Izvanredne granice. Primjeri rješenja. Druga izuzetna granica: primjeri pronalaženja, problemi i detaljna rješenja

Prva izuzetna granica je sljedeća jednakost:

\begin(jednačina)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(jednačina)

Pošto za $\alpha\to(0)$ imamo $\sin\alpha\to(0)$, kažu da prva izuzetna granica otkriva nesigurnost oblika $\frac(0)(0)$. Uopšteno govoreći, u formuli (1), umjesto varijable $\alpha$, svaki izraz se može staviti pod sinusni znak i u nazivnik, sve dok su ispunjena dva uslova:

1. Izrazi pod predznakom sinusa i u nazivniku istovremeno teže nuli, tj. postoji nesigurnost oblika $\frac(0)(0)$.
2. Izrazi pod znakom sinusa i u nazivniku su isti.

Često se koriste i konsekvence iz prve izuzetne granice:

\begin(jednačina) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(jednačina) \begin(jednačina) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(jednačina) \begin(jednačina) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end (jednačina)

Na ovoj stranici je riješeno jedanaest primjera. Primjer br. 1 posvećen je dokazu formula (2)-(4). Primjeri br. 2, br. 3, br. 4 i br. 5 sadrže rješenja sa detaljnim komentarima. Primjeri br. 6-10 sadrže rješenja gotovo bez komentara, jer su detaljna objašnjenja data u prethodnim primjerima. Rješenje koristi neke trigonometrijske formule koje se mogu pronaći.

Dozvolite mi da napomenem da prisustvo trigonometrijskih funkcija zajedno sa nesigurnošću $\frac (0) (0)$ ne znači nužno primjenu prve izvanredne granice. Ponekad su dovoljne jednostavne trigonometrijske transformacije - na primjer, vidi.

Primjer br. 1

Dokažite da je $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) Pošto je $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, onda:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Pošto je $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ i $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , to:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

b) Napravimo promjenu $\alpha=\sin(y)$. Pošto je $\sin(0)=0$, onda iz uslova $\alpha\to(0)$ imamo $y\to(0)$. Osim toga, postoji susjedstvo nule u kojem je $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, pa:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Jednakost $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ je dokazana.

c) Napravimo zamjenu $\alpha=\tg(y)$. Pošto je $\tg(0)=0$, tada su uslovi $\alpha\to(0)$ i $y\to(0)$ ekvivalentni. Osim toga, postoji susjedstvo nule u kojem $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, dakle, na osnovu rezultata tačke a), imat ćemo:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Jednakost $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ je dokazana.

Jednakosti a), b), c) se često koriste zajedno sa prvom značajnom granicom.

Primjer br. 2

Izračunajte granicu $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) (x+7))$.

Pošto je $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ i $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, tj. a i brojnik i imenilac razlomka istovremeno teže nuli, onda je ovdje riječ o nesigurnosti oblika $\frac(0)(0)$, tj. urađeno. Osim toga, jasno je da se izrazi pod sinusnim znakom i u nazivniku poklapaju (tj. i da je zadovoljeno):

Dakle, oba uslova navedena na početku stranice su ispunjena. Iz ovoga slijedi da je formula primjenjiva, tj. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\desno))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.

Odgovori: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\desno))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

Primjer br. 3

Pronađite $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

Pošto $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ i $\lim_(x\to(0))x=0$, onda imamo posla sa nesigurnošću oblika $\frac (0 )(0)$, tj. urađeno. Međutim, izrazi ispod predznaka sinusa i u nazivniku se ne poklapaju. Ovdje trebate prilagoditi izraz u nazivniku u željeni oblik. Trebamo da izraz $9x$ bude u nazivniku, tada će postati istinit. U suštini, nedostaje nam faktor od $9$ u nazivniku, koji nije tako teško unijeti - samo pomnožite izraz u nazivniku sa $9$. Naravno, da biste kompenzirali množenje sa $9$, morat ćete odmah podijeliti sa $9$:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$

Sada se izrazi u nazivniku i pod znakom sinusa poklapaju. Oba uslova za granicu $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ su zadovoljena. Prema tome, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. A to znači da:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

