Proyek penelitian titik-titik segitiga yang luar biasa. Karya penelitian “Poin-poin luar biasa dari segitiga

Dalam segitiga ada yang disebut empat poin yang luar biasa: titik potong median. Titik potong garis bagi, titik potong ketinggian, dan titik potong garis bagi tegak lurus. Mari kita lihat masing-masingnya.

Titik potong median segitiga

Teorema 1

Di perpotongan median segitiga: Median suatu segitiga berpotongan di satu titik dan dibagi dengan titik potong tersebut dengan perbandingan $2:1$ dimulai dari titik sudut.

Bukti.

Misalkan segitiga $ABC$, dengan $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ adalah mediannya. Karena median membagi sisinya menjadi dua. Mari kita pertimbangkan garis tengah$A_1B_1$ (Gbr. 1).

Gambar 1. Median suatu segitiga

Berdasarkan Teorema 1, $AB||A_1B_1$ dan $AB=2A_1B_1$, maka $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Artinya segitiga $ABM$ dan $A_1B_1M$ sebangun menurut kriteria keserupaan segitiga yang pertama. Kemudian

Demikian pula terbukti

Teorema tersebut telah terbukti.

Titik potong garis bagi segitiga

Teorema 2

Di perpotongan garis-garis bagi suatu segitiga: Garis bagi suatu segitiga berpotongan di satu titik.

Bukti.

Perhatikan segitiga $ABC$, dengan $AM,\BP,\CK$ adalah garis baginya. Misalkan titik $O$ adalah titik potong garis bagi $AM\ dan\BP$. Mari kita menggambar garis tegak lurus dari titik ini ke sisi-sisi segitiga (Gbr. 2).

Gambar 2. Garis bagi segitiga

Teorema 3

Setiap titik garis bagi suatu sudut yang belum berkembang mempunyai jarak yang sama dari sisi-sisinya.

Berdasarkan Teorema 3, kita mendapatkan: $OX=OZ,\ OX=OY$. Oleh karena itu, $OY=OZ$. Artinya, titik $O$ berjarak sama dari sisi-sisi sudut $ACB$ dan oleh karena itu terletak pada garis bagi $CK$.

Teorema tersebut telah terbukti.

Titik potong garis-bagi tegak lurus suatu segitiga

Teorema 4

Garis bagi yang tegak lurus sisi-sisi segitiga berpotongan di satu titik.

Bukti.

Misalkan sebuah segitiga $ABC$ diberikan, $n,\ m,\ p$ garis bagi yang tegak lurus. Misalkan titik $O$ adalah titik potong garis-garis tegak lurus $n\ dan\ m$ (Gbr. 3).

Gambar 3. Garis bagi suatu segitiga tegak lurus

Untuk membuktikannya diperlukan teorema berikut.

Teorema 5

Setiap titik garis bagi yang tegak lurus terhadap suatu ruas mempunyai jarak yang sama dari ujung-ujung ruas tersebut.

Berdasarkan Teorema 3, kita mendapatkan: $OB=OC,\ OB=OA$. Oleh karena itu, $OA=OC$. Artinya, titik $O$ berjarak sama dari ujung ruas $AC$ dan oleh karena itu terletak pada garis bagi tegak lurus $p$.

Teorema tersebut telah terbukti.

Titik potong ketinggian segitiga

Teorema 6

Ketinggian suatu segitiga atau perpanjangannya berpotongan di satu titik.

Bukti.

Misalkan segitiga $ABC$, dengan $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ adalah tingginya. Mari kita tarik garis lurus melalui setiap titik sudut segitiga yang sejajar dengan sisi yang berhadapan dengan titik sudut tersebut. Kita mendapatkan segitiga baru $A_2B_2C_2$ (Gbr. 4).

Gambar 4. Ketinggian segitiga

Karena $AC_2BC$ dan $B_2ABC$ merupakan jajar genjang yang mempunyai sisi yang sama, maka $AC_2=AB_2$, yaitu titik $A$ adalah titik tengah sisi $C_2B_2$. Demikian pula, kita menemukan bahwa titik $B$ adalah titik tengah sisi $C_2A_2$, dan titik $C$ adalah titik tengah sisi $A_2B_2$. Dari konstruksi kita mendapatkan $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$. Oleh karena itu, $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ adalah garis bagi tegak lurus segitiga $A_2B_2C_2$. Kemudian, berdasarkan Teorema 4, kita mendapatkan bahwa ketinggian $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ berpotongan di satu titik.

Kementerian Pendidikan dan Sains Federasi Rusia Anggaran negara federal lembaga pendidikan lebih tinggi pendidikan kejuruan

"Magnitogorsk Universitas Negeri»

Fakultas Fisika dan Matematika

Departemen Aljabar dan Geometri

Pekerjaan kursus

Poin-poin luar biasa dari segitiga

Diselesaikan oleh: siswa kelompok 41

Vakhrameeva A.M.

Direktur Ilmiah

Velikikh A.S.

Magnitogorsk 2014

Perkenalan

Secara historis, geometri dimulai dengan sebuah segitiga, jadi selama dua setengah milenium segitiga seolah-olah menjadi simbol geometri; namun ia bukan sekadar simbol, ia adalah atom geometri.

Mengapa segitiga dapat dianggap sebagai atom geometri? Karena konsep-konsep sebelumnya - titik, garis lurus, dan sudut - merupakan abstraksi yang kabur dan tidak berwujud beserta sekumpulan teorema dan permasalahan yang terkait. Oleh karena itu, geometri sekolah saat ini hanya dapat menjadi menarik dan bermakna, baru kemudian dapat menjadi geometri yang tepat jika mencakup kajian segitiga yang mendalam dan komprehensif.

Anehnya, segitiga, meskipun tampak sederhana, adalah objek studi yang tidak ada habisnya - tidak seorang pun, bahkan di zaman kita, yang berani mengatakan bahwa mereka telah mempelajari dan mengetahui semua sifat-sifat segitiga.

Artinya pembelajaran geometri sekolah tidak dapat terlaksana tanpa kajian mendalam tentang geometri segitiga; Mengingat keanekaragaman segitiga sebagai objek kajian - dan oleh karena itu menjadi sumber berbagai metode mempelajarinya - maka perlu dilakukan pemilihan dan pengembangan bahan untuk mempelajari geometri titik-titik luar biasa segitiga. Selain itu, ketika memilih materi ini, Anda tidak boleh membatasi diri hanya pada poin-poin penting yang disediakan di dalamnya kurikulum sekolah Negara standar pendidikan, seperti pusat lingkaran dalam (titik potong garis bagi), pusat lingkaran luar (titik potong garis bagi), titik potong median, titik potong ketinggian. Tapi untuk penetrasi yang dalam mengenai sifat segitiga dan pemahaman akan ketidakterbatasannya, perlu adanya gagasan tentang sebanyak mungkin titik-titik luar biasa dari segitiga tersebut. Selain tidak habisnya segitiga sebagai objek geometris, perlu diperhatikan properti paling menakjubkan segitiga sebagai objek kajian: kajian geometri suatu segitiga dapat dimulai dengan mempelajari salah satu sifat-sifatnya, dengan menjadikannya sebagai dasar; maka metodologi mempelajari segitiga dapat dibangun sedemikian rupa sehingga semua sifat segitiga lainnya dapat dirangkai atas dasar tersebut. Dengan kata lain, di mana pun Anda mulai mempelajari segitiga, Anda selalu dapat mencapai kedalaman apa pun dari sosok menakjubkan ini. Namun kemudian - sebagai pilihan - Anda bisa mulai mempelajari segitiga dengan mempelajari poin-poinnya yang luar biasa.

Target pekerjaan kursus terdiri dari mempelajari titik-titik luar biasa dari sebuah segitiga. Untuk mencapai tujuan ini, tugas-tugas berikut perlu diselesaikan:

· Mempelajari konsep garis bagi, median, tinggi, garis bagi tegak lurus dan sifat-sifatnya.

· Perhatikan titik Gergonne, lingkaran Euler, dan garis Euler, yang tidak dipelajari di sekolah.

BAB 1. Garis bagi suatu segitiga, pusat lingkaran segitiga. Sifat-sifat garis bagi suatu segitiga. Poin Gergonna

1 Pusat lingkaran bertulisan segitiga

Titik-titik luar biasa suatu segitiga adalah titik-titik yang letaknya ditentukan secara unik oleh segitiga tersebut dan tidak bergantung pada urutan pengambilan sisi-sisi dan titik sudut segitiga.

Garis bagi suatu segitiga adalah ruas garis bagi suatu sudut suatu segitiga yang menghubungkan suatu titik sudut dengan suatu titik pada sisi yang berhadapan.

