DRŽAVNA OBRAZOVNA USTANOVA

"Srednja škola Krivljanskaya"

ZHABINKOVSKY DISTRICT

FIBONACCI BROJEVI I ZLATNI Omjer

Istraživanja

Završeni radovi:

Učenik 10. razreda

Sadovničik Valerija Aleksejevna

Supervizor:

Lavrenyuk Larisa Nikolaevna,

nastavnik informatike i

Matematika 1 kvalifikacija

Fibonačijevi brojevi i priroda

Karakteristična karakteristika strukture biljaka i njihovog razvoja je spiralnost. Čak je i Gete, koji je bio ne samo veliki pesnik, već i prirodni naučnik, smatrao spiralnost jednom od karakterističnih osobina svih organizama, manifestacijom najdublje suštine života. Vitice biljaka se uvijaju u spiralu, rast tkiva u stablima drveća odvija se spiralno, sjemenke u suncokretu su spiralno smještene, spiralni pokreti (nutacije) se uočavaju tokom rasta korijena i izdanaka.

Na prvi pogled može se činiti da broj listova i cvjetova može varirati u vrlo širokim granicama i poprimiti bilo koju vrijednost. Ali takav zaključak se ispostavlja neodrživim. Istraživanja su pokazala da broj istoimenih organa u biljkama nije proizvoljan, postoje vrijednosti koje se često nalaze i vrijednosti koje su vrlo rijetke.

U živoj prirodi rasprostranjeni su oblici zasnovani na peterokutnoj simetriji - morske zvijezde, morski ježevi, cvijeće.

Slika 13. Buttercup

Kamilica ima 55 ili 89 latica.

Slika 14. Kamilica

Buhač ima 34 latice.

Phot. 15. Piretrum

Pogledajmo šišarku. Vage na njegovoj površini su raspoređene strogo pravilno - duž dvije spirale koje se sijeku približno pod pravim kutom. Broj takvih spirala u šišarkama je 8 i 13 ili 13 i 21.

Slika 16. Kornet

U korpama suncokreta sjemenke su također raspoređene u dvije spirale, njihov broj je obično 34/55, 55/89.

Slika 17. Suncokret

Pogledajmo pobliže školjke. Ako izbrojite broj "rebara za ukrućenje" prve školjke, nasumično uzetih, ispada da je 21. Uzmimo drugu, treću, petu, desetu školjku - svi će imati 21 rebro na površini. Očigledno, mekušci nisu bili samo dobri inženjeri, oni su "znali" Fibonačijeve brojeve.

Slika 18. Shell

Ovde ponovo vidimo prirodnu kombinaciju Fibonačijevih brojeva koji se nalaze u blizini: 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55, 55/89. Njihov odnos u granici teži zlatnoj proporciji, izražen brojem 0,61803...

Fibonačijevi brojevi i životinje

Broj zraka morske zvijezde odgovara nizu Fibonačijevih brojeva ili im je vrlo blizak i jednak je 5,8, 13,21,34,55.

Slika 19. Morska zvijezda

Moderni zglavkari su vrlo raznoliki. Jastog ima i pet pari nogu, pet pera na repu, trbuh je podijeljen na pet segmenata, a svaka noga se sastoji od pet dijelova.

Phot. 20. jastoga

Kod nekih insekata trbuh se sastoji od osam segmenata, postoje tri para udova koji se sastoje od osam dijelova, a iz usnog otvora izlazi osam različitih organa nalik na antene. Naš poznati komarac ima tri para nogu, trbuh je podijeljen na osam segmenata, a na glavi ima pet antena. Larva komaraca podijeljena je u 12 segmenata.

Phot. 21. Mosquito

Trbuh kupusne muhe podijeljen je na pet dijelova, ima tri para nogu, a larva je podijeljena na osam segmenata. Svako od dva krila je tankim žilama podijeljeno na osam dijelova.

Gusjenice mnogih insekata podijeljene su u 13 segmenata, na primjer, gusjenice kožne bube, mukozne bube i mavarske bube. Kod većine štetočina, gusjenica je podijeljena na 13 segmenata. Struktura nogu buba je vrlo karakteristična. Svaka noga se sastoji od tri dijela, kao kod viših životinja - ramena, podlaktice i šape. Tanke, otvorene noge buba podijeljene su na pet dijelova.

Ažurna, prozirna, bestežinska krila vilinog konjica remek su delo „inženjerskog“ majstorstva prirode. Koje su proporcije osnova za dizajn ove male leteće mišićne ravnine? Odnos raspona krila i dužine tijela kod mnogih vretenaca je 4/3. Tijelo vretenca podijeljeno je na dva glavna dijela: masivno tijelo i dugačak, tanak rep. Tijelo ima tri dijela: glavu, grudi, stomak. Trbuh je podijeljen na pet segmenata, a rep se sastoji od osam dijelova. Ovdje također trebate dodati tri para nogu sa njihovom podjelom na tri dijela.

Phot. 22. Dragonfly

U ovom nizu dijeljenja cjeline na dijelove nije teško vidjeti odvijanje niza Fibonačijevih brojeva. Dužina repa, tijela i ukupna dužina vretenca međusobno su povezani zlatnim omjerom: omjer dužina repa i tijela jednak je omjeru ukupne dužine i dužine repa.

Nije iznenađujuće što vreten konjic izgleda tako savršeno, jer je stvoren po zakonima zlatnog omjera.

Pogled na kornjaču na pozadini takira prekrivenog pukotinama je nevjerovatan fenomen. U sredini školjke nalazi se veliko ovalno polje sa velikim sraslim rožnatim pločama, a uz rubove je rub manjih ploča.

Phot. 23. Kornjača

Uzmite bilo koju kornjaču - od nama bliske močvarne kornjače do džinovske morske kornjače - i uvjerit ćete se da je uzorak na njihovom oklopu sličan: na ovalnom polju je 13 spojenih rožnatih ploča - 5 ploča u sredini i 8 na rubovima, a na rubnoj granici oko 21 ploču (čileanska kornjača ima tačno 21 ploču duž periferije oklopa). Kornjače imaju 5 prstiju na nogama, a kičmeni stub se sastoji od 34 pršljena. Lako je vidjeti da sve ove vrijednosti odgovaraju Fibonačijevim brojevima. Shodno tome, razvoj kornjače, formiranje njenog tijela, podjela cjeline na dijelove izvršena je prema zakonu Fibonaccijevog niza brojeva.

Najviša vrsta životinja na planeti su sisari. Broj rebara kod mnogih životinjskih vrsta jednak je ili blizu trinaest. Kod potpuno različitih sisara – kitova, deva, jelena, patulja – broj rebara je 13 ± 1. Broj pršljenova uvelike varira, posebno zbog repova, koji čak i kod iste vrste životinja mogu biti različite dužine. Ali u mnogima od njih broj pršljenova je jednak ili blizu 34 i 55. Dakle, divovski jelen ima 34 pršljena, a kit 55.

Skelet udova domaćih životinja sastoji se od tri identične koštane karike: humerus (karlične) kosti, kosti podlaktice (tibia) i kosti šape (stopalo). Stopalo se pak sastoji od tri koštane karike.

Broj zuba kod mnogih domaćih životinja teži Fibonačijevim brojevima: zec ima 14 parova, pas, svinja i konj imaju 21 ± 1 par zuba. Kod divljih životinja broj zuba varira šire: kod jednog tobolčarskog grabežljivca iznosi 54, kod hijene - 34, kod jedne vrste dupina dostiže 233. Ukupan broj kostiju u skeletu domaćih životinja (uključujući zube) u jednoj grupi je blizu 230, au drugoj - do 300. Treba napomenuti da broj kostiju skeleta ne uključuje male slušne koščice i nestabilne koštice. Uzimajući ih u obzir, ukupan broj skeletnih kostiju kod mnogih životinja bit će blizu 233, a kod drugih premašiti 300. Kao što vidimo, podjelu tijela, praćenu razvojem skeleta, karakteriše diskretna promjena u broju kostiju u raznim organima životinja, a ti brojevi odgovaraju Fibonaccijevim brojevima ili su im vrlo bliski, formirajući red 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233. Odnos veličine većine kokošjih jaja je 4:3 (neke 3/2), sjemenki bundeve - 3:2, sjemenki lubenice - 3/2. Pokazalo se da je omjer dužine šišarki i njihovog promjera 2:1. Veličine listova breze u prosjeku su vrlo blizu, a žira - 5:2.

