Dom · Napomenu · Kako izgleda opći oblik diferencijalne jednadžbe. Diferencijalne jednadžbe

Kako izgleda opći oblik diferencijalne jednadžbe. Diferencijalne jednadžbe

Ili su već riješeni u odnosu na izvod, ili se mogu riješiti u odnosu na izvod .

Opće rješenje diferencijalnih jednadžbi tipa na intervalu X, koji je dat, može se naći uzimanjem integrala obje strane ove jednakosti.

Get .

Ako pogledamo svojstva neodređenog integrala, nalazimo željeno opće rješenje:

y = F(x) + C,

Gdje F(x)- jedan od antiderivata funkcije f(x) između X, A WITH je proizvoljna konstanta.

Imajte na umu da u većini zadataka interval X nemojte naznačiti. To znači da se za svakoga mora naći rješenje. x, za koju i željenu funkciju y, a originalna jednadžba ima smisla.

Ako trebate izračunati određeno rješenje diferencijalne jednadžbe koje zadovoljava početni uvjet y(x0) = y0, zatim nakon izračunavanja opšteg integrala y = F(x) + C, još uvijek je potrebno odrediti vrijednost konstante C=C0 koristeći početni uslov. Odnosno, konstanta C=C0 određeno iz jednačine F(x 0) + C = y 0, a željeno posebno rješenje diferencijalne jednadžbe će imati oblik:

y = F(x) + C0.

Razmotrimo primjer:

Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe, provjeriti ispravnost rezultata. Nađimo određeno rješenje ove jednadžbe koje bi zadovoljilo početni uvjet.

Rješenje:

Nakon što smo integrisali datu diferencijalnu jednačinu, dobijamo:

.

Ovaj integral uzimamo metodom integracije po dijelovima:


to., je opšte rješenje diferencijalne jednadžbe.

Provjerimo da li je rezultat tačan. Da bismo to učinili, zamijenimo rješenje koje smo pronašli u datu jednačinu:


.

To jest, u originalna jednadžba se pretvara u identitet:

stoga je opće rješenje diferencijalne jednadžbe tačno određeno.

Rješenje koje smo pronašli je opće rješenje diferencijalne jednadžbe za svaku realnu vrijednost argumenta x.

Ostaje da se izračuna određeno rješenje ODE koje bi zadovoljilo početni uvjet. Drugim riječima, potrebno je izračunati vrijednost konstante WITH, pri čemu će jednakost biti tačna:

.

.

Zatim, zamena C = 2 u opće rješenje ODE-a, dobivamo posebno rješenje diferencijalne jednadžbe koje zadovoljava početni uvjet:

.

Obična diferencijalna jednadžba može se riješiti u odnosu na izvod dijeljenjem 2 dijela jednačine sa f(x). Ova transformacija će biti ekvivalentna ako f(x) ne ide na nulu ni za jednu x iz intervala integracije diferencijalne jednadžbe X.

Vjerovatne su situacije kada za neke vrijednosti argumenta x ∈ X funkcije f(x) I g(x) okrenuti na nulu u isto vrijeme. Za slične vrijednosti x opšte rješenje diferencijalne jednadžbe je bilo koja funkcija y, što je u njima definisano, jer .

Ako za neke vrijednosti argumenta x ∈ X uslov je zadovoljen, što znači da u ovom slučaju ODE nema rješenja.

Za sve ostale x iz intervala X opšte rješenje diferencijalne jednadžbe je određeno iz transformirane jednačine.

Pogledajmo primjere:

Primjer 1

Hajde da pronađemo opšte rešenje ODE: .

Rješenje.

Iz svojstava osnovnih elementarnih funkcija jasno je da je funkcija prirodnog logaritma definirana za nenegativne vrijednosti argumenta, dakle, domena izraza log(x+3) postoji interval x > -3 . Dakle, data diferencijalna jednačina ima smisla za x > -3 . Sa ovim vrijednostima argumenta, izraz x + 3 ne nestaje, tako da se ODE može riješiti u odnosu na izvod dijeljenjem 2 dijela sa x + 3.

Dobijamo .

Zatim integriramo rezultirajuću diferencijalnu jednadžbu, riješenu s obzirom na izvod: . Da bismo uzeli ovaj integral, koristimo metodu podvođenja pod znak diferencijala.

Diferencijalna jednadžba je jednačina koja uključuje funkciju i jedan ili više njenih izvoda. U većini praktičnih problema, funkcije su fizičke veličine, derivati ​​odgovaraju stopama promjene ovih veličina, a jednačina određuje odnos između njih.


Ovaj članak govori o metodama rješavanja nekih tipova običnih diferencijalnih jednadžbi, čija se rješenja mogu napisati u obliku elementarne funkcije, odnosno polinomske, eksponencijalne, logaritamske i trigonometrijske funkcije, kao i njihove inverzne funkcije. Mnoge od ovih jednadžbi se javljaju u stvarnom životu, iako se većina drugih diferencijalnih jednadžbi ne može riješiti ovim metodama, a za njih je odgovor zapisan kao specijalne funkcije ili nizovi stepena, ili pronađen numeričkim metodama.


Da biste razumjeli ovaj članak, morate znati diferencijalni i integralni račun, kao i imati određeno razumijevanje parcijalnih izvoda. Također se preporučuje poznavanje osnova linearne algebre u primjeni na diferencijalne jednadžbe, posebno na diferencijalne jednadžbe drugog reda, iako je poznavanje diferencijalnog i integralnog računa dovoljno za njihovo rješavanje.

Preliminarne informacije

  • Diferencijalne jednadžbe imaju opsežnu klasifikaciju. Ovaj članak govori o obične diferencijalne jednadžbe, odnosno o jednadžbama koje uključuju funkciju jedne varijable i njene derivate. Obične diferencijalne jednadžbe je mnogo lakše razumjeti i riješiti parcijalne diferencijalne jednadžbe, koji uključuju funkcije nekoliko varijabli. Ovaj članak ne razmatra parcijalne diferencijalne jednadžbe, jer su metode za rješavanje ovih jednadžbi obično određene njihovim specifičnim oblikom.
    • Ispod su neki primjeri običnih diferencijalnih jednadžbi.
      • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
      • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
    • Ispod su neki primjeri parcijalnih diferencijalnih jednadžbi.
      • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2) )f)(\djelimično y^(2)))=0)
      • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
  • Red diferencijalna jednadžba je određena redoslijedom najviše derivacije uključene u ovu jednačinu. Prva od gore navedenih običnih diferencijalnih jednačina je prvog reda, dok je druga drugog reda. Stepen diferencijalne jednadžbe naziva se najveća snaga na koju se podiže jedan od članova ove jednačine.
    • Na primjer, jednadžba ispod je trećeg reda i drugog stepena.
      • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ desno)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
  • Diferencijalna jednadžba je linearna diferencijalna jednadžba ako su funkcija i svi njeni derivati ​​u prvom stepenu. Inače, jednačina je nelinearna diferencijalna jednadžba. Linearne diferencijalne jednadžbe su izvanredne po tome što se od njihovih rješenja mogu napraviti linearne kombinacije, koje će također biti rješenja ove jednačine.
    • Ispod su neki primjeri linearnih diferencijalnih jednadžbi.
    • Ispod su neki primjeri nelinearnih diferencijalnih jednadžbi. Prva jednadžba je nelinearna zbog sinusnog člana.
      • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
      • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
  • Zajednička odluka obična diferencijalna jednadžba nije jedinstvena, ona uključuje proizvoljne konstante integracije. U većini slučajeva, broj proizvoljnih konstanti je jednak redu jednačine. U praksi se vrijednosti ovih konstanti određuju datim početni uslovi, odnosno vrijednostima funkcije i njenih derivata pri x = 0. (\displaystyle x=0.) Broj početnih uslova koje je potrebno pronaći privatna odluka diferencijalna jednačina, u većini slučajeva je takođe jednaka redu ove jednačine.
    • Na primjer, ovaj članak će se baviti rješavanjem donje jednadžbe. Ovo je linearna diferencijalna jednadžba drugog reda. Njegovo opće rješenje sadrži dvije proizvoljne konstante. Da bismo pronašli ove konstante, potrebno je poznavati početne uslove na x (0) (\displaystyle x(0)) I x′ (0) . (\displaystyle x"(0).) Obično su početni uslovi dati u tački x = 0 , (\displaystyle x=0,), iako to nije potrebno. Ovaj članak će također razmotriti kako pronaći određena rješenja za date početne uvjete.
      • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
      • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Koraci

Dio 1

Jednačine prvog reda

Kada koristite ovu uslugu, neke informacije se mogu prenijeti na YouTube.