Dalil. Setiap titik pada garis bagi suatu sudut tak berkembang mempunyai jarak yang sama (yaitu, berjarak sama dari garis-garis yang memuat sisi-sisi segitiga) dari sisi-sisinya. Sebaliknya: setiap titik yang terletak di dalam suatu sudut dan berjarak sama dari sisi-sisi sudut terletak pada garis baginya.

Bukti. 1) Ambil sembarang titik M pada garis bagi sudut BAC, gambarlah garis tegak lurus MK dan ML terhadap garis lurus AB dan AC dan buktikan bahwa MK = ML. Pertimbangkan segitiga siku-siku ?AMK dan ?AML. Mereka sama dalam sisi miring dan sudut lancip (AM - sisi miring umum, 1 = 2 menurut konvensi). Oleh karena itu, MK=ML.

) Misalkan titik M terletak di dalam ANDA dan berjarak sama dari sisi AB dan AC. Mari kita buktikan bahwa sinar AM adalah garis bagi BAC. Mari kita menggambar garis tegak lurus MK dan ML pada garis lurus AB dan AC. Segitiga siku-siku AKM dan ALM sama sisi miring dan kakinya (AM adalah sisi miring persekutuan, MK = ML menurut konvensi). Jadi 1 = 2. Artinya sinar AM adalah garis bagi BAC. Teorema tersebut telah terbukti.

Konsekuensi. Garis-garis bagi suatu segitiga berpotongan di satu titik (pusat lingkaran dan pusat).

Mari kita nyatakan dengan huruf O titik potong garis bagi AA1 dan BB1 segitiga ABC dan tarik dari titik ini berturut-turut garis tegak lurus OK, OL dan OM ke garis lurus AB, BC dan CA. Berdasarkan teorema (Setiap titik pada garis bagi suatu sudut yang tidak berkembang mempunyai jarak yang sama dari sisi-sisinya. Sebaliknya: setiap titik yang terletak di dalam sudut dan berjarak sama dari sisi-sisi sudut terletak pada garis-baginya) kita katakan bahwa OK = OM dan OK = OL. Oleh karena itu, OM = OL, yaitu titik O berjarak sama dari sisi ACB dan oleh karena itu terletak pada garis bagi CC1 sudut tersebut. Oleh karena itu, ketiga garis bagi ?ABC berpotongan di titik O, hal ini perlu dibuktikan.

lingkaran garis bagi garis segitiga

1.2 Sifat-sifat garis bagi suatu segitiga

Garis bagi BD (Gbr. 1.1) dari sudut mana pun ?ABC membagi sisi berhadapan menjadi bagian AD dan CD sebanding dengan sisi-sisi segitiga yang berdekatan.

Perlu dibuktikan jika ABD = DBC, maka AD: DC = AB: BC.

Ayo laksanakan CE || BD sampai perpotongan di titik E dengan kelanjutan sisi AB. Maka menurut teorema proporsionalitas ruas-ruas yang terbentuk pada garis-garis yang dipotong oleh beberapa garis sejajar, kita peroleh perbandingannya: AD: DC = AB: BE. Untuk berpindah dari perbandingan ini ke perbandingan yang perlu dibuktikan, cukup diketahui bahwa BE = BC, yaitu bahwa ?SEMUA sama kaki. Dalam segitiga ini E = ABD (sebagai sudut-sudut yang bersesuaian dengan garis-garis sejajar) dan ALL = DBC (sebagai sudut-sudut yang bersilangan dengan garis-garis sejajar yang sama).

Tapi ABD = DBC dengan syarat; ini berarti E = SEMUA, dan oleh karena itu sisi BE dan BC yang berhadapan dengan sudut yang sama besar juga sama besar.

Sekarang, dengan mengganti BE pada proporsi yang tertulis di atas dengan BC, kita memperoleh proporsi yang perlu dibuktikan.

20 Garis bagi sudut dalam dan sudut berdekatan suatu segitiga tegak lurus.

Bukti. Misalkan BD adalah garis bagi ABC (Gbr. 1.2), dan BE adalah garis bagi CBF luar yang berdekatan dengan sudut dalam yang ditentukan, ?ABC. Kemudian jika kita nyatakan ABD = DBC = ?, CBE = EBF = ?, lalu 2 ? + 2?= 1800 dan dengan demikian ?+ ?= 900. Dan ini berarti BD? MENJADI.

30 Garis bagi suatu sudut luar suatu segitiga membagi sisi yang berhadapan secara eksternal menjadi bagian-bagian yang sebanding dengan sisi-sisi yang berdekatan.

(Gbr.1.3) AB: BC = IKLAN: DC, ?AED~ CBD, AE/BC = AD/DC = AE/BC.

40 Garis bagi suatu sudut suatu segitiga membagi sisi yang berhadapan menjadi beberapa bagian yang sebanding dengan sisi-sisi yang berdekatan pada segitiga tersebut.

Bukti. Mari kita pertimbangkan ?ABC. Agar lebih pasti, biarkan garis bagi CAB memotong sisi BC di titik D (Gbr. 1.4). Mari kita tunjukkan bahwa BD: DC = AB: AC. Caranya, tariklah garis yang sejajar dengan garis AB melalui titik C, dan dilambangkan dengan E sebagai titik potong garis AD tersebut. Maka DAB=DEC, ABD=ECD dan karenanya ?oleskan ~ ?DEC berdasarkan kriteria keserupaan segitiga yang pertama. Selanjutnya, karena sinar AD merupakan garis bagi CAD, maka CAE = EAB = AEC dan oleh karena itu, ?ECA sama kaki. Oleh karena itu AC=CE. Namun dalam hal ini, dari kesamaan ?oleskan dan ?DEC menyatakan BD: DC=AB: CE =AB: AC, dan inilah yang perlu dibuktikan.

Jika garis bagi suatu sudut luar suatu segitiga memotong perpanjangan sisi yang berhadapan dengan titik sudut tersebut, maka ruas-ruas dari titik potong yang dihasilkan sampai ujung-ujung sisi yang berhadapan sebanding dengan sisi-sisi yang berdekatan dari segitiga tersebut.

Bukti. Mari kita pertimbangkan ?ABC. Misalkan F adalah titik pada perpanjangan sisi CA, D adalah titik potong garis bagi segitiga luar BAF dengan perpanjangan sisi CB (Gbr. 1.5). Mari kita tunjukkan bahwa DC:DB=AC:AB. Mari kita tarik garis yang sejajar dengan garis AB melalui titik C, dan dilambangkan dengan E sebagai titik potong garis tersebut dengan garis DA. Kemudian segitiga ADB ~ ?EDC dan karenanya DC:DB=EC:AB. Dan sejak itu ?EAC= ?BURUK= ?CEA, lalu sama kaki ?Sisi CEA AC=EC dan, dengan demikian, DC:DB=AC:AB, merupakan hal yang perlu dibuktikan.

3 Memecahkan masalah menggunakan sifat-sifat garis bagi

Soal 1. Misalkan O adalah pusat lingkaran yang terdapat di dalamnya ?ABC, TAKSI = ?. Buktikan COB = 900+ ? /2.

Larutan. Karena O adalah pusat tulisan ?ABC suatu lingkaran (Gambar 1.6), maka sinar BO dan CO masing-masing merupakan garis bagi ABC dan BCA. Maka COB = 1800 - (OBC + BCO) = 1800 - (ABC + BCA)/2 = 1800 -(1800 - ?)/2 = 900 + ?/2, itulah yang perlu dibuktikan.

Soal 2. Misalkan O menjadi pusat dari soal yang dijelaskan ?ABC suatu lingkaran, H adalah alas ketinggian yang ditarik ke sisi BC. Buktikan bahwa garis bagi CAB juga merupakan garis bagi ? OAH.

Misalkan AD adalah garis bagi CAB, AE adalah diameter daerah yang dibatasi ?ABC lingkaran (Gbr. 1.7, 1.8). Jika ?ABC bersifat lancip (Gbr. 1.7) dan oleh karena itu, ABC<900, то так как ABC = AEC= ½ Busur AC, dan ?BHA dan ?ECA persegi panjang (BHA =ECA = 900), maka ?BHA~ ?ECA dan karena itu CAO = CAE =HAB. Selanjutnya, BAD dan CAD memiliki syarat yang sama, jadi HAD = BAD - BAH =CAD - CAE = EAD = OAD. Misalkan ABC = 900. Dalam hal ini, tinggi AH bertepatan dengan sisi AB, maka titik O termasuk dalam sisi miring AC dan oleh karena itu validitas rumusan masalah menjadi jelas.

Mari kita perhatikan kasus ketika ABC > 900 (Gbr. 1.8). Di sini segi empat ABCE ditulis dalam lingkaran dan karenanya AEC = 1800 - ABC. Sebaliknya ABH = 1800 - ABC, yaitu MEA = ABH. Dan sejak itu ?BHA dan ?ECA berbentuk persegi panjang, jadi HAB = 900 - ABH = 900 - AEC = EAC, maka HAD = HAB +BAD = EAC + CAD = EAD = OAD. Kasus dimana BAC dan ACB tumpul diperlakukan sama. ?

4 Poin Gergonna

Titik Gergonne adalah titik potong ruas-ruas yang menghubungkan titik-titik sudut segitiga dengan titik-titik singgung sisi-sisi yang berhadapan dengan titik-titik tersebut dan lingkaran pada segitiga tersebut.

Misalkan titik O adalah titik pusat lingkaran dalam segitiga ABC. Misalkan lingkaran dalam menyentuh sisi-sisi segitiga BC, AC dan AB di poin D,E dan F masing-masing. Titik Gergonne merupakan titik potong ruas AD, BE dan CF. Misalkan titik O menjadi pusat lingkaran yang tertulis ?ABC. Misalkan lingkaran dalam menyentuh sisi-sisi segitiga BC, AC dan AB masing-masing di titik D, E dan F. Titik Gergonne merupakan titik potong ruas AD, BE dan CF.

Mari kita buktikan bahwa ketiga ruas tersebut benar-benar berpotongan di satu titik. Perhatikan bahwa pusat lingkaran adalah titik potong garis bagi sudut ?ABC, dan jari-jari lingkaran dalam adalah OD, OE dan OF ?sisi-sisi segitiga. Jadi, kita memiliki tiga pasang segitiga sama kaki (AFO dan AEO, BFO dan BDO, CDO dan CEO).

Bekerja AF?BD ? CE dan AE? MENJADI? CF adalah sama, karena BF = BD, CD = CE, AE = AF, maka perbandingan kedua hasil kali tersebut adalah sama, dan berdasarkan teorema Ceva (Biarkan titik A1, B1, C1 terletak pada sisi BC, AC dan AB ? ABC berturut-turut Misalkan ruas AA1 , BB1 dan CC1 berpotongan di satu titik

(kita mengelilingi segitiga searah jarum jam)), ruas-ruas tersebut berpotongan di satu titik.

Properti lingkaran tertulis:

Suatu lingkaran dikatakan berada dalam segitiga jika menyentuh semua sisinya.

Sebuah lingkaran dapat ditulisi dalam segitiga apa pun.

Diketahui: ABC adalah segitiga tersebut, O adalah titik potong garis-garisnya, M, L dan K adalah titik-titik singgung lingkaran dengan sisi-sisi segitiga (Gbr. 1.11).

Buktikan: O adalah pusat lingkaran pada ABC.

Bukti. Mari kita menggambar garis tegak lurus OK, OL dan OM dari titik O ke sisi AB, BC dan CA (Gbr. 1.11). Karena titik O berjarak sama dari sisi-sisi segitiga ABC, maka OK = OL = OM. Jadi, sebuah lingkaran dengan pusat O berjari-jari OK melalui titik K, L, M. Sisi-sisi segitiga ABC menyentuh lingkaran tersebut di titik K, L, M karena tegak lurus terhadap jari-jari OK, OL dan OM. Artinya sebuah lingkaran dengan pusat O berjari-jari OK terletak pada segitiga ABC. Teorema tersebut telah terbukti.

Pusat lingkaran pada segitiga adalah titik potong garis-baginya.

Misalkan ABC diberikan, O adalah pusat lingkaran yang terdapat di dalamnya, D, E dan F adalah titik singgung lingkaran dengan sisi-sisinya (Gbr. 1.12). ? AEO = ? AOD pada sisi miring dan kaki (EO = OD - sebagai radius, AO - total). Dari persamaan segitiga berikut ini? OAD = ? O.A.E. Jadi AO adalah garis bagi sudut EAD. Hal yang sama dibuktikan bahwa titik O terletak pada dua garis bagi segitiga lainnya.

Jari-jari yang ditarik ke titik singgung tegak lurus terhadap garis singgung tersebut.

Bukti. Misalkan keliling (O; R) berupa lingkaran tertentu (Gbr. 1.13), garis lurus a menyentuhnya di titik P. Misalkan jari-jari OP tidak tegak lurus a. Mari kita menggambar OD tegak lurus dari titik O ke garis singgung. Menurut definisi garis singgung, semua titiknya selain titik P, dan khususnya titik D, terletak di luar lingkaran. Oleh karena itu, panjang OD yang tegak lurus lebih besar dari panjang R yang miring OP. Hal ini bertentangan dengan sifat miring, dan kontradiksi yang dihasilkan membuktikan pernyataan tersebut.

BAB 2. 3 titik luar biasa segitiga, lingkaran Euler, garis lurus Euler.

1 Pusat lingkaran luar suatu segitiga

Garis bagi yang tegak lurus suatu ruas adalah garis yang melalui titik tengah ruas dan tegak lurus terhadap ruas tersebut.

Dalil. Setiap titik pada garis bagi suatu segmen mempunyai jarak yang sama dari ujung-ujung segmen tersebut. Sebaliknya: setiap titik yang berjarak sama dari ujung suatu ruas terletak pada garis bagi yang tegak lurus.

Bukti. Misalkan garis lurus m adalah garis bagi yang tegak lurus ruas AB, dan titik O adalah titik tengah ruas tersebut.

Mari kita perhatikan sebuah titik sembarang M pada garis lurus m dan buktikan bahwa AM=BM. Jika titik M berimpit dengan titik O, maka persamaan tersebut benar, karena O adalah titik tengah ruas AB. Misalkan M dan O merupakan titik yang berbeda. Persegi panjang ?OAM dan ?OBM sama pada dua kaki (OA = OB, OM adalah common leg), oleh karena itu AM = VM.

) Perhatikan sebuah titik sembarang N yang berjarak sama dari ujung-ujung ruas AB, dan buktikan bahwa titik N terletak pada garis m. Jika N adalah sebuah titik pada garis AB, maka titik tersebut berimpit dengan titik tengah O ruas AB sehingga terletak pada garis m. Jika titik N tidak terletak pada garis AB, maka perhatikan ?ANB yang sama kaki karena AN=BN. Ruas NO adalah median segitiga ini, dan juga tingginya. Jadi, NO tegak lurus AB, sehingga garis ON dan m berimpit, sehingga N adalah titik pada garis m. Teorema tersebut telah terbukti.

Konsekuensi. Garis bagi yang tegak lurus sisi-sisi segitiga berpotongan di satu titik (pusat lingkaran luar).

Mari kita nyatakan O, titik potong garis-garis tegak lurus m dan n pada sisi AB dan BC ?ABC. Berdasarkan teorema (setiap titik garis-bagi yang tegak lurus terhadap suatu ruas mempunyai jarak yang sama dari ujung-ujung ruas tersebut. Sebaliknya: setiap titik yang berjarak sama dari ujung-ujung ruas terletak pada garis-bagi yang tegak lurus terhadap ruas tersebut.) kita menyimpulkan bahwa OB = OA dan OB = OC maka: OA = OC, Artinya, titik O berjarak sama dari ujung-ujung ruas AC dan oleh karena itu terletak pada garis-bagi yang tegak lurus p terhadap ruas tersebut. Oleh karena itu, ketiga garis bagi m, n dan p ke samping ?ABC berpotongan di titik O.

Untuk segitiga lancip titik ini terletak di dalam, untuk segitiga tumpul terletak di luar segitiga, untuk segitiga siku-siku titik tersebut terletak di tengah sisi miring.

Sifat-sifat garis bagi tegak lurus suatu segitiga:

Garis di mana garis bagi bagian dalam dan sudut luar segitiga-segitiga yang muncul dari satu titik sudut berpotongan dengan garis tegak lurus di tengah-tengah sisi yang berhadapan pada titik-titik yang berhadapan secara diametris pada lingkaran yang dibatasi di sekitar segitiga tersebut.

Bukti. Misalnya, garis bagi ABC berpotongan dengan garis yang dijelaskan ?Lingkaran ABC di titik D (Gbr. 2.1). Maka karena tulisan ABD dan DBC sama besar, maka AD = busur DC. Tetapi garis-bagi yang tegak lurus terhadap sisi AC juga membagi dua busur AC, sehingga titik D juga termasuk dalam garis-bagi yang tegak lurus tersebut. Selanjutnya, karena berdasarkan sifat 30 dari paragraf 1.3 garis bagi BD ABC berdekatan dengan ABC, maka ABC akan memotong lingkaran di suatu titik yang berlawanan secara diametral dengan titik D, karena sudut siku-siku selalu bertumpu pada diameternya.

2 Orthocenter lingkaran segitiga

Tinggi adalah garis tegak lurus yang ditarik dari titik sudut suatu segitiga ke garis lurus yang memuat sisi berhadapan.

Ketinggian suatu segitiga (atau perpanjangannya) berpotongan di satu titik (orthocenter).

