Segitiga adalah bangun datar yang terdiri dari tiga garis lurus yang menghubungkan titik-titik yang tidak terletak pada garis lurus yang sama. Titik-titik sambungan garis-garis tersebut adalah titik-titik sudut segitiga yang dilambangkan dengan huruf latin (misalnya A, B, C). Garis lurus yang menghubungkan suatu segitiga disebut ruas, yang biasanya juga dilambangkan dengan huruf latin. Jenis-jenis segitiga berikut ini dibedakan:

• Persegi panjang.
• Tumpul.
• Sudut akut.
• Serbaguna.
• Sama sisi.
• Sama kaki.

Rumus umum menghitung luas segitiga

Rumus luas segitiga berdasarkan panjang dan tinggi

S= a*h/2,
dimana a adalah panjang sisi segitiga yang luasnya perlu dicari, h adalah panjang tinggi yang ditarik ke alasnya.

Rumus bangau

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
dimana √ adalah akar kuadrat, p adalah setengah keliling segitiga, a,b,c adalah panjang masing-masing sisi segitiga. Setengah keliling segitiga dapat dihitung dengan menggunakan rumus p=(a+b+c)/2.

Rumus luas segitiga berdasarkan sudut dan panjang ruasnya

S = (a*b*sin(α))/2,
dimana b,c adalah panjang sisi-sisi segitiga, sin(α) adalah sinus sudut antara kedua sisinya.

Rumus luas segitiga dengan mempertimbangkan jari-jari lingkaran dan ketiga sisinya

S=p*r,
dimana p adalah setengah keliling segitiga yang luasnya perlu dicari, r adalah jari-jari lingkaran pada segitiga tersebut.

Rumus luas segitiga berdasarkan ketiga sisinya dan jari-jari lingkaran yang dibatasi disekitarnya

S= (a*b*c)/4*R,
dimana a,b,c adalah panjang masing-masing sisi segitiga, R adalah jari-jari lingkaran yang mengelilingi segitiga.

Rumus luas segitiga menggunakan koordinat titik kartesius

Koordinat titik kartesius merupakan koordinat dalam sistem xOy, dimana x adalah absisnya, y adalah ordinatnya. Sistem koordinat Kartesius xOy pada suatu bidang adalah sumbu bilangan yang saling tegak lurus Ox dan Oy yang mempunyai titik asal yang sama di titik O. Jika koordinat titik-titik pada bidang tersebut diberikan dalam bentuk A(x1, y1), B(x2, y2 ) dan C(x3, y3 ), maka luas segitiga dapat dihitung dengan menggunakan rumus berikut yang diperoleh dari hasil kali vektor dua buah vektor.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
dimana || singkatan dari modul.

Cara mencari luas segitiga siku-siku

Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya berukuran 90 derajat. Sebuah segitiga hanya dapat memiliki satu sudut seperti itu.

Rumus luas segitiga siku-siku pada dua sisinya

S= a*b/2,
dimana a,b adalah panjang kakinya. Kaki adalah sisi-sisi yang berdekatan dengan sudut siku-siku.

Rumus luas segitiga siku-siku berdasarkan sisi miring dan sudut lancip

S = a*b*sin(α)/ 2,
dimana a, b adalah kaki-kaki segitiga, dan sin(α) adalah sinus sudut perpotongan garis a, b.

Rumus luas segitiga siku-siku berdasarkan sisi dan sudut dihadapannya

S = a*b/2*tg(β),
dimana a, b adalah kaki-kaki segitiga, tan(β) adalah garis singgung sudut di mana kaki-kaki a, b dihubungkan.

Cara menghitung luas segitiga sama kaki

Segitiga sama kaki adalah segitiga yang mempunyai dua sisi yang sama panjang. Sisi-sisi ini disebut sisi, dan sisi lainnya disebut alas. Untuk menghitung luas segitiga sama kaki, Anda dapat menggunakan salah satu rumus berikut.

Rumus dasar menghitung luas segitiga sama kaki

S=h*c/2,
dimana c adalah alas segitiga, h adalah tinggi segitiga yang diturunkan ke alasnya.

Rumus segitiga sama kaki berdasarkan sisi dan alasnya

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
dimana c adalah alas segitiga, a adalah ukuran salah satu sisi segitiga sama kaki.

