Το Y είναι ίσο με τη ρίζα του X. Συνάρτηση ισχύος και ρίζες - ορισμός, ιδιότητες και τύποι

Μάθημα και παρουσίαση με θέμα: "Συναρτήσεις ισχύος. Κυβική ρίζα. Ιδιότητες της κυβικής ρίζας"

Πρόσθετα υλικά
Αγαπητοί χρήστες, μην ξεχάσετε να αφήσετε τα σχόλια, τις κριτικές, τις επιθυμίες σας! Όλα τα υλικά έχουν ελεγχθεί από ένα πρόγραμμα προστασίας από ιούς.

Εκπαιδευτικά βοηθήματα και προσομοιωτές στο ηλεκτρονικό κατάστημα Integral για την 9η τάξη
Εκπαιδευτικό συγκρότημα 1C: "Αλγεβρικά προβλήματα με παραμέτρους, τάξεις 9–11" Περιβάλλον λογισμικού "1C: Mathematical Constructor 6.0"

Ορισμός συνάρτησης ισχύος - ρίζα κύβου

Ας ελέγξουμε την ισότητα: $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$.
Έστω $\sqrt((-x))=a$ και $\sqrt(x)=b$. Ας ανεβάσουμε και τις δύο εκφράσεις στην τρίτη δύναμη. $–x=a^3$ και $x=b^3$. Στη συνέχεια $a^3=-b^3$ ή $a=-b$. Χρησιμοποιώντας τη σημείωση για τις ρίζες παίρνουμε την επιθυμητή ταυτότητα.

Ιδιότητες των κυβικών ριζών

Ας αποδείξουμε τη δεύτερη ιδιότητα. $(\sqrt(\frac(a)(b)))^3=\frac(\sqrt(a)^3)(\sqrt(b)^3)=\frac(a)(b)$.
Βρήκαμε ότι ο αριθμός $\sqrt(\frac(a)(b))$ σε κύβους είναι ίσος με $\frac(a)(b)$ και στη συνέχεια ισούται με $\sqrt(\frac(a)(b))$ , το οποίο και έπρεπε να αποδειχθεί.

Παιδιά, ας φτιάξουμε ένα γράφημα της συνάρτησής μας.
1) Τομέας ορισμού είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών.
2) Η συνάρτηση είναι περίεργη, αφού $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$. Στη συνέχεια, εξετάστε τη συνάρτησή μας για $x≥0$ και, στη συνέχεια, εμφανίστε το γράφημα σε σχέση με την αρχή.
3) Η συνάρτηση αυξάνεται όταν $x≥0$. Για τη συνάρτησή μας, αντιστοιχεί η μεγαλύτερη τιμή ορίσματος υψηλότερη τιμήλειτουργίες, που σημαίνει αύξηση.
4) Η λειτουργία δεν περιορίζεται από πάνω. Στην πραγματικότητα, από οποιαδήποτε μεγάλος αριθμόςη τρίτη ρίζα μπορεί να υπολογιστεί και μπορούμε να κινηθούμε προς τα πάνω επ' αόριστον, βρίσκοντας όλο και μεγαλύτερες τιμές του ορίσματος.
5) Για $x≥0$ μικρότερη τιμήισούται με 0. Αυτή η ιδιότητα είναι προφανής.
Ας φτιάξουμε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης ανά σημεία x≥0.

Ας κατασκευάσουμε το γράφημα της συνάρτησης σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού. Να θυμάστε ότι η συνάρτησή μας είναι περίεργη.

Ιδιότητες λειτουργίας:
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Περιττή συνάρτηση.
3) Αυξάνεται κατά (-∞;+∞).
4) Απεριόριστο.
5) Δεν υπάρχει ελάχιστη ή μέγιστη τιμή.

7) E(y)= (-∞;+∞).
8) Κυρτό προς τα κάτω κατά (-∞;0), κυρτό προς τα πάνω κατά (0;+∞).

Παραδείγματα επίλυσης συναρτήσεων ισχύος

2. Κατασκευάστε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης. $y=\sqrt((x-2))-3$.
Λύση. Το γράφημά μας προκύπτει από το γράφημα της συνάρτησης $y=\sqrt(x)$, παράλληλη μεταφοράδύο μονάδες προς τα δεξιά και τρεις μονάδες προς τα κάτω.

