Pravi razlomak 1. Šta je pravi razlomak? Pravi i nepravilni razlomci: pravila

Dok proučavate kraljicu svih nauka – matematiku, u nekom trenutku svi naiđu na razlomke. Iako ovaj koncept (kao i sami tipovi razlomaka ili matematičke operacije s njima) nije nimalo komplikovan, s njim se mora postupati pažljivo, jer u pravi zivot Biće veoma korisno van škole. Dakle, osvježimo naše znanje o razlomcima: šta su, čemu služe, koje su vrste i kako s njima izvoditi razne računske operacije.

Frakcija Njenog Veličanstva: šta je to

U matematici su razlomci brojevi, od kojih se svaki sastoji od jednog ili više dijelova jedinice. Takvi razlomci se nazivaju i obični ili jednostavni. U pravilu se pišu u obliku dva broja koji su odvojeni vodoravnom ili kosom linijom, naziva se "razlomkom". Na primjer: ½, ¾.

Gornji ili prvi od ovih brojeva je brojilac (pokazuje koliko je dijelova uzeto iz broja), a donji ili drugi je imenilac (pokazuje na koliko dijelova je jedinica podijeljena).

Razlomka zapravo funkcionira kao znak dijeljenja. Na primjer, 7:9=7/9

Tradicionalno, obični razlomci su manji od jedan. Dok decimale mogu biti veće od njega.

Čemu služe razlomci? Da, za sve, jer u stvarnom svijetu nisu svi brojevi cijeli brojevi. Na primjer, dvije učenice u kafeteriji su zajedno kupile jednu ukusnu čokoladicu. Kada su se spremali da podele desert, sreli su prijateljicu i odlučili da je počastimo i njom. Međutim, sada je potrebno pravilno podijeliti čokoladicu s obzirom da se sastoji od 12 kvadrata.

Djevojke su prvo htjele da sve podijele na jednake dijelove, a onda bi svaka dobila po četiri komada. Ali, nakon što su dobro razmislili, odlučili su da počaste svog prijatelja, ne 1/3, već 1/4 čokolade. A kako učenice nisu dobro proučile razlomke, nisu vodile računa da će u takvoj situaciji dobiti 9 komada koje je vrlo teško podijeliti na dva. Ovaj prilično jednostavan primjer pokazuje koliko je važno moći ispravno pronaći dio broja. Ali u životu sličnim slučajevima mnogo više.

Vrste razlomaka: obični i decimalni

Svi matematički razlomci podijeljeni su u dvije velike kategorije: obične i decimalne. Karakteristike prvog od njih opisane su u prethodnom paragrafu, pa je sada vrijedno obratiti pažnju na drugi.

Decimala je pozicijski zapis razlomka broja, koji se piše u pisanom obliku odvojeno zarezom, bez crtice ili kose crte. Na primjer: 0,75, 0,5.

U stvari, decimalni razlomak je identičan običnom razlomku, međutim, njegov nazivnik je uvijek jedan iza kojeg slijede nule - otuda i njegovo ime.

Broj koji prethodi zarezu je cijeli broj, a sve iza njega je razlomak. volim to prosti razlomak može se pretvoriti u decimalni. Dakle, navedeno u prethodnom primjeru decimale može se pisati kao i obično: ¾ i ½.

Vrijedi napomenuti da i decimalni i obični razlomci mogu biti pozitivni ili negativni. Ako im prethodi znak “-”, ovaj razlomak je negativan, ako je “+” pozitivan razlomak.

Podvrste običnih frakcija

Postoje ove vrste prostih razlomaka.

Podtipovi decimalnog razlomka

Za razliku od jednostavnog razlomka, decimalni razlomak se dijeli na samo 2 tipa.

Konačno - dobio je ovo ime zbog činjenice da iza decimalnog zareza ima ograničen (konačan) broj cifara: 19,25.
Beskonačni razlomak je broj sa beskonačnim brojem cifara iza decimalnog zareza. Na primjer, kada podijelite 10 sa 3, rezultat će biti beskonačan razlomak 3,333...

Zbrajanje razlomaka

Provođenje raznih aritmetičkih manipulacija s razlomcima je malo teže nego s običnim brojevima. Međutim, ako razumijete osnovna pravila, rješavanje bilo kojeg primjera s njima neće biti teško.

Na primjer: 2/3+3/4. Najmanji zajednički višekratnik za njih će biti 12, stoga je potrebno da ovaj broj bude u svakom nazivniku. Da bismo to učinili, pomnožimo brojnik i nazivnik prvog razlomka sa 4, ispada 8/12, isto radimo sa drugim članom, ali samo množimo sa 3 - 9/12. Sada možete lako riješiti primjer: 8/12+9/12= 17/12. Dobijeni razlomak je netočna jedinica jer je brojnik veći od nazivnika. Može i treba da se transformiše u ispravnu mješovitu dijeljenjem 17:12 = 1 i 5/12.

Kada se dodaju mješoviti razlomci, operacije se izvode prvo s cijelim brojevima, a zatim s razlomcima.

Ako primjer sadrži decimalni razlomak i običan razlomak, potrebno je oboje učiniti jednostavnim, zatim ih dovesti u isti nazivnik i sabrati. Na primjer 3.1+1/2. Broj 3.1 se može napisati kao mješovita frakcija 3 i 1/10 ili kao netačno - 31/10. Zajednički imenilac za članove će biti 10, tako da morate naizmenično pomnožiti brojilac i imenilac 1/2 sa 5, dobićete 5/10. Tada možete lako sve izračunati: 31/10+5/10=35/10. Dobiveni rezultat je nepravilan svodljivi razlomak, dovodimo ga u normalan oblik, smanjujući ga za 5: 7/2 = 3 i 1/2, ili decimalni - 3,5.

Prilikom sabiranja 2 decimalna razlomka važno je da iza decimalnog zareza bude isti broj cifara. Ako to nije slučaj, samo trebate dodati potreban iznos nule, jer se u decimalnim razlomcima to može učiniti bezbolno. Na primjer, 3,5+3,005. Da biste riješili ovaj problem, morate prvom broju dodati 2 nule, a zatim jednu po jednu: 3.500+3.005=3.505.

