गणित के एक पाठ का सारांश "समीकरणों को हल करना" (तीसरी कक्षा)। अज्ञात पद वाले समीकरणों को हल करना

सीखने के मकसद- चयन की विधि का उपयोग करके और जोड़ और घटाव के बीच संबंध के आधार पर समीकरणों को हल करें।

पाठ मकसद

सभी छात्र इसमें सक्षम होंगे:
चयन विधि का उपयोग करके समीकरण का मूल ज्ञात करें

अधिकांश छात्र इसमें सक्षम होंगे:
किसी अज्ञात पद को खोजने के लिए सरल समीकरण लिखने और हल करने में सक्षम हो

कुछ छात्र इसमें सक्षम होंगे:
ड्राइंग के आधार पर स्वतंत्र रूप से समीकरण बनाएं और हल करें।

पूर्व ज्ञान: 100 के भीतर संख्याओं की प्रणाली को समझना; तुलना करने और तुलनात्मक भाषा का उपयोग करने की क्षमता।

कक्षाओं के दौरान

सहयोगात्मक वातावरण बनाना
(मनोवैज्ञानिक मिनट)

हर्षित घंटी बजी.
क्या आप पाठ शुरू करने के लिए तैयार हैं?
आइए सुनें, बात करें,
और एक दूसरे की मदद करें!

समूहन

लक्ष्य:विद्यार्थियों को समूहों में एकजुट करने से पाठ में संज्ञानात्मक रुचि बढ़ती है और समूह कार्य में सामंजस्य बढ़ता है।
समूहों में कार्य करने के नियमों की समीक्षा करना

जीवन के अनुभव को अद्यतन करना

मोटे और पतले प्रश्नों का उपयोग करते हुए विचार-मंथन की रणनीति।
- समीकरण क्या है? (किसी अज्ञात के साथ समानता को समीकरण कहा जाता है)
- समीकरण में अज्ञात को कैसे दर्शाया गया है?
- किसी समीकरण को हल करने का क्या मतलब है? (मतलब अज्ञात को खोजना)
- जोड़ के घटक क्या हैं?

रेटिंग: तीन ताली
स्टार्टर "एक वीडियो देखें" (शैक्षिक कार्टून)
"फ़्रीज़ फ़्रेम" विधि

पाठ के लिए लक्ष्य निर्धारण
- क्या आपने अनुमान लगाया है कि आज हम कक्षा में क्या करेंगे?
- पाठ के लक्ष्यों को प्राप्त करने में हमें क्या मदद मिलेगी (नई चीजें सीखें, समस्याओं को हल करना सीखें) गणितीय संकेतन) (आपका अनुभव, शिक्षक, पाठ्यपुस्तक)
बच्चे पाठ का उद्देश्य तैयार करते हैं, मैं सामान्यीकरण करता हूँ।
- आज पाठ में आप सीखेंगे कि अज्ञात पदों वाले समीकरणों को कैसे हल किया जाए

अध्ययन। पाठ्यपुस्तक के अनुसार कार्य करें।
लक्ष्य:पाठ्यपुस्तक सामग्री पी पर शोध करें। 46

कार्य 1. पाठ्यपुस्तक "सुरंग में कारें" पर आधारित खेल
सामूहिक कार्य। "सोचो, चर्चा करो, साझा करो" रणनीति। अंतःविषय संबंध शिक्षण साक्षरता (सुनना और बोलना)

खेल "सुरंग में कारें"

सुरंग में कितनी गाड़ियाँ हैं?
6 + x = 18 और 2 + x = 14.
उत्तर: 12 गाड़ियाँ।

वर्णनकर्ता:
- ड्राइंग के आधार पर एक समीकरण बनाता है
- चयन विधि का उपयोग करके किसी अक्षर का अर्थ ढूँढता है।
- निष्कर्ष निकालता है (नियम बनाता है)

प्रतिक्रिया "यातायात प्रकाश"
यहां मैं इस उद्देश्य से समीकरण मॉडलिंग का उपयोग कर रहा हूं
किसी अज्ञात पद के साथ समीकरणों को हल करने की क्षमता का निर्माण।

कार्य 2. जोड़ियों में कार्य करें। "नायक की मदद करें"

खेल "नायक की मदद करें"

जोड़ी में काम करने के लिए, मैं सहकारी शिक्षा का उपयोग करता हूं जो छात्रों के बीच ज्ञान और कौशल का हस्तांतरण करता है।
विवरणकर्ता द्वारा स्व-मूल्यांकन: "अंगूठा"

गतिशील विराम. संगीतमय शारीरिक व्यायाम.

कार्य 3. समूह कार्य. "सोचो, एक जोड़ी ढूंढो, साझा करो!"

वर्णनकर्ता:
- पूरा समूह काम करता है;
- ड्राइंग के आधार पर स्वतंत्र रूप से समीकरण बनाता और हल करता है;
- एक निष्कर्ष निकालता है (एक नियम बनाता है)।

प्रतिक्रिया "पहिया"
अनुप्रयोग (शिक्षक - निरीक्षण करता है, मदद करता है, जाँच करता है, छात्र - प्रश्न हल करता है, ज्ञान प्रदर्शित करता है)

स्लाइड्स पर सहकर्मी समीक्षा
यहां मैं सीखने की प्रक्रिया को बेहतर बनाने के लिए समूह कार्य का उपयोग करता हूं।

कार्य 4. जोड़ियों में खेल "क्यूब" (इसे आज़माएँ)

समूह कार्य: "सोचो, एक जोड़ी ढूंढो, साझा करो!"

वर्णनकर्ता:
- खींची गई संख्या को प्रतिस्थापित करता है
- समीकरण को स्वतंत्र रूप से हल करता है।

यहाँ मैं उपयोग करता हूँ सक्रिय विधिवी खेल का रूपजिससे किसी अज्ञात पद वाले समीकरण के समाधान की गहरी समझ पैदा होती है।
ट्रैफिक लाइट डिस्क्रिप्टर के आधार पर मूल्यांकन

कार्य 5. व्यक्तिगत कार्य
विभेदित कार्य.
ज्ञान के विभिन्न स्तरों वाले छात्रों के लिए कार्यों का चयन किया जाता है।

वर्णनकर्ता:

1. किसी संख्या रेखा का उपयोग करके समीकरण का मूल ज्ञात करना;
2. गणितीय संख्याओं और चिह्नों का उपयोग करके समीकरण का मूल ढूँढना;
3. चित्र से एक समीकरण बनाता है.

स्व-मूल्यांकन "ट्रैफ़िक लाइट" (मानक के विरुद्ध परीक्षण)।
- शाबाश, आपने यह कार्य पूरा कर लिया!
यहां मैं प्रत्येक छात्र के लिए व्यक्तिगत सीखने की जरूरतों के लिए एक विभेदित दृष्टिकोण का उपयोग करता हूं।

पाठ सारांश. चिंतन "साक्षात्कार विधि"
- आज हमने कक्षा में क्या काम किया?
- अज्ञात शब्द कैसे खोजें?
- अज्ञात शब्द क्या है? (भाग)
- क्या आपने अपना लक्ष्य हासिल कर लिया है?
- वे लोग क्या करेंगे जिन्हें समीकरणों के साथ काम करने में कठिनाई हुई? (छात्रों के बयान)

लक्ष्य:शिक्षक यह पता लगाएंगे कि क्या छात्रों को पाठ का विषय और उनकी गलतियाँ समझ में आईं ताकि उन्हें अगले पाठ में सुधारा जा सके। (छात्रों का कथन) (यहां मैं छात्रों की आवश्यकताओं का अधिक संतोषजनक ढंग से उपयोग करता हूं)
सहकर्मी मूल्यांकन "2 सितारे, 1 इच्छा"

प्रतिबिंब "सफलता की सीढ़ी" (बच्चे इमोटिकॉन्स पोस्ट करते हैं)
- मैं किसी अज्ञात पद वाले समीकरण को हल कर सकता हूं।
- मैं किसी और को सिखा सकता हूं...
- मुझे यह मुश्किल लगता है...
- मुझे कुछ भी नहीं मिला …

लक्ष्य:पाठ के दौरान अपनी उपलब्धियों का आत्म-मूल्यांकन।

पाठ 80-81. विषय: "समीकरणों को हल करना"

लक्ष्य:अज्ञात पदों वाले समीकरणों को हल करना सीखें; लंबाई की इकाइयों का अनुपात दोहराएं; एक कॉलम में गणना कौशल को समेकित करें; तर्क और तार्किक सोच कौशल विकसित करें।

नियोजित परिणाम: छात्र किसी अज्ञात पद को खोजने के लिए समीकरणों को हल करना सीखेंगे; सीखी गई तकनीकों का उपयोग करके लिखित गणना करना; सफलता/असफलता के कारणों को समझें शैक्षणिक गतिविधियां.

कक्षाओं के दौरान

मैं . आयोजन का समय

द्वितीय . ज्ञान को अद्यतन करना

गणितीय श्रुतलेख

1. 67, 89 से कितना कम है? (22 पर)

2. 7 दहाई में से 4 दहाई घटाएँ। (30.)

3. 23 को 32 से बढ़ायें. (55.)

4. मैंने किस संख्या को 27 से घटाकर 23 प्राप्त किया? (50.)

5. 70 प्राप्त करने के लिए आपको 43 को कितना बढ़ाना चाहिए? (27 को)

6. संख्या 9 और 6 के योग में से 10 घटाएं। (5.)

7. 37 प्राप्त करने के लिए 64 में से कौन सी संख्या घटानी होगी? (27.)

8. आपने किस संख्या में 0 जोड़ा और 44 प्राप्त किया? (44.)

9. 21 में संख्या 14 और 6 के बीच का अंतर जोड़ें। (29.) 10. संख्याओं 33, 16,4 और 27 का योग. (80.)

(जाँचें। स्व-मूल्यांकन।)

तृतीय . गतिविधि के लिए आत्मनिर्णय

इस उदाहरण का उपयोग करके तीन और उदाहरण बनाएं। 6 + 4=10

(शिक्षक बोर्ड पर उदाहरण लिखते हैं।) 4 + 6=10 10-4 = 6 10-6 = 4

ओवरले उदाहरण बनाते समय आपने कौन सा नियम लागू किया? (शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करने से योग नहीं बदलता है।)

घटाव उदाहरण बनाते समय आपने किस नियम का उपयोग किया? (यदि आप योग में से एक पद घटाते हैं, तो आपको दूसरा पद प्राप्त होता है।)

- पाठ का विषय जानने के लिए क्रॉसवर्ड पहेली हल करें।

1. ये संख्यात्मक एवं वर्णानुक्रमिक होते हैं। (अभिव्यक्ति.)

2. जो संख्याएँ जोड़ी जाती हैं उन्हें कहा जाता है। (अतिरिक्त)

3. वह संख्या जिसमें से घटाना है। (मीनअंत.)

4. घटाने के लिए गणितीय संकेत. (माइनस)

5. समानता जिसमें अज्ञात संख्या हो। (समीकरण।)

6. आकृति की भुजाओं की लंबाई का योग। (परिमाप।)

7. धन चिह्न के साथ अभिव्यक्ति. (जोड़।)

8. एक प्रविष्टि जिसमें समान चिह्न हो। (समानता।)

9. कम से कम दो अंकों की संख्या. (दस।) 10. लैटिन अक्षर. (एक्स।)

हाइलाइट की गई लाइन में क्या हुआ? (समीकरणों को हल करना।)

पाठ का विषय: "अज्ञात पद के साथ समीकरणों को हल करना।" हम अपने लिए क्या कार्य निर्धारित करेंगे?

चतुर्थ . पाठ के विषय पर काम करें

1. पाठ्यपुस्तक के अनुसार कार्य करें

पी पर डोमिनोज़ को देखो। 7 पाठ्यपुस्तकें और उदाहरण साथ-साथ दर्ज किए गए। घटाव के उदाहरण कैसे प्राप्त किये जाते हैं? आपने उन्हें संकलित करने के लिए किस नियम का उपयोग किया? निष्कर्ष समाप्त करें. ( अज्ञात पद ज्ञात करने के लिए, आपको ज्ञात पद को योग से घटाना होगा।)

№ 1 (पृ. 7).(मौखिक प्रदर्शन.)

№2 (पृ. 7).(विस्तृत विवरण के साथ सामूहिक निष्पादन।)

2. स्वतंत्र समाधानसमीकरण

विकल्प 1 विकल्प 2

x + 45 = 92 75+x = 81

26+x = 50 x + 22 = 70

(दो छात्र फ्लिप बोर्ड पर समाधान लिखते हैं। जांचें। स्व-मूल्यांकन।)

समाधान:

एक्स + 45 = 92 75 + एक्स = 81

एक्स = 92-45 एक्स = 81-75

एक्स = 47 एक्स= 6

26+x=50 x + 22 = 70

एक्स = 50 – 26 एक्स = 70 - 22

3. पाठ्यपुस्तक के अनुसार कार्य करें

№3(पृ. 7).(मौखिक प्रदर्शन.)

№4 (पी. 7). (स्वतंत्र समापन। जिन लोगों को कठिनाइयाँ होती हैं, शिक्षक समाधान कार्यक्रम के साथ एक सहायता कार्ड देते हैं।) 1) बहन ने कितने गिलास रसभरी एकत्र की?

