Riješite sistem korištenjem Cramerove metode višestruke regresije. Linearne jednadžbe. Rješavanje sistema linearnih jednačina. Cramer metoda

Cramerova metoda se zasniva na korištenju determinanti u rješavanju sistema linearnih jednačina. Ovo značajno ubrzava proces rješenja.

Cramerova metoda se može koristiti za rješavanje sistema od onoliko linearnih jednačina koliko ima nepoznatih u svakoj jednačini. Ako determinanta sistema nije jednaka nuli, onda se u rješenju može koristiti Cramerova metoda, ali ako je jednaka nuli, onda ne može. Osim toga, Cramerova metoda se može koristiti za rješavanje sistema linearnih jednačina koje imaju jedinstveno rješenje.

Definicija. Determinanta sastavljena od koeficijenata za nepoznate naziva se determinanta sistema i označava se (delta).

Odrednice

dobiju se zamjenom koeficijenata odgovarajućih nepoznanica slobodnim terminima:

;

.

Cramerova teorema. Ako je determinanta sistema različita od nule, onda sistem linearnih jednačina ima jedno jedinstveno rešenje, a nepoznata je jednaka odnosu determinanti. Imenilac sadrži determinantu sistema, a brojilac sadrži determinantu dobijenu iz determinante sistema zamenom koeficijenata ove nepoznanice slobodnim članovima. Ova teorema vrijedi za sistem linearnih jednačina bilo kojeg reda.

Primjer 1. Riješite sistem linearnih jednačina:

Prema Cramerova teorema imamo:

Dakle, rješenje sistema (2):

online kalkulator, Cramerova metoda rješavanja.

Tri slučaja pri rješavanju sistema linearnih jednačina

Kao što je jasno iz Cramerova teorema, pri rješavanju sistema linearnih jednačina mogu se pojaviti tri slučaja:

Prvi slučaj: sistem linearnih jednačina ima jedinstveno rješenje

(sistem je konzistentan i određen)

Drugi slučaj: sistem linearnih jednačina ima beskonačan broj rješenja

(sistem je dosljedan i neizvjestan)

** ,

one. koeficijenti nepoznatih i slobodnih članova su proporcionalni.

Treći slučaj: sistem linearnih jednačina nema rješenja

(sistem je nedosledan)

Dakle, sistem m linearne jednačine sa n nazivaju varijable non-joint, ako ona nema jedinstveno rješenje, i joint, ako ima barem jedno rješenje. Zove se simultani sistem jednačina koji ima samo jedno rješenje siguran i više od jednog – neizvjesno.

Primjeri rješavanja sistema linearnih jednačina primjenom Cramerove metode

Neka sistem bude dat

.

Na osnovu Cramerove teoreme

………….
,

Gdje
-

sistemska determinanta. Preostale determinante dobijamo zamjenom stupca sa koeficijentima odgovarajuće varijable (nepoznate) slobodnim terminima:

Primjer 2.

.

Dakle, sistem je određen. Da bismo pronašli njegovo rješenje, izračunavamo determinante

Koristeći Cramerove formule nalazimo:

Dakle, (1; 0; -1) je jedino rješenje sistema.

Za provjeru rješenja sistema jednačina 3 X 3 i 4 X 4, možete koristiti online kalkulator koristeći Cramerovu metodu rješavanja.

Ako u sistemu linearnih jednačina nema varijabli u jednoj ili više jednačina, tada su u determinanti odgovarajući elementi jednaki nuli! Ovo je sljedeći primjer.

Primjer 3. Riješite sistem linearnih jednačina koristeći Cramerovu metodu:

.

Rješenje. Nalazimo determinantu sistema:

Pažljivo pogledajte sistem jednačina i determinantu sistema i ponovite odgovor na pitanje u kojim slučajevima je jedan ili više elemenata determinante jednak nuli. Dakle, determinanta nije jednaka nuli, pa je sistem određen. Da bismo pronašli njegovo rješenje, izračunavamo determinante za nepoznate

Koristeći Cramerove formule nalazimo:

Dakle, rješenje sistema je (2; -1; 1).

Za provjeru rješenja sistema jednačina 3 X 3 i 4 X 4, možete koristiti online kalkulator koristeći Cramerovu metodu rješavanja.