Oduzimanje razlomaka

Prilikom oduzimanja razlomaka treba raditi isto kao i pri sabiranju: svesti na zajednički nazivnik, oduzeti jedan brojnik od drugog i, ako je potrebno, pretvoriti rezultat u mješoviti razlomak.

Na primjer: 16/20-5/10. Zajednički imenilac će biti 20. Drugi razlomak treba da dovedete do ovog imenioca tako što ćete oba njegova dela pomnožiti sa 2, dobićete 10/20. Sada možete riješiti primjer: 16/20-10/20= 6/20. Međutim, ovaj rezultat vrijedi za razlomke koje se mogu smanjiti, tako da vrijedi podijeliti obje strane sa 2 i rezultat je 3/10.

Množenje razlomaka

Dijeljenje i množenje razlomaka su mnogo jednostavnije operacije od sabiranja i oduzimanja. Činjenica je da prilikom obavljanja ovih zadataka nema potrebe tražiti zajednički imenitelj.

Da biste pomnožili razlomke, jednostavno morate pomnožiti oba brojnika jedan po jedan, a zatim oba nazivnika. Smanjite rezultirajući rezultat ako je razlomak reducibilna količina.

Na primjer: 4/9x5/8. Nakon alternativnog množenja, rezultat je 4x5/9x8=20/72. Ovaj razlomak se može smanjiti za 4, tako da je konačni odgovor u primjeru 5/18.

Kako podijeliti razlomke

Dijeljenje razlomaka je također jednostavna operacija, ona se i dalje svodi na njihovo množenje. Da biste podijelili jedan razlomak s drugim, trebate obrnuti drugi i pomnožiti s prvim.

Na primjer, dijeljenje razlomaka 5/19 i 5/7. Da biste riješili primjer, trebate zamijeniti nazivnik i brojnik drugog razlomka i pomnožiti: 5/19x7/5=35/95. Rezultat se može smanjiti za 5 - ispada 7/19.

Ako trebate podijeliti razlomak prostim brojem, tehnika je malo drugačija. U početku biste trebali napisati ovaj broj kao nepravilan razlomak, a zatim podijeliti prema istoj shemi. Na primjer, 2/13:5 treba napisati kao 2/13: 5/1. Sada trebate okrenuti 5/1 i pomnožiti rezultirajuće razlomke: 2/13x1/5= 2/65.

Ponekad morate podijeliti miješane razlomke. Morate ih tretirati kao što biste radili s cijelim brojevima: pretvorite ih u nepravilne razlomke, obrnite djelitelj i sve pomnožite. Na primjer, 8 ½: 3. Pretvorite sve u nepravilne razlomke: 17/2: 3/1. Nakon toga slijedi okretanje 3/1 i množenje: 17/2x1/3= 17/6. Sada biste trebali pretvoriti nepravilan razlomak u ispravan - 2 cijela i 5/6.

Dakle, nakon što ste shvatili što su razlomci i kako s njima možete izvoditi razne aritmetičke operacije, morate pokušati ne zaboraviti na to. Na kraju krajeva, ljudi su uvijek skloniji da nešto podijele na dijelove nego da dodaju, tako da morate biti u stanju da to uradite ispravno.

Pravilan razlomak

Četvrtine

Urednost. a I b postoji pravilo koje dozvoljava da se na jedinstven način identifikuje jedan i samo jedan od tri odnosa između njih: “< », « >" ili " = ". Ovo pravilo se zove pravilo naručivanja i formulira se na sljedeći način: dva nenegativna broja i povezani su istom relacijom kao dva cijela broja i ; dva nepozitivna broja a I b povezani su istim odnosom kao dva nenegativna broja i ; ako iznenada a nije negativan, ali b- negativan, onda a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Zbrajanje razlomaka
Operacija sabiranja. Za sve racionalne brojeve a I b postoji tzv pravilo sumiranja c. Štaviše, sam broj c pozvao iznos brojevi a I b i označava se sa , a proces pronalaženja takvog broja se zove sumiranje. Pravilo sumiranja ima sljedeći pogled: .
Operacija množenja. Za sve racionalne brojeve a I b postoji tzv pravilo množenja, što im dodeljuje neki racionalni broj c. Štaviše, sam broj c pozvao rad brojevi a I b i označava se sa , a proces pronalaženja takvog broja se također naziva množenje. Pravilo množenja izgleda ovako: .
Tranzitivnost odnosa poretka. Za bilo koju trojku racionalnih brojeva a , b I c Ako a manje b I b manje c, To a manje c, i ako a jednaki b I b jednaki c, To a jednaki c. 6435">Komutativnost sabiranja. Promjenom mjesta racionalnih članova ne mijenja se zbir.
Asocijativnost sabiranja. Redoslijed sabiranja tri racionalna broja ne utječe na rezultat.
Prisustvo nule. Postoji racionalni broj 0 koji čuva svaki drugi racionalni broj kada se doda.
Prisustvo suprotnih brojeva. Svaki racionalni broj ima suprotan racionalni broj, koji kada se doda na daje 0.
Komutativnost množenja. Promena mesta racionalnih faktora ne menja proizvod.
Asocijativnost množenja. Redoslijed kojim se množe tri racionalna broja ne utječe na rezultat.
Dostupnost jedinice. Postoji racionalni broj 1 koji čuva svaki drugi racionalni broj kada se množi.
Prisustvo recipročnih brojeva. Svaki racionalni broj ima inverzni racionalni broj, koji kada se pomnoži sa daje 1.
Distributivnost množenja u odnosu na sabiranje. Operacija množenja je koordinirana sa operacijom sabiranja kroz zakon raspodjele:
Povezanost relacije narudžbe sa operacijom sabiranja. Lijevo i desna strana Za racionalnu nejednakost možete dodati isti racionalni broj. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Arhimedov aksiom. Bez obzira na racionalni broj a, možete uzeti toliko jedinica da njihov zbir premašuje a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Dodatne nekretnine

Sva ostala svojstva svojstvena racionalnim brojevima ne izdvajaju se kao osnovna, jer, općenito govoreći, više se ne zasnivaju direktno na svojstvima cijelih brojeva, već se mogu dokazati na osnovu datih osnovnih svojstava ili direktno definicijom nekog matematičkog objekta. . Postoji mnogo takvih dodatnih nekretnina. Ovdje ima smisla navesti samo neke od njih.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Prebrojivost skupa

Numeracija racionalnih brojeva

Da biste procijenili broj racionalnih brojeva, morate pronaći kardinalnost njihovog skupa. Lako je dokazati da je skup racionalnih brojeva prebrojiv. Da biste to učinili, dovoljno je dati algoritam koji nabraja racionalne brojeve, odnosno uspostavlja bijekciju između skupova racionalnih i prirodnih brojeva.