  1. Linearne jednadžbe prvog reda. U ovom dijelu razmatraju se metode rješavanja linearnih diferencijalnih jednačina prvog reda u općim i posebnim slučajevima, kada su neki članovi jednaki nuli. Pretvarajmo se to y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\displaystyle p(x)) I q (x) (\displaystyle q(x)) su funkcije x . (\displaystyle x.)

    D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x ))

    P (x) = 0. (\displaystyle p(x)=0.) Prema jednoj od glavnih teorema matematičke analize, integral derivacije funkcije je također funkcija. Dakle, dovoljno je jednostavno integrirati jednadžbu da bi se pronašlo njeno rješenje. U ovom slučaju treba uzeti u obzir da se prilikom izračunavanja neodređenog integrala pojavljuje proizvoljna konstanta.

    • y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

    Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.) Koristimo metodu razdvajanje varijabli. U ovom slučaju, različite varijable se prenose na različite strane jednačine. Na primjer, možete prenijeti sve članove iz y (\displaystyle y) u jednu, a svi članovi sa x (\displaystyle x) na drugu stranu jednačine. Članovi se također mogu premještati d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x) I d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), koji su uključeni u izvedene izraze, međutim, treba imati na umu da je ovo samo konvencija, što je zgodno kada se razlikuje složena funkcija. Rasprava o ovim terminima, koji se nazivaju diferencijali, je izvan okvira ovog članka.

    • Prvo, trebate pomjeriti varijable na suprotnim stranama znaka jednakosti.
      • 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
    • Integriramo obje strane jednačine. Nakon integracije, na obje strane se pojavljuju proizvoljne konstante koje se mogu prenijeti na desnu stranu jednačine.
      • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
      • y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
    • Primjer 1.1. U posljednjem koraku koristili smo pravilo e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b)) i zamijenjen e C (\displaystyle e^(C)) on C (\displaystyle C), jer je i ona proizvoljna konstanta integracije.
      • d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
      • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = - cos ⁡ x + C ln ⁡ y = - 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e )(\frac (1)(2y))(\ mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(usklađeno)))

    P (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.) Da bismo pronašli opće rješenje, uveli smo integrirajući faktor kao funkcija x (\displaystyle x) da lijevu stranu svedemo na zajednički izvod i tako riješimo jednačinu.

    • Pomnožite obje strane sa μ (x) (\displaystyle \mu (x))
      • μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
    • Da bi se lijeva strana svela na uobičajenu derivaciju, potrebno je izvršiti sljedeće transformacije:
      • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
    • Posljednja jednakost to znači d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). Ovo je integrirajući faktor koji je dovoljan za rješavanje bilo koje linearne jednačine prvog reda. Sada možemo izvesti formulu za rješavanje ove jednadžbe u odnosu na µ , (\displaystyle \mu ,) iako je za obuku korisno uraditi sve međukalkulacije.
      • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
    • Primjer 1.2. U ovom primjeru razmatramo kako pronaći određeno rješenje diferencijalne jednadžbe sa datim početnim uvjetima.
      • t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
      • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
      • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
      • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(aligned)(\frac (\mathrm (d)) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(poravnano)))
      • 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
      • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))


    Rješavanje linearnih jednačina prvog reda (snimio Intuit - Nacionalni otvoreni univerzitet).

  2. Nelinearne jednačine prvog reda. U ovom dijelu razmatraju se metode rješavanja nekih nelinearnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda. Iako ne postoji opća metoda za rješavanje takvih jednadžbi, neke od njih se mogu riješiti korištenjem metoda u nastavku.

    D y d x = f (x, y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
    d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).) Ako je funkcija f (x, y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y)) može se podijeliti na funkcije jedne varijable, takva jednačina se zove odvojiva diferencijalna jednadžba. U ovom slučaju možete koristiti gornju metodu:

    • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )x)
    • Primjer 1.3.
      • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
      • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\ početi(poravnati)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(poravnano)))

    D y d x = g (x, y) h (x, y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).) Pretvarajmo se to g (x, y) (\displaystyle g(x, y)) I h (x, y) (\displaystyle h(x, y)) su funkcije x (\displaystyle x) I y . (\displaystyle y.) Onda homogena diferencijalna jednadžba je jednačina u kojoj g (\displaystyle g) I h (\displaystyle h) su homogene funkcije isti stepen. To jest, funkcije moraju zadovoljiti uslov g (α x , α y) = α k g (x, y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),) Gdje k (\displaystyle k) naziva se stepenom homogenosti. Bilo koja homogena diferencijalna jednadžba se može dati odgovarajućim promjena varijabli (v = y / x (\displaystyle v=y/x) ili v = x / y (\displaystyle v=x/y)) za pretvaranje u jednadžbu sa odvojivim varijablama.

    • Primjer 1.4. Gornji opis homogenosti može izgledati nejasno. Pogledajmo ovaj koncept na primjeru.
      • d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
      • Za početak, treba napomenuti da je ova jednadžba nelinearna u odnosu na y . (\displaystyle y.) Također vidimo da je u ovom slučaju nemoguće razdvojiti varijable. Međutim, ova diferencijalna jednadžba je homogena, jer su i brojnik i nazivnik homogeni sa potencijom 3. Stoga možemo izvršiti promjenu varijabli v=y/x. (\displaystyle v=y/x.)
      • d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
      • y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
      • d v d x x = − 1 v 2 . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).) Kao rezultat, imamo jednačinu za v (\displaystyle v) sa zajedničkim varijablama.
      • v (x) = − 3 log ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
      • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

    D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).) Ovo Bernoullijeva diferencijalna jednadžba- posebna vrsta nelinearne jednadžbe prvog stepena, čije se rješenje može napisati pomoću elementarnih funkcija.

    • Pomnožite obje strane jednačine sa (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
      • (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
    • Koristimo pravilo diferencijacije kompleksne funkcije na lijevoj strani i transformiramo jednačinu u linearnu jednačinu u odnosu na y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),) koji se mogu riješiti gore navedenim metodama.
      • d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

    M (x, y) + N (x, y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0.) Ovo totalna diferencijalna jednadžba. Potrebno je pronaći tzv potencijalna funkcija φ (x, y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), što zadovoljava uslov d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)

    • Za ispunjenje ovog uslova potrebno je imati totalni derivat. Ukupni derivat uzima u obzir ovisnost o drugim varijablama. Za izračunavanje ukupnog izvoda φ (\displaystyle \varphi ) By x , (\displaystyle x,) pretpostavljamo da y (\displaystyle y) takođe može zavisiti od x . (\displaystyle x.)
      • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi) )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
    • Poređenje pojmova nam daje M (x, y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi)(\partial x))) I N (x, y) = ∂ φ ∂ y . (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)).) Ovo je tipičan rezultat za jednačine sa nekoliko varijabli, gdje su mješoviti izvodi glatkih funkcija jednaki jedni drugima. Ponekad se ovaj slučaj naziva Clairautova teorema. U ovom slučaju, diferencijalna jednadžba je jednačina u totalnim diferencijalima ako je zadovoljen sljedeći uvjet:
      • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
    • Metoda za rješavanje jednadžbi u totalnim diferencijalima je slična pronalaženju potencijalnih funkcija u prisustvu nekoliko izvoda, o čemu ćemo ukratko govoriti. Prvo se integrišemo M (\displaystyle M) By x . (\displaystyle x.) Zbog M (\displaystyle M) je funkcija i x (\displaystyle x), And y , (\displaystyle y,) pri integraciji dobijamo nepotpunu funkciju φ , (\displaystyle \varphi ,) označeno kao φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). Rezultat također uključuje zavisne od y (\displaystyle y) konstanta integracije.
      • φ (x, y) = ∫ M (x, y) d x = φ ~ (x, y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
    • Nakon toga, dobiti c (y) (\displaystyle c(y)) možete uzeti parcijalni izvod rezultujuće funkcije u odnosu na y , (\displaystyle y,) izjednačiti rezultat N (x, y) (\displaystyle N(x, y)) i integrisati. Takođe se može prvo integrisati N (\displaystyle N), a zatim uzeti parcijalni izvod u odnosu na x (\displaystyle x), što će nam omogućiti da pronađemo proizvoljnu funkciju d(x). (\displaystyle d(x).) Obje metode su prikladne, a obično se bira jednostavnija funkcija za integraciju.
      • N (x , y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y))=(\frac (\ djelomični (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
    • Primjer 1.5. Možete uzeti parcijalne izvode i potvrditi da je jednadžba ispod totalna diferencijalna jednačina.
      • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
      • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(aligned)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\partial \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(usklađeno)))
      • d c d y = 0 , c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
      • x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
    • Ako diferencijalna jednadžba nije totalna diferencijalna jednačina, u nekim slučajevima možete pronaći integrirajući faktor koji će vam omogućiti da je pretvorite u ukupnu diferencijalnu jednačinu. Međutim, takve jednačine se rijetko koriste u praksi, a iako su integrirajući faktor postoji, otkrijte da se to dešava Nije lako, pa se ove jednadžbe ne razmatraju u ovom članku.

