Pravi razlomak je veći ili manji od jedan. Nepravilni razlomci: kako naučiti rješavati primjere s njima

Jednostavna matematička pravila i tehnike, ako se ne koriste stalno, najbrže se zaboravljaju. Termini nestaju iz memorije još brže.

Jedna od ovih jednostavnih radnji je pretvaranje nepravilnog razlomka u pravilan ili, drugim riječima, mješoviti razlomak.

Nepravilan razlomak

Nepravilan razlomak je onaj kod kojeg je brojilac (broj iznad prave) veći ili jednak nazivniku (broj ispod prave). Ovaj razlomak se dobiva zbrajanjem razlomaka ili množenjem razlomka cijelim brojem. Prema pravilima matematike, takav razlomak se mora pretvoriti u pravilan.

Pravilan razlomak

Logično je pretpostaviti da se svi ostali razlomci nazivaju pravim. Stroga definicija je da se razlomak čiji je brojilac manji od nazivnika naziva pravim. Razlomak koji ima cijeli broj ponekad se naziva mješoviti razlomak.

Pretvaranje nepravilnog razlomaka u pravilan razlomak

Prvi slučaj: brojilac i imenilac su međusobno jednaki. Rezultat pretvaranja bilo kojeg takvog razlomka je jedan. Nije bitno da li je tri trećine ili sto dvadeset i pet sto dvadeset petih. U suštini, takav razlomak označava radnju dijeljenja broja samim sobom.

Drugi slučaj: brojilac je veći od nazivnika. Ovdje morate zapamtiti metodu dijeljenja brojeva s ostatkom.
Da biste to učinili, morate pronaći broj najbliži vrijednosti brojilaca, koji je djeljiv sa nazivnikom bez ostatka. Na primjer, imate razlomak devetnaest trećina. Najbliži broj koji se može podijeliti sa tri je osamnaest. To je šest. Sada oduzmite rezultirajući broj od brojilaca. Dobijamo jedan. Ovo je ostatak. Zapišite rezultat konverzije: šest cijelih i jedna trećina.

Ali prije smanjivanja razlomka na pravu vrstu, morate provjeriti da li se može skratiti.
Možete smanjiti razlomak ako brojnik i nazivnik imaju zajednički faktor. To jest, broj kojim su oba djeljiva bez ostatka. Ako postoji nekoliko takvih djelitelja, morate pronaći najveći.
Na primjer, svi parni brojevi imaju takav zajednički djelitelj - dva. A razlomak šesnaest dvanaesti ima još jedan zajednički djelitelj - četiri. Ovo je najveći djelitelj. Podijelite brojilac i imenilac sa četiri. Rezultat smanjenja: četiri trećine. Sada, kao praksa, pretvorite ovaj razlomak u pravi razlomak.

Riječ “frakcije” mnogima izaziva ježinu. Zato što se sjećam škole i zadataka koji su se rješavali iz matematike. To je bila dužnost koju je trebalo ispuniti. Šta ako biste probleme koji uključuju pravilne i nepravilne razlomke tretirali kao slagalicu? Uostalom, mnogi odrasli rješavaju digitalne i japanske križaljke. Shvatili smo pravila i to je to. I ovdje je isto. Treba se samo udubiti u teoriju - i sve će doći na svoje mjesto. A primjeri će se pretvoriti u način da trenirate svoj mozak.

Koje vrste razlomaka postoje?

Počnimo od toga šta je to. Razlomak je broj koji ima neki dio jedan. Može se napisati u dva oblika. Prvi se zove običan. To jest, onaj koji ima vodoravnu ili nagnutu liniju. To je ekvivalentno znaku podjele.

U ovoj notaciji, broj iznad linije naziva se brojilac, a broj ispod njega naziva se imenilac.

Među običnim razlomcima razlikuju se pravilni i nepravilni razlomci. Za prvi, apsolutna vrijednost brojnika je uvijek manja od nazivnika. Pogrešni se tako zovu jer imaju sve obrnuto. Vrijednost pravog razlomka je uvijek manja od jedan. Dok je netačan uvijek veći od ovog broja.

Postoje i mješoviti brojevi, odnosno oni koji imaju cijeli broj i razlomak.

Druga vrsta zapisa je decimalni razlomak. O njoj se vodi poseban razgovor.

Po čemu se nepravilni razlomci razlikuju od mješovitih brojeva?

U suštini, ništa. Ovo su samo različiti snimci istog broja. Nepravilni razlomci nakon jednostavnih koraka lako postaju mješoviti brojevi. I obrnuto.

Sve zavisi od konkretne situacije. Ponekad je zgodnije koristiti nepravilan razlomak u zadacima. A ponekad je potrebno to pretvoriti u mješoviti broj i tada će se primjer vrlo lako riješiti. Dakle, šta koristiti: nepravilni razlomci, mešoviti brojevi, zavisi od veštine posmatranja osobe koja rešava problem.

Mješoviti broj se također poredi sa zbirom cijelog i razlomka. Štaviše, drugi je uvijek manji od jedan.

Kako mješoviti broj predstaviti kao nepravilan razlomak?

Ako trebate izvršiti bilo koju radnju s nekoliko brojeva koji su upisani različite vrste, onda ih trebate učiniti istim. Jedna metoda je predstavljanje brojeva kao nepravilnih razlomaka.

U tu svrhu morat ćete izvesti sljedeći algoritam:

pomnoži imenilac sa celim delom;
rezultatu dodajte vrijednost brojnika;
napišite odgovor iznad reda;
ostavite imenilac isti.

Evo primjera kako napisati nepravilne razlomke iz mješovitih brojeva:

17 ¼ = (17 x 4 + 1) : 4 = 69/4;
39 ½ = (39 x 2 + 1) : 2 = 79/2.

Kako napisati nepravilan razlomak kao mješoviti broj?

Sljedeća tehnika je suprotna od one o kojoj je bilo riječi gore. To jest, kada se svi mješoviti brojevi zamijene nepravilnim razlomcima. Algoritam akcija bit će sljedeći:

podijelite brojilac sa nazivnikom da dobijete ostatak;
napišite količnik umjesto cijelog dijela mješovitog;
ostatak treba postaviti iznad linije;
djelitelj će biti imenilac.

Primjeri takve transformacije:

76/14; 76:14 = 5 sa ostatkom 6; odgovor će biti 5 cijeli i 6/14; razlomak u ovom primjeru treba smanjiti za 2, što rezultira 3/7; konačni odgovor je 5 bodova 3/7.

108/54; nakon dijeljenja dobije se količnik 2 bez ostatka; to znači da se svi nepravilni razlomci ne mogu predstaviti kao mješoviti broj; odgovor će biti cijeli broj - 2.

Kako ceo broj pretvoriti u nepravilan razlomak?

Postoje situacije kada je takva akcija neophodna. Da biste dobili nepravilne razlomke s poznatim nazivnikom, morat ćete izvesti sljedeći algoritam:

pomnožiti cijeli broj sa željenim nazivnikom;
upišite ovu vrijednost iznad linije;
stavite imenilac ispod njega.

Najjednostavnija opcija je kada je imenilac jednak jedan. Onda ne morate ništa da množite. Dovoljno je jednostavno napisati cijeli broj dat u primjeru, a jedan staviti ispod reda.

Primjer: Neka 5 bude nepravilan razlomak sa nazivnikom 3. Množenjem 5 sa 3 dobije se 15. Ovaj broj će biti imenilac. Odgovor na zadatak je razlomak: 15/3.

Dva pristupa rješavanju zadataka s različitim brojevima

Primer zahteva izračunavanje zbira i razlike, kao i proizvoda i količnika dva broja: 2 cela broja 3/5 i 14/11.

U prvom pristupu mješoviti broj će biti predstavljen kao nepravilan razlomak.

Nakon izvođenja gore opisanih koraka, dobit ćete sljedeću vrijednost: 13/5.

Da biste saznali zbroj, trebate svesti razlomke na isti nazivnik. 13/5 nakon množenja sa 11 postaje 143/55. A 14/11 nakon množenja sa 5 će izgledati ovako: 70/55. Da biste izračunali zbir, trebate samo sabrati brojioce: 143 i 70, a zatim zapisati odgovor s jednim nazivnikom. 213/55 - ovaj nepravilni razlomak je odgovor na problem.

Prilikom pronalaženja razlike oduzimaju se isti brojevi: 143 - 70 = 73. Odgovor će biti razlomak: 73/55.

Kada množite 13/5 i 14/11, ne morate ih svesti na zajednički nazivnik. Dovoljno je pomnožiti brojioce i nazivnike u parovima. Odgovor će biti: 182/55.

Isto važi i za podjelu. Za ispravna odluka trebate zamijeniti dijeljenje množenjem i obrnuti djelitelj: 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70.

U drugom pristupu nepravilan razlomak postaje mješoviti broj.

Nakon izvođenja radnji algoritma, 14/11 će se pretvoriti u mješoviti broj s cijelim dijelom od 1 i razlomkom od 3/11.

Prilikom izračunavanja zbroja potrebno je zasebno sabrati cijeli i razlomak. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Konačan odgovor je 3 boda 48/55. U prvom pristupu razlomak je bio 213/55. Možete provjeriti njegovu ispravnost tako što ćete ga pretvoriti u mješoviti broj. Nakon dijeljenja 213 sa 55, količnik je 3, a ostatak je 48. Lako je vidjeti da je odgovor tačan.

Prilikom oduzimanja, znak “+” zamjenjuje se “-”. 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Da bismo provjerili, odgovor iz prethodnog pristupa treba pretvoriti u mješoviti broj: 73 je podijeljeno sa 55, a količnik je 1, a ostatak je 18.

Za pronalaženje proizvoda i količnika nezgodno je koristiti mješovite brojeve. Ovdje se uvijek preporučuje da prijeđete na nepravilne razlomke.

Nepravilan razlomak

Četvrtine

Urednost. a I b postoji pravilo koje dozvoljava da se na jedinstven način identifikuje jedan i samo jedan od tri odnosa između njih: “< », « >" ili " = ". Ovo pravilo se zove pravilo naručivanja i formulira se na sljedeći način: dva nenegativna broja i povezani su istom relacijom kao dva cijela broja i ; dva nepozitivna broja a I b povezani su istim odnosom kao dva nenegativna broja i ; ako iznenada a nije negativan, ali b- negativan, onda a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Zbrajanje razlomaka
Operacija sabiranja. Za sve racionalne brojeve a I b postoji tzv pravilo sumiranja c. Štaviše, sam broj c pozvao iznos brojevi a I b i označava se sa , a proces pronalaženja takvog broja se zove sumiranje. Pravilo sumiranja ima sljedeći pogled: .
Operacija množenja. Za sve racionalne brojeve a I b postoji tzv pravilo množenja, što im dodeljuje neki racionalni broj c. Štaviše, sam broj c pozvao rad brojevi a I b i označava se sa , a proces pronalaženja takvog broja se također naziva množenje. Pravilo množenja izgleda ovako: .
Tranzitivnost odnosa poretka. Za bilo koju trojku racionalnih brojeva a , b I c Ako a manje b I b manje c, To a manje c, i ako a jednaki b I b jednaki c, To a jednaki c. 6435">Komutativnost sabiranja. Promjenom mjesta racionalnih članova ne mijenja se zbir.
Asocijativnost sabiranja. Redoslijed sabiranja tri racionalna broja ne utječe na rezultat.
Prisustvo nule. Postoji racionalni broj 0 koji čuva svaki drugi racionalni broj kada se doda.
Prisustvo suprotnih brojeva. Svaki racionalni broj ima suprotan racionalni broj, koji kada se doda na daje 0.
Komutativnost množenja. Promena mesta racionalnih faktora ne menja proizvod.
Asocijativnost množenja. Redoslijed kojim se množe tri racionalna broja ne utječe na rezultat.
Dostupnost jedinice. Postoji racionalni broj 1 koji čuva svaki drugi racionalni broj kada se množi.
Prisustvo recipročnih brojeva. Svaki racionalni broj ima inverzni racionalni broj, koji kada se pomnoži sa daje 1.
Distributivnost množenja u odnosu na sabiranje. Operacija množenja je koordinirana sa operacijom sabiranja kroz zakon raspodjele:
Povezanost relacije narudžbe sa operacijom sabiranja. Lijevo i desna strana Za racionalnu nejednakost možete dodati isti racionalni broj. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Arhimedov aksiom. Bez obzira na racionalni broj a, možete uzeti toliko jedinica da njihov zbir premašuje a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Dodatne nekretnine

Sva ostala svojstva svojstvena racionalnim brojevima ne izdvajaju se kao osnovna, jer, općenito govoreći, više se ne zasnivaju direktno na svojstvima cijelih brojeva, već se mogu dokazati na osnovu datih osnovnih svojstava ili direktno definicijom nekog matematičkog objekta. . Postoji mnogo takvih dodatnih nekretnina. Ovdje ima smisla navesti samo neke od njih.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Prebrojivost skupa

Numeracija racionalnih brojeva

Da biste procijenili broj racionalnih brojeva, morate pronaći kardinalnost njihovog skupa. Lako je dokazati da je skup racionalnih brojeva prebrojiv. Da biste to učinili, dovoljno je dati algoritam koji nabraja racionalne brojeve, odnosno uspostavlja bijekciju između skupova racionalnih i prirodnih brojeva.