Najjednostavniji od ovih algoritama izgleda ovako. Kreira se beskonačna tabela obične frakcije, na svakom i-ti red u svakom j th kolona u kojoj se nalazi razlomak. Radi određenosti, pretpostavlja se da su redovi i stupci ove tabele numerisani počevši od jedan. Ćelije tabele su označene sa , gde i- broj reda tabele u kojem se ćelija nalazi, i j- broj kolone.

Rezultirajuća tabela se prelazi pomoću “zmije” prema sljedećem formalnom algoritmu.

Ova pravila se pretražuju od vrha do dna i sljedeća pozicija se bira na osnovu prvog podudaranja.

U procesu takvog obilaska, svaki novi racionalni broj je povezan s drugim prirodni broj. Odnosno, razlomak 1/1 je dodijeljen broju 1, razlomak 2/1 broju 2, itd. Treba napomenuti da su samo nesvodljivi razlomci numerirani. Formalni znak nesvodljivosti je da je najveći zajednički djelitelj brojnika i nazivnika razlomka jednak jedan.

Prateći ovaj algoritam, možemo nabrojati sve pozitivne racionalne brojeve. To znači da je skup pozitivnih racionalnih brojeva prebrojiv. Lako je uspostaviti bijekciju između skupova pozitivnih i negativnih racionalnih brojeva jednostavnim pripisivanjem svakom racionalnom broju njegovu suprotnost. To. skup negativnih racionalnih brojeva je također prebrojiv. Njihova unija je također prebrojiva svojstvom prebrojivih skupova. Skup racionalnih brojeva je također prebrojiv kao unija prebrojivog skupa sa konačnim.

Izjava o prebrojivosti skupa racionalnih brojeva može izazvati određenu zabunu, jer se na prvi pogled čini da je mnogo opsežniji od skupa prirodnih brojeva. U stvari, to nije tako i ima dovoljno prirodnih brojeva da se nabroje svi racionalni brojevi.

Nedostatak racionalnih brojeva

Hipotenuza takvog trougla ne može se izraziti bilo kojim racionalni broj

Racionalni brojevi oblika 1 / n na slobodi n mogu se izmjeriti proizvoljno male količine. Ova činjenica stvara pogrešan utisak da se racionalni brojevi mogu koristiti za mjerenje bilo koje geometrijske udaljenosti. Lako je pokazati da to nije istina.

Iz Pitagorine teoreme znamo da se hipotenuza pravokutnog trokuta izražava kao kvadratni korijen zbira kvadrata njegovih kateta. To. dužina hipotenuze jednakokrake pravougaonog trougla sa jediničnom nogom je jednak, tj. broj čiji je kvadrat 2.

Ako pretpostavimo da se broj može predstaviti nekim racionalnim brojem, onda postoji takav cijeli broj m i takav prirodan broj n, da , a razlomak je nesvodljiv, tj. brojevi m I n- obostrano jednostavno.

Ako onda , tj. m 2 = 2n 2. Dakle, broj m 2 je paran, ali je proizvod dva neparna broja neparan, što znači da je sam broj m takođe čak. Dakle, postoji prirodan broj k, tako da je broj m može se predstaviti u obliku m = 2k. Broj kvadrata m U ovom smislu m 2 = 4k 2, ali s druge strane m 2 = 2n 2 znači 4 k 2 = 2n 2, ili n 2 = 2k 2. Kao što je ranije prikazano za broj m, to znači da je broj n- čak i kao m. Ali tada nisu relativno prosti, jer su oba podijeljena na pola. Dobivena kontradikcija dokazuje da to nije racionalan broj.

S razlomcima u životu nailazimo mnogo ranije nego što ih počnemo proučavati u školi. Ako cijelu jabuku prepolovimo, dobijemo ½ ploda. Hajde da ga isečemo ponovo - biće ¼. Ovo su razlomci. I sve je izgledalo jednostavno. Za odraslu osobu. Za dijete (i ovu temu početi učiti na kraju osnovne škole) apstraktni matematički pojmovi su još uvijek zastrašujuće nerazumljivi i nastavnik mora jasno objasniti šta pravilan razlomak i nepravilne, obične i decimalne, koje se operacije s njima mogu izvoditi i, najvažnije, zašto je sve to potrebno.

Šta su razlomci?

Upoznavanje nova tema u školi počinje običnim razlomcima. Lako se prepoznaju po horizontalnoj liniji koja razdvaja dva broja - iznad i ispod. Gornji se zove brojilac, a donji imenilac. Postoji i opcija malim slovima za pisanje nepravilnih i pravilnih običnih razlomaka - kroz kosu crtu, na primjer: ½, 4/9, 384/183. Ova opcija se koristi kada je visina linije ograničena i nije moguće koristiti obrazac za unos na dva sprata. Zašto? Da, jer je to praktičnije. Videćemo ovo malo kasnije.

Osim običnih razlomaka, postoje i decimalni razlomci. Vrlo ih je jednostavno razlikovati: ako se u jednom slučaju koristi vodoravna ili kosa crta, u drugom se zarez koristi za razdvajanje nizova brojeva. Pogledajmo primjer: 2.9; 163.34; 1.953. Namjerno smo koristili tačku i zarez kao separator da razgraničimo brojeve. Prvi od njih će glasiti ovako: "dva tačka devet".

Novi koncepti

Vratimo se običnim razlomcima. Dolaze u dvije vrste.

Definicija pravilnog razlomka je sljedeća: to je razlomak čiji je brojnik manji od nazivnika. Zašto je to važno? Sad ćemo vidjeti!

