Kako odrediti kvadratni korijen broja. Izdvajanje korijena velikog broja

Kako izvaditi koren od broja. U ovom članku ćemo naučiti kako uzeti kvadratni korijen četverocifrenih i petocifrenih brojeva.

Uzmimo kvadratni korijen iz 1936. kao primjer.

dakle, .

Posljednja znamenka u broju 1936 je broj 6. Kvadrat broja 4 i broja 6 završava se na 6. Dakle, 1936 može biti kvadrat broja 44 ili broja 46. Ostaje provjeriti množenjem.

znači,

Uzmimo kvadratni korijen broja 15129.

dakle, .

Posljednja znamenka u broju 15129 je broj 9. Kvadrat broja 3 i broja 7 završava se na 9. Dakle, 15129 može biti kvadrat broja 123 ili broja 127. Provjerimo množenjem.

znači,

Kako izvaditi root - video

A sada predlažem da pogledate video Anne Denisove - „Kako izvaditi koren ", autor stranice" Jednostavna fizika“, u kojem objašnjava kako pronaći kvadratni i kubni korijen bez kalkulatora.

Video govori o nekoliko načina vađenja korijena:

1. Najlakši način za izvlačenje kvadratnog korijena.

2. Izborom na kvadrat zbira.

3. Babilonska metoda.

4. Metoda vađenja kvadratnog korijena stupca.

5. Brz način da izvučete kockasti koren.

6. Metoda vađenja kubičnog korijena u stupcu.

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti vaše lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Prije kalkulatora, učenici i nastavnici su ručno izračunavali kvadratni korijen. Postoji nekoliko načina za ručno izračunavanje kvadratnog korijena broja. Neki od njih nude samo okvirno rješenje, drugi daju tačan odgovor.

Koraci

Primena faktorizacije

Faktori radikalni broj u faktore koji su kvadratni brojevi. U zavisnosti od radikalnog broja, dobićete približan ili tačan odgovor. Kvadratni brojevi su brojevi iz kojih se može uzeti cijeli kvadratni korijen. Faktori su brojevi koji, kada se pomnože, daju originalni broj. Na primjer, faktori broja 8 su 2 i 4, budući da su 2 x 4 = 8, brojevi 25, 36, 49 su kvadratni brojevi, jer je √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. su faktori , koji su kvadratni brojevi. Prvo, pokušajte rastaviti radikalni broj na kvadratne faktore.

• Na primjer, izračunajte kvadratni korijen od 400 (ručno). Prvo pokušajte rastaviti 400 na kvadratne faktore. 400 je višekratnik 100, odnosno djeljiv sa 25 - ovo je kvadratni broj. Ako podijelite 400 sa 25, dobijete 16. Broj 16 je također kvadratni broj. Dakle, 400 se može razložiti na kvadratne faktore 25 i 16, odnosno 25 x 16 = 400.
• Ovo se može napisati na sljedeći način: √400 = √(25 x 16).

1. Kvadratni korijen proizvoda nekih članova jednak je proizvodu kvadratnih korijena svakog člana, odnosno √(a x b) = √a x √b. Koristite ovo pravilo da uzmete kvadratni korijen svakog kvadratnog faktora i pomnožite rezultate da biste pronašli odgovor.

   • U našem primjeru uzmite korijen od 25 i 16.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Ako se radikalni broj ne rastavlja na dva kvadratna faktora (a to se dešava u većini slučajeva), nećete moći pronaći tačan odgovor u obliku cijelog broja. Ali možete pojednostaviti problem tako što ćete radikalni broj razložiti na kvadratni faktor i običan faktor (broj iz kojeg se ne može uzeti cijeli kvadratni korijen). Tada ćete uzeti kvadratni korijen kvadratnog faktora i uzeti korijen zajedničkog faktora.