Vrh stranice

Nastavljamo da zajedno rješavamo sisteme koristeći Cramerovu metodu

Kao što je već spomenuto, ako je determinanta sistema jednaka nuli, a determinante nepoznatih nisu jednake nuli, sistem je nekonzistentan, odnosno nema rješenja. Ilustrirajmo sljedećim primjerom.

Primjer 6. Riješite sistem linearnih jednačina koristeći Cramerovu metodu:

Rješenje. Nalazimo determinantu sistema:

Determinanta sistema je jednaka nuli, pa je sistem linearnih jednačina ili nekonzistentan i određen, ili nekonzistentan, odnosno nema rješenja. Da pojasnimo, izračunavamo determinante za nepoznate

Odrednice nepoznatih nisu jednake nuli, pa je sistem nekonzistentan, odnosno nema rješenja.

Za provjeru rješenja sistema jednačina 3 X 3 i 4 X 4, možete koristiti online kalkulator koristeći Cramerovu metodu rješavanja.

U zadacima koji se odnose na sisteme linearnih jednačina postoje i oni u kojima pored slova koja označavaju varijable postoje i druga slova. Ova slova predstavljaju broj, najčešće pravi. U praksi do takvih jednačina i sistema jednačina dovode problemi traženja opštih svojstava bilo koje pojave ili predmeta. Odnosno, izmislili ste neki novi materijal ili uređaj, a da biste opisali njegova svojstva koja su uobičajena bez obzira na veličinu ili količinu uzorka, potrebno je riješiti sistem linearnih jednačina, gdje umjesto nekih koeficijenata za varijable postoje pisma. Ne morate daleko tražiti primjere.

Sljedeći primjer je za sličan problem, samo se povećava broj jednačina, varijabli i slova koja označavaju određeni realni broj.

Primjer 8. Riješite sistem linearnih jednačina koristeći Cramerovu metodu:

Rješenje. Nalazimo determinantu sistema:

Pronalaženje determinanti za nepoznate

Cramerova metoda.

Cramerova metoda se koristi za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi ( SLAU).

Formule na primjeru sistema od dvije jednačine sa dvije varijable.
Dato: Riješite sistem koristeći Cramerovu metodu

Što se tiče varijabli X I at.
Rješenje:
Nađimo determinantu matrice, sastavljenu od koeficijenata sistema. Izračunavanje determinanti. :

Primijenimo Cramerove formule i pronađemo vrijednosti varijabli:
I .
Primjer 1:
Riješite sistem jednačina:

u vezi sa varijablama X I at.
Rješenje:


Zamenimo prvu kolonu u ovoj determinanti kolonom koeficijenata sa desne strane sistema i pronađemo njenu vrednost:

Uradimo sličnu stvar, zamjenjujući drugu kolonu u prvoj odrednici:

Primjenjivo Cramerove formule i pronađite vrijednosti varijabli:
i .
odgovor:
komentar: Ova metoda može riješiti sisteme većih dimenzija.

komentar: Ako se ispostavi da je , ali se ne može podijeliti sa nulom, onda kažu da sistem nema jedinstveno rješenje. U ovom slučaju, sistem ili ima beskonačno mnogo rješenja ili uopće nema rješenja.

Primjer 2(beskonačan broj rješenja):

Riješite sistem jednačina:

u vezi sa varijablama X I at.
Rješenje:
Nađimo determinantu matrice, sastavljenu od koeficijenata sistema:

Rješavanje sistema metodom zamjene.

Prva jednačina sistema je jednakost koja je tačna za sve vrijednosti varijabli (jer je 4 uvijek jednako 4). To znači da je ostala samo jedna jednačina. Ovo je jednadžba za odnos između varijabli.
Otkrili smo da je rješenje sistema bilo koji par vrijednosti varijabli povezanih jedna s drugom jednakošću.
Opšte rješenje će biti napisano na sljedeći način:
Konkretna rješenja se mogu odrediti odabirom proizvoljne vrijednosti y i izračunavanjem x iz ove konektivne jednakosti.

itd.
Takvih rješenja ima beskonačno mnogo.
odgovor: zajednička odluka
Privatna rješenja:

Primjer 3(nema rješenja, sistem je nekompatibilan):

Riješite sistem jednačina:

Rješenje:
Nađimo determinantu matrice, sastavljenu od koeficijenata sistema:

Cramerove formule se ne mogu koristiti. Rešimo ovaj sistem metodom zamene

Druga jednadžba sistema je jednakost koja nije tačna ni za jednu vrijednost varijabli (naravno, pošto -15 nije jednako 2). Ako jedna od jednadžbi sistema nije tačna ni za jednu vrijednost varijabli, onda cijeli sistem nema rješenja.
odgovor: nema rješenja

Sa istim brojem jednačina kao i broj nepoznanica sa glavnom determinantom matrice, koja nije jednaka nuli, koeficijenti sistema (za takve jednačine postoji rješenje i postoji samo jedno).