Najjednostavniji od ovih algoritama izgleda ovako. Beskonačna tabela običnih razlomaka je sastavljena na svakom i-ti red u svakom j th kolona u kojoj se nalazi razlomak. Radi određenosti, pretpostavlja se da su redovi i stupci ove tabele numerisani počevši od jedan. Ćelije tabele su označene sa , gde i- broj reda tabele u kojem se ćelija nalazi, i j- broj kolone.

Rezultirajuća tabela se prelazi pomoću “zmije” prema sljedećem formalnom algoritmu.

Ova pravila se pretražuju od vrha do dna i sljedeća pozicija se bira na osnovu prvog podudaranja.

U procesu takvog obilaska, svaki novi racionalni broj je povezan s drugim prirodni broj. Odnosno, razlomak 1/1 je dodijeljen broju 1, razlomak 2/1 broju 2, itd. Treba napomenuti da su samo nesvodljivi razlomci numerirani. Formalni znak nesvodljivosti je da je najveći zajednički djelitelj brojnika i nazivnika razlomka jednak jedan.

Prateći ovaj algoritam, možemo nabrojati sve pozitivne racionalne brojeve. To znači da je skup pozitivnih racionalnih brojeva prebrojiv. Lako je uspostaviti bijekciju između skupova pozitivnih i negativnih racionalnih brojeva jednostavnim pripisivanjem svakom racionalnom broju njegovu suprotnost. To. skup negativnih racionalnih brojeva je također prebrojiv. Njihova unija je također prebrojiva svojstvom prebrojivih skupova. Skup racionalnih brojeva je također prebrojiv kao unija prebrojivog skupa sa konačnim.

Izjava o prebrojivosti skupa racionalnih brojeva može izazvati određenu zabunu, jer se na prvi pogled čini da je mnogo opsežnija od skupa prirodnih brojeva. U stvari, to nije tako i ima dovoljno prirodnih brojeva da se nabroje svi racionalni brojevi.

Nedostatak racionalnih brojeva

Hipotenuza takvog trougla ne može se izraziti bilo kojim racionalni broj

Racionalni brojevi oblika 1 / n na slobodi n mogu se izmjeriti proizvoljno male količine. Ova činjenica stvara pogrešan utisak da se racionalni brojevi mogu koristiti za mjerenje bilo koje geometrijske udaljenosti. Lako je pokazati da to nije istina.

Iz Pitagorine teoreme znamo da se hipotenuza pravokutnog trokuta izražava kao kvadratni korijen zbira kvadrata njegovih kateta. To. dužina hipotenuze jednakokrake pravougaonog trougla sa jediničnom nogom je jednak, tj. broj čiji je kvadrat 2.

Ako pretpostavimo da se broj može predstaviti nekim racionalnim brojem, onda postoji takav cijeli broj m i takav prirodan broj n, da , a razlomak je nesvodljiv, tj. brojevi m I n- obostrano jednostavno.

Dok proučavate kraljicu svih nauka – matematiku, u nekom trenutku svi naiđu na razlomke. Iako ovaj koncept (kao i sami tipovi razlomaka ili matematičke operacije s njima) nije nimalo komplikovan, s njim se mora postupati pažljivo, jer u pravi zivot Biće veoma korisno van škole. Dakle, osvježimo naše znanje o razlomcima: šta su, čemu služe, koje su vrste i kako s njima izvoditi razne računske operacije.

Frakcija Njenog Veličanstva: šta je to

U matematici su razlomci brojevi, od kojih se svaki sastoji od jednog ili više dijelova jedinice. Takvi razlomci se nazivaju i obični ili jednostavni. U pravilu se pišu u obliku dva broja koji su odvojeni vodoravnom ili kosom linijom, naziva se "razlomkom". Na primjer: ½, ¾.

Gornji ili prvi od ovih brojeva je brojilac (pokazuje koliko je dijelova uzeto iz broja), a donji ili drugi je imenilac (pokazuje na koliko dijelova je jedinica podijeljena).

Razlomka zapravo funkcionira kao znak dijeljenja. Na primjer, 7:9=7/9

Tradicionalno, obični razlomci su manji od jedan. Dok decimale mogu biti veće od njega.

Čemu služe razlomci? Da, za sve, jer u stvarnom svijetu nisu svi brojevi cijeli brojevi. Na primjer, dvije učenice u kafeteriji su zajedno kupile jednu ukusnu čokoladicu. Kada su se spremali da podele desert, sreli su prijateljicu i odlučili da je počastimo i njom. Međutim, sada je potrebno pravilno podijeliti čokoladicu s obzirom da se sastoji od 12 kvadrata.