Vjeruje se da ako je potrebno podijeliti cvjetni travnjak na dva dijela (trava i cvijeće), onda ove pruge ne bi trebale biti jednake po širini; bit će ljepše ako ih uzmete u omjeru 5: 8 ili 8:13, tj. koristite proporciju koja se zove "zlatni omjer".

Fibonačijevi brojevi i fotografija

Kada se primjenjuje na fotografsku umjetnost, zlatni omjer dijeli okvir na 9 nejednakih pravokutnika po dvije horizontalne i dvije vertikalne linije. Kako bi sebi olakšali snimanje uravnoteženih slika, fotografi su malo pojednostavili zadatak i počeli dijeliti kadar na 9 jednakih pravokutnika u skladu sa Fibonačijevim brojevima. Tako je pravilo zlatnog preseka pretvoreno u pravilo trećine, koje se odnosi na jedan od principa kompozicije.

Phot. 24. Okvir i zlatni rez

U tražilima modernih digitalnih fotoaparata fokusne tačke se nalaze na 2/8 pozicija ili na zamišljenim linijama koje dijele kadar prema zlatnom omjeru.

Slika 25. Digitalni fotoaparat i tačke fokusa

Slika 26.

Slika 27. Fotografija i fokusne tačke

Pravilo trećine važi za sve predmetne kompozicije: bilo da snimate pejzaž ili portret, mrtvu prirodu ili reportažu. Sve dok vaš osjećaj za harmoniju ne postane stečen i nesvjestan, pridržavanje jednostavnog pravila trećina omogućit će vam snimanje ekspresivnih, harmoničnih i uravnoteženih slika.

Slika 28. Fotografija i odnos neba i zemlje 1 prema 2.

Najuspješniji primjer za demonstraciju je pejzaž. Princip kompozicije je da nebo i zemlja (ili vodena površina) treba da imaju odnos 1:2. Jedna trećina okvira treba da bude dodijeljena nebu, a dvije trećine kopnu, ili obrnuto.

Slika 29. Fotografija cvijeta koji se uvija u spiralu

Fibonači i prostor

Odnos vode i kopna na planeti Zemlji je 62% i 38%.

Veličine Zemlje i Mjeseca su u zlatnom omjeru.

Slika 30. Veličine Zemlje i Mjeseca

Slika prikazuje relativne veličine Zemlje i Mjeseca u mjerilu.

Nacrtajmo poluprečnik Zemlje. Nacrtajmo segment od središnje tačke Zemlje do središnje tačke Mjeseca čija će dužina biti jednaka). Nacrtajmo segment da spojimo dva data segmenta u trougao. Dobijamo zlatni trougao.

Saturn pokazuje zlatni rez u nekoliko svojih dimenzija

Slika 31. Saturn i njegovi prstenovi

Saturnov prečnik je usko povezan sa zlatnim prečnikom sa prečnikom prstenova, kao što je prikazano zelenim linijama.Radijus unutraUnutrašnji dio prstenova je u omjeru vrlo bliskom vanjskom prečniku prstenova, kao što je prikazano plavom linijom.

Udaljenost planeta od Sunca također prati zlatni rez.

Slika 32. Udaljenost planeta od Sunca

Zlatni presek u svakodnevnom životu

Zlatni omjer se također koristi za davanje stila i privlačnosti u marketingu i dizajnu svakodnevnih potrošačkih proizvoda. Primjera je mnogo, ali mi ćemo ilustrovati samo neke.

Slika 33. AmblemToyota

Slika 34. Zlatni omjer i odjeća

Slika 34. Zlatni omjer i dizajn automobila

Slika 35. AmblemApple

Slika 36. AmblemGoogle

Studije slučaja

Sada ćemo stečeno znanje primijeniti u praksi. Hajde da prvo izvršimo mere među učenicima 8. razreda.

Ako pažljivo pogledate televizijsku sliku, njene dimenzije će biti 16 prema 9 ili 16 do 10, što je također blizu zlatnog omjera.

Izvođenje mjerenja i konstrukcija u CorelDRAW X4 i koristeći okvir sa kanala vijesti Russia 24, možete pronaći sljedeće:

a) odnos dužine i širine okvira je 1,7.

b) osoba u kadru se nalazi tačno na tačkama fokusa koje se nalaze na udaljenosti od 3/8.

Zatim, okrenimo se službenom mikroblogu novina Izvestia, drugim riječima, Twitter stranici. Za ekran monitora sa stranicama 4:3, vidimo da je “zaglavlje” stranice 3/8 ukupne visine stranice.

Ako pažljivo pogledate vojne kape, možete pronaći sljedeće:

a) kapa ministra odbrane Ruske Federacije ima omjer naznačenih dijelova od 21,73 prema 15,52, jednak 1,4.

b) kapa granične straže Republike Bjelorusije ima dimenzije navedenih dijelova 44,42 do 21,33, što je jednako 2,1.

c) kapa iz vremena SSSR-a ima dimenzije navedenih dijelova 49,67 do 31,04, što je jednako 1,6.

Za ovaj model, dužina haljine je 113,13 mm.

Ako haljinu “doradimo” do “idealne” dužine, dobićemo ovakvu sliku.

Sva mjerenja imaju neku grešku, budući da su izvedena sa fotografija, što ne ometa sagledavanje trenda - sve što je idealno sadrži zlatni rez u ovom ili onom stepenu.

Zaključak

Svijet žive prirode nam se čini potpuno drugačijim - pokretnim, promjenjivim i iznenađujuće raznolikim. Život nam pokazuje fantastičan karneval različitosti i jedinstvenosti kreativnih kombinacija! Svijet nežive prirode je, prije svega, svijet simetrije, koja njegovim kreacijama daje stabilnost i ljepotu. Prirodni svijet je, prije svega, svijet harmonije, u kojem djeluje “zakon zlatnog preseka”.

“Čini se da je „zlatni rez“ onaj trenutak istine, bez kojeg, generalno, ništa postojeće nije moguće. Šta god da uzmemo kao element istraživanja, „zlatni presek“ će biti svuda; čak i ako nema vidljivog poštovanja toga, onda se to svakako dešava na energetskom, molekularnom ili ćelijskom nivou.

Ispostavilo se da je priroda monotona (i stoga ujedinjena!) u manifestaciji svojih temeljnih zakona. “Najuspješnija” rješenja koja je pronašla primjenjuju se na širok spektar objekata i na široku paletu oblika organizacije. Kontinuitet i diskretnost organizacije proizilazi iz dualnog jedinstva materije - njene korpuskularne i talasne prirode, prodire u hemiju, gde daje zakone celobrojne stehiometrije, hemijska jedinjenja konstantnog i promenljivog sastava. U botanici, kontinuitet i diskretnost nalaze svoj specifičan izraz u filotaksiji, kvantima diskretnosti, kvantima rasta, jedinstvu diskretnosti i kontinuitetu prostorno-vremenske organizacije. A sada se u brojčanim odnosima biljnih organa pojavljuje „princip višestrukih odnosa“ koji je uveo A. Gursky - potpuno ponavljanje osnovnog zakona hemije.

Naravno, izjava da su sve ove pojave zasnovane na Fibonačijevom nizu zvuči preglasno, ali trend je očigledan. A osim toga, i sama je daleko od savršenstva, kao i sve na ovom svijetu.