Cramerova teorema.

Kada je determinanta matrice kvadratnog sistema različita od nule, to znači da je sistem konzistentan i da ima jedno rešenje i da se može naći kao Cramerove formule:

gdje je Δ - determinanta sistemske matrice,

Δ i je determinanta matrice sistema, u kojoj umjesto i th kolona sadrži kolonu sa desne strane.

Kada je determinanta sistema nula, to znači da sistem može postati kooperativan ili nekompatibilan.

Ova metoda se obično koristi za male sisteme sa opsežnim proračunima i ako je potrebno odrediti jednu od nepoznanica. Složenost metode je u tome što je potrebno izračunati mnoge determinante.

Opis Cramerove metode.

Postoji sistem jednačina:

Sistem od 3 jednačine se može riješiti korištenjem Cramerove metode, o kojoj je gore bilo riječi za sistem od 2 jednačine.

Od koeficijenata nepoznatih sastavljamo determinantu:

Biti će sistemska determinanta. Kada D≠0, što znači da je sistem konzistentan. Sada kreirajmo 3 dodatne determinante:

,,

Sistem rješavamo po Cramerove formule:

Primjeri rješavanja sistema jednačina primjenom Cramerove metode.

Primjer 1.

Dati sistem:

Rešimo ga Cramerovom metodom.

Prvo morate izračunati determinantu sistemske matrice:

Jer Δ≠0, što znači da je iz Cramerove teoreme sistem konzistentan i da ima jedno rješenje. Izračunavamo dodatne determinante. Determinanta Δ 1 se dobija iz determinante Δ zamjenom njenog prvog stupca stupcem slobodnih koeficijenata. Dobijamo:

Na isti način dobijamo determinantu Δ 2 iz determinante sistemske matrice zamjenom drugog stupca stupcem slobodnih koeficijenata:

Cramerova metoda ili takozvano Cramerovo pravilo je metoda traženja nepoznatih veličina iz sistema jednačina. Može se koristiti samo ako je broj traženih vrijednosti ekvivalentan broju algebarskih jednadžbi u sistemu, odnosno, glavna matrica formirana iz sistema mora biti kvadratna i ne mora sadržavati nula redova, kao i ako njena determinanta mora ne biti nula.

Teorema 1

Cramerova teorema Ako glavna determinanta $D$ glavne matrice, sastavljena na osnovu koeficijenata jednačina, nije jednaka nuli, onda je sistem jednačina konzistentan i ima jedinstveno rješenje. Rješenje takvog sistema se izračunava preko takozvanih Cramerovih formula za rješavanje sistema linearnih jednačina: $x_i = \frac(D_i)(D)$

Šta je Cramer metoda?

Suština Cramerove metode je sljedeća:

1. Da bismo pronašli rješenje za sistem korištenjem Cramerove metode, prije svega izračunavamo glavnu determinantu matrice $D$. Kada se izračunata determinanta glavne matrice, kada je izračunata Cramerovom metodom, pokaže da je jednaka nuli, tada sistem nema jedno rješenje ili ima beskonačan broj rješenja. U ovom slučaju, za pronalaženje opšteg ili nekog osnovnog odgovora za sistem, preporučuje se upotreba Gausove metode.
2. Zatim morate zamijeniti najudaljeniji stupac glavne matrice kolonom slobodnih pojmova i izračunati determinantu $D_1$.
3. Ponovite isto za sve kolone, dobijajući determinante od $D_1$ do $D_n$, gdje je $n$ broj krajnje desne kolone.
4. Nakon što su pronađene sve determinante $D_1$...$D_n$, nepoznate varijable se mogu izračunati pomoću formule $x_i = \frac(D_i)(D)$.

