Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku u datom pravcu. Jednačina prave koja prolazi kroz dvije date tačke. Ugao između dvije linije. Uslov paralelnosti i okomitosti dvije prave. Određivanje tačke preseka dve prave

1. Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku A(x 1 , y 1) u datom pravcu, određenom nagibom k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ova jednačina definira olovku linija koje prolaze kroz tačku A(x 1 , y 1), koji se naziva središte grede.

2. Jednačina prave koja prolazi kroz dvije tačke: A(x 1 , y 1) i B(x 2 , y 2) piše se ovako:

Nagib prave koja prolazi kroz dvije date tačke određuje se formulom

3. Ugao između pravih linija A I B je ugao za koji se prva prava linija mora rotirati A oko tačke preseka ovih linija u smeru suprotnom od kazaljke na satu dok se ne poklopi sa drugom linijom B. Ako su dvije linije date jednadžbama nagiba

y = k 1 x + B 1 ,

U ovom članku ćemo razmotriti opštu jednadžbu prave linije u ravni. Navedimo primjere konstruiranja opće jednadžbe prave ako su poznate dvije tačke ove prave ili ako su poznate jedna tačka i vektor normale ove prave. Predstavimo metode za transformaciju jednačine u opštem obliku u kanonske i parametarske oblike.

Neka je dat proizvoljan kartezijanski pravougaoni koordinatni sistem Oxy. Razmotrimo jednačinu prvog stepena ili linearnu jednačinu:

Gdje A, B, C su neke konstante i barem jedan od elemenata A I B različito od nule.

Pokazaćemo da linearna jednačina u ravni definiše pravu liniju. Dokažimo sljedeću teoremu.

Teorema 1. U proizvoljnom Dekartovom pravougaonom koordinatnom sistemu na ravni, svaka prava linija može biti data linearnom jednačinom. Obrnuto, svaka linearna jednačina (1) u proizvoljnom Dekartovom pravougaonom koordinatnom sistemu na ravni definiše pravu liniju.

Dokaz. Dovoljno je dokazati da je linija L je određen linearnom jednačinom za bilo koji Dekartov pravougaoni koordinatni sistem, pošto će tada biti određen linearnom jednačinom i za bilo koji izbor Dekartovog pravougaonog koordinatnog sistema.

Neka je na ravni data prava linija L. Biramo koordinatni sistem tako da os Ox poravnati sa linijom L, i osa Oy bio okomit na njega. Zatim jednačina prave Lće poprimiti sljedeći oblik:

Sve tačke na pravoj Lće zadovoljiti linearnu jednačinu (2), a sve tačke izvan ove prave linije neće zadovoljiti jednačinu (2). Prvi dio teoreme je dokazan.

Neka je zadan kartezijanski pravougaoni koordinatni sistem i neka linearna jednadžba (1), gdje je barem jedan od elemenata A I B različito od nule. Odrediti lokus tačaka čije koordinate zadovoljavaju jednačinu (1). Budući da je barem jedan od koeficijenata A I B je različit od nule, tada jednačina (1) ima barem jedno rješenje M(x 0 ,y 0). (Na primjer, kada A≠0, tačka M 0 (−C/A, 0) pripada datom lokusu tačaka). Zamjenom ovih koordinata u (1) dobijamo identitet

Oduzmimo identitet (3) od (1):

Očigledno, jednačina (4) je ekvivalentna jednačini (1). Stoga je dovoljno dokazati da (4) definira neku pravu.

Pošto razmatramo kartezijanski pravougaoni koordinatni sistem, iz jednakosti (4) slijedi da vektor sa komponentama ( x−x 0 , y−y 0 ) je ortogonalno na vektor n sa koordinatama ( A,B}.

Razmislite o nekoj liniji L prolazeći kroz tačku M 0 (x 0 , y 0) i okomito na vektor n(Sl.1). Pusti poentu M(x,y) pripada liniji L. Zatim vektor sa koordinatama x−x 0 , y−y 0 okomito n i jednačina (4) je zadovoljena (skalarni proizvod vektora n i jednaka je nuli). Obrnuto, ako je poenta M(x,y) ne leži na pravoj L, zatim vektor sa koordinatama x−x 0 , y−y 0 nije ortogonalno na vektor n a jednačina (4) nije zadovoljena. Teorema je dokazana.