Djevojke su prvo htjele da sve podijele na jednake dijelove, a onda bi svaka dobila po četiri komada. Ali, nakon što su dobro razmislili, odlučili su da počaste svog prijatelja, ne 1/3, već 1/4 čokolade. A kako učenice nisu dobro proučile razlomke, nisu vodile računa da će u takvoj situaciji dobiti 9 komada koje je vrlo teško podijeliti na dva. Ovaj prilično jednostavan primjer pokazuje koliko je važno moći ispravno pronaći dio broja. Ali u životu sličnim slučajevima mnogo više.

Vrste razlomaka: obični i decimalni

Svi matematički razlomci podijeljeni su u dvije velike kategorije: obične i decimalne. Karakteristike prvog od njih opisane su u prethodnom paragrafu, pa je sada vrijedno obratiti pažnju na drugi.

Decimala je pozicijski zapis razlomka broja, koji se piše u pisanom obliku odvojeno zarezom, bez crtice ili kose crte. Na primjer: 0,75, 0,5.

U stvari, decimalni razlomak je identičan običnom razlomku, međutim, njegov nazivnik je uvijek jedan iza kojeg slijede nule - otuda i njegovo ime.

Broj koji prethodi zarezu je cijeli broj, a sve iza njega je razlomak. volim to prosti razlomak može se pretvoriti u decimalni. Dakle, navedeno u prethodnom primjeru decimale može se pisati kao i obično: ¾ i ½.

Vrijedi napomenuti da i decimalni i obični razlomci mogu biti pozitivni ili negativni. Ako im prethodi znak “-”, ovaj razlomak je negativan, ako je “+” pozitivan razlomak.

Podvrste običnih frakcija

Postoje ove vrste prostih razlomaka.

Podtipovi decimalnog razlomka

Za razliku od jednostavnog razlomka, decimalni razlomak se dijeli na samo 2 tipa.

Konačno - dobio je ovo ime zbog činjenice da iza decimalnog zareza ima ograničen (konačan) broj cifara: 19,25.
Beskonačni razlomak je broj sa beskonačnim brojem cifara iza decimalnog zareza. Na primjer, kada podijelite 10 sa 3, rezultat će biti beskonačan razlomak 3,333...

Zbrajanje razlomaka

Provođenje raznih aritmetičkih manipulacija s razlomcima je malo teže nego s običnim brojevima. Međutim, ako razumijete osnovna pravila, rješavanje bilo kojeg primjera s njima neće biti teško.

Na primjer: 2/3+3/4. Najmanji zajednički višekratnik za njih će biti 12, stoga je potrebno da ovaj broj bude u svakom nazivniku. Da bismo to učinili, pomnožimo brojnik i nazivnik prvog razlomka sa 4, ispada 8/12, isto radimo sa drugim članom, ali samo množimo sa 3 - 9/12. Sada možete lako riješiti primjer: 8/12+9/12= 17/12. Dobijeni razlomak je netočna jedinica jer je brojnik veći od nazivnika. Može i treba da se transformiše u ispravnu mješovitu dijeljenjem 17:12 = 1 i 5/12.

Kada se dodaju mješoviti razlomci, operacije se izvode prvo s cijelim brojevima, a zatim s razlomcima.

Ako primjer sadrži decimalni razlomak i običan razlomak, potrebno je oboje učiniti jednostavnim, zatim ih dovesti u isti nazivnik i sabrati. Na primjer 3.1+1/2. Broj 3.1 se može napisati kao mješovita frakcija 3 i 1/10 ili kao netačno - 31/10. Zajednički imenilac za članove će biti 10, tako da morate naizmenično pomnožiti brojilac i imenilac 1/2 sa 5, dobićete 5/10. Tada možete lako sve izračunati: 31/10+5/10=35/10. Dobiveni rezultat je nepravilan svodljivi razlomak, dovodimo ga u normalan oblik, smanjujući ga za 5: 7/2 = 3 i 1/2, ili decimalni - 3,5.

Prilikom sabiranja 2 decimalna razlomka važno je da iza decimalnog zareza bude isti broj cifara. Ako to nije slučaj, samo trebate dodati potreban iznos nule, jer se u decimalnim razlomcima to može učiniti bezbolno. Na primjer, 3,5+3,005. Da biste riješili ovaj problem, morate prvom broju dodati 2 nule, a zatim jednu po jednu: 3.500+3.005=3.505.

Oduzimanje razlomaka

Prilikom oduzimanja razlomaka treba raditi isto kao i pri sabiranju: svesti na zajednički nazivnik, oduzeti jedan brojnik od drugog i, ako je potrebno, pretvoriti rezultat u mješoviti razlomak.