Imate nekoliko jabuka, prepolovljenih. Ukupno - 5 delova. Kako biste rekli: imate li “dvije i po” ili “pet i po” jabuka? Naravno, prva opcija zvuči prirodnije i koristićemo je kada razgovaramo sa prijateljima. Ali ako treba da izračunamo koliko će voća dobiti svaka osoba, ako je u kompaniji pet ljudi, zapisaćemo broj 5/2 i podeliti ga sa 5 - sa matematičke tačke gledišta, ovo će biti jasnije .

Dakle, za imenovanje pravih i nepravih razlomaka pravilo je sljedeće: ako se cijeli dio može razlikovati u razlomku (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), onda je nepravilan. Ako se to ne može učiniti, kao u slučaju ½, 13/16, 9/10, bit će ispravno.

Glavno svojstvo razlomka

Ako se brojnik i imenilac razlomka istovremeno pomnože ili podijele istim brojem, njegova vrijednost se ne mijenja. Zamislite: isjekli su tortu na 4 jednaka dijela i dali vam jedan. Istu tortu su isjekli na osam komada i dali vam dva. Da li je to zaista važno? Na kraju krajeva, ¼ i 2/8 su ista stvar!

Redukcija

Autori zadataka i primjera u udžbenicima matematike često nastoje zbuniti učenike nudeći razlomke koje je glomazno napisati, ali se zapravo mogu skratiti. Evo primjera pravilnog razlomka: 167/334, koji, čini se, izgleda vrlo "strašno". Ali zapravo možemo to napisati kao ½. Broj 334 je djeljiv sa 167 bez ostatka - nakon izvođenja ove operacije, dobivamo 2.

Mješoviti brojevi

Nepravilan razlomak se može predstaviti kao mješoviti broj. To je kada se cijeli dio pomakne naprijed i napiše na nivou vodoravne linije. U stvari, izraz ima oblik zbira: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 i tako dalje.

Da biste izvadili cijeli dio, trebate podijeliti brojilac sa nazivnikom. Ostatak podjele napišite na vrhu, iznad linije, a cijeli dio - prije izraza. Tako dobijamo dva strukturna dijela: cijele jedinice + pravi razlomak.

Također možete izvršiti inverznu operaciju - da biste to učinili, trebate pomnožiti cijeli broj sa nazivnikom i dodati rezultirajuću vrijednost brojniku. Ništa komplikovano.

Množenje i dijeljenje

Čudno je da je množenje razlomaka lakše nego zbrajanje. Sve što je potrebno je produžiti horizontalnu liniju: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.

Kod dijeljenja je sve također jednostavno: trebate pomnožiti razlomke unakrsno: (7/8) / (14/15) = 7 * 15 / 8 * 14 = 15/16.

Zbrajanje razlomaka

Šta učiniti ako trebate izvršiti sabiranje ili je njihov nazivnik različiti brojevi? Neće raditi isto kao s množenjem - ovdje biste trebali razumjeti definiciju pravog razlomka i njegovu suštinu. Potrebno je dovesti članove u zajednički imenilac, odnosno donji dio oba razlomka mora imati iste brojeve.

Da biste to učinili, trebali biste koristiti osnovno svojstvo razlomka: pomnožite oba dijela istim brojem. Na primjer, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.

Kako odabrati na koji nazivnik smanjiti članove? Ovo mora biti najmanji broj koji je višekratnik oba broja u nazivnicima razlomaka: za 1/3 i 1/9 to će biti 9; za ½ i 1/7 - 14, jer nema manje vrijednosti djeljive sa 2 i 7 bez ostatka.

Upotreba

Za šta se koriste nepravilni razlomci? Na kraju krajeva, mnogo je zgodnije odmah odabrati cijeli dio, dobiti mješoviti broj - i završiti s tim! Ispada da ako trebate pomnožiti ili podijeliti dva razlomka, isplativije je koristiti nepravilne.

Uzmimo sljedeći primjer: (2 + 3/17) / (37 / 68).

Čini se da se uopće nema šta rezati. Ali šta ako rezultat sabiranja zapišemo u prve zagrade kao nepravilan razlomak? Pogledajte: (37/17) / (37/68)

Sada sve dolazi na svoje mjesto! Zapišimo primjer na način da sve postane očigledno: (37*68) / (17*37).

Poništimo 37 u brojniku i nazivniku i konačno podijelimo gornji i donji dio sa 17. Sjećate li se osnovnog pravila za prave i nepravilne razlomke? Možemo ih množiti i dijeliti bilo kojim brojem sve dok to radimo za brojnik i nazivnik u isto vrijeme.

Dakle, dobijamo odgovor: 4. Primer je izgledao komplikovano, ali odgovor sadrži samo jedan broj. To se često dešava u matematici. Glavna stvar je ne plašiti se i slijediti jednostavna pravila.

Uobičajene greške

Prilikom implementacije, učenik može lako napraviti jednu od uobičajenih grešaka. Obično se javljaju zbog nepažnje, a ponekad i zbog činjenice da proučavani materijal još nije pravilno pohranjen u glavi.

Često zbir brojeva u brojiocu izaziva želju da smanjite njegove pojedinačne komponente. Recimo u primjeru: (13 + 2) / 13, napisano bez zagrada (s horizontalnom linijom), mnogi učenici zbog neiskustva precrtavaju 13 iznad i ispod. Ali to ne bi trebalo raditi ni pod kojim okolnostima, jer je to velika greška! Kada bi umjesto sabiranja postojao znak množenja, u odgovoru bismo dobili broj 2. Ali prilikom sabiranja nisu dozvoljene operacije s jednim od članova, samo s cijelim zbirom.

Momci također često griješe kada dijele razlomke. Uzmimo dva ispravna nesvodljiva razlomka i podijelimo ih jedan s drugim: (5/6) / (25/33). Učenik ga može pomiješati i zapisati rezultirajući izraz kao (5*25) / (6*33). Ali to bi se dogodilo s množenjem, ali u našem slučaju sve će biti nešto drugačije: (5*33) / (6*25). Smanjujemo ono što je moguće, a odgovor će biti 11/10. Dobijeni nepravilni razlomak zapisujemo kao decimalu - 1,1.

Zagrade

Zapamtite da je u bilo kojem matematičkom izrazu redoslijed operacija određen prioritetom znakova operacije i prisustvom zagrada. Pod svim ostalim jednakim uvjetima, redoslijed radnji se računa s lijeva na desno. To vrijedi i za razlomke - izraz u brojniku ili nazivniku se izračunava striktno prema ovom pravilu.

Na kraju krajeva, ovo je rezultat dijeljenja jednog broja drugim. Ako nisu ravnomjerno podijeljeni, postaje razlomak - to je sve.

Kako napisati razlomak na kompjuteru

Budući da standardni alati ne dozvoljavaju uvijek stvaranje razlomka koji se sastoji od dva „sloja“, učenici ponekad pribjegavaju raznim trikovima. Na primjer, oni kopiraju brojače i nazivnike u grafički uređivač Paint i lijepe ih zajedno, crtajući horizontalnu liniju između njih. Naravno, postoji jednostavnija opcija, koja, usput, pruža mnogo toga dodatne funkcije, koji će vam biti od koristi u budućnosti.

Otvorite Microsoft Word. Jedan od panela na vrhu ekrana se zove „Insert“ - kliknite na njega. Sa desne strane, sa strane na kojoj se nalaze ikone za zatvaranje i minimiziranje prozora, nalazi se dugme „Formula“. Ovo je upravo ono što nam treba!

Ako koristite ovu funkciju, na ekranu će se pojaviti pravougaona oblast u kojoj možete koristiti sve matematičke simbole koji nisu na tastaturi, kao i pisati razlomke u klasična forma. Odnosno, dijeljenje brojnika i nazivnika vodoravnom linijom. Možda ćete se čak i iznenaditi da je takav pravi razlomak tako lako napisati.

Naučite matematiku

Ako ste u razredu 5-6, tada će uskoro biti potrebno znanje matematike (uključujući sposobnost rada sa razlomcima!) u mnogim školskim predmetima. U gotovo svakom problemu iz fizike, pri mjerenju mase tvari u hemiji, u geometriji i trigonometriji, ne možete bez razlomaka. Uskoro ćete naučiti sve izračunati u svom umu, čak i bez zapisivanja izraza na papir, ali sve više i više složeni primjeri. Stoga, naučite šta je pravi razlomak i kako s njim raditi, budite u toku nastavni plan i program, uradite domaći na vrijeme i uspjet ćete.

Ovaj članak je o obični razlomci. Ovdje ćemo uvesti pojam razlomka cjeline, što će nas dovesti do definicije običnog razlomka. Zatim ćemo se zadržati na prihvaćenom zapisu za obične razlomke i dati primjere razlomaka, recimo o brojniku i nazivniku razlomka. Nakon toga daćemo definicije pravih i nepravilnih, pozitivnih i negativnih razlomaka, a takođe ćemo razmotriti položaj razlomaka na koordinatni zrak. U zaključku navodimo glavne operacije s razlomcima.

Navigacija po stranici.

Dionice cjeline

Prvo se upoznajemo koncept udjela.

Pretpostavimo da imamo neki objekat sastavljen od nekoliko apsolutno identičnih (tj. jednakih) delova. Radi jasnoće, možete zamisliti, na primjer, jabuku izrezanu na nekoliko dijelova jednaki dijelovi, ili narandža koja se sastoji od nekoliko jednakih segmenata. Svaki od ovih jednakih dijelova koji čine cijeli objekt naziva se dijelovi cjeline ili jednostavno dionice.

Imajte na umu da su udjeli različiti. Hajde da objasnimo ovo. Daj nam dve jabuke. Prvu jabuku isecite na dva jednaka dela, a drugu na 6 jednakih delova. Jasno je da će se udio prve jabuke razlikovati od udjela druge jabuke.

Ovisno o broju dionica koje čine cijeli objekt, ove dionice imaju vlastita imena. Hajde da to sredimo imena otkucaja. Ako se objekt sastoji od dva dijela, bilo koji od njih se naziva jednim drugim dijelom cijelog objekta; ako se objekt sastoji od tri dijela, onda se bilo koji od njih naziva jednim trećim dijelom, i tako dalje.

Jedna druga dionica ima posebno ime - pola. Jedna trećina se zove treće, i jedna četvrtina - četvrtina.

Radi sažetosti uvedeno je sljedeće: beat simboli. Jedna druga dionica označava se kao ili 1/2, jedna trećina dionica označava se kao ili 1/3; jedna četvrtina dionica - lajk ili 1/4 i tako dalje. Imajte na umu da se zapis s horizontalnom trakom češće koristi. Da bismo pojačali gradivo, navedimo još jedan primjer: natuknica označava sto šezdeset sedmi dio cjeline.

Koncept udjela prirodno se proteže od objekata do količina. Na primjer, jedna od mjera za dužinu je metar. Za mjerenje dužina kraćih od metra mogu se koristiti razlomci metra. Dakle, možete koristiti, na primjer, pola metra ili deseti ili hiljaditi dio metra. Slično se primjenjuju i udjeli ostalih količina.

Obični razlomci, definicija i primjeri razlomaka

Da opišemo broj dionica koje koristimo obični razlomci. Navedimo primjer koji će nam omogućiti da pristupimo definiciji običnih razlomaka.

Neka se narandža sastoji od 12 dijelova. Svaka dionica u ovom slučaju predstavlja jednu dvanaestinu cijele narandže, odnosno . Označavamo dva otkucaja kao , tri otkucaja kao , I tako dalje, 12 otkucaja označavamo kao . Svaki od datih unosa naziva se običan razlomak.

Sada dajmo generala definicija običnih razlomaka.

Glasovna definicija običnih razlomaka nam omogućava da damo primjeri običnih razlomaka: 5/10, , 21/1, 9/4, . A evo i zapisa ne odgovaraju navedenoj definiciji običnih razlomaka, odnosno nisu obični razlomci.

Brojač i nazivnik

Radi praktičnosti razlikuju se obične frakcije brojilac i imenilac.

Definicija.

Brojač obični razlomak (m/n) je prirodan broj m.

Definicija.

Nazivnik obični razlomak (m/n) je prirodan broj n.

Dakle, brojilac se nalazi iznad linije razlomka (lijevo od kose crte), a imenilac ispod linije razlomka (desno od kose crte). Na primjer, uzmimo običan razlomak 17/29, brojilac ovog razlomka je broj 17, a nazivnik je broj 29.

Ostaje da razgovaramo o značenju sadržanom u brojniku i nazivniku običnog razlomka. Imenitelj razlomka pokazuje od koliko dijelova se sastoji jedan predmet, a brojnik, zauzvrat, označava broj takvih dijelova. Na primjer, nazivnik 5 razlomka 12/5 znači da se jedan predmet sastoji od pet udjela, a brojnik 12 znači da se uzima 12 takvih udjela.

Prirodni broj kao razlomak sa nazivnikom 1

Imenilac običnog razlomka može biti jednak jedan. U ovom slučaju možemo smatrati da je predmet nedjeljiv, drugim riječima, predstavlja nešto cjelovito. Brojač takvog razlomka pokazuje koliko je cijelih objekata uzeto. Dakle, običan razlomak oblika m/1 ima značenje prirodnog broja m. Tako smo potkrijepili valjanost jednakosti m/1=m.

Zapišimo posljednju jednakost na sljedeći način: m=m/1. Ova jednakost nam omogućava da bilo koji prirodni broj m predstavimo kao običan razlomak. Na primjer, broj 4 je razlomak 4/1, a broj 103.498 jednak je razlomku 103.498/1.

dakle, svaki prirodni broj m može se predstaviti kao običan razlomak sa nazivnikom 1 kao m/1, a svaki obični razlomak oblika m/1 može se zamijeniti prirodnim brojem m.

Razlomak kao znak dijeljenja

Predstavljanje originalnog objekta u obliku n dionica nije ništa drugo do podjela na n jednakih dijelova. Nakon što se stavka podijeli na n dionica, možemo je podijeliti na n ljudi - svaki će dobiti po jednu dionicu.

Ako u početku imamo m identičnih objekata, od kojih je svaki podijeljen na n dionica, onda možemo jednako podijeliti ovih m objekata između n ljudi, dajući svakoj osobi po jedan dio od svakog od m objekata. U ovom slučaju, svaka osoba će imati m dionica od 1/n, a m dionica od 1/n daje običan razlomak m/n. Dakle, zajednički razlomak m/n može se koristiti za označavanje podjele m stavki između n ljudi.

Tako smo dobili eksplicitnu vezu između običnih razlomaka i dijeljenja (vidi opću ideju dijeljenja prirodnih brojeva). Ova veza se izražava na sljedeći način: razlomak se može shvatiti kao znak podjele, odnosno m/n=m:n.

Koristeći obični razlomak, možete napisati rezultat dijeljenja dva prirodna broja za koja se ne može izvršiti cijelo dijeljenje. Na primjer, rezultat dijeljenja 5 jabuka sa 8 ljudi može se zapisati kao 5/8, odnosno, svako će dobiti pet osmina jabuke: 5:8 = 5/8.

Jednaki i nejednaki razlomci, poređenje razlomaka

Prilično prirodna akcija je poređenje razlomaka, jer je jasno da je 1/12 narandže različito od 5/12, a 1/6 jabuke je isto što i druga 1/6 ove jabuke.

Kao rezultat poređenja dva obična razlomka, dobije se jedan od rezultata: razlomci su ili jednaki ili nejednaki. U prvom slučaju imamo jednaki obični razlomci, a u drugom – nejednaki obični razlomci. Hajde da damo definiciju jednakih i nejednakih običnih razlomaka.

Definicija.

jednaka, ako je jednakost a·d=b·c tačna.

Definicija.

Dva obična razlomka a/b i c/d nije jednako, ako jednakost a·d=b·c nije zadovoljena.

Evo nekoliko primjera jednakih razlomaka. Na primjer, obični razlomak 1/2 jednak je razlomku 2/4, jer je 1·4=2·2 (ako je potrebno, pogledajte pravila i primjere množenja prirodnih brojeva). Radi jasnoće, možete zamisliti dvije identične jabuke, prva je prepolovljena, a druga na 4 dijela. Očigledno je da su dvije četvrtine jabuke jednake 1/2 udjela. Drugi primjeri jednakih običnih razlomaka su razlomci 4/7 i 36/63, te par razlomaka 81/50 i 1.620/1.000.

Ali obični razlomci 4/13 i 5/14 nisu jednaki, jer je 4·14=56 i 13·5=65, odnosno 4·14≠13·5. Drugi primjeri nejednakih običnih razlomaka su razlomci 17/7 i 6/4.

Ako se pri usporedbi dva obična razlomka pokaže da nisu jednaki, možda ćete morati saznati koji od ovih običnih razlomaka manje različite, a koje - više. Da bismo saznali, koristi se pravilo za poređenje običnih razlomaka, čija je suština da se uspoređeni razlomci dovedu u zajednički nazivnik, a zatim uporede brojioce. Detaljne informacije o ovoj temi prikupljene su u članku usporedba razlomaka: pravila, primjeri, rješenja.

Razlomci brojeva

Svaki razlomak je zapis frakcijski broj. To jest, razlomak je samo „ljuska“ razlomka, njegov izgled, a svo semantičko opterećenje sadržano je u razlomku. Međutim, radi sažetosti i praktičnosti, koncepti razlomka i razlomka su kombinovani i jednostavno se nazivaju razlomak. Ovdje je prikladno parafrazirati poznatu izreku: kažemo razlomak - mislimo na razlomak, kažemo razlomak - mislimo na razlomak.

Razlomci na koordinatnoj zraci

Svi razlomci koji odgovaraju običnim razlomcima imaju svoje jedinstveno mjesto, to jest, postoji korespondencija jedan prema jedan između razlomaka i tačaka koordinatnog zraka.

