Dom · Ostalo · Nekompatibilni sistemi. Sistemi sa opštim rešenjem. Privatna rješenja. Tri slučaja pri rješavanju sistema linearnih jednačina

Nekompatibilni sistemi. Sistemi sa opštim rešenjem. Privatna rješenja. Tri slučaja pri rješavanju sistema linearnih jednačina

Sistem linearnih jednačina je unija od n linearnih jednačina, od kojih svaka sadrži k varijabli. Napisano je ovako:

Mnogi, kada se prvi put susreću s višom algebrom, pogrešno vjeruju da se broj jednačina nužno mora podudarati s brojem varijabli. U školskoj algebri to se obično dešava, ali za višu algebru to generalno nije tačno.

Rješenje sistema jednačina je niz brojeva (k 1, k 2, ..., k n), koji je rješenje svake jednačine sistema, tj. pri zamjeni u ovu jednačinu umjesto varijabli x 1, x 2, ..., x n daje tačnu numeričku jednakost.

Prema tome, rješavanje sistema jednačina znači pronalaženje skupa svih njegovih rješenja ili dokazivanje da je ovaj skup prazan. Budući da se broj jednačina i broj nepoznatih možda ne poklapaju, moguća su tri slučaja:

  1. Sistem je nekonzistentan, tj. skup svih rješenja je prazan. Prilično rijedak slučaj koji se lako otkriva bez obzira na to kojim se metodom rješava sistem.
  2. Sistem je konzistentan i određen, tj. ima tačno jedno rešenje. Klasična verzija, poznata još od škole.
  3. Sistem je konzistentan i nedefinisan, tj. ima beskonačno mnogo rješenja. Ovo je najteža opcija. Nije dovoljno naznačiti da “sistem ima beskonačan skup rješenja” – potrebno je opisati kako je ovaj skup strukturiran.

Varijabla x i se naziva dozvoljenom ako je uključena u samo jednu jednačinu sistema, i to sa koeficijentom 1. Drugim riječima, u drugim jednačinama koeficijent varijable x i mora biti jednak nuli.

Ako u svakoj jednačini odaberemo jednu dozvoljenu varijablu, dobićemo skup dozvoljenih varijabli za cijeli sistem jednačina. Sam sistem, napisan u ovom obliku, takođe će se zvati razriješenim. Uopšteno govoreći, jedan te isti izvorni sistem može se svesti na različite dozvoljene, ali nas to za sada ne brine. Evo primjera dozvoljenih sistema:

Oba sistema se rješavaju u odnosu na varijable x 1 , x 3 i x 4 . Međutim, sa istim uspjehom može se tvrditi da je drugi sistem razriješen u odnosu na x 1, x 3 i x 5. Dovoljno je prepisati poslednju jednačinu u obliku x 5 = x 4.

Hajde sada da razmotrimo opštiji slučaj. Neka imamo k varijabli ukupno, od kojih je r dozvoljeno. Tada su moguća dva slučaja:

  1. Broj dozvoljenih varijabli r jednak je ukupnom broju varijabli k: r = k. Dobijamo sistem od k jednačina u kojem je r = k dozvoljenih varijabli. Takav sistem je zajednički i određen, jer x 1 = b 1, x 2 = b 2, ..., x k = b k;
  2. Broj dozvoljenih varijabli r manji je od ukupnog broja varijabli k: r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Dakle, u gornjim sistemima varijable x 2, x 5, x 6 (za prvi sistem) i x 2, x 5 (za drugi) su slobodne. Slučaj kada postoje slobodne varijable bolje je formulirati kao teorem:

Imajte na umu: ovo je veoma važna tačka! U zavisnosti od toga kako pišete rezultujući sistem, ista varijabla može biti dozvoljena ili slobodna. Većina nastavnika više matematike preporučuje ispisivanje varijabli leksikografskim redom, tj. rastući indeks. Međutim, niste u obavezi da slijedite ovaj savjet.

Teorema. Ako su u sistemu od n jednačina dozvoljene varijable x 1, x 2, ..., x r, a x r + 1, x r + 2, ..., x k su slobodne, tada:

  1. Ako postavimo vrijednosti slobodnih varijabli (x r + 1 = t r + 1, x r + 2 = t r + 2, ..., x k = t k), a zatim pronađemo vrijednosti x 1, x 2, ..., x r, dobijamo jednu od odluka.
  2. Ako se u dva rješenja poklapaju vrijednosti slobodnih varijabli, onda se poklapaju i vrijednosti dozvoljenih varijabli, tj. rješenja su jednaka.

Šta je značenje ove teoreme? Da bi se dobila sva rješenja riješenog sistema jednačina, dovoljno je izolovati slobodne varijable. Zatim, dodjeljujući različite vrijednosti slobodnim varijablama, dobićemo gotova rješenja. To je sve - na ovaj način možete dobiti sva rješenja sistema. Drugih rješenja nema.

Zaključak: riješeni sistem jednačina je uvijek konzistentan. Ako je broj jednačina u razriješenom sistemu jednak broju varijabli, sistem će biti definitivan; ako je manji, bit će neodređen.

I sve bi bilo u redu, ali postavlja se pitanje: kako dobiti riješeno iz originalnog sistema jednačina? Za ovo postoji

Proučiti sistem linearnih agebraičnih jednačina (SLAE) radi konzistentnosti znači otkriti da li ovaj sistem ima rješenja ili ih nema. Pa, ako postoje rješenja, onda navedite koliko ih ima.

Trebat će nam informacije iz teme "Sistem linearnih algebarskih jednadžbi. Osnovni pojmovi. Matrični oblik notacije". Konkretno, potrebni su koncepti kao što su sistemska matrica i proširena matrica sistema, budući da se na njima zasniva formulacija Kronecker-Capellijeve teoreme. Kao i obično, matricu sistema ćemo označiti slovom $A$, a proširenu matricu sistema slovom $\widetilde(A)$.

