intinya M, Itu MA=MV=MO(Gbr. 54).
Mari kita buktikan, misalnya, bahwa dalam Δ AMO sudut-sudut pada titik sudut A dan O adalah sama besar.Faktanya,<OAM = < OAB + < BAM Dan < AOM =< O.A.C. +<А BERSAMA , < OAB=<ОАС Dan< KAMU = KAMU<ВСМ = < ACO . Karena itu, AM=MO. Juga VM=MO.
2. Jika AB- alas sama kaki Δ ABC, maka lingkaran tersebut bersinggungan dengan sisinya<ACB di poin A dan B, melewati titik O (Gbr. 55).
Misalkan O" adalah titik tengah busur (yang lebih kecil). AB lingkaran yang dimaksud. Berdasarkan sifat sudut antara garis singgung dan tali busur<CAO "= <О"ВА= <О"АВ, yaitu titik O" terletak pada garis bagi < A . Demikian pula dapat ditunjukkan bahwa ia terletak pada garis bagi < B , yaitu HAI" = HAI.
3. Jika sebuah garis yang melalui titik O sejajar dengan sisinya AB, melintasi sisi Matahari Dan SA di poin A 1 Dan DI DALAM 1 , Itu A 1 B 1 = A 1 B + AB 1 .
Mari kita buktikan bahwa Δ AB 1 HAI sama kaki. Memang, < B 1 O.A. = < OAB = < B 1 A.O. (Gbr. 56). Itu sebabnya AB 1 = B 1 0. Juga A 1 B = A 1 HAI , yang berarti A 1 B 1 = A 1 HAI+O.B. 1 = A 1 B + AB 1 .
Biarkan masuk Δ ABC sudut titik A, B dan C sama dengan α, β, γ . Mari kita hitung sudut di mana sisinya AB terlihat dari titik O. Sejak sudut Δ JSC B pada titik A dan B sama dengan α/2 dan β/2
< AOB = 180°- (α+β)/2=180°- (180°- γ)/2=90° +γ/2. Ini
Rumusnya dapat berguna dalam memecahkan banyak masalah.
titik tengah sisi Δ ABC; membiarkan H
1
dan H - pusat ortosennya (Gbr. 65). Titik H 1 berimpit dengan pusat TENTANG lingkaran Δ ABC. Mari kita buktikan bahwa Δ 
|
|
|
|
| bersudut lancip | tumpul | persegi panjang |
Konsekuensi
sin γ = c/2R = c/sin γ =2R.
Hal serupa juga dibuktikan A/ dosa α =2R, b/ dosa β =2R.
Dengan demikian:
Sifat ini disebut teorema sinus.
Dalam matematika, sering kali benda-benda yang didefinisikan secara berbeda ternyata sama.
Contoh. Misalkan A1, B1, C1 berturut-turut adalah titik tengah sisi ∆ABC BC, AC, AB. Tunjukkan bahwa lingkaran yang dibatasi di sekitar segitiga AB1C1, A1B1C, A1BC1 berpotongan di satu titik. Selain itu, titik ini merupakan pusat lingkaran yang dibatasi di sekitar ABC.
|
| Mari kita perhatikan segmen AO dan buatlah sebuah lingkaran pada segmen ini, seperti pada diameternya. Titik C1 dan B1 jatuh pada lingkaran ini, karena adalah titik sudut siku-siku berdasarkan AO. Titik A, C1, B1 terletak pada sebuah lingkaran = lingkaran ini dibatasi di sekitar ∆AB1C1. Mari kita menggambar segmen BO dengan cara yang sama dan membuat lingkaran pada segmen ini, seperti pada diameter. Ini akan menjadi lingkaran yang dibatasi sekitar ∆ВС1 А1. Mari kita menggambar segmen CO dan membuat lingkaran pada segmen ini, seperti pada diameter. Ini akan menjadi lingkaran yang dibatasi oleh sekitar Ketiga lingkaran ini melalui titik O - pusat lingkaran yang dibatasi sekitar ABC. |
Generalisasi. Jika pada sisi ABC AC, BC, AC kita ambil titik sembarang A 1, B 1, C 1, maka lingkaran-lingkaran yang dibatasi di sekitar segitiga AB 1 C 1, A 1 B 1 C, A 1 BC 1 berpotongan di satu titik .
1.2 Titik potong garis bagi segitiga
Hal sebaliknya juga berlaku: jika suatu titik berjarak sama dari sisi-sisi suatu sudut, maka titik tersebut terletak pada garis baginya.
Berguna untuk menandai separuh salah satu sudut dengan huruf yang sama:
OAF=OAD= α, OBD=OBE= β, OCE=OCF= γ.
Misalkan titik O adalah titik potong garis bagi sudut A dan B. Berdasarkan sifat titik yang terletak pada garis bagi sudut A, OF=OD=r. Berdasarkan sifat titik yang terletak pada garis bagi sudut B, OE=OD=r. Jadi, OE=OD= OF=r= titik O berjarak sama dari semua sisi segitiga ABC, yaitu O adalah pusat lingkaran yang tertulis. (Titik O adalah satu-satunya).
Kesimpulan: jadi, jika titik O adalah titik potong garis bagi sudut-sudut suatu segitiga, maka OE=OD= OF=r, yaitu. titik O berjarak sama dari semua sisi segitiga ABC, yang berarti titik tersebut merupakan pusat lingkaran. Titik potong O dari garis-bagi sudut suatu segitiga merupakan titik luar biasa dari segitiga tersebut.
Konsekuensi:
Dari persamaan segitiga AOF dan AOD (Gambar 1) sepanjang sisi miring dan sudut lancip, maka A.F. = IKLAN . Dari persamaan segitiga OBD dan OBE berikut ini BD = MENJADI , Dari persamaan segitiga COE dan COF maka DENGAN F = M.E. . Jadi, ruas garis singgung yang ditarik lingkaran dari satu titik adalah sama besar.
AF=IKLAN= z, BD= MENJADI= kamu, CF=CE= X
a=x+y (1), B= x+z (2), c= x+y (3).
+ (2) – (3), maka didapat: sebuah+B-с=X+ kamu+ X+ z- z- kamu = sebuah+B-с= 2X =
x=( B + C - a)/2
Demikian pula: (1) + (3) – (2), maka diperoleh: kamu = (a + c –B)/2.
Demikian pula: (2) + (3) – (1), maka diperoleh: z= (sebuah +B - C)/2.
Garis bagi sudut suatu segitiga membagi sisi yang berhadapan menjadi beberapa bagian yang sebanding dengan sisi-sisi yang berdekatan.