3. Γράψτε τη συνάρτηση και διαβάστε τη. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end(cases)$.
Λύση. Ας κατασκευάσουμε δύο γραφήματα συναρτήσεων στο ίδιο επίπεδο συντεταγμένων, λαμβάνοντας υπόψη τις συνθήκες μας. Για $x≥-1$ χτίζουμε ένα γράφημα της κυβικής ρίζας, για $x≤-1$ χτίζουμε ένα γράφημα μιας γραμμικής συνάρτησης.
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.
3) Μειώνεται κατά (-∞;-1), αυξάνεται κατά (-1;+∞).
4) Απεριόριστο από πάνω, περιορισμένο από κάτω.
5) Δεν υπάρχει μεγαλύτερη αξία. Η μικρότερη τιμή είναι μείον ένα.
6) Η συνάρτηση είναι συνεχής σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή.
7) E(y)= (-1;+∞).

Προβλήματα προς επίλυση ανεξάρτητα

Ν ο βαθμός του πραγματικός αριθμός, σημείωσε ότι η ρίζα οποιουδήποτε βαθμού (δεύτερη, τρίτη, τέταρτη, κ.λπ.) μπορεί να εξαχθεί από οποιονδήποτε μη αρνητικό αριθμό και η ρίζα οποιουδήποτε περιττού βαθμού μπορεί να εξαχθεί από έναν αρνητικό αριθμό. Αλλά τότε θα πρέπει να σκεφτείτε μια συνάρτηση της φόρμας, το γράφημά της, τις ιδιότητές της. Αυτό θα κάνουμε σε αυτήν την παράγραφο. Αρχικά ας μιλήσουμε για τη συνάρτηση σε περίπτωση μη αρνητικών τιμών διαφωνία.

Ας ξεκινήσουμε με την περίπτωση που γνωρίζετε, όταν n = 2, δηλ. από τη συνάρτηση στο Σχ. Το 166 δείχνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x 2, x>0. Και τα δύο γραφήματα αντιπροσωπεύουν την ίδια καμπύλη - έναν κλάδο μιας παραβολής, που βρίσκεται μόνο διαφορετικά στο επίπεδο συντεταγμένων. Ας διευκρινίσουμε: αυτά τα γραφήματα είναι συμμετρικά σε σχέση με την ευθεία y = x, αφού αποτελούνται από σημεία που είναι συμμετρικά μεταξύ τους σε σχέση με την καθορισμένη ευθεία. Κοιτάξτε: στον εξεταζόμενο κλάδο της παραβολής y = x 2 υπάρχουν σημεία (0; 0), (1; 1), (2; 4), (3; 9), (4; 16), και στη συνάρτηση γραφική παράσταση υπάρχουν σημεία (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3), (16; 4).

Τα σημεία (2; 4) και (4; 2), (3; 9) και (9; 3), (4; 16) και (16; 4) είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία y = x, (και τα σημεία (0 ; 0 ) και (1; 1) βρίσκονται σε αυτή τη γραμμή). Και γενικά, για οποιοδήποτε σημείο (α; α 2) στο γράφημα συνάρτησης y = x 2 είναι ένα σημείο (a 2 ; a) συμμετρικό προς αυτό ως προς την ευθεία y = x στη γραφική παράσταση της συνάρτησης και αντίστροφα. Το παρακάτω θεώρημα είναι αληθές.

Απόδειξη.Για βεβαιότητα, υποθέτουμε ότι τα a και b είναι θετικούς αριθμούς. Θεωρήστε τα τρίγωνα OAM και OVR (Εικ. 167). Είναι ίσα, που σημαίνει OP = OM και . Αλλά στη συνέχεια αφού η ευθεία y = x είναι η διχοτόμος της γωνίας ΑΟΒ. Άρα, το τρίγωνο ROM είναι ισοσκελές, το OH είναι η διχοτόμος του και επομένως ο άξονας συμμετρίας. Τα σημεία M και P είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία ΟΗ, κάτι που έπρεπε να αποδειχθεί.
Έτσι, η γραφική παράσταση της συνάρτησης μπορεί να ληφθεί από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x 2, x>0 χρησιμοποιώντας έναν μετασχηματισμό συμμετρίας σχετικά με την ευθεία γραμμή y = x. Ομοίως, η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης μπορεί να ληφθεί από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x 3, x> 0 χρησιμοποιώντας έναν μετασχηματισμό συμμετρίας γύρω από την ευθεία γραμμή y = x. η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης μπορεί να ληφθεί από τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης χρησιμοποιώντας έναν μετασχηματισμό συμμετρίας σχετικά με την ευθεία γραμμή y = x, κ.λπ. Ας θυμηθούμε ότι η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης μοιάζει σε εμφάνιση με τον κλάδο μιας παραβολής. Όσο μεγαλύτερο είναι το n, τόσο πιο απότομα αυτός ο κλάδος ορμάει προς τα πάνω στο διάστημα και όσο πιο κοντά πλησιάζει τον άξονα x κοντά στο σημείο x = 0 (Εικ. . 168).

Ας διατυπώσουμε ένα γενικό συμπέρασμα: η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι συμμετρική με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε σχέση με την ευθεία y = x (Εικ. 169).

Ιδιότητες συνάρτησης

1)
2) η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.
3) αυξάνεται κατά
4) δεν περιορίζεται από πάνω, περιορίζεται από κάτω.
5) δεν έχει τη μεγαλύτερη σημασία.
6) συνεχής?
7)

Δώστε προσοχή σε μια περίεργη περίσταση. Ας εξετάσουμε δύο συναρτήσεις, τα γραφήματα των οποίων φαίνονται στο Σχ. 169: Μόλις παραθέσαμε επτά ιδιότητες για την πρώτη συνάρτηση, αλλά η δεύτερη συνάρτηση έχει απολύτως τις ίδιες ιδιότητες. Προφορικά «πορτρέτα» δύο διάφορες λειτουργίεςείναι τα ίδια. Αλλά, ας διευκρινίσουμε, εξακολουθούν να είναι τα ίδια.

Οι μαθηματικοί δεν μπορούσαν να αντέξουν μια τέτοια αδικία όταν διαφορετικές συναρτήσεις με διαφορετικά γραφήματα περιγράφονται προφορικά με τον ίδιο τρόπο, και εισήγαγαν τις έννοιες της ανοδικής κυρτότητας και της καθοδικής κυρτότητας. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι κυρτή προς τα πάνω, ενώ η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x n είναι κυρτή προς τα κάτω.

Συνήθως λέγεται ότι μια συνεχής συνάρτηση είναι κυρτή προς τα κάτω εάν, συνδέοντας οποιαδήποτε δύο σημεία του γραφήματος της με ένα ευθύγραμμο τμήμα, ανακαλυφθεί ότι το αντίστοιχο τμήμα του γραφήματος βρίσκεται κάτω από το σχεδιασμένο τμήμα (Εικ. 170). μια συνεχής συνάρτηση είναι κυρτή προς τα πάνω εάν, συνδέοντας οποιαδήποτε δύο σημεία της γραφικής της παράστασης με ένα ευθύγραμμο τμήμα, ανακαλυφθεί ότι το αντίστοιχο τμήμα της γραφικής παράστασης βρίσκεται πάνω από το σχεδιασμένο τμήμα (Εικ. 171).

Θα συμπεριλάβουμε περαιτέρω την ιδιότητα κυρτότητας στη διαδικασία για την ανάγνωση ενός γραφήματος. Ας το σημειώσουμε" (συνεχίζοντας την αρίθμηση των ιδιοτήτων που περιγράφηκαν προηγουμένως) για τη συνάρτηση που εξετάζουμε:

8) η συνάρτηση είναι κυρτή προς τα πάνω στην ακτίνα
Στο προηγούμενο κεφάλαιο, γνωρίσαμε μια άλλη ιδιότητα μιας συνάρτησης - τη διαφοροποίηση· είδαμε ότι η συνάρτηση y = x n είναι διαφορίσιμη σε οποιοδήποτε σημείο, η παράγωγός της είναι ίση με nx n-1. Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι σε οποιοδήποτε σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y = x n μπορεί να σχεδιαστεί μια εφαπτομένη σε αυτήν. Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης έχει επίσης την ίδια ιδιότητα: σε οποιοδήποτε σημείο είναι δυνατό να σχεδιάσουμε μια εφαπτομένη στη γραφική παράσταση. Έτσι, μπορούμε να σημειώσουμε μια ακόμη ιδιότητα της συνάρτησης
9) η συνάρτηση είναι διαφοροποιήσιμη σε οποιοδήποτε σημείο x > 0.
Σημείωση: δεν μιλάμε για τη διαφορισιμότητα της συνάρτησης στο σημείο x = 0 - σε αυτό το σημείο η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης συμπίπτει με τον άξονα y, δηλ. κάθετο στον άξονα x.
Παράδειγμα 1. Γράφημα μια συνάρτηση
Λύση. 1) Ας προχωρήσουμε στο βοηθητικό σύστημασυντεταγμένες με την αρχή στο σημείο (-1; -4) - διακεκομμένες γραμμές x = -1 και y = -4 στο Σχ. 172.
2) "Δέσμευση" της συνάρτησης σε νέο σύστημασυντεταγμένες Αυτό θα είναι το απαιτούμενο πρόγραμμα.
Παράδειγμα 2.Λύστε την εξίσωση

Λύση. Πρώτος τρόπος. 1) Ας εισαγάγουμε δύο συναρτήσεις
2) Ας σχεδιάσουμε τη συνάρτηση

3) Ας φτιάξουμε μια γραφική παράσταση της γραμμικής συνάρτησης y=2-x (βλ. Εικ. 173).

4) Τα κατασκευασμένα γραφήματα τέμνονται σε ένα σημείο Α, και από το γράφημα μπορούμε να κάνουμε την υπόθεση ότι οι συντεταγμένες του σημείου Α είναι οι εξής: (1; 1). Ο έλεγχος δείχνει ότι στην πραγματικότητα το σημείο (1; 1) ανήκει και στη γραφική παράσταση της συνάρτησης και στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=2-x. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωσή μας έχει μία ρίζα: x = 1 - την τετμημένη του σημείου Α.

Δεύτερος τρόπος.
Το γεωμετρικό μοντέλο που παρουσιάζεται στο Σχ. 173, απεικονίζεται ξεκάθαρα από την ακόλουθη δήλωση, η οποία μερικές φορές σας επιτρέπει να λύσετε την εξίσωση πολύ κομψά (και την οποία χρησιμοποιήσαμε ήδη στην § 35 όταν λύναμε το Παράδειγμα 2):

Αν η συνάρτηση y=f(x) αυξηθεί, και η συνάρτηση y=g(x) μειωθεί, και αν η εξίσωση f(x)=g(x) έχει ρίζα, τότε υπάρχει μόνο μία.

Δείτε πώς, με βάση αυτή τη δήλωση, μπορούμε να λύσουμε τη δεδομένη εξίσωση:

1) σημειώστε ότι για x = 1 ισχύει η ισότητα, που σημαίνει ότι x = 1 είναι η ρίζα της εξίσωσης (μαντέψαμε αυτή τη ρίζα).
2) η συνάρτηση y=2-x μειώνεται και η συνάρτηση αυξάνεται. Αυτό σημαίνει ότι η δεδομένη εξίσωση έχει μόνο μία ρίζα και αυτή η ρίζα είναι η τιμή x = 1 που βρέθηκε παραπάνω.

Απάντηση: x = 1.

Μέχρι στιγμής έχουμε μιλήσει για τη συνάρτηση μόνο για μη αρνητικές τιμές ορίσματος. Αλλά αν το n είναι περιττός αριθμός, η έκφραση έχει νόημα και για το x<0. Значит, есть смысл поговорить о функции в случае нечетного п для любых значений х.

Στην πραγματικότητα, μόνο ένα ακίνητο θα προστεθεί σε αυτά που αναφέρονται:

αν το n είναι περιττός αριθμός (n = 3,5, 7,...), τότε είναι περιττή συνάρτηση.

Στην πραγματικότητα, ας ισχύουν τέτοιοι μετασχηματισμοί για έναν περιττό εκθέτη n. Άρα, f(-x) = -f(x), και αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση είναι περιττή.

Πώς μοιάζει η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης στην περίπτωση περιττού εκθέτη n; Όταν όπως φαίνεται στο Σχ. 169, είναι ένας κλάδος του επιθυμητού γραφήματος. Προσθέτοντας σε αυτόν έναν κλάδο που είναι συμμετρικός με αυτόν σε σχέση με την αρχή των συντεταγμένων (η οποία, ανάκληση, είναι τυπική για οποιαδήποτε περιττή συνάρτηση), λαμβάνουμε ένα γράφημα της συνάρτησης (Εικ. 174). Σημειώστε ότι ο άξονας y εφάπτεται στο γράφημα στο x = 0.
Ας το επαναλάβουμε λοιπόν:
αν το n είναι ζυγός αριθμός, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει τη μορφή που φαίνεται στο Σχ. 169;
αν το n είναι περιττός αριθμός, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει τη μορφή που φαίνεται στο Σχ. 174.

Παράδειγμα 3.Κατασκευάστε και διαβάστε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x), όπου
Λύση.Αρχικά, ας φτιάξουμε ένα γράφημα της συνάρτησης και ας επισημάνουμε μέρος της στην ακτίνα (Εικ. 175).
Στη συνέχεια θα κατασκευάσουμε ένα γράφημα της συνάρτησης και θα επιλέξουμε το τμήμα της στην ανοιχτή δοκό (Εικ. 176). Τέλος, θα απεικονίσουμε και τα δύο «κομμάτια» στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων - αυτό θα είναι το γράφημα της συνάρτησης y = f(x) (Εικ. 177).
Ας παραθέσουμε (με βάση το γράφημα) τις ιδιότητες της συνάρτησης y = f(x):

1)
2) ούτε ζυγός ούτε περιττός.
3) μειώνεται στην ακτίνα, αυξάνεται στην ακτίνα
4) δεν περιορίζεται από κάτω, περιορίζεται από πάνω.
5) δεν υπάρχει ελάχιστη τιμή, a (που επιτυγχάνεται στο σημείο x = 1).
6) συνεχής?
7)
8) κυρτό προς τα κάτω στο , κυρτό προς τα πάνω στο τμήμα , κυρτό προς τα κάτω στο
9) η συνάρτηση είναι διαφοροποιήσιμη παντού εκτός από τα σημεία x = 0 και x = 1.
10) το γράφημα της συνάρτησης έχει μια οριζόντια ασύμπτωτη, που σημαίνει, να το θυμάστε

Παράδειγμα 4.Βρείτε τον τομέα μιας συνάρτησης:

Λύση,α) Κάτω από το πρόσημο της ρίζας άρτιου βαθμού πρέπει να υπάρχει ένας μη αρνητικός αριθμός, που σημαίνει ότι το πρόβλημα καταλήγει στην επίλυση της ανισότητας
β) Οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να είναι κάτω από το πρόσημο μιας περιττής ρίζας, που σημαίνει ότι εδώ δεν επιβάλλονται περιορισμοί στο x, δηλ. D(f) = R.
γ) Η έκφραση έχει νόημα με την προϋπόθεση ότι μια έκφραση σημαίνει ότι δύο ανισότητες πρέπει να ικανοποιούνται ταυτόχρονα: εκείνοι. το πρόβλημα έγκειται στην επίλυση του συστήματος των ανισοτήτων:

Επίλυση της ανισότητας
Ας λύσουμε την ανίσωση Ας παραγοντοποιήσουμε την αριστερή πλευρά της ανίσωσης: Η αριστερή πλευρά της ανίσωσης γίνεται 0 στα σημεία -4 και 4. Ας σημειώσουμε αυτά τα σημεία στην αριθμητική ευθεία (Εικ. 178). Η αριθμητική γραμμή διαιρείται από τα υποδεικνυόμενα σημεία σε τρία διαστήματα, και σε κάθε διάστημα η έκφραση p(x) = (4-x)(4 + x) διατηρεί ένα σταθερό πρόσημο (τα σημάδια φαίνονται στο Σχ. 178). Το διάστημα στο οποίο ισχύει η ανισότητα p(x)>0 σκιάζεται στο Σχ. 178. Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, μας ενδιαφέρουν και εκείνα τα σημεία x στα οποία ισχύει η ισότητα p(x) = 0. Υπάρχουν δύο τέτοια σημεία: x = -4, x = 4 - σημειώνονται στο Σχ. . 178 μαύροι κύκλοι. Έτσι, στο Σχ. Το 178 παρουσιάζει ένα γεωμετρικό μοντέλο για την επίλυση της δεύτερης ανισότητας του συστήματος.

Ας σημειώσουμε τις λύσεις που βρέθηκαν για την πρώτη και τη δεύτερη ανισότητα του συστήματος στην ίδια γραμμή συντεταγμένων, χρησιμοποιώντας την επάνω καταπακτή για την πρώτη και την κάτω καταπακτή για τη δεύτερη (Εικ. 179). Η λύση στο σύστημα των ανισοτήτων θα είναι η τομή των λύσεων στις ανισότητες του συστήματος, δηλ. το διάστημα όπου συμπίπτουν και οι δύο εκκολάψεις. Ένα τέτοιο κενό είναι το τμήμα [-1, 4].

Απάντηση. D(f) = [-1,4].

Ο Α.Γ. Mordkovich Algebra 10η τάξη

Ημερολογιακός-θεματικός προγραμματισμός στα μαθηματικά, βίντεοστα μαθηματικά online, τα μαθηματικά στο σχολείο

Θεωρήστε τη συνάρτηση y=√x. Το γράφημα αυτής της συνάρτησης φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Γράφημα της συνάρτησης y=√x

Όπως μπορείτε να δείτε, το γράφημα μοιάζει με μια περιστρεφόμενη παραβολή, ή μάλλον με έναν από τους κλάδους της. Παίρνουμε έναν κλάδο της παραβολής x=y^2. Από το σχήμα φαίνεται ότι το γράφημα αγγίζει τον άξονα Oy μόνο μία φορά, στο σημείο με συντεταγμένες (0;0).
Τώρα αξίζει να σημειωθούν οι κύριες ιδιότητες αυτής της συνάρτησης.

Ιδιότητες της συνάρτησης y=√x

1. Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης είναι μια ακτίνα)