Kronecker-Capelli teorem

Sistem linearnih algebarskih jednadžbi je konzistentan ako i samo ako je rang matrice sistema jednak rangu proširene matrice sistema, tj. $\rang A=\rang\widetilde(A)$.

Da vas podsjetim da se sistem naziva zajedničkim ako ima barem jedno rješenje. Kronecker-Capelli teorem kaže ovo: ako je $\rang A=\rang\widetilde(A)$, onda postoji rješenje; ako $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, onda ovaj SLAE nema rješenja (nedosljedno). Odgovor na pitanje o broju ovih rješenja daje posljedica Kronecker-Capellijeve teoreme. U formulaciji posljedica koristi se slovo $n$, koje je jednako broju varijabli date SLAE.

Korolar Kronecker-Capellijeve teoreme

  1. Ako je $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, onda je SLAE nekonzistentan (nema rješenja).
  2. Ako je $\rang A=\rang\widetilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
  3. Ako je $\rang A=\rang\widetilde(A) = n$, onda je SLAE definitivan (ima tačno jedno rješenje).

Imajte na umu da formulirana teorema i njen korolar ne ukazuju na to kako pronaći rješenje za SLAE. Uz njihovu pomoć možete samo saznati postoje li ova rješenja ili ne, a ako postoje, koliko ih ima.

Primjer br. 1

Istražite SLAE $ \levo \(\begin(poravnano) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end(poravnano )\right.$ za kompatibilnost Ako je SLAE kompatibilan, navedite broj rješenja.

Da bismo saznali postojanje rješenja za dati SLAE, koristimo Kronecker-Capelli teorem. Trebat će nam matrica sistema $A$ i proširena matrica sistema $\widetilde(A)$, zapisaćemo ih:

$$ A=\left(\begin(niz) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right);\; \widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end(niz) \desno). $$

Moramo pronaći $\rang A$ i $\rang\widetilde(A)$. Postoji mnogo načina da se to uradi, od kojih su neki navedeni u odjeljku Matrix Rank. Obično se koriste dvije metode za proučavanje takvih sistema: "Izračunavanje ranga matrice po definiciji" ili "Izračunavanje ranga matrice metodom elementarnih transformacija".

Metoda broj 1. Računanje rangova po definiciji.

Prema definiciji, rang je najviši red minora matrice, među kojima postoji barem jedan koji je različit od nule. Obično, studija počinje s minorima prvog reda, ali ovdje je zgodnije odmah početi s izračunavanjem minora trećeg reda matrice $A$. Sporedni elementi trećeg reda nalaze se na sjecištu tri reda i tri stupca dotične matrice. Pošto matrica $A$ sadrži samo 3 reda i 3 kolone, minor trećeg reda matrice $A$ je determinanta matrice $A$, tj. $\Delta A$. Za izračunavanje determinante primjenjujemo formulu br. 2 iz teme “Formule za izračunavanje determinanti drugog i trećeg reda”:

$$ \Delta A=\lijevo| \begin(niz) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(niz) \right|=-21. $$

Dakle, postoji minor trećeg reda matrice $A$, koji nije jednak nuli. Nemoguće je konstruisati minor četvrtog reda, jer zahteva 4 reda i 4 kolone, a matrica $A$ ima samo 3 reda i 3 kolone. Dakle, najviši red minora matrice $A$, među kojima postoji barem jedan koji nije jednak nuli, jednak je 3. Dakle, $\rang A=3$.

Također moramo pronaći $\rang\widetilde(A)$. Pogledajmo strukturu matrice $\widetilde(A)$. Do linije u matrici $\widetilde(A)$ nalaze se elementi matrice $A$, a otkrili smo da je $\Delta A\neq 0$. Prema tome, matrica $\widetilde(A)$ ima minor trećeg reda, koji nije jednak nuli. Ne možemo konstruisati minore četvrtog reda matrice $\widetilde(A)$, pa zaključujemo: $\rang\widetilde(A)=3$.

Pošto je $\rang A=\rang\widetilde(A)$, onda je prema Kronecker-Capellijevoj teoremi sistem konzistentan, tj. ima rješenje (barem jedno). Da bismo označili broj rješenja, uzimamo u obzir da naš SLAE sadrži 3 nepoznate: $x_1$, $x_2$ i $x_3$. Pošto je broj nepoznatih $n=3$, zaključujemo: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, dakle, prema posljedicama Kronecker-Capellijeve teoreme, sistem je određen, tj. ima jedinstveno rešenje.

Problem je riješen. Koje nedostatke i prednosti ima ova metoda? Prvo, hajde da pričamo o prednostima. Prvo, trebalo je pronaći samo jednu odrednicu. Nakon toga, odmah smo donijeli zaključak o broju rješenja. Tipično, standardni standardni proračuni daju sisteme jednačina koje sadrže tri nepoznate i imaju jedinstveno rješenje. Za takve sisteme ova metoda je vrlo zgodna, jer unaprijed znamo da postoji rješenje (inače primjer ne bi bio u standardnom proračunu). One. Sve što treba da uradimo je da na najbrži način pokažemo postojanje rešenja. Drugo, izračunata vrijednost determinante sistemske matrice (tj. $\Delta A$) bit će korisna kasnije: kada počnemo rješavati dati sistem korištenjem Cramerove metode ili korištenjem inverzne matrice.

Međutim, metodu izračunavanja ranga je po definiciji nepoželjno koristiti ako je matrica sistema $A$ pravokutna. U ovom slučaju, bolje je koristiti drugu metodu, o kojoj će biti riječi u nastavku. Osim toga, ako je $\Delta A=0$, onda ne možemo ništa reći o broju rješenja date nehomogene SLAE. Možda SLAE ima beskonačan broj rješenja, a možda ni jedno. Ako je $\Delta A=0$, tada je potrebno dodatno istraživanje, koje je često glomazno.

Da sumiramo ono što je rečeno, napominjem da je prva metoda dobra za one SLAE čija je sistemska matrica kvadratna. Štaviše, sam SLAE sadrži tri ili četiri nepoznate i uzet je iz standardnih standardnih proračuna ili testova.

