Τακτοποιήστε σε μια σειρά Fourier στο υποδεικνυόμενο διάστημα. Σειρά Fourier. Επέκταση μιας συνάρτησης σε μια σειρά Fourier. Επέκταση μιας συνάρτησης σε μια σειρά από ημίτονο και συνημίτονα

Πολλές διεργασίες που συμβαίνουν στη φύση και την τεχνολογία τείνουν να επαναλαμβάνονται σε συγκεκριμένα χρονικά διαστήματα. Τέτοιες διαδικασίες ονομάζονται περιοδικές και περιγράφονται μαθηματικά από περιοδικές συναρτήσεις. Τέτοιες λειτουργίες περιλαμβάνουν αμαρτία(Χ) , cos(Χ) , αμαρτία(wx), cos(wx) . Το άθροισμα δύο περιοδικών συναρτήσεων, για παράδειγμα, μια συνάρτηση της φόρμας , γενικά, δεν είναι πλέον περιοδική. Όμως μπορεί να αποδειχθεί ότι αν η σχέση w 1 / w 2 είναι ένας ρητός αριθμός, τότε αυτό το άθροισμα είναι μια περιοδική συνάρτηση.

Οι απλούστερες περιοδικές διεργασίες - αρμονικές ταλαντώσεις - περιγράφονται από περιοδικές συναρτήσεις αμαρτία(wx) Και cos(wx). Πιο πολύπλοκες περιοδικές διαδικασίες περιγράφονται από συναρτήσεις που αποτελούνται είτε από έναν πεπερασμένο είτε από έναν άπειρο αριθμό όρων της μορφής αμαρτία(wx) Και cos(wx).

Ας εξετάσουμε μια λειτουργική σειρά της φόρμας:

Αυτή η σειρά ονομάζεται τριγωνομετρική; αριθμοί ΕΝΑ 0 , σι 0 , ένα 1 , σι 1 ,ΕΝΑ 2 , σι 2 …, ένα n , σι n ,… λέγονται συντελεστέςτριγωνομετρική σειρά. Η σειρά (1) συχνά γράφεται ως εξής:

. (2)

Αφού τα μέλη της τριγωνομετρικής σειράς (2) έχουν κοινή περίοδο
, τότε το άθροισμα της σειράς, αν συγκλίνει, είναι επίσης περιοδική συνάρτηση με τελεία
.

Ας υποθέσουμε ότι η συνάρτηση φά(Χ) είναι το άθροισμα αυτής της σειράς:

. (3)

Σε αυτή την περίπτωση λένε ότι η συνάρτηση φά(Χ) επεκτείνεται σε τριγωνομετρική σειρά. Υποθέτοντας ότι αυτή η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα στο διάστημα
, μπορείτε να προσδιορίσετε τους συντελεστές του χρησιμοποιώντας τους τύπους:

,
,
. (4)

Οι συντελεστές της σειράς που καθορίζονται από αυτούς τους τύπους καλούνται Συντελεστές Fourier.

Οι τριγωνομετρικές σειρές (2), οι συντελεστές της οποίας καθορίζονται από τους τύπους Fourier (4), ονομάζονται κοντά στη Φουριέ, που αντιστοιχεί στη συνάρτηση φά(Χ).

Έτσι, εάν μια περιοδική συνάρτηση φά(Χ) είναι το άθροισμα μιας συγκλίνουσας τριγωνομετρικής σειράς, τότε αυτή η σειρά είναι η σειρά Fourier της.

Οι τύποι (4) δείχνουν ότι οι συντελεστές Fourier μπορούν να υπολογιστούν για οποιοδήποτε ολοκληρωμένο στο διάστημα

-περιοδική συνάρτηση, δηλ. Για μια τέτοια συνάρτηση μπορείτε πάντα να κατασκευάσετε μια σειρά Fourier. Θα συγκλίνει όμως αυτή η σειρά στη συνάρτηση φά(Χ) και υπό ποιες προϋποθέσεις;

Θυμηθείτε ότι η συνάρτηση φά(Χ), ορίζεται στο τμήμα [ ένα; σι] , ονομάζεται τμηματικά ομαλή αν αυτό και η παράγωγός του δεν έχουν περισσότερο από έναν πεπερασμένο αριθμό σημείων ασυνέχειας του πρώτου είδους.

Το παρακάτω θεώρημα δίνει επαρκείς συνθήκες για τη δυνατότητα αποσύνθεσης μιας συνάρτησης σε μια σειρά Fourier.

Θεώρημα Dirichlet.Αφήνω
-περιοδική συνάρτηση φά(Χ) είναι τμηματικά ομαλή
. Τότε η σειρά Fourier του συγκλίνει σε φά(Χ) σε κάθε σημείο της συνέχειας και στην αξία 0,5(φά(Χ+0)+ φά(Χ-0)) στο σημείο θραύσης.

Παράδειγμα 1.

Αναπτύξτε τη συνάρτηση σε μια σειρά Fourier φά(Χ)= Χ, που καθορίζεται στο διάστημα
.

Λύση.Αυτή η συνάρτηση ικανοποιεί τις συνθήκες Dirichlet και, επομένως, μπορεί να επεκταθεί σε μια σειρά Fourier. Χρησιμοποιώντας τους τύπους (4) και τη μέθοδο ολοκλήρωσης ανά μέρη
, βρίσκουμε τους συντελεστές Fourier:

Έτσι, η σειρά Fourier για τη συνάρτηση φά(Χ) έχει μια ματιά.

Οι σειρές Fourier είναι μια αναπαράσταση μιας αυθαίρετης συνάρτησης με μια συγκεκριμένη περίοδο με τη μορφή μιας σειράς. Γενικά, αυτή η λύση ονομάζεται αποσύνθεση ενός στοιχείου κατά μήκος μιας ορθογώνιας βάσης. Η επέκταση των συναρτήσεων σε σειρές Fourier είναι ένα αρκετά ισχυρό εργαλείο για την επίλυση διαφόρων προβλημάτων λόγω των ιδιοτήτων αυτού του μετασχηματισμού κατά την ολοκλήρωση, τη διαφοροποίηση, καθώς και τη μετατόπιση εκφράσεων με όρισμα και συνέλιξη.

Ένα άτομο που δεν είναι εξοικειωμένο με τα ανώτερα μαθηματικά, καθώς και με τα έργα του Γάλλου επιστήμονα Fourier, πιθανότατα δεν θα καταλάβει τι είναι αυτές οι «σειρές» και σε τι χρειάζονται. Εν τω μεταξύ, αυτή η μεταμόρφωση έχει ενσωματωθεί αρκετά στη ζωή μας. Χρησιμοποιείται όχι μόνο από μαθηματικούς, αλλά και από φυσικούς, χημικούς, γιατρούς, αστρονόμους, σεισμολόγους, ωκεανογράφους και πολλούς άλλους. Ας ρίξουμε επίσης μια πιο προσεκτική ματιά στα έργα του μεγάλου Γάλλου επιστήμονα που έκανε μια ανακάλυψη που ήταν μπροστά από την εποχή της.

Οι σειρές Fourier είναι μία από τις μεθόδους (μαζί με την ανάλυση και άλλες) Αυτή η διαδικασία συμβαίνει κάθε φορά που ένα άτομο ακούει έναν ήχο. Το αυτί μας μετατρέπει αυτόματα στοιχειώδη σωματίδια σε ένα ελαστικό μέσο σε σειρές (κατά μήκος του φάσματος) διαδοχικών επιπέδων όγκου για τόνους διαφορετικού ύψους. Στη συνέχεια, ο εγκέφαλος μετατρέπει αυτά τα δεδομένα σε ήχους που είναι οικείοι σε εμάς. Όλα αυτά συμβαίνουν χωρίς την επιθυμία ή τη συνείδησή μας, από μόνα τους, αλλά για να κατανοήσουμε αυτές τις διαδικασίες, θα χρειαστούν αρκετά χρόνια για να μελετήσουμε ανώτερα μαθηματικά.

Ο μετασχηματισμός Fourier μπορεί να πραγματοποιηθεί χρησιμοποιώντας αναλυτικές, αριθμητικές και άλλες μεθόδους. Οι σειρές Fourier αναφέρονται στην αριθμητική μέθοδο αποσύνθεσης οποιωνδήποτε ταλαντευτικών διεργασιών - από τις παλίρροιες των ωκεανών και τα κύματα φωτός έως τους κύκλους ηλιακής (και άλλων αστρονομικών αντικειμένων) δραστηριότητας. Χρησιμοποιώντας αυτές τις μαθηματικές τεχνικές, μπορείτε να αναλύσετε συναρτήσεις, αντιπροσωπεύοντας τυχόν ταλαντωτικές διεργασίες ως μια σειρά ημιτονοειδών συνιστωσών που κινούνται από το ελάχιστο στο μέγιστο και προς τα πίσω. Ο μετασχηματισμός Fourier είναι μια συνάρτηση που περιγράφει τη φάση και το πλάτος των ημιτονοειδών που αντιστοιχούν σε μια συγκεκριμένη συχνότητα. Αυτή η διαδικασία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση πολύ περίπλοκων εξισώσεων που περιγράφουν δυναμικές διεργασίες που προκύπτουν υπό την επίδραση θερμικής, φωτός ή ηλεκτρικής ενέργειας. Επίσης, οι σειρές Fourier καθιστούν δυνατή την απομόνωση σταθερών συστατικών σε πολύπλοκα ταλαντευτικά σήματα, καθιστώντας δυνατή τη σωστή ερμηνεία των πειραματικών παρατηρήσεων που λαμβάνονται στην ιατρική, τη χημεία και την αστρονομία.

Ο ιδρυτής αυτής της θεωρίας είναι ο Γάλλος μαθηματικός Jean Baptiste Joseph Fourier. Αυτή η μεταμόρφωση πήρε στη συνέχεια το όνομά του. Αρχικά, ο επιστήμονας χρησιμοποίησε τη μέθοδό του για να μελετήσει και να εξηγήσει τους μηχανισμούς της θερμικής αγωγιμότητας - τη διάδοση της θερμότητας στα στερεά. Ο Fourier πρότεινε ότι η αρχική ακανόνιστη κατανομή μπορεί να αποσυντεθεί σε απλά ημιτονοειδή, καθένα από τα οποία θα έχει τη δική του ελάχιστη και μέγιστη θερμοκρασία, καθώς και τη δική του φάση. Σε αυτή την περίπτωση, κάθε τέτοιο συστατικό θα μετρηθεί από το ελάχιστο στο μέγιστο και πίσω. Η μαθηματική συνάρτηση που περιγράφει τις άνω και κάτω κορυφές της καμπύλης, καθώς και τη φάση καθεμιάς από τις αρμονικές, ονομάζεται μετασχηματισμός Fourier της έκφρασης κατανομής θερμοκρασίας. Ο συγγραφέας της θεωρίας μείωσε τη γενική συνάρτηση κατανομής, η οποία είναι δύσκολο να περιγραφεί μαθηματικά, σε μια πολύ βολική σειρά συνημιτόνου και ημιτόνου, που μαζί δίνουν την αρχική κατανομή.

Οι σύγχρονοι του επιστήμονα - κορυφαίοι μαθηματικοί των αρχών του δέκατου ένατου αιώνα - δεν αποδέχθηκαν αυτή τη θεωρία. Η κύρια ένσταση ήταν ο ισχυρισμός του Fourier ότι μια ασυνεχής συνάρτηση, που περιγράφει μια ευθεία γραμμή ή μια ασυνεχή καμπύλη, μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα άθροισμα ημιτονοειδών παραστάσεων που είναι συνεχείς. Για παράδειγμα, θεωρήστε το βήμα Heaviside: η τιμή του είναι μηδέν στα αριστερά της ασυνέχειας και ένα στα δεξιά. Αυτή η συνάρτηση περιγράφει την εξάρτηση του ηλεκτρικού ρεύματος από μια προσωρινή μεταβλητή όταν το κύκλωμα είναι κλειστό. Οι σύγχρονοι της θεωρίας εκείνης της εποχής δεν είχαν αντιμετωπίσει ποτέ παρόμοια κατάσταση όπου μια ασυνεχής έκφραση θα περιγραφόταν από έναν συνδυασμό συνεχών, συνηθισμένων συναρτήσεων όπως η εκθετική, ημιτονοειδής, η γραμμική ή η τετραγωνική.

Άλλωστε, αν ο μαθηματικός είχε δίκιο στις δηλώσεις του, τότε αθροίζοντας την άπειρη τριγωνομετρική σειρά Fourier, μπορεί κανείς να αποκτήσει μια ακριβή αναπαράσταση της έκφρασης του βήματος ακόμα κι αν έχει πολλά παρόμοια βήματα. Στις αρχές του δέκατου ένατου αιώνα, μια τέτοια δήλωση φαινόταν παράλογη. Όμως, παρ' όλες τις αμφιβολίες, πολλοί μαθηματικοί διεύρυναν το πεδίο μελέτης αυτού του φαινομένου, πηγαίνοντάς το πέρα ​​από τη μελέτη της θερμικής αγωγιμότητας. Ωστόσο, οι περισσότεροι επιστήμονες συνέχισαν να βασανίζονται από το ερώτημα: «Μπορεί το άθροισμα μιας ημιτονοειδούς σειράς να συγκλίνει στην ακριβή τιμή της ασυνεχούς συνάρτησης;»

Το ζήτημα της σύγκλισης τίθεται όποτε είναι απαραίτητο να αθροιστούν άπειρες σειρές αριθμών. Για να κατανοήσετε αυτό το φαινόμενο, εξετάστε ένα κλασικό παράδειγμα. Θα μπορέσετε ποτέ να φτάσετε στον τοίχο αν κάθε επόμενο βήμα είναι το μισό του μεγέθους του προηγούμενου; Ας υποθέσουμε ότι είστε δύο μέτρα από τον στόχο σας, το πρώτο βήμα σας οδηγεί στο μισό της διαδρομής, το επόμενο θα σας οδηγήσει στα τρία τέταρτα και μετά το πέμπτο θα έχετε καλύψει σχεδόν το 97 τοις εκατό της διαδρομής. Ωστόσο, όσα βήματα και να κάνετε, δεν θα επιτύχετε τον στόχο σας με αυστηρή μαθηματική έννοια. Χρησιμοποιώντας αριθμητικούς υπολογισμούς, μπορεί να αποδειχθεί ότι είναι τελικά δυνατό να πλησιάσουμε όσο μια δεδομένη απόσταση. Αυτή η απόδειξη ισοδυναμεί με την απόδειξη ότι το άθροισμα του μισού, του ενός τέταρτου κ.λπ. θα τείνει προς τη μονάδα.

Αυτό το ζήτημα τέθηκε ξανά στα τέλη του δέκατου ένατου αιώνα, όταν προσπάθησαν να χρησιμοποιήσουν τη σειρά Fourier για να προβλέψουν την ένταση της παλίρροιας. Εκείνη την εποχή, ο Λόρδος Κέλβιν εφηύρε ένα όργανο, μια αναλογική υπολογιστική συσκευή που επέτρεπε σε στρατιωτικούς και ναυτικούς του εμπορικού ναυτικού να παρακολουθούν αυτό το φυσικό φαινόμενο. Αυτός ο μηχανισμός προσδιόρισε σύνολα φάσεων και πλάτη από έναν πίνακα με ύψη παλίρροιας και αντίστοιχα χρονικά σημεία, προσεκτικά μετρημένα σε ένα δεδομένο λιμάνι καθ' όλη τη διάρκεια του έτους. Κάθε παράμετρος ήταν ένα ημιτονοειδές στοιχείο της έκφρασης του ύψους της παλίρροιας και ήταν ένα από τα κανονικά συστατικά. Οι μετρήσεις τροφοδοτήθηκαν στο υπολογιστικό όργανο του Λόρδου Κέλβιν, το οποίο συνέθεσε μια καμπύλη που προέβλεπε το ύψος του νερού σε συνάρτηση με το χρόνο για το επόμενο έτος. Πολύ σύντομα σχεδιάστηκαν παρόμοιες καμπύλες για όλα τα λιμάνια του κόσμου.

Εκείνη την εποχή φαινόταν προφανές ότι ένας προγνωστικός παράγοντας παλιρροϊκών κυμάτων με μεγάλο αριθμό στοιχείων μέτρησης μπορούσε να υπολογίσει μεγάλο αριθμό φάσεων και πλάτη και έτσι να παρέχει πιο ακριβείς προβλέψεις. Ωστόσο, αποδείχθηκε ότι αυτό το μοτίβο δεν παρατηρείται σε περιπτώσεις όπου η παλιρροιακή έκφραση που έπρεπε να συντεθεί περιείχε ένα απότομο άλμα, ήταν δηλαδή ασυνεχές. Εάν εισαχθούν δεδομένα από έναν πίνακα χρονικών στιγμών στη συσκευή, υπολογίζει αρκετούς συντελεστές Fourier. Η αρχική λειτουργία αποκαθίσταται χάρη στα ημιτονοειδή εξαρτήματα (σύμφωνα με τους συντελεστές που βρέθηκαν). Η ασυμφωνία μεταξύ της αρχικής και της ανακατασκευασμένης έκφρασης μπορεί να μετρηθεί σε οποιοδήποτε σημείο. Κατά τη διενέργεια επαναλαμβανόμενων υπολογισμών και συγκρίσεων, είναι σαφές ότι η τιμή του μεγαλύτερου σφάλματος δεν μειώνεται. Ωστόσο, εντοπίζονται στην περιοχή που αντιστοιχεί στο σημείο ασυνέχειας και σε οποιοδήποτε άλλο σημείο τείνουν στο μηδέν. Το 1899, αυτό το αποτέλεσμα επιβεβαιώθηκε θεωρητικά από τον Joshua Willard Gibbs του Πανεπιστημίου Yale.

Η ανάλυση Fourier δεν μπορεί να εφαρμοστεί σε εκφράσεις που περιέχουν άπειρο αριθμό αιχμών σε ένα συγκεκριμένο διάστημα. Γενικά, οι σειρές Fourier, εάν η αρχική συνάρτηση αντιπροσωπεύεται από το αποτέλεσμα μιας πραγματικής φυσικής μέτρησης, πάντα συγκλίνουν. Ερωτήσεις σχετικά με τη σύγκλιση αυτής της διαδικασίας για συγκεκριμένες κατηγορίες συναρτήσεων οδήγησαν στην εμφάνιση νέων κλάδων στα μαθηματικά, για παράδειγμα, τη θεωρία των γενικευμένων συναρτήσεων. Συνδέεται με ονόματα όπως L. Schwartz, J. Mikusinski και J. Temple. Στο πλαίσιο αυτής της θεωρίας, δημιουργήθηκε μια σαφής και ακριβής θεωρητική βάση για εκφράσεις όπως η συνάρτηση δέλτα Dirac (περιγράφει μια περιοχή μιας ενιαίας περιοχής συγκεντρωμένη σε μια απειροελάχιστη γειτονιά ενός σημείου) και το «βήμα» Heaviside. Χάρη σε αυτή την εργασία, η σειρά Fourier έγινε εφαρμόσιμη στην επίλυση εξισώσεων και προβλημάτων που περιλαμβάνουν διαισθητικές έννοιες: σημειακό φορτίο, σημειακή μάζα, μαγνητικά δίπολα και συγκεντρωμένο φορτίο σε μια δέσμη.