Na primjer: 16/20-5/10. Zajednički imenilac će biti 20. Drugi razlomak treba da dovedete do ovog imenioca tako što ćete oba njegova dela pomnožiti sa 2, dobijate 10/20. Sada možete riješiti primjer: 16/20-10/20= 6/20. Međutim, ovaj rezultat vrijedi za razlomke koje se mogu smanjiti, tako da vrijedi podijeliti obje strane sa 2 i rezultat je 3/10.

Množenje razlomaka

Dijeljenje i množenje razlomaka su mnogo jednostavnije operacije od sabiranja i oduzimanja. Činjenica je da prilikom obavljanja ovih zadataka nema potrebe tražiti zajednički imenitelj.

Da biste pomnožili razlomke, jednostavno morate pomnožiti oba brojnika jedan po jedan, a zatim oba nazivnika. Smanjite rezultirajući rezultat ako je razlomak reducibilna količina.

Na primjer: 4/9x5/8. Nakon alternativnog množenja, rezultat je 4x5/9x8=20/72. Ovaj razlomak se može smanjiti za 4, tako da je konačni odgovor u primjeru 5/18.

Kako podijeliti razlomke

Dijeljenje razlomaka je također jednostavna operacija; zapravo se i dalje svodi na njihovo množenje. Da biste podijelili jedan razlomak s drugim, trebate obrnuti drugi i pomnožiti s prvim.

Na primjer, dijeljenje razlomaka 5/19 i 5/7. Da biste riješili primjer, trebate zamijeniti nazivnik i brojnik drugog razlomka i pomnožiti: 5/19x7/5=35/95. Rezultat se može smanjiti za 5 - ispada 7/19.

Ako trebate podijeliti razlomak prostim brojem, tehnika je malo drugačija. U početku biste trebali napisati ovaj broj kao nepravilan razlomak, a zatim podijeliti prema istoj shemi. Na primjer, 2/13:5 treba napisati kao 2/13: 5/1. Sada trebate okrenuti 5/1 i pomnožiti rezultirajuće razlomke: 2/13x1/5= 2/65.

Ponekad morate podijeliti miješane razlomke. Morate ih tretirati kao što biste radili s cijelim brojevima: pretvorite ih u nepravilne razlomke, obrnite djelitelj i sve pomnožite. Na primjer, 8 ½: 3. Pretvorite sve u nepravilne razlomke: 17/2: 3/1. Nakon toga slijedi okretanje 3/1 i množenje: 17/2x1/3= 17/6. Sada biste trebali pretvoriti nepravilan razlomak u ispravan - 2 cijela i 5/6.

Dakle, nakon što ste shvatili što su razlomci i kako s njima možete izvoditi razne aritmetičke operacije, morate pokušati ne zaboraviti na to. Na kraju krajeva, ljudi su uvijek skloniji da nešto podijele na dijelove nego da dodaju, tako da morate biti u stanju da to uradite ispravno.

S razlomcima u životu nailazimo mnogo ranije nego što ih počnemo proučavati u školi. Ako cijelu jabuku prepolovimo, dobijemo ½ ploda. Isjecimo ga ponovo - bit će ¼. Ovo su razlomci. I sve je izgledalo jednostavno. Za odraslu osobu. Za dijete (i ovu temu počinju učiti na kraju osnovne škole) apstraktni matematički pojmovi su još uvijek zastrašujuće nerazumljivi, a nastavnik mora jasno objasniti šta su pravi, a šta nepravilni razlomak, obični i decimalni, koje operacije se s njima mogu izvoditi i, što je najvažnije, šta sve ovo je potrebno za.

Šta su razlomci?

Upoznavanje nova tema u školi počinje običnim razlomcima. Lako se prepoznaju po horizontalnoj liniji koja razdvaja dva broja - iznad i ispod. Gornji se zove brojilac, a donji imenilac. Postoji i opcija malim slovima za pisanje nepravilnih i pravilnih običnih razlomaka - kroz kosu crtu, na primjer: ½, 4/9, 384/183. Ova opcija se koristi kada je visina linije ograničena i nije moguće koristiti obrazac za unos na dva sprata. Zašto? Da, jer je to praktičnije. Videćemo ovo malo kasnije.

