Lösungen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen nach der Gaußschen Methode. Gauß-Methode für Dummies: Lösungsbeispiele

Wir betrachten weiterhin lineare Gleichungssysteme. Diese Lektion ist die dritte zu diesem Thema. Wenn Sie eine vage Vorstellung davon haben, was ein System linearer Gleichungen im Allgemeinen ist, wenn Sie sich wie eine Teekanne fühlen, dann empfehle ich Ihnen, mit den Grundlagen auf der nächsten Seite zu beginnen. Es ist nützlich, die Lektion zu studieren.

Die Gaußsche Methode ist einfach! Warum? Der berühmte deutsche Mathematiker Johann Carl Friedrich Gauß erhielt zu seinen Lebzeiten Anerkennung als größter Mathematiker aller Zeiten, als Genie und erhielt sogar den Spitznamen „König der Mathematik“. Und alles Geniale ist bekanntlich einfach!Übrigens bekommen nicht nur Trottel Geld, sondern auch Genies – das Porträt von Gauß befand sich auf der 10-Mark-Banknote (vor der Einführung des Euro), und Gauß lächelt die Deutschen immer noch geheimnisvoll von gewöhnlichen Briefmarken aus an.

Die Gauß-Methode ist insofern einfach, als das Wissen eines Schülers der fünften Klasse ausreicht, um sie zu beherrschen. Sie müssen wissen, wie man addiert und multipliziert! Es ist kein Zufall, dass Lehrer in Wahlfächern für Schulmathematik häufig die Methode des sequentiellen Ausschlusses von Unbekannten in Betracht ziehen. Es ist paradox, aber Studenten finden die Gaußsche Methode am schwierigsten. Kein Wunder – es dreht sich alles um die Methodik, und ich werde versuchen, in einer zugänglichen Form über den Algorithmus der Methode zu sprechen.

Lassen Sie uns zunächst ein wenig Wissen über lineare Gleichungssysteme systematisieren. Ein System linearer Gleichungen kann:

1) Haben Sie eine einzigartige Lösung. 2) Habe unendlich viele Lösungen. 3) Keine Lösungen haben (sein nicht gelenkig).

Die Gauß-Methode ist das leistungsstärkste und universellste Werkzeug zur Lösungsfindung beliebig Systeme linearer Gleichungen. Wie wir uns erinnern, Cramers Regel und Matrixmethode sind ungeeignet, wenn das System unendlich viele Lösungen hat oder inkonsistent ist. Und die Methode der sequentiellen Eliminierung von Unbekannten auf jeden Fall wird uns zur Antwort führen! In dieser Lektion betrachten wir erneut die Gauß-Methode für Fall Nr. 1 (die einzige Lösung des Systems), ein Artikel ist den Situationen der Punkte Nr. 2-3 gewidmet. Ich stelle fest, dass der Algorithmus der Methode selbst in allen drei Fällen gleich funktioniert.

Kehren wir zum einfachsten System aus der Lektion zurück Wie löst man ein lineares Gleichungssystem? und löse es mit der Gaußschen Methode.

Der erste Schritt ist das Aufschreiben erweiterte Systemmatrix: . Ich denke, jeder kann erkennen, nach welchem ​​Prinzip die Koeffizienten geschrieben sind. Die vertikale Linie innerhalb der Matrix hat keine mathematische Bedeutung – sie ist zur einfacheren Gestaltung lediglich durchgestrichen.

Referenz : Ich empfehle Ihnen, sich daran zu erinnern Bedingungen Lineare Algebra. Systemmatrix ist eine Matrix, die nur aus Koeffizienten für Unbekannte besteht, in diesem Beispiel die Matrix des Systems: . Erweiterte Systemmatrix – Dies ist die gleiche Matrix des Systems plus einer Spalte mit freien Begriffen, in diesem Fall: . Der Kürze halber kann jede der Matrizen einfach als Matrix bezeichnet werden.

Nachdem die erweiterte Systemmatrix geschrieben wurde, müssen einige Aktionen damit ausgeführt werden, die auch aufgerufen werden elementare Transformationen.

Es gibt folgende elementare Transformationen:

1) Saiten Matrizen Kann neu anordnen an einigen Stellen. In der betrachteten Matrix können Sie beispielsweise die erste und zweite Zeile problemlos neu anordnen:

2) Wenn es in der Matrix proportionale (im Sonderfall identische) Zeilen gibt (oder erschienen ist), dann sollten Sie dies tun löschen Bis auf eine stammen alle diese Zeilen aus der Matrix. Betrachten Sie zum Beispiel die Matrix . In dieser Matrix sind die letzten drei Zeilen proportional, daher reicht es aus, nur eine davon zu belassen: .

3) Wenn bei Transformationen eine Nullzeile in der Matrix erscheint, dann sollte dies auch der Fall sein löschen. Ich werde natürlich nicht zeichnen, die Nulllinie ist die Linie, in der alles Nullen.

4) Die Matrixzeile kann sein multiplizieren (dividieren) zu einer beliebigen Zahl ungleich Null. Betrachten Sie zum Beispiel die Matrix. Hier empfiehlt es sich, die erste Zeile durch –3 zu dividieren und die zweite Zeile mit 2 zu multiplizieren: . Diese Aktion ist sehr nützlich, da sie weitere Transformationen der Matrix vereinfacht.

5) Diese Transformation bereitet die meisten Schwierigkeiten, ist aber eigentlich auch nicht kompliziert. Zu einer Zeile einer Matrix können Sie Fügen Sie eine weitere Zeichenfolge hinzu, multipliziert mit einer Zahl, verschieden von Null. Schauen wir uns unsere Matrix anhand eines praktischen Beispiels an: . Zuerst werde ich die Transformation ausführlich beschreiben. Multiplizieren Sie die erste Zeile mit –2: , Und Zur zweiten Zeile addieren wir die erste Zeile multipliziert mit –2: . Jetzt kann die erste Zeile durch –2 „zurück“ geteilt werden: . Wie Sie sehen können, ist die Zeile HINZUGEFÜGT LI – hat sich nicht geändert. Stets die Zeile TO WHICH IS ADDED ändert sich UT.

In der Praxis schreiben sie es natürlich nicht so ausführlich, sondern kurz: Noch einmal: zur zweiten Zeile fügte die erste Zeile multipliziert mit –2 hinzu. Eine Zeile wird normalerweise mündlich oder auf einem Entwurf multipliziert, wobei der mentale Berechnungsprozess etwa so abläuft:

„Ich schreibe die Matrix neu und schreibe die erste Zeile neu: »

"Erste Spalte. Unten muss ich Null bekommen. Deshalb multipliziere ich die Eins oben mit –2: und füge die erste zur zweiten Zeile hinzu: 2 + (–2) = 0. Das Ergebnis schreibe ich in die zweite Zeile: »

„Jetzt die zweite Spalte. Oben multipliziere ich -1 mit -2: . Das erste füge ich zur zweiten Zeile hinzu: 1 + 2 = 3. Das Ergebnis schreibe ich in die zweite Zeile: »

„Und die dritte Spalte. Oben multipliziere ich -5 mit -2: . Das erste füge ich zur zweiten Zeile hinzu: –7 + 10 = 3. Das Ergebnis schreibe ich in die zweite Zeile: »

Bitte verstehen Sie dieses Beispiel sorgfältig und verstehen Sie den sequentiellen Berechnungsalgorithmus. Wenn Sie dies verstehen, liegt die Gaußsche Methode praktisch in Ihrer Tasche. Aber natürlich werden wir weiterhin an dieser Transformation arbeiten.

Elementartransformationen verändern die Lösung des Gleichungssystems nicht

! AUFMERKSAMKEIT: als Manipulationen angesehen Kann ich nicht benutzen, wenn Ihnen eine Aufgabe angeboten wird, bei der die Matrizen „von selbst“ vorgegeben werden. Zum Beispiel mit „klassisch“ Operationen mit Matrizen Auf keinen Fall sollten Sie innerhalb der Matrizen irgendetwas umstellen! Kehren wir zu unserem System zurück. Es wird praktisch in Stücke gerissen.

Schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems auf und reduzieren sie mithilfe elementarer Transformationen auf Stufenansicht:

(1) Die erste Zeile wurde zur zweiten Zeile addiert, multipliziert mit –2. Und noch einmal: Warum multiplizieren wir die erste Zeile mit –2? Um unten eine Null zu erhalten, bedeutet dies, dass eine Variable in der zweiten Zeile entfernt wird.

(2) Teilen Sie die zweite Zeile durch 3.

Der Zweck elementarer Transformationen – Reduzieren Sie die Matrix auf eine schrittweise Form: . Bei der Gestaltung der Aufgabe markieren sie einfach die „Treppe“ mit einem einfachen Bleistift und kreisen auch die Zahlen ein, die sich auf den „Stufen“ befinden. Der Begriff „Stufenansicht“ selbst ist nicht ganz theoretisch; in der wissenschaftlichen und pädagogischen Literatur wird er oft genannt trapezförmige Ansicht oder Dreiecksansicht.

Als Ergebnis elementarer Transformationen haben wir erhalten Äquivalent ursprüngliches Gleichungssystem:

Nun muss das System in die entgegengesetzte Richtung – von unten nach oben – „abgewickelt“ werden, nennt man diesen Vorgang Umkehrung der Gaußschen Methode.

In der unteren Gleichung haben wir bereits ein fertiges Ergebnis: .

Betrachten wir die erste Gleichung des Systems und ersetzen wir darin den bereits bekannten Wert von „y“:

Betrachten wir die häufigste Situation, wenn die Gaußsche Methode die Lösung eines Systems aus drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten erfordert.

Beispiel 1

Lösen Sie das Gleichungssystem mit der Gauß-Methode:

Schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems:

Jetzt zeichne ich gleich das Ergebnis auf, zu dem wir bei der Lösung kommen werden: Und ich wiederhole, unser Ziel ist es, die Matrix mithilfe elementarer Transformationen in eine schrittweise Form zu bringen. Wo soll man anfangen?

Schauen Sie sich zunächst die Zahl oben links an: Sollte fast immer hier sein Einheit. Im Allgemeinen reichen –1 (und manchmal auch andere Zahlen) aus, aber irgendwie kommt es traditionell vor, dass man normalerweise dort platziert wird. Wie organisiere ich eine Einheit? Wir schauen uns die erste Spalte an – wir haben eine fertige Einheit! Transformation eins: Vertauschen Sie die erste und dritte Zeile:

Nun bleibt die erste Zeile bis zum Ende der Lösung unverändert. Nun gut.

Die Einheit in der oberen linken Ecke ist organisiert. Jetzt müssen Sie an diesen Stellen Nullen bekommen:

Wir erhalten Nullen durch eine „schwierige“ Transformation. Zuerst beschäftigen wir uns mit der zweiten Zeile (2, –1, 3, 13). Was muss getan werden, um an erster Stelle Null zu erhalten? Müssen Zur zweiten Zeile addieren Sie die erste Zeile multipliziert mit –2. Multiplizieren Sie im Geiste oder auf einem Entwurf die erste Zeile mit –2: (–2, –4, 2, –18). Und wir führen konsequent (wieder gedanklich oder im Entwurf) Ergänzungen durch, Zur zweiten Zeile fügen wir die erste Zeile hinzu, bereits multipliziert mit –2:

Das Ergebnis schreiben wir in die zweite Zeile:

Mit der dritten Zeile gehen wir genauso um (3, 2, –5, –1). Um eine Null an der ersten Position zu erhalten, benötigen Sie Zur dritten Zeile addieren Sie die erste Zeile multipliziert mit –3. Multiplizieren Sie im Geiste oder auf einem Entwurf die erste Zeile mit –3: (–3, –6, 3, –27). UND Zur dritten Zeile addieren wir die erste Zeile multipliziert mit –3:

Das Ergebnis schreiben wir in die dritte Zeile:

In der Praxis werden diese Handlungen meist mündlich und schriftlich in einem Schritt durchgeführt:

Es ist nicht nötig, alles auf einmal und gleichzeitig zu zählen. Die Reihenfolge der Berechnungen und das „Einschreiben“ der Ergebnisse konsistent und normalerweise ist es so: Zuerst schreiben wir die erste Zeile um und schnaufen langsam über uns selbst – KONSEQUENT und AUFMERKSAM:
Und den mentalen Prozess der Berechnungen selbst habe ich oben bereits besprochen.

In diesem Beispiel geht das ganz einfach: Wir dividieren die zweite Zeile durch –5 (da dort alle Zahlen ohne Rest durch 5 teilbar sind). Gleichzeitig teilen wir die dritte Zeile durch –2, denn je kleiner die Zahlen, desto einfacher die Lösung:

In der letzten Phase der Elementartransformationen müssen Sie hier eine weitere Null erhalten:

Dafür Zur dritten Zeile addieren wir die zweite Zeile multipliziert mit –2:
Versuchen Sie, diese Aktion selbst herauszufinden – multiplizieren Sie im Geiste die zweite Zeile mit –2 und führen Sie die Addition durch.

Die letzte durchgeführte Aktion ist die Frisur des Ergebnisses, dividieren Sie die dritte Zeile durch 3.

Als Ergebnis elementarer Transformationen wurde ein äquivalentes lineares Gleichungssystem erhalten: Cool.

Jetzt kommt die Umkehrung der Gaußschen Methode ins Spiel. Die Gleichungen „entwickeln“ sich von unten nach oben.

In der dritten Gleichung haben wir bereits ein fertiges Ergebnis:

Schauen wir uns die zweite Gleichung an: . Die Bedeutung von „zet“ ist bereits bekannt, also:

Und schließlich die erste Gleichung: . „Igrek“ und „zet“ sind bekannt, es sind nur Kleinigkeiten:

Antwort:

Wie bereits mehrfach angemerkt, ist es für jedes Gleichungssystem möglich und notwendig, die gefundene Lösung zu überprüfen, was glücklicherweise einfach und schnell geht.

Beispiel 2

Dies ist ein Beispiel für eine eigenständige Lösung, ein Muster des endgültigen Entwurfs und eine Antwort am Ende der Lektion.

Es ist zu beachten, dass Ihr Fortschritt der Entscheidung stimmt möglicherweise nicht mit meinem Entscheidungsprozess überein, und das ist ein Merkmal der Gauß-Methode. Aber die Antworten müssen die gleichen sein!

Beispiel 3

Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem mit der Gauß-Methode

Wir schauen uns die „Stufe“ oben links an. Wir sollten dort einen haben. Das Problem besteht darin, dass es in der ersten Spalte überhaupt keine Einheiten gibt, sodass eine Neuanordnung der Zeilen keine Lösung bringt. In solchen Fällen muss die Einheit mithilfe einer elementaren Transformation organisiert werden. Dies kann in der Regel auf verschiedene Arten erfolgen. Ich habe Folgendes getan: (1) Zur ersten Zeile fügen wir die zweite Zeile hinzu, multipliziert mit –1. Das heißt, wir haben im Geiste die zweite Zeile mit –1 multipliziert und die erste und zweite Zeile addiert, während sich die zweite Zeile nicht verändert hat.

Jetzt steht oben links „minus eins“, was uns ganz gut passt. Wer +1 erhalten möchte, kann eine zusätzliche Bewegung ausführen: Multiplizieren Sie die erste Zeile mit –1 (Ändern Sie ihr Vorzeichen).

(2) Die erste Zeile multipliziert mit 5 wurde zur zweiten Zeile hinzugefügt. Die erste Zeile multipliziert mit 3 wurde zur dritten Zeile hinzugefügt.

(3) Die erste Zeile wurde mit –1 multipliziert, im Prinzip dient dies der Schönheit. Auch das Vorzeichen der dritten Zeile wurde geändert und an die zweite Stelle verschoben, sodass wir auf der zweiten „Stufe“ die erforderliche Einheit hatten.

(4) Die zweite Zeile wurde zur dritten Zeile addiert und mit 2 multipliziert.

(5) Die dritte Zeile wurde durch 3 geteilt.

Ein schlechtes Zeichen, das auf einen Rechenfehler (seltener auf einen Tippfehler) hinweist, ist ein „schlechtes“ Endergebnis. Das heißt, wenn wir etwas wie , unten haben und dementsprechend , dann können wir mit hoher Wahrscheinlichkeit sagen, dass bei elementaren Transformationen ein Fehler gemacht wurde.

Wir behaupten das Gegenteil, bei der Gestaltung von Beispielen wird oft nicht das System selbst neu geschrieben, sondern die Gleichungen werden „direkt aus der gegebenen Matrix übernommen“. Ich erinnere Sie daran, dass der umgekehrte Strich von unten nach oben funktioniert. Ja, hier ist ein Geschenk:

Antwort: .

Beispiel 4

Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem mit der Gauß-Methode

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können, es ist etwas komplizierter. Es ist in Ordnung, wenn jemand verwirrt ist. Vollständige Lösung und Musterdesign am Ende der Lektion. Ihre Lösung kann von meiner Lösung abweichen.

Im letzten Teil werden wir einige Merkmale des Gaußschen Algorithmus betrachten. Das erste Merkmal ist, dass manchmal einige Variablen in den Systemgleichungen fehlen, zum Beispiel: Wie schreibe ich die erweiterte Systemmatrix richtig? Über diesen Punkt habe ich bereits im Unterricht gesprochen. Cramers Regel. Matrix-Methode. In der erweiterten Matrix des Systems setzen wir anstelle fehlender Variablen Nullen: Dies ist übrigens ein recht einfaches Beispiel, da die erste Spalte bereits eine Null enthält und weniger elementare Transformationen durchgeführt werden müssen.

Das zweite Merkmal ist dieses. In allen betrachteten Beispielen haben wir entweder –1 oder +1 auf die „Schritte“ gesetzt. Könnte es dort noch andere Nummern geben? In manchen Fällen ist das möglich. Betrachten Sie das System: .

Hier auf der oberen linken „Stufe“ haben wir eine Zwei. Aber wir bemerken die Tatsache, dass alle Zahlen in der ersten Spalte ohne Rest durch 2 teilbar sind – und die andere ist zwei und sechs. Und die beiden oben links werden uns passen! Im ersten Schritt müssen Sie die folgenden Transformationen durchführen: Addieren Sie die erste Zeile multipliziert mit –1 zur zweiten Zeile; Zur dritten Zeile addieren Sie die erste Zeile multipliziert mit –3. Auf diese Weise erhalten wir die erforderlichen Nullen in der ersten Spalte.

Oder ein anderes konventionelles Beispiel: . Hier passt uns auch die Drei auf dem zweiten „Schritt“, da 12 (die Stelle, an der wir Null bekommen müssen) ohne Rest durch 3 teilbar ist. Es ist notwendig, die folgende Transformation durchzuführen: Addieren Sie die zweite Zeile zur dritten Zeile, multipliziert mit –4, wodurch wir die von uns benötigte Null erhalten.

Die Methode von Gauß ist universell, es gibt jedoch eine Besonderheit. Sie können buchstäblich beim ersten Mal sicher lernen, Systeme mit anderen Methoden (Cramer-Methode, Matrixmethode) zu lösen – sie haben einen sehr strengen Algorithmus. Aber um sich mit der Gaußschen Methode sicher zu fühlen, sollten Sie sich „einarbeiten“ und mindestens 5-10 Zehnersysteme lösen. Daher kann es zunächst zu Verwirrung und Fehlern bei den Berechnungen kommen, und daran ist nichts Ungewöhnliches oder Tragisches.

Regnerisches Herbstwetter vor dem Fenster.... Daher für alle, die ein komplexeres Beispiel selbst lösen möchten:

Beispiel 5

Lösen Sie ein System aus vier linearen Gleichungen mit vier Unbekannten mithilfe der Gauß-Methode.

Eine solche Aufgabe kommt in der Praxis gar nicht so selten vor. Ich denke, selbst jemand, der diese Seite gründlich studiert hat, wird den Algorithmus zur Lösung eines solchen Systems intuitiv verstehen. Im Grunde ist alles gleich – es gibt nur mehr Aktionen.

Fälle, in denen das System keine Lösungen (inkonsistent) oder unendlich viele Lösungen hat, werden in der Lektion besprochen Inkompatible Systeme und Systeme mit einer gemeinsamen Lösung. Dort können Sie den betrachteten Algorithmus der Gaußschen Methode festlegen.

Ich wünsche Ihnen Erfolg!

Lösungen und Antworten:

Beispiel 2: Lösung : Schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems auf und bringen sie mithilfe elementarer Transformationen in eine schrittweise Form.
Durchgeführte Elementartransformationen: (1) Die erste Zeile wurde zur zweiten Zeile addiert, multipliziert mit –2. Die erste Zeile wurde zur dritten Zeile addiert, multipliziert mit –1. Aufmerksamkeit! Hier könnten Sie versucht sein, die erste von der dritten Zeile zu subtrahieren; ich empfehle dringend, sie nicht zu subtrahieren – das Fehlerrisiko steigt erheblich. Einfach falten! (2) Das Vorzeichen der zweiten Zeile wurde geändert (multipliziert mit –1). Die zweite und dritte Zeile wurden vertauscht. beachten Sie , dass wir uns auf den „Stufen“ nicht nur mit eins zufrieden geben, sondern auch mit –1, was noch bequemer ist. (3) Die zweite Zeile wurde zur dritten Zeile addiert und mit 5 multipliziert. (4) Das Vorzeichen der zweiten Zeile wurde geändert (multipliziert mit –1). Die dritte Zeile wurde durch 14 geteilt.

Umkehren:

Antwort : .

Beispiel 4: Lösung : Schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems auf und bringen sie mithilfe elementarer Transformationen in eine schrittweise Form:

Durchgeführte Konvertierungen: (1) Zur ersten Zeile wurde eine zweite Zeile hinzugefügt. Somit wird die gewünschte Einheit auf der oberen linken „Stufe“ organisiert. (2) Die erste Zeile multipliziert mit 7 wurde zur zweiten Zeile hinzugefügt. Die erste Zeile multipliziert mit 6 wurde zur dritten Zeile hinzugefügt.

