Επέκταση σε δυνάμεις του x. Επέκταση λειτουργιών σε σειρές ισχύος

Επέκταση μιας λειτουργίας σε μια σειρά Taylor, Maclaurin και Laurent σε μια τοποθεσία για εκπαίδευση πρακτικών δεξιοτήτων. Αυτή η επέκταση σειράς μιας συνάρτησης επιτρέπει στους μαθηματικούς να εκτιμήσουν την κατά προσέγγιση τιμή της συνάρτησης σε κάποιο σημείο του πεδίου ορισμού της. Είναι πολύ πιο εύκολο να υπολογιστεί μια τέτοια τιμή συνάρτησης σε σύγκριση με τη χρήση του πίνακα Bredis, ο οποίος είναι τόσο άσχετος στην εποχή της τεχνολογίας των υπολογιστών. Για να επεκτείνετε μια συνάρτηση σε μια σειρά Taylor σημαίνει να υπολογίσετε τους συντελεστές των γραμμικών συναρτήσεων αυτής της σειράς και να τη γράψετε στη σωστή μορφή. Οι μαθητές μπερδεύουν αυτές τις δύο σειρές, μη καταλαβαίνοντας ποια είναι η γενική περίπτωση και ποια η ειδική περίπτωση της δεύτερης. Να σας υπενθυμίσουμε μια για πάντα ότι η σειρά Maclaurin είναι μια ειδική περίπτωση της σειράς Taylor, δηλαδή αυτή είναι η σειρά Taylor, αλλά στο σημείο x = 0. Όλες οι σύντομες καταχωρήσεις για την επέκταση γνωστών συναρτήσεων, όπως e^x, Sin(x), Cos(x) και άλλα, αυτές είναι επεκτάσεις της σειράς Taylor, αλλά στο σημείο 0 για το όρισμα. Για συναρτήσεις ενός σύνθετου ορίσματος, η σειρά Laurent είναι το πιο κοινό πρόβλημα στο TFCT, καθώς αντιπροσωπεύει μια άπειρη σειρά δύο όψεων. Είναι το άθροισμα δύο σειρών. Σας προτείνουμε να δείτε ένα παράδειγμα αποσύνθεσης απευθείας στον ιστότοπο· αυτό είναι πολύ εύκολο κάνοντας κλικ στο «Παράδειγμα» με οποιονδήποτε αριθμό και μετά στο κουμπί «Λύση». Είναι ακριβώς αυτή η επέκταση μιας συνάρτησης σε μια σειρά που σχετίζεται με μια μείζονα σειρά που περιορίζει την αρχική συνάρτηση σε μια συγκεκριμένη περιοχή κατά μήκος του άξονα τεταγμένων, εάν η μεταβλητή ανήκει στην περιοχή της τετμημένης. Η διανυσματική ανάλυση συγκρίνεται με έναν άλλο ενδιαφέρον κλάδο των μαθηματικών. Δεδομένου ότι κάθε όρος πρέπει να εξεταστεί, η διαδικασία απαιτεί πολύ χρόνο. Οποιαδήποτε σειρά Taylor μπορεί να συσχετιστεί με μια σειρά Maclaurin αντικαθιστώντας το x0 με το μηδέν, αλλά για μια σειρά Maclaurin μερικές φορές δεν είναι προφανές να αντιπροσωπεύει τη σειρά Taylor αντίστροφα. Σαν να μην απαιτείται αυτό να γίνει στην καθαρή του μορφή, είναι ενδιαφέρον για τη γενική αυτοανάπτυξη. Κάθε σειρά Laurent αντιστοιχεί σε μια διπλής όψης άπειρη σειρά ισχύος σε ακέραιες δυνάμεις z-a, με άλλα λόγια, μια σειρά του ίδιου τύπου Taylor, αλλά ελαφρώς διαφορετική στον υπολογισμό των συντελεστών. Θα μιλήσουμε για την περιοχή σύγκλισης της σειράς Laurent λίγο αργότερα, μετά από αρκετούς θεωρητικούς υπολογισμούς. Όπως και τον περασμένο αιώνα, μια σταδιακή επέκταση μιας συνάρτησης σε μια σειρά δύσκολα μπορεί να επιτευχθεί απλώς φέρνοντας τους όρους σε έναν κοινό παρονομαστή, καθώς οι συναρτήσεις στους παρονομαστές είναι μη γραμμικές. Απαιτείται ένας κατά προσέγγιση υπολογισμός της συναρτησιακής τιμής από τη διατύπωση των προβλημάτων. Σκεφτείτε το γεγονός ότι όταν το όρισμα μιας σειράς Taylor είναι μια γραμμική μεταβλητή, τότε η επέκταση συμβαίνει σε πολλά βήματα, αλλά η εικόνα είναι εντελώς διαφορετική όταν το όρισμα της συνάρτησης που επεκτείνεται είναι μια σύνθετη ή μη γραμμική συνάρτηση, τότε η διαδικασία Η αναπαράσταση μιας τέτοιας συνάρτησης σε μια σειρά ισχύος είναι προφανής, αφού, με αυτόν τον τρόπο, είναι εύκολο να υπολογιστεί, αν και κατά προσέγγιση, σε οποιοδήποτε σημείο της περιοχής ορισμού, με ένα ελάχιστο σφάλμα που έχει μικρή επίδραση στους περαιτέρω υπολογισμούς. Αυτό ισχύει και για τη σειρά Maclaurin. όταν είναι απαραίτητο να υπολογιστεί η συνάρτηση στο σημείο μηδέν. Ωστόσο, η ίδια η σειρά Laurent αντιπροσωπεύεται εδώ από μια επέκταση στο επίπεδο με φανταστικές μονάδες. Επίσης, η σωστή επίλυση του προβλήματος κατά τη συνολική διαδικασία δεν θα είναι χωρίς επιτυχία. Αυτή η προσέγγιση δεν είναι γνωστή στα μαθηματικά, αλλά αντικειμενικά υπάρχει. Ως αποτέλεσμα, μπορείτε να καταλήξετε στο συμπέρασμα των λεγόμενων σημειακών υποσυνόλων και στην επέκταση μιας συνάρτησης σε μια σειρά πρέπει να χρησιμοποιήσετε μεθόδους γνωστές για αυτή τη διαδικασία, όπως η εφαρμογή της θεωρίας των παραγώγων. Για άλλη μια φορά είμαστε πεπεισμένοι ότι ο δάσκαλος είχε δίκιο, ο οποίος έκανε τις υποθέσεις του για τα αποτελέσματα των μετα-υπολογιστικών υπολογισμών. Ας σημειώσουμε ότι η σειρά Taylor, που λαμβάνεται σύμφωνα με όλους τους κανόνες των μαθηματικών, υπάρχει και ορίζεται σε ολόκληρο τον αριθμητικό άξονα, ωστόσο, αγαπητοί χρήστες της υπηρεσίας ιστότοπου, μην ξεχνάτε τον τύπο της αρχικής συνάρτησης, γιατί μπορεί να αποδειχθεί ότι αρχικά είναι απαραίτητο να καθοριστεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης, δηλαδή να γραφούν και να εξαιρεθούν από περαιτέρω εξέταση εκείνα τα σημεία στα οποία η συνάρτηση δεν ορίζεται στο πεδίο των πραγματικών αριθμών. Έτσι για να το πούμε, αυτό θα δείξει την αποτελεσματικότητά σας στην επίλυση του προβλήματος. Η κατασκευή μιας σειράς Maclaurin με μηδενική τιμή ορίσματος δεν θα αποτελέσει εξαίρεση σε όσα ειπώθηκαν. Η διαδικασία εύρεσης του τομέα ορισμού μιας συνάρτησης δεν έχει ακυρωθεί και πρέπει να προσεγγίσετε αυτήν τη μαθηματική πράξη με κάθε σοβαρότητα. Στην περίπτωση μιας σειράς Laurent που περιέχει το κύριο μέρος, η παράμετρος "a" θα ονομάζεται απομονωμένο μοναδικό σημείο και η σειρά Laurent θα επεκταθεί σε έναν δακτύλιο - αυτή είναι η τομή των περιοχών σύγκλισης των μερών της, επομένως θα ακολουθήσει το αντίστοιχο θεώρημα. Αλλά δεν είναι όλα τόσο περίπλοκα όσο μπορεί να φαίνονται με την πρώτη ματιά σε έναν άπειρο μαθητή. Έχοντας μελετήσει τη σειρά Taylor, μπορείτε εύκολα να κατανοήσετε τη σειρά Laurent - μια γενικευμένη περίπτωση για την επέκταση του χώρου των αριθμών. Οποιαδήποτε επέκταση σειράς μιας συνάρτησης μπορεί να εκτελεστεί μόνο σε ένα σημείο στον τομέα ορισμού της συνάρτησης. Ιδιότητες συναρτήσεων όπως η περιοδικότητα ή η άπειρη διαφορισιμότητα θα πρέπει να λαμβάνονται υπόψη. Προτείνουμε επίσης να χρησιμοποιήσετε τον πίνακα με τις έτοιμες επεκτάσεις της σειράς Taylor βασικών συναρτήσεων, καθώς μια συνάρτηση μπορεί να αναπαρασταθεί με έως και δεκάδες διαφορετικές σειρές ισχύος, όπως φαίνεται από τη χρήση της ηλεκτρονικής αριθμομηχανής μας. Η online σειρά Maclaurin είναι τόσο εύκολο να προσδιοριστεί όσο η πίτα, εάν χρησιμοποιείτε τη μοναδική υπηρεσία ιστότοπου, απλά πρέπει να εισαγάγετε τη σωστή γραπτή λειτουργία και θα λάβετε την απάντηση που παρουσιάζεται σε λίγα δευτερόλεπτα, είναι εγγυημένη ακριβής και μια τυπική γραπτή μορφή. Μπορείτε να αντιγράψετε το αποτέλεσμα απευθείας σε ένα καθαρό αντίγραφο για υποβολή στον δάσκαλο. Θα ήταν σωστό να προσδιορίσουμε πρώτα την αναλυτικότητα της εν λόγω συνάρτησης στους δακτυλίους και στη συνέχεια να δηλώσουμε ξεκάθαρα ότι είναι επεκτάσιμη σε μια σειρά Laurent σε όλους αυτούς τους δακτυλίους. Είναι σημαντικό να μην παραβλέπουμε τους όρους της σειράς Laurent που περιέχουν αρνητικές δυνάμεις. Εστιάστε σε αυτό όσο το δυνατόν περισσότερο. Χρησιμοποιήστε σωστά το θεώρημα του Laurent για την επέκταση μιας συνάρτησης σε ακέραιες δυνάμεις.

16.1. Επέκταση στοιχειωδών συναρτήσεων σε σειρές Taylor και

Maclaurin

Ας δείξουμε ότι εάν μια αυθαίρετη συνάρτηση ορίζεται σε ένα σύνολο
, στην περιοχή του σημείου
έχει πολλές παραγώγους και είναι το άθροισμα μιας σειράς ισχύος:

τότε μπορείτε να βρείτε τους συντελεστές αυτής της σειράς.

Ας αντικαταστήσουμε σε μια σειρά ισχύος
. Επειτα
.

Ας βρούμε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης
:

Στο
:
.

Για τη δεύτερη παράγωγο παίρνουμε:

Στο
:
.

Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία nμόλις πάρουμε:
.

Έτσι, λάβαμε μια σειρά ισχύος της μορφής:

,

η οποία ονομάζεται δίπλα στον Τέιλοργια λειτουργία
στην περιοχή του σημείου
.

Μια ιδιαίτερη περίπτωση της σειράς Taylor είναι Σειρά Maclaurinστο
:

Το υπόλοιπο της σειράς Taylor (Maclaurin) λαμβάνεται με την απόρριψη της κύριας σειράς nπρώτα μέλη και συμβολίζεται ως
. Στη συνέχεια η συνάρτηση
μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα nτα πρώτα μέλη της σειράς
και το υπόλοιπο
:,

.

Το υπόλοιπο είναι συνήθως
εκφράζεται σε διαφορετικούς τύπους.

Ένα από αυτά είναι σε μορφή Lagrange:

, Οπου
.
.

Σημειώστε ότι στην πράξη η σειρά Maclaurin χρησιμοποιείται συχνότερα. Έτσι, για να γραφτεί η συνάρτηση
με τη μορφή αθροίσματος σειρών ισχύος είναι απαραίτητο:

1) βρείτε τους συντελεστές της σειράς Maclaurin (Taylor).

2) βρείτε την περιοχή σύγκλισης της προκύπτουσας σειράς ισχύος.

3) να αποδείξετε ότι αυτή η σειρά συγκλίνει στη συνάρτηση
.

Θεώρημα1 (απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για τη σύγκλιση της σειράς Maclaurin). Αφήστε την ακτίνα σύγκλισης της σειράς
. Για να συγκλίνει αυτή η σειρά στο διάστημα
για να λειτουργήσει
, είναι απαραίτητο και επαρκές για να πληρούται η προϋπόθεση:
στο καθορισμένο διάστημα.

