Kaže se da funkcija ima internu tačku
oblasti D lokalni maksimum(minimum) ako postoji takva okolina tačke
, za svaku tačku
koji zadovoljava nejednakost

Ako funkcija ima u točki
lokalni maksimum ili lokalni minimum, onda kažemo da ima u ovom trenutku lokalni ekstrem(ili samo ekstremno).

Teorema (neophodan uslov za postojanje ekstremuma). Ako diferencijabilna funkcija dostigne ekstrem u tački
, zatim svaki parcijalni izvod funkcije prvog reda nestaje u ovom trenutku.

Pozivaju se tačke u kojima sve parcijalne derivacije prvog reda nestaju stacionarne tačke funkcije
. Koordinate ovih tačaka se mogu naći rješavanjem sistema iz jednačine

.

Neophodan uslov za postojanje ekstremuma u slučaju diferencijabilne funkcije može se ukratko formulisati na sledeći način:

Postoje slučajevi kada u određenim tačkama neki parcijalni derivati ​​imaju beskonačne vrijednosti ili ne postoje (dok su ostali jednaki nuli). Takve tačke se nazivaju kritične tačke funkcije. Ove tačke takođe treba smatrati "sumnjivim" za ekstrem, kao i one stacionarne.

U slučaju funkcije dvije varijable, neophodan uslov za ekstremum, odnosno jednakost nuli parcijalnih izvoda (diferencijala) u točki ekstrema, ima geometrijsku interpretaciju: tangentna ravan na površinu
u tački ekstrema mora biti paralelna sa ravninom
.

20. Dovoljni uslovi za postojanje ekstrema

Ispunjenje neophodnog uslova za postojanje ekstremuma u nekom trenutku uopšte ne garantuje postojanje ekstremuma tamo. Kao primjer možemo uzeti svugdje diferencibilnu funkciju
. I njegove parcijalne derivacije i sama funkcija nestaju u tački
. Međutim, u bilo kojem susjedstvu ove točke, postoje oba pozitivna (velika
) i negativni (manji
) vrijednosti ove funkcije. Stoga, u ovom trenutku, po definiciji, ne postoji ekstremum. Zbog toga je potrebno poznavati dovoljne uslove pod kojima je tačka za koju se sumnja na ekstremum tačka ekstrema funkcije koja se proučava.

Razmotrimo slučaj funkcije dvije varijable. Pretpostavimo da je funkcija
je definiran, kontinuiran i ima kontinuirane parcijalne izvode do i uključujući drugi red u susjedstvu neke tačke
, što je stacionarna tačka funkcije
, odnosno zadovoljava uslove

,
.

Hajde da uvedemo notaciju:

Teorema (dovoljni uslovi za postojanje ekstrema). Neka funkcija
zadovoljava gore navedene uslove, i to: diferencibilan u nekoj okolini stacionarne tačke
i dvaput je diferencibilan u samoj tački
. Onda ako

Ako
zatim funkciju
u tački
dosega

lokalni maksimum at
I

lokalni minimum at
.

Općenito, za funkciju
dovoljan uslov za postojanje u jednoj tački
lokalniminimum(maksimum) je pozitivno(negativan) određenost drugog diferencijala.

Drugim riječima, tačna je sljedeća izjava.

Teorema . Ako u tački
za funkciju

za bilo koji u isto vrijeme nije jednak nuli
, tada u ovom trenutku funkcija ima minimum(slično maksimum, Ako
).

Primjer 18.Pronađite lokalne ekstremne točke funkcije

Rješenje. Pronađite parcijalne izvode funkcije i izjednačite ih sa nulom:

Rješavajući ovaj sistem, nalazimo dvije moguće tačke ekstrema:

Nađimo parcijalne izvode drugog reda za ovu funkciju:

U prvoj stacionarnoj tački , dakle, i
Stoga su za ovu tačku potrebna dalja istraživanja. Vrijednost funkcije
u ovom trenutku je nula:
dalje,

at

A

at

Dakle, u bilo kom susjedstvu tačke
funkcija
uzima vrijednosti kao velike
, i manji
, a time i u točki
funkcija
, po definiciji, nema lokalni ekstrem.

Na drugoj stacionarnoj tački



dakle, dakle, pošto
onda u tački
funkcija ima lokalni maksimum.