Da biste došli do tačke na koordinatnoj zraci koja odgovara razlomku m/n, potrebno je izdvojiti m segmenata od početka u pozitivnom smjeru, čija je dužina 1/n razlomka jediničnog segmenta. Takvi segmenti se mogu dobiti dijeljenjem jediničnog segmenta na n jednakih dijelova, što se uvijek može učiniti pomoću šestara i ravnala.

Na primjer, pokažimo tačku M na koordinatnoj zraci, koja odgovara razlomku 14/10. Dužina segmenta sa krajevima u tački O i tačkom koja joj je najbliža, označena malom crticom, iznosi 1/10 jediničnog segmenta. Tačka sa koordinatom 14/10 udaljena je od početka na udaljenosti od 14 takvih segmenata.

Jednaki razlomci odgovaraju istom razlomku, odnosno jednaki razlomci su koordinate iste tačke na koordinatnoj zraci. Na primjer, koordinate 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 odgovaraju jednoj tački na koordinatnoj zraci, budući da su svi upisani razlomci jednaki (nalazi se na udaljenosti od pola položenog jediničnog segmenta od početka u pozitivnom smjeru).

Na horizontalnoj i desno usmjerenoj koordinatnoj zraci, tačka čija je koordinata veći razlomak nalazi se desno od tačke čija je koordinata manji razlomak. Slično, tačka sa manjom koordinatom leži levo od tačke sa većom koordinatom.

Pravi i nepravilni razlomci, definicije, primjeri

Među običnim frakcijama ima pravilni i nepravilni razlomci. Ova podjela se zasniva na poređenju brojnika i nazivnika.

Definirajmo prave i nepravilne obične razlomke.

Definicija.

Pravilan razlomak je običan razlomak čiji je brojilac manji od nazivnika, odnosno ako je m

Definicija.

Nepravilan razlomak je običan razlomak u kojem je brojilac veći ili jednak nazivniku, odnosno, ako je m≥n, tada je obični razlomak nepravilan.

Evo nekoliko primjera pravih razlomaka: 1/4, , 32,765/909,003. Zaista, u svakom od napisanih običnih razlomaka brojilac je manji od nazivnika (ako je potrebno, pogledajte članak u kojem se upoređuju prirodni brojevi), tako da su oni tačni po definiciji.

Evo primjera nepravilnih razlomaka: 9/9, 23/4, . Zaista, brojilac prvog od napisanih običnih razlomaka jednak je nazivniku, a u preostalim razlomcima brojilac je veći od nazivnika.

Postoje i definicije pravih i nepravih razlomaka, zasnovane na poređenju razlomaka sa jedan.

Definicija.

ispravan, ako je manji od jedan.

Definicija.

Zove se običan razlomak pogrešno, ako je ili jednako jedan ili veće od 1.

Dakle, uobičajeni razlomak 7/11 je tačan, budući da je 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 i 27/27=1.

Razmislimo o tome kako obični razlomci s brojnikom većim ili jednakim nazivniku zaslužuju takvo ime - "nepravilno".

Na primjer, uzmimo nepravilan razlomak 9/9. Ovaj razlomak znači da se od objekta koji se sastoji od devet dijelova uzima devet dijelova. Odnosno, od dostupnih devet dijelova možemo napraviti cijeli objekt. To je, nepravilan razlomak 9/9 u suštini daje cijelu stavku, odnosno 9/9=1. Općenito, nepravilni razlomci čiji je brojilac jednak nazivniku označavaju jedan cijeli predmet, a takav razlomak se može zamijeniti prirodnim brojem 1.

Sada razmotrite nepravilne razlomke 7/3 i 12/4. Sasvim je očito da od ovih sedam trećih dijelova možemo sastaviti dva cijela objekta (jedan cijeli objekt se sastoji od 3 dijela, a za sastavljanje dva cijela objekta trebat će nam 3 + 3 = 6 dijelova) i još će ostati jedan treći dio . To jest, nepravilan razlomak 7/3 u suštini znači 2 objekta i također 1/3 takvog objekta. A od dvanaest četvrtinskih dijelova možemo napraviti tri cijela objekta (tri predmeta sa po četiri dijela). To jest, razlomak 12/4 u suštini znači 3 cijela objekta.

Razmatrani primjeri dovode nas do sljedećeg zaključka: nepravilni razlomci se mogu zamijeniti ili prirodnim brojevima, kada se brojilac podijeli ravnomjerno sa nazivnikom (na primjer, 9/9=1 i 12/4=3), ili zbirom prirodnog broja i pravilnog razlomka, kada brojilac nije jednako djeljiv sa nazivnikom (na primjer, 7/3=2+1/3). Možda je to upravo ono zbog čega su nepravilni razlomci dobili naziv "nepravilni".

Posebno je zanimljivo predstavljanje nepravilnog razlomka kao zbira prirodnog broja i pravilnog razlomka (7/3=2+1/3). Ovaj proces se naziva odvajanjem cijelog dijela od nepravilnog razlomka i zaslužuje odvojeno i pažljivije razmatranje.

Također je vrijedno napomenuti da postoji vrlo bliska veza između nepravilnih razlomaka i mješovitih brojeva.

Pozitivni i negativni razlomci

Svaki uobičajeni razlomak odgovara pozitivnom razlomku (pogledajte članak o pozitivnim i negativnim brojevima). To jest, obični razlomci jesu pozitivni razlomci. Na primjer, obični razlomci 1/5, 56/18, 35/144 su pozitivni razlomci. Kada trebate istaknuti pozitivnost razlomka, ispred njega se stavlja znak plus, na primjer, +3/4, +72/34.

Ako stavite znak minus ispred običnog razlomka, tada će ovaj unos odgovarati negativnom razlomku. U ovom slučaju možemo razgovarati o negativni razlomci. Evo nekoliko primjera negativnih razlomaka: −6/10, −65/13, −1/18.

Pozitivni i negativni razlomci m/n i −m/n su suprotni brojevi. Na primjer, razlomci 5/7 i −5/7 su suprotni razlomci.

Pozitivni razlomci, poput pozitivnih brojeva općenito, označavaju dodatak, prihod, promjenu bilo koje vrijednosti naviše, itd. Negativni razlomci odgovaraju trošku, dugu ili smanjenju bilo koje količine. Na primjer, negativni razlomak −3/4 može se tumačiti kao dug čija je vrijednost jednaka 3/4.

U vodoravnom i desnom smjeru, negativni razlomci se nalaze lijevo od početka. Tačke koordinatne linije čije su koordinate pozitivni razlomak m/n i negativni razlomak −m/n nalaze se na istoj udaljenosti od početka, ali na suprotnim stranama tačke O.

Ovdje je vrijedno spomenuti razlomke oblika 0/n. Ovi razlomci su jednaki broju nula, odnosno 0/n=0.

Pozitivni razlomci, negativni razlomci i 0/n razlomci se kombinuju da formiraju racionalne brojeve.

Operacije sa razlomcima

Već smo raspravljali o jednoj radnji s običnim razlomcima - poređenje razlomaka - gore. Definirane su još četiri aritmetičke funkcije operacije sa razlomcima– sabiranje, oduzimanje, množenje i dijeljenje razlomaka. Pogledajmo svaki od njih.

Opća suština operacija s razlomcima slična je suštini odgovarajućih operacija s prirodnim brojevima. Hajde da napravimo analogiju.

Množenje razlomaka može se smatrati radnjom pronalaženja razlomka iz razlomka. Da pojasnimo, dajmo primjer. Neka nam bude 1/6 jabuke i treba da uzmemo 2/3. Dio koji nam treba je rezultat množenja razlomaka 1/6 i 2/3. Rezultat množenja dva obična razlomka je običan razlomak (koji je u posebnom slučaju jednak prirodnom broju). Zatim preporučujemo da proučite informacije u članku Množenje razlomaka - pravila, primjeri i rješenja.

Bibliografija.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika: udžbenik za 5. razred. obrazovne institucije.
Vilenkin N.Ya. i drugi. 6. razred: udžbenik za opšteobrazovne ustanove.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za one koji upisuju tehničke škole).

Nepravilan razlomak

Četvrtine

Urednost. a I b postoji pravilo koje dozvoljava da se na jedinstven način identifikuje jedan i samo jedan od tri odnosa između njih: “< », « >" ili " = ". Ovo pravilo se zove pravilo naručivanja i formulira se na sljedeći način: dva nenegativna broja i povezani su istom relacijom kao dva cijela broja i ; dva nepozitivna broja a I b povezani su istim odnosom kao dva nenegativna broja i ; ako iznenada a nije negativan, ali b- negativan, onda a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Zbrajanje razlomaka
Operacija sabiranja. Za sve racionalne brojeve a I b postoji tzv pravilo sumiranja c. Štaviše, sam broj c pozvao iznos brojevi a I b i označava se sa , a proces pronalaženja takvog broja se zove sumiranje. Pravilo sumiranja ima sljedeći oblik: .
Operacija množenja. Za sve racionalne brojeve a I b postoji tzv pravilo množenja, što im dodeljuje neki racionalni broj c. Štaviše, sam broj c pozvao rad brojevi a I b i označava se sa , a proces pronalaženja takvog broja se također naziva množenje. Pravilo množenja izgleda ovako: .
Tranzitivnost odnosa poretka. Za bilo koju trojku racionalnih brojeva a , b I c Ako a manje b I b manje c, To a manje c, i ako a jednaki b I b jednaki c, To a jednaki c. 6435">Komutativnost sabiranja. Promjenom mjesta racionalnih članova ne mijenja se zbir.
Asocijativnost sabiranja. Redoslijed sabiranja tri racionalna broja ne utječe na rezultat.
Prisustvo nule. Postoji racionalni broj 0 koji čuva svaki drugi racionalni broj kada se doda.
Prisustvo suprotnih brojeva. Svaki racionalni broj ima suprotan racionalni broj, koji kada se doda na daje 0.
Komutativnost množenja. Promena mesta racionalnih faktora ne menja proizvod.
Asocijativnost množenja. Redoslijed kojim se množe tri racionalna broja ne utječe na rezultat.
Dostupnost jedinice. Postoji racionalni broj 1 koji čuva svaki drugi racionalni broj kada se množi.
Prisustvo recipročnih brojeva. Svaki racionalni broj ima inverzni racionalni broj, koji kada se pomnoži sa daje 1.
Distributivnost množenja u odnosu na sabiranje. Operacija množenja je koordinirana sa operacijom sabiranja kroz zakon raspodjele:
Povezanost relacije narudžbe sa operacijom sabiranja. Isti racionalni broj može se dodati lijevoj i desnoj strani racionalne nejednakosti. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Arhimedov aksiom. Bez obzira na racionalni broj a, možete uzeti toliko jedinica da njihov zbir premašuje a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Dodatne nekretnine

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Prebrojivost skupa

Numeracija racionalnih brojeva

Najjednostavniji od ovih algoritama izgleda ovako. Beskonačna tabela običnih razlomaka je sastavljena na svakom i-ti red u svakom j th kolona u kojoj se nalazi razlomak. Radi određenosti, pretpostavlja se da su redovi i stupci ove tabele numerisani počevši od jedan. Ćelije tabele su označene sa , gde i- broj reda tabele u kojem se ćelija nalazi, i j- broj kolone.

Rezultirajuća tabela se prelazi pomoću “zmije” prema sljedećem formalnom algoritmu.

Ova pravila se pretražuju od vrha do dna i sljedeća pozicija se bira na osnovu prvog podudaranja.

U procesu takvog obilaska, svaki novi racionalni broj je povezan s drugim prirodnim brojem. Odnosno, razlomak 1/1 je dodijeljen broju 1, razlomak 2/1 broju 2, itd. Treba napomenuti da su samo nesvodljivi razlomci numerirani. Formalni znak nesvodljivosti je da je najveći zajednički djelitelj brojnika i nazivnika razlomka jednak jedan.

Nedostatak racionalnih brojeva

Hipotenuza takvog trougla ne može se izraziti nikakvim racionalnim brojem

Iz Pitagorine teoreme znamo da se hipotenuza pravokutnog trokuta izražava kao kvadratni korijen zbira kvadrata njegovih kateta. To. dužina hipotenuze jednakokračnog pravokutnog trokuta s jediničnom nogom jednaka je , tj. broju čiji je kvadrat 2.