न्यून कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शज्या, कोटैंजेन्ट। त्रिकोणमितीय कार्य। त्रिकोणमितीय फलन खोजने के नियम: साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट

हम त्रिकोणमिति का अपना अध्ययन समकोण त्रिभुज से शुरू करेंगे। आइए परिभाषित करें कि साइन और कोसाइन क्या हैं, साथ ही एक न्यून कोण की स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट क्या हैं। यह त्रिकोणमिति की मूल बातें है.

आइए हम आपको वह याद दिला दें समकोण 90 डिग्री के बराबर एक कोण है. दूसरे शब्दों में, आधा मुड़ा हुआ कोण।

तेज़ कोने- 90 डिग्री से कम.

अधिक कोण- 90 डिग्री से अधिक. ऐसे कोण के संबंध में, "अस्पष्ट" कोई अपमान नहीं है, बल्कि एक गणितीय शब्द है :-)

आइए एक समकोण त्रिभुज बनाएं। समकोण को आमतौर पर द्वारा दर्शाया जाता है। कृपया ध्यान दें कि कोने के विपरीत पक्ष को उसी अक्षर से दर्शाया गया है, केवल छोटा। इस प्रकार, कोण A के विपरीत भुजा को निर्दिष्ट किया गया है।

कोण को संगत ग्रीक अक्षर से दर्शाया जाता है।

कर्णसमकोण त्रिभुज की भुजा समकोण के विपरीत होती है।

पैर- न्यून कोणों के विपरीत स्थित भुजाएँ।

कोण के विपरीत स्थित पैर को कहा जाता है विलोम(कोण के सापेक्ष). दूसरा पैर, जो कोण के एक किनारे पर स्थित होता है, कहलाता है नज़दीक.

साइनसएक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण विपरीत भुजा और कर्ण का अनुपात होता है:

कोज्यासमकोण त्रिभुज में तीव्र कोण - आसन्न पैर का कर्ण से अनुपात:

स्पर्शरेखासमकोण त्रिभुज में न्यूनकोण - विपरीत भुजा का आसन्न भुजा से अनुपात:

एक और (समतुल्य) परिभाषा: एक न्यून कोण की स्पर्शरेखा, कोण की ज्या और उसकी कोज्या का अनुपात है:

कोटैंजेंटएक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण - आसन्न भुजा का विपरीत पक्ष से अनुपात (या, जो समान है, कोज्या से ज्या का अनुपात):

नीचे साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के बुनियादी संबंधों पर ध्यान दें। समस्याओं का समाधान करते समय वे हमारे लिए उपयोगी होंगे।

आइये उनमें से कुछ को सिद्ध करें।

ठीक है, हमने परिभाषाएँ दी हैं और सूत्र लिखे हैं। लेकिन हमें अभी भी साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की आवश्यकता क्यों है?

हम वह जानते हैं किसी भी त्रिभुज के कोणों का योग बराबर होता है.

हम बीच के संबंध को जानते हैं दलोंसही त्रिकोण। यह पाइथागोरस प्रमेय है: .

इससे पता चलता है कि एक त्रिभुज में दो कोणों को जानकर, आप तीसरा कोण ज्ञात कर सकते हैं। एक समकोण त्रिभुज की दोनों भुजाओं को जानकर, आप तीसरा ज्ञात कर सकते हैं। इसका मतलब यह है कि कोणों का अपना अनुपात होता है, और भुजाओं का अपना। लेकिन आपको क्या करना चाहिए यदि किसी समकोण त्रिभुज में आपको एक कोण (समकोण को छोड़कर) और एक भुजा पता हो, लेकिन आपको अन्य भुजाएँ खोजने की आवश्यकता हो?

अतीत में लोगों को क्षेत्र और तारों वाले आकाश के नक्शे बनाते समय इसका सामना करना पड़ा था। आख़िरकार, किसी त्रिभुज की सभी भुजाओं को सीधे मापना हमेशा संभव नहीं होता है।

ज्या, कोज्या और स्पर्शरेखा - इन्हें भी कहा जाता है त्रिकोणमितीय कोण कार्य- बीच संबंध दें दलोंऔर कोनेत्रिकोण. कोण को जानकर, आप विशेष तालिकाओं का उपयोग करके इसके सभी त्रिकोणमितीय फलन पा सकते हैं। और किसी त्रिभुज और उसकी एक भुजा के कोणों की ज्या, कोज्या और स्पर्शरेखा को जानकर, आप शेष कोण ज्ञात कर सकते हैं।

हम से लेकर "अच्छे" कोणों के लिए साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मानों की एक तालिका भी बनाएंगे।

कृपया तालिका में दो लाल डैश नोट करें। उचित कोण मान पर, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट मौजूद नहीं हैं।

आइए FIPI टास्क बैंक से कई त्रिकोणमिति समस्याओं को देखें।

1. एक त्रिभुज में कोण , है। खोजो ।

समस्या चार सेकंड में हल हो जाती है.

क्योंकि , ।

2. एक त्रिभुज में कोण , , , होता है। खोजो ।

आइए इसे पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके खोजें।

समस्या सुलझ गई है।

अक्सर समस्याओं में कोणों वाले और या कोणों वाले त्रिभुज होते हैं। उनके लिए बुनियादी अनुपात दिल से याद रखें!

एक त्रिभुज के लिए जिसके कोण और पैर विपरीत कोण पर बराबर हैं कर्ण का आधा भाग.

एक त्रिभुज जिसके कोण समद्विबाहु हैं। इसमें कर्ण पैर से कई गुना बड़ा होता है।

हमने समकोण त्रिभुजों को हल करने की समस्याओं पर ध्यान दिया - अर्थात, अज्ञात भुजाओं या कोणों को खोजना। लेकिन वह सब नहीं है! गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा में कई समस्याएं होती हैं जिनमें त्रिभुज के बाहरी कोण की साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा या कोटैंजेंट शामिल होती है। अगले लेख में इस पर और अधिक जानकारी।

एक विज्ञान के रूप में त्रिकोणमिति की उत्पत्ति प्राचीन पूर्व में हुई थी। पहला त्रिकोणमितीय अनुपात खगोलविदों द्वारा सितारों द्वारा सटीक कैलेंडर और अभिविन्यास बनाने के लिए प्राप्त किया गया था। ये गणनाएँ गोलाकार त्रिकोणमिति से संबंधित हैं, जबकि स्कूल पाठ्यक्रम में वे एक समतल त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के अनुपात का अध्ययन करते हैं।

त्रिकोणमिति गणित की एक शाखा है जो त्रिकोणमितीय कार्यों के गुणों और त्रिभुजों की भुजाओं और कोणों के बीच संबंधों से संबंधित है।

पहली सहस्राब्दी ईस्वी में संस्कृति और विज्ञान के उत्कर्ष के दौरान, ज्ञान प्राचीन पूर्व से ग्रीस तक फैल गया। लेकिन त्रिकोणमिति की मुख्य खोजें अरब खलीफा के लोगों की योग्यता हैं। विशेष रूप से, तुर्कमेन वैज्ञानिक अल-मरज़वी ने स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट जैसे कार्यों की शुरुआत की, और साइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के लिए मूल्यों की पहली तालिकाएँ संकलित कीं। साइन और कोसाइन की अवधारणाएँ भारतीय वैज्ञानिकों द्वारा प्रस्तुत की गईं। यूक्लिड, आर्किमिडीज़ और एराटोस्थनीज जैसी प्राचीन काल की महान हस्तियों के कार्यों में त्रिकोणमिति पर बहुत ध्यान दिया गया।