Θεώρημα 2.Αν παράγωγοι οποιασδήποτε τάξης της συνάρτησης
σε κάποιο διάστημα
περιορισμένη σε απόλυτη τιμή στον ίδιο αριθμό Μ, αυτό είναι
, τότε σε αυτό το διάστημα η συνάρτηση
μπορεί να επεκταθεί σε σειρά Maclaurin.

Παράδειγμα1 . Επεκτείνετε σε μια σειρά Taylor γύρω από το σημείο
λειτουργία.

Λύση.

.

,;

,
;

,
;

,

.......................................................................................................................................

,
;

Περιοχή σύγκλισης
.

Παράδειγμα2 . Αναπτύξτε μια συνάρτηση σε μια σειρά Taylor γύρω από ένα σημείο
.

Λύση:

Βρείτε την τιμή της συνάρτησης και των παραγώγων της στο
.

,
;

,
;

...........……………………………

,
.

Ας βάλουμε αυτές τις τιμές σε μια σειρά. Παίρνουμε:

ή
.

Ας βρούμε την περιοχή σύγκλισης αυτής της σειράς. Σύμφωνα με το τεστ του d'Alembert, μια σειρά συγκλίνει αν

.

Επομένως, για οποιαδήποτε αυτό το όριο είναι μικρότερο από 1 και επομένως το εύρος σύγκλισης της σειράς θα είναι:
.

Ας εξετάσουμε αρκετά παραδείγματα της επέκτασης της σειράς Maclaurin βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων. Θυμηθείτε ότι η σειρά Maclaurin:

.

συγκλίνει στο διάστημα
για να λειτουργήσει
.

Σημειώστε ότι για να επεκτείνετε μια συνάρτηση σε μια σειρά είναι απαραίτητο:

α) βρείτε τους συντελεστές της σειράς Maclaurin για αυτή τη συνάρτηση.

β) να υπολογίσετε την ακτίνα σύγκλισης για την προκύπτουσα σειρά.

γ) να αποδείξετε ότι η σειρά που προκύπτει συγκλίνει στη συνάρτηση
.

Παράδειγμα 3.Εξετάστε τη συνάρτηση
.

Λύση.

Ας υπολογίσουμε την τιμή της συνάρτησης και των παραγώγων της στο
.

Τότε οι αριθμητικοί συντελεστές της σειράς έχουν τη μορφή:

Για οποιονδηποτε n.Ας αντικαταστήσουμε τους συντελεστές που βρέθηκαν στη σειρά Maclaurin και πάρουμε:

Ας βρούμε την ακτίνα σύγκλισης της σειράς που προκύπτει, δηλαδή:

.

Επομένως, η σειρά συγκλίνει στο διάστημα
.

Αυτή η σειρά συγκλίνει στη συνάρτηση για οποιεσδήποτε αξίες , γιατί σε οποιοδήποτε διάστημα
λειτουργία και οι παράγωγοί της απόλυτης αξίας είναι περιορισμένοι σε αριθμό .

Παράδειγμα4 . Εξετάστε τη συνάρτηση
.

Λύση.

:

Είναι εύκολο να δει κανείς ότι παράγωγα άρτιας τάξης
, και τα παράγωγα είναι περιττής τάξης. Ας αντικαταστήσουμε τους συντελεστές που βρέθηκαν στη σειρά Maclaurin και πάρουμε την επέκταση:

Ας βρούμε το διάστημα σύγκλισης αυτής της σειράς. Σύμφωνα με το σημάδι του d'Alembert:

Για οποιονδηποτε . Επομένως, η σειρά συγκλίνει στο διάστημα
.

Αυτή η σειρά συγκλίνει στη συνάρτηση
, γιατί όλα τα παράγωγά του περιορίζονται στην ενότητα.

Παράδειγμα5 .
.

Λύση.

Ας βρούμε την τιμή της συνάρτησης και των παραγώγων της στο
:

Έτσι, οι συντελεστές αυτής της σειράς:
Και
, ως εκ τούτου:

Παρόμοια με την προηγούμενη σειρά, η περιοχή σύγκλισης
. Η σειρά συγκλίνει στη συνάρτηση
, γιατί όλα τα παράγωγά του περιορίζονται στην ενότητα.

Σημειώστε ότι η λειτουργία
περιττές και σειρές επέκταση σε περιττές δυνάμεις, συνάρτηση
– άρτια και επέκταση σε σειρά σε ζυγές δυνάμεις.

Παράδειγμα6 . Διωνυμική σειρά:
.

Λύση.

Ας βρούμε την τιμή της συνάρτησης και των παραγώγων της στο
:

Από αυτό φαίνεται ότι:

Ας αντικαταστήσουμε αυτές τις τιμές συντελεστών στη σειρά Maclaurin και πάρουμε την επέκταση αυτής της συνάρτησης σε μια σειρά ισχύος:

Ας βρούμε την ακτίνα σύγκλισης αυτής της σειράς:

Επομένως, η σειρά συγκλίνει στο διάστημα
. Στα οριακά σημεία στο
Και
μια σειρά μπορεί να συγκλίνει ή όχι ανάλογα με τον εκθέτη
.

Η υπό μελέτη σειρά συγκλίνει στο διάστημα
για να λειτουργήσει
, δηλαδή το άθροισμα της σειράς
στο
.

Παράδειγμα7 . Ας επεκτείνουμε τη λειτουργία στη σειρά Maclaurin
.

Λύση.

Για να επεκτείνουμε αυτή τη συνάρτηση σε μια σειρά, χρησιμοποιούμε τη διωνυμική σειρά στο
. Παίρνουμε:

Με βάση την ιδιότητα της σειράς ισχύος (μια σειρά ισχύος μπορεί να ενσωματωθεί στην περιοχή της σύγκλισής της), βρίσκουμε το ολοκλήρωμα της αριστερής και της δεξιάς πλευράς αυτής της σειράς:

Ας βρούμε την περιοχή σύγκλισης αυτής της σειράς:
,

δηλαδή η περιοχή σύγκλισης αυτής της σειράς είναι το διάστημα
. Ας προσδιορίσουμε τη σύγκλιση της σειράς στα άκρα του διαστήματος. Στο

. Αυτή η σειρά είναι μια αρμονική σειρά, δηλαδή αποκλίνει. Στο
παίρνουμε μια σειρά αριθμών με έναν κοινό όρο
.

Η σειρά συγκλίνει σύμφωνα με το κριτήριο του Leibniz. Έτσι, η περιοχή σύγκλισης αυτής της σειράς είναι το διάστημα
.