Beim zweiten „Schritt“ wird alles noch schlimmer , die „Kandidaten“ dafür sind die Zahlen 17 und 23, und wir brauchen entweder eins oder –1. Die Transformationen (3) und (4) zielen darauf ab, die gewünschte Einheit zu erhalten (3) Die zweite Zeile wurde zur dritten Zeile addiert, multipliziert mit –1. (4) Die dritte Zeile wurde zur zweiten Zeile addiert, multipliziert mit –3. Der erforderliche Artikel im zweiten Schritt wurde empfangen. . (5) Die zweite Zeile wurde zur dritten Zeile addiert und mit 6 multipliziert. (6) Die zweite Zeile wurde mit –1 multipliziert, die dritte Zeile wurde durch –83 dividiert.

Umkehren:

Antwort :

Beispiel 5: Lösung : Schreiben wir die Matrix des Systems auf und bringen sie mit elementaren Transformationen in eine schrittweise Form:

Durchgeführte Konvertierungen: (1) Die erste und zweite Zeile wurden vertauscht. (2) Die erste Zeile wurde zur zweiten Zeile addiert, multipliziert mit –2. Die erste Zeile wurde zur dritten Zeile addiert, multipliziert mit –2. Die erste Zeile wurde zur vierten Zeile addiert, multipliziert mit –3. (3) Die zweite Zeile wurde zur dritten Zeile hinzugefügt, multipliziert mit 4. Die zweite Zeile wurde zur vierten Zeile hinzugefügt, multipliziert mit –1. (4) Das Vorzeichen der zweiten Zeile wurde geändert. Die vierte Zeile wurde durch 3 geteilt und anstelle der dritten Zeile platziert. (5) Die dritte Zeile wurde zur vierten Zeile addiert, multipliziert mit –5.

Umkehren:

Antwort :

In diesem Artikel wird die Methode als Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme (SLAEs) betrachtet. Die Methode ist analytisch, das heißt, sie ermöglicht es Ihnen, einen Lösungsalgorithmus in allgemeiner Form zu schreiben und dort dann Werte aus bestimmten Beispielen zu ersetzen. Anders als bei der Matrixmethode oder den Cramer-Formeln kann man bei der Lösung eines linearen Gleichungssystems mit der Gauß-Methode auch mit solchen arbeiten, die unendlich viele Lösungen haben. Oder sie haben es überhaupt nicht.

Was bedeutet es, mit der Gaußschen Methode zu lösen?

Zuerst müssen wir unser Gleichungssystem in schreiben. Es sieht so aus. Nehmen Sie das System:

Die Koeffizienten werden in Form einer Tabelle geschrieben und die freien Terme werden in einer separaten Spalte rechts geschrieben. Die Spalte mit den freien Begriffen ist der Einfachheit halber getrennt. Die Matrix, die diese Spalte enthält, wird als erweitert bezeichnet.

Als nächstes muss die Hauptmatrix mit Koeffizienten auf eine obere Dreiecksform reduziert werden. Dies ist der Hauptpunkt der Lösung des Systems mit der Gaußschen Methode. Einfach ausgedrückt sollte die Matrix nach bestimmten Manipulationen so aussehen, dass ihr unterer linker Teil nur Nullen enthält:

Wenn Sie dann die neue Matrix erneut als Gleichungssystem schreiben, werden Sie feststellen, dass die letzte Zeile bereits den Wert einer der Wurzeln enthält, die dann in die obige Gleichung eingesetzt wird, eine andere Wurzel gefunden wird und so weiter.

Dies ist eine allgemein gehaltene Beschreibung der Lösung nach der Gaußschen Methode. Was passiert, wenn das System plötzlich keine Lösung mehr hat? Oder gibt es unendlich viele davon? Um diese und viele andere Fragen zu beantworten, ist es notwendig, alle Elemente, die zur Lösung der Gaußschen Methode verwendet werden, separat zu betrachten.

Matrizen, ihre Eigenschaften

Es gibt keine versteckte Bedeutung in der Matrix. Dies ist einfach eine bequeme Möglichkeit, Daten für spätere Vorgänge damit aufzuzeichnen. Auch Schulkinder brauchen vor ihnen keine Angst zu haben.

Die Matrix ist immer rechteckig, weil es bequemer ist. Selbst bei der Gauß-Methode, bei der alles darauf hinausläuft, eine Matrix in Dreiecksform zu konstruieren, erscheint im Eintrag ein Rechteck, nur mit Nullen an der Stelle, an der keine Zahlen stehen. Nullen dürfen nicht geschrieben werden, sind aber impliziert.

Die Matrix hat eine Größe. Seine „Breite“ ist die Anzahl der Zeilen (m), „Länge“ ist die Anzahl der Spalten (n). Dann wird die Größe der Matrix A (zu ihrer Bezeichnung werden üblicherweise lateinische Großbuchstaben verwendet) als A m×n bezeichnet. Wenn m=n, dann ist diese Matrix quadratisch und m=n ist ihre Ordnung. Dementsprechend kann jedes Element der Matrix A durch seine Zeilen- und Spaltennummern bezeichnet werden: a xy ; x – Zeilennummer, Änderungen, y – Spaltennummer, Änderungen.

B ist nicht der Hauptpunkt der Entscheidung. Im Prinzip können alle Operationen direkt mit den Gleichungen selbst durchgeführt werden, allerdings wird die Notation viel umständlicher und es ist viel einfacher, sich darin zu verwirren.

Bestimmend

Die Matrix hat auch eine Determinante. Dies ist ein sehr wichtiges Merkmal. Es ist jetzt nicht nötig, seine Bedeutung herauszufinden; Sie können einfach zeigen, wie es berechnet wird, und dann sagen, welche Eigenschaften der Matrix es bestimmt. Der einfachste Weg, die Determinante zu finden, sind Diagonalen. In der Matrix werden imaginäre Diagonalen eingezeichnet; die darauf befindlichen Elemente werden multipliziert und dann die resultierenden Produkte addiert: Diagonalen mit einer Neigung nach rechts – mit einem Pluszeichen, mit einer Neigung nach links – mit einem Minuszeichen.

Es ist äußerst wichtig zu beachten, dass die Determinante nur für eine quadratische Matrix berechnet werden kann. Für eine rechteckige Matrix können Sie Folgendes tun: Wählen Sie aus der Anzahl der Zeilen und der Anzahl der Spalten die kleinste aus (sei es k) und markieren Sie dann zufällig k Spalten und k Zeilen in der Matrix. Die Elemente am Schnittpunkt der ausgewählten Spalten und Zeilen bilden eine neue quadratische Matrix. Wenn die Determinante einer solchen Matrix eine Zahl ungleich Null ist, wird sie als Basisminor der ursprünglichen rechteckigen Matrix bezeichnet.

Bevor Sie mit der Lösung eines Gleichungssystems nach der Gaußschen Methode beginnen, schadet es nicht, die Determinante zu berechnen. Wenn sich herausstellt, dass sie Null ist, können wir sofort sagen, dass die Matrix entweder unendlich viele oder gar keine Lösungen hat. In solch einem traurigen Fall müssen Sie noch weiter gehen und den Rang der Matrix herausfinden.

Systemklassifizierung

Es gibt so etwas wie den Rang einer Matrix. Dies ist die maximale Ordnung ihrer Determinante ungleich Null (wenn wir uns an die Basis-Minor erinnern, können wir sagen, dass der Rang einer Matrix die Ordnung der Basis-Minor ist).

Basierend auf der Rangsituation kann SLAE unterteilt werden in:

• Gemeinsam. U In gemeinsamen Systemen stimmt der Rang der Hauptmatrix (die nur aus Koeffizienten besteht) mit dem Rang der erweiterten Matrix (mit einer Spalte freier Terme) überein. Solche Systeme haben eine Lösung, aber nicht unbedingt eine, daher werden zusätzlich gemeinsame Systeme unterteilt in:
• - bestimmt- eine einzige Lösung haben. In bestimmten Systemen sind der Rang der Matrix und die Anzahl der Unbekannten (oder die Anzahl der Spalten, was dasselbe ist) gleich;
• - nicht definiert - mit unendlich vielen Lösungen. Der Rang der Matrizen in solchen Systemen ist geringer als die Anzahl der Unbekannten.
• Unvereinbar. U In solchen Systemen stimmen die Ränge der Haupt- und der erweiterten Matrize nicht überein. Für inkompatible Systeme gibt es keine Lösung.

Die Gauß-Methode ist gut, weil sie es ermöglicht, während der Lösung entweder einen eindeutigen Beweis für die Inkonsistenz des Systems zu erhalten (ohne die Determinanten großer Matrizen zu berechnen) oder eine Lösung in allgemeiner Form für ein System mit unendlich vielen Lösungen.

Elementare Transformationen

Bevor Sie direkt mit der Lösung des Systems fortfahren, können Sie es für die Berechnungen weniger umständlich und bequemer machen. Dies wird durch elementare Transformationen erreicht, deren Umsetzung die endgültige Antwort in keiner Weise verändert. Es ist zu beachten, dass einige der angegebenen Elementartransformationen nur für Matrizen gültig sind, deren Quelle das SLAE war. Hier ist eine Liste dieser Transformationen:

1. Zeilen neu anordnen. Wenn Sie die Reihenfolge der Gleichungen im Systemdatensatz ändern, hat dies natürlich keinerlei Auswirkungen auf die Lösung. Folglich können auch Zeilen in der Matrix dieses Systems vertauscht werden, nicht zu vergessen natürlich die Spalte der freien Terme.
2. Multiplizieren aller Elemente einer Zeichenfolge mit einem bestimmten Koeffizienten. Sehr hilfreich! Es kann verwendet werden, um große Zahlen in einer Matrix zu reduzieren oder Nullen zu entfernen. Viele Entscheidungen werden sich wie üblich nicht ändern, aber weitere Operationen werden komfortabler. Die Hauptsache ist, dass der Koeffizient nicht gleich Null ist.
3. Zeilen mit proportionalen Faktoren entfernen. Dies ergibt sich teilweise aus dem vorherigen Absatz. Wenn zwei oder mehr Zeilen in einer Matrix Proportionalkoeffizienten haben, erhält man beim Multiplizieren/Dividieren einer der Zeilen mit dem Proportionalitätskoeffizienten zwei (oder wiederum mehr) absolut identische Zeilen, und die zusätzlichen Zeilen können entfernt werden, sodass übrig bleibt einziger.
4. Entfernen einer Nullzeile. Wenn bei der Transformation irgendwo eine Zeile erhalten wird, in der alle Elemente, einschließlich des freien Termes, Null sind, kann eine solche Zeile Null genannt und aus der Matrix geworfen werden.
5. Addieren Sie zu den Elementen einer Zeile die Elemente einer anderen (in den entsprechenden Spalten), multipliziert mit einem bestimmten Koeffizienten. Die unscheinbarste und wichtigste Transformation von allen. Es lohnt sich, näher darauf einzugehen.

