Svojstvene vrijednosti (brojevi) i svojstveni vektori Primjeri rješenja. Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti linearnog operatora

Matrice dijagonalnog tipa su najjednostavnije uređene. Postavlja se pitanje da li je moguće pronaći bazu u kojoj bi matrica linearnog operatora imala dijagonalni oblik. Takva osnova postoji.
Neka su dati linearni prostor R n i linearni operator A koji u njemu djeluje; u ovom slučaju, operator A uzima R n u sebe, odnosno A:R n → R n .

Definicija. Vektor koji nije nula naziva se svojstvenim vektorom operatora A ako se operator A prevodi u vektor kolinearan njemu, to jest, . Broj λ se naziva svojstvena vrijednost ili svojstvena vrijednost operatora A koji odgovara svojstvenom vektoru.
Uočavamo neka svojstva svojstvenih vrijednosti i svojstvenih vektora.
1. Bilo koja linearna kombinacija vlastitih vektora operatora A koji odgovara istoj svojstvenoj vrijednosti λ je svojstveni vektor sa istom svojstvenom vrijednošću.
2. Vlastiti vektori Operator A sa po parovima različitim sopstvenim vrednostima λ 1 , λ 2 , …, λ m su linearno nezavisni.
3. Ako su svojstvene vrijednosti λ 1 =λ 2 = λ m = λ, tada vlastita vrijednost λ odgovara ne više od m linearno nezavisnih svojstvenih vektora.

Dakle, ako postoji n linearno nezavisnih sopstvenih vektora koje odgovaraju različitim svojstvenim vrijednostima λ 1 , λ 2 , …, λ n , tada su linearno nezavisne, pa se mogu uzeti kao osnova prostora R n . Nađimo oblik matrice linearnog operatora A u bazi njegovih vlastitih vektora, za koje djelujemo s operatorom A na baznim vektorima: Onda .
Dakle, matrica linearnog operatora A u osnovi svojih svojstvenih vektora ima dijagonalni oblik, a svojstvene vrijednosti operatora A su na dijagonali.
Postoji li još jedna osnova u kojoj matrica ima dijagonalni oblik? Odgovor na ovo pitanje daje sljedeća teorema.

Teorema. Matrica linearnog operatora A u bazi (i = 1..n) ima dijagonalni oblik ako i samo ako su svi vektori baze svojstveni vektori operatora A.

Pravilo za pronalaženje svojstvenih vrijednosti i svojstvenih vektora

. (*)

(1)
Gdje je matrica linearnog operatora.

Sistem (1) ima rješenje različito od nule ako je njegova determinanta D jednaka nuli

Primjer 12. Linearni operator A djeluje u R 3 prema zakonu , gdje su x 1 , x 2 , .., x n koordinate vektora u bazi , , . Pronađite svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore ovog operatora.
Rješenje. Gradimo matricu ovog operatora:
.
Sastavljamo sistem za određivanje koordinata sopstvenih vektora:

Sastavljamo karakterističnu jednačinu i rješavamo je:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Zamjenom λ = -1 u sistem imamo:
ili
Jer , tada postoje dvije zavisne varijable i jedna slobodna varijabla.
Neka je onda x 1 slobodna nepoznanica Rešavamo ovaj sistem na bilo koji način i nalazimo opšte rešenje ovog sistema: Osnovni sistem rešenja sastoji se od jednog rešenja, pošto je n - r = 3 - 2 = 1.
Skup svojstvenih vektora koji odgovaraju svojstvenoj vrijednosti λ = -1 ima oblik: , gdje je x 1 bilo koji broj osim nule. Odaberimo jedan vektor iz ovog skupa, na primjer, postavljanjem x 1 = 1: .
Slično argumentirajući, nalazimo svojstveni vektor koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ = 3: .
U prostoru R 3 baza se sastoji od tri linearno nezavisna vektora, ali smo dobili samo dva linearno nezavisna svojstvena vektora iz kojih se ne može formirati baza u R 3. Prema tome, matrica A linearnog operatora ne može se svesti na dijagonalni oblik.

Primjer 13 Zadana matrica .
1. Dokazati da je vektor je svojstveni vektor matrice A. Nađite svojstvenu vrijednost koja odgovara ovom svojstvenom vektoru.
2. Naći bazu u kojoj matrica A ima dijagonalni oblik.
Rješenje.
1. Ako , Tada je svojstveni vektor

.
Vektor (1, 8, -1) je svojstveni vektor. Svojstvena vrijednost λ = -1.
Matrica ima dijagonalni oblik u bazi koju čine svojstveni vektori. Jedan od njih je poznat. Hajde da nađemo ostalo.
Tražimo sopstvene vektore iz sistema:

Karakteristična jednačina: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Pronađite svojstveni vektor koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ = -3:

Rang matrice ovog sistema je jednak dva i jednak je broju nepoznatih, stoga ovaj sistem ima samo nulto rešenje x 1 = x 3 = 0. x 2 ovde može biti bilo šta drugo osim nule, na primer, x 2 = 1. Dakle, vektor (0 ,1,0) je svojstveni vektor koji odgovara λ = -3. provjerimo:
.
Ako je λ = 1, onda dobijamo sistem
Rang matrice je dva. Precrtajte posljednju jednačinu.
Neka je x 3 slobodna nepoznanica. Tada je x 1 = -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3.
Uz pretpostavku da je x 3 = 1, imamo (-3,-9,1) - svojstveni vektor koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ = 1. Provjerite:

.
Budući da su svojstvene vrijednosti realne i različite, vektori koji im odgovaraju su linearno nezavisni, pa se mogu uzeti kao osnova u R 3 . Dakle, u osnovi , , matrica A ima oblik:
.
Ne može se svaka matrica linearnog operatora A:R n → R n svesti na dijagonalni oblik, jer za neke linearne operatore može postojati manje od n linearno nezavisnih sopstvenih vektora. Međutim, ako je matrica simetrična, tada točno m linearno neovisnih vektora odgovara korijenu karakteristične jednadžbe višestrukosti m.

Definicija. Simetrična matrica je kvadratna matrica u kojoj su elementi koji su simetrični u odnosu na glavnu dijagonalu jednaki, odnosno u kojoj su .
Napomene. 1. Sve vlastite vrijednosti simetrične matrice su realne.
2. Sopstveni vektori simetrične matrice koji odgovaraju različitim svojstvenim vrednostima u paru su ortogonalni.
Kao jednu od brojnih primjena proučavanog aparata razmatramo problem određivanja oblika krivulje drugog reda.

Svojstveni vektor kvadratne matrice je onaj koji, kada se pomnoži sa datom matricom, rezultira kolinearnim vektorom. Jednostavnim riječima, kada se matrica pomnoži s vlastitim vektorom, potonji ostaje isti, ali pomnožen nekim brojem.

Definicija

Svojstveni vektor je vektor V koji nije nula, koji, kada se pomnoži kvadratnom matricom M, postaje sam, uvećan za neki broj λ. U algebarskoj notaciji ovo izgleda ovako:

M × V = λ × V,

gdje je λ vlastita vrijednost matrice M.

Razmotrimo numerički primjer. Radi lakšeg pisanja, brojevi u matrici će biti odvojeni tačkom i zarezom. Recimo da imamo matricu:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Pomnožimo ga vektorom stupca:

• V = -2;

Kada množimo matricu vektorom kolone, dobijamo i vektor kolone. U strogom matematičkom jeziku, formula za množenje matrice 2 × 2 vektorom kolone bi izgledala ovako:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 x V11 + M22 x V21.

M11 označava element matrice M koji stoji u prvom redu i prvoj koloni, a M22 je element koji se nalazi u drugom redu i drugoj koloni. Za našu matricu ovi elementi su M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10. Za vektor stupac ove vrijednosti su V11 = –2, V21 = 1. Prema ovoj formuli dobijamo sljedeće rezultat proizvoda kvadratne matrice vektorom:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

Radi praktičnosti, pišemo vektor kolone u red. Dakle, kvadratnu matricu smo pomnožili sa vektorom (-2; 1), što je rezultiralo vektorom (4; -2). Očigledno, ovo je isti vektor pomnožen sa λ = -2. Lambda u ovom slučaju označava sopstvenu vrijednost matrice.

Vlastiti vektor matrice je kolinearni vektor, odnosno objekt koji ne mijenja svoj položaj u prostoru kada se pomnoži sa matricom. Koncept kolinearnosti u vektorskoj algebri sličan je terminu paralelizma u geometriji. U geometrijskoj interpretaciji, kolinearni vektori su paralelno usmjereni segmenti različitih dužina. Još od Euklidovog vremena znamo da jedna linija ima beskonačan broj linija paralelnih sa njom, pa je logično pretpostaviti da svaka matrica ima beskonačan broj svojstvenih vektora.

Iz prethodnog primjera može se vidjeti da oba (-8; 4), i (16; -8), i (32, -16) mogu biti svojstveni vektori. Sve su to kolinearni vektori koji odgovaraju svojstvenoj vrijednosti λ = -2. Kada množimo originalnu matricu ovim vektorima, i dalje ćemo dobiti vektor kao rezultat, koji se razlikuje od originalne 2 puta. Zato je pri rješavanju zadataka za pronalaženje svojstvenog vektora potrebno pronaći samo linearno nezavisne vektorske objekte. Najčešće, za n × n matricu, postoji n-ti broj sopstvenih vektora. Naš kalkulator je dizajniran za analizu kvadratnih matrica drugog reda, tako da će se gotovo uvijek kao rezultat naći dva svojstvena vektora, osim kada se poklapaju.

U gornjem primjeru, unaprijed smo znali svojstveni vektor originalne matrice i vizualno odredili lambda broj. Međutim, u praksi se sve događa obrnuto: na početku su svojstvene vrijednosti pa tek onda svojstveni vektori.

Algoritam rješenja

Pogledajmo ponovo originalnu matricu M i pokušajmo pronaći oba njena svojstvena vektora. Dakle, matrica izgleda ovako:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Za početak, moramo odrediti svojstvenu vrijednost λ, za koju trebamo izračunati determinantu sljedeće matrice:

• (0 − λ); 4;
• 6; (10 − λ).

Ova matrica se dobija oduzimanjem nepoznatog λ od elemenata na glavnoj dijagonali. Determinanta je određena standardnom formulom:

• detA = M11 × M21 − M12 × M22
• detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

Pošto naš vektor ne smije biti nula, uzimamo rezultirajuću jednačinu kao linearno zavisnu i izjednačavamo našu determinantu detA sa nulom.

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

Otvorimo zagrade i dobijemo karakterističnu jednačinu matrice:

λ 2 − 10λ − 24 = 0

Ovo je standardna kvadratna jednačina koju treba riješiti u smislu diskriminanta.

D \u003d b 2 - 4ac = (-10) × 2 - 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 \u003d 196

Koren diskriminante je sqrt(D) = 14, tako da je λ1 = -2, λ2 = 12. Sada za svaku lambda vrijednost, moramo pronaći svojstveni vektor. Izrazimo koeficijente sistema za λ = -2.

• M − λ × E = 2; 4;
• 6; 12.

U ovoj formuli, E je matrica identiteta. Na osnovu dobijene matrice sastavljamo sistem linearnih jednadžbi:

2x + 4y = 6x + 12y

gdje su x i y elementi sopstvenog vektora.

Skupimo sve X na lijevoj i sve Y na desnoj strani. Očigledno - 4x = 8y. Podijelite izraz sa -4 i dobijete x = -2y. Sada možemo odrediti prvi svojstveni vektor matrice uzimanjem bilo koje vrijednosti nepoznatih (sjetite se beskonačnosti linearno zavisnih svojstvenih vektora). Uzmimo y = 1, a zatim x = -2. Dakle, prvi sopstveni vektor izgleda kao V1 = (–2; 1). Vratite se na početak članka. Upravo smo ovim vektorskim objektom pomnožili matricu da bismo demonstrirali koncept svojstvenog vektora.

Sada pronađimo svojstveni vektor za λ = 12.

• M - λ × E = -12; 4
• 6; -2.

Sastavimo isti sistem linearnih jednačina;

• -12x + 4y = 6x − 2y
• -18x = -6y
• 3x=y.

Uzmimo sada x = 1, dakle y = 3. Dakle, drugi svojstveni vektor izgleda kao V2 = (1; 3). Prilikom množenja originalne matrice ovim vektorom, rezultat će uvijek biti isti vektor pomnožen sa 12. Ovim se završava algoritam rješenja. Sada znate kako ručno definirati svojstveni vektor matrice.

• determinanta;
• trag, odnosno zbir elemenata na glavnoj dijagonali;
• rang, tj. maksimalni broj linearno nezavisnih redova/kolona.

Program radi prema gore navedenom algoritmu, minimizirajući proces rješenja. Važno je istaći da se u programu lambda označava slovom "c". Pogledajmo brojčani primjer.

Primjer programa

Pokušajmo definirati svojstvene vektore za sljedeću matricu:

• M=5; 13;
• 4; 14.

Unesimo ove vrijednosti u ćelije kalkulatora i dobijemo odgovor u sljedećem obliku:

• Rang matrice: 2;
• Matrična determinanta: 18;
• Trag matrice: 19;
• Proračun sopstvenog vektora: c 2 − 19.00c + 18.00 (jednačina karakteristike);
• Izračun sopstvenog vektora: 18 (prva lambda vrijednost);
• Izračun sopstvenog vektora: 1 (druga lambda vrijednost);
• Sistem jednačina vektora 1: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
• Sistem jednadžbi vektora 2: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• Vlastiti vektor 1: (1; 1);
• Vlastiti vektor 2: (-3,25; 1).

Tako smo dobili dva linearno nezavisna svojstvena vektora.

Zaključak

Linearna algebra i analitička geometrija su standardni predmeti za svakog brucoša u inženjerstvu. Veliki broj vektora i matrica je zastrašujući i lako je pogriješiti u ovako glomaznim proračunima. Naš program će omogućiti studentima da provjere svoje proračune ili automatski riješe problem pronalaženja svojstvenog vektora. U našem katalogu postoje i drugi kalkulatori linearne algebre, koristite ih u svom učenju ili poslu.

www.site omogućava vam da pronađete. Sajt vrši kalkulaciju. Za nekoliko sekundi server će dati ispravno rješenje. Karakteristična jednačina za matricuće biti algebarski izraz koji se nalazi po pravilu za izračunavanje determinante matrice matrice, dok će na glavnoj dijagonali biti razlike u vrijednostima dijagonalnih elemenata i varijable. Prilikom izračunavanja karakteristična jednačina za matricu online, svaki element matriceće se pomnožiti sa odgovarajućim drugim elementima matrice. Pronađi u načinu rada online moguće samo za kvadrat matrice. Pronađi operaciju karakteristična jednačina za matricu online svodi na izračunavanje algebarskog zbroja proizvoda elemenata matrice kao rezultat nalaženja determinante matrice, samo u svrhu utvrđivanja karakteristična jednačina za matricu online. Ova operacija zauzima posebno mjesto u teoriji matrice, omogućava vam da pronađete svojstvene vrijednosti i vektore koristeći korijene. Pronalaženje zadatka karakteristična jednačina za matricu online je množenje elemenata matrice uz naknadno zbrajanje ovih proizvoda prema određenom pravilu. www.site nalazi karakteristična jednačina za matricu datu dimenziju u modu online. proračun karakteristična jednačina za matricu online za datu dimenziju, ovo je pronalaženje polinoma sa numeričkim ili simboličkim koeficijentima koji se nalaze po pravilu za izračunavanje determinante matrice- kao zbir proizvoda odgovarajućih elemenata matrice, samo u svrhu utvrđivanja karakteristična jednačina za matricu online. Pronalaženje polinoma u odnosu na varijablu za kvadrat matrice, kao definicija karakteristična jednačina za matricu, uobičajeno u teoriji matrice. Vrijednost korijena polinoma karakteristična jednačina za matricu online koristi se za definiranje svojstvenih vektora i svojstvenih vrijednosti za matrice. Međutim, ako je determinanta matrice onda će biti nula matrična karakteristična jednačinaće i dalje postojati, za razliku od obrnutog matrice. Da bi izračunali karakteristična jednačina za matricu ili tražite nekoliko odjednom matrice karakteristične jednadžbe, potrebno je uložiti puno vremena i truda, dok će naš server pronaći karakteristična jednačina za online matricu. U ovom slučaju, odgovor pronalaženjem karakteristična jednačina za matricu onlineće biti tačna i sa dovoljnom tačnošću, čak i ako su brojevi prilikom pronalaženja karakteristična jednačina za matricu online biće iracionalno. Na sajtu www.site unosi znakova su dozvoljeni u elementima matrice, to je karakteristična jednačina za online matricu može se predstaviti u opštem simboličkom obliku prilikom izračunavanja matrica karakterističnih jednačina na mreži. Korisno je provjeriti dobijeni odgovor prilikom rješavanja zadatka nalaženja karakteristična jednačina za matricu online korištenjem stranice www.site. Prilikom izvođenja operacije izračunavanja polinoma - karakteristična jednačina matrice, potrebno je biti pažljiv i izuzetno koncentrisan u rješavanju ovog problema. Zauzvrat, naša stranica će vam pomoći da provjerite svoju odluku o ovoj temi matrica karakterističnih jednačina na mreži. Ako nemate vremena za duge provjere riješenih problema, onda www.siteće svakako biti zgodan alat za provjeru prilikom pronalaženja i izračunavanja karakteristična jednačina za matricu online.

SISTEM HOMOGENIH LINEARNIH JEDNAČINA

Sistem homogenih linearnih jednačina je sistem oblika

Jasno je da u ovom slučaju , jer svi elementi jednog od stupaca u ovim determinantama jednaki su nuli.

Pošto se nepoznanice pronalaze po formulama , tada u slučaju kada je Δ ≠ 0, sistem ima jedinstveno nulto rješenje x = y = z= 0. Međutim, u mnogim problemima je od interesa pitanje da li homogeni sistem ima rješenja različita od nule.

Teorema. Da bi sistem linearnih homogenih jednadžbi imao rešenje različito od nule, neophodno je i dovoljno da je Δ ≠ 0.

Dakle, ako je determinanta Δ ≠ 0, onda sistem ima jedinstveno rješenje. Ako je Δ ≠ 0, onda sistem linearnih homogenih jednadžbi ima beskonačan broj rješenja.

Primjeri.

Svojstveni vektori i matrične vlastite vrijednosti

Neka je data kvadratna matrica , X je neka matrica-kolona čija se visina poklapa sa redoslijedom matrice A. .

U mnogim problemima treba uzeti u obzir jednačinu za X

gdje je λ neki broj. Jasno je da za bilo koje λ ova jednadžba ima nulto rješenje.

Naziva se broj λ za koji ova jednadžba ima rješenja različita od nule eigenvalue matrice A, A X jer se takav λ zove sopstveni vektor matrice A.

Nađimo svojstveni vektor matrice A. Zbog E∙X=X, tada se matrična jednačina može prepisati kao ili . U proširenom obliku, ova jednačina se može prepisati kao sistem linearnih jednačina. Zaista .

I zbog toga

Dakle, dobili smo sistem homogenih linearnih jednačina za određivanje koordinata x 1, x2, x 3 vektor X. Da bi sistem imao rješenja različita od nule, potrebno je i dovoljno da determinanta sistema bude jednaka nuli, tj.

Ovo je jednačina 3. stepena u odnosu na λ. To se zove karakteristična jednačina matrice A i služi za određivanje svojstvenih vrijednosti λ.

Svaka svojstvena vrijednost λ odgovara svojstvenom vektoru X, čije su koordinate određene iz sistema na odgovarajućoj vrijednosti λ.

Primjeri.

VECTOR ALGEBRA. VECTOR CONCEPT

Prilikom proučavanja različitih grana fizike postoje veličine koje se u potpunosti određuju postavljanjem njihovih numeričkih vrijednosti, na primjer, dužina, površina, masa, temperatura itd. Takve vrijednosti se nazivaju skalarne. No, osim njih, postoje i veličine za čije je određivanje, osim numeričke vrijednosti, potrebno znati i njihov smjer u prostoru, na primjer, sila koja djeluje na tijelo, brzina i ubrzanje. tijela kada se kreće u prostoru, jačina magnetnog polja u datoj tački u prostoru itd. Takve veličine se nazivaju vektorske veličine.

Hajde da uvedemo rigoroznu definiciju.

Smjerni segment Nazovimo segment, u odnosu na čije krajeve se zna koji je od njih prvi, a koji drugi.

Vector naziva se usmjereni segment koji ima određenu dužinu, tj. Ovo je segment određene dužine, u kojem se jedna od tačaka koja ga ograničava uzima kao početak, a druga - kao kraj. Ako A je početak vektora, B je njegov kraj, tada je vektor označen simbolom, osim toga, vektor se često označava jednim slovom . Na slici je vektor označen segmentom, a njegov smjer strelicom.

modul ili dugo vektor naziva se dužina usmjerenog segmenta koji ga definira. Označeno sa || ili ||.

Takozvani nulti vektor, čiji se početak i kraj podudaraju, takođe će se nazivati ​​vektori. Označeno je. Nulti vektor nema određen smjer i njegov modul je jednak nuli ||=0.

Vektori i se nazivaju kolinearno ako se nalaze na istoj liniji ili na paralelnim linijama. U ovom slučaju, ako su vektori i jednako usmjereni, pisat ćemo , suprotno.

Vektori koji se nalaze na pravim linijama paralelnim sa istom ravninom nazivaju se komplanarno.

Dva vektora i se zovu jednaka ako su kolinearni, imaju isti smjer i jednake su po dužini. U ovom slučaju napišite .

Iz definicije jednakosti vektora slijedi da se vektor može pomjeriti paralelno sa samim sobom postavljanjem njegovog početka u bilo koju tačku u prostoru.

Na primjer.

LINEARNE OPERACIJE NA VEKTORIMA

1. Množenje vektora brojem.

   Proizvod vektora brojem λ je novi vektor takav da:

   Proizvod vektora i broja λ označava se sa .

   

   Na primjer, je vektor koji pokazuje u istom smjeru kao i vektor i ima dužinu upola manju od vektora .

   Unesena operacija ima sljedeće svojstva:

2. Sabiranje vektora.

   Neka su i dva proizvoljna vektora. Uzmite proizvoljnu tačku O i konstruisati vektor. Nakon toga, iz tačke A ostavi po strani vektor . Vektor koji povezuje početak prvog vektora sa krajem drugog se zove suma ovih vektora i označava se .

   

   Formulirana definicija vektorskog sabiranja naziva se pravilo paralelograma, budući da se isti zbir vektora može dobiti na sljedeći način. Ostavite po strani od tačke O vektori i . Konstruirajte paralelogram na ovim vektorima OABC. Budući da su vektori , onda je vektor , koji je dijagonala paralelograma povučena iz vrha O, očito će biti zbir vektora .

   

   Lako je provjeriti sljedeće svojstva adicije vektora.

3. Razlika vektora.

   Vektor kolinearan datom vektoru, jednake dužine i suprotno usmjeren, naziva se suprotno vektor za vektor i označen je sa . Suprotni vektor se može smatrati rezultatom množenja vektora brojem λ = –1: .

Sa matricom A, ako postoji broj l takav da je AX = lX.

U ovom slučaju se poziva broj l eigenvalue operator (matrica A) koji odgovara vektoru X.

Drugim riječima, svojstveni vektor je vektor koji se pod djelovanjem linearnog operatora pretvara u kolinearni vektor, tj. samo pomnoži sa nekim brojem. Nasuprot tome, nepravilne vektore je teže transformisati.

Zapisujemo definiciju svojstvenog vektora kao sistema jednačina:

Pomerimo sve pojmove na lijevu stranu:

Poslednji sistem se može napisati u matričnom obliku na sledeći način:

(A - lE)X \u003d O

Rezultirajući sistem uvijek ima nulto rješenje X = O. Takvi sistemi u kojima su svi slobodni članovi jednaki nuli nazivaju se homogena. Ako je matrica takvog sistema kvadratna, a njena determinanta nije jednaka nuli, tada ćemo prema Cramerovim formulama uvijek dobiti jedinstveno rješenje - nulu. Može se dokazati da sistem ima rješenja različita od nule ako i samo ako je determinanta ove matrice jednaka nuli, tj.

|A - lE| = = 0

Ova jednačina sa nepoznatim l naziva se karakteristična jednačina (karakteristični polinom) matrica A (linearni operator).

Može se dokazati da karakteristični polinom linearnog operatora ne zavisi od izbora baze.

Na primjer, pronađimo svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore linearnog operatora date matricom A =.

Da bismo to uradili, sastavljamo karakterističnu jednačinu |A - lE| = \u003d (1 - l) 2 - 36 \u003d 1 - 2l + l 2 - 36 \u003d l 2 - 2l - 35 \u003d 0; D \u003d 4 + 140 \u003d 144; sopstvene vrijednosti l 1 = (2 - 12)/2 = -5; l 2 = (2 + 12) / 2 = 7.

Da bismo pronašli svojstvene vektore, rješavamo dva sistema jednačina

(A + 5E) X = O

(A - 7E) X = O

Za prvi od njih, proširena matrica će poprimiti oblik

,

odakle je x 2 = c, x 1 + (2/3) c = 0; x 1 \u003d - (2/3) s, tj. X (1) \u003d (- (2/3) s; s).

Za drugu od njih, proširena matrica će poprimiti oblik

,

odakle je x 2 = c 1, x 1 - (2/3) c 1 = 0; x 1 = (2/3) s 1, tj. X (2) \u003d ((2/3) s 1; s 1).

Dakle, svojstveni vektori ovog linearnog operatora su svi vektori oblika (-(2/3)c; c) sa svojstvenom vrijednošću (-5) i svi vektori oblika ((2/3)c 1 ; c 1) sa svojstvena vrijednost 7 .

Može se dokazati da je matrica operatora A u bazi koju čine njegovi vlastiti vektori dijagonalna i ima oblik:

,

gdje su l i vlastite vrijednosti ove matrice.

Vrijedi i obrnuto: ako je matrica A u nekoj bazi dijagonalna, tada će svi vektori ove baze biti svojstveni vektori ove matrice.

Također se može dokazati da ako linearni operator ima n parno različitih svojstvenih vrijednosti, tada su odgovarajući svojstveni vektori linearno nezavisni, a matrica ovog operatora u odgovarajućoj bazi ima dijagonalni oblik.

Objasnimo ovo prethodnim primjerom. Uzmimo proizvoljne vrijednosti c i c 1 koje nisu nula, ali takve da su vektori X (1) i X (2) linearno nezavisni, tj. predstavljalo bi osnovu. Na primjer, neka je c \u003d c 1 = 3, zatim X (1) = (-2; 3), X (2) = (2; 3).

Provjerimo linearnu nezavisnost ovih vektora:

12 ≠ 0. U ovoj novoj bazi, matrica A će imati oblik A * = .

Da bismo to potvrdili, koristimo formulu A * = C -1 AC. Nađimo prvo C -1.

C -1 = ;

Kvadratni oblici

kvadratni oblik f (x 1, x 2, x n) od n varijabli naziva se zbir, čiji je svaki član ili kvadrat jedne od varijabli, ili proizvod dvije različite varijable, uzete sa određenim koeficijentom: f (x 1 , x 2, x n) \u003d (a ij = a ji).

Matrica A, sastavljena od ovih koeficijenata, naziva se matrica kvadratni oblik. Uvek je tako simetrično matrica (tj. matrica simetrična oko glavne dijagonale, a ij = a ji).

U matričnom zapisu, kvadratni oblik ima oblik f(X) = X T AX, gdje je

Zaista

Na primjer, zapišimo kvadratni oblik u matričnom obliku.

Da bismo to učinili, nalazimo matricu kvadratnog oblika. Njegovi dijagonalni elementi jednaki su koeficijentima na kvadratima varijabli, a preostali elementi jednaki su polovini odgovarajućih koeficijenata kvadratnog oblika. Zbog toga

Neka se matrični stupac varijabli X dobije nedegeneriranom linearnom transformacijom matrice-kolone Y, tj. X = CY, gdje je C nedegenerirana matrica reda n. Tada je kvadratni oblik f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Dakle, pod nedegeneriranom linearnom transformacijom C, matrica kvadratnog oblika ima oblik: A * = C T AC.

Na primjer, pronađimo kvadratni oblik f(y 1, y 2) dobijen iz kvadratnog oblika f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 linearnom transformacijom.

Kvadratni oblik se zove kanonski(Ima kanonski pogled) ako su svi njegovi koeficijenti a ij = 0 za i ≠ j, tj.
f(x 1, x 2, x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 =.

Njegova matrica je dijagonalna.

Teorema(dokaz ovdje nije dat). Bilo koji kvadratni oblik može se svesti na kanonski oblik korištenjem nedegenerirane linearne transformacije.

Na primjer, svodimo na kanonski oblik kvadratni oblik
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Da biste to učinili, prvo odaberite cijeli kvadrat za varijablu x 1:

f (x 1, x 2, x 3) = 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2 ) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Sada biramo puni kvadrat za varijablu x 2:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 + 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) + (5/100) x 3 2 =
\u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 + (1/20) x 3 2.

Tada nedegenerirana linearna transformacija y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 + (1/10) x 3 i y 3 = x 3 dovodi ovaj kvadratni oblik u kanonski oblik f (y 1 , y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 + (1/20)y 3 2 .

Imajte na umu da je kanonski oblik kvadratnog oblika definiran dvosmisleno (isti kvadratni oblik se može svesti na kanonski oblik na različite načine). Međutim, kanonski oblici dobiveni različitim metodama imaju niz zajedničkih svojstava. Konkretno, broj članova s ​​pozitivnim (negativnim) koeficijentima kvadratnog oblika ne ovisi o tome kako se oblik svodi na ovaj oblik (na primjer, u razmatranom primjeru uvijek će biti dva negativna i jedan pozitivan koeficijent). Ovo svojstvo se zove zakon inercije kvadratnih oblika.

Provjerimo ovo tako što ćemo isti kvadratni oblik na drugačiji način svesti na kanonski oblik. Započnimo transformaciju s varijablom x 2:

f (x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \u003d - 3(x 2 2 +
+ 2 * x 2 ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2) + 3 ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
\u003d -3 (x 2 + (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 + 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \ u003d f (y 1, y 2, y 3) = -3y 1 2 -
+ 3y 2 2 + 2y 3 2, gdje je y 1 \u003d - (2/3) x 1 + x 2 + (1/6) x 3, y 2 = (2/3) x 1 + (1/6 ) x 3 i y 3 = x 1 . Ovdje su negativni koeficijent -3 na y 1 i dva pozitivna koeficijenta 3 i 2 na y 2 i y 3 (a koristeći drugu metodu, dobili smo negativan koeficijent (-5) na y 2 i dva pozitivna koeficijenta: 2 na y 1 i 1/20 za y 3).

Također treba napomenuti da je rang matrice kvadratnog oblika, tzv rang kvadratnog oblika, jednak je broju nenultih koeficijenata kanonskog oblika i ne mijenja se pod linearnim transformacijama.

Kvadratni oblik f(X) se zove pozitivno (negativan) siguran, ako je za sve vrijednosti varijabli koje nisu istovremeno jednake nuli, ono je pozitivno, tj. f(X) > 0 (negativno, tj.
f(X)< 0).

Na primjer, kvadratni oblik f 1 (X) \u003d x 1 2 + x 2 2 je pozitivno određen, jer je zbir kvadrata, a kvadratni oblik f 2 (X) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 je negativno određen, jer predstavlja može se predstaviti kao f 2 (X) \u003d - (x 1 - x 2) 2.

U većini praktičnih situacija je nešto teže utvrditi predznačnu određenost kvadratnog oblika, pa se za to koristi jedna od sljedećih teorema (formuliramo ih bez dokaza).

Teorema. Kvadratni oblik je pozitivno (negativno) određen ako i samo ako su sve vlastite vrijednosti njegove matrice pozitivne (negativne).

Teorema(Sylvesterov kriterijum). Kvadratni oblik je pozitivno određen ako i samo ako su svi glavni minori matrice ovog oblika pozitivni.

Dur (ugao) mol K-ti red matrice A n-tog reda naziva se determinanta matrice, sastavljena od prvih k redova i stupaca matrice A ().

Imajte na umu da se za negativno-definirane kvadratne forme predznaci glavnih minora izmjenjuju, a minor prvog reda mora biti negativan.

Na primjer, ispitujemo kvadratni oblik f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 za predznak-određenost.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 = l 2 - 5l + 2 \u003d 0; D = 25 - 8 = 17;
. Stoga je kvadratni oblik pozitivno određen.

Metoda 2. Glavni minor prvog reda matrice A D 1 = a 11 = 2 > 0. Glavni minor drugog reda D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Prema tome, prema Sylvesterovom kriteriju, kvadratni oblik je pozitivno određen.

Ispitujemo još jedan kvadratni oblik za znak-definiranost, f (x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metoda 1. Konstruirajmo matricu kvadratnog oblika A = . Karakteristična jednačina će imati oblik = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Stoga je kvadratni oblik negativno određen.

Metoda 2. Glavni minor prvog reda matrice A D 1 = a 11 =
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. Dakle, prema Sylvesterovom kriteriju, kvadratni oblik je negativno određen (znaci glavnih minora se izmjenjuju, počevši od minusa).

I kao još jedan primjer, ispitujemo kvadratni oblik f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 za predznak.

Metoda 1. Konstruirajmo matricu kvadratnog oblika A = . Karakteristična jednačina će imati oblik = (2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (-6 - 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + l - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;
.

Jedan od ovih brojeva je negativan, a drugi pozitivan. Znaci sopstvenih vrednosti su različiti. Dakle, kvadratni oblik ne može biti ni negativan ni pozitivno određen, tj. ovaj kvadratni oblik nije znakom određen (može uzeti vrijednosti bilo kojeg predznaka).

Metoda 2. Glavni minor prvog reda matrice A D 1 = a 11 = 2 > 0. Glavni minor drugog reda D 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).