16.2. Εφαρμογή σειρών ισχύος σε κατά προσέγγιση υπολογισμούς

Σε κατά προσέγγιση υπολογισμούς, οι σειρές ισχύος παίζουν εξαιρετικά σημαντικό ρόλο. Με τη βοήθειά τους, έχουν συνταχθεί πίνακες τριγωνομετρικών συναρτήσεων, πίνακες λογαρίθμων, πίνακες τιμών άλλων συναρτήσεων, οι οποίοι χρησιμοποιούνται σε διάφορα γνωστικά πεδία, για παράδειγμα, στη θεωρία πιθανοτήτων και στη μαθηματική στατιστική. Επιπλέον, η επέκταση των συναρτήσεων σε μια σειρά ισχύος είναι χρήσιμη για τη θεωρητική μελέτη τους. Το κύριο ζήτημα κατά τη χρήση σειρών ισχύος σε κατά προσέγγιση υπολογισμούς είναι το ζήτημα της εκτίμησης του σφάλματος κατά την αντικατάσταση του αθροίσματος μιας σειράς με το άθροισμα της πρώτης nμέλη.

Ας εξετάσουμε δύο περιπτώσεις:

η λειτουργία επεκτείνεται σε μια σειρά εναλλασσόμενων σημάτων.

η συνάρτηση επεκτείνεται σε μια σειρά από σταθερό πρόσημο.

Υπολογισμός με χρήση εναλλασσόμενων σειρών

Αφήστε τη λειτουργία
επεκτάθηκε σε σειρά εναλλασσόμενης ισχύος. Στη συνέχεια, κατά τον υπολογισμό αυτής της συνάρτησης για μια συγκεκριμένη τιμή λαμβάνουμε μια σειρά αριθμών στην οποία μπορούμε να εφαρμόσουμε το κριτήριο Leibniz. Σύμφωνα με αυτό το κριτήριο, εάν το άθροισμα μιας σειράς αντικατασταθεί από το άθροισμα της πρώτης της nόρους, τότε το απόλυτο σφάλμα δεν υπερβαίνει τον πρώτο όρο του υπολοίπου αυτής της σειράς, δηλαδή:
.

Παράδειγμα8 . Υπολογίζω
με ακρίβεια 0,0001.

Λύση.

Θα χρησιμοποιήσουμε τη σειρά Maclaurin για
, αντικαθιστώντας την τιμή της γωνίας σε ακτίνια:

Αν συγκρίνουμε τον πρώτο και τον δεύτερο όρο της σειράς με δεδομένη ακρίβεια, τότε: .

Τρίτη περίοδος επέκτασης:

μικρότερη από την καθορισμένη ακρίβεια υπολογισμού. Επομένως, για να υπολογίσετε
αρκεί να αφήσεις δύο θητείες της σειράς, δηλαδή

.

Ετσι
.

Παράδειγμα9 . Υπολογίζω
με ακρίβεια 0,001.

Λύση.

Θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο διωνυμικής σειράς. Για να γίνει αυτό, ας γράψουμε
όπως και:
.

Σε αυτή την έκφραση
,

Ας συγκρίνουμε κάθε έναν από τους όρους της σειράς με την ακρίβεια που καθορίζεται. Είναι ξεκάθαρο ότι
. Επομένως, για να υπολογίσετε
αρκεί να αφήσουμε τρεις θητείες της σειράς.

ή
.

Υπολογισμός με χρήση θετικών σειρών

Παράδειγμα10 . Υπολογίστε τον αριθμό με ακρίβεια 0,001.

Λύση.

Στη σειρά για μια συνάρτηση
ας αντικαταστήσουμε
. Παίρνουμε:

Ας υπολογίσουμε το σφάλμα που προκύπτει όταν αντικαθιστούμε το άθροισμα μιας σειράς με το άθροισμα της πρώτης μέλη. Ας γράψουμε την προφανή ανισότητα:

δηλαδή 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

Σύμφωνα με το πρόβλημα, πρέπει να βρείτε nέτσι ώστε να ισχύει η ακόλουθη ανισότητα:
ή
.

Είναι εύκολο να το ελέγξετε όταν n= 6:
.

Ως εκ τούτου,
.

Παράδειγμα11 . Υπολογίζω
με ακρίβεια 0,0001.

Λύση.

Σημειώστε ότι για τον υπολογισμό των λογαρίθμων θα μπορούσε κανείς να χρησιμοποιήσει μια σειρά για τη συνάρτηση
, αλλά αυτή η σειρά συγκλίνει πολύ αργά και για να επιτευχθεί η δεδομένη ακρίβεια θα ήταν απαραίτητο να ληφθούν 9999 όροι! Επομένως, για τον υπολογισμό των λογαρίθμων, κατά κανόνα χρησιμοποιείται μια σειρά για τη συνάρτηση
, που συγκλίνει στο διάστημα
.

Ας υπολογίσουμε
χρησιμοποιώντας αυτή τη σειρά. Αφήνω
, Επειτα .

Ως εκ τούτου,
,

Για να υπολογίσουμε
με δεδομένη ακρίβεια, πάρτε το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων όρων:
.

Το υπόλοιπο της σειράς
ας το απορρίψουμε. Ας υπολογίσουμε το σφάλμα. Είναι προφανές ότι

ή
.

Έτσι, στη σειρά που χρησιμοποιήθηκε για τον υπολογισμό, αρκούσε να ληφθούν μόνο οι τέσσερις πρώτοι όροι αντί για 9999 στη σειρά για τη συνάρτηση
.

Ερωτήσεις αυτοδιάγνωσης

1. Τι είναι μια σειρά Taylor;

2. Τι μορφή είχε η σειρά Maclaurin;

3. Να διατυπώσετε ένα θεώρημα για την επέκταση μιας συνάρτησης σε μια σειρά Taylor.

4. Καταγράψτε την επέκταση της σειράς Maclaurin των κύριων λειτουργιών.

5. Να αναφέρετε τις περιοχές σύγκλισης της εξεταζόμενης σειράς.

6. Πώς υπολογίζεται το σφάλμα σε κατά προσέγγιση υπολογισμούς χρησιμοποιώντας σειρές ισχύος;

Στη θεωρία των συναρτησιακών σειρών, την κεντρική θέση καταλαμβάνει το τμήμα που είναι αφιερωμένο στην επέκταση μιας συνάρτησης σε μια σειρά.

Έτσι, ορίζεται η εργασία: για μια δεδομένη συνάρτηση πρέπει να βρούμε μια τέτοια σειρά ισχύος

που συνέκλινε σε ένα ορισμένο διάστημα και το άθροισμά του ήταν ίσο με
, εκείνοι.

= ..

Αυτή η εργασία ονομάζεται το πρόβλημα της επέκτασης μιας συνάρτησης σε μια σειρά ισχύος.