>> Ekstremi

Ekstremum funkcije

Definicija ekstrema

Funkcija y = f(x) se poziva povećanje (opadanje) u nekom intervalu ako je za x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f(x2)).

Ako se diferencijabilna funkcija y \u003d f (x) na segmentu povećava (smanjuje), tada se njen izvod na ovom segmentu f " (x )> 0

(f"(x)< 0).

Dot x O pozvao lokalna maksimalna tačka (minimum) funkcije f (x ) ako postoji susjedstvo tačke x o, za sve tačke od kojih je nejednakost f (x)≤ f (x o) (f (x)≥ f (x o )).

Pozivaju se maksimalne i minimalne tačke ekstremne tačke, a vrijednosti funkcije u tim točkama su njene extrema.

ekstremne tačke

Neophodni uslovi za ekstrem . Ako tačka x O je tačka ekstrema funkcije f (x), tada je ili f " (x o ) = 0, ili f(x o ) ne postoji. Takve tačke se nazivaju kritičan, gdje je sama funkcija definirana u kritičnoj tački. Ekstreme funkcije treba tražiti među njenim kritičnim tačkama.

Prvi dovoljan uslov. Neka x O - kritična tačka. ako f" (x ) prilikom prolaska kroz tačku x O mijenja znak plus u minus, a zatim u tački x o funkcija ima maksimum, inače ima minimum. Ako derivacija ne promijeni predznak pri prolasku kroz kritičnu tačku, onda u tački x O ne postoji ekstrem.

Drugi dovoljan uslov. Neka funkcija f(x) ima
f" (x ) u blizini tačke x O i drugi derivat u samoj tački x o. ako f"(x o) = 0, >0 ( <0), то точка x o je lokalna tačka minimuma (maksimuma) funkcije f(x). Ako je =0, onda se mora koristiti ili prvi dovoljan uslov ili uključiti više.

Na segmentu, funkcija y = f (x) može doseći najmanju ili najveću vrijednost bilo na kritičnim točkama ili na krajevima segmenta.

Primjer 3.22.

Rješenje. Jer f " (

Zadaci za pronalaženje ekstrema funkcije

Primjer 3.23. a

Rješenje. x I y y
0 ≤ x≤
> 0, dok x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение funkcije sq.. jedinice).

Primjer 3.24. p ≈

Rješenje. pp
S"
R = 2, H = 16/4 = 4.

Primjer 3.22.Naći ekstreme funkcije f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Rješenje. Jer f " (x) = 6x 2 - 30x +36 = 6 (x -2) (x - 3), zatim kritične tačke funkcije x 1 = 2 i x 2 = 3. Ekstremne tačke mogu biti samo na ovim bodova. Budući da prilikom prolaska kroz tačku x 1 \u003d 2 derivacija mijenja predznak s plusa na minus, tada funkcija u ovoj točki ima maksimum. Prilikom prolaska kroz tačku x 2 \u003d 3, derivacija mijenja predznak od minus do plus, dakle, u tački x 2 \u003d 3, funkcija ima minimum. Izračunavanje vrijednosti funkcije u bodovima
x 1 = 2 i x 2 = 3, nalazimo ekstreme funkcije: maksimum f (2) = 14 i minimum f (3) = 13.

Primjer 3.23.U blizini kamenog zida potrebno je izgraditi pravougaoni prostor tako da je sa tri strane ograđen žičanom mrežom, a sa četvrte strane uz zid. Za ovo postoji a linearnih metara mreže. U kom omjeru stranica će imati najveću površinu?

Rješenje.Označite strane stranice kroz x I y. Površina lokacije je jednaka S = xy. Neka y je dužina stranice uz zid. Tada, pod uslovom, mora vrijediti jednakost 2x + y = a. Stoga je y = a - 2x i S = x (a - 2x), gdje je
0 ≤ x≤ a /2 (dužina i širina jastučića ne mogu biti negativne). S "= a - 4x, a - 4x = 0 za x = a/4, odakle
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Zbog x = a /4 je jedina kritična tačka, hajde da proverimo da li se predznak izvoda menja pri prolasku kroz ovu tačku. Za x a /4 S "> 0, dok x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение funkcije S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (sq.. jedinice). Pošto je S kontinuirano i njegove vrijednosti na krajevima S(0) i S(a /2) jednake su nuli, tada će pronađena vrijednost biti najveća vrijednost funkcije. Dakle, najpovoljniji omjer stranica pod datim uslovima problema je y = 2x.