Dio 2

Jednačine drugog reda

  1. Homogene linearne diferencijalne jednadžbe sa konstantnim koeficijentima. Ove jednačine se široko koriste u praksi, pa je njihovo rješavanje od najveće važnosti. U ovom slučaju ne govorimo o homogenim funkcijama, već o činjenici da se na desnoj strani jednačine nalazi 0. U sljedećem dijelu pokazaćemo kako se odgovarajući heterogena diferencijalne jednadžbe. Ispod a (\displaystyle a) I b (\displaystyle b) su konstante.

    D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)

    Karakteristična jednačina. Ova diferencijalna jednadžba je izvanredna po tome što se može vrlo lako riješiti ako obratite pažnju na svojstva koja bi njena rješenja trebala imati. Iz jednačine se vidi da y (\displaystyle y) a njegovi derivati ​​su međusobno proporcionalni. Iz prethodnih primjera, koji su razmatrani u dijelu o jednačinama prvog reda, znamo da samo eksponencijalna funkcija ima ovo svojstvo. Stoga je moguće iznijeti ansatz(obrazovana pretpostavka) o tome kakvo će biti rješenje date jednačine.

    • Rješenje će imati oblik eksponencijalne funkcije e r x , (\displaystyle e^(rx),) Gdje r (\displaystyle r) je konstanta čija vrijednost treba pronaći. Zamijenite ovu funkciju u jednačinu i dobijete sljedeći izraz
      • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
    • Ova jednadžba pokazuje da proizvod eksponencijalne funkcije i polinoma mora biti nula. Poznato je da eksponent ne može biti jednak nuli za bilo koju vrijednost stepena. Stoga zaključujemo da je polinom jednak nuli. Stoga smo problem rješavanja diferencijalne jednadžbe sveli na mnogo jednostavniji problem rješavanja algebarske jednadžbe, koji se zove karakteristična jednadžba za datu diferencijalnu jednadžbu.
      • r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
      • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
    • Imamo dva korena. Budući da je ova diferencijalna jednadžba linearna, njeno opće rješenje je linearna kombinacija parcijalnih rješenja. Pošto je ovo jednačina drugog reda, znamo da jeste stvarno opšte rešenje, a drugih nema. Rigoroznije opravdanje za ovo leži u teoremama o postojanju i jedinstvenosti rješenja, koje se mogu naći u udžbenicima.
    • Koristan način da provjerite da li su dva rješenja linearno nezavisna je izračunavanje Wronskian. Wronskian W (\displaystyle W)- ovo je determinanta matrice u čijim se stupcima nalaze funkcije i njihovi uzastopni derivati. Teorem linearne algebre kaže da su funkcije u Wronskian-u linearno zavisne ako je Wronskian jednak nuli. U ovom odeljku možemo testirati da li su dva rešenja linearno nezavisna tako što ćemo se uveriti da Wronskian nije nula. Wronskian je važan u rješavanju nehomogenih diferencijalnih jednadžbi sa konstantnim koeficijentima metodom varijacije parametara.
      • w = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
    • U terminima linearne algebre, skup svih rješenja date diferencijalne jednadžbe čini vektorski prostor čija je dimenzija jednaka redu diferencijalne jednadžbe. U ovom prostoru se može birati osnova linearno nezavisna odluke jedni od drugih. To je moguće zbog činjenice da je funkcija y (x) (\displaystyle y(x)) validan linearni operator. Derivat je linearni operator, budući da transformiše prostor diferencijabilnih funkcija u prostor svih funkcija. Jednačine se nazivaju homogenim u slučajevima kada je za neki linearni operator L (\displaystyle L) potrebno je pronaći rješenje jednačine L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)

    Idemo sada na nekoliko konkretnih primjera. Slučaj višestrukih korijena karakteristične jednačine bit će razmatran malo kasnije, u dijelu o redukciji reda.

    Ako su korijeni r ± (\displaystyle r_(\pm )) su različiti realni brojevi, diferencijalna jednadžba ima sljedeće rješenje

    • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

    Dva kompleksna korijena. Iz osnovne teoreme algebre slijedi da rješenja polinomskih jednadžbi sa realnim koeficijentima imaju korijene koji su realni ili formiraju konjugirane parove. Stoga, ako je kompleksan broj r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta ) onda je korijen karakteristične jednadžbe r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta ) je također korijen ove jednačine. Dakle, rješenje se može zapisati u obliku c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),) međutim, ovo je složen broj i nepoželjan je u rješavanju praktičnih problema.

    • Umjesto toga, možete koristiti Ojlerova formula e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), što vam omogućava da rješenje zapišete u obliku trigonometrijskih funkcija:
      • e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ beta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
    • Sada možete umjesto konstantne c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2)) zapiši c 1 (\displaystyle c_(1)), i izraz i (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2))) zamijenjen sa c 2 . (\displaystyle c_(2).) Nakon toga dobijamo sljedeće rješenje:
      • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin \beta x))
    • Postoji još jedan način da se zapiše rješenje u smislu amplitude i faze, što je bolje za fizičke probleme.
    • Primjer 2.1. Nađimo rješenje dolje date diferencijalne jednadžbe sa datim početnim uvjetima. Za to je potrebno uzeti dobijeno rješenje, kao i njen derivat, i zamijeniti ih u početne uslove, što će nam omogućiti da odredimo proizvoljne konstante.
      • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\ x"(0)=-1)
      • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )i)
      • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1 )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
      • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
      • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\desno)\end(usmjeren)))
      • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
      • x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))


    Rješavanje diferencijalnih jednačina n-tog reda sa konstantnim koeficijentima (snimio Intuit - Nacionalni otvoreni univerzitet).

  2. Redoslijed smanjenja. Redukcija reda je metoda za rješavanje diferencijalnih jednadžbi kada je poznato jedno linearno nezavisno rješenje. Ova metoda se sastoji u snižavanju reda jednadžbe za jedan, što omogućava rješavanje jednačine korištenjem metoda opisanih u prethodnom dijelu. Neka rješenje bude poznato. Glavna ideja snižavanja reda je pronaći rješenje u donjem obrascu, gdje je potrebno definirati funkciju v (x) (\displaystyle v(x)), zamjenjujući ga u diferencijalnu jednadžbu i nalaz v(x). (\displaystyle v(x).) Razmotrimo kako se redukcija reda može koristiti za rješavanje diferencijalne jednadžbe s konstantnim koeficijentima i višestrukim korijenima.


    Višestruki korijeni homogena diferencijalna jednadžba sa konstantnim koeficijentima. Podsjetimo da jednačina drugog reda mora imati dva linearno nezavisna rješenja. Ako karakteristična jednadžba ima više korijena, skup rješenja Ne formira prostor jer su ova rješenja linearno zavisna. U ovom slučaju, redukcija reda se mora koristiti za pronalaženje drugog linearno nezavisnog rješenja.

    • Neka karakteristična jednadžba ima više korijena r (\displaystyle r). Pretpostavljamo da se drugo rješenje može zapisati kao y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), i zamijenite ga u diferencijalnu jednadžbu. U ovom slučaju većina pojmova, s izuzetkom pojma sa drugom derivacijom funkcije v , (\displaystyle v,)će se smanjiti.
      • v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
    • Primjer 2.2. S obzirom na sljedeću jednačinu, koja ima više korijena r = − 4. (\displaystyle r=-4.) Prilikom zamjene, većina termina se poništava.
      • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
      • y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x) )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\end(poravnano)))
      • v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(poravnano )v""e^(-4x)&-(\cancel (8v"e^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))\\&+(\cancel (8v"e) ^(-4x)))-(\otkaži (32ve^(-4x)))+(\otkaži (16ve^(-4x)))=0\end(poravnano)))
    • Kao i naš ansatz za diferencijalnu jednadžbu sa konstantnim koeficijentima, u ovom slučaju samo drugi izvod može biti jednak nuli. Integriramo dva puta i dobijemo željeni izraz za v (\displaystyle v):
      • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
    • Tada se opće rješenje diferencijalne jednadžbe sa konstantnim koeficijentima, ako karakteristična jednadžba ima više korijena, može zapisati u sljedećem obliku. Radi praktičnosti, možete zapamtiti da je za postizanje linearne nezavisnosti dovoljno jednostavno pomnožiti drugi član sa x (\displaystyle x). Ovaj skup rješenja je linearno nezavisan i tako smo pronašli sva rješenja ove jednačine.
      • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

    D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.) Smanjenje narudžbe je primjenjivo ako je rješenje poznato y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x)), koji se može naći ili dati u iskazu problema.