Dokaz. Kako linije (5) i (6) definiraju istu liniju, normalni su vektori n 1 ={A 1 ,B 1) i n 2 ={A 2 ,B 2) su kolinearni. Pošto su vektori n 1 ≠0, n 2 ≠ 0, onda postoji broj λ , Šta n 2 =n 1 λ . Dakle, imamo: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ . Dokažimo to C 2 =C 1 λ . Očigledno je da linije koje se poklapaju imaju zajedničku tačku M 0 (x 0 , y 0). Množenje jednadžbe (5) sa λ i oduzimanjem jednačine (6) od nje dobijamo:

Pošto su prve dvije jednakosti iz izraza (7) zadovoljene, onda C 1 λ −C 2=0. One. C 2 =C 1 λ . Primedba je dokazana.

Imajte na umu da jednačina (4) definira jednačinu prave linije koja prolazi kroz tačku M 0 (x 0 , y 0) i ima normalan vektor n={A,B). Dakle, ako su poznati vektor normale prave i tačka koja pripada ovoj pravoj, onda se opšta jednačina prave može konstruisati pomoću jednačine (4).

Primjer 1. Prava prolazi kroz tačku M=(4,−1) i ima normalan vektor n=(3, 5). Konstruisati opštu jednačinu prave.

Rješenje. Imamo: x 0 =4, y 0 =−1, A=3, B=5. Da bismo konstruirali opću jednadžbu prave linije, ove vrijednosti zamjenjujemo u jednačinu (4):

odgovor:

Vektor paralelan pravoj L i stoga je okomita na normalni vektor prave L. Konstruirajmo vektor normalne linije L, s obzirom da je skalarni proizvod vektora n i jednaka je nuli. Možemo napisati npr. n={1,−3}.

Da bismo konstruirali opštu jednačinu prave, koristimo formulu (4). Zamijenimo u (4) koordinate tačke M 1 (možemo uzeti i koordinate tačke M 2) i vektor normale n:

Zamjena koordinata tačke M 1 i M 2 u (9) možemo osigurati da prava linija data jednačinom (9) prolazi kroz ove tačke.

odgovor:

Oduzmi (10) od (1):

Dobili smo kanonsku jednačinu prave linije. Vector q={−B, A) je vektor smjera prave (12).

Vidi obrnutu transformaciju.

Primer 3. Prava linija u ravni je predstavljena sledećom opštom jednačinom:

Pomerite drugi član udesno i podelite obe strane jednačine sa 2 5.

Jednačina prave na ravni.

Kao što je poznato, bilo koja tačka na ravni je određena sa dve koordinate u nekom koordinatnom sistemu. Koordinatni sistemi mogu biti različiti u zavisnosti od izbora baze i porekla.

Definicija. Jednačina linije je odnos y = f(x) između koordinata tačaka koje čine ovu pravu.

Imajte na umu da se jednadžba linije može izraziti na parametarski način, to jest, svaka koordinata svake tačke se izražava kroz neki nezavisni parametar t.

Tipičan primjer je putanja pokretne tačke. U ovom slučaju, vrijeme igra ulogu parametra.

Jednačina prave linije na ravni.

Definicija. Bilo koja linija u ravni može se dati jednačinom prvog reda

Ah + Wu + C = 0,

štaviše, konstante A, B nisu u isto vrijeme jednake nuli, tj. A 2 + B 2  0. Ova jednačina prvog reda se zove opšta jednačina prave linije.

Ovisno o vrijednostima konstanti A, B i C, mogući su sljedeći posebni slučajevi:

C \u003d 0, A  0, B  0 - prava prolazi kroz ishodište

A \u003d 0, B  0, C  0 (By + C = 0) - prava je paralelna s osom Ox

B \u003d 0, A  0, C  0 ( Ax + C = 0) - prava je paralelna sa Oy osom

B \u003d C \u003d 0, A  0 - prava linija se poklapa sa osom Oy

A \u003d C \u003d 0, B  0 - prava linija se poklapa sa osom Ox

Jednačina prave linije može se predstaviti u različitim oblicima u zavisnosti od bilo kojeg datog početnog uslova.