2) आपने एक साथ कितने गिलास रसभरी एकत्र की? (जांचें। स्व-मूल्यांकन।)

वी . शारीरिक शिक्षा मिनट

मैं चल रहा हूं और तुम चल रहे हो - एक, दो, तीन। (स्थान पर कदम।)

मैं गाता हूं और तुम गाते हो - एक, दो, तीन। (अपने हाथ से ताली बजाएं।)

हम जाते हैं और गाते हैं - एक, दो, तीन। (अपनी जगह पर कूदते हुए)

हम बहुत मित्रवत रहते हैं - एक, दो, तीन। (स्थान पर कदम।)

छठी . सीखी गई सामग्री को सुदृढ़ करना

पाठ्यपुस्तक से कार्य करनानंबर 1 (पृ. 14).

आप लंबाई की कौन सी इकाई जानते हैं?

1 सेमी में कितने मिलीमीटर होते हैं? (स्वतंत्र निष्पादन। जाँच करें।) समाधान:

5 सेमी 3 मिमी = 53 मिमी

3 सेमी 8 मिमी = 38 मिमीनंबर 2 (पृ. 14).

(स्वतंत्र निष्पादन। जाँच करें।)

1) समाधान:

एबी= 3 सेमी 5मिमी, सीडी= 5 सेमी 5 मिमी;

5 सेमी 5 मिमी - 3 सेमी 5 मिमी = 2 सेमी.

उत्तर:खंड की लंबाई सीडीखंड की लंबाई से 2 सेमी अधिक एबी.

2) समाधान: ईसीएमओ= 2 सेमी + 4 सेमी + 1 सेमी 5 मिमी = 7 सेमी 5 मिमी. क्रमांक 3 (पृ. 14).

(स्वतंत्र कार्यान्वयन। जाँच। स्व-मूल्यांकन।)

समाधान:

2 सेमी = 20 मिमी

4 सेमी 2 मिमी > 40 मिमी 30 मिमी = 3 सेमी

4 सेमी 5 मिमी < 5 सेमी

सातवीं . प्रतिबिंब

("स्वयं का परीक्षण करें" (पाठ्यपुस्तक, पृष्ठ 7)। स्वतंत्र कार्यान्वयन। परीक्षण।)

समाधान: 15+x = 35 x = 35-15 x = 20

आठवीं . पाठ का सारांश

आज आपको किस प्रकार के समीकरण याद आये?

अज्ञात शब्द कैसे खोजें?

किसको सहायता की आवश्यकता है?

गृहकार्य:कार्यपुस्तिका: क्रमांक 10, 11 (पृ. 6)।

§ 1 अज्ञात शब्द कैसे खोजें

यदि कोई एक पद अज्ञात है तो समीकरण का मूल कैसे ज्ञात करें? इस पाठ में हम पदों और योग के मान के बीच संबंध के आधार पर समीकरणों को हल करने की एक विधि देखेंगे।

आइए इस समस्या का समाधान करें.

फूलों की क्यारी में 6 लाल ट्यूलिप और 3 पीले ट्यूलिप उगे हुए थे। फूलों की क्यारी में कितने ट्यूलिप थे? आइए समाधान लिखें. तो, 6 लाल और 3 पीले ट्यूलिप उगे, इसलिए, हम अभिव्यक्ति 6 ​​+ 3 लिख सकते हैं, जोड़ने के बाद, हमें परिणाम मिलता है - 9 ट्यूलिप फूलों की क्यारी में उगे।

आइए समाधान लिखें. तो, 6 लाल और 3 पीले ट्यूलिप उगे, इसलिए, हम अभिव्यक्ति 6 ​​+ 3 लिख सकते हैं, जोड़ने के बाद, हमें परिणाम मिलता है - 9 ट्यूलिप फूलों की क्यारी में उगे। 6 + 3 = 9.

आइए समस्या की स्थिति को बदलें। फूलों की क्यारी में 9 ट्यूलिप उगे थे, 6 तोड़ लिए गए। कितने ट्यूलिप बचे हैं?

यह पता लगाने के लिए कि फूलों के बिस्तर में कितने ट्यूलिप बचे हैं, आपको 9 ट्यूलिप की कुल संख्या में से चुने हुए फूलों को घटाना होगा, उनमें से 6 हैं।

आइए गणना करें: 9-6 हमें परिणाम 3 मिलता है। फूलों के बिस्तर में 3 ट्यूलिप बचे हैं।

आइए इस समस्या को फिर से बदलें। वहाँ 9 ट्यूलिप उग रहे थे, 3 तोड़ लिए गए। कितने ट्यूलिप बचे हैं?

समाधान इस तरह दिखेगा: ट्यूलिप की कुल संख्या 9 में से, आपको चुने हुए फूलों को घटाना होगा, उनमें से 3 हैं। 6 ट्यूलिप बचे हैं।

आइए समानताओं पर करीब से नज़र डालें और यह पता लगाने का प्रयास करें कि वे एक-दूसरे से कैसे संबंधित हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, इन समानताओं में समान संख्याएँ और व्युत्क्रम क्रियाएँ शामिल हैं: जोड़ और घटाव।

आइए पहली समस्या को हल करने की ओर लौटते हैं और अभिव्यक्ति 6 ​​+ 3 = 9 पर विचार करते हैं।

आइए याद रखें कि जोड़ते समय किन संख्याओं को कहा जाता है:

6 पहला पद है

3 - दूसरा कार्यकाल

9 - राशि मूल्य

अब आइए सोचें कि हमें अंतर 9 - 6 = 3 और 9 - 3 = 6 कैसे मिला?

समानता 9 - 6 = 3 में, पहला पद6 योग9 के मान से घटाया गया, और दूसरा पद3 प्राप्त किया गया।

समानता 9 - 3 = 6 में, हमने योग 9 के मान से दूसरा पद 3 घटाया और पहला पद 6 प्राप्त किया।

इसलिए, यदि आप योग के मूल्य से पहला पद घटाते हैं, तो आपको दूसरा पद मिलता है, और यदि आप योग के मूल्य से दूसरा पद घटाते हैं, तो आपको पहला पद मिलता है।

आइए सूत्रबद्ध करें सामान्य नियम:

अज्ञात पद ज्ञात करने के लिए, आपको ज्ञात पद को योग मान से घटाना होगा।

§ 2 अज्ञात पद वाले समीकरणों को हल करने के उदाहरण

आइए अज्ञात पदों वाले समीकरणों को देखें और इस नियम का उपयोग करके मूल खोजने का प्रयास करें।

आइए समीकरण X + 5 = 7 को हल करें।

इस समीकरण में पहला पद अज्ञात है। इसे खोजने के लिए, हम नियम का उपयोग करते हैं: अज्ञात पहला पद X ज्ञात करने के लिए, योग 7 के मान से दूसरा पद 5 घटाना आवश्यक है।

इसका मतलब है एक्स = 7 - 5,

आइए अंतर ज्ञात करें 7 - 5 = 2, एक्स = 2।

आइए देखें कि क्या हमें समीकरण का मूल सही मिला है। जाँच करने के लिए, आपको समीकरण में X के स्थान पर संख्या 2 रखनी होगी:

7 = 7 - हमें सही समानता प्राप्त हुई। हम निष्कर्ष निकालते हैं: संख्या 2 समीकरण X+5=7 का मूल है।

आइए एक और समीकरण 8 + Y = 17 हल करें।

इस समीकरण में दूसरा पद अज्ञात है।

इसे खोजने के लिए, आपको योग 17 के मान से पहला पद 8 घटाना होगा।

आइए जाँच करें: Y के स्थान पर संख्या 9 रखें। हमें मिलता है:

17 = 17 - हमें सही समानता प्राप्त हुई।

इसलिए, संख्या 9 समीकरण 8 + Y = 17 का मूल है।

इसलिए, पाठ में हम पदों और योग के मान के बीच संबंध के आधार पर समीकरणों को हल करने की विधि से परिचित हुए। अज्ञात पद ज्ञात करने के लिए, आपको ज्ञात पद को योग मान से घटाना होगा।

प्रयुक्त साहित्य की सूची:

1. आई.आई. अर्गिंस्काया, ई.आई. इवानोव्स्काया, एस.एन. कोर्मिशिना। गणित: दूसरी कक्षा के लिए पाठ्यपुस्तक: 2 बजे। - समारा: पब्लिशिंग हाउस " शैक्षणिक साहित्य": पब्लिशिंग हाउस "फेडोरोव", 2012।
2. अर्गिंस्काया आई.आई. स्वतंत्र, परीक्षण और के लिए गणित में कार्यों का संग्रह परीक्षणवी प्राथमिक स्कूल. - समारा: फेडोरोव कॉर्पोरेशन, एजुकेशनल लिटरेचर पब्लिशिंग हाउस, 2006।

प्रयुक्त छवियाँ:

समीकरणों को जल्दी और सफलतापूर्वक हल करने का तरीका जानने के लिए, आपको सबसे शुरुआत करनी होगी सरल नियमऔर उदाहरण. सबसे पहले, आपको यह सीखना होगा कि ऐसे समीकरणों को कैसे हल किया जाए जिनमें कुछ संख्याओं का अंतर, योग, भागफल या गुणनफल हो, जिसमें बाईं ओर एक अज्ञात संख्या हो और दाईं ओर एक अन्य संख्या हो। दूसरे शब्दों में, इन समीकरणों में एक अज्ञात पद होता है और या तो एक सबट्रेंड के साथ एक मीनेंड होता है, या एक विभाजक के साथ एक लाभांश होता है, आदि। इसी प्रकार के समीकरणों के बारे में हम आपसे बात करेंगे।

यह लेख उन बुनियादी नियमों के लिए समर्पित है जो आपको कारकों, अज्ञात शब्दों आदि को खोजने की अनुमति देते हैं। हम विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करके सभी सैद्धांतिक सिद्धांतों को तुरंत समझाएंगे।

Yandex.RTB R-A-339285-1

अज्ञात शब्द ढूँढना

मान लीजिए कि हमारे पास दो फूलदानों में गेंदों की एक निश्चित संख्या है, उदाहरण के लिए, 9। हम जानते हैं कि दूसरे फूलदान में 4 गेंदें हैं। दूसरे में मात्रा कैसे ज्ञात करें? आइए इस समस्या को गणितीय रूप में लिखें, उस संख्या को x के रूप में दर्शाते हुए जिसे ज्ञात करना आवश्यक है। मूल स्थिति के अनुसार, यह संख्या 4 के साथ मिलकर 9 बनती है, जिसका अर्थ है कि हम समीकरण 4 + x = 9 लिख सकते हैं। बाईं ओर हमारे पास एक अज्ञात पद के साथ एक योग है, दाईं ओर हमारे पास इस योग का मूल्य है। एक्स कैसे खोजें? ऐसा करने के लिए आपको नियम का उपयोग करना होगा:

परिभाषा 1

अज्ञात पद ज्ञात करने के लिए, आपको ज्ञात पद को योग से घटाना होगा।

इस मामले में, हम घटाव को एक ऐसा अर्थ देते हैं जो जोड़ के विपरीत है। दूसरे शब्दों में, जोड़ और घटाव की क्रियाओं के बीच एक निश्चित संबंध होता है, जिसे शाब्दिक रूप से इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: यदि a + b = c, तो c - a = b और c - b = a, और इसके विपरीत, से अभिव्यक्ति c - a = b और c - b = a, से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि a + b = c।

इस नियम को जानकर, हम ज्ञात पद और योग का उपयोग करके एक अज्ञात पद ज्ञात कर सकते हैं। इस मामले में हम कौन सा सटीक शब्द जानते हैं, पहला या दूसरा, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता। आइए देखें कैसे करें आवेदन यह नियमअभ्यास पर.

उदाहरण 1

आइए वह समीकरण लें जो हमें ऊपर मिला: 4 + x = 9. नियम के अनुसार, हमें 9 के बराबर ज्ञात योग में से 4 के बराबर ज्ञात पद को घटाना होगा। आइए एक प्राकृत संख्या को दूसरी प्राकृत संख्या से घटाएं: 9 - 4 = 5. हमें वह पद मिल गया जिसकी हमें आवश्यकता थी, 5 के बराबर।

आमतौर पर, ऐसे समीकरणों के समाधान इस प्रकार लिखे जाते हैं:

1. मूल समीकरण पहले लिखा जाता है.
2. इसके बाद, हम उस समीकरण को लिखते हैं जो अज्ञात पद की गणना के लिए नियम लागू करने के बाद उत्पन्न हुआ।
3. इसके बाद अंकों के साथ तमाम हेराफेरी के बाद जो समीकरण प्राप्त होता है उसे लिखते हैं.

मूल समीकरण के समतुल्य समीकरणों के साथ अनुक्रमिक प्रतिस्थापन को दर्शाने और मूल खोजने की प्रक्रिया को प्रदर्शित करने के लिए अंकन के इस रूप की आवश्यकता है। उपरोक्त हमारे सरल समीकरण का हल सही ढंग से इस प्रकार लिखा जाएगा:

4 + x = 9, x = 9 − 4, x = 5.