Osim običnih razlomaka, postoje i decimalni razlomci. Vrlo ih je jednostavno razlikovati: ako se u jednom slučaju koristi vodoravna ili kosa crta, u drugom se zarez koristi za razdvajanje nizova brojeva. Pogledajmo primjer: 2.9; 163.34; 1.953. Namjerno smo koristili tačku i zarez kao separator da razgraničimo brojeve. Prvi od njih će glasiti ovako: "dva tačka devet".

Novi koncepti

Vratimo se na obične frakcije. Dolaze u dvije vrste.

Definicija pravilnog razlomka je sljedeća: to je razlomak čiji je brojnik manji od nazivnika. Zašto je to važno? Sad ćemo vidjeti!

Imate nekoliko jabuka, prepolovljenih. Ukupno - 5 delova. Kako biste rekli: imate li “dvije i po” ili “pet i po” jabuka? Naravno, prva opcija zvuči prirodnije i koristićemo je kada razgovaramo sa prijateljima. Ali ako treba da izračunamo koliko će voća dobiti svaka osoba, ako je u kompaniji pet ljudi, zapisaćemo broj 5/2 i podeliti ga sa 5 - sa matematičke tačke gledišta, ovo će biti jasnije .

Dakle, za imenovanje pravih i nepravih razlomaka pravilo je sljedeće: ako se cijeli dio može razlikovati u razlomku (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), onda je nepravilan. Ako se to ne može učiniti, kao u slučaju ½, 13/16, 9/10, bit će ispravno.

Glavno svojstvo razlomka

Ako se brojnik i imenilac razlomka istovremeno pomnože ili podijele istim brojem, njegova vrijednost se ne mijenja. Zamislite: isjekli su tortu na 4 jednaka dijela i dali vam jedan. Istu tortu su isjekli na osam komada i dali vam dva. Da li je to zaista važno? Na kraju krajeva, ¼ i 2/8 su ista stvar!

Redukcija

Autori zadataka i primjera u udžbenicima matematike često nastoje zbuniti učenike nudeći razlomke koje je glomazno napisati, ali se zapravo mogu skratiti. Evo primjera pravilnog razlomka: 167/334, koji, čini se, izgleda vrlo "strašno". Ali zapravo možemo to napisati kao ½. Broj 334 je djeljiv sa 167 bez ostatka - nakon izvođenja ove operacije, dobivamo 2.

Mješoviti brojevi

Nepravilan razlomak se može predstaviti kao mješoviti broj. To je kada se cijeli dio pomakne naprijed i napiše na nivou vodoravne linije. U stvari, izraz ima oblik zbira: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 i tako dalje.

Da biste izvadili cijeli dio, trebate podijeliti brojilac sa nazivnikom. Ostatak podjele napišite na vrhu, iznad linije, a cijeli dio - prije izraza. Tako dobijamo dva strukturna dijela: cijele jedinice + pravi razlomak.

Također možete izvršiti inverznu operaciju - da biste to učinili, trebate pomnožiti cijeli broj sa nazivnikom i dodati rezultirajuću vrijednost brojniku. Ništa komplikovano.

Množenje i dijeljenje

Čudno je da je množenje razlomaka lakše nego zbrajanje. Sve što je potrebno je produžiti horizontalnu liniju: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.

Kod dijeljenja je sve također jednostavno: trebate pomnožiti razlomke unakrsno: (7/8) / (14/15) = 7 * 15 / 8 * 14 = 15/16.

Zbrajanje razlomaka

Šta učiniti ako trebate izvršiti sabiranje ili je njihov nazivnik različiti brojevi? Neće raditi isto kao s množenjem - ovdje biste trebali razumjeti definiciju pravog razlomka i njegovu suštinu. Potrebno je dovesti članove na zajednički imenilac, odnosno dno oba razlomka treba da ima iste brojeve.

Da biste to učinili, trebali biste koristiti osnovno svojstvo razlomka: pomnožite oba dijela istim brojem. Na primjer, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.

Kako odabrati na koji nazivnik smanjiti članove? Ovo mora biti najmanji broj koji je višekratnik oba broja u nazivnicima razlomaka: za 1/3 i 1/9 to će biti 9; za ½ i 1/7 - 14, jer nema manje vrijednosti djeljive sa 2 i 7 bez ostatka.

Upotreba

Za šta se koriste nepravilni razlomci? Na kraju krajeva, mnogo je zgodnije odmah odabrati cijeli dio, dobiti mješoviti broj - i završiti s tim! Ispada da ako trebate pomnožiti ili podijeliti dva razlomka, isplativije je koristiti nepravilne.

Uzmimo sljedeći primjer: (2 + 3/17) / (37 / 68).