त्रिकोणमिति की मूल मात्राएँ

एक संख्यात्मक तर्क के मूल त्रिकोणमितीय कार्य साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट हैं। उनमें से प्रत्येक का अपना ग्राफ है: साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट।

इन मात्राओं के मानों की गणना के सूत्र पाइथागोरस प्रमेय पर आधारित हैं। यह स्कूली बच्चों को इस सूत्रीकरण के रूप में बेहतर ज्ञात है: "पायथागॉरियन पैंट, सभी दिशाओं में समान," क्योंकि प्रमाण एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के उदाहरण का उपयोग करके दिया गया है।

साइन, कोसाइन और अन्य संबंध किसी भी समकोण त्रिभुज के न्यून कोण और भुजाओं के बीच संबंध स्थापित करते हैं। आइए कोण A के लिए इन मात्राओं की गणना के लिए सूत्र प्रस्तुत करें और त्रिकोणमितीय कार्यों के बीच संबंधों का पता लगाएं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, tg और ctg व्युत्क्रम फलन हैं। यदि हम पैर ए को पाप ए और कर्ण सी के उत्पाद के रूप में कल्पना करते हैं, और पैर बी को कॉस ए * सी के रूप में कल्पना करते हैं, तो हमें स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के लिए निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होते हैं:

त्रिकोणमितीय वृत्त

ग्राफ़िक रूप से, उल्लिखित मात्राओं के बीच संबंध को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

इस मामले में वृत्त, कोण α के सभी संभावित मानों का प्रतिनिधित्व करता है - 0° से 360° तक। जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, प्रत्येक फ़ंक्शन कोण के आधार पर एक नकारात्मक या सकारात्मक मान लेता है। उदाहरण के लिए, यदि α वृत्त की पहली और दूसरी तिमाही से संबंधित है, यानी यह 0° से 180° की सीमा में है, तो पाप α में "+" चिह्न होगा। α के लिए 180° से 360° (III और IV तिमाही) तक, पाप α केवल एक नकारात्मक मान हो सकता है।

आइए विशिष्ट कोणों के लिए त्रिकोणमितीय तालिकाएँ बनाने का प्रयास करें और मात्राओं का अर्थ जानें।

30°, 45°, 60°, 90°, 180° इत्यादि के बराबर α के मान विशेष मामले कहलाते हैं। उनके लिए त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की गणना की जाती है और विशेष तालिकाओं के रूप में प्रस्तुत किया जाता है।

इन कोणों को यादृच्छिक रूप से नहीं चुना गया था। तालिकाओं में पदनाम π रेडियन के लिए है। रेड वह कोण है जिस पर किसी वृत्त के चाप की लंबाई उसकी त्रिज्या से मेल खाती है। यह मान एक सार्वभौमिक निर्भरता स्थापित करने के लिए पेश किया गया था; रेडियन में गणना करते समय, सेमी में त्रिज्या की वास्तविक लंबाई कोई मायने नहीं रखती।

त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए तालिकाओं में कोण रेडियन मानों के अनुरूप होते हैं:

इसलिए, यह अनुमान लगाना कठिन नहीं है कि 2π एक पूर्ण वृत्त या 360° है।

त्रिकोणमितीय फलनों के गुण: ज्या और कोज्या

साइन और कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मूल गुणों पर विचार करने और तुलना करने के लिए, उनके कार्यों को चित्रित करना आवश्यक है। इसे द्वि-आयामी समन्वय प्रणाली में स्थित वक्र के रूप में किया जा सकता है।

साइन और कोसाइन के गुणों की तुलनात्मक तालिका पर विचार करें:

यह निर्धारित करना कि कोई फ़ंक्शन सम है या नहीं, बहुत सरल है। त्रिकोणमितीय मात्राओं के संकेतों के साथ एक त्रिकोणमितीय वृत्त की कल्पना करना और ओएक्स अक्ष के सापेक्ष ग्राफ को मानसिक रूप से "गुना" करना पर्याप्त है। यदि चिह्न मेल खाते हैं, तो फलन सम है, अन्यथा विषम है।

रेडियन का परिचय और साइन और कोसाइन तरंगों के मूल गुणों की सूची हमें निम्नलिखित पैटर्न प्रस्तुत करने की अनुमति देती है:

यह सत्यापित करना बहुत आसान है कि सूत्र सही है। उदाहरण के लिए, x = π/2 के लिए, ज्या 1 है, जैसा कि x = 0 की कोज्या है। जाँच तालिकाओं से परामर्श करके या दिए गए मानों के लिए फ़ंक्शन वक्रों का पता लगाकर की जा सकती है।

टैंगेंजेंटोइड्स और कोटेंजेंटोइड्स के गुण

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट कार्यों के ग्राफ़ साइन और कोसाइन फ़ंक्शन से काफी भिन्न होते हैं। मान tg और ctg एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं।

1. वाई = टैन एक्स.
2. स्पर्शरेखा x = π/2 + πk पर y के मानों की ओर प्रवृत्त होती है, लेकिन उन तक कभी नहीं पहुँचती है।
3. स्पर्शरेखा का सबसे छोटा धनात्मक आवर्त π है।
4. Tg (- x) = - tg x, अर्थात फलन विषम है।
5. Tg x = 0, x = πk के लिए।
6. कार्य बढ़ रहा है.
7. टीजी x › 0, x ϵ (πk, π/2 + πk) के लिए।
8. टीजी x ‹ 0, x ϵ के लिए (- π/2 + πk, πk)।
9. व्युत्पन्न (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x.

पाठ में नीचे कोटैंजेंटॉइड की ग्राफिक छवि पर विचार करें।

कोटैंजेंटोइड्स के मुख्य गुण:

1. वाई = खाट एक्स.
2. साइन और कोसाइन फ़ंक्शंस के विपरीत, स्पर्शरेखा में Y सभी वास्तविक संख्याओं के सेट के मान ले सकता है।
3. कोटैंजेंटॉइड x = πk पर y के मान की ओर प्रवृत्त होता है, लेकिन उन तक कभी नहीं पहुंचता है।
4. कोटैंगेंटोइड की सबसे छोटी सकारात्मक अवधि π है।
5. Ctg (- x) = - ctg x, अर्थात फलन विषम है।
6. सीटीजी x = 0, x = π/2 + πk के लिए।
7. कार्य कम हो रहा है.
8. Ctg x › 0, x ϵ (πk, π/2 + πk) के लिए।
9. सीटीजी x ‹ 0, x ϵ (π/2 + πk, πk) के लिए।
10. व्युत्पन्न (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x सही

मुझे लगता है कि आप इससे कहीं अधिक के पात्र हैं। यहाँ त्रिकोणमिति की मेरी कुंजी है:

• गुंबद, दीवार और छत का चित्र बनाएं
• त्रिकोणमितीय फलन इन तीन रूपों के प्रतिशत के अलावा और कुछ नहीं हैं।

साइन और कोसाइन के लिए रूपक: गुंबद

केवल त्रिभुजों को देखने के बजाय, एक विशिष्ट वास्तविक जीवन का उदाहरण ढूंढकर उन्हें कार्यान्वित करने की कल्पना करें।

कल्पना कीजिए कि आप एक गुंबद के बीच में हैं और एक मूवी प्रोजेक्टर स्क्रीन लटकाना चाहते हैं। आप अपनी उंगली को गुंबद पर एक निश्चित कोण "x" पर इंगित करते हैं, और स्क्रीन को इस बिंदु से निलंबित कर दिया जाना चाहिए।

आप जिस कोण को इंगित करते हैं वह निर्धारित करता है:

• साइन(x) = साइन(x) = स्क्रीन की ऊंचाई (फर्श से गुंबद के बढ़ते बिंदु तक)
• कोज्या(x) = cos(x) = आपसे स्क्रीन की दूरी (फर्श द्वारा)
• कर्ण, आपसे स्क्रीन के शीर्ष तक की दूरी, हमेशा समान, गुंबद की त्रिज्या के बराबर

क्या आप चाहते हैं कि स्क्रीन यथासंभव बड़ी हो? इसे सीधे अपने ऊपर लटकाएं.

क्या आप चाहते हैं कि स्क्रीन आपसे यथासंभव दूर लटकती रहे? इसे सीधा लंबवत लटका दें। इस स्थिति में स्क्रीन की ऊंचाई शून्य होगी और जैसा आपने पूछा था, वह सबसे दूर लटक जाएगी।

स्क्रीन से ऊंचाई और दूरी व्युत्क्रमानुपाती होती है: स्क्रीन जितनी करीब लटकेगी, उसकी ऊंचाई उतनी ही अधिक होगी।

साइन और कोसाइन प्रतिशत हैं

अफसोस, मेरे अध्ययन के वर्षों के दौरान किसी ने भी मुझे यह नहीं समझाया कि त्रिकोणमितीय फलन साइन और कोसाइन प्रतिशत से अधिक कुछ नहीं हैं। उनका मान +100% से 0 से -100% तक, या सकारात्मक अधिकतम से शून्य से नकारात्मक अधिकतम तक होता है।

मान लीजिए कि मैंने 14 रूबल का कर चुकाया। आप नहीं जानते कि यह कितना है. लेकिन अगर आप कहते हैं कि मैंने टैक्स में 95% का भुगतान किया है, तो आप समझेंगे कि मुझे बस लूटा गया था।

पूर्ण ऊंचाई का कोई मतलब नहीं है. लेकिन यदि साइन मान 0.95 है, तो मैं समझता हूं कि टीवी आपके गुंबद के लगभग शीर्ष पर लटका हुआ है। बहुत जल्द यह गुंबद के केंद्र में अपनी अधिकतम ऊंचाई तक पहुंच जाएगा, और उसके बाद फिर से गिरावट शुरू हो जाएगी।

हम इस प्रतिशत की गणना कैसे कर सकते हैं? यह बहुत सरल है: वर्तमान स्क्रीन की ऊंचाई को अधिकतम संभव (गुंबद की त्रिज्या, जिसे कर्ण भी कहा जाता है) से विभाजित करें।

इसीलिएहमें बताया गया है कि "कोसाइन = विपरीत भुजा/कर्ण।" यह सब रुचि प्राप्त करने के बारे में है! साइन को "अधिकतम संभव से वर्तमान ऊंचाई का प्रतिशत" के रूप में परिभाषित करना सबसे अच्छा है। (यदि आपका कोण "भूमिगत" की ओर इंगित करता है तो ज्या ऋणात्मक हो जाती है। यदि कोण आपके पीछे गुंबद बिंदु की ओर इंगित करता है तो कोज्या ऋणात्मक हो जाती है।)

आइए यह मानकर गणना को सरल बनाएं कि हम इकाई वृत्त (त्रिज्या = 1) के केंद्र पर हैं। हम विभाजन को छोड़ सकते हैं और केवल ज्या को ऊंचाई के बराबर ले सकते हैं।

प्रत्येक वृत्त अनिवार्य रूप से एक एकल वृत्त है, जिसे वांछित आकार में ऊपर या नीचे बढ़ाया जाता है। इसलिए यूनिट सर्कल कनेक्शन निर्धारित करें और परिणामों को अपने विशिष्ट सर्कल आकार पर लागू करें।

प्रयोग: कोई भी कोना लें और देखें कि यह ऊंचाई से चौड़ाई का कितना प्रतिशत प्रदर्शित करता है:

साइन मान की वृद्धि का ग्राफ़ केवल एक सीधी रेखा नहीं है। पहले 45 डिग्री ऊंचाई का 70% कवर करते हैं, लेकिन अंतिम 10 डिग्री (80 डिग्री से 90 डिग्री तक) केवल 2% कवर करते हैं।

इससे आपको यह स्पष्ट हो जाएगा: यदि आप एक वृत्त में चलते हैं, तो 0° पर आप लगभग लंबवत रूप से ऊपर उठते हैं, लेकिन जैसे-जैसे आप गुंबद के शीर्ष पर पहुंचते हैं, ऊंचाई कम और कम बदलती है।

स्पर्शरेखा और छेदक. दीवार

एक दिन एक पड़ोसी ने दीवार बना दी एक दूसरे के ठीक बगल मेंआपके गुंबद तक. खिड़की से आपका दृश्य रोया और पुनर्विक्रय के लिए अच्छी कीमत!

लेकिन क्या इस स्थिति में किसी तरह जीतना संभव है?

बिलकुल हाँ। अगर हम अपने पड़ोसी की दीवार पर मूवी स्क्रीन लटका दें तो क्या होगा? आप कोण (x) को लक्षित करें और प्राप्त करें:

• tan(x) = tan(x) = दीवार पर स्क्रीन की ऊंचाई
• आपसे दीवार की दूरी: 1 (यह आपके गुंबद की त्रिज्या है, दीवार आपसे कहीं भी नहीं हट रही है, है ना?)
• सेकेंट(x) = सेकंड(x) = गुंबद के केंद्र में आपके खड़े होने से निलंबित स्क्रीन के शीर्ष तक "सीढ़ी की लंबाई"

आइए स्पर्शरेखा, या स्क्रीन ऊंचाई के संबंध में कुछ बिंदु स्पष्ट करें।

• यह 0 से शुरू होता है, और अनंत तक ऊपर जा सकता है। आप अपनी पसंदीदा फिल्म देखने के लिए एक अंतहीन कैनवास बनाने के लिए स्क्रीन को दीवार पर ऊपर और ऊपर खींच सकते हैं! (इतने बड़े के लिए, निश्चित रूप से, आपको बहुत सारे पैसे खर्च करने होंगे)।
• स्पर्शरेखा ज्या का ही एक बड़ा संस्करण है! और जब आप गुंबद के शीर्ष की ओर बढ़ते हैं तो साइन में वृद्धि धीमी हो जाती है, स्पर्शरेखा बढ़ती रहती है!

सेकांसु के पास भी डींगें हांकने लायक कुछ है:

• सेकेंड 1 से शुरू होता है (सीढ़ी फर्श पर है, आपसे दीवार तक) और वहां से उठना शुरू होता है
• छेदक रेखा सदैव स्पर्श रेखा से अधिक लंबी होती है। आप अपनी स्क्रीन को लटकाने के लिए जिस तिरछी सीढ़ी का उपयोग करते हैं, वह स्क्रीन से अधिक लंबी होनी चाहिए, है ना? (अवास्तविक आकारों के साथ, जब स्क्रीन बहुत लंबी होती है और सीढ़ी को लगभग लंबवत रखने की आवश्यकता होती है, तो उनके आकार लगभग समान होते हैं। लेकिन फिर भी सेकेंट थोड़ा लंबा होगा)।

याद रखें, मूल्य हैं प्रतिशत. यदि आप स्क्रीन को 50 डिग्री के कोण पर लटकाने का निर्णय लेते हैं, तो tan(50)=1.19। आपकी स्क्रीन दीवार की दूरी (गुंबद की त्रिज्या) से 19% बड़ी है।

(x=0 दर्ज करें और अपना अंतर्ज्ञान जांचें - tan(0) = 0 और sec(0) = 1.)