   • Na primjer, izračunajte kvadratni korijen broja 147. Broj 147 se ne može rastaviti na dva kvadratna faktora, ali se može razložiti na sljedeće faktore: 49 i 3. Riješite problem na sljedeći način:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Ako je potrebno, procijenite vrijednost korijena. Sada možete procijeniti vrijednost korijena (pronaći približnu vrijednost) upoređujući je s vrijednostima korijena kvadratnih brojeva koji su najbliži (s obje strane brojevne linije) radikalnom broju. Dobit ćete vrijednost korijena kao decimalni razlomak, koji se mora pomnožiti sa brojem iza znaka korijena.

   • Vratimo se našem primjeru. Radikalni broj je 3. Njemu najbliži kvadratni brojevi će biti brojevi 1 (√1 = 1) i 4 (√4 = 2). Dakle, vrijednost √3 nalazi se između 1 i 2. Pošto je vrijednost √3 vjerovatno bliža 2 nego 1, naša procjena je: √3 = 1,7. Ovu vrijednost množimo brojem u predznaku korijena: 7 x 1,7 = 11,9. Ako izračunate na kalkulatoru, dobićete 12.13, što je prilično blizu našem odgovoru.
     • Ova metoda također radi s velikim brojevima. Na primjer, uzmite u obzir √35. Radikalni broj je 35. Najbliži kvadratni brojevi njemu će biti brojevi 25 (√25 = 5) i 36 (√36 = 6). Dakle, vrijednost √35 nalazi se između 5 i 6. Pošto je vrijednost √35 mnogo bliža 6 nego 5 (jer je 35 samo 1 manje od 36), možemo reći da je √35 nešto manje od 6 Provjera na kalkulatoru daje nam odgovor 5,92 - bili smo u pravu.

4. Drugi način je rastavljanje radikalnog broja u proste faktore. Osnovni faktori su brojevi koji su djeljivi samo sa 1 i sami sobom. Napišite proste faktore u nizu i pronađite parove identičnih faktora. Takvi faktori se mogu izdvojiti iz korijenskog znaka.

   • Na primjer, izračunajte kvadratni korijen od 45. Radikalni broj činimo u proste faktore: 45 = 9 x 5, i 9 = 3 x 3. Dakle, √45 = √(3 x 3 x 5). 3 se može uzeti kao korijenski znak: √45 = 3√5. Sada možemo procijeniti √5.
   • Pogledajmo još jedan primjer: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Dobili ste tri množitelja od 2; uzmite ih nekoliko i pomaknite ih dalje od korijenskog znaka.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Sada možete procijeniti √2 i √11 i pronaći približan odgovor.

   Ručno izračunavanje kvadratnog korijena

   Koristeći dugu podjelu

   1. Ova metoda uključuje proces sličan dugoj podjeli i daje tačan odgovor. Prvo nacrtajte okomitu liniju koja dijeli list na dvije polovine, a zatim desno i malo ispod gornjeg ruba lista povucite vodoravnu liniju do okomite linije. Sada podijelite radikalni broj na parove brojeva, počevši od razlomka nakon decimalnog zareza. Dakle, broj 79520789182.47897 je napisan kao "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Na primjer, izračunajmo kvadratni korijen broja 780,14. Nacrtajte dvije linije (kao što je prikazano na slici) i upišite zadati broj u obliku “7 80, 14” u gornjem lijevom kutu. Normalno je da je prva cifra slijeva neparna cifra. Odgovor (koren ovog broja) ćete napisati u gornjem desnom uglu.

   2. Za prvi par brojeva (ili jedan broj) s lijeve strane, pronađite najveći cijeli broj n čiji je kvadrat manji ili jednak paru brojeva (ili jednom broju) o kojem je riječ. Drugim riječima, pronađite kvadratni broj koji je najbliži, ali manji od prvog para brojeva (ili jednog broja) s lijeve strane, i uzmite kvadratni korijen tog kvadratnog broja; dobićete broj n. Napišite n koje ste pronašli u gornjem desnom uglu, a kvadrat od n upišite dolje desno.

      • U našem slučaju, prvi broj lijevo će biti 7. Sljedeći, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Od prvog para brojeva (ili jednog broja) s lijeve strane oduzmite kvadrat broja n koji ste upravo pronašli. Rezultat izračunavanja upišite ispod oduzetog (kvadrata broja n).

      • U našem primjeru oduzmite 4 od 7 i dobijete 3.

   4. Zabilježite drugi par brojeva i zapišite ga pored vrijednosti dobivene u prethodnom koraku. Zatim udvostručite broj u gornjem desnom uglu i upišite rezultat u donjem desnom uglu sa dodatkom "_×_=".

      • U našem primjeru, drugi par brojeva je "80". Napišite "80" nakon 3. Zatim, dupli broj u gornjem desnom uglu daje 4. Napišite "4_×_=" dolje desno.

   5. Popunite prazna polja na desnoj strani.

      • U našem slučaju, ako umjesto crtica stavimo broj 8, onda je 48 x 8 = 384, što je više od 380. Dakle, 8 je preveliki broj, ali 7 će biti dovoljno. Napišite 7 umjesto crtica i dobijete: 47 x 7 = 329. Napišite 7 u gornjem desnom kutu - ovo je druga znamenka u željenom kvadratnom korijenu broja 780,14.

   6. Oduzmite rezultirajući broj od trenutnog broja na lijevoj strani. Rezultat iz prethodnog koraka upišite ispod trenutnog broja s lijeve strane, pronađite razliku i upišite je ispod oduzetog.

      • U našem primjeru oduzmite 329 od 380, što je jednako 51.

   7. Ponovite korak 4. Ako je par brojeva koji se prenosi razlomački dio originalnog broja, onda stavite razdjelnik (zarez) između cijelog broja i razlomaka u traženom kvadratnom korijenu u gornjem desnom kutu. Na lijevoj strani, spustite sljedeći par brojeva. Udvostručite broj u gornjem desnom uglu i upišite rezultat u donjem desnom uglu sa dodatkom "_×_=".

      • U našem primjeru, sljedeći par brojeva koji treba ukloniti bit će razlomački dio broja 780,14, pa stavite razdjelnik cijelog broja i razlomaka u željeni kvadratni korijen u gornjem desnom uglu. Skinite 14 i upišite ga dolje lijevo. Dvostruki broj u gornjem desnom uglu (27) je 54, pa napišite "54_×_=" dolje desno.

   8. Ponovite korake 5 i 6. Pronađite najveći broj umjesto crtica na desnoj strani (umjesto crtica morate zamijeniti isti broj) tako da rezultat množenja bude manji ili jednak trenutnom broju na lijevoj strani.

      • U našem primjeru, 549 x 9 = 4941, što je manje od trenutnog broja na lijevoj strani (5114). Napišite 9 u gornjem desnom kutu i oduzmite rezultat množenja od trenutnog broja na lijevoj strani: 5114 - 4941 = 173.

   9. Ako trebate pronaći više decimalnih mjesta za kvadratni korijen, upišite nekoliko nula lijevo od trenutnog broja i ponovite korake 4, 5 i 6. Ponavljajte korake dok ne dobijete tačnost odgovora (broj decimalnih mjesta) koju želite potreba.

   Razumijevanje procesa

   Da biste savladali ovu metodu, zamislite broj čiji kvadratni korijen trebate pronaći kao površinu kvadrata S. U ovom slučaju, tražit ćete dužinu stranice L takvog kvadrata. Izračunavamo vrijednost L tako da je L² = S.

   Navedite slovo za svaki broj u odgovoru. Označimo sa A prvu cifru u vrijednosti L (željeni kvadratni korijen). B će biti druga cifra, C treća i tako dalje.

   Navedite slovo za svaki par prvih cifara. Označimo sa S a prvi par cifara u vrijednosti S, sa S b drugi par cifara, itd.

   Shvatite vezu između ove metode i duge podjele. Baš kao i kod dijeljenja, gdje nas zanima samo sljedeća znamenka broja koji svaki put dijelimo, prilikom izračunavanja kvadratnog korijena radimo kroz par cifara u nizu (da bismo dobili sljedeću jednu cifru u vrijednosti kvadratnog korijena ).