Cara mencari luas segitiga sama sisi

Segitiga sama sisi adalah segitiga yang semua sisinya sama panjang. Untuk menghitung luas segitiga sama sisi, Anda dapat menggunakan rumus berikut:
S = (√3*a*a)/4,
dimana a adalah panjang sisi segitiga sama sisi.

Rumus di atas akan memungkinkan Anda menghitung luas segitiga yang dibutuhkan. Penting untuk diingat bahwa untuk menghitung luas segitiga, Anda perlu mempertimbangkan jenis segitiga dan data yang tersedia yang dapat digunakan untuk perhitungannya.

Segitiga merupakan sosok yang familiar bagi semua orang. Dan ini meskipun bentuknya sangat beragam. Persegi panjang, sama sisi, lancip, sama kaki, tumpul. Masing-masing berbeda dalam beberapa hal. Namun bagi siapa pun Anda perlu mencari luas segitiga.

Rumus umum untuk semua segitiga yang menggunakan panjang sisi atau tinggi

Sebutan yang diadopsi di dalamnya: sisi - a, b, c; ketinggian pada sisi-sisi yang bersesuaian pada a, n in, n dengan.

1. Luas segitiga dihitung sebagai hasil kali ½, sisi dan tinggi dikurangi. S = ½ * a * n a. Rumus untuk dua sisi lainnya harus ditulis dengan cara yang sama.

2. Rumus Heron yang memuat setengah keliling (biasanya dilambangkan dengan huruf kecil p, berbeda dengan keliling penuh). Cara menghitung luas setengah keliling adalah sebagai berikut: jumlahkan semua sisinya lalu bagi dengan 2. Rumus setengah kelilingnya adalah: p = (a+b+c) / 2. Maka persamaan luasnya ​gambarnya seperti ini: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).

3. Jika Anda tidak ingin menggunakan setengah keliling, maka rumus yang hanya berisi panjang sisinya akan berguna: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (a + c - c) * (a + b - c)). Ini sedikit lebih panjang dari yang sebelumnya, tetapi akan membantu jika Anda lupa cara mencari titik setengah keliling.

Rumus umum tentang sudut-sudut suatu segitiga

Notasi yang diperlukan untuk membaca rumus: α, β, γ - sudut. Mereka masing-masing terletak berhadapan pada sisi a, b, c.

1. Menurutnya, setengah hasil kali dua sisi dan sinus sudut di antara keduanya sama dengan luas segitiga. Yaitu: S = ½ a * b * sin γ. Rumus untuk dua kasus lainnya harus ditulis dengan cara yang sama.

2. Luas suatu segitiga dapat dihitung dari satu sisi dan tiga sudut yang diketahui. S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Ada juga rumus yang satu sisinya diketahui dan dua sudutnya berdekatan. Tampilannya seperti ini: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Dua rumus terakhir bukanlah yang paling sederhana. Cukup sulit untuk mengingatnya.

Rumus umum untuk situasi ketika jari-jari lingkaran bertulisan atau dibatasi diketahui

Sebutan tambahan: r, R - jari-jari. Yang pertama digunakan untuk jari-jari lingkaran yang tertulis. Yang kedua adalah untuk yang dijelaskan.

1. Rumus pertama yang digunakan untuk menghitung luas segitiga berkaitan dengan setengah keliling. S = r * r. Cara lain untuk menuliskannya adalah: S = ½ r * (a + b + c).

2. Dalam kasus kedua, Anda perlu mengalikan semua sisi segitiga dan membaginya dengan empat kali lipat jari-jari lingkaran yang dibatasi. Dalam ekspresi literalnya terlihat seperti ini: S = (a * b * c) / (4R).

3. Situasi ketiga memungkinkan Anda melakukannya tanpa mengetahui sisi-sisinya, tetapi Anda memerlukan nilai ketiga sudut. S = 2 R 2 * dosa α * dosa β * dosa γ.

Kasus khusus: segitiga siku-siku

Ini adalah situasi yang paling sederhana, karena yang diperlukan hanyalah panjang kedua kaki. Mereka dilambangkan dengan huruf Latin a dan b. Luas segitiga siku-siku sama dengan setengah luas persegi panjang yang ditambahkan padanya.

Secara matematis terlihat seperti ini: S = ½ a * b. Ini adalah yang paling mudah untuk diingat. Karena seperti rumus luas persegi panjang, hanya muncul pecahan saja yang menandakan setengahnya.

Kasus khusus: segitiga sama kaki

Karena mempunyai dua sisi yang sama besar, beberapa rumus luasnya tampak disederhanakan. Misalnya rumus Heron untuk menghitung luas segitiga sama kaki berbentuk sebagai berikut:

S = ½ dalam √((a + ½ dalam)*(a - ½ dalam)).

Jika Anda mengubahnya, itu akan menjadi lebih pendek. Dalam hal ini rumus Heron untuk segitiga sama kaki ditulis sebagai berikut:

S = ¼ dalam √(4 * a 2 - b 2).

Rumus luas terlihat lebih sederhana daripada segitiga sembarang jika sisi dan sudut di antara keduanya diketahui. S = ½ a 2 * sin β.

Kasus khusus: segitiga sama sisi

Biasanya dalam permasalahan sisi mengenai hal tersebut diketahui atau dapat diketahui dengan cara tertentu. Maka rumus mencari luas segitiga tersebut adalah sebagai berikut:

S = (a 2 √3) / 4.

Soal mencari luas jika segitiga digambarkan pada kertas kotak-kotak

Situasi paling sederhana adalah ketika sebuah segitiga siku-siku digambar sehingga kaki-kakinya bertepatan dengan garis-garis kertas. Kemudian Anda hanya perlu menghitung jumlah sel yang muat di kaki-kaki tersebut. Kemudian kalikan dan bagi dua.

Jika segitiga lancip atau tumpul, maka segitiga tersebut harus digambar menjadi persegi panjang. Maka gambar yang dihasilkan akan memiliki 3 segitiga. Salah satunya adalah yang diberikan dalam soal. Dan dua lainnya berbentuk bantu dan persegi panjang. Luas dari dua area terakhir perlu ditentukan dengan menggunakan metode yang dijelaskan di atas. Kemudian hitung luas persegi panjang dan kurangi dari yang dihitung untuk bantu. Luas segitiga ditentukan.

Situasi di mana tidak ada sisi segitiga yang bertepatan dengan garis kertas ternyata jauh lebih rumit. Kemudian perlu dituliskan dalam persegi panjang sehingga simpul-simpul gambar aslinya terletak pada sisi-sisinya. Dalam hal ini, akan ada tiga segitiga siku-siku bantu.

Contoh soal menggunakan rumus Heron

Kondisi. Beberapa segitiga mempunyai sisi-sisi yang diketahui. Sama dengan 3, 5 dan 6 cm, Anda perlu mencari luasnya.

Sekarang Anda bisa menghitung luas segitiga menggunakan rumus di atas. Di bawah akar kuadrat terdapat hasil kali empat bilangan: 7, 4, 2 dan 1. Artinya, luasnya adalah √(4 * 14) = 2 √(14).

Jika akurasi yang lebih besar tidak diperlukan, maka Anda dapat mengambil akar kuadrat dari 14. Itu sama dengan 3,74. Maka luasnya menjadi 7,48.

Menjawab. S = 2 √14 cm 2 atau 7,48 cm 2.

Contoh soal segitiga siku-siku

Kondisi. Salah satu kaki suatu segitiga siku-siku lebih besar 31 cm dari kaki kedua, Anda perlu mencari panjangnya jika luas segitiga tersebut 180 cm 2.
Larutan. Kita harus menyelesaikan sistem dua persamaan. Yang pertama terkait dengan wilayah. Yang kedua adalah dengan perbandingan kaki-kaki, yang diberikan dalam soal.
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
Pertama, nilai “a” harus disubstitusikan ke persamaan pertama. Ternyata: 180 = ½ (dalam + 31) * masuk. Ia hanya mempunyai satu besaran yang tidak diketahui, sehingga mudah untuk diselesaikan. Setelah membuka tanda kurung, diperoleh persamaan kuadrat: 2 + 31 360 = 0. Ini menghasilkan dua nilai untuk "dalam": 9 dan - 40. Angka kedua tidak cocok sebagai jawaban, karena panjang sisinya suatu segitiga tidak boleh bernilai negatif.

Tinggal menghitung bagian kedua: tambahkan 31 ke angka yang dihasilkan, ternyata 40. Ini adalah besaran yang dicari dalam soal.

Menjawab. Kaki-kaki segitiga tersebut berukuran 9 dan 40 cm.

Soal mencari sisi melalui luas, sisi dan sudut suatu segitiga

Kondisi. Luas suatu segitiga tertentu adalah 60 cm2. Salah satu sisinya perlu dihitung jika sisi kedua 15 cm dan sudut antara keduanya 30º.

Larutan. Berdasarkan notasi yang diterima, sisi yang diinginkan adalah “a”, sisi yang diketahui adalah “b”, sudut yang diberikan adalah “γ”. Maka rumus luasnya dapat ditulis ulang sebagai berikut:

60 = ½ a * 15 * dosa 30º. Di sini sinus 30 derajat adalah 0,5.

Setelah transformasi, “a” ternyata sama dengan 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Itu adalah 16.

Menjawab. Sisi yang dibutuhkan adalah 16 cm.

Soal tentang persegi yang terdapat pada segitiga siku-siku

Kondisi. Titik sudut persegi yang panjang sisinya 24 cm berimpit dengan sudut siku-siku segitiga. Dua lainnya terletak di samping. Yang ketiga milik sisi miring. Panjang salah satu kakinya 42 cm Berapa luas segitiga siku-siku?

Larutan. Pertimbangkan dua segitiga siku-siku. Yang pertama adalah yang ditentukan dalam tugas. Yang kedua didasarkan pada kaki segitiga asal yang diketahui. Serupa karena mempunyai sudut yang sama dan dibentuk oleh garis-garis sejajar.

Maka perbandingan kaki mereka adalah sama. Kaki-kaki segitiga yang lebih kecil sama dengan 24 cm (sisi persegi) dan 18 cm (diberikan kaki 42 cm dikurangi sisi persegi 24 cm). Kaki-kaki suatu segitiga besar yang bersesuaian adalah 42 cm dan x cm, “x” inilah yang diperlukan untuk menghitung luas segitiga.

18/42 = 24/x, yaitu x = 24 * 42/18 = 56 (cm).

Maka luasnya sama dengan hasil kali 56 dan 42 dibagi dua, yaitu 1176 cm 2.

Menjawab. Luas yang dibutuhkan adalah 1176 cm2.

instruksi

Para Pihak dan sudut dianggap sebagai elemen dasar A. Sebuah segitiga sepenuhnya ditentukan oleh salah satu elemen dasarnya berikut: tiga sisi, atau satu sisi dan dua sudut, atau dua sisi dan sudut di antara keduanya. Untuk keberadaan segi tiga diberikan oleh tiga sisi a, b, c, perlu dan cukup untuk memenuhi pertidaksamaan yang disebut pertidaksamaan segi tiga:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

Untuk bangunan segi tiga pada tiga sisi a, b, c, dari titik C ruas CB = a, perlu menggambar lingkaran berjari-jari b dengan menggunakan kompas. Kemudian dengan cara yang sama gambarlah sebuah lingkaran dari titik B dengan jari-jari sama dengan sisi c. Titik potongnya A adalah titik sudut ketiga yang diinginkan segi tiga ABC, dimana AB=c, CB=a, CA=b - sisi segi tiga. Masalahnya adalah, jika sisi a, b, c memenuhi pertidaksamaan segi tiga ditentukan pada langkah 1.

Area S dibangun dengan cara ini segi tiga ABC yang diketahui sisi a, b, c dihitung menggunakan rumus Heron:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
dimana a,b,c adalah sisi-sisinya segi tiga, p – setengah keliling.
p = (a+b+c)/2

Jika suatu segitiga sama sisi, artinya semua sisinya sama panjang (a=b=c).Luas segi tiga dihitung dengan rumus:
S=(a^2 v3)/4

Jika suatu segitiga siku-siku, yaitu salah satu sudutnya sama dengan 90°, dan sisi-sisi yang membentuknya adalah kaki-kaki, maka sisi ketiganya adalah sisi miring. Pada kasus ini persegi sama dengan hasil kali kaki dibagi dua.
S=ab/2

Mencari persegi segi tiga, Anda dapat menggunakan salah satu dari banyak rumus. Pilih rumus tergantung pada data apa yang sudah diketahui.

Anda akan perlu

• pengetahuan tentang rumus mencari luas segitiga

instruksi

Jika Anda mengetahui besar salah satu sisinya dan nilai tinggi yang diturunkan ke sisi tersebut dari sudut yang berlawanan, maka Anda dapat mencari luasnya dengan menggunakan persamaan berikut: S = a*h/2, dimana S adalah luasnya dari segitiga, a adalah salah satu sisi segitiga, dan h - tinggi, ke sisi a.

Ada cara yang diketahui untuk menentukan luas suatu segitiga jika ketiga sisinya diketahui. Itu adalah rumus Heron. Untuk menyederhanakan pencatatannya, nilai antara diperkenalkan - setengah keliling: p = (a+b+c)/2, di mana a, b, c - . Maka rumus Heron adalah sebagai berikut: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ eksponensial.

Misalkan Anda mengetahui salah satu sisi segitiga dan tiga sudutnya. Maka mudah untuk mencari luas segitiga: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), dimana β adalah sudut yang berhadapan dengan sisi a, dan α dan γ adalah sudut yang berdekatan dengan sisi tersebut.

Video tentang topik tersebut

catatan

Rumus paling umum yang cocok untuk semua kasus adalah rumus Heron.

Sumber:

Tips 3: Cara mencari luas segitiga berdasarkan ketiga sisinya

Menemukan luas segitiga adalah salah satu masalah paling umum dalam planimetri sekolah. Mengetahui ketiga sisi suatu segitiga sudah cukup untuk menentukan luas segitiga mana pun. Dalam kasus khusus segitiga sama sisi, cukup mengetahui panjang dua dan satu sisinya.

Anda akan perlu

• panjang sisi segitiga, rumus Heron, teorema kosinus

instruksi

Rumus Heron untuk luas segitiga adalah sebagai berikut: S = kuadrat(p(p-a)(p-b)(p-c)). Jika kita menulis setengah keliling p, kita mendapatkan: S = kuadrat(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c )/2) ) = (kuadrat((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Anda dapat memperoleh rumus luas segitiga dari pertimbangan, misalnya dengan menerapkan teorema kosinus.

Berdasarkan teorema kosinus, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Dengan menggunakan notasi yang diperkenalkan, ini juga dapat ditulis dalam bentuk: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Jadi, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Luas segitiga juga dicari dengan rumus S = a*c*sin(ABC)/2 menggunakan dua sisi dan sudut di antara keduanya. Sinus sudut ABC dapat dinyatakan melalui persamaan tersebut dengan menggunakan identitas trigonometri dasar: sin(ABC) = kuadrat(1-((cos(ABC))^2) Dengan mensubstitusikan sinus tersebut ke dalam rumus luas dan menuliskannya , Anda dapat sampai pada rumus luas segitiga ABC.

Video tentang topik tersebut

Untuk melakukan pekerjaan perbaikan, mungkin perlu dilakukan pengukuran persegi dinding Hal ini memudahkan untuk menghitung jumlah cat atau wallpaper yang dibutuhkan. Untuk pengukuran sebaiknya menggunakan pita pengukur atau pita pengukur. Pengukuran harus dilakukan setelahnya dinding diratakan.

Anda akan perlu

• -rolet;
• -tangga.

instruksi

Untuk menghitung persegi dinding, Anda perlu mengetahui ketinggian langit-langit yang tepat, dan juga mengukur panjang lantai. Ini dilakukan sebagai berikut: ambil satu sentimeter dan letakkan di atas alas tiang. Biasanya satu sentimeter tidak cukup untuk keseluruhan panjangnya, jadi kencangkan di sudut, lalu lepaskan hingga panjang maksimal. Pada titik ini beri tanda dengan pensil, tuliskan hasil yang diperoleh dan lakukan pengukuran selanjutnya dengan cara yang sama, dimulai dari titik pengukuran terakhir.

Plafon standarnya 2 meter 80 sentimeter, 3 meter, dan 3 meter 20 sentimeter, tergantung rumahnya. Jika rumah dibangun sebelum tahun 50an, kemungkinan besar ketinggian sebenarnya sedikit lebih rendah dari yang ditunjukkan. Jika Anda menghitung persegi untuk pekerjaan perbaikan, maka persediaan kecil tidak ada salahnya - pertimbangkan berdasarkan standar. Jika Anda masih perlu mengetahui tinggi sebenarnya, lakukan pengukuran. Prinsipnya mirip dengan mengukur panjang, tetapi Anda memerlukan tangga.

Kalikan indikator yang dihasilkan - ini dia persegi milikmu dinding. Benar, saat melukis atau untuk melukis perlu dilakukan pengurangan persegi bukaan pintu dan jendela. Untuk melakukan ini, letakkan satu sentimeter di sepanjang bukaan. Jika kita berbicara tentang pintu yang nantinya akan Anda ubah, maka lanjutkan dengan melepas kusen pintu, dengan mempertimbangkan saja persegi langsung ke pembukaan itu sendiri. Luas jendela dihitung sepanjang bingkainya. Setelah persegi jendela dan pintu keluar masuk dihitung, kurangi hasilnya dari total luas ruangan yang dihasilkan.

Perlu diketahui bahwa pengukuran panjang dan lebar ruangan dilakukan oleh dua orang, hal ini memudahkan untuk memasang sentimeter atau pita pengukur sehingga mendapatkan hasil yang lebih akurat. Lakukan pengukuran yang sama beberapa kali untuk memastikan angka yang diperoleh akurat.

Video tentang topik tersebut

Menemukan volume segitiga bukanlah tugas yang sepele. Faktanya adalah bahwa segitiga adalah bangun ruang dua dimensi, yaitu. ia seluruhnya terletak pada satu bidang, yang berarti ia tidak memiliki volume. Tentu saja, Anda tidak dapat menemukan sesuatu yang tidak ada. Tapi jangan menyerah! Kita dapat menerima asumsi berikut: volume suatu bangun dua dimensi adalah luasnya. Kita akan mencari luas segitiga tersebut.

Anda akan perlu

• selembar kertas, pensil, penggaris, kalkulator

instruksi

Gambarlah di selembar kertas menggunakan penggaris dan pensil. Dengan memeriksa segitiga tersebut dengan cermat, Anda dapat memastikan bahwa segitiga tersebut benar-benar tidak memiliki segitiga, karena digambar pada bidang datar. Beri label pada sisi-sisi segitiga: misalkan satu sisi menjadi sisi "a", sisi lainnya "b", dan sisi ketiga "c". Beri label titik sudut segitiga dengan huruf "A", "B" dan "C".

Ukur salah satu sisi segitiga dengan penggaris dan tuliskan hasilnya. Setelah ini, kembalikan tegak lurus ke sisi yang diukur dari titik sudut yang berlawanan, tegak lurus tersebut akan menjadi tinggi segitiga. Dalam kasus yang ditunjukkan pada gambar, tegak lurus "h" dikembalikan ke sisi "c" dari titik sudut "A". Ukur tinggi yang dihasilkan dengan penggaris dan tuliskan hasil pengukurannya.

Mungkin sulit bagi Anda untuk mengembalikan garis tegak lurus yang tepat. Dalam hal ini, Anda harus menggunakan rumus yang berbeda. Ukur semua sisi segitiga dengan penggaris. Setelah itu, hitung setengah keliling segitiga “p” dengan menjumlahkan panjang sisi-sisinya dan membagi jumlahnya menjadi dua. Memiliki nilai setengah keliling yang Anda inginkan, Anda dapat menggunakan rumus Heron. Untuk melakukannya, Anda perlu mengambil akar kuadrat dari persamaan berikut: p(p-a)(p-b)(p-c).

Anda telah memperoleh luas segitiga yang dibutuhkan. Masalah mencari volume segitiga belum terselesaikan, namun seperti disebutkan di atas, volume belum terselesaikan. Anda dapat menemukan volume yang pada dasarnya berbentuk segitiga di dunia tiga dimensi. Jika kita membayangkan segitiga asal kita menjadi limas tiga dimensi, maka volume limas tersebut adalah hasil kali panjang alasnya dengan luas segitiga yang kita peroleh.

catatan

Semakin teliti Anda mengukur, semakin akurat perhitungan Anda.

Sumber:

• Kalkulator "Semuanya untuk segalanya" - portal untuk nilai referensi
• volume segitiga pada tahun 2019

Tiga titik yang secara unik menentukan segitiga dalam sistem koordinat Kartesius adalah titik sudutnya. Mengetahui posisinya relatif terhadap masing-masing sumbu koordinat, Anda dapat menghitung parameter apa pun dari bangun datar ini, termasuk parameter yang dibatasi oleh kelilingnya. persegi. Hal ini dapat dilakukan dengan beberapa cara.

instruksi

Gunakan rumus Heron untuk menghitung luas segi tiga. Ini melibatkan dimensi ketiga sisi gambar, jadi mulailah perhitungan Anda dengan . Panjang masing-masing sisi harus sama dengan akar jumlah kuadrat panjang proyeksinya pada sumbu koordinat. Jika kita menyatakan koordinat A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) dan C(X₃,Y₃,Z₃), panjang sisi-sisinya dapat dinyatakan sebagai berikut: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Untuk menyederhanakan perhitungan, perkenalkan variabel bantu - semiperimeter (P). Dari fakta bahwa ini adalah setengah jumlah panjang semua sisi: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).

Untuk menentukan luas segitiga, Anda dapat menggunakan rumus yang berbeda-beda. Dari semua cara, cara yang paling mudah dan sering digunakan adalah dengan mengalikan tinggi dengan panjang alas lalu membagi hasilnya dengan dua. Namun, metode ini bukanlah satu-satunya. Di bawah ini Anda dapat membaca cara mencari luas segitiga menggunakan berbagai rumus.

Secara terpisah, kita akan melihat cara menghitung luas jenis segitiga tertentu - persegi panjang, sama kaki, dan sama sisi. Kami menyertai setiap rumus dengan penjelasan singkat yang akan membantu Anda memahami esensinya.

Metode universal untuk mencari luas segitiga

Rumus dibawah ini menggunakan notasi khusus. Kami akan menguraikan masing-masingnya:

• a, b, c – panjang ketiga sisi gambar yang kita pertimbangkan;
• r adalah jari-jari lingkaran yang dapat dimasukkan ke dalam segitiga kita;
• R adalah jari-jari lingkaran yang dapat dibatasi di sekelilingnya;
• α adalah besar sudut yang dibentuk oleh sisi b dan c;
• β adalah besar sudut antara a dan c;
• γ adalah besar sudut yang dibentuk oleh sisi a dan b;
• h adalah tinggi segitiga kita, diturunkan dari sudut ke sisi a;
• p – setengah jumlah sisi a, b dan c.

Secara logis jelas mengapa Anda dapat mencari luas segitiga dengan cara ini. Segitiga dapat dengan mudah diselesaikan menjadi jajar genjang, di mana salah satu sisi segitiga akan bertindak sebagai diagonal. Luas jajar genjang ditemukan dengan mengalikan panjang salah satu sisinya dengan nilai tinggi yang ditarik ke sana. Diagonal membagi jajaran genjang bersyarat ini menjadi 2 segitiga identik. Oleh karena itu, cukup jelas bahwa luas segitiga asal kita harus sama dengan setengah luas jajaran genjang bantu tersebut.

S=½ ab dosa γ

Menurut rumus ini, luas segitiga ditemukan dengan mengalikan panjang kedua sisinya, yaitu a dan b, dengan sinus sudut yang dibentuk oleh kedua sisinya. Rumus ini secara logis diturunkan dari rumus sebelumnya. Jika kita menurunkan tinggi dari sudut β ke sisi b, maka menurut sifat-sifat segitiga siku-siku, jika panjang sisi a dikalikan dengan sinus sudut γ, kita peroleh tinggi segitiga tersebut, yaitu h .

Luas bangun yang dimaksud dicari dengan mengalikan setengah jari-jari lingkaran yang dapat ditorehkan di dalamnya dengan kelilingnya. Dengan kata lain, kita mencari hasil kali setengah keliling dan jari-jari lingkaran tersebut.

S= abc/4R

Menurut rumus ini, nilai yang kita perlukan dapat dicari dengan membagi hasil kali sisi-sisi suatu bangun dengan 4 jari-jari lingkaran yang mengelilinginya.

Rumus ini bersifat universal, karena memungkinkan untuk menentukan luas segitiga apa pun (skala, sama kaki, sama sisi, persegi panjang). Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan perhitungan yang lebih kompleks, yang tidak akan kita bahas secara detail.

Luas segitiga yang mempunyai sifat tertentu

Bagaimana cara mencari luas segitiga siku-siku? Keunikan dari gambar ini adalah kedua sisinya sekaligus tingginya. Jika a dan b adalah kaki-kaki, dan c menjadi sisi miring, maka kita mencari luasnya seperti ini:

Bagaimana cara mencari luas segitiga sama kaki? Ia mempunyai dua sisi dengan panjang a dan satu sisi dengan panjang b. Oleh karena itu, luasnya dapat ditentukan dengan membagi 2 hasil kali kuadrat sisi a dengan sinus sudut γ.

Bagaimana cara mencari luas segitiga sama sisi? Di dalamnya, panjang semua sisinya sama dengan a, dan besar semua sudutnya adalah α. Tingginya sama dengan setengah hasil kali panjang sisi a dan akar kuadrat dari 3. Untuk mencari luas segitiga beraturan, Anda perlu mengalikan kuadrat sisi a dengan akar kuadrat dari 3 dan membaginya dengan 4.

Konsep wilayah

Konsep luas suatu bangun geometri, khususnya segitiga, akan dikaitkan dengan bangun datar seperti persegi. Untuk satuan luas suatu bangun geometri kita akan mengambil luas persegi yang sisinya sama dengan satu. Untuk kelengkapannya, mari kita mengingat kembali dua sifat dasar konsep luas bangun geometri.

Properti 1: Jika bangun-bangun geometri sama besar, maka luasnya juga sama.

Properti 2: Setiap angka dapat dibagi menjadi beberapa angka. Selain itu, luas bangun aslinya sama dengan jumlah luas seluruh bangun datar penyusunnya.

Mari kita lihat sebuah contoh.

Contoh 1

Jelasnya, salah satu sisi segitiga adalah diagonal persegi panjang, salah satu sisinya memiliki panjang $5$ (karena ada sel $5$), dan sisi lainnya adalah $6$ (karena ada $6$ sel). Oleh karena itu, luas segitiga ini akan sama dengan setengah persegi panjang tersebut. Luas persegi panjang tersebut adalah

Maka luas segitiga tersebut sama dengan

Jawaban: $15$.

Selanjutnya kita akan membahas beberapa cara mencari luas segitiga yaitu menggunakan tinggi dan alas, menggunakan rumus Heron, dan luas segitiga sama sisi.

Cara mencari luas segitiga menggunakan tinggi dan alasnya

Teorema 1

Luas segitiga dapat dicari sebagai setengah hasil kali panjang salah satu sisi dan tinggi sisi tersebut.

Secara matematis terlihat seperti ini

$S=\frac(1)(2)αh$

dimana $a$ adalah panjang sisinya, $h$ adalah tinggi yang ditarik ke sisi tersebut.

Bukti.

Perhatikan segitiga $ABC$ yang $AC=α$. Tinggi $BH$ ditarik ke sisi ini, yaitu sama dengan $h$. Mari kita bangun menjadi persegi $AXYC$ seperti pada Gambar 2.

Luas persegi panjang $AXBH$ adalah $h\cdot AH$, dan luas persegi panjang $HBYC$ adalah $h\cdot HC$. Kemudian

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Oleh karena itu, luas segitiga yang dibutuhkan, menurut sifat 2, adalah sama dengan

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frak(1)(2)αh$

Teorema tersebut telah terbukti.

Contoh 2

Temukan luas segitiga pada gambar di bawah ini jika sel memiliki luas sama dengan satu

Alas segitiga ini sama dengan $9$ (karena $9$ adalah $9$ persegi). Tingginya juga $9$. Kemudian, berdasarkan Teorema 1, kita peroleh

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Jawaban: $40,5$.

Rumus bangau

Teorema 2

Jika kita diberikan tiga sisi segitiga $α$, $β$ dan $γ$, maka luasnya dapat dicari sebagai berikut

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

di sini $ρ$ berarti setengah keliling segitiga ini.

Bukti.

Perhatikan gambar berikut:

Berdasarkan teorema Pythagoras, dari segitiga $ABH$ kita peroleh

Dari segitiga $CBH$, menurut teorema Pythagoras, kita peroleh

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Dari kedua relasi ini diperoleh persamaan

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Karena $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, maka $α+β+γ=2ρ$, artinya

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Berdasarkan Teorema 1, kita peroleh

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$