Απαραίτητη προϋπόθεση για τη δυνατότητα αποσύνθεσης μιας συνάρτησης σε μια σειρά ισχύοςείναι η διαφορικότητά του άπειρες φορές - αυτό προκύπτει από τις ιδιότητες της συγκλίνουσας σειράς ισχύος. Αυτή η συνθήκη ικανοποιείται, κατά κανόνα, για στοιχειώδεις συναρτήσεις στον τομέα ορισμού τους.

Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι η συνάρτηση
έχει παράγωγα οποιασδήποτε τάξης. Είναι δυνατόν να το επεκτείνουμε σε σειρά ισχύος;Αν ναι, πώς μπορούμε να βρούμε αυτήν τη σειρά; Το δεύτερο μέρος του προβλήματος είναι πιο εύκολο να λυθεί, οπότε ας ξεκινήσουμε με αυτό.

Ας υποθέσουμε ότι η συνάρτηση
μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα μιας σειράς ισχύος που συγκλίνει στο διάστημα που περιέχει το σημείο Χ 0 :

= .. (*)

Οπου ΕΝΑ 0 ,ΕΝΑ 1 ,ΕΝΑ 2 ,...,ΕΝΑ Π ,... – άγνωστοι (ακόμα) συντελεστές.

Ας βάλουμε στην ισότητα (*) την τιμή x = x 0 , τότε παίρνουμε

.

Ας διαφοροποιήσουμε τη σειρά ισχύος (*) ανά όρο

= ..

και πιστεύοντας εδώ x = x 0 , παίρνουμε

.

Με την επόμενη διαφοροποίηση παίρνουμε τη σειρά

= ..

πιστεύοντας x = x 0 , παίρνουμε
, που
.

Μετά Π-πολλαπλή διαφοροποίηση παίρνουμε

Υποθέτοντας στην τελευταία ισότητα x = x 0 , παίρνουμε
, που

Βρίσκονται λοιπόν οι συντελεστές

,
,
, …,
,….,

αντικαθιστώντας το οποίο στη σειρά (*), παίρνουμε

Η σειρά που προκύπτει ονομάζεται δίπλα στον Τέιλορ για λειτουργία
.

Έτσι, το έχουμε διαπιστώσει εάν η συνάρτηση μπορεί να επεκταθεί σε μια σειρά ισχύος σε ισχύ (x - x 0 ), τότε αυτή η επέκταση είναι μοναδική και η σειρά που προκύπτει είναι απαραίτητα μια σειρά Taylor.

Σημειώστε ότι η σειρά Taylor μπορεί να ληφθεί για οποιαδήποτε συνάρτηση έχει παράγωγα οποιασδήποτε τάξης στο σημείο x = x 0 . Αυτό όμως δεν σημαίνει ότι μπορεί να τοποθετηθεί ένα σύμβολο ίσου μεταξύ της συνάρτησης και της σειράς που προκύπτει, δηλ. ότι το άθροισμα της σειράς είναι ίσο με την αρχική συνάρτηση. Πρώτον, μια τέτοια ισότητα μπορεί να έχει νόημα μόνο στην περιοχή σύγκλισης και η σειρά Taylor που λαμβάνεται για τη συνάρτηση μπορεί να αποκλίνει, και δεύτερον, εάν η σειρά Taylor συγκλίνει, τότε το άθροισμά της μπορεί να μην συμπίπτει με την αρχική συνάρτηση.

3.2. Επαρκείς συνθήκες για τη δυνατότητα αποσύνθεσης μιας συνάρτησης σε μια σειρά Taylor

Ας διατυπώσουμε μια δήλωση με τη βοήθεια της οποίας θα λυθεί η εργασία.

Εάν η συνάρτηση
σε κάποια γειτονιά του σημείου x 0 έχει παράγωγα μέχρι (n+ 1) της τάξης συμπεριλαμβανομένου, τότε σε αυτή τη γειτονιά έχουμετύπος Τέιλορ

ΟπουR n (Χ)-ο υπόλοιπος όρος του τύπου Taylor - έχει τη μορφή (μορφή Lagrange)

Οπου τελείαξ βρίσκεται μεταξύ x και x 0 .

Σημειώστε ότι υπάρχει διαφορά μεταξύ της σειράς Taylor και του τύπου Taylor: ο τύπος Taylor είναι ένα πεπερασμένο άθροισμα, δηλ. Π -σταθερό αριθμό.

Θυμηθείτε ότι το άθροισμα της σειράς μικρό(Χ) μπορεί να οριστεί ως το όριο μιας συναρτησιακής ακολουθίας μερικών αθροισμάτων μικρό Π (Χ) σε κάποιο διάστημα Χ:

.

Σύμφωνα με αυτό, για να επεκτείνετε μια συνάρτηση σε μια σειρά Taylor σημαίνει να βρείτε μια σειρά τέτοια ώστε για οποιαδήποτε ΧΧ

Ας γράψουμε τον τύπο του Taylor με τη μορφή όπου

σημειώσε ότι
ορίζει το σφάλμα που λαμβάνουμε, αντικαταστήστε τη συνάρτηση φά(Χ) πολυώνυμος μικρό n (Χ).

Αν
, Οτι
,εκείνοι. η λειτουργία επεκτείνεται σε μια σειρά Taylor. Αντίστροφα, αν
, Οτι
.

Έτσι αποδείξαμε κριτήριο για τη δυνατότητα αποσύνθεσης μιας συνάρτησης σε μια σειρά Taylor.

Για τη συνάρτησηφά(x) επεκτείνεται σε μια σειρά Taylor, είναι απαραίτητο και επαρκές ότι σε αυτό το διάστημα
, ΟπουR n (Χ) είναι ο υπόλοιπος όρος της σειράς Taylor.

Χρησιμοποιώντας το διατυπωμένο κριτήριο, μπορεί κανείς να αποκτήσει επαρκήςσυνθήκες για τη δυνατότητα αποσύνθεσης μιας συνάρτησης σε μια σειρά Taylor.

Αν μέσακάποια γειτονιά του σημείου x 0 οι απόλυτες τιμές όλων των παραγώγων της συνάρτησης περιορίζονται στον ίδιο αριθμό M≥ 0, δηλ.

, Τo σε αυτή τη γειτονιά η συνάρτηση επεκτείνεται σε μια σειρά Taylor.

Από τα παραπάνω προκύπτει αλγόριθμοςεπέκταση λειτουργίας φά(Χ) στη σειρά Taylorκοντά σε ένα σημείο Χ 0 :

1. Εύρεση παραγώγων συναρτήσεων φά(Χ):

f(x), f’(x), f”(x), f’”(x), f (n) (Χ),…

2. Υπολογίστε την τιμή της συνάρτησης και τις τιμές των παραγώγων της στο σημείο Χ 0

f(x 0 ), στ’(χ 0 ), f”(x 0 ), στ» (χ 0 ), στ (n) (Χ 0 ),…

3. Γράφουμε τυπικά τη σειρά Taylor και βρίσκουμε την περιοχή σύγκλισης της σειράς ισχύος που προκύπτει.