Οι σειρές Fourier, σύμφωνα με τις αρχές της παρεμβολής, ξεκινούν με την αποσύνθεση σύνθετων μορφών σε απλούστερες. Για παράδειγμα, μια αλλαγή στη ροή θερμότητας εξηγείται από το πέρασμά της από διάφορα εμπόδια από θερμομονωτικό υλικό ακανόνιστου σχήματος ή μια αλλαγή στην επιφάνεια της γης - σεισμός, αλλαγή στην τροχιά ενός ουράνιου σώματος - η επιρροή των πλανητών. Κατά κανόνα, τέτοιες εξισώσεις που περιγράφουν απλά κλασικά συστήματα μπορούν εύκολα να λυθούν για κάθε μεμονωμένο κύμα. Ο Fourier έδειξε ότι απλές λύσεις μπορούν επίσης να αθροιστούν για να δώσουν λύσεις σε πιο σύνθετα προβλήματα. Με μαθηματικούς όρους, οι σειρές Fourier είναι μια τεχνική για την αναπαράσταση μιας έκφρασης ως άθροισμα αρμονικών - συνημιτόνου και ημιτόνου. Επομένως, αυτή η ανάλυση είναι επίσης γνωστή ως «αρμονική ανάλυση».

Πριν από τη δημιουργία της τεχνολογίας υπολογιστών, η τεχνική Fourier ήταν το καλύτερο όπλο στο οπλοστάσιο των επιστημόνων όταν εργάζονταν με την κυματική φύση του κόσμου μας. Η σειρά Fourier σε σύνθετη μορφή καθιστά δυνατή την επίλυση όχι μόνο απλών προβλημάτων που επιδέχονται την άμεση εφαρμογή των νόμων της μηχανικής του Νεύτωνα, αλλά και θεμελιωδών εξισώσεων. Οι περισσότερες από τις ανακαλύψεις της Νευτώνειας επιστήμης τον δέκατο ένατο αιώνα έγιναν δυνατές μόνο με την τεχνική του Fourier.

Με την ανάπτυξη των υπολογιστών, οι μετασχηματισμοί Fourier έχουν ανέλθει σε ένα ποιοτικά νέο επίπεδο. Αυτή η τεχνική είναι σταθερά εδραιωμένη σε όλους σχεδόν τους τομείς της επιστήμης και της τεχνολογίας. Ένα παράδειγμα είναι ο ψηφιακός ήχος και το βίντεο. Η εφαρμογή του έγινε δυνατή μόνο χάρη σε μια θεωρία που αναπτύχθηκε από έναν Γάλλο μαθηματικό στις αρχές του δέκατου ένατου αιώνα. Έτσι, η σειρά Fourier σε μια πολύπλοκη μορφή κατέστησε δυνατή μια σημαντική ανακάλυψη στη μελέτη του διαστήματος. Επιπλέον, επηρέασε τη μελέτη της φυσικής των υλικών ημιαγωγών και του πλάσματος, την ακουστική μικροκυμάτων, την ωκεανογραφία, το ραντάρ και τη σεισμολογία.

Στα μαθηματικά, μια σειρά Fourier είναι ένας τρόπος αναπαράστασης αυθαίρετων μιγαδικών συναρτήσεων ως άθροισμα απλούστερων. Σε γενικές περιπτώσεις, ο αριθμός τέτοιων εκφράσεων μπορεί να είναι άπειρος. Επιπλέον, όσο περισσότερο λαμβάνεται υπόψη ο αριθμός τους στον υπολογισμό, τόσο πιο ακριβές είναι το τελικό αποτέλεσμα. Τις περισσότερες φορές, οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις συνημιτόνου ή ημιτόνου χρησιμοποιούνται ως απλούστερες. Στην περίπτωση αυτή, οι σειρές Fourier ονομάζονται τριγωνομετρικές και η λύση τέτοιων εκφράσεων ονομάζεται αρμονική διαστολή. Αυτή η μέθοδος παίζει σημαντικό ρόλο στα μαθηματικά. Πρώτα απ 'όλα, η τριγωνομετρική σειρά παρέχει ένα μέσο για την απεικόνιση και επίσης τη μελέτη συναρτήσεων· είναι η κύρια συσκευή της θεωρίας. Επιπλέον, σας επιτρέπει να λύσετε μια σειρά προβλημάτων στη μαθηματική φυσική. Τέλος, η θεωρία αυτή συνέβαλε στην ανάπτυξη μιας σειράς πολύ σημαντικών κλάδων της μαθηματικής επιστήμης (η θεωρία των ολοκληρωμάτων, η θεωρία των περιοδικών συναρτήσεων). Επιπλέον, χρησίμευσε ως το σημείο εκκίνησης για την ανάπτυξη των ακόλουθων συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής και επίσης έθεσε τα θεμέλια για την αρμονική ανάλυση.

Πώς να εισάγετε μαθηματικούς τύπους σε έναν ιστότοπο;

Εάν χρειαστεί ποτέ να προσθέσετε έναν ή δύο μαθηματικούς τύπους σε μια ιστοσελίδα, τότε ο ευκολότερος τρόπος για να το κάνετε αυτό είναι όπως περιγράφεται στο άρθρο: οι μαθηματικοί τύποι εισάγονται εύκολα στον ιστότοπο με τη μορφή εικόνων που δημιουργούνται αυτόματα από το Wolfram Alpha . Εκτός από την απλότητα, αυτή η καθολική μέθοδος θα βοηθήσει στη βελτίωση της προβολής του ιστότοπου στις μηχανές αναζήτησης. Λειτουργεί εδώ και πολύ καιρό (και, νομίζω, θα λειτουργεί για πάντα), αλλά είναι ήδη ηθικά ξεπερασμένο.

Εάν χρησιμοποιείτε τακτικά μαθηματικούς τύπους στον ιστότοπό σας, τότε σας συνιστώ να χρησιμοποιήσετε το MathJax - μια ειδική βιβλιοθήκη JavaScript που εμφανίζει μαθηματικούς σημειώσεις σε προγράμματα περιήγησης ιστού χρησιμοποιώντας σήμανση MathML, LaTeX ή ASCIIMathML.