1.3 Titik potong median segitiga (pusat massa)
Bukti 1. Misalkan A 1 , B 1 dan C 1 masing-masing adalah titik tengah sisi BC, CA dan AB pada segitiga ABC (Gbr. 4).
Misalkan G adalah titik potong dua median AA 1 dan BB 1. Mari kita buktikan dulu AG:GA 1 = BG:GB 1 = 2.
Untuk melakukan ini, ambil titik tengah P dan Q dari segmen AG dan BG. Berdasarkan teorema garis tengah segitiga, ruas B 1 A 1 dan PQ sama dengan setengah sisi AB dan sejajar dengannya. Oleh karena itu, segi empat A 1 B 1 merupakan jajar genjang PQ. Kemudian titik G perpotongan diagonal PA 1 dan QB 1 membagi masing-masing menjadi dua. Jadi titik P dan G membagi median AA 1 menjadi tiga bagian yang sama besar, dan titik Q dan G juga membagi median BB 1 menjadi tiga bagian yang sama besar. Jadi, titik G tempat perpotongan dua median suatu segitiga membagi masing-masing median tersebut dengan perbandingan 2:1, dihitung dari titik sudutnya.
Titik potong median suatu segitiga disebut pusat massa atau Pusat gravitasi segi tiga. Nama ini disebabkan oleh fakta bahwa pada titik inilah pusat gravitasi pelat segitiga homogen berada.
1.4 Titik potong ketinggian segitiga (orthocenter)
1,5 poin Torricelli
Lintasannya diberikan oleh segitiga ABC. Titik Torricelli segitiga ini adalah titik O yang sisi-sisi segitiga ini terlihat membentuk sudut 120°, yaitu. sudut AOB, AOC dan BOC sama besar 120°.
Mari kita buktikan bahwa jika semua sudut suatu segitiga kurang dari 120°, maka titik Torricelli ada.
Pada sisi AB dari segitiga ABC kita membuat segitiga sama sisi ABC" (Gbr. 6, a), dan menggambarkan sebuah lingkaran di sekelilingnya. Ruas AB membentuk busur lingkaran ini berukuran 120°. Akibatnya, titik-titik busur ini selain A dan B mempunyai sifat bahwa ruas AB terlihat darinya pada sudut 120°. Demikian pula, pada sisi AC dari segitiga ABC kita akan membuat segitiga sama sisi ACB" (Gbr. 6, a), dan gambarkan sebuah lingkaran di sekelilingnya dia. Titik-titik pada busur yang bersesuaian, selain A dan C, mempunyai sifat bahwa segmen AC terlihat dari titik-titik tersebut dengan sudut 120°. Jika sudut segitiga kurang dari 120°, busur-busur ini berpotongan di suatu titik dalam O. Dalam kasus ini, ∟AOB = 120°, ∟AOC = 120°. Oleh karena itu, ∟BOC = 120°. Oleh karena itu, titik O adalah yang diinginkan.
Jika salah satu sudut suatu segitiga, misalnya ABC, sama dengan 120°, maka titik potong busur lingkaran adalah titik B (Gbr. 6, b). Dalam hal ini, titik Torricelli tidak ada, karena tidak mungkin membicarakan sudut di mana sisi AB dan BC terlihat dari titik ini.
Jika salah satu sudut suatu segitiga, misalnya ABC, lebih besar dari 120° (Gbr. 6, c), busur lingkaran yang bersesuaian tidak berpotongan, dan titik Torricelli juga tidak ada.
Titik Torricelli dikaitkan dengan masalah Fermat (yang akan kita bahas di Bab II) dalam menemukan titik yang jumlah jaraknya ke tiga titik tertentu adalah yang terkecil.
1.6 Lingkaran sembilan titik
Memang, A 3 B 2 adalah garis tengah segitiga AHC dan oleh karena itu, A 3 B 2 || CC 1. B 2 A 2 adalah garis tengah segitiga ABC dan oleh karena itu B 2 A 2 || AB. Karena CC 1 ┴ AB, maka A 3 B 2 A 2 = 90°. Demikian pula A 3 C 2 A 2 = 90°. Jadi, titik A 2, B 2, C 2, A 3 terletak pada lingkaran yang sama dengan diameter A 2 A 3. Karena AA 1 ┴BC, maka titik A 1 juga termasuk dalam lingkaran ini. Jadi, titik A 1 dan A 3 terletak pada lingkaran luar segitiga A2B2C2. Demikian pula ditunjukkan bahwa titik B 1 dan B 3, C 1 dan C 3 terletak pada lingkaran ini. Artinya kesembilan titik tersebut terletak pada lingkaran yang sama.
Dalam hal ini, pusat lingkaran sembilan titik terletak di tengah-tengah antara pusat perpotongan ketinggian dan pusat lingkaran yang dibatasi. Memang benar, misalkan pada segitiga ABC (Gbr. 9), titik O adalah pusat lingkaran yang dibatasi; G – titik potong median. H adalah titik perpotongan ketinggian. Anda perlu membuktikan bahwa titik O, G, H terletak pada garis yang sama dan pusat lingkaran sembilan titik N membagi ruas OH menjadi dua.
Pertimbangkan homothety dengan pusat di titik G dan koefisien -0,5. Titik sudut A, B, C segitiga ABC berturut-turut menuju titik A 2, B 2, C 2. Ketinggian segitiga ABC akan menjadi tinggi segitiga A 2 B 2 C 2 sehingga titik H akan menuju titik O. Oleh karena itu, titik O, G, H terletak pada garis lurus yang sama.
Mari kita tunjukkan bahwa titik tengah N ruas OH adalah pusat lingkaran sembilan titik. Faktanya, C 1 C 2 adalah tali busur lingkaran yang terdiri dari sembilan titik. Oleh karena itu, garis bagi yang tegak lurus tali busur ini adalah diameter dan memotong OH di titik tengah N. Begitu pula dengan garis bagi yang tegak lurus tali busur B 1 B 2 adalah diameter dan memotong OH di titik yang sama N. Jadi N adalah pusat tali busur. lingkaran sembilan titik. Q.E.D.
Memang benar, misalkan P adalah suatu titik sembarang yang terletak pada lingkaran luar segitiga ABC; D, E, F – alas garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik P ke sisi-sisi segitiga (Gbr. 10). Mari kita tunjukkan bahwa titik D, E, F terletak pada garis yang sama.
