Šta znači pravi razlomak? Nepravilan razlomak

S razlomcima u životu nailazimo mnogo ranije nego što ih počnemo proučavati u školi. Ako cijelu jabuku prepolovimo, dobijemo ½ ploda. Hajde da ga isečemo ponovo - biće ¼. Ovo su razlomci. I sve je izgledalo jednostavno. Za odraslu osobu. Za dijete (i ovu temu početi učiti na kraju osnovne škole) apstraktni matematički pojmovi su još uvijek zastrašujuće nerazumljivi i nastavnik mora jasno objasniti šta pravilan razlomak i nepravilne, obične i decimalne, koje se operacije s njima mogu izvoditi i, najvažnije, zašto je sve to potrebno.

Koje vrste razlomaka postoje?

Upoznavanje nova tema u školi počinje sa obične frakcije. Lako se prepoznaju po horizontalnoj liniji koja razdvaja dva broja - iznad i ispod. Gornji se zove brojilac, a donji imenilac. Postoji i opcija malim slovima za pisanje nepravilnih i pravilnih običnih razlomaka - kroz kosu crtu, na primjer: ½, 4/9, 384/183. Ova opcija se koristi kada je visina linije ograničena i nije moguće koristiti obrazac za unos na dva sprata. Zašto? Da, jer je to praktičnije. Videćemo ovo malo kasnije.

Osim običnih razlomaka, postoje i decimalni razlomci. Vrlo ih je jednostavno razlikovati: ako se u jednom slučaju koristi vodoravna ili kosa crta, u drugom se zarez koristi za razdvajanje nizova brojeva. Pogledajmo primjer: 2.9; 163.34; 1.953. Namjerno smo koristili tačku i zarez kao separator da razgraničimo brojeve. Prvi od njih će glasiti ovako: "dva tačka devet".

Novi koncepti

Vratimo se običnim razlomcima. Dolaze u dvije vrste.

Definicija pravilnog razlomka je sljedeća: to je razlomak čiji je brojnik manji od nazivnika. Zašto je to važno? Sad ćemo vidjeti!

Imate nekoliko jabuka, prepolovljenih. Ukupno - 5 delova. Kako biste rekli: imate li “dvije i po” ili “pet i po” jabuka? Naravno, prva opcija zvuči prirodnije i koristićemo je kada razgovaramo sa prijateljima. Ali ako treba da izračunamo koliko će voća dobiti svaka osoba, ako je u kompaniji pet ljudi, zapisaćemo broj 5/2 i podeliti ga sa 5 - sa matematičke tačke gledišta, ovo će biti jasnije .

Dakle, za imenovanje pravih i nepravih razlomaka pravilo je sljedeće: ako se cijeli dio može razlikovati u razlomku (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), onda je nepravilan. Ako se to ne može učiniti, kao u slučaju ½, 13/16, 9/10, bit će ispravno.

Glavno svojstvo razlomka

Ako se brojnik i imenilac razlomka istovremeno pomnože ili podijele istim brojem, njegova vrijednost se ne mijenja. Zamislite: isjekli su kolač na 4 jednaka dijela i dali vam jedan. Istu tortu su isjekli na osam komada i dali vam dva. Da li je to zaista važno? Na kraju krajeva, ¼ i 2/8 su ista stvar!

Redukcija

Autori zadataka i primjera u udžbenicima matematike često nastoje zbuniti učenike nudeći razlomke koje je glomazno napisati, ali se zapravo mogu skratiti. Evo primjera pravilnog razlomka: 167/334, koji, čini se, izgleda vrlo "strašno". Ali zapravo to možemo napisati kao ½. Broj 334 je djeljiv sa 167 bez ostatka - nakon izvođenja ove operacije dobijamo 2.

Mješoviti brojevi

Nepravilan razlomak se može predstaviti kao mješoviti broj. To je kada se cijeli dio pomakne naprijed i napiše na nivou vodoravne linije. U stvari, izraz ima oblik zbira: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 i tako dalje.

Da biste izvadili cijeli dio, trebate podijeliti brojilac sa nazivnikom. Ostatak podjele napišite na vrhu, iznad linije, a cijeli dio - prije izraza. Tako dobijamo dva strukturna dijela: cijele jedinice + pravi razlomak.