Tehnike za izračunavanje determinante matrice

Da biste izračunali determinantu matrice s dimenzijom većom od 2 puta 2, možete koristiti nekoliko metoda:

• Pravilo trouglova, ili Sarusovo pravilo, podsjeća na isto pravilo. Suština metode trokuta je u tome da se pri izračunavanju determinante proizvodi svih brojeva povezanih na slici crvenom linijom na desnoj strani zapisuju znakom plus, a svi brojevi povezani na sličan način na slici lijevo pišu se sa znakom minus. Oba pravila su pogodna za matrice veličine 3 x 3. U slučaju Sarrusovog pravila, prvo se prepisuje sama matrica, a pored nje ponovo se prepisuju njeni prvi i drugi stupac. Dijagonale se povlače kroz matricu i ove dodatne stupce; članovi matrice koji leže na glavnoj dijagonali ili paralelno s njom pišu se znakom plus, a elementi koji leže na ili paralelni s sekundarnom dijagonalom pišu se znakom minus.

Slika 1. Pravilo trougla za izračunavanje determinante za Cramerovu metodu

• Koristeći metodu poznatu kao Gausova metoda, ova metoda se ponekad naziva i smanjenjem reda determinante. U ovom slučaju, matrica se transformira i reducira u trokutasti oblik, a zatim se množe svi brojevi na glavnoj dijagonali. Treba imati na umu da kada tražite determinantu na ovaj način, ne možete množiti ili dijeliti redove ili stupce brojevima, a da ih ne izvadite kao množitelj ili djelitelj. U slučaju traženja determinante, moguće je samo oduzimati i sabirati redove i kolone jedni drugima, nakon što ste prethodno pomnožili oduzeti red sa faktorom koji nije nula. Također, kad god preuređujete redove ili stupce matrice, trebali biste zapamtiti potrebu za promjenom konačnog predznaka matrice.
• Prilikom rješavanja SLAE sa 4 nepoznate pomoću Cramerove metode, najbolje je koristiti Gaussovu metodu za pretraživanje i pronalaženje determinanti ili određivanje determinante traženjem minora.

Rješavanje sistema jednačina korištenjem Cramerove metode

Primijenimo Cramerovu metodu za sistem od 2 jednačine i dvije tražene veličine:

$\begin(slučajevi) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(slučajevi)$

Prikažimo ga u proširenom obliku radi praktičnosti:

$A = \begin(array)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(array)$

Nađimo determinantu glavne matrice, koja se još naziva i glavna determinanta sistema:

$D = \begin(array)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(niz) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Ako glavna determinanta nije jednaka nuli, tada je za rješavanje problema pomoću Cramerove metode potrebno izračunati još par determinanti iz dvije matrice sa stupcima glavne matrice zamijenjenim redom slobodnih pojmova:

$D_1 = \begin(niz)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(niz) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin(niz)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(niz) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Sada pronađimo nepoznate $x_1$ i $x_2$:

$x_1 = \frac (D_1)(D)$

$x_2 = \frac (D_2)(D)$

Primjer 1

Cramerova metoda za rješavanje SLAE sa glavnom matricom 3. reda (3 x 3) i tri potrebne.

Riješite sistem jednačina:

$\begin(slučajevi) 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 - x_3 = 10 \\ \end(slučajevi)$

Izračunajmo glavnu determinantu matrice koristeći pravilo gore navedeno pod tačkom broj 1:

$D = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(niz) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = - 64$

A sada tri druge odrednice:

$D_1 = \begin(niz)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(niz) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = - 296 $

$D_2 = \begin(niz)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(niz) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108 USD

$D_3 = \begin(niz)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(niz) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = - 60 $

Nađimo potrebne količine:

$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$

$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$

$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$

Razmotrimo sistem od 3 jednačine sa tri nepoznate

Koristeći determinante 3. reda, rješenje takvog sistema se može napisati u istom obliku kao za sistem od dvije jednačine, tj.

(2.4)

ako je 0. Evo

Tamo je Cramerovo pravilo rješavanje sistema od tri linearne jednadžbe u tri nepoznate.

Primjer 2.3. Riješite sistem linearnih jednačina koristeći Cramerovo pravilo:

Rješenje . Pronalaženje determinante glavne matrice sistema

Pošto je 0, da bismo pronašli rješenje za sistem možemo primijeniti Cramerovo pravilo, ali prvo izračunamo još tri determinante:

pregled:

Dakle, rješenje je pronađeno ispravno. 