कोटैंजेंट और कोसेकेंट। छत

अविश्वसनीय रूप से, आपके पड़ोसी ने अब आपके गुंबद पर छत बनाने का फैसला किया है। (उसे क्या दिक्कत है? जाहिर तौर पर वह नहीं चाहता कि जब वह यार्ड में नग्न घूम रहा हो तो आप उसकी जासूसी करें...)

खैर, अब समय आ गया है कि छत तक जाने का रास्ता बनाया जाए और अपने पड़ोसी से बात की जाए। आप झुकाव का कोण चुनें और निर्माण शुरू करें:

• छत के आउटलेट और फर्श के बीच ऊर्ध्वाधर दूरी हमेशा 1 (गुंबद की त्रिज्या) होती है
• कोटैंजेंट(x) = कोट(x) = गुंबद के शीर्ष और निकास बिंदु के बीच की दूरी
• cosecant(x) = csc(x) = छत तक आपके रास्ते की लंबाई

स्पर्शरेखा और सेकेंट दीवार का वर्णन करते हैं, और COस्पर्शरेखा और सीओसेकेंट छत का वर्णन करते हैं।

इस बार हमारे सहज निष्कर्ष पिछले निष्कर्षों के समान हैं:

• यदि आप कोण को 0° के बराबर लेते हैं, तो छत पर आपका निकास हमेशा के लिए रहेगा, क्योंकि यह कभी भी छत तक नहीं पहुंचेगा। संकट।
• यदि आप इसे फर्श से 90 डिग्री के कोण पर बनाते हैं तो छत पर सबसे छोटी "सीढ़ी" प्राप्त होगी। कोटैंजेंट 0 के बराबर होगा (हम छत के साथ बिल्कुल भी नहीं चलते हैं, हम सख्ती से लंबवत रूप से बाहर निकलते हैं), और कोसेकेंट 1 के बराबर होगा ("सीढ़ी की लंबाई" न्यूनतम होगी)।

कनेक्शनों की कल्पना करें

यदि सभी तीन मामलों को गुंबद-दीवार-छत संयोजन में खींचा जाता है, तो परिणाम निम्नलिखित होगा:

खैर, यह अभी भी वही त्रिभुज है, जिसका आकार दीवार और छत तक बढ़ गया है। हमारे पास ऊर्ध्वाधर भुजाएँ (साइन, स्पर्शरेखा), क्षैतिज भुजाएँ (कोज्या, कोटैंजेंट) और "कर्ण" (सेकेंट, कोसेकेंट) हैं। (तीरों से आप देख सकते हैं कि प्रत्येक तत्व कहां पहुंचता है। कोसेकेंट आपसे छत तक की कुल दूरी है)।

थोड़ा सा जादू. सभी त्रिभुज समान समानताएँ साझा करते हैं:

पाइथागोरस प्रमेय (a 2 + b 2 = c 2) से हम देखते हैं कि प्रत्येक त्रिभुज की भुजाएँ कैसे जुड़ी हुई हैं। इसके अलावा, सभी त्रिकोणों के लिए "ऊंचाई से चौड़ाई" का अनुपात भी समान होना चाहिए। (बस सबसे बड़े त्रिभुज से छोटे त्रिभुज की ओर बढ़ें। हां, आकार बदल गया है, लेकिन भुजाओं का अनुपात वही रहेगा)।

यह जानकर कि प्रत्येक त्रिभुज में कौन सी भुजा 1 (गुंबद की त्रिज्या) के बराबर है, हम आसानी से गणना कर सकते हैं कि "sin/cos = tan/1"।

मैंने हमेशा सरल दृश्यावलोकन के माध्यम से इन तथ्यों को याद रखने की कोशिश की है। चित्र में आप इन निर्भरताओं को स्पष्ट रूप से देखते हैं और समझते हैं कि वे कहाँ से आती हैं। यह तकनीक सूखे फॉर्मूलों को याद करने से कहीं बेहतर है।

अन्य कोणों के बारे में मत भूलना

पीएसएसटी... यह सोचकर एक ही ग्राफ पर अटके न रहें कि स्पर्शरेखा हमेशा 1 से कम होती है। यदि आप कोण बढ़ाते हैं, तो आप दीवार तक पहुंचे बिना छत तक पहुंच सकते हैं:

पायथागॉरियन कनेक्शन हमेशा काम करते हैं, लेकिन सापेक्ष आकार भिन्न हो सकते हैं।

(आपने देखा होगा कि साइन और कोसाइन अनुपात हमेशा सबसे छोटे होते हैं क्योंकि वे गुंबद के भीतर समाहित होते हैं)।

संक्षेप में कहें तो: हमें क्या याद रखने की आवश्यकता है?

हममें से अधिकांश के लिए, मैं कहूंगा कि यह पर्याप्त होगा:

• त्रिकोणमिति गणितीय वस्तुओं जैसे वृत्तों और दोहराए जाने वाले अंतरालों की शारीरिक रचना की व्याख्या करती है
• गुंबद/दीवार/छत सादृश्य विभिन्न त्रिकोणमितीय कार्यों के बीच संबंध को दर्शाता है
• त्रिकोणमितीय कार्यों का परिणाम प्रतिशत होता है, जिसे हम अपने परिदृश्य पर लागू करते हैं।

आपको 1 2 + cot 2 = csc 2 जैसे फ़ॉर्मूले याद करने की ज़रूरत नहीं है। वे केवल मूर्खतापूर्ण परीक्षणों के लिए उपयुक्त हैं जिनमें किसी तथ्य के ज्ञान को उसे समझने के रूप में पेश किया जाता है। एक मिनट का समय निकालकर गुंबद, दीवार और छत के रूप में अर्धवृत्त बनाएं, तत्वों को लेबल करें और सभी सूत्र कागज पर आपके सामने आ जाएंगे।

अनुप्रयोग: व्युत्क्रम कार्य

कोई भी त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन एक कोण को इनपुट पैरामीटर के रूप में लेता है और परिणाम को प्रतिशत के रूप में लौटाता है। पाप(30) = 0.5. इसका मतलब यह है कि 30 डिग्री का कोण अधिकतम ऊंचाई का 50% लेता है।

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को पाप -1 या आर्क्सिन के रूप में लिखा जाता है। असिन को अक्सर विभिन्न प्रोग्रामिंग भाषाओं में भी लिखा जाता है।

यदि हमारी ऊंचाई गुंबद की ऊंचाई का 25% है, तो हमारा कोण क्या है?

अनुपात की हमारी तालिका में आप एक अनुपात पा सकते हैं जहां छेदक को 1 से विभाजित किया जाता है। उदाहरण के लिए, 1 से छेदक (क्षैतिज से कर्ण) कोज्या से विभाजित 1 के बराबर होगा:

मान लीजिए कि हमारा सेकेंड 3.5 है, यानी। एक इकाई वृत्त की त्रिज्या का 350%. यह मान दीवार के किस झुकाव के कोण के अनुरूप है?

परिशिष्ट: कुछ उदाहरण

एक उबाऊ काम. आइए साधारण "ज्या खोजें" को जटिल बनाते हुए "अधिकतम (कर्ण) के प्रतिशत के रूप में ऊँचाई क्या है?"

सबसे पहले, ध्यान दें कि त्रिभुज घूमता है। इसमें कुछ भी गलत नहीं है. त्रिभुज की एक ऊंचाई भी होती है, इसे चित्र में हरे रंग से दर्शाया गया है।

कर्ण किसके बराबर होता है? पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, हम जानते हैं कि:

3 2 + 4 2 = कर्ण 2 25 = कर्ण 2 5 = कर्ण

अच्छा! साइन त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा या कर्ण की ऊंचाई का प्रतिशत है। हमारे उदाहरण में, साइन 3/5 या 0.60 है।

बेशक, हम कई तरीकों से जा सकते हैं। अब हम जानते हैं कि ज्या 0.60 है, हम सरलता से चाप ज्या ज्ञात कर सकते हैं:

असिन(0.6)=36.9

यहाँ एक और दृष्टिकोण है. ध्यान दें कि त्रिभुज "दीवार के सम्मुख" है, इसलिए हम ज्या के बजाय स्पर्शरेखा का उपयोग कर सकते हैं। ऊंचाई 3 है, दीवार से दूरी 4 है, इसलिए स्पर्शरेखा ¾ या 75% है। हम प्रतिशत मान से किसी कोण पर वापस जाने के लिए आर्कटेंजेंट का उपयोग कर सकते हैं:

टैन = 3/4 = 0.75 एटन(0.75) = 36.9 उदाहरण: क्या तुम तैरकर किनारे तक आओगे?

आप एक नाव में हैं और आपके पास 2 किमी की यात्रा करने के लिए पर्याप्त ईंधन है। अब आप तट से 0.25 किमी दूर हैं। आप किनारे पर अधिकतम किस कोण पर तैर सकते हैं ताकि आपके पास पर्याप्त ईंधन हो? समस्या कथन के अतिरिक्त: हमारे पास केवल चाप कोज्या मानों की एक तालिका है।

हमारे पास क्या है? हमारे प्रसिद्ध त्रिभुज में समुद्र तट को एक "दीवार" के रूप में दर्शाया जा सकता है, और दीवार से जुड़ी "सीढ़ी की लंबाई" नाव द्वारा किनारे तक तय की जाने वाली अधिकतम संभव दूरी (2 किमी) है। एक सेकेंट प्रकट होता है.

सबसे पहले, आपको प्रतिशत पर जाना होगा। हमारे पास 2 / 0.25 = 8 है, अर्थात, हम किनारे (या दीवार) की सीधी दूरी से 8 गुना अधिक दूरी तक तैर सकते हैं।

प्रश्न उठता है: "8 का छेदक क्या है?" लेकिन हम इसका उत्तर नहीं दे सकते, क्योंकि हमारे पास केवल आर्क कोसाइन हैं।

हम सेकेंट को कोसाइन से जोड़ने के लिए अपनी पहले से प्राप्त निर्भरता का उपयोग करते हैं: "सेकंड/1 = 1/कॉस"

8 का छेदक ⅛ की कोज्या के बराबर है। एक कोण जिसकी कोज्या ⅛ है वह acos(1/8) = 82.8 के बराबर है। और यह सबसे बड़ा कोण है जिसे हम ईंधन की निर्दिष्ट मात्रा वाली नाव पर वहन कर सकते हैं।

बुरा नहीं है, है ना? गुंबद-दीवार-छत सादृश्य के बिना, मैं सूत्रों और गणनाओं के एक समूह में खो गया होता। समस्या को विज़ुअलाइज़ करने से समाधान की खोज बहुत सरल हो जाती है, और यह देखना भी दिलचस्प है कि कौन सा त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन अंततः मदद करेगा।

प्रत्येक समस्या के लिए, इस तरह सोचें: क्या मुझे गुंबद (sin/cos), दीवार (tan/sec), या छत (cot/csc) में दिलचस्पी है?

और त्रिकोणमिति बहुत अधिक मनोरंजक हो जाएगी। आपके लिए आसान गणना!

किसी कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट क्या है, इससे आपको समकोण त्रिभुज को समझने में मदद मिलेगी।

समकोण त्रिभुज की भुजाएँ क्या कहलाती हैं? यह सही है, कर्ण और पैर: कर्ण वह भुजा है जो समकोण के विपरीत स्थित है (हमारे उदाहरण में यह भुजा \(AC\) है); पैर दो शेष भुजाएं \(AB\) और \(BC\) हैं (जो समकोण के निकट हैं), और यदि हम पैरों को कोण \(BC\) के सापेक्ष मानते हैं, तो पैर \(AB\) है आसन्न पैर, और पैर \(BC\) विपरीत है। तो, अब आइए इस प्रश्न का उत्तर दें: किसी कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट क्या हैं?

कोण की ज्या- यह विपरीत (दूर) पैर और कर्ण का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

कोण की कोज्या- यह आसन्न (करीबी) पैर और कर्ण का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

कोण की स्पर्श रेखा– यह विपरीत (दूर) पक्ष का आसन्न (नज़दीक) पक्ष से अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

कोण का कोटैंजेंट- यह आसन्न (नज़दीक) पैर और विपरीत (दूर) पैर का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में:

\[ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

ये परिभाषाएँ आवश्यक हैं याद करना! यह याद रखना आसान बनाने के लिए कि किस पैर को किसमें विभाजित करना है, आपको इसे स्पष्ट रूप से समझने की आवश्यकता है स्पर्शरेखाऔर कोटैंजेंटकेवल पैर बैठते हैं, और कर्ण केवल अंदर दिखाई देता है साइनसऔर कोज्या. और फिर आप संघों की एक श्रृंखला के साथ आ सकते हैं। उदाहरण के लिए, यह वाला:

कोज्या→स्पर्श→स्पर्श→आसन्न;

कोटैंजेंट→स्पर्श→स्पर्श→आसन्न।

सबसे पहले, आपको यह याद रखना होगा कि किसी त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट इन भुजाओं की लंबाई (एक ही कोण पर) पर निर्भर नहीं करते हैं। विश्वास नहीं करते? फिर चित्र देखकर सुनिश्चित करें:

उदाहरण के लिए, कोण \(\beta \) की कोज्या पर विचार करें। परिभाषा के अनुसार, एक त्रिभुज \(ABC\) से : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), लेकिन हम त्रिभुज \(AHI \) से कोण \(\beta \) की कोज्या की गणना कर सकते हैं: \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). आप देखिए, भुजाओं की लंबाई अलग-अलग है, लेकिन एक कोण की कोज्या का मान समान है। इस प्रकार, साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट का मान पूरी तरह से कोण के परिमाण पर निर्भर करता है।

यदि आप परिभाषाएँ समझते हैं, तो आगे बढ़ें और उन्हें समेकित करें!

नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए त्रिभुज \(ABC \) के लिए, हम पाते हैं \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)

अच्छा, क्या तुम्हें यह मिल गया? फिर इसे स्वयं आज़माएँ: कोण \(\beta \) के लिए इसकी गणना करें।

उत्तर: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

इकाई (त्रिकोणमितीय) वृत्त

डिग्री और रेडियन की अवधारणाओं को समझते हुए, हमने \(1\) के बराबर त्रिज्या वाले एक वृत्त पर विचार किया। ऐसे वृत्त को कहते हैं अकेला. त्रिकोणमिति का अध्ययन करते समय यह बहुत उपयोगी होगा। इसलिए, आइए इसे थोड़ा और विस्तार से देखें।

जैसा कि आप देख सकते हैं, इस वृत्त का निर्माण कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में किया गया है। वृत्त की त्रिज्या एक के बराबर है, जबकि वृत्त का केंद्र निर्देशांक के मूल पर स्थित है, त्रिज्या वेक्टर की प्रारंभिक स्थिति \(x\) अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ तय की गई है (हमारे उदाहरण में, यह त्रिज्या \(AB\)) है।

वृत्त पर प्रत्येक बिंदु दो संख्याओं से मेल खाता है: \(x\) अक्ष के साथ निर्देशांक और \(y\) अक्ष के साथ निर्देशांक। ये निर्देशांक संख्याएँ क्या हैं? और सामान्य तौर पर, उनका मौजूदा विषय से क्या लेना-देना है? ऐसा करने के लिए, हमें सुविचारित समकोण त्रिभुज के बारे में याद रखना होगा। उपरोक्त चित्र में, आप दो पूर्ण समकोण त्रिभुज देख सकते हैं। त्रिभुज \(ACG\) पर विचार करें। यह आयताकार है क्योंकि \(CG\) \(x\) अक्ष के लंबवत है।

त्रिभुज \(ACG \) से \(\cos \ \alpha \) क्या है? यह सही है \(\cos \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). इसके अलावा, हम जानते हैं कि \(AC\) इकाई वृत्त की त्रिज्या है, जिसका अर्थ है \(AC=1\) । आइए इस मान को कोसाइन के हमारे सूत्र में प्रतिस्थापित करें। यहाँ क्या होता है:

\(\cos \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

त्रिभुज \(ACG \) से \(\sin \ \alpha \) किसके बराबर है? बेशक, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! इस सूत्र में त्रिज्या \(AC\) का मान रखें और प्राप्त करें:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

तो, क्या आप बता सकते हैं कि वृत्त से संबंधित बिंदु \(C\) का क्या निर्देशांक है? अच्छा, कोई रास्ता नहीं? क्या होगा यदि आपको पता चले कि \(\cos \ \alpha \) और \(\sin \alpha \) केवल संख्याएँ हैं? \(\cos \alpha \) किस निर्देशांक के अनुरूप है? खैर, निःसंदेह, निर्देशांक \(x\)! और \(\sin \alpha \) किस निर्देशांक के अनुरूप है? यह सही है, समन्वय \(y\)! तो बात यह है \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

तो फिर \(tg \alpha \) और \(ctg \alpha \) किसके बराबर हैं? यह सही है, आइए स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की संबंधित परिभाषाओं का उपयोग करें और उसे प्राप्त करें \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), ए \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

यदि कोण बड़ा हो तो क्या होगा? उदाहरण के लिए, जैसे इस चित्र में:

इस उदाहरण में क्या बदलाव आया है? आइए इसका पता लगाएं। ऐसा करने के लिए, आइए फिर से एक समकोण त्रिभुज की ओर मुड़ें। एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : कोण (कोण \(\beta \) के आसन्न)। किसी कोण के लिए ज्या, कोज्या, स्पर्शज्या तथा कोटैंजेन्ट का मान क्या होता है? \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? यह सही है, हम त्रिकोणमितीय फलनों की संगत परिभाषाओं का पालन करते हैं:

\(\begin(array)(l)\sin \ang ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (ए)_(1))((सी)_(1)))=\dfrac(((सी)_(1))जी)(1)=((सी)_(1))जी=y; \\\cos \कोण ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\कोण ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\कोण ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)

ठीक है, जैसा कि आप देख सकते हैं, कोण की ज्या का मान अभी भी निर्देशांक \(y\) से मेल खाता है; कोण की कोज्या का मान - निर्देशांक \(x\) ; और संबंधित अनुपातों के स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मान। इस प्रकार, ये संबंध त्रिज्या वेक्टर के किसी भी घूर्णन पर लागू होते हैं।

यह पहले ही उल्लेख किया जा चुका है कि त्रिज्या वेक्टर की प्रारंभिक स्थिति \(x\) अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ है। अब तक हमने इस वेक्टर को वामावर्त घुमाया है, लेकिन अगर हम इसे दक्षिणावर्त घुमाएं तो क्या होगा? कुछ भी असाधारण नहीं, आपको एक निश्चित मूल्य का कोण भी मिलेगा, लेकिन वह केवल नकारात्मक होगा। इस प्रकार, त्रिज्या वेक्टर को वामावर्त घुमाने पर, हमें मिलता है सकारात्मक कोण, और जब दक्षिणावर्त घुमाते हैं - नकारात्मक।

तो, हम जानते हैं कि वृत्त के चारों ओर त्रिज्या वेक्टर की संपूर्ण क्रांति \(360()^\circ \) या \(2\pi \) है। क्या त्रिज्या वेक्टर को \(390()^\circ \) या \(-1140()^\circ \) द्वारा घुमाना संभव है? खैर, बेशक आप कर सकते हैं! पहले मामले में, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), इस प्रकार, त्रिज्या वेक्टर एक पूर्ण क्रांति करेगा और स्थिति \(30()^\circ \) या \(\dfrac(\pi )(6) \) पर रुक जाएगा।

दूसरे मामले में, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), अर्थात, त्रिज्या वेक्टर तीन पूर्ण चक्कर लगाएगा और स्थिति \(-60()^\circ \) या \(-\dfrac(\pi )(3) \) पर रुकेगा।

इस प्रकार, उपरोक्त उदाहरणों से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि जो कोण \(360()^\circ \cdot m \) या \(2\pi \cdot m \) से भिन्न होते हैं (जहां \(m \) कोई पूर्णांक है), त्रिज्या वेक्टर की समान स्थिति के अनुरूप।

नीचे दिया गया चित्र कोण \(\beta =-60()^\circ \) को दर्शाता है। वही छवि कोने से मेल खाती है \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)वगैरह। यह सूची अनिश्चित काल तक जारी रखी जा सकती है। इन सभी कोणों को सामान्य सूत्र द्वारा लिखा जा सकता है \(\बीटा +360()^\circ \cdot m\)या \(\beta +2\pi \cdot m \) (जहाँ \(m \) कोई पूर्णांक है)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(सरणी) \)

अब, बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाओं को जानकर और इकाई वृत्त का उपयोग करके, उत्तर देने का प्रयास करें कि मान क्या हैं:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

आपकी सहायता के लिए यहां एक यूनिट सर्कल है:

कठिनाइयाँ हो रही हैं? तो चलिए इसका पता लगाते हैं। तो हम जानते हैं कि:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(सरणी)\)

यहां से, हम कुछ कोण मापों के अनुरूप बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करते हैं। खैर, आइए क्रम से शुरू करें: कोने में \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)निर्देशांक \(\left(0;1 \right) \) वाले एक बिंदु से मेल खाता है, इसलिए:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\राइटएरो \text(tg)\ 90()^\circ \)- मौजूद नहीं होना;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

इसके अलावा, उसी तर्क का पालन करते हुए, हम पाते हैं कि कोने \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )निर्देशांक वाले बिंदुओं के अनुरूप \(\left(-1;0 \right),\text() )\left(0;-1 \right),\text() )\left(1;0 \right),\text() )\left(0 ;1 \दाएं) \), क्रमश। इसे जानने से संबंधित बिंदुओं पर त्रिकोणमितीय फलनों का मान निर्धारित करना आसान होता है। पहले इसे स्वयं आज़माएँ, और फिर उत्तरों की जाँच करें।

उत्तर:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- मौजूद नहीं

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\राइटएरो \text(tg)\ 270()^\circ \)- मौजूद नहीं

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \360()^\circ =0\)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\राइटएरो \text(ctg)\ 2\pi \)- मौजूद नहीं

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\राइटएरो \text(tg)\ 450()^\circ \)- मौजूद नहीं

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

इस प्रकार, हम निम्नलिखित तालिका बना सकते हैं:

इन सभी मूल्यों को याद रखने की कोई जरूरत नहीं है. यूनिट सर्कल पर बिंदुओं के निर्देशांक और त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों के बीच पत्राचार को याद रखना पर्याप्त है:

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(आपको इसे याद रखना चाहिए या प्रदर्शित करने में सक्षम होना चाहिए!! \) !}

लेकिन और में कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मान \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\)नीचे दी गई तालिका में, आपको अवश्य याद रखना चाहिए:

डरो मत, अब हम आपको संबंधित मूल्यों को काफी सरल तरीके से याद रखने का एक उदाहरण दिखाएंगे:

इस पद्धति का उपयोग करने के लिए, कोण के तीनों मापों के लिए ज्या मानों को याद रखना महत्वपूर्ण है ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), साथ ही \(30()^\circ \) में कोण की स्पर्श रेखा का मान भी। इन \(4\) मानों को जानने के बाद, संपूर्ण तालिका को पुनर्स्थापित करना काफी सरल है - कोसाइन मान तीरों के अनुसार स्थानांतरित किए जाते हैं, अर्थात:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \end(सरणी) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), यह जानकर, आप मूल्यों को पुनर्स्थापित कर सकते हैं \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). अंश "\(1 \)" \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) के अनुरूप होगा और हर "\(\sqrt(\text(3)) \)" के अनुरूप होगा \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . कोटैंजेंट मान चित्र में दर्शाए गए तीरों के अनुसार स्थानांतरित किए जाते हैं। यदि आप इसे समझते हैं और तीर वाले आरेख को याद रखते हैं, तो यह तालिका से केवल \(4\) मान याद रखने के लिए पर्याप्त होगा।

वृत्त पर एक बिंदु के निर्देशांक

क्या वृत्त के केंद्र के निर्देशांक, उसकी त्रिज्या और घूर्णन कोण को जानकर, वृत्त पर एक बिंदु (इसके निर्देशांक) खोजना संभव है? खैर, बेशक आप कर सकते हैं! आइए किसी बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए एक सामान्य सूत्र प्राप्त करें। उदाहरण के लिए, यहाँ हमारे सामने एक वृत्त है:

हमें वह बिंदु दिया गया है \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- वृत्त का केंद्र. वृत्त की त्रिज्या \(1.5\) है। बिंदु \(O\) को \(\delta \) डिग्री तक घुमाने पर प्राप्त बिंदु \(P\) के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है।

जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, बिंदु \(P\) का निर्देशांक \(x\) खंड \(TP=UQ=UK+KQ\) की लंबाई से मेल खाता है। खंड \(UK\) की लंबाई वृत्त के केंद्र के निर्देशांक \(x\) से मेल खाती है, अर्थात यह \(3\) के बराबर है। खंड \(KQ\) की लंबाई कोज्या की परिभाषा का उपयोग करके व्यक्त की जा सकती है:

\(\cos \\delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

फिर हमारे पास बिंदु \(P\) के लिए निर्देशांक है \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).

उसी तर्क का उपयोग करते हुए, हम बिंदु \(P\) के लिए y निर्देशांक का मान ज्ञात करते हैं। इस प्रकार,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).

तो, सामान्य तौर पर, बिंदुओं के निर्देशांक सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \डेल्टा \अंत(सरणी) \), कहाँ

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - वृत्त के केंद्र के निर्देशांक,

\(r\) - वृत्त की त्रिज्या,

\(\डेल्टा \) - वेक्टर त्रिज्या का घूर्णन कोण।

जैसा कि आप देख सकते हैं, जिस इकाई वृत्त पर हम विचार कर रहे हैं, उसके लिए ये सूत्र काफी कम हो गए हैं, क्योंकि केंद्र के निर्देशांक शून्य के बराबर हैं और त्रिज्या एक के बराबर है:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

त्रिकोणमिति गणितीय विज्ञान की एक शाखा है जो त्रिकोणमितीय कार्यों और ज्यामिति में उनके उपयोग का अध्ययन करती है। त्रिकोणमिति का विकास प्राचीन ग्रीस में शुरू हुआ। मध्य युग के दौरान, मध्य पूर्व और भारत के वैज्ञानिकों ने इस विज्ञान के विकास में महत्वपूर्ण योगदान दिया।

यह लेख त्रिकोणमिति की बुनियादी अवधारणाओं और परिभाषाओं के लिए समर्पित है। यह बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाओं पर चर्चा करता है: साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट। इनका अर्थ ज्यामिति के सन्दर्भ में समझाया एवं दर्शाया गया है।

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प्रारंभ में, त्रिकोणमितीय फलनों की परिभाषाएँ, जिनका तर्क एक कोण है, एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में व्यक्त की गई थीं।

त्रिकोणमितीय फलनों की परिभाषाएँ

किसी कोण की ज्या (sin α) इस कोण के विपरीत पैर और कर्ण का अनुपात है।

कोण की कोज्या (cos α) - आसन्न पैर का कर्ण से अनुपात।

कोण स्पर्शरेखा (टी जी α) - विपरीत पक्ष का आसन्न पक्ष से अनुपात।

कोण कोटैंजेंट (सी टी जी α) - आसन्न पक्ष का विपरीत पक्ष से अनुपात।

ये परिभाषाएँ समकोण त्रिभुज के न्यूनकोण के लिए दी गई हैं!

चलिए एक उदाहरण देते हैं.

समकोण C वाले त्रिभुज ABC में, कोण A की ज्या भुजा BC और कर्ण AB के अनुपात के बराबर है।

साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषा आपको त्रिभुज की भुजाओं की ज्ञात लंबाई से इन कार्यों के मूल्यों की गणना करने की अनुमति देती है।

याद रखना महत्वपूर्ण है!

साइन और कोसाइन के मानों की सीमा -1 से 1 तक होती है। दूसरे शब्दों में, साइन और कोसाइन का मान -1 से 1 तक होता है। स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मानों की सीमा संपूर्ण संख्या रेखा होती है, अर्थात्, ये फ़ंक्शन कोई भी मान ले सकते हैं।

ऊपर दी गई परिभाषाएँ न्यून कोणों पर लागू होती हैं। त्रिकोणमिति में, एक घूर्णन कोण की अवधारणा पेश की जाती है, जिसका मान, एक न्यून कोण के विपरीत, 0 से 90 डिग्री तक सीमित नहीं है। डिग्री या रेडियन में घूर्णन कोण को - ∞ से + ∞ तक किसी भी वास्तविक संख्या द्वारा व्यक्त किया जाता है .

इस संदर्भ में, हम मनमाने परिमाण के कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट को परिभाषित कर सकते हैं। आइए हम एक इकाई वृत्त की कल्पना करें जिसका केंद्र कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के मूल में है।

निर्देशांक (1, 0) के साथ प्रारंभिक बिंदु A एक निश्चित कोण α के माध्यम से इकाई वृत्त के केंद्र के चारों ओर घूमता है और बिंदु A 1 पर जाता है। परिभाषा बिंदु A 1 (x, y) के निर्देशांक के संदर्भ में दी गई है।

घूर्णन कोण की ज्या (पाप)।

घूर्णन कोण α की ज्या बिंदु A 1 (x, y) की कोटि है। पाप α = y

घूर्णन कोण का कोसाइन (cos)।

घूर्णन कोण α की कोज्या बिंदु A 1 (x, y) का भुज है। क्योंकि α = x

घूर्णन कोण की स्पर्शरेखा (टीजी)।

घूर्णन कोण α की स्पर्श रेखा बिंदु A 1 (x, y) की कोटि और इसके भुज का अनुपात है। टी जी α = वाई एक्स

घूर्णन कोण का कोटैंजेंट (सीटीजी)।

घूर्णन कोण α का कोटैंजेंट बिंदु A 1 (x, y) के भुज और उसकी कोटि का अनुपात है। सी टी जी α = एक्स वाई

किसी भी घूर्णन कोण के लिए ज्या और कोज्या को परिभाषित किया गया है। यह तर्कसंगत है, क्योंकि घूर्णन के बाद किसी बिंदु का भुज और कोटि किसी भी कोण पर निर्धारित किया जा सकता है। स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के साथ स्थिति भिन्न है। स्पर्शरेखा अपरिभाषित होती है जब घूर्णन के बाद एक बिंदु शून्य भुज (0, 1) और (0, - 1) वाले बिंदु पर जाता है। ऐसे मामलों में, स्पर्शरेखा t g α = y x के लिए अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि इसमें शून्य से विभाजन होता है। कोटैंजेंट के साथ भी स्थिति ऐसी ही है। अंतर यह है कि कोटैंजेंट को उन मामलों में परिभाषित नहीं किया जाता है जहां किसी बिंदु की कोटि शून्य हो जाती है।

याद रखना महत्वपूर्ण है!

साइन और कोसाइन को किसी भी कोण α के लिए परिभाषित किया गया है।

स्पर्शरेखा को α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) को छोड़कर सभी कोणों के लिए परिभाषित किया गया है।

कोटैंजेंट को α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) को छोड़कर सभी कोणों के लिए परिभाषित किया गया है।

व्यावहारिक उदाहरणों को हल करते समय, "घूर्णन कोण की ज्या α" न कहें। शब्द "घूर्णन कोण" को आसानी से हटा दिया गया है, जिसका अर्थ है कि संदर्भ से यह पहले से ही स्पष्ट है कि क्या चर्चा की जा रही है।

नंबर

किसी संख्या की ज्या, कोज्या, स्पर्शज्या और कोटैंजेन्ट की परिभाषा के बारे में क्या, न कि घूर्णन के कोण के बारे में?

किसी संख्या की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट

किसी संख्या की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट टीएक संख्या है जो क्रमशः ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के बराबर है टीरेडियन.

उदाहरण के लिए, संख्या 10 π की ज्या 10 π rad के घूर्णन कोण की ज्या के बराबर है।

किसी संख्या की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट निर्धारित करने का एक और तरीका है। आइए इस पर करीब से नज़र डालें।

कोई वास्तविक संख्या टीयूनिट सर्कल पर एक बिंदु आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के मूल में केंद्र से जुड़ा हुआ है। इस बिंदु के निर्देशांक के माध्यम से साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट निर्धारित किए जाते हैं।

वृत्त पर प्रारंभिक बिंदु बिंदु A है जिसका निर्देशांक (1, 0) है।

सकारात्मक संख्या टी

ऋणात्मक संख्या टीउस बिंदु से मेल खाता है जिस पर प्रारंभिक बिंदु जाएगा यदि यह सर्कल के चारों ओर वामावर्त दिशा में घूमता है और पथ टी से गुजरता है।

अब जब एक संख्या और एक वृत्त पर एक बिंदु के बीच संबंध स्थापित हो गया है, तो हम साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषा पर आगे बढ़ते हैं।

टी का साइन (पाप)।

किसी संख्या की ज्या टी- संख्या के अनुरूप इकाई वृत्त पर एक बिंदु का कोटि टी। पाप टी = वाई

टी का कोसाइन (कॉस)।

किसी संख्या की कोज्या टी- संख्या के अनुरूप इकाई वृत्त के बिंदु का भुज टी। क्योंकि t = x

टी की स्पर्शरेखा (टीजी)।

किसी संख्या की स्पर्शरेखा टी- संख्या के अनुरूप इकाई वृत्त पर एक बिंदु के भुज कोटि का अनुपात टी। टी जी टी = वाई एक्स = पाप टी क्योंकि टी

नवीनतम परिभाषाएँ इस पैराग्राफ की शुरुआत में दी गई परिभाषा के अनुरूप हैं और इसका खंडन नहीं करती हैं। संख्या के अनुरूप वृत्त पर बिंदु अंकित करें टी, उस बिंदु से मेल खाता है जिस पर एक कोण से मुड़ने के बाद प्रारंभिक बिंदु जाता है टीरेडियन.

कोणीय और संख्यात्मक तर्क के त्रिकोणमितीय कार्य

कोण α का प्रत्येक मान इस कोण की ज्या और कोज्या के एक निश्चित मान से मेल खाता है। ठीक उसी तरह जैसे α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) के अलावा अन्य सभी कोण एक निश्चित स्पर्शरेखा मान के अनुरूप होते हैं। जैसा कि ऊपर कहा गया है, कोटैंजेंट को α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) को छोड़कर सभी α के लिए परिभाषित किया गया है।

हम कह सकते हैं कि पाप α, cos α, t g α, c t g α कोण अल्फा के कार्य हैं, या कोणीय तर्क के कार्य हैं।

इसी प्रकार, हम संख्यात्मक तर्क के कार्यों के रूप में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के बारे में बात कर सकते हैं। प्रत्येक वास्तविक संख्या टीकिसी संख्या की ज्या या कोज्या के एक निश्चित मान से मेल खाता है टी. π 2 + π · k, k ∈ Z के अलावा अन्य सभी संख्याएँ एक स्पर्शरेखा मान के अनुरूप हैं। इसी तरह, कोटैंजेंट को π · k, k ∈ Z को छोड़कर सभी संख्याओं के लिए परिभाषित किया गया है।

त्रिकोणमिति के बुनियादी कार्य

साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्य हैं।

यह आमतौर पर संदर्भ से स्पष्ट होता है कि हम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन (कोणीय तर्क या संख्यात्मक तर्क) के किस तर्क से निपट रहे हैं।

आइए शुरुआत में दी गई परिभाषाओं और अल्फा कोण पर वापस लौटें, जो 0 से 90 डिग्री तक की सीमा में है। साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की त्रिकोणमितीय परिभाषाएँ एक समकोण त्रिभुज के पहलू अनुपात द्वारा दी गई ज्यामितीय परिभाषाओं के साथ पूरी तरह से सुसंगत हैं। चलिए दिखाते हैं.

आइए एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में एक केंद्र के साथ एक इकाई वृत्त लें। आइए प्रारंभिक बिंदु A (1, 0) को 90 डिग्री तक के कोण से घुमाएं और परिणामी बिंदु A 1 (x, y) से भुज अक्ष पर एक लंबवत खींचें। परिणामी समकोण त्रिभुज में, कोण A 1 O H घूर्णन कोण α के बराबर है, पैर O H की लंबाई बिंदु A 1 (x, y) के भुज के बराबर है। कोण के विपरीत पैर की लंबाई बिंदु A 1 (x, y) की कोटि के बराबर है, और कर्ण की लंबाई एक के बराबर है, क्योंकि यह इकाई वृत्त की त्रिज्या है।

ज्यामिति की परिभाषा के अनुसार, कोण α की ज्या विपरीत भुजा और कर्ण के अनुपात के बराबर होती है।

पाप α = ए 1 एच ओ ए 1 = वाई 1 = वाई

इसका मतलब यह है कि पहलू अनुपात के माध्यम से एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की ज्या का निर्धारण करना घूर्णन कोण α की ज्या निर्धारित करने के बराबर है, जिसमें अल्फा 0 से 90 डिग्री की सीमा में होता है।

इसी प्रकार, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के लिए परिभाषाओं का पत्राचार दिखाया जा सकता है।

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