Odgovori: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Primjer br. 4

Pronađite $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

Pošto je $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ i $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, ovdje imamo posla sa nesigurnošću oblika $\frac(0)(0)$. Međutim, forma prve izuzetne granice je narušena. Brojač koji sadrži $\sin(5x)$ zahtijeva nazivnik od $5x$. U ovoj situaciji, najlakši način je podijeliti brojilac sa $5x$, i odmah pomnožiti sa $5x$. Osim toga, izvršit ćemo sličnu operaciju sa nazivnikom, množenjem i dijeljenjem $\tg(8x)$ sa $8x$:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

Smanjenjem za $x$ i uzimanjem konstante $\frac(5)(8)$ izvan graničnog znaka, dobijamo:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Imajte na umu da $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ u potpunosti zadovoljava zahtjeve za prvu izvanrednu granicu. Za pronalaženje $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ primjenjiva je sljedeća formula:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to) (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Odgovori: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Primjer br. 5

Pronađite $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Pošto je $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (zapamti da je $\cos(0)=1$) i $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, tada imamo posla sa nesigurnošću oblika $\frac(0)(0)$. Međutim, da biste primijenili prvu izvanrednu granicu, trebali biste se riješiti kosinusa u brojiocu, prijeći na sinuse (da biste zatim primijenili formulu) ili tangente (da biste zatim primijenili formulu). To se može uraditi sljedećom transformacijom:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\desno)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Vratimo se na limit:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\desno) $$

Razlomak $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ je već blizu forme potrebnog za prvu izvanrednu granicu. Poradimo malo s razlomkom $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, prilagođavajući ga na prvu izvanrednu granicu (imajte na umu da se izrazi u brojiocu i ispod sinusa moraju podudarati):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$

Vratimo se na dotičnu granicu:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\desno) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\desno)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

Odgovori: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Primjer br. 6

Pronađite granicu $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

Pošto je $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ i $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, onda imamo posla sa nesigurnošću $\frac(0)(0)$. Hajde da to otkrijemo uz pomoć prve izuzetne granice. Da bismo to učinili, prijeđimo s kosinusa na sinus. Pošto je $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, onda:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Prelazeći na sinuse u datom limitu, imat ćemo:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\desno)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\desno)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Odgovori: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Primjer br. 7

Izračunajte granicu $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ podložno $\alpha\neq \ beta$.

Detaljna objašnjenja su data ranije, ali ovdje jednostavno napominjemo da opet postoji nesigurnost $\frac(0)(0)$. Pređimo s kosinusa na sinus koristeći formulu

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Koristeći ovu formulu, dobijamo:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\desno| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\desno)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\desno))(x)\desno)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

Odgovori: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.

Primjer br. 8

Pronađite granicu $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

Pošto je $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (zapamtite da je $\sin(0)=\tg(0)=0$) i $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, tada imamo posla sa nesigurnošću oblika $\frac(0)(0)$. Razložimo to na sljedeći način:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\desno)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$

Odgovori: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Primjer br. 9

Pronađite granicu $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

Pošto je $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ i $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, tada postoji nesigurnost oblika $\frac(0)(0)$. Prije nego što pređemo na njegovo proširenje, zgodno je izvršiti promjenu varijable na način da nova varijabla teži nuli (imajte na umu da je u formulama varijabla $\alpha \to 0$). Najlakši način je uvođenje varijable $t=x-3$. Međutim, radi pogodnosti daljih transformacija (ova korist se može vidjeti u toku rješenja ispod), vrijedi napraviti sljedeću zamjenu: $t=\frac(x-3)(2)$. Napominjem da su u ovom slučaju primjenjive obje zamjene, samo će vam druga zamjena omogućiti da manje radite sa razlomcima. Pošto je $x\to(3)$, onda je $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\desno| =\left|\begin(poravnano)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(poravnano)\desno| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\desno) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Odgovori: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Primjer br. 10

Pronađite granicu $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2 )$.