Addieren einer mit einem Faktor multiplizierten Zeichenfolge

Um das Verständnis zu erleichtern, lohnt es sich, diesen Prozess Schritt für Schritt aufzuschlüsseln. Aus der Matrix werden zwei Zeilen entnommen:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Nehmen wir an, Sie müssen den ersten zum zweiten addieren, multipliziert mit dem Koeffizienten „-2“.

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Dann wird die zweite Zeile in der Matrix durch eine neue ersetzt und die erste bleibt unverändert.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Es ist zu beachten, dass der Multiplikationskoeffizient so gewählt werden kann, dass durch die Addition zweier Zeilen eines der Elemente der neuen Zeile gleich Null ist. Daher ist es möglich, eine Gleichung in einem System zu erhalten, in dem es eine Unbekannte weniger gibt. Und wenn Sie zwei solcher Gleichungen erhalten, können Sie die Operation erneut durchführen und eine Gleichung erhalten, die zwei Unbekannte weniger enthält. Und wenn Sie jedes Mal einen Koeffizienten aller Zeilen, die unter dem ursprünglichen Eins liegen, auf Null setzen, können Sie wie eine Treppe bis zum untersten Ende der Matrix gehen und eine Gleichung mit einer Unbekannten erhalten. Dies wird als Lösung des Systems mit der Gaußschen Methode bezeichnet.

Allgemein

Lass es ein System geben. Es hat m Gleichungen und n unbekannte Wurzeln. Sie können es wie folgt schreiben:

Aus den Systemkoeffizienten wird die Hauptmatrix zusammengestellt. Der erweiterten Matrix wird eine Spalte mit freien Begriffen hinzugefügt und der Einfachheit halber durch eine Linie getrennt.

• die erste Zeile der Matrix wird mit dem Koeffizienten k = (-a 21 /a 11) multipliziert;
• die erste geänderte Zeile und die zweite Zeile der Matrix werden hinzugefügt;
• anstelle der zweiten Zeile wird das Ergebnis der Addition aus dem vorherigen Absatz in die Matrix eingefügt;
• Jetzt ist der erste Koeffizient in der neuen zweiten Zeile a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Jetzt wird die gleiche Reihe von Transformationen durchgeführt, nur die erste und dritte Zeile sind betroffen. Dementsprechend wird bei jedem Schritt des Algorithmus das Element a 21 durch a 31 ersetzt. Dann wiederholt sich alles für a 41, ... a m1. Das Ergebnis ist eine Matrix, in der das erste Element in den Zeilen Null ist. Jetzt müssen Sie Zeile Nummer eins vergessen und denselben Algorithmus ab Zeile zwei ausführen:

• Koeffizient k = (-a 32 /a 22);
• die zweite geänderte Zeile wird zur „aktuellen“ Zeile hinzugefügt;
• das Ergebnis der Addition wird in die dritte, vierte usw. Zeile eingesetzt, während die erste und zweite Zeile unverändert bleiben;
• In den Zeilen der Matrix sind die ersten beiden Elemente bereits gleich Null.

Der Algorithmus muss wiederholt werden, bis der Koeffizient k = (-a m,m-1 /a mm) erscheint. Dies bedeutet, dass der Algorithmus zuletzt nur für die untere Gleichung ausgeführt wurde. Jetzt sieht die Matrix aus wie ein Dreieck oder hat eine Stufenform. Im Endeffekt gilt die Gleichung a mn × x n = b m. Der Koeffizient und der freie Term sind bekannt und die Wurzel wird durch sie ausgedrückt: x n = b m /a mn. Die resultierende Wurzel wird in die oberste Zeile eingesetzt, um x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 zu finden. Und so weiter analog: In jeder nächsten Zeile gibt es eine neue Wurzel, und wenn Sie die „Spitze“ des Systems erreicht haben, können Sie viele Lösungen finden. Es wird das Einzige sein.

Wenn es keine Lösungen gibt

Wenn in einer der Matrixzeilen alle Elemente außer dem freien Term gleich Null sind, sieht die dieser Zeile entsprechende Gleichung wie folgt aus: 0 = b. Es gibt keine Lösung. Und da eine solche Gleichung im System enthalten ist, ist die Lösungsmenge des Gesamtsystems leer, also entartet.

Wenn es unendlich viele Lösungen gibt

Es kann vorkommen, dass es in der gegebenen Dreiecksmatrix keine Zeilen mit einem Koeffizientenelement der Gleichung und einem freien Term gibt. Es gibt nur Zeilen, die umgeschrieben wie eine Gleichung mit zwei oder mehr Variablen aussehen würden. Das bedeutet, dass das System unendlich viele Lösungen hat. In diesem Fall kann die Antwort in Form einer allgemeinen Lösung gegeben werden. Wie kann man das machen?

Alle Variablen in der Matrix sind in Basisvariablen und freie Variablen unterteilt. Grundlegende sind diejenigen, die „am Rand“ der Zeilen in der Stufenmatrix stehen. Der Rest ist kostenlos. Bei der allgemeinen Lösung werden die Basisvariablen durch freie Variablen geschrieben.

Der Einfachheit halber wird die Matrix zunächst wieder in ein Gleichungssystem umgeschrieben. Dann bleibt im letzten von ihnen, wo genau nur noch eine Basisvariable übrig ist, diese auf der einen Seite, und alles andere wird auf die andere übertragen. Dies geschieht für jede Gleichung mit einer Basisvariablen. Dann wird in den übrigen Gleichungen, wo möglich, der dafür erhaltene Ausdruck anstelle der Basisvariablen eingesetzt. Ist das Ergebnis wieder ein Ausdruck, der nur eine Basisvariable enthält, wird er erneut von dort aus ausgedrückt und so weiter, bis jede Basisvariable als Ausdruck mit freien Variablen geschrieben wird. Dies ist die allgemeine Lösung von SLAE.

Sie können auch die Grundlösung des Systems finden: Geben Sie den freien Variablen beliebige Werte und berechnen Sie dann für diesen speziellen Fall die Werte der Grundvariablen. Es gibt unendlich viele spezielle Lösungen, die angegeben werden können.

Lösung mit konkreten Beispielen

Hier ist ein Gleichungssystem.

Der Einfachheit halber ist es besser, die Matrix sofort zu erstellen

Es ist bekannt, dass bei der Lösung mit der Gaußschen Methode die Gleichung, die der ersten Zeile entspricht, am Ende der Transformationen unverändert bleibt. Daher ist es rentabler, wenn das obere linke Element der Matrix das kleinste ist – dann werden die ersten Elemente der verbleibenden Zeilen nach den Operationen auf Null gesetzt. Das bedeutet, dass es in der zusammengestellten Matrix vorteilhaft ist, die zweite Zeile anstelle der ersten zu platzieren.

zweite Zeile: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

dritte Zeile: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

Um nicht verwirrt zu werden, müssen Sie nun eine Matrix mit den Zwischenergebnissen der Transformationen aufschreiben.

Offensichtlich kann eine solche Matrix durch bestimmte Operationen für die Wahrnehmung komfortabler gestaltet werden. Sie können beispielsweise alle „Minuspunkte“ aus der zweiten Zeile entfernen, indem Sie jedes Element mit „-1“ multiplizieren.

Es ist auch erwähnenswert, dass in der dritten Zeile alle Elemente Vielfache von drei sind. Dann können Sie die Zeichenfolge um diese Zahl kürzen, indem Sie jedes Element mit „-1/3“ multiplizieren (Minus – gleichzeitig, um negative Werte zu entfernen).

Sieht viel schöner aus. Jetzt müssen wir die erste Zeile in Ruhe lassen und mit der zweiten und dritten arbeiten. Die Aufgabe besteht darin, die zweite Zeile zur dritten Zeile zu addieren und mit einem solchen Koeffizienten zu multiplizieren, dass das Element a 32 gleich Null wird.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (Wenn sich bei einigen Transformationen herausstellt, dass die Antwort keine ganze Zahl ist, wird empfohlen, die Genauigkeit der Berechnungen beizubehalten es „wie es ist“, in Form eines gewöhnlichen Bruchs, und erst dann, wenn die Antworten eingegangen sind, entscheiden Sie, ob gerundet und in eine andere Form der Aufzeichnung umgewandelt werden soll)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

Die Matrix wird erneut mit neuen Werten geschrieben.

Wie Sie sehen, hat die resultierende Matrix bereits eine Stufenform. Daher sind keine weiteren Transformationen des Systems mit der Gaußschen Methode erforderlich. Hier können Sie den Gesamtkoeffizienten „-1/7“ aus der dritten Zeile entfernen.

Jetzt ist alles schön. Jetzt bleibt nur noch, die Matrix noch einmal in Form eines Gleichungssystems zu schreiben und die Wurzeln zu berechnen

x + 2y + 4z = 12 (1)

7 Jahre + 11 Jahre = 24 (2)

Der Algorithmus, mit dem nun die Wurzeln gefunden werden, wird in der Gaußschen Methode als Rückwärtsbewegung bezeichnet. Gleichung (3) enthält den z-Wert:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

Und die erste Gleichung ermöglicht es uns, x zu finden:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) – 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Wir haben das Recht, ein solches System als „gemeinsam“ und sogar „bestimmt“ zu bezeichnen, das heißt als eine einzigartige Lösung. Die Antwort ist in folgender Form verfasst:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Ein Beispiel für ein unsicheres System

Die Variante, ein bestimmtes System mit der Gauß-Methode zu lösen, wurde analysiert; nun muss der Fall betrachtet werden, wenn das System unsicher ist, das heißt, dass unendlich viele Lösungen dafür gefunden werden können.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Das bloße Erscheinungsbild des Systems ist bereits alarmierend, da die Anzahl der Unbekannten n = 5 beträgt und der Rang der Systemmatrix bereits genau kleiner als diese Zahl ist, da die Anzahl der Zeilen m = 4 beträgt, d. Die größte Ordnung des Determinantenquadrats ist 4. Das bedeutet, dass es unendlich viele Lösungen gibt und Sie auf deren allgemeines Erscheinungsbild achten müssen. Die Gauß-Methode für lineare Gleichungen ermöglicht Ihnen dies.

Zunächst wird wie üblich eine erweiterte Matrix erstellt.

Zweite Zeile: Koeffizient k = (-a 21 /a 11) = -3. In der dritten Zeile befindet sich das erste Element vor den Transformationen, Sie müssen also nichts anfassen, sondern es so lassen, wie es ist. Vierte Zeile: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Indem wir die Elemente der ersten Zeile nacheinander mit jedem ihrer Koeffizienten multiplizieren und sie zu den erforderlichen Zeilen addieren, erhalten wir eine Matrix der folgenden Form:

Wie Sie sehen, bestehen die zweite, dritte und vierte Reihe aus zueinander proportionalen Elementen. Die zweite und die vierte sind im Allgemeinen identisch, sodass eine davon sofort entfernt werden kann und die verbleibende mit dem Koeffizienten „-1“ multipliziert werden kann, um die Zeilennummer 3 zu erhalten. Und wiederum lassen Sie von zwei identischen Zeilen eine übrig.

Das Ergebnis ist eine Matrix wie diese. Obwohl das System noch nicht niedergeschrieben wurde, ist es hier notwendig, die Grundvariablen zu bestimmen – diejenigen, die bei den Koeffizienten a 11 = 1 und a 22 = 1 stehen, und freie – alle anderen.

In der zweiten Gleichung gibt es nur eine Grundvariable – x 2. Dies bedeutet, dass es von dort aus ausgedrückt werden kann, indem man es durch die Variablen x 3 , x 4 , x 5 schreibt, die frei sind.

Den resultierenden Ausdruck setzen wir in die erste Gleichung ein.

Das Ergebnis ist eine Gleichung, in der die einzige Grundvariable x 1 ist. Machen wir damit dasselbe wie mit x 2.

Alle Grundvariablen, von denen es zwei gibt, werden durch drei freie Variablen ausgedrückt; jetzt können wir die Antwort in allgemeiner Form schreiben.

Sie können auch eine der besonderen Lösungen des Systems angeben. Für solche Fälle werden üblicherweise Nullen als Werte für freie Variablen gewählt. Dann lautet die Antwort:

16, 23, 0, 0, 0.

Ein Beispiel für ein nicht kooperatives System

Die Lösung inkompatibler Gleichungssysteme erfolgt am schnellsten mit der Gauß-Methode. Es endet sofort, sobald in einer der Stufen eine Gleichung erhalten wird, die keine Lösung hat. Das heißt, die Phase der Berechnung der Wurzeln, die ziemlich langwierig und mühsam ist, entfällt. Dabei kommt folgendes System in Betracht:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Wie üblich wird die Matrix zusammengestellt:

Und es wird auf eine schrittweise Form reduziert:

k 1 = -2k 2 = -4

Nach der ersten Transformation enthält die dritte Zeile eine Gleichung der Form

ohne Lösung. Folglich ist das System inkonsistent und die Antwort ist die leere Menge.

Vor- und Nachteile der Methode

Wenn Sie sich für eine Methode zum Lösen von SLAEs auf Papier mit einem Stift entscheiden, erscheint die in diesem Artikel besprochene Methode am attraktivsten. Es ist viel schwieriger, sich bei elementaren Transformationen zu verwirren, als wenn man manuell nach einer Determinante oder einer kniffligen inversen Matrix suchen muss. Wenn Sie jedoch Programme zum Arbeiten mit Daten dieser Art verwenden, beispielsweise Tabellenkalkulationen, dann stellt sich heraus, dass solche Programme bereits Algorithmen zur Berechnung der Hauptparameter von Matrizen enthalten – Determinante, Nebenparameter, Inverse usw. Und wenn Sie sicher sind, dass die Maschine diese Werte selbst berechnet und keine Fehler macht, ist es ratsamer, die Matrixmethode oder die Cramer-Formeln zu verwenden, da deren Anwendung mit der Berechnung von Determinanten und Umkehrmatrizen beginnt und endet .

Anwendung

Da es sich bei der Gaußschen Lösung um einen Algorithmus handelt und die Matrix tatsächlich ein zweidimensionales Array ist, kann sie in der Programmierung verwendet werden. Da sich der Artikel jedoch als Leitfaden „für Dummies“ positioniert, sollte gesagt werden, dass die Methode am einfachsten in Tabellenkalkulationen, beispielsweise Excel, umgesetzt werden kann. Auch hier wird jeder SLAE, der in Form einer Matrix in eine Tabelle eingegeben wird, von Excel als zweidimensionales Array betrachtet. Und für Operationen mit ihnen gibt es viele nette Befehle: Addition (man kann nur Matrizen gleicher Größe addieren!), Multiplikation mit einer Zahl, Multiplikation von Matrizen (auch mit gewissen Einschränkungen), Finden der inversen und transponierten Matrizen und, was am wichtigsten ist , Berechnung der Determinante. Wenn diese zeitaufwändige Aufgabe durch einen einzigen Befehl ersetzt wird, ist es möglich, den Rang der Matrix viel schneller zu bestimmen und somit ihre Kompatibilität oder Inkompatibilität festzustellen.

Gauß-Methode Perfekt zum Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen (SLAEs). Es hat gegenüber anderen Methoden eine Reihe von Vorteilen:

• Erstens besteht keine Notwendigkeit, das Gleichungssystem zunächst auf Konsistenz zu prüfen;
• zweitens kann die Gauß-Methode nicht nur SLAEs lösen, bei denen die Anzahl der Gleichungen mit der Anzahl der unbekannten Variablen übereinstimmt und die Hauptmatrix des Systems nicht singulär ist, sondern auch Gleichungssysteme, bei denen die Anzahl der Gleichungen nicht mit übereinstimmt die Anzahl der unbekannten Variablen oder die Determinante der Hauptmatrix ist gleich Null;
• Drittens führt die Gauß-Methode zu Ergebnissen mit relativ wenigen Rechenoperationen.

Kurzer Überblick über den Artikel.

Zunächst geben wir die notwendigen Definitionen und führen Notationen ein.

Als nächstes beschreiben wir den Algorithmus der Gauß-Methode für den einfachsten Fall, das heißt für Systeme linearer algebraischer Gleichungen, bei denen die Anzahl der Gleichungen mit der Anzahl der unbekannten Variablen übereinstimmt und die Determinante der Hauptmatrix des Systems ist ungleich Null. Bei der Lösung solcher Gleichungssysteme kommt das Wesen der Gauß-Methode am deutlichsten zum Vorschein, nämlich die sequentielle Eliminierung unbekannter Variablen. Daher wird die Gaußsche Methode auch als Methode der sequentiellen Eliminierung von Unbekannten bezeichnet. Wir zeigen detaillierte Lösungen an mehreren Beispielen.

Abschließend betrachten wir die Lösung von Systemen linearer algebraischer Gleichungen mit der Gauß-Methode, deren Hauptmatrix entweder rechteckig oder singulär ist. Die Lösung solcher Systeme weist einige Besonderheiten auf, die wir anhand von Beispielen im Detail untersuchen.

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Grundlegende Definitionen und Notationen.

Betrachten Sie ein System von p linearen Gleichungen mit n Unbekannten (p kann gleich n sein):

Dabei handelt es sich um unbekannte Variablen, um Zahlen (reelle oder komplexe) und um freie Terme.

Wenn , dann heißt das System linearer algebraischer Gleichungen homogen, sonst - heterogen.

Die Menge der Werte unbekannter Variablen, für die alle Gleichungen des Systems zu Identitäten werden, wird aufgerufen Entscheidung der SLAU.

Wenn es für ein lineares algebraisches Gleichungssystem mindestens eine Lösung gibt, heißt es gemeinsam, sonst - nicht gelenkig.

Wenn ein SLAE eine eindeutige Lösung hat, wird es aufgerufen bestimmt. Gibt es mehr als eine Lösung, wird das System aufgerufen unsicher.

Sie sagen, dass das System eingeschrieben ist Koordinatenform, wenn es das Formular hat
.

Dieses System in Matrixform Datensätze hat die Form , wo - die Hauptmatrix des SLAE, - die Matrix der Spalte unbekannter Variablen, - die Matrix freier Terme.

Wenn wir der Matrix A als (n+1)-te Spalte eine Matrixspalte freier Terme hinzufügen, erhalten wir die sogenannte erweiterte Matrix Systeme linearer Gleichungen. Typischerweise wird eine erweiterte Matrix mit dem Buchstaben T bezeichnet und die Spalte mit den freien Begriffen wird durch eine vertikale Linie von den übrigen Spalten getrennt, d. h.

Die quadratische Matrix A heißt degenerieren, wenn seine Determinante Null ist. Wenn , dann wird Matrix A aufgerufen nicht entartet.

Der folgende Punkt sollte beachtet werden.

Wenn Sie die folgenden Aktionen mit einem System linearer algebraischer Gleichungen ausführen

• zwei Gleichungen vertauschen,
• Multiplizieren Sie beide Seiten einer beliebigen Gleichung mit einer beliebigen und von Null verschiedenen reellen (oder komplexen) Zahl k.
• zu beiden Seiten einer Gleichung die entsprechenden Teile einer anderen Gleichung addieren, multipliziert mit einer beliebigen Zahl k,

dann erhält man ein äquivalentes System, das die gleichen Lösungen hat (oder, genau wie das Original, keine Lösungen hat).

Für eine erweiterte Matrix eines Systems linearer algebraischer Gleichungen bedeuten diese Aktionen die Durchführung elementarer Transformationen mit den Zeilen:

• zwei Zeilen vertauschen,
• Multiplizieren aller Elemente einer beliebigen Zeile der Matrix T mit einer Zahl k ungleich Null,
• Addieren der entsprechenden Elemente einer anderen Zeile zu den Elementen einer beliebigen Zeile einer Matrix, multipliziert mit einer beliebigen Zahl k.

Nun können wir mit der Beschreibung der Gauß-Methode fortfahren.

Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen, bei denen die Anzahl der Gleichungen gleich der Anzahl der Unbekannten ist und die Hauptmatrix des Systems nicht singulär ist, mithilfe der Gauß-Methode.

Was würden wir in der Schule tun, wenn wir die Aufgabe hätten, eine Lösung für ein Gleichungssystem zu finden? .

Manche würden das tun.

Beachten Sie, dass Sie durch Addition der linken Seite der ersten zur linken Seite der zweiten Gleichung und der rechten Seite zur rechten Seite die unbekannten Variablen x 2 und x 3 entfernen und sofort x 1 finden können:

Wir setzen den gefundenen Wert x 1 =1 in die erste und dritte Gleichung des Systems ein:

Wenn wir beide Seiten der dritten Gleichung des Systems mit -1 multiplizieren und zu den entsprechenden Teilen der ersten Gleichung addieren, entfernen wir die unbekannte Variable x 3 und können x 2 finden:

Wir setzen den resultierenden Wert x 2 = 2 in die dritte Gleichung ein und finden die verbleibende unbekannte Variable x 3:

Andere hätten es anders gemacht.

Lösen wir die erste Gleichung des Systems in Bezug auf die unbekannte Variable x 1 auf und setzen den resultierenden Ausdruck in die zweite und dritte Gleichung des Systems ein, um diese Variable daraus auszuschließen:

Lösen wir nun die zweite Gleichung des Systems nach x 2 auf und setzen das erhaltene Ergebnis in die dritte Gleichung ein, um die unbekannte Variable x 2 daraus zu eliminieren:

Aus der dritten Gleichung des Systems geht hervor, dass x 3 =3. Aus der zweiten Gleichung finden wir , und aus der ersten Gleichung erhalten wir .

Bekannte Lösungen, oder?

Das Interessanteste hier ist, dass die zweite Lösungsmethode im Wesentlichen die Methode der sequentiellen Eliminierung von Unbekannten ist, also die Gaußsche Methode. Als wir die unbekannten Variablen ausdrückten (zuerst x 1, im nächsten Schritt x 2) und sie in die übrigen Gleichungen des Systems einsetzten, schlossen wir sie dadurch aus. Wir haben die Eliminierung durchgeführt, bis in der letzten Gleichung nur noch eine unbekannte Variable übrig war. Der Prozess der sequentiellen Eliminierung von Unbekannten wird aufgerufen direkte Gaußsche Methode. Nach Abschluss der Vorwärtsbewegung haben wir die Möglichkeit, die unbekannte Variable in der letzten Gleichung zu berechnen. Mit seiner Hilfe finden wir die nächste unbekannte Variable aus der vorletzten Gleichung und so weiter. Der Prozess des sequentiellen Findens unbekannter Variablen beim Übergang von der letzten Gleichung zur ersten wird aufgerufen Umkehrung der Gaußschen Methode.

Es ist zu beachten, dass, wenn wir x 1 in der ersten Gleichung durch x 2 und x 3 ausdrücken und den resultierenden Ausdruck dann in die zweite und dritte Gleichung einsetzen, die folgenden Aktionen zum gleichen Ergebnis führen:

Tatsächlich ermöglicht ein solches Verfahren auch die Eliminierung der unbekannten Variablen x 1 aus der zweiten und dritten Gleichung des Systems:

Nuancen bei der Eliminierung unbekannter Variablen mit der Gaußschen Methode treten auf, wenn die Gleichungen des Systems einige Variablen nicht enthalten.

Zum Beispiel in SLAU In der ersten Gleichung gibt es keine unbekannte Variable x 1 (mit anderen Worten, der Koeffizient davor ist Null). Daher können wir die erste Gleichung des Systems nicht nach x 1 lösen, um diese unbekannte Variable aus den verbleibenden Gleichungen zu eliminieren. Der Ausweg aus dieser Situation besteht darin, die Gleichungen des Systems zu vertauschen. Da wir lineare Gleichungssysteme betrachten, deren Determinanten der Hauptmatrizen von Null verschieden sind, gibt es immer eine Gleichung, in der die von uns benötigte Variable vorhanden ist, und wir können diese Gleichung an die von uns benötigte Position umstellen. Für unser Beispiel reicht es aus, die erste und zweite Gleichung des Systems zu vertauschen , dann können Sie die erste Gleichung nach x 1 auflösen und sie aus den übrigen Gleichungen des Systems ausschließen (obwohl x 1 in der zweiten Gleichung nicht mehr vorhanden ist).

Wir hoffen, dass Sie das Wesentliche verstehen.

Lassen Sie uns beschreiben Algorithmus der Gaußschen Methode.

Angenommen, wir müssen ein System von n linearen algebraischen Gleichungen mit n unbekannten Variablen der Form lösen , und die Determinante ihrer Hauptmatrix sei von Null verschieden.

Wir gehen davon aus, dass wir dies immer erreichen können, indem wir die Gleichungen des Systems neu ordnen. Eliminieren wir die unbekannte Variable x 1 aus allen Gleichungen des Systems, beginnend mit der zweiten. Dazu addieren wir zur zweiten Gleichung des Systems die erste, multipliziert mit , zur dritten Gleichung addieren wir die erste, multipliziert mit usw., zur n-ten Gleichung addieren wir die erste, multipliziert mit . Das Gleichungssystem wird nach solchen Transformationen die Form annehmen

wo und .

Wir wären zum gleichen Ergebnis gekommen, wenn wir x 1 durch andere unbekannte Variablen in der ersten Gleichung des Systems ausgedrückt und den resultierenden Ausdruck in alle anderen Gleichungen eingesetzt hätten. Somit wird die Variable x 1 ab der zweiten aus allen Gleichungen ausgeschlossen.

Als nächstes gehen wir ähnlich vor, allerdings nur mit einem Teil des resultierenden Systems, der in der Abbildung markiert ist

Dazu addieren wir zur dritten Gleichung des Systems die zweite, multipliziert mit , zur vierten Gleichung addieren wir die zweite, multipliziert mit usw., zur n-ten Gleichung addieren wir die zweite, multipliziert mit . Das Gleichungssystem wird nach solchen Transformationen die Form annehmen

wo und . Somit wird die Variable x 2 ab der dritten aus allen Gleichungen ausgeschlossen.

Als nächstes eliminieren wir die Unbekannte x 3, während wir mit dem in der Abbildung markierten Teil des Systems ähnlich vorgehen

Also setzen wir die direkte Weiterentwicklung der Gaußschen Methode fort, bis das System die Form annimmt

Von diesem Moment an beginnen wir mit der Umkehrung der Gaußschen Methode: Wir berechnen x n aus der letzten Gleichung als , unter Verwendung des erhaltenen Werts von x n ermitteln wir x n-1 aus der vorletzten Gleichung und so weiter ermitteln wir x 1 aus der ersten Gleichung .

Schauen wir uns den Algorithmus anhand eines Beispiels an.

Beispiel.

Gauß-Methode.

Lösung.

Der Koeffizient a 11 ist ungleich Null, also fahren wir mit der direkten Weiterentwicklung der Gaußschen Methode fort, d. h. mit dem Ausschluss der unbekannten Variablen x 1 aus allen Gleichungen des Systems außer der ersten. Fügen Sie dazu zur linken und rechten Seite der zweiten, dritten und vierten Gleichung die linke bzw. rechte Seite der ersten Gleichung hinzu, multipliziert mit . Und :

Die unbekannte Variable x 1 wurde eliminiert, fahren wir mit der Eliminierung von x 2 fort. Zur linken und rechten Seite der dritten und vierten Gleichung des Systems addieren wir die linke und rechte Seite der zweiten Gleichung, jeweils multipliziert mit Und :

Um die Vorwärtsentwicklung der Gaußschen Methode abzuschließen, müssen wir die unbekannte Variable x 3 aus der letzten Gleichung des Systems eliminieren. Addieren wir zur linken und rechten Seite der vierten Gleichung jeweils die linke und rechte Seite der dritten Gleichung, multipliziert mit :

Sie können mit der Umkehrung der Gaußschen Methode beginnen.

Aus der letzten Gleichung haben wir ,
aus der dritten Gleichung erhalten wir,
ab dem zweiten,
vom ersten an.

Zur Überprüfung können Sie die erhaltenen Werte der unbekannten Variablen in das ursprüngliche Gleichungssystem einsetzen. Alle Gleichungen werden zu Identitäten, was darauf hinweist, dass die Lösung mit der Gauß-Methode korrekt gefunden wurde.

Antwort:

Lassen Sie uns nun eine Lösung für dasselbe Beispiel mithilfe der Gaußschen Methode in Matrixnotation geben.

Beispiel.

Finden Sie die Lösung des Gleichungssystems Gauß-Methode.

Lösung.

Die erweiterte Matrix des Systems hat die Form . Oben in jeder Spalte stehen die unbekannten Variablen, die den Elementen der Matrix entsprechen.

Der direkte Ansatz der Gauß-Methode besteht hier darin, die erweiterte Matrix des Systems mithilfe elementarer Transformationen auf eine Trapezform zu reduzieren. Dieser Vorgang ähnelt der Eliminierung unbekannter Variablen, die wir mit dem System in Koordinatenform durchgeführt haben. Jetzt werden Sie das sehen.

Lassen Sie uns die Matrix so transformieren, dass alle Elemente in der ersten Spalte, beginnend mit der zweiten, Null werden. Dazu addieren wir zu den Elementen der zweiten, dritten und vierten Zeile die entsprechenden Elemente der ersten Zeile multipliziert mit , und dementsprechend:

Als nächstes transformieren wir die resultierende Matrix so, dass in der zweiten Spalte alle Elemente, beginnend mit der dritten, Null werden. Dies würde einer Eliminierung der unbekannten Variablen x 2 entsprechen. Dazu addieren wir zu den Elementen der dritten und vierten Zeile die entsprechenden Elemente der ersten Zeile der Matrix, jeweils multipliziert mit Und :

Es bleibt die unbekannte Variable x 3 aus der letzten Gleichung des Systems auszuschließen. Dazu addieren wir zu den Elementen der letzten Zeile der resultierenden Matrix die entsprechenden Elemente der vorletzten Zeile, multipliziert mit :

Es ist zu beachten, dass diese Matrix einem System linearer Gleichungen entspricht

die früher nach einer Vorwärtsbewegung erhalten wurde.

Es ist Zeit umzukehren. Bei der Matrixschreibweise besteht die Umkehrung der Gaußschen Methode darin, die resultierende Matrix so zu transformieren, dass die in der Abbildung markierte Matrix entsteht

wurde diagonal, das heißt, nahm die Form an

Wo sind einige Zahlen?

Diese Transformationen ähneln den Vorwärtstransformationen der Gaußschen Methode, werden jedoch nicht von der ersten bis zur letzten Zeile, sondern von der letzten bis zur ersten Zeile durchgeführt.

Addiere zu den Elementen der dritten, zweiten und ersten Zeile die entsprechenden Elemente der letzten Zeile, multipliziert mit , und weiter jeweils:

Fügen Sie nun zu den Elementen der zweiten und ersten Zeile die entsprechenden Elemente der dritten Zeile hinzu, multipliziert mit bzw. mit:

Im letzten Schritt der umgekehrten Gaußschen Methode addieren wir zu den Elementen der ersten Zeile die entsprechenden Elemente der zweiten Zeile, multipliziert mit:

Die resultierende Matrix entspricht dem Gleichungssystem , von wo aus wir die unbekannten Variablen finden.

Antwort:

BEACHTEN SIE.

Bei der Lösung linearer algebraischer Gleichungssysteme mit der Gauß-Methode sollten Näherungsrechnungen vermieden werden, da diese zu völlig falschen Ergebnissen führen können. Wir empfehlen, Dezimalzahlen nicht zu runden. Es ist besser, von Dezimalbrüchen zu gewöhnlichen Brüchen überzugehen.

Beispiel.

Lösen Sie ein System aus drei Gleichungen mit der Gauß-Methode .

Lösung.

Beachten Sie, dass in diesem Beispiel die unbekannten Variablen eine andere Bezeichnung haben (nicht x 1, x 2, x 3, sondern x, y, z). Kommen wir zu gewöhnlichen Brüchen:

Lassen Sie uns das Unbekannte x aus der zweiten und dritten Gleichung des Systems ausschließen:

Im resultierenden System fehlt die unbekannte Variable y in der zweiten Gleichung, aber y ist in der dritten Gleichung vorhanden. Vertauschen wir daher die zweite und dritte Gleichung:

Damit ist die direkte Weiterentwicklung der Gauß-Methode abgeschlossen (es besteht keine Notwendigkeit, y aus der dritten Gleichung auszuschließen, da diese unbekannte Variable nicht mehr existiert).

Beginnen wir mit der umgekehrten Bewegung.

