Επίλυση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων με χρήση διακρίνουσας. Εύρεση του διαχωριστικού, τύπος, σύγκριση με το μηδέν

Τα προβλήματα τετραγωνικών εξισώσεων μελετώνται τόσο στο σχολικό πρόγραμμα όσο και στα πανεπιστήμια. Σημαίνουν εξισώσεις της μορφής a*x^2 + b*x + c = 0, όπου Χ-μεταβλητή, a, b, c – σταθερές. ένα<>0 . Το καθήκον είναι να βρούμε τις ρίζες της εξίσωσης.

Γεωμετρική έννοια τετραγωνικής εξίσωσης

Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης που παριστάνεται με μια τετραγωνική εξίσωση είναι παραβολή. Οι λύσεις (ρίζες) μιας τετραγωνικής εξίσωσης είναι τα σημεία τομής της παραβολής με τον άξονα της τετμημένης (x). Από αυτό προκύπτει ότι υπάρχουν τρεις πιθανές περιπτώσεις:
1) η παραβολή δεν έχει σημεία τομής με τον άξονα της τετμημένης. Αυτό σημαίνει ότι βρίσκεται στο πάνω επίπεδο με κλαδιά προς τα πάνω ή στο κάτω μέρος με κλαδιά προς τα κάτω. Σε τέτοιες περιπτώσεις, η τετραγωνική εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες (έχει δύο μιγαδικές ρίζες).

2) η παραβολή έχει ένα σημείο τομής με τον άξονα Ox. Ένα τέτοιο σημείο ονομάζεται κορυφή της παραβολής και η τετραγωνική εξίσωση σε αυτήν αποκτά την ελάχιστη ή τη μέγιστη τιμή της. Σε αυτή την περίπτωση, η τετραγωνική εξίσωση έχει μία πραγματική ρίζα (ή δύο ίδιες ρίζες).

3) Η τελευταία περίπτωση είναι πιο ενδιαφέρουσα στην πράξη - υπάρχουν δύο σημεία τομής της παραβολής με τον άξονα της τετμημένης. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν δύο πραγματικές ρίζες της εξίσωσης.

Με βάση την ανάλυση των συντελεστών των δυνάμεων των μεταβλητών, μπορούν να εξαχθούν ενδιαφέροντα συμπεράσματα για την τοποθέτηση της παραβολής.

1) Αν ο συντελεστής α είναι μεγαλύτερος από μηδέν, τότε οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω, αν είναι αρνητικός, οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα κάτω.

2) Αν ο συντελεστής b είναι μεγαλύτερος από το μηδέν, τότε η κορυφή της παραβολής βρίσκεται στο αριστερό ημιεπίπεδο, αν παίρνει αρνητική τιμή, τότε στο δεξί.

Παραγωγή του τύπου επίλυσης δευτεροβάθμιας εξίσωσης

Ας μεταφέρουμε τη σταθερά από την τετραγωνική εξίσωση

για το πρόσημο ίσου, παίρνουμε την έκφραση

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές με 4α

Για να πάρετε ένα πλήρες τετράγωνο στα αριστερά, προσθέστε b^2 και στις δύο πλευρές και πραγματοποιήστε τον μετασχηματισμό

Από εδώ βρίσκουμε

Τύπος για τη διάκριση και τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης

Το διαχωριστικό είναι η τιμή της ριζικής έκφρασης. Εάν είναι θετική, τότε η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες, που υπολογίζονται με τον τύπο Όταν η διάκριση είναι μηδέν, η δευτεροβάθμια εξίσωση έχει μία λύση (δύο συμπίπτουσες ρίζες), η οποία μπορεί εύκολα να ληφθεί από τον παραπάνω τύπο για D=0. Όταν η διάκριση είναι αρνητική, η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες. Ωστόσο, οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης βρίσκονται στο μιγαδικό επίπεδο και η τιμή τους υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο

Το θεώρημα του Βιέτα

Ας εξετάσουμε δύο ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης και ας κατασκευάσουμε μια τετραγωνική εξίσωση με βάση τους.Το ίδιο το θεώρημα του Vieta προκύπτει εύκολα από τη σημειογραφία: αν έχουμε μια τετραγωνική εξίσωση της μορφής τότε το άθροισμα των ριζών του είναι ίσο με τον συντελεστή p που λαμβάνεται με το αντίθετο πρόσημο, και το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο q. Η τυπική αναπαράσταση των παραπάνω θα μοιάζει με αυτό.

Πρόγραμμα τετραγωνικών εξισώσεων Factoring

Αφήστε την εργασία να οριστεί: παράγετε μια τετραγωνική εξίσωση. Για να γίνει αυτό, λύνουμε πρώτα την εξίσωση (βρίσκουμε τις ρίζες). Στη συνέχεια, αντικαθιστούμε τις ρίζες που βρέθηκαν στον τύπο επέκτασης για την τετραγωνική εξίσωση. Αυτό θα λύσει το πρόβλημα.

Προβλήματα τετραγωνικών εξισώσεων

Εργασία 1. Βρείτε τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης

x^2-26x+120=0 .

Λύση: Γράψτε τους συντελεστές και αντικαταστήστε τους στον τύπο διάκρισης

Η ρίζα αυτής της τιμής είναι 14, είναι εύκολο να το βρείτε με μια αριθμομηχανή ή να το θυμηθείτε με συχνή χρήση, ωστόσο, για ευκολία, στο τέλος του άρθρου θα σας δώσω μια λίστα με τετράγωνα αριθμών που συχνά συναντώνται σε τέτοια προβλήματα.
Αντικαθιστούμε την τιμή που βρέθηκε στον τύπο ρίζας

και παίρνουμε

Εργασία 2. Λύστε την εξίσωση

2x 2 +x-3=0.

Λύση: Έχουμε μια πλήρη τετραγωνική εξίσωση, γράφουμε τους συντελεστές και βρίσκουμε τη διάκριση

Χρησιμοποιώντας γνωστούς τύπους βρίσκουμε τις ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης

Εργασία 3. Λύστε την εξίσωση

9x 2 -12x+4=0.

Λύση: Έχουμε μια πλήρη τετραγωνική εξίσωση. Προσδιορισμός της διάκρισης

Έχουμε μια περίπτωση όπου οι ρίζες συμπίπτουν. Βρείτε τις τιμές των ριζών χρησιμοποιώντας τον τύπο

Εργασία 4. Λύστε την εξίσωση

x^2+x-6=0 .

Λύση: Σε περιπτώσεις όπου υπάρχουν μικροί συντελεστές για το x, καλό είναι να εφαρμοστεί το θεώρημα του Vieta. Από την κατάστασή του παίρνουμε δύο εξισώσεις

Από τη δεύτερη συνθήκη βρίσκουμε ότι το γινόμενο πρέπει να είναι ίσο με -6. Αυτό σημαίνει ότι μία από τις ρίζες είναι αρνητική. Έχουμε το παρακάτω πιθανό ζεύγος λύσεων (-3;2), (3;-2) . Λαμβάνοντας υπόψη την πρώτη συνθήκη, απορρίπτουμε το δεύτερο ζεύγος λύσεων.
Οι ρίζες της εξίσωσης είναι ίσες

Πρόβλημα 5. Να βρείτε τα μήκη των πλευρών ενός παραλληλογράμμου αν η περίμετρός του είναι 18 cm και το εμβαδόν του είναι 77 cm 2.

Λύση: Η μισή περίμετρος ενός ορθογωνίου είναι ίση με το άθροισμα των διπλανών πλευρών του. Ας συμβολίσουμε το x ως τη μεγαλύτερη πλευρά, τότε το 18-x είναι η μικρότερη πλευρά του. Το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι ίσο με το γινόμενο αυτών των μηκών:
x(18-x)=77;
ή
x 2 -18x+77=0.
Ας βρούμε τη διάκριση της εξίσωσης

Υπολογισμός των ριζών της εξίσωσης

Αν x=11,Οτι 18 = 7,ισχύει και το αντίθετο (αν x=7, τότε 21's=9).

Πρόβλημα 6. Υπολογίστε την τετραγωνική εξίσωση 10x 2 -11x+3=0.

Λύση: Ας υπολογίσουμε τις ρίζες της εξίσωσης, για να το κάνουμε αυτό βρίσκουμε το διαχωριστικό

Αντικαθιστούμε την τιμή που βρέθηκε στον ριζικό τύπο και υπολογίζουμε

Εφαρμόζουμε τον τύπο για την αποσύνθεση μιας τετραγωνικής εξίσωσης κατά ρίζες

Ανοίγοντας τις αγκύλες παίρνουμε μια ταυτότητα.

Τετραγωνική εξίσωση με παράμετρο

Παράδειγμα 1. Σε ποιες τιμές παραμέτρων ΕΝΑ ,η εξίσωση (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 έχει μία ρίζα;

Λύση: Με άμεση αντικατάσταση της τιμής a=3 βλέπουμε ότι δεν έχει λύση. Στη συνέχεια, θα χρησιμοποιήσουμε το γεγονός ότι με μηδενική διάκριση η εξίσωση έχει μία ρίζα πολλαπλότητας 2. Ας γράψουμε τη διάκριση

Ας το απλοποιήσουμε και ας το εξισώσουμε με το μηδέν

Έχουμε λάβει μια τετραγωνική εξίσωση ως προς την παράμετρο a, η λύση της οποίας μπορεί να ληφθεί εύκολα χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta. Το άθροισμα των ριζών είναι 7 και το γινόμενο τους είναι 12. Με απλή αναζήτηση διαπιστώνουμε ότι οι αριθμοί 3,4 θα είναι οι ρίζες της εξίσωσης. Εφόσον έχουμε ήδη απορρίψει τη λύση a=3 στην αρχή των υπολογισμών, η μόνη σωστή θα είναι - a=4.Έτσι, για a=4 η εξίσωση έχει μία ρίζα.

Παράδειγμα 2. Σε ποιες τιμές παραμέτρων ΕΝΑ ,την εξίσωση a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0έχει περισσότερες από μία ρίζες;

Λύση: Ας εξετάσουμε πρώτα τα μοναδικά σημεία, θα είναι οι τιμές a=0 και a=-3. Όταν a=0, η εξίσωση θα απλοποιηθεί στη μορφή 6x-9=0. x=3/2 και θα υπάρχει μία ρίζα. Για a= -3 λαμβάνουμε την ταυτότητα 0=0.
Ας υπολογίσουμε τη διάκριση

και βρείτε την τιμή του a στην οποία είναι θετική

Από την πρώτη συνθήκη παίρνουμε a>3. Για το δεύτερο, βρίσκουμε τη διάκριση και τις ρίζες της εξίσωσης

Ας προσδιορίσουμε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση παίρνει θετικές τιμές. Αντικαθιστώντας το σημείο a=0 παίρνουμε 3>0 . Έτσι, εκτός του διαστήματος (-3;1/3) η συνάρτηση είναι αρνητική. Μην ξεχνάτε την ουσία a=0,το οποίο θα πρέπει να εξαιρεθεί επειδή η αρχική εξίσωση έχει μία ρίζα σε αυτήν.
Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε δύο διαστήματα που ικανοποιούν τις συνθήκες του προβλήματος

Θα υπάρχουν πολλές παρόμοιες εργασίες στην πράξη, προσπαθήστε να καταλάβετε μόνοι σας τις εργασίες και μην ξεχάσετε να λάβετε υπόψη τις συνθήκες που αλληλοαποκλείονται. Μελετήστε καλά τους τύπους για την επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων· συχνά χρειάζονται σε υπολογισμούς σε διάφορα προβλήματα και επιστήμες.

Τετραγωνικές εξισώσεις. Διακριτικός. Λύση, παραδείγματα.

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικά στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους είναι πολύ "όχι πολύ..."
Και για όσους «πολύ…»)

Τύποι τετραγωνικών εξισώσεων

Τι είναι μια τετραγωνική εξίσωση; Πως μοιάζει? Σε θητεία τετραγωνική εξίσωσηη λέξη κλειδί είναι "τετράγωνο".Αυτό σημαίνει ότι στην εξίσωση Αναγκαίωςπρέπει να υπάρχει ένα x τετράγωνο. Επιπλέον, η εξίσωση μπορεί (ή μπορεί και όχι!) να περιέχει μόνο Χ (στην πρώτη δύναμη) και μόνο έναν αριθμό (ελεύθερο μέλος).Και δεν πρέπει να υπάρχουν Χ σε ισχύ μεγαλύτερη από δύο.

Σε μαθηματικούς όρους, μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής:

Εδώ α, β και γ- κάποιοι αριθμοί. β και γ- απολύτως οποιαδήποτε, αλλά ΕΝΑ– οτιδήποτε άλλο εκτός από το μηδέν. Για παράδειγμα:

Εδώ ΕΝΑ =1; σι = 3; ντο = -4

Εδώ ΕΝΑ =2; σι = -0,5; ντο = 2,2

Εδώ ΕΝΑ =-3; σι = 6; ντο = -18

Λοιπόν, καταλαβαίνεις...

Σε αυτές τις τετραγωνικές εξισώσεις στα αριστερά υπάρχει πλήρες σετμέλη. X σε τετράγωνο με συντελεστή ΕΝΑ, x στην πρώτη δύναμη με συντελεστή σιΚαι ελεύθερο μέλος s.

Τέτοιες τετραγωνικές εξισώσεις ονομάζονται γεμάτος.

Κι αν σι= 0, τι παίρνουμε; Εχουμε Το Χ θα χαθεί στην πρώτη δύναμη.Αυτό συμβαίνει όταν πολλαπλασιάζεται με το μηδέν.) Αποδεικνύεται, για παράδειγμα:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Και ούτω καθεξής. Και αν και οι δύο συντελεστές σιΚαι ντοείναι ίσα με μηδέν, τότε είναι ακόμα πιο απλό:

2x 2 =0,

-0,3x 2 =0

Τέτοιες εξισώσεις όπου κάτι λείπει ονομάζονται ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις.Κάτι που είναι αρκετά λογικό.) Σημειώστε ότι το x τετράγωνο υπάρχει σε όλες τις εξισώσεις.

Με την ευκαιρία, γιατί ΕΝΑδεν μπορεί να είναι ίσο με μηδέν; Και αντικαθιστάς ΕΝΑμηδέν.) Το τετράγωνο του Χ θα εξαφανιστεί! Η εξίσωση θα γίνει γραμμική. Και η λύση είναι τελείως διαφορετική...

Αυτοί είναι όλοι οι κύριοι τύποι τετραγωνικών εξισώσεων. Πλήρης και ελλιπής.

Επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων.

Επίλυση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων.

Οι τετραγωνικές εξισώσεις είναι εύκολο να λυθούν. Σύμφωνα με τύπους και σαφείς, απλούς κανόνες. Στο πρώτο στάδιο, είναι απαραίτητο να φέρετε τη δεδομένη εξίσωση σε μια τυπική μορφή, δηλ. στη φόρμα:

Εάν η εξίσωση σας έχει ήδη δοθεί σε αυτήν τη μορφή, δεν χρειάζεται να κάνετε το πρώτο στάδιο.) Το κύριο πράγμα είναι να προσδιορίσετε σωστά όλους τους συντελεστές, ΕΝΑ, σιΚαι ντο.

Ο τύπος για την εύρεση των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης μοιάζει με αυτό:

Η έκφραση κάτω από το σύμβολο της ρίζας ονομάζεται διακριτική. Περισσότερα για αυτόν όμως παρακάτω. Όπως μπορείτε να δείτε, για να βρούμε το X, χρησιμοποιούμε μόνο α, β και γ. Εκείνοι. συντελεστές από μια τετραγωνική εξίσωση. Απλώς αντικαταστήστε προσεκτικά τις τιμές α, β και γΥπολογίζουμε σε αυτόν τον τύπο. Ας αντικαταστήσουμε με τα δικά σου σημάδια! Για παράδειγμα, στην εξίσωση:

ΕΝΑ =1; σι = 3; ντο= -4. Εδώ το γράφουμε:

Το παράδειγμα έχει σχεδόν λυθεί:

Αυτή είναι η απάντηση.

Όλα είναι πολύ απλά. Και τι, πιστεύεις ότι είναι αδύνατο να κάνεις λάθος; Λοιπόν, ναι, πώς…

Τα πιο συνηθισμένα λάθη είναι η σύγχυση με τις τιμές πρόσημου α, β και γ. Ή μάλλον, όχι με τα σημάδια τους (πού να μπερδευτείτε;), αλλά με την αντικατάσταση αρνητικών τιμών στον τύπο υπολογισμού των ριζών. Αυτό που βοηθά εδώ είναι μια λεπτομερής καταγραφή του τύπου με συγκεκριμένους αριθμούς. Εάν υπάρχουν προβλήματα με τους υπολογισμούς, Κάνε αυτό!

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να λύσουμε το ακόλουθο παράδειγμα:

Εδώ ένα = -6; σι = -5; ντο = -1

Ας πούμε ότι γνωρίζετε ότι σπάνια λαμβάνετε απαντήσεις την πρώτη φορά.

Λοιπόν, μην είσαι τεμπέλης. Θα χρειαστούν περίπου 30 δευτερόλεπτα για να γράψετε μια επιπλέον γραμμή και τον αριθμό των σφαλμάτων θα μειωθεί απότομα. Γράφουμε λοιπόν αναλυτικά, με όλες τις αγκύλες και τα σημάδια:

Φαίνεται απίστευτα δύσκολο να γράψεις τόσο προσεκτικά. Αλλά μόνο έτσι φαίνεται. Δοκίμασε το. Λοιπόν, ή επιλέξτε. Τι καλύτερο, γρήγορο ή σωστό; Άλλωστε θα σε κάνω χαρούμενο. Μετά από λίγο, δεν θα χρειαστεί να γράψετε τα πάντα τόσο προσεκτικά. Θα λειτουργήσει σωστά από μόνο του. Ειδικά αν χρησιμοποιείτε πρακτικές τεχνικές που περιγράφονται παρακάτω. Αυτό το κακό παράδειγμα με ένα σωρό μειονεκτήματα μπορεί να λυθεί εύκολα και χωρίς λάθη!

Αλλά, συχνά, οι τετραγωνικές εξισώσεις φαίνονται ελαφρώς διαφορετικές. Για παράδειγμα, όπως αυτό:

Το αναγνωρίσατε;) Ναι! Αυτό ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις.

Επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων.

Μπορούν επίσης να λυθούν χρησιμοποιώντας έναν γενικό τύπο. Απλά πρέπει να καταλάβετε σωστά τι ισούνται εδώ. α, β και γ.

Το έχεις καταλάβει; Στο πρώτο παράδειγμα a = 1; b = -4;ΕΝΑ ντο? Δεν είναι καθόλου εκεί! Λοιπόν ναι, έτσι είναι. Στα μαθηματικά αυτό σημαίνει ότι c = 0 ! Αυτό είναι όλο. Αντικαταστήστε το μηδέν στον τύπο ντο,και θα τα καταφέρουμε. Το ίδιο και το δεύτερο παράδειγμα. Μόνο που δεν έχουμε μηδέν εδώ Με, ΕΝΑ σι !

Αλλά οι ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις μπορούν να λυθούν πολύ πιο απλά. Χωρίς καμία φόρμουλα. Ας εξετάσουμε την πρώτη ημιτελή εξίσωση. Τι μπορείτε να κάνετε στην αριστερή πλευρά; Μπορείτε να βγάλετε το Χ από αγκύλες! Ας το βγάλουμε.

Και τι από αυτό; Και το γεγονός ότι το γινόμενο ισούται με μηδέν αν και μόνο αν κάποιος από τους παράγοντες ισούται με μηδέν! Δεν με πιστεύεις; Εντάξει, τότε καταλήξτε σε δύο μη μηδενικούς αριθμούς που, όταν πολλαπλασιαστούν, θα δίνουν μηδέν!
Δεν δουλεύει? Αυτό είναι...
Επομένως, μπορούμε να γράψουμε με σιγουριά: x 1 = 0, x 2 = 4.

Ολα. Αυτές θα είναι οι ρίζες της εξίσωσής μας. Και τα δύο είναι κατάλληλα. Όταν αντικαθιστούμε οποιοδήποτε από αυτά στην αρχική εξίσωση, παίρνουμε τη σωστή ταυτότητα 0 = 0. Όπως μπορείτε να δείτε, η λύση είναι πολύ πιο απλή από τη χρήση του γενικού τύπου. Επιτρέψτε μου να σημειώσω, παρεμπιπτόντως, ποιο Χ θα είναι το πρώτο και ποιο το δεύτερο - απολύτως αδιάφορο. Είναι βολικό να γράφεις με τη σειρά, x 1- τι είναι μικρότερο και x 2- αυτό που είναι μεγαλύτερο.

Η δεύτερη εξίσωση μπορεί επίσης να λυθεί απλά. Μετακινήστε το 9 στη δεξιά πλευρά. Παίρνουμε:

Το μόνο που μένει είναι να εξαγάγετε τη ρίζα από το 9, και αυτό είναι. Θα αποδειχθεί:

Επίσης δύο ρίζες . x 1 = -3, x 2 = 3.

Έτσι λύνονται όλες οι ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις. Είτε τοποθετώντας το Χ εκτός αγκύλων, είτε απλώς μετακινώντας τον αριθμό προς τα δεξιά και στη συνέχεια εξάγοντας τη ρίζα.
Είναι εξαιρετικά δύσκολο να συγχέουμε αυτές τις τεχνικές. Απλά γιατί στην πρώτη περίπτωση θα πρέπει να εξαγάγετε τη ρίζα του Χ, η οποία είναι κάπως ακατανόητη, και στη δεύτερη περίπτωση δεν υπάρχει τίποτα να βγάλετε από αγκύλες...

Διακριτικός. Διακριτική φόρμουλα.

Μαγική λέξη διακριτική ! Σπάνια μαθητής Λυκείου δεν έχει ακούσει αυτή τη λέξη! Η φράση «λύνουμε μέσω ενός διακριτικού» εμπνέει εμπιστοσύνη και σιγουριά. Γιατί δεν χρειάζεται να περιμένεις κόλπα από τον διακρίνοντα! Είναι απλό και χωρίς προβλήματα στη χρήση.) Σας υπενθυμίζω τον πιο γενικό τύπο επίλυσης όποιοςτετραγωνικές εξισώσεις:

Η έκφραση κάτω από το σύμβολο της ρίζας ονομάζεται διάκριση. Συνήθως η διάκριση υποδηλώνεται με το γράμμα ρε. Διακριτικός τύπος:

D = b 2 - 4ac

Και τι είναι τόσο αξιοσημείωτο σε αυτή την έκφραση; Γιατί άξιζε ένα ιδιαίτερο όνομα; Τι η έννοια του διακρινόμενου;Παρά όλα αυτά -σι,ή 2ασε αυτόν τον τύπο δεν το αποκαλούν συγκεκριμένα τίποτα... Γράμματα και γράμματα.

Εδώ είναι το θέμα. Κατά την επίλυση μιας τετραγωνικής εξίσωσης χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, είναι δυνατό μόνο τρεις περιπτώσεις.

1. Η διάκριση είναι θετική.Αυτό σημαίνει ότι η ρίζα μπορεί να εξαχθεί από αυτό. Το αν η ρίζα εξάγεται καλά ή κακώς είναι ένα άλλο ερώτημα. Σημασία έχει τι εξάγεται καταρχήν. Τότε η τετραγωνική εξίσωσή σας έχει δύο ρίζες. Δύο διαφορετικές λύσεις.

2. Η διάκριση είναι μηδέν.Τότε θα έχετε μία λύση. Αφού η πρόσθεση ή η αφαίρεση του μηδενός στον αριθμητή δεν αλλάζει τίποτα. Αυστηρά μιλώντας, αυτό δεν είναι μια ρίζα, αλλά δύο πανομοιότυπα. Αλλά, σε μια απλοποιημένη έκδοση, συνηθίζεται να μιλάμε μια λύση.

3. Η διάκριση είναι αρνητική.Η τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού δεν μπορεί να ληφθεί. Καλά εντάξει. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχουν λύσεις.

Για να είμαστε ειλικρινείς, όταν λύνουμε απλώς δευτεροβάθμιες εξισώσεις, η έννοια του διαχωριστή δεν χρειάζεται πραγματικά. Αντικαθιστούμε τις τιμές των συντελεστών στον τύπο και μετράμε. Όλα γίνονται εκεί από μόνα τους, δύο ρίζες, μία και καμία. Ωστόσο, κατά την επίλυση πιο σύνθετων εργασιών, χωρίς γνώση νόημα και τύπος της διάκρισηςόχι αρκετά. Ειδικά σε εξισώσεις με παραμέτρους. Τέτοιες εξισώσεις είναι ακροβατικές για την Κρατική Εξέταση και την Ενιαία Κρατική Εξέταση!)

Ετσι, πώς να λύσετε τετραγωνικές εξισώσειςμέσα από τη διάκριση που θυμήθηκες. Ή έμαθες, που επίσης δεν είναι κακό.) Ξέρεις πώς να προσδιορίζεις σωστά α, β και γ. Ξέρεις πως? προσεχτικάαντικαταστήστε τα στον τύπο της ρίζας και προσεχτικάμετρήστε το αποτέλεσμα. Καταλαβαίνετε ότι η λέξη κλειδί εδώ είναι προσεχτικά?

Τώρα σημειώστε τις πρακτικές τεχνικές που μειώνουν δραματικά τον αριθμό των σφαλμάτων. Τα ίδια που οφείλονται στην απροσεξία... Για τα οποία αργότερα γίνεται επώδυνο και προσβλητικό...

Πρώτο ραντεβού . Μην είστε τεμπέλης πριν λύσετε μια εξίσωση του δευτεροβάθμιου βαθμού και φέρτε την σε τυπική μορφή. Τι σημαίνει αυτό?
Ας πούμε ότι μετά από όλους τους μετασχηματισμούς παίρνετε την ακόλουθη εξίσωση:

Μην βιαστείτε να γράψετε τον τύπο root! Σχεδόν σίγουρα θα μπερδέψετε τις πιθανότητες α, β και γ.Κατασκευάστε σωστά το παράδειγμα. Πρώτα, X τετράγωνο, μετά χωρίς τετράγωνο, μετά ο ελεύθερος όρος. Σαν αυτό:

Και πάλι, μην βιάζεστε! Ένα μείον μπροστά από ένα Χ στο τετράγωνο μπορεί πραγματικά να σας αναστατώσει. Ξεχνιέται εύκολα... Ξεφορτωθείτε το μείον. Πως? Ναι, όπως διδάχτηκε στο προηγούμενο θέμα! Πρέπει να πολλαπλασιάσουμε ολόκληρη την εξίσωση με -1. Παίρνουμε:

Αλλά τώρα μπορείτε να γράψετε με ασφάλεια τον τύπο για τις ρίζες, να υπολογίσετε τη διάκριση και να ολοκληρώσετε την επίλυση του παραδείγματος. Αποφασίστε μόνοι σας. Θα πρέπει τώρα να έχετε τις ρίζες 2 και -1.

Υποδοχή δεύτερη. Ελέγξτε τις ρίζες! Σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta. Μη φοβάσαι, θα σου τα εξηγήσω όλα! Ελεγχος το τελευταίο πράγματην εξίσωση. Εκείνοι. αυτόν που χρησιμοποιήσαμε για να σημειώσουμε τον τύπο της ρίζας. Αν (όπως σε αυτό το παράδειγμα) ο συντελεστής α = 1, ο έλεγχος των ριζών είναι εύκολος. Αρκεί να τα πολλαπλασιάσουμε. Το αποτέλεσμα θα πρέπει να είναι ελεύθερο μέλος, δηλ. στην περίπτωσή μας -2. Παρακαλώ σημειώστε, όχι 2, αλλά -2! Δωρεάν μέλος με το ζώδιο σου . Αν δεν τα καταφέρουν, σημαίνει ότι κάπου έχουν ήδη μπλέξει. Ψάξτε για το σφάλμα.

Εάν λειτουργεί, πρέπει να προσθέσετε τις ρίζες. Τελευταίος και τελευταίος έλεγχος. Ο συντελεστής πρέπει να είναι σιΜε απεναντι απο οικείος. Στην περίπτωσή μας -1+2 = +1. Ένας συντελεστής σι, που είναι πριν από το Χ, ισούται με -1. Λοιπόν, όλα είναι σωστά!
Είναι κρίμα που αυτό είναι τόσο απλό μόνο για παραδείγματα όπου το x τετράγωνο είναι καθαρό, με συντελεστή α = 1.Αλλά τουλάχιστον ελέγξτε σε τέτοιες εξισώσεις! Θα υπάρχουν όλο και λιγότερα λάθη.

Τρίτη υποδοχή . Εάν η εξίσωσή σας έχει κλασματικούς συντελεστές, απαλλαγείτε από τα κλάσματα! Πολλαπλασιάστε την εξίσωση με έναν κοινό παρονομαστή όπως περιγράφεται στο μάθημα "Πώς να λύσετε εξισώσεις; Μετασχηματισμοί ταυτότητας". Όταν εργάζεστε με κλάσματα, τα σφάλματα συνεχίζουν να εισχωρούν για κάποιο λόγο...

Παρεμπιπτόντως, υποσχέθηκα να απλοποιήσω το κακό παράδειγμα με ένα σωρό μειονεκτήματα. Σας παρακαλούμε! Να τος.

Για να μην μπερδευτούμε με τα πλην, πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση με -1. Παίρνουμε:

Αυτό είναι όλο! Η επίλυση είναι απόλαυση!

Λοιπόν, ας συνοψίσουμε το θέμα.

Πρακτικές συμβουλές:

1. Πριν λύσουμε, φέρνουμε την τετραγωνική εξίσωση σε τυπική μορφή και την κατασκευάζουμε σωστά.

2. Αν υπάρχει αρνητικός συντελεστής μπροστά από το τετράγωνο του Χ, τον εξαλείφουμε πολλαπλασιάζοντας ολόκληρη την εξίσωση με -1.

3. Αν οι συντελεστές είναι κλασματικοί, εξαλείφουμε τα κλάσματα πολλαπλασιάζοντας ολόκληρη την εξίσωση με τον αντίστοιχο παράγοντα.

4. Εάν το x τετράγωνο είναι καθαρό, ο συντελεστής του είναι ίσος με ένα, η λύση μπορεί εύκολα να επαληθευτεί χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta. Κάνε το!

Τώρα μπορούμε να αποφασίσουμε.)

Λύστε εξισώσεις:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Απαντήσεις (σε αταξία):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x - οποιοσδήποτε αριθμός

x 1 = -3
x 2 = 3

χωρίς λύσεις

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Ταιριάζουν όλα; Εξαιρετική! Οι τετραγωνικές εξισώσεις δεν είναι το θέμα σου πονοκέφαλο. Τα τρία πρώτα λειτούργησαν, αλλά τα υπόλοιπα όχι; Τότε το πρόβλημα δεν είναι με τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις. Το πρόβλημα είναι στους πανομοιότυπους μετασχηματισμούς των εξισώσεων. Ρίξτε μια ματιά στο σύνδεσμο, είναι χρήσιμο.

Δεν δουλεύει αρκετά; Ή δεν βγαίνει καθόλου; Τότε θα σας βοηθήσει η Ενότητα 555. Όλα αυτά τα παραδείγματα αναλύονται εκεί. Απεικονίζεται κύριοςλάθη στη λύση. Φυσικά, μιλάμε και για τη χρήση πανομοιότυπων μετασχηματισμών στην επίλυση διαφόρων εξισώσεων. Βοηθάει πολύ!

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)

Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Στη σύγχρονη κοινωνία, η ικανότητα εκτέλεσης πράξεων με εξισώσεις που περιέχουν μια τετραγωνική μεταβλητή μπορεί να είναι χρήσιμη σε πολλούς τομείς δραστηριότητας και χρησιμοποιείται ευρέως στην πράξη στις επιστημονικές και τεχνικές εξελίξεις. Στοιχεία αυτού μπορούν να βρεθούν στον σχεδιασμό θαλάσσιων και ποταμών σκαφών, αεροσκαφών και πυραύλων. Χρησιμοποιώντας τέτοιους υπολογισμούς, προσδιορίζονται οι τροχιές κίνησης μιας μεγάλης ποικιλίας σωμάτων, συμπεριλαμβανομένων των διαστημικών αντικειμένων. Παραδείγματα με τη λύση τετραγωνικών εξισώσεων χρησιμοποιούνται όχι μόνο στην οικονομική πρόβλεψη, στο σχεδιασμό και την κατασκευή κτιρίων, αλλά και στις πιο συνηθισμένες καθημερινές συνθήκες. Μπορεί να χρειαστούν σε εκδρομές πεζοπορίας, σε αθλητικές εκδηλώσεις, σε καταστήματα κατά την πραγματοποίηση αγορών και σε άλλες πολύ συνηθισμένες καταστάσεις.

Ας χωρίσουμε την έκφραση στους συντελεστές της

Ο βαθμός μιας εξίσωσης καθορίζεται από τη μέγιστη τιμή του βαθμού της μεταβλητής που περιέχει η παράσταση. Αν είναι ίση με 2, τότε μια τέτοια εξίσωση ονομάζεται τετραγωνική.

Εάν μιλάμε στη γλώσσα των τύπων, τότε οι υποδεικνυόμενες εκφράσεις, ανεξάρτητα από το πώς φαίνονται, μπορούν πάντα να φέρουν τη μορφή όταν η αριστερή πλευρά της έκφρασης αποτελείται από τρεις όρους. Μεταξύ αυτών: ax 2 (δηλαδή, μια μεταβλητή στο τετράγωνο με τον συντελεστή της), bx (μια άγνωστη χωρίς τετράγωνο με τον συντελεστή της) και c (ένα ελεύθερο συστατικό, δηλαδή ένας συνηθισμένος αριθμός). Όλα αυτά στη δεξιά πλευρά είναι ίσα με 0. Στην περίπτωση που ένα τέτοιο πολυώνυμο στερείται ενός από τα συστατικά στοιχεία του, με εξαίρεση τον άξονα 2, ονομάζεται ημιτελής τετραγωνική εξίσωση. Παραδείγματα με την επίλυση τέτοιων προβλημάτων, οι τιμές των μεταβλητών στις οποίες είναι εύκολο να βρεθούν, θα πρέπει πρώτα να ληφθούν υπόψη.

Εάν η παράσταση μοιάζει να έχει δύο όρους στη δεξιά πλευρά, πιο συγκεκριμένα ax 2 και bx, ο ευκολότερος τρόπος να βρείτε το x είναι βάζοντας τη μεταβλητή εκτός αγκύλων. Τώρα η εξίσωσή μας θα μοιάζει με αυτό: x(ax+b). Στη συνέχεια, γίνεται προφανές ότι είτε x=0 είτε το πρόβλημα καταλήγει στην εύρεση μιας μεταβλητής από την ακόλουθη παράσταση: ax+b=0. Αυτό υπαγορεύεται από μια από τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού. Ο κανόνας λέει ότι το γινόμενο δύο παραγόντων έχει ως αποτέλεσμα 0 μόνο εάν ένας από αυτούς είναι μηδέν.

Παράδειγμα

x=0 ή 8x - 3 = 0

Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε δύο ρίζες της εξίσωσης: 0 και 0,375.

Εξισώσεις αυτού του είδους μπορούν να περιγράψουν την κίνηση των σωμάτων υπό την επίδραση της βαρύτητας, τα οποία άρχισαν να κινούνται από ένα ορισμένο σημείο που λαμβάνεται ως η αρχή των συντεταγμένων. Εδώ ο μαθηματικός συμβολισμός παίρνει την ακόλουθη μορφή: y = v 0 t + gt 2 /2. Αντικαθιστώντας τις απαραίτητες τιμές, εξισώνοντας τη δεξιά πλευρά με 0 και βρίσκοντας πιθανούς αγνώστους, μπορείτε να μάθετε το χρόνο που περνά από τη στιγμή που το σώμα ανεβαίνει μέχρι τη στιγμή που πέφτει, καθώς και πολλές άλλες ποσότητες. Αλλά θα μιλήσουμε για αυτό αργότερα.

Παραγοντοποίηση μιας έκφρασης

Ο κανόνας που περιγράφεται παραπάνω καθιστά δυνατή την επίλυση αυτών των προβλημάτων σε πιο περίπλοκες περιπτώσεις. Ας δούμε παραδείγματα επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων αυτού του τύπου.

X 2 - 33x + 200 = 0

Αυτό το τετραγωνικό τριώνυμο είναι πλήρες. Αρχικά, ας μεταμορφώσουμε την έκφραση και ας την παραμετροποιήσουμε. Υπάρχουν δύο από αυτά: (x-8) και (x-25) = 0. Ως αποτέλεσμα, έχουμε δύο ρίζες 8 και 25.

Παραδείγματα με επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων στον βαθμό 9 επιτρέπουν σε αυτή τη μέθοδο να βρει μια μεταβλητή σε εκφράσεις όχι μόνο της δεύτερης, αλλά ακόμη και της τρίτης και τέταρτης τάξης.

Για παράδειγμα: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Κατά την παραγοντοποίηση της δεξιάς πλευράς σε παράγοντες με μεταβλητή, υπάρχουν τρεις από αυτούς, δηλαδή (x+1), (x-3) και (x+ 3).

Ως αποτέλεσμα, γίνεται προφανές ότι αυτή η εξίσωση έχει τρεις ρίζες: -3; -1; 3.

Τετραγωνική ρίζα

Μια άλλη περίπτωση ημιτελούς εξίσωσης δεύτερης τάξης είναι μια έκφραση που αναπαρίσταται στη γλώσσα των γραμμάτων με τέτοιο τρόπο ώστε η δεξιά πλευρά να είναι κατασκευασμένη από τα στοιχεία ax 2 και c. Εδώ, για να ληφθεί η τιμή της μεταβλητής, ο ελεύθερος όρος μεταφέρεται στη δεξιά πλευρά και μετά εξάγεται η τετραγωνική ρίζα και από τις δύο πλευρές της ισότητας. Πρέπει να σημειωθεί ότι σε αυτή την περίπτωση υπάρχουν συνήθως δύο ρίζες της εξίσωσης. Οι μόνες εξαιρέσεις μπορεί να είναι ισότητες που δεν περιέχουν όρο με καθόλου, όπου η μεταβλητή είναι ίση με μηδέν, καθώς και παραλλαγές παραστάσεων όταν η δεξιά πλευρά είναι αρνητική. Στην τελευταία περίπτωση, δεν υπάρχουν καθόλου λύσεις, αφού οι παραπάνω ενέργειες δεν μπορούν να γίνουν με ρίζες. Θα πρέπει να ληφθούν υπόψη παραδείγματα λύσεων σε τετραγωνικές εξισώσεις αυτού του τύπου.

Σε αυτή την περίπτωση, οι ρίζες της εξίσωσης θα είναι οι αριθμοί -4 και 4.

Υπολογισμός επιφάνειας γης

Η ανάγκη για τέτοιου είδους υπολογισμούς εμφανίστηκε στην αρχαιότητα, επειδή η ανάπτυξη των μαθηματικών σε εκείνους τους μακρινούς χρόνους καθορίστηκε σε μεγάλο βαθμό από την ανάγκη να προσδιοριστούν με τη μεγαλύτερη ακρίβεια οι περιοχές και οι περιμέτρους των οικοπέδων.

Θα πρέπει επίσης να εξετάσουμε παραδείγματα επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων που βασίζονται σε προβλήματα αυτού του είδους.

Ας πούμε λοιπόν ότι υπάρχει ένα ορθογώνιο οικόπεδο, το μήκος του οποίου είναι 16 μέτρα μεγαλύτερο από το πλάτος. Θα πρέπει να βρείτε το μήκος, το πλάτος και την περίμετρο της τοποθεσίας εάν γνωρίζετε ότι η έκτασή της είναι 612 m2.

Για να ξεκινήσουμε, ας δημιουργήσουμε πρώτα την απαραίτητη εξίσωση. Ας συμβολίσουμε με x το πλάτος της περιοχής, τότε το μήκος της θα είναι (x+16). Από τα γραφόμενα προκύπτει ότι το εμβαδόν καθορίζεται από την παράσταση x(x+16), η οποία, σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματός μας, είναι 612. Αυτό σημαίνει ότι x(x+16) = 612.

Η επίλυση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων, και αυτή η έκφραση είναι ακριβώς αυτή, δεν μπορεί να γίνει με τον ίδιο τρόπο. Γιατί; Αν και η αριστερή πλευρά εξακολουθεί να περιέχει δύο παράγοντες, το γινόμενο τους δεν ισούται καθόλου με 0, επομένως χρησιμοποιούνται διαφορετικές μέθοδοι εδώ.

Διακριτικός

Πρώτα απ 'όλα, θα κάνουμε τους απαραίτητους μετασχηματισμούς και, στη συνέχεια, η εμφάνιση αυτής της έκφρασης θα μοιάζει με αυτό: x 2 + 16x - 612 = 0. Αυτό σημαίνει ότι έχουμε λάβει την έκφραση σε μια μορφή που αντιστοιχεί στο προκαθορισμένο πρότυπο, όπου a=1, b=16, c= -612.

Αυτό θα μπορούσε να είναι ένα παράδειγμα επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων χρησιμοποιώντας ένα διαχωριστικό. Εδώ γίνονται οι απαραίτητοι υπολογισμοί σύμφωνα με το σχήμα: D = b 2 - 4ac. Αυτή η βοηθητική ποσότητα όχι μόνο καθιστά δυνατή την εύρεση των απαιτούμενων ποσοτήτων σε μια εξίσωση δεύτερης τάξης, αλλά καθορίζει τον αριθμό των πιθανών επιλογών. Αν D>0, υπάρχουν δύο από αυτά. για D=0 υπάρχει μία ρίζα. Στην περίπτωση Δ<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Σχετικά με τις ρίζες και τη φόρμουλα τους

Στην περίπτωσή μας, η διάκριση ισούται με: 256 - 4(-612) = 2704. Αυτό υποδηλώνει ότι το πρόβλημά μας έχει απάντηση. Εάν γνωρίζετε k, η λύση των δευτεροβάθμιων εξισώσεων πρέπει να συνεχιστεί χρησιμοποιώντας τον παρακάτω τύπο. Σας επιτρέπει να υπολογίσετε τις ρίζες.

Αυτό σημαίνει ότι στην προκειμένη περίπτωση: x 1 =18, x 2 =-34. Η δεύτερη επιλογή σε αυτό το δίλημμα δεν μπορεί να είναι λύση, γιατί οι διαστάσεις του οικοπέδου δεν μπορούν να μετρηθούν σε αρνητικές ποσότητες, που σημαίνει ότι το x (δηλαδή το πλάτος του οικοπέδου) είναι 18 μ. Από εδώ υπολογίζουμε το μήκος: 18 +16=34, και η περίμετρος 2(34+ 18)=104(m2).

Παραδείγματα και εργασίες

Συνεχίζουμε τη μελέτη των τετραγωνικών εξισώσεων. Παραδείγματα και λεπτομερείς λύσεις αρκετών από αυτά θα δοθούν παρακάτω.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Ας μετακινήσουμε τα πάντα στην αριστερή πλευρά της ισότητας, ας κάνουμε έναν μετασχηματισμό, δηλαδή, θα πάρουμε τον τύπο της εξίσωσης που συνήθως ονομάζεται τυπική και θα την εξισώσουμε με το μηδέν.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Προσθέτοντας παρόμοια, προσδιορίζουμε τη διάκριση: D = 49 - 48 = 1. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωσή μας θα έχει δύο ρίζες. Ας τα υπολογίσουμε σύμφωνα με τον παραπάνω τύπο, που σημαίνει ότι το πρώτο από αυτά θα είναι ίσο με 4/3 και το δεύτερο με 1.

2) Τώρα ας λύσουμε μυστήρια διαφορετικού είδους.

Ας μάθουμε αν υπάρχουν ρίζες εδώ x 2 - 4x + 5 = 1; Για να λάβουμε μια ολοκληρωμένη απάντηση, ας μειώσουμε το πολυώνυμο στην αντίστοιχη συνήθη μορφή και ας υπολογίσουμε τη διάκριση. Στο παραπάνω παράδειγμα, δεν είναι απαραίτητο να λυθεί η δευτεροβάθμια εξίσωση, γιατί αυτή δεν είναι καθόλου η ουσία του προβλήματος. Σε αυτή την περίπτωση, D = 16 - 20 = -4, που σημαίνει ότι πραγματικά δεν υπάρχουν ρίζες.

Το θεώρημα του Βιέτα

Είναι βολικό να λύνουμε τετραγωνικές εξισώσεις χρησιμοποιώντας τους παραπάνω τύπους και το διαχωριστικό, όταν η τετραγωνική ρίζα λαμβάνεται από την τιμή του τελευταίου. Αυτό όμως δεν συμβαίνει πάντα. Ωστόσο, υπάρχουν πολλοί τρόποι για να λάβετε τις τιμές των μεταβλητών σε αυτήν την περίπτωση. Παράδειγμα: επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Βιέτα. Πήρε το όνομά της από εκείνον που έζησε τον 16ο αιώνα στη Γαλλία και έκανε μια λαμπρή καριέρα χάρη στο μαθηματικό του ταλέντο και τις διασυνδέσεις του στο δικαστήριο. Το πορτρέτο του φαίνεται στο άρθρο.

Το μοτίβο που παρατήρησε ο διάσημος Γάλλος ήταν το εξής. Απέδειξε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αθροίζονται αριθμητικά σε -p=b/a, και το γινόμενο τους αντιστοιχεί σε q=c/a.

Τώρα ας δούμε συγκεκριμένες εργασίες.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Για απλότητα, ας μετατρέψουμε την έκφραση:

x 2 + 7x - 18 = 0

Ας χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα του Vieta, αυτό θα μας δώσει τα εξής: το άθροισμα των ριζών είναι -7 και το γινόμενο τους είναι -18. Από εδώ παίρνουμε ότι οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι αριθμοί -9 και 2. Αφού ελέγξουμε, θα βεβαιωθούμε ότι αυτές οι μεταβλητές τιμές ταιριάζουν πραγματικά στην έκφραση.

Γράφημα παραβολής και εξίσωση

Οι έννοιες της τετραγωνικής συνάρτησης και των τετραγωνικών εξισώσεων συνδέονται στενά. Παραδείγματα αυτού έχουν ήδη δοθεί νωρίτερα. Τώρα ας δούμε μερικούς μαθηματικούς γρίφους λίγο πιο αναλυτικά. Οποιαδήποτε εξίσωση του περιγραφόμενου τύπου μπορεί να αναπαρασταθεί οπτικά. Μια τέτοια σχέση, σχεδιασμένη ως γράφημα, ονομάζεται παραβολή. Οι διάφοροι τύποι του παρουσιάζονται στο παρακάτω σχήμα.

Οποιαδήποτε παραβολή έχει μια κορυφή, δηλαδή ένα σημείο από το οποίο αναδύονται οι κλάδοι της. Αν a>0, πάνε ψηλά στο άπειρο, και όταν α<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Οι οπτικές αναπαραστάσεις συναρτήσεων βοηθούν στην επίλυση οποιωνδήποτε εξισώσεων, συμπεριλαμβανομένων και των τετραγωνικών. Αυτή η μέθοδος ονομάζεται γραφική. Και η τιμή της μεταβλητής x είναι η συντεταγμένη της τετμημένης στα σημεία όπου η γραμμή του γραφήματος τέμνεται με το 0x. Οι συντεταγμένες της κορυφής μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τον τύπο που μόλις δόθηκε x 0 = -b/2a. Και αντικαθιστώντας την τιμή που προκύπτει στην αρχική εξίσωση της συνάρτησης, μπορείτε να βρείτε y 0, δηλαδή τη δεύτερη συντεταγμένη της κορυφής της παραβολής, η οποία ανήκει στον άξονα τεταγμένων.

Η τομή των κλάδων μιας παραβολής με τον άξονα της τετμημένης

Υπάρχουν πολλά παραδείγματα επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων, αλλά υπάρχουν και γενικά μοτίβα. Ας τους δούμε. Είναι σαφές ότι η τομή του γραφήματος με τον άξονα 0x για a>0 είναι δυνατή μόνο εάν το 0 λάβει αρνητικές τιμές. Και για ένα<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Διαφορετικά Δ<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Από το γράφημα της παραβολής μπορείτε να προσδιορίσετε και τις ρίζες. Το αντίθετο ισχύει επίσης. Δηλαδή, εάν δεν είναι εύκολο να αποκτήσετε μια οπτική αναπαράσταση μιας τετραγωνικής συνάρτησης, μπορείτε να εξισώσετε τη δεξιά πλευρά της παράστασης με 0 και να λύσετε την εξίσωση που προκύπτει. Και γνωρίζοντας τα σημεία τομής με τον άξονα 0x, είναι ευκολότερο να κατασκευάσετε ένα γράφημα.

Από την ιστορία

Χρησιμοποιώντας εξισώσεις που περιείχαν μια τετράγωνη μεταβλητή, τα παλιά χρόνια δεν έκαναν μόνο μαθηματικούς υπολογισμούς και καθόριζαν τα εμβαδά των γεωμετρικών σχημάτων. Οι αρχαίοι χρειάζονταν τέτοιους υπολογισμούς για μεγάλες ανακαλύψεις στους τομείς της φυσικής και της αστρονομίας, καθώς και για την πραγματοποίηση αστρολογικών προβλέψεων.

Όπως προτείνουν οι σύγχρονοι επιστήμονες, οι κάτοικοι της Βαβυλώνας ήταν από τους πρώτους που έλυσαν τετραγωνικές εξισώσεις. Αυτό συνέβη τέσσερις αιώνες πριν από την εποχή μας. Φυσικά, οι υπολογισμοί τους ήταν ριζικά διαφορετικοί από αυτούς που γίνονται αποδεκτοί σήμερα και αποδείχθηκαν πολύ πιο πρωτόγονοι. Για παράδειγμα, οι μαθηματικοί της Μεσοποταμίας δεν είχαν ιδέα για την ύπαρξη αρνητικών αριθμών. Δεν ήταν εξοικειωμένοι με άλλες λεπτότητες που γνωρίζει κάθε σύγχρονος μαθητής.

Ίσως ακόμη νωρίτερα από τους επιστήμονες της Βαβυλώνας, ο σοφός από την Ινδία Baudhayama άρχισε να λύνει τετραγωνικές εξισώσεις. Αυτό συνέβη περίπου οκτώ αιώνες πριν από την εποχή του Χριστού. Είναι αλήθεια ότι οι εξισώσεις δεύτερης τάξης, οι μέθοδοι επίλυσης που έδωσε, ήταν οι απλούστερες. Εκτός από αυτόν, οι Κινέζοι μαθηματικοί ενδιαφερόντουσαν επίσης για παρόμοιες ερωτήσεις τα παλιά χρόνια. Στην Ευρώπη, οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις άρχισαν να λύνονται μόνο στις αρχές του 13ου αιώνα, αλλά αργότερα χρησιμοποιήθηκαν στα έργα τους από σπουδαίους επιστήμονες όπως ο Newton, ο Descartes και πολλοί άλλοι.

Αυτό το θέμα μπορεί να φαίνεται περίπλοκο στην αρχή λόγω των πολλών όχι και τόσο απλών τύπων. Όχι μόνο οι ίδιες οι τετραγωνικές εξισώσεις έχουν μακριές σημειώσεις, αλλά οι ρίζες βρίσκονται επίσης μέσω της διάκρισης. Συνολικά, λαμβάνονται τρεις νέοι τύποι. Δεν είναι πολύ εύκολο να θυμάστε. Αυτό είναι δυνατό μόνο μετά την επίλυση τέτοιων εξισώσεων συχνά. Τότε όλοι οι τύποι θα θυμούνται από μόνες τους.

Γενική άποψη τετραγωνικής εξίσωσης

Εδώ προτείνουμε τη ρητή καταγραφή τους, όταν πρώτα γράφεται ο μεγαλύτερος βαθμός και μετά με φθίνουσα σειρά. Υπάρχουν συχνά περιπτώσεις όπου οι όροι είναι ασυνεπείς. Τότε είναι καλύτερο να ξαναγράψουμε την εξίσωση με φθίνουσα σειρά του βαθμού της μεταβλητής.

Ας εισάγουμε κάποια σημειογραφία. Παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα.

Εάν δεχθούμε αυτούς τους συμβολισμούς, όλες οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις ανάγονται στον ακόλουθο συμβολισμό.

Επιπλέον, ο συντελεστής a ≠ 0. Ας οριστεί αυτός ο τύπος ως νούμερο ένα.

Όταν δίνεται μια εξίσωση, δεν είναι ξεκάθαρο πόσες ρίζες θα υπάρχουν στην απάντηση. Επειδή μία από τις τρεις επιλογές είναι πάντα δυνατή:

η λύση θα έχει δύο ρίζες.
η απάντηση θα είναι ένας αριθμός.
η εξίσωση δεν θα έχει καθόλου ρίζες.

Και μέχρι να οριστικοποιηθεί η απόφαση, είναι δύσκολο να καταλάβουμε ποια επιλογή θα εμφανιστεί σε μια συγκεκριμένη περίπτωση.

Είδη καταγραφών τετραγωνικών εξισώσεων

Μπορεί να υπάρχουν διαφορετικές καταχωρήσεις στις εργασίες. Δεν θα μοιάζουν πάντα με τον γενικό τύπο της τετραγωνικής εξίσωσης. Μερικές φορές θα λείπουν κάποιοι όροι. Αυτό που γράφτηκε παραπάνω είναι η πλήρης εξίσωση. Εάν αφαιρέσετε τον δεύτερο ή τον τρίτο όρο σε αυτό, θα λάβετε κάτι άλλο. Αυτές οι εγγραφές ονομάζονται επίσης τετραγωνικές εξισώσεις, μόνο ελλιπείς.

Επιπλέον, μόνο όροι με συντελεστές "b" και "c" μπορούν να εξαφανιστούν. Ο αριθμός «α» δεν μπορεί σε καμία περίπτωση να είναι ίσος με μηδέν. Γιατί σε αυτή την περίπτωση ο τύπος μετατρέπεται σε γραμμική εξίσωση. Οι τύποι για την ημιτελή μορφή εξισώσεων θα είναι οι εξής:

Άρα, υπάρχουν μόνο δύο τύποι· εκτός από τους πλήρεις, υπάρχουν και ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις. Αφήστε τον πρώτο τύπο να είναι ο αριθμός δύο και ο δεύτερος - τρία.

Διάκριση και εξάρτηση του αριθμού των ριζών από την αξία του

Πρέπει να γνωρίζετε αυτόν τον αριθμό για να υπολογίσετε τις ρίζες της εξίσωσης. Μπορεί πάντα να υπολογιστεί, ανεξάρτητα από το ποιος είναι ο τύπος της τετραγωνικής εξίσωσης. Για να υπολογίσετε τη διάκριση, πρέπει να χρησιμοποιήσετε την ισότητα που γράφεται παρακάτω, η οποία θα έχει τον αριθμό τέσσερα.

Αφού αντικαταστήσετε τις τιμές των συντελεστών σε αυτόν τον τύπο, μπορείτε να πάρετε αριθμούς με διαφορετικά πρόσημα. Εάν η απάντηση είναι ναι, τότε η απάντηση στην εξίσωση θα είναι δύο διαφορετικές ρίζες. Εάν ο αριθμός είναι αρνητικός, δεν θα υπάρχουν ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης. Αν είναι ίσο με μηδέν, θα υπάρχει μόνο μία απάντηση.

Πώς να λύσετε μια πλήρη τετραγωνική εξίσωση;

Μάλιστα, η εξέταση αυτού του θέματος έχει ήδη ξεκινήσει. Γιατί πρώτα πρέπει να βρεις έναν διακριτικό. Αφού διαπιστωθεί ότι υπάρχουν ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης και είναι γνωστός ο αριθμός τους, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τύπους για τις μεταβλητές. Εάν υπάρχουν δύο ρίζες, τότε πρέπει να εφαρμόσετε τον ακόλουθο τύπο.

Δεδομένου ότι περιέχει ένα σύμβολο "±", θα υπάρχουν δύο τιμές. Η έκφραση κάτω από το σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας είναι η διάκριση. Επομένως, ο τύπος μπορεί να ξαναγραφτεί διαφορετικά.

Φόρμουλα νούμερο πέντε. Από την ίδια εγγραφή είναι ξεκάθαρο ότι εάν η διάκριση είναι ίση με μηδέν, τότε και οι δύο ρίζες θα λάβουν τις ίδιες τιμές.

Εάν η επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων δεν έχει ακόμη επεξεργαστεί, τότε είναι καλύτερο να γράψετε τις τιμές όλων των συντελεστών πριν εφαρμόσετε τους τύπους διάκρισης και μεταβλητής. Αργότερα αυτή η στιγμή δεν θα προκαλέσει δυσκολίες. Αλλά στην αρχή υπάρχει σύγχυση.

Πώς να λύσετε μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση;

Όλα είναι πολύ πιο απλά εδώ. Δεν υπάρχει καν ανάγκη για πρόσθετους τύπους. Και αυτά που έχουν ήδη γραφτεί για τον διακρίνοντα και τον άγνωστο δεν θα χρειαστούν.

Αρχικά, ας δούμε την ημιτελή εξίσωση νούμερο δύο. Σε αυτή την ισότητα, είναι απαραίτητο να βγάλουμε την άγνωστη ποσότητα από αγκύλες και να λύσουμε τη γραμμική εξίσωση, η οποία θα παραμείνει σε αγκύλες. Η απάντηση θα έχει δύο ρίζες. Το πρώτο είναι απαραίτητα ίσο με μηδέν, γιατί υπάρχει ένας πολλαπλασιαστής που αποτελείται από την ίδια τη μεταβλητή. Το δεύτερο θα ληφθεί λύνοντας μια γραμμική εξίσωση.

Η ημιτελής εξίσωση αριθμός τρία λύνεται μετακινώντας τον αριθμό από την αριστερή πλευρά της ισότητας προς τα δεξιά. Στη συνέχεια, πρέπει να διαιρέσετε με τον συντελεστή που βλέπει το άγνωστο. Το μόνο που μένει είναι να εξαγάγετε την τετραγωνική ρίζα και να θυμάστε να τη γράψετε δύο φορές με αντίθετα σημάδια.

Παρακάτω είναι μερικά βήματα που θα σας βοηθήσουν να μάθετε πώς να λύνετε κάθε είδους ισότητες που μετατρέπονται σε εξισώσεις δευτεροβάθμιας. Θα βοηθήσουν τον μαθητή να αποφύγει λάθη που οφείλονται σε απροσεξία. Αυτές οι ελλείψεις μπορούν να προκαλέσουν χαμηλούς βαθμούς κατά τη μελέτη του εκτενούς θέματος «Τετραγωνικές Εξισώσεις (8η Δημοτικού).» Στη συνέχεια, αυτές οι ενέργειες δεν θα χρειάζεται να εκτελούνται συνεχώς. Γιατί θα εμφανιστεί μια σταθερή ικανότητα.

Πρώτα πρέπει να γράψετε την εξίσωση σε τυπική μορφή. Δηλαδή, πρώτα ο όρος με τον μεγαλύτερο βαθμό της μεταβλητής και μετά - χωρίς βαθμό, και τελευταίος - μόνο ένας αριθμός.

Εάν εμφανιστεί ένα μείον πριν από τον συντελεστή "a", μπορεί να περιπλέξει τη δουλειά για έναν αρχάριο που μελετά τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις. Είναι καλύτερα να το ξεφορτωθείς. Για το σκοπό αυτό, όλη η ισότητα πρέπει να πολλαπλασιαστεί με "-1". Αυτό σημαίνει ότι όλοι οι όροι θα αλλάξουν πρόσημο στο αντίθετο.

Συνιστάται να απαλλαγείτε από τα κλάσματα με τον ίδιο τρόπο. Απλώς πολλαπλασιάστε την εξίσωση με τον κατάλληλο παράγοντα έτσι ώστε οι παρονομαστές να ακυρωθούν.

Παραδείγματα

Απαιτείται η επίλυση των ακόλουθων τετραγωνικών εξισώσεων:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).

Η πρώτη εξίσωση: x 2 − 7x = 0. Είναι ελλιπής, επομένως λύνεται όπως περιγράφεται για τον τύπο δύο.

Αφού το βγάλετε από αγκύλες, προκύπτει: x (x - 7) = 0.

Η πρώτη ρίζα παίρνει την τιμή: x 1 = 0. Η δεύτερη θα βρεθεί από τη γραμμική εξίσωση: x - 7 = 0. Είναι εύκολο να δούμε ότι x 2 = 7.

Δεύτερη εξίσωση: 5x 2 + 30 = 0. Και πάλι ημιτελής. Μόνο που λύνεται όπως περιγράφεται για τον τρίτο τύπο.

Αφού μετακινήσετε το 30 στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης: 5x 2 = 30. Τώρα πρέπει να διαιρέσετε με το 5. Αποδεικνύεται: x 2 = 6. Οι απαντήσεις θα είναι οι αριθμοί: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Η τρίτη εξίσωση: 15 − 2x − x 2 = 0. Στη συνέχεια, η επίλυση των δευτεροβάθμιων εξισώσεων θα ξεκινήσει ξαναγράφοντας τις σε τυπική μορφή: − x 2 − 2x + 15 = 0. Τώρα είναι ώρα να χρησιμοποιήσετε τη δεύτερη χρήσιμη συμβουλή και να πολλαπλασιάσετε τα πάντα με μείον ένα. Αποδεικνύεται x 2 + 2x - 15 = 0. Χρησιμοποιώντας τον τέταρτο τύπο, πρέπει να υπολογίσετε τη διάκριση: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Είναι θετικός αριθμός. Από όσα ειπώθηκαν παραπάνω, προκύπτει ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες. Πρέπει να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας τον πέμπτο τύπο. Αποδεικνύεται ότι x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Τότε x 1 = 3, x 2 = - 5.

Η τέταρτη εξίσωση x 2 + 8 + 3x = 0 μετατρέπεται σε αυτή: x 2 + 3x + 8 = 0. Η διάκρισή της είναι ίση με αυτήν την τιμή: -23. Δεδομένου ότι αυτός ο αριθμός είναι αρνητικός, η απάντηση σε αυτήν την εργασία θα είναι η ακόλουθη καταχώριση: "Δεν υπάρχουν ρίζες".

Η πέμπτη εξίσωση 12x + x 2 + 36 = 0 θα πρέπει να ξαναγραφτεί ως εξής: x 2 + 12x + 36 = 0. Μετά την εφαρμογή του τύπου για τη διάκριση, προκύπτει ο αριθμός μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι θα έχει μία ρίζα, δηλαδή: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Η έκτη εξίσωση (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) απαιτεί μετασχηματισμούς, οι οποίοι συνίστανται στο γεγονός ότι πρέπει να φέρετε παρόμοιους όρους, ανοίγοντας πρώτα τις αγκύλες. Στη θέση της πρώτης θα υπάρχει η ακόλουθη έκφραση: x 2 + 2x + 1. Μετά την ισότητα, θα εμφανιστεί αυτή η καταχώρηση: x 2 + 3x + 2. Αφού μετρηθούν παρόμοιοι όροι, η εξίσωση θα πάρει τη μορφή: x 2 - x = 0. Έχει γίνει ημιτελής . Κάτι παρόμοιο έχει ήδη συζητηθεί λίγο πιο πάνω. Οι ρίζες αυτού θα είναι οι αριθμοί 0 και 1.

Ας δουλέψουμε με τετραγωνικές εξισώσεις. Αυτές είναι πολύ δημοφιλείς εξισώσεις! Στην πιο γενική της μορφή, μια τετραγωνική εξίσωση μοιάζει με αυτό:

Για παράδειγμα:

Εδώ ΕΝΑ =1; σι = 3; ντο = -4

Εδώ ΕΝΑ =2; σι = -0,5; ντο = 2,2

Εδώ ΕΝΑ =-3; σι = 6; ντο = -18

Λοιπόν, καταλαβαίνεις...

Πώς να λύσετε τετραγωνικές εξισώσεις;Εάν έχετε μια τετραγωνική εξίσωση μπροστά σας σε αυτή τη μορφή, τότε όλα είναι απλά. Θυμηθείτε τη μαγική λέξη διακριτική . Σπάνια μαθητής Λυκείου δεν έχει ακούσει αυτή τη λέξη! Η φράση «λύνουμε μέσω ενός διακριτικού» εμπνέει εμπιστοσύνη και σιγουριά. Γιατί δεν χρειάζεται να περιμένεις κόλπα από τον διακρίνοντα! Είναι απλό και χωρίς προβλήματα στη χρήση. Έτσι, ο τύπος για την εύρεση των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης μοιάζει με αυτό:

Η έκφραση κάτω από το πρόσημο της ρίζας είναι αυτή διακριτική. Όπως μπορείτε να δείτε, για να βρούμε το X, χρησιμοποιούμε μόνο α, β και γ. Εκείνοι. συντελεστές από μια τετραγωνική εξίσωση. Απλώς αντικαταστήστε προσεκτικά τις τιμές α, β και γΑυτός είναι ο τύπος που υπολογίζουμε. Ας αντικαταστήσουμε με τα δικά σου σημάδια! Για παράδειγμα, για την πρώτη εξίσωση ΕΝΑ =1; σι = 3; ντο= -4. Εδώ το γράφουμε:

Το παράδειγμα έχει σχεδόν λυθεί:

Αυτό είναι όλο.

Ποιες περιπτώσεις είναι δυνατές όταν χρησιμοποιείτε αυτόν τον τύπο; Υπάρχουν μόνο τρεις περιπτώσεις.

1. Η διάκριση είναι θετική. Αυτό σημαίνει ότι η ρίζα μπορεί να εξαχθεί από αυτό. Το αν η ρίζα εξάγεται καλά ή κακώς είναι ένα άλλο ερώτημα. Σημασία έχει τι εξάγεται καταρχήν. Τότε η τετραγωνική εξίσωσή σας έχει δύο ρίζες. Δύο διαφορετικές λύσεις.

2. Η διάκριση είναι μηδέν. Τότε έχετε μία λύση. Αυστηρά μιλώντας, αυτό δεν είναι μια ρίζα, αλλά δύο πανομοιότυπα. Αυτό όμως παίζει ρόλο στις ανισότητες, όπου θα μελετήσουμε το θέμα πιο αναλυτικά.

3. Η διάκριση είναι αρνητική. Η τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού δεν μπορεί να ληφθεί. Καλά εντάξει. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχουν λύσεις.

Όλα είναι πολύ απλά. Και τι, πιστεύεις ότι είναι αδύνατο να κάνεις λάθος; Λοιπόν, ναι, πώς…
Τα πιο συνηθισμένα λάθη είναι η σύγχυση με τις τιμές πρόσημου α, β και γ. Ή μάλλον, όχι με τα σημάδια τους (πού να μπερδευτείτε;), αλλά με την αντικατάσταση αρνητικών τιμών στον τύπο υπολογισμού των ριζών. Αυτό που βοηθά εδώ είναι μια λεπτομερής καταγραφή του τύπου με συγκεκριμένους αριθμούς. Εάν υπάρχουν προβλήματα με τους υπολογισμούς, Κάνε αυτό!

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να λύσουμε το ακόλουθο παράδειγμα:

Εδώ a = -6; b = -5; c = -1

Ας πούμε ότι γνωρίζετε ότι σπάνια λαμβάνετε απαντήσεις την πρώτη φορά.

Ετσι, πώς να λύσετε τετραγωνικές εξισώσειςμέσα από τη διάκριση που θυμηθήκαμε. Ή έμαθαν, που είναι επίσης καλό. Ξέρεις πώς να προσδιορίζεις σωστά α, β και γ. Ξέρεις πως? προσεχτικάαντικαταστήστε τα στον τύπο της ρίζας και προσεχτικάμετρήστε το αποτέλεσμα. Καταλαβαίνετε ότι η λέξη κλειδί εδώ είναι προσεχτικά?

Ωστόσο, οι τετραγωνικές εξισώσεις συχνά φαίνονται ελαφρώς διαφορετικές. Για παράδειγμα, όπως αυτό:

Αυτό ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις . Μπορούν επίσης να επιλυθούν μέσω ενός διακριτικού. Απλά πρέπει να καταλάβετε σωστά τι ισούνται εδώ. α, β και γ.

Αλλά οι ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις μπορούν να λυθούν πολύ πιο απλά. Χωρίς καμία διάκριση. Ας εξετάσουμε την πρώτη ημιτελή εξίσωση. Τι μπορείτε να κάνετε στην αριστερή πλευρά; Μπορείτε να βγάλετε το Χ από αγκύλες! Ας το βγάλουμε.

Η δεύτερη εξίσωση μπορεί επίσης να λυθεί απλά. Μετακινήστε το 9 στη δεξιά πλευρά. Παίρνουμε:

Το μόνο που μένει είναι να εξαγάγετε τη ρίζα από το 9, και αυτό είναι. Θα αποδειχθεί:

Επίσης δύο ρίζες . x = +3 και x = -3.

Πρώτο ραντεβού. Μην είστε τεμπέλης πριν λύσετε μια εξίσωση του δευτεροβάθμιου βαθμού και φέρτε την σε τυπική μορφή. Τι σημαίνει αυτό?
Ας πούμε ότι μετά από όλους τους μετασχηματισμούς παίρνετε την ακόλουθη εξίσωση:

Υποδοχή δεύτερη.Ελέγξτε τις ρίζες! Σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta. Μη φοβάσαι, θα σου τα εξηγήσω όλα! Ελεγχος το τελευταίο πράγματην εξίσωση. Εκείνοι. αυτόν που χρησιμοποιήσαμε για να σημειώσουμε τον τύπο της ρίζας. Αν (όπως σε αυτό το παράδειγμα) ο συντελεστής α = 1, ο έλεγχος των ριζών είναι εύκολος. Αρκεί να τα πολλαπλασιάσουμε. Το αποτέλεσμα θα πρέπει να είναι ελεύθερο μέλος, δηλ. στην περίπτωσή μας -2. Παρακαλώ σημειώστε, όχι 2, αλλά -2! Δωρεάν μέλος με το ζώδιο σου . Αν δεν τα καταφέρουν, σημαίνει ότι κάπου έχουν ήδη μπλέξει. Ψάξτε για το σφάλμα. Εάν λειτουργεί, πρέπει να προσθέσετε τις ρίζες. Τελευταίος και τελευταίος έλεγχος. Ο συντελεστής πρέπει να είναι σιΜε απεναντι απο οικείος. Στην περίπτωσή μας -1+2 = +1. Ένας συντελεστής σι, που είναι πριν από το Χ, ισούται με -1. Λοιπόν, όλα είναι σωστά!
Είναι κρίμα που αυτό είναι τόσο απλό μόνο για παραδείγματα όπου το x τετράγωνο είναι καθαρό, με συντελεστή α = 1.Αλλά τουλάχιστον ελέγξτε σε τέτοιες εξισώσεις! Θα υπάρχουν όλο και λιγότερα λάθη.

Τρίτη υποδοχή. Εάν η εξίσωσή σας έχει κλασματικούς συντελεστές, απαλλαγείτε από τα κλάσματα! Πολλαπλασιάστε την εξίσωση με έναν κοινό παρονομαστή όπως περιγράφεται στην προηγούμενη ενότητα. Όταν εργάζεστε με κλάσματα, τα σφάλματα συνεχίζουν να εισχωρούν για κάποιο λόγο...

Για να μην μπερδευτούμε με τα πλην, πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση με -1. Παίρνουμε:

Αυτό είναι όλο! Η επίλυση είναι απόλαυση!

Λοιπόν, ας συνοψίσουμε το θέμα.

Πρακτικές συμβουλές:

1. Πριν λύσουμε, φέρνουμε την τετραγωνική εξίσωση σε τυπική μορφή και την κατασκευάζουμε σωστά.

Κλασματικές εξισώσεις. ODZ.

Συνεχίζουμε να κυριαρχούμε στις εξισώσεις. Γνωρίζουμε ήδη πώς να δουλεύουμε με γραμμικές και τετραγωνικές εξισώσεις. Η τελευταία άποψη αριστερά - κλασματικές εξισώσεις. Ή αποκαλούνται επίσης πολύ πιο σεβαστά - κλασματικές ορθολογικές εξισώσεις. Είναι το ίδιο.

Κλασματικές εξισώσεις.

Όπως υποδηλώνει το όνομα, αυτές οι εξισώσεις περιέχουν απαραίτητα κλάσματα. Όχι όμως μόνο κλάσματα, αλλά κλάσματα που έχουν άγνωστο σε παρονομαστή. Τουλάχιστον σε ένα. Για παράδειγμα:

Να σας υπενθυμίσω ότι αν οι παρονομαστές είναι μόνο αριθμοί, αυτές είναι γραμμικές εξισώσεις.

Πώς να αποφασίσετε κλασματικές εξισώσεις? Πρώτα απ 'όλα, ξεφορτωθείτε τα κλάσματα! Μετά από αυτό, η εξίσωση τις περισσότερες φορές μετατρέπεται σε γραμμική ή τετραγωνική. Και μετά ξέρουμε τι να κάνουμε... Σε ορισμένες περιπτώσεις μπορεί να μετατραπεί σε ταυτότητα, όπως 5=5 ή σε λάθος έκφραση, όπως 7=2. Αλλά αυτό συμβαίνει σπάνια. Θα το αναφέρω παρακάτω.

Πώς όμως να απαλλαγείτε από τα κλάσματα!; Πολύ απλό. Εφαρμόζοντας τους ίδιους ίδιους μετασχηματισμούς.

Πρέπει να πολλαπλασιάσουμε ολόκληρη την εξίσωση με την ίδια παράσταση. Για να μειωθούν όλοι οι παρονομαστές! Όλα θα γίνουν αμέσως πιο εύκολα. Επιτρέψτε μου να εξηγήσω με ένα παράδειγμα. Ας πρέπει να λύσουμε την εξίσωση:

Πώς διδάχτηκες στο δημοτικό; Μεταφέρουμε τα πάντα στη μία πλευρά, τα φέρνουμε σε έναν κοινό παρονομαστή κ.λπ. Ξέχνα το σαν κακό όνειρο! Αυτό πρέπει να κάνετε όταν προσθέτετε ή αφαιρείτε κλάσματα. Ή δουλεύεις με ανισότητες. Και στις εξισώσεις, πολλαπλασιάζουμε αμέσως και τις δύο πλευρές με μια έκφραση που θα μας δώσει την ευκαιρία να μειώσουμε όλους τους παρονομαστές (δηλαδή, στην ουσία, με έναν κοινό παρονομαστή). Και ποια είναι αυτή η έκφραση;

Στην αριστερή πλευρά, η μείωση του παρονομαστή απαιτεί πολλαπλασιασμό με x+2. Και στα δεξιά, απαιτείται πολλαπλασιασμός με το 2. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση πρέπει να πολλαπλασιαστεί με 2 (x+2). Πολλαπλασιάζω:

Αυτός είναι ένας κοινός πολλαπλασιασμός των κλασμάτων, αλλά θα τον περιγράψω λεπτομερώς:

Παρακαλώ σημειώστε ότι δεν ανοίγω ακόμα την αγκύλη (x + 2)! Το γράφω λοιπόν στο σύνολό του:

Στην αριστερή πλευρά συστέλλεται πλήρως (x+2), και δεξιά 2. Που ήταν και το ζητούμενο! Μετά τη μείωση παίρνουμε γραμμικόςη εξίσωση:

Και όλοι μπορούν να λύσουν αυτήν την εξίσωση! x = 2.

Ας λύσουμε ένα άλλο παράδειγμα, λίγο πιο περίπλοκο:

Αν θυμηθούμε ότι 3 = 3/1, και 2x = 2x/ 1, μπορούμε να γράψουμε:

Και πάλι απαλλαγούμε από αυτό που δεν μας αρέσει πραγματικά - τα κλάσματα.

Βλέπουμε ότι για να μειώσουμε τον παρονομαστή με το Χ, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το κλάσμα με (x – 2). Και μερικά δεν είναι εμπόδιο για εμάς. Λοιπόν, ας πολλαπλασιάσουμε. Ολααριστερή πλευρά και όλασωστη πλευρα:

Πάλι παρένθεση (x – 2)Δεν αποκαλύπτω. Δουλεύω με την αγκύλη στο σύνολό της σαν να ήταν ένας αριθμός! Αυτό πρέπει να γίνεται πάντα, διαφορετικά δεν θα μειωθεί τίποτα.

Με ένα αίσθημα βαθιάς ικανοποίησης μειώνουμε (x – 2)και παίρνουμε εξίσωση χωρίς κλάσματα, με χάρακα!

Τώρα ας ανοίξουμε τις αγκύλες:

Φέρνουμε παρόμοια, μετακινούμε τα πάντα στην αριστερή πλευρά και παίρνουμε:

Κλασική τετραγωνική εξίσωση. Αλλά το μείον μπροστά δεν είναι καλό. Μπορείτε πάντα να το ξεφορτωθείτε πολλαπλασιάζοντας ή διαιρώντας με -1. Αλλά αν κοιτάξετε προσεκτικά το παράδειγμα, θα παρατηρήσετε ότι είναι καλύτερο να διαιρέσετε αυτή την εξίσωση με -2! Με μια πτώση, το μείον θα εξαφανιστεί και οι πιθανότητες θα γίνουν πιο ελκυστικές! Διαιρέστε με -2. Στην αριστερή πλευρά - όρος με όρο και στα δεξιά - απλά διαιρέστε το μηδέν με -2, μηδέν και παίρνουμε:

Επιλύουμε μέσω της διάκρισης και ελέγχουμε χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta. Παίρνουμε x = 1 και x = 3. Δύο ρίζες.

Όπως μπορείτε να δείτε, στην πρώτη περίπτωση η εξίσωση μετά τον μετασχηματισμό έγινε γραμμική, αλλά εδώ γίνεται τετραγωνική. Συμβαίνει ότι αφού απαλλαγούμε από τα κλάσματα, όλα τα Χ μειώνονται. Κάτι παραμένει, όπως 5=5. Αυτό σημαίνει ότι Το x μπορεί να είναι οτιδήποτε. Ό,τι κι αν είναι, θα μειώνεται. Και αποδεικνύεται καθαρή αλήθεια, 5=5. Αλλά, αφού απαλλαγούμε από τα κλάσματα, μπορεί να αποδειχθεί εντελώς αναληθής, όπως 2=7. Και αυτό σημαίνει ότι χωρίς λύσεις! Οποιοδήποτε Χ αποδεικνύεται αναληθές.

Συνειδητοποίησε την κύρια λύση κλασματικές εξισώσεις? Είναι απλό και λογικό. Αλλάζουμε την αρχική έκφραση έτσι ώστε να εξαφανίζονται όλα όσα δεν μας αρέσουν. Ή παρεμβαίνει. Στην περίπτωση αυτή πρόκειται για κλάσματα. Θα κάνουμε το ίδιο με κάθε είδους σύνθετα παραδείγματα με λογάριθμους, ημίτονο και άλλα φρικτά. Εμείς ΠάνταΑς τα ξεφορτωθούμε όλα αυτά.

Ωστόσο, πρέπει να αλλάξουμε την αρχική έκφραση προς την κατεύθυνση που χρειαζόμαστε σύμφωνα με τους κανόνες, ναι... Η μαεστρία του οποίου είναι η προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά. Άρα το κατακτάμε.

Τώρα θα μάθουμε πώς να παρακάμψουμε ένα από αυτά κύριες ενέδρες στις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους! Αλλά πρώτα, ας δούμε αν πέσεις σε αυτό ή όχι;

Ας δούμε ένα απλό παράδειγμα:

Το θέμα είναι ήδη γνωστό, πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές (x – 2), παίρνουμε:

Σας θυμίζω, με παρένθεση (x – 2)Δουλεύουμε σαν με μια, ολοκληρωμένη έκφραση!

Εδώ δεν έγραψα πια ένα στους παρονομαστές, είναι αναξιοπρεπές... Και δεν τράβηξα αγκύλες στους παρονομαστές, εκτός από x – 2δεν υπάρχει τίποτα, δεν χρειάζεται να σχεδιάσετε. Ας συντομεύσουμε:

Ανοίξτε τις παρενθέσεις, μετακινήστε τα όλα προς τα αριστερά και δώστε παρόμοιες:

Λύνουμε, ελέγχουμε, παίρνουμε δύο ρίζες. x = 2Και x = 3. Εξαιρετική.

Ας υποθέσουμε ότι η εργασία λέει να γράψετε τη ρίζα ή το άθροισμά τους, εάν υπάρχουν περισσότερες από μία ρίζες. Τι θα γράψουμε;

Εάν αποφασίσετε ότι η απάντηση είναι 5, εσείς έπεσαν σε ενέδρα. Και η εργασία δεν θα πιστωθεί σε εσάς. Μάταια δούλεψαν... Η σωστή απάντηση είναι 3.

Τι συμβαίνει?! Και προσπαθείς να κάνεις έναν έλεγχο. Αντικαταστήστε τις τιμές του αγνώστου σε πρωτότυποπαράδειγμα. Και αν σε x = 3όλα θα μεγαλώσουν μαζί υπέροχα, παίρνουμε 9 = 9, τότε πότε x = 2Θα διαιρεθεί με το μηδέν! Αυτό που δεν μπορείτε να κάνετε απολύτως. Που σημαίνει x = 2δεν είναι λύση και δεν λαμβάνεται υπόψη στην απάντηση. Αυτή είναι η λεγόμενη εξωγενής ή επιπλέον ρίζα. Απλώς το απορρίπτουμε. Η τελική ρίζα είναι μία. x = 3.

Πως και έτσι?! – Ακούω αγανακτισμένα επιφωνήματα. Μας έμαθαν ότι μια εξίσωση μπορεί να πολλαπλασιαστεί με μια έκφραση! Αυτή είναι μια πανομοιότυπη μεταμόρφωση!

Ναι, πανομοιότυπο. Κάτω από μια μικρή συνθήκη - η έκφραση με την οποία πολλαπλασιάζουμε (διαιρούμε) - διαφορετικό από το μηδέν. ΕΝΑ x – 2στο x = 2ισούται με μηδέν! Άρα όλα είναι δίκαια.

Και τώρα τι μπορώ να κάνω;! Να μην πολλαπλασιάζονται με έκφραση; Πρέπει να ελέγχω κάθε φορά; Και πάλι είναι ασαφές!

Ήρεμα! Μην πανικοβάλλεστε!

Σε αυτή τη δύσκολη κατάσταση, τρία μαγικά γράμματα θα μας σώσουν. Ξέρω τι σκέφτεσαι. Σωστά! Αυτό ODZ . Τομέας Αποδεκτών Αξιών.