Perhatikan bahwa jika AP melalui pusat lingkaran, maka titik D dan E berimpit dengan titik B dan C. Jika tidak, salah satu sudut ABP atau ACP adalah lancip dan yang lainnya tumpul. Oleh karena itu, titik D dan E terletak pada sisi yang berlawanan dari garis BC dan untuk membuktikan bahwa titik D, E dan F terletak pada garis yang sama, cukup diperiksa bahwa ∟CEF =∟BED.
Mari kita gambarkan sebuah lingkaran dengan diameter CP. Karena ∟CFP = ∟CEP = 90°, maka titik E dan F terletak pada lingkaran tersebut. Oleh karena itu, ∟CEF =∟CPF sebagai sudut-sudut tertulis yang dibatasi oleh satu busur lingkaran. Selanjutnya, ∟CPF = 90°- ∟PCF = 90°- ∟DBP = ∟BPD. Mari kita gambarkan sebuah lingkaran dengan diameter BP. Karena ∟BEP = ∟BDP = 90°, maka titik F dan D terletak pada lingkaran tersebut. Oleh karena itu ∟BPD =∟BED. Oleh karena itu, kita akhirnya mendapatkan ∟CEF =∟BED. Artinya titik D, E, F terletak pada garis yang sama.
BabIIPenyelesaian masalah
Mari kita mulai dengan soal yang berkaitan dengan letak garis bagi, median, dan tinggi suatu segitiga. Memecahkannya, di satu sisi, memungkinkan Anda mengingat materi yang telah dibahas sebelumnya, dan di sisi lain, mengembangkan konsep geometris yang diperlukan dan mempersiapkan Anda untuk memecahkan masalah yang lebih kompleks.
Tugas 1. Pada sudut A dan B segitiga ABC (∟A
Larutan. Misalkan CD adalah tingginya dan CE adalah garis bagi
∟BCD = 90° - ∟B, ∟BCE = (180° - ∟A - ∟B):2.
Oleh karena itu, ∟DCE =.
Larutan. Misalkan O adalah titik potong garis-bagi segitiga ABC (Gbr. 1). Mari kita manfaatkan fakta bahwa sudut yang lebih besar terletak berhadapan dengan sisi segitiga yang lebih besar. Jika AB BC maka ∟A
Larutan. Misalkan O adalah titik potong tinggi segitiga ABC (Gbr. 2). Jika AC ∟B. Sebuah lingkaran dengan diameter BC akan melalui titik F dan G. Mengingat tali busur yang lebih kecil adalah tali busur yang terletak pada sudut yang lebih kecil, maka diperoleh CG
Bukti. Pada sisi AC dan BC segitiga ABC, seperti pada diameternya, kita membuat lingkaran. Titik A 1, B 1, C 1 termasuk dalam lingkaran berikut. Oleh karena itu, ∟B 1 C 1 C = ∟B 1 BC, sebagai sudut-sudut yang bertumpu pada busur lingkaran yang sama. ∟B 1 BC = ∟CAA 1 sebagai sudut yang sisi-sisinya saling tegak lurus. ∟CAA 1 = ∟CC 1 A 1 sebagai sudut-sudut yang berhadapan dengan busur lingkaran yang sama. Oleh karena itu, ∟B 1 C 1 C = ∟CC 1 A 1, yaitu. CC 1 adalah garis bagi sudut B 1 C 1 A 1 . Terlihat pula bahwa AA 1 dan BB 1 merupakan garis bagi sudut B 1 A 1 C 1 dan A 1 B 1 C 1 .
Segitiga yang dianggap, yang titik sudutnya merupakan alas dari ketinggian segitiga lancip tertentu, memberikan jawaban atas salah satu masalah ekstrem klasik.
Larutan. Misalkan ABC adalah segitiga lancip. Di sisi-sisinya, Anda perlu mencari titik A 1 , B 1 , C 1 yang keliling segitiga A 1 B 1 C 1 adalah yang terkecil (Gbr. 4).
Mari kita tentukan dulu titik C 1 dan cari titik A 1 dan B 1 yang keliling segitiga A 1 B 1 C 1 terkecil (untuk posisi titik C 1 tertentu).
Untuk melakukannya, perhatikan titik D dan E simetris terhadap titik C 1 relatif terhadap garis lurus AC dan BC. Maka B 1 C 1 = B 1 D, A 1 C 1 = A 1 E dan jadi keliling segitiga A 1 B 1 C 1 sama dengan panjang garis putus-putus DB 1 A 1 E. Itu jelas panjang garis putus-putus ini paling kecil jika titik B 1, A 1 terletak pada garis DE.
Sekarang kita akan mengubah posisi titik C 1 dan mencari posisi yang keliling segitiga bersesuaian A 1 B 1 C 1 adalah yang terkecil.
Karena titik D simetris terhadap C 1 terhadap AC, maka CD = CC 1 dan ACD = ACC 1. Begitu pula CE=CC 1 dan BCE=BCC 1. Oleh karena itu, segitiga CDE adalah sama kaki. Sisi lateralnya sama dengan CC 1. Basis DE sama dengan keliling P segitiga A 1 B 1 C 1. Sudut DCE sama dengan dua kali lipat sudut ACB dari segitiga ABC dan oleh karena itu, tidak bergantung pada posisi titik C 1.
Pada segitiga sama kaki yang sudut titik sudutnya tertentu, semakin kecil sisinya, semakin kecil pula alasnya. Oleh karena itu, nilai keliling terkecil P dicapai dalam kasus nilai CC 1 terendah. Nilai ini diambil jika CC 1 adalah tinggi segitiga ABC. Jadi, titik C 1 yang diperlukan pada sisi AB adalah alas ketinggian yang ditarik dari titik sudut C.
Perhatikan bahwa pertama-tama kita tidak dapat menetapkan titik C 1, tetapi titik A 1 atau titik B 1 dan akan diperoleh bahwa A 1 dan B 1 adalah alas dari ketinggian segitiga ABC yang bersesuaian.
Oleh karena itu, segitiga wajib dengan keliling terkecil pada suatu segitiga lancip ABC adalah segitiga yang titik-titik sudutnya merupakan alas dari tinggi segitiga ABC.
Larutan. Mari kita buktikan bahwa jika sudut segitiga kurang dari 120°, maka titik yang diperlukan dalam soal Steiner adalah titik Torricelli.
Mari kita putar segitiga ABC mengelilingi titik sudut C dengan sudut 60°, Gambar. 7. Didapatkan segitiga A'B'C. Mari kita ambil titik sembarang O pada segitiga ABC. Bila berbelok akan menuju ke suatu titik O'. Segitiga OO'C sama sisi karena CO = CO' dan ∟OCO' = 60°, maka OC = OO'. Jadi, jumlah panjang OA + OB + OC sama dengan panjang garis putus-putus AO + OO’ + O’B’. Jelas bahwa panjang garis putus-putus ini bernilai terkecil jika titik A, O, O’, B’ terletak pada satu garis lurus. Jika O adalah titik Torricelli, maka berlaku demikian. Memang, ∟AOC = 120°, ∟COO" = 60°. Jadi, titik A, O, O' terletak pada garis lurus yang sama. Demikian pula, ∟CO'O = 60°, ∟CO"B" = 120°. Jadi titik O, O', B' terletak pada garis yang sama, artinya semua titik A, O, O', B' terletak pada garis yang sama.
Kesimpulan
Geometri segitiga, bersama dengan bagian-bagian matematika dasar lainnya, memungkinkan seseorang untuk merasakan keindahan matematika secara umum dan bagi seseorang dapat menjadi awal dari jalan menuju “ilmu pengetahuan besar”.
Geometri adalah ilmu yang luar biasa. Sejarahnya sudah ada sejak lebih dari seribu tahun yang lalu, namun setiap pertemuan dengannya dapat memberi dan memperkaya (baik siswa maupun guru) dengan kebaruan yang menarik dari sebuah penemuan kecil, kegembiraan kreativitas yang luar biasa. Memang benar, masalah apa pun dalam geometri dasar pada dasarnya adalah sebuah teorema, dan solusinya adalah kemenangan matematis yang sederhana (dan terkadang sangat besar).
Secara historis, geometri dimulai dengan sebuah segitiga, sehingga selama dua setengah milenium segitiga telah menjadi simbol geometri. Geometri sekolah hanya dapat menjadi menarik dan bermakna, baru kemudian dapat menjadi geometri yang tepat bila mencakup kajian segitiga yang mendalam dan komprehensif. Anehnya, segitiga, meskipun tampak sederhana, adalah objek studi yang tidak ada habisnya - tidak seorang pun, bahkan di zaman kita, yang berani mengatakan bahwa mereka telah mempelajari dan mengetahui semua sifat-sifat segitiga.
Dalam karya ini, sifat-sifat garis bagi, median, garis-bagi tegak lurus dan tinggi suatu segitiga dipertimbangkan, jumlah titik dan garis luar biasa dari segitiga diperluas, dan teorema dirumuskan dan dibuktikan. Sejumlah permasalahan penerapan teorema ini telah terpecahkan.
Materi yang disampaikan dapat digunakan baik pada pembelajaran dasar maupun pada kelas pilihan, serta untuk persiapan ujian terpusat dan olimpiade matematika.
Bibliografi
Berger M. Geometri dalam dua jilid - M: Mir, 1984.
Kiselyov A.P. Geometri dasar. – M.: Pendidikan, 1980.
Coxeter G.S., Greitzer S.L. Pertemuan baru dengan geometri. – M.: Nauka, 1978.
Latotin L.A., Chebotaravsky B.D. Matematika 9. – Minsk: Narodnaya Asveta, 2014.
Prasolov V.V. Masalah dalam planimetri. – M.: Nauka, 1986. – Bagian 1.
Scanavi M.I.Matematika. Masalah dengan solusi. –Rostov-on-Don: Phoenix, 1998.
Sharygin I.F. Soal Geometri: Planimetri. – M.: Nauka, 1986.
Kementerian Pendidikan Umum dan Profesi Wilayah Sverdlovsk.
Institusi Pendidikan Kota Yekaterinburg.
Institusi pendidikan – MOUSOSH No. 212 “Liceum Budaya Ekaterinburg”
Bidang pendidikan – matematika.
Subyeknya adalah geometri.
Poin-poin luar biasa dari segitiga
Referensi: siswa kelas 8
Selitsky Dmitry Konstantinovich.
Penasihat ilmiah:
Rabkanov Sergey Petrovich.
Yekaterinburg, 2001
Perkenalan 3
Bagian deskriptif:
Pusat Orto 4
Pusat 5
Pusat gravitasi 7
Pusat keliling 8
Euler baris 9
Bagian praktis:
Segitiga ortosentris 10
Kesimpulan 11
Referensi 11
Perkenalan.
Geometri dimulai dengan segitiga. Selama dua setengah milenium, segitiga telah menjadi simbol geometri. Properti barunya terus ditemukan. Membicarakan semua sifat segitiga yang diketahui akan memakan banyak waktu. Saya tertarik pada apa yang disebut “Titik-titik segitiga yang luar biasa”. Contoh titik tersebut adalah titik potong garis bagi. Hal yang luar biasa adalah jika Anda mengambil tiga titik sembarang dalam ruang, membuat segitiga dari titik tersebut dan menggambar garis bagi, maka titik tersebut (garis bagi) akan berpotongan di satu titik! Tampaknya hal ini tidak mungkin, karena kami mengambil poin sembarangan, tetapi aturan ini selalu berlaku. “Poin luar biasa” lainnya memiliki sifat serupa.
Setelah membaca literatur tentang topik ini, saya menetapkan sendiri definisi dan sifat dari lima titik indah dan sebuah segitiga. Namun pekerjaan saya tidak berakhir di situ; saya ingin mengeksplorasi sendiri poin-poin ini.
Itu sebabnya target Karya ini merupakan studi tentang beberapa sifat luar biasa dari sebuah segitiga, dan studi tentang segitiga ortosentris. Dalam proses mencapai tujuan tersebut, tahapan-tahapan berikut dapat dibedakan:
Pemilihan literatur, dengan bantuan seorang guru
Mempelajari sifat-sifat dasar titik dan garis luar biasa pada suatu segitiga
Generalisasi properti ini
Menyusun dan menyelesaikan masalah yang melibatkan segitiga ortosentris
Saya mempresentasikan hasil yang diperoleh dalam penelitian ini. Saya membuat semua gambar menggunakan grafik komputer (editor grafis vektor CorelDRAW).
Pusat Orto. (Titik perpotongan ketinggian)
Mari kita buktikan bahwa ketinggiannya berpotongan di satu titik. Mari membawa Anda melewati puncaknya A, DI DALAM Dan DENGAN segi tiga ABC garis lurus yang sejajar dengan sisi yang berhadapan. Garis-garis ini membentuk segitiga A 1 DI DALAM 1 DENGAN 1 . tinggi segitiga ABC adalah garis bagi yang tegak lurus terhadap sisi-sisi segitiga A 1 DI DALAM 1 DENGAN 1 . oleh karena itu, mereka berpotongan di satu titik - pusat lingkaran luar segitiga A 1 DI DALAM 1 DENGAN 1 . Titik potong ketinggian suatu segitiga disebut orthocenter ( H).