Također možete izvršiti inverznu operaciju - da biste to učinili, trebate pomnožiti cijeli broj sa nazivnikom i dodati rezultirajuću vrijednost brojniku. Ništa komplikovano.

Množenje i dijeljenje

Čudno je da je množenje razlomaka lakše nego zbrajanje. Sve što je potrebno je produžiti horizontalnu liniju: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.

Kod dijeljenja je sve također jednostavno: trebate pomnožiti razlomke unakrsno: (7/8) / (14/15) = 7 * 15 / 8 * 14 = 15/16.

Zbrajanje razlomaka

Što učiniti ako trebate izvršiti sabiranje ili imaju različite brojeve u nazivniku? Neće raditi isto kao s množenjem - ovdje biste trebali razumjeti definiciju pravog razlomka i njegovu suštinu. Potrebno je dovesti članove na zajednički imenilac, odnosno donji dio oba razlomka mora imati iste brojeve.

Da biste to učinili, trebali biste koristiti osnovno svojstvo razlomka: pomnožite oba dijela istim brojem. Na primjer, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.

Kako odabrati na koji nazivnik sveti članove? Ovo mora biti minimalni broj koji je višekratnik oba broja u nazivnicima razlomaka: za 1/3 i 1/9 to će biti 9; za ½ i 1/7 - 14, jer nema manje vrijednosti djeljive sa 2 i 7 bez ostatka.

Upotreba

čemu služe? nepravilni razlomci? Na kraju krajeva, mnogo je zgodnije odmah odabrati cijeli dio, dobiti mješoviti broj - i završiti s tim! Ispada da ako trebate pomnožiti ili podijeliti dva razlomka, isplativije je koristiti nepravilne.

Uzmimo sljedeći primjer: (2 + 3/17) / (37 / 68).

Čini se da se uopšte nema šta rezati. Ali šta ako rezultat sabiranja zapišemo u prve zagrade kao nepravilan razlomak? Pogledajte: (37/17) / (37/68)

Sada sve dolazi na svoje mjesto! Napišimo primjer na način da sve postane očigledno: (37*68) / (17*37).

Poništimo broj 37 u brojniku i nazivniku i konačno podijelimo gornji i donji dio sa 17. Sjećate li se osnovnog pravila za prave i nepravilne razlomke? Možemo ih množiti i dijeliti bilo kojim brojem sve dok to radimo za brojnik i nazivnik u isto vrijeme.

Dakle, dobijamo odgovor: 4. Primer je izgledao komplikovano, ali odgovor sadrži samo jedan broj. Ovo se često dešava u matematici. Glavna stvar je ne plašiti se i slijediti jednostavna pravila.

Uobičajene greške

Prilikom implementacije, učenik može lako napraviti jednu od uobičajenih grešaka. Obično se javljaju zbog nepažnje, a ponekad i zbog činjenice da proučavani materijal još nije pravilno pohranjen u glavi.

Često zbir brojeva u brojiocu izaziva želju da smanjite njegove pojedinačne komponente. Recimo u primjeru: (13 + 2) / 13, napisano bez zagrada (s horizontalnom linijom), mnogi učenici zbog neiskustva precrtavaju 13 iznad i ispod. Ali to ne bi trebalo raditi ni pod kojim okolnostima, jer je to velika greška! Kada bi umjesto sabiranja postojao znak množenja, u odgovoru bismo dobili broj 2. Ali prilikom sabiranja nisu dozvoljene operacije s jednim od članova, samo s cijelim zbirom.

Momci također često griješe kada dijele razlomke. Uzmimo dva ispravna nesvodljiva razlomka i podijelimo ih jedan s drugim: (5/6) / (25/33). Učenik ga može pomiješati i rezultirajući izraz napisati kao (5*25) / (6*33). Ali to bi se dogodilo s množenjem, ali u našem slučaju sve će biti nešto drugačije: (5*33) / (6*25). Smanjujemo ono što je moguće, a odgovor će biti 11/10. Dobijeni nepravilni razlomak zapisujemo kao decimalu - 1,1.

