Kako izvući korijen 2. Kako pronaći kvadratni korijen? Svojstva, primjeri vađenja korijena

Učenici uvijek pitaju: „Zašto ne mogu koristiti kalkulator na ispitu iz matematike? Kako izvući kvadratni korijen broja bez kalkulatora? Pokušajmo odgovoriti na ovo pitanje.

Kako izvući kvadratni korijen broja bez pomoći kalkulatora?

Akcija kvadratni korijen inverzno djelovanju kvadriranja.

√81= 9 9 2 =81

Ako uzmete kvadratni korijen pozitivnog broja i kvadrirate rezultat, dobit ćete isti broj.

Iz malih brojeva koji su tačni kvadrati prirodnih brojeva, na primjer 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, kvadratni korijeni se mogu izvući usmeno. Obično u školi uče tablicu kvadrata prirodnih brojeva do dvadeset. Poznavajući ovu tablicu, lako je izvući kvadratne korijene iz brojeva 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Iz brojeva većih od 400 možete ih izdvojiti metodom odabira koristeći neke savjete. Pokušajmo pogledati ovu metodu na primjeru.

primjer: Izdvojite korijen broja 676.

Primjećujemo da je 20 2 = 400, a 30 2 = 900, što znači 20< √676 < 900.

Tačni kvadrati prirodnih brojeva završavaju se sa 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Broj 6 je dat sa 4 2 i 6 2.
To znači da ako je korijen uzet iz 676, onda je to ili 24 ili 26.

Ostaje provjeriti: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

odgovor: √676 = 26 .

Više primjer: √6889 .

Kako je 80 2 = 6400, a 90 2 = 8100, onda je 80< √6889 < 90.
Broj 9 je dat sa 3 2 i 7 2, tada je √6889 jednako 83 ili 87.

Provjerimo: 83 2 = 6889.

odgovor: √6889 = 83 .

Ako vam je teško riješiti metodom selekcije, možete faktorizirati radikalni izraz.

Na primjer, nađi √893025.

Uzmimo na faktor broj 893025, zapamtite, ovo ste radili u šestom razredu.

Dobijamo: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Više primjer: √20736. Razložimo broj 20736:

Dobijamo √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Naravno, faktorizacija zahtijeva poznavanje znakova djeljivosti i vještine faktorizacije.

I konačno, postoji pravilo za vađenje kvadratnih korijena. Upoznajmo se s ovim pravilom na primjerima.

Izračunaj √279841.

Da bismo izdvojili korijen višecifrenog cijelog broja, dijelimo ga s desna na lijevo na lica koja sadrže 2 znamenke (krajnja lijeva ivica može sadržavati jednu znamenku). Pišemo ovako: 27’98’41

Da bismo dobili prvu znamenku korijena (5), uzimamo kvadratni korijen najvećeg savršenog kvadrata koji se nalazi u prvom licu s lijeve strane (27).
Tada se kvadrat prve cifre korijena (25) oduzima od prvog lica, a sljedeće lice (98) dodaje se razlici (oduzima).
Lijevo od rezultirajućeg broja 298 upišite dvocifren korijen (10), podijelite s njim broj svih desetica prethodno dobijenog broja (29/2 ≈ 2), testirajte količnik (102 ∙ 2 = 204 ne smije biti više od 298) i pisati (2) iza prve cifre korijena.
Tada se rezultujući količnik 204 oduzima od 298 i sljedeća ivica (41) se dodaje razlici (94).
Lijevo od rezultirajućeg broja 9441 upišite dvostruki proizvod cifara korijena (52 ∙2 = 104), podijelite broj svih desetica broja 9441 (944/104 ≈ 9) sa ovim umnoškom, testirajte količnik (1049 ∙9 = 9441) treba da bude 9441 i zapišite ga (9) iza druge cifre korena.

Dobili smo odgovor √279841 = 529.

Ekstrahirajte na sličan način korijeni decimalnih razlomaka. Samo radikalni broj mora biti podijeljen na lica tako da zarez bude između lica.

Primjer. Pronađite vrijednost √0,00956484.

Samo zapamtite da ako decimalni razlomak ima neparan broj decimalnih mjesta, iz njega se ne može uzeti kvadratni korijen.

Dakle, sada ste vidjeli tri načina za izdvajanje korijena. Odaberite onaj koji vam najviše odgovara i vježbajte. Da biste naučili rješavati probleme, morate ih riješiti. A ako imate bilo kakvih pitanja, .

blog.site, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelimično, potrebna je veza do originalnog izvora.

Često se prilikom rješavanja problema susrećemo s velikim brojevima iz kojih moramo izdvojiti Kvadratni korijen. Mnogi učenici odlučuju da je to greška i počinju ponovo rješavati cijeli primjer. Ni u kom slučaju to ne biste trebali raditi! Dva su razloga za to:

1. Korijeni velikih brojeva se pojavljuju u problemima. Posebno u tekstualnim;
2. Postoji algoritam po kojem se ovi korijeni izračunavaju gotovo usmeno.

Danas ćemo razmotriti ovaj algoritam. Možda će vam se neke stvari učiniti nerazumljivima. Ali ako obratite pažnju na ovu lekciju, dobit ćete moćno oružje protiv kvadratni korijeni.

Dakle, algoritam:

1. Ograničite traženi korijen iznad i ispod na brojeve koji su višestruki od 10. Stoga ćemo smanjiti opseg pretraživanja na 10 brojeva;
2. Od ovih 10 brojeva izbacite one koji definitivno ne mogu biti korijeni. Kao rezultat, ostat će 1-2 broja;
3. Kvadrirajte ova 1-2 broja. Onaj čiji je kvadrat jednak originalnom broju bit će korijen.

Prije nego što ovaj algoritam stavimo u praksu, pogledajmo svaki pojedinačni korak.

Ograničenje korijena

Prije svega, moramo saznati između kojih brojeva se nalazi naš korijen. Veoma je poželjno da brojevi budu višestruki od deset:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Dobijamo niz brojeva:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Šta nam ovi brojevi govore? Jednostavno je: dobijamo granice. Uzmimo, na primjer, broj 1296. On leži između 900 i 1600. Dakle, njegov korijen ne može biti manji od 30 i veći od 40:

[Natpis za sliku]

Ista stvar vrijedi za bilo koji drugi broj iz kojeg možete pronaći kvadratni korijen. Na primjer, 3364:

Tako, umjesto nerazumljivog broja, dobijamo vrlo specifičan raspon u kojem leži izvorni korijen. Da dodatno suzite područje pretraživanja, prijeđite na drugi korak.

Uklanjanje očigledno nepotrebnih brojeva

Dakle, imamo 10 brojeva - kandidata za korijen. Dobili smo ih vrlo brzo, bez kompleksnog razmišljanja i množenja u koloni. Vrijeme je da krenemo dalje.

Vjerovali ili ne, sada ćemo broj kandidata smanjiti na dva - opet bez ikakvih komplikovanih proračuna! Dovoljno je znati posebno pravilo. Evo ga:

Posljednja znamenka kvadrata ovisi samo o posljednjoj znamenki originalni broj.

Drugim riječima, samo pogledajte posljednju cifru kvadrata i odmah ćemo shvatiti gdje završava originalni broj.

Postoji samo 10 cifara koje mogu doći na posljednje mjesto. Pokušajmo saznati u što se pretvaraju kada se kvadraturu. Pogledajte tabelu:

Ova tabela je još jedan korak ka izračunavanju korijena. Kao što vidite, ispostavilo se da su brojevi u drugom redu simetrični u odnosu na pet. Na primjer:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Kao što vidite, zadnja cifra je ista u oba slučaja. To znači da se, na primjer, korijen od 3364 mora završavati na 2 ili 8. S druge strane, sjećamo se ograničenja iz prethodnog paragrafa. Dobijamo:

Crveni kvadrati ukazuju da još ne znamo ovu cifru. Ali korijen leži u rasponu od 50 do 60, na kojem postoje samo dva broja koja se završavaju na 2 i 8:

To je sve! Od svih mogućih korijena, ostavili smo samo dvije opcije! A to je u najtežem slučaju, jer zadnja cifra može biti 5 ili 0. I tada će biti samo jedan kandidat za korijene!

Konačni proračuni

Dakle, imamo još 2 broja kandidata. Kako znate koji je korijen? Odgovor je očigledan: kvadrirajte oba broja. Onaj koji na kvadrat daje originalni broj bit će korijen.

Na primjer, za broj 3364 pronašli smo dva kandidata broja: 52 i 58. Postavimo ih na kvadrat:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

To je sve! Ispostavilo se da je korijen 58! Istovremeno, da bih pojednostavio proračune, koristio sam formulu za kvadrate zbira i razlike. Zahvaljujući tome, nisam morao čak ni da množim brojeve u kolonu! Ovo je još jedan nivo optimizacije proračuna, ali je, naravno, potpuno opciono :)

Primjeri izračunavanja korijena

Teorija je, naravno, dobra. Ali hajde da to proverimo u praksi.

[Natpis za sliku]

Prvo, hajde da saznamo između kojih brojeva leži broj 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Pogledajmo sada zadnji broj. To je jednako 6. Kada se to dešava? Samo ako se korijen završava na 4 ili 6. Dobijamo dva broja:

Sve što ostaje je kvadrirati svaki broj i uporediti ga s originalom:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Odlično! Ispostavilo se da je prvi kvadrat jednak originalnom broju. Dakle, ovo je korijen.

Zadatak. Izračunajte kvadratni korijen:

[Natpis za sliku]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Pogledajmo posljednju cifru:

1369 → 9;
33; 37.

Na kvadrat:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

Evo odgovora: 37.

Zadatak. Izračunajte kvadratni korijen:

[Natpis za sliku]

Ograničavamo broj:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Pogledajmo posljednju cifru:

2704 → 4;
52; 58.

Na kvadrat:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Dobili smo odgovor: 52. Drugi broj više neće trebati kvadrirati.

Zadatak. Izračunajte kvadratni korijen:

[Natpis za sliku]

Ograničavamo broj:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Pogledajmo posljednju cifru:

4225 → 5;
65.

Kao što vidite, nakon drugog koraka ostaje samo jedna opcija: 65. Ovo je željeni root. Ali hajde da ga ipak kvadriramo i provjerimo:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Sve je tačno. Zapisujemo odgovor.

Zaključak

Avaj, nije bolje. Pogledajmo razloge. Dva su od njih:

• Na svakom normalnom ispitu iz matematike, bilo da se radi o državnom ispitu ili Jedinstvenom državnom ispitu, upotreba kalkulatora je zabranjena. A ako unesete kalkulator u razred, lako možete biti izbačeni sa ispita.
• Ne budite kao glupi Amerikanci. Koji nisu kao korijeni - ne mogu sabrati dva prosta broja. A kada vide razlomke, generalno postaju histerični.

Prvo poglavlje.

Pronalaženje najvećeg cjelobrojnog kvadratnog korijena iz datog cijelog broja.

170. Preliminarne napomene.

A) Pošto ćemo govoriti o izdvajanju samo kvadratnog korena, da skratimo govor u ovom poglavlju, umesto „kvadratnog“ korena reći ćemo jednostavno „koren“.

b) Ako kvadriramo brojeve prirodnog niza: 1,2,3,4,5. . . , tada dobijamo sljedeću tablicu kvadrata: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,121,144. .,

Očigledno, postoji mnogo cijelih brojeva koji nisu u ovoj tabeli; Naravno, nemoguće je iz takvih brojeva izdvojiti cijeli korijen. Stoga, ako trebate izdvojiti korijen bilo kojeg cijelog broja, na primjer. potrebno da se pronađe √4082, onda se slažemo da razumemo ovaj zahtev na sledeći način: izdvojiti ceo koren od 4082, ako je moguće; ako to nije moguće, onda moramo pronaći najveći cijeli broj čiji je kvadrat 4082 (takav broj je 63, jer je 63 2 = 3969, a 64 2 = 4090).

V) Ako je ovaj broj manji od 100, tada se njegov korijen nalazi pomoću tablice množenja; Dakle, √60 bi bilo 7, pošto je sedam 7 jednako 49, što je manje od 60, a osam 8 jednako 64, što je veće od 60.

171. Izdvajanje korijena broja manjeg od 10.000, ali većeg od 100. Recimo da moramo pronaći √4082. Pošto je ovaj broj manji od 10.000, njegov korijen je manji od √l0.000 = 100. S druge strane, ovaj broj je veći od 100; to znači da je njegov korijen veći od (ili jednak 10). (Ako je, na primjer, bilo potrebno pronaći √ 120 , tada iako je broj 120 > 100, međutim √ 120 je jednako 10, jer 11 2 = 121.) Ali svaki broj koji je veći od 10, ali manji od 100 ima 2 cifre; To znači da je traženi korijen zbir:

desetice + jedinice,

i stoga njegov kvadrat mora biti jednak zbroju:

Ovaj zbir mora biti najveći kvadrat od 4082.

Uzmimo najveći od njih, 36, i pretpostavimo da će kvadrat korijena desetica biti jednak upravo ovom najvećem kvadratu. Tada broj desetica u korijenu mora biti 6. Provjerimo sada da to uvijek treba biti slučaj, tj. broj desetica u korijenu uvijek je jednak najvećem cjelobrojnom korijenu od broja stotina radikala.

Zaista, u našem primjeru, broj desetica iz korijena ne može biti veći od 6, pošto je (7 dec.) 2 = 49 stotina, što prelazi 4082. Ali ne može biti manji od 6, budući da je 5 dec. (sa jedinicama) je manji od 6 des., au međuvremenu (6 des.) 2 = 36 stotina, što je manje od 4082. A pošto tražimo najveći cijeli korijen, ne bismo trebali uzeti 5 des za korijen, kada ni 6 desetica nije puno.

Dakle, pronašli smo broj desetica korijena, odnosno 6. Ovaj broj pišemo desno od znaka =, prisjećajući se da on znači desetice korijena. Podižući ga po kvadratu, dobijamo 36 stotina. Oduzimamo ovih 36 stotina od 40 stotina radikalnog broja i oduzimamo preostale dvije cifre ovog broja. Ostatak 482 mora sadržavati 2 (6 dec.) (jedinice) + (jedinice)2. Proizvod (6 dec.) (jedinice) mora biti desetice; dakle, dvostruki umnožak desetica sa jedinicama mora se tražiti u deseticama ostatka, tj. u 48 (njihov broj dobijamo odvajanjem jedne cifre na desnoj strani u ostatku 48"2). Udvostručene desetice iz korijena čine 12. To znači da ako pomnožimo 12 sa jedinicama korijena (koje su još uvijek nepoznate), onda bismo trebali dobiti broj sadržan u 48. Dakle, dijelimo 48 sa 12.

Da biste to učinili, povucite okomitu liniju lijevo od ostatka i iza nje (odmaknuvši se od linije jedno mjesto ulijevo u svrhu koja će se sada pojaviti) upisujemo dvostruku prvu cifru korijena, tj. 12, i sa tim podijelimo 48. U količniku dobijamo 4.

Međutim, ne možemo unaprijed jamčiti da se broj 4 može uzeti kao jedinice korijena, jer smo sada podijelili s 12 cijeli broj desetica ostatka, dok neki od njih možda ne pripadaju dvostrukom proizvodu desetica sa jedinica, ali su dio kvadrata jedinica. Dakle, broj 4 može biti veliki. Moramo to isprobati. Očigledno je prikladno ako zbir 2 (6 dec.) 4 + 4 2 nije veći od ostatka 482.

Kao rezultat, dobijamo zbir oba odjednom. Dobiveni proizvod se pokazao kao 496, što je veće od ostatka 482; To znači da je broj 4 veliki. Zatim testirajmo sljedeći manji broj 3 na isti način.

Primjeri.

U primjeru 4, kada dijelimo 47 desetica ostatka sa 4, kao količnik dobijamo 11. Ali pošto broj jedinica korijena ne može biti dvocifreni broj 11 ili 10, moramo direktno testirati broj 9.

U primjeru 5, nakon oduzimanja 8 od prvog lica kvadrata, ostatak ispada 0, a sljedeće lice se također sastoji od nula. Ovo pokazuje da se željeni korijen sastoji od samo 8 desetica, pa se stoga umjesto jedinica mora staviti nula.

172. Izdvajanje korijena broja većeg od 10000. Recimo da moramo pronaći √35782. Pošto radikalni broj prelazi 10.000, njegov korijen je veći od √10.000 = 100 i stoga se sastoji od 3 cifre ili više. Bez obzira od koliko se cifara sastoji, uvijek ga možemo smatrati zbirom samo desetica i jedinica. Ako se, na primjer, pokaže da je korijen 482, onda ga možemo računati kao iznos od 48 des. + 2 jedinice Tada će se kvadrat korijena sastojati od 3 člana:

(dec.) 2 + 2 (dec.) (jedinica) + (jedinica) 2 .

Sada možemo razmišljati na potpuno isti način kao kada smo pronašli √4082 (u prethodnom pasusu). Jedina razlika će biti u tome što smo za pronalaženje desetica iz korijena od 4082 morali izdvojiti korijen od 40, a to bi se moglo učiniti pomoću tablice množenja; sada, da bismo dobili desetice√35782, moraćemo uzeti koren od 357, što se ne može uraditi pomoću tablice množenja. Ali možemo pronaći √357 koristeći tehniku ​​koja je opisana u prethodnom pasusu, budući da je broj 357< 10 000. Наибольший целый корень из 357 оказывается 18. Значит, в √3"57"82 должно быть 18 десятков. Чтобы найти единицы, надо из 3"57"82 вычесть квадрат 18 десятков, для чего достаточно вычесть квадрат 18 из 357 сотен и к остатку снести 2 последние цифры подкоренного числа. Остаток от вычитания квадpaта 18 из 357 у нас уже есть: это 33. Значит, для получения остатка от вычитания квадрата 18 дес. из 3"57"82, достаточно к 33 приписать справа цифры 82.

Dalje, nastavljamo kao što smo radili kada smo pronašli √4082, naime: lijevo od ostatka 3382 nacrtamo okomitu liniju i iza nje upišemo (odmaknuvši se jedan razmak od linije) dvostruki broj desetica pronađenog korijena, tj. 36 (dva puta 18). U ostatku odvojimo jednu cifru desno i broj desetica ostatka, tj. 338, podijelimo sa 36. U količniku dobijemo 9. Testiramo ovaj broj, za koji ga dodjeljujemo 36 na desnoj strani i pomnoži sa njim. Ispostavilo se da je proizvod 3321, što je manje od ostatka. To znači da je broj 9 prikladan, pišemo ga u korijenu.

Općenito, da biste izdvojili kvadratni korijen bilo kojeg cijelog broja, prvo morate izvući korijen njegovih stotina; ako je ovaj broj veći od 100, tada ćete morati tražiti korijen broja stotina od ovih stotina, odnosno desetina hiljada ovog broja; ako je ovaj broj veći od 100, morat ćete uzeti korijen iz broja stotina desetina hiljada, odnosno iz miliona datog broja itd.

Primjeri.

U posljednjem primjeru, nakon što smo pronašli prvu cifru i oduzeli njen kvadrat, dobili smo ostatak od 0. Sljedeće 2 cifre oduzimamo 51. Odvajajući desetice, dobijamo 5 des, dok je dvostruko pronađena znamenka korijena 6. To znači da dijeljenjem 5 sa 6 dobijamo 0. Stavljamo 0 na drugo mjesto u korijenu i dodajemo sljedeće 2 cifre ostatku; dobijamo 5110. Zatim nastavljamo kao i obično.

U ovom primjeru, traženi korijen se sastoji od samo 9 stotina, pa se nule moraju staviti na mjesta desetica i na mjesta jedinica.

Pravilo. Da bi izvukli kvadratni korijen datog cijelog broja, dijele ga, s desne strane na lijevo, na rubu, sa po 2 znamenke u svakoj, osim posljednje, koja može imati jednu cifru.
Da biste pronašli prvu znamenku korijena, uzmite kvadratni korijen prvog lica.
Da bi se pronašla druga znamenka, kvadrat prve cifre korijena oduzima se od prvog lica, drugo lice se uzima u ostatak, a broj desetica rezultirajućeg broja dijeli se sa dvostrukom prvom znamenkom korijena ; rezultujući cijeli broj se testira.
Ovaj test se izvodi ovako: iza okomite linije (lijevo od ostatka) upišite dva puta prethodno pronađeni broj korijena i na njega, s desne strane, dodajte testiranu cifru, rezultirajući broj, nakon ovog sabiranja , množi se sa testiranom cifrom. Ako je nakon množenja rezultat broj veći od ostatka, tada testirana znamenka nije prikladna i mora se testirati sljedeća manja znamenka.
Sljedeće cifre korijena nalaze se istom tehnikom.
Ako se nakon uklanjanja lica broj desetica rezultirajućeg broja pokaže manjim od djelitelja, odnosno manjim od dvostrukog pronađenog dijela korijena, tada stavljaju 0 u korijen, uklanjaju sljedeće lice i nastaviti akciju dalje.

173. Broj cifara korijena. Iz razmatranja procesa pronalaženja korijena slijedi da u korijenu ima onoliko cifara koliko ima lica od po 2 cifre u radikalnom broju (lijevo lice može imati jednu cifru).

Poglavlje drugo.

Ekstrahiranje približnih kvadratnih korijena cijelih brojeva i razlomaka .

Za izvlačenje kvadratnog korena polinoma, videti dodatke 2. delu § 399 i dalje.

174. Znaci tačnog kvadratnog korijena. Tačan kvadratni korijen datog broja je broj čiji je kvadrat tačno jednak datom broju. Naznačimo neke znakove po kojima se može prosuditi da li se iz datog broja može izdvojiti tačan korijen ili ne:

A) Ako se tačan cijeli korijen ne izvuče iz datog cijelog broja (ostatak se dobije ekstrahiranjem), tada se iz takvog broja ne može naći razlomački tačan korijen, jer bilo koji razlomak koji nije jednak cijelom broju, kada se pomnoži sam sa sobom , također proizvodi razlomak u proizvodu, a ne cijeli broj.

b) Budući da je korijen razlomka jednak korijenu brojila podijeljenom korijenu nazivnika, tačan korijen nesvodljivog razlomka ne može se pronaći ako se ne može izdvojiti iz brojnika ili nazivnika. Na primjer, tačan korijen se ne može izvući iz razlomaka 4/5, 8/9 i 11/15, jer se u prvom razlomku ne može izvući iz nazivnika, u drugom - iz brojnika, au trećem - ni od brojnika ni od nazivnika.

Od brojeva iz kojih se ne može izdvojiti tačan korijen, mogu se izvući samo približni korijeni.

175. Približan korijen tačan do 1. Približni kvadratni korijen, s preciznošću unutar 1, određenog broja (cijeli ili razlomak, nije važno) je cijeli broj koji zadovoljava sljedeća dva zahtjeva:

1) kvadrat ovog broja nije veći od datog broja; 2) ali je kvadrat ovog broja uvećan za 1 veći od ovog broja. Drugim riječima, približni kvadratni korijen tačan do 1 je najveći cjelobrojni kvadratni korijen datog broja, odnosno korijen koji smo naučili pronaći u prethodnom poglavlju. Ovaj korijen se naziva približnim s točnošću od 1, jer da bismo dobili tačan korijen, morali bismo ovom približnom korijenu dodati razlomak manji od 1, pa ako umjesto nepoznatog tačnog korijena uzmemo ovaj približni, napravićemo greška manja od 1.

Pravilo. Da biste izdvojili približni kvadratni korijen s točnošću od 1, trebate izvući najveći cjelobrojni korijen iz cijelog dijela datog broja.

Broj pronađen ovim pravilom je približan korijen s nedostatkom , jer mu nedostaje tačan korijen određenog razlomka (manje od 1). Ako ovaj korijen povećamo za 1, dobićemo još jedan broj u kojem postoji nešto viška u odnosu na tačan korijen, a taj višak je manji od 1. Ovaj korijen uvećan za 1 može se nazvati i približnim korijenom s točnošću od 1, ali sa viškom. (Nazivi: “sa manjkom” ili “sa viškom” u nekim matematičkim knjigama zamijenjeni su drugim ekvivalentnim: “po manjku” ili “prekom višku.”)

176. Približan korijen s tačnošću od 1/10. Recimo da treba da pronađemo √2,35104 sa tačnošću od 1/10. To znači da morate pronaći decimalni razlomak koji bi se sastojao od cijelih jedinica i desetina i koji bi zadovoljio sljedeća dva zahtjeva:

1) kvadrat ovog razlomka ne prelazi 2,35104, ali 2) ako ga povećamo za 1/10, tada kvadrat ovog uvećanog razlomka prelazi 2,35104.

Da bismo pronašli takav razlomak, prvo ćemo pronaći približni korijen tačan na 1, odnosno izvlačimo korijen samo iz cijelog broja 2. Dobijamo 1 (a ostatak je 1). Broj 1 upisujemo u korijen, a iza njega stavljamo zarez. Sada ćemo tražiti broj desetina. Da bismo to učinili, do ostatka 1 skidamo cifre 35 desno od decimalnog zareza i nastavljamo ekstrakciju kao da vadimo korijen cijelog broja 235. Dobivenu cifru 5 upisujemo u korijen u mjesto desetina. Ne trebaju nam preostale cifre radikalnog broja (104). Da će rezultirajući broj 1,5 zapravo biti približan korijen s točnošću od 1/10, može se vidjeti iz sljedećeg. Ako bismo pronašli najveći cjelobrojni korijen od 235 sa tačnošću od 1, dobili bismo 15. Dakle:

15 2 < 235, ali 16 2 >235.

Podijelimo sve ove brojeve sa 100, dobijemo:

To znači da je broj 1,5 decimalni razlomak koji smo nazvali približnim korijenom s točnošću od 1/10.

Koristeći ovu tehniku, također možemo pronaći sljedeće približne korijene s točnošću od 0,1:

177. Približan kvadratni korijen s točnošću od 1/100 do 1/1000, itd.

Pretpostavimo da treba da pronađemo približno √248 sa tačnošću od 1/100. To znači: pronaći decimalni razlomak koji bi se sastojao od cijelih, desetih i stotih dijelova i koji bi zadovoljio dva zahtjeva:

1) njegov kvadrat ne prelazi 248, ali 2) ako ovaj razlomak povećamo za 1/100, tada kvadrat ovog uvećanog razlomka prelazi 248.

Takav razlomak ćemo pronaći u sljedećem nizu: prvo ćemo pronaći cijeli broj, zatim desetinke, pa stotinke. Korijen cijelog broja je 15 cijelih brojeva. Da biste dobili broj desetinki, kao što smo vidjeli, trebate dodati ostatku 23 još 2 znamenke desno od decimalnog zareza. U našem primjeru ovi brojevi uopće nisu prisutni, na njihovo mjesto stavljamo nule. Ako ih dodamo ostatku i nastavimo kao da nalazimo korijen cijelog broja 24,800, naći ćemo desetine 7. Ostaje da pronađemo stotinke. Da bismo to učinili, dodamo još 2 nule ostatku 151 i nastavimo ekstrakciju, kao da nalazimo korijen cijelog broja 2 480 000. Dobijamo 15,74. Da je ovaj broj zaista približan korijen od 248 s preciznošću od 1/100, može se vidjeti iz sljedećeg. Ako bismo pronašli najveći cjelobrojni kvadratni korijen od cijelog broja 2,480,000, dobili bismo 1574; znači:

1574 2 < 2.480.000, ali 1575 2 > 2.480.000.

Dijelimo sve brojeve sa 10.000 (= 100 2), dobijamo:

To znači da je 15,74 onaj decimalni razlomak koji smo nazvali približnim korijenom s točnošću od 1/100 od 248.

Primjenjujući ovu tehniku ​​na pronalaženje približnog korijena s točnošću od 1/1000 do 1/10000, itd., nalazimo sljedeće.

Pravilo. Da biste izdvojili približni korijen iz datog cijelog broja ili iz datog decimalnog razlomka s točnošću od 1/10 do 1/100 do 1/100, itd., prvo pronađite približni korijen s točnošću od 1, izdvajajući korijen iz cijeli broj (ako nije, pišu o korijenu 0 cijelih brojeva).

Zatim pronalaze broj desetina. Da biste to učinili, ostatku dodajte 2 znamenke radikalnog broja desno od decimalne zareze (ako ih nema, dodajte dvije nule ostatku) i nastavite ekstrakciju kao što se radi kod izdvajanja korijena cijelog broja . Dobijeni broj se upisuje u korijen na mjestu desetina.

Zatim pronađite stotinke. Da biste to učinili, dva broja desno od onih koji su upravo uklonjeni dodaju se ostatku itd.

Dakle, prilikom izdvajanja korijena cijelog broja s decimalnim razlomkom, potrebno je podijeliti na lica po 2 znamenke, počevši od decimalne točke, kako lijevo (u cijelom dijelu broja) tako i desno (u frakcijski dio).

Primjeri.

1) Pronađite do 1/100 korijena: a) √2; b) √0,3;

U posljednjem primjeru, pretvorili smo razlomak 3/7 u decimalu tako što smo izračunali 8 decimalnih mjesta da formiramo 4 lica potrebna za pronalaženje 4 decimale korijena.

178. Opis tablice kvadratnih korijena. Na kraju ove knjige nalazi se tabela kvadratnih korijena izračunatih sa četiri znamenke. Koristeći ovu tablicu, možete brzo pronaći kvadratni korijen cijelog broja (ili decimalnog razlomka) koji nije izražen u više od četiri znamenke. Prije nego što objasnimo kako je ova tablica strukturirana, napominjemo da uvijek možemo pronaći prvu značajnu cifru željenog korijena bez pomoći tablica samo gledanjem radikalnog broja; lako možemo odrediti i koje decimalno mjesto znači prva cifra korijena i, prema tome, gdje u korijenu, kada pronađemo njegove cifre, moramo staviti zarez. Evo nekoliko primjera:

1) √5"27,3 . Prva cifra će biti 2, pošto je leva strana radikalnog broja 5; a korijen od 5 jednak je 2. Osim toga, budući da u cijelom dijelu radikala postoje samo 2 lica, onda u cijelom dijelu željenog korijena moraju biti 2 znamenke i stoga njegova prva znamenka 2 mora srednje desetice.

2) √9.041. Očigledno, u ovom korijenu prva cifra će biti 3 proste jedinice.

3) √0.00"83"4. Prva značajna znamenka je 9, jer je lice iz kojeg bi se morao uzeti korijen da bi se dobila prva značajna znamenka 83, a korijen od 83 je 9. Budući da traženi broj neće sadržavati ni cijele brojeve ni desetine, prva cifra 9 mora značiti stotinke.

4) √0,73"85. Prva značajna cifra je 8 desetina.

5) √0.00"00"35"7. Prva značajna cifra će biti 5 hiljaditih.

Da damo još jednu napomenu. Pretpostavimo da trebamo izdvojiti korijen broja koji je, nakon odbacivanja zauzete riječi u njemu, predstavljen nizom brojeva poput ovog: 5681. Ovaj korijen može biti jedan od sljedećih:

Ako uzmemo korijene koje podvučemo jednom linijom, onda će svi biti izraženi istim nizom brojeva, upravo onim brojevima koji se dobiju vađenjem korijena iz 5681 (to će biti brojevi 7, 5, 3, 7 ). Razlog tome je što će lica na koja se radikalni broj mora podijeliti pri pronalaženju znamenki korijena biti ista u svim ovim primjerima, pa će cifre za svaki korijen biti iste (samo pozicija decimale poenta će, naravno, biti drugačija). Na isti način, u svim korijenima koje smo podvukli sa dva reda, treba dobiti iste brojeve, tačnije one kojima se izražava √568.1 (ovi brojevi će biti 2, 3, 8, 3), a za iste razlog. Dakle, cifre korijena brojeva predstavljenih (ispuštanjem zareza) istim redom brojeva 5681 bit će dvije (i samo dvije) vrste: ili je ovo red 7, 5, 3, 7 ili red 2, 3, 8, 3. Isto se, očigledno, može reći i za bilo koji drugi niz brojeva. Stoga, kao što ćemo sada vidjeti, u tabeli, svaki red cifara radikalnog broja odgovara 2 reda cifara za korijene.

Sada možemo objasniti strukturu tabele i kako je koristiti. Radi jasnoće objašnjenja, ovdje smo prikazali početak prve stranice tabele.

Ova tabela se nalazi na nekoliko stranica. Na svakom od njih, u prvoj koloni lijevo, nalaze se brojevi 10, 11, 12... (do 99). Ovi brojevi izražavaju prve 2 znamenke broja od kojeg se traži kvadratni korijen. U gornjoj horizontalnoj liniji (kao i u donjoj) su brojevi: 0, 1, 2, 3...9, koji predstavljaju 3. cifru ovog broja, a dalje desno su brojevi 1, 2, 3. . . 9, predstavlja 4. cifru ovog broja. Sve ostale horizontalne linije sadrže 2 četverocifrena broja koji izražavaju kvadratne korijene odgovarajućih brojeva.

Pretpostavimo da trebate pronaći kvadratni korijen nekog broja, bilo cijeli broj ili izražen kao decimalni razlomak. Prije svega, bez pomoći tablica nalazimo prvu cifru korijena i njegovu cifru. Tada ćemo odbaciti zarez u ovom broju, ako ga ima. Pretpostavimo prvo da će nakon odbacivanja zareza ostati samo 3 znamenke, na primjer. 114. U tabelama u krajnjoj lijevoj koloni nalazimo prve 2 cifre, tj. 11, i krećemo se od njih udesno po horizontalnoj liniji dok ne dođemo do okomite kolone, na čijem je vrhu (i dnu) 3. znamenka broja , tj. 4. Na ovom mjestu nalazimo dva četverocifrena broja: 1068 i 3376. Koji od ova dva broja uzeti i gdje staviti zarez, to je određeno prvom cifrom korijena i svoju cifru, koju smo ranije pronašli. Dakle, ako trebamo pronaći √0.11"4, tada je prva znamenka korijena 3 desetine, i stoga moramo uzeti 0.3376 za korijen. Ako bismo trebali pronaći √1.14, tada bi prva znamenka korijena bila 1, a mi Onda bismo uzeli 1.068.

Na ovaj način lako možemo pronaći:

√5,30 = 2,302; √7"18 = 26,80; √0,91"6 = 0,9571, itd.

Pretpostavimo sada da trebamo pronaći korijen broja izraženog (ispuštanjem decimalnog zareza) sa 4 znamenke, na primjer, √7"45.6. Uzimajući u obzir da je prva znamenka korijena 2 desetice, nalazimo za broj 745, kao što je sada objašnjeno, cifre 2729 (ovaj broj primjećujemo samo prstom, ali ga ne zapisujemo.) Zatim se od ovog broja pomičemo dalje udesno do desne strane tabele (iza zadnji podebljani red) sretnemo okomitu kolonu koja je na vrhu (i dolje) označena 4. cifrom datog broja tj. broj 6 i tu nađemo broj 1. Ovo će biti ispravka koja se mora primijeniti (u mislima) na prethodno pronađeni broj 2729, dobijamo 2730. Zapisujemo ovaj broj i stavljamo zarez u njega na odgovarajuće mjesto: 27.30.

Na ovaj način nalazimo npr.

√44,37 = 6,661; √4,437 = 2,107; √0,04"437 =0,2107, itd.

Ako je radikalni broj izražen sa samo jednom ili dvije cifre, onda možemo pretpostaviti da iza ovih znamenki slijedi jedna ili dvije nule, a zatim postupiti kako je objašnjeno za trocifreni broj. Na primjer, √2.7 =√2.70 =1.643; √0,13 = √0,13"0 = 0,3606, itd.

Konačno, ako je radikalni broj izražen sa više od 4 znamenke, onda ćemo uzeti samo prve 4 od njih, a ostatak odbaciti, a da bismo smanjili grešku, ako je prva odbačena znamenka 5 ili više od 5, tada ćemo povećati za l četvrtu od zadržanih cifara . dakle:

√357,8| 3 | = 18,91; √0,49"35|7 | = 0,7025; i tako dalje.

Komentar. U tablicama je naznačen približni kvadratni korijen, ponekad s manjkom, ponekad s viškom, odnosno onaj od ovih približnih korijena koji se približava tačnom korijenu.

179. Izdvajanje kvadratnih korijena iz običnih razlomaka. Tačan kvadratni korijen nesvodljivog razlomka može se izdvojiti samo kada su oba člana razlomka tačni kvadrati. U ovom slučaju, dovoljno je izdvojiti korijen brojnika i nazivnika odvojeno, na primjer:

Najlakši način da pronađete približni kvadratni korijen običnog razlomka s određenom decimalnom preciznošću je da prvo pretvorite obični razlomak u decimalni, računajući u tom razlomku broj decimalnih mjesta nakon decimalne zareze koji bi bio dvostruki broj decimalnih mjesta u željenom korenu.

Međutim, možete to učiniti drugačije. Objasnimo ovo na sljedećem primjeru:

Pronađite približno √ 5 / 24

Napravimo od nazivnika tačan kvadrat. Da biste to učinili, bilo bi dovoljno pomnožiti oba člana razlomka sa imeniocem 24; ali u ovom primjeru to možete učiniti drugačije. Razložimo 24 na proste faktore: 24 = 2 2 2 3. Iz ove dekompozicije je jasno da ako se 24 pomnoži sa 2 i još 3, tada će se u proizvodu svaki prosti činilac ponoviti paran broj puta, i stoga , imenilac će postati kvadrat:

Ostaje da izračunamo √30 sa određenom tačnošću i podelimo rezultat sa 12. Mora se imati na umu da će deljenje sa 12 takođe smanjiti razlomak koji pokazuje stepen tačnosti. Dakle, ako pronađemo √30 sa tačnošću od 1/10 i podelimo rezultat sa 12, dobićemo približni koren razlomka 5/24 sa tačnošću od 1/120 (naime 54/120 i 55/120)

Treće poglavlje.

Grafikon funkcijex = √y .

180. Inverzna funkcija. Neka je data neka jednadžba koja određuje at kao funkcija X , na primjer, ovako: y = x 2 . Možemo reći da to ne određuje samo at kao funkcija X , ali i, obrnuto, određuje X kao funkcija at , doduše na implicitan način. Da bismo ovu funkciju učinili eksplicitnom, moramo riješiti ovu jednačinu za X , uzimajući at za poznati broj; Dakle, iz jednačine koju smo uzeli nalazimo: y = x 2 .

Algebarski izraz dobijen za x nakon rješavanja jednadžbe koja definira y kao funkciju od x naziva se inverzna funkcija one koja definira y.

Dakle, funkcija x = √y inverzna funkcija y = x 2 . Ako, kao što je uobičajeno, označavamo nezavisnu varijablu X , i zavisni at , tada se sada dobijena inverzna funkcija može izraziti na sljedeći način: y = √x . Dakle, da bi se dobila funkcija inverzna datoj (direktnoj) potrebno je izvesti iz jednačine koja definira ovu datu funkciju X zavisno od y i u rezultirajućem izrazu zamijeniti y on x , A X on y .

181. Grafikon funkcije y = √x . Ova funkcija nije moguća s negativnom vrijednošću X , ali se može izračunati (sa bilo kojom tačnošću) za bilo koju pozitivnu vrijednost x , a za svaku takvu vrijednost funkcija prima dvije različite vrijednosti sa istom apsolutnom vrijednošću, ali suprotnim predznacima. Ako ste upoznati √ Ako označimo samo aritmetičku vrijednost kvadratnog korijena, tada se ove dvije vrijednosti funkcije mogu izraziti na sljedeći način: y = ± √x Da biste nacrtali graf ove funkcije, prvo morate sastaviti tablicu njenih vrijednosti. Najlakši način da kreirate ovu tabelu je iz tabele vrednosti direktnih funkcija:

y = x 2 .

ako su vrijednosti at uzeti kao vrijednosti X , i obrnuto:

y = ± √x

Ucrtavanjem svih ovih vrijednosti na crtež dobijamo sljedeći grafikon.

Na istom crtežu smo prikazali (isprekidanom linijom) graf direktne funkcije y = x 2 . Hajde da uporedimo ova dva grafikona jedan sa drugim.

182. Odnos između grafova direktnih i inverznih funkcija. Za sastavljanje tablice vrijednosti inverzne funkcije y = ± √x uzeli smo za X one brojeve koji se nalaze u tabeli direktne funkcije y = x 2 služili kao vrijednosti za at , i za at uzeo te brojeve; koje su u ovoj tabeli bile vrijednosti za x . Iz ovoga slijedi da su oba grafa ista, samo je graf direktne funkcije tako lociran u odnosu na osu at - kako se graf inverzne funkcije nalazi u odnosu na osu X - ov. Kao rezultat toga, ako savijemo crtež oko ravne linije OA prepoloviti pravi ugao xOy , tako da dio crteža koji sadrži poluos OU , pao na dio koji sadrži osovinu Oh , To OU kompatibilan sa Oh , sve divizije OU poklopit će se sa podjelama Oh , i parabola tačke y = x 2 poravnat će se sa odgovarajućim tačkama na grafikonu y = ± √x . Na primjer, bodovi M I N , čija ordinata 4 , i apscisa 2 i - 2 , poklopit će se sa tačkama M" I N" , za koje je apscisa 4 , i ordinate 2 i - 2 . Ako se ove tačke poklapaju, to znači da su prave linije MM" I NN" okomito na OA i podijelite ovu pravu liniju na pola. Isto se može reći i za sve ostale odgovarajuće tačke na oba grafikona.

Dakle, graf inverzne funkcije trebao bi biti isti kao i grafik direktne funkcije, ali su ti grafovi različito smješteni, odnosno simetrično jedan s drugim u odnosu na simetralu ugla xOy . Možemo reći da je graf inverzne funkcije odraz (kao u ogledalu) grafa direktne funkcije u odnosu na simetralu ugla xOy .

Izdvajanje korijena je obrnuta operacija podizanja stepena. Odnosno, uzimajući korijen broja X, dobijamo broj koji će na kvadrat dati isti broj X.

Ekstrahiranje korijena je prilično jednostavna operacija. Tabela kvadrata može olakšati rad vađenja. Zato što je nemoguće zapamtiti sve kvadrate i korijene napamet, ali brojevi mogu biti veliki.

Izdvajanje korijena broja

Uzimanje kvadratnog korijena broja je jednostavno. Štaviše, to se može učiniti ne odmah, već postepeno. Na primjer, uzmite izraz √256. U početku je neupućenoj osobi teško odmah dati odgovor. Onda ćemo to raditi korak po korak. Prvo, dijelimo samo sa brojem 4, iz kojeg uzimamo odabrani kvadrat kao korijen.

Predstavimo: √(64 4), tada će biti ekvivalentno 2√64. I kao što znate, prema tablici množenja 64 = 8 8. Odgovor će biti 2*8=16.

Prijavite se za kurs "Ubrzajte mentalnu aritmetiku, A NE mentalnu aritmetiku" da naučite kako brzo i ispravno sabirati, oduzimati, množiti, dijeliti, kvadratirati brojeve, pa čak i izvlačiti korijene. Za 30 dana naučit ćete kako koristiti jednostavne trikove za pojednostavljenje aritmetičkih operacija. Svaka lekcija sadrži nove tehnike, jasne primjere i korisne zadatke.

Ekstrahiranje složenog korijena

Kvadratni korijen se ne može izračunati iz negativnih brojeva, jer je svaki kvadratni broj pozitivan broj!

Kompleksni broj je broj i, koji je na kvadrat jednak -1. To jest, i2=-1.

U matematici postoji broj koji se dobija uzimanjem korena broja -1.

Odnosno, moguće je izračunati korijen negativnog broja, ali to se već odnosi na višu matematiku, a ne na školsku.

Razmotrimo primjer takve ekstrakcije korijena: √(-49)=7*√(-1)=7i.

Online root kalkulator

Koristeći naš kalkulator, možete izračunati ekstrakciju broja iz kvadratnog korijena:

Pretvaranje izraza koji sadrže korijensku operaciju

Suština transformacije radikalnih izraza je razlaganje radikalnog broja na jednostavnije, iz kojih se može izvući korijen. Kao što su 4, 9, 25 i tako dalje.

Dajemo primjer, √625. Podijelimo radikalni izraz brojem 5. Dobijamo √(125 5), ponovite operaciju √(25 25), ali znamo da je 25 52. Što znači da će odgovor biti 5*5=25.

Ali postoje brojevi za koje se korijen ne može izračunati ovom metodom i samo trebate znati odgovor ili imati pri ruci tablicu kvadrata.

√289=√(17*17)=17

Zaključak

Pogledali smo samo vrh ledenog brijega, da bismo bolje razumjeli matematiku - prijavite se na naš kurs: Ubrzavanje mentalne aritmetike - NE mentalne aritmetike.

Na kursu ćete ne samo naučiti desetine tehnika za pojednostavljeno i brzo množenje, sabiranje, množenje, dijeljenje i računanje postotaka, već ćete ih uvježbati u posebnim zadacima i edukativnim igrama! Mentalna aritmetika također zahtijeva puno pažnje i koncentracije, koji se aktivno treniraju prilikom rješavanja zanimljivih zadataka.

Instrukcije

Odaberite množitelj za radikalni broj, čije uklanjanje ispod root je zaista izraz - inače će operacija izgubiti . Na primjer, ako je ispod znaka root sa eksponentom jednakim tri (kubni korijen), košta broj 128, zatim ispod znaka možete izvaditi npr. broj 5. Istovremeno, radikalni broj 128 će se morati podijeliti sa 5 kubnih: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1,024. Ako je pod znakom prisustvo razlomka root nije u suprotnosti sa uslovima problema, onda je to moguće u ovom obliku. Ako vam je potrebna jednostavnija opcija, onda prvo razbijte radikalni izraz na takve cjelobrojne faktore, od kojih će kubni korijen jednog biti cijeli broj broj m. Na primjer: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.

Koristite za odabir faktora radikalnog broja ako nije moguće izračunati stepene broja u vašoj glavi. Ovo posebno važi za root m sa eksponentom većim od dva. Ako imate pristup internetu, možete izvršiti proračune pomoću kalkulatora ugrađenih u pretraživače Google i Nigma. Na primjer, ako trebate pronaći najveći cjelobrojni faktor koji se može izvaditi ispod kubnog znaka root za broj 250, zatim idite na Google web stranicu i unesite upit "6^3" da provjerite da li je moguće ukloniti ga ispod znaka rootšest. Pretraživač će pokazati rezultat jednak 216. Nažalost, 250 se ne može podijeliti bez ostatka s ovim broj. Zatim unesite upit 5^3. Rezultat će biti 125, a to vam omogućava da podijelite 250 na faktore 125 i 2, što znači da ga izbacite iz znaka root broj 5, odlazi tamo broj 2.

Izvori:

• kako ga izvaditi ispod korijena
• Kvadratni korijen proizvoda

Izvadite ga ispod root jedan od faktora je neophodan u situacijama kada treba da pojednostavite matematički izraz. Postoje slučajevi kada je nemoguće izvršiti potrebne proračune pomoću kalkulatora. Na primjer, ako se umjesto brojeva koriste slovne oznake za varijable.

Instrukcije

Raskinite radikalni izraz na jednostavne faktore. Pogledajte koji od faktora se ponavlja isti broj puta, naznačen u indikatorima root, ili više. Na primjer, trebate uzeti četvrti korijen od a. U ovom slučaju, broj se može predstaviti kao a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3. Indikator root u ovom slučaju će odgovarati sa faktor a3. Treba ga izvaditi iz znaka.

Izdvojite korijen nastalih radikala odvojeno gdje je to moguće. Ekstrakcija root je algebarska operacija inverzna eksponencijaciji. Ekstrakcija root proizvoljnog stepena, pronađite broj iz broja koji će, kada se podigne na ovaj proizvoljni stepen, rezultirati datim brojem. Ako ekstrakcija root ne može se proizvesti, ostavite radikalan izraz ispod znaka root baš takav kakav je. Kao rezultat gore navedenih radnji, bit ćete uklonjeni ispod sign root.

Video na temu

Bilješka

Budite oprezni kada pišete radikalne izraze u obliku faktora - greška u ovoj fazi dovest će do netačnih rezultata.

Koristan savjet

Prilikom vađenja korijena prikladno je koristiti posebne tablice ili tablice logaritamskih korijena - to će značajno smanjiti vrijeme potrebno za pronalaženje ispravnog rješenja.

Izvori:

• znak za vađenje korena 2019

Pojednostavljenje algebarskih izraza je potrebno u mnogim oblastima matematike, uključujući rješavanje jednačina višeg reda, diferencijaciju i integraciju. Koristi se nekoliko metoda, uključujući faktorizaciju. Da biste primijenili ovu metodu, morate pronaći i napraviti općenito faktor iza zagrade.

Instrukcije

Izvođenje ukupnog množitelja zagrade- jedna od najčešćih metoda razgradnje. Ova tehnika se koristi za pojednostavljenje strukture dugih algebarskih izraza, tj. polinomi. Opšti broj može biti broj, monom ili binom, a za njegovo pronalaženje koristi se distributivno svojstvo množenja.

Broj: Pažljivo pogledajte koeficijente svakog polinoma da vidite da li se mogu podijeliti istim brojem. Na primjer, u izrazu 12 z³ + 16 z² – 4 to je očigledno faktor 4. Nakon transformacije, dobijate 4 (3 z³ + 4 z² - 1). Drugim riječima, ovaj broj je najmanji zajednički cijeli broj svih koeficijenata.

Monom Odredite da li je ista varijabla u svakom od članova polinoma. Pod pretpostavkom da je to slučaj, sada pogledajte koeficijente kao u prethodnom slučaju. Primjer: 9 z^4 – 6 z³ + 15 z² – 3 z.

Svaki element ovog polinoma sadrži varijablu z. Osim toga, svi koeficijenti su brojevi koji su višekratnici od 3. Prema tome, zajednički faktor će biti monom 3 z:3 z (3 z³ – 2 z² + 5 z - 1).

Binom.For zagrade general faktor od dva, varijable i broja, što je zajednički polinom. Stoga, ako faktor-binom nije očigledan, onda morate pronaći barem jedan korijen. Odaberite slobodni član polinoma; ovo je koeficijent bez varijable. Sada primijenite metodu zamjene u opći izraz svih cijelih djelitelja slobodnog člana.

Uzmite u obzir: z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. Provjerite da li je bilo koji od cjelobrojnih faktora od 4 z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0. Jednostavnom zamjenom pronađite z1 = 1 i z2 = 2, što znači za zagrade možemo ukloniti binome (z - 1) i (z - 2). Da biste pronašli preostali izraz, koristite sekvencijalno dugačko dijeljenje.