Postoji pretpostavka da je Fibonačijev niz pokušaj prirode da se prilagodi fundamentalnijem i savršenijem logaritamskom nizu zlatnog preseka, koji je skoro isti, samo što počinje niotkuda i ide nikuda. Prirodi je svakako potreban nekakav cijeli početak od kojeg može krenuti; ne može stvoriti nešto ni iz čega. Omjeri prvih članova Fibonačijevog niza su daleko od zlatnog omjera. Ali što se dalje krećemo, ta odstupanja se više izglađuju. Za definisanje bilo koje serije dovoljno je poznavati njena tri pojma, koja dolaze jedan za drugim. Ali ne za zlatni niz, dva su mu dovoljna, to je geometrijska i aritmetička progresija u isto vrijeme. Moglo bi se pomisliti da je to osnova za sve ostale sekvence.

Svaki član zlatnog logaritamskog niza je stepen zlatne proporcije (). Dio serije izgleda otprilike ovako:... ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ... Ako vrijednost Zlatnog omjera zaokružimo na tri decimale, dobićemo=1,618 , tada serija izgleda ovako:... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... Svaki sljedeći član se može dobiti ne samo množenjem prethodnog sa1,618 , ali i dodavanjem dva prethodna. Dakle, eksponencijalni rast se postiže jednostavnim dodavanjem dva susjedna elementa. To je niz bez početka i kraja, a to je ono što Fibonačijev niz pokušava da bude. Imajući vrlo određen početak, teži idealu, nikad ga ne postiže. To je život.

Pa ipak, u vezi sa svime što smo vidjeli i pročitali, nameću se sasvim logična pitanja:
Odakle ti brojevi? Ko je ovaj arhitekta svemira koji je pokušao da ga učini idealnim? Je li ikada sve bilo onako kako je želio? I ako jeste, zašto je pošlo po zlu? Mutacije? Slobodan izbor? Šta će biti sljedeće? Da li se spirala uvija ili odmotava?

Nakon što ste pronašli odgovor na jedno pitanje, dobit ćete sljedeće. Ako ga riješite, dobit ćete dva nova. Kada se pozabavite njima, pojavit će se još tri. Kada i njih riješite, imat ćete pet neriješenih. Onda osam, pa trinaest, 21, 34, 55...

Spisak korištenih izvora

Vasyutinsky, N. Zlatna proporcija / Vasyutinsky N, Moskva, Mlada garda, 1990, - 238 str. - (Eureka).

Vorobyov, N.N. Fibonačijevi brojevi,

Način pristupa: . Datum pristupa: 17.11.2015.

Način pristupa: . Datum pristupa: 16.11.2015.

Način pristupa: . Datum pristupa: 13.11.2015.

Hajde da saznamo šta je zajedničko drevnim egipatskim piramidama, Mona Lizi Leonarda da Vinčija, suncokretu, pužu, šišarki i ljudskim prstima?

Odgovor na ovo pitanje krije se u nevjerovatnim brojkama koje su otkrivene Italijanski srednjovekovni matematičar Leonardo iz Pize, poznatiji pod imenom Fibonači (rođen oko 1170 - umro posle 1228), italijanski matematičar . Putujući po Istoku, upoznao se sa dostignućima arapske matematike; doprinijelo njihovom prelasku na Zapad.

Nakon njegovog otkrića, ovi brojevi su se počeli zvati po slavnom matematičaru. Neverovatna suština Fibonačijevog niza brojeva je to da se svaki broj u ovom nizu dobija iz zbira prethodna dva broja.

Dakle, brojevi koji formiraju niz:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, …

nazivaju se “Fibonačijevi brojevi”, a sam niz naziva se Fibonačijev niz.

Postoji jedna vrlo zanimljiva karakteristika Fibonačijevih brojeva. Prilikom dijeljenja bilo kojeg broja iz niza brojem ispred njega u nizu, rezultat će uvijek biti vrijednost koja fluktuira oko iracionalne vrijednosti 1,61803398875... i ponekad je prelazi, ponekad ne dostiže. (Približno iracionalan broj, tj. broj čija je decimalna reprezentacija beskonačna i neperiodična)

Štaviše, nakon 13. broja u nizu, ovaj rezultat dijeljenja postaje konstantan do beskonačnosti niza... Upravo se taj konstantni broj podjela u srednjem vijeku zvao Božanska proporcija, a sada se naziva zlatni omjer, zlatna sredina ili zlatna proporcija. . U algebri, ovaj broj se označava grčkim slovom phi (F)

Dakle, zlatni omjer = 1:1,618

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

987 / 610 = 1,618

1597 / 987 = 1,618

2584 / 1597 = 1,618

Ljudsko tijelo i zlatni rez

Umjetnici, naučnici, modni dizajneri, dizajneri prave svoje proračune, crteže ili skice na osnovu omjera zlatnog omjera. Koriste mjerenja iz ljudskog tijela, koje je također kreirano po principu zlatnog preseka. Prije nego što su stvorili svoja remek-djela, Leonardo Da Vinci i Le Corbusier su uzeli parametre ljudskog tijela, stvorenog po zakonu zlatne proporcije.

Najvažnija knjiga svih modernih arhitekata, referentna knjiga E. Neuferta “Projektovanje zgrada”, sadrži osnovne proračune parametara ljudskog torza, koji sadrže zlatnu proporciju.

Proporcije različitih dijelova našeg tijela su brojevi koji su vrlo bliski zlatnom rezu. Ako se ove proporcije poklapaju s formulom zlatnog omjera, onda se izgled ili tijelo osobe smatra idealno proporcionalnim. Princip izračunavanja zlatne mjere na ljudskom tijelu može se prikazati u obliku dijagrama:

M/m=1,618

Prvi primjer zlatnog omjera u strukturi ljudskog tijela:
Ako uzmemo tačku pupka kao centar ljudskog tijela, a rastojanje između stopala osobe i tačke pupka kao jedinicu mjere, tada je visina osobe ekvivalentna broju 1,618.

Osim ovoga, postoji još nekoliko osnovnih zlatnih proporcija našeg tijela:

* rastojanje od vrhova prstiju preko ručnog zgloba do lakta je 1:1,618;

* rastojanje od nivoa ramena do vrha glave i veličina glave je 1:1,618;

* rastojanje od tačke pupka do tjemena i od nivoa ramena do tjemena je 1:1,618;

* udaljenost tačke pupka do koljena i od koljena do stopala je 1:1,618;

* rastojanje od vrha brade do vrha gornje usne i od vrha gornje usne do nozdrva je 1:1,618;

* udaljenost od vrha brade do gornje linije obrva i od gornje linije obrva do tjemena je 1:1,618;

*razmak od vrha brade do gornje linije obrva i od gornje linije obrva do tjemena je 1:1,618:

Zlatni rez u ljudskim crtama lica kao kriterijum savršene lepote.

U strukturi ljudskih crta lica također postoji mnogo primjera koji su po vrijednosti bliski formuli zlatnog omjera. Međutim, nemojte odmah žuriti da vladar izmjeri lica svih ljudi. Jer tačne korespondencije zlatnog preseka, prema naučnicima i umetnicima, umetnicima i vajarima, postoje samo kod ljudi sa savršenom lepotom. Zapravo, tačna prisutnost zlatne proporcije na licu osobe je ideal ljepote za ljudski pogled.

Na primjer, ako zbrojimo širinu dva prednja gornja zuba i podijelimo ovaj zbroj sa visinom zuba, onda, nakon što smo dobili broj zlatnog omjera, možemo reći da je struktura ovih zuba idealna.

Postoje i druga oličenja pravila zlatnog preseka na ljudskom licu. Evo nekoliko od ovih odnosa:

*Visina/širina lica;

* Centralna tačka spajanja usana sa bazom nosa/dužina nosa;

* Visina lica/razdaljina od vrha brade do centralne tačke gde se spajaju usne;

*Širina usta/širina nosa;

* Širina nosa / rastojanje između nozdrva;

* Udaljenost između zjenica / udaljenost između obrva.

Ljudska ruka

Dovoljno je samo približiti dlan sebi i pažljivo pogledati kažiprst i odmah ćete u njemu pronaći formulu zlatnog preseka. Svaki prst naše ruke sastoji se od tri falange.

* Zbir prve dve falange prsta u odnosu na celu dužinu prsta daje broj zlatnog preseka (sa izuzetkom palca);

* Pored toga, odnos srednjeg prsta i malog prsta je takođe jednak zlatnom preseku;

* Osoba ima 2 ruke, prsti na svakoj ruci se sastoje od 3 falange (osim palca). Na svakoj ruci ima 5 prstiju, odnosno ukupno 10, ali sa izuzetkom dva dvofalančna palca, samo 8 prstiju je kreirano po principu zlatnog preseka. Dok su svi ovi brojevi 2, 3, 5 i 8 brojevi Fibonačijevog niza:

Zlatni omjer u strukturi ljudskih pluća

Američki fizičar B.D. West i dr. A.L. Goldberger je tokom fizikalnih i anatomskih studija utvrdio da zlatni rez postoji i u strukturi ljudskih pluća.

Posebnost bronhija koji čine ljudska pluća leži u njihovoj asimetriji. Bronhi se sastoje od dva glavna disajna puta, od kojih je jedan (lijevi) duži, a drugi (desni) kraći.

* Utvrđeno je da se ova asimetrija nastavlja u granama bronha, u svim manjim disajnim putevima. Štaviše, omjer dužina kratkih i dugih bronha je također zlatni omjer i jednak je 1:1,618.

Struktura zlatnog ortogonalnog četverokuta i spirale

Zlatni rez je takva proporcionalna podjela segmenta na nejednake dijelove, pri čemu je cijeli segment povezan s većim dijelom kao što je sam veći dio povezan s manjim; ili drugim riječima, manji segment je prema većem kao što je veći prema cjelini.

U geometriji, pravougaonik sa ovim omjerom širine i visine počeo se nazivati ​​zlatnim pravougaonikom. Duge strane su mu u odnosu na kratke strane u omjeru 1.168:1.

Zlatni pravougaonik takođe ima mnoga neverovatna svojstva. Zlatni pravougaonik ima mnogo neobičnih svojstava. Odsecanjem kvadrata iz zlatnog pravougaonika, čija je stranica jednaka manjoj strani pravougaonika, ponovo se dobija zlatni pravougaonik manjih dimenzija. Ovaj proces se može nastaviti u nedogled. Kako nastavimo s odsijecanjem kvadrata, na kraju ćemo dobiti sve manje i manje zlatne pravokutnike. Štoviše, oni će biti smješteni u logaritamskoj spirali, što je važno u matematičkim modelima prirodnih objekata (na primjer, školjke puževa).

Pol spirale leži na presjeku dijagonala početnog pravougaonika i prvog okomitog pravougaonika koji treba rezati. Štaviše, dijagonale svih kasnijih opadajućih zlatnih pravokutnika leže na tim dijagonalama. Naravno, tu je i zlatni trougao.

Engleski dizajner i estetičar William Charlton izjavio je da ljudi smatraju da su spiralni oblici ugodni za oko i da ih koriste hiljadama godina, objašnjavajući to na sljedeći način:

“Sviđa nam se izgled spirale jer je vizualno možemo lako pogledati.”

U prirodi

* Pravilo zlatnog preseka, koje je u osnovi strukture spirale, u prirodi se vrlo često nalazi u kreacijama neuporedive lepote. Najočigledniji primjeri su da se spiralni oblik može vidjeti u rasporedu sjemenki suncokreta, šišarki, ananasa, kaktusa, strukturi latica ruže itd.;

* Botaničari su otkrili da se u rasporedu listova na grani, sjemenki suncokreta ili šišarki jasno manifestuje Fibonačijev niz, pa se stoga manifestuje zakon zlatnog preseka;

Svemogući Gospodar je za svaku Svoju tvorevinu ustanovio posebnu mjeru i dao joj proporcionalnost, što potvrđuju primjeri koji se nalaze u prirodi. Može se dati mnogo primjera kada se proces rasta živih organizama odvija u strogom skladu s oblikom logaritamske spirale.

Sve opruge u spirali imaju isti oblik. Matematičari su otkrili da čak i uz povećanje veličine opruga, oblik spirale ostaje nepromijenjen. Ne postoji drugi oblik u matematici koji ima ista jedinstvena svojstva kao spirala.

Struktura morskih školjki

Naučnici koji su proučavali unutrašnju i vanjsku strukturu školjki mekih mekušaca koji žive na dnu mora izjavili su:

“Unutarnja površina školjki je besprijekorno glatka, dok je vanjska površina potpuno prekrivena hrapavostima i nepravilnostima. Mekušac je bio u školjki i za to je unutrašnja površina školjke morala biti savršeno glatka. Vanjski uglovi-zavoji školjke povećavaju njenu čvrstoću, tvrdoću i time povećavaju njenu čvrstoću. Savršenstvo i zadivljujuća inteligencija strukture školjke (puža) je nevjerovatna. Spiralna ideja školjki je savršena geometrijska forma i nevjerovatna je u svojoj izbrušenoj ljepoti."

Kod većine puževa koji imaju školjke, školjka raste u obliku logaritamske spirale. Međutim, nema sumnje da ova nerazumna stvorenja ne samo da nemaju pojma o logaritamskoj spirali, već nemaju čak ni najjednostavnije matematičko znanje da sami sebi naprave školjku u obliku spirale.

Ali kako su onda ta nerazumna stvorenja bila u stanju da odrede i izaberu za sebe idealan oblik rasta i postojanja u obliku spiralne ljuske? Da li bi ta živa bića, koja naučni svijet naziva primitivnim oblicima života, mogla izračunati da bi logaritamski oblik školjke bio idealan za njihovo postojanje?

Naravno da nije, jer se takav plan ne može ostvariti bez pameti i znanja. Ali ni primitivni mekušci ni nesvjesna priroda ne posjeduju takvu inteligenciju, koju, međutim, neki naučnici nazivaju tvorcem života na zemlji (?!)

Pokušaj da se nastanak takvog čak i najprimitivnijeg oblika života objasni slučajnim spletom određenih prirodnih okolnosti je u najmanju ruku apsurdno. Jasno je da je ovaj projekat svjesna kreacija.

Biolog Sir D'arky Thompson ovu vrstu rasta naziva školjkama "forma rasta patuljaka."

Sir Thompson daje ovaj komentar:

“Ne postoji jednostavniji sistem od rasta morskih školjki, koje rastu i šire se proporcionalno, zadržavajući isti oblik. Najčudnije je da školjka raste, ali nikada ne mijenja oblik.”

Nautilus, prečnika nekoliko centimetara, najupečatljiviji je primjer navike rasta gnoma. S. Morrison ovako opisuje ovaj proces rasta nautilusa, koji se čini prilično teškim za planiranje čak i ljudskim umom:

„Unutar školjke nautilusa ima mnogo pregrada-prostorija sa pregradama od sedefa, a sama školjka iznutra je spiralna koja se širi od centra. Kako nautilus raste, u prednjem dijelu školjke raste još jedna prostorija, ali ovaj put je veća od prethodne, a pregrade prostorije koje su ostale prekrivene su slojem sedefa. Dakle, spirala se proporcionalno širi cijelo vrijeme.”

Evo samo nekih tipova spiralnih školjki sa logaritamskim obrascem rasta u skladu sa njihovim naučnim nazivima:
Haliotis Parvus, Dolium Perdix, Murex, Fusus Antiquus, Scalari Pretiosa, Solarium Trochleare.

Svi otkriveni fosilni ostaci školjki također su imali razvijen spiralni oblik.

Međutim, logaritamski oblik rasta nalazi se u životinjskom svijetu ne samo kod mekušaca. Rogovi antilopa, divljih koza, ovnova i drugih sličnih životinja također se razvijaju u obliku spirale prema zakonima zlatnog omjera.

Zlatni presek u ljudskom uhu

U ljudskom unutrašnjem uhu nalazi se organ koji se zove Cochlea (“Puž”), koji obavlja funkciju prenošenja zvučne vibracije. Ova koštana struktura ispunjena je tekućinom i također je u obliku puža, koji sadrži stabilan logaritamski spiralni oblik = 73º 43'.

Rogovi i kljove životinja razvijaju se u spiralnom obliku

Kljove slonova i izumrlih mamuta, kandže lavova i kljunovi papagaja logaritamskog su oblika i podsjećaju na oblik osi koja teži da se pretvori u spiralu. Pauci uvijek tkaju svoje mreže u obliku logaritamske spirale. Struktura mikroorganizama kao što je plankton (vrste globigerinae, planorbis, vortex, terebra, turitellae i trochida) također imaju spiralni oblik.

Zlatni omjer u strukturi mikrokosmosa

Geometrijski oblici nisu ograničeni samo na trokut, kvadrat, peterokut ili šesterokut. Ako ove figure međusobno povežemo na različite načine, dobićemo nove trodimenzionalne geometrijske figure. Primjeri za to su figure kao što su kocka ili piramida. No, osim njih, postoje i druge trodimenzionalne figure s kojima se nismo susreli u svakodnevnom životu, a čija imena čujemo, možda, prvi put. Među takvim trodimenzionalnim figurama su tetraedar (pravilna četverostrana figura), oktaedar, dodekaedar, ikosaedar itd. Dodekaedar se sastoji od 13 pentagona, a ikosaedar od 20 trouglova. Matematičari primjećuju da se ove figure matematički vrlo lako transformiraju, a njihova transformacija se odvija u skladu s formulom logaritamske spirale zlatnog omjera.

U mikrokosmosu, trodimenzionalni logaritamski oblici izgrađeni prema zlatnim proporcijama su sveprisutni . Na primjer, mnogi virusi imaju trodimenzionalni geometrijski oblik ikosaedra. Možda je najpoznatiji od ovih virusa Adeno virus. Proteinska ljuska Adeno virusa formirana je od 252 jedinice proteinskih ćelija raspoređenih u određenom nizu. U svakom uglu ikosaedra nalazi se 12 jedinica proteinskih ćelija u obliku pentagonalne prizme i iz ovih uglova se protežu strukture nalik šiljcima.

Zlatni omjer u strukturi virusa prvi je put otkriven 1950-ih godina. naučnici sa Birkbeck College London A. Klug i D. Kaspar. 13 Polio virus je prvi pokazao logaritamsku formu. Ispostavilo se da je oblik ovog virusa sličan obliku virusa Rhino 14.

Postavlja se pitanje kako virusi formiraju tako složene trodimenzionalne oblike, čija struktura sadrži zlatni rez, koje je prilično teško konstruirati čak i našim ljudskim umom? Otkrivač ovih oblika virusa, virolog A. Klug, daje sljedeći komentar:

„Dr Kaspar i ja smo pokazali da je za sferni omotač virusa najoptimalniji oblik simetrija kao što je oblik ikosaedra. Ovaj redoslijed minimizira broj spojnih elemenata... Većina Buckminster Fullerovih geodetskih hemisferičnih kocki izgrađena je na sličnom geometrijskom principu. 14 Instalacija ovakvih kocki zahteva izuzetno tačan i detaljan dijagram objašnjenja. Dok nesvjesni virusi sami grade tako složenu ljusku od elastičnih, fleksibilnih proteinskih staničnih jedinica.”

prema knjizi B. Biggsa "Živica se pojavila iz magle"

O Fibonaccijevim brojevima i trgovanju

Kao uvod u temu, osvrnimo se ukratko na tehničku analizu. Ukratko, tehnička analiza ima za cilj da predvidi buduće kretanje cijene neke imovine na osnovu prošlih istorijskih podataka. Najpoznatija formulacija njegovih pristalica je da cijena već uključuje sve potrebne informacije. Implementacija tehničke analize započela je razvojem berzanskih špekulacija i vjerovatno još nije u potpunosti završena, jer potencijalno obećava neograničenu zaradu. Najpoznatije metode (termini) u tehničkoj analizi su nivoi podrške i otpora, japanski svijećnjaci, brojke koje najavljuju preokret cijene, itd.

Paradoks situacije, po mom mišljenju, leži u sljedećem – većina opisanih metoda je postala toliko raširena da, uprkos nedostatku baze dokaza o njihovoj djelotvornosti, zapravo imaju priliku utjecati na ponašanje tržišta. Stoga bi čak i skeptici koji koriste fundamentalne podatke trebali uzeti u obzir ove koncepte jednostavno zato što ih mnogi drugi igrači („tehničari“) uzimaju u obzir. Tehnička analiza može dobro da funkcioniše na istoriji, ali u praksi gotovo niko ne uspeva da zaradi stabilan novac uz nju - mnogo je lakše obogatiti se izdavanjem knjige u velikim količinama o tome „kako postati milioner koristeći tehničku analizu“. .

U tom smislu izdvaja se Fibonačijeva teorija, koja se takođe koristi za predviđanje cena za različite periode. Njene sljedbenike obično zovu "talasati". Posebno se izdvaja po tome što se nije pojavio istovremeno sa tržištem, već mnogo ranije – čak 800 godina. Druga njegova karakteristika je da se teorija reflektuje gotovo kao svjetski koncept za opisivanje svega i svakoga, a tržište je samo poseban slučaj za njenu primjenu. Efikasnost teorije i period njenog postojanja daju joj nove pristalice i nove pokušaje da se na njenoj osnovi stvori najmanje kontroverzan i opšteprihvaćen opis ponašanja tržišta. Ali, nažalost, teorija nije napredovala dalje od pojedinačnih uspješnih predviđanja tržišta, koja se mogu izjednačiti sa srećom.

Suština Fibonačijeve teorije

Fibonači je proživeo dug život, posebno za svoje vreme, koje je posvetio rešavanju niza matematičkih problema, formulišući ih u svom obimnom delu „Knjiga o abakusu“ (početak 13. veka). Uvijek ga je zanimao misticizam brojeva - vjerovatno nije bio manje briljantan od Arhimeda ili Euklida. Probleme u vezi sa kvadratnim jednačinama postavljao je i djelomično rješavao pred Fibonačijem, na primjer poznati Omar Khayyam, naučnik i pjesnik; međutim, Fibonači je formulisao problem reprodukcije zečeva, zaključci iz kojih su mu doneli nešto što je omogućilo da se njegovo ime ne izgubi u vekovima.

Ukratko, zadatak je sljedeći. Par zečeva je stavljen na mesto sa svih strana ograđeno zidom, a svaki par kunića svakog meseca rađa još jedan par, počev od drugog meseca svog postojanja. Reprodukcija zečeva tokom vremena će biti opisana redosledom: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, itd. Sa matematičke tačke gledišta, niz se pokazao jednostavno jedinstvenim, jer je imao niz izvanrednih svojstava:

• zbir bilo koja dva uzastopna broja je sljedeći broj u nizu;

• odnos svakog broja u nizu, počevši od petog, do prethodnog je 1,618;

• razlika između kvadrata bilo kojeg broja i kvadrata broja dvije pozicije lijevo će biti Fibonačijev broj;

• zbir kvadrata susjednih brojeva bit će Fibonačijev broj, koji je dva mjesta iza najvećeg broja na kvadrat

Od ovih nalaza, drugi je najzanimljiviji jer koristi broj 1,618, poznat kao "zlatni omjer". Ovaj broj je bio poznat starim Grcima, koji su ga koristili prilikom izgradnje Partenona (usput, prema nekim izvorima, Centralna banka je služila Grcima). Ništa manje zanimljivo je da se broj 1.618 može naći u prirodi i na mikro i na makro skali - od spiralnih zavoja na puževoj ljusci do velikih spirala kosmičkih galaksija. Piramide u Gizi, koje su stvorili stari Egipćani, takođe su sadržavale nekoliko parametara Fibonačijevog niza tokom izgradnje. Pravougaonik, čija je jedna strana 1.618 puta veća od druge, izgleda najprijatnije oku - ovaj omjer je koristio Leonardo da Vinci za svoje slike, a u svakodnevnom smislu ponekad se koristio prilikom kreiranja prozora ili vrata. Čak i val, kao na slici na početku članka, može se predstaviti kao Fibonačijeva spirala.