Aus der letzten Gleichung finden wir ,
vom Vorletzten


aus der ersten Gleichung haben wir

Antwort:

X = 10, y = 5, z = -20.

Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen, in denen die Anzahl der Gleichungen nicht mit der Anzahl der Unbekannten übereinstimmt oder die Hauptmatrix des Systems singulär ist, mithilfe der Gauß-Methode.

Gleichungssysteme, deren Hauptmatrix rechteckig oder quadratisch singulär ist, können keine Lösungen, eine einzige Lösung oder unendlich viele Lösungen haben.

Jetzt werden wir verstehen, wie wir mit der Gauß-Methode die Kompatibilität oder Inkonsistenz eines linearen Gleichungssystems feststellen und im Falle seiner Kompatibilität alle Lösungen (oder eine einzelne Lösung) bestimmen können.

Im Prinzip bleibt der Prozess der Eliminierung unbekannter Variablen bei solchen SLAEs derselbe. Es lohnt sich jedoch, im Detail auf einige Situationen einzugehen, die auftreten können.

Kommen wir zur wichtigsten Phase.

Nehmen wir also an, dass das System linearer algebraischer Gleichungen nach Abschluss der Vorwärtsentwicklung der Gauß-Methode die Form annimmt und keine einzige Gleichung wurde reduziert auf (in diesem Fall würden wir schlussfolgern, dass das System inkompatibel ist). Es stellt sich die logische Frage: „Was ist als nächstes zu tun?“

Schreiben wir die unbekannten Variablen auf, die in allen Gleichungen des resultierenden Systems an erster Stelle stehen:

In unserem Beispiel sind das x 1, x 4 und x 5. Auf der linken Seite der Gleichungen des Systems belassen wir nur die Terme, die die geschriebenen unbekannten Variablen x 1, x 4 und x 5 enthalten, die restlichen Terme werden mit umgekehrtem Vorzeichen auf die rechte Seite der Gleichungen übertragen:

Geben wir den unbekannten Variablen, die sich auf der rechten Seite der Gleichungen befinden, beliebige Werte, wo - beliebige Zahlen:

Danach enthalten die rechten Seiten aller Gleichungen unseres SLAE Zahlen und wir können mit der Umkehrung der Gaußschen Methode fortfahren.

Aus der letzten Gleichung des Systems haben wir, aus der vorletzten Gleichung finden wir, aus der ersten Gleichung erhalten wir

Die Lösung eines Gleichungssystems ist eine Menge von Werten unbekannter Variablen

Zahlen geben Bei unterschiedlichen Werten erhalten wir unterschiedliche Lösungen des Gleichungssystems. Das heißt, unser Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen.

Antwort:

Wo - beliebige Zahlen.

Um das Material zu festigen, werden wir die Lösungen mehrerer weiterer Beispiele im Detail analysieren.

Beispiel.

Lösen Sie ein homogenes System linearer algebraischer Gleichungen Gauß-Methode.

Lösung.

Lassen Sie uns die unbekannte Variable x aus der zweiten und dritten Gleichung des Systems ausschließen. Dazu addieren wir zur linken und rechten Seite der zweiten Gleichung jeweils die linke und rechte Seite der ersten Gleichung, multipliziert mit , und zur linken und rechten Seite der dritten Gleichung addieren wir die linke und rechten Seiten der ersten Gleichung, multipliziert mit:

Schließen wir nun y aus der dritten Gleichung des resultierenden Gleichungssystems aus:

Der resultierende SLAE entspricht dem System .

Wir belassen auf der linken Seite der Systemgleichungen nur die Terme, die die unbekannten Variablen x und y enthalten, und verschieben die Terme mit der unbekannten Variablen z auf die rechte Seite:

Bildungseinrichtung „Belarussischer Staat“.

Landwirtschaftsakademie“

Abteilung für Höhere Mathematik

Richtlinien

das Thema „Gauß-Methode zur Lösung linearer Systeme“ zu studieren

Gleichungen“ von Studierenden der Buchhaltungsfakultät des Fernstudiums (NISPO)

Gorki, 2013

Gauß-Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme

Äquivalente Gleichungssysteme

Zwei lineare Gleichungssysteme heißen äquivalent, wenn jede Lösung des einen eine Lösung des anderen ist. Der Prozess der Lösung eines linearen Gleichungssystems besteht darin, es mithilfe des sogenannten sequentiell in ein äquivalentes System umzuwandeln elementare Transformationen , welche sind:

1) Neuordnung zweier beliebiger Gleichungen des Systems;

2) Multiplizieren beider Seiten einer beliebigen Gleichung des Systems mit einer Zahl ungleich Null;

3) Hinzufügen einer weiteren Gleichung zu einer beliebigen Gleichung, multipliziert mit einer beliebigen Zahl;

4) Durchstreichen einer aus Nullen bestehenden Gleichung, d.h. Gleichungen der Form

Gaußsche Eliminierung

Betrachten Sie das System M lineare Gleichungen mit N Unbekannt:

Das Wesen der Gaußschen Methode oder der Methode der sequentiellen Eliminierung von Unbekannten ist wie folgt.

Zunächst wird mithilfe elementarer Transformationen das Unbekannte aus allen Gleichungen des Systems außer der ersten eliminiert. Solche Systemtransformationen nennt man Gaußscher Eliminierungsschritt . Das Unbekannte wird gerufen Aktivierungsvariable im ersten Schritt der Transformation. Der Koeffizient heißt Auflösungsfaktor , heißt die erste Gleichung Gleichung auflösen , und die Koeffizientenspalte bei Berechtigungsspalte .

Wenn Sie einen Schritt der Gaußschen Eliminierung durchführen, müssen Sie die folgenden Regeln verwenden:

1) die Koeffizienten und der freie Term der Lösungsgleichung bleiben unverändert;

2) die Koeffizienten der Auflösungsspalte, die unterhalb des Auflösungskoeffizienten liegen, werden Null;

3) Alle anderen Koeffizienten und freien Terme bei der Durchführung des ersten Schritts werden nach der Rechteckregel berechnet:

, Wo ich=2,3,…,M; J=2,3,…,N.

Wir werden ähnliche Transformationen an der zweiten Gleichung des Systems durchführen. Dies führt zu einem System, in dem das Unbekannte in allen Gleichungen außer den ersten beiden eliminiert wird. Als Ergebnis solcher Transformationen über jede der Gleichungen des Systems (direkte Weiterentwicklung der Gaußschen Methode) wird das ursprüngliche System auf ein äquivalentes Stufensystem eines der folgenden Typen reduziert.

Umgekehrte Gaußsche Methode

Stufensystem

hat ein dreieckiges Aussehen und das war's (ich=1,2,…,N). Ein solches System hat eine einzigartige Lösung. Die Unbekannten werden ausgehend von der letzten Gleichung bestimmt (Umkehrung der Gaußschen Methode).

Das Stufensystem hat die Form

wo, d.h. Die Anzahl der Gleichungen des Systems ist kleiner oder gleich der Anzahl der Unbekannten. Dieses System hat keine Lösungen, da die letzte Gleichung für keinen Wert der Variablen erfüllt ist.

Stufensystem

hat unzählige Lösungen. Aus der letzten Gleichung wird das Unbekannte durch die Unbekannten ausgedrückt . Dann wird in der vorletzten Gleichung anstelle der Unbekannten ihr Ausdruck durch die Unbekannten ersetzt . Fortsetzung der Umkehrung der Gaußschen Methode, der Unbekannten kann in Form von Unbekannten ausgedrückt werden . In diesem Fall die Unbekannten werden genannt frei und kann beliebige und unbekannte Werte annehmen Basic.

Beim Lösen von Systemen in der Praxis ist es zweckmäßig, alle Transformationen nicht mit einem Gleichungssystem, sondern mit einer erweiterten Matrix des Systems, bestehend aus Koeffizienten für Unbekannte und einer Spalte mit freien Termen, durchzuführen.

Beispiel 1. Gleichungssystem lösen

Lösung. Lassen Sie uns eine erweiterte Matrix des Systems erstellen und elementare Transformationen durchführen:

.

In der erweiterten Matrix des Systems ist die Zahl 3 (hervorgehoben) der Auflösungskoeffizient, die erste Zeile ist die Auflösungszeile und die erste Spalte ist die Auflösungsspalte. Beim Wechsel zur nächsten Matrix ändert sich die Auflösungszeile nicht; alle Elemente der Auflösungsspalte unterhalb des Auflösungselements werden durch Nullen ersetzt. Und alle anderen Elemente der Matrix werden nach der Vierecksregel neu berechnet. Anstelle von Element 4 schreiben wir in die zweite Zeile , anstelle von Element -3 wird in der zweiten Zeile geschrieben usw. Somit wird die zweite Matrix erhalten. Das Auflösungselement dieser Matrix ist die Zahl 18 in der zweiten Zeile. Um die nächste (dritte Matrix) zu bilden, lassen wir die zweite Zeile unverändert, schreiben in die Spalte unter dem auflösenden Element Null und berechnen die verbleibenden zwei Elemente neu: Anstelle der Zahl schreiben wir 1 , und statt der Zahl 16 schreiben wir .

Dadurch wurde das ursprüngliche System auf ein gleichwertiges System reduziert

Aus der dritten Gleichung finden wir . Setzen wir diesen Wert in die zweite Gleichung ein: j=3. Setzen wir die gefundenen Werte in die erste Gleichung ein j Und z: , X=2.

Somit lautet die Lösung dieses Gleichungssystems X=2, j=3, .

Beispiel 2. Gleichungssystem lösen

Lösung. Führen wir elementare Transformationen an der erweiterten Matrix des Systems durch:

In der zweiten Matrix wird jedes Element der dritten Zeile durch 2 geteilt.

In der vierten Matrix wurde jedes Element der dritten und vierten Zeile durch 11 geteilt.

. Die resultierende Matrix entspricht dem Gleichungssystem

Wir finden die Lösung dieses Systems , , .

Beispiel 3. Gleichungssystem lösen

Lösung. Schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems und führen elementare Transformationen durch:

.

In der zweiten Matrix wurde jedes Element der zweiten, dritten und vierten Zeile durch 7 geteilt.

Als Ergebnis wurde ein Gleichungssystem erhalten

entspricht dem Original.

Da es zwei Gleichungen weniger als Unbekannte gibt, dann aus der zweiten Gleichung . Setzen wir den Ausdruck for in die erste Gleichung ein: , .

Daher die Formeln Geben Sie eine allgemeine Lösung für dieses Gleichungssystem an. Unbekannte sind kostenlos und können jeden Wert annehmen.

Lassen Sie zum Beispiel Dann Und . Lösung ist eine der besonderen Lösungen des Systems, von denen es unzählige gibt.

Fragen zur Selbstkontrolle des Wissens

1) Welche Transformationen linearer Systeme werden als elementar bezeichnet?

2) Welche Transformationen des Systems werden als Gaußscher Eliminierungsschritt bezeichnet?

3) Was ist eine Auflösungsvariable, ein Auflösungskoeffizient, eine Auflösungsspalte?