Još jednom imamo posla sa nesigurnošću $\frac(0)(0)$. Prije nego što pređemo na njeno proširenje, zgodno je izvršiti promjenu varijable na način da nova varijabla teži nuli (imajte na umu da je u formulama varijabla $\alpha\to(0)$). Najlakši način je uvođenje varijable $t=\frac(\pi)(2)-x$. Pošto je $x\to\frac(\pi)(2)$, onda je $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\lijevo|\frac(0)(0)\desno| =\left|\begin(poravnano)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(poravnano)\desno| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\desno))(t^2) =\lim_(t\to(0 ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

Odgovori: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

Primjer br. 11

Pronađite granice $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

U ovom slučaju ne moramo koristiti prvu divnu granicu. Imajte na umu da i prva i druga granica sadrže samo trigonometrijske funkcije i brojeve. Često je u primjerima ove vrste moguće pojednostaviti izraz koji se nalazi ispod znaka granice. Štaviše, nakon pomenutog pojednostavljenja i redukcije nekih faktora, neizvjesnost nestaje. Dao sam ovaj primjer samo sa jednom svrhom: da pokažem da prisustvo trigonometrijskih funkcija pod graničnim znakom ne znači nužno korištenje prve izvanredne granice.

Pošto je $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (zapamtite da je $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) i $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (da vas podsjetim da je $\cos\frac(\pi)(2)=0$), onda imamo baveći se nesigurnošću oblika $\frac(0)(0)$. Međutim, to ne znači da ćemo morati koristiti prvu divnu granicu. Da bi se otkrila nesigurnost, dovoljno je uzeti u obzir da je $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

Slično rješenje postoji u Demidovičevoj knjizi rješenja (br. 475). Što se tiče druge granice, kao iu prethodnim primjerima u ovom dijelu, imamo nesigurnost oblika $\frac(0)(0)$. Zašto nastaje? Nastaje jer $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ i $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Ove vrijednosti koristimo za transformaciju izraza u brojniku i nazivniku. Cilj naših radnji je da zapišemo zbir u brojniku i nazivniku kao proizvod. Inače, često je unutar sličnog tipa zgodno promijeniti varijablu, napravljenu na način da nova varijabla teži nuli (pogledajte, na primjer, primjere br. 9 ili br. 10 na ovoj stranici). Međutim, u ovom primjeru nema smisla zamjenjivati, iako po želji zamjenu varijable $t=x-\frac(2\pi)(3)$ nije teško implementirati.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\desno))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin) \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\desno)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$

Kao što vidite, nismo morali primijeniti prvu divnu granicu. Naravno, to možete učiniti ako želite (pogledajte napomenu ispod), ali nije neophodno.

Koje je rješenje korištenjem prve izvanredne granice? prikaži\sakrij

Koristeći prvo značajno ograničenje dobijamo:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ desno))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Odgovori: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.

Iz gornjeg članka možete saznati koja je granica i sa čime se jede - ovo je JAKO važno. Zašto? Možda ne razumete šta su determinante i uspešno ih rešavate; možda uopšte ne razumete šta je derivacija i nalazite ih sa „A“. Ali ako ne razumijete što je granica, onda će rješavanje praktičnih zadataka biti teško. Također bi bilo dobro da se upoznate s primjerima rješenja i mojim preporukama za dizajn. Sve informacije su predstavljene u jednostavnom i pristupačnom obliku.

A za potrebe ove lekcije trebat će nam sljedeći nastavni materijali: Wonderful Limits I Trigonometrijske formule. Mogu se naći na stranici. Najbolje je odštampati priručnike - to je mnogo zgodnije, a osim toga, često ćete morati da ih koristite van mreže.

Šta je tako posebno u izuzetnim granicama? Izvanredna stvar u vezi s ovim granicama je to što su ih dokazali najveći umovi poznatih matematičara, a zahvalni potomci ne moraju patiti od strašnih granica s gomilom trigonometrijskih funkcija, logaritama, potencija. Odnosno, pri pronalaženju granica koristit ćemo gotove rezultate koji su teoretski dokazani.

Postoji nekoliko divnih ograničenja, ali u praksi, u 95% slučajeva, vanredni studenti imaju dvije divne granice: Prva divna granica, Druga divna granica. Treba napomenuti da su to istorijski ustaljeni nazivi, a kada se, na primjer, govori o „prvoj izuzetnoj granici“, pod tim se misli na sasvim konkretnu stvar, a ne na neku nasumično uzetu granicu sa plafona.

Prva divna granica

Uzmite u obzir sljedeću granicu: (umjesto izvornog slova “he” koristit ću grčko slovo “alpha”, ovo je pogodnije sa stanovišta predstavljanja materijala).