Metoda broj 2. Izračunavanje ranga metodom elementarnih transformacija.

Ova metoda je detaljno opisana u odgovarajućoj temi. Počet ćemo izračunavati rang matrice $\widetilde(A)$. Zašto matrice $\widetilde(A)$, a ne $A$? Činjenica je da je matrica $A$ dio matrice $\widetilde(A)$, stoga ćemo izračunavanjem ranga matrice $\widetilde(A)$ istovremeno pronaći i rang matrice $A$ .

\begin(poravnano) &\widetilde(A) =\left(\begin(niz) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 & 19 & -42 \end(niz) \desno) \rightarrow \left|\text(zamijenite prvi i drugi red)\right| \rightarrow \\ &\rightarrow \left(\begin(niz) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & - 42 \end(niz) \desno) \begin(niz) (l) \phantom(0) \\ II-3\cdot I\\ III+4\cdot I \end(niz) \rightarrow \left(\begin (niz) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 6 & 3 & -6 \end(niz) \desno) \begin(niz) ( l) \phantom(0) \\ \phantom(0)\\ III-2\cdot II \end(array)\rightarrow\\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end(niz) \desno) \end(poravnano)

Sveli smo matricu $\widetilde(A)$ na trapezni oblik. Na glavnoj dijagonali rezultirajuće matrice $\left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end( niz) \right)$ sadrži tri različita od nule elementa: -1, 3 i -7. Zaključak: rang matrice $\widetilde(A)$ je 3, tj. $\rang\widetilde(A)=3$. Prilikom transformacije sa elementima matrice $\widetilde(A)$, istovremeno smo transformisali elemente matrice $A$ koji se nalaze do prave. Matrica $A$ je također svedena na trapezoidni oblik: $\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(array) \desno )$. Zaključak: rang matrice $A$ je također 3, tj. $\rang A=3$.

Pošto je $\rang A=\rang\widetilde(A)$, onda je prema Kronecker-Capellijevoj teoremi sistem konzistentan, tj. ima rješenje. Da bismo označili broj rješenja, uzimamo u obzir da naš SLAE sadrži 3 nepoznate: $x_1$, $x_2$ i $x_3$. Pošto je broj nepoznatih $n=3$, zaključujemo: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, dakle, prema posljedici Kronecker-Capellijeve teoreme, sistem je definiran, tj. ima jedinstveno rešenje.

Koje su prednosti druge metode? Glavna prednost je njegova svestranost. Nije nam bitno da li je matrica sistema kvadratna ili ne. Osim toga, mi smo zapravo izveli naprijed transformacije Gaussove metode. Ostalo je još samo nekoliko koraka i mogli bismo dobiti rješenje za ovaj SLAE. Da budem iskren, meni se više sviđa drugi način od prvog, ali izbor je stvar ukusa.

Odgovori: Dati SLAE je dosljedan i definiran.

Primjer br. 2

Istražite SLAE $ \left\( \begin(aligned) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1- 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4.\end(poravnano) \right.$ radi kompatibilnosti.

Naći ćemo rangove sistemske matrice i proširene sistemske matrice metodom elementarnih transformacija. Proširena sistemska matrica: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end(niz) \desno)$. Pronađimo tražene rangove transformacijom proširene matrice sistema:

Proširena matrica sistema se svodi na stepenasti oblik. Ako se matrica svede na ešalonski oblik, tada je njen rang jednak broju redova koji nisu nula. Prema tome, $\rang A=3$. Matrica $A$ (do prave) je svedena na trapezoidni oblik i njen rang je 2, $\rang A=2$.

Pošto je $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, onda je prema Kronecker-Capellijevoj teoremi sistem nekonzistentan (tj. nema rješenja).

Odgovori: Sistem je nedosljedan.

Primjer br. 3

Istražite SLAE $ \left\( \begin(aligned) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=-6 ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132. \end(poravnano) \right.$ radi kompatibilnosti.

Proširena matrica sistema ima oblik: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccccc|c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(niz) \desno)$. Zamenimo prvi i drugi red ove matrice tako da prvi element prvog reda postane jedan: $\left(\begin(array) (ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \right)$.

Proširenu matricu sistema i matricu samog sistema sveli smo na trapezoidni oblik. Rang proširene matrice sistema je jednak tri, rang matrice sistema je takođe jednak tri. Pošto sistem sadrži $n=5$ nepoznatih, tj. $\rang\widetilde(A)=\rang A< n$, то согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.

Odgovori: Sistem je neizvjestan.

U drugom dijelu ćemo analizirati primjere koji se često uključuju u standardne proračune ili testove iz više matematike: istraživanje konzistentnosti i rješenje SLAE ovisno o vrijednostima parametara koji su u njega uključeni.

Međutim, u praksi su rasprostranjena još dva slučaja:

– Sistem je nekonzistentan (nema rješenja);
– Sistem je konzistentan i ima beskonačno mnogo rješenja.

Bilješka : Termin „dosljednost“ podrazumijeva da sistem ima barem neko rješenje. U nizu problema potrebno je prvo ispitati kompatibilnost sistema; kako to učiniti, pogledajte članak na rang matrica.

Za ove sisteme koristi se najuniverzalnija od svih metoda rješenja - Gaussova metoda. Zapravo, „školska“ metoda će također dovesti do odgovora, ali u višoj matematici uobičajeno je koristiti Gaussovu metodu sekvencijalnog eliminacije nepoznanica. Oni koji nisu upoznati sa algoritmom Gaussove metode, neka prvo prouče lekciju Gaussova metoda za lutke.

Same transformacije elementarne matrice su potpuno iste, razlika će biti u završetku rješenja. Prvo, pogledajmo nekoliko primjera kada sistem nema rješenja (nedosljedno).