4. Ελέγχουμε την εκπλήρωση επαρκών προϋποθέσεων, π.χ. καθιερώνουμε για το οποίο Χαπό την περιοχή σύγκλισης, υπόλοιπος όρος R n (Χ) τείνει στο μηδέν στο
ή
.

Η επέκταση των συναρτήσεων σε μια σειρά Taylor χρησιμοποιώντας αυτόν τον αλγόριθμο ονομάζεται επέκταση μιας συνάρτησης σε μια σειρά Taylor εξ ορισμούή άμεση αποσύνθεση.

Οι μαθητές ανώτερων μαθηματικών θα πρέπει να γνωρίζουν ότι το άθροισμα μιας συγκεκριμένης σειράς ισχύος που ανήκει στο διάστημα σύγκλισης της σειράς που μας δίνεται αποδεικνύεται ότι είναι μια συνεχής και απεριόριστος αριθμός φορών διαφοροποιημένης συνάρτησης. Τίθεται το ερώτημα: είναι δυνατόν να πούμε ότι μια δεδομένη αυθαίρετη συνάρτηση f(x) είναι το άθροισμα μιας συγκεκριμένης σειράς ισχύος; Δηλαδή, υπό ποιες συνθήκες η συνάρτηση f(x) μπορεί να αναπαρασταθεί με μια σειρά ισχύος; Η σημασία αυτής της ερώτησης έγκειται στο γεγονός ότι είναι δυνατή η κατά προσέγγιση αντικατάσταση της συνάρτησης f(x) με το άθροισμα των πρώτων όρων μιας σειράς ισχύος, δηλαδή ενός πολυωνύμου. Αυτή η αντικατάσταση μιας συνάρτησης με μια μάλλον απλή έκφραση - ένα πολυώνυμο - είναι επίσης βολική κατά την επίλυση ορισμένων προβλημάτων, συγκεκριμένα: κατά την επίλυση ολοκληρωμάτων, κατά τον υπολογισμό κ.λπ.

Έχει αποδειχθεί ότι για μια συγκεκριμένη συνάρτηση f(x), στην οποία είναι δυνατός ο υπολογισμός παραγώγων μέχρι την (n+1)η τάξη, συμπεριλαμβανομένης της τελευταίας, στη γειτονιά του (α - R; x 0 + R ) κάποιο σημείο x = α, είναι αλήθεια ότι ο τύπος:

Αυτή η φόρμουλα πήρε το όνομά της από τη διάσημη επιστήμονα Brooke Taylor. Η σειρά που λαμβάνεται από την προηγούμενη ονομάζεται σειρά Maclaurin:

Ο κανόνας που καθιστά δυνατή την εκτέλεση μιας επέκτασης σε μια σειρά Maclaurin:

1. Προσδιορίστε παράγωγα της πρώτης, δεύτερης, τρίτης... τάξεως.
2. Να υπολογίσετε με τι ισούνται οι παράγωγοι στο x=0.
3. Καταγράψτε τη σειρά Maclaurin για αυτή τη συνάρτηση και, στη συνέχεια, προσδιορίστε το διάστημα της σύγκλισής της.
4. Προσδιορίστε το διάστημα (-R;R), όπου το υπόλοιπο του τύπου Maclaurin

R n (x) -> 0 στο n -> άπειρο. Εάν υπάρχει, η συνάρτηση f(x) σε αυτήν πρέπει να συμπίπτει με το άθροισμα της σειράς Maclaurin.

Ας εξετάσουμε τώρα τη σειρά Maclaurin για μεμονωμένες λειτουργίες.

1. Άρα, το πρώτο θα είναι f(x) = e x. Φυσικά, από τα χαρακτηριστικά της, μια τέτοια συνάρτηση έχει παραγώγους πολύ διαφορετικών τάξεων και f (k) (x) = e x , όπου k ισούται με όλα. Αντικαταστήστε το x = 0. Παίρνουμε f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2... Με βάση τα παραπάνω, η σειρά e x θα μοιάζει με αυτό:

2. Σειρά Maclaurin για τη συνάρτηση f(x) = sin x. Ας διευκρινίσουμε αμέσως ότι η συνάρτηση για όλους τους αγνώστους θα έχει παραγώγους, επιπλέον, f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), όπου το k ισούται με οποιονδήποτε φυσικό αριθμό.Δηλαδή αφού κάνουμε απλούς υπολογισμούς, μπορούμε να καταλήξουμε στο το συμπέρασμα ότι η σειρά για f(x) = sin x θα μοιάζει με αυτό:

3. Τώρα ας προσπαθήσουμε να εξετάσουμε τη συνάρτηση f(x) = cos x. Για όλα τα άγνωστα έχει παράγωγα αυθαίρετης τάξης και |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

Έτσι, έχουμε παραθέσει τις πιο σημαντικές λειτουργίες που μπορούν να επεκταθούν σε μια σειρά Maclaurin, αλλά συμπληρώνονται από τη σειρά Taylor για ορισμένες λειτουργίες. Τώρα θα τα απαριθμήσουμε. Αξίζει επίσης να σημειωθεί ότι οι σειρές Taylor και Maclaurin αποτελούν σημαντικό μέρος της πρακτικής εργασίας για την επίλυση σειρών στα ανώτερα μαθηματικά. Λοιπόν, σειρά Taylor.

1. Η πρώτη θα είναι η σειρά για τη συνάρτηση f(x) = ln(1+x). Όπως και στα προηγούμενα παραδείγματα, για τη δεδομένη f(x) = ln(1+x) μπορούμε να προσθέσουμε τη σειρά χρησιμοποιώντας τη γενική μορφή της σειράς Maclaurin. Ωστόσο, για αυτή τη λειτουργία η σειρά Maclaurin μπορεί να ληφθεί πολύ πιο απλά. Έχοντας ενσωματώσει μια συγκεκριμένη γεωμετρική σειρά, λαμβάνουμε μια σειρά για f(x) = ln(1+x) ενός τέτοιου δείγματος:

2. Και η δεύτερη, που θα είναι οριστική στο άρθρο μας, θα είναι η σειρά για f(x) = arctan x. Για x που ανήκει στο διάστημα [-1;1] ισχύει η επέκταση:

Αυτό είναι όλο. Αυτό το άρθρο εξέτασε τις πιο χρησιμοποιούμενες σειρές Taylor και Maclaurin στα ανώτερα μαθηματικά, ιδιαίτερα στα οικονομικά και τεχνικά πανεπιστήμια.