Zagrade

Zapamtite da je u svakom matematičkom izrazu redoslijed operacija određen prioritetom znakova operatora i prisustvom zagrada. Pod svim ostalim jednakim uvjetima, redoslijed radnji se računa s lijeva na desno. To vrijedi i za razlomke - izraz u brojniku ili nazivniku se izračunava striktno prema ovom pravilu.

Na kraju krajeva, ovo je rezultat dijeljenja jednog broja drugim. Ako nisu ravnomjerno podijeljeni, postaje razlomak - to je sve.

Kako napisati razlomak na kompjuteru

Budući da standardni alati ne dozvoljavaju uvijek stvaranje razlomka koji se sastoji od dva „sloja“, učenici ponekad pribjegavaju raznim trikovima. Na primjer, oni kopiraju brojnike i nazivnike u grafički uređivač Paint i lijepe ih zajedno, crtajući horizontalnu liniju između njih. Naravno, postoji jednostavnija opcija, koja, usput, pruža mnogo toga dodatne funkcije, koji će vam biti od koristi u budućnosti.

Otvorite Microsoft Word. Jedan od panela na vrhu ekrana se zove „Insert“ - kliknite na njega. Sa desne strane, sa strane na kojoj se nalaze ikone za zatvaranje i minimiziranje prozora, nalazi se dugme „Formula“. Ovo je upravo ono što nam treba!

Ako koristite ovu funkciju, na ekranu će se pojaviti pravougaona oblast u kojoj možete koristiti sve matematičke simbole koji nisu na tastaturi, kao i pisati razlomke u klasičan izgled. To jest, dijeljenje brojnika i nazivnika vodoravnom linijom. Možda ćete se čak i iznenaditi da je takav pravi razlomak tako lako napisati.

Naučite matematiku

Ako ste u razredu 5-6, tada će uskoro biti potrebno znanje matematike (uključujući sposobnost rada sa razlomcima!) u mnogim školskim predmetima. U gotovo svakom problemu iz fizike, pri mjerenju mase tvari u hemiji, u geometriji i trigonometriji, ne možete bez razlomaka. Uskoro ćete naučiti sve u mislima izračunati, čak i bez zapisivanja izraza na papir, već sve više i više složeni primjeri. Stoga, naučite šta je pravi razlomak i kako s njim raditi, budite u toku nastavni plan i program, uradite domaći na vrijeme i uspjet ćete.

Obični razlomci se dijele na \textit (pravilne) i \textit (nepravilne) razlomke. Ova podjela se zasniva na poređenju brojnika i nazivnika.

Pravilni razlomci

Pravilan razlomak Poziva se običan razlomak $\frac(m)(n)$, kod kojeg je brojilac manji od nazivnika, tj. $m

Primjer 1

Na primjer, razlomci $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ su tačni , pa kako je u svakom od njih brojilac manji od nazivnika, što zadovoljava definiciju pravilnog razlomka.

Postoji definicija pravilnog razlomka, koja se zasniva na poređenju razlomka sa jedinicom.

ispravan, ako je manji od jedan:

Primjer 2

Na primjer, obični razlomak $\frac(6)(13)$ je pravilan jer uslov $\frac(6)(13) je zadovoljen

Nepravilni razlomci

Nepravilan razlomak Poziva se običan razlomak $\frac(m)(n)$, u kojem je brojilac veći ili jednak nazivniku, tj. $m\ge n$.

Primjer 3

Na primjer, razlomci $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ su nepravilni , pa kako je u svakom od njih brojilac veći ili jednak nazivniku, što zadovoljava definiciju nepravilnog razlomka.

Hajde da damo definiciju nepravilnog razlomka, koja se zasniva na njegovom poređenju sa jedinicom.

Uobičajeni razlomak $\frac(m)(n)$ je pogrešno, ako je jednak ili veći od jedan:

\[\frac(m)(n)\ge 1\]

Primjer 4

Na primjer, zajednički razlomak $\frac(21)(4)$ je nepravilan jer uslov $\frac(21)(4) >1$ je zadovoljen;

obični razlomak $\frac(8)(8)$ je nepravilan jer uslov $\frac(8)(8)=1$ je zadovoljen.

Pogledajmo pobliže koncept nepravilnog razlomka.

Uzmimo nepravilan razlomak $\frac(7)(7)$ kao primjer. Značenje ovog razlomka je uzeti sedam udjela objekta, koji je podijeljen na sedam jednakih dijelova. Tako se od sedam dostupnih dionica može sastaviti cijeli objekt. One. nepravilan razlomak $\frac(7)(7)$ opisuje cijeli objekt i $\frac(7)(7)=1$. Dakle, nepravilni razlomci, u kojima je brojilac jednak nazivniku, opisuju jedan cijeli objekt i takav razlomak se može zamijeniti prirodnim brojem $1$.

$\frac(5)(2)$ -- sasvim je očigledno da od ovih pet drugih dijelova možete napraviti $2$ cijelih objekata (jedan cijeli objekt će se sastojati od $2$ dijelova, a da sastavite dva cijela objekta vi potrebno $2+2=4$ dionica) i jedna druga dionica ostaje. To jest, nepravilan razlomak $\frac(5)(2)$ opisuje $2$ objekta i $\frac(1)(2)$ udio ovog objekta.

$\frac(21)(7)$ -- od dvadeset i jedne sedmine možete napraviti $3$ cijelih objekata ($3$ objekata sa $7$ dionica u svakom). One. razlomak $\frac(21)(7)$ opisuje $3$ cijelih objekata.

Iz razmotrenih primjera možemo izvući sljedeći zaključak: nepravilan razlomak se može zamijeniti prirodnim brojem ako je brojilac djeljiv sa nazivnikom (na primjer, $\frac(7)(7)=1$ i $\frac (21)(7)=3$) , ili zbir prirodnog broja i pravilnog razlomka, ako brojilac nije potpuno djeljiv sa nazivnikom (na primjer, $\ \frac(5)(2)=2+ \frac(1)(2)$). Zato se takvi razlomci nazivaju pogrešno.

Definicija 1

Proces predstavljanja nepravilnog razlomka kao zbira prirodnog broja i pravilnog razlomka (na primjer, $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) naziva se odvajajući cijeli dio od nepravilnog razlomka.

Kada radite s nepravilnim razlomcima, postoji bliska veza između njih i mešoviti brojevi.

Nepravilan razlomak se često piše kao mješoviti broj - broj koji se sastoji od cijelog broja i razlomka.

Da biste napisali nepravilan razlomak kao mješoviti broj, morate podijeliti brojilac sa nazivnikom s ostatkom. Kvocijent će biti cijeli dio mješovitog broja, ostatak će biti brojnik razlomaka, a djelitelj će biti imenilac razlomaka.

Primjer 5

Zapišite nepravilan razlomak $\frac(37)(12)$ kao mješoviti broj.

Rješenje.

Podelite brojilac sa imeniocem sa ostatkom:

\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (ostatak\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]

Odgovori.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$.

Da biste mješoviti broj napisali kao nepravilan razlomak, trebate pomnožiti nazivnik cijelim dijelom broja, dodati brojnik razlomka na rezultirajući proizvod, a rezultirajući iznos upisati u brojnik razlomka. Imenilac nepravilnog razlomka biće jednak nazivniku razlomka mešovitog broja.

Primjer 6

Zapišite mješoviti broj $5\frac(3)(7)$ kao nepravilan razlomak.

Rješenje.

Odgovori.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.

Sabiranje mješovitih brojeva i pravih razlomaka

Mješovito zbrajanje brojeva$a\frac(b)(c)$ i pravi razlomak$\frac(d)(e)$ se izvodi dodavanjem datom razlomku razlomka datog mješovitog broja:

Primjer 7

Dodajte pravi razlomak $\frac(4)(15)$ i mješoviti broj $3\frac(2)(5)$.

Rješenje.

Koristimo formulu za sabiranje mješovitog broja i pravilnog razlomka:

\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\left(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\right)=3+\ lijevo(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\right)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( 15)\]

Dijeljenjem sa brojem \textit(5) možemo utvrditi da je razlomak $\frac(10)(15)$ reducibilan. Izvršimo redukciju i pronađemo rezultat sabiranja:

Dakle, rezultat sabiranja pravilnog razlomka $\frac(4)(15)$ i mješovitog broja $3\frac(2)(5)$ je $3\frac(2)(3)$.

odgovor:$3\frac(2)(3)$

Sabiranje mješovitih brojeva i nepravilnih razlomaka

Zbrajanje nepravilnih razlomaka i mješovitih brojeva svodi na sabiranje dva mješovita broja, za što je dovoljno izolirati cijeli dio od nepravilnog razlomka.

Primjer 8

Izračunajte zbir mješovitog broja $6\frac(2)(15)$ i nepravilnog razlomka $\frac(13)(5)$.

Rješenje.

Prvo, izdvojimo cijeli broj iz nepravilnog razlomka $\frac(13)(5)$:

odgovor:$8\frac(11)(15)$.

Jednostavna matematička pravila i tehnike, ako se ne koriste stalno, najbrže se zaboravljaju. Termini nestaju iz memorije još brže.

Jedna od ovih jednostavnih radnji je pretvaranje nepravilnog razlomka u pravilan ili, drugim riječima, mješoviti razlomak.

Nepravilan razlomak

Nepravilan razlomak je onaj kod kojeg je brojilac (broj iznad prave) veći ili jednak nazivniku (broj ispod prave). Ovaj razlomak se dobiva zbrajanjem razlomaka ili množenjem razlomka cijelim brojem. Prema pravilima matematike, takav razlomak se mora pretvoriti u pravilan.

Pravilan razlomak

Logično je pretpostaviti da se svi ostali razlomci nazivaju pravim. Stroga definicija je da se razlomak čiji je brojilac manji od nazivnika naziva pravim. Razlomak koji ima cijeli broj ponekad se naziva mješoviti razlomak.

Pretvaranje nepravilnog razlomaka u pravilan razlomak

Prvi slučaj: brojilac i imenilac su međusobno jednaki. Rezultat pretvaranja bilo kojeg takvog razlomka je jedan. Nije bitno da li je to tri trećine ili sto dvadeset i pet sto dvadeset petih. U suštini, takav razlomak označava radnju dijeljenja broja samim sobom.

Drugi slučaj: brojilac je veći od nazivnika. Ovdje morate zapamtiti metodu dijeljenja brojeva s ostatkom.
Da biste to učinili, morate pronaći broj najbliži vrijednosti brojnika, koji je djeljiv sa nazivnikom bez ostatka. Na primjer, imate razlomak devetnaest trećina. Najbliži broj koji se može podijeliti sa tri je osamnaest. To je šest. Sada oduzmite rezultirajući broj od brojilaca. Dobijamo jedan. Ovo je ostatak. Zapišite rezultat konverzije: šest cijelih i jedna trećina.

Ali prije smanjivanja razlomka na pravu vrstu, morate provjeriti da li se može skratiti.
Možete smanjiti razlomak ako brojnik i nazivnik imaju zajednički faktor. To jest, broj kojim su oba djeljiva bez ostatka. Ako postoji nekoliko takvih djelitelja, morate pronaći najveći.
Na primjer, svi parni brojevi imaju takav zajednički djelitelj - dva. A razlomak šesnaest dvanaesti ima još jedan zajednički djelitelj - četiri. Ovo je najveći djelitelj. Podijelite brojilac i imenilac sa četiri. Rezultat smanjenja: četiri trećine. Sada, kao praksa, pretvorite ovaj razlomak u pravi razlomak.

Riječ “frakcije” mnogima izaziva ježinu. Zato što se sjećam škole i zadataka koji su se rješavali iz matematike. To je bila dužnost koju je trebalo ispuniti. Šta ako biste probleme koji uključuju pravilne i nepravilne razlomke tretirali kao slagalicu? Uostalom, mnogi odrasli rješavaju digitalne i japanske križaljke. Shvatili smo pravila i to je to. I ovdje je isto. Treba se samo udubiti u teoriju - i sve će doći na svoje mjesto. A primjeri će se pretvoriti u način da trenirate svoj mozak.

Koje vrste razlomaka postoje?

Počnimo od toga šta je to. Razlomak je broj koji ima neki dio jedan. Može se napisati u dva oblika. Prvi se zove običan. To jest, onaj koji ima vodoravnu ili nagnutu liniju. To je ekvivalentno znaku podjele.

U ovom zapisu, broj iznad linije naziva se brojilac, a broj ispod njega naziva se imenilac.

Među običnim razlomcima razlikuju se pravilni i nepravilni razlomci. Za prvi, apsolutna vrijednost brojnika je uvijek manja od nazivnika. Pogrešni se tako zovu jer imaju sve obrnuto. Vrijednost pravog razlomka je uvijek manja od jedan. Dok je netačan uvijek veći od ovog broja.

Postoje i mješoviti brojevi, odnosno oni koji imaju cijeli broj i razlomak.

Druga vrsta snimanja je decimalni. O njoj se vodi poseban razgovor.

Po čemu se nepravilni razlomci razlikuju od mješovitih brojeva?

U suštini, ništa. To je jednostavno drugačiji unos isti broj. Nepravilni razlomci lako postaju mješoviti brojevi nakon jednostavnih koraka. I obrnuto.

Sve zavisi od konkretne situacije. Ponekad je prikladnije koristiti nepravilan razlomak u zadacima. A ponekad je potrebno to pretvoriti u mješoviti broj i tada će se primjer vrlo lako riješiti. Dakle, šta koristiti: nepravilni razlomci, mešoviti brojevi, zavisi od veštine posmatranja osobe koja rešava problem.

Mješoviti broj se također poredi sa zbirom cijelog dijela i razlomka. Štaviše, drugi je uvijek manji od jedan.

Kako mješoviti broj predstaviti kao nepravilan razlomak?

Ako trebate izvršiti bilo koju radnju s nekoliko brojeva koji su upisani različite vrste, onda ih morate učiniti istim. Jedna metoda je predstavljanje brojeva kao nepravilnih razlomaka.

U tu svrhu morat ćete izvesti sljedeći algoritam:

pomnoži imenilac sa celim delom;
rezultatu dodajte vrijednost brojilaca;
napišite odgovor iznad reda;
ostavite imenilac isti.

Evo primjera kako napisati nepravilne razlomke iz mješovitih brojeva:

17 ¼ = (17 x 4 + 1) : 4 = 69/4;
39 ½ = (39 x 2 + 1) : 2 = 79/2.

Kako napisati nepravilan razlomak kao mješoviti broj?

Sljedeća tehnika je suprotna od one o kojoj je bilo riječi gore. To jest, kada se svi mješoviti brojevi zamijene nepravilnim razlomcima. Algoritam akcija bit će sljedeći:

podijelite brojilac sa nazivnikom da dobijete ostatak;
napišite količnik umjesto cijelog dijela mješovitog;
ostatak treba postaviti iznad linije;
djelitelj će biti imenilac.

Primjeri takve transformacije:

76/14; 76:14 = 5 sa ostatkom 6; odgovor će biti 5 cijeli i 6/14; razlomak u ovom primjeru treba smanjiti za 2, što rezultira 3/7; konačni odgovor je 5 bodova 3/7.

108/54; nakon dijeljenja dobije se količnik 2 bez ostatka; to znači da se svi nepravilni razlomci ne mogu predstaviti kao mješoviti broj; odgovor će biti cijeli broj - 2.

Kako ceo broj pretvoriti u nepravilan razlomak?

Postoje situacije kada je takva akcija neophodna. Da biste dobili nepravilne razlomke s poznatim nazivnikom, morat ćete izvesti sljedeći algoritam:

pomnožiti cijeli broj sa željenim nazivnikom;
upišite ovu vrijednost iznad linije;
stavite imenilac ispod njega.

Najjednostavnija opcija je kada je imenilac jednak jedan. Onda ne morate ništa da množite. Dovoljno je jednostavno napisati cijeli broj dat u primjeru, a jedan staviti ispod reda.

Primjer: 5 je napravljen nepravilan razlomak sa nazivnikom 3. Nakon množenja 5 sa 3, rezultat je 15. Ovaj broj će biti imenilac. Odgovor na zadatak je razlomak: 15/3.

Dva pristupa rješavanju zadataka s različitim brojevima

Primer zahteva izračunavanje zbira i razlike, kao i proizvoda i količnika dva broja: 2 cela broja 3/5 i 14/11.

U prvom pristupu mješoviti broj će biti predstavljen kao nepravilan razlomak.

Nakon izvođenja gore opisanih koraka, dobit ćete sljedeću vrijednost: 13/5.

Da biste saznali zbroj, trebate svesti razlomke na isti nazivnik. 13/5 nakon množenja sa 11 postaje 143/55. A 14/11 nakon množenja sa 5 će izgledati ovako: 70/55. Da biste izračunali zbir, trebate samo sabrati brojioce: 143 i 70, a zatim zapisati odgovor s jednim nazivnikom. 213/55 - ovaj nepravilni razlomak je odgovor na problem.

Prilikom pronalaženja razlike oduzimaju se isti brojevi: 143 - 70 = 73. Odgovor će biti razlomak: 73/55.

Kada množite 13/5 i 14/11, ne morate ih dovesti do zajedničkog nazivnika. Dovoljno je pomnožiti brojioce i nazivnike u parovima. Odgovor će biti: 182/55.

Isto važi i za podjelu. Za ispravna odluka trebate zamijeniti dijeljenje množenjem i obrnuti djelitelj: 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70.

U drugom pristupu nepravilan razlomak postaje mješoviti broj.

Nakon izvođenja radnji algoritma, 14/11 će se pretvoriti u mješoviti broj s cijelim dijelom od 1 i razlomkom od 3/11.

Prilikom izračunavanja zbroja potrebno je zasebno sabrati cijeli i razlomak. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Konačan odgovor je 3 boda 48/55. U prvom pristupu razlomak je bio 213/55. Možete provjeriti njegovu ispravnost tako što ćete ga pretvoriti u mješoviti broj. Nakon dijeljenja 213 sa 55, količnik je 3, a ostatak je 48. Lako je vidjeti da je odgovor tačan.

Prilikom oduzimanja, znak “+” zamjenjuje se “-”. 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Da bismo provjerili, odgovor iz prethodnog pristupa treba pretvoriti u mješoviti broj: 73 podijeljeno sa 55 i količnik je 1, a ostatak je 18.

Za pronalaženje proizvoda i količnika nezgodno je koristiti mješovite brojeve. Ovdje je uvijek preporučljivo prijeći na nepravilne razlomke.

Nepravilan razlomak

Četvrtine

Urednost. a I b postoji pravilo koje vam omogućava da jedinstveno identifikujete jedan i samo jedan od tri odnosa između njih: “< », « >" ili " = ". Ovo pravilo se zove pravilo naručivanja i formulira se na sljedeći način: dva nenegativna broja i povezani su istom relacijom kao dva cijela broja i ; dva nepozitivna broja a I b povezani su istim odnosom kao dva nenegativna broja i ; ako iznenada a nije negativan, ali b- negativno, onda a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Zbrajanje razlomaka
Operacija sabiranja. Za sve racionalne brojeve a I b postoji tzv pravilo sumiranja c. Istovremeno, sam broj c pozvao iznos brojevi a I b i označava se sa , a proces pronalaženja takvog broja se zove sumiranje. Pravilo sumiranja ima sljedeći pogled: .
Operacija množenja. Za sve racionalne brojeve a I b postoji tzv pravilo množenja, što im dodeljuje neki racionalni broj c. Istovremeno, sam broj c pozvao rad brojevi a I b i označava se sa , a proces pronalaženja takvog broja se također naziva množenje. Pravilo množenja izgleda ovako: .
Tranzitivnost odnosa poretka. Za bilo koju trojku racionalnih brojeva a , b I c Ako a manje b I b manje c, To a manje c, i ako a jednaki b I b jednaki c, To a jednaki c. 6435">Komutativnost sabiranja. Promjenom mjesta racionalnih članova ne mijenja se zbir.
Asocijativnost sabiranja. Redoslijed sabiranja tri racionalna broja ne utječe na rezultat.
Prisustvo nule. Postoji racionalni broj 0 koji čuva svaki drugi racionalni broj kada se doda.
Prisustvo suprotnih brojeva. Svaki racionalni broj ima suprotan racionalni broj, koji kada se doda sa daje 0.
Komutativnost množenja. Promena mesta racionalnih faktora ne menja proizvod.
Asocijativnost množenja. Redoslijed kojim se množe tri racionalna broja ne utječe na rezultat.
Dostupnost jedinice. Postoji racionalni broj 1 koji čuva svaki drugi racionalni broj kada se množi.
Prisustvo recipročnih brojeva. Svaki racionalni broj ima inverzni racionalni broj, koji kada se pomnoži sa daje 1.
Distributivnost množenja u odnosu na sabiranje. Operacija množenja je koordinirana sa operacijom sabiranja kroz zakon raspodjele:
Povezanost relacije narudžbe sa operacijom sabiranja. Lijevo i desna strana Za racionalnu nejednakost možete dodati isti racionalni broj. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Arhimedov aksiom. Bez obzira na racionalni broj a, možete uzeti toliko jedinica da njihov zbir premašuje a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Dodatne nekretnine