Prema našem pravilu za pronalaženje granica (vidi članak Ograničenja. Primjeri rješenja) pokušavamo zamijeniti nulu u funkciju: u brojiocu dobijamo nulu (sinus nule je nula), au nazivniku, očigledno, također postoji nula. Dakle, suočeni smo s neizvjesnošću forme, koju, na sreću, ne treba otkrivati. U toku matematičke analize, dokazano je da:

Ova matematička činjenica se zove Prva divna granica. Neću davati analitički dokaz granice, ali ćemo pogledati njeno geometrijsko značenje u lekciji o beskonačno male funkcije.

Često se u praktičnim zadacima funkcije mogu drugačije rasporediti, to ništa ne mijenja:

- ista prva divna granica.

Ali ne možete sami preurediti brojilac i imenilac! Ako je ograničenje dato u obliku , onda se mora riješiti u istom obliku, bez preuređivanja bilo čega.

U praksi, ne samo varijabla, već i elementarna funkcija ili složena funkcija može djelovati kao parametar. Važno je samo da teži nuli.

primjeri:
, , ,

ovdje , , , , i sve je dobro - prva divna granica je primjenjiva.

Ali sljedeći unos je hereza:

Zašto? Pošto polinom ne teži nuli, teži petici.

Usput, kratko pitanje: koja je granica? ? Odgovor možete pronaći na kraju lekcije.

U praksi nije sve tako glatko, gotovo nikada se studentu ne ponudi da riješi besplatni limit i dobije laku prolaz. Hmmm... Pišem ove redove i pala mi je na pamet jedna vrlo važna misao - uostalom, bolje je pamtiti "besplatne" matematičke definicije i formule napamet, to može biti od neprocjenjive pomoći u testu, kada će pitanje bude odlučeno između „dva“ i „tri“, a nastavnik odlučuje da učeniku postavi neko jednostavno pitanje ili ponudi da reši jednostavan primer („možda on(i) još uvek zna šta?!“).

Idemo dalje na razmatranje praktičnih primjera:

Primjer 1

Pronađite granicu

Ako primijetimo sinus u granici, onda bi nas to odmah trebalo navesti na razmišljanje o mogućnosti primjene prve izvanredne granice.

Prvo, pokušavamo zamijeniti 0 u izraz ispod znaka granice (to radimo mentalno ili u nacrtu):

Dakle, imamo nesigurnost forme obavezno naznačite u donošenju odluke. Izraz pod znakom granice je sličan prvoj divnoj granici, ali to nije baš to, nalazi se ispod sinusa, ali u nazivniku.

U takvim slučajevima moramo sami organizirati prvu izvanrednu granicu, koristeći umjetnu tehniku. Rezonovanje bi moglo biti sljedeće: “ispod sinusa imamo , što znači da i mi trebamo ući u nazivnik.”
A to se radi vrlo jednostavno:

To jest, nazivnik se u ovom slučaju umjetno množi sa 7 i dijeli sa istim sedam. Sada je naš snimak poprimio poznati oblik.
Kada se zadatak sastavlja rukom, preporučljivo je označiti prvu izvanrednu granicu jednostavnom olovkom:

Šta se desilo? Zapravo, naš zaokruženi izraz se pretvorio u jedinicu i nestao u radu:

Sada ostaje samo da se riješimo trospratne frakcije:

Ko je zaboravio pojednostavljenje razlomaka na više nivoa, osvježite materijal u priručniku Vruće formule za školski kurs matematike .

Spreman. Konačan odgovor:

Ako ne želite koristiti oznake olovkom, rješenje se može napisati ovako:

“

Iskoristimo prvu divnu granicu

“

Primjer 2

Pronađite granicu

Opet vidimo razlomak i sinus u granici. Pokušajmo zamijeniti nulu u brojnik i imenilac:

Zaista, imamo neizvjesnost i stoga moramo pokušati organizirati prvu divnu granicu. Na lekciji Ograničenja. Primjeri rješenja uzeli smo u obzir pravilo da kada imamo neizvjesnost, moramo faktorizirati brojnik i imenilac. Ovdje je ista stvar, stepene ćemo predstaviti kao proizvod (množitelje):

Slično kao u prethodnom primjeru, crtamo olovkom oko izuzetnih granica (ovdje su dvije) i pokazujemo da teže jedinstvu:

Zapravo, odgovor je spreman:

U sljedećim primjerima neću raditi umjetnost u Paintu, razmišljam kako ispravno nacrtati rješenje u bilježnici - već razumijete.

Primjer 3

Pronađite granicu

Zamjenjujemo nulu u izraz ispod predznaka granice:

Dobivena je nesigurnost koju treba otkriti. Ako postoji tangenta u granici, onda se gotovo uvijek pretvara u sinus i kosinus koristeći dobro poznatu trigonometrijsku formulu (usput, oni rade približno istu stvar s kotangensom, pogledajte metodološki materijal Vruće trigonometrijske formule Na stranici Matematičke formule, tabele i referentni materijali).

U ovom slučaju:

Kosinus nule jednak je jedan i lako ga se riješiti (ne zaboravite označiti da teži jedan):

Dakle, ako je u granici kosinus MNOŽITELJ, onda ga, grubo rečeno, treba pretvoriti u jedinicu, koja nestaje u proizvodu.

Ovdje je sve ispalo jednostavnije, bez ikakvih množenja i dijeljenja. Prva izuzetna granica se također pretvara u jedno i nestaje u proizvodu:

Kao rezultat, dobija se beskonačnost i to se dešava.

Primjer 4

Pronađite granicu

Pokušajmo zamijeniti nulu u brojnik i imenilac:

Dobije se nesigurnost (kosinus nule, kao što se sjećamo, jednak je jedan)

Koristimo trigonometrijsku formulu. Uzeti u obzir! Iz nekog razloga, ograničenja koja koriste ovu formulu su vrlo česta.

Pomaknimo konstantne faktore izvan ikone ograničenja:

Organizirajmo prvi divan limit:

Ovdje imamo samo jedno izuzetno ograničenje koje se pretvara u jedno i nestaje u proizvodu:

Riješimo se trospratne strukture:

Granica je zapravo riješena, ukazujemo da preostali sinus teži nuli:

Primjer 5

Pronađite granicu

Ovaj primjer je komplikovaniji, pokušajte sami shvatiti:

Neka ograničenja se mogu svesti na 1. izuzetnu granicu promjenom varijable, o tome možete pročitati malo kasnije u članku Metode rješavanja granica.

Druga divna granica

U teoriji matematičke analize dokazano je da:

Ova činjenica se zove druga divna granica.

referenca: je iracionalan broj.

Parametar može biti ne samo varijabla, već i složena funkcija. Važno je samo da teži beskonačnosti.

Primjer 6

Pronađite granicu

Kada je izraz ispod graničnog znaka u stepenu, ovo je prvi znak da trebate pokušati primijeniti drugu divnu granicu.

Ali prvo, kao i uvijek, pokušavamo zamijeniti beskonačno veliki broj u izraz, princip po kojem se to radi govori se u lekciji Ograničenja. Primjeri rješenja.

Lako je primijetiti da kada baza stepena je , a eksponent je , odnosno postoji nesigurnost oblika:

Ova neizvjesnost se upravo otkriva uz pomoć druge izvanredne granice. Ali, kao što se često dešava, druga divna granica ne leži na srebrnom tacni, i treba je veštački organizovati. Možete razmišljati na sljedeći način: u ovom primjeru parametar je , što znači da također trebamo organizirati u indikatoru. Da bismo to učinili, podižemo bazu na potenciju, a da se izraz ne promijeni, dižemo je na stepen:

Kada je zadatak završen rukom, olovkom označavamo:

Skoro sve je spremno, strašni stepen se pretvorio u lepo pismo:

U ovom slučaju premjestimo samu ikonu ograničenja na indikator:

Primjer 7

Pronađite granicu

Pažnja! Ova vrsta ograničenja se javlja vrlo često, molimo vas da pažljivo proučite ovaj primjer.

Pokušajmo zamijeniti beskonačno veliki broj u izraz ispod predznaka granice:

Rezultat je neizvjesnost. Ali druga izuzetna granica odnosi se na nesigurnost forme. sta da radim? Moramo da konvertujemo osnovu stepena. Mi razmišljamo ovako: u nazivniku imamo , što znači da u brojniku također trebamo organizirati .

Postoji nekoliko izuzetnih granica, ali najpoznatije su prva i druga izuzetna granica. Izvanredna stvar u vezi sa ovim ograničenjima je da se široko koriste i da se uz njihovu pomoć mogu pronaći i druga ograničenja koja se susreću u brojnim problemima. To je ono što ćemo raditi u praktičnom dijelu ove lekcije. Da bismo riješili probleme svođenjem na prvu ili drugu izvanrednu granicu, nema potrebe otkrivati ​​nesigurnosti sadržane u njima, budući da su vrijednosti ovih granica odavno zaključili veliki matematičari.

Prva izuzetna granica naziva se granica omjera sinusa infinitezimalnog luka i istog luka, izražena u radijanskoj mjeri:

Pređimo na rješavanje problema na prvoj izuzetnoj granici. Napomena: ako se ispod graničnog znaka nalazi trigonometrijska funkcija, to je gotovo siguran znak da se ovaj izraz može svesti na prvu izvanrednu granicu.

Primjer 1. Pronađite granicu.

Rješenje. Umjesto toga x nula dovodi do neizvjesnosti:

.

Imenilac je sinus, dakle, izraz se može dovesti do prve izuzetne granice. Započnimo transformaciju:

.

Imenilac je sinus od tri X, ali brojnik ima samo jedan X, što znači da morate dobiti tri X u brojiocu. Za što? Uvesti 3 x = a i dobiti izraz .

I dolazimo do varijacije prve izvanredne granice:

jer nije bitno koje slovo (varijabla) u ovoj formuli stoji umjesto X.

Pomnožimo X sa tri i odmah podijelimo:

.

U skladu s prvom uočenom značajnom granicom, zamjenjujemo frakcijski izraz:

Sada konačno možemo riješiti ovu granicu:

.

Primjer 2. Pronađite granicu.

Rješenje. Direktna zamjena opet dovodi do nesigurnosti "nula podijeljena nulom":

.

Da bismo dobili prvu izuzetnu granicu, potrebno je da x ispod predznaka sinusa u brojiocu i samo x u nazivniku imaju isti koeficijent. Neka je ovaj koeficijent jednak 2. Da biste to uradili, zamislite trenutni koeficijent za x kao ispod, izvodeći operacije sa razlomcima, dobijamo:

.

Primjer 3. Pronađite granicu.

Rješenje. Prilikom zamjene, opet dobivamo nesigurnost "nula podijeljena sa nulom":

.

Verovatno već razumete da iz originalnog izraza možete dobiti prvu divnu granicu pomnoženu sa prvom divnom granicom. Da bismo to učinili, razlažemo kvadrate x u brojiocu i sinus u nazivniku na identične faktore, a da bismo dobili iste koeficijente za x i sinus, podijelimo x u brojiocu sa 3 i odmah pomnožimo za 3. Dobijamo:

.

Primjer 4. Pronađite granicu.

Rješenje. Još jednom dobijamo nesigurnost "nula podeljena sa nulom":

.

Možemo dobiti omjer prve dvije izuzetne granice. Podijelimo i brojilac i imenilac sa x. Zatim, tako da se koeficijenti za sinuse i xes poklope, gornji x pomnožimo sa 2 i odmah podijelimo sa 2, a donji x pomnožimo sa 3 i odmah podijelimo sa 3. Dobijamo:

Primjer 5. Pronađite granicu.

Rješenje. I opet nesigurnost "nula podijeljena sa nulom":

Iz trigonometrije se sjećamo da je tangent omjer sinusa i kosinusa, a kosinus nule jednak je jedan. Izvodimo transformacije i dobijamo:

.

Primjer 6. Pronađite granicu.

Rješenje. Trigonometrijska funkcija pod znakom granice opet sugerira korištenje prve izvanredne granice. Predstavljamo ga kao omjer sinusa i kosinusa.

Termin "izuzetna granica" se široko koristi u udžbenicima i nastavnim sredstvima za označavanje važnih identiteta koji značajno pomažu pojednostavite svoj posao o pronalaženju granica.

Ali da biti u mogućnosti donijeti Vašu granicu izvanrednog, morate dobro pogledati, jer se oni ne nalaze u direktnom obliku, već često u obliku posljedica, opremljenih dodatnim terminima i faktorima. Međutim, prvo teorija, pa primjeri i uspjet ćete!

Prva divna granica

Sviđa mi se? Dodaj u oznake

Prvo značajno ograničenje je napisano na sljedeći način (neizvjesnost oblika $0/0$):

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin x)(x)=1. $$

Posljedice iz prve izvanredne granice

Primjeri rješenja: 1 divno ograničenje

Primjer 1. Izračunajte granicu $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x).$$

Rješenje. Prvi korak je uvijek isti - zamjenjujemo graničnu vrijednost $x=0$ u funkciju i dobijamo:

$$\left[ \frac(\sin 0)(0) \right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

Dobili smo nesigurnost oblika $\left[\frac(0)(0)\right]$, koju treba otkriti. Ako bolje pogledate, originalno ograničenje je vrlo slično prvom značajnom, ali nije isto. Naš zadatak je da ga dovedemo do sličnosti. Hajde da to transformišemo ovako - pogledajmo izraz ispod sinusa, uradimo isto u nazivniku (relativno rečeno, pomnožimo i podelimo sa $3x$), zatim smanjimo i pojednostavimo:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(3x)\frac(3x)(8x )=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x)\frac(3)(8)=\frac(3)(8). $$

Iznad je tačno prva izuzetna granica: $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x) = \lim\limits_(y\to 0)\frac(\sin (y) ))(y)=1, \text( napravio uslovnu zamjenu) y=3x. $$ odgovor: $3/8$.

Primjer 2. Izračunajte granicu $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x).$$

Rješenje. Zamjenjujemo graničnu vrijednost $x=0$ u funkciju i dobijamo:

$$\left[ \frac(1-\cos 0)(\tan 0\cdot \sin 0)\desno] =\left[ \frac(1-1)(0\cdot 0)\right] = \left [\frac(0)(0)\right].$$

Dobili smo nesigurnost oblika $\left[\frac(0)(0)\right]$. Transformirajmo granicu koristeći prvu divnu granicu (tri puta!) pojednostavljeno:

$$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac( 2 \sin^2 (3x/2))(\sin 2x\cdot \sin 4x)\cdot \cos 2x = $$ $$ = 2\lim\limits_(x\to 0)\frac( \sin^2 (3x/2) )((3x/2)^2) \cdot \frac( 2x)(\sin 2x) \cdot \frac( 4x)( \sin 4x)\cdot \frac( (3x/2)^2)( 2x \ cdot 4x) \cdot \cos 2x = $$ $$ =2\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac( (9/4)x^2)( 8x^2 ) \cdot \cos 2x= 2 \cdot \frac( 9)( 32) \lim\limits_(x\to 0) \cos 2x=\frac(9)(16). $$

odgovor: $9/16$.

Primjer 3. Pronađite granicu $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5).$$

Rješenje.Što ako postoji složen izraz pod trigonometrijskom funkcijom? Nema veze, i ovdje nastavljamo na isti način. Prvo, provjerimo vrstu nesigurnosti, zamijenimo $x=0$ u funkciju i dobijemo:

$$\left[ \frac(\sin (0+0))(0-0)\right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

Dobili smo nesigurnost oblika $\left[\frac(0)(0)\right]$. Pomnožite i podijelite sa $2x^3+3x$:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x) ^3+3x))((2x^3+3x)) \cdot \frac(2x^3+3x)(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot \frac( 2x^3+3x)(5x-x^5)= \left[\frac(0)(0)\right] = $$

Opet smo dobili nesigurnost, ali u ovom slučaju to je samo djelić. Smanjimo brojilac i imenilac za $x$:

$$ =\lim\limits_(x\to 0) \frac(2x^2+3)(5-x^4)= \left[\frac(0+3)(5-0)\desno] =\ frac(3)(5). $$

odgovor: $3/5$.

Druga divna granica

Druga izuzetna granica je napisana na sljedeći način (neizvjesnost oblika $1^\infty$):

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(1)(x)\right)^(x)=e, \quad \text(or) \quad \lim\limits_( x\to 0) \levo(1+x\desno)^(1/x)=e. $$

Posljedice druge izvanredne granice

Primjeri rješenja: 2 divna limita

Primjer 4. Pronađite granicu $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3).$$

Rješenje. Provjerimo vrstu nesigurnosti, zamijenimo $x=\infty$ u funkciju i dobijemo:

$$\left[ \left(1-\frac(2)(\infty)\right)^(\infty) \right] = \left.$$

Dobili smo nesigurnost oblika $\left$. Granica se može svesti na drugu izvanrednu stvar. transformirajmo:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) = \lim\limits_(x\to \infty)\left( 1+\frac(1)((-3x/2))\right)^(\frac(-3x/2)(-3x/2)(x+3))= $$ $$ = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\left(1+\frac(1)((-3x/2))\right)^((-3x/2))\right)^\frac(x+3 )(-3x/2)= $$

Izraz u zagradama je zapravo druga izuzetna granica $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, samo $t= - 3x/2$, dakle

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^\frac(x+3)(-3x/2)= \lim\limits_(x\to \infty)e^\ frac(1+3/x)(-3/2)=e^(-2/3). $$

odgovor:$e^(-2/3)$.

Primjer 5. Pronađite granicu $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x).$ $

Rješenje. Zamjenjujemo $x=\infty$ u funkciju i dobijamo nesigurnost oblika $\left[ \frac(\infty)(\infty)\right]$. I trebamo $\left$. Dakle, počnimo sa transformacijom izraza u zagradama:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\desno)^(x) = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\frac(x^3+(x-7)-(x-7)+2x^2+1)(x^3+x-7)\desno)^(x ) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac((x^3+x-7)+(-x+7+2x^2+1))(x^3+x-7 )\desno)^(x) = $$ $$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7) \desno)^(x) = \lim\limits_(x\do \infty)\left(\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)\desno) ^(\frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8))\desno)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)) = $$

Izraz u zagradama je zapravo druga izuzetna granica $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, samo $t= \ frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8) \to \infty$, dakle

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7))= \lim\limits_ (x\to \infty)e^( \frac(2x^2-x+8)(x^2+1-7/x))= \lim\limits_(x\to \infty)e^( \frac (2-1/x+8/x^2)(1+1/x^2-7/x^3))=e^(2). $$

Prva izvanredna granica se često koristi za izračunavanje granica koje sadrže sinus, arksinus, tangent, arktangens i rezultirajuće nesigurnosti nule podijeljene sa nulom.

Formula

Formula za prvu izuzetnu granicu je: $$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin\alpha)(\alpha) = 1 $$

Napominjemo da za $ \alpha\to 0 $ dobijamo $ \sin\alpha \to 0 $, tako da imamo nule u brojiocu i nazivniku. Dakle, formula prve izuzetne granice je potrebna da bi se otkrile nesigurnosti $ \frac(0)(0) $.

Za primjenu formule moraju biti ispunjena dva uslova:

1. Izrazi sadržani u sinusu i nazivniku razlomka su isti
2. Izrazi u sinusu i nazivniku razlomka teže nuli

Pažnja! $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(2x^2+1))(2x^2+1) \neq 1 $ Iako su izrazi ispod sinusa i u nazivniku isti, ipak $ 2x ^2+1 = 1 $, za $ x\do 0 $. Drugi uslov nije ispunjen, tako da NE MOŽETE primijeniti formulu!

Posljedice

Vrlo rijetko u zadacima možete vidjeti čistu prvu divnu granicu, u koju biste odmah mogli zapisati odgovor. U praksi sve izgleda malo kompliciranije, ali za takve slučajeve bit će korisno znati posljedice prve izvanredne granice. Zahvaljujući njima možete brzo izračunati potrebna ograničenja.

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\alpha)(\sin\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin(a\alpha))(\sin(b\alpha)) = \frac(a)(b) $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(tg\alpha)(\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\arcsin\alpha)(\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(arctg\alpha)(\alpha) = 1 $$

Primjeri rješenja

Razmotrimo prvu izvanrednu granicu, primjere njenog rješenja za izračunavanje granica koje sadrže trigonometrijske funkcije i nesigurnost $ \bigg[\frac(0)(0)\bigg] $

Članak: “Prva izuzetna granica, primjeri rješenja” govori o slučajevima u kojima je preporučljivo koristiti ovu formulu i njenim posljedicama.