किसी दिए गए बिंदु से एक निश्चित दिशा में गुजरने वाली रेखा का समीकरण। दो दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरने वाली एक रेखा का समीकरण. दो रेखाओं के बीच का कोण. दो सीधी रेखाओं की समांतरता और लंबवतता की स्थिति। दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्धारण

1. किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ए(एक्स 1 , य 1) किसी दी गई दिशा में, ढलान द्वारा निर्धारित क,

य - य 1 = क(एक्स - एक्स 1). (1)

यह समीकरण एक बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं की एक पेंसिल को परिभाषित करता है ए(एक्स 1 , य 1), जिसे किरण का केंद्र कहा जाता है।

2. दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण: ए(एक्स 1 , य 1) और बी(एक्स 2 , य 2) इस प्रकार लिखा गया है:

दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा का कोणीय गुणांक सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

3. सीधी रेखाओं के बीच का कोण एऔर बीवह कोण है जिससे पहली सीधी रेखा घूमनी चाहिए एइन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के चारों ओर वामावर्त घुमाएँ जब तक कि यह दूसरी रेखा से मेल न खा जाए बी. यदि दो रेखाएँ ढलान समीकरण द्वारा दी गई हैं

य = क 1 एक्स + बी 1 ,

इस लेख में हम एक समतल में एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण पर विचार करेंगे। आइए हम एक रेखा के सामान्य समीकरण के निर्माण का उदाहरण दें यदि इस रेखा के दो बिंदु ज्ञात हों या यदि इस रेखा का एक बिंदु और सामान्य वेक्टर ज्ञात हो। आइए हम किसी समीकरण को सामान्य रूप में विहित और पैरामीट्रिक रूपों में बदलने की विधियाँ प्रस्तुत करें।

मान लीजिए कि एक मनमाना कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली दी गई है ऑक्सी. प्रथम डिग्री समीकरण या रैखिक समीकरण पर विचार करें:

कहाँ ए, बी, सीकुछ स्थिरांक हैं, और कम से कम एक तत्व है एऔर बीशून्य से भिन्न.

हम दिखाएंगे कि समतल में एक रैखिक समीकरण एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है। आइए हम निम्नलिखित प्रमेय को सिद्ध करें।

प्रमेय 1. एक समतल पर एक मनमाना कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली में, प्रत्येक सीधी रेखा को एक रैखिक समीकरण द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है। इसके विपरीत, एक समतल पर एक मनमाना कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली में प्रत्येक रैखिक समीकरण (1) एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है।

सबूत। यह पंक्ति सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है एलकिसी एक कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली के लिए एक रैखिक समीकरण द्वारा निर्धारित किया जाता है, तब से यह कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली के किसी भी विकल्प के लिए एक रैखिक समीकरण द्वारा निर्धारित किया जाएगा।

मान लीजिए समतल पर एक सीधी रेखा दी गई है एल. हम एक समन्वय प्रणाली चुनते हैं ताकि अक्ष बैलएक सीधी रेखा से मेल खाता है एल, और अक्ष ओएइसके लंबवत था। फिर रेखा का समीकरण एलनिम्नलिखित रूप लेगा:

सभी बिंदु एक रेखा पर एलरैखिक समीकरण (2) को संतुष्ट करेगा, और इस सीधी रेखा के बाहर के सभी बिंदु समीकरण (2) को संतुष्ट नहीं करेंगे। प्रमेय का पहला भाग सिद्ध हो चुका है।

मान लीजिए कि एक कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली दी गई है और एक रैखिक समीकरण (1) दिया गया है, जहां कम से कम एक तत्व एऔर बीशून्य से भिन्न. उन बिंदुओं का स्थान ज्ञात कीजिए जिनके निर्देशांक समीकरण (1) को संतुष्ट करते हैं। चूंकि कम से कम एक गुणांक एऔर बीशून्य से भिन्न है, तो समीकरण (1) का कम से कम एक हल है एम(एक्स 0 ,य 0). (उदाहरण के लिए, जब ए≠0, बिंदु एम 0 (−सीए, 0) बिंदुओं के दिए गए ज्यामितीय स्थान से संबंधित है)। इन निर्देशांकों को (1) में प्रतिस्थापित करने पर हमें पहचान प्राप्त होती है

आइए हम पहचान (3) को (1) से घटाएँ:

जाहिर है, समीकरण (4) समीकरण (1) के बराबर है। इसलिए, यह सिद्ध करना पर्याप्त है कि (4) किसी रेखा को परिभाषित करता है।

चूँकि हम एक कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली पर विचार कर रहे हैं, यह समानता (4) से निम्नानुसार है कि घटकों के साथ वेक्टर ( x−x 0 , y−y 0 ) वेक्टर के लिए ओर्थोगोनल एननिर्देशांक के साथ ( ए,बी}.

कुछ पंक्ति पर विचार करें एल, बिंदु से गुजर रहा है एम 0 (एक्स 0 , य 0) और वेक्टर के लंबवत एन(चित्र .1)। आइए बात को स्पष्ट करें एम(एक्स,y) लाइन से संबंधित है एल. फिर निर्देशांक के साथ वेक्टर x−x 0 , y−y 0 लंबवत एनऔर समीकरण (4) संतुष्ट है (वेक्टर का अदिश गुणनफल)। एनऔर शून्य के बराबर है)। इसके विपरीत, यदि बिंदु एम(एक्स,y) एक रेखा पर स्थित नहीं है एल, फिर निर्देशांक वाला वेक्टर x−x 0 , y−y 0 वेक्टर के लिए ओर्थोगोनल नहीं है एनऔर समीकरण (4) संतुष्ट नहीं है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

सबूत। चूँकि रेखाएँ (5) और (6) एक ही रेखा, सामान्य सदिशों को परिभाषित करती हैं एन 1 ={ए 1 ,बी 1 ) और एन 2 ={ए 2 ,बी 2) संरेख. वैक्टर के बाद से एन 1 ≠0, एन 2 ≠ 0, तो एक संख्या है λ , क्या एन 2 =एन 1 λ . इसलिए हमारे पास है: ए 2 =ए 1 λ , बी 2 =बी 1 λ . आइए इसे साबित करें सी 2 =सी 1 λ . यह स्पष्ट है कि संपाती रेखाओं में एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है एम 0 (एक्स 0 , य 0). समीकरण (5) को इससे गुणा करना λ और इसमें से समीकरण (6) घटाने पर हमें प्राप्त होता है:

चूँकि अभिव्यक्ति (7) से पहली दो समानताएँ संतुष्ट हैं सी 1 λ −सी 2=0. वे। सी 2 =सी 1 λ . टिप्पणी सिद्ध हो गई है।

ध्यान दें कि समीकरण (4) बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरण को परिभाषित करता है एम 0 (एक्स 0 , य 0) और एक सामान्य वेक्टर होना एन={ए,बी). इसलिए, यदि रेखा का सामान्य वेक्टर और इस रेखा से संबंधित बिंदु ज्ञात है, तो समीकरण (4) का उपयोग करके रेखा के सामान्य समीकरण का निर्माण किया जा सकता है।

उदाहरण 1. एक सीधी रेखा एक बिंदु से होकर गुजरती है एम=(4,−1) और इसका एक सामान्य सदिश है एन=(3,5). एक रेखा का सामान्य समीकरण बनाइये।

समाधान। हमारे पास है: एक्स 0 =4, य 0 =−1, ए=3, बी=5. एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण बनाने के लिए, हम इन मानों को समीकरण (4) में प्रतिस्थापित करते हैं:

उत्तर:

वेक्टर रेखा के समानांतर है एलऔर, इसलिए, रेखा के सामान्य वेक्टर के लंबवत एल. आइए एक सामान्य रेखा वेक्टर बनाएं एल, यह ध्यान में रखते हुए कि सदिशों का अदिश गुणनफल एनऔर शून्य के बराबर है. उदाहरण के लिए, हम लिख सकते हैं, एन={1,−3}.

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण बनाने के लिए, हम सूत्र (4) का उपयोग करते हैं। आइए बिंदु के निर्देशांकों को (4) में प्रतिस्थापित करें एम 1 (हम बिंदु के निर्देशांक भी ले सकते हैं एम 2) और सामान्य वेक्टर एन:

बिंदुओं के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करना एम 1 और एम 2 इन (9) में हम यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि समीकरण (9) द्वारा दी गई सीधी रेखा इन बिंदुओं से होकर गुजरती है।

उत्तर:

(1) से (10) घटाएँ:

हमने रेखा का विहित समीकरण प्राप्त कर लिया है। वेक्टर क्यू={−बी, ए) रेखा (12) का दिशा सदिश है।

उलटा रूपांतरण देखें.

उदाहरण 3. एक समतल पर एक सीधी रेखा को निम्नलिखित सामान्य समीकरण द्वारा दर्शाया जाता है:

आइए दूसरे पद को दाईं ओर ले जाएं और समीकरण के दोनों पक्षों को 2·5 से विभाजित करें।

समतल पर एक रेखा का समीकरण.

जैसा कि ज्ञात है, समतल पर कोई भी बिंदु किसी समन्वय प्रणाली में दो निर्देशांकों द्वारा निर्धारित होता है। आधार और उत्पत्ति की पसंद के आधार पर समन्वय प्रणालियाँ भिन्न हो सकती हैं।

परिभाषा। रेखा समीकरणइस रेखा को बनाने वाले बिंदुओं के निर्देशांकों के बीच संबंध y = f(x) कहलाता है।

ध्यान दें कि रेखा समीकरण को पैरामीट्रिक तरीके से व्यक्त किया जा सकता है, यानी प्रत्येक बिंदु के प्रत्येक निर्देशांक को कुछ स्वतंत्र पैरामीटर के माध्यम से व्यक्त किया जाता है टी.

एक विशिष्ट उदाहरण एक गतिमान बिंदु का प्रक्षेप पथ है। इस मामले में, पैरामीटर की भूमिका समय द्वारा निभाई जाती है।

समतल पर एक सीधी रेखा का समीकरण.

परिभाषा। समतल पर किसी भी सीधी रेखा को प्रथम-क्रम समीकरण द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है

आह + वू + सी = 0,

इसके अलावा, स्थिरांक ए और बी एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं, यानी। A 2 + B 2  0. यह प्रथम कोटि का समीकरण कहलाता है एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण.

स्थिरांक ए, बी और सी के मूल्यों के आधार पर, निम्नलिखित विशेष मामले संभव हैं:

C = 0, A  0, B  0 - सीधी रेखा मूल बिंदु से होकर गुजरती है

ए = 0, बी  0, सी  0 (बाय + सी = 0) - ऑक्स अक्ष के समानांतर सीधी रेखा

बी = 0, ए  0, सी  0 (एक्स + सी = 0) - ओए अक्ष के समानांतर सीधी रेखा

बी = सी = 0, ए  0 - सीधी रेखा ओए अक्ष के साथ मेल खाती है

ए = सी = 0, बी  0 - सीधी रेखा ऑक्स अक्ष के साथ संपाती होती है

किसी भी प्रारंभिक स्थिति के आधार पर एक सीधी रेखा के समीकरण को विभिन्न रूपों में प्रस्तुत किया जा सकता है।

एक बिंदु से एक सीधी रेखा और एक सामान्य वेक्टर का समीकरण।

परिभाषा। कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली में, घटकों (ए, बी) वाला एक वेक्टर समीकरण एक्स + बाय + सी = 0 द्वारा दी गई रेखा के लंबवत है।

उदाहरण।सदिश के लंबवत बिंदु A(1, 2) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए (3, -1).

आइए हम A \u003d 3 और B \u003d -1 पर सीधी रेखा का समीकरण बनाएं: 3x - y + C \u003d 0. गुणांक C खोजने के लिए, हम दिए गए बिंदु A के निर्देशांक को परिणामी अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं।

हमें मिलता है: 3 - 2 + C = 0, इसलिए C = -1।

कुल: आवश्यक समीकरण: 3x – y – 1 = 0.

दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक रेखा का समीकरण.

मान लीजिए अंतरिक्ष में दो बिंदु M 1 (x 1, y 1, z 1) और M 2 (x 2, y 2, z 2) दिए गए हैं, तो इन बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण:

यदि कोई भी हर शून्य के बराबर है, तो संबंधित अंश को शून्य के बराबर सेट किया जाना चाहिए।

समतल पर, ऊपर लिखी सीधी रेखा का समीकरण सरल किया गया है:

यदि x 1  x 2 और x = x 1, यदि x 1 = x 2।

अंश
=k कहा जाता है ढलानसीधा।

उदाहरण।बिंदु A(1, 2) और B(3, 4) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

ऊपर लिखे सूत्र को लागू करने पर, हमें मिलता है:

एक बिंदु और ढलान का उपयोग करके एक सीधी रेखा का समीकरण।

यदि सीधी रेखा Ax + By + C = 0 का सामान्य समीकरण निम्न रूप में घटाया जाए:

और नामित करें
, तो परिणामी समीकरण कहा जाता है ढलान के साथ एक सीधी रेखा का समीकरणक.

एक बिंदु से एक सीधी रेखा और एक दिशा वेक्टर का समीकरण।

सामान्य वेक्टर के माध्यम से एक सीधी रेखा के समीकरण पर विचार करने वाले बिंदु के अनुरूप, आप एक बिंदु के माध्यम से एक सीधी रेखा के असाइनमेंट और एक सीधी रेखा के एक निर्देशित वेक्टर को दर्ज कर सकते हैं।

परिभाषा। प्रत्येक गैर-शून्य वेक्टर ( 1 ,  2), जिसके घटक A 1 + B 2 = 0 की स्थिति को संतुष्ट करते हैं, रेखा के निर्देशन सदिश कहलाते हैं

आह + वू + सी = 0.

उदाहरण।दिशा सदिश वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए (1, -1) और बिंदु A(1, 2) से गुजर रहा है।

हम वांछित सीधी रेखा के समीकरण को इस रूप में देखेंगे: Ax + By + C = 0. परिभाषा के अनुसार, गुणांकों को शर्तों को पूरा करना होगा:

1ए + (-1)बी = 0, यानी। ए = बी.

फिर सीधी रेखा के समीकरण का रूप इस प्रकार है: Ax + Ay + C = 0, या x + y + C/A = 0.

x = 1, y = 2 पर हमें C/A = -3 प्राप्त होता है, अर्थात्। आवश्यक समीकरण:

खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण.

यदि सीधी रेखा के सामान्य समीकरण में Ах + Ву + С = 0 С 0, तो -С से विभाजित करने पर, हमें मिलता है:
या

, कहाँ

गुणांकों का ज्यामितीय अर्थ वह गुणांक है एऑक्स अक्ष के साथ रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्देशांक है, और बी- ओए अक्ष के साथ सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का समन्वय।

उदाहरण।रेखा x - y + 1 = 0 का सामान्य समीकरण दिया गया है। खंडों में इस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

सी = 1,
, ए = -1, बी = 1.

एक रेखा का सामान्य समीकरण.

यदि समीकरण के दोनों पक्षों Ax + By + C = 0 को संख्या से विभाजित किया जाता है
जिसे कहा जाता है सामान्यीकरण कारक, तो हमें मिलता है

xcos + ysin - पी = 0 –

एक रेखा का सामान्य समीकरण.

सामान्यीकरण कारक का चिह्न  चुना जाना चाहिए ताकि С< 0.

p मूल बिंदु से सीधी रेखा पर डाले गए लंब की लंबाई है, और  ऑक्स अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ इस लंब द्वारा बनाया गया कोण है।

उदाहरण।रेखा का सामान्य समीकरण 12x - 5y - 65 = 0 दिया गया है। इस रेखा के लिए विभिन्न प्रकार के समीकरण लिखना आवश्यक है।

खंडों में इस रेखा का समीकरण:

ढलान के साथ इस रेखा का समीकरण: (5 से विभाजित करें)

एक रेखा का सामान्य समीकरण:

; cos = 12/13; पाप = -5/13; पी = 5.

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि प्रत्येक सीधी रेखा को खंडों में एक समीकरण द्वारा दर्शाया नहीं जा सकता है, उदाहरण के लिए, अक्षों के समानांतर या मूल बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखाएं।

उदाहरण।सीधी रेखा निर्देशांक अक्षों पर समान धनात्मक खंडों को काटती है। यदि इन खंडों से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल 8 सेमी 2 है तो एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए।

सीधी रेखा का समीकरण है:
, ए = बी = 1; एबी/2 = 8; ए = 4; -4.

a = -4 समस्या की स्थितियों के अनुसार उपयुक्त नहीं है।

कुल:
या x + y – 4 = 0.

उदाहरण।बिंदु A(-2, -3) और मूल बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा के लिए एक समीकरण लिखें।

सीधी रेखा का समीकरण है:
, जहां x 1 = y 1 = 0; एक्स 2 = -2; आप 2 = -3.

समतल पर सीधी रेखाओं के बीच का कोण।

परिभाषा। यदि दो रेखाएँ दी गई हैं y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , तो इन रेखाओं के बीच का न्यून कोण इस प्रकार परिभाषित किया जाएगा

.

यदि k 1 = k 2 है तो दो रेखाएँ समानांतर हैं।

यदि k 1 = -1/k 2 है तो दो रेखाएँ लंबवत हैं।

प्रमेय. सीधी रेखाएँ Ax + Wu + C = 0 और A 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1 = 0 समानांतर हैं जब गुणांक ए आनुपातिक हैं 1 =  ए, बी 1 =  बी. यदि सी भी 1 =  C, तो रेखाएँ संपाती होती हैं।

दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक इन रेखाओं के समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाए जाते हैं।

किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण

इस रेखा के लंबवत.

परिभाषा। बिंदु M 1 (x 1, y 1) से गुजरने वाली और सीधी रेखा y = kx + b के लंबवत एक सीधी रेखा को समीकरण द्वारा दर्शाया गया है:

एक बिंदु से एक रेखा की दूरी.

प्रमेय. यदि बिंदु M(x) दिया गया है 0 , य 0 ), तो सीधी रेखा Ах + Ву + С =0 की दूरी को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

.

सबूत। मान लीजिए बिंदु M 1 (x 1, y 1) बिंदु M से दी गई सीधी रेखा पर डाले गए लंबवत का आधार है। फिर बिंदु M और M 1 के बीच की दूरी:

समीकरणों की प्रणाली को हल करके निर्देशांक x 1 और y 1 पाया जा सकता है:

सिस्टम का दूसरा समीकरण किसी दिए गए रेखा के लंबवत बिंदु M 0 से गुजरने वाली रेखा का समीकरण है।

यदि हम सिस्टम के पहले समीकरण को इस रूप में बदलते हैं:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

फिर, हल करने पर, हमें मिलता है:

इन व्यंजकों को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं:

.

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

उदाहरण।रेखाओं के बीच का कोण निर्धारित करें: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

के 1 = -3; के 2 = 2 टीजी =
;  = /4.

उदाहरण।दिखाएँ कि रेखाएँ 3x – 5y + 7 = 0 और 10x + 6y – 3 = 0 लंबवत हैं।

हम पाते हैं: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, इसलिए, रेखाएँ लंबवत हैं।

उदाहरण।त्रिभुज A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) के शीर्ष दिए गए हैं। शीर्ष C से खींची गई ऊँचाई का समीकरण ज्ञात कीजिए।

हम भुजा AB का समीकरण पाते हैं:
; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

आवश्यक ऊँचाई समीकरण का रूप है: Ax + By + C = 0 या y = kx + b।

क = . फिर y =
. क्योंकि ऊँचाई बिंदु C से होकर गुजरती है, तो इसके निर्देशांक इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं:
जहाँ से b = 17. कुल:
.

उत्तर: 3x + 2y – 34 = 0.

अंतरिक्ष में विश्लेषणात्मक ज्यामिति.

अंतरिक्ष में रेखा समीकरण.

एक बिंदु द्वारा अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा का समीकरण और

दिशा सदिश.

एक मनमाना रेखा और एक वेक्टर लें (एम, एन, पी) दी गई रेखा के समानांतर। वेक्टर बुलाया मार्गदर्शक वेक्टरसीधा।

आइए सीधी रेखा पर दो मनमाने बिंदु M 0 (x 0 , y 0 , z 0) और M(x, y, z) लें।

जेड

एम 1

आइए हम इन बिंदुओं के त्रिज्या सदिशों को इस प्रकार निरूपित करें और , यह स्पष्ट है कि - =
.

क्योंकि वैक्टर
और संरेख हैं, तो संबंध सत्य है
= t, जहां t कुछ पैरामीटर है।

कुल मिलाकर, हम लिख सकते हैं: = + टी।

क्योंकि यह समीकरण रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट है, तो परिणामी समीकरण है एक सीधी रेखा का पैरामीट्रिक समीकरण.

इस वेक्टर समीकरण को निर्देशांक रूप में दर्शाया जा सकता है:

इस प्रणाली को रूपांतरित करके और पैरामीटर t के मानों को बराबर करके, हम अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के विहित समीकरण प्राप्त करते हैं:

.

परिभाषा। दिशा कोसाइनप्रत्यक्ष वेक्टर की दिशा कोसाइन हैं , जिसकी गणना सूत्रों द्वारा की जा सकती है:

;

.

यहां से हमें मिलता है: m: n: p = cos : cos : cos.

संख्याएँ m, n, p कहलाती हैं कोण गुणांकसीधा। क्योंकि एक गैर-शून्य वेक्टर है, एम, एन और पी एक ही समय में शून्य नहीं हो सकते हैं, लेकिन इनमें से एक या दो संख्याएं शून्य हो सकती हैं। इस स्थिति में, एक सीधी रेखा के समीकरण में, संबंधित अंश शून्य के बराबर होना चाहिए।

अंतरिक्ष से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण

दो बिंदुओं के माध्यम से.

यदि दो मनमाने बिंदु M 1 (x 1, y 1, z 1) और M 2 (x 2, y 2, z 2) अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा पर अंकित हैं, तो इन बिंदुओं के निर्देशांक को समीकरण को संतुष्ट करना होगा ऊपर प्राप्त सीधी रेखा:

.

इसके अलावा, बिंदु एम 1 के लिए हम लिख सकते हैं:

.

इन समीकरणों को एक साथ हल करने पर, हमें प्राप्त होता है:

.

यह अंतरिक्ष में दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक रेखा का समीकरण है।

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण।

एक सीधी रेखा के समीकरण को दो तलों की प्रतिच्छेदन रेखा के समीकरण के रूप में माना जा सकता है।

जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, वेक्टर रूप में एक विमान समीकरण द्वारा दिया जा सकता है:

+ डी = 0, कहां

- विमान सामान्य; - त्रिज्या समतल पर एक मनमाना बिंदु का सदिश है।

दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक रेखा का समीकरण. लेख में" " मैंने आपसे एक दिए गए फ़ंक्शन ग्राफ़ और इस ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के साथ, व्युत्पन्न खोजने के लिए प्रस्तुत समस्याओं को हल करने के दूसरे तरीके का विश्लेषण करने का वादा किया था। हम इस पद्धति पर चर्चा करेंगे , देखिये जरूर! क्योंअगले में?

सच तो यह है कि वहाँ सीधी रेखा के समीकरण का सूत्र प्रयोग किया जायेगा। बेशक, हम बस यह फॉर्मूला दिखा सकते हैं और आपको इसे सीखने की सलाह दे सकते हैं। लेकिन यह समझाना बेहतर है कि यह कहाँ से आता है (यह कैसे प्राप्त होता है)। यह जरूरी है! अगर आप इसे भूल गए हैं तो जल्दी से इसे रिस्टोर कर लेंमुश्किल नहीं होगा. सब कुछ नीचे विस्तृत है। तो, हमारे पास निर्देशांक तल पर दो बिंदु A हैं(x 1;y 1) और B(x 2;y 2), संकेतित बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा खींची जाती है:

यहाँ सीधा सूत्र है:

*अर्थात्, बिंदुओं के विशिष्ट निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें y=kx+b के रूप का एक समीकरण प्राप्त होता है।

**यदि आप इस सूत्र को बस "याद" करते हैं, तो सूचकांकों के साथ भ्रमित होने की उच्च संभावना है जब एक्स. इसके अलावा, सूचकांकों को विभिन्न तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है, उदाहरण के लिए:

इसलिए इसका मतलब समझना जरूरी है.

अब इस सूत्र की व्युत्पत्ति. सब कुछ बहुत सरल है!

त्रिभुज ABE और ACF न्यून कोण में समान हैं (समकोण त्रिभुज की समानता का पहला संकेत)। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि संगत तत्वों के अनुपात बराबर हैं, अर्थात्:

अब हम इन खंडों को बिंदुओं के निर्देशांक में अंतर के माध्यम से व्यक्त करते हैं:

बेशक, यदि आप तत्वों के संबंधों को एक अलग क्रम में लिखते हैं तो कोई त्रुटि नहीं होगी (मुख्य बात स्थिरता बनाए रखना है):

परिणाम रेखा का वही समीकरण होगा. यह सब है!

यानी, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि बिंदु स्वयं (और उनके निर्देशांक) कैसे निर्दिष्ट किए गए हैं, इस सूत्र को समझने से आप हमेशा एक सीधी रेखा का समीकरण पाएंगे।

सूत्र सदिशों के गुणों का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है, लेकिन व्युत्पत्ति का सिद्धांत समान होगा, क्योंकि हम उनके निर्देशांक की आनुपातिकता के बारे में बात करेंगे। इस मामले में, समकोण त्रिभुजों की वही समानता काम करती है। मेरी राय में, ऊपर वर्णित निष्कर्ष अधिक स्पष्ट है))।

वेक्टर निर्देशांक >>> के माध्यम से आउटपुट देखें

मान लीजिए निर्देशांक तल पर दो दिए गए बिंदुओं A(x 1;y 1) और B(x 2;y 2) से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा बनाई गई है। आइए हम निर्देशांक के साथ रेखा पर एक मनमाना बिंदु C चिह्नित करें ( एक्स; य). हम दो सदिशों को भी निरूपित करते हैं:

यह ज्ञात है कि समानांतर रेखाओं (या एक ही रेखा पर) पर स्थित वैक्टरों के लिए, उनके संबंधित निर्देशांक आनुपातिक होते हैं, अर्थात:

— हम संगत निर्देशांकों के अनुपातों की समानता लिखते हैं:

आइए एक उदाहरण देखें:

निर्देशांक (2;5) और (7:3) वाले दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

आपको सीधी रेखा भी बनाने की ज़रूरत नहीं है। हम सूत्र लागू करते हैं:

यह महत्वपूर्ण है कि अनुपात बनाते समय आप पत्राचार को समझ लें। यदि आप लिखते हैं तो आप गलत नहीं हो सकते:

उत्तर: y=-2/5x+29/5 गो y=-0.4x+5.8

यह सुनिश्चित करने के लिए कि परिणामी समीकरण सही पाया गया है, इसे जांचना सुनिश्चित करें - इसमें बिंदुओं की स्थिति में डेटा निर्देशांक को प्रतिस्थापित करें। समीकरण सही होने चाहिए.

बस इतना ही। मुझे आशा है कि सामग्री आपके लिए उपयोगी थी।

साभार, अलेक्जेंडर।

पुनश्च: यदि आप मुझे सोशल नेटवर्क पर साइट के बारे में बताएंगे तो मैं आभारी रहूंगा।

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के विहित समीकरण वे समीकरण हैं जो किसी दिए गए बिंदु से होकर एक दिशा वेक्टर के संरेख रूप से गुजरने वाली सीधी रेखा को परिभाषित करते हैं।

मान लीजिए एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर दिया गया है। एक मनमाना बिंदु एक रेखा पर स्थित है एलकेवल यदि सदिश और संरेख हैं, अर्थात, वे शर्त को पूरा करते हैं:

.

उपरोक्त समीकरण सीधी रेखा के विहित समीकरण हैं।

नंबर एम , एनऔर पीनिर्देशांक अक्षों पर दिशा वेक्टर के प्रक्षेपण हैं। चूँकि सदिश शून्येतर है, तो सभी संख्याएँ एम , एनऔर पीएक साथ शून्य के बराबर नहीं हो सकता. लेकिन उनमें से एक या दो शून्य हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, निम्नलिखित प्रविष्टि की अनुमति है:

,

जिसका अर्थ है कि अक्ष पर वेक्टर का प्रक्षेपण ओएऔर आउंसशून्य के बराबर हैं. इसलिए, विहित समीकरणों द्वारा दिए गए वेक्टर और सीधी रेखा दोनों अक्षों के लंबवत हैं ओएऔर आउंस, यानी विमान yOz .

उदाहरण 1।किसी समतल के लंबवत अंतरिक्ष में एक रेखा के लिए समीकरण लिखें और अक्ष के साथ इस तल के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजर रहा है आउंस .

समाधान। आइए अक्ष के साथ इस तल का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें आउंस. चूँकि अक्ष पर स्थित कोई भी बिन्दु आउंस, तो, विमान के दिए गए समीकरण में मानते हुए, निर्देशांक हैं x=y= 0, हमें 4 मिलता है जेड- 8 = 0 या जेड= 2 . इसलिए, अक्ष के साथ इस तल का प्रतिच्छेदन बिंदु आउंसनिर्देशांक (0; 0; 2) हैं। चूँकि वांछित रेखा समतल के लंबवत है, यह इसके सामान्य वेक्टर के समानांतर है। इसलिए, सीधी रेखा का निर्देशन वेक्टर सामान्य वेक्टर हो सकता है दिया गया विमान.

आइए अब एक बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा के आवश्यक समीकरण लिखें ए= (0; 0; 2) सदिश की दिशा में:

दो दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरने वाली रेखा के समीकरण

एक सीधी रेखा को उस पर स्थित दो बिंदुओं द्वारा परिभाषित किया जा सकता है और इस मामले में, सीधी रेखा का निर्देशन वेक्टर वेक्टर हो सकता है। तब रेखा के विहित समीकरण रूप लेते हैं

.

उपरोक्त समीकरण दो दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा को परिभाषित करते हैं।

उदाहरण 2.अंतरिक्ष में बिंदुओं से गुजरने वाली एक रेखा के लिए एक समीकरण लिखें।

समाधान। हम सैद्धांतिक संदर्भ में ऊपर दिए गए रूप में सीधी रेखा के वांछित समीकरण लिखते हैं:

.

चूँकि, तब वांछित सीधी रेखा अक्ष पर लंबवत होती है ओए .

समतलों की प्रतिच्छेदन रेखा के समान सीधी

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा को दो गैर-समानांतर विमानों के चौराहे की रेखा के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, यानी, दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं के एक सेट के रूप में

सिस्टम के समीकरणों को अंतरिक्ष में सीधी रेखा के सामान्य समीकरण भी कहा जाता है।

उदाहरण 3.सामान्य समीकरणों द्वारा दिए गए स्थान में एक रेखा के विहित समीकरण बनाएं

समाधान। किसी रेखा के विहित समीकरण या, जो समान है, दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा के समीकरण लिखने के लिए, आपको रेखा पर किन्हीं दो बिंदुओं के निर्देशांक खोजने होंगे। उदाहरण के लिए, वे किन्हीं दो समन्वय तलों के साथ एक सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु हो सकते हैं yOzऔर xOz .

एक समतल के साथ एक रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु yOzफरसीसा है एक्स= 0 . इसलिए, समीकरणों की इस प्रणाली में मानते हुए एक्स= 0, हमें दो चर वाला एक सिस्टम मिलता है:

उसका निर्णय य = 2 , जेड= साथ में 6 एक्स= 0 एक बिंदु को परिभाषित करता है ए(0; 2; 6) वांछित पंक्ति। फिर समीकरणों की दी गई प्रणाली में मान लें य= 0, हमें सिस्टम मिलता है

उसका निर्णय एक्स = -2 , जेड= 0 साथ में य= 0 एक बिंदु को परिभाषित करता है बी(-2; 0; 0) एक समतल के साथ एक रेखा का प्रतिच्छेदन xOz .

आइए अब बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा के समीकरण लिखें ए(0; 2; 6) और बी (-2; 0; 0) :

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या हरों को -2 से विभाजित करने के बाद:

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