Primjer 3.24.Potrebno je izraditi zatvoreni cilindrični rezervoar kapaciteta V=16 p ≈ 50 m 3. Koje bi trebale biti dimenzije rezervoara (radijus R i visina H) da bi se koristila najmanja količina materijala za njegovu izradu?

Rješenje.Ukupna površina cilindra je S = 2 str R(R+H). Znamo zapreminu cilindra V = p R 2 N Þ N \u003d V / p R 2 \u003d 16 p / p R 2 \u003d 16 / R 2. Dakle, S(R) = 2 str (R2+16/R). Nalazimo derivaciju ove funkcije:
S"(R) \u003d 2 p (2R- 16 / R 2) = 4 p (R- 8 / R 2). S" (R) = 0 za R 3 = 8, dakle,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Promjena funkcije u određenoj tački i definira se kao granica prirasta funkcije na prirast argumenta, koji teži nuli. Da biste ga pronašli, koristite tabelu izvedenica. Na primjer, derivacija funkcije y = x3 bit će jednaka y’ = x2.

Izjednačite ovu derivaciju sa nulom (u ovom slučaju x2=0).

Pronađite vrijednost date varijable. To će biti vrijednosti za koje će ovaj izvod biti jednak 0. Da biste to učinili, zamijenite proizvoljne brojeve u izraz umjesto x, pri čemu će cijeli izraz postati nula. Na primjer:

2-2x2=0
(1-x)(1+x) = 0
x1=1, x2=-1

Dobivene vrijednosti nanesite na koordinatnu liniju i izračunajte predznak derivacije za svaku od dobijenih. Na koordinatnoj liniji su označene tačke koje se uzimaju kao ishodište. Da biste izračunali vrijednost u intervalima, zamijenite proizvoljne vrijednosti koje odgovaraju kriterijima. Na primjer, za prethodnu funkciju do intervala -1, možete odabrati vrijednost -2. Za -1 do 1, možete odabrati 0, a za vrijednosti veće od 1, izabrati 2. Zamijenite ove brojeve u izvod i saznajte predznak izvoda. U ovom slučaju, derivacija sa x = -2 će biti jednaka -0,24, tj. negativan i na ovom intervalu će biti znak minus. Ako je x=0, tada će vrijednost biti jednaka 2, a na ovaj interval se stavlja znak. Ako je x=1, onda će i derivacija biti jednaka -0,24 i stavlja se minus.

Ako pri prolasku kroz tačku na koordinatnoj liniji derivacija promijeni svoj predznak s minusa na plus, onda je ovo minimalna točka, a ako je od plusa u minus, onda je ovo maksimalna točka.

Povezani video zapisi

Koristan savjet

Da biste pronašli izvod, postoje online servisi koji izračunavaju tražene vrijednosti i prikazuju rezultat. Na takvim stranicama možete pronaći derivat do 5 naloga.

Izvori:

• Jedan od servisa za obračun derivata
• maksimalna tačka funkcije

Maksimalne tačke funkcije zajedno sa minimalnim tačkama nazivaju se tačke ekstrema. U tim točkama funkcija mijenja svoje ponašanje. Ekstremi se određuju u ograničenim numeričkim intervalima i uvijek su lokalni.

Uputstvo

Proces pronalaženja lokalnih ekstrema naziva se funkcija i izvodi se analizom prvog i drugog izvoda funkcije. Prije nego započnete istraživanje, uvjerite se da navedeni raspon vrijednosti argumenata pripada dozvoljenim vrijednostima. Na primjer, za funkciju F=1/x, vrijednost argumenta x=0 je nevažeća. Ili za funkciju Y=tg(x), argument ne može imati vrijednost x=90°.

Uvjerite se da je Y funkcija diferencibilna u cijelom danom intervalu. Naći prvi izvod Y". Očigledno je da prije dostizanja tačke lokalnog maksimuma funkcija raste, a pri prolasku kroz maksimum funkcija postaje opadajuća. Prvi izvod po svom fizičkom značenju karakterizira brzinu promjene funkcije. Dok se funkcija povećava, brzina ovog procesa je pozitivna vrijednost.Prolaskom kroz lokalni maksimum funkcija počinje opadati, a brzina procesa promjene funkcije postaje negativna.Tranzicija brzine promjene funkcije kroz nulu se javlja u tački lokalnog maksimuma.