Kramerova pravila dobijena za linearne sisteme 2. i 3. reda sugerišu da se ista pravila mogu formulisati za linearne sisteme bilo kog reda. Stvarno se dešava

Cramerova teorema. Kvadratni sistem linearnih jednadžbi sa nenultom determinantom glavne matrice sistema (0) ima jedno i samo jedno rješenje i to rješenje se izračunava pomoću formula

(2.5)

Gdje  – determinanta glavne matrice,  i – matrična determinanta, dobijen od glavnog, zamjenaikolona slobodnih članova.

Imajte na umu da ako je =0, onda se Cramerovo pravilo ne primjenjuje. To znači da sistem ili nema rješenja uopće ili ima beskonačno mnogo rješenja.

Nakon formulisanja Cramerove teoreme, prirodno se postavlja pitanje izračunavanja determinanti višeg reda.

2.4. Determinante n-tog reda

Dodatni minor M ij element a ij je determinanta dobijena iz datog brisanjem i th linija i j th column. Algebarski komplement A ij element a ij poziva se minor ovog elementa uzet sa predznakom (–1). i + j, tj. A ij = (–1) i + j M ij .

Na primjer, pronađimo male i algebarske komplemente elemenata a 23 i a 31 kvalifikacija

Dobijamo



Koristeći koncept algebarskog komplementa možemo formulisati teorema ekspanzije determinanten-ti red po redu ili koloni.

Teorema 2.1. Matrična determinantaAjednak je zbroju proizvoda svih elemenata određenog reda (ili stupca) njihovim algebarskim komplementama:

(2.6)

Ova teorema leži u osnovi jedne od glavnih metoda za izračunavanje determinanti, tzv. metoda smanjenja narudžbe. Kao rezultat proširenja determinante n redom preko bilo kojeg reda ili stupca, dobijamo n determinanti ( n–1)-ti red. Da biste imali manje takvih determinanti, preporučljivo je odabrati red ili stupac koji ima najviše nula. U praksi, formula ekspanzije za determinantu se obično piše kao:

one. algebarski dodaci su napisani eksplicitno u terminima minora.

Primjeri 2.4. Izračunajte determinante tako što ćete ih prvo sortirati u neki red ili kolonu. Obično u takvim slučajevima odaberite kolonu ili red koji ima najviše nula. Odabrani red ili kolona će biti označeni strelicom.



2.5. Osnovna svojstva determinanti

Proširujući determinantu preko bilo kojeg reda ili stupca, dobijamo n determinanti ( n–1)-ti red. Tada svaka od ovih determinanti ( n–1)-ti red se također može rastaviti na zbir determinanti ( n–2)-ti red. Nastavljajući ovaj proces, dolazi se do determinanti 1. reda, tj. na elemente matrice čija se determinanta izračunava. Dakle, da biste izračunali determinante 2. reda, moraćete da izračunate zbir dva člana, za determinante 3. reda - zbir 6 članova, za determinante 4. reda - 24 člana. Broj pojmova će se naglo povećati kako se red determinante povećava. To znači da izračunavanje determinanti vrlo visokih redova postaje prilično radno intenzivan zadatak, izvan mogućnosti čak i kompjutera. Međutim, determinante se mogu izračunati i na drugi način, koristeći svojstva determinanti.

Nekretnina 1 . Odrednica se neće promijeniti ako se redovi i kolone u njoj zamjene, tj. prilikom transponovanja matrice:

.

Ovo svojstvo ukazuje na jednakost redova i stupaca determinante. Drugim riječima, bilo koja izjava o stupcima determinante je tačna i za njene redove i obrnuto.

Nekretnina 2 . Odrednica mijenja predznak kada se zamijene dva reda (kolone).

Posljedica . Ako determinanta ima dva identična reda (kolone), onda je jednaka nuli.

Nekretnina 3 . Zajednički faktor svih elemenata u bilo kojem redu (koloni) može se izvaditi iz predznaka determinante.

Na primjer,

Posljedica . Ako su svi elementi određenog reda (stupca) determinante jednaki nuli, tada je i sama determinanta jednaka nuli.

Nekretnina 4 . Odrednica se neće promijeniti ako se elementi jednog reda (kolone) dodaju elementima drugog reda (kolone), pomnožene bilo kojim brojem.

Na primjer,

Svojstvo 5 . Determinanta proizvoda matrica jednaka je proizvodu determinanti matrica: