rumah · keamanan listrik · Median diambil dari sudut siku-siku. Sifat-sifat median segitiga siku-siku

Median diambil dari sudut siku-siku. Sifat-sifat median segitiga siku-siku

Tingkat pertama

median. Panduan Visual (2019)

1. Berapakah mediannya?

Ini sangat sederhana!

Ambil segitiga:

Tandai bagian tengah pada salah satu sisinya.

Dan sambungkan ke titik yang berlawanan!

Garis yang dihasilkan dan ada mediannya.

2. Sifat median.

Sifat baik apa yang dimiliki median?

1) Mari kita bayangkan sebuah segitiga persegi panjang. Ada hal seperti itu, bukan?

Mengapa??? Apa hubungannya sudut siku-siku dengan itu?

Mari kita perhatikan baik-baik. Bukan hanya segitiga, tapi... persegi panjang. Mengapa kamu bertanya?

Tetapi Anda berjalan di bumi - apakah Anda melihat bahwa bumi itu bulat? Tidak, tentu saja, untuk melakukan ini Anda perlu melihat Bumi dari luar angkasa. Jadi kita melihat segitiga siku-siku “dari luar angkasa”.

Mari menggambar diagonal:

Ingatkah kamu bahwa diagonal-diagonal suatu persegi panjang setara Dan membagikan titik persimpangan setengah? (Jika Anda tidak ingat, lihat topiknya)

Artinya separuh diagonal kedua adalah milik kita median. Diagonalnya sama, dan tentu saja bagiannya juga sama. Itu yang akan kita dapatkan

Kami tidak akan membuktikan pernyataan ini, tetapi untuk mempercayainya, pikirkan sendiri: apakah ada jajar genjang lain yang diagonalnya sama selain persegi panjang? Tentu saja tidak! Artinya median hanya bisa sama dengan setengah sisi pada segitiga siku-siku.

Mari kita lihat bagaimana properti ini membantu memecahkan masalah.

Di Sini, tugas:
Ke samping; . Diambil dari atas median. Temukan jika.

Hore! Anda dapat menerapkan teorema Pythagoras! Lihat betapa hebatnya itu? Jika kita tidak mengetahuinya median sama dengan setengah sisinya

Kami menerapkan teorema Pythagoras:

2) Dan sekarang mari kita punya bukan hanya satu, tapi keseluruhan tiga median! Bagaimana perilaku mereka?

Ingatlah dengan sangat baik fakta penting:

Sulit? Lihatlah gambar:

Median dan berpotongan di satu titik.

Dan….(kami membuktikannya, tapi untuk saat ini Ingat!):

  • - dua kali lipat;
  • - dua kali lipat;
  • - dua kali lipat.

Apakah kamu sudah lelah? Akankah Anda cukup kuat untuk contoh berikutnya? Sekarang kita akan menerapkan semua yang kita bicarakan!

Tugas: Dalam suatu segitiga digambar median dan yang berpotongan di suatu titik. Temukan jika

Mari kita cari menggunakan teorema Pythagoras:

Sekarang mari kita terapkan ilmu tentang titik potong median.

Mari kita definisikan. Segmen, a. Jika semuanya belum jelas, lihat gambarnya.

Kami sudah menemukannya.

Cara, ; .

Dalam soal kita ditanya tentang suatu segmen.

Dalam notasi kami.

Menjawab: .

Menyukai? Sekarang coba terapkan sendiri pengetahuan Anda tentang median!

MEDIAN. LEVEL RATA-RATA

1. Median membagi sisi menjadi dua.

Itu saja? Atau mungkin dia membagi sesuatu yang lain menjadi dua? Bayangkan itu!

2. Dalil: Median membagi luas menjadi dua.

Mengapa? Mari kita ingat bentuk luas segitiga yang paling sederhana.

Dan kami menerapkan rumus ini dua kali!

Lihat, mediannya terbagi menjadi dua segitiga: dan. Tetapi! Tinggi badan mereka sama - ! Hanya pada ketinggian ini ia turun ke samping, dan pada - di sisi kelanjutan. Anehnya, hal ini juga terjadi: segitiganya berbeda, tetapi tingginya sama. Dan sekarang kita akan menerapkan rumus tersebut dua kali.