    • Tražimo rješenje u formi y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x)) i ubaci ga u ovu jednačinu:
      • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
    • Zbog y 1 (\displaystyle y_(1)) je rješenje diferencijalne jednadžbe, svi pojmovi sa v (\displaystyle v) se smanjuju. Kao rezultat toga, ostaje linearna jednačina prvog reda. Da bismo ovo jasnije vidjeli, promijenimo varijable w (x) = v′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
      • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
      • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\ frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\desno)(\mathrm (d) )x\desno))
      • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
    • Ako se integrali mogu izračunati, dobivamo opće rješenje kao kombinaciju elementarnih funkcija. U suprotnom, rješenje se može ostaviti u integralnom obliku.

  3. Cauchy-Eulerova jednadžba. Cauchy-Eulerova jednadžba je primjer diferencijalne jednadžbe drugog reda sa varijable koeficijenti, koji ima tačna rješenja. Ova se jednadžba koristi u praksi, na primjer, za rješavanje Laplaceove jednadžbe u sfernim koordinatama.

    X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)

    Karakteristična jednačina. Kao što vidite, u ovoj diferencijalnoj jednadžbi, svaki član sadrži faktor snage, čiji je stepen jednak redu odgovarajuće derivacije.

    • Dakle, može se pokušati tražiti rješenje u formi y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),) gde definisati n (\displaystyle n), baš kao što smo tražili rješenje u obliku eksponencijalne funkcije za linearnu diferencijalnu jednadžbu s konstantnim koeficijentima. Nakon diferencijacije i zamjene, dobivamo
      • x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
    • Da bismo koristili karakterističnu jednačinu, moramo to pretpostaviti x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). Dot x = 0 (\displaystyle x=0) pozvao regularna singularna tačka diferencijalna jednadžba. Takve tačke su važne pri rješavanju diferencijalnih jednadžbi korištenjem nizova stepena. Ova jednadžba ima dva korijena, koji mogu biti različiti i realni, višestruki ili složeni konjugirani.
      • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b) )))(2)))

    Dva različita prava korena. Ako su korijeni n ± (\displaystyle n_(\pm )) su realni i različiti, tada rješenje diferencijalne jednadžbe ima sljedeći oblik:

    • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

    Dva kompleksna korijena. Ako karakteristična jednadžba ima korijen n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), rješenje je složena funkcija.

    • Da bismo transformirali rješenje u realnu funkciju, vršimo promjenu varijabli x = e t , (\displaystyle x=e^(t),) to je t = ln ⁡ x , (\displaystyle t=\ln x,) i koristite Ojlerovu formulu. Slične radnje su izvedene ranije prilikom definiranja proizvoljnih konstanti.
      • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
    • Tada se generalno rješenje može zapisati kao
      • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

    Višestruki korijeni. Da bi se dobilo drugo linearno nezavisno rješenje, potrebno je ponovo smanjiti redoslijed.

    • Potrebno je dosta računanja, ali princip je isti: zamjenjujemo y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1)) u jednačinu čije je prvo rješenje y 1 (\displaystyle y_(1)). Nakon redukcija dobija se sljedeća jednačina:
      • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
    • Ovo je linearna jednačina prvog reda u odnosu na v′ (x) . (\displaystyle v"(x).) Njegovo rešenje je v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.) Dakle, rješenje se može napisati u sljedećem obliku. Prilično je lako zapamtiti - da biste dobili drugo linearno nezavisno rješenje, potreban vam je samo dodatni pojam sa ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
      • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

  4. Nehomogene linearne diferencijalne jednadžbe sa konstantnim koeficijentima. Nehomogene jednadžbe imaju oblik L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),) Gdje f (x) (\displaystyle f(x))- takozvani besplatni član. Prema teoriji diferencijalnih jednadžbi, opšte rješenje ove jednačine je superpozicija privatna odluka y p (x) (\displaystyle y_(p)(x)) I dodatno rešenje y c (x) . (\displaystyle y_(c)(x).) Međutim, u ovom slučaju određeno rješenje ne znači rješenje dato početnim uvjetima, već rješenje koje je zbog prisustva nehomogenosti (slobodnog člana). Komplementarno rješenje je rješenje odgovarajuće homogene jednadžbe u kojoj f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.) Opšte rješenje je superpozicija ova dva rješenja, budući da L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), i od tada L [ y c ] = 0 , (\displaystyle L=0,) takva superpozicija je zaista opšte rešenje.

    D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))

    Metoda neodređenih koeficijenata. Metoda neodređenih koeficijenata koristi se u slučajevima kada je slobodni termin kombinacija eksponencijalnih, trigonometrijskih, hiperboličkih ili stepenskih funkcija. Samo je za ove funkcije zajamčeno da imaju konačan broj linearno nezavisnih izvoda. U ovom odjeljku ćemo pronaći posebno rješenje jednačine.

    • Uporedite pojmove u f (x) (\displaystyle f(x)) sa terminima u ignorisanju konstantnih faktora. Moguća su tri slučaja.
      • Nema identičnih članova. U ovom slučaju, posebno rješenje y p (\displaystyle y_(p))će biti linearna kombinacija pojmova iz y p (\displaystyle y_(p))
      • f (x) (\displaystyle f(x)) sadrži člana x n (\displaystyle x^(n)) i član iz y c , (\displaystyle y_(c),) Gdje n (\displaystyle n) je nula ili pozitivan cijeli broj, a ovaj izraz odgovara jednom korijenu karakteristične jednadžbe. U ovom slučaju y p (\displaystyle y_(p)) sastojat će se od kombinacije funkcija x n + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),) njegovi linearno nezavisni derivati, kao i drugi termini f (x) (\displaystyle f(x)) i njihovi linearno nezavisni derivati.
      • f (x) (\displaystyle f(x)) sadrži člana h (x) , (\displaystyle h(x),) što je djelo x n (\displaystyle x^(n)) i član iz y c , (\displaystyle y_(c),) Gdje n (\displaystyle n) je jednak 0 ili pozitivan cijeli broj, a ovaj izraz odgovara višestruko korijen karakteristične jednadžbe. U ovom slučaju y p (\displaystyle y_(p)) je linearna kombinacija funkcije x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(Gdje s (\displaystyle s)- višestrukost korijena) i njegovih linearno nezavisnih derivata, kao i drugih članova funkcije f (x) (\displaystyle f(x)) i njegovih linearno nezavisnih derivata.
    • Hajde da zapišemo y p (\displaystyle y_(p)) kao linearna kombinacija gornjih pojmova. Zbog ovih koeficijenata u linearnoj kombinaciji, ova metoda se naziva "metoda neodređenih koeficijenata". Po pojavljivanju onih sadržanih u y c (\displaystyle y_(c)) njihovi članovi mogu biti odbačeni zbog prisustva proizvoljnih konstanti u y c . (\displaystyle y_(c).) Nakon toga vršimo zamjenu y p (\displaystyle y_(p)) u jednačinu i izjednačiti slične pojmove.
    • Određujemo koeficijente. U ovoj fazi se dobija sistem algebarskih jednadžbi, koji se obično može rešiti bez posebnih problema. Rešenje ovog sistema omogućava dobijanje y p (\displaystyle y_(p)) i time riješiti jednačinu.
    • Primjer 2.3. Razmotrimo nehomogenu diferencijalnu jednačinu čiji slobodni član sadrži konačan broj linearno nezavisnih izvoda. Konkretno rješenje takve jednačine može se naći metodom neodređenih koeficijenata.
      • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
      • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt(6))t)
      • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
      • 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t ( \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(usklađeno)))
      • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ kraj (slučajevi)))
      • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6) ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

    Lagrangeova metoda. Lagrangeova metoda, ili metoda varijacije proizvoljnih konstanti, je opštija metoda za rješavanje nehomogenih diferencijalnih jednadžbi, posebno u slučajevima kada slobodni član ne sadrži konačan broj linearno nezavisnih izvoda. Na primjer, sa besplatnim članovima preplanulost ⁡ x (\displaystyle \tan x) ili x − n (\displaystyle x^(-n)) za pronalaženje određenog rješenja potrebno je koristiti Lagrangeovu metodu. Lagrangeova metoda se čak može koristiti i za rješavanje diferencijalnih jednadžbi s promjenjivim koeficijentima, iako se u ovom slučaju, s izuzetkom Cauchy-Eulerove jednadžbe, rjeđe koristi, jer se dodatno rješenje obično ne izražava elementarnim funkcijama.