हम प्राप्त उत्तर की सत्यता की जांच कर सकते हैं। आइए मूल समीकरण में जो मिला उसे प्रतिस्थापित करें और देखें कि क्या इससे सही संख्यात्मक समानता निकलती है। 4 + x = 9 में 5 रखें और प्राप्त करें: 4 + 5 = 9। समानता 9 = 9 सही है, जिसका अर्थ है कि अज्ञात शब्द सही पाया गया। यदि समानता गलत निकली, तो हमें समाधान पर वापस जाना चाहिए और इसकी दोबारा जांच करनी चाहिए, क्योंकि यह एक त्रुटि का संकेत है। एक नियम के रूप में, अक्सर यह एक कम्प्यूटेशनल त्रुटि या गलत नियम का अनुप्रयोग होता है।

एक अज्ञात उपट्रेंड या मीनूएंड ढूँढना

जैसा कि हमने पहले पैराग्राफ में पहले ही उल्लेख किया है, जोड़ और घटाव की प्रक्रियाओं के बीच एक निश्चित संबंध है। इसकी मदद से, हम एक नियम बना सकते हैं जो हमें एक अज्ञात मीनूएंड को खोजने में मदद करेगा जब हम अंतर और उपट्रेंड को जानते हैं, या मीनूएंड या अंतर के माध्यम से एक अज्ञात सबट्रेंड को जानते हैं। आइए इन दोनों नियमों को बारी-बारी से लिखें और दिखाएं कि समस्याओं को हल करने के लिए उन्हें कैसे लागू किया जाए।

परिभाषा 2

अज्ञात मीनूएंड को खोजने के लिए, आपको अंतर में सबट्रेंड जोड़ना होगा।

उदाहरण 2

उदाहरण के लिए, हमारे पास समीकरण x - 6 = 10 है। अज्ञात मीनूअंत. नियम के मुताबिक, हमें 10 के अंतर में घटाए गए 6 को जोड़ने की जरूरत है, हमें 16 मिलता है। अर्थात मूल मीनेंड सोलह के बराबर है। आइए संपूर्ण समाधान लिखें:

एक्स - 6 = 10, एक्स = 10 + 6, एक्स = 16।

आइए परिणामी संख्या को मूल समीकरण में जोड़कर परिणाम की जाँच करें: 16 - 6 = 10। समानता 16 - 16 सही होगी, जिसका अर्थ है कि हमने सब कुछ सही ढंग से गणना की है।

परिभाषा 3

अज्ञात सबट्रेंड को खोजने के लिए, आपको मीनूएंड से अंतर को घटाना होगा।

उदाहरण 3

आइए समीकरण 10 - x = 8 को हल करने के लिए नियम का उपयोग करें। हम उपांतर को नहीं जानते हैं, इसलिए हमें अंतर को 10 से घटाने की आवश्यकता है, यानी। 10 - 8 = 2. इसका मतलब है कि आवश्यक उपप्रकार दो के बराबर है। यहाँ संपूर्ण समाधान है:

10 - एक्स = 8, एक्स = 10 - 8, एक्स = 2.

आइए दोनों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करके शुद्धता की जाँच करें। आइए सही समानता 10 - 2 = 8 प्राप्त करें और सुनिश्चित करें कि हमने जो मान पाया वह सही होगा।

अन्य नियमों पर आगे बढ़ने से पहले, हम ध्यान दें कि किसी भी पद को समीकरण के एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित करने, चिह्न को विपरीत वाले से बदलने का एक नियम है। उपरोक्त सभी नियम इसका पूर्णतः अनुपालन करते हैं।

किसी अज्ञात कारक का पता लगाना

आइए दो समीकरण देखें: x · 2 = 20 और 3 · x = 12. दोनों में, हम उत्पाद का मूल्य और एक कारक जानते हैं; हमें दूसरा खोजने की जरूरत है। ऐसा करने के लिए, हमें एक अन्य नियम का उपयोग करने की आवश्यकता है।

परिभाषा 4

किसी अज्ञात कारक को खोजने के लिए, आपको उत्पाद को ज्ञात कारक से विभाजित करना होगा।

यह नियम ऐसे अर्थ पर आधारित है जो गुणन के अर्थ के विपरीत है। गुणा और भाग के बीच निम्नलिखित संबंध है: ए · बी = सी जब ए और बी 0 के बराबर नहीं हैं, सी: ए = बी, सी: बी = सी और इसके विपरीत।

उदाहरण 4

आइए पहले समीकरण में ज्ञात भागफल 20 को ज्ञात कारक 2 से विभाजित करके अज्ञात कारक की गणना करें। हम विभाजन करते हैं प्राकृतिक संख्याऔर हमें 10 मिलते हैं. आइए हम समानताओं का क्रम लिखें:

x · 2 = 20 x = 20: 2 x = 10.

हम मूल समानता में दस को प्रतिस्थापित करते हैं और हमें 2 · 10 = 20 मिलता है। अज्ञात गुणक का मान सही ढंग से निष्पादित किया गया था.

आइए स्पष्ट करें कि यदि गुणकों में से एक शून्य है, तो यह नियम लागू नहीं किया जा सकता है। इस प्रकार, हम इसकी सहायता से समीकरण x · 0 = 11 को हल नहीं कर सकते। इस अंकन का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि इसे हल करने के लिए आपको 11 को 0 से विभाजित करना होगा, और शून्य से विभाजन परिभाषित नहीं है। पर और अधिक पढ़ें समान मामलेहमने इसे रैखिक समीकरणों पर एक लेख में शामिल किया है।

जब हम इस नियम को लागू करते हैं, तो हम अनिवार्य रूप से समीकरण के दोनों पक्षों को 0 के अलावा किसी अन्य कारक से विभाजित कर रहे होते हैं। मौजूद अलग नियम, जिसके अनुसार ऐसा विभाजन किया जा सकता है, और यह समीकरण की जड़ों को प्रभावित नहीं करेगा, और इस पैराग्राफ में हमने जो लिखा है वह पूरी तरह से इसके अनुरूप है।

अज्ञात लाभांश या विभाजक ढूँढना

एक अन्य मामला जिस पर हमें विचार करने की आवश्यकता है वह अज्ञात लाभांश का पता लगाना है यदि हम भाजक और भागफल को जानते हैं, साथ ही जब भागफल और लाभांश ज्ञात हैं तो भाजक का पता लगाना है। हम यहां पहले से बताए गए गुणन और भाग के बीच संबंध का उपयोग करके इस नियम को बना सकते हैं।

परिभाषा 5

अज्ञात लाभांश ज्ञात करने के लिए, आपको भाजक को भागफल से गुणा करना होगा।

आइए देखें कि यह नियम कैसे लागू होता है।

उदाहरण 5

आइए इसका उपयोग समीकरण x: 3 = 5 को हल करने के लिए करें। हम ज्ञात भागफल और ज्ञात भाजक को एक साथ गुणा करते हैं और 15 प्राप्त करते हैं, जो कि वह लाभांश होगा जिसकी हमें आवश्यकता है।

यहाँ छोटा लेखसंपूर्ण समाधान:

एक्स: 3 = 5, एक्स = 3 5, एक्स = 15।

जांच करने से पता चलता है कि हमने सब कुछ सही ढंग से गणना की है, क्योंकि 15 को 3 से विभाजित करने पर वास्तव में 5 आता है। सही संख्यात्मक समानता एक सही समाधान का प्रमाण है।

इस नियम की व्याख्या समीकरण के दाएं और बाएं पक्षों को 0 के अलावा एक ही संख्या से गुणा करने के रूप में की जा सकती है। यह परिवर्तन किसी भी तरह से समीकरण की जड़ों को प्रभावित नहीं करता है।

आइए अगले नियम पर चलते हैं।

परिभाषा 6

अज्ञात भाजक खोजने के लिए, आपको लाभांश को भागफल से विभाजित करना होगा।

उदाहरण 6

आइए एक सरल उदाहरण लें - समीकरण 21: x = 3। इसे हल करने के लिए, ज्ञात लाभांश 21 को भागफल 3 से विभाजित करें और 7 प्राप्त करें। यह आवश्यक भाजक होगा. आइए अब समाधान को सही ढंग से औपचारिक रूप दें:

21: x = 3, x = 21: 3, x = 7.

आइए सुनिश्चित करें कि मूल समीकरण में सात प्रतिस्थापित करके परिणाम सही है। 21: 7 = 3, इसलिए समीकरण के मूल की गणना सही ढंग से की गई।

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि यह नियम केवल उन मामलों पर लागू होता है जहां भागफल शून्य के बराबर नहीं है, क्योंकि अन्यथा हमें फिर से 0 से विभाजित करना होगा। यदि शून्य निजी है, तो दो विकल्प संभव हैं। यदि लाभांश भी शून्य के बराबर है और समीकरण 0: x = 0 जैसा दिखता है, तो चर का मान कोई भी होगा, अर्थात इस समीकरण में जड़ों की अनंत संख्या है। लेकिन 0 के बराबर भागफल और 0 से भिन्न लाभांश वाले समीकरण का समाधान नहीं होगा, क्योंकि भाजक के ऐसे मान मौजूद नहीं हैं। एक उदाहरण समीकरण 5 होगा: x = 0, जिसका कोई मूल नहीं है।

नियमों का लगातार लागू होना

अक्सर व्यवहार में अधिक जटिल समस्याएं होती हैं जिनमें जोड़, मीनुएंड, उपट्रेंड, गुणनखंड, लाभांश और भागफल खोजने के नियमों को क्रमिक रूप से लागू किया जाना चाहिए। चलिए एक उदाहरण देते हैं.

उदाहरण 7

हमारे पास 3 x + 1 = 7 के रूप का एक समीकरण है। हम 7 में से एक घटाकर अज्ञात पद 3 x की गणना करते हैं। हम 3 x = 7 - 1 पर समाप्त होते हैं, फिर 3 x = 6. इस समीकरण को हल करना बहुत आसान है: 6 को 3 से विभाजित करें और मूल समीकरण का मूल प्राप्त करें।

यहां एक अन्य समीकरण (2 x − 7) : 3 − 5 = 2 के समाधान का संक्षिप्त सारांश दिया गया है:

(2 x − 7) : 3 − 5 = 2 , (2 x − 7) : 3 = 2 + 5 , (2 x − 7) : 3 = 7 , 2 x − 7 = 7 3 , 2 x − 7 = 21, 2 एक्स = 21 + 7, 2 एक्स = 28, एक्स = 28: 2, एक्स = 14।

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समीकरणों में महारत हासिल करना सबसे कठिन विषयों में से एक है, लेकिन अधिकांश समस्याओं को हल करने के लिए वे एक शक्तिशाली उपकरण भी हैं।

समीकरणों का प्रयोग करके प्रकृति में होने वाली विभिन्न प्रक्रियाओं का वर्णन किया जाता है। समीकरणों का व्यापक रूप से अन्य विज्ञानों में उपयोग किया जाता है: अर्थशास्त्र, भौतिकी, जीव विज्ञान और रसायन विज्ञान।

इस पाठ में हम सरलतम समीकरणों के सार को समझने का प्रयास करेंगे, अज्ञात को व्यक्त करना सीखेंगे और कई समीकरणों को हल करेंगे। जैसे-जैसे आप नई सामग्री सीखते हैं, समीकरण अधिक जटिल होते जाएंगे, इसलिए मूल बातें समझना बहुत महत्वपूर्ण है।

एक समीकरण क्या है?

समीकरण एक समानता है जिसमें एक चर होता है जिसका मान आप खोजना चाहते हैं। यह मान ऐसा होना चाहिए कि मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर सही संख्यात्मक समानता प्राप्त हो।

उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति 2 + 2 = 4 एक समानता है। बायीं ओर की गणना करने पर सही संख्यात्मक समानता 4 = 4 प्राप्त होती है।

लेकिन समानता 2+ है एक्स= 4 एक समीकरण है क्योंकि इसमें एक चर है एक्सजिसका मूल्य ज्ञात किया जा सकता है। मान ऐसा होना चाहिए कि इस मान को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर सही संख्यात्मक समानता प्राप्त हो।

दूसरे शब्दों में, हमें एक ऐसा मान खोजना होगा जिस पर समान चिह्न अपने स्थान को उचित ठहरा सके - बाईं ओर दाईं ओर के बराबर होना चाहिए।

समीकरण 2+ एक्स= 4 प्रारंभिक है. परिवर्तनीय मान एक्ससंख्या 2 के बराबर है। किसी अन्य मान के लिए समानता नहीं देखी जाएगी

उनका कहना है कि नंबर 2 है जड़या समीकरण को हल करना 2 + एक्स = 4

जड़या समीकरण का हल- यह उस चर का मान है जिस पर समीकरण वास्तविक संख्यात्मक समानता में बदल जाता है।

इसकी कई जड़ें हो सकती हैं या बिल्कुल भी नहीं। प्रश्न हल करेंइसका अर्थ है इसकी जड़ों को खोजना या यह सिद्ध करना कि जड़ें नहीं हैं।

समीकरण में शामिल चर को अन्यथा कहा जाता है अज्ञात. आपको इसे अपनी पसंद के अनुसार नाम देने का अधिकार है। ये पर्यायवाची शब्द हैं.