Apa artinya ini? Lihatlah gambarnya. Faktanya, ada dua pernyataan dalam teorema ini. Apakah Anda memperhatikan ini?

Pernyataan pertama: median berpotongan di satu titik.

Pernyataan kedua: Titik potong median dibagi dengan perbandingan, dihitung dari titik puncak.

Mari kita coba mengungkap rahasia teorema ini:

Mari kita hubungkan titik-titiknya dan... Apa yang telah terjadi?

Sekarang mari kita menggambar garis tengah lainnya: tandai bagian tengahnya - beri titik, tandai bagian tengahnya - beri titik.

Sekarang - garis tengah. Itu adalah

  1. paralel;

Melihat adanya kebetulan? Keduanya dan paralel. Dan dan.

Apa yang berikut ini?

  1. paralel;

Tentu saja, hanya untuk jajar genjang!

Artinya itu adalah jajar genjang. Terus? Mari kita ingat sifat-sifat jajar genjang. Misalnya, apa yang kamu ketahui tentang diagonal-diagonal jajar genjang? Benar, mereka terbagi dua oleh titik persimpangan.

Mari kita lihat gambarnya lagi.

Artinya, median dibagi dengan titik-titik menjadi tiga bagian yang sama besar. Dan persis sama.

Artinya kedua median tersebut dipisahkan oleh sebuah titik pada rasionya, yaitu dan.

Apa yang terjadi pada median ketiga? Mari kita kembali ke awal. Ya Tuhan?! Tidak, sekarang semuanya akan jauh lebih singkat. Mari kita buang mediannya dan kerjakan mediannya dan.

Sekarang bayangkan kita telah melakukan penalaran yang persis sama seperti untuk median dan. Lalu bagaimana?

Ternyata median akan membagi median dengan cara yang persis sama: dengan perbandingan, dihitung dari titik.

Tetapi berapa banyak titik yang terdapat pada suatu ruas yang membaginya dengan suatu perbandingan, dihitung dari titik tersebut?

Tentu saja hanya satu! Dan kita telah melihatnya - itulah intinya.

Apa yang terjadi pada akhirnya?

Median pasti lolos! Ketiga median melewatinya. Dan sikap setiap orang terbagi, dihitung dari atas.

Jadi kami memecahkan (membuktikan) teorema tersebut. Solusinya ternyata adalah jajar genjang yang berada di dalam segitiga.

4. Rumus panjang median

Bagaimana cara mencari panjang median jika sisi-sisinya diketahui? Apakah Anda yakin Anda membutuhkan ini? Mari kita ungkapkan rahasia buruknya: formula ini tidak terlalu berguna. Tapi tetap saja kami akan menulisnya, tapi kami tidak akan membuktikannya (kalau tertarik dengan buktinya lihat level selanjutnya).

Bagaimana kita dapat memahami mengapa hal ini terjadi?

Mari kita perhatikan baik-baik. Bukan hanya segitiga, tapi persegi panjang.

Jadi mari kita pertimbangkan sebuah persegi panjang.

Pernahkah Anda memperhatikan bahwa segitiga kita persis setengah dari persegi panjang ini?

Mari menggambar diagonal

Ingatkah kamu bahwa diagonal-diagonal suatu persegi panjang sama panjang dan membagi dua titik potongnya? (Jika Anda tidak ingat, lihat topiknya)
Tapi salah satu diagonalnya adalah sisi miring kita! Artinya titik potong diagonal-diagonalnya berada di tengah sisi miring. Itu disebut milik kita.

Artinya separuh diagonal kedua adalah median kita. Diagonalnya sama, dan tentu saja bagiannya juga sama. Itu yang akan kita dapatkan

Apalagi ini hanya terjadi pada segitiga siku-siku!

Kami tidak akan membuktikan pernyataan ini, tetapi untuk mempercayainya, pikirkan sendiri: apakah ada jajar genjang lain yang diagonalnya sama, kecuali persegi panjang? Tentu saja tidak! Artinya median hanya bisa sama dengan setengah sisi pada segitiga siku-siku. Mari kita lihat bagaimana properti ini membantu memecahkan masalah.

Inilah tugasnya:

Ke samping; . Median diambil dari titik sudut. Temukan jika.

Hore! Anda dapat menerapkan teorema Pythagoras! Lihat betapa hebatnya itu? Jika kita tidak mengetahui bahwa mediannya adalah separuh sisinya hanya pada segitiga siku-siku, tidak mungkin kami bisa menyelesaikan masalah ini. Dan sekarang kita bisa!

Kami menerapkan teorema Pythagoras:

MEDIAN. SECARA SINGKAT TENTANG HAL-HAL UTAMA

1. Median membagi sisinya menjadi dua.

2. Dalil: median membagi luas menjadi dua

4. Rumus panjang median

Teorema kebalikan: jika median sama dengan setengah sisinya, maka segitiga tersebut siku-siku dan median tersebut ditarik ke sisi miring.

Nah, topiknya sudah selesai. Jika Anda membaca baris-baris ini, itu berarti Anda sangat keren.

Karena hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu sendiri. Dan jika Anda membaca sampai akhir, Anda termasuk dalam 5% ini!

Sekarang hal yang paling penting.

Anda telah memahami teori tentang topik ini. Dan, saya ulangi, ini... ini luar biasa! Anda sudah lebih baik dari sebagian besar rekan Anda.

Masalahnya adalah ini mungkin tidak cukup...

Untuk apa?

Untuk berhasil lulus Ujian Negara Bersatu, untuk masuk perguruan tinggi dengan anggaran terbatas dan, YANG PALING PENTING, seumur hidup.

Saya tidak akan meyakinkan Anda tentang apa pun, saya hanya akan mengatakan satu hal...

Orang yang mengenyam pendidikan baik memperoleh penghasilan lebih banyak dibandingkan mereka yang tidak mengenyam pendidikan. Ini adalah statistik.

Tapi ini bukanlah hal yang utama.

Yang penting mereka LEBIH BAHAGIA (ada penelitian seperti itu). Mungkin karena lebih banyak peluang terbuka di hadapan mereka dan kehidupan menjadi lebih cerah? Tidak tahu...

Tapi pikirkan sendiri...

Apa yang diperlukan untuk memastikan menjadi lebih baik dari orang lain dalam Ujian Negara Bersatu dan pada akhirnya menjadi... lebih bahagia?

DAPATKAN TANGAN ANDA DENGAN MEMECAHKAN MASALAH PADA TOPIK INI.

Anda tidak akan dimintai teori selama ujian.

Anda akan perlu memecahkan masalah melawan waktu.

Dan, jika Anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), Anda pasti akan membuat kesalahan bodoh di suatu tempat atau tidak punya waktu.

Ini seperti dalam olahraga - Anda harus mengulanginya berkali-kali agar bisa menang.

Temukan koleksinya di mana pun Anda mau, tentu dengan solusi, analisis rinci dan putuskan, putuskan, putuskan!

Anda dapat menggunakan tugas kami (opsional) dan tentu saja kami merekomendasikannya.

Untuk menjadi lebih baik dalam menggunakan tugas kami, Anda perlu membantu memperpanjang umur buku teks YouClever yang sedang Anda baca.

Bagaimana? Ada dua pilihan:

  1. Buka kunci semua tugas tersembunyi di artikel ini - 299 gosok.
  2. Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di 99 artikel buku teks - 999 gosok.

Ya, kami memiliki 99 artikel seperti itu di buku teks kami dan akses ke semua tugas dan semua teks tersembunyi di dalamnya dapat segera dibuka.

Dalam kasus kedua kami akan memberikannya padamu simulator “6000 masalah dengan solusi dan jawaban, untuk setiap topik, di semua tingkat kompleksitas.” Ini pasti akan cukup untuk memecahkan masalah pada topik apa pun.

Faktanya, ini lebih dari sekedar simulator - keseluruhan program pelatihan. Jika perlu, Anda juga dapat menggunakannya secara GRATIS.

Akses ke semua teks dan program disediakan selama SELURUH periode keberadaan situs.

Kesimpulannya...

Jika Anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Hanya saja, jangan berhenti pada teori.

“Dipahami” dan “Saya bisa menyelesaikannya” adalah keterampilan yang sangat berbeda. Anda membutuhkan keduanya.

Temukan masalah dan selesaikan!

Median adalah ruas yang ditarik dari titik sudut suatu segitiga ke titik tengah sisi yang berhadapan, yaitu membaginya menjadi dua di titik potongnya. Titik di mana median memotong sisi yang berhadapan dengan titik sudut keluarnya disebut alas. Setiap median segitiga melewati satu titik yang disebut titik potong. Rumus panjangnya dapat dinyatakan dalam beberapa cara.

Rumus untuk menyatakan panjang median

  • Seringkali dalam soal geometri, siswa harus berurusan dengan segmen seperti median segitiga. Rumus panjangnya dinyatakan dalam sisi:

dimana a, b dan c adalah sisi-sisinya. Selain itu, c adalah sisi di mana median berada. Seperti inilah rumus paling sederhananya. Median segitiga terkadang diperlukan untuk perhitungan tambahan. Ada rumus lain.

  • Jika pada saat perhitungan diketahui dua sisi suatu segitiga dan sudut tertentu yang terletak di antara keduanya, maka panjang median segitiga yang diturunkan ke sisi ketiga akan dinyatakan sebagai berikut.

Properti dasar

  • Semua median mempunyai satu titik potong O yang sama dan dibagi dengan titik tersebut dengan perbandingan dua banding satu, jika dihitung dari titik puncaknya. Titik ini disebut pusat gravitasi segitiga.
  • Median membagi segitiga menjadi dua segitiga lain yang luasnya sama. Segitiga seperti ini disebut sama luasnya.
  • Jika Anda menggambar semua mediannya, maka segitiga tersebut akan terbagi menjadi 6 bangun datar yang sama besar, yang juga merupakan segitiga.
  • Jika ketiga sisi suatu segitiga sama besar, maka masing-masing mediannya juga merupakan tinggi dan garis bagi, yaitu tegak lurus terhadap sisi yang ditariknya, dan membagi dua sudut munculnya segitiga tersebut.
  • Pada segitiga sama kaki, median yang ditarik dari titik sudut yang berhadapan dengan sisi yang tidak sama kaki juga akan menjadi tinggi dan garis bagi. Median yang dijatuhkan dari simpul lain adalah sama. Ini juga merupakan syarat perlu dan cukup untuk keadaan sama kaki.
  • Jika sebuah segitiga adalah alas sebuah limas beraturan, maka tinggi yang dijatuhkan ke alas tersebut diproyeksikan ke titik potong semua median.

  • Pada segitiga siku-siku, median yang ditarik ke sisi terpanjang sama dengan setengah panjangnya.
  • Misalkan O adalah titik potong median segitiga. Rumus di bawah ini berlaku untuk sembarang titik M.

  • Median suatu segitiga mempunyai sifat lain. Rumus kuadrat panjangnya melalui kuadrat sisi-sisinya disajikan di bawah ini.

Sifat-sifat sisi yang digambar mediannya

  • Jika Anda menghubungkan dua titik perpotongan median dengan sisi-sisi di mana keduanya dijatuhkan, maka ruas yang dihasilkan akan menjadi garis tengah segitiga dan menjadi setengah sisi segitiga yang tidak memiliki titik persekutuan.
  • Alas ketinggian dan median suatu segitiga, serta titik tengah ruas yang menghubungkan titik sudut segitiga dengan titik potong ketinggian, terletak pada lingkaran yang sama.

Sebagai kesimpulan, masuk akal untuk mengatakan bahwa salah satu segmen terpenting adalah median segitiga. Rumusnya dapat digunakan untuk mencari panjang sisi lainnya.

Segitiga adalah poligon dengan tiga sisi, atau garis putus-putus tertutup dengan tiga penghubung, atau bangun datar yang dibentuk oleh tiga ruas yang menghubungkan tiga titik yang tidak terletak pada satu garis lurus (lihat Gambar 1).

Unsur dasar segitiga abc

Puncak – titik A, B, dan C;

Para Pihak – ruas a = BC, b = AC dan c = AB yang menghubungkan titik-titik;

Sudut – α, β, γ dibentuk oleh tiga pasang sisi. Sudut sering kali dinyatakan dengan cara yang sama seperti simpul, yaitu dengan huruf A, B, dan C.

Sudut yang dibentuk oleh sisi-sisi suatu segitiga dan terletak pada daerah dalamnya disebut sudut dalam, dan sudut yang berdekatan dengannya adalah sudut yang berdekatan dari segitiga tersebut (2, hal. 534).

Tinggi, median, garis bagi dan garis tengah suatu segitiga

Selain elemen utama dalam segitiga, segmen lain yang memiliki sifat menarik juga dipertimbangkan: tinggi, median, garis bagi, dan garis tengah.

Tinggi

Ketinggian segitiga- ini adalah garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik sudut segitiga ke sisi yang berlawanan.

Untuk memplot ketinggian, Anda harus melakukan langkah-langkah berikut:

1) menggambar garis lurus yang memuat salah satu sisi segitiga (jika tingginya diambil dari titik sudut lancip pada segitiga tumpul);

2) dari titik sudut yang berhadapan dengan garis yang ditarik, tariklah sebuah ruas dari titik ke garis tersebut, buatlah sudut 90 derajat dengannya.

Titik potong ketinggian sisi segitiga disebut dasar ketinggian (lihat Gambar 2).

Sifat-sifat ketinggian segitiga

    Pada segitiga siku-siku, ketinggian yang ditarik dari titik sudut siku-siku membaginya menjadi dua segitiga yang sebangun dengan segitiga aslinya.

    Dalam segitiga lancip, kedua ketinggiannya memotong segitiga-segitiga sebangun.

    Jika segitiga lancip, maka semua alas ketinggiannya termasuk dalam sisi-sisi segitiga, dan pada segitiga tumpul, dua ketinggian terletak pada kelanjutan sisi-sisinya.

    Tiga ketinggian pada segitiga lancip berpotongan di satu titik dan titik ini disebut pusat orto segi tiga.

median

median(dari bahasa Latin mediana – “tengah”) - ini adalah segmen yang menghubungkan titik sudut segitiga dengan titik tengah sisi yang berlawanan (lihat Gambar 3).

Untuk membuat median, Anda harus melakukan langkah-langkah berikut:

1) temukan bagian tengah sisinya;

2) hubungkan titik tengah sisi segitiga dengan titik sudut dihadapannya dengan sebuah ruas.

Sifat-sifat median segitiga

    Median membagi sebuah segitiga menjadi dua segitiga yang luasnya sama.

    Median suatu segitiga berpotongan di satu titik, yang membagi masing-masing titik tersebut dengan perbandingan 2:1, dihitung dari titik sudut. Poin ini disebut Pusat gravitasi segi tiga.

Seluruh segitiga dibagi mediannya menjadi enam segitiga sama besar.

Bisektris

Bisektor(dari bahasa Latin bis - dua kali dan seko - potong) adalah ruas garis lurus yang berada di dalam segitiga yang membagi dua sudutnya (lihat Gambar 4).

Untuk membuat garis bagi, Anda harus melakukan langkah-langkah berikut:

1) buatlah sinar yang keluar dari titik sudut dan membaginya menjadi dua bagian yang sama besar (garis bagi sudut);

2) tentukan titik potong garis bagi sudut segitiga dengan sisi berhadapan;

3) pilih ruas yang menghubungkan titik sudut segitiga dengan titik potong sisi seberangnya.

Sifat-sifat garis bagi segitiga

    Garis bagi suatu sudut suatu segitiga membagi sisi yang berhadapan dengan perbandingan yang sama dengan perbandingan dua sisi yang berdekatan.

    Garis bagi sudut dalam suatu segitiga berpotongan di satu titik. Titik ini disebut pusat lingkaran bertulisan.

    Garis bagi sudut dalam dan sudut luar tegak lurus.

    Jika garis bagi suatu sudut luar suatu segitiga memotong perpanjangan sisi dihadapannya, maka ADBD=ACBC.

    Garis bagi satu sudut dalam dan dua sudut luar suatu segitiga berpotongan di satu titik. Titik ini adalah pusat salah satu dari tiga lingkaran luar segitiga ini.

    Alas garis bagi dua sudut dalam dan satu sudut luar suatu segitiga terletak pada satu garis lurus jika garis bagi sudut luar tersebut tidak sejajar dengan sisi seberang segitiga.

    Jika garis bagi sudut luar suatu segitiga tidak sejajar dengan sisi yang berhadapan, maka alasnya terletak pada satu garis lurus.

Saat mempelajari topik apa pun dalam kursus sekolah, Anda dapat memilih masalah minimum tertentu, dan setelah menguasai metode penyelesaiannya, siswa akan dapat memecahkan masalah apa pun pada tingkat persyaratan program pada topik yang dipelajari. Saya mengusulkan untuk mempertimbangkan masalah yang memungkinkan Anda melihat keterkaitan topik individu dalam kursus matematika sekolah. Oleh karena itu, sistem tugas yang disusun merupakan sarana efektif pengulangan, generalisasi dan sistematisasi materi pendidikan dalam rangka mempersiapkan siswa menghadapi ujian.

Untuk lulus ujian, akan bermanfaat jika memiliki informasi tambahan tentang beberapa elemen segitiga. Mari kita perhatikan sifat-sifat median segitiga dan soal-soal penyelesaian yang dapat digunakan sifat-sifat tersebut. Tugas yang diusulkan menerapkan prinsip diferensiasi level. Semua tugas secara kondisional dibagi menjadi beberapa level (level ditunjukkan dalam tanda kurung setelah setiap tugas).

Mari kita mengingat kembali beberapa sifat median segitiga

Properti 1. Buktikan bahwa median suatu segitiga ABC, diambil dari titik sudut A, kurang dari setengah jumlah sisinya AB Dan AC.

Bukti

https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2))$" width="90" height="60">.!}

Properti 2. Median memotong segitiga menjadi dua luas yang sama.

Bukti

Mari kita tarik dari titik sudut B segitiga ABC median BD dan tingginya BE..gif" alt="Area" width="82" height="46">!}

Karena segmen BD adalah median, maka

Q.E.D.

https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="Median" align="left" width="196" height="75 src=">!} Properti 4. Median suatu segitiga membagi segitiga tersebut menjadi 6 segitiga sama besar.

Bukti

Mari kita buktikan bahwa luas masing-masing enam segitiga yang mediannya membagi segitiga ABC sama dengan luas segitiga ABC. Untuk melakukan ini, perhatikan, misalnya, segitiga AOF dan jatuhkan AK yang tegak lurus dari titik sudut A ke garis BF.

Karena properti 2,

https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="Median" align="left" width="105" height="132 src=">!}

Properti 6. Median segitiga siku-siku yang ditarik dari titik sudut siku-siku sama dengan setengah sisi miring.

Bukti

https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="Median" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}

Konsekuensi:1. Pusat lingkaran yang dibatasi pada segitiga siku-siku terletak di tengah sisi miring.

2. Jika dalam suatu segitiga panjang mediannya sama dengan setengah panjang sisi yang ditariknya, maka segitiga tersebut siku-siku.

TUGAS

Saat memecahkan setiap masalah berikutnya, properti yang telah terbukti digunakan.

№1 Topik: Menggandakan median. Kesulitan: 2+

Tanda dan sifat jajar genjang Nilai : 8,9

Kondisi

Pada kelanjutan median SAYA. segi tiga ABC per poin M segmen ditunda MD, setara SAYA.. Buktikan bahwa segi empat ABDC- jajaran genjang.

Larutan

Mari kita gunakan salah satu tanda jajar genjang. Diagonal segi empat ABDC berpotongan di suatu titik M dan membaginya menjadi dua, jadi segi empat ABDC- jajaran genjang.

Catatan. Pelajaran ini menyajikan materi teori dan penyelesaian masalah geometri dengan topik “median segitiga siku-siku”. Jika Anda perlu menyelesaikan soal geometri yang tidak ada di sini, tulislah di forum. Kursus ini hampir pasti akan ditambah.

Sifat-sifat median segitiga siku-siku

Menentukan median

  • Median suatu segitiga berpotongan di satu titik dan dibagi oleh titik tersebut menjadi dua bagian dengan perbandingan 2:1, dihitung dari titik sudut. Titik perpotongannya disebut pusat gravitasi segitiga (relatif jarang dalam soal istilah "pusat massa" digunakan untuk menunjuk titik ini),
  • Median membagi sebuah segitiga menjadi dua segitiga yang berukuran sama.
  • Sebuah segitiga dibagi oleh tiga median menjadi enam segitiga sama besar.
  • Sisi segitiga yang lebih besar sama dengan median yang lebih kecil.

Permasalahan geometri yang diusulkan untuk penyelesaiannya terutama menggunakan yang berikut ini sifat-sifat median segitiga siku-siku.

  • Jumlah kuadrat median yang dijatuhkan pada kaki-kaki segitiga siku-siku sama dengan lima kuadrat median yang dijatuhkan pada sisi miring (Rumus 1)
  • Median turun ke sisi miring segitiga siku-siku sama dengan setengah sisi miring(Rumus 2)
  • Median sisi miring suatu segitiga siku-siku adalah sama dengan jari-jari lingkaran yang dibatasi diberikan segitiga siku-siku (Rumus 2)
  • Median yang dijatuhkan ke sisi miring adalah sama dengan setengah akar kuadrat dari jumlah kuadrat kaki-kakinya(Rumus 3)
  • Median yang diturunkan ke sisi miring sama dengan hasil bagi panjang kaki dibagi dua sinus sudut lancip yang berhadapan dengan kaki (Rumus 4)
  • Median yang diturunkan ke sisi miring sama dengan hasil bagi panjang kaki dibagi dua kosinus sudut lancip yang berdekatan dengan kaki (Rumus 4)
  • Jumlah kuadrat sisi-sisi segitiga siku-siku sama dengan delapan kuadrat median hingga sisi miringnya (Rumus 5)

Notasi dalam rumus:

a, b- kaki segitiga siku-siku

C- sisi miring dari segitiga siku-siku

Jika kita menyatakan suatu segitiga sebagai ABC, maka

SM = A

(yaitu, sisi a,b,c berhadapan dengan sudut-sudut yang bersesuaian)

M A- median ditarik ke kaki a

M B- median ditarik ke kaki b

M C - median segitiga siku-siku, ditarik ke sisi miring dengan

α (alfa)- sudut CAB berlawanan sisi a

Soal tentang median pada segitiga siku-siku

Median segitiga siku-siku yang ditarik ke kaki-kakinya masing-masing sama dengan 3 cm dan 4 cm. Temukan sisi miring segitiga

Larutan

Sebelum mulai menyelesaikan soal, mari kita perhatikan perbandingan panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku dan median yang diturunkan ke atasnya. Untuk melakukan ini, mari kita beralih ke rumus 2, 4, 5 sifat-sifat median pada segitiga siku-siku. Rumus ini dengan jelas menunjukkan rasio sisi miring dan median, yang diturunkan ke dalamnya sebagai 1 banding 2. Oleh karena itu, untuk kenyamanan perhitungan di masa depan (yang tidak akan mempengaruhi kebenaran solusi dengan cara apa pun, tetapi akan membuatnya lebih besar). nyaman), kita menyatakan panjang kaki AC dan BC dengan variabel x dan y sebagai 2x dan 2y (bukan x dan y).

Perhatikan segitiga siku-siku ADC. Sudut C siku-siku menurut kondisi soal, kaki AC bersekutu dengan segitiga ABC, dan kaki CD sama dengan setengah BC menurut sifat-sifat median. Kemudian menurut teorema Pythagoras

AC 2 + CD 2 = IKLAN 2

Karena AC = 2x, CD = y (karena median membagi kaki menjadi dua bagian yang sama besar), maka
4x 2 + kamu 2 = 9

Secara bersamaan, perhatikan segitiga siku-siku EBC. Ia juga mempunyai sudut siku-siku C sesuai dengan kondisi soal, kaki BC sama dengan kaki BC dari segitiga asal ABC, dan kaki EC, berdasarkan sifat median, sama dengan setengah kaki AC dari segitiga asal ABC.
Menurut teorema Pythagoras:
EC 2 + BC 2 = BE 2

Karena EC = x (median membagi kaki menjadi dua), BC = 2y, maka
x 2 + 4y 2 = 16

Karena segitiga ABC, EBC, dan ADC dihubungkan oleh sisi-sisi yang sama, maka kedua persamaan yang dihasilkan juga berhubungan.
Mari kita selesaikan sistem persamaan yang dihasilkan.
4x 2 + kamu 2 = 9
x 2 + 4y 2 = 16