    • Pretpostavimo da rješenje ima sljedeći oblik. Njegov derivat je dat u drugom redu.
      • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
      • y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
    • Budući da predloženo rješenje sadrži dva nepoznate količine, potrebno je nametnuti dodatno stanje. Ovaj dodatni uslov biramo u sljedećem obliku:
      • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
      • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
      • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
    • Sada možemo dobiti drugu jednačinu. Nakon zamjene i preraspodjele članova, možete grupirati članove sa v 1 (\displaystyle v_(1)) i članovi iz v 2 (\displaystyle v_(2)). Ovi uslovi su otkazani jer y 1 (\displaystyle y_(1)) I y 2 (\displaystyle y_(2)) su rješenja odgovarajuće homogene jednadžbe. Kao rezultat, dobijamo sledeći sistem jednačina
      • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+) v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(poravnano)))
    • Ovaj sistem se može transformisati u matričnu jednačinu oblika A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),)čije je rešenje x = A − 1 b . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).) Za matricu 2 × 2 (\displaystyle 2\puta 2) inverzna matrica se nalazi dijeljenjem sa determinantom, permutiranjem dijagonalnih elemenata i obrnutim predznakom vandijagonalnih elemenata. U stvari, determinanta ove matrice je Wronskian.
      • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ end(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
    • Izrazi za v 1 (\displaystyle v_(1)) I v 2 (\displaystyle v_(2)) su navedene u nastavku. Kao iu metodi redukcije reda, i u ovom slučaju se prilikom integracije pojavljuje proizvoljna konstanta, koja uključuje dodatno rješenje u opšte rješenje diferencijalne jednadžbe.
      • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
      • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)


    Predavanje Nacionalnog otvorenog univerziteta Intuit pod nazivom "Linearne diferencijalne jednadžbe n-tog reda sa konstantnim koeficijentima".

Praktična upotreba

Diferencijalne jednadžbe uspostavljaju odnos između funkcije i jednog ili više njenih izvoda. Budući da su takvi odnosi tako česti, diferencijalne jednadžbe su našle široku primjenu u raznim područjima, a budući da živimo u četiri dimenzije, ove jednadžbe su često diferencijalne jednadžbe u privatni derivati. Ovaj odjeljak razmatra neke od najvažnijih jednačina ovog tipa.

  • Eksponencijalni rast i propadanje. radioaktivnog raspada. Složena kamata. Brzina hemijskih reakcija. Koncentracija lijekova u krvi. Neograničen rast stanovništva. Newton-Richmann zakon. U stvarnom svijetu postoji mnogo sistema u kojima je stopa rasta ili propadanja u bilo kojem trenutku proporcionalna količini u tom trenutku ili se može dobro aproksimirati modelom. To je zato što je rješenje ove diferencijalne jednadžbe, eksponencijalna funkcija, jedna od najvažnijih funkcija u matematici i drugim naukama. Općenito, pod kontrolisanim rastom stanovništva, sistem može uključiti dodatne uslove koji ograničavaju rast. U donjoj jednačini, konstanta k (\displaystyle k) može biti veći ili manji od nule.
    • d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
  • Harmonične vibracije. I u klasičnoj i u kvantnoj mehanici, harmonijski oscilator je jedan od najvažnijih fizičkih sistema zbog svoje jednostavnosti i široke primjene za aproksimaciju složenijih sistema kao što je jednostavno klatno. U klasičnoj mehanici, harmonijske oscilacije se opisuju jednadžbom koja povezuje položaj materijalne tačke sa njenim ubrzanjem kroz Hookeov zakon. U ovom slučaju mogu se uzeti u obzir i sile prigušenja i pokretanja. U donjem izrazu x ˙ (\displaystyle (\dot (x)))- vremenski derivat od x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \beta ) je parametar koji opisuje silu prigušenja, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- ugaona frekvencija sistema, F (t) (\displaystyle F(t)) je pokretačka snaga koja zavisi od vremena. Harmonski oscilator je prisutan i u elektromagnetnim oscilatornim kolima, gdje se može implementirati s većom preciznošću nego u mehaničkim sistemima.
    • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
  • Beselova jednačina. Beselova diferencijalna jednačina se koristi u mnogim oblastima fizike, uključujući rešenje talasne jednačine, Laplasovu jednačinu i Schrödingerovu jednačinu, posebno u prisustvu cilindrične ili sferne simetrije. Ova diferencijalna jednadžba drugog reda s promjenjivim koeficijentima nije Cauchy-Eulerova jednadžba, pa se njena rješenja ne mogu zapisati kao elementarne funkcije. Rješenja Besselove jednadžbe su Beselove funkcije, koje su dobro proučene zbog činjenice da se koriste u mnogim područjima. U donjem izrazu α (\displaystyle \alpha ) je konstanta koja se poklapa red Beselove funkcije.
    • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
  • Maxwellove jednadžbe. Zajedno sa Lorentzovom silom, Maxwellove jednadžbe čine osnovu klasične elektrodinamike. Ovo su četiri parcijalne diferencijalne jednadžbe za električnu energiju E (r, t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t)) i magnetna B (r, t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t)) polja. U izrazima ispod ρ = ρ (r, t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- gustina naelektrisanja, J = J (r, t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t)) je gustoća struje, i ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0)) I μ 0 (\displaystyle \mu _(0)) su električna i magnetna konstanta, respektivno.
    • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\begin(cdot)\nabla (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(usmjeren)))
  • Schrödingerova jednadžba. U kvantnoj mehanici, Schrödingerova jednadžba je osnovna jednadžba kretanja koja opisuje kretanje čestica u skladu s promjenom valne funkcije Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t)) sa vremenom. Jednačina kretanja je opisana ponašanjem Hamiltonian H ^ (\displaystyle (\šešir(H))) - operater, koji opisuje energiju sistema. Jedan od dobro poznatih primjera Schrödingerove jednadžbe u fizici je jednačina za jednu nerelativističku česticu, koja je podvrgnuta potencijalu V (r, t) (\displaystyle V((\mathbf (r) ),t)). Mnogi sistemi su opisani vremenski zavisnom Schrödingerovom jednačinom, sa jednačinom na lijevoj strani E Ψ , (\displaystyle E\Psi ,) Gdje E (\displaystyle E) je energija čestice. U izrazima ispod ℏ (\displaystyle \hbar ) je redukovana Plankova konstanta.
    • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \psi )(\partial t))=(\hat (H))\psi )
    • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \psi )(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi )
  • talasna jednačina. Nemoguće je zamisliti fiziku i tehnologiju bez valova, oni su prisutni u svim vrstama sistema. Općenito, valovi su opisani jednadžbom ispod, u kojoj u = u (r, t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t)) je željena funkcija, i c (\displaystyle c)- eksperimentalno određena konstanta. d'Alembert je prvi otkrio da je za jednodimenzionalni slučaj rješenje valne jednačine bilo koji funkcija s argumentom x − c t (\displaystyle x-ct), koji opisuje proizvoljan talas koji se širi udesno. Opće rješenje za jednodimenzionalni slučaj je linearna kombinacija ove funkcije s drugom funkcijom s argumentom x + c t (\displaystyle x+ct), koji opisuje talas koji se širi lijevo. Ovo rješenje je predstavljeno u drugom redu.
    • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
    • u (x, t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
  • Navier-Stokesove jednadžbe. Navier-Stokesove jednačine opisuju kretanje fluida. Budući da su fluidi prisutni u gotovo svim oblastima nauke i tehnologije, ove jednadžbe su izuzetno važne za predviđanje vremena, dizajn aviona, okeanske struje i mnoge druge primjene. Navier-Stokesove jednadžbe su nelinearne parcijalne diferencijalne jednadžbe i u većini slučajeva ih je vrlo teško riješiti, jer nelinearnost dovodi do turbulencije, a da bi se numeričkim metodama dobilo stabilno rješenje, rastavlja se na vrlo male ćelije su neophodne, što zahteva značajnu računarsku snagu. Za praktične svrhe u hidrodinamici, metode kao što je usrednjavanje vremena koriste se za modeliranje turbulentnih tokova. Čak i osnovna pitanja, kao što je postojanje i jedinstvenost rješenja za nelinearne parcijalne diferencijalne jednadžbe, složeni su problemi, a dokazivanje postojanja i jedinstvenosti rješenja za Navier-Stokesove jednadžbe u tri dimenzije spada među matematičke probleme milenijuma. . Ispod su jednačina protoka nestišljivog fluida i jednačina kontinuiteta.
    • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\partial (\mathbf (u) )) )(\partial t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)
  • Mnoge diferencijalne jednadžbe jednostavno se ne mogu riješiti gore navedenim metodama, posebno onima spomenutim u posljednjem odjeljku. Ovo se primjenjuje kada jednačina sadrži promjenjive koeficijente i nije Cauchy-Eulerova jednačina, ili kada je jednadžba nelinearna, osim u nekoliko vrlo rijetkih slučajeva. Međutim, gore navedene metode omogućuju rješavanje mnogih važnih diferencijalnih jednadžbi koje se često susreću u različitim područjima nauke.
  • Za razliku od diferencijacije, koja vam omogućava da pronađete derivaciju bilo koje funkcije, integral mnogih izraza ne može se izraziti u elementarnim funkcijama. Stoga nemojte gubiti vrijeme pokušavajući izračunati integral tamo gdje je to nemoguće. Pogledajte tabelu integrala. Ako se rješenje diferencijalne jednadžbe ne može izraziti u terminima elementarnih funkcija, ponekad se može predstaviti u integralnom obliku, a u ovom slučaju nije bitno da li se ovaj integral može analitički izračunati.

Upozorenja

  • Izgled diferencijalna jednadžba može biti pogrešna. Na primjer, ispod su dvije diferencijalne jednadžbe prvog reda. Prva jednačina se lako rješava metodama opisanim u ovom članku. Na prvi pogled mala promjena y (\displaystyle y) on y 2 (\displaystyle y^(2)) u drugoj jednačini ga čini nelinearnim i postaje vrlo teško riješiti.
    • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
    • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))

Aplikacija

Rješavanje diferencijalnih jednadžbi online na stranici za učenike da konsoliduju gradivo koje su učili. I vježbajte svoje praktične vještine. Diferencijalne jednadžbe online. Difuras online, online matematičko rješenje. Korak po korak rješavanje matematičkih problema na mreži. Red, ili stepen, diferencijalne jednadžbe je najviši red izvedenica uključenih u nju. Diferencijalne jednadžbe online. Proces rješavanja diferencijalne jednadžbe naziva se integracija. Problem integracije diferencijalne jednadžbe se smatra riješenim ako se nepoznata funkcija može kvadraturirati, bez obzira da li je rezultirajući integral izražen u konačnom obliku u terminima poznatih funkcija ili ne. Korak po korak rješenje diferencijalnih jednadžbi na mreži. Sve diferencijalne jednadžbe se mogu podijeliti na obične diferencijalne jednadžbe (ODE), koje uključuju samo funkcije (i njihove derivate) jednog argumenta, i parcijalne diferencijalne jednadžbe (PDE), u kojima ulazne funkcije zavise od mnogih varijabli. Diferencijalne jednadžbe online. Postoje i stohastičke diferencijalne jednadžbe (SDE) koje uključuju slučajne procese. Korak po korak rješenje diferencijalnih jednadžbi na mreži. U zavisnosti od kombinacija izvoda, funkcija, nezavisnih varijabli, diferencijalne jednadžbe se dijele na linearne i nelinearne, sa konstantnim ili varijabilnim koeficijentima, homogene ili nehomogene. Zbog važnosti primjene, kvazilinearne (linearne u odnosu na više izvode) parcijalne diferencijalne jednadžbe izdvajaju se u posebnu klasu. Rješenja diferencijalnih jednadžbi dijele se na opća i partikularna rješenja. Diferencijalne jednadžbe online. Opća rješenja uključuju neizvjesne konstante, a za parcijalne diferencijalne jednadžbe - proizvoljne funkcije nezavisnih varijabli, koje se mogu rafinirati iz dodatnih uslova integracije (početni uvjeti za obične diferencijalne jednadžbe, početni i granični uvjeti za parcijalne diferencijalne jednadžbe). Korak po korak rješenje diferencijalnih jednadžbi na mreži. Nakon određivanja oblika ovih konstantnih i neodređenih funkcija, rješenja postaju partikularna. Potraga za rješenjima običnih diferencijalnih jednadžbi dovela je do uspostavljanja klase specijalnih funkcija – funkcija koje se često susreću u aplikacijama koje nisu izražene u terminima poznatih elementarnih funkcija. Diferencijalne jednadžbe online. Njihova svojstva su detaljno proučavana, sastavljene tablice vrijednosti, utvrđene međusobne veze itd. . Skup nabrojanih brojeva može se istražiti. Najbolji odgovor na zadati problem. Kako pronaći u prvoj aproksimaciji izlazni vektor u područje konvergencije oko diferencijalnih jednadžbi bez pojašnjenja pronađene gornje granice. Izbor je očigledan za povećanje matematičkih funkcija. Postoji progresivna metoda iznad nivoa istraživanja. Kako bi se uskladio s početnim uvjetom problema, rješenje diferencijala će pomoći da se pronađe jednovrijedna odabrana vrijednost. Moguće je da on odmah može utvrditi nepoznato. Kao iu prethodnom primjeru indiciranja rješenja matematičkog problema, linearne diferencijalne jednadžbe su odgovor na određeni problem u određenom vremenskom okviru. Održavanje studijske procedure nije lokalno definirano. Biće tako da za svakog studenta postoji primjer i rješenje diferencijalnih jednačina će odrediti osoba koja je dodijeljena odgovornom izvršiocu iz najmanje dvije vrijednosti. Uzmite funkciju opće vrijednosti na određenom segmentu i upozorite duž koje ose će biti praznina. Proučavanjem diferencijalnih jednadžbi na mreži, moguće je nedvosmisleno pokazati koliko je važan rezultat, ako se daje iz početnih uslova. Izrezivanje opsega iz definicije funkcije nije moguće, jer ne postoji lokalna definicija zadatka. Budući da se nalazi iz sistema jednačina, odgovor sadrži varijablu koja se može izračunati u opštem smislu, ali će prirodno biti moguće riješiti diferencijalnu jednačinu online bez ove akcije za određivanje navedenog uvjeta. U blizini intervala segmenta, može se vidjeti kako je rješenje diferencijalnih jednadžbi na mreži u stanju unaprijediti rezultat istraživanja u pozitivnom smjeru u trenutku prekida znanja učenika. Općeprihvaćenim pristupom poslovanju ne dobija se uvijek najbolje. Na nivou 2x, može se korisno vidjeti sve potrebne prirodne linearne diferencijalne jednadžbe, ali sposobnost izračunavanja numeričke vrijednosti će dovesti do povećanja znanja. Prema bilo kojoj tehnici u matematici, postoje diferencijalne jednadžbe koje su predstavljene u suštinski različitim izrazima, kao što su homogeni ili složeni. Nakon opće analize proučavanja funkcije, postat će jasno da rješenje diferencijala kao skupa mogućnosti predstavlja jasnu grešku u vrijednostima. Istina u tome leži u prostoru iznad apscisa. Negdje u domenu kompleksne funkcije, u nekom trenutku u njenoj definiciji, linearne diferencijalne jednadžbe će moći da predstave odgovor u analitičkom obliku. odnosno, uopšteno govoreći, kao suštinu. Ništa se neće promijeniti prilikom promjene varijable. Međutim, potrebno je sa posebnim zanimanjem zaviriti u odgovor. U stvari, kalkulator na kraju mijenja omjer, odnosno kako je rješenje diferencijalnih jednadžbi proporcionalno globalnoj vrijednosti pokazuje se unutar željenog rješenja. U nekim slučajevima, masovno upozorenje o grešci je neizbježno. Diferencijalne jednadžbe na mreži provode opću ideju o problemu, ali na kraju, morate osigurati pozitivne aspekte unakrsnog proizvoda što je prije moguće. U matematici slučajevi greške u teoriji brojeva nisu neuobičajeni. Definitivno treba provjeriti. Naravno, bolje je dati ovo pravo profesionalcima u svojoj oblasti i oni će pomoći u rješavanju diferencijalne jednadžbe na mreži, jer je njihovo iskustvo kolosalno i pozitivno. Razlika na površinama figura i površini je tolika da nije rješenje diferencijalnih jednadžbi na mreži ono koje će vam omogućiti da vidite, već je skup objekata koji se ne sijeku takav da je prava paralelna s osom. Kao rezultat, možete dobiti dvostruko više vrijednosti. Budući da je implicitno, naš pojam ispravnosti formalne notacije omogućava linearne diferencijalne jednadžbe kako u području gledanja tako iu odnosu na namjerno precjenjivanje kvaliteta rezultata. U reviji se više puta objavljuje rasprava o temi koja je interesantna svim studentima. Tokom izučavanja čitavog kursa predavanja, pažnju ćemo usmjeriti na diferencijalne jednadžbe i srodna područja proučavanja nauke, ako ne i protiv istine. Mnoge etape se mogu izbjeći na početku putovanja. Ako je diferencijalno rješenje još uvijek suštinski nešto novo za studente, onda se staro uopće ne zaboravlja, već napreduje u budućnost velikom brzinom razvoja. U početku se uslovi za problem iz matematike razlikuju, ali to je naznačeno u pasusu desno. Nakon isteka vremena određenog definicijom, nije isključena mogućnost proporcionalno zavisnog ishoda na različitim ravnima kretanja vektora. Takav jednostavan slučaj se ispravlja na isti način kao što se linearne diferencijalne jednadžbe opisuju na kalkulatoru u općem obliku, tako da će biti brže i pomak proračuna neće dovesti do pogrešnog mišljenja. Samo pet slučajeva imenovanih prema teoriji može pomjeriti granice onoga što se dešava. Naše rješenje diferencijalnih jednadžbi pomoći će da se ručno izračuna vrijednost u brojevima već u prvim fazama dekompozicije funkcionalnog prostora. Na pravim mjestima potrebno je predstaviti dodirnu tačku četiri linije u opštem smislu. Ali ako morate izostaviti zadatak, onda će biti lako izjednačiti složenost. Početni podaci su dovoljni da se dizajnira susjedni krak, a online diferencijalne jednadžbe izgledaju lijevo poravnate i jednostrana površina je usmjerena prema vektorskom rotoru. Iznad gornje granice moguće su numeričke vrijednosti iznad naznačenog stanja. Moguće je uzeti u obzir matematičku formulu i riješiti diferencijalnu jednadžbu online zbog tri nepoznanice u općoj vrijednosti proporcije. Lokalna metoda obračuna je priznata kao važeća. Koordinatni sistem je pravougaonog oblika u relativnom kretanju ravni. Općenito online rješenje diferencijalnih jednadžbi omogućava nedvosmisleno izvođenje zaključka u korist računskog pregleda kroz definicije matrice na cijeloj pravoj liniji koja se nalazi iznad grafa eksplicitno određene funkcije. Rješenje se vidi ako vektor kretanja primijenite na tačku kontakta tri hemisfere. Cilindar se dobija rotacijom pravougaonika oko stranice i linearne diferencijalne jednadžbe mogu pokazati smer kretanja tačke prema datim izrazima njenog zakona kretanja. Početni podaci su tačni i problem iz matematike je zamjenjiv pod jednim jednostavnim uvjetom. Međutim, zbog okolnosti, s obzirom na složenost podproblema postavljanja, diferencijalne jednačine pojednostavljuju proces izračunavanja numeričkih prostora na nivou trodimenzionalnog prostora. Lako je dokazati suprotno, ali je moguće izbjeći, kao u gornjem primjeru. U višoj matematici daju se sljedeće tačke: kada se problem svodi na pojednostavljeni oblik, na njega treba uložiti najveći mogući napor učenika. Linije postavljene jedna na drugu spadaju u ofset. Pro diferencijalno rješenje i dalje nastavlja prednost navedene metode na krivoj liniji. Ako u početku ne prepoznate ono što vam treba, onda će matematička formula napraviti novu vrijednost izraza. Cilj je optimalan pristup rješavanju zadataka koje postavlja profesor. Ne treba pretpostaviti da će linearne diferencijalne jednadžbe u pojednostavljenom obliku premašiti očekivani rezultat. Postavljamo tri vektora na konačno složenu površinu. ortogonalne jedna na drugu. Izračunajmo proizvod. Izvršimo dodavanje većeg broja simbola i ispišemo sve varijable funkcije iz rezultirajućeg izraza. Postoji proporcija. Nekoliko radnji koje prethode kraju proračuna neće dati jednoznačan odgovor na rješenje diferencijalnih jednadžbi odmah, već tek nakon što zadano vrijeme protekne duž y-ose. Lijevo od točke diskontinuiteta, date implicitno iz funkcije, povlačimo os ortogonalnu na najbolji rastući vektor i postavljamo online diferencijalne jednadžbe duž najmanje granične vrijednosti donje granice matematičkog objekta. Dodajmo dodatni argument u područje prekida funkcije. Desno od tačaka krive linije, formule koje smo napisali za svođenje na zajednički nazivnik pomoći će u rješavanju diferencijalne jednadžbe na mreži. Jedini ispravan pristup je onaj koji će rasvijetliti neriješene probleme iz teorije u praksu, u opštem slučaju nedvosmisleno. Prave u smjeru koordinata datih tačaka nikada nisu zatvorile ekstremni položaj kvadrata, međutim, rješenje diferencijalnih jednadžbi online pomoći će i studentima i nama, i tek početnicima u ovoj oblasti, da proučavamo matematiku. Riječ je o mogućnosti zamjene argumenta vrijednosti u sve značajne podredove jednog polja. U principu, kao što bi se očekivalo, naše linearne diferencijalne jednadžbe su nešto izolovano u jednom konceptu redukovanog značenja. Kao pomoć studentima, jedan od najboljih među sličnim uslugama je kalkulator. Prođite kroz sve kurseve i odaberite najbolji za vas.

