अनुसंधान परियोजना उल्लेखनीय त्रिकोण बिंदु। शोध कार्य “त्रिभुज के उल्लेखनीय बिंदु

एक त्रिभुज में तथाकथित चार होते हैं अद्भुत अंक: माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु. समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु, ऊंचाईयों का प्रतिच्छेदन बिंदु और लंबवत समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु। आइए उनमें से प्रत्येक पर नजर डालें।

त्रिभुज माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु

प्रमेय 1

एक त्रिभुज की माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन पर: एक त्रिभुज की माध्यिकाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और शीर्ष से प्रारंभ करते हुए प्रतिच्छेदन बिंदु से $2:1$ के अनुपात में विभाजित होती हैं।

सबूत।

त्रिभुज $ABC$ पर विचार करें, जहां $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ इसकी माध्यिकाएं हैं। चूँकि माध्यिकाएँ भुजाओं को आधे में विभाजित करती हैं। चलो गौर करते हैं मध्य रेखा$A_1B_1$ (चित्र 1)।

चित्र 1. एक त्रिभुज की माध्यिकाएँ

प्रमेय 1 के अनुसार, $AB||A_1B_1$ और $AB=2A_1B_1$, इसलिए, $\कोण ABB_1=\कोण BB_1A_1,\ \कोण BAA_1=\कोण AA_1B_1$। इसका मतलब यह है कि त्रिकोण $ABM$ और $A_1B_1M$ त्रिकोणों की समानता के पहले मानदंड के अनुसार समान हैं। तब

इसी प्रकार यह भी सिद्ध हो गया है

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

त्रिभुज के समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु

प्रमेय 2

एक त्रिभुज के समद्विभाजक के प्रतिच्छेदन पर: त्रिभुज के समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

सबूत।

त्रिभुज $ABC$ पर विचार करें, जहां $AM,\BP,\CK$ इसके समद्विभाजक हैं। मान लीजिए कि बिंदु $O$ द्विभाजक $AM\ और\BP$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। आइए इस बिंदु से त्रिभुज की भुजाओं पर लंब बनाएं (चित्र 2)।

चित्र 2. त्रिभुज के समद्विभाजक

प्रमेय 3

किसी अविकसित कोण के समद्विभाजक का प्रत्येक बिंदु उसकी भुजाओं से समान दूरी पर होता है।

प्रमेय 3 के अनुसार, हमारे पास है: $OX=OZ,\ OX=OY$. इसलिए, $OY=OZ$। इसका मतलब यह है कि बिंदु $O$ कोण $ACB$ की भुजाओं से समान दूरी पर है और इसलिए, इसके समद्विभाजक $CK$ पर स्थित है।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

किसी त्रिभुज के लम्ब समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु

प्रमेय 4

त्रिभुज की भुजाओं के लंबवत समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

सबूत।

मान लीजिए कि एक त्रिभुज $ABC$ दिया गया है, $n,\ m,\ p$ इसके लंबवत समद्विभाजक हैं। मान लीजिए कि बिंदु $O$ द्विभाजकीय लंबों $n\ और\ m$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है (चित्र 3)।

चित्र 3. एक त्रिभुज के लम्ब समद्विभाजक

इसे सिद्ध करने के लिए हमें निम्नलिखित प्रमेय की आवश्यकता है।

प्रमेय 5

किसी खंड के लंबवत समद्विभाजक का प्रत्येक बिंदु खंड के सिरों से समान दूरी पर होता है।

प्रमेय 3 के अनुसार, हमारे पास है: $OB=OC,\ OB=OA$। इसलिए, $OA=OC$. इसका मतलब यह है कि बिंदु $O$ खंड $AC$ के सिरों से समान दूरी पर है और इसलिए, इसके लंबवत समद्विभाजक $p$ पर स्थित है।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

त्रिभुज की ऊंचाईयों का प्रतिच्छेदन बिंदु

प्रमेय 6

किसी त्रिभुज की ऊंचाई या उनके विस्तार एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

सबूत।

त्रिभुज $ABC$ पर विचार करें, जहां $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ इसकी ऊंचाई है। आइए हम त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष से होकर शीर्ष के विपरीत भुजा के समानांतर एक सीधी रेखा खींचें। हमें एक नया त्रिभुज $A_2B_2C_2$ मिलता है (चित्र 4)।

चित्र 4. त्रिभुज की ऊँचाई

चूँकि $AC_2BC$ और $B_2ABC$ एक उभयनिष्ठ भुजा वाले समांतर चतुर्भुज हैं, तो $AC_2=AB_2$, अर्थात, बिंदु $A$ भुजा $C_2B_2$ का मध्यबिंदु है। इसी प्रकार, हम पाते हैं कि बिंदु $B$ पक्ष $C_2A_2$ का मध्यबिंदु है, और बिंदु $C$ पक्ष $A_2B_2$ का मध्यबिंदु है। निर्माण से हमारे पास $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$ है। इसलिए, $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ त्रिभुज $A_2B_2C_2$ के लंबवत समद्विभाजक हैं। फिर, प्रमेय 4 के अनुसार, हमारे पास है कि ऊंचाई $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।

शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय रूसी संघसंघीय राज्य बजट शैक्षिक संस्थाउच्च व्यावसायिक शिक्षा

"मैग्निटोगोर्स्क स्टेट यूनिवर्सिटी»

भौतिकी और गणित संकाय

बीजगणित और ज्यामिति विभाग

पाठ्यक्रम कार्य

त्रिभुज के उल्लेखनीय बिंदु

द्वारा पूरा किया गया: समूह 41 का छात्र

वखरामीवा ए.एम.

वैज्ञानिक निदेशक

वेलिख ए.एस.

मैग्नीटोगोर्स्क 2014

परिचय

ऐतिहासिक रूप से, ज्यामिति की शुरुआत एक त्रिभुज से हुई, इसलिए ढाई सहस्राब्दियों तक त्रिभुज, मानो ज्यामिति का प्रतीक रहा है; लेकिन वह केवल एक प्रतीक नहीं है, वह ज्यामिति का एक परमाणु है।

एक त्रिभुज को ज्यामिति का परमाणु क्यों माना जा सकता है? क्योंकि पिछली अवधारणाएँ - बिंदु, सीधी रेखा और कोण - प्रमेयों और समस्याओं के संबंधित सेट के साथ-साथ अस्पष्ट और अमूर्त अमूर्तताएँ हैं। इसलिए, आज स्कूली ज्यामिति तभी रोचक और सार्थक बन सकती है, जब इसमें त्रिभुज का गहन और व्यापक अध्ययन शामिल हो तभी यह उचित ज्यामिति बन सकती है।

आश्चर्यजनक रूप से, त्रिभुज, अपनी स्पष्ट सादगी के बावजूद, अध्ययन की एक अटूट वस्तु है - हमारे समय में भी कोई भी यह कहने का साहस नहीं करता है कि उन्होंने त्रिभुज के सभी गुणों का अध्ययन किया है और उन्हें जानते हैं।

इसका मतलब यह है कि स्कूल की ज्यामिति का अध्ययन त्रिभुज की ज्यामिति के गहन अध्ययन के बिना नहीं किया जा सकता है; अध्ययन की वस्तु के रूप में त्रिभुज की विविधता को ध्यान में रखते हुए - और इसलिए, इसका अध्ययन करने के लिए विभिन्न तरीकों का स्रोत - त्रिभुज के उल्लेखनीय बिंदुओं की ज्यामिति का अध्ययन करने के लिए सामग्री का चयन करना और विकसित करना आवश्यक है। इसके अलावा, इस सामग्री का चयन करते समय, आपको केवल इसमें दिए गए उल्लेखनीय बिंदुओं तक ही सीमित नहीं रहना चाहिए स्कूल के पाठ्यक्रमराज्य शैक्षिक मानक, जैसे कि वृत्त का केंद्र (द्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु), परिवृत्त का केंद्र (द्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु), माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु, ऊंचाइयों का प्रतिच्छेदन बिंदु। लेकिन के लिए गहरी पैठत्रिभुज की प्रकृति और उसकी अनंतता को समझने के लिए, त्रिभुज के अधिक से अधिक उल्लेखनीय बिंदुओं के बारे में विचार करना आवश्यक है। एक ज्यामितीय वस्तु के रूप में त्रिभुज की अटूटता के अलावा, इस पर भी ध्यान दिया जाना चाहिए सबसे अद्भुत संपत्तिअध्ययन की वस्तु के रूप में त्रिभुज: त्रिभुज की ज्यामिति का अध्ययन इसके किसी भी गुण के अध्ययन से शुरू हो सकता है, इसे आधार मानकर; तब त्रिभुज के अध्ययन की पद्धति का निर्माण इस प्रकार किया जा सकता है कि त्रिभुज के अन्य सभी गुणों को इस आधार पर पिरोया जा सके। दूसरे शब्दों में, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप त्रिभुज का अध्ययन कहाँ से शुरू करते हैं, आप हमेशा इस अद्भुत आकृति की किसी भी गहराई तक पहुँच सकते हैं। लेकिन फिर - एक विकल्प के रूप में - आप त्रिभुज के उल्लेखनीय बिंदुओं का अध्ययन करके उसका अध्ययन शुरू कर सकते हैं।

लक्ष्य पाठ्यक्रम कार्यइसमें एक त्रिभुज के उल्लेखनीय बिंदुओं का अध्ययन शामिल है। इस लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए निम्नलिखित कार्यों को हल करना आवश्यक है:

· समद्विभाजक, माध्यिका, ऊंचाई, लंबवत समद्विभाजक की अवधारणाओं और उनके गुणों का अध्ययन करें।

· गेरगोन पॉइंट, यूलर सर्कल और यूलर लाइन पर विचार करें, जिनका स्कूल में अध्ययन नहीं किया जाता है।

अध्याय 1. एक त्रिभुज का समद्विभाजक, एक त्रिभुज के अंकित वृत्त का केंद्र। त्रिभुज के समद्विभाजक के गुण. गेर्गोना बिंदु

1 त्रिभुज के उत्कीर्ण वृत्त का केंद्र

त्रिभुज के उल्लेखनीय बिंदु वे बिंदु होते हैं जिनका स्थान त्रिभुज द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है और यह उस क्रम पर निर्भर नहीं करता है जिसमें त्रिभुज की भुजाओं और शीर्षों को लिया गया है।

त्रिभुज का समद्विभाजक त्रिभुज के एक शीर्ष को विपरीत दिशा में एक बिंदु से जोड़ने वाले कोण का समद्विभाजक खंड है।

प्रमेय. किसी अविकसित कोण के समद्विभाजक का प्रत्येक बिंदु उसकी भुजाओं से समदूरस्थ (अर्थात त्रिभुज की भुजाओं वाली रेखाओं से समान दूरी पर) होता है। इसके विपरीत: किसी कोण के अंदर स्थित और कोण की भुजाओं से समान दूरी पर स्थित प्रत्येक बिंदु उसके समद्विभाजक पर स्थित होता है।

सबूत। 1) कोण BAC के समद्विभाजक पर एक मनमाना बिंदु M लें, सीधी रेखाओं AB और AC पर लंब MK और ML खींचें और सिद्ध करें कि MK = ML है। समकोण त्रिभुजों पर विचार करें ?एएमके और ?एएमएल. वे कर्ण और न्यून कोण में बराबर हैं (एएम - सामान्य कर्ण, परिपाटी के अनुसार 1 = 2)। इसलिए, एमके=एमएल।

) मान लीजिए कि बिंदु M आपके अंदर स्थित है और इसकी भुजाओं AB और AC से समान दूरी पर है। आइए हम सिद्ध करें कि किरण AM समद्विभाजक BAC है। आइए हम सीधी रेखाओं AB और AC पर लंब MK और ML खींचें। समकोण त्रिभुज AKM और ALM कर्ण और पाद में बराबर हैं (AM सामान्य कर्ण है, परिपाटी के अनुसार MK = ML है)। इसलिए, 1 = 2. लेकिन इसका मतलब यह है कि किरण AM BAC का समद्विभाजक है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

परिणाम। त्रिभुज के समद्विभाजक एक बिंदु (अंतर्वृत्त का केंद्र और केंद्र) पर प्रतिच्छेद करते हैं।

आइए हम त्रिभुज ABC के समद्विभाजक AA1 और BB1 के प्रतिच्छेदन बिंदु को अक्षर O से निरूपित करें और इस बिंदु से सीधी रेखाओं AB, BC और CA पर क्रमशः OK, OL और OM लंब खींचें। प्रमेय के अनुसार (किसी अविकसित कोण के समद्विभाजक का प्रत्येक बिंदु उसकी भुजाओं से समान दूरी पर होता है। इसके विपरीत: कोण के अंदर स्थित और कोण की भुजाओं से समान दूरी वाला प्रत्येक बिंदु उसके समद्विभाजक पर स्थित होता है) हम कहते हैं कि OK = OM और OK = राजभाषा. इसलिए, OM = OL, अर्थात बिंदु O, भुजाओं ACB से समान दूरी पर है और इसलिए, इस कोण के समद्विभाजक CC1 पर स्थित है। इसलिए, तीनों समद्विभाजक ?एबीसी बिंदु O पर प्रतिच्छेद करता है, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

वृत्त समद्विभाजक त्रिभुज रेखा

1.2 त्रिभुज के समद्विभाजक के गुण

किसी भी कोण का समद्विभाजक BD (चित्र 1.1)। ?ABC विपरीत भुजा को त्रिभुज की आसन्न भुजाओं के समानुपाती भागों AD और CD में विभाजित करता है।

हमें यह सिद्ध करना होगा कि यदि एबीडी = डीबीसी, तो एडी: डीसी = एबी: बीसी।

आइए CE निष्पादित करें || BD को भुजा AB की निरंतरता के साथ बिंदु E पर चौराहे तक ले जाएँ। फिर, कई समानांतर रेखाओं द्वारा प्रतिच्छेदित रेखाओं पर बने खंडों की आनुपातिकता पर प्रमेय के अनुसार, हमारे पास अनुपात होगा: AD: DC = AB: BE। इस अनुपात से उस अनुपात की ओर बढ़ने के लिए जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है, यह पता लगाना पर्याप्त है कि BE = BC, अर्थात। ?सभी समद्विबाहु. इस त्रिभुज में E = ABD (समान समानांतर रेखाओं के साथ संगत कोणों के रूप में) और ALL = DBC (समान समानांतर रेखाओं के साथ क्रॉसस्वाइज़ कोणों के रूप में)।

लेकिन शर्त के अनुसार एबीडी = डीबीसी; इसका मतलब है E = ALL, और इसलिए समान कोणों के विपरीत स्थित भुजाएँ BE और BC बराबर हैं।

अब, ऊपर लिखे अनुपात में BE को BC से प्रतिस्थापित करने पर, हमें वह अनुपात प्राप्त होता है जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

20 किसी त्रिभुज के आंतरिक और आसन्न कोणों के समद्विभाजक लंबवत होते हैं।

सबूत। मान लीजिए BD, ABC का समद्विभाजक है (चित्र 1.2), और BE निर्दिष्ट आंतरिक कोण से सटे बाहरी CBF का समद्विभाजक है, ?एबीसी. फिर यदि हम ABD = DBC = दर्शाते हैं ?, सीबीई = ईबीएफ = ?, फिर 2 ? + 2?= 1800 और इस प्रकार ?+ ?= 900. और इसका मतलब है कि बी.डी.? होना।

30 किसी त्रिभुज के बाह्य कोण का समद्विभाजक विपरीत भुजा को विभाजित करता है बाहर सेआसन्न भुजाओं के आनुपातिक भागों में।

(चित्र.1.3) एबी: बीसी = एडी: डीसी, ?एईडी~ ?सीबीडी, एई/बीसी = एडी/डीसी = एई/बीसी।

40 किसी त्रिभुज के किसी भी कोण का समद्विभाजक विपरीत भुजा को त्रिभुज की आसन्न भुजाओं के समानुपाती खंडों में विभाजित करता है।

सबूत। चलो गौर करते हैं ?एबीसी. निश्चितता के लिए, मान लीजिए कि समद्विभाजक CAB भुजा BC को बिंदु D पर काटता है (चित्र 1.4)। आइये दिखाते हैं कि BD: DC = AB: AC. ऐसा करने के लिए, बिंदु C से होकर जाने वाली रेखा AB के समानांतर एक रेखा खींचें और इस रेखा AD के प्रतिच्छेदन बिंदु को E से निरूपित करें। फिर DAB=DEC, ABD=ECD और इसलिए ?डीएबी~ ?DEC त्रिभुजों की समानता की पहली कसौटी पर आधारित है। इसके अलावा, चूँकि किरण AD एक समद्विभाजक CAD है, तो CAE = EAB = AEC और, इसलिए, ?ईसीए समद्विबाहु। अत: AC=CE. लेकिन इस मामले में समानता से ?डीएबी और ?डीईसी इस प्रकार है कि बीडी: डीसी=एबी: सीई =एबी: एसी, और इसे सिद्ध करने की आवश्यकता थी।

यदि किसी त्रिभुज के बाहरी कोण का समद्विभाजक इस कोण के शीर्ष के विपरीत भुजा के विस्तार को प्रतिच्छेद करता है, तो परिणामी प्रतिच्छेदन बिंदु से विपरीत भुजा के सिरों तक के खंड त्रिभुज की आसन्न भुजाओं के समानुपाती होते हैं।

सबूत। चलो गौर करते हैं ?एबीसी. मान लीजिए F भुजा CA के विस्तार पर एक बिंदु है, D भुजा CB के विस्तार के साथ बाहरी त्रिभुज BAF के समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु है (चित्र 1.5)। आइये दिखाते हैं कि DC:DB=AC:AB. दरअसल, आइए हम बिंदु C से होकर जाने वाली रेखा AB के समानांतर एक रेखा खींचें और रेखा DA के साथ इस रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु को E से निरूपित करें। फिर त्रिभुज ADB~ ?ईडीसी और इसलिए डीसी:डीबी=ईसी:एबी। और तबसे ?ईएसी= ?ख़राब= ?सीईए, फिर समद्विबाहु में ?सीईए पक्ष AC=EC और, इस प्रकार, DC:DB=AC:AB, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

3 द्विभाजक के गुणों का उपयोग करके समस्याओं को हल करना

समस्या 1. मान लीजिए O एक वृत्त का केंद्र है ?एबीसी, सीएबी = ?. सिद्ध कीजिए कि COB = 900 + ? /2.

समाधान। चूँकि O अंकित का केन्द्र है ?एक वृत्त की ABC (चित्र 1.6), तो किरणें BO और CO क्रमशः ABC और BCA समद्विभाजक हैं। और फिर COB = 1800 - (OBC + BCO) = 1800 - (ABC + BCA)/2 = 1800 - (1800 - ?)/2 = 900 + ?/2, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

समस्या 2. मान लीजिए कि वर्णित विषय का केंद्र O है ?एक वृत्त की ABC, भुजा BC पर खींची गई ऊँचाई का आधार H है। सिद्ध कीजिए कि समद्विभाजक CAB भी समद्विभाजक है? ओह.

मान लीजिए AD CAB का समद्विभाजक है, AE परिचालित व्यास है ?एक वृत्त की ABC (चित्र 1.7, 1.8)। अगर ?ABC न्यूनकोण है (चित्र 1.7) और, इसलिए, ABC<900, то так как ABC = AEC= ½ एसी आर्क्स, और ?बीएचए और ?ईसीए आयताकार (बीएचए =ईसीए = 900), फिर ?भा~ ?ईसीए और इसलिए सीएओ = सीएई =एचएबी। इसके अलावा, BAD और CAD शर्त के अनुसार बराबर हैं, इसलिए HAD = BAD - BAH =CAD - CAE = EAD = OAD। मान लीजिए कि अब ABC = 900 है। इस मामले में, ऊँचाई AH भुजा AB से मेल खाती है, तो बिंदु O कर्ण AC से संबंधित होगा और इसलिए समस्या कथन की वैधता स्पष्ट है।

आइए उस स्थिति पर विचार करें जब एबीसी > 900 (चित्र 1.8)। यहाँ चतुर्भुज ABCE एक वृत्त में अंकित है और इसलिए AEC = 1800 - ABC है। दूसरी ओर, एबीएच = 1800 - एबीसी, यानी। एईसी = एबीएच। और तबसे ?बीएचए और ?ECA आयताकार हैं और इसलिए, HAB = 900 - ABH = 900 - AEC = EAC, तो HAD = HAB + BAD = EAC + CAD = EAD = OAD। ऐसे मामले जहां बीएसी और एसीबी अस्पष्ट हैं, उनके साथ समान व्यवहार किया जाता है। ?

4 प्वाइंट गेर्गोना

गेर्गोन बिंदु उन खंडों का प्रतिच्छेदन बिंदु है जो त्रिभुज के शीर्षों को इन शीर्षों के विपरीत भुजाओं के स्पर्शरेखा बिंदुओं और त्रिभुज के अंकित वृत्त से जोड़ता है।

मान लीजिए बिंदु O त्रिभुज ABC के अंतःवृत्त का केंद्र है। मान लीजिए कि अंतःवृत्त त्रिभुज BC, AC और AB की भुजाओं को स्पर्श करता है अंक डी,ईऔर एफ क्रमशः। गेर्गोन बिंदु खंड AD, BE और CF का प्रतिच्छेदन बिंदु है। माना बिंदु O अंकित वृत्त का केंद्र है ?एबीसी. मान लीजिए कि अंतःवृत्त त्रिभुज BC, AC और AB की भुजाओं को क्रमशः बिंदु D, E और F पर स्पर्श करता है। गेर्गोन बिंदु खंड AD, BE और CF का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

आइए हम साबित करें कि ये तीन खंड वास्तव में एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। ध्यान दें कि अंतःवृत्त का केंद्र कोण के समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु है ?ABC, और अंतःवृत्त की त्रिज्या OD, OE और OF हैं ?त्रिभुज की भुजाएँ. इस प्रकार, हमारे पास समान त्रिभुजों के तीन जोड़े हैं (एएफओ और एईओ, बीएफओ और बीडीओ, सीडीओ और सीईओ)।

एएफ?बीडी काम करता है? सीई और एई? होना? सीएफ बराबर हैं, क्योंकि बीएफ = बीडी, सीडी = सीई, एई = एएफ, इसलिए, इन उत्पादों का अनुपात बराबर है, और सेवा के प्रमेय के अनुसार (बिंदु ए 1, बी 1, सी 1 को बीसी, एसी और एबी पक्षों पर स्थित होने दें? क्रमशः ABC। मान लीजिए कि खंड AA1, BB1 और CC1 एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। फिर

(हम त्रिभुज के चारों ओर दक्षिणावर्त घूमते हैं)), खंड एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

अंकित वृत्त के गुण:

कहा जाता है कि एक वृत्त एक त्रिभुज में अंकित होता है यदि वह इसकी सभी भुजाओं को छूता है।

किसी भी त्रिभुज में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है।

दिया गया: ABC - यह त्रिभुज, O - समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु, M, L और K - त्रिभुज की भुजाओं के साथ वृत्त की स्पर्शरेखा के बिंदु (चित्र 1.11)।

सिद्ध करें: O, ABC में अंकित वृत्त का केंद्र है।

सबूत। आइए बिंदु O से भुजाओं AB, BC और CA पर क्रमशः OK, OL और OM लंब बनाएं (चित्र 1.11)। चूँकि बिंदु O त्रिभुज ABC की भुजाओं से समान दूरी पर है, तो OK = OL = OM है। इसलिए, त्रिज्या OK का केंद्र O वाला एक वृत्त बिंदु K, L, M से होकर गुजरता है। त्रिभुज ABC की भुजाएँ इस वृत्त को बिंदु K, L, M पर स्पर्श करती हैं, क्योंकि वे त्रिज्या OK, OL और OM के लंबवत हैं। इसका मतलब यह है कि त्रिज्या OK का केंद्र O वाला एक वृत्त त्रिभुज ABC में अंकित है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

किसी त्रिभुज में अंकित वृत्त का केंद्र उसके समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है।

मान लीजिए ABC दिया गया है, O उसमें अंकित वृत्त का केंद्र है, D, E और F वृत्त की भुजाओं के संपर्क बिंदु हैं (चित्र 1.12)। ? एईओ = ? कर्ण और पैर पर AOD (EO = OD - त्रिज्या के रूप में, AO - कुल)। त्रिभुजों की समानता से क्या निष्कर्ष निकलता है? ओएडी = ? ओ.ए.ई. अतः AO कोण EAD का समद्विभाजक है। यह इसी प्रकार सिद्ध होता है कि बिंदु O त्रिभुज के अन्य दो समद्विभाजकों पर स्थित है।

स्पर्शरेखा बिंदु पर खींची गई त्रिज्या स्पर्शरेखा के लंबवत होती है।

सबूत। मान लीजिए कि चारों ओर (O; R) एक दिया हुआ वृत्त है (चित्र 1.13), सीधी रेखा a इसे बिंदु P पर स्पर्श करती है। माना कि त्रिज्या OP, a पर लंबवत नहीं है। आइए बिंदु O से स्पर्श रेखा पर एक लंब OD खींचें। स्पर्शरेखा की परिभाषा के अनुसार, बिंदु P और विशेष रूप से बिंदु D के अलावा इसके सभी बिंदु वृत्त के बाहर स्थित हैं। इसलिए, लंबवत OD की लंबाई तिरछी OP की लंबाई R से अधिक है। यह परोक्ष संपत्ति का खंडन करता है, और परिणामी विरोधाभास कथन को सिद्ध करता है।

अध्याय 2. त्रिभुज के 3 उल्लेखनीय बिंदु, यूलर का वृत्त, यूलर की सीधी रेखा।

1 त्रिभुज के परिवृत्त का केंद्र

किसी खंड का लंबवत समद्विभाजक खंड के मध्य से गुजरने वाली और उसके लंबवत रेखा होती है।

प्रमेय. किसी खंड के लंबवत समद्विभाजक का प्रत्येक बिंदु उस खंड के सिरों से समान दूरी पर होता है। इसके विपरीत: किसी खंड के सिरों से समान दूरी पर स्थित प्रत्येक बिंदु उसके लंबवत समद्विभाजक पर स्थित होता है।

सबूत। मान लीजिए सीधी रेखा m खंड AB का लंबवत समद्विभाजक है, और बिंदु O खंड का मध्यबिंदु है।

आइए एक सीधी रेखा m पर एक मनमाना बिंदु M पर विचार करें और सिद्ध करें कि AM=BM। यदि बिंदु M, बिंदु O के साथ संपाती है, तो यह समानता सत्य है, क्योंकि O खंड AB का मध्यबिंदु है। माना कि M और O अलग-अलग बिंदु हैं। आयताकार ?ओएएम और ?OBM दो पैरों पर बराबर हैं (OA = OB, OM सामान्य पैर है), इसलिए AM = VM है।

) खंड AB के सिरों से समान दूरी पर एक मनमाना बिंदु N पर विचार करें और सिद्ध करें कि बिंदु N रेखा m पर स्थित है। यदि N रेखा AB पर एक बिंदु है, तो यह खंड AB के मध्यबिंदु O के साथ संपाती होता है और इसलिए रेखा m पर स्थित होता है। यदि बिंदु N रेखा AB पर नहीं है, तो विचार करें ?एएनबी, जो समद्विबाहु है, क्योंकि एएन=बीएन। खंड NO इस त्रिभुज की माध्यिका है, और इसलिए ऊँचाई है। इस प्रकार, NO, AB पर लंबवत है, इसलिए रेखाएँ ON और m संपाती हैं, और, इसलिए, N रेखा m का एक बिंदु है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

परिणाम। त्रिभुज की भुजाओं के लंबवत समद्विभाजक एक बिंदु (परिवृत्त का केंद्र) पर प्रतिच्छेद करते हैं।

आइए हम भुजाओं AB और BC पर द्विभाजक लंब m और n के प्रतिच्छेदन बिंदु O को निरूपित करें। ?एबीसी. प्रमेय के अनुसार (किसी खंड के लंबवत समद्विभाजक का प्रत्येक बिंदु इस खंड के सिरों से समान दूरी पर होता है। इसके विपरीत: खंड के सिरों से समान दूरी वाला प्रत्येक बिंदु इसके लंबवत समद्विभाजक पर स्थित होता है।) हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि OB = OA और OB = OC इसलिए: OA = OC, अर्थात, बिंदु O खंड AC के सिरों से समान दूरी पर है और इसलिए, इस खंड के लंबवत समद्विभाजक p पर स्थित है। इसलिए, तीनों समद्विभाजक m, n और p भुजाओं पर हैं ?ABC बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती है।

एक न्यून त्रिभुज के लिए यह बिंदु अंदर स्थित होता है, एक अधिक त्रिभुज के लिए यह त्रिभुज के बाहर स्थित होता है, एक समकोण त्रिभुज के लिए यह कर्ण के मध्य में स्थित होता है।

एक त्रिभुज के लंब समद्विभाजक का गुण:

वे रेखाएँ जिन पर आंतरिक तथा के समद्विभाजक हैं बाहरी कोनेएक शीर्ष से निकलने वाले त्रिभुज त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त के व्यास के विपरीत बिंदुओं पर विपरीत दिशा के मध्य में लंबवत के साथ प्रतिच्छेद करते हैं।

सबूत। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि समद्विभाजक ABC वर्णित को प्रतिच्छेद करता है ?बिंदु D पर ABC वृत्त (चित्र 2.1)। फिर चूंकि अंकित एबीडी और डीबीसी बराबर हैं, तो एडी = आर्क डीसी। लेकिन भुजा AC पर लम्ब समद्विभाजक चाप AC को भी समद्विभाजित करता है, इसलिए बिंदु D भी इस लम्ब समद्विभाजक से संबंधित होगा। इसके अलावा, चूंकि अनुच्छेद 1.3 से गुण 30 के अनुसार द्विभाजक बीडी एबीसी एबीसी से सटा हुआ है, बाद वाला वृत्त को बिंदु डी के व्यास के विपरीत एक बिंदु पर काटेगा, क्योंकि एक अंकित समकोण हमेशा व्यास पर टिका होता है।

2 त्रिभुज के वृत्त का लंबकेन्द्र

ऊँचाई एक त्रिभुज के शीर्ष से विपरीत भुजा वाली सीधी रेखा पर खींचा गया लम्ब है।

एक त्रिभुज (या उनके विस्तार) की ऊंचाई एक बिंदु (लंबकेन्द्र) पर प्रतिच्छेद करती है।

सबूत। एक मनमाने ढंग से विचार करें ?ABC और सिद्ध करें कि इसकी ऊँचाई वाली रेखाएँ AA1, BB1, CC1 एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। आइए प्रत्येक शिखर से गुजरें ?ABC विपरीत दिशा के समानांतर एक सीधी रेखा है। हम पाते हैं ?A2B2C2. बिंदु A, B और C इस त्रिभुज के मध्य बिंदु हैं। दरअसल, AB=A2C और AB=CB2 समांतर चतुर्भुज ABA2C और ABCB2 की विपरीत भुजाओं की तरह हैं, इसलिए A2C=CB2। इसी प्रकार C2A=AB2 और C2B=BA2। इसके अलावा, निर्माण से निम्नानुसार, CC1 A2B2 के लंबवत है, AA1 B2C2 के लंबवत है और BB1 A2C2 के लंबवत है। इस प्रकार, रेखाएँ AA1, BB1 और CC1 भुजाओं पर लंबवत समद्विभाजक हैं ?A2B2C2. इसलिए, वे एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

त्रिभुज के प्रकार के आधार पर, लंबकेंद्र तीव्र कोणों में त्रिभुज के अंदर हो सकता है, इसके बाहर - अधिक कोणों में या शीर्ष के साथ मेल खाता है, आयताकार में यह समकोण पर शीर्ष के साथ मेल खाता है।

त्रिभुज की ऊँचाई के गुण:

एक न्यून त्रिभुज की दो ऊँचाइयों के आधारों को जोड़ने वाला एक खंड, दिए गए त्रिभुज के समान एक त्रिभुज को काट देता है, जिसका समानता गुणांक उभयनिष्ठ कोण की कोज्या के बराबर होता है।

सबूत। मान लीजिए AA1, BB1, CC1 न्यूनकोण त्रिभुज ABC की ऊंचाइयां हैं, और ABC = है ?(चित्र 2.2)। समकोण त्रिभुज BA1A और CC1B में एक समानता है ?, इसलिए वे समान हैं, जिसका अर्थ है BA1/BA = BC1/BC = cos ?. यह इस प्रकार है कि BA1/BC1=BA/BC = cos ?, अर्थात। वी ?C1BA1 और ?एबीसी भुजाएँ उभयनिष्ठ से सटी हुई हैं ??C1BA1~ ?एबीसी, कॉस के बराबर समानता गुणांक के साथ ?. इसी प्रकार यह सिद्ध भी हो गया है ?A1CB1~ ?समानता गुणांक कॉस बीसीए के साथ एबीसी, और ?B1AC1~ ?समानता गुणांक cos CAB के साथ एबीसी।

एक समकोण त्रिभुज के कर्ण तक गिराई गई ऊंचाई इसे एक दूसरे के समान और मूल त्रिभुज के समान दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।

सबूत। एक आयताकार पर विचार करें ?एबीसी, जो है ?बीसीए = 900, और सीडी इसकी ऊंचाई है (चित्र 2.3)।

फिर समानता ?एडीसी और ?उदाहरण के लिए, बीडीसी दो पैरों की आनुपातिकता द्वारा समकोण त्रिभुजों की समानता के चिह्न का अनुसरण करता है, क्योंकि एडी/सीडी = सीडी/डीबी। प्रत्येक समकोण त्रिभुज ADC और BDC मूल समकोण त्रिभुज के समान है, कम से कम दो कोणों पर समानता के आधार पर।

उन्नयन गुणों के उपयोग से जुड़ी समस्याओं का समाधान करना

समस्या 1. साबित करें कि एक त्रिभुज, जिसका एक शीर्ष दिए गए अधिक त्रिभुज का शीर्ष है, और अन्य दो शीर्ष अधिक त्रिभुज की ऊंचाई के आधार हैं, इसके दो अन्य शीर्षों से हटा दिया गया है, इसके समान है पहले शीर्ष पर कोण की कोज्या के मापांक के बराबर समानता गुणांक वाला त्रिभुज दिया गया है।

समाधान। एक कुंठित बात पर विचार करें ?मूर्खतापूर्ण सीएबी के साथ एबीसी। मान लीजिए AA1, BB1, CC1 इसकी ऊंचाई हैं (चित्र 2.4, 2.5, 2.6) और मान लीजिए CAB = ?, एबीसी = ? , बीसीए = ?.

इस बात का प्रमाण ?C1BA1~ ?ABC (चित्र 2.4) समानता गुणांक k = cos के साथ ?, संपत्ति 1, पैराग्राफ 2.2 के प्रमाण में किए गए तर्क को पूरी तरह से दोहराता है।

आइए इसे साबित करें ?A1CB~ ?एबीसी (चित्र 2.5) समानता गुणांक k1=cos के साथ ?, ए ?B1AC1~ ?ABC (चित्र 2.6) समानता गुणांक k2 = |cos के साथ? |.

दरअसल, समकोण त्रिभुज CA1A और CB1B में एक उभयनिष्ठ कोण होता है ?और इसलिए समान. यह इस प्रकार है कि B1C/BC = A1C/AC=cos ?और, इसलिए, B1C/ A1C = BC / AC = cos ?, अर्थात। त्रिभुज A1CB1 और ABC में भुजाएँ एक उभयनिष्ठ बनाती हैं ??, आनुपातिक हैं। और फिर, त्रिभुजों की समानता की दूसरी कसौटी के अनुसार ?A1CB~ ?ABC, समानता गुणांक k1=cos के साथ ?. जहाँ तक अंतिम स्थिति का प्रश्न है (चित्र 2.6), तो समकोण त्रिभुजों के विचार से ?बीबी1ए और ?CC1A समान ऊर्ध्वाधर कोण BAB1 और C1AC के साथ यह इस प्रकार है कि वे समान हैं और इसलिए B1A / BA = C1A / CA = cos (1800 - ?) = |क्योंकि ?|, तब से ??- कुंद। इसलिए B1A / C1A = BA /CA = |cos ?| और इस प्रकार त्रिभुजों में ?B1AC1 और ?समान कोण बनाने वाली ABC भुजाएँ समानुपाती होती हैं। और इसका मतलब ये है ?B1AC1~ ?समानता गुणांक k2 = |cos के साथ ABC? |.

समस्या 2. सिद्ध करें कि यदि बिंदु O न्यूनकोण त्रिभुज ABC की ऊंचाईयों का प्रतिच्छेदन बिंदु है, तो ABC + AOC = 1800, BCA + BOA = 1800, CAB + COB = 1800.

समाधान। आइए हम समस्या कथन में दिए गए पहले सूत्र की वैधता सिद्ध करें। शेष दो सूत्रों की वैधता इसी प्रकार सिद्ध होती है। तो मान लीजिए ABC = ?, एओसी = ?. A1, B1 और C1 क्रमशः शीर्ष A, B और C से खींचे गए त्रिभुज की ऊंचाई के आधार हैं (चित्र 2.7)। फिर समकोण त्रिभुज BC1C से यह निष्कर्ष निकलता है कि BCC1 = 900 - ?और इस प्रकार समकोण त्रिभुज OA1C में कोण COA1 बराबर होता है ?. लेकिन कोणों का योग AOC + COA1 = ? + ?एक सीधा कोण देता है और इसलिए AOC + COA1 = AOC + ABC = 1800, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

समस्या 3. सिद्ध करें कि एक न्यून त्रिभुज की ऊँचाई उस त्रिभुज के कोणों के समद्विभाजक हैं जिनके शीर्ष इस त्रिभुज की ऊँचाई के आधार हैं।

है.2.8

समाधान। मान लीजिए AA1, BB1, CC1 न्यूनकोण त्रिभुज ABC के शीर्षलंब हैं और CAB = है ?(चित्र 2.8)। उदाहरण के लिए, आइए सिद्ध करें कि ऊंचाई AA1 कोण C1A1B1 का समद्विभाजक है। दरअसल, चूँकि त्रिभुज C1BA1 और ABC समरूप हैं (गुण 1), तो BA1C1 = ?और, इसलिए, C1A1A = 900 - ?. त्रिभुज A1CB1 और ABC की समानता से यह निष्कर्ष निकलता है कि AA1B1 = 900 - ?और इसलिए C1A1A = AA1B1= 900 - ?. लेकिन इसका मतलब यह है कि AA1 कोण C1A1B1 का समद्विभाजक है। इसी प्रकार, यह सिद्ध है कि त्रिभुज ABC की अन्य दो ऊँचाई त्रिभुज A1B1C1 के अन्य दो संगत कोणों के समद्विभाजक हैं।

3 त्रिभुज के वृत्त का गुरुत्व केंद्र

त्रिभुज की माध्यिका त्रिभुज के किसी भी शीर्ष को विपरीत भुजा के मध्यबिंदु से जोड़ने वाला एक खंड है।

प्रमेय. त्रिभुज की माध्यिका एक बिंदु (गुरुत्वाकर्षण केंद्र) पर प्रतिच्छेद करती है।

सबूत। आइए मनमाने ढंग से विचार करें? एबीसी.

आइए माध्यिका AA1 और BB1 के प्रतिच्छेदन बिंदु को अक्षर O से निरूपित करें और इस त्रिभुज की मध्य रेखा A1B1 खींचें। खंड A1B1 भुजा AB के समानांतर है, इसलिए 1 = 2 और 3 = 4. इसलिए, ?एओबी और ?A1OB1 दो कोणों पर समान हैं, और इसलिए, उनकी भुजाएँ आनुपातिक हैं: AO:A1O=BO:B1O=AB:A1B1। लेकिन AB=2A1B1, इसलिए AO=2A1O और BO=2B1O। इस प्रकार, माध्यिका AA1 और BB1 के प्रतिच्छेदन का बिंदु O उनमें से प्रत्येक को शीर्ष से गिनती करते हुए 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है।

यह समान रूप से सिद्ध है कि माध्यिका BB1 और CC1 का प्रतिच्छेदन बिंदु उनमें से प्रत्येक को शीर्ष से गिनती करते हुए 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है, और इसलिए, बिंदु O के साथ मेल खाता है और इसे 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है, शीर्ष से गिनती.

त्रिभुज की माध्यिका के गुण:

10 एक त्रिभुज की माध्यिकाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और शीर्ष से गिनती करते हुए, प्रतिच्छेदन बिंदु से 2:1 के अनुपात में विभाजित होती हैं।

दिया गया: ?एबीसी, एए1, बीबी1 - माध्यिकाएँ।

साबित करें: AO:OA1=VO:OB1=2:1

सबूत। आइए मध्य रेखा A1B1||AB, A1B1=1/2 AB के गुण के अनुसार, मध्य रेखा A1B1 (चित्र 2.10) खींचें। चूँकि A1B1 || AB, तो 1 = 2 समानांतर रेखाओं AB और A1B1 और छेदक AA1 के साथ आड़ा पड़ा हुआ है। 3 = 4 समानांतर रेखाओं A1B1 और AB और छेदक BB1 के साथ आड़ा पड़ा हुआ है।

इस तरह, ?एओबी~ ?A1OB1 दो कोणों की समानता से, जिसका अर्थ है कि भुजाएँ आनुपातिक हैं: AO/A1O = OB/OB1 = AB/A1B = 2/1, AO/A1O = 2/1; ओबी/ओबी1 = 2/1.

माध्यिका एक त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।

सबूत। बीडी - माध्यिका ?एबीसी (चित्र 2.11), बीई - इसकी ऊंचाई। तब ?एबीडी और ?डीबीसी आकार में बराबर हैं क्योंकि उनके आधार क्रमशः एडी और डीसी समान हैं और एक सामान्य ऊंचाई बीई है।

सम्पूर्ण त्रिभुज को उसकी माध्यिकाओं द्वारा छह समान त्रिभुजों में विभाजित किया गया है।

यदि, त्रिभुज की माध्यिका की निरंतरता पर, त्रिभुज की भुजा के मध्य से माध्यिका की लंबाई के बराबर एक खंड निकाला जाता है, तो इस खंड का अंतिम बिंदु और त्रिभुज के शीर्ष के शीर्ष होते हैं समांतर चतुर्भुज.

सबूत। मान लीजिए D भुजा BC का मध्यबिंदु है ?ABC (चित्र 2.12), E रेखा AD पर एक बिंदु इस प्रकार है कि DE=AD है। फिर, चूँकि चतुर्भुज ABEC के विकर्ण AE और BC उनके प्रतिच्छेदन के बिंदु D पर द्विभाजित हैं, गुण 13.4 से यह निष्कर्ष निकलता है कि चतुर्भुज ABEC एक समांतर चतुर्भुज है।

माध्यिकाओं के गुणों का उपयोग करके समस्याओं का समाधान करना:

समस्या 1. सिद्ध करें कि यदि O माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है ?फिर एबीसी ?ए.ओ.बी. ?बीओसी और ?एओसी आकार में बराबर हैं।

समाधान। मान लीजिए कि AA1 और BB1 माध्यिकाएँ हैं ?एबीसी(चित्र 2.13)। चलो गौर करते हैं ?एओबी और ?बीओसी. यह स्पष्ट है कि एस ?एओबी = एस ?AB1B-एस ?एबी1ओ,एस ?बीओसी=एस ?बीबी1सी-एस ?OB1C. लेकिन संपत्ति 2 से हमारे पास S है ?एबी1बी=एस ?बीबी1सी,एस ?एओबी = एस ?OB1C, जिसका अर्थ है कि S ?एओबी = एस ?बीओसी. समानता एस ?एओबी = एस ?एओसी.

समस्या 2. सिद्ध करें कि यदि बिंदु O अंदर स्थित है ?एबीसी और ?ए.ओ.बी. ?बीओसी और ?AOC क्षेत्रफल में बराबर है, तो O माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है? एबीसी.

समाधान। चलो गौर करते हैं ?ABC (2.14) और मान लें कि बिंदु O माध्यिका BB1 पर स्थित नहीं है। फिर चूँकि OB1 माध्यिका है ?एओसी फिर एस ?एओबी1 = एस ?B1OC , और चूँकि शर्त S से ?एओबी = एस ?बीओसी, फिर एस ?एबी1ओबी = एस ?BOB1C. लेकिन ऐसा नहीं हो सकता, क्योंकि एस ?एबीबी1 = एस ?बी1बीसी. परिणामी विरोधाभास का अर्थ है कि बिंदु O माध्यिका BB1 पर स्थित है। इसी प्रकार, यह सिद्ध है कि बिंदु O दो अन्य माध्यिकाओं से संबंधित है ?एबीसी. इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि बिंदु O वास्तव में तीन माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है? एबीसी.

समस्या 3. सिद्ध करें कि यदि में ?ABC की भुजाएँ AB और BC बराबर नहीं हैं, तो इसका समद्विभाजक BD माध्यिका BM और ऊँचाई BH के बीच स्थित है।

सबूत। आइये इसके बारे में बताते हैं ?ABC एक वृत्त है और इसके समद्विभाजक BD को तब तक फैलाता है जब तक कि यह वृत्त को बिंदु K पर नहीं काटता है। बिंदु K के माध्यम से खंड AC (संपत्ति 1, बिंदु 2.1 से) पर एक लंबवत लंब होगा, जिसमें एक माध्यिका होती है आम बातएम. लेकिन चूंकि खंड बीएच और एमके समानांतर हैं, और बिंदु बी और के रेखा एसी के विपरीत किनारों पर स्थित हैं, तो खंड बीके और एसी का प्रतिच्छेदन बिंदु खंड एचएम से संबंधित है, और यह साबित करता है कि क्या आवश्यक है।

समस्या 4. बी ?ABC माध्यिका BM भुजा AB के आधे आकार की है और इसके साथ 400 का कोण बनाती है। ABC ज्ञात कीजिए।

समाधान। आइए माध्यिका BM को उसकी लंबाई से बिंदु M से आगे बढ़ाएं और बिंदु D प्राप्त करें (चित्र 2.15)। चूँकि AB = 2BM है, तो AB = BD है, अर्थात् त्रिभुज ABD समद्विबाहु है। इसलिए, BAD = BDA = (180o - 40o) : 2 = 70o. चतुर्भुज ABCD एक समांतर चतुर्भुज है क्योंकि इसके विकर्ण उनके प्रतिच्छेदन बिंदु से विभाजित होते हैं। इसका मतलब है सीबीडी = एडीबी = 700. तब ABC = ABD + CBD =1100। उत्तर 1100 है।

समस्या 5. भुजाएँ?ABC, a, b, c के बराबर हैं। भुजा c पर खींची गई माध्यिका mc की गणना करें (चित्र 2.16)।

समाधान। आइए समांतर चतुर्भुज ACBP पर ?ABC बनाकर माध्यिका को दोगुना करें, और इस समांतर चतुर्भुज पर प्रमेय 8 लागू करें। हमें मिलता है: CP2+AB2 = 2AC2+2BC2, यानी। (2mc)2+c2= 2b2+2a2, जहां से हम पाते हैं:

2.4 यूलर सर्कल। यूलर की रेखा

प्रमेय. माध्यिकाओं के आधार, एक मनमाना त्रिभुज की ऊंचाई, साथ ही त्रिभुज के शीर्षों को इसके लंबकेन्द्र से जोड़ने वाले खंडों के मध्य बिंदु एक ही वृत्त पर स्थित होते हैं, जिसकी त्रिज्या इसके चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या के आधे के बराबर होती है। त्रिकोण। इस वृत्त को नौ-बिंदु वृत्त या यूलर वृत्त कहा जाता है।

सबूत। आइए मध्य लें?MNL (चित्र 2.17) और इसके चारों ओर एक वृत्त W का वर्णन करें। खंड LQ आयताकार?AQB में माध्यिका है, इसलिए LQ=1/2AB। खंड MN=1/2AB, क्योंकि एमएन - मध्य रेखा?एबीसी। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि समलम्बाकार QLMN समद्विबाहु है। चूँकि वृत्त W एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज L, M, N के तीन शीर्षों से होकर गुजरता है, यह चौथे शीर्ष Q से भी होकर गुजरेगा। इसी प्रकार, यह सिद्ध हो गया है कि P, W से संबंधित है, R, W से संबंधित है।

आइए बिंदु X, Y, Z पर चलते हैं। खंड XL मध्य रेखा?AHB के रूप में BH पर लंबवत है। खंड BH, AC के लंबवत है और चूँकि AC, LM के समानांतर है, तो BH, LM के लंबवत है। इसलिए, XLM=P/2. इसी प्रकार, XNM= P/2.

चतुर्भुज LXNM में, दो विपरीत कोण समकोण होते हैं, इसलिए इसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है। यह वृत्त W होगा। इसलिए X, W से संबंधित है, इसी प्रकार Y, W से संबंधित है, Z, W से संबंधित है।

मध्य?एलएमएन?एबीसी के समान है। समानता गुणांक 2 है। इसलिए, नौ बिंदुओं के वृत्त की त्रिज्या R/2 है।

यूलर सर्कल के गुण:

नौ बिंदुओं वाले वृत्त की त्रिज्या, ABC के चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या के आधे के बराबर है।

नौ बिंदुओं का वृत्त, गुणांक के साथ, एबीसी के चारों ओर परिचालित वृत्त के समरूप है ½ और बिंदु H पर समरूपता केंद्र।

प्रमेय. लंबकेंद्र, केन्द्रक, परिकेंद्र और नौ-बिंदु वृत्त केंद्र एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं। यूलर की सीधी रेखा.

सबूत। मान लीजिए H लंबकेंद्र है? ABC (चित्र 2.18) और O परिचालित वृत्त का केंद्र है। निर्माण के अनुसार, लंब समद्विभाजक?एबीसी में माध्यिका?एमएनएल की ऊंचाइयां होती हैं, अर्थात O एक साथ लंबकेंद्र?LMN है। ?LMN ~ ?ABC, उनका समानता गुणांक 2 है, इसलिए BH=2ON।

आइए बिंदु H और O से होकर एक सीधी रेखा खींचें। हमें दो समरूप त्रिभुज?NOG और?BHG मिलते हैं। चूँकि BH=2ON, तो BG=2GN। उत्तरार्द्ध का अर्थ है कि बिंदु G केन्द्रक है?एबीसी। बिंदु G के लिए अनुपात HG:GO=2:1 संतुष्ट है।

मान लीजिए कि TF लंबवत समद्विभाजक है? MNL और F, रेखा HO के साथ इस लंबवत का प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। आइए समान ?TGF और ?NGO पर विचार करें। बिंदु G?MNL का केन्द्रक है, इसलिए?TGF और?NGO का समानता गुणांक 2 के बराबर है। इसलिए OG=2GF और चूँकि HG=2GO, तो HF=FO और F खंड HO का मध्य है।

यदि हम दूसरी ओर?एमएनएल के लंबवत समद्विभाजक के संबंध में भी यही तर्क अपनाते हैं, तो इसे खंड HO के मध्य से भी गुजरना होगा। लेकिन इसका मतलब यह है कि बिंदु F लंबवत समद्विभाजक का बिंदु है?MNL। यह बिंदु यूलर सर्कल का केंद्र है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

निष्कर्ष

इस कार्य में, हमने स्कूल में पढ़े गए त्रिभुज के 4 अद्भुत बिंदुओं और उनके गुणों को देखा, जिनके आधार पर हम कई समस्याओं का समाधान कर सकते हैं। गेर्गोन बिंदु, यूलर सर्कल और यूलर सीधी रेखा पर भी विचार किया गया।

प्रयुक्त स्रोतों की सूची

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इस पाठ में हम त्रिभुज के चार अद्भुत बिंदुओं को देखेंगे। आइए उनमें से दो पर विस्तार से ध्यान दें, महत्वपूर्ण प्रमेयों के प्रमाणों को याद करें और समस्या का समाधान करें। आइए हम शेष दो को याद करें और उनका वर्णन करें।

विषय:आठवीं कक्षा के ज्यामिति पाठ्यक्रम का पुनरीक्षण

पाठ: त्रिभुज के चार अद्भुत बिंदु

एक त्रिभुज, सबसे पहले, तीन खंड और तीन कोण है, इसलिए खंड और कोण के गुण मौलिक हैं।

खंड AB दिया गया है। किसी भी खंड का एक मध्यबिंदु होता है, और इसके माध्यम से एक लंब खींचा जा सकता है - आइए इसे पी के रूप में निरूपित करें। इस प्रकार, p लम्ब समद्विभाजक है।

प्रमेय (लंबवत द्विभाजक की मुख्य संपत्ति)

लंब समद्विभाजक पर स्थित कोई भी बिंदु खंड के सिरों से समान दूरी पर होता है।

साबित करें कि

सबूत:

त्रिभुजों पर विचार करें और (चित्र 1 देखें)। वे आयताकार और बराबर हैं, क्योंकि. एक उभयनिष्ठ पैर OM है, और पैर AO और OB शर्त के अनुसार बराबर हैं, इस प्रकार, हमारे पास दो समकोण त्रिभुज हैं, जो दो पैरों में बराबर हैं। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि त्रिभुजों के कर्ण भी बराबर होते हैं, अर्थात जो सिद्ध करना आवश्यक था।

चावल। 1

व्युत्क्रम प्रमेय सत्य है।

प्रमेय

किसी खंड के सिरों से समदूरस्थ प्रत्येक बिंदु इस खंड के लंबवत समद्विभाजक पर स्थित होता है।

एक खंड AB, उस पर एक लंबवत समद्विभाजक p, खंड के सिरों से समान दूरी पर एक बिंदु M दिया गया है (चित्र 2 देखें)।

सिद्ध करें कि बिंदु M खंड के लंबवत समद्विभाजक पर स्थित है।

चावल। 2

सबूत:

एक त्रिभुज पर विचार करें. स्थिति के अनुसार यह समद्विबाहु है। एक त्रिभुज की माध्यिका पर विचार करें: बिंदु O आधार AB का मध्य है, OM माध्यिका है। एक समद्विबाहु त्रिभुज के गुण के अनुसार, इसके आधार पर खींची गई माध्यिका ऊंचाई और समद्विभाजक दोनों होती है। यह इस प्रकार है कि । लेकिन रेखा p, AB पर भी लंबवत है। हम जानते हैं कि बिंदु O पर खंड AB पर एक एकल लंब खींचना संभव है, जिसका अर्थ है कि रेखाएँ OM और p संपाती हैं, इसका मतलब यह है कि बिंदु M सीधी रेखा p से संबंधित है, जिसे हमें साबित करने की आवश्यकता है।

यदि एक खंड के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करना आवश्यक है, तो यह किया जा सकता है, और ऐसे अनगिनत वृत्त हैं, लेकिन उनमें से प्रत्येक का केंद्र खंड के लंबवत समद्विभाजक पर स्थित होगा।

वे कहते हैं कि लंब समद्विभाजक एक खंड के सिरों से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का स्थान है।

एक त्रिभुज में तीन खंड होते हैं। आइए हम उनमें से दो पर समद्विभाजक लंब बनाएं और उनके प्रतिच्छेदन का बिंदु O प्राप्त करें (चित्र 3 देखें)।

बिंदु O त्रिभुज की भुजा BC के लंबवत समद्विभाजक से संबंधित है, जिसका अर्थ है कि यह इसके शीर्षों B और C से समान दूरी पर है, आइए इस दूरी को R के रूप में निरूपित करें:।

इसके अलावा, बिंदु O खंड AB के लंबवत समद्विभाजक पर स्थित है, अर्थात। , उसी समय, यहाँ से।

इस प्रकार, दो मध्यबिंदुओं के प्रतिच्छेदन का बिंदु O

चावल। 3

त्रिभुज का लम्ब इसके शीर्षों से समान दूरी पर है, जिसका अर्थ है कि यह लम्ब के तीसरे समद्विभाजक पर भी स्थित है।

हमने एक महत्वपूर्ण प्रमेय का प्रमाण दोहराया है।

त्रिभुज के तीन लंबवत समद्विभाजक एक बिंदु - परिवृत्त के केंद्र - पर प्रतिच्छेद करते हैं।

तो, हमने त्रिभुज के पहले उल्लेखनीय बिंदु को देखा - इसके द्विभाजक लंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु।

आइए एक मनमाना कोण की संपत्ति पर आगे बढ़ें (चित्र 4 देखें)।

कोण दिया गया है, इसका समद्विभाजक AL है, बिंदु M समद्विभाजक पर स्थित है।

चावल। 4

यदि बिंदु M किसी कोण के समद्विभाजक पर स्थित है, तो यह कोण की भुजाओं से समान दूरी पर होता है, अर्थात कोण की भुजाओं की बिंदु M से AC और BC तक की दूरी बराबर होती है।

सबूत:

त्रिभुजों और पर विचार करें। ये समकोण त्रिभुज हैं और ये बराबर हैं क्योंकि... एक उभयनिष्ठ कर्ण AM है, और कोण बराबर हैं, क्योंकि AL कोण का समद्विभाजक है। इस प्रकार, समकोण त्रिभुज कर्ण और न्यून कोण में बराबर होते हैं, इससे यह निष्कर्ष निकलता है, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है। इस प्रकार, किसी कोण के समद्विभाजक पर एक बिंदु उस कोण की भुजाओं से समान दूरी पर होता है।

व्युत्क्रम प्रमेय सत्य है।

प्रमेय

यदि कोई बिंदु किसी अविकसित कोण की भुजाओं से समान दूरी पर है, तो वह उसके समद्विभाजक पर स्थित होता है (चित्र 5 देखें)।

एक अविकसित कोण दिया गया है, बिंदु M, इस प्रकार कि उससे कोण की भुजाओं की दूरी समान हो।

सिद्ध कीजिए कि बिंदु M कोण के समद्विभाजक पर स्थित है।

चावल। 5

सबूत:

एक बिंदु से एक रेखा की दूरी लंब की लंबाई है। बिंदु M से हम भुजा AB पर लंब MK और भुजा AC पर MR खींचते हैं।

त्रिभुजों और पर विचार करें। ये समकोण त्रिभुज हैं और ये बराबर हैं क्योंकि... एक समान कर्ण AM है, स्थिति के अनुसार पैर MK और MR बराबर हैं। इस प्रकार, समकोण त्रिभुज कर्ण और पाद में बराबर होते हैं। त्रिभुजों की समानता से संगत तत्वों की समानता आती है; समान कोण समान भुजाओं के विपरीत स्थित होते हैं, इस प्रकार, इसलिए, बिंदु M दिए गए कोण के समद्विभाजक पर स्थित है।

यदि आपको किसी कोण में एक वृत्त अंकित करने की आवश्यकता है, तो यह किया जा सकता है, और ऐसे अनगिनत वृत्त हैं, लेकिन उनके केंद्र किसी दिए गए कोण के समद्विभाजक पर स्थित होते हैं।

वे कहते हैं कि समद्विभाजक एक कोण की भुजाओं से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का स्थान है।

एक त्रिभुज में तीन कोण होते हैं। आइए उनमें से दो के समद्विभाजक बनाएं और उनके प्रतिच्छेदन का बिंदु O प्राप्त करें (चित्र 6 देखें)।

बिंदु O कोण के समद्विभाजक पर स्थित है, जिसका अर्थ है कि यह इसकी भुजाओं AB और BC से समान दूरी पर है, आइए दूरी को r के रूप में निरूपित करें:। साथ ही, बिंदु O कोण के समद्विभाजक पर स्थित है, जिसका अर्थ है कि यह अपनी भुजाओं AC और BC से समान दूरी पर है: , , यहाँ से।

यह देखना आसान है कि द्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु तीसरे कोण की भुजाओं से समान दूरी पर है, जिसका अर्थ है कि यह पर स्थित है

चावल। 6

कोण द्विभाजक. इस प्रकार, त्रिभुज के तीनों समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

तो, हमें एक और महत्वपूर्ण प्रमेय का प्रमाण याद आ गया।

त्रिभुज के कोणों के समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं - अंकित वृत्त का केंद्र।

तो, हमने त्रिभुज के दूसरे उल्लेखनीय बिंदु को देखा - समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु।

हमने कोण के समद्विभाजक को देखा और उसे चिह्नित किया महत्वपूर्ण गुण: समद्विभाजक के बिंदु कोण की भुजाओं से समान दूरी पर होते हैं, इसके अलावा, एक बिंदु से वृत्त पर खींचे गए स्पर्शरेखा खंड बराबर होते हैं।

आइए कुछ संकेतन का परिचय दें (चित्र 7 देखें)।

आइए हम समान स्पर्शरेखा खंडों को x, y और z से निरूपित करें। शीर्ष A के विपरीत स्थित भुजा BC को a के रूप में नामित किया गया है, इसी प्रकार AC को b के रूप में, AB को c के रूप में नामित किया गया है।

चावल। 7

समस्या 1: एक त्रिभुज में, अर्ध-परिधि और भुजा a की लंबाई ज्ञात होती है। शीर्ष A - AK से खींची गई स्पर्शरेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए, जिसे x द्वारा निरूपित किया गया है।

जाहिर है, त्रिकोण पूरी तरह से परिभाषित नहीं है, और ऐसे कई त्रिकोण हैं, लेकिन यह पता चला है कि उनमें कुछ तत्व समान हैं।

अंकित वृत्त से जुड़ी समस्याओं के लिए, निम्नलिखित समाधान विधि प्रस्तावित की जा सकती है:

1. समद्विभाजक बनाएं और अंकित वृत्त का केंद्र प्राप्त करें।

2. केंद्र O से, भुजाओं पर लंब खींचिए और स्पर्शरेखा बिंदु प्राप्त कीजिए।

3. समान स्पर्शरेखाएँ अंकित करें।

4. त्रिभुज की भुजाओं और स्पर्श रेखाओं के बीच संबंध लिखिए।

त्रिभुज में तथाकथित चार उल्लेखनीय बिंदु होते हैं: माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु। समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु, ऊंचाईयों का प्रतिच्छेदन बिंदु और लंबवत समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु। आइए उनमें से प्रत्येक पर नजर डालें।

त्रिभुज माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु

प्रमेय 1

सबूत।

त्रिभुज $ABC$ पर विचार करें, जहां $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ इसकी माध्यिकाएं हैं। चूँकि माध्यिकाएँ भुजाओं को आधे में विभाजित करती हैं। आइए मध्य रेखा $A_1B_1$ पर विचार करें (चित्र 1)।

चित्र 1. एक त्रिभुज की माध्यिकाएँ

इसी प्रकार यह भी सिद्ध हो गया है

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

त्रिभुज के समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु

प्रमेय 2

सबूत।

चित्र 2. त्रिभुज के समद्विभाजक

प्रमेय 3

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

किसी त्रिभुज के लम्ब समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु

प्रमेय 4

त्रिभुज की भुजाओं के लंबवत समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

सबूत।

चित्र 3. एक त्रिभुज के लम्ब समद्विभाजक

इसे सिद्ध करने के लिए हमें निम्नलिखित प्रमेय की आवश्यकता है।

प्रमेय 5

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

त्रिभुज की ऊंचाईयों का प्रतिच्छेदन बिंदु

प्रमेय 6

किसी त्रिभुज की ऊंचाई या उनके विस्तार एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

सबूत।

चित्र 4. त्रिभुज की ऊँचाई

सामग्री

परिचय…………………………………………………………………………3

अध्याय 1।

1.1 त्रिभुज……………………………………………………………………..4

1.2. एक त्रिभुज की माध्यिकाएँ

1.4. एक त्रिकोण में ऊँचाई

निष्कर्ष

प्रयुक्त साहित्य की सूची

पुस्तिका

परिचय

ज्यामिति गणित की एक शाखा है जो विभिन्न आकृतियों और उनके गुणों से संबंधित है। ज्यामिति की शुरुआत त्रिभुज से होती है। ढाई सहस्राब्दियों से, त्रिभुज ज्यामिति का प्रतीक रहा है; लेकिन यह केवल एक प्रतीक नहीं है, त्रिभुज ज्यामिति का एक परमाणु है।

अपने काम में, मैं एक त्रिभुज के समद्विभाजक, माध्यिका और ऊंचाई के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के गुणों पर विचार करूंगा, और उनके उल्लेखनीय गुणों और त्रिभुज की रेखाओं के बारे में बात करूंगा।

ऐसे ही कुछ बिंदुओं पर अध्ययन किया गया स्कूल पाठ्यक्रमज्यामिति में शामिल हैं:

ए) समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु (अंकित वृत्त का केंद्र);

बी) समद्विभाजक लंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु (परिवृत्त वृत्त का केंद्र);

ग) ऊंचाइयों के प्रतिच्छेदन का बिंदु (ऑर्थोसेंटर);

डी) माध्यिकाओं (केन्द्रक) के प्रतिच्छेदन का बिंदु।

प्रासंगिकता: त्रिभुज के बारे में अपना ज्ञान बढ़ाएँ,इसके गुणअद्भुत अंक.

लक्ष्य: त्रिभुज का उसके उल्लेखनीय बिंदुओं तक अन्वेषण,उनका अध्ययन कर रहे हैंवर्गीकरण और गुण.

कार्य:

1. आवश्यक साहित्य का अध्ययन करें

2. त्रिभुज के उल्लेखनीय बिंदुओं के वर्गीकरण का अध्ययन करें

3. उल्लेखनीय त्रिभुज बिंदु बनाने में सक्षम हो।

4. पुस्तिका के डिज़ाइन के लिए अध्ययन की गई सामग्री का सारांश प्रस्तुत करें।

परियोजना परिकल्पना:

किसी भी त्रिभुज में उल्लेखनीय बिंदु खोजने की क्षमता आपको ज्यामितीय निर्माण समस्याओं को हल करने की अनुमति देती है।

अध्याय 1। त्रिभुज के उल्लेखनीय बिन्दुओं के बारे में ऐतिहासिक जानकारी

एलीमेंट्स की चौथी पुस्तक में, यूक्लिड ने समस्या हल की: "किसी दिए गए त्रिभुज में एक वृत्त अंकित करना।" समाधान से यह निष्कर्ष निकलता है कि तीन समद्विभाजक आंतरिक कोनेत्रिभुज एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं - अंकित वृत्त का केंद्र। एक अन्य यूक्लिडियन समस्या के समाधान से यह पता चलता है कि त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदुओं पर बनाए गए लंब भी एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं - परिचालित वृत्त का केंद्र। प्रिंसिपिया यह नहीं कहता कि त्रिभुज की तीन ऊंचाईयां एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, जिसे लंबकेन्द्र कहा जाता है ( ग्रीक शब्द"ऑर्थोस" का अर्थ है "सीधा", "सही")। हालाँकि, यह प्रस्ताव आर्किमिडीज़, पप्पस और प्रोक्लस को ज्ञात था।

त्रिभुज का चौथा एकवचन बिंदु माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है। आर्किमिडीज़ ने साबित किया कि यह त्रिभुज का गुरुत्वाकर्षण केंद्र (बैरीसेंटर) है। उपरोक्त चार बिन्दुओं पर विचार किया गया विशेष ध्यान, और 18वीं शताब्दी से उन्हें त्रिभुज के "उल्लेखनीय" या "विशेष" बिंदु कहा जाता है।

इन और अन्य बिंदुओं से जुड़े त्रिकोण के गुणों के अध्ययन ने प्रारंभिक गणित की एक नई शाखा के निर्माण की शुरुआत के रूप में कार्य किया - "त्रिकोण ज्यामिति" या "नया त्रिकोण ज्यामिति", जिसके संस्थापकों में से एक लियोनहार्ड यूलर थे। 1765 में, यूलर ने सिद्ध किया कि किसी भी त्रिभुज में लम्बकेंद्र, बैरीकेंद्र और परिकेंद्र एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं, जिसे बाद में "यूलर सीधी रेखा" कहा गया।

त्रिकोण - ज्यामितीय आकृति, जिसमें तीन बिंदु शामिल हैं जो एक ही रेखा पर नहीं हैं, और इन बिंदुओं को जोड़े में जोड़ने वाले तीन खंड हैं। अंक -चोटियों त्रिकोण, खंड -दोनों पक्ष त्रिकोण.

में ए, बी, सी - शीर्ष

एबी, बीसी, एसए - भुजाएँ

एसी

प्रत्येक त्रिभुज से जुड़े चार बिंदु हैं:

मध्यस्थों का प्रतिच्छेदन बिंदु;

द्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु;

ऊंचाइयों का प्रतिच्छेदन बिंदु.

लंब समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु;

1.2. एक त्रिभुज की माध्यिकाएँ

एक त्रिकोण का मदीना - , शीर्ष को जोड़ना विपरीत दिशा के मध्य से (चित्र 1)। वह बिंदु जहां माध्यिका त्रिभुज की भुजा को काटती है, माध्यिका का आधार कहलाता है।

चित्र 1. एक त्रिभुज की माध्यिकाएँ

आइए त्रिभुज की भुजाओं के मध्यबिंदु बनाएं और प्रत्येक शीर्ष को विपरीत भुजा के मध्यबिंदु से जोड़ने वाले खंड बनाएं। ऐसे खंडों को माध्यिकाएँ कहा जाता है।

और फिर हम देखते हैं कि ये खंड एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि हम परिणामी माध्य खंडों की लंबाई मापते हैं, तो हम एक और संपत्ति की जांच कर सकते हैं: माध्यिका का प्रतिच्छेदन बिंदु सभी माध्यिकाओं को शीर्षों से गिनती करते हुए 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है। और फिर भी, त्रिभुज, जो माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु पर सुई की नोक पर टिका हुआ है, संतुलन में है! इस गुण वाले बिंदु को गुरुत्वाकर्षण का केंद्र (बैरीसेंटर) कहा जाता है। समान द्रव्यमान के केंद्र को कभी-कभी केन्द्रक भी कहा जाता है। इसलिए, एक त्रिभुज की माध्यिकाओं के गुणों को निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है: एक त्रिभुज की माध्यिकाएं गुरुत्वाकर्षण के केंद्र पर प्रतिच्छेद करती हैं और शीर्ष से गिनती करते हुए 2:1 के अनुपात में प्रतिच्छेदन बिंदु से विभाजित होती हैं।

1.3. एक त्रिभुज के समद्विभाजक

द्विभाजक बुलाया कोण के शीर्ष से विपरीत भुजा के साथ उसके प्रतिच्छेदन तक खींचे गए कोण का समद्विभाजक। एक त्रिभुज में उसके तीन शीर्षों के अनुरूप तीन समद्विभाजक होते हैं (चित्र 2)।

चित्र 2. त्रिभुज का समद्विभाजक

एक मनमाना त्रिभुज ABC में हम इसके कोणों के समद्विभाजक खींचते हैं। और फिर, एक सटीक निर्माण के साथ, सभी तीन समद्विभाजक एक बिंदु डी पर प्रतिच्छेद करेंगे। बिंदु डी भी असामान्य है: यह त्रिभुज के तीनों पक्षों से समान दूरी पर है। इसे त्रिभुज की भुजाओं पर लंब DA 1, DB 1 और DC1 को नीचे करके सत्यापित किया जा सकता है। वे सभी एक दूसरे के बराबर हैं: DA1=DB1=DC1.

यदि आप बिंदु D पर केंद्र और त्रिज्या DA 1 लेकर एक वृत्त खींचते हैं, तो यह त्रिभुज की तीनों भुजाओं को स्पर्श करेगा (अर्थात्, उनमें से प्रत्येक के साथ इसका केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु होगा)। ऐसे वृत्त को त्रिभुज में अंकित कहा जाता है। अतः, त्रिभुज के कोणों के समद्विभाजक अंकित वृत्त के केंद्र पर प्रतिच्छेद करते हैं।

1.4. एक त्रिकोण में ऊँचाई

त्रिभुज की ऊंचाई - , ऊपर से गिरा दिया गया विपरीत दिशा में या विपरीत दिशा से मेल खाने वाली सीधी रेखा पर। त्रिभुज के प्रकार के आधार पर, ऊँचाई त्रिभुज के भीतर समाहित हो सकती है (के लिए)। त्रिभुज), इसकी भुजा से संपाती हो (हो त्रिभुज) या त्रिभुज के बाहर एक अधिक त्रिभुज से गुजरें (चित्र 3)।

चित्र 3. त्रिभुजों में ऊँचाई

यदि आप एक त्रिभुज में तीन ऊँचाईयाँ बनाते हैं, तो वे सभी एक बिंदु H पर प्रतिच्छेद करेंगी। इस बिंदु को लंबकेंद्र कहा जाता है। (चित्र 4)।

निर्माणों का उपयोग करके, आप जांच सकते हैं कि त्रिभुज के प्रकार के आधार पर, ऑर्थोसेंटर अलग-अलग स्थित है:

एक तीव्र त्रिभुज के लिए - अंदर;

एक आयताकार के लिए - कर्ण पर;

एक अधिक कोण के लिए, यह बाहर की ओर है।

चित्र 4. त्रिभुज का लंबकेन्द्र

इस प्रकार, हम त्रिभुज के एक और उल्लेखनीय बिंदु से परिचित हो गए हैं और हम कह सकते हैं कि: त्रिभुज की ऊंचाई लंबकेंद्र पर प्रतिच्छेद करती है।

1.5. त्रिभुज की भुजाओं पर लंब समद्विभाजक

किसी खंड का लंबवत समद्विभाजक दिए गए खंड पर लंबवत और उसके मध्य बिंदु से गुजरने वाली एक रेखा है।

आइए एक मनमाना त्रिभुज ABC बनाएँ और उसकी भुजाओं पर लम्ब समद्विभाजक बनाएँ। यदि निर्माण सटीकता से किया जाता है, तो सभी लंब एक बिंदु - बिंदु O पर प्रतिच्छेद करेंगे। यह बिंदु त्रिभुज के सभी शीर्षों से समान दूरी पर है। दूसरे शब्दों में, यदि आप बिंदु O पर केंद्र रखकर त्रिभुज के किसी एक शीर्ष से गुजरते हुए एक वृत्त खींचते हैं, तो यह इसके अन्य दो शीर्षों से भी होकर गुजरेगा।

किसी त्रिभुज के सभी शीर्षों से होकर गुजरने वाला वृत्त उसके चारों ओर परिचालित कहलाता है। इसलिए, एक त्रिभुज की स्थापित संपत्ति को निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है: त्रिभुज की भुजाओं के लंबवत समद्विभाजक परिचालित वृत्त के केंद्र पर प्रतिच्छेद करते हैं (चित्र 5)।

चित्र 5. एक वृत्त में अंकित त्रिभुज

अध्याय 2. त्रिभुज के उल्लेखनीय बिंदुओं का अध्ययन।

त्रिभुजों में ऊँचाई का अध्ययन

त्रिभुज की तीनों ऊँचाईयाँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। इस बिंदु को त्रिभुज का लंबकेंद्र कहा जाता है।

न्यूनकोण त्रिभुज की ऊँचाइयाँ त्रिभुज के ठीक अंदर स्थित होती हैं।

तदनुसार, ऊंचाइयों का प्रतिच्छेदन बिंदु भी त्रिभुज के अंदर स्थित है।

एक समकोण त्रिभुज में, दो ऊँचाईयाँ भुजाओं से मेल खाती हैं। (ये शीर्षों से खींची गई ऊंचाइयां हैं तेज मोडपैरों तक)।

कर्ण तक खींची गई ऊँचाई त्रिभुज के अंदर होती है।

AC शीर्ष C से भुजा AB तक खींची गई ऊँचाई है।

AB शीर्ष B से भुजा AC तक खींची गई ऊँचाई है।

एके - शीर्ष से खींची गई ऊँचाई समकोणऔर कर्ण BC को.

एक समकोण त्रिभुज की ऊंचाई समकोण के शीर्ष पर प्रतिच्छेद करती है (ए लंबकेंद्र है)।

एक अधिक त्रिभुज में, त्रिभुज के अंदर केवल एक ऊंचाई होती है - जो अधिक कोण के शीर्ष से खींची जाती है।

अन्य दो ऊँचाइयाँ त्रिभुज के बाहर हैं और त्रिभुज की भुजाओं की निरंतरता से नीचे हैं।

AK, BC की ओर खींची गई ऊँचाई है।

बीएफ - साइड एसी की निरंतरता के लिए खींची गई ऊंचाई।

CD भुजा AB की निरंतरता के लिए खींची गई ऊँचाई है।

एक अधिक त्रिभुज की ऊंचाईयों का प्रतिच्छेदन बिंदु भी त्रिभुज के बाहर है:

H त्रिभुज ABC का लंबकेन्द्र है।

त्रिभुज में समद्विभाजक का अध्ययन

त्रिभुज का समद्विभाजक त्रिभुज के कोण (किरण) के समद्विभाजक का वह भाग होता है जो त्रिभुज के अंदर होता है।

त्रिभुज के तीनों समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

न्यून, अधिक और में समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु समकोण त्रिभुज, त्रिभुज में अंकित वृत्त का केंद्र है और अंदर स्थित है।

एक त्रिभुज में माध्यिकाओं का अध्ययन करना

चूँकि एक त्रिभुज में तीन शीर्ष और तीन भुजाएँ होती हैं, शीर्ष और विपरीत भुजा के मध्य को जोड़ने वाले तीन खंड भी होते हैं।

इन त्रिभुजों की जांच करने के बाद, मुझे एहसास हुआ कि किसी भी त्रिभुज में माध्यिकाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। इस बिंदु को कहा जाता है त्रिभुज का गुरुत्व केंद्र.

त्रिभुज की एक भुजा पर लंब समद्विभाजक का अध्ययन

दंडवत द्विभाजक किसी त्रिभुज की एक भुजा के मध्य में खींचा गया एक लंब होता है।

त्रिभुज के तीन लंबवत समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और परिवृत्त का केंद्र होते हैं।

एक न्यूनकोण त्रिभुज में लंब समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु त्रिभुज के अंदर स्थित होता है; एक अधिक कोण में - त्रिभुज के बाहर; एक आयताकार में - कर्ण के मध्य में।

निष्कर्ष

किए गए कार्य के दौरान, हम निम्नलिखित निष्कर्ष पर पहुँचते हैं:

लक्ष्य प्राप्ति:त्रिभुज की खोज की और इसके उल्लेखनीय बिंदु पाए।

सौंपे गए कार्य हल किए गए:

1). हमने आवश्यक साहित्य का अध्ययन किया;

2). हमने त्रिभुज के उल्लेखनीय बिंदुओं के वर्गीकरण का अध्ययन किया;

3). हमने सीखा कि अद्भुत त्रिभुज बिंदु कैसे बनाएं;

4). हमने पुस्तिका के डिज़ाइन के लिए अध्ययन की गई सामग्री का सारांश प्रस्तुत किया है।

इस परिकल्पना की पुष्टि की गई कि त्रिभुज के उल्लेखनीय बिंदुओं को खोजने की क्षमता निर्माण समस्याओं को हल करने में मदद करती है।

कार्य लगातार त्रिभुज के उल्लेखनीय बिंदुओं के निर्माण की तकनीकों की रूपरेखा प्रदान करता है ऐतिहासिक जानकारीज्यामितीय निर्माणों के बारे में.

इस कार्य की जानकारी 7वीं कक्षा के ज्यामिति पाठों में उपयोगी हो सकती है। प्रस्तुत विषय पर पुस्तिका ज्यामिति पर एक संदर्भ पुस्तक बन सकती है।

ग्रन्थसूची

पाठयपुस्तक. एल.एस. अतानास्यान “ज्यामिति ग्रेड 7-9निमोसिने, 2015।

विकिपीडियाhttps://ru.wikipedia.org/wiki/Geometry#/media/File:Euclid%27s_postules.png

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अग्रणी शैक्षिक पोर्टलरूस http://cendomzn.ucoz.ru/index/0-15157