टिप्पणी. वाक्यांश "एक समीकरण हल करें" स्वयं ही बोलता है। किसी समीकरण को हल करने का अर्थ है समीकरण को "बराबर करना" - इसे संतुलित बनाना ताकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर हो।

एक बात को दूसरे के माध्यम से व्यक्त करें

समीकरणों का अध्ययन परंपरागत रूप से समानता में शामिल एक संख्या को कई अन्य संख्याओं के माध्यम से व्यक्त करना सीखने से शुरू होता है। आइए इस परंपरा को न तोड़ें और ऐसा ही करें।

निम्नलिखित अभिव्यक्ति पर विचार करें:

8 + 2

यह व्यंजक संख्या 8 और 2 का योग है। इस व्यंजक का मान 10 है

8 + 2 = 10

हमें समानता मिली. अब आप इस समानता से किसी भी संख्या को उसी समानता में शामिल अन्य संख्याओं के माध्यम से व्यक्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, आइए संख्या 2 को व्यक्त करें।

संख्या 2 को व्यक्त करने के लिए, आपको यह प्रश्न पूछना होगा: "संख्या 2 प्राप्त करने के लिए संख्या 10 और 8 के साथ क्या किया जाना चाहिए।" यह स्पष्ट है कि संख्या 2 प्राप्त करने के लिए, आपको संख्या 10 में से संख्या 8 को घटाना होगा।

यही वह है जो हम करते हैं। हम संख्या 2 लिखते हैं और समान चिह्न के माध्यम से हम कहते हैं कि इस संख्या 2 को प्राप्त करने के लिए हमने संख्या 10 में से संख्या 8 घटा दी है:

2 = 10 − 8

हमने संख्या 2 को समानता 8 + 2 = 10 से व्यक्त किया। जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, इसमें कुछ भी जटिल नहीं है।

समीकरणों को हल करते समय, विशेष रूप से एक संख्या को अन्य के संदर्भ में व्यक्त करते समय, समान चिह्न को "शब्द" से बदलना सुविधाजनक होता है। वहाँ है" . यह मानसिक रूप से किया जाना चाहिए, अभिव्यक्ति में नहीं।

अतः, संख्या 2 को समानता 8 + 2 = 10 से व्यक्त करने पर, हमें समानता 2 = 10 - 8 प्राप्त हुई। इस समानता को इस प्रकार पढ़ा जा सकता है:

2 वहाँ है 10 − 8

यानी एक संकेत = "है" शब्द द्वारा प्रतिस्थापित किया गया। इसके अलावा, समानता 2 = 10 - 8 से अनुवादित किया जा सकता है गणितीय भाषापूर्ण मानव भाषा में. तो इसे इस प्रकार पढ़ा जा सकता है:

नंबर 2 वहाँ हैसंख्या 10 और संख्या 8 के बीच अंतर

नंबर 2 वहाँ हैसंख्या 10 और संख्या 8 के बीच अंतर.

लेकिन हम खुद को केवल "है" शब्द के साथ समान चिह्न को बदलने तक ही सीमित रखेंगे और हम हमेशा ऐसा नहीं करेंगे। गणितीय भाषा का मानव भाषा में अनुवाद किए बिना प्राथमिक अभिव्यक्तियों को समझा जा सकता है।

आइए हम परिणामी समानता 2 = 10 - 8 को उसकी मूल स्थिति में लौटाएँ:

8 + 2 = 10

आइए इस बार संख्या 8 को व्यक्त करें। संख्या 8 प्राप्त करने के लिए शेष संख्याओं के साथ क्या करना होगा? यह सही है, आपको संख्या 10 में से 2 घटाना होगा

8 = 10 − 2

आइए हम परिणामी समानता 8 = 10 - 2 को उसकी मूल स्थिति में लौटाएँ:

8 + 2 = 10

इस बार हम संख्या 10 को व्यक्त करेंगे। लेकिन यह पता चला है कि दस को व्यक्त करने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि यह पहले से ही व्यक्त है। यह बाएँ और दाएँ भागों की अदला-बदली करने के लिए पर्याप्त है, फिर हमें वह मिलेगा जो हमें चाहिए:

10 = 8 + 2

उदाहरण 2. समानता 8 - 2 = 6 पर विचार करें

आइए इस समानता से संख्या 8 को व्यक्त करें। संख्या 8 को व्यक्त करने के लिए, शेष दो संख्याओं को जोड़ना होगा:

8 = 6 + 2

आइए हम परिणामी समानता 8 = 6 + 2 को उसकी मूल स्थिति में लौटाएँ:

8 − 2 = 6

आइए इस समानता से संख्या 2 को व्यक्त करें। संख्या 2 को व्यक्त करने के लिए, आपको 8 में से 6 घटाना होगा

2 = 8 − 6

उदाहरण 3. समानता 3 × 2 = 6 पर विचार करें

आइए संख्या 3 को व्यक्त करें। संख्या 3 को व्यक्त करने के लिए, आपको 6 को 2 से विभाजित करने की आवश्यकता है

आइए परिणामी समानता को उसकी मूल स्थिति में लौटाएँ:

3 × 2 = 6

आइए हम संख्या 2 को इस समानता से व्यक्त करें। संख्या 2 को व्यक्त करने के लिए, आपको 6 को 3 से विभाजित करने की आवश्यकता है

उदाहरण 4. समानता पर विचार करें

आइए हम संख्या 15 को इस समानता से व्यक्त करें। संख्या 15 को व्यक्त करने के लिए, आपको संख्याओं 3 और 5 को गुणा करना होगा

15 = 3 × 5

आइए हम परिणामी समानता 15 = 3 × 5 को उसकी मूल स्थिति में लौटाएँ:

आइए हम संख्या 5 को इस समानता से व्यक्त करें। संख्या 5 को व्यक्त करने के लिए, आपको 15 को 3 से विभाजित करने की आवश्यकता है

अज्ञात खोजने के नियम

आइए अज्ञात को खोजने के लिए कई नियमों पर विचार करें। वे आपसे परिचित हो सकते हैं, लेकिन उन्हें दोबारा दोहराने में कोई हर्ज नहीं है। भविष्य में, उन्हें भुलाया जा सकता है, क्योंकि हम इन नियमों को लागू किए बिना समीकरणों को हल करना सीखते हैं।

आइए पहले उदाहरण पर लौटते हैं, जिसे हमने पिछले विषय में देखा था, जहां समानता 8 + 2 = 10 में हमें संख्या 2 को व्यक्त करने की आवश्यकता थी।

समानता 8 + 2 = 10 में, संख्या 8 और 2 पद हैं, और संख्या 10 योग है।

संख्या 2 को व्यक्त करने के लिए, हमने निम्नलिखित कार्य किया:

2 = 10 − 8

अर्थात्, 10 के योग में से हमने पद 8 घटा दिया।

अब कल्पना कीजिए कि समानता 8 + 2 = 10 में संख्या 2 के स्थान पर एक चर है एक्स

8 + एक्स = 10

इस स्थिति में, समानता 8 + 2 = 10 समीकरण 8 + बन जाती है एक्स= 10 और चर एक्स अज्ञात शब्द

हमारा कार्य इस अज्ञात पद को खोजना है, अर्थात समीकरण 8+ को हल करना है एक्स= 10 . किसी अज्ञात पद को खोजने के लिए निम्नलिखित नियम दिया गया है:

अज्ञात पद ज्ञात करने के लिए, आपको ज्ञात पद को योग से घटाना होगा।

मूलतः यही हमने तब किया जब हमने दो को समानता 8 + 2 = 10 में व्यक्त किया। पद 2 को व्यक्त करने के लिए, हमने योग 10 में से एक और पद 8 घटा दिया

2 = 10 − 8

अब, अज्ञात शब्द को खोजने के लिए एक्स, हमें ज्ञात पद 8 को योग 10 से घटाना होगा:

एक्स = 10 − 8

यदि आप परिणामी समानता के दाहिने पक्ष की गणना करते हैं, तो आप पता लगा सकते हैं कि चर किसके बराबर है एक्स

एक्स = 2

हमने समीकरण हल कर लिया है. परिवर्तनीय मान एक्स 2 के बराबर है. किसी वेरिएबल का मान जांचने के लिए एक्समूल समीकरण 8+ पर भेजा गया एक्स= 10 और स्थानापन्न एक्स।किसी भी हल किए गए समीकरण के साथ ऐसा करना उचित है, क्योंकि आप पूरी तरह से आश्वस्त नहीं हो सकते कि समीकरण सही ढंग से हल हो गया है:

नतीजतन

यदि अज्ञात पद पहली संख्या 8 है तो भी यही नियम लागू होगा।

एक्स + 2 = 10

इस समीकरण में एक्सअज्ञात पद है, 2 ज्ञात पद है, 10 योग है। एक अज्ञात शब्द खोजने के लिए एक्स, आपको ज्ञात पद 2 को योग 10 से घटाना होगा

एक्स = 10 − 2

एक्स = 8

आइए पिछले विषय से दूसरे उदाहरण पर लौटते हैं, जहां समानता 8 - 2 = 6 में संख्या 8 को व्यक्त करना आवश्यक था।

समानता 8 - 2 = 6 में, संख्या 8 लघुअंत है, संख्या 2 उपअंत है, और संख्या 6 अंतर है

संख्या 8 को व्यक्त करने के लिए, हमने निम्नलिखित कार्य किया:

8 = 6 + 2

यानी हमने 6 का अंतर जोड़ा और 2 घटाया.

अब कल्पना करें कि समानता 8 - 2 = 6 में, संख्या 8 के बजाय, एक चर है एक्स

एक्स − 2 = 6

इस मामले में परिवर्तनशील एक्सतथाकथित की भूमिका निभाता है अज्ञात मिनट

किसी अज्ञात मीनूएंड को खोजने के लिए, निम्नलिखित नियम प्रदान किया गया है:

अज्ञात मीनूएंड को खोजने के लिए, आपको अंतर में सबट्रेंड जोड़ना होगा।

हमने यही किया जब हमने संख्या 8 को समानता 8 - 2 = 6 में व्यक्त किया। 8 के न्यूनतम को व्यक्त करने के लिए, हमने 6 के अंतर में 2 का घटाव जोड़ दिया।

अब, अज्ञात मीनू को खोजने के लिए एक्स, हमें अंतर 6 में घटाव 2 जोड़ना होगा

एक्स = 6 + 2

यदि आप दाईं ओर की गणना करते हैं, तो आप पता लगा सकते हैं कि चर किसके बराबर है एक्स

एक्स = 8

अब कल्पना करें कि समानता 8 - 2 = 6 में, संख्या 2 के बजाय, एक चर है एक्स

8 − एक्स = 6

इस मामले में परिवर्तनशील एक्सभूमिका ग्रहण करता है अज्ञात सबट्रेंड

किसी अज्ञात उपट्रेंड को खोजने के लिए, निम्नलिखित नियम प्रदान किया गया है:

अज्ञात सबट्रेंड को खोजने के लिए, आपको मीनूएंड से अंतर को घटाना होगा।

हमने यही तब किया जब हमने संख्या 2 को समानता 8 - 2 = 6 में व्यक्त किया। संख्या 2 को व्यक्त करने के लिए, हमने न्यूनतम 8 में से अंतर 6 घटा दिया।

अब, अज्ञात उपश्रेणी को खोजने के लिए एक्स, आपको फिर से मिनट 8 में से अंतर 6 को घटाना होगा

एक्स = 8 − 6

हम दाएँ पक्ष की गणना करते हैं और मान ज्ञात करते हैं एक्स

एक्स = 2

आइए पिछले विषय से तीसरे उदाहरण पर लौटते हैं, जहां समानता 3 × 2 = 6 में हमने संख्या 3 को व्यक्त करने का प्रयास किया था।

समानता 3 × 2 = 6 में, संख्या 3 गुणक है, संख्या 2 गुणक है, संख्या 6 गुणनफल है

संख्या 3 को व्यक्त करने के लिए हमने निम्नलिखित कार्य किया:

अर्थात्, हमने 6 के गुणनफल को 2 के गुणनखंड से विभाजित किया है।

अब कल्पना कीजिए कि समानता 3 × 2 = 6 में संख्या 3 के स्थान पर एक चर है एक्स

एक्स× 2 = 6

इस मामले में परिवर्तनशील एक्सभूमिका ग्रहण करता है अज्ञात गुणक.