Ekstremna tačka funkcije je tačka u domenu funkcije u kojoj vrijednost funkcije poprima minimalnu ili maksimalnu vrijednost. Vrijednosti funkcije u tim točkama nazivaju se ekstremima (minimum i maksimum) funkcije.

Definicija. Dot x1 opseg funkcije f(x) se zove maksimalna tačka funkcije , ako je vrijednost funkcije u ovoj tački veća od vrijednosti funkcije u tačkama koje su joj dovoljno blizu, koje se nalaze desno i lijevo od nje (odnosno, nejednakost f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 maksimum.

Definicija. Dot x2 opseg funkcije f(x) se zove minimalna tačka funkcije, ako je vrijednost funkcije u ovoj tački manja od vrijednosti funkcije u tačkama koje su joj dovoljno blizu, koje se nalaze desno i lijevo od nje (odnosno, nejednakost f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). U ovom slučaju se kaže da funkcija ima u tački x2 minimum.

Recimo poentu x1 - maksimalna tačka funkcije f(x) . Zatim u intervalu do x1 funkcija se povećava, pa je derivacija funkcije veća od nule ( f "(x) > 0 ), iu intervalu nakon x1 funkcija se smanjuje, dakle derivat funkcije manje od nule ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Pretpostavimo i da je poenta x2 - minimalna tačka funkcije f(x) . Zatim u intervalu do x2 funkcija se smanjuje i derivacija funkcije je manja od nule ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 funkcija raste i derivacija funkcije je veća od nule ( f "(x) > 0 ). I u ovom slučaju u tački x2 derivacija funkcije je nula ili ne postoji.

Fermatov teorem (neophodan kriterij za postojanje ekstremuma funkcije). Ako tačka x0 - tačka ekstrema funkcije f(x) , tada je u ovom trenutku derivacija funkcije jednaka nuli ( f "(x) = 0 ) ili ne postoji.

Definicija. Pozivaju se tačke u kojima je derivacija funkcije jednaka nuli ili ne postoji kritične tačke .

Primjer 1 Razmotrimo funkciju.

U tački x= 0 derivacija funkcije je jednaka nuli, dakle, tačka x= 0 je kritična tačka. Međutim, kao što se može vidjeti na grafu funkcije, ona raste u cijelom domenu definicije, pa je tačka x= 0 nije tačka ekstrema ove funkcije.

Dakle, uslovi da je derivacija funkcije u tački jednaka nuli ili da ne postoji su neophodni uslovi za ekstrem, ali ne i dovoljni, jer se mogu dati drugi primeri funkcija za koje su ovi uslovi zadovoljeni, ali funkcija nema ekstremu u odgovarajućoj tački. Zbog toga mora imati dovoljno indikacija, koji omogućavaju da se proceni da li u određenoj kritičnoj tački postoji ekstremum, a koji - maksimum ili minimum.

Teorema (prvi dovoljan kriterij za postojanje ekstremuma funkcije). Kritična tačka x0 f(x) , ako derivacija funkcije promijeni predznak pri prolasku kroz ovu tačku, i ako se predznak promijeni iz "plus" u "minus", onda je maksimalna tačka, a ako iz "minus" u "plus", onda je minimalna tačka .

Ako je blizu tačke x0 , lijevo i desno od njega, derivacija zadržava svoj predznak, to znači da funkcija ili samo opada ili samo raste u nekom susjedstvu tačke x0 . U ovom slučaju, u tački x0 ne postoji ekstremum.

dakle, da biste odredili tačke ekstrema funkcije, morate učiniti sljedeće :

1. Pronađite izvod funkcije.
2. Izjednačite derivaciju sa nulom i odredite kritične tačke.
3. Mentalno ili na papiru označite kritične tačke na numeričkoj osi i odredite predznake derivacije funkcije u rezultujućim intervalima. Ako se predznak derivacije promijeni sa "plus" na "minus", tada je kritična tačka maksimalna tačka, a ako je iz "minus" u "plus", onda je kritična tačka minimalna tačka.
4. Izračunajte vrijednost funkcije u tačkama ekstrema.