4) Welche Regeln sollten bei der Durchführung eines Schritts der Gaußschen Eliminierung angewendet werden?

Definition und Beschreibung der Gaußschen Methode

Die Gaußsche Transformationsmethode (auch als Methode der sequentiellen Eliminierung unbekannter Variablen aus einer Gleichung oder Matrix bekannt) zur Lösung linearer Gleichungssysteme ist eine klassische Methode zur Lösung algebraischer Gleichungssysteme (SLAE). Diese klassische Methode wird auch zur Lösung von Problemen wie der Ermittlung inverser Matrizen und der Bestimmung des Rangs einer Matrix verwendet.

Die Transformation mit der Gaußschen Methode besteht darin, kleine (elementare) sequentielle Änderungen an einem System linearer algebraischer Gleichungen vorzunehmen, die zur Eliminierung von Variablen daraus von oben nach unten führen und ein neues dreieckiges Gleichungssystem bilden, das dem Original entspricht eins.

Definition 1

Dieser Teil der Lösung wird Vorwärts-Gauß-Lösung genannt, da der gesamte Prozess von oben nach unten durchgeführt wird.

Nach der Reduzierung des ursprünglichen Gleichungssystems auf ein dreieckiges Gleichungssystem werden alle Variablen des Systems von unten nach oben gefunden (d. h. die ersten gefundenen Variablen befinden sich genau auf den letzten Zeilen des Systems oder der Matrix). Dieser Teil der Lösung wird auch als Umkehrung der Gaußschen Lösung bezeichnet. Sein Algorithmus ist wie folgt: Zuerst werden die Variablen berechnet, die dem unteren Ende des Gleichungssystems oder der Matrix am nächsten liegen, dann werden die resultierenden Werte höher substituiert und so eine andere Variable gefunden und so weiter.

Beschreibung des Gaußschen Methodenalgorithmus

Die Abfolge von Aktionen zur allgemeinen Lösung eines Gleichungssystems nach der Gaußschen Methode besteht darin, auf der Grundlage des SLAE abwechselnd Vorwärts- und Rückwärtsstriche auf die Matrix anzuwenden. Das anfängliche Gleichungssystem soll die folgende Form haben:

$\begin(cases) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(cases)$

Um SLAEs mit der Gaußschen Methode zu lösen, ist es notwendig, das ursprüngliche Gleichungssystem in Form einer Matrix zu schreiben:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

Die Matrix $A$ wird Hauptmatrix genannt und stellt die Koeffizienten der der Reihe nach geschriebenen Variablen dar, und $b$ wird die Spalte ihrer freien Terme genannt. Die durch einen Balken mit einer Spalte freier Terme geschriebene Matrix $A$ wird als erweiterte Matrix bezeichnet:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(array)$

Nun ist es notwendig, es durch elementare Transformationen des Gleichungssystems (oder der Matrix, da dies bequemer ist) in die folgende Form zu bringen:

$\begin(cases) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(cases)$ (1)

Die aus den Koeffizienten des transformierten Gleichungssystems (1) erhaltene Matrix wird als Stufenmatrix bezeichnet; so sehen Stufenmatrizen üblicherweise aus:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(array)$

Diese Matrizen zeichnen sich durch die folgenden Eigenschaften aus:

1. Alle seine Nulllinien kommen nach Nicht-Null-Zeilen
2. Wenn eine Zeile einer Matrix mit der Nummer $k$ ungleich Null ist, dann hat die vorherige Zeile derselben Matrix weniger Nullen als diese mit der Nummer $k$.

Nach Erhalt der Stufenmatrix müssen die resultierenden Variablen in die verbleibenden Gleichungen eingesetzt werden (beginnend am Ende) und die verbleibenden Werte der Variablen erhalten.

Grundregeln und erlaubte Transformationen bei der Anwendung der Gauß-Methode

Wenn Sie eine Matrix oder ein Gleichungssystem mit dieser Methode vereinfachen, müssen Sie nur elementare Transformationen verwenden.

Unter solchen Transformationen versteht man Operationen, die auf eine Matrix oder ein Gleichungssystem angewendet werden können, ohne deren Bedeutung zu ändern:

• Neuanordnung mehrerer Zeilen,
• Addieren oder Subtrahieren von einer Zeile einer Matrix durch eine andere Zeile davon,
• Multiplizieren oder Dividieren einer Zeichenfolge mit einer Konstante ungleich Null,
• eine Zeile, die nur aus Nullen besteht und bei der Berechnung und Vereinfachung des Systems erhalten wurde, muss gelöscht werden.
• Sie müssen auch unnötige Proportionallinien entfernen und für das System das einzige mit Koeffizienten auswählen, die für weitere Berechnungen besser geeignet und bequemer sind.

Alle elementaren Transformationen sind reversibel.

Analyse der drei Hauptfälle, die bei der Lösung linearer Gleichungen mit der Methode der einfachen Gaußschen Transformationen auftreten

Bei der Verwendung der Gaußschen Methode zur Lösung von Systemen treten drei Fälle auf:

1. Wenn ein System inkonsistent ist, das heißt, es hat keine Lösungen
2. Das Gleichungssystem hat eine Lösung, und zwar eine eindeutige, und die Anzahl der Zeilen und Spalten ungleich Null in der Matrix ist einander gleich.
3. Das System verfügt über eine bestimmte Anzahl oder Menge möglicher Lösungen, und die Anzahl der darin enthaltenen Zeilen ist geringer als die Anzahl der Spalten.

Ergebnis einer Lösung mit einem inkonsistenten System

Bei dieser Option ist es bei der Lösung einer Matrixgleichung mit der Gaußschen Methode typisch, eine Linie mit der Unmöglichkeit zu erhalten, die Gleichheit zu erfüllen. Wenn daher mindestens eine falsche Gleichung auftritt, haben die resultierenden und ursprünglichen Systeme unabhängig von den anderen darin enthaltenen Gleichungen keine Lösungen. Ein Beispiel für eine inkonsistente Matrix:

$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$

In der letzten Zeile entstand eine unmögliche Gleichheit: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

Ein Gleichungssystem, das nur eine Lösung hat

Diese Systeme haben, nachdem sie auf eine Stufenmatrix reduziert und Zeilen mit Nullen entfernt wurden, die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten in der Hauptmatrix. Hier ist das einfachste Beispiel eines solchen Systems:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(cases)$

Schreiben wir es in Form einer Matrix:

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(array)$

Um die erste Zelle der zweiten Zeile auf Null zu bringen, multiplizieren wir die obere Zeile mit $-2$, subtrahieren sie von der unteren Zeile der Matrix und belassen die obere Zeile in ihrer ursprünglichen Form. Als Ergebnis erhalten wir Folgendes :

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(array)$

Dieses Beispiel kann als System geschrieben werden:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(cases)$

Die untere Gleichung ergibt den folgenden Wert für $x$: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Setzen Sie diesen Wert in die obere Gleichung ein: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, wir erhalten $x_1 = 1 \frac(2)(3)$.

Ein System mit vielen Lösungsmöglichkeiten

Dieses System zeichnet sich dadurch aus, dass die Anzahl der signifikanten Zeilen kleiner ist als die Anzahl der darin enthaltenen Spalten (die Zeilen der Hauptmatrix werden berücksichtigt).

Variablen in einem solchen System werden in zwei Typen unterteilt: Basisvariablen und kostenlose Variablen. Bei der Transformation eines solchen Systems müssen die darin enthaltenen Hauptvariablen bis zum „=“-Zeichen im linken Bereich belassen und die restlichen Variablen auf die rechte Seite der Gleichheit verschoben werden.

Für ein solches System gibt es nur eine bestimmte allgemeine Lösung.

Analysieren wir das folgende Gleichungssystem:

$\begin(cases) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(cases)$

Schreiben wir es in Form einer Matrix:

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(array)$

Unsere Aufgabe ist es, eine allgemeine Lösung des Systems zu finden. Für diese Matrix sind die Basisvariablen $y_1$ und $y_3$ (für $y_1$ – da es an erster Stelle steht, und im Fall von $y_3$ – es steht hinter den Nullen).

Als Basisvariablen wählen wir genau diejenigen aus, die in der Reihe an erster Stelle stehen und ungleich Null sind.

Die übrigen Variablen heißen frei; wir müssen die Grundvariablen durch sie ausdrücken.

Mit dem sogenannten Reverse Stroke analysieren wir das System von unten nach oben; dazu drücken wir zunächst $y_3$ aus der unteren Zeile des Systems aus:

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

Jetzt setzen wir das ausgedrückte $y_3$ in die obere Gleichung des Systems $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$ ein: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1$

Wir drücken $y_1$ durch freie Variablen $y_2$ und $y_4$ aus:

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1,5x_2 – 0,1y_4 + 0,6$

Die Lösung ist fertig.

Beispiel 1

Lösen Sie Slough mit der Gaußschen Methode. Beispiele. Ein Beispiel für die Lösung eines linearen Gleichungssystems, das durch eine 3 x 3-Matrix gegeben ist, mit der Gaußschen Methode

$\begin(cases) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \end(cases)$

Schreiben wir unser System in Form einer erweiterten Matrix:

$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

Aus praktischen und praktischen Gründen müssen Sie nun die Matrix so transformieren, dass sich $1$ in der oberen Ecke der äußersten Spalte befindet.

Dazu müssen Sie zur ersten Zeile die Zeile aus der Mitte addieren, mit $-1$ multiplizieren, und die mittlere Zeile selbst so schreiben, wie sie ist. Es stellt sich heraus:

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(array) $

Multiplizieren Sie die obere und letzte Zeile mit $-1$ und vertauschen Sie auch die letzte und mittlere Zeile:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(array)$

Und dividiere die letzte Zeile durch $3$:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(array)$

Wir erhalten das folgende Gleichungssystem, äquivalent zum ursprünglichen:

$\begin(cases) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(cases)$

Aus der oberen Gleichung drücken wir $x_1$ aus:

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.

Beispiel 2

Ein Beispiel für die Lösung eines Systems, das mithilfe einer 4 x 4-Matrix mit der Gaußschen Methode definiert wurde

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(array)$.

Zu Beginn vertauschen wir die darauf folgenden oberen Zeilen, um $1$ in der oberen linken Ecke zu erhalten:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(array)$.

Multiplizieren Sie nun die oberste Zeile mit $-2$ und addieren Sie zur 2. und 3. Zeile. Zum 4. fügen wir die 1. Zeile hinzu, multipliziert mit $-3$:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(array)$

Nun fügen wir zu Zeile 3 Zeile 2 multipliziert mit $4$ hinzu und zu Zeile 4 addieren wir Zeile 2 multipliziert mit $-1$.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(array)$

Wir multiplizieren Zeile 2 mit $-1$, dividieren Zeile 4 durch $3$ und ersetzen Zeile 3.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ \end(array)$

Jetzt fügen wir zur letzten Zeile die vorletzte hinzu, multipliziert mit $-5$.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end(array)$

Wir lösen das resultierende Gleichungssystem:

$\begin(cases) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(cases)$