किसी अज्ञात गुणक को खोजने के लिए, निम्नलिखित नियम प्रदान किया गया है:

किसी अज्ञात गुणक को खोजने के लिए, आपको गुणनफल को कारक से विभाजित करना होगा।

हमने यही किया जब हमने संख्या 3 को समानता 3 × 2 = 6 से व्यक्त किया। हमने गुणनफल 6 को गुणनखंड 2 से विभाजित किया है।

अब अज्ञात गुणक ज्ञात करना है एक्स, आपको गुणनफल 6 को गुणनखंड 2 से विभाजित करना होगा।

दाईं ओर की गणना करने से हमें एक चर का मान ज्ञात करने की अनुमति मिलती है एक्स

एक्स = 3

यदि चर हो तो वही नियम लागू होता है एक्सगुणक के स्थान पर स्थित है, गुणक के स्थान पर नहीं। आइए कल्पना करें कि समानता 3 × 2 = 6 में संख्या 2 के बजाय एक चर है एक्स।

इस मामले में परिवर्तनशील एक्सभूमिका ग्रहण करता है अज्ञात गुणक. किसी अज्ञात कारक को खोजने के लिए, वही प्रक्रिया प्रदान की जाती है जो अज्ञात गुणक को खोजने के लिए होती है, अर्थात् उत्पाद को ज्ञात कारक से विभाजित करना:

किसी अज्ञात कारक को खोजने के लिए, आपको गुणनफल को गुणक से विभाजित करना होगा।

जब हमने संख्या 2 को समानता 3 × 2 = 6 से व्यक्त किया तो हमने यही किया। फिर संख्या 2 प्राप्त करने के लिए हमने 6 के गुणनफल को उसके गुणक 3 से विभाजित किया।

अब अज्ञात कारक का पता लगाना है एक्सहमने 6 के गुणनफल को 3 के गुणक से विभाजित किया।

समानता के दाहिने पक्ष की गणना करने से आप यह पता लगा सकते हैं कि x किसके बराबर है

एक्स = 2

गुणक और गुणक मिलकर गुणनखंड कहलाते हैं। चूँकि गुणक और गुणक ज्ञात करने के नियम समान हैं, हम अज्ञात कारक ज्ञात करने के लिए एक सामान्य नियम बना सकते हैं:

किसी अज्ञात कारक को खोजने के लिए, आपको उत्पाद को ज्ञात कारक से विभाजित करना होगा।

उदाहरण के लिए, आइए समीकरण 9× को हल करें एक्स=18. चर एक्सएक अज्ञात कारक है. इस अज्ञात कारक को खोजने के लिए, आपको उत्पाद 18 को ज्ञात कारक 9 से विभाजित करना होगा

आइए समीकरण हल करें एक्स× 3 = 27. चर एक्सएक अज्ञात कारक है. इस अज्ञात कारक को खोजने के लिए, आपको उत्पाद 27 को ज्ञात कारक 3 से विभाजित करना होगा

आइए पिछले विषय से चौथे उदाहरण पर वापस जाएँ, जहाँ एक समानता में हमें संख्या 15 को व्यक्त करने की आवश्यकता थी। इस समानता में, संख्या 15 लाभांश है, संख्या 5 विभाजक है, और संख्या 3 भागफल है।

संख्या 15 को व्यक्त करने के लिए हमने निम्नलिखित कार्य किया:

15 = 3 × 5

यानी हमने 3 के भागफल को 5 के भाजक से गुणा कर दिया।

अब कल्पना करें कि समानता में संख्या 15 के स्थान पर एक चर है एक्स

इस मामले में परिवर्तनशील एक्सभूमिका ग्रहण करता है अज्ञात लाभांश.

अज्ञात लाभांश ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित नियम दिया गया है:

अज्ञात लाभांश ज्ञात करने के लिए, आपको भागफल को भाजक से गुणा करना होगा।

जब हमने संख्या 15 को समानता से व्यक्त किया तो हमने यही किया। संख्या 15 को व्यक्त करने के लिए, हम 3 के भागफल को 5 के भाजक से गुणा करते हैं।

अब, अज्ञात लाभांश ज्ञात करने के लिए एक्स, आपको भागफल 3 को भाजक 5 से गुणा करना होगा

एक्स= 3 × 5

एक्स .

एक्स = 15

अब कल्पना करें कि समानता में संख्या 5 के स्थान पर एक चर है एक्स .

इस मामले में परिवर्तनशील एक्सभूमिका ग्रहण करता है अज्ञात भाजक.

अज्ञात भाजक ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित नियम दिया गया है:

जब हमने संख्या 5 को समानता से व्यक्त किया तो हमने यही किया। संख्या 5 को व्यक्त करने के लिए, हम लाभांश 15 को भागफल 3 से विभाजित करते हैं।

अब अज्ञात भाजक ज्ञात करना है एक्स, आपको लाभांश 15 को भागफल 3 से विभाजित करना होगा

आइए परिणामी समानता के दाहिने पक्ष की गणना करें। इस तरह हम पता लगाते हैं कि वेरिएबल किसके बराबर है एक्स .

एक्स = 5

इसलिए, अज्ञात को खोजने के लिए, हमने निम्नलिखित नियमों का अध्ययन किया:

• अज्ञात पद ज्ञात करने के लिए, आपको ज्ञात पद को योग से घटाना होगा;
• अज्ञात मीनूएंड को खोजने के लिए, आपको अंतर में सबट्रेंड जोड़ना होगा;
• अज्ञात सबट्रेंड को खोजने के लिए, आपको मीनूएंड से अंतर को घटाना होगा;
• एक अज्ञात गुणक खोजने के लिए, आपको गुणनफल को कारक से विभाजित करना होगा;
• किसी अज्ञात कारक को खोजने के लिए, आपको गुणनफल को गुणक से विभाजित करना होगा;
• एक अज्ञात लाभांश खोजने के लिए, आपको भागफल को भाजक से गुणा करना होगा;
• अज्ञात भाजक खोजने के लिए, आपको लाभांश को भागफल से विभाजित करना होगा।

अवयव

हम घटकों को समानता में शामिल संख्याएँ और चर कहेंगे

तो, जोड़ के घटक हैं शर्तेंऔर जोड़

घटाव घटक हैं वियोज्य, वियोजकऔर अंतर

गुणन के घटक हैं गुण्य जिस को किसी संख्या से गुणा किया जाय, कारकऔर काम

विभाजन के घटक लाभांश, भाजक और भागफल हैं।

हम किन घटकों के साथ काम कर रहे हैं, उसके आधार पर अज्ञात को खोजने के लिए संबंधित नियम लागू होंगे। हमने पिछले विषय में इन नियमों का अध्ययन किया था। समीकरणों को हल करते समय इन नियमों को याद रखने की सलाह दी जाती है।

उदाहरण 1. समीकरण 45 + का मूल ज्ञात कीजिए एक्स = 60

45 - पद, एक्स- अज्ञात पद, 60 - योग। हम जोड़ के घटकों से निपट रहे हैं। हमें याद है कि किसी अज्ञात पद को खोजने के लिए, आपको ज्ञात पद को योग से घटाना होगा:

एक्स = 60 − 45

आइए दाईं ओर की गणना करें और मूल्य प्राप्त करें एक्स 15 के बराबर

एक्स = 15

अतः समीकरण का मूल 45+ है एक्स= 60, 15 के बराबर है.

अक्सर, किसी अज्ञात शब्द को उस रूप में संक्षिप्त किया जाना चाहिए जिसमें उसे व्यक्त किया जा सके।

उदाहरण 2. प्रश्न हल करें

यहां, पिछले उदाहरण के विपरीत, अज्ञात शब्द को तुरंत व्यक्त नहीं किया जा सकता है, क्योंकि इसमें 2 का गुणांक होता है। हमारा कार्य इस समीकरण को ऐसे रूप में लाना है जिसमें इसे व्यक्त किया जा सके। एक्स

में इस उदाहरण मेंहम जोड़ के घटकों-शर्तों और योग से निपट रहे हैं। 2 एक्सपहला पद है, 4 दूसरा पद है, 8 योग है।

इस मामले में, पद 2 एक्सएक वेरिएबल शामिल है एक्स. वेरिएबल का मान ज्ञात करने के बाद एक्सअवधि 2 एक्सएक अलग लुक लेगा. इसलिए, पद 2 एक्सपूरी तरह से एक अज्ञात शब्द के रूप में लिया जा सकता है:

अब हम अज्ञात पद ज्ञात करने के लिए नियम लागू करते हैं। ज्ञात पद को योग से घटाएँ:

आइए परिणामी समीकरण के दाहिने पक्ष की गणना करें:

हमारे पास एक नया समीकरण है. अब हम गुणन के घटकों से निपट रहे हैं: गुणक, गुणक और उत्पाद। 2 - गुणक, एक्स- गुणक, 4 - उत्पाद

इस मामले में, चर एक्सयह सिर्फ एक गुणक नहीं है, बल्कि एक अज्ञात गुणक है

इस अज्ञात कारक को खोजने के लिए, आपको गुणनफल को गुणक से विभाजित करना होगा:

आइए दाईं ओर की गणना करें और चर का मान प्राप्त करें एक्स

जाँच करने के लिए, पाए गए मूल को मूल समीकरण और स्थानापन्न पर भेजें एक्स

उदाहरण 3. प्रश्न हल करें 3एक्स+ 9एक्स+ 16एक्स= 56

अज्ञात को तुरंत व्यक्त करें एक्सयह वर्जित है। सबसे पहले आपको इस समीकरण को ऐसे रूप में लाना होगा जिसमें इसे व्यक्त किया जा सके।

हम इस समीकरण के बाईं ओर प्रस्तुत करते हैं:

हम गुणन के घटकों से निपट रहे हैं। 28 - गुणक, एक्स- गुणक, 56 - गुणनफल। जिसमें एक्सएक अज्ञात कारक है. किसी अज्ञात कारक को खोजने के लिए, आपको गुणनफल को गुणक से विभाजित करना होगा:

यहाँ से एक्स 2 के बराबर है

समतुल्य समीकरण

पिछले उदाहरण में, समीकरण हल करते समय 3एक्स + 9एक्स + 16एक्स = 56 , हमने समीकरण के बाईं ओर समान पद दिए हैं। परिणामस्वरूप, हमें एक नया समीकरण 28 प्राप्त हुआ एक्स= 56 . पुराना समीकरण 3एक्स + 9एक्स + 16एक्स = 56 और परिणामी नया समीकरण 28 एक्स= 56 कहा जाता है समतुल्य समीकरण, क्योंकि उनकी जड़ें मेल खाती हैं।

यदि समीकरणों की जड़ें मेल खाती हैं तो उन्हें समतुल्य कहा जाता है।

चलो पता करते हैं। समीकरण के लिए 3एक्स+ 9एक्स+ 16एक्स= 56 हमने मूल को 2 के बराबर पाया। आइए पहले इस मूल को समीकरण में प्रतिस्थापित करें 3एक्स+ 9एक्स+ 16एक्स= 56 , और फिर समीकरण 28 में एक्स= 56, जो पिछले समीकरण के बाईं ओर समान पदों को लाकर प्राप्त किया गया था। हमें सही संख्यात्मक समानताएँ प्राप्त करनी चाहिए

संचालन के क्रम के अनुसार, गुणन पहले किया जाता है:

आइए दूसरे समीकरण 28 में मूल 2 रखें एक्स= 56

हम देखते हैं कि दोनों समीकरणों की जड़ें समान हैं। तो समीकरण 3एक्स+ 9एक्स+ 16एक्स= 6 और 28 एक्स= 56 वास्तव में समतुल्य हैं।

समीकरण को हल करने के लिए 3एक्स+ 9एक्स+ 16एक्स= 56 हमने उनमें से एक का उपयोग किया - समान शब्दों की कमी। समीकरण के सही पहचान परिवर्तन ने हमें समतुल्य समीकरण 28 प्राप्त करने की अनुमति दी एक्स= 56, जिसे हल करना आसान है।

समान परिवर्तनों से लेकर इस पलहम केवल भिन्नों को कम करना, समान पद जोड़ना, कोष्ठक से उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालना और कोष्ठक खोलना भी जानते हैं। ऐसे अन्य रूपांतरण भी हैं जिनके बारे में आपको अवगत होना चाहिए। लेकिन के लिए सामान्य विचारसमीकरणों के समान परिवर्तनों के बारे में, हमने जिन विषयों का अध्ययन किया है वे काफी पर्याप्त हैं।

आइए कुछ परिवर्तनों पर विचार करें जो हमें समतुल्य समीकरण प्राप्त करने की अनुमति देते हैं

यदि आप समीकरण के दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ते हैं, तो आपको दिए गए समीकरण के बराबर एक समीकरण प्राप्त होता है।

और इसी तरह:

यदि आप किसी समीकरण के दोनों पक्षों से समान संख्या घटाते हैं, तो आपको दिए गए समीकरण के बराबर एक समीकरण मिलता है।

दूसरे शब्दों में, यदि एक ही संख्या में एक ही संख्या जोड़ दी जाए (या दोनों ओर से घटा दी जाए) तो समीकरण का मूल नहीं बदलेगा।

उदाहरण 1. प्रश्न हल करें

समीकरण के दोनों पक्षों से 10 घटाएँ

हमें समीकरण 5 मिला एक्स= 10 . हम गुणन के घटकों से निपट रहे हैं। किसी अज्ञात कारक का पता लगाना एक्स, आपको उत्पाद 10 को ज्ञात कारक 5 से विभाजित करना होगा।

और स्थानापन्न एक्सपाया गया मान 2

हमें सही संख्यात्मक समानता मिली. इसका मतलब है कि समीकरण सही ढंग से हल हो गया है।

समीकरण हल करना हमने समीकरण के दोनों पक्षों से संख्या 10 घटा दी। परिणामस्वरूप, हमें एक समतुल्य समीकरण प्राप्त हुआ। इस समीकरण की जड़, समीकरण की तरह भी 2 के बराबर है

उदाहरण 2. समीकरण 4( एक्स+ 3) = 16

समीकरण के दोनों पक्षों से संख्या 12 घटाएँ

बायीं ओर 4 बचे होंगे एक्स, और दाईं ओर संख्या 4 है

हमें समीकरण 4 मिला एक्स= 4 . हम गुणन के घटकों से निपट रहे हैं। किसी अज्ञात कारक का पता लगाना एक्स, आपको उत्पाद 4 को ज्ञात कारक 4 से विभाजित करना होगा

आइए मूल समीकरण 4 पर वापस लौटें( एक्स+ 3) = 16 और स्थानापन्न एक्समूल्य 1 पाया गया

हमें सही संख्यात्मक समानता मिली. इसका मतलब है कि समीकरण सही ढंग से हल हो गया है।

समीकरण 4( एक्स+ 3) = 16 हमने समीकरण के दोनों पक्षों से संख्या 12 घटा दी। परिणामस्वरूप, हमें समतुल्य समीकरण 4 प्राप्त हुआ एक्स= 4 . इस समीकरण का मूल, जैसे समीकरण 4( एक्स+ 3) = 16 भी 1 के बराबर है

उदाहरण 3. प्रश्न हल करें

आइए समानता के बाईं ओर कोष्ठक का विस्तार करें:

समीकरण के दोनों पक्षों में संख्या 8 जोड़ें

आइए हम समीकरण के दोनों पक्षों पर समान पद प्रस्तुत करें:

बायीं ओर 2 बचे होंगे एक्स, और दाईं ओर संख्या 9 है

परिणामी समीकरण 2 में एक्स= 9 हम अज्ञात पद को व्यक्त करते हैं एक्स

आइए मूल समीकरण पर वापस लौटें और स्थानापन्न एक्समान 4.5 पाया गया

हमें सही संख्यात्मक समानता मिली. इसका मतलब है कि समीकरण सही ढंग से हल हो गया है।

समीकरण हल करना हमने समीकरण के दोनों पक्षों में संख्या 8 जोड़ दी। परिणामस्वरूप, हमें एक समतुल्य समीकरण प्राप्त हुआ। इस समीकरण की जड़, समीकरण की तरह भी 4.5 के बराबर

अगला नियम जो हमें समतुल्य समीकरण प्राप्त करने की अनुमति देता है वह इस प्रकार है

यदि आप किसी समीकरण में किसी पद को एक भाग से दूसरे भाग में ले जाते हैं, उसका चिह्न बदलते हैं, तो आपको दिए गए समीकरण के बराबर एक समीकरण प्राप्त होगा।

अर्थात्, यदि हम किसी पद को समीकरण के एक भाग से दूसरे भाग में ले जाएँ, उसका चिह्न बदल दें, तो समीकरण का मूल नहीं बदलेगा। यह गुण महत्वपूर्ण में से एक है और समीकरणों को हल करते समय अक्सर उपयोग किया जाता है।

निम्नलिखित समीकरण पर विचार करें:

इस समीकरण का मूल 2 के बराबर है। आइए प्रतिस्थापित करें एक्सयह मूल और जांचें कि संख्यात्मक समानता सही है या नहीं

परिणाम एक सही समानता है. इसका मतलब यह है कि संख्या 2 वास्तव में समीकरण का मूल है।

आइए अब इस समीकरण के पदों के साथ प्रयोग करने का प्रयास करें, उन्हें एक भाग से दूसरे भाग में ले जाएँ, चिह्न बदलें।

उदाहरण के लिए, पद 3 एक्ससमीकरण के बाईं ओर स्थित है. आइए इसे दाईं ओर ले जाएँ, चिह्न को विपरीत दिशा में बदलते हुए:

परिणाम एक समीकरण है 12 = 9एक्स − 3एक्स . इस समीकरण के दाईं ओर:

एक्सएक अज्ञात कारक है. आइए इस प्रसिद्ध कारक को खोजें:

यहाँ से एक्स= 2 . जैसा कि आप देख सकते हैं, समीकरण का मूल नहीं बदला है। तो समीकरण 12 + 3 हैं एक्स = 9एक्सऔर 12 = 9एक्स − 3एक्स समतुल्य हैं.

वास्तव में, यह परिवर्तन पिछले परिवर्तन की एक सरलीकृत विधि है, जहाँ समीकरण के दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ी गई (या घटाई गई)।

हमने कहा कि समीकरण 12 + 3 में एक्स = 9एक्सअवधि 3 एक्सचिन्ह बदलते हुए दाहिनी ओर ले जाया गया। वास्तव में, निम्नलिखित हुआ: समीकरण के दोनों पक्षों से पद 3 घटा दिया गया एक्स

फिर बाईं ओर समान पद दिए गए और समीकरण प्राप्त किया गया 12 = 9एक्स − 3एक्स। फिर समान पद फिर से दिए गए, लेकिन दाहिनी ओर, और समीकरण 12 = 6 प्राप्त हुआ एक्स।

लेकिन तथाकथित "अनुवाद" ऐसे समीकरणों के लिए अधिक सुविधाजनक है, यही कारण है कि यह इतना व्यापक हो गया है। समीकरणों को हल करते समय, हम अक्सर इस विशेष परिवर्तन का उपयोग करेंगे।

समीकरण 12 + 3 भी समतुल्य हैं एक्स= 9एक्सऔर 3x− 9एक्स= −12 . इस बार समीकरण 12+3 है एक्स= 9एक्सपद 12 को दाईं ओर ले जाया गया, और पद 9 को एक्सबांई ओर। हमें यह नहीं भूलना चाहिए कि स्थानांतरण के दौरान इन शर्तों के चिह्न बदल दिये गये थे

अगला नियम जो हमें समतुल्य समीकरण प्राप्त करने की अनुमति देता है वह इस प्रकार है:

यदि समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही संख्या से गुणा या विभाजित किया जाता है, जो शून्य के बराबर नहीं है, तो आपको दिए गए समीकरण के बराबर एक समीकरण मिलता है।

दूसरे शब्दों में, यदि दोनों पक्षों को एक ही संख्या से गुणा या विभाजित किया जाए तो समीकरण के मूल नहीं बदलेंगे। इस क्रिया का उपयोग अक्सर तब किया जाता है जब आपको भिन्नात्मक व्यंजकों वाले समीकरण को हल करने की आवश्यकता होती है।

सबसे पहले, आइए ऐसे उदाहरण देखें जिनमें समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही संख्या से गुणा किया जाएगा।

उदाहरण 1. प्रश्न हल करें

भिन्नात्मक व्यंजकों वाले समीकरणों को हल करते समय, पहले समीकरण को सरल बनाने की प्रथा है।

इस मामले में, हम ऐसे ही एक समीकरण से निपट रहे हैं। इस समीकरण को सरल बनाने के लिए, दोनों पक्षों को 8 से गुणा किया जा सकता है:

हमें याद है कि इसके लिए, हमें किसी दिए गए भिन्न के अंश को इस संख्या से गुणा करना होगा। हमारे पास दो भिन्न हैं और उनमें से प्रत्येक को संख्या 8 से गुणा किया जाता है। हमारा कार्य भिन्नों के अंशों को इस संख्या 8 से गुणा करना है।

अब दिलचस्प हिस्सा होता है. दोनों भिन्नों के अंश और हर में 8 का गुणनखंड होता है, जिसे 8 से कम किया जा सकता है। इससे हमें भिन्नात्मक अभिव्यक्ति से छुटकारा मिल जाएगा:

परिणामस्वरूप, सरलतम समीकरण बना रहता है

खैर, यह अनुमान लगाना कठिन नहीं है कि इस समीकरण का मूल 4 है

एक्समान 4 पाया गया

परिणाम एक सही संख्यात्मक समानता है. इसका मतलब है कि समीकरण सही ढंग से हल हो गया है।

इस समीकरण को हल करते समय, हमने दोनों पक्षों को 8 से गुणा किया। परिणामस्वरूप, हमें समीकरण मिला। समीकरण की तरह इस समीकरण का मूल भी 4 है। इसका मतलब है कि ये समीकरण समतुल्य हैं।

जिस कारक से समीकरण के दोनों पक्षों को गुणा किया जाता है वह आमतौर पर समीकरण के भाग से पहले लिखा जाता है, उसके बाद नहीं। इसलिए, समीकरण को हल करते हुए, हमने दोनों पक्षों को 8 के कारक से गुणा किया और निम्नलिखित प्रविष्टि प्राप्त की:

इससे समीकरण का मूल नहीं बदला, लेकिन अगर हमने स्कूल में ऐसा किया होता, तो हमें डांट पड़ती, क्योंकि बीजगणित में जिस अभिव्यक्ति से इसे गुणा किया जाता है, उससे पहले एक गुणनखंड लिखने की प्रथा है। इसलिए, समीकरण के दोनों पक्षों को 8 के गुणनखंड से गुणा करने की सलाह इस प्रकार दी जाती है:

उदाहरण 2. प्रश्न हल करें

बाईं ओर, 15 के गुणनखंडों को 15 से कम किया जा सकता है, और दाईं ओर, 15 और 5 के गुणनखंडों को 5 से कम किया जा सकता है

आइए समीकरण के दाईं ओर कोष्ठक खोलें:

चलिए शब्द को आगे बढ़ाते हैं एक्ससमीकरण के बाईं ओर से दाईं ओर, चिह्न बदलते हुए। और हम पद 15 को समीकरण के दाईं ओर से बाईं ओर ले जाते हैं, फिर से चिह्न बदलते हैं:

हम दोनों पक्षों में समान शब्द प्रस्तुत करते हैं, हमें मिलता है

हम गुणन के घटकों से निपट रहे हैं। चर एक्स

आइए मूल समीकरण पर वापस लौटें और स्थानापन्न एक्समान 5 मिला

परिणाम एक सही संख्यात्मक समानता है. इसका मतलब है कि समीकरण सही ढंग से हल हो गया है। इस समीकरण को हल करते समय, हमने दोनों पक्षों को 15 से गुणा किया। आगे समान परिवर्तन करते हुए, हमें समीकरण 10 = 2 प्राप्त हुआ एक्स. इस समीकरण की जड़, समीकरण की तरह 5 के बराबर है. इसका मतलब है कि ये समीकरण समतुल्य हैं।

उदाहरण 3. प्रश्न हल करें

बाईं ओर आप दो त्रिगुण कम कर सकते हैं, और दाहिना भाग 18 के बराबर होगा

सबसे सरल समीकरण बना हुआ है. हम गुणन के घटकों से निपट रहे हैं। चर एक्सएक अज्ञात कारक है. आइए इस प्रसिद्ध कारक को खोजें:

आइए मूल समीकरण और स्थानापन्न पर वापस लौटें एक्समूल्य 9 पाया गया

परिणाम एक सही संख्यात्मक समानता है. इसका मतलब है कि समीकरण सही ढंग से हल हो गया है।

उदाहरण 4. प्रश्न हल करें

समीकरण के दोनों पक्षों को 6 से गुणा करें

आइए समीकरण के बाईं ओर कोष्ठक खोलें। दाईं ओर, गुणनखंड 6 को अंश तक बढ़ाया जा सकता है:

आइए समीकरणों के दोनों पक्षों में जो कम किया जा सकता है उसे कम करें:

आइए फिर से लिखें कि हमने क्या छोड़ा है:

आइए शर्तों के स्थानांतरण का उपयोग करें। अज्ञात युक्त शब्द एक्स, हम समीकरण के बाईं ओर समूह बनाते हैं, और अज्ञात से मुक्त पद - दाईं ओर:

आइए हम दोनों भागों में समान शब्द प्रस्तुत करें:

आइए अब वेरिएबल का मान ज्ञात करें एक्स. ऐसा करने के लिए, उत्पाद 28 को ज्ञात कारक 7 से विभाजित करें

यहाँ से एक्स= 4.

आइए मूल समीकरण पर वापस लौटें और स्थानापन्न एक्समान 4 मिला

परिणाम एक सही संख्यात्मक समीकरण है. इसका मतलब है कि समीकरण सही ढंग से हल हो गया है।

उदाहरण 5. प्रश्न हल करें

आइए, जहां संभव हो, समीकरण के दोनों पक्षों के कोष्ठक खोलें:

समीकरण के दोनों पक्षों को 15 से गुणा करें

आइए समीकरण के दोनों पक्षों के कोष्ठक खोलें:

आइए समीकरण के दोनों पक्षों में जो कम किया जा सकता है उसे कम करें:

आइए फिर से लिखें कि हमने क्या छोड़ा है:

आइए जहां संभव हो कोष्ठक का विस्तार करें:

आइए शर्तों के स्थानांतरण का उपयोग करें। हम समीकरण के बाईं ओर अज्ञात वाले पदों को और दाईं ओर अज्ञात से मुक्त पदों को समूहित करते हैं। यह मत भूलिए कि स्थानांतरण के दौरान शर्तें अपने चिह्नों को विपरीत में बदल देती हैं:

आइए हम समीकरण के दोनों पक्षों पर समान पद प्रस्तुत करें:

आइए मूल्य ज्ञात करें एक्स

परिणामी उत्तर को पूरे भाग में विभाजित किया जा सकता है:

आइए मूल समीकरण और स्थानापन्न पर वापस लौटें एक्समूल्य मिला

यह काफी बोझिल अभिव्यक्ति साबित होती है। आइए वेरिएबल्स का उपयोग करें। आइए समानता के बाईं ओर को एक चर में रखें ए, और समानता का दाहिना भाग एक चर में बी

हमारा काम यह सुनिश्चित करना है कि बायाँ भाग दाएँ पक्ष के बराबर है या नहीं। दूसरे शब्दों में, समानता A = B सिद्ध करें

आइए वेरिएबल ए में अभिव्यक्ति का मान ज्ञात करें।

परिवर्तनीय मान एबराबर . आइए अब वेरिएबल का मान ज्ञात करें बी. यानी हमारी समानता के दाहिने पक्ष का मूल्य। यदि यह भी बराबर है तो समीकरण सही हल हो जायेगा

हम देखते हैं कि चर का मान बी, साथ ही वेरिएबल ए का मान है। इसका मतलब यह है कि बायाँ भाग दाएँ पक्ष के बराबर है। इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि समीकरण सही ढंग से हल हो गया है।

आइए अब समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही संख्या से गुणा करने का नहीं, बल्कि विभाजित करने का प्रयास करें।

समीकरण पर विचार करें 30एक्स+ 14एक्स+ 14 = 70एक्स− 40एक्स+ 42 . आइए इसे सामान्य विधि का उपयोग करके हल करें: हम समीकरण के बाईं ओर अज्ञात वाले पदों को समूहित करते हैं, और अज्ञात से मुक्त पदों को दाईं ओर समूहित करते हैं। इसके बाद, ज्ञात पहचान परिवर्तन करते हुए, हम मूल्य पाते हैं एक्स

आइए इसके स्थान पर पाए गए मान 2 को प्रतिस्थापित करें एक्समूल समीकरण में:

आइए अब समीकरण के सभी पदों को अलग करने का प्रयास करें 30एक्स+ 14एक्स+ 14 = 70एक्स− 40एक्स+ 42 किसी संख्या से। हम ध्यान दें कि इस समीकरण के सभी पदों का सामान्य गुणनखंड 2 है। हम प्रत्येक पद को इससे विभाजित करते हैं:

आइए प्रत्येक पद में कमी करें:

आइए फिर से लिखें कि हमने क्या छोड़ा है:

आइए प्रसिद्ध पहचान परिवर्तनों का उपयोग करके इस समीकरण को हल करें:

हमें रूट 2 मिला। तो समीकरण 15एक्स+ 7एक्स+ 7 = 35x− 20एक्स+ 21 और 30एक्स+ 14एक्स+ 14 = 70एक्स− 40एक्स+ 42 समतुल्य हैं.

समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही संख्या से विभाजित करने से आप गुणांक से अज्ञात को हटा सकते हैं। पिछले उदाहरण में जब हमें समीकरण 7 मिला था एक्स= 14, हमें गुणनफल 14 को ज्ञात गुणनखंड 7 से विभाजित करने की आवश्यकता थी। लेकिन यदि हमने बाईं ओर के गुणनखंड 7 से अज्ञात को मुक्त कर दिया होता, तो मूल तुरंत मिल जाता। ऐसा करने के लिए, दोनों पक्षों को 7 से विभाजित करना पर्याप्त था

हम भी अक्सर इस तरीके का इस्तेमाल करेंगे.

शून्य से एक गुणा

यदि समीकरण के दोनों पक्षों को शून्य से एक से गुणा किया जाता है, तो आपको इसके बराबर एक समीकरण मिलता है।

यह नियम इस तथ्य से चलता है कि किसी समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही संख्या से गुणा करने (या विभाजित करने) से दिए गए समीकरण का मूल नहीं बदलता है। इसका मतलब यह है कि यदि मूल के दोनों भागों को −1 से गुणा कर दिया जाए तो मूल नहीं बदलेगा।

यह नियम आपको समीकरण में शामिल सभी घटकों के चिह्नों को बदलने की अनुमति देता है। यह किस लिए है? फिर से, एक समतुल्य समीकरण प्राप्त करना जिसे हल करना आसान हो।

समीकरण पर विचार करें. इस समीकरण का मूल क्या है?

समीकरण के दोनों पक्षों में संख्या 5 जोड़ें

आइए समान शब्दों पर नजर डालें:

आइए अब इसके बारे में याद करें। समीकरण का बायां पक्ष क्या है? यह ऋण एक और एक चर का गुणनफल है एक्स

यानी वेरिएबल के सामने माइनस साइन एक्सवेरिएबल को ही संदर्भित नहीं करता है एक्स, लेकिन एक के लिए, जिसे हम नहीं देखते हैं, क्योंकि गुणांक 1 आमतौर पर लिखा नहीं जाता है। इसका मतलब यह है कि समीकरण वास्तव में इस तरह दिखता है:

हम गुणन के घटकों से निपट रहे हैं। ढूँढ़ने के लिए एक्स, आपको उत्पाद -5 को ज्ञात कारक -1 से विभाजित करना होगा।

या समीकरण के दोनों पक्षों को -1 से विभाजित करें, जो और भी सरल है

अतः समीकरण का मूल 5 है। जाँच करने के लिए, आइए इसे मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें। यह न भूलें कि मूल समीकरण में वेरिएबल के सामने माइनस है एक्सएक अदृश्य इकाई को संदर्भित करता है

परिणाम एक सही संख्यात्मक समीकरण है. इसका मतलब है कि समीकरण सही ढंग से हल हो गया है।

आइए अब समीकरण के दोनों पक्षों को शून्य से एक गुणा करने का प्रयास करें:

कोष्ठक खोलने पर बायीं ओर का भाव बनेगा तथा दायीं ओर 10 के बराबर होगा

समीकरण की तरह इस समीकरण का मूल भी 5 है

इसका मतलब है कि समीकरण समतुल्य हैं।

उदाहरण 2. प्रश्न हल करें

इस समीकरण में, सभी घटक नकारात्मक हैं। नकारात्मक घटकों की तुलना में सकारात्मक घटकों के साथ काम करना अधिक सुविधाजनक है, तो आइए समीकरण में शामिल सभी घटकों के संकेतों को बदलें। ऐसा करने के लिए, इस समीकरण के दोनों पक्षों को -1 से गुणा करें।

यह स्पष्ट है कि -1 से गुणा करने पर कोई भी संख्या अपना चिह्न विपरीत में बदल देगी। इसलिए, -1 से गुणा करने और कोष्ठक खोलने की प्रक्रिया का विस्तार से वर्णन नहीं किया गया है, लेकिन विपरीत चिह्नों वाले समीकरण के घटकों को तुरंत लिख दिया गया है।

इस प्रकार, किसी समीकरण को −1 से गुणा करने पर विस्तार से इस प्रकार लिखा जा सकता है:

या आप बस सभी घटकों के चिह्न बदल सकते हैं:

परिणाम वही होगा, लेकिन अंतर यह होगा कि हम अपना समय बचा लेंगे।

अतः, समीकरण के दोनों पक्षों को −1 से गुणा करने पर, हमें समीकरण प्राप्त होता है। आइए इस समीकरण को हल करें. दोनों पक्षों से 4 घटाएं और दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करें

जब रूट पाया जाता है, तो वेरिएबल आमतौर पर बाईं ओर लिखा जाता है, और उसका मान दाईं ओर लिखा जाता है, जो हमने किया।

उदाहरण 3. प्रश्न हल करें

आइए समीकरण के दोनों पक्षों को −1 से गुणा करें। तब सभी घटक अपने चिह्नों को विपरीत चिह्नों में बदल देंगे:

परिणामी समीकरण के दोनों पक्षों से 2 घटाएँ एक्सऔर समान शर्तें दें:

आइए समीकरण के दोनों पक्षों में एक जोड़ें और समान पद दें:

शून्य के बराबर

हमने हाल ही में सीखा है कि यदि हम किसी समीकरण में किसी पद को एक भाग से दूसरे भाग में ले जाते हैं, उसका चिह्न बदलते हैं, तो हमें दिए गए समीकरण के बराबर एक समीकरण प्राप्त होता है।

यदि आप न केवल एक पद, बल्कि सभी पदों को एक भाग से दूसरे भाग में ले जाएँ तो क्या होगा? यह सही है, जिस हिस्से में सभी शर्तें हटा दी गई हैं वहां शून्य बचेगा। दूसरे शब्दों में कहें तो कुछ भी नहीं बचेगा.

उदाहरण के तौर पर समीकरण पर विचार करें. आइए इस समीकरण को हमेशा की तरह हल करें - हम एक भाग में अज्ञात वाले पदों को समूहित करेंगे, और दूसरे भाग में संख्यात्मक शब्दों को अज्ञात से मुक्त छोड़ देंगे। इसके बाद, ज्ञात पहचान परिवर्तन करते हुए, हम चर का मान ज्ञात करते हैं एक्स

आइए अब उसी समीकरण को उसके सभी घटकों को शून्य के बराबर करके हल करने का प्रयास करें। ऐसा करने के लिए, हम चिह्नों को बदलते हुए सभी शब्दों को दाईं ओर से बाईं ओर ले जाते हैं:

आइए हम बाईं ओर समान शब्द प्रस्तुत करें:

दोनों पक्षों में 77 जोड़ें और दोनों पक्षों को 7 से विभाजित करें

अज्ञात खोजने के नियमों का एक विकल्प

जाहिर है, समीकरणों के समान परिवर्तनों के बारे में जानने के लिए, आपको अज्ञात खोजने के नियमों को याद रखने की ज़रूरत नहीं है।

उदाहरण के लिए, किसी समीकरण में अज्ञात ज्ञात करने के लिए, हमने गुणनफल 10 को ज्ञात कारक 2 से विभाजित किया है

लेकिन यदि आप समीकरण के दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करते हैं, तो मूल तुरंत मिल जाएगा। समीकरण के बाईं ओर अंश में गुणनखंड 2 और हर में गुणनखंड 2 घटाकर 2 कर दिया जाएगा। तथा दाईं ओर गुणनखंड 5 के बराबर होगा।

हमने अज्ञात पद को व्यक्त करके फॉर्म के समीकरण हल किए:

लेकिन आप उन्हीं परिवर्तनों का उपयोग कर सकते हैं जिनका हमने आज अध्ययन किया। समीकरण में, पद 4 को चिह्न बदलकर दाईं ओर ले जाया जा सकता है:

समीकरण के बायीं ओर, दो दो रद्द हो जायेंगे। दाहिना भाग 2 के बराबर होगा। इसलिए।

या आप समीकरण के दोनों पक्षों से 4 घटा सकते हैं। फिर आपको निम्नलिखित प्राप्त होगा:

प्रपत्र के समीकरणों के मामले में, उत्पाद को किसी ज्ञात कारक से विभाजित करना अधिक सुविधाजनक होता है। आइए दोनों समाधानों की तुलना करें:

पहला समाधान बहुत छोटा और साफ-सुथरा है। यदि आप अपने दिमाग में विभाजन करते हैं तो दूसरे समाधान को काफी छोटा किया जा सकता है।

हालाँकि, दोनों तरीकों को जानना आवश्यक है और उसके बाद ही जो आपको पसंद हो उसका उपयोग करें।

जब अनेक जड़ें हों

एक समीकरण के अनेक मूल हो सकते हैं। उदाहरण के लिए समीकरण एक्स(एक्स+ 9) = 0 के दो मूल हैं: 0 और −9।

Eq में. एक्स(एक्स+ 9)=0 ऐसा मान ज्ञात करना आवश्यक था एक्सजिस पर बायां भाग शून्य के बराबर होगा। इस समीकरण के बायीं ओर व्यंजक हैं एक्सऔर (x+9), जो कारक हैं। उत्पाद कानूनों से हम जानते हैं कि एक उत्पाद शून्य के बराबर होता है यदि कम से कम एक कारक शून्य के बराबर हो (या तो पहला कारक या दूसरा)।

अर्थात्, समीकरण में। एक्स(एक्स+ 9) = 0 समानता प्राप्त होगी यदि एक्सशून्य के बराबर होगा या (x+9)शून्य के बराबर होगा.

एक्स= 0 या एक्स + 9 = 0

इन दोनों अभिव्यक्तियों को शून्य पर सेट करके, हम समीकरण की जड़ें पा सकते हैं एक्स(एक्स+ 9) = 0 . पहली जड़, जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, तुरंत मिल गई थी। दूसरा मूल ज्ञात करने के लिए आपको प्रारंभिक समीकरण को हल करना होगा एक्स+9 = 0 . यह अनुमान लगाना आसान है कि इस समीकरण का मूल -9 है। जाँच से पता चलता है कि रूट सही है:

−9 + 9 = 0

उदाहरण 2. प्रश्न हल करें

इस समीकरण की दो जड़ें हैं: 1 और 2. बाईं तरफसमीकरण व्यंजकों का गुणनफल है ( एक्स- 1) और ( एक्स− 2) . और उत्पाद शून्य के बराबर है यदि कम से कम एक कारक शून्य के बराबर है (या कारक ( एक्स- 1) या कारक ( एक्स − 2) ).