Čini se da se uopće nema šta rezati. Ali šta ako rezultat sabiranja zapišemo u prve zagrade kao nepravilan razlomak? Pogledajte: (37/17) / (37/68)

Sada sve dolazi na svoje mjesto! Zapišimo primjer na način da sve postane očigledno: (37*68) / (17*37).

Poništimo 37 u brojniku i nazivniku i konačno podijelimo gornji i donji dio sa 17. Sjećate li se osnovnog pravila za prave i nepravilne razlomke? Možemo ih množiti i dijeliti bilo kojim brojem sve dok to radimo za brojnik i nazivnik u isto vrijeme.

Dakle, dobijamo odgovor: 4. Primer je izgledao komplikovano, ali odgovor sadrži samo jedan broj. To se često dešava u matematici. Glavna stvar je ne plašiti se i slijediti jednostavna pravila.

Uobičajene greške

Prilikom implementacije, učenik može lako napraviti jednu od uobičajenih grešaka. Obično se javljaju zbog nepažnje, a ponekad i zbog činjenice da proučavani materijal još nije pravilno pohranjen u glavi.

Često zbir brojeva u brojiocu izaziva želju da smanjite njegove pojedinačne komponente. Recimo u primjeru: (13 + 2) / 13, napisano bez zagrada (s horizontalnom linijom), mnogi učenici zbog neiskustva precrtavaju 13 iznad i ispod. Ali to ne bi trebalo raditi ni pod kojim okolnostima, jer je to velika greška! Kada bi umjesto sabiranja postojao znak množenja, u odgovoru bismo dobili broj 2. Ali pri sabiranju nisu dozvoljene operacije sa jednim od članova, već samo s cijelim zbirom.

Momci također često griješe kada dijele razlomke. Uzmimo dva ispravna nesvodljiva razlomka i podijelimo ih jedan s drugim: (5/6) / (25/33). Učenik ga može pomiješati i zapisati rezultirajući izraz kao (5*25) / (6*33). Ali to bi se dogodilo s množenjem, ali u našem slučaju sve će biti nešto drugačije: (5*33) / (6*25). Smanjujemo ono što je moguće, a odgovor će biti 11/10. Dobijeni nepravilni razlomak zapisujemo kao decimalu - 1,1.

Zagrade

Zapamtite da je u bilo kojem matematičkom izrazu redoslijed operacija određen prioritetom znakova operacije i prisustvom zagrada. Pod svim ostalim jednakim uvjetima, redoslijed radnji se računa s lijeva na desno. To vrijedi i za razlomke - izraz u brojniku ili nazivniku se izračunava striktno prema ovom pravilu.

Na kraju krajeva, ovo je rezultat dijeljenja jednog broja drugim. Ako nisu ravnomjerno podijeljeni, postaje razlomak - to je sve.

Kako napisati razlomak na kompjuteru

Budući da standardni alati ne dozvoljavaju uvijek stvaranje razlomka koji se sastoji od dva „sloja“, učenici ponekad pribjegavaju raznim trikovima. Na primjer, oni kopiraju brojače i nazivnike u grafički uređivač Paint i lijepe ih zajedno, crtajući horizontalnu liniju između njih. Naravno, postoji jednostavnija opcija, koja, usput, pruža mnogo toga dodatne funkcije, koji će vam biti od koristi u budućnosti.

Otvorite Microsoft Word. Jedan od panela na vrhu ekrana se zove „Insert“ - kliknite na njega. Sa desne strane, sa strane na kojoj se nalaze ikone za zatvaranje i minimiziranje prozora, nalazi se dugme „Formula“. Ovo je upravo ono što nam treba!

Ako koristite ovu funkciju, na ekranu će se pojaviti pravougaona oblast u kojoj možete koristiti sve matematičke simbole koji nisu na tastaturi, kao i pisati razlomke u klasična forma. Odnosno, dijeljenje brojnika i nazivnika vodoravnom linijom. Možda ćete se čak i iznenaditi da je takav pravi razlomak tako lako napisati.

Naučite matematiku

Ako ste u razredu 5-6, tada će uskoro biti potrebno znanje matematike (uključujući sposobnost rada sa razlomcima!) u mnogim školskim predmetima. U gotovo svakom problemu iz fizike, pri mjerenju mase tvari u hemiji, u geometriji i trigonometriji, ne možete bez razlomaka. Uskoro ćete naučiti sve izračunati u svom umu, čak i bez zapisivanja izraza na papir, ali sve više i više složeni primjeri. Stoga, naučite šta je pravi razlomak i kako s njim raditi, budite u toku nastavni plan i program, uradite domaći na vrijeme i uspjet ćete.