Bukti. Anggap saja sewenang-wenang ?ABC dan buktikan bahwa garis AA1, BB1, CC1 yang memuat ketinggiannya berpotongan di satu titik. Mari kita melewati setiap titik ?ABC adalah garis lurus yang sejajar dengan sisi seberangnya. Kita mendapatkan ?A2B2C2. Titik A, B dan C merupakan titik tengah segitiga tersebut. Memang AB=A2C dan AB=CB2 ibarat sisi-sisi yang berhadapan dari jajar genjang ABA2C dan ABCB2, oleh karena itu A2C=CB2. Demikian pula C2A=AB2 dan C2B=BA2. Selain itu, sebagai berikut konstruksinya, CC1 tegak lurus A2B2, AA1 tegak lurus B2C2, dan BB1 tegak lurus A2C2. Jadi, garis AA1, BB1 dan CC1 merupakan garis bagi yang tegak lurus terhadap sisi-sisinya ?A2B2C2. Oleh karena itu, mereka berpotongan di satu titik.

Tergantung pada jenis segitiganya, ortosenter dapat berada di dalam segitiga pada sudut lancip, di luarnya - pada sudut tumpul atau bertepatan dengan titik sudut, pada persegi panjang ia bertepatan dengan titik sudut siku-siku.

Sifat-sifat tinggi segitiga:

Sebuah ruas yang menghubungkan alas dua ketinggian suatu segitiga lancip memotong sebuah segitiga yang sebangun dengan segitiga tertentu, yang koefisien kemiripannya sama dengan kosinus sudut yang sama.

Bukti. Misalkan AA1, BB1, CC1 adalah tinggi segitiga lancip ABC, dan ABC = ?(Gbr. 2.2). Segitiga siku-siku BA1A dan CC1B mempunyai persamaan ?, jadi keduanya sebangun, artinya BA1/BA = BC1/BC = cos ?. Oleh karena itu BA1/BC1=BA/BC = cos ?, yaitu V ?C1BA1 dan ?Sisi ABC berdekatan dengan sisi umum ??C1BA1~ ?ABC, dengan koefisien kemiripan sama dengan cos ?. Hal ini dibuktikan dengan cara yang sama ?A1CB1~ ?ABC dengan koefisien kemiripan cos BCA, dan ?B1AC1~ ?ABC dengan koefisien kemiripan cos CAB.

Ketinggian yang turun ke sisi miring suatu segitiga siku-siku membaginya menjadi dua segitiga yang sebangun dan sebangun dengan segitiga aslinya.

Bukti. Misalkan sebuah persegi panjang ?ABC, yang memiliki ?BCA = 900, dan CD adalah tingginya (Gbr. 2.3).

Lalu kesamaannya ?ADC dan ?BDC misalnya mengikuti tanda kesebangunan segitiga siku-siku dengan perbandingan dua kaki, karena AD/CD = CD/DB. Segitiga siku-siku ADC dan BDC masing-masing sebangun dengan segitiga siku-siku aslinya, paling tidak berdasarkan kemiripan pada dua sudutnya.

Memecahkan masalah yang melibatkan penggunaan properti ketinggian

Soal 1. Buktikan bahwa sebuah segitiga, yang salah satu titik sudutnya merupakan titik sudut segitiga tumpul tertentu, dan dua titik lainnya adalah alas dari tinggi segitiga tumpul, dihilangkan dari dua titik sudut lainnya, sebangun dengan segitiga tersebut. diberikan segitiga dengan koefisien kemiripan sama dengan modulus kosinus sudut pada titik sudut pertama .

Larutan. Anggap saja tumpul ?ABC dengan CAB bodoh. Misalkan AA1, BB1, CC1 adalah tingginya (Gbr. 2.4, 2.5, 2.6) dan misalkan CAB = ?, ABC = ? , BCA = ?.

Bukti fakta itu ?C1BA1~ ?ABC (Gambar 2.4) dengan koefisien kemiripan k = cos ?, sepenuhnya mengulangi alasan yang dilakukan dalam pembuktian properti 1, paragraf 2.2.

Mari kita buktikan itu ?A1CB~ ?ABC (Gbr. 2.5) dengan koefisien kemiripan k1= cos ?, A ?B1AC1~ ?ABC (Gambar 2.6) dengan koefisien kemiripan k2 = |cos? |.

Memang benar segitiga siku-siku CA1A dan CB1B mempunyai sudut yang sama ?dan karena itu serupa. Maka B1C/BC = A1C / AC= cos ?dan oleh karena itu, B1C/ A1C = BC / AC = cos ?, yaitu pada segitiga A1CB1 dan ABC sisi-sisinya membentuk persekutuan ??, proporsional. Dan kemudian, menurut kriteria keserupaan segitiga yang kedua ?A1CB~ ?ABC, dengan koefisien kemiripan k1= cos ?. Sedangkan untuk kasus terakhir (Gbr. 2.6), maka dari pertimbangan segitiga siku-siku ?BB1A dan ?CC1A dengan sudut vertikal yang sama besar BAB1 dan C1AC maka keduanya sebangun sehingga B1A / BA = C1A / CA = cos (1800 - ?) = |kos ?|, sejak ??- tumpul. Jadi B1A / C1A = BA /CA = |cos ?| dan dengan demikian dalam segitiga ?B1AC1 dan ?Sisi-sisi ABC yang membentuk sudut-sudut yang sama besar adalah proporsional. Dan ini berarti itu ?B1AC1~ ?ABC dengan koefisien kemiripan k2 = |cos? |.

Soal 2. Buktikan jika titik O merupakan titik potong tinggi segitiga lancip ABC, maka ABC + AOC = 1800, BCA + BOA = 1800, CAB + COB = 1800.

Larutan. Mari kita buktikan validitas rumus pertama yang diberikan dalam rumusan masalah. Validitas dua rumus lainnya juga dibuktikan dengan cara yang sama. Jadi misalkan ABC = ?, AOC = ?. A1, B1 dan C1 adalah alas dari ketinggian segitiga yang ditarik dari titik sudut A, B dan C (Gbr. 2.7). Maka dari segitiga siku-siku BC1C diperoleh BCC1 = 900 - ?dan dengan demikian pada segitiga siku-siku OA1C sudut COA1 sama dengan ?. Jumlah sudut AOC + COA1 = ? + ?memberikan sudut lurus sehingga AOC + COA1 = AOC + ABC = 1800, yang perlu dibuktikan.

Soal 3. Buktikan bahwa tinggi suatu segitiga lancip adalah garis bagi sudut-sudut suatu segitiga yang titik-titik sudutnya merupakan alas dari tinggi segitiga tersebut.

adalah.2.8

Larutan. Misalkan AA1, BB1, CC1 adalah tinggi segitiga lancip ABC dan misalkan CAB = ?(Gbr. 2.8). Mari kita buktikan misalnya tinggi AA1 adalah garis bagi sudut C1A1B1. Memang karena segitiga C1BA1 dan ABC sebangun (sifat 1), maka BA1C1 = ?dan oleh karena itu, C1A1A = 900 - ?. Dari persamaan segitiga A1CB1 dan ABC maka AA1B1 = 900 - ?dan oleh karena itu C1A1A = AA1B1= 900 - ?. Artinya AA1 adalah garis bagi sudut C1A1B1. Demikian pula dibuktikan bahwa dua tinggi segitiga ABC yang lain merupakan garis bagi dua sudut yang bersesuaian pada segitiga A1B1C1.

3 Pusat gravitasi lingkaran segitiga

Median suatu segitiga adalah ruas garis yang menghubungkan sembarang titik sudut suatu segitiga dengan titik tengah sisi yang berhadapan.

Dalil. Median segitiga berpotongan di satu titik (pusat gravitasi).

Bukti. Mari kita pertimbangkan secara sewenang-wenang? ABC.

Mari kita nyatakan titik potong median AA1 dan BB1 dengan huruf O dan gambar garis tengah A1B1 segitiga ini. Ruas A1B1 sejajar dengan sisi AB, maka 1 = 2 dan 3 = 4. Jadi, ?AOB dan ?A1OB1 sebangun pada dua sudut, dan oleh karena itu, sisi-sisinya sebanding: AO:A1O=BO:B1O=AB:A1B1. Tapi AB=2A1B1, jadi AO=2A1O dan BO=2B1O. Jadi, titik O dari perpotongan median AA1 dan BB1 membagi masing-masing median tersebut dengan perbandingan 2:1, dihitung dari titik puncaknya.

Dibuktikan pula bahwa titik potong median BB1 dan CC1 membagi masing-masing median tersebut dengan perbandingan 2:1, dihitung dari titik puncaknya, sehingga berimpit dengan titik O dan dibagi dengan titik tersebut dengan perbandingan 2:1, menghitung dari titik puncak.

Sifat-sifat median segitiga:

10 Median suatu segitiga berpotongan di satu titik dan dibagi titik potongnya dengan perbandingan 2:1, dihitung dari titik sudutnya.