Εάν η συνάρτηση f(x) έχει παραγώγους όλων των τάξεων σε ένα συγκεκριμένο διάστημα που περιέχει το σημείο a, τότε ο τύπος Taylor μπορεί να εφαρμοστεί σε αυτήν:
,
Οπου r n– ο αποκαλούμενος όρος υπολοίπου ή υπόλοιπο της σειράς, μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο Lagrange:
, όπου ο αριθμός x είναι μεταξύ x και a.

Κανόνες εισαγωγής συναρτήσεων:

Αν για κάποια αξία Χ r n→0 στις n→∞, τότε στο όριο ο τύπος Taylor γίνεται σύγκλινος για αυτήν την τιμή Σειρά Taylor:
,
Έτσι, η συνάρτηση f(x) μπορεί να επεκταθεί σε μια σειρά Taylor στο σημείο x που εξετάζουμε εάν:
1) έχει παράγωγα όλων των παραγγελιών.
2) η κατασκευασμένη σειρά συγκλίνει σε αυτό το σημείο.

Όταν a = 0 παίρνουμε μια σειρά που ονομάζεται κοντά στο Maclaurin:
,
Επέκταση των απλούστερων (στοιχειωδών) συναρτήσεων στη σειρά Maclaurin:
Εκθετικές συναρτήσεις
, R=∞
Τριγωνομετρικές συναρτήσεις
, R=∞
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Η συνάρτηση actgx δεν επεκτείνεται σε δυνάμεις του x, γιατί ctg0=∞
Υπερβολικές συναρτήσεις


Λογαριθμικές συναρτήσεις
, -1
Διωνυμική σειρά
.

Παράδειγμα Νο. 1. Επεκτείνετε τη λειτουργία σε μια σειρά ισχύος f(x)= 2Χ.
Λύση. Ας βρούμε τις τιμές της συνάρτησης και των παραγώγων της στο Χ=0
f(x) = 2Χ, φά( 0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2Χ ln2, φά"( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f""(x) = 2ΧΣτο 2 2, φά""( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
…
f(n)(x) = 2Χ ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.
Αντικαθιστώντας τις λαμβανόμενες τιμές των παραγώγων στον τύπο της σειράς Taylor, λαμβάνουμε:

Η ακτίνα σύγκλισης αυτής της σειράς είναι ίση με το άπειρο, επομένως αυτή η επέκταση ισχύει για -∞<Χ<+∞.

Παράδειγμα Νο. 2. Γράψτε τη σειρά Taylor σε δυνάμεις ( Χ+4) για λειτουργία f(x)=μι Χ.
Λύση. Εύρεση των παραγώγων της συνάρτησης e Χκαι τις αξίες τους στο σημείο Χ=-4.
f(x)= ε Χ, φά(-4) = ε -4 ;
f"(x)= ε Χ, φά"(-4) = ε -4 ;
f""(x)= ε Χ, φά""(-4) = ε -4 ;
…
f(n)(x)= ε Χ, f(n)( -4) = ε -4 .
Επομένως, η απαιτούμενη σειρά Taylor της συνάρτησης έχει τη μορφή:

Αυτή η επέκταση ισχύει επίσης για -∞<Χ<+∞.

Παράδειγμα Νο. 3. Αναπτύξτε μια συνάρτηση f(x)=ln Χσε μια σειρά σε εξουσίες ( Χ- 1),
(δηλαδή στη σειρά Taylor στην περιοχή του σημείου Χ=1).
Λύση. Βρείτε τις παραγώγους αυτής της συνάρτησης.
f(x)=lnx , , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές στον τύπο, λαμβάνουμε την επιθυμητή σειρά Taylor:

Χρησιμοποιώντας τη δοκιμή d'Alembert, μπορείτε να επαληθεύσετε ότι η σειρά συγκλίνει στο ½x-1½<1 . Действительно,

Η σειρά συγκλίνει εάν ½ Χ- 1½<1, т.е. при 0<Χ<2. При Χ=2 λαμβάνουμε μια εναλλασσόμενη σειρά που ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του κριτηρίου Leibniz. Όταν x=0 η συνάρτηση δεν ορίζεται. Έτσι, η περιοχή σύγκλισης της σειράς Taylor είναι το μισάνοιχτο διάστημα (0;2].

Παράδειγμα αρ. 4. Επεκτείνετε τη λειτουργία σε μια σειρά ισχύος.
Λύση. Στην επέκταση (1) αντικαθιστούμε το x με -x 2, παίρνουμε:
, -∞

Παράδειγμα αρ. 5. Αναπτύξτε τη συνάρτηση σε μια σειρά Maclaurin.
Λύση. Εχουμε
Χρησιμοποιώντας τον τύπο (4), μπορούμε να γράψουμε:

Αντικαθιστώντας –x αντί για x στον τύπο, παίρνουμε:

Από εδώ βρίσκουμε: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Ανοίγοντας τις αγκύλες, αναδιατάσσοντας τους όρους της σειράς και φέρνοντας παρόμοιους όρους, παίρνουμε
. Αυτή η σειρά συγκλίνει στο διάστημα (-1;1), αφού προκύπτει από δύο σειρές, καθεμία από τις οποίες συγκλίνει σε αυτό το διάστημα.

Σχόλιο .
Οι τύποι (1)-(5) μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν για την επέκταση των αντίστοιχων συναρτήσεων σε μια σειρά Taylor, π.χ. για επέκταση συναρτήσεων σε θετικές ακέραιες δυνάμεις ( Χα). Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να εκτελεστούν τέτοιοι πανομοιότυποι μετασχηματισμοί σε μια δεδομένη συνάρτηση προκειμένου να ληφθεί μία από τις συναρτήσεις (1)-(5), στην οποία αντί Χκοστίζει k( Χα) m , όπου k είναι σταθερός αριθμός, m είναι θετικός ακέραιος. Συχνά είναι βολικό να κάνετε μια αλλαγή μεταβλητής t=Χακαι επεκτείνετε τη συνάρτηση που προκύπτει ως προς το t στη σειρά Maclaurin.

Αυτή η μέθοδος βασίζεται στο θεώρημα για τη μοναδικότητα της επέκτασης μιας συνάρτησης σε μια σειρά ισχύος. Η ουσία αυτού του θεωρήματος είναι ότι στη γειτονιά του ίδιου σημείου δεν μπορούν να ληφθούν δύο διαφορετικές σειρές ισχύος που θα συγκλίνουν στην ίδια συνάρτηση, ανεξάρτητα από το πώς εκτελείται η επέκτασή της.