Primjer 2 Pronađite ekstreme funkcije .

Rješenje. Nađimo derivaciju funkcije:

Izjednačite derivaciju sa nulom da pronađete kritične tačke:

.

Budući da za bilo koje vrijednosti "x" imenilac nije jednak nuli, tada izjednačavamo brojnik sa nulom:

Imam jednu kritičnu tačku x= 3 . Određujemo predznak derivacije u intervalima ograničenim ovom točkom:

u rasponu od minus beskonačnosti do 3 - znak minus, odnosno funkcija se smanjuje,

u rasponu od 3 do plus beskonačnosti - znak plus, odnosno funkcija se povećava.

Odnosno, tačka x= 3 je minimalna tačka.

Pronađite vrijednost funkcije u minimalnoj tački:

Dakle, nalazi se tačka ekstrema funkcije: (3; 0) , i to je tačka minimuma.

Teorem (drugi dovoljan kriterij za postojanje ekstremuma funkcije). Kritična tačka x0 je tačka ekstrema funkcije f(x) , ako drugi izvod funkcije u ovoj tački nije jednak nuli ( f ""(x) ≠ 0 ), osim toga, ako je drugi izvod veći od nule ( f ""(x) > 0 ), tada maksimalna tačka, a ako je drugi izvod manji od nule ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Napomena 1. Ako u nekom trenutku x0 i prvi i drugi derivat nestaju, tada je u ovom trenutku nemoguće suditi o prisustvu ekstremuma na osnovu drugog dovoljnog znaka. U ovom slučaju morate koristiti prvi dovoljan kriterij za ekstremum funkcije.

Napomena 2. Drugi dovoljan kriterij za ekstremum funkcije je također neprimjenjiv kada prvi izvod ne postoji u stacionarnoj tački (tada ne postoji ni drugi izvod). U ovom slučaju je također potrebno koristiti prvi dovoljan kriterij za ekstremum funkcije.

Lokalna priroda ekstrema funkcije

Iz gornjih definicija proizilazi da je ekstremum funkcije lokalne prirode – to je najveća i najmanja vrijednost funkcije u odnosu na najbliže vrijednosti.

Pretpostavimo da razmatrate svoju zaradu u vremenskom rasponu od jedne godine. Ako ste u maju zaradili 45.000 rubalja, a u aprilu 42.000 rubalja, a u junu 39.000 rubalja, onda je zarada u maju maksimum funkcije zarade u odnosu na najbliže vrednosti. Ali u oktobru ste zaradili 71.000 rubalja, u septembru 75.000 rubalja, a u novembru 74.000 rubalja, tako da je oktobarska zarada minimalna funkcija zarade u odnosu na obližnje vrednosti. I lako možete vidjeti da je maksimum među vrijednostima april-maj-jun manji od minimuma septembar-oktobar-novembar.

Općenito govoreći, funkcija može imati nekoliko ekstrema u intervalu i može se ispostaviti da je bilo koji minimum funkcije veći od bilo kojeg maksimuma. Dakle, za funkciju prikazanu na gornjoj slici, .

Odnosno, ne treba misliti da su maksimum i minimum funkcije, redom, njena maksimalna i minimalna vrijednost na cijelom segmentu koji se razmatra. U tački maksimuma, funkcija ima najveću vrijednost samo u poređenju s onim vrijednostima koje ima u svim tačkama dovoljno blizu tačke maksimuma, a u tački minimuma najmanju vrijednost samo u poređenju s tim vrijednostima da ima u svim tačkama dovoljno blizu minimalnoj tački.

Stoga možemo precizirati gornji koncept tačaka ekstrema funkcije i nazvati minimalne tačke lokalnim minimumom, a maksimalne tačke - lokalnim maksimumom.

Zajedno tražimo ekstreme funkcije

Primjer 3

Rješenje Funkcija je definirana i kontinuirana na cijeloj brojevnoj pravoj. Njegov derivat također postoji na cijeloj brojevnoj pravoj. Dakle, u ovom slučaju samo one na kojima , tj. služe kao kritične tačke. , odakle i . Kritične tačke i podijeliti cijelu domenu funkcije na tri intervala monotonosti: . U svakom od njih biramo po jednu kontrolnu tačku i u toj tački nalazimo predznak derivacije.