आइए कुछ ऐसा खोजें एक्सजिसके अंतर्गत भाव ( एक्स− 1) या ( एक्स− 2) शून्य हो जाओ:

हम पाए गए मानों को मूल समीकरण में एक-एक करके प्रतिस्थापित करते हैं और सुनिश्चित करते हैं कि इन मानों के लिए बाईं ओर शून्य के बराबर है:

जब जड़ें अनन्त रूप से अनेक हों

एक समीकरण के अनन्त रूप से अनेक मूल हो सकते हैं। अर्थात् ऐसे समीकरण में किसी भी संख्या को प्रतिस्थापित करने पर हमें सही संख्यात्मक समानता प्राप्त होती है।

उदाहरण 1. प्रश्न हल करें

इस समीकरण का मूल कोई संख्या है. यदि आप समीकरण के बाईं ओर कोष्ठक खोलते हैं और समान पद जोड़ते हैं, तो आपको समानता 14 = 14 प्राप्त होती है। यह समानता किसी के लिए भी प्राप्त की जाएगी एक्स

उदाहरण 2. प्रश्न हल करें

इस समीकरण का मूल कोई संख्या है. यदि आप समीकरण के बाईं ओर कोष्ठक खोलते हैं, तो आपको समानता मिलती है 10एक्स + 12 = 10एक्स + 12. यह समानता किसी के लिए भी प्राप्त की जाएगी एक्स

जब जड़ें न हों

ऐसा भी होता है कि समीकरण का कोई हल ही नहीं होता, अर्थात उसका कोई मूल नहीं होता। उदाहरण के लिए, किसी भी मान के लिए समीकरण का कोई मूल नहीं है एक्स, समीकरण का बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं होगा। उदाहरण के लिए, चलो. तब समीकरण निम्नलिखित रूप लेगा

उदाहरण 2. प्रश्न हल करें

आइए समानता के बाईं ओर कोष्ठक का विस्तार करें:

आइए समान शब्दों पर नजर डालें:

हम देखते हैं कि बायीं ओर दायीं ओर के बराबर नहीं है। और किसी भी मूल्य के लिए यही स्थिति होगी. य. उदाहरण के लिए, चलो य = 3 .

अक्षर समीकरण

एक समीकरण में न केवल चर वाली संख्याएँ हो सकती हैं, बल्कि अक्षर भी हो सकते हैं।

उदाहरण के लिए, गति ज्ञात करने का सूत्र एक शाब्दिक समीकरण है:

यह समीकरण समान रूप से त्वरित गति के दौरान किसी पिंड की गति का वर्णन करता है।

एक उपयोगी कौशल अक्षर समीकरण में शामिल किसी भी घटक को व्यक्त करने की क्षमता है। उदाहरण के लिए, किसी समीकरण से दूरी निर्धारित करने के लिए, आपको चर को व्यक्त करने की आवश्यकता है एस .

समीकरण के दोनों पक्षों को इससे गुणा करें टी

दाहिनी ओर वेरिएबल टीआइए इसे काटें टी

परिणामी समीकरण में, हम बाएँ और दाएँ पक्षों की अदला-बदली करते हैं:

हमारे पास दूरी ज्ञात करने का एक सूत्र है, जिसका अध्ययन हमने पहले किया था।

आइए समीकरण से समय निर्धारित करने का प्रयास करें। ऐसा करने के लिए आपको वेरिएबल को व्यक्त करने की आवश्यकता है टी .

समीकरण के दोनों पक्षों को इससे गुणा करें टी

दाहिनी ओर वेरिएबल टीआइए इसे काटें टीऔर जो हमने छोड़ा है उसे फिर से लिखें:

परिणामी समीकरण में वी×टी = एसदोनों भागों को विभाजित करें वी

बायीं ओर चर वीआइए इसे काटें वीऔर जो हमने छोड़ा है उसे फिर से लिखें:

हमारे पास समय निर्धारण का सूत्र है, जिसका अध्ययन हमने पहले किया था।

मान लीजिए ट्रेन की गति 50 किमी/घंटा है

वी= 50 किमी/घंटा

और दूरी 100 किलोमीटर है

एस= 100 किमी

फिर पत्र निम्नलिखित रूप लेगा

इस समीकरण से समय ज्ञात किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए आपको वेरिएबल को व्यक्त करने में सक्षम होना चाहिए टी. आप लाभांश को भागफल से विभाजित करके अज्ञात भाजक खोजने के लिए नियम का उपयोग कर सकते हैं और इस प्रकार चर का मान निर्धारित कर सकते हैं टी

या आप समान परिवर्तनों का उपयोग कर सकते हैं. सबसे पहले समीकरण के दोनों पक्षों को इससे गुणा करें टी

फिर दोनों पक्षों को 50 से विभाजित करें

उदाहरण 2 एक्स

समीकरण के दोनों पक्षों से घटाएँ ए

आइए समीकरण के दोनों पक्षों को इससे विभाजित करें बी

ए + बीएक्स = सी, तो हमारे पास होगा तैयार समाधान. इसमें आवश्यक मानों को प्रतिस्थापित करना पर्याप्त होगा। वे मान जिन्हें अक्षरों के स्थान पर प्रतिस्थापित किया जाएगा ए, बी, सीआमतौर पर कहा जाता है पैरामीटर. और प्रपत्र के समीकरण ए + बीएक्स = सीबुलाया मापदंडों के साथ समीकरण. मापदंडों के आधार पर, रूट बदल जाएगा।

आइए समीकरण 2 + 4 को हल करें एक्स= 10 . यह एक अक्षर समीकरण जैसा दिखता है ए + बीएक्स = सी. समान परिवर्तन करने के बजाय, हम तैयार समाधान का उपयोग कर सकते हैं। आइए दोनों समाधानों की तुलना करें:

हम देखते हैं कि दूसरा समाधान बहुत सरल और छोटा है।

तैयार समाधान के लिए एक छोटी सी टिप्पणी करना आवश्यक है। पैरामीटर बीशून्य के बराबर नहीं होना चाहिए (बी ≠ 0), चूँकि शून्य से विभाजन की अनुमति है।

उदाहरण 3. एक शाब्दिक समीकरण दिया गया है. इस समीकरण से व्यक्त करें एक्स

आइए समीकरण के दोनों पक्षों के कोष्ठक खोलें

आइए शर्तों के स्थानांतरण का उपयोग करें। वेरिएबल वाले पैरामीटर एक्स, हम समीकरण के बाईं ओर समूह बनाते हैं, और इस चर से मुक्त पैरामीटर - दाईं ओर।

बायीं ओर हम गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालते हैं एक्स

आइए दोनों पक्षों को व्यंजक से विभाजित करें ए − बी

बाईं ओर, अंश और हर को इससे कम किया जा सकता है ए − बी. इस प्रकार अंततः चर को व्यक्त किया जाता है एक्स

अब, यदि हमें फॉर्म का एक समीकरण मिलता है ए(एक्स − सी) = बी(एक्स + डी), तो हमारे पास एक तैयार समाधान होगा। इसमें आवश्यक मानों को प्रतिस्थापित करना पर्याप्त होगा।

मान लीजिए कि हमें समीकरण दिया गया है 4(x− 3) = 2(एक्स+ 4) . यह एक समीकरण जैसा दिखता है ए(एक्स − सी) = बी(एक्स + डी). आइए इसे दो तरीकों से हल करें: समान परिवर्तनों का उपयोग करके और तैयार समाधान का उपयोग करके:

सुविधा के लिए, आइए इसे समीकरण से बाहर निकालें 4(x− 3) = 2(एक्स+ 4) पैरामीटर मान ए, बी, सी, डी . यह हमें प्रतिस्थापित करते समय कोई गलती नहीं करने देगा:

पिछले उदाहरण की तरह, यहाँ हर शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए ( ए − बी ≠ 0) . यदि हमें फॉर्म का एक समीकरण मिलता है ए(एक्स − सी) = बी(एक्स + डी)जिसमें पैरामीटर एऔर बीवही होगा, हम इसे हल किए बिना कह सकते हैं कि अंतर के बाद से इस समीकरण की कोई जड़ नहीं है समान संख्याएँशून्य के बराबर.

उदाहरण के लिए, समीकरण 2(एक्स − 3) = 2(एक्स + 4)रूप का एक समीकरण है ए(एक्स − सी) = बी(एक्स + डी). Eq में. 2(एक्स − 3) = 2(एक्स + 4)विकल्प एऔर बीजो उसी। यदि हम इसे हल करना शुरू करें तो हम इस निष्कर्ष पर पहुंचेंगे कि बायाँ भाग दाएँ पक्ष के बराबर नहीं होगा:

उदाहरण 4. एक शाब्दिक समीकरण दिया गया है. इस समीकरण से व्यक्त करें एक्स

आइए समीकरण के बाएँ पक्ष को एक उभयनिष्ठ हर पर लाएँ:

दोनों पक्षों को इससे गुणा करें ए

बायीं तरफ पर एक्सआइए इसे कोष्ठक से बाहर रखें

दोनों पक्षों को अभिव्यक्ति (1 -) से विभाजित करें ए)

एक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण

इस पाठ में चर्चा किये गये समीकरण कहलाते हैं एक अज्ञात के साथ प्रथम डिग्री के रैखिक समीकरण.

यदि समीकरण पहली डिग्री में दिया गया है, उसमें अज्ञात से विभाजन नहीं है, और अज्ञात से जड़ें भी नहीं हैं, तो इसे रैखिक कहा जा सकता है। हमने अभी तक शक्तियों और जड़ों का अध्ययन नहीं किया है, इसलिए अपने जीवन को जटिल न बनाने के लिए हम "रैखिक" शब्द को "सरल" समझेंगे।

इस पाठ में हल किए गए अधिकांश समीकरण अंततः एक साधारण समीकरण पर आ गए जिसमें आपको उत्पाद को ज्ञात कारक से विभाजित करना था। उदाहरण के लिए, यह समीकरण 2( एक्स+ 3) = 16 . आइए इसे सुलझाएं.

आइए समीकरण के बाईं ओर कोष्ठक खोलें, हमें 2 मिलता है एक्स+ 6 = 16. आइए चिन्ह बदलते हुए पद 6 को दाहिनी ओर ले जाएँ। तब हमें 2 मिलते हैं एक्स= 16 − 6. दाईं ओर की गणना करें, हमें 2 मिलता है एक्स=10. खोजना एक्स, गुणनफल 10 को ज्ञात कारक 2 से विभाजित करें एक्स = 5.

समीकरण 2( एक्स+ 3) = 16 रैखिक है। यह समीकरण 2 पर आता है एक्स= 10, जिसका मूल ज्ञात करने के लिए उत्पाद को ज्ञात कारक से विभाजित करना आवश्यक था। इस सरलतम समीकरण को कहा जाता है विहित रूप में एक अज्ञात के साथ पहली डिग्री का रैखिक समीकरण. "कैनोनिकल" शब्द "सरल" या "सामान्य" शब्दों का पर्याय है।

विहित रूप में एक अज्ञात के साथ पहली डिग्री के रैखिक समीकरण को फॉर्म का समीकरण कहा जाता है कुल्हाड़ी = बी.

हमारा परिणामी समीकरण 2 एक्स= 10 विहित रूप में एक अज्ञात के साथ पहली डिग्री का एक रैखिक समीकरण है। इस समीकरण में पहली डिग्री है, एक अज्ञात, इसमें अज्ञात से विभाजन नहीं है और अज्ञात से जड़ें शामिल नहीं हैं, और इसे विहित रूप में प्रस्तुत किया गया है, यानी सबसे सरल रूप में जिसमें मूल्य आसानी से निर्धारित किया जा सकता है एक्स. मापदंडों के बजाय एऔर बीहमारे समीकरण में संख्याएँ 2 और 10 हैं। लेकिन ऐसे समीकरण में अन्य संख्याएँ भी हो सकती हैं: सकारात्मक, नकारात्मक या शून्य के बराबर।

यदि एक रैखिक समीकरण में ए= 0 और बी= 0, तो समीकरण के अनंत रूप से कई मूल हैं। वास्तव में, यदि एशून्य के बराबर और बीशून्य के बराबर है, तो रैखिक समीकरण कुल्हाड़ी= बीफॉर्म 0 लेगा एक्स= 0 . किसी भी मूल्य के लिए एक्सबायाँ भाग दाएँ भाग के बराबर होगा।

यदि एक रैखिक समीकरण में ए= 0 और बी≠ 0, तो समीकरण का कोई मूल नहीं है। वास्तव में, यदि एशून्य के बराबर और बीकिसी ऐसी संख्या के बराबर है जो शून्य के बराबर नहीं है, मान लीजिए संख्या 5, फिर समीकरण कुल्हाड़ी = बीफॉर्म 0 लेगा एक्स= 5 . बाईं ओर शून्य होगा, और दाईं ओर पांच होंगे। और शून्य पांच के बराबर नहीं है.

यदि एक रैखिक समीकरण में ए≠ 0, और बीकिसी भी संख्या के बराबर है, तो समीकरण का एक मूल होता है। यह पैरामीटर को विभाजित करके निर्धारित किया जाता है बीप्रति पैरामीटर ए

वास्तव में, यदि एकिसी संख्या के बराबर जो शून्य नहीं है, मान लीजिए संख्या 3, और बीकिसी संख्या के बराबर, मान लीजिए संख्या 6, तो समीकरण का रूप ले लेगा।
यहाँ से।

रिकॉर्डिंग का एक और रूप है रेखीय समीकरणएक अज्ञात के साथ प्रथम डिग्री. यह इस तरह दिख रहा है: कुल्हाड़ी−बी= 0 . यह वैसा ही समीकरण है कुल्हाड़ी = बी

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