   1. Razmotrimo prvi par znamenki Sa broja S (Sa = 7 u našem primjeru) i pronađimo njegov kvadratni korijen. U ovom slučaju, prva znamenka A željene vrijednosti kvadratnog korijena bit će cifra čiji je kvadrat manji ili jednak S a (to jest, tražimo A takav da je nejednakost A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Recimo da trebamo podijeliti 88962 sa 7; ovdje će prvi korak biti sličan: razmatramo prvu cifru djeljivog broja 88962 (8) i biramo najveći broj koji, kada se pomnoži sa 7, daje vrijednost manju ili jednaku 8. To jest, tražimo broj d za koji je tačna nejednakost: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Mentalno zamislite kvadrat čiju površinu trebate izračunati. Tražite L, odnosno dužinu stranice kvadrata čija je površina jednaka S. A, B, C su brojevi u broju L. Možete ga napisati drugačije: 10A + B = L (za dvocifreni broj) ili 100A + 10B + C = L (za trocifreni broj) i tako dalje.

      • Neka (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Zapamtite da je 10A+B broj u kojem cifra B označava jedinice, a cifra A označava desetice. Na primjer, ako je A=1 i B=2, tada je 10A+B jednako broju 12. (10A+B)² je površina cijelog kvadrata, 100A²- površina velikog unutrašnjeg kvadrata, B²- površina malog unutrašnjeg kvadrata, 10A×B- površina svakog od dva pravougaonika. Zbrajanjem površina opisanih figura, naći ćete površinu originalnog kvadrata.

Često se prilikom rješavanja problema susrećemo s velikim brojevima iz kojih moramo izdvojiti Kvadratni korijen. Mnogi učenici odlučuju da je to greška i počinju ponovo rješavati cijeli primjer. Ni u kom slučaju to ne biste trebali raditi! Dva su razloga za to:

1. Korijeni velikih brojeva se pojavljuju u problemima. Posebno u tekstualnim;
2. Postoji algoritam po kojem se ovi korijeni izračunavaju gotovo usmeno.

Danas ćemo razmotriti ovaj algoritam. Možda će vam se neke stvari učiniti nerazumljivima. Ali ako obratite pažnju na ovu lekciju, dobit ćete moćno oružje protiv kvadratni korijeni.

Dakle, algoritam:

1. Ograničite traženi korijen iznad i ispod na brojeve koji su višestruki od 10. Stoga ćemo smanjiti opseg pretraživanja na 10 brojeva;
2. Od ovih 10 brojeva izbacite one koji definitivno ne mogu biti korijeni. Kao rezultat, ostat će 1-2 broja;
3. Kvadrirajte ova 1-2 broja. Onaj čiji je kvadrat jednak originalnom broju bit će korijen.

Prije nego što ovaj algoritam stavimo u praksu, pogledajmo svaki pojedinačni korak.

Ograničenje korijena

Prije svega, moramo saznati između kojih brojeva se nalazi naš korijen. Veoma je poželjno da brojevi budu višestruki od deset:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Dobijamo niz brojeva:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Šta nam ovi brojevi govore? Jednostavno je: dobijamo granice. Uzmimo, na primjer, broj 1296. On leži između 900 i 1600. Dakle, njegov korijen ne može biti manji od 30 i veći od 40:

[Natpis za sliku]

Ista stvar vrijedi za bilo koji drugi broj iz kojeg možete pronaći kvadratni korijen. Na primjer, 3364:

Tako, umjesto nerazumljivog broja, dobijamo vrlo specifičan raspon u kojem leži izvorni korijen. Da dodatno suzite područje pretraživanja, prijeđite na drugi korak.

Uklanjanje očigledno nepotrebnih brojeva

Dakle, imamo 10 brojeva - kandidata za korijen. Dobili smo ih vrlo brzo, bez kompleksnog razmišljanja i množenja u koloni. Vrijeme je da krenemo dalje.

Vjerovali ili ne, sada ćemo broj kandidata smanjiti na dva - opet bez ikakvih komplikovanih proračuna! Dovoljno je znati posebno pravilo. Evo ga:

Posljednja znamenka kvadrata ovisi samo o posljednjoj znamenki originalni broj.

Drugim riječima, samo pogledajte posljednju cifru kvadrata i odmah ćemo shvatiti gdje završava originalni broj.

Postoji samo 10 cifara koje mogu doći na posljednje mjesto. Pokušajmo saznati u što se pretvaraju kada se kvadraturu. Pogledajte tabelu:

Ova tabela je još jedan korak ka izračunavanju korijena. Kao što vidite, ispostavilo se da su brojevi u drugom redu simetrični u odnosu na pet. Na primjer:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Kao što vidite, zadnja cifra je ista u oba slučaja. To znači da se, na primjer, korijen od 3364 mora završavati na 2 ili 8. S druge strane, sjećamo se ograničenja iz prethodnog paragrafa. Dobijamo:

Crveni kvadrati ukazuju da još ne znamo ovu cifru. Ali korijen leži u rasponu od 50 do 60, na kojem postoje samo dva broja koja se završavaju na 2 i 8:

To je sve! Od svih mogućih korijena, ostavili smo samo dvije opcije! A to je u najtežem slučaju, jer zadnja cifra može biti 5 ili 0. I tada će biti samo jedan kandidat za korijene!

Konačni proračuni

Dakle, imamo još 2 broja kandidata. Kako znate koji je korijen? Odgovor je očigledan: kvadrirajte oba broja. Onaj koji na kvadrat daje originalni broj bit će korijen.

Na primjer, za broj 3364 našli smo dva kandidata broja: 52 i 58. Postavimo ih na kvadrat:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

To je sve! Ispostavilo se da je korijen 58! Istovremeno, da bih pojednostavio proračune, koristio sam formulu za kvadrate zbira i razlike. Zahvaljujući tome, nisam morao čak ni da množim brojeve u kolonu! Ovo je još jedan nivo optimizacije proračuna, ali je, naravno, potpuno opciono :)

Primjeri izračunavanja korijena

Teorija je, naravno, dobra. Ali hajde da to proverimo u praksi.

[Natpis za sliku]

Prvo, hajde da saznamo između kojih brojeva leži broj 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Pogledajmo sada zadnji broj. To je jednako 6. Kada se to dešava? Samo ako se korijen završava na 4 ili 6. Dobijamo dva broja:

Sve što ostaje je kvadrirati svaki broj i uporediti ga s originalom:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Odlično! Ispostavilo se da je prvi kvadrat jednak originalnom broju. Dakle, ovo je korijen.

Zadatak. Izračunajte kvadratni korijen:

[Natpis za sliku]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Pogledajmo posljednju cifru:

1369 → 9;
33; 37.

Na kvadrat:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

Evo odgovora: 37.

Zadatak. Izračunajte kvadratni korijen:

[Natpis za sliku]

Ograničavamo broj:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Pogledajmo posljednju cifru:

2704 → 4;
52; 58.

Na kvadrat:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Dobili smo odgovor: 52. Drugi broj više neće trebati kvadrirati.

Zadatak. Izračunajte kvadratni korijen:

[Natpis za sliku]

Ograničavamo broj:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Pogledajmo posljednju cifru:

4225 → 5;
65.

Kao što vidite, nakon drugog koraka ostaje samo jedna opcija: 65. Ovo je željeni root. Ali hajde da ga ipak kvadriramo i provjerimo:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Sve je tačno. Zapisujemo odgovor.

Zaključak

Avaj, nije bolje. Pogledajmo razloge. postoje dva od njih:

• Na svakom normalnom ispitu iz matematike, bilo da se radi o državnom ispitu ili Jedinstvenom državnom ispitu, upotreba kalkulatora je zabranjena. A ako unesete kalkulator u razred, lako možete biti izbačeni sa ispita.
• Ne budite kao glupi Amerikanci. Koji nisu kao korijeni - ne mogu sabrati dva prosta broja. A kada vide razlomke, generalno postaju histerični.