Za interval, referentna točka može biti: nalazimo . Uzimajući točku u intervalu, dobivamo , i uzimajući točku u intervalu, imamo . Dakle, u intervalima i , I u intervalu . Prema prvom dovoljnom znaku ekstremuma, u tački nema ekstrema (pošto derivacija zadržava svoj predznak u intervalu ), a funkcija ima minimum u tački (pošto derivacija mijenja predznak iz minusa u plus pri prolasku kroz ovu tačku). Pronađite odgovarajuće vrijednosti funkcije: , i . U intervalu, funkcija se smanjuje, jer u ovom intervalu , a u intervalu se povećava, jer u ovom intervalu.

Da bismo razjasnili konstrukciju grafa, nalazimo tačke njegovog preseka sa koordinatnim osa. Kada dobijemo jednačinu čiji su korijeni i , tj. dvije točke (0; 0) i (4; 0) grafa funkcije pronađene. Koristeći sve primljene informacije, gradimo graf (vidi na početku primjera).

Primjer 4 Pronađite ekstreme funkcije i izgradite njen graf.

Domen funkcije je cijela brojevna prava, osim tačke, tj. .

Da skratimo studiju, možemo koristiti činjenicu da je ova funkcija parna, jer . Stoga je njegov graf simetričan u odnosu na os Oy a studija se može izvesti samo za interval .

Pronalaženje derivata i kritične tačke funkcije:

1) ;

2) ,

ali funkcija trpi prekid u ovoj tački, tako da ne može biti tačka ekstrema.

Dakle, data funkcija ima dvije kritične točke: i . Uzimajući u obzir parnost funkcije, provjeravamo samo tačku po drugom dovoljnom znaku ekstrema. Da bismo to učinili, nalazimo drugi izvod i odrediti njegov znak na : dobivamo . Budući da i , Tada je minimalna točka funkcije, dok .

Da bismo dobili potpuniju sliku grafa funkcije, otkrijmo njeno ponašanje na granicama domene definicije:

(ovdje simbol označava želju x na nulu na desnoj strani i x ostaje pozitivan; slično znači težnja x na nulu lijevo, i x ostaje negativan). Dakle, ako , onda . Dalje, nalazimo

,

one. ako onda .

Graf funkcije nema točaka presjeka sa osama. Slika je na početku primjera.

Zajedno nastavljamo tražiti ekstreme funkcije

Primjer 8 Pronađite ekstreme funkcije .

Rješenje. Pronađite domenu funkcije. Budući da nejednakost mora vrijediti, dobivamo iz .

Nađimo prvi izvod funkcije:

Nađimo kritične tačke funkcije.

definicija: Tačka x0 naziva se tačka lokalnog maksimuma (ili minimuma) funkcije, ako u nekom susjedstvu tačke x0 funkcija zauzima najveću (ili najmanju) vrijednost, tj. za sve h iz neke okoline tačke x0 uslov f(x) f(x0) (ili f(x) f(x0)) je zadovoljen.

Tačke lokalnog maksimuma ili minimuma objedinjene su zajedničkim imenom - tačke lokalnog ekstremuma funkcije.

Imajte na umu da u tačkama lokalnog ekstremuma funkcija dostiže svoju maksimalnu ili minimalnu vrijednost samo u nekoj lokalnoj regiji. Postoje slučajevi kada je prema vrijednosti umaxumin .

Neophodan kriterij za postojanje lokalnog ekstremuma funkcije

Teorema . Ako kontinuirana funkcija y = f(x) ima lokalni ekstrem u tački x0, tada je u ovoj tački prvi izvod ili nula ili ne postoji, tj. lokalni ekstrem se odvija na kritičnim tačkama prve vrste.

U tačkama lokalnog ekstrema, ili je tangenta paralelna s osom 0x, ili postoje dvije tangente (vidi sliku). Imajte na umu da su kritične tačke neophodan, ali ne i dovoljan uslov za lokalni ekstrem. Lokalni ekstrem se dešava samo na kritičnim tačkama prve vrste, ali nemaju sve kritične tačke lokalni ekstrem.

Na primjer: kubna parabola y = x3, ima kritičnu tačku x0=0, u kojoj je izvod y/(0)=0, ali kritična tačka x0=0 nije tačka ekstrema, već u njoj postoji tačka pregiba (vidi dole).

Dovoljan kriterij za postojanje lokalnog ekstremuma funkcije

Teorema . Ako, kada argument prođe kroz kritičnu tačku prve vrste, s lijeva na desno, prvi izvod y / (x)

mijenja predznak iz “+” u “-”, tada kontinuirana funkcija y(x) ima lokalni maksimum u ovoj kritičnoj tački;

mijenja predznak iz “-” u “+”, tada kontinuirana funkcija y(x) ima lokalni minimum u ovoj kritičnoj tački

ne mijenja predznak, tada nema lokalnog ekstremuma u ovoj kritičnoj tački, postoji tačka pregiba.

Za lokalni maksimum, područje rastuće funkcije (y/0) zamjenjuje se područjem opadajuće funkcije (y/0). Za lokalni minimum, područje opadajuće funkcije (y/0) zamjenjuje se područjem rastuće funkcije (y/0).

Primjer: Istražite funkciju y = x3 + 9x2 + 15x - 9 za monotonost, ekstrem i izgradite graf funkcije.

Nađimo kritične tačke prve vrste tako što ćemo definisati izvod (y/) i izjednačiti ga sa nulom: y/ = 3x2 + 18x + 15 = 3(x2 + 6x + 5) = 0

Kvadratni trinom rješavamo pomoću diskriminanta:

x2 + 6x + 5 = 0 (a=1, b=6, c=5) D=, x1k = -5, x2k = -1.

2) Podijelimo numeričku osu po kritičnim tačkama na 3 regije i odredimo u njima predznake izvoda (y/). Na osnovu ovih predznaka nalazimo oblasti monotonosti (porastanja i smanjenja) funkcija, a promenom predznaka određujemo tačke lokalnog ekstremuma (maksimuma i minimuma).

Rezultati istraživanja predstavljeni su u obliku tabele iz koje se mogu izvesti sljedeći zaključci:

• 1. Na intervalu y /(-10) 0, funkcija raste monotono (predznak izvoda y je procijenjen iz kontrolne tačke x = -10 uzete u ovom intervalu);
• 2. Na intervalu (-5; -1) y /(-2) 0, funkcija monotono opada (predznak izvoda y je procijenjen iz kontrolne tačke x = -2 uzete u ovom intervalu);
• 3. Na intervalu y /(0) 0, funkcija raste monotono (predznak izvoda y je procijenjen iz kontrolne tačke x = 0 uzete u ovom intervalu);
• 4. Prilikom prolaska kroz kritičnu tačku x1k \u003d -5, derivacija mijenja znak iz "+" u "-", stoga je ova tačka lokalna maksimalna tačka
• (ymax(-5) = (-5)3+9(-5)2 +15(-5)-9=-125 + 225 - 75 - 9 =16);
• 5. Prilikom prolaska kroz kritičnu tačku x2k \u003d -1, derivacija mijenja znak iz "-" u "+", stoga je ova tačka lokalna minimalna tačka
• (ymin(-1) = -1 + 9 - 15 - 9 = - 16).

x -5 (-5 ; -1) -1

3) Napravit ćemo graf na osnovu rezultata studije uz uključenje dodatnih proračuna vrijednosti funkcije u kontrolnim točkama:

gradimo pravougaoni koordinatni sistem Oxy;

prikazati koordinate maksimalnih (-5; 16) i minimalnih (-1; -16) tačaka;

da bismo precizirali graf, izračunavamo vrijednost funkcije na kontrolnim točkama, birajući ih lijevo i desno od maksimalne i minimalne tačke i unutar srednjeg intervala, na primjer: y(-6)=(-6)3 +9(-6)2+15(-6 )-9=9; y(-3)=(-3)3+9(-3)2+15(-3)-9=0;

y(0)= -9 (-6;9); (-3;0) i (0;-9) - izračunate kontrolne tačke, koje se iscrtavaju za izgradnju grafikona;

prikazujemo grafik u obliku krive sa ispupčenjem nagore u maksimalnoj tački i ispupčenjem prema dolje u minimalnoj tački i koja prolazi kroz izračunate kontrolne tačke.