Primjer 1

Šta vam odmah upada u oči kod ovog sistema? Broj jednačina je manji od broja varijabli. Ako je broj jednačina manji od broja varijabli, tada možemo odmah reći da je sistem ili nekonzistentan ili da ima beskonačno mnogo rješenja. I ostaje samo da se sazna.

Početak rješenja je potpuno običan - zapisujemo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovodimo je u postupni oblik:

(1) Na gornjem lijevom koraku trebamo dobiti +1 ili –1. U prvoj koloni nema takvih brojeva, tako da preuređivanje redova neće dati ništa. Jedinica će se morati sama organizirati, a to se može učiniti na nekoliko načina. Uradio sam ovo: prvom redu dodamo treći red, pomnožen sa -1.

(2) Sada dobijamo dvije nule u prvoj koloni. U drugi red dodajemo prvi red pomnožen sa 3. U treći red dodajemo prvi red pomnožen sa 5.

(3) Nakon što je transformacija završena, uvijek je preporučljivo vidjeti da li je moguće pojednostaviti rezultirajuće nizove? Može. Drugi red dijelimo sa 2, istovremeno dobijajući traženo –1 na drugom koraku. Treći red podijelite sa –3.

(4) Dodajte drugi red u treći red.

Vjerovatno su svi primijetili lošu liniju koja je nastala kao rezultat elementarnih transformacija: . Jasno je da to ne može biti tako. Zaista, prepišimo rezultujuću matricu nazad na sistem linearnih jednačina:

Ako se kao rezultat elementarnih transformacija dobije niz oblika, gdje je broj različit od nule, onda je sistem nekonzistentan (nema rješenja).

Kako zapisati završetak zadatka? Nacrtajmo bijelom kredom: "kao rezultat elementarnih transformacija, dobije se niz oblika , gdje " i damo odgovor: sistem nema rješenja (nedosljedno).

Ako je prema uslovu potrebno ISTRAŽIVATI sistem radi kompatibilnosti, onda je potrebno formalizirati rješenje u solidnijem stilu koristeći koncept rang matrice i Kronecker-Capelli teorem.

Imajte na umu da ovdje nema preokreta Gaussovog algoritma - nema rješenja i jednostavno se nema šta pronaći.

Primjer 2

Riješiti sistem linearnih jednačina

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije. Ponovo vas podsjećam da se vaše rješenje može razlikovati od mog rješenja; Gausov algoritam nema jaku “rigidnost”.

Još jedna tehnička karakteristika rješenja: elementarne transformacije se mogu zaustaviti Odjednom, čim red kao , gdje . Razmotrimo uvjetni primjer: pretpostavimo da je nakon prve transformacije matrica dobijena . Matrica još nije svedena na ešalonski oblik, ali nema potrebe za daljim elementarnim transformacijama, jer se pojavila linija forme, gdje je . Odmah treba dati odgovor da je sistem nekompatibilan.

Kada sistem linearnih jednačina nema rješenja, to je gotovo dar, jer se dobije kratko rješenje, ponekad doslovno u 2-3 koraka.

Ali sve je na ovom svijetu izbalansirano, a problem u kojem sistem ima beskonačno mnogo rješenja samo je duži.

Primjer 3

Riješiti sistem linearnih jednačina

Postoje 4 jednačine i 4 nepoznanice, tako da sistem može imati jedno rješenje, ili nema rješenja, ili imati beskonačno mnogo rješenja. Kako god bilo, Gausova metoda će nas u svakom slučaju dovesti do odgovora. To je njegova svestranost.

Početak je opet standardan. Zapišimo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u postupni oblik:

To je sve, a ti si se uplašio.

(1) Imajte na umu da su svi brojevi u prvoj koloni djeljivi sa 2, tako da je 2 u redu na gornjem lijevom koraku. Drugom redu dodajemo prvi red, pomnožen sa –4. Trećem redu dodajemo prvi red, pomnožen sa –2. Četvrtom redu dodajemo prvi red, pomnožen sa –1.

Pažnja! Mnogi mogu biti u iskušenju četvrtim redom oduzimati prva linija. To se može učiniti, ali nije neophodno; iskustvo pokazuje da se vjerovatnoća greške u proračunima povećava nekoliko puta. Samo dodajte: U četvrti red dodajte prvi red pomnožen sa –1 – upravo!

(2) Zadnja tri reda su proporcionalna, dva se mogu brisati.

Ovdje opet moramo pokazati povećana pažnja, ali jesu li linije zaista proporcionalne? Da biste bili sigurni (posebno za čajnik), bilo bi dobro da drugi red pomnožite sa –1, a četvrti red podijelite sa 2, što rezultira tri identične linije. I tek nakon toga uklonite dva od njih.

Kao rezultat elementarnih transformacija, proširena matrica sistema se svodi na stepenasti oblik:

Prilikom pisanja zadatka u svesci, preporučljivo je da iste bilješke napravite olovkom radi preglednosti.

Prepišimo odgovarajući sistem jednačina:

Ovdje nema mirisa na „obično“ jedinstveno rješenje sistema. Ne postoji ni loša linija. To znači da je ovo treći preostali slučaj - sistem ima beskonačno mnogo rješenja. Ponekad je, prema uslovu, potrebno istražiti kompatibilnost sistema (tj. dokazati da rješenje uopće postoji), o tome možete pročitati u posljednjem pasusu članka Kako pronaći rang matrice? Ali za sada idemo na osnove:

Beskonačan skup rješenja sistema je ukratko zapisan u obliku tzv opšte rešenje sistema .

Opće rješenje sistema pronalazimo korištenjem inverzne Gausove metode.

Prvo moramo definirati koje varijable imamo osnovni i koje varijable besplatno. Ne morate se zamarati terminima linearne algebre, samo zapamtite da ih ima osnovne varijable I slobodne varijable.

Osnovne varijable uvijek "sjede" striktno na koracima matrice.
U ovom primjeru, osnovne varijable su i

Slobodne varijable su sve preostali varijable koje nisu primile korak. U našem slučaju postoje dvije: – slobodne varijable.