Icenter adalah pusat lingkaran yang tertulis.
(Titik perpotongan garis bagi)
Mari kita buktikan bahwa garis bagi sudut-sudut suatu segitiga ABC berpotongan di satu titik. Pertimbangkan maksudnya TENTANG perpotongan garis bagi sudut A Dan DI DALAM. setiap titik pada garis bagi sudut A mempunyai jarak yang sama terhadap garis AB Dan AC, dan sembarang titik pada garis bagi sudut DI DALAM berjarak sama dari garis lurus AB Dan Matahari, jadi intinya TENTANG berjarak sama dari garis lurus AC Dan Matahari, yaitu. itu terletak pada garis bagi sudut DENGAN. dot TENTANG berjarak sama dari garis lurus AB, Matahari Dan SA, artinya ada lingkaran yang berpusat TENTANG, bersinggungan dengan garis-garis ini, dan titik singgungnya terletak pada sisi-sisinya, dan bukan pada perpanjangannya. Faktanya, sudut pada titik sudut A Dan DI DALAM segi tiga AOB tajam karena itu titik proyeksi TENTANG secara langsung AB terletak di dalam segmen tersebut AB.
Untuk pesta Matahari Dan SA buktinya serupa.
Icenter memiliki tiga properti:
Jika kelanjutan dari garis bagi sudut DENGAN memotong lingkaran luar suatu segitiga ABC pada intinya M, Itu MA=MV=MO.
Jika AB- alas segitiga sama kaki ABC, maka lingkaran bersinggungan dengan sisi-sisi sudut tersebut DIA di poin A Dan DI DALAM, melewati titik tersebut TENTANG.
Jika suatu garis melalui suatu titik TENTANG sejajar dengan sisinya AB, melintasi sisi Matahari Dan SA di poin A 1 Dan DI DALAM 1 , Itu A 1 DI DALAM 1 =A 1 DI DALAM+AB 1 .
Pusat gravitasi. (Titik perpotongan median)
Mari kita buktikan median suatu segitiga berpotongan di satu titik. Untuk ini, pertimbangkan intinya M, di mana median berpotongan A A 1 Dan BB 1 . mari kita menggambar sebuah segitiga BB 1 DENGAN garis tengah A 1 A 2 , paralel BB 1 . Kemudian A 1 M: SAYA=DI DALAM 1 A 2 :AB 1 =DI DALAM 1 A 2 :DI DALAM 1 DENGAN=VA 1 :MATAHARI=1:2, yaitu titik potong median BB 1 Dan A A 1 membagi median A A 1 dengan perbandingan 1:2. Begitu pula dengan titik potong median SS 1 Dan A A 1 membagi median A A 1 dengan perbandingan 1:2. Oleh karena itu, titik potong median A A 1 Dan BB 1 bertepatan dengan titik potong median A A 1 Dan SS 1 .
Jika titik potong median suatu segitiga dihubungkan dengan titik sudutnya, maka segitiga-segitiga tersebut terbagi menjadi tiga segitiga yang luasnya sama. Memang, itu sudah cukup untuk membuktikan jika R– titik mana pun di median A A 1 dalam sebuah segitiga ABC, lalu luas segitiga AVR Dan ACP adalah sama. Bagaimanapun, median A A 1 Dan RA 1 dalam segitiga ABC Dan RVS potong menjadi segitiga dengan luas yang sama.
Pernyataan sebaliknya juga benar: jika untuk beberapa hal R, berbaring di dalam segitiga ABC, luas segitiga AVR, DI HARI RABU Dan SAR kalau begitu, mereka setara R– titik potong median.
Titik perpotongan mempunyai satu sifat lagi: jika Anda memotong segitiga dari bahan apa pun, menggambar median di atasnya, memasang batang di titik perpotongan median dan memasang suspensi pada tripod, maka model (segitiga) akan berada di keadaan setimbang, oleh karena itu titik potongnya tidak lain adalah pusat gravitasi segitiga.
Pusat lingkaran luar.
Mari kita buktikan bahwa ada sebuah titik yang berjarak sama dari titik-titik sudut segitiga, atau dengan kata lain ada lingkaran yang melalui ketiga titik sudut segitiga tersebut. Tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari titik-titik A Dan DI DALAM, tegak lurus terhadap segmen tersebut AB, melewati bagian tengahnya (garis bagi yang tegak lurus terhadap ruas tersebut AB). Pertimbangkan maksudnya TENTANG, di mana garis bagi yang tegak lurus terhadap segmen berpotongan AB Dan Matahari. Dot TENTANG berjarak sama dari titik-titik A Dan DI DALAM, serta dari poin DI DALAM Dan DENGAN. oleh karena itu jaraknya sama dari titik-titik tersebut A Dan DENGAN, yaitu. itu juga terletak pada garis bagi yang tegak lurus terhadap segmen tersebut AC.
Tengah TENTANG lingkaran luar terletak di dalam segitiga hanya jika segitiga tersebut lancip. Jika segitiga tersebut siku-siku, maka titik TENTANG bertepatan dengan titik tengah sisi miring, dan jika sudut di titik sudut DENGAN tumpul lalu lurus AB memisahkan poin-poinnya TENTANG Dan DENGAN.
Dalam matematika, sering kali benda-benda yang didefinisikan dengan cara yang sangat berbeda ternyata sama. Mari kita tunjukkan ini dengan sebuah contoh.
Membiarkan A 1 , DI DALAM 1 ,DENGAN 1 – titik tengah sisi-sisinya Matahari,SA dan AB. Dapat dibuktikan bahwa lingkaran dibatasi oleh segitiga AB 1 DENGAN, A 1 Matahari 1 Dan A 1 DI DALAM 1 DENGAN 1 berpotongan di satu titik, dan titik tersebut merupakan titik pusat segitiga ABC. Jadi, kita mempunyai dua titik yang kelihatannya sangat berbeda: titik potong garis-bagi yang tegak lurus terhadap sisi-sisi segitiga ABC dan titik potong lingkaran luar segitiga AB 1 DENGAN 1 , A 1 Matahari Dan A 1 DI DALAM 1 DENGAN 1 . namun ternyata kedua titik tersebut bertepatan.
garis lurus Euler.
Sifat paling menakjubkan dari titik-titik luar biasa dalam sebuah segitiga adalah bahwa beberapa di antaranya terhubung satu sama lain melalui hubungan tertentu. Misalnya, pusat gravitasi M, pusat orto N dan pusat lingkaran luar TENTANG terletak pada satu garis lurus, dan titik M membagi ruas OH sehingga hubungannya valid OM:MN=1:2. Teorema ini dibuktikan pada tahun 1765 oleh ilmuwan Swiss Leonardo Euler.
Segitiga ortosentris.
Segitiga ortosentris(ortosegitiga) adalah segitiga ( MNKE), yang titik sudutnya merupakan alas dari tinggi segitiga tersebut ( ABC). Segitiga ini memiliki banyak sifat menarik. Mari kita berikan salah satunya.
Properti.
Membuktikan:
segitiga AKM, CMN Dan BKN mirip dengan segitiga ABC;
Sudut-sudut ortotriangle MNK adalah: L KNM = π - 2 L A,Lkmn = π – 2 L B, L MNK = π - - 2 L C.
Bukti:
Kita punya AB karena A, AK. karena A. Karena itu, SAYA./AB = AK./AC.
Karena di segitiga ABC Dan AKM sudut A– sama, maka keduanya serupa, dari situ kita simpulkan bahwa sudutnya L AKM = L C. Itu sebabnya L BKM = L C. Selanjutnya kita punya L MKC= π/2 – L C, L NKC= π/2 – - - L C, yaitu. SK– garis bagi sudut MNK. Jadi, L MNK= π – 2 L C. Persamaan lainnya dibuktikan dengan cara yang sama.
Kesimpulan.
Di akhir pekerjaan penelitian ini, dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut:
Titik dan garis segitiga yang menonjol adalah:
pusat orto suatu segitiga adalah titik potong ketinggiannya;
dan pusat segitiga adalah titik potong garis-bagi;
Pusat gravitasi suatu segitiga adalah titik potong mediannya;
pusat perbelanjaan– adalah titik potong garis-garis tegak lurus;
garis lurus Euler- ini adalah garis lurus di mana pusat gravitasi, ortosenter, dan pusat lingkaran yang dibatasi berada.
Segitiga ortosentris membagi segitiga tertentu menjadi tiga segitiga sebangun.
Setelah melakukan pekerjaan ini, saya belajar banyak tentang sifat-sifat segitiga. Pekerjaan ini relevan bagi saya dari sudut pandang pengembangan pengetahuan saya di bidang matematika. Kedepannya saya berniat mengembangkan topik menarik ini.
Bibliografi.
Kiselyov A.P. Geometri dasar. – M.: Pendidikan, 1980.
Coxeter G.S., Greitzer S.L. Pertemuan baru dengan geometri. – M.: Nauka, 1978.
Prasolov V.V. Masalah dalam planimetri. – M.: Nauka, 1986. – Bagian 1.
Sharygin I.F. Soal Geometri: Planimetri. – M.: Nauka, 1986.
Scanavi M.I.Matematika. Masalah dengan solusi. –Rostov-on-Don: Phoenix, 1998.
Berger M. Geometri dalam dua jilid - M: Mir, 1984.
Sasaran:
- merangkum pengetahuan siswa tentang topik “Empat titik luar biasa dari sebuah segitiga”, terus berupaya mengembangkan keterampilan dalam membangun tinggi, median, dan garis bagi sebuah segitiga;
Perkenalkan siswa pada konsep baru tentang lingkaran yang tertulis dalam sebuah segitiga dan dibatasi di sekelilingnya;
Mengembangkan keterampilan penelitian;
- Menumbuhkan ketekunan, ketelitian, dan keorganisasian pada diri siswa.
Tugas: memperluas minat kognitif pada mata pelajaran geometri.
Peralatan: papan, alat menggambar, pensil warna, model segitiga pada lembar lanskap; komputer, proyektor multimedia, layar.
Selama kelas
1.
Momen organisasi (1 menit)
Guru: Dalam pembelajaran ini Anda masing-masing akan merasa seperti seorang insinyur riset, setelah menyelesaikan kerja praktek Anda akan dapat mengevaluasi diri sendiri. Agar pekerjaan berhasil, semua tindakan dengan model selama pembelajaran perlu dilakukan dengan sangat akurat dan terorganisir. Aku harap kamu berhasil.
2.
Guru: gambarlah sudut terbuka di buku catatanmu
Q. Metode apa yang Anda ketahui untuk membuat garis bagi suatu sudut?
Penentuan garis bagi suatu sudut. Dua siswa membuat garis bagi sudut di papan (menggunakan model yang telah disiapkan sebelumnya) dengan dua cara: dengan penggaris atau kompas. Dua siswa berikut secara lisan membuktikan pernyataan tersebut:
1. Sifat-sifat apa yang dimiliki titik-titik bagi suatu sudut?
2. Apa yang dapat dikatakan tentang titik-titik yang terletak di dalam sudut dan berjarak sama dari sisi-sisi sudut?
Guru: gambarlah segitiga tetragonal ABC dan dengan cara apa pun buatlah garis bagi sudut A dan sudut C, titiknya
persimpangan - titik O. Hipotesis apa yang dapat Anda ajukan tentang sinar VO? Buktikan bahwa sinar BO merupakan garis bagi segitiga ABC. Merumuskan kesimpulan tentang letak semua garis bagi suatu segitiga.
3.
Bekerja dengan model segitiga (5-7 menit).
Opsi 1 - segitiga lancip;
Opsi 2 - segitiga siku-siku;
Opsi 3 - segitiga tumpul.
Guru: pada model segitiga, buatlah dua garis bagi, lingkari dengan warna kuning. Tandai titik persimpangan
titik bagi K. Lihat slide No.1.
4.
Persiapan tahap utama pembelajaran (10-13 menit).
Guru: gambarlah ruas garis AB di buku catatanmu. Alat apa yang dapat digunakan untuk membuat garis bagi yang tegak lurus terhadap suatu segmen? Penentuan garis bagi yang tegak lurus. Dua siswa sedang membuat garis bagi tegak lurus di papan tulis
(menurut model yang telah disiapkan sebelumnya) dengan dua cara: dengan penggaris, dengan kompas. Dua siswa berikut secara lisan membuktikan pernyataan tersebut:
1. Sifat-sifat apa yang dimiliki titik-titik garis bagi yang tegak lurus terhadap suatu ruas?
2. Apa yang dapat dikatakan tentang titik-titik yang berjarak sama dari ujung-ujung ruas AB?Guru: gambarlah segitiga siku-siku ABC di buku catatanmu dan buatlah garis-bagi yang tegak lurus pada kedua sisi segitiga ABC.
Tandai titik potong O. Gambarlah garis tegak lurus pada sisi ketiga yang melalui titik O. Apa yang Anda perhatikan? Buktikan bahwa ini adalah garis bagi tegak lurus segmen tersebut.
5.
Bekerja dengan model segitiga (5 menit).Guru: pada model segitiga, buatlah garis bagi yang tegak lurus kedua sisi segitiga dan lingkari dengan warna hijau. Tandai titik potong garis tegak lurus dengan titik O. Lihat slide No.2.
6.
Persiapan tahap utama pembelajaran (5-7 menit).Guru: menggambar segitiga tumpul ABC dan membuat dua ketinggian. Beri label pada titik potongnya O.
1. Apa yang dapat dikatakan tentang ketinggian ketiga (ketinggian ketiga, jika diperpanjang melampaui alasnya, akan melewati titik O)?
2. Bagaimana membuktikan bahwa semua ketinggian berpotongan di satu titik?
3. Bentuk baru apa yang dibentuk oleh ketinggian ini dan apa saja isinya?
7.
Bekerja dengan model segitiga (5 menit).
Guru: pada model segitiga, buatlah tiga ketinggian dan lingkari dengan warna biru. Tandai titik perpotongan ketinggian dengan titik H. Lihat slide No.3.
Pelajaran kedua
8.
Persiapan tahap utama pembelajaran (10-12 menit).
Guru: gambarlah segitiga lancip ABC dan buatlah semua mediannya. Beri label titik potongnya O. Sifat apa yang dimiliki median suatu segitiga?
9.
Bekerja dengan model segitiga (5 menit).
Guru: pada model segitiga, buatlah tiga median dan lingkari dengan warna coklat.
Tandai titik potong median dengan titik T. Lihat slide no.4.
10.
Memeriksa kebenaran konstruksi (10-15 menit).
1. Apa yang dapat dikatakan tentang poin K? / Titik K adalah titik potong garis-bagi yang berjarak sama dari semua sisi segitiga /
2. Tunjukkan pada model jarak titik K ke setengah sisi segitiga. Bentuk apa yang kamu gambar? Bagaimana lokasinya
dipotong ke samping? Sorot dengan berani menggunakan pensil sederhana. (Lihat slide nomor 5).
3. Berapakah jarak yang sama dari tiga titik pada bidang yang tidak terletak pada garis lurus yang sama? Gunakan pensil kuning untuk menggambar lingkaran dengan pusat K dan jari-jari sama dengan jarak yang ditandai dengan pensil sederhana. (Lihat slide nomor 6).
4. Apa yang Anda perhatikan? Bagaimana letak lingkaran ini terhadap segitiga? Anda telah menulis sebuah lingkaran dalam sebuah segitiga. Apa yang bisa Anda sebut lingkaran seperti itu?
Guru memberikan definisi lingkaran pada segitiga.
5. Apa yang dapat dikatakan tentang titik O? \Titik O adalah titik potong garis-bagi yang tegak lurus dan berjarak sama dari semua titik sudut segitiga\. Gambar manakah yang dapat dibuat dengan menghubungkan titik A, B, C dan O?
6. Buatlah sebuah lingkaran (O; OA) dengan menggunakan warna hijau. (Lihat slide nomor 7).
7. Apa yang Anda perhatikan? Bagaimana letak lingkaran ini terhadap segitiga? Apa yang bisa Anda sebut lingkaran seperti itu? Apa yang bisa kita sebut segitiga dalam kasus ini?
Guru memberikan definisi lingkaran terbatas pada segitiga.
8. Tempelkan penggaris pada titik O, H dan T dan tarik garis merah melalui titik-titik tersebut. Garis ini disebut lurus
Euler (Lihat slide nomor 8).
9. Bandingkan PL dan TN. Centang FROM:TN=1:2. (Lihat slide nomor 9).
10. a) Temukan median segitiga (berwarna coklat). Tandai dasar median dengan tinta.
Dimana ketiga poin tersebut?
b) Temukan tinggi segitiga (berwarna biru). Tandai dasar ketinggian dengan tinta. Berapa banyak dari titik-titik ini yang ada? \ Opsi 1-3; 2 opsi-2; Opsi 3-3\.c) Ukur jarak dari titik sudut ke titik potong ketinggian. Sebutkan jarak-jarak tersebut (AN,
VN, SN). Temukan titik tengah segmen ini dan sorot dengan tinta. Berapa banyak dari ini
poin? \1 opsi-3; 2 opsi-2; Opsi 3-3\.
11. Hitung berapa banyak titik yang ditandai dengan tinta? \ 1 opsi - 9; Opsi 2-5; Opsi 3-9\. Menunjuk
poin D 1, D 2,…, D 9. (Lihat slide nomor 10) Dengan menggunakan titik-titik ini Anda dapat membuat lingkaran Euler. Pusat lingkaran, titik E, berada di tengah ruas OH. Kami menggambar lingkaran (E; ED 1) dengan warna merah. Lingkaran ini, seperti garis lurus, dinamai menurut nama ilmuwan besar. (Lihat slide nomor 11).
11.
Presentasi tentang Euler (5 menit).
12. Ringkasan(3 menit).Skor: “5” - jika Anda mendapatkan lingkaran kuning, hijau, dan merah serta garis lurus Euler dengan tepat. "4" - jika lingkarannya tidak akurat 2-3 mm. "3" - jika lingkarannya 5-7mm tidak akurat.
Silchenkov Ilya
materi pelajaran, presentasi dengan animasi
Unduh:
Pratinjau:
Untuk menggunakan pratinjau presentasi, buat akun Google dan masuk ke akun tersebut: https://accounts.google.com
Keterangan slide:
Garis tengah segitiga adalah ruas yang menghubungkan titik tengah kedua sisinya dan sama dengan setengah sisinya. Selain itu, menurut teorema, garis tengah segitiga sejajar dengan salah satu sisinya dan sama dengan setengah sisinya.
Jika suatu garis tegak lurus terhadap salah satu dari dua garis sejajar, maka garis tersebut juga tegak lurus terhadap garis lainnya
Poin-poin luar biasa dari segitiga
Titik-titik luar biasa dari suatu segitiga Titik potong median (pusat massa segitiga); Titik potong garis-bagi, pusat lingkaran yang tertulis; Titik potong garis-bagi yang tegak lurus; Titik perpotongan ketinggian (orthocenter); Garis lurus Euler dan lingkaran sembilan titik; Poin Gergonne dan Nagel; Titik Fermat-Torricelli;
Titik potong median
Median suatu segitiga adalah ruas yang menghubungkan titik sudut suatu sudut segitiga dengan titik tengah sisi yang berhadapan.
I. Median suatu segitiga berpotongan di satu titik, yang membagi setiap median dengan perbandingan 2:1, dihitung dari titik sudut.
Bukti:
A B C A 1 C 1 B 1 1 2 3 4 0 1. Mari kita nyatakan dengan huruf O titik potong dua median AA 1 dan B B1 segitiga ABC dan tarik garis tengah A 1 B 1 segitiga ini. 2. Ruas A 1 B 1 sejajar dengan sisi AB dan 1/2 AB = A 1 B 1 yaitu AB = 2A1B1 (menurut teorema garis tengah segitiga), maka 1 = 4 dan 3 = 2 (karena mereka sudut bersilangan internal dengan garis sejajar AB dan A 1 B 1 dan garis potong BB 1 untuk 1, 4 dan AA 1 untuk 3, 2 3. Akibatnya, segitiga AOB dan A 1 OB 1 sebangun pada dua sudut, dan oleh karena itu, segitiga-segitiga tersebut sisi-sisinya sebanding yaitu perbandingan sisi-sisi AO dan A 1 O, BO dan B 1 O, AB dan A 1 B 1 adalah sama.Tetapi AB = 2A 1 B 1, maka AO = 2A 1 O dan BO = 2B 1 O. Jadi , titik O dari perpotongan median BB 1 dan AA 1 membagi masing-masing median tersebut dengan perbandingan 2:1, dihitung dari titik sudutnya. Teorema tersebut terbukti. Demikian pula dengan dua median lainnya dapat dibuktikan
Pusat massa kadang-kadang disebut pusat massa. Oleh karena itu dikatakan bahwa titik potong median adalah titik pusat segitiga. Pusat massa pelat segitiga homogen terletak pada titik yang sama. Jika pelat tersebut diletakkan di atas peniti sehingga ujung peniti tepat mengenai pusat massa segitiga, maka pelat tersebut akan berada dalam keadaan setimbang. Juga, titik potong median adalah pusat lingkaran segitiga medialnya. Sifat menarik dari titik perpotongan median dikaitkan dengan konsep fisik pusat massa. Ternyata jika kita menempatkan massa yang sama pada titik sudut segitiga, maka pusatnya akan jatuh tepat pada titik tersebut.
Titik potong garis bagi
Garis bagi suatu segitiga adalah ruas garis bagi sudut yang menghubungkan titik sudut salah satu sudut suatu segitiga dengan suatu titik yang terletak pada sisi yang berhadapan.
Garis bagi suatu segitiga berpotongan pada satu titik yang berjarak sama dari sisi-sisinya.
Bukti:
C A B A 1 B 1 C 1 0 1. Mari kita nyatakan dengan huruf O titik potong garis bagi AA 1 dan BB 1 pada segitiga ABC. 3. Mari kita manfaatkan fakta bahwa setiap titik garis bagi suatu sudut tak berkembang berjarak sama dari sisi-sisinya dan sebaliknya: setiap titik yang terletak di dalam sudut dan berjarak sama dari sisi-sisi sudut terletak pada garis-baginya. Lalu OK=OL dan OK=OM. Artinya OM=OL, yaitu titik O berjarak sama dari sisi-sisi segitiga ABC dan oleh karena itu terletak pada garis-bagi CC1 sudut C. 4. Akibatnya, ketiga garis bagi segitiga ABC berpotongan di titik O. K L M Teorema tersebut terbukti. 2. Dari titik ini tariklah garis tegak lurus OK, OL dan OM berturut-turut terhadap garis lurus AB, BC dan CA.
Titik potong garis-bagi yang tegak lurus
Garis bagi yang tegak lurus adalah garis yang melalui titik tengah suatu segmen dan tegak lurus terhadap segmen tersebut.
Garis bagi yang tegak lurus sisi-sisi suatu segitiga berpotongan pada satu titik yang berjarak sama dari titik sudut segitiga.
Bukti:
B C A m n 1. Mari kita nyatakan dengan huruf O titik potong garis-garis tegak lurus m dan n terhadap sisi AB dan BC segitiga ABC. O 2. Dengan menggunakan teorema bahwa setiap titik garis bagi yang tegak lurus suatu ruas mempunyai jarak yang sama dari ujung-ujung ruas tersebut dan sebaliknya: setiap titik yang berjarak sama dari ujung-ujung ruas terletak pada garis bagi yang tegak lurus itu, kita peroleh bahwa OB = OA dan OB = OC. 3. Oleh karena itu OA = OC, yaitu titik O berjarak sama dari ujung-ujung ruas AC dan oleh karena itu terletak pada garis-bagi yang tegak lurus ruas tersebut. 4. Akibatnya, ketiga garis bagi m, n dan p pada sisi-sisi segitiga ABC berpotongan di titik O. Teorema tersebut terbukti. R
Titik perpotongan ketinggian (atau perpanjangannya)
Ketinggian suatu segitiga adalah garis tegak lurus yang ditarik dari titik sudut sembarang sudut segitiga ke garis lurus yang memuat sisi berhadapan.
Ketinggian suatu segitiga atau perpanjangannya berpotongan di satu titik, yang mungkin terletak di dalam segitiga atau mungkin di luarnya.
Bukti:
Mari kita buktikan garis AA 1, BB 1 dan CC 1 berpotongan di satu titik. B A C C2 C1 A1 A2 B 1 B 2 1. Melalui setiap titik sudut segitiga ABC, tariklah sebuah garis lurus yang sejajar dengan sisi yang berhadapan. Kita peroleh segitiga A 2 B 2 C 2. 2. Titik A, B, dan C adalah titik tengah sisi-sisi segitiga tersebut. Memang AB=A 2 C dan AB=CB 2 ibarat sisi-sisi yang berhadapan pada jajar genjang ABA 2 C dan ABCB 2, maka A 2 C=CB 2. Demikian pula, C 2 A=AB 2 dan C 2 B=BA 2. Selain itu, sebagai berikut dari konstruksinya, CC 1 tegak lurus A 2 B 2, AA 1 tegak lurus B 2 C 2 dan BB 1 tegak lurus A 2 C 2 (dari akibat wajar teorema garis sejajar dan garis potong ). Jadi, garis AA 1, BB 1 dan CC 1 merupakan garis bagi yang tegak lurus sisi-sisi segitiga A 2 B 2 C 2. Oleh karena itu, mereka berpotongan di satu titik. Teorema tersebut telah terbukti.
(1 peringkat, rata-rata: 5,00 dari 5) 
Memuat...