Παράδειγμα αρ. 5α. Αναπτύξτε τη συνάρτηση σε μια σειρά Maclaurin και υποδείξτε την περιοχή σύγκλισης.
Λύση. Πρώτα βρίσκουμε 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
στο δημοτικό:

Το κλάσμα 3/(1-3x) μπορεί να θεωρηθεί ως το άθροισμα μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου με παρονομαστή 3x, εάν |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

με περιοχή σύγκλισης |x|< 1/3.

Παράδειγμα αρ. 6. Αναπτύξτε τη συνάρτηση σε μια σειρά Taylor κοντά στο σημείο x = 3.
Λύση. Αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί, όπως και πριν, χρησιμοποιώντας τον ορισμό της σειράς Taylor, για την οποία πρέπει να βρούμε τις παραγώγους της συνάρτησης και τις τιμές τους στο Χ=3. Ωστόσο, θα είναι ευκολότερο να χρησιμοποιήσετε την υπάρχουσα επέκταση (5):
=
Η σειρά που προκύπτει συγκλίνει στο ή –3

Παράδειγμα αρ. 7. Γράψτε τη σειρά Taylor σε δυνάμεις (x -1) της συνάρτησης ln(x+2) .
Λύση.


Η σειρά συγκλίνει στο , ή -2< x < 5.

Παράδειγμα αρ. 8. Αναπτύξτε τη συνάρτηση f(x)=sin(πx/4) σε μια σειρά Taylor κοντά στο σημείο x =2.
Λύση. Ας κάνουμε την αντικατάσταση t=x-2:

Χρησιμοποιώντας την επέκταση (3), στην οποία αντικαθιστούμε π / 4 t στη θέση του x, λαμβάνουμε:

Η σειρά που προκύπτει συγκλίνει στη δεδομένη συνάρτηση στο -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞Ετσι,
, (-∞

Κατά προσέγγιση υπολογισμοί με χρήση σειρών ισχύος

• εάν η σειρά που προκύπτει είναι εναλλασσόμενη, τότε χρησιμοποιείται η ακόλουθη ιδιότητα: για μια εναλλασσόμενη σειρά που ικανοποιεί τις συνθήκες Leibniz, το υπόλοιπο της σειράς σε απόλυτη τιμή δεν υπερβαίνει τον πρώτο όρο που απορρίφθηκε.
• Εάν μια δεδομένη σειρά έχει σταθερό πρόσημο, τότε η σειρά που αποτελείται από απορριφθέντες όρους συγκρίνεται με μια απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο.
• Στη γενική περίπτωση, για να υπολογίσετε το υπόλοιπο της σειράς Taylor, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο Lagrange: α Χ ).

Παράδειγμα Νο. 1. Υπολογίστε το ln(3) με ακρίβεια 0,01.
Λύση. Ας χρησιμοποιήσουμε την επέκταση όπου x=1/2 (βλ. παράδειγμα 5 στο προηγούμενο θέμα):

Ας ελέγξουμε αν μπορούμε να απορρίψουμε το υπόλοιπο μετά τους τρεις πρώτους όρους της επέκτασης· για να το κάνουμε αυτό, θα το αξιολογήσουμε χρησιμοποιώντας το άθροισμα μιας απεριόριστα φθίνουσας γεωμετρικής προόδου:

Έτσι μπορούμε να απορρίψουμε αυτό το υπόλοιπο και να πάρουμε

Παράδειγμα Νο. 2. Υπολογίστε με ακρίβεια 0,0001.
Λύση. Ας χρησιμοποιήσουμε τη διωνυμική σειρά. Δεδομένου ότι το 5 3 είναι ο κύβος ενός ακέραιου πλησιέστερου στο 130, καλό είναι να αντιπροσωπεύσουμε τον αριθμό 130 ως 130 = 5 3 +5.



αφού ήδη ο τέταρτος όρος της προκύπτουσας εναλλασσόμενης σειράς που ικανοποιεί το κριτήριο Leibniz είναι μικρότερος από την απαιτούμενη ακρίβεια:
, επομένως αυτό και οι όροι που το ακολουθούν μπορούν να απορριφθούν.
Πολλά πρακτικά απαραίτητα οριστικά ή ακατάλληλα ολοκληρώματα δεν μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz, επειδή η εφαρμογή του σχετίζεται με την εύρεση του αντιπαραγώγου, το οποίο συχνά δεν έχει έκφραση σε στοιχειώδεις συναρτήσεις. Συμβαίνει επίσης ότι η εύρεση ενός αντιπαραγώγου είναι δυνατή, αλλά είναι άσκοπα έντασης εργασίας. Ωστόσο, εάν η συνάρτηση ολοκλήρωσης επεκταθεί σε μια σειρά ισχύος και τα όρια ολοκλήρωσης ανήκουν στο διάστημα σύγκλισης αυτής της σειράς, τότε είναι δυνατός ένας κατά προσέγγιση υπολογισμός του ολοκληρώματος με προκαθορισμένη ακρίβεια.

Παράδειγμα Νο. 3. Υπολογίστε το ολοκλήρωμα ∫ 0 1 4 sin (x) x εντός 10 -5 .
Λύση. Το αντίστοιχο αόριστο ολοκλήρωμα δεν μπορεί να εκφραστεί σε στοιχειώδεις συναρτήσεις, δηλ. αντιπροσωπεύει ένα «μη μόνιμο ολοκλήρωμα». Ο τύπος Newton-Leibniz δεν μπορεί να εφαρμοστεί εδώ. Ας υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα κατά προσέγγιση.
Διαιρώντας όρο προς όρο τη σειρά για την αμαρτία Χεπί Χ, παίρνουμε:

Ενσωματώνοντας αυτή τη σειρά όρο προς όρο (αυτό είναι δυνατό, αφού τα όρια ολοκλήρωσης ανήκουν στο διάστημα σύγκλισης αυτής της σειράς), λαμβάνουμε:

Εφόσον η σειρά που προκύπτει ικανοποιεί τις συνθήκες του Leibniz και αρκεί να πάρουμε το άθροισμα των δύο πρώτων όρων για να λάβουμε την επιθυμητή τιμή με μια δεδομένη ακρίβεια.
Έτσι, βρίσκουμε
.

Παράδειγμα αρ. 4. Υπολογίστε το ολοκλήρωμα ∫ 0 1 4 e x 2 με ακρίβεια 0,001.
Λύση.
. Ας ελέγξουμε αν μπορούμε να απορρίψουμε το υπόλοιπο μετά τον δεύτερο όρο της σειράς που προκύπτει.
0,0001<0.001. Следовательно, .