Sada ti treba Sve osnovne varijable express samo kroz slobodne varijable.

Obrnuto od Gaussovog algoritma tradicionalno radi odozdo prema gore.
Iz druge jednačine sistema izražavamo osnovnu varijablu:

Sada pogledajte prvu jednačinu: . Prvo u njega zamjenjujemo pronađeni izraz:

Ostaje da izrazimo osnovnu varijablu u terminima slobodnih varijabli:

Na kraju smo dobili ono što nam je trebalo - Sve osnovne varijable ( i ) su izražene samo kroz slobodne varijable:

Zapravo, opće rješenje je spremno:

Kako pravilno napisati opšte rješenje?
Slobodne varijable se upisuju u opšte rješenje „sama po sebi“ i striktno na svojim mjestima. U ovom slučaju, slobodne varijable treba napisati na drugoj i četvrtoj poziciji:
.

Rezultirajući izrazi za osnovne varijable i očigledno treba da bude napisano na prvoj i trećoj poziciji:

Davanje besplatnih varijabli proizvoljne vrijednosti, možete pronaći beskonačno mnogo privatna rješenja. Najpopularnije vrijednosti su nule, jer je određeno rješenje najlakše dobiti. Zamijenimo u opšte rješenje:

– privatno rješenje.

Još jedan slatki par je jedan, zamenimo ih u opšte rešenje:

– još jedno privatno rješenje.

Lako je vidjeti da sistem jednačina ima beskonačno mnogo rješenja(pošto možemo dati slobodne varijable bilo koji vrijednosti)

Svaki određeno rješenje mora zadovoljiti svakome jednačina sistema. Ovo je osnova za “brzu” provjeru ispravnosti rješenja. Uzmite, na primjer, određeno rješenje i zamijenite ga u lijevu stranu svake jednadžbe originalnog sistema:

Sve se mora spojiti. I sa bilo kojim posebnim rješenjem koje dobijete, sve bi se također trebalo slagati.

Ali, strogo govoreći, provjera određenog rješenja ponekad je varljiva, tj. neko posebno rješenje može zadovoljiti svaku jednačinu sistema, ali samo opšte rješenje je zapravo pogrešno pronađeno.

Stoga je provjera općeg rješenja temeljitija i pouzdanija. Kako provjeriti rezultirajuće opće rješenje ?

Nije teško, ali prilično zamorno. Moramo uzeti izraze osnovni varijable, u ovom slučaju i , i zamijenite ih u lijevu stranu svake jednadžbe sistema.

Na lijevoj strani prve jednadžbe sistema:


Na lijevoj strani druge jednačine sistema:


Dobije se desna strana originalne jednadžbe.

Primjer 4

Rešite sistem Gausovom metodom. Pronađite opće rješenje i dva posebna rješenja. Provjerite opće rješenje.

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Ovdje je, inače, opet broj jednačina manji od broja nepoznatih, što znači da je odmah jasno da će sistem ili biti nekonzistentan ili imati beskonačan broj rješenja. Šta je važno u samom procesu odlučivanja? Pažnja i opet pažnja. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

I još par primjera za učvršćivanje materijala

Primjer 5

Riješiti sistem linearnih jednačina. Ako sistem ima beskonačno mnogo rješenja, pronađite dva posebna rješenja i provjerite opće rješenje

Rješenje: Zapišemo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u postupni oblik:

(1) Dodajte prvi red u drugi red. U treći red dodajemo prvi red pomnožen sa 2. U četvrti red dodajemo prvi red pomnožen sa 3.
(2) Trećem redu dodajemo drugi red, pomnožen sa –5. Četvrtom redu dodajemo drugi red, pomnožen sa –7.
(3) Treći i četvrti red su isti, jedan od njih brišemo.

Ovo je takva lepotica:

Osnovne varijable sjede na stepenicama, dakle - osnovne varijable.
Postoji samo jedna slobodna varijabla koja nije dobila korak:

Revers:
Izrazimo osnovne varijable kroz slobodnu varijablu:
Iz treće jednačine:

Razmotrimo drugu jednačinu i zamijenimo pronađeni izraz u nju:


Razmotrimo prvu jednačinu i zamijenimo pronađene izraze i u nju:

Da, kalkulator koji izračunava obične razlomke je i dalje zgodan.

Dakle, generalno rješenje je:

Još jednom, kako je ispalo? Slobodna varijabla je sama na svom pravom četvrtom mjestu. Rezultirajući izrazi za osnovne varijable također su zauzeli svoja redna mjesta.

Hajde da odmah proverimo opšte rešenje. Posao je za crnce, ali ja sam ga vec uradio, pa uhvati ga =)

Zamjenjujemo tri heroja , , u lijevu stranu svake jednadžbe sistema:

Dobivene su odgovarajuće desne strane jednadžbi, pa je opće rješenje pronađeno ispravno.

Sada iz pronađenog opšteg rješenja dobijamo dva konkretna rješenja. Jedina besplatna varijabla ovdje je kuhar. Nema potrebe da se razbijate.

Neka bude onda – privatno rješenje.
Neka bude onda – još jedno privatno rješenje.

Odgovori: Zajednička odluka: , privatna rješenja: , .

Nisam trebao da se setim crnaca... ...jer su mi u glavi padali razni sadistički motivi i setio sam se čuvenog fotošopa u kojem ljudi iz Kju Kluks Klansa u belim haljinama trče po terenu za crnim fudbalerom. Sjedim i tiho se smijem. Znate kako ometa...

Mnogo matematike je štetno, pa sličan završni primjer za samostalno rješavanje.

Primjer 6

Naći opće rješenje za sistem linearnih jednačina.

Već sam provjerio generalno rješenje, odgovoru se može vjerovati. Vaše rješenje se može razlikovati od mog rješenja, glavna stvar je da se opća rješenja poklapaju.

Vjerovatno su mnogi ljudi primijetili neugodan trenutak u rješenjima: vrlo često, tokom obrnutog toka Gaussove metode, morali smo petljati s običnim razlomcima. U praksi je to zaista slučaj; slučajevi u kojima nema razlomaka su mnogo rjeđi. Budite spremni psihički i, što je najvažnije, tehnički.

Zadržat ću se na nekim karakteristikama rješenja koje nisu pronađene u riješenim primjerima.

Opće rješenje sistema ponekad može uključivati ​​konstantu (ili konstante), na primjer: . Ovdje je jedna od osnovnih varijabli jednaka konstantnom broju: . Nema ničeg egzotičnog u ovome, dešava se. Očigledno je da će u ovom slučaju svako određeno rješenje sadržavati peticu na prvoj poziciji.

Rijetko, ali postoje sistemi u kojima broj jednačina je veći od broja varijabli. Gaussova metoda radi u najtežim uvjetima, potrebno je smireno svesti proširenu matricu sistema u postupni oblik koristeći standardni algoritam. Takav sistem može biti nekonzistentan, može imati beskonačno mnogo rješenja i, što je čudno, može imati jedno rješenje.

Gaussova metoda, koja se naziva i metodom sekvencijalne eliminacije nepoznanica, je sljedeća. Koristeći elementarne transformacije, sistem linearnih jednadžbi se dovodi do takvog oblika da se njegova matrica koeficijenata ispostavi da je trapezoidni (isto kao trokutasti ili stepenasti) ili blizu trapezoidnog (direktan potez Gausove metode, u daljem tekstu - jednostavno ravan potez). Primjer takvog sistema i njegovo rješenje je na gornjoj slici.

U takvom sistemu posljednja jednačina sadrži samo jednu varijablu i njena vrijednost se može nedvosmisleno pronaći. Vrijednost ove varijable se zatim zamjenjuje u prethodnu jednačinu ( inverzno od Gausove metode , zatim samo obrnuto), iz koje se nalazi prethodna varijabla, i tako dalje.

U trapezoidnom (trouglastom) sistemu, kao što vidimo, treća jednačina više ne sadrži varijable y I x, a druga jednačina je varijabla x .

Nakon što matrica sistema poprimi trapezoidni oblik, više nije teško razumjeti pitanje kompatibilnosti sistema, odrediti broj rješenja i pronaći sama rješenja.

Prednosti metode:

  1. pri rješavanju sistema linearnih jednačina sa više od tri jednačine i nepoznanica, Gaussova metoda nije tako glomazna kao Cramerova metoda, jer rješavanje Gaussovom metodom zahtijeva manje proračuna;
  2. Gaussovom metodom se mogu rješavati neodređeni sistemi linearnih jednačina, odnosno imaju opće rješenje (a mi ćemo ih analizirati u ovoj lekciji), a korištenjem Cramerove metode možemo samo konstatovati da je sistem neodređen;
  3. možete rješavati sisteme linearnih jednačina u kojima broj nepoznatih nije jednak broju jednačina (također ćemo ih analizirati u ovoj lekciji);
  4. Metoda se zasniva na elementarnim (školskim) metodama - metodi zamjene nepoznanica i metodi sabiranja jednačina, kojih smo se dotakli u odgovarajućem članku.

Kako bi svi shvatili jednostavnost kojom se rješavaju trapezoidni (trouglasti, stepenasti) sistemi linearnih jednačina, predstavljamo rješenje takvog sistema korištenjem obrnutog kretanja. Brzo rješenje ovog sistema prikazano je na slici na početku lekcije.

Primjer 1. Riješite sistem linearnih jednačina koristeći inverzno:

Rješenje. U ovom trapezoidnom sistemu promenljiva z može se jedinstveno naći iz treće jednačine. Njegovu vrijednost zamjenjujemo u drugu jednačinu i dobivamo vrijednost varijable y:

Sada znamo vrijednosti dvije varijable - z I y. Zamjenjujemo ih u prvu jednačinu i dobivamo vrijednost varijable x:

Iz prethodnih koraka ispisujemo rješenje sistema jednačina:

Za dobijanje ovakvog trapeznog sistema linearnih jednačina, koji smo rešili vrlo jednostavno, potrebno je koristiti potez unapred povezan sa elementarnim transformacijama sistema linearnih jednačina. Takođe nije teško.

Elementarne transformacije sistema linearnih jednačina

Ponavljajući školski metod algebarskog sabiranja jednačina sistema, saznali smo da jednoj od jednačina sistema možemo dodati još jednu jednačinu sistema, a svaka od jednačina se može pomnožiti sa nekim brojevima. Kao rezultat, dobijamo sistem linearnih jednačina koji je ekvivalentan ovom. U njoj je jedna jednadžba već sadržavala samo jednu varijablu, zamjenom čije vrijednosti u druge jednačine dolazimo do rješenja. Takvo sabiranje je jedan od tipova elementarne transformacije sistema. Kada koristimo Gaussovu metodu, možemo koristiti nekoliko vrsta transformacija.

Gornja animacija pokazuje kako se sistem jednačina postepeno pretvara u trapezoidni. Odnosno onu koju ste vidjeli u prvoj animaciji i uvjerili se da je iz nje lako pronaći vrijednosti svih nepoznanica. O tome kako izvesti takvu transformaciju i, naravno, o primjerima će se dalje raspravljati.

Prilikom rješavanja sistema linearnih jednačina sa bilo kojim brojem jednačina i nepoznanica u sistemu jednačina iu proširenoj matrici sistema Može:

  1. preurediti redove (ovo je spomenuto na samom početku ovog članka);
  2. ako druge transformacije rezultiraju jednakim ili proporcionalnim redovima, mogu se izbrisati, osim jednog;
  3. ukloniti „nulte“ redove u kojima su svi koeficijenti jednaki nuli;
  4. pomnožite ili podijelite bilo koji niz određenim brojem;
  5. bilo kojoj liniji dodajte još jednu liniju, pomnoženu određenim brojem.

Kao rezultat transformacija, dobijamo sistem linearnih jednačina koji je ekvivalentan ovom.