Jednadžba prave linije po tački i vektora normale.

Definicija. U kartezijanskom pravougaonom koordinatnom sistemu, vektor sa komponentama (A, B) je okomit na pravu datu jednačinom Ax + By + C = 0.

Primjer. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačku A (1, 2) okomito na vektor (3, -1).

Sastavimo na A = 3 i B = -1 jednadžbu prave linije: 3x - y + C = 0. Da bismo pronašli koeficijent C, zamjenjujemo koordinate date točke A u rezultirajući izraz.

Dobijamo: 3 - 2 + C \u003d 0, dakle C = -1.

Ukupno: željena jednadžba: 3x - y - 1 \u003d 0.

Jednačina prave koja prolazi kroz dvije tačke.

Neka su u prostoru date dvije tačke M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), a onda jednačina prave koja prolazi kroz ove tačke:

Ako je bilo koji od nazivnika jednak nuli, odgovarajući brojnik treba postaviti jednak nuli.

Na ravni, jednadžba ravne linije koja je gore napisana je pojednostavljena:

ako je x 1  x 2 i x = x 1, ako je x 1 = x 2.

Razlomak
=k se poziva faktor nagiba ravno.

Primjer. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačke A(1, 2) i B(3, 4).

Primjenom gornje formule dobijamo:

Jednadžba prave linije po tački i nagibu.

Ako opšta jednačina prave Ax + Vy + C = 0 dovede do oblika:

i odrediti
, tada se rezultirajuća jednačina zove jednačina prave linije sa nagibomk.

Jednadžba prave linije na tački i usmjerivača.

Po analogiji sa tačkom s obzirom na jednadžbu prave kroz vektor normale, možete uneti zadavanje prave linije kroz tačku i usmeravajućeg vektora prave linije.

Definicija. Svaki vektor različit od nule ( 1 ,  2), čije komponente zadovoljavaju uslov A 1 + B 2 = 0 naziva se usmjeravajući vektor prave

Ah + Wu + C = 0.

Primjer. Naći jednadžbu prave linije sa vektorom pravca (1, -1) i prolazi kroz tačku A(1, 2).

Tražićemo jednačinu željene prave u obliku: Ax + By + C = 0. U skladu sa definicijom, koeficijenti moraju zadovoljiti uslove:

1A + (-1)B = 0, tj. A = B.

Tada jednačina prave linije ima oblik: Ax + Ay + C = 0, ili x + y + C/A = 0.

kod x = 1, y = 2 dobijamo S/A = -3, tj. željena jednačina:

Jednačina prave linije u segmentima.

Ako je u opštoj jednačini prave Ah + Wu + C = 0 C 0, onda, dijeljenjem sa –C, dobijamo:
ili

, Gdje

Geometrijsko značenje koeficijenata je da koeficijent A je koordinata tačke preseka prave sa x-osom, i b- koordinata tačke preseka prave linije sa Oy osom.

Primjer. Zadata je opšta jednačina prave x - y + 1 = 0. Naći jednačinu ove prave u segmentima.

C \u003d 1,
, a = -1, b = 1.

Normalna jednačina prave linije.

Ako su obje strane jednadžbe Ax + Wy + C = 0 podijeljeno brojem
, koji se zove normalizujući faktor, onda dobijamo

xcos + ysin - p = 0 –

normalna jednačina prave linije.

Predznak  faktora normalizacije mora biti odabran tako da S< 0.

p je dužina okomice spuštene od početka do prave, a  je ugao koji ova okomica formira sa pozitivnim smjerom ose Ox.

Primjer. Zadata je opšta jednačina prave 12x - 5y - 65 = 0. Za ovu pravu je potrebno napisati različite vrste jednačina.

jednadžba ove prave u segmentima:

jednadžba ove prave sa nagibom: (podijelite sa 5)

normalna jednačina prave linije:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p=5.

Treba napomenuti da se svaka prava linija ne može predstaviti jednadžbom u segmentima, na primjer, prave linije paralelne sa osama ili koje prolaze kroz ishodište.

Primjer. Prava linija odsijeca jednake pozitivne segmente na koordinatnim osa. Napišite jednadžbu ravne linije ako je površina trokuta koji čine ovi segmenti 8 cm 2.

Jednačina prave linije ima oblik:
, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 ne odgovara uslovu problema.

Ukupno:
ili x + y - 4 = 0.

Primjer. Napišite jednačinu prave linije koja prolazi kroz tačku A (-2, -3) i ishodište.

Jednačina prave linije ima oblik:
, gdje je x 1 = y 1 = 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Ugao između linija na ravni.

Definicija. Ako su date dvije prave y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , tada će oštar ugao između ovih pravih biti definiran kao

.

Dvije prave su paralelne ako je k 1 = k 2 .

Dvije prave su okomite ako je k 1 = -1/k 2 .

Teorema. Prave Ax + Vy + C = 0 i A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 su paralelni kada su koeficijenti A proporcionalni 1 =  A, B 1 =  B. Ako i C 1 =  C, tada se linije poklapaju.

Koordinate tačke preseka dve prave nalaze se kao rešenje sistema jednačina ovih pravih.

Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku

okomito na ovu pravu.

Definicija. Prava koja prolazi kroz tačku M 1 (x 1, y 1) i okomita na pravu y = kx + b predstavljena je jednadžbom:

Udaljenost od tačke do prave.

Teorema. Ako je tačka M(x 0 , y 0 ), tada je udaljenost do prave Ax + Vy + C = 0 definirana kao

.

Dokaz. Neka je tačka M 1 (x 1, y 1) osnova okomice spuštene iz tačke M na datu pravu. Tada je rastojanje između tačaka M i M 1:

Koordinate x 1 i y 1 mogu se naći kao rješenje sistema jednadžbi:

Druga jednačina sistema je jednačina prave linije koja prolazi kroz datu tačku M 0 okomito na datu pravu liniju.

Ako transformišemo prvu jednačinu sistema u oblik:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

tada, rješavanjem, dobijamo:

Zamjenom ovih izraza u jednačinu (1) nalazimo:

.

Teorema je dokazana.

Primjer. Odrediti ugao između pravih: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tg =
;  = /4.

Primjer. Pokažite da su prave 3x - 5y + 7 = 0 i 10x + 6y - 3 = 0 okomite.

Nalazimo: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, dakle, linije su okomite.

Primjer. Dati su vrhovi trougla A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Naći jednačinu za visinu povučenu iz vrha C.

Pronalazimo jednačinu stranice AB:
; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Željena jednadžba visine je: Ax + By + C = 0 ili y = kx + b.

k = . Tada je y =
. Jer visina prolazi kroz tačku C, tada njene koordinate zadovoljavaju ovu jednačinu:
odakle je b = 17. Ukupno:
.

Odgovor: 3x + 2y - 34 = 0.

Analitička geometrija u prostoru.

Jednačina linije u prostoru.

Jednadžba ravne u prostoru po tački i

vektor smjera.

Uzmite proizvoljnu liniju i vektor (m, n, p) paralelno sa datom pravom. Vector pozvao vodeći vektor ravno.

Uzmimo dvije proizvoljne tačke M 0 (x 0 , y 0 , z 0) i M(x, y, z) na pravoj liniji.

z

M1

Označimo radijus vektore ovih tačaka kao I , očigledno je da - =
.

Jer vektori
I su kolinearni, onda je relacija tačna
= t, gdje je t neki parametar.

Ukupno možemo napisati: = + t.

Jer ova jednačina je zadovoljena koordinatama bilo koje tačke na pravoj, onda je rezultirajuća jednačina parametarska jednačina prave linije.

Ova vektorska jednadžba se može predstaviti u koordinatnom obliku:

Transformirajući ovaj sistem i izjednačavajući vrijednosti parametra t, dobijamo kanonske jednačine prave u prostoru:

.

Definicija. Smjer kosinus direktni su kosinusi smjera vektora , koji se može izračunati po formulama:

;

.

Odavde dobijamo: m: n: p = cos : cos : cos.

Zovu se brojevi m, n, p faktori nagiba ravno. Jer je vektor različit od nule, m, n i p ne mogu biti nula u isto vrijeme, ali jedan ili dva od ovih brojeva mogu biti nula. U ovom slučaju, u jednačini prave linije, odgovarajuće brojioce treba izjednačiti sa nulom.

Jednačina prave linije u prolazu kroz prostor

kroz dve tačke.

Ako su dvije proizvoljne tačke M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2) označene na pravoj liniji u prostoru, tada koordinate tih tačaka moraju zadovoljiti jednadžbu ravna linija dobijena gore:

.

Osim toga, za tačku M 1 možemo napisati:

.

Zajedno rješavajući ove jednačine dobijamo:

.

Ovo je jednadžba prave linije koja prolazi kroz dvije tačke u prostoru.

Opšte jednačine prave u prostoru.

Jednačina prave linije se može posmatrati kao jednačina linije preseka dve ravni.

Kao što je gore objašnjeno, ravan u vektorskom obliku može se dati jednadžbom:

+ D = 0, gdje je

- normalna ravan; - radijus-vektor proizvoljne tačke ravni.

Jednačina prave koja prolazi kroz dvije tačke. U članku" " Obećao sam vam da analizirate drugi način rješavanja predstavljenih problema za pronalaženje derivacije, sa datim grafom funkcije i tangentom na ovaj graf. Ovu metodu ćemo istražiti u , Ne propustite! Zašto sljedeći?

Činjenica je da će se tu koristiti formula jednadžbe prave linije. Naravno, ovu formulu bi se jednostavno moglo pokazati i savjetovati da je naučite. Ali bolje je objasniti odakle dolazi (kako je izvedeno). To je neophodno! Ako ga zaboravite, brzo ga vratiteneće biti teško. Sve je detaljno opisano u nastavku. Dakle, imamo dvije tačke A na koordinatnoj ravni(x 1; y 1) i B (x 2; y 2), kroz označene tačke se povlači prava linija:

Evo direktne formule:

*Odnosno, zamjenom specifičnih koordinata tačaka, dobijamo jednačinu oblika y=kx+b.

** Ako se ova formula jednostavno "zapamti", postoji velika vjerovatnoća da ćete se pomiješati s indeksima kada X. Osim toga, indeksi se mogu označiti na različite načine, na primjer:

Zato je važno razumjeti značenje.

Sada izvođenje ove formule. Sve je vrlo jednostavno!

Trouglovi ABE i ACF su slični po oštrom uglu (prvi znak sličnosti pravokutnih trokuta). Iz ovoga slijedi da su omjeri odgovarajućih elemenata jednaki, odnosno:

Sada jednostavno izražavamo ove segmente u smislu razlike u koordinatama tačaka:

Naravno, neće biti greške ako napišete odnose elemenata drugačijim redoslijedom (glavno je zadržati korespondenciju):

Rezultat je ista jednačina prave linije. Ovo je sve!

Odnosno, bez obzira na to kako su same tačke (i njihove koordinate) označene, razumijevajući ovu formulu, uvijek ćete pronaći jednadžbu prave linije.

Formula se može izvesti pomoću svojstava vektora, ali princip izvođenja će biti isti, jer ćemo govoriti o proporcionalnosti njihovih koordinata. U ovom slučaju radi ista sličnost pravokutnih trokuta. Po mom mišljenju, gore opisani zaključak je razumljiviji)).

Pogledajte izlaz preko vektorskih koordinata >>>

Neka se na koordinatnoj ravni konstruiše prava linija koja prolazi kroz dve date tačke A (x 1; y 1) i B (x 2; y 2). Označimo proizvoljnu tačku C na pravoj sa koordinatama ( x; y). Takođe označavamo dva vektora:

Poznato je da su za vektore koji leže na paralelnim linijama (ili na jednoj pravoj) njihove odgovarajuće koordinate proporcionalne, odnosno:

- pišemo jednakost omjera odgovarajućih koordinata:

Razmotrimo primjer:

Naći jednačinu prave koja prolazi kroz dvije tačke sa koordinatama (2;5) i (7:3).

Ne možete čak ni samu liniju izgraditi. Primjenjujemo formulu:

Važno je da uhvatite korespondenciju prilikom sastavljanja omjera. Ne možete pogriješiti ako napišete:

Odgovor: y=-2/5x+29/5 idi y=-0,4x+5,8

Da biste bili sigurni da je rezultirajuća jednadžba ispravno pronađena, obavezno je provjerite - zamijenite koordinate podataka u nju u stanju tačaka. Trebalo bi da dobijete tačne jednakosti.

To je sve. Nadam se da vam je materijal bio koristan.

S poštovanjem, Alexander.

P.S: Bio bih vam zahvalan ako kažete o stranici na društvenim mrežama.

Kanonske jednadžbe prave linije u prostoru su jednačine koje definiraju pravu liniju koja prolazi kroz datu tačku kolinearno do vektora smjera.

Neka su data tačka i vektor pravca. Proizvoljna tačka leži na pravoj l samo ako su vektori i kolinearni, tj. zadovoljavaju uslov:

.

Gore navedene jednadžbe su kanonske jednačine prave.

Brojevi m , n I str su projekcije vektora smjera na koordinatne ose. Pošto vektor nije nula, onda su svi brojevi m , n I str ne može biti nula u isto vrijeme. Ali jedan ili dva od njih mogu biti nula. U analitičkoj geometriji, na primjer, dozvoljena je sljedeća notacija:

,

što znači da su projekcije vektora na ose Oy I Oz jednaki su nuli. Dakle, i vektor i prava linija date kanonskim jednadžbama su okomiti na osi Oy I Oz, odnosno avioni yOz .

Primjer 1 Sastaviti jednadžbe prave linije u prostoru okomitoj na ravan i prolazi kroz tačku preseka ove ravni sa osom Oz .

Rješenje. Pronađite tačku preseka date ravni sa osom Oz. Od bilo koje tačke na osi Oz, ima koordinate , dakle, pod pretpostavkom u datoj jednačini ravnine x=y= 0, dobijamo 4 z- 8 = 0 ili z= 2 . Dakle, tačka preseka date ravni sa osom Oz ima koordinate (0; 0; 2) . Pošto je željena prava okomita na ravan, ona je paralelna sa svojim vektorom normale. Stoga vektor normale može poslužiti kao usmjeravajući vektor prave linije dati avion.

Sada pišemo željene jednačine prave linije koja prolazi kroz tačku A= (0; 0; 2) u smjeru vektora:

Jednačine prave koja prolazi kroz dvije date tačke

Prava linija se može definisati sa dve tačke koje leže na njoj I U ovom slučaju, usmjeravajući vektor prave linije može biti vektor . Tada kanonske jednadžbe prave dobijaju oblik

.

Gornje jednačine definiraju pravu liniju koja prolazi kroz dvije date tačke.

Primjer 2 Napišite jednadžbu prave linije u prostoru koja prolazi kroz točke i .

Rješenje. Zapisujemo željene jednačine prave u gore navedenom obliku u teorijskoj referenci:

.

Budući da je , tada je željena linija okomita na os Oy .

Prava kao linija preseka ravnina

Prava linija u prostoru se može definisati kao linija preseka dve neparalelne ravni, odnosno kao skup tačaka koje zadovoljavaju sistem dve linearne jednačine

Jednačine sistema se nazivaju i opšte jednačine prave u prostoru.

Primjer 3 Sastaviti kanonske jednadžbe prave linije u prostoru zadanom općim jednačinama

Rješenje. Da biste napisali kanonske jednadžbe prave linije ili, što je isto, jednadžbe prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke, morate pronaći koordinate bilo koje dvije tačke na pravoj liniji. One mogu biti tačke preseka prave linije sa bilo koje dve koordinatne ravni, na primer yOz I xOz .

Tačka preseka prave sa ravninom yOz ima apscisu x= 0 . Stoga, pretpostavljajući u ovom sistemu jednačina x= 0, dobijamo sistem sa dve varijable:

Njena odluka y = 2 , z= 6 zajedno sa x= 0 definira tačku A(0; 2; 6) željene linije. Pretpostavljajući tada u datom sistemu jednačina y= 0 , dobijamo sistem

Njena odluka x = -2 , z= 0 zajedno sa y= 0 definira tačku B(-2; 0; 0) presek prave sa ravninom xOz .

Sada pišemo jednačine prave linije koja prolazi kroz tačke A(0; 2; 6) i B (-2; 0; 0) :

,

ili nakon dijeljenja nazivnika sa -2:

,