Diberikan: ?ABC, AA1, BB1 - median.

Buktikan: AO:OA1=VO:OB1=2:1

Bukti. Mari kita menggambar garis tengah A1B1 (Gbr. 2.10), sesuai dengan sifat garis tengah A1B1||AB, A1B1=1/2 AB. Sejak A1B1 || AB, maka 1 = 2 terletak melintang dengan garis sejajar AB dan A1B1 serta garis potong AA1. 3 = 4 terletak melintang dengan garis sejajar A1B1 dan AB serta garis potong BB1.

Karena itu, ?AOB~ ?A1OB1 dengan persamaan dua sudut, artinya sisi-sisinya sebanding: AO/A1O = OB/OB1 = AB/A1B = 2/1, AO/A1O = 2/1; OB/OB1 = 2/1.

Median membagi sebuah segitiga menjadi dua segitiga yang luasnya sama.

Bukti. BD - median ?ABC (Gbr. 2.11), BE - tingginya. Kemudian ?ABD dan ?DBC berukuran sama karena keduanya mempunyai alas AD dan DC yang sama serta tinggi BE yang sama.

Seluruh segitiga dibagi mediannya menjadi enam segitiga sama besar.

Jika pada kelanjutan median segitiga terdapat suatu ruas garis yang sama panjangnya dengan median tersebut diletakkan dari titik tengah sisi segitiga tersebut, maka titik ujung ruas tersebut dan titik-titik sudut segitiga tersebut adalah titik-titik sudut dari segitiga tersebut. jajaran genjang.

Bukti. Misalkan D adalah titik tengah sisi BC ?ABC (Gbr. 2.12), E adalah sebuah titik pada garis AD sehingga DE=AD. Kemudian, karena diagonal-diagonal AE dan BC segi empat ABEC di titik D perpotongannya berpotongan dua, maka dari sifat 13.4 maka segi empat ABEC adalah jajar genjang.

Menyelesaikan masalah menggunakan properti median:

Soal 1. Buktikan jika O adalah titik potong median ?ABC kalau begitu ?A.O.B. ?Dewan Komisaris dan ?AOC berukuran sama.

Larutan. Misalkan AA1 dan BB1 menjadi median ?ABC(Gbr. 2.13). Mari kita pertimbangkan ?AOB dan ?Dewan Komisaris. Jelas sekali bahwa S ?AOB = S ?AB1B-S ?AB1O,S ?Dewan Komisaris=S ?BB1C-S ?OB1C. Tapi berdasarkan properti 2 kita punya S ?AB1B=S ?BB1C, S ?AOB = S ?OB1C yang artinya S ?AOB = S ?Dewan Komisaris. Kesetaraan S ?AOB = S ?AOC.

Soal 2. Buktikan jika titik O terletak di dalam ?ABC dan ?A.O.B. ?Dewan Komisaris dan ?AOC sama luasnya, maka O adalah titik potong mediannya? ABC.

Larutan. Mari kita pertimbangkan ?ABC (2.14) dan asumsikan titik O tidak terletak pada median BB1. Kemudian karena OB1 adalah median ?AOC lalu S ?AOB1 = S ?B1OC , dan sejak dengan kondisi S ?AOB = S ?Dewan Komisaris, lalu S ?AB1OB = S ?BOB1C. Namun hal ini tidak mungkin terjadi, karena S ?ABB1 = S ?B1BC. Kontradiksi yang timbul berarti titik O terletak pada median BB1. Demikian pula dibuktikan bahwa titik O termasuk dalam dua median lainnya ?ABC. Jadi titik O benar-benar merupakan titik potong tiga median? ABC.

Soal 3. Buktikan jika masuk ?Sisi ABC AB dan BC tidak sama panjang, maka garis bagi BD terletak di antara median BM dan tinggi BH.

Bukti. Mari kita uraikan tentang ?ABC adalah sebuah lingkaran dan garis bagi BD diperpanjang hingga memotong lingkaran di titik K. Melalui titik K akan ada garis tegak lurus terhadap ruas garis AC (sifat 1, dari titik 2.1), yang mempunyai median poin umum M. Tetapi karena ruas BH dan MK sejajar, dan titik B dan K terletak pada sisi yang berhadapan pada garis AC, maka titik potong ruas BK dan AC termasuk dalam ruas HM, dan ini membuktikan apa yang diperlukan.

Soal 4.B ?Median ABC BM berukuran setengah sisi AB dan membentuk sudut 400 dengannya. Tentukan ABC.

Larutan. Mari kita perpanjang median BM melebihi titik M sepanjang panjangnya dan dapatkan titik D (Gbr. 2.15). Karena AB = 2BM, maka AB = BD, yaitu segitiga ABD sama kaki. Jadi BURUK = BDA = (180o - 40o) : 2 = 70o. Segi empat ABCD merupakan jajar genjang karena diagonal-diagonalnya dibagi dua oleh titik potongnya. Artinya CBD = ADB = 700. Maka ABC = ABD + CBD = 1100. Jawabannya 1100.

Soal 5. Sisi-sisinya?ABC sama dengan a, b, c. Hitung median mc yang ditarik ke sisi c (Gbr. 2.16).

Larutan. Mari kita gandakan mediannya dengan membangun ?ABC pada jajar genjang ACBP, dan terapkan Teorema 8 pada jajar genjang tersebut, Kita peroleh: CP2+AB2 = 2AC2+2BC2, yaitu. (2mc)2+c2= 2b2+2a2, dari situ kita peroleh:

2.4 Lingkaran Euler. garis Euler

Dalil. Alas median, tinggi segitiga sembarang, serta titik tengah ruas-ruas yang menghubungkan titik-titik sudut segitiga dengan ortopusatnya terletak pada lingkaran yang sama, yang jari-jarinya sama dengan setengah jari-jari lingkaran yang dibatasi disekitarnya. segitiga. Lingkaran ini disebut lingkaran sembilan titik atau lingkaran Euler.

Bukti. Mari kita ambil titik tengah?MNL (Gbr. 2.17) dan gambarkan lingkaran W di sekelilingnya.Ruas LQ adalah median persegi panjang?AQB, jadi LQ=1/2AB. Ruas MN=1/2AB, karena MN - garis tengah?ABC. Oleh karena itu trapesium QLMN adalah sama kaki. Karena lingkaran W melalui 3 titik sudut trapesium sama kaki L, M, N, maka lingkaran W juga melalui titik sudut keempat Q. Demikian pula dibuktikan bahwa P milik W, R milik W.

Mari kita lanjutkan ke titik X, Y, Z. Ruas XL tegak lurus BH sebagai garis tengah?AHB. Ruas BH tegak lurus AC dan karena AC sejajar LM, maka BH tegak lurus LM. Oleh karena itu, XLM=P/2. Demikian pula XNM= P/2.

Pada segi empat LXNM, dua sudut yang berhadapan merupakan sudut siku-siku, sehingga dapat digambarkan sebuah lingkaran di sekelilingnya. Ini akan menjadi lingkaran W. Jadi X milik W, begitu pula Y milik W, Z milik W.

Bagian tengah?LMN mirip dengan?ABC. Koefisien kemiripannya adalah 2. Jadi, jari-jari lingkaran sembilan titik adalah R/2.

Sifat-sifat lingkaran Euler:

Jari-jari lingkaran sembilan titik sama dengan setengah jari-jari lingkaran yang dibatasi di sekitar ABC.

Lingkaran sembilan titik homotetis dengan lingkaran yang dibatasi di sekitar ABC, dengan koefisien ½ dan pusat homothety di titik H.

Dalil. Pusat ortosenter, pusat massa, penyunat, dan sembilan titik terletak pada satu garis lurus. garis lurus Euler.

Bukti. Misalkan H adalah ortosenternya? ABC (Gbr. 2.18) dan O adalah pusat lingkaran yang dibatasi. Berdasarkan konstruksinya, garis-bagi yang tegak lurus?ABC memuat tinggi median?MNL, yaitu O sekaligus merupakan ortosenter?LMN. ?LMN ~ ?ABC, koefisien kemiripannya adalah 2, jadi BH=2ON.

Mari kita tarik garis lurus melalui titik H dan O. Kita mendapatkan dua segitiga sebangun?NOG dan?BHG. Karena BH=2ON, maka BG=2GN. Yang terakhir berarti titik G adalah pusat massa?ABC. Untuk titik G rasio HG:GO=2:1 terpenuhi.

Misalkan TF selanjutnya adalah garis bagi yang tegak lurus?MNL dan F adalah titik potong tegak lurus tersebut dengan garis HO. Mari kita pertimbangkan ?TGF dan ?NGO yang serupa. Titik G merupakan centroid dari?MNL, sehingga koefisien kemiripan dari?TGF dan?NGO sama dengan 2. Jadi OG=2GF dan karena HG=2GO, maka HF=FO dan F adalah titik tengah ruas HO.

Jika kita melakukan penalaran yang sama mengenai garis bagi yang tegak lurus terhadap sisi yang lain?MNL, maka garis tersebut juga harus melalui titik tengah ruas HO. Artinya titik F merupakan titik garis bagi yang tegak lurus?MNL. Titik ini merupakan pusat lingkaran Euler. Teorema tersebut telah terbukti.

KESIMPULAN

Dalam karya ini, kami melihat 4 titik indah dari sebuah segitiga, yang dipelajari di sekolah, dan sifat-sifatnya, yang menjadi dasar kami dapat memecahkan banyak masalah. Titik Gergonne, lingkaran Euler, dan garis lurus Euler juga dipertimbangkan.

DAFTAR SUMBER YANG DIGUNAKAN

1.Geometri 7-9. Buku teks untuk sekolah menengah // Atanasyan L.S., Butuzov V.F. dan lain-lain - M.: Pencerahan, 1994.

2.Amelkin V.V. Geometri pada bidang: Teori, masalah, solusi: Proc. Panduan matematika // V.V.Amelkin, V.L. Rabtsevich, V.L. Timokhovich - Mn.: “Asar”, 2003.

.V.S. Bolodurin, O.A. Vakhmyanina, T.S. Izmailova // Manual tentang geometri dasar. Orenburg, OGPI, 1991.

.Prasolov V.G. Masalah dalam planimetri. - Edisi ke-4, ditambah - M.: Rumah penerbitan Pusat Pendidikan Matematika Berkelanjutan Moskow, 2001.

Dalam pelajaran ini kita akan melihat empat titik indah dari segitiga. Mari kita membahas dua di antaranya secara rinci, mengingat bukti teorema penting dan menyelesaikan masalahnya. Mari kita mengingat dan mengkarakterisasi dua sisanya.

Subjek:Revisi mata kuliah geometri kelas 8

Pelajaran: Empat Titik Indah dari Sebuah Segitiga

Segitiga, pertama-tama, adalah tiga ruas dan tiga sudut, oleh karena itu sifat-sifat ruas dan sudut sangatlah penting.

Segmen AB diberikan. Setiap segmen mempunyai titik tengah, dan garis tegak lurus dapat ditarik melaluinya - mari kita nyatakan sebagai p. Jadi, p adalah garis bagi yang tegak lurus.

Teorema (sifat utama garis-bagi tegak lurus)

Setiap titik yang terletak pada garis bagi yang tegak lurus mempunyai jarak yang sama dari ujung-ujung ruas tersebut.

Buktikan itu

Bukti:

Perhatikan segitiga dan (lihat Gambar 1). Mereka berbentuk persegi panjang dan sama besar, karena. memiliki kaki yang sama OM, dan kaki AO dan OB sama syaratnya, jadi, kita memiliki dua segitiga siku-siku, yang kedua kakinya sama besar. Oleh karena itu, sisi miring segitiga juga sama, yaitu hal yang perlu dibuktikan.

Beras. 1

Teorema kebalikannya benar.

Dalil

Setiap titik yang berjarak sama dari ujung suatu ruas terletak pada garis bagi yang tegak lurus ruas tersebut.

Diberikan sebuah segmen AB, sebuah garis bagi yang tegak lurus terhadapnya p, sebuah titik M yang berjarak sama dari ujung-ujung segmen tersebut (lihat Gambar 2).

Buktikan bahwa titik M terletak pada garis bagi tegak lurus segmen tersebut.

Beras. 2

Bukti:

Pertimbangkan sebuah segitiga. Bentuknya sama kaki, sesuai kondisinya. Perhatikan median suatu segitiga: titik O adalah titik tengah alas AB, OM adalah mediannya. Berdasarkan sifat segitiga sama kaki, median yang ditarik ke alasnya adalah tinggi dan garis bagi. Oleh karena itu. Namun garis p juga tegak lurus AB. Kita mengetahui bahwa di titik O dapat ditarik satu garis tegak lurus terhadap ruas AB, yang berarti garis OM dan p berhimpitan, maka titik M termasuk dalam garis lurus p, yang perlu kita buktikan.

Jika perlu untuk mendeskripsikan sebuah lingkaran di sekitar satu segmen, hal ini dapat dilakukan, dan terdapat banyak sekali lingkaran seperti itu, tetapi pusat dari masing-masing lingkaran tersebut akan terletak pada garis bagi yang tegak lurus terhadap segmen tersebut.

Dikatakan bahwa garis bagi yang tegak lurus adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari ujung-ujung suatu ruas.

Sebuah segitiga terdiri dari tiga ruas. Mari kita menggambar garis tegak lurus bagi dua diantaranya dan mendapatkan titik O dari perpotongannya (lihat Gambar 3).

Titik O termasuk dalam garis bagi yang tegak lurus sisi BC segitiga, yang berarti jaraknya sama dari titik sudut B dan C, kita nyatakan jarak ini sebagai R: .

Selain itu, titik O terletak pada garis bagi yang tegak lurus ruas AB, yaitu. , pada saat yang sama, dari sini.

Jadi, titik O adalah perpotongan dua titik tengah

Beras. 3

tegak lurus suatu segitiga berjarak sama dari titik sudutnya, yang berarti segitiga tersebut juga terletak pada garis bagi ketiga yang tegak lurus tersebut.

Kami telah mengulangi pembuktian teorema penting.

Tiga garis bagi segitiga yang tegak lurus berpotongan di satu titik - pusat lingkaran luar.

Jadi, kita melihat titik pertama yang luar biasa dari segitiga - titik perpotongan garis-garis tegak lurusnya.

Mari kita beralih ke properti sudut sembarang (lihat Gambar 4).

Diberikan sudut, garis bagi adalah AL, titik M terletak pada garis bagi.

Beras. 4

Jika titik M terletak pada garis bagi suatu sudut, maka jaraknya sama terhadap sisi-sisi sudut tersebut, yaitu jarak titik M ke AC dan ke BC dari sisi-sisi sudut tersebut adalah sama.

Bukti:

Perhatikan segitiga dan . Ini adalah segitiga siku-siku dan sama besar karena... mempunyai sisi miring yang sama AM, dan sudut-sudutnya sama besar, karena AL adalah garis bagi sudut tersebut. Jadi, segitiga siku-siku mempunyai sisi miring dan sudut lancip yang sama besar, maka , itulah yang perlu dibuktikan. Jadi, suatu titik pada garis bagi suatu sudut mempunyai jarak yang sama terhadap sisi-sisi sudut tersebut.

Teorema kebalikannya benar.

Dalil

Jika suatu titik berjarak sama dari sisi-sisi sudut yang belum berkembang, maka titik tersebut terletak pada garis baginya (lihat Gambar 5).

Diberikan suatu sudut yang belum berkembang, titik M, sehingga jaraknya ke sisi-sisi sudutnya adalah sama.

Buktikan bahwa titik M terletak pada garis bagi sudut.

Beras. 5

Bukti:

Jarak suatu titik ke suatu garis adalah panjang garis tegak lurus tersebut. Dari titik M kita tarik garis tegak lurus MK ke sisi AB dan MR ke sisi AC.

Perhatikan segitiga dan . Ini adalah segitiga siku-siku dan sama besar karena... mempunyai sisi miring yang sama AM, kaki MK dan MR sama syaratnya. Jadi, segitiga siku-siku sama sisi miring dan kakinya. Dari persamaan segitiga-segitiga berikut persamaan unsur-unsur yang bersesuaian; sudut-sudut yang sama besar terletak berhadapan dengan sisi-sisi yang sama besar, jadi, Oleh karena itu, titik M terletak pada garis bagi sudut tertentu.

Jika Anda perlu menuliskan sebuah lingkaran pada suatu sudut, hal ini dapat dilakukan, dan lingkaran seperti itu jumlahnya tak terhingga banyaknya, tetapi pusatnya terletak pada garis bagi suatu sudut tertentu.

Mereka mengatakan bahwa garis bagi adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari sisi-sisi suatu sudut.

Segitiga terdiri dari tiga sudut. Mari kita buat garis bagi keduanya dan dapatkan titik O dari perpotongannya (lihat Gambar 6).

Titik O terletak pada garis bagi sudut, artinya berjarak sama dari sisi AB dan BC, jaraknya dinotasikan sebagai r: . Selain itu, titik O terletak pada garis bagi sudut, yang berarti titik tersebut berjarak sama dari sisi AC dan BC: , , dari sini.

Sangat mudah untuk memperhatikan bahwa titik potong garis-bagi berjarak sama dari sisi-sisi sudut ketiga, yang berarti terletak pada

Beras. 6

garis bagi sudut. Jadi, ketiga garis bagi segitiga tersebut berpotongan di satu titik.

Jadi, kita teringat bukti teorema penting lainnya.

Garis-garis bagi sudut-sudut segitiga berpotongan di satu titik - pusat lingkaran yang tertulis.

Jadi, kita melihat titik luar biasa kedua dari segitiga - titik perpotongan garis bagi.

Kami melihat garis bagi sudut dan menandainya properti penting: titik-titik garis bagi berjarak sama dari sisi-sisi sudut, selain itu, ruas-ruas garis singgung yang ditarik lingkaran dari satu titik adalah sama besar.

Mari kita perkenalkan beberapa notasi (lihat Gambar 7).

Mari kita nyatakan ruas garis singgung yang sama dengan x, y dan z. Sisi BC yang terletak di hadapan titik sudut A disebut a, begitu pula AC sebagai b, AB sebagai c.

Beras. 7

Soal 1: dalam suatu segitiga diketahui setengah keliling dan panjang sisi a. Tentukan panjang garis singgung yang ditarik dari titik sudut A - AK yang dilambangkan dengan x.

Jelasnya, segitiga tersebut tidak terdefinisi secara lengkap, dan terdapat banyak segitiga yang serupa, namun ternyata segitiga-segitiga tersebut memiliki beberapa unsur yang sama.

Untuk permasalahan yang melibatkan lingkaran tertulis, metode penyelesaian berikut dapat diusulkan:

1. Gambarlah garis bagi dan dapatkan pusat lingkaran yang tertulis.

2. Dari pusat O, tarik garis tegak lurus ke sisi-sisinya dan dapatkan titik singgung.

3. Tandai garis singgung yang sama.

4. Tuliskan hubungan sisi-sisi segitiga dengan garis singgungnya.

Ada yang disebut empat titik luar biasa dalam sebuah segitiga: titik potong median. Titik potong garis bagi, titik potong ketinggian, dan titik potong garis bagi tegak lurus. Mari kita lihat masing-masingnya.

Titik potong median segitiga

Teorema 1

Di perpotongan median segitiga: Median suatu segitiga berpotongan di satu titik dan dibagi dengan titik potong tersebut dengan perbandingan $2:1$ dimulai dari titik sudut.

Bukti.

Misalkan segitiga $ABC$, dengan $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ adalah mediannya. Karena median membagi sisinya menjadi dua. Mari kita perhatikan garis tengah $A_1B_1$ (Gbr. 1).

Gambar 1. Median suatu segitiga

Demikian pula terbukti

Teorema tersebut telah terbukti.

Titik potong garis bagi segitiga

Teorema 2

Di perpotongan garis-garis bagi suatu segitiga: Garis bagi suatu segitiga berpotongan di satu titik.

Bukti.

Gambar 2. Garis bagi segitiga

Teorema 3

Setiap titik garis bagi suatu sudut yang belum berkembang mempunyai jarak yang sama dari sisi-sisinya.

Berdasarkan Teorema 3, kita mendapatkan: $OX=OZ,\ OX=OY$. Oleh karena itu, $OY=OZ$. Artinya, titik $O$ berjarak sama dari sisi-sisi sudut $ACB$ dan oleh karena itu terletak pada garis bagi $CK$.

Teorema tersebut telah terbukti.

Titik potong garis-bagi tegak lurus suatu segitiga

Teorema 4

Garis bagi yang tegak lurus sisi-sisi segitiga berpotongan di satu titik.

Bukti.

Misalkan sebuah segitiga $ABC$ diberikan, $n,\ m,\ p$ garis bagi yang tegak lurus. Misalkan titik $O$ adalah titik potong garis-garis tegak lurus $n\ dan\ m$ (Gbr. 3).

Gambar 3. Garis bagi suatu segitiga tegak lurus

Untuk membuktikannya diperlukan teorema berikut.

Teorema 5

Setiap titik garis bagi yang tegak lurus terhadap suatu ruas mempunyai jarak yang sama dari ujung-ujung ruas tersebut.

Berdasarkan Teorema 3, kita mendapatkan: $OB=OC,\ OB=OA$. Oleh karena itu, $OA=OC$. Artinya, titik $O$ berjarak sama dari ujung ruas $AC$ dan oleh karena itu terletak pada garis bagi tegak lurus $p$.

Teorema tersebut telah terbukti.

Titik potong ketinggian segitiga

Teorema 6

Ketinggian suatu segitiga atau perpanjangannya berpotongan di satu titik.

Bukti.

Gambar 4. Ketinggian segitiga

Isi

Pendahuluan…………………………………………………………………………………3

Bab 1.

1.1 Segitiga…………………………………………………………………………………..4

1.2. Median segitiga

1.4. Ketinggian dalam segitiga

Kesimpulan

Daftar literatur bekas

Buku kecil

Perkenalan

Geometri merupakan salah satu cabang matematika yang mempelajari berbagai bangun datar dan sifat-sifatnya. Geometri dimulai dengan segitiga. Selama dua setengah milenium, segitiga telah menjadi simbol geometri; namun bukan sekedar simbol, segitiga adalah atom geometri.

Dalam pekerjaan saya, saya akan mempertimbangkan sifat-sifat titik potong garis bagi, median, dan tinggi sebuah segitiga, dan berbicara tentang sifat-sifatnya yang luar biasa dan garis-garis segitiga.

Di antara poin-poin tersebut dipelajari di kursus sekolah geometri meliputi:

a) titik potong garis-bagi (pusat lingkaran yang tertulis);

b) titik potong garis-garis tegak lurus (pusat lingkaran yang dibatasi);

c) titik potong ketinggian (orthocenter);

d) titik potong median (pusat massa).

Relevansi: perluas pengetahuanmu tentang segitiga,propertinyapoin yang luar biasa.

Target: eksplorasi segitiga ke titik-titiknya yang luar biasa,mempelajarinyaklasifikasi dan properti.

Tugas:

1. Pelajari literatur yang diperlukan

2. Mempelajari klasifikasi titik-titik luar biasa pada suatu segitiga

3. Mampu menyusun titik-titik segitiga yang luar biasa.

4. Meringkas materi yang dipelajari untuk desain buklet.

Hipotesis proyek:

kemampuan untuk menemukan titik-titik luar biasa dalam segitiga apa pun memungkinkan Anda memecahkan masalah konstruksi geometris.

Bab 1. Informasi sejarah tentang titik-titik luar biasa dari segitiga

Dalam buku keempat Elemen, Euclid memecahkan masalah: “Untuk menuliskan sebuah lingkaran dalam segitiga tertentu.” Dari penyelesaiannya diperoleh tiga garis bagi sudut dalam segitiga berpotongan di satu titik - pusat lingkaran yang tertulis. Dari penyelesaian masalah Euclidean lainnya dapat disimpulkan bahwa garis tegak lurus yang dikembalikan ke sisi-sisi segitiga di titik tengahnya juga berpotongan di satu titik - pusat lingkaran yang dibatasi. Principia tidak mengatakan bahwa ketiga ketinggian suatu segitiga berpotongan di satu titik, yang disebut orthocenter ( kata Yunani"orthos" berarti "lurus", "benar"). Namun usulan ini diketahui oleh Archimedes, Pappus, dan Proclus.

Titik tunggal keempat segitiga adalah titik potong mediannya. Archimedes membuktikan bahwa itu adalah pusat gravitasi (barycenter) segitiga. Empat poin di atas telah diatasi Perhatian khusus, dan sejak abad ke-18 titik-titik tersebut disebut sebagai titik-titik segitiga yang “luar biasa” atau “istimewa”.

Studi tentang sifat-sifat segitiga yang terkait dengan titik-titik ini dan titik-titik lainnya menjadi awal penciptaan cabang baru matematika dasar - "geometri segitiga" atau "geometri segitiga baru", salah satu pendirinya adalah Leonhard Euler. Pada tahun 1765, Euler membuktikan bahwa dalam segitiga apa pun, ortocenter, barycenter, dan sirkumcenter terletak pada garis lurus yang sama, yang kemudian disebut “garis lurus Euler”.

Segi tiga - sosok geometris, terdiri dari tiga titik yang tidak terletak pada garis yang sama, dan tiga ruas yang menghubungkan titik-titik tersebut secara berpasangan. Poin -puncak segitiga, segmen -sisi segi tiga.

DI DALAM A, B, C - simpul

AB, BC, SA - sisi

Setiap segitiga memiliki empat titik yang terkait dengannya:

titik potong median;

titik potong garis-bagi;

Titik perpotongan ketinggian.

Titik potong garis-bagi yang tegak lurus;

1.2. Median segitiga

Madinah segitiga - , menghubungkan titik dari tengah sisi yang berlawanan (Gambar 1). Titik potong median pada sisi segitiga disebut alas median.

Gambar 1. Median suatu segitiga

Mari kita buat titik tengah sisi-sisi segitiga dan menggambar segmen yang menghubungkan setiap simpul dengan titik tengah sisi yang berlawanan. Segmen seperti ini disebut median.