Algoritam i primjeri rješavanja sistema linearnih jednadžbi s kvadratnom matricom sistema primjenom Gaussove metode

Razmotrimo prvo rješavanje sistema linearnih jednačina u kojima je broj nepoznatih jednak broju jednačina. Matrica takvog sistema je kvadratna, odnosno broj redova u njoj jednak je broju kolona.

Primjer 2. Riješite sistem linearnih jednadžbi Gaussovom metodom

Prilikom rješavanja sistema linearnih jednačina školskim metodama množili smo jednu od jednačina pojam po član, tako da su koeficijenti prve varijable u dvije jednačine bili suprotni brojevi. Prilikom dodavanja jednačina ova varijabla se eliminira. Gaussova metoda djeluje slično.

Za pojednostavljenje izgleda rješenja napravimo proširenu matricu sistema:

U ovoj matrici, koeficijenti nepoznatih se nalaze lijevo prije okomite linije, a slobodni članovi su smješteni desno nakon okomite linije.

Radi pogodnosti dijeljenja koeficijenata za varijable (da bi se dobilo dijeljenje jedinicom) Zamenimo prvi i drugi red sistemske matrice. Dobijamo sistem ekvivalentan ovom, pošto se u sistemu linearnih jednačina jednačine mogu zameniti:

Koristeći novu prvu jednačinu eliminisati varijablu x iz druge i svih narednih jednadžbi. Da bismo to učinili, drugom redu matrice dodajemo prvi red pomnožen sa (u našem slučaju sa ), u treći red - prvi red pomnožen sa (u našem slučaju sa ).

Ovo je moguće jer

Kada bi u našem sistemu bilo više od tri jednačine, tada bismo morali svim narednim jednačinama dodati prvi red, pomnožen odnosom odgovarajućih koeficijenata, uzetih sa predznakom minus.

Kao rezultat, dobijamo matricu ekvivalentnu ovom sistemu novog sistema jednačina, u kojem su sve jednačine, počevši od drugog ne sadrže varijablu x :

Da biste pojednostavili drugi red rezultujućeg sistema, pomnožite ga sa i ponovo dobijete matricu sistema jednačina ekvivalentnog ovom sistemu:

Sada, zadržavajući prvu jednačinu rezultirajućeg sistema nepromijenjenom, pomoću druge jednačine eliminišemo varijablu y iz svih narednih jednačina. Da bismo to učinili, trećem redu sistemske matrice dodajemo drugi red, pomnožen sa (u našem slučaju sa ).

Kada bi u našem sistemu bilo više od tri jednačine, onda bismo morali dodati drugu liniju svim narednim jednačinama, pomnoženu omjerom odgovarajućih koeficijenata uzetih sa predznakom minus.

Kao rezultat, ponovo dobijamo matricu sistema koji je ekvivalentan ovom sistemu linearnih jednačina:

Dobili smo ekvivalentan trapezni sistem linearnih jednačina:

Ako je broj jednačina i varijabli veći nego u našem primjeru, tada se proces sekvencijalne eliminacije varijabli nastavlja sve dok matrica sistema ne postane trapezoidna, kao u našem demo primjeru.

Naći ćemo rješenje “s kraja” - obrnuti potez. Za ovo iz posljednje jednačine koju odredimo z:
.
Zamjenom ove vrijednosti u prethodnu jednačinu, naći ćemo y:

Iz prve jednadžbe naći ćemo x:

Odgovor: rješenje ovog sistema jednačina je .

: u ovom slučaju će se dati isti odgovor ako sistem ima jedinstveno rješenje. Ako sistem ima beskonačan broj rješenja, to će biti odgovor, a to je tema petog dijela ove lekcije.

Sami riješite sistem linearnih jednačina koristeći Gausovu metodu, a zatim pogledajte rješenje

Ovdje opet imamo primjer konzistentnog i određenog sistema linearnih jednačina, u kojem je broj jednačina jednak broju nepoznatih. Razlika u odnosu na naš demo primjer iz algoritma je u tome što već postoje četiri jednadžbe i četiri nepoznate.

Primjer 4. Riješite sistem linearnih jednadžbi Gaussovom metodom:

Sada morate koristiti drugu jednačinu da eliminišete varijablu iz sljedećih jednačina. Izvršimo pripremne radove. Da bi bilo zgodnije s omjerom koeficijenata, morate dobiti jedan u drugom stupcu drugog reda. Da biste to učinili, oduzmite treći od drugog reda i pomnožite rezultirajući drugi red sa -1.

Hajde da sada izvršimo stvarnu eliminaciju varijable iz treće i četvrte jednačine. Da biste to učinili, dodajte drugi red, pomnožen sa , u treći red, a drugi, pomnožen sa , u četvrti red.

Sada, koristeći treću jednačinu, eliminiramo varijablu iz četvrte jednačine. Da biste to učinili, dodajte treći red četvrtom redu, pomnožen sa . Dobijamo proširenu trapezoidnu matricu.

Dobili smo sistem jednačina kojem je dati sistem ekvivalentan:

Posljedično, rezultirajući i dati sistemi su kompatibilni i određeni. Konačno rješenje nalazimo “s kraja”. Iz četvrte jednačine možemo direktno izraziti vrijednost varijable “x-four”:

Tu vrijednost zamjenjujemo u treću jednačinu sistema i dobijamo

,

,

Konačno, zamjena vrijednosti

Prva jednadžba daje

,

gdje nalazimo "x prvi":

Odgovor: ovaj sistem jednačina ima jedinstveno rješenje .

Rješenje sistema možete provjeriti i na kalkulatoru koristeći Cramerovu metodu: u ovom slučaju će se dati isti odgovor ako sistem ima jedinstveno rješenje.

Rješavanje primijenjenih zadataka Gaussovom metodom na primjeru zadatka na legurama

Sistemi linearnih jednačina se koriste za modeliranje stvarnih objekata u fizičkom svijetu. Hajde da riješimo jedan od ovih problema - legure. Slični problemi su problemi o mješavinama, cijeni ili udjelu pojedinačnih roba u grupi roba i slično.

Primjer 5. Tri komada legure imaju ukupnu masu od 150 kg. Prva legura sadrži 60% bakra, druga - 30%, treća - 10%. Štaviše, u drugoj i trećoj leguri zajedno ima 28,4 kg manje bakra nego u prvoj, a u trećoj leguri 6,2 kg manje bakra nego u drugoj. Pronađite masu svakog komada legure.

Rješenje. Sastavljamo sistem linearnih jednačina:

Pomnožimo drugu i treću jednačinu sa 10, dobićemo ekvivalentni sistem linearnih jednačina:

Kreiramo proširenu matricu sistema:

Pažnja, pravo. Sabiranjem (u našem slučaju oduzimanjem) jednog reda pomnoženog brojem (primjenjujemo ga dvaput), s proširenom matricom sistema dolazi do sljedećih transformacija:

Direktan potez je gotov. Dobili smo proširenu trapezoidnu matricu.

Primjenjujemo obrnuti potez. Pronalazimo rješenje s kraja. Vidimo to.

Iz druge jednačine nalazimo

Iz treće jednačine -

Rješenje sistema možete provjeriti i na kalkulatoru koristeći Cramerovu metodu: u ovom slučaju će se dati isti odgovor ako sistem ima jedinstveno rješenje.

O jednostavnosti Gaussove metode svjedoči i činjenica da je njemačkom matematičaru Carlu Friedrichu Gausu trebalo samo 15 minuta da je izmisli. Osim metode nazvane po njemu, iz Gaussovih djela poznata je izreka „Ne treba brkati ono što nam se čini nevjerovatnim i neprirodnim sa apsolutno nemogućim“ – svojevrsno kratko uputstvo za otkrivanje.

U mnogim primijenjenim problemima možda ne postoji treće ograničenje, odnosno treća jednačina, tada morate riješiti sistem od dvije jednačine sa tri nepoznanice koristeći Gaussovu metodu, ili, obrnuto, ima manje nepoznanica nego jednačina. Sada ćemo početi rješavati takve sisteme jednačina.

Koristeći Gaussovu metodu, možete odrediti da li je bilo koji sistem kompatibilan ili nekompatibilan n linearne jednačine sa n varijable.

Gaussova metoda i sistemi linearnih jednačina sa beskonačnim brojem rješenja

Sljedeći primjer je konzistentan, ali neodređen sistem linearnih jednačina, to jest, koji ima beskonačan broj rješenja.

Nakon izvođenja transformacija u proširenoj matrici sistema (preuređivanje redova, množenje i dijeljenje redova određenim brojem, dodavanje drugog u jedan red), mogli bi se pojaviti redovi oblika

Ako u svim jednadžbama imaju oblik

Slobodni članovi su jednaki nuli, to znači da je sistem neodređen, odnosno da ima beskonačan broj rješenja, a jednačine ovog tipa su „suvišne“ i izbacujemo ih iz sistema.

Primjer 6.

Rješenje. Kreirajmo proširenu matricu sistema. Zatim, koristeći prvu jednačinu, eliminiramo varijablu iz sljedećih jednačina. Da biste to učinili, dodajte drugom, trećem i četvrtom redu prvi, pomnožen sa:

Sada dodajmo drugi red trećem i četvrtom.

Kao rezultat, dolazimo do sistema

Posljednje dvije jednačine su se pretvorile u jednačine oblika. Ove jednadžbe su zadovoljene za bilo koju vrijednost nepoznanica i mogu se odbaciti.

Da bismo zadovoljili drugu jednadžbu, možemo odabrati proizvoljne vrijednosti za i , tada će vrijednost za biti određena jedinstveno: . Iz prve jednačine vrijednost za također se nalazi jedinstveno: .

I dati i posljednji sistem su konzistentni, ali nesigurni i formule

za proizvoljno i daju nam sva rješenja datog sistema.

Gausova metoda i sistemi linearnih jednačina bez rješenja

Sljedeći primjer je nekonzistentan sistem linearnih jednačina, odnosno onaj koji nema rješenja. Odgovor na takve probleme formuliran je na ovaj način: sistem nema rješenja.

Kao što je već spomenuto u vezi s prvim primjerom, nakon izvođenja transformacija, redovi forme mogu se pojaviti u proširenoj matrici sistema

što odgovara jednačini oblika

Ako među njima postoji bar jedna jednačina sa slobodnim članom različitom od nule (tj. ), onda je ovaj sistem jednačina nekonzistentan, odnosno nema rješenja i njegovo rješenje je potpuno.

Primjer 7. Riješite sistem linearnih jednadžbi Gaussovom metodom:

Rješenje. Sastavljamo proširenu matricu sistema. Koristeći prvu jednačinu, isključujemo varijablu iz sljedećih jednačina. Da biste to učinili, dodajte prvi red pomnožen sa drugom redu, prvi red pomnožen sa trećim redom i prvi red pomnožen sa četvrtim redom.

Sada morate koristiti drugu jednačinu da eliminišete varijablu iz sljedećih jednačina. Da bismo dobili cjelobrojne omjere koeficijenata, zamijenimo drugi i treći red proširene matrice sistema.

Da biste isključili treću i četvrtu jednačinu, dodajte drugu pomnoženu sa , u treći red, a drugu pomnoženu sa , u četvrti red.

Sada, koristeći treću jednačinu, eliminiramo varijablu iz četvrte jednačine. Da biste to učinili, dodajte treći red četvrtom redu, pomnožen sa .

Dakle, dati sistem je ekvivalentan sledećem:

Rezultirajući sistem je nekonzistentan, jer njegovu posljednju jednačinu ne može zadovoljiti nijedna vrijednost nepoznanica. Dakle, ovaj sistem nema rješenja.

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

  • Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

  • Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
  • S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
  • Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
  • Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

  • Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa u Ruskoj Federaciji - otkriti vaše lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
  • U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.