U živoj prirodi, Fibonačijev slijed se ne pojavljuje rjeđe - može se naći u kandžama, zubima, suncokretima, paučinim mrežama, pa čak i u rastu bakterija. Po želji, postojanost se može naći u gotovo svemu, uključujući ljudsko lice i tijelo. Pa ipak, vjeruje se da su mnoge tvrdnje koje pronalaze Fibonaccijeve brojeve u prirodnim i povijesnim pojavama netačne - ovo je uobičajen mit koji se često ispostavi da ne odgovara željenom rezultatu.

Fibonačijevi brojevi na finansijskim tržištima

Jedan od prvih koji je najviše bio uključen u primjenu Fibonačijevih brojeva na finansijskom tržištu bio je R. Elliot. Njegov rad nije bio uzaludan u smislu da se tržišni opisi koji koriste Fibonačijevu teoriju često nazivaju "Elliottovim valovima". Razvoj tržišta ovdje se zasnivao na modelu ljudskog razvoja od superciklusa sa tri koraka naprijed i dva koraka nazad. Činjenica da se čovječanstvo razvija nelinearno je očigledna gotovo svima - znanje o starom Egiptu i atomističkom učenju Demokrita potpuno je izgubljeno u srednjem vijeku, tj. nakon otprilike 2000 godina; 20. vek je stvorio takav užas i beznačajnost ljudskog života da je bilo teško zamisliti čak i u doba punskih ratova Grka. Međutim, čak i ako prihvatimo teoriju koraka i njihov broj kao istinu, veličina svakog koraka ostaje nejasna, što Elliottove valove čini usporedivim s prediktivnom snagom glave i repa. Polazna tačka i ispravan proračun broja talasa bili su i očigledno će biti glavna slabost teorije.

Ipak, teorija je imala lokalne uspjehe. Bob Pretcher, koji se može smatrati Eliotovim učenikom, tačno je predvidio bikovsko tržište ranih 1980-ih i vidio 1987. kao prekretnicu. To se zapravo i dogodilo, nakon čega se Bob očito osjećao kao genije – barem u očima drugih, zasigurno je postao investicijski guru. Prechterova pretplata na Elliott Wave Theorist narasla je na 20.000 te godine.međutim, ona se smanjila početkom 1990-ih, jer je daljnja predviđana "propast i sumor" američkog tržišta odlučila malo odgoditi. Međutim, to je upalilo za japansko tržište, a jedan broj pristalica teorije, koji su tamo "zakasnili" za jedan talas, izgubio je ili kapital ili kapital klijenata svojih kompanija. Na isti način i sa istim uspjehom često pokušavaju primijeniti teoriju na trgovanje na deviznom tržištu.

Teorija pokriva različite periode trgovanja - od sedmičnih, što je čini sličnom standardnim strategijama tehničke analize, do kalkulacija za decenije, tj. ulazi u teritoriju fundamentalnih predviđanja. Ovo je moguće variranjem broja talasa. Gore spomenute slabosti teorije omogućavaju njenim pristašama da govore ne o nekonzistentnosti valova, već o vlastitim pogrešnim proračunima među njima i pogrešnoj definiciji početne pozicije. To je poput lavirinta - čak i ako imate pravu mapu, možete je pratiti samo ako razumijete tačno gdje se nalazite. U suprotnom, kartica nije od koristi. U slučaju Elliottovih valova, postoje svi znakovi sumnje ne samo u ispravnost vaše lokacije, već i u tačnost karte kao takve.

zaključci

Talasni razvoj čovječanstva ima realnu osnovu - u srednjem vijeku smjenjivali su se talasi inflacije i deflacije, kada su ratovi ustupili mjesto relativno mirnom mirnom životu. Promatranje Fibonačijevog niza u prirodi, barem u nekim slučajevima, također ne izaziva sumnje. Dakle, svako ima pravo dati svoj odgovor na pitanje ko je Bog: matematičar ili generator slučajnih brojeva. Moje lično mišljenje je da iako se čitava ljudska istorija i tržišta mogu predstaviti u konceptu talasa, visinu i trajanje svakog talasa niko ne može predvideti.

Istovremeno, 200 godina posmatranja američkog tržišta i više od 100 godina drugih tržišta jasno pokazuju da tržište akcija raste, prolazi kroz različite periode rasta i stagnacije. Ova činjenica je sasvim dovoljna za dugoročnu zaradu na berzi, bez pribjegavanja kontroverznim teorijama i povjeravanja im većeg kapitala nego što bi trebalo biti u okviru razumnih rizika.

U posljednje vrijeme, radeći u individualnim i grupnim procesima sa ljudima, vratio sam se razmišljanjima o spajanju svih procesa (karmičkih, mentalnih, fizioloških, duhovnih, transformacijskih, itd.) u jedan.

Prijatelji iza vela sve više otkrivaju sliku višedimenzionalnog Čovjeka i povezanost svega u svemu.

Unutrašnji poriv me je naveo da se vratim starim studijama sa brojevima i još jednom pogledam knjigu Drunvala Melkisedeka "Drevna tajna cveta života".

U to vrijeme u bioskopima je prikazan film "Da Vincijev kod". Nije mi namjera da raspravljam o kvaliteti, vrijednosti ili istinitosti ovog filma. Ali trenutak sa šifrom, kada su brojke počele ubrzano da se kreću, za mene je postao jedan od ključnih trenutaka u ovom filmu.

Intuicija mi je govorila da je vrijedno obratiti pažnju na Fibonačijev niz brojeva i zlatni omjer. Ako pogledate na internetu da pronađete nešto o Fibonačiju, bićete bombardovani informacijama. Saznat ćete da je ovaj niz bio poznat u svako doba. Zastupljen je u prirodi i prostoru, u tehnologiji i nauci, u arhitekturi i slikarstvu, u muzici i proporcijama u ljudskom tijelu, u DNK i RNK. Mnogi istraživači ovog niza došli su do zaključka da ključni događaji u životu osobe, države i civilizacije također podliježu zakonu zlatnog omjera.

Čini se da je Čovjeku dat temeljni nagovještaj.

Tada se javlja misao da Osoba može svjesno primijeniti princip zlatnog preseka da povrati zdravlje i ispravi sudbinu, tj. pojednostavljivanje tekućih procesa u vlastitom univerzumu, širenje svijesti, vraćanje u dobrobit.

Prisjetimo se zajedno Fibonaccijevog niza:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025…

Svaki naredni broj se formira dodavanjem dva prethodna:

1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, itd.

Sada predlažem da se svaki broj u nizu svede na jednu znamenku: 1, 1, 2, 3, 5, 8,

13=1+3(4), 21=2+1(3), 34=3+4(7), 55=5+5(1), 89= 8+9(8), 144=1+4+4(9)…

Evo šta smo dobili:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 9…1, 1, 2…

niz od 24 broja koji se ponavlja od 25.

75025=7+5+0+2+5=19=1+0=1, 121393=1+2+1+3+9+3=19=1+0=1…

Ne čini li vam se to čudnim ili prirodnim

• ima 24 sata u danu,
• svemirske kuće - 24,
• DNK niti - 24,
• 24 starješine iz Božje zvijezde Sirius,
• Ponavljajući niz u Fibonačijevom nizu je 24 cifre.

Ako je rezultirajući niz napisan na sljedeći način,

1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9

8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 9

9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9,

onda ćemo vidjeti da 1. i 13. broj niza, 2. i 14., 3. i 15., 4. i 16.... 12. i 24. zbrajaju 9 .

3 3 6 9 6 6 3 9

Prilikom testiranja ovih brojeva, dobili smo:

• Princip djeteta;
• Očev princip;
• Mother Principle;
• Princip jedinstva.

Zlatni omjer matrice

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

2 2 4 6 1 7 8 6 5 2 7 9 7 7 5 3 8 2 1 3 4 7 2 9

4 4 8 3 2 5 7 3 1 4 5 9 5 5 1 6 7 4 2 6 8 5 4 9

3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9

8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9

8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9

7 7 5 3 8 2 1 3 4 7 2 9 2 2 4 6 1 7 8 6 5 2 7 9

4 4 8 3 2 5 7 3 1 4 5 9 5 5 1 6 7 4 2 6 8 5 4 9

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

5 5 1 6 7 4 2 6 8 5 4 9 4 4 8 3 2 5 7 3 1 4 5 9

6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9

2 2 4 6 1 7 8 6 5 2 7 9 7 7 5 3 8 2 1 3 4 7 2 9

8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

Praktična primjena Fibonačijevog niza

Jedan od mojih prijatelja je izrazio namjeru da sa njim individualno radi na temi razvoja njegovih sposobnosti i sposobnosti.

Neočekivano, na samom početku, Sai Baba je ušao u proces i pozvao me da ga pratim.

Počeli smo da se uzdižemo unutar Božanske monade našeg prijatelja i, napuštajući je kroz Kauzalno telo, našli smo se u drugoj realnosti na nivou Kosmičke Kuće.

Oni koji su proučavali djela Marka i Elizabete Claire Prophets znaju učenje o kosmičkom satu koje im je prenijela Majka Marija.

Na nivou Kosmičke kuće, Jurij je ugledao krug sa unutrašnjim središtem sa 12 strelica.

Starešina koji nas je sreo na ovom nivou je rekao da pred nama Božanski sat i 12 kazaljki predstavljaju 12 (24) Manifestacija Božanskih Aspekata... (moguće Kreatora).

Što se tiče kosmičkog sata, oni su se nalazili ispod božanskog sata po principu energetske osmice.

— U kom modusu su Božanski satovi u odnosu na vas?

— Kazaljke na satu miruju, nema kretanja.Sada mi dolaze misli da sam prije mnogo eona napustio Božansku svijest i slijedio drugačiji put, put Magičara. Svi moji magični artefakti i amajlije, koje imam i koje sam akumulirao u sebi tokom mnogih inkarnacija, na ovom nivou izgledaju kao zvečke za bebe. Na suptilnom planu, oni predstavljaju sliku magične energetske odjeće.

— Završeno.Međutim, ja blagosiljam svoje magično iskustvo.Življenje ovog iskustva me je zaista motivisalo da se vratim izvoru, celovitosti.Nude mi da skinem svoje magične artefakte i stanem u centar Sata.

— Šta treba učiniti da se aktivira Božanski sat?

— Sai Baba se ponovo pojavio i nudi da izrazi nameru da poveže Srebrnu strunu sa satom. Kaže i da imate neku vrstu niza brojeva. On je ključ za aktivaciju. Slika Čovjeka Leonarda da Vincija pojavljuje se pred vašim umnim okom.

- 12 puta.

„Molim vas da Bog-centrirate cijeli proces i usmjerite energiju niza brojeva da aktivirate Božanski sat.

Pročitajte naglas 12 puta

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9…

U procesu čitanja kazaljke na Satu su se počele pomicati.

Energija je tekla duž srebrne žice povezujući sve nivoe Jurine monade, kao i zemaljske i nebeske energije...

Najneočekivanije u ovom procesu bilo je to što su se na Satu pojavila četiri Entiteta, koji su neki dijelovi Jedne cjeline sa Yurom.

Tokom komunikacije postalo je jasno da je nekada postojala podjela Centralne duše, i svaki dio je izabrao svoje područje u svemiru za implementaciju.

Donesena je odluka o integraciji, što se dogodilo u centru Divine Hours.

Rezultat ovog procesa je stvaranje zajedničkog kristala na ovom nivou.

Nakon ovoga, sjetio sam se da je Sai Baba jednom govorio o određenom Planu, koji uključuje prvo povezivanje dvije Esencije u jednu, zatim četiri, i tako dalje po binarnom principu.

Naravno, ova serija brojeva nije lijek za sve. Ovo je samo alat koji vam omogućava da brzo obavite neophodan rad sa osobom, da ga vertikalno uskladite sa različitim nivoima Bića.

Italijanski matematičar Leonardo Fibonači živio je u 13. veku i bio je jedan od prvih u Evropi koji je koristio arapske (indijske) brojeve. Došao je do pomalo vještačkog problema o zečevima koji se uzgajaju na farmi, koji se svi smatraju ženkama, a mužjaci se zanemaruju. Kunići počinju da se razmnožavaju nakon što napune dva meseca, a zatim svakog meseca rađaju kunića. Zečevi nikad ne umiru.

Moramo odrediti koliko će zečeva biti na farmi n mjeseci, ako je u početku bio samo jedan novorođeni zec.

Očigledno, farmer ima jednog zeca u prvom mjesecu i jednog zeca u drugom mjesecu. Do trećeg meseca biće dva zeca, do četvrtog tri, itd. Označimo broj zečeva u n mjesec kao . dakle,
,
,
,
,
, …

Moguće je konstruisati algoritam za pronalaženje na bilo koji n.

Prema opisu problema ukupan broj zečeva
V n+1 mjesec je podijeljen u tri komponente:

jednomjesečnih kunića nesposobnih za reprodukciju, u količini od

;

Dakle, dobijamo

. (8.1)

Formula (8.1) vam omogućava da izračunate niz brojeva: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, . ..

Brojevi u ovom nizu se pozivaju Fibonačijevi brojevi .

Ako prihvatimo
I
, tada pomoću formule (8.1) možete odrediti sve ostale Fibonačijeve brojeve. Formula (8.1) se zove ponavljajuća formula ( recidiv – „povratak” na latinskom).

Primjer 8.1. Pretpostavimo da unutra postoji stepenište n stepenice. Možemo se penjati korakom od jedne stepenice ili u koracima od dva stepenika. Koliko kombinacija različitih metoda dizanja postoji?

Ako n= 1, postoji samo jedno rješenje problema. Za n= 2 postoje 2 opcije: dva jednostruka ili jedna dvostruka. Za n= 3 postoje 3 opcije: tri pojedinačne stepenice, ili jedna jednostruka i jedna dvostruka, ili jedna dvostruka i jedna jednostruka.

U sledećem slučaju n= 4, imamo 5 mogućnosti (1+1+1+1, 2+1+1, 1+2+1, 1+1+2, 2+2).

Da bi nasumično odgovorio na postavljeno pitanje n, označimo broj opcija kao , i hajde da pokušamo da utvrdimo
prema poznatom I
. Ako počnemo sa jednim korakom, onda imamo kombinacije za preostale n stepenice. Ako počnemo s dvostrukim korakom, onda imamo
kombinacije za preostale n–1 korak. Ukupan broj opcija za n+1 korak je jednako

. (8.2)

Rezultirajuća formula liči na formulu (8.1) kao blizanac. Međutim, to nam ne dozvoljava da identifikujemo broj kombinacija sa Fibonačijevim brojevima . Vidimo, na primjer, to
, Ali
. Međutim, javlja se sljedeća ovisnost:

.

Ovo je tačno za n= 1, 2, a takođe važi za sve n. Fibonačijevi brojevi i broj kombinacija izračunavaju se koristeći istu formulu, ali početne vrijednosti
,
I
,
razlikuju se.

Primjer 8.2. Ovaj primjer je od praktične važnosti za probleme kodiranja s ispravljanjem grešaka. Pronađite broj svih binarnih riječi dužine n, koji ne sadrži nekoliko nula u nizu. Označimo ovaj broj sa . Očigledno,
, a riječi dužine 2 koje zadovoljavaju naše ograničenje su: 10, 01, 11, tj.
. Neka
- takva reč od n karaktera. Ako simbol
, To
može biti proizvoljan (
)-doslovna riječ koja ne sadrži nekoliko nula u nizu. To znači da je broj riječi koje završavaju na jednu
.

Ako simbol
, onda definitivno
, i prvi
simbol
mogu biti proizvoljni, podložni razmatranim ograničenjima. Dakle, postoji
dužina reči n sa nulom na kraju. Dakle, ukupan broj riječi koje nas zanimaju jednak je

.

S obzirom na to
I
, rezultirajući niz brojeva su Fibonačijevi brojevi.

Primjer 8.3. U primjeru 7.6 našli smo da je broj binarnih riječi konstantne težine t(i dužina k) jednako . Sada pronađimo broj binarnih riječi konstantne težine t, koji ne sadrži nekoliko nula u nizu.

Možeš razmišljati ovako. Neka
broj nula u dotičnim riječima. Svaka reč ima
razmaci između najbližih nula, od kojih svaka sadrži jednu ili više jedinica. Pretpostavlja se da
. Inače, nema nijedne riječi bez susjednih nula.

Ako uklonimo tačno jednu jedinicu iz svakog intervala, dobićemo riječ dužine
koji sadrži nule. Svaka takva riječ može se dobiti na naznačen način od nekih (i samo jedne) k-doslovna riječ koja sadrži nule, od kojih dvije nisu susjedne. To znači da se traženi broj poklapa sa brojem svih riječi dužine
, koji sadrži tačno nule, tj. jednaki
.

Primjer 8.4. Dokažimo da je zbir
jednak Fibonaccijevim brojevima za bilo koji cijeli broj . Simbol
stoji za najmanji cijeli broj veći ili jednak . Na primjer, ako
, To
; i ako
, To
ceil("plafon"). Tu je i simbol
, što označava najveći cijeli broj manji ili jednak . Na engleskom se ova operacija zove sprat ("pod").

Ako
, To
. Ako
, To
. Ako
, To
.

Dakle, za razmatrane slučajeve, zbir je zaista jednak Fibonačijevim brojevima. Sada predstavljamo dokaz za opšti slučaj. Budući da se Fibonačijevi brojevi mogu dobiti pomoću rekurentne jednačine (8.1), jednakost mora biti zadovoljena:

.

I zapravo radi:

Ovdje smo koristili prethodno dobijenu formulu (4.4):
.

Zbir Fibonačijevih brojeva

Odredimo zbir prvog n Fibonačijevi brojevi.

0+1+1+2+3+5 = 12,

0+1+1+2+3+5+8 = 20,

0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.

Lako je vidjeti da dodavanjem jednog na desnu stranu svake jednačine ponovo dobijamo Fibonačijev broj. Opća formula za određivanje sume prvog n Fibonačijevi brojevi imaju oblik:

Dokažimo to metodom matematičke indukcije. Da to uradimo, napišimo:

Ovaj iznos bi trebao biti jednak
.

Smanjujući lijevu i desnu stranu jednačine za –1, dobivamo jednačinu (6.1).

Formula za Fibonačijeve brojeve

Teorema 8.1. Fibonačijevi brojevi se mogu izračunati pomoću formule

.

Dokaz. Provjerimo valjanost ove formule za n= 0, 1, a onda ćemo dokazati valjanost ove formule za proizvoljno n indukcijom. Izračunajmo omjer dva najbliža Fibonačijeva broja:

Vidimo da omjer ovih brojeva fluktuira oko 1,618 (ako zanemarimo prvih nekoliko vrijednosti). Ovo svojstvo Fibonačijevih brojeva liči na pojmove geometrijske progresije. Hajde da prihvatimo
, (
). Zatim izraz

pretvoren u

koji nakon pojednostavljenja izgleda ovako

.

Dobili smo kvadratnu jednačinu čiji su korijeni jednaki:

Sada možemo napisati:

(Gdje c je konstanta). Oba člana I nemojte davati Fibonaccijeve brojeve, na primjer
, dok
. Međutim, razlika
zadovoljava jednadžbu ponavljanja:

Za n=0 ova razlika daje , to je:
. Međutim, kada n=1 imamo
. Za dobijanje
, morate prihvatiti:
.

Sada imamo dva niza: I
, koji počinju sa ista dva broja i zadovoljavaju istu formulu ponavljanja. Oni moraju biti jednaki:
. Teorema je dokazana.

Prilikom povećanja nčlan postaje veoma velika dok
i ulogu člana razlika je smanjena. Stoga, na slobodi n možemo otprilike napisati

.

Zanemarujemo 1/2 (pošto se Fibonačijevi brojevi povećavaju do beskonačnosti kao n do beskonačnosti).

Stav
pozvao zlatni omjer, koristi se izvan matematike (na primjer, u skulpturi i arhitekturi). Zlatni omjer je omjer između dijagonale i strane pravilan pentagon(Sl. 8.1).

Rice. 8.1. Pravilni petougao i njegove dijagonale

Za označavanje zlatnog omjera uobičajeno je koristiti slovo
u čast poznatog atinskog vajara Fidija.

primarni brojevi

Svi prirodni brojevi, veliki, spadaju u dvije klase. Prvi uključuje brojeve koji imaju tačno dva prirodna djelitelja, jedan i sebe, drugi uključuje sve ostale. Pozivaju se brojevi prve klase jednostavno, a drugi – kompozitni. Prosti brojevi unutar prve tri desetice: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...

Svojstva prostih brojeva i njihov odnos sa svim prirodnim brojevima proučavao je Euklid (3. vek pre nove ere). Ako zapišete redom proste brojeve, primijetit ćete da se njihova relativna gustoća smanjuje. Za prvih deset je 4, odnosno 40%, za stotinu – 25, tj. 25%, na hiljadu – 168, tj. manje od 17%, na milion – 78498, tj. manje od 8% itd. Međutim, njihov ukupan broj je beskonačan.

Među prostim brojevima postoje parovi takvih brojeva čija je razlika jednaka dva (tzv. jednostavni blizanci), međutim, konačnost ili beskonačnost takvih parova nije dokazana.

Euklid je smatrao očiglednim da se množenjem samo prostih brojeva mogu dobiti svi prirodni brojevi, a svaki prirodni broj može se predstaviti kao proizvod prostih brojeva na jedinstven način (do reda faktora). Dakle, prosti brojevi čine multiplikativnu osnovu prirodnog niza.

Proučavanje distribucije prostih brojeva dovelo je do stvaranja algoritma koji omogućava dobijanje tablica prostih brojeva. Takav algoritam je Eratostenovo sito(3. vek pne). Ova metoda se sastoji od eliminacije (na primjer, brisanjem) tih cijelih brojeva datog niza
, koji su djeljivi s barem jednim manjim prostim brojevima
.

Teorema 8 . 2 . (Euklidova teorema). Broj prostih brojeva je beskonačan.

Dokaz. Euklidovu teoremu o beskonačnosti broja prostih brojeva dokazat ćemo metodom koju je predložio Leonhard Euler (1707–1783). Ojler je razmatrao proizvod nad svim prostim brojevima str:

at
. Ovaj proizvod konvergira, a ako se proširi, onda, zbog jedinstvenosti dekompozicije prirodnih brojeva na proste faktore, ispada da je jednak zbroju niza , iz čega slijedi Eulerov identitet:

.

Od kada
red s desne strane divergira (harmonični niz), tada Euklidov teorem slijedi iz Ojlerovog identiteta.

Ruski matematičar P.L. Čebišev (1821–1894) je izveo formulu koja određuje granice unutar kojih se nalazi broj prostih brojeva
, ne prelazi X:

,

Gdje
,
.