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इस गणितीय कार्यक्रम से आप दो की प्रणाली को हल कर सकते हैं रेखीय समीकरणप्रतिस्थापन विधि और जोड़ विधि का उपयोग करके दो चर के साथ।

कार्यक्रम न केवल समस्या का उत्तर देता है, बल्कि देता भी है विस्तृत समाधानसमाधान चरणों की दो तरीकों से व्याख्या के साथ: प्रतिस्थापन विधि और जोड़ विधि।

यह कार्यक्रम माध्यमिक विद्यालयों में तैयारी कर रहे हाई स्कूल के छात्रों के लिए उपयोगी हो सकता है परीक्षणऔर परीक्षा, जब माता-पिता के लिए गणित और बीजगणित में कई समस्याओं के समाधान को नियंत्रित करने के लिए एकीकृत राज्य परीक्षा से पहले ज्ञान का परीक्षण किया जाता है। या हो सकता है कि आपके लिए ट्यूटर नियुक्त करना या नई पाठ्यपुस्तकें खरीदना बहुत महंगा हो? या क्या आप इसे यथाशीघ्र पूरा करना चाहते हैं? गृहकार्यगणित या बीजगणित में? इस मामले में, आप विस्तृत समाधानों के साथ हमारे कार्यक्रमों का भी उपयोग कर सकते हैं।

इस तरह आप अपना स्वयं का प्रशिक्षण और/या अपना प्रशिक्षण संचालित कर सकते हैं। छोटे भाईया बहनें, जबकि समस्याओं के समाधान के क्षेत्र में शिक्षा का स्तर बढ़ता है।

समीकरण दर्ज करने के नियम

कोई भी लैटिन अक्षर एक चर के रूप में कार्य कर सकता है।
उदाहरण के लिए: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), आदि।

समीकरण दर्ज करते समय आप कोष्ठक का उपयोग कर सकते हैं. इस मामले में, समीकरणों को पहले सरलीकृत किया जाता है। सरलीकरण के बाद समीकरण रैखिक होने चाहिए, अर्थात तत्वों के क्रम की सटीकता के साथ फॉर्म ax+by+c=0 का।
उदाहरण के लिए: 6x+1 = 5(x+y)+2

समीकरणों में, आप न केवल पूर्ण संख्याओं का उपयोग कर सकते हैं, बल्कि दशमलव और साधारण भिन्न के रूप में भिन्नों का भी उपयोग कर सकते हैं।

दशमलव भिन्न दर्ज करने के नियम.
पूर्णांक और भिन्नात्मक भाग दशमलवबिंदु या अल्पविराम द्वारा अलग किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए: 2.1n + 3.5m = 55

साधारण भिन्न दर्ज करने के नियम.
केवल एक पूर्ण संख्या ही भिन्न के अंश, हर और पूर्णांक भाग के रूप में कार्य कर सकती है।
हर ऋणात्मक नहीं हो सकता.
एक संख्यात्मक भिन्न दर्ज करते समय, अंश को हर से एक विभाजन चिह्न द्वारा अलग किया जाता है: /
संपूर्ण भाग को एम्परसेंड चिन्ह द्वारा भिन्न से अलग किया जाता है: &

उदाहरण।
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1पी + 55 = -2/7(3.5पी - 2&1/8क्यू)

यह पाया गया कि इस समस्या को हल करने के लिए आवश्यक कुछ स्क्रिप्ट लोड नहीं की गईं, और प्रोग्राम काम नहीं कर सकता है।
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हमारे गेम, पहेलियाँ, एमुलेटर:

थोड़ा सिद्धांत.

रैखिक समीकरणों को हल करने की प्रणालियाँ। प्रतिस्थापन विधि

प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करते समय क्रियाओं का क्रम:
1) सिस्टम के कुछ समीकरण से एक चर को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त करें;
2) परिणामी अभिव्यक्ति को इस चर के बजाय सिस्टम के किसी अन्य समीकरण में प्रतिस्थापित करें;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

आइए पहले समीकरण से y को x के संदर्भ में व्यक्त करें: y = 7-3x। दूसरे समीकरण में y के स्थान पर व्यंजक 7-3x को प्रतिस्थापित करने पर, हमें सिस्टम प्राप्त होता है:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

यह दिखाना आसान है कि पहली और दूसरी प्रणाली के समाधान समान हैं। दूसरी प्रणाली में, दूसरे समीकरण में केवल एक चर होता है। आइए इस समीकरण को हल करें:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \दायाँ तीर -5x+14-6x=3 \दायाँ तीर -11x=-11 \दायाँ तीर x=1 $$

समानता y=7-3x में x के बजाय संख्या 1 को प्रतिस्थापित करने पर, हम y का संगत मान पाते हैं:
$$ y=7-3 \cdot 1 \दायाँ तीर y=4 $$

जोड़ी (1;4) - सिस्टम का समाधान

दो चरों वाले समीकरणों के निकाय जिनका समाधान समान हो, कहलाते हैं समकक्ष. जिन प्रणालियों में समाधान नहीं है उन्हें भी समतुल्य माना जाता है।

जोड़ द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना

आइए रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के दूसरे तरीके पर विचार करें - जोड़ विधि। इस तरह से सिस्टम को हल करते समय, साथ ही प्रतिस्थापन द्वारा हल करते समय, हम इस सिस्टम से दूसरे, समकक्ष सिस्टम में जाते हैं, जिसमें समीकरणों में से एक में केवल एक चर होता है।

जोड़ विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करते समय क्रियाओं का क्रम:
1) सिस्टम के समीकरणों को पद दर पद गुणा करें, कारकों का चयन करें ताकि किसी एक चर के लिए गुणांक बन जाएं विपरीत संख्याएँ;
2) सिस्टम समीकरणों के बाएँ और दाएँ पक्षों को शब्द दर शब्द जोड़ें;
3) परिणामी समीकरण को एक चर के साथ हल करें;
4) दूसरे वेरिएबल का संगत मान ज्ञात करें।

उदाहरण। आइए समीकरणों की प्रणाली को हल करें:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

इस प्रणाली के समीकरणों में, y के गुणांक विपरीत संख्याएँ हैं। समीकरणों के बाएँ और दाएँ पक्षों को पद दर पद जोड़ने पर, हमें एक चर 3x=33 वाला एक समीकरण प्राप्त होता है। आइए सिस्टम के समीकरणों में से एक को, उदाहरण के लिए पहले वाले, समीकरण 3x=33 से बदलें। आइए सिस्टम प्राप्त करें
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

समीकरण 3x=33 से हम पाते हैं कि x=11. इस x मान को समीकरण \(x-3y=38\) में प्रतिस्थापित करने पर हमें चर y: \(11-3y=38\) वाला एक समीकरