Algebarsko množenje. Množenje algebarskih razlomaka

Da biste izvršili množenje algebarskih (racionalnih) razlomaka, trebate:

1) Umnožak brojilaca upišite u brojilac, a umnožak nazivnika ovih razlomaka.

U ovom slučaju su potrebni polinomi.

2) Ako je moguće, smanjite razlomak.

Komentar.

Prilikom množenja, zbir i razlika moraju biti u zagradi.

Primjeri množenja algebarski razlomci.

Prilikom množenja algebarskih razlomaka, množimo zasebno brojioce, a nazivnike ovih razlomaka posebno:

Smanjujemo 36 i 45 za 9, 22 i 55 za 11, a² i za a, b i b za b, c⁵ i c² za c²:

Da biste pomnožili algebarske razlomke, pomnožite brojilac sa brojicom, a imenilac sa imeniocem. Budući da brojnici i nazivnici ovih razlomaka sadrže polinome, oni su potrebni.

U brojiocu prvog razlomka iz zagrada uzimamo zajednički faktor 3. Brojilac drugog razlomka rastavljamo na faktore kao razliku kvadrata. Imenilac prvog razlomka je kvadrat razlike. U nazivniku drugog razlomka uzimamo zajednički faktor 5:

Razlomak se može smanjiti za (x+3) i (2x-1):

Množimo brojilac brojicom, imenilac imenilac. Delujemo imenilac drugog razlomka koristeći formulu razlike kvadrata:

(a-b) i (b-a) razlikuju se samo po predznaku. Uzmimo "minus" iz zagrada, na primjer, u brojiocu. Nakon toga smanjite razlomak za (a-b) i za a:

Prilikom množenja algebarskih razlomaka, brojilac množimo brojilom, a nazivnik imeniocem. Pokušavamo rastaviti polinome uključene u njih.

U prvom razlomku brojilac je potpuni kvadrat zbira, a nazivnik je zbir kocki. U drugom razlomku u brojiocu - (dio formule za zbir kocki), u nazivniku se nalazi zajednički faktor 3, koji stavljamo iz zagrada:

Smanjujemo razlomak za (x+3)² i (x²-3x+9):

U algebri se operacije s algebarskim (racionalnim) razlomcima mogu pojaviti i kao poseban zadatak i u toku rješavanja drugih primjera, na primjer, rješavanja jednadžbi i nejednačina. Zato je važno naučiti kako množiti, dijeliti, sabirati i oduzimati takve razlomke u vremenu.

U ovom članku ćemo pogledati osnovne operacije sa algebarskim razlomcima:

• redukcijske frakcije
• množenje razlomaka
• dijeljenje razlomaka

Počnimo sa redukcija algebarskih razlomaka.

Činilo bi se da, algoritam očigledno.

To smanji algebarske razlomke, treba

1. Faktori brojilac i imenilac razlomka.

2. Smanjite jednake faktore.

Međutim, školarci često griješe kada „smanjuju“ ne faktore, već termine. Na primjer, postoje amateri koji "smanjuju" razlomke i dobiju kao rezultat, što, naravno, nije istina.

Pogledajmo primjere:

1. Smanjite frakciju:

1. Razložimo brojilac koristeći formulu kvadrata zbira, a imenilac pomoću formule razlike kvadrata

2. Podijelite brojilac i imenilac sa

2. Smanjite frakciju:

1. Rastavimo brojilac na faktore. Pošto brojilac sadrži četiri člana, koristimo grupisanje.

2. Razložimo imenilac na faktore. Možemo koristiti i grupisanje.

3. Zapišimo razlomak koji smo dobili i smanjimo iste faktore:

Množenje algebarskih razlomaka.

Prilikom množenja algebarskih razlomaka, brojilac množimo brojilom, a nazivnik množimo imenilac.

Bitan! Nema potrebe žuriti s množenjem brojnika i nazivnika razlomka. Nakon što smo zapisali umnožak brojnika razlomaka u brojiocu i umnožaka nazivnika u nazivniku, trebamo svaki faktor razložiti i smanjiti razlomak.

Pogledajmo primjere:

3. Pojednostavite izraz:

1. Zapišimo umnožak razlomaka: u brojiocu proizvod brojilaca, a u nazivniku proizvod nazivnika:

2. Razložimo svaku zagradu na faktore:

Sada moramo smanjiti iste faktore. Imajte na umu da se izrazi i razlikuju samo u znaku: a kao rezultat dijeljenja prvog izraza sa drugim dobijamo -1.

dakle,

Algebarske razlomke dijelimo prema sljedećem pravilu:

To je Da biste podijelili razlomkom, morate pomnožiti sa "obrnutim".

Vidimo da se dijeljenje razlomaka svodi na množenje, i množenje se na kraju svodi na smanjenje razlomaka.

Pogledajmo primjer:

4. Pojednostavite izraz:

“Transformacija algebarskih izraza” - Algoritam za sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomaka. Raditi na jačanju vještina sabiranja, oduzimanja, množenja. Plan lekcije. Algebarski izrazi i njihova transformacija. Izvršite operaciju množenja razlomaka. Pronađite greške. Izraz koji se sastoji od brojeva i slova. Algoritam za svođenje algebarskih razlomaka na zajednički nazivnik. Redosled radnji. Smanjite razlomak i pronađite jednak razlomak za svaki razlomak.

“Algebra kvadratne funkcije” - Formule za skraćeno množenje. Kvadratne jednadžbe. Funkcija. Grafikon čija je kvadratna funkcija prikazana na slici. Rješavanje nejednačina. Kvadratna funkcija. Grafikujte funkciju. Parabola. Y = x2 + 4x. Referentni materijal.

“Kombinatorni problemi i njihova rješenja” - Školniku o teoriji vjerovatnoće. Pojava stohastičke linije. Kombinatorski problemi i njihova rješenja. Sadržaj programa. Uslovi za nivo obuke. Prezentacije. Planiranje nastave. Produbljivanje znanja učenika. Edukativni i tematski plan. Objašnjenje.

“Algebra “Geometrijska progresija”” - Zapišite prvih pet članova geometrijske progresije. Uporedite matematičke objekte u svakoj grupi. Geometrijska progresija. Odaberite izjavu koja vam odgovara. Matematički diktat. Lični ciljevi. Minut fizičkog vaspitanja. Upišite bilo koji niz brojeva u jednu od kolona. Provjera napretka. „Matematiku ne možeš naučiti gledajući komšiju kako to radi...“ Ivan Niven. Glavno svojstvo geometrijske progresije.

“Rješavanje nejednačina s dvije varijable” - Testirajte se. X2+Y2?9 i X2+Y2. Područja za rješavanje nejednačina. Odaberimo par brojeva koji će biti rješenje. Koncept nejednakosti sa dvije varijable. Pravilo probne tačke. Par značenja. Grafovi funkcija. Rješavanje nejednačina u dvije varijable. Rješavanje nejednačina.

“Progresije u životu” - Podaci iz istorije. Sekvence: putovanje u dubine vekova. Koliko je trupaca u jednom hrpu? Problemi sa praktičnim sadržajima iz savremenih udžbenika algebre. prosječna cijena proizvodnja. O seoskim glasinama. Jedna biljka maslačka. Formule. Napredak u bankarstvu i industriji. Lisne uši. Ciliates. Svojstva aritmetičke i geometrijske progresije. Progresije i bankovna poravnanja.

Ova lekcija će pokriti pravila za množenje i dijeljenje algebarskih razlomaka, kao i primjere primjene ovih pravila. Množenje i dijeljenje algebarskih razlomaka ne razlikuje se od množenja i dijeljenja obične frakcije. Istovremeno, prisustvo varijabli dovodi do nešto više na složene načine pojednostavljenje rezultirajućih izraza. Unatoč činjenici da je množenje i dijeljenje razlomaka lakše nego zbrajati i oduzimati, proučavanju ove teme mora se pristupiti krajnje odgovorno, jer u njemu postoje mnoge zamke na koje se obično ne obraća pažnja. U sklopu lekcije nećemo samo proučavati pravila množenja i dijeljenja razlomaka, već ćemo analizirati i nijanse koje se mogu pojaviti pri njihovoj upotrebi.

Predmet:Algebarski razlomci. Aritmetičke operacije nad algebarskim razlomcima

lekcija:Množenje i dijeljenje algebarskih razlomaka

Pravila za množenje i dijeljenje algebarskih razlomaka su apsolutno slična pravilima za množenje i dijeljenje običnih razlomaka. Podsjetimo ih:

Odnosno, da biste pomnožili razlomke, potrebno je pomnožiti njihove brojioce (ovo će biti brojnik proizvoda) i pomnožiti njihove nazivnike (ovo će biti imenilac proizvoda).

Dijeljenje razlomkom je množenje obrnutim razlomkom, odnosno da biste podijelili dva razlomka, potrebno je prvi od njih (dividendu) pomnožiti sa obrnutim drugim (djeliteljem).

Unatoč jednostavnosti ovih pravila, mnogi ljudi griješe u brojnim posebnim slučajevima kada rješavaju primjere na ovu temu. Pogledajmo bliže ove posebne slučajeve:

U svim ovim pravilima koristili smo sljedeću činjenicu: .

Hajde da riješimo nekoliko primjera množenja i dijeljenja običnih razlomaka da zapamtimo kako koristiti ova pravila.

Primjer 1

Bilješka: Prilikom redukcije razlomaka koristili smo dekompoziciju brojeva na proste faktore. Da vas podsjetimo na to primarni brojevi ovi se zovu cijeli brojevi, koji su djeljivi samo po sebi. Pozivaju se preostali brojevi kompozitni . Broj nije ni prost ni složen. Primjeri primarni brojevi: .

Primjer 2

Razmotrimo sada jedan od specijalnih slučajeva s običnim razlomcima.

Primjer 3

Kao što vidite, množenje i dijeljenje običnih razlomaka, u slučaju ispravnu primjenu Pravila nisu komplikovana.

Pogledajmo množenje i dijeljenje algebarskih razlomaka.

Primjer 4

Primjer 5

Imajte na umu da je moguće i čak potrebno smanjiti razlomke nakon množenja prema istim pravilima koja smo prethodno razmatrali u lekcijama posvećenim redukciji algebarskih razlomaka. Pogledajmo nekoliko jednostavni primjeri za posebne slučajeve.

Primjer 6

Primjer 7

Razmotrimo sada malo više složeni primjeri o množenju i dijeljenju razlomaka.

Primjer 8

Primjer 9

Primjer 10

Primjer 11

Primjer 12

Primjer 13

Prethodno smo gledali razlomke u kojima su i brojnik i imenilac bili monomi. Međutim, u nekim slučajevima je potrebno pomnožiti ili podijeliti razlomke čiji su brojnici i nazivnici polinomi. U ovom slučaju pravila ostaju ista, ali za smanjenje potrebno je koristiti skraćene formule za množenje i zagrade.

Primjer 14

Primjer 15

Primjer 16

Primjer 17

Primjer 18

Primjer.

Pronađite proizvod algebarskih razlomaka i .

Rješenje.

Prije množenja razlomaka, činimo polinom u brojniku prvog razlomka i nazivniku drugog. U tome će nam pomoći odgovarajuće skraćene formule množenja: x 2 +2·x+1=(x+1) 2 i x 2 −1=(x−1)·(x+1) . Dakle, .

Očigledno, rezultujuća frakcija se može smanjiti (o ovom procesu smo raspravljali u članku o smanjenju algebarskih razlomaka).

Ostaje samo da napišete rezultat u obliku algebarskog razlomka, za koji morate pomnožiti monom polinomom u nazivniku: .

Obično se rješenje piše bez objašnjenja kao niz jednakosti:

odgovor:

.

Ponekad s algebarskim razlomcima koje treba pomnožiti ili podijeliti, morate izvršiti neke transformacije kako biste operaciju učinili lakšom i bržom.

Primjer.

Podijelite algebarski razlomak razlomkom.

Rješenje.

Pojednostavimo oblik algebarskog razlomka tako što ćemo se osloboditi koeficijenta razlomka. Da bismo to učinili, pomnožimo njegov brojnik i nazivnik sa 7, što nam omogućava da napravimo glavno svojstvo algebarskog razlomka, imamo .

Sada je postalo jasno da su nazivnik rezultirajućeg razlomka i nazivnik razlomka kojim trebamo podijeliti suprotni izrazi. Promenimo predznake brojioca i imenioca razlomka, imamo .