Dan sekali lagi kita mengamati bahwa segmen-segmen ini berpotongan di satu titik. Jika kita mengukur panjang segmen median yang dihasilkan, kita dapat memeriksa satu properti lagi: titik potong median membagi semua median dengan perbandingan 2:1, dihitung dari titik sudutnya. Namun segitiga yang bertumpu pada ujung jarum pada titik perpotongan median berada dalam keadaan setimbang! Suatu titik yang mempunyai sifat ini disebut pusat gravitasi (barycenter). Pusat massa yang sama kadang-kadang disebut pusat massa. Oleh karena itu, sifat-sifat median suatu segitiga dapat dirumuskan sebagai berikut: median suatu segitiga berpotongan di titik pusat gravitasi dan dibagi dengan titik potongnya dengan perbandingan 2:1 dihitung dari titik sudutnya.

1.3. Garis bagi suatu segitiga

Bisektris ditelepon garis bagi suatu sudut yang ditarik dari titik sudut sampai perpotongannya dengan sisi yang berhadapan. Sebuah segitiga memiliki tiga garis bagi yang bersesuaian dengan tiga simpulnya (Gambar 2).

Gambar 2. Garis bagi segitiga

Dalam segitiga sembarang ABC kita menggambar garis bagi sudut-sudutnya. Dan lagi, dengan konstruksi eksak, ketiga garis bagi akan berpotongan di satu titik D. Titik D juga tidak biasa: jaraknya sama dari ketiga sisi segitiga. Hal ini dapat dibuktikan dengan menurunkan garis tegak lurus DA 1, DB 1 dan DC1 ke sisi-sisi segitiga. Semuanya sama satu sama lain: DA1=DB1=DC1.

Jika Anda menggambar sebuah lingkaran yang berpusat di titik D dan berjari-jari DA 1, maka lingkaran tersebut akan menyentuh ketiga sisi segitiga (artinya, lingkaran tersebut hanya mempunyai satu titik persekutuan dengan masing-masing sisinya). Lingkaran seperti itu disebut tertulis dalam segitiga. Jadi, garis-bagi sudut-sudut suatu segitiga berpotongan di pusat lingkaran yang tertulis.

1.4. Ketinggian dalam segitiga

Tinggi segitiga - , dijatuhkan dari atas ke sisi yang berlawanan atau garis lurus yang berimpit dengan sisi yang berlawanan. Tergantung pada jenis segitiganya, tingginya mungkin terdapat di dalam segitiga (misalnya segitiga), berimpit dengan sisinya (jadi segitiga) atau lewat di luar segitiga pada segitiga tumpul (Gambar 3).

Gambar 3. Tinggi pada segitiga

Jika Anda membuat tiga ketinggian dalam sebuah segitiga, maka semuanya akan berpotongan di satu titik H. Titik ini disebut ortosenter. (Gambar 4).

Dengan menggunakan konstruksi, Anda dapat memeriksa bahwa bergantung pada jenis segitiga, letak orthocenter berbeda:

untuk segitiga lancip - di dalam;

untuk persegi panjang - di sisi miring;

untuk sudut tumpul, letaknya di luar.

Gambar 4. Orthocenter segitiga

Jadi, kita telah mengenal titik luar biasa lainnya dari segitiga tersebut dan kita dapat mengatakan bahwa: ketinggian segitiga berpotongan di titik ortosenter.

1.5. Garis bagi tegak lurus terhadap sisi-sisi segitiga

Garis bagi yang tegak lurus suatu ruas adalah garis yang tegak lurus terhadap ruas tersebut dan melalui titik tengahnya.

Mari kita menggambar segitiga sembarang ABC dan menggambar garis bagi yang tegak lurus pada sisi-sisinya. Jika konstruksinya dilakukan secara akurat, maka semua garis tegak lurus akan berpotongan di satu titik – titik O. Titik ini berjarak sama dari semua titik sudut segitiga. Dengan kata lain, jika Anda menggambar sebuah lingkaran yang berpusat di titik O, melewati salah satu titik sudut segitiga, maka lingkaran tersebut juga akan melewati dua titik sudut lainnya.

Lingkaran yang melalui semua titik sudut suatu segitiga disebut dibatasi di sekelilingnya. Oleh karena itu, sifat-sifat pasti suatu segitiga dapat dirumuskan sebagai berikut: garis-bagi yang tegak lurus sisi-sisi segitiga berpotongan di pusat lingkaran yang dibatasi (Gambar 5).

Gambar 5. Segitiga bertuliskan lingkaran

Bab 2. Mempelajari titik-titik luar biasa dari segitiga.

Studi tentang tinggi badan pada segitiga

Ketiga ketinggian segitiga berpotongan di satu titik. Titik ini disebut ortocenter segitiga.

Ketinggian segitiga lancip terletak tepat di dalam segitiga.

Oleh karena itu, titik potong ketinggian juga terletak di dalam segitiga.

Pada segitiga siku-siku, dua ketinggian berimpit pada sisi-sisinya. (Ini adalah ketinggian yang diambil dari simpul sudut tajam ke kaki).

Ketinggian yang ditarik ke sisi miring terletak di dalam segitiga.

AC adalah tinggi yang ditarik dari titik C ke sisi AB.

AB adalah tinggi yang ditarik dari titik B ke sisi AC.

AK - tinggi yang diambil dari titik puncak sudut kanan Dan ke sisi miring SM.

Ketinggian segitiga siku-siku berpotongan di titik sudut siku-siku (A adalah ortosenter).

Dalam segitiga tumpul, hanya ada satu tinggi di dalam segitiga, yaitu tinggi yang ditarik dari titik sudut tumpul.

Dua ketinggian lainnya terletak di luar segitiga dan diturunkan ke kelanjutan sisi-sisi segitiga.

AK adalah tinggi yang ditarik ke sisi BC.

BF - tinggi yang ditarik ke kelanjutan sisi AC.

CD adalah tinggi yang ditarik pada kelanjutan sisi AB.

Titik potong tinggi segitiga tumpul juga berada di luar segitiga:

H adalah ortosenter segitiga ABC.

Studi tentang garis-bagi dalam segitiga

Garis bagi suatu segitiga adalah bagian dari garis bagi sudut segitiga (sinar) yang berada di dalam segitiga tersebut.

Ketiga garis bagi suatu segitiga berpotongan di satu titik.

Titik potong garis bagi lancip, tumpul dan segitiga siku-siku, adalah pusat lingkaran pada segitiga dan terletak di dalamnya.

Mempelajari median dalam segitiga

Karena segitiga mempunyai tiga titik sudut dan tiga sisi, maka terdapat juga tiga ruas yang menghubungkan titik sudut dan titik tengah sisi yang berhadapan.

Setelah memeriksa segitiga-segitiga ini, saya menyadari bahwa dalam segitiga mana pun mediannya berpotongan di satu titik. Poin ini disebut pusat gravitasi segitiga.

Mempelajari garis bagi yang tegak lurus terhadap salah satu sisi suatu segitiga

Garis bagi tegak lurus segitiga adalah garis tegak lurus yang ditarik ke titik tengah salah satu sisi segitiga.

Ketiga garis bagi suatu segitiga yang tegak lurus berpotongan di satu titik dan merupakan pusat lingkaran luar.

Titik potong garis bagi tegak lurus pada segitiga lancip terletak di dalam segitiga; di sudut tumpul - di luar segitiga; dalam bentuk persegi panjang - di tengah sisi miring.

Kesimpulan

Selama pekerjaan yang dilakukan, kami sampai pada kesimpulan berikut:

Tujuan tercapai:menjelajahi segitiga dan menemukan titik-titiknya yang luar biasa.

Tugas yang diberikan diselesaikan:

1). Kami mempelajari literatur yang diperlukan;

2). Kami mempelajari klasifikasi titik-titik luar biasa dalam sebuah segitiga;

3). Kami belajar bagaimana membangun titik-titik segitiga yang indah;

4). Kami merangkum materi yang dipelajari untuk desain buklet.

Hipotesis bahwa kemampuan untuk menemukan titik-titik luar biasa dari sebuah segitiga membantu dalam memecahkan masalah konstruksi telah terbukti.

Karya ini secara konsisten menguraikan teknik untuk membangun titik-titik luar biasa dari sebuah segitiga, menyediakan informasi sejarah tentang konstruksi geometris.

Informasi dari karya ini semoga bermanfaat dalam pembelajaran geometri di kelas 7. Booklet ini dapat menjadi buku referensi geometri pada topik yang disajikan.

Bibliografi

Buku pelajaran. L.S. Atanasyan “Geometri kelas 7-9Mnemosyne, 2015.

Wikipediahttps://ru.wikipedia.org/wiki/Geometry#/media/File:Euclid%27s_postulates.png

Layar Portal Scarlet

Terkemuka portal pendidikan Rusia http://cendomzn.ucoz.ru/index/0-15157