Sva ostala svojstva svojstvena racionalnim brojevima ne izdvajaju se kao osnovna, jer, općenito govoreći, više se ne zasnivaju direktno na svojstvima cijelih brojeva, već se mogu dokazati na osnovu datih osnovnih svojstava ili direktno definicijom nekog matematičkog objekta. . Postoji mnogo takvih dodatnih nekretnina. Ovdje ima smisla navesti samo neke od njih.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Prebrojivost skupa

Numeracija racionalnih brojeva

Da biste procijenili broj racionalnih brojeva, morate pronaći kardinalnost njihovog skupa. Lako je dokazati da je skup racionalnih brojeva prebrojiv. Da biste to učinili, dovoljno je dati algoritam koji nabraja racionalne brojeve, odnosno uspostavlja bijekciju između skupova racionalnih i prirodnih brojeva.

Najjednostavniji od ovih algoritama izgleda ovako. Beskonačna tabela običnih razlomaka je sastavljena na svakom i-ti red u svakom j th kolona u kojoj se nalazi razlomak. Radi određenosti, pretpostavlja se da su redovi i stupci ove tabele numerisani počevši od jedan. Ćelije tabele su označene sa , gde i- broj reda tabele u kojem se ćelija nalazi, i j- broj kolone.

Rezultirajuća tabela se prelazi pomoću “zmije” prema sljedećem formalnom algoritmu.

Ova pravila se traže od vrha do dna i sljedeća pozicija se bira na osnovu prvog podudaranja.

U procesu takvog obilaska, svaki novi racionalni broj je povezan s drugim prirodni broj. Odnosno, razlomak 1/1 je dodijeljen broju 1, razlomak 2/1 broju 2, itd. Treba napomenuti da su samo nesvodljivi razlomci numerirani. Formalni znak nesvodljivosti je da je najveći zajednički djelitelj brojnika i nazivnika razlomka jednak jedan.

Prateći ovaj algoritam, možemo nabrojati sve pozitivne racionalne brojeve. To znači da je skup pozitivnih racionalnih brojeva prebrojiv. Lako je uspostaviti bijekciju između skupova pozitivnih i negativnih racionalnih brojeva jednostavnim pripisivanjem svakom racionalnom broju njegovu suprotnost. To. skup negativnih racionalnih brojeva je također prebrojiv. Njihova unija je također prebrojiva svojstvom prebrojivih skupova. Skup racionalnih brojeva je također prebrojiv kao unija prebrojivog skupa sa konačnim.

Izjava o prebrojivosti skupa racionalnih brojeva može izazvati određenu zabunu, jer se na prvi pogled čini da je mnogo opsežnija od skupa prirodnih brojeva. U stvari, to nije tako i ima dovoljno prirodnih brojeva da se nabroje svi racionalni.

Nedostatak racionalnih brojeva

Hipotenuza takvog trougla ne može se izraziti bilo kojim racionalni broj

Racionalni brojevi oblika 1 / n na slobodi n mogu se meriti proizvoljno male količine. Ova činjenica stvara pogrešan utisak da se racionalni brojevi mogu koristiti za mjerenje bilo koje geometrijske udaljenosti. Lako je pokazati da to nije istina.

Iz Pitagorine teoreme znamo da se hipotenuza pravokutnog trokuta izražava kao kvadratni korijen zbira kvadrata njegovih kateta. To. dužina hipotenuze jednakokrake pravougaonog trougla sa jediničnom nogom je jednak, tj. broj čiji je kvadrat 2.

Ako pretpostavimo da se broj može predstaviti nekim racionalnim brojem, onda postoji takav cijeli broj m i takav prirodan broj n, da , a razlomak je nesvodljiv, tj. brojevi m I n- obostrano jednostavno.