=

Razmotrimo linearnu homogenu jednačinu drugog reda, tj. jednačina

i ustanoviti neka svojstva njegovih rješenja.

Nekretnina 1
Ako je rješenje linearne homogene jednadžbe, onda C, Gdje C- proizvoljna konstanta, je rješenje iste jednačine.
Dokaz.
Zamjena u lijevu stranu razmatrane jednačine C, dobijamo: ,
ali, jer je rješenje originalne jednadžbe.
dakle,

i validnost ove osobine je dokazana.

Nekretnina 2
Zbir dva rješenja linearne homogene jednadžbe je rješenje iste jednačine.
Dokaz.
Neka je i biti rješenja razmatrane jednadžbe, onda
i .
Zamjenom sada + u jednadžbi koja se razmatra, imat ćemo:
, tj. + je rješenje originalne jednadžbe.
Iz dokazanih svojstava slijedi da, poznavajući dva posebna rješenja i linearnu homogenu jednačinu drugog reda, možemo dobiti rješenje , u zavisnosti od dvije proizvoljne konstante, tj. od onoliko konstanti koliko treba da sadrži opšte rešenje jednačine drugog reda. Ali da li će ovo rješenje biti generalno, tj. Da li je moguće, izborom proizvoljnih konstanti, zadovoljiti proizvoljno date početne uslove?
U odgovoru na ovo pitanje koristićemo koncept linearne nezavisnosti funkcija, koji se može definisati na sledeći način.

Dvije funkcije i se pozivaju linearno nezavisna na nekom intervalu, ako njihov odnos na ovom intervalu nije konstantan, tj. Ako
.
U suprotnom, funkcije se pozivaju linearno zavisna.
Drugim riječima, dvije funkcije i nazivaju se linearno ovisne o nekom intervalu ako na cijelom intervalu.

Primjeri

1. Funkcije y 1 = e x i y 2 = e - x linearno su nezavisni za sve vrijednosti x, jer
.
2. Funkcije y 1 = e x i y 2 = 5e x su linearno zavisne, pošto
.

Teorema 1.

Ako su funkcije i linearno zavisne od nekog intervala, tada se determinanta zove Odrednica Vronskog ovih funkcija, identično je jednaka nuli na ovom intervalu.

Dokaz.

Ako
,
gdje , zatim i .
dakle,
.
Teorema je dokazana.

Komentar.
Odrednica Vronskog koja se pojavljuje u razmatranoj teoremi obično se označava slovom W ili simbole .
Ako su funkcije i rješenja linearne homogene jednadžbe drugog reda, onda za njih vrijedi sljedeća inverzna i, osim toga, jača teorema.

Teorema 2.

Ako determinanta Wronskyja, sastavljena za rješenja i linearnu homogenu jednačinu drugog reda, nestane barem u jednoj tački, tada su ova rješenja linearno zavisna.

Dokaz.

Neka determinanta Wronskyja nestane u tački , tj. =0,
i neka i .
Razmotrimo linearni homogeni sistem

s obzirom na nepoznate i .
Determinanta ovog sistema poklapa se sa vrednošću determinante Vronskog at
x=, tj. poklapa se sa , i, prema tome, jednak je nuli. Dakle, sistem ima rješenje različito od nule i ( i nisu jednaki nuli). Koristeći ove vrijednosti i, razmotrite funkciju. Ova funkcija je rješenje iste jednadžbe kao i funkcije i . Osim toga, ova funkcija zadovoljava nulte početne uvjete: , jer i .
S druge strane, očito je da je rješenje jednadžbe koja zadovoljava nulte početne uslove funkcija y=0.
Zbog jedinstvenosti rješenja imamo: . Otkud to sledi
,
one. funkcije i linearno su zavisne. Teorema je dokazana.

Posljedice.

1. Ako je determinanta Wronskyja koja se pojavljuje u teoremama jednaka nuli za neku vrijednost x=, tada je jednak nuli za bilo koju vrijednost xiz razmatranog intervala.

2. Ako su rješenja i linearno nezavisna, onda Wronskyjeva determinanta ne nestaje ni u jednoj tački razmatranog intervala.

3. Ako je determinanta Wronskyja barem u jednoj tački različita od nule, tada su rješenja i linearno nezavisna.

Teorema 3.

Ako su i dva linearno nezavisna rješenja homogene jednadžbe drugog reda , tada je funkcija , gdje su i proizvoljne konstante, općenito rješenje ove jednadžbe.

Dokaz.

Kao što je poznato, funkcija je rješenje razmatrane jednadžbe za bilo koje vrijednosti i . Dokažimo sada da bez obzira na početne uslove
i ,
mogu se izabrati vrijednosti proizvoljnih konstanti i tako da odgovarajuće određeno rješenje zadovoljava zadate početne uslove.
Zamjenom početnih uslova u jednakosti dobijamo sistem jednačina
.
Iz ovog sistema moguće je odrediti i , jer odrednica ovog sistema

je determinanta Wronskyja za x= i, prema tome, nije jednaka nuli (zbog linearne nezavisnosti rješenja i ).

; .

Konkretno rješenje za dobijene vrijednosti i zadovoljava zadate početne uslove. Dakle, teorema je dokazana.

Primjeri

Primjer 1

Opće rješenje jednačine je rješenje .
stvarno,
.

Stoga su sinx i cosx funkcije linearno nezavisne. Ovo se može potvrditi razmatranjem odnosa ovih funkcija:

.

Primjer 2

Rješenje y = C 1 e x + C 2 e -x jednačina je opšta, jer .

Primjer 3

Jednačina , čiji su koeficijenti i
su kontinuirani na bilo kojem intervalu koji ne sadrži tačku x = 0, dopušta određena rješenja

(lako provjeriti zamjenom). Stoga je njegovo generalno rješenje:
.

Komentar

Utvrdili smo da se opšte rješenje linearne homogene jednadžbe drugog reda može dobiti poznavanjem bilo koja dva linearno nezavisna partikularna rješenja ove jednačine. Međutim, ne postoje opće metode za pronalaženje takvih parcijalnih rješenja u konačnom obliku za jednačine s promjenjivim koeficijentima. Za jednačine sa konstantnim koeficijentima takva metoda postoji i kasnije ćemo je razmotriti.


U nekim problemima fizike ne može se uspostaviti direktna veza između veličina koje opisuju proces. Ali postoji mogućnost da se dobije jednakost koja sadrži derivate funkcija koje se proučavaju. Tako nastaju diferencijalne jednadžbe i potreba za njihovim rješavanjem kako bi se pronašla nepoznata funkcija.

Ovaj članak je namijenjen onima koji se suočavaju s problemom rješavanja diferencijalne jednadžbe u kojoj je nepoznata funkcija funkcija jedne varijable. Teorija je izgrađena na takav način da sa nultim razumijevanjem diferencijalnih jednadžbi možete raditi svoj posao.

Svaka vrsta diferencijalnih jednadžbi povezana je s metodom rješenja s detaljnim objašnjenjima i rješenjima tipičnih primjera i problema. Vi samo trebate odrediti vrstu diferencijalne jednadžbe vašeg problema, pronaći sličan analizirani primjer i izvršiti slične radnje.

Da biste uspješno riješili diferencijalne jednadžbe, trebat će vam i sposobnost pronalaženja skupova antiderivata (neodređenih integrala) različitih funkcija. Ako je potrebno, preporučujemo da pogledate odjeljak.

Prvo, razmotrimo vrste običnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda koje se mogu riješiti s obzirom na derivaciju, zatim ćemo prijeći na ODE drugog reda, zatim ćemo se zadržati na jednadžbama višeg reda i završiti sa sistemima diferencijalnih jednadžbi.

Podsjetimo da ako je y funkcija argumenta x.

Diferencijalne jednadžbe prvog reda.

    Najjednostavnije diferencijalne jednadžbe prvog reda oblika .

    Napišimo nekoliko primjera takvog DE .

    Diferencijalne jednadžbe može se riješiti u odnosu na izvod dijeljenjem obje strane jednakosti sa f(x) . U ovom slučaju dolazimo do jednačine , koja će biti ekvivalentna originalnoj za f(x) ≠ 0 . Primjeri takvih ODE-a su .

    Ako postoje vrijednosti argumenta x za koje funkcije f(x) i g(x) istovremeno nestaju, tada se pojavljuju dodatna rješenja. Dodatna rješenja jednadžbe dati x su bilo koje funkcije definirane za te vrijednosti argumenata. Primjeri takvih diferencijalnih jednadžbi su .

Diferencijalne jednadžbe drugog reda.

    Linearne homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda sa konstantnim koeficijentima.

    LODE sa konstantnim koeficijentima je vrlo čest tip diferencijalnih jednačina. Njihovo rješenje nije posebno teško. Prvo se pronalaze korijeni karakteristične jednadžbe . Za različite p i q moguća su tri slučaja: korijeni karakteristične jednadžbe mogu biti realni i različiti, realni i podudarni ili kompleksni konjugat. Ovisno o vrijednostima korijena karakteristične jednadžbe, opće rješenje diferencijalne jednadžbe zapisuje se kao , ili , odnosno.

    Na primjer, razmotrite linearnu homogenu diferencijalnu jednačinu drugog reda sa konstantnim koeficijentima. Korijeni njegove karakteristične jednadžbe su k 1 = -3 i k 2 = 0. Korijeni su realni i različiti, stoga je generalno rješenje LDE sa konstantnim koeficijentima

    Linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima.

    Opće rješenje LIDE drugog reda sa konstantnim koeficijentima y traži se kao zbir općeg rješenja odgovarajućeg LODE-a i određeno rješenje originalne nehomogene jednadžbe, odnosno, . Prethodni paragraf je posvećen pronalaženju opšteg rešenja homogene diferencijalne jednačine sa konstantnim koeficijentima. A određeno rješenje se određuje ili metodom neodređenih koeficijenata za određeni oblik funkcije f (x) , koja stoji na desnoj strani izvorne jednačine, ili metodom varijacije proizvoljnih konstanti.

    Kao primjere LIDE-a drugog reda sa konstantnim koeficijentima predstavljamo

    Da biste razumjeli teoriju i upoznali se sa detaljnim rješenjima primjera, nudimo vam na stranici linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe drugog reda sa konstantnim koeficijentima.

    Linearne homogene diferencijalne jednadžbe (LODE) i linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe drugog reda (LNDE).

    Poseban slučaj diferencijalnih jednadžbi ovog tipa su LODE i LODE sa konstantnim koeficijentima.

    Opće rješenje LODE-a na određenom intervalu predstavljeno je linearnom kombinacijom dvaju linearno nezavisnih partikularnih rješenja y 1 i y 2 ove jednadžbe, tj. .

    Glavna poteškoća leži upravo u pronalaženju linearno nezavisnih parcijalnih rješenja ove vrste diferencijalne jednadžbe. Obično se određena rješenja biraju iz sljedećih sistema linearno nezavisnih funkcija:

    Međutim, određena rješenja nisu uvijek predstavljena u ovom obliku.

    Primjer LODU je .

    Opće rješenje LIDE se traži u obliku , gdje je opće rješenje odgovarajućeg LODE-a, a posebno rješenje originalne diferencijalne jednadžbe. Upravo smo govorili o pronalaženju, ali ono se može odrediti metodom varijacije proizvoljnih konstanti.

    Primjer LNDE-a je .

Diferencijalne jednadžbe višeg reda.

    Diferencijalne jednadžbe koje dopuštaju redukciju reda.

    Red diferencijalne jednadžbe , koji ne sadrži željenu funkciju i njene derivate do k-1 reda, može se svesti na n-k zamjenom .

    U ovom slučaju , i originalna diferencijalna jednadžba se svodi na . Nakon pronalaženja njenog rješenja p(x), ostaje da se vratimo na zamjenu i odredimo nepoznatu funkciju y .

    Na primjer, diferencijalna jednadžba nakon što zamjena postaje odvojiva jednadžba , a njen redoslijed se smanjuje sa treće na prvu.