Υπάρχουν δύο τρόποι για να ξεκινήσετε να χρησιμοποιείτε το MathJax: (1) χρησιμοποιώντας έναν απλό κώδικα, μπορείτε να συνδέσετε γρήγορα ένα σενάριο MathJax στον ιστότοπό σας, το οποίο θα φορτωθεί αυτόματα από έναν απομακρυσμένο διακομιστή την κατάλληλη στιγμή (λίστα διακομιστών). (2) κατεβάστε το σενάριο MathJax από έναν απομακρυσμένο διακομιστή στον διακομιστή σας και συνδέστε το σε όλες τις σελίδες του ιστότοπού σας. Η δεύτερη μέθοδος - πιο περίπλοκη και χρονοβόρα - θα επιταχύνει τη φόρτωση των σελίδων του ιστότοπού σας και εάν ο γονικός διακομιστής MathJax γίνει προσωρινά μη διαθέσιμος για κάποιο λόγο, αυτό δεν θα επηρεάσει με κανέναν τρόπο τον δικό σας ιστότοπο. Παρά τα πλεονεκτήματα αυτά, επέλεξα την πρώτη μέθοδο καθώς είναι πιο απλή, πιο γρήγορη και δεν απαιτεί τεχνικές δεξιότητες. Ακολουθήστε το παράδειγμά μου και σε μόλις 5 λεπτά θα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε όλες τις δυνατότητες του MathJax στον ιστότοπό σας.

Μπορείτε να συνδέσετε το σενάριο της βιβλιοθήκης MathJax από έναν απομακρυσμένο διακομιστή χρησιμοποιώντας δύο επιλογές κώδικα που λαμβάνονται από τον κύριο ιστότοπο του MathJax ή από τη σελίδα τεκμηρίωσης:

Μία από αυτές τις επιλογές κώδικα πρέπει να αντιγραφεί και να επικολληθεί στον κώδικα της ιστοσελίδας σας, κατά προτίμηση μεταξύ ετικετών και ή αμέσως μετά την ετικέτα. Σύμφωνα με την πρώτη επιλογή, το MathJax φορτώνει πιο γρήγορα και επιβραδύνει λιγότερο τη σελίδα. Αλλά η δεύτερη επιλογή παρακολουθεί αυτόματα και φορτώνει τις πιο πρόσφατες εκδόσεις του MathJax. Εάν εισάγετε τον πρώτο κωδικό, θα πρέπει να ενημερώνεται περιοδικά. Εάν εισαγάγετε τον δεύτερο κώδικα, οι σελίδες θα φορτώνονται πιο αργά, αλλά δεν θα χρειάζεται να παρακολουθείτε συνεχώς τις ενημερώσεις του MathJax.

Ο ευκολότερος τρόπος σύνδεσης του MathJax είναι στο Blogger ή στο WordPress: στον πίνακα ελέγχου του ιστότοπου, προσθέστε ένα γραφικό στοιχείο σχεδιασμένο για την εισαγωγή κώδικα JavaScript τρίτου μέρους, αντιγράψτε την πρώτη ή τη δεύτερη έκδοση του κώδικα λήψης που παρουσιάζεται παραπάνω σε αυτό και τοποθετήστε το γραφικό στοιχείο πιο κοντά στην αρχή του προτύπου (παρεμπιπτόντως, αυτό δεν είναι καθόλου απαραίτητο, καθώς το σενάριο MathJax φορτώνεται ασύγχρονα). Αυτό είναι όλο. Τώρα μάθετε τη σύνταξη σήμανσης των MathML, LaTeX και ASCIIMathML και είστε έτοιμοι να εισαγάγετε μαθηματικούς τύπους στις ιστοσελίδες του ιστότοπού σας.

Οποιοδήποτε φράκταλ κατασκευάζεται σύμφωνα με έναν συγκεκριμένο κανόνα, ο οποίος εφαρμόζεται με συνέπεια απεριόριστες φορές. Κάθε τέτοιος χρόνος ονομάζεται επανάληψη.

Ο επαναληπτικός αλγόριθμος για την κατασκευή ενός σφουγγαριού Menger είναι αρκετά απλός: ο αρχικός κύβος με την πλευρά 1 χωρίζεται με επίπεδα παράλληλα προς τις όψεις του σε 27 ίσους κύβους. Ένας κεντρικός κύβος και 6 κύβοι δίπλα του κατά μήκος των όψεων αφαιρούνται από αυτό. Το αποτέλεσμα είναι ένα σετ που αποτελείται από τους υπόλοιπους 20 μικρότερους κύβους. Κάνοντας το ίδιο με κάθε έναν από αυτούς τους κύβους, παίρνουμε ένα σετ που αποτελείται από 400 μικρότερους κύβους. Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία ατελείωτα, παίρνουμε ένα σφουγγάρι Menger.

Σειρά περιοδικών συναρτήσεων Fourier με περίοδο 2π.

Η σειρά Fourier μας επιτρέπει να μελετήσουμε περιοδικές συναρτήσεις αποσυνθέτοντάς τις σε συνιστώσες. Τα εναλλασσόμενα ρεύματα και τάσεις, οι μετατοπίσεις, η ταχύτητα και η επιτάχυνση των μηχανισμών στροφάλου και τα ακουστικά κύματα είναι τυπικά πρακτικά παραδείγματα χρήσης περιοδικών συναρτήσεων στους μηχανικούς υπολογισμούς.

Η επέκταση της σειράς Fourier βασίζεται στην υπόθεση ότι όλες οι συναρτήσεις πρακτικής σημασίας στο διάστημα -π ≤x≤ π μπορούν να εκφραστούν με τη μορφή συγκλίνουσας τριγωνομετρικής σειράς (μια σειρά θεωρείται συγκλίνουσα εάν η ακολουθία μερικών αθροισμάτων που αποτελείται από τους όρους της συγκλίνει):

Τυπική (=συνήθης) σημειογραφία μέσω του αθροίσματος των sinx και cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

όπου a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. είναι πραγματικές σταθερές, δηλ.

Όπου, για το εύρος από -π έως π, οι συντελεστές της σειράς Fourier υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τους τύπους:

Οι συντελεστές a o , a n και b n ονομάζονται συντελεστές Fourier και αν μπορούν να βρεθούν, τότε η σειρά (1) ονομάζεται σειρά Fourier που αντιστοιχεί στη συνάρτηση f (x). Για τη σειρά (1), ο όρος (a 1 cosx+b 1 sinx) ονομάζεται πρώτη ή θεμελιώδης αρμονική,

Ένας άλλος τρόπος για να γράψετε μια σειρά είναι να χρησιμοποιήσετε τη σχέση acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Όπου a o είναι σταθερά, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 είναι τα πλάτη των διαφόρων συνιστωσών και ισούται με a n =arctg a n /b n.

Για τη σειρά (1), ο όρος (a 1 cosx+b 1 sinx) ή c 1 sin(x+a 1) ονομάζεται πρώτη ή θεμελιώδης αρμονική, (a 2 cos2x+b 2 sin2x) ή c 2 sin(2x +α 2) ονομάζεται η δεύτερη αρμονική κ.ο.κ.

Για την ακριβή αναπαράσταση ενός σύνθετου σήματος απαιτείται συνήθως ένας άπειρος αριθμός όρων. Ωστόσο, σε πολλά πρακτικά προβλήματα αρκεί να ληφθούν υπόψη μόνο οι πρώτοι όροι.

Σειρά Fourier μη περιοδικών συναρτήσεων με περίοδο 2π.

Επέκταση μη περιοδικών συναρτήσεων.

Εάν η συνάρτηση f(x) είναι μη περιοδική, σημαίνει ότι δεν μπορεί να επεκταθεί σε μια σειρά Fourier για όλες τις τιμές του x. Ωστόσο, είναι δυνατό να οριστεί μια σειρά Fourier που αντιπροσωπεύει μια συνάρτηση σε οποιοδήποτε εύρος πλάτους 2π.

Με δεδομένη μια μη περιοδική συνάρτηση, μια νέα συνάρτηση μπορεί να κατασκευαστεί επιλέγοντας τιμές του f(x) μέσα σε ένα συγκεκριμένο εύρος και επαναλαμβάνοντας τες εκτός αυτού του εύρους σε διαστήματα 2π. Δεδομένου ότι η νέα συνάρτηση είναι περιοδική με περίοδο 2π, μπορεί να επεκταθεί σε μια σειρά Fourier για όλες τις τιμές του x. Για παράδειγμα, η συνάρτηση f(x)=x δεν είναι περιοδική. Ωστόσο, εάν είναι απαραίτητο να επεκταθεί σε μια σειρά Fourier στο διάστημα από το ο έως το 2π, τότε έξω από αυτό το διάστημα κατασκευάζεται μια περιοδική συνάρτηση με περίοδο 2π (όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα).

Για μη περιοδικές συναρτήσεις όπως f(x)=x, το άθροισμα της σειράς Fourier είναι ίσο με την τιμή της f(x) σε όλα τα σημεία μιας δεδομένης περιοχής, αλλά δεν είναι ίσο με f(x) για σημεία εκτός του εύρους. Για την εύρεση της σειράς Fourier μιας μη περιοδικής συνάρτησης στην περιοχή 2π, χρησιμοποιείται ο ίδιος τύπος συντελεστών Fourier.

άρτιες και περιττές συναρτήσεις.

Λένε ότι μια συνάρτηση y=f(x) είναι έστω και αν f(-x)=f(x) για όλες τις τιμές του x. Τα γραφήματα των ζυγών συναρτήσεων είναι πάντα συμμετρικά ως προς τον άξονα y (δηλαδή είναι κατοπτρικές εικόνες). Δύο παραδείγματα άρτιων συναρτήσεων: y=x2 και y=cosx.

Μια συνάρτηση y=f(x) λέγεται περιττή αν f(-x)=-f(x) για όλες τις τιμές του x. Οι γραφικές παραστάσεις των περιττών συναρτήσεων είναι πάντα συμμετρικές ως προς την προέλευση.

Πολλές συναρτήσεις δεν είναι ούτε ζυγές ούτε περιττές.

Επέκταση σειράς Fourier σε συνημίτονα.

Η σειρά Fourier μιας άρτιας περιοδικής συνάρτησης f(x) με περίοδο 2π περιέχει μόνο συνημιτονοειδείς όρους (δηλαδή, κανένα ημιτονικό) και μπορεί να περιλαμβάνει έναν σταθερό όρο. Ως εκ τούτου,

πού είναι οι συντελεστές της σειράς Fourier,

Η σειρά Fourier μιας περιττής περιοδικής συνάρτησης f(x) με περίοδο 2π περιέχει μόνο όρους με ημίτονο (δηλαδή δεν περιέχει όρους με συνημίτονα).

Ως εκ τούτου,

πού είναι οι συντελεστές της σειράς Fourier,

Σειρά Fourier στο μισό κύκλο.

Εάν μια συνάρτηση ορίζεται για μια περιοχή, ας πούμε από το 0 έως το π, και όχι μόνο από το 0 έως το 2π, μπορεί να επεκταθεί σε μια σειρά μόνο σε ημίτονο ή μόνο σε συνημίτονα. Η σειρά Fourier που προκύπτει ονομάζεται σειρά Fourier μισού κύκλου.

Εάν θέλετε να αποκτήσετε μια επέκταση μισού κύκλου Fourier των συνημιτόνων της συνάρτησης f(x) στην περιοχή από 0 έως π, τότε πρέπει να κατασκευάσετε μια άρτια περιοδική συνάρτηση. Στο Σχ. Παρακάτω είναι η συνάρτηση f(x)=x, που βασίζεται στο διάστημα από x=0 έως x=π. Εφόσον η άρτια συνάρτηση είναι συμμετρική ως προς τον άξονα f(x), σχεδιάζουμε την ευθεία ΑΒ, όπως φαίνεται στο Σχ. παρακάτω. Αν υποθέσουμε ότι έξω από το εξεταζόμενο διάστημα το τριγωνικό σχήμα που προκύπτει είναι περιοδικό με περίοδο 2π, τότε το τελικό γράφημα μοιάζει με αυτό: στο Σχ. παρακάτω. Εφόσον πρέπει να λάβουμε την επέκταση Fourier σε συνημίτονα, όπως και πριν, υπολογίζουμε τους συντελεστές Fourier a o και a n

Εάν θέλετε να λάβετε μια επέκταση Fourier μισού κύκλου ως προς τα ημιτόνια της συνάρτησης f(x) στην περιοχή από 0 έως π, τότε πρέπει να κατασκευάσετε μια περιττή περιοδική συνάρτηση. Στο Σχ. Παρακάτω είναι η συνάρτηση f(x)=x, που βασίζεται στο διάστημα από x=0 έως x=π. Δεδομένου ότι η περιττή συνάρτηση είναι συμμετρική ως προς την αρχή, κατασκευάζουμε τη γραμμή CD, όπως φαίνεται στο Σχ. Αν υποθέσουμε ότι εκτός του εξεταζόμενου διαστήματος το προκύπτον σήμα πριονωτή είναι περιοδικό με περίοδο 2π, τότε το τελικό γράφημα έχει τη μορφή που φαίνεται στο Σχ. Δεδομένου ότι πρέπει να λάβουμε την επέκταση Fourier του μισού κύκλου ως προς τα ημιτόνια, όπως και πριν, υπολογίζουμε τον συντελεστή Fourier. σι

Σειρά Fourier για αυθαίρετο διάστημα.

Επέκταση μιας περιοδικής συνάρτησης με περίοδο L.

Η περιοδική συνάρτηση f(x) επαναλαμβάνεται καθώς το x αυξάνεται κατά L, δηλ. f(x+L)=f(x). Η μετάβαση από τις προηγούμενες συναρτήσεις με περίοδο 2π σε συναρτήσεις με περίοδο L είναι αρκετά απλή, αφού μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας μια αλλαγή μεταβλητής.

Για να βρούμε τη σειρά Fourier της συνάρτησης f(x) στην περιοχή -L/2≤x≤L/2, εισάγουμε μια νέα μεταβλητή u έτσι ώστε η συνάρτηση f(x) να έχει περίοδο 2π σε σχέση με το u. Αν u=2πx/L, τότε x=-L/2 για u=-π και x=L/2 για u=π. Έστω επίσης f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Η σειρά Fourier F(u) έχει τη μορφή

(Τα όρια ολοκλήρωσης μπορούν να αντικατασταθούν από οποιοδήποτε διάστημα μήκους L, για παράδειγμα, από 0 έως L)

Σειρά Fourier σε μισό κύκλο για συναρτήσεις που καθορίζονται στο διάστημα L≠2π.

Για την αντικατάσταση u=πх/L, το διάστημα από x=0 έως x=L αντιστοιχεί στο διάστημα από u=0 έως u=π. Κατά συνέπεια, η συνάρτηση μπορεί να επεκταθεί σε σειρά μόνο σε συνημίτονα ή μόνο σε ημίτονο, δηλ. σε μια σειρά Fourier στο μισό κύκλο.

Η διαστολή συνημιτόνου στην περιοχή από 0 έως L έχει τη μορφή

Σειρά περιοδικών συναρτήσεων Fourier με περίοδο 2π.

Η σειρά Fourier μας επιτρέπει να μελετήσουμε περιοδικές συναρτήσεις αποσυνθέτοντάς τις σε συνιστώσες. Τα εναλλασσόμενα ρεύματα και τάσεις, οι μετατοπίσεις, η ταχύτητα και η επιτάχυνση των μηχανισμών στροφάλου και τα ακουστικά κύματα είναι τυπικά πρακτικά παραδείγματα χρήσης περιοδικών συναρτήσεων στους μηχανικούς υπολογισμούς.

Η επέκταση της σειράς Fourier βασίζεται στην υπόθεση ότι όλες οι συναρτήσεις πρακτικής σημασίας στο διάστημα -π ≤x≤ π μπορούν να εκφραστούν με τη μορφή συγκλίνουσας τριγωνομετρικής σειράς (μια σειρά θεωρείται συγκλίνουσα εάν η ακολουθία μερικών αθροισμάτων που αποτελείται από τους όρους της συγκλίνει):

Τυπική (=συνήθης) σημειογραφία μέσω του αθροίσματος των sinx και cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

όπου a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. είναι πραγματικές σταθερές, δηλ.

Όπου, για το εύρος από -π έως π, οι συντελεστές της σειράς Fourier υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τους τύπους:

Οι συντελεστές a o , a n και b n ονομάζονται συντελεστές Fourier και αν μπορούν να βρεθούν, τότε η σειρά (1) ονομάζεται σειρά Fourier που αντιστοιχεί στη συνάρτηση f (x). Για τη σειρά (1), ο όρος (a 1 cosx+b 1 sinx) ονομάζεται πρώτη ή θεμελιώδης αρμονική,

Ένας άλλος τρόπος για να γράψετε μια σειρά είναι να χρησιμοποιήσετε τη σχέση acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Όπου a o είναι σταθερά, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 είναι τα πλάτη των διαφόρων συνιστωσών και ισούται με a n =arctg a n /b n.

Για τη σειρά (1), ο όρος (a 1 cosx+b 1 sinx) ή c 1 sin(x+a 1) ονομάζεται πρώτη ή θεμελιώδης αρμονική, (a 2 cos2x+b 2 sin2x) ή c 2 sin(2x +α 2) ονομάζεται η δεύτερη αρμονική κ.ο.κ.

Για την ακριβή αναπαράσταση ενός σύνθετου σήματος απαιτείται συνήθως ένας άπειρος αριθμός όρων. Ωστόσο, σε πολλά πρακτικά προβλήματα αρκεί να ληφθούν υπόψη μόνο οι πρώτοι όροι.

Σειρά Fourier μη περιοδικών συναρτήσεων με περίοδο 2π.

Επέκταση μη περιοδικών συναρτήσεων.

Εάν η συνάρτηση f(x) είναι μη περιοδική, σημαίνει ότι δεν μπορεί να επεκταθεί σε μια σειρά Fourier για όλες τις τιμές του x. Ωστόσο, είναι δυνατό να οριστεί μια σειρά Fourier που αντιπροσωπεύει μια συνάρτηση σε οποιοδήποτε εύρος πλάτους 2π.

Με δεδομένη μια μη περιοδική συνάρτηση, μια νέα συνάρτηση μπορεί να κατασκευαστεί επιλέγοντας τιμές του f(x) μέσα σε ένα συγκεκριμένο εύρος και επαναλαμβάνοντας τες εκτός αυτού του εύρους σε διαστήματα 2π. Δεδομένου ότι η νέα συνάρτηση είναι περιοδική με περίοδο 2π, μπορεί να επεκταθεί σε μια σειρά Fourier για όλες τις τιμές του x. Για παράδειγμα, η συνάρτηση f(x)=x δεν είναι περιοδική. Ωστόσο, εάν είναι απαραίτητο να επεκταθεί σε μια σειρά Fourier στο διάστημα από το ο έως το 2π, τότε έξω από αυτό το διάστημα κατασκευάζεται μια περιοδική συνάρτηση με περίοδο 2π (όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα).

Για μη περιοδικές συναρτήσεις όπως f(x)=x, το άθροισμα της σειράς Fourier είναι ίσο με την τιμή της f(x) σε όλα τα σημεία μιας δεδομένης περιοχής, αλλά δεν είναι ίσο με f(x) για σημεία εκτός του εύρους. Για την εύρεση της σειράς Fourier μιας μη περιοδικής συνάρτησης στην περιοχή 2π, χρησιμοποιείται ο ίδιος τύπος συντελεστών Fourier.

άρτιες και περιττές συναρτήσεις.

Λένε ότι μια συνάρτηση y=f(x) είναι έστω και αν f(-x)=f(x) για όλες τις τιμές του x. Τα γραφήματα των ζυγών συναρτήσεων είναι πάντα συμμετρικά ως προς τον άξονα y (δηλαδή είναι κατοπτρικές εικόνες). Δύο παραδείγματα άρτιων συναρτήσεων: y=x2 και y=cosx.

Μια συνάρτηση y=f(x) λέγεται περιττή αν f(-x)=-f(x) για όλες τις τιμές του x. Οι γραφικές παραστάσεις των περιττών συναρτήσεων είναι πάντα συμμετρικές ως προς την προέλευση.

Πολλές συναρτήσεις δεν είναι ούτε ζυγές ούτε περιττές.

Επέκταση σειράς Fourier σε συνημίτονα.

Η σειρά Fourier μιας άρτιας περιοδικής συνάρτησης f(x) με περίοδο 2π περιέχει μόνο συνημιτονοειδείς όρους (δηλαδή, κανένα ημιτονικό) και μπορεί να περιλαμβάνει έναν σταθερό όρο. Ως εκ τούτου,

πού είναι οι συντελεστές της σειράς Fourier,

Η σειρά Fourier μιας περιττής περιοδικής συνάρτησης f(x) με περίοδο 2π περιέχει μόνο όρους με ημίτονο (δηλαδή δεν περιέχει όρους με συνημίτονα).

Ως εκ τούτου,

πού είναι οι συντελεστές της σειράς Fourier,

Σειρά Fourier στο μισό κύκλο.

Εάν μια συνάρτηση ορίζεται για μια περιοχή, ας πούμε από το 0 έως το π, και όχι μόνο από το 0 έως το 2π, μπορεί να επεκταθεί σε μια σειρά μόνο σε ημίτονο ή μόνο σε συνημίτονα. Η σειρά Fourier που προκύπτει ονομάζεται σειρά Fourier μισού κύκλου.

Εάν θέλετε να αποκτήσετε μια επέκταση μισού κύκλου Fourier των συνημιτόνων της συνάρτησης f(x) στην περιοχή από 0 έως π, τότε πρέπει να κατασκευάσετε μια άρτια περιοδική συνάρτηση. Στο Σχ. Παρακάτω είναι η συνάρτηση f(x)=x, που βασίζεται στο διάστημα από x=0 έως x=π. Εφόσον η άρτια συνάρτηση είναι συμμετρική ως προς τον άξονα f(x), σχεδιάζουμε την ευθεία ΑΒ, όπως φαίνεται στο Σχ. παρακάτω. Αν υποθέσουμε ότι έξω από το εξεταζόμενο διάστημα το τριγωνικό σχήμα που προκύπτει είναι περιοδικό με περίοδο 2π, τότε το τελικό γράφημα μοιάζει με αυτό: στο Σχ. παρακάτω. Εφόσον πρέπει να λάβουμε την επέκταση Fourier σε συνημίτονα, όπως και πριν, υπολογίζουμε τους συντελεστές Fourier a o και a n

Εάν θέλετε να λάβετε μια επέκταση Fourier μισού κύκλου ως προς τα ημιτόνια της συνάρτησης f(x) στην περιοχή από 0 έως π, τότε πρέπει να κατασκευάσετε μια περιττή περιοδική συνάρτηση. Στο Σχ. Παρακάτω είναι η συνάρτηση f(x)=x, που βασίζεται στο διάστημα από x=0 έως x=π. Δεδομένου ότι η περιττή συνάρτηση είναι συμμετρική ως προς την αρχή, κατασκευάζουμε τη γραμμή CD, όπως φαίνεται στο Σχ. Αν υποθέσουμε ότι εκτός του εξεταζόμενου διαστήματος το προκύπτον σήμα πριονωτή είναι περιοδικό με περίοδο 2π, τότε το τελικό γράφημα έχει τη μορφή που φαίνεται στο Σχ. Δεδομένου ότι πρέπει να λάβουμε την επέκταση Fourier του μισού κύκλου ως προς τα ημιτόνια, όπως και πριν, υπολογίζουμε τον συντελεστή Fourier. σι

Σειρά Fourier για αυθαίρετο διάστημα.

Επέκταση μιας περιοδικής συνάρτησης με περίοδο L.

Η περιοδική συνάρτηση f(x) επαναλαμβάνεται καθώς το x αυξάνεται κατά L, δηλ. f(x+L)=f(x). Η μετάβαση από τις προηγούμενες συναρτήσεις με περίοδο 2π σε συναρτήσεις με περίοδο L είναι αρκετά απλή, αφού μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας μια αλλαγή μεταβλητής.

Για να βρούμε τη σειρά Fourier της συνάρτησης f(x) στην περιοχή -L/2≤x≤L/2, εισάγουμε μια νέα μεταβλητή u έτσι ώστε η συνάρτηση f(x) να έχει περίοδο 2π σε σχέση με το u. Αν u=2πx/L, τότε x=-L/2 για u=-π και x=L/2 για u=π. Έστω επίσης f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Η σειρά Fourier F(u) έχει τη μορφή

(Τα όρια ολοκλήρωσης μπορούν να αντικατασταθούν από οποιοδήποτε διάστημα μήκους L, για παράδειγμα, από 0 έως L)

Σειρά Fourier σε μισό κύκλο για συναρτήσεις που καθορίζονται στο διάστημα L≠2π.

Για την αντικατάσταση u=πх/L, το διάστημα από x=0 έως x=L αντιστοιχεί στο διάστημα από u=0 έως u=π. Κατά συνέπεια, η συνάρτηση μπορεί να επεκταθεί σε σειρά μόνο σε συνημίτονα ή μόνο σε ημίτονο, δηλ. σε μια σειρά Fourier στο μισό κύκλο.

Η διαστολή συνημιτόνου στην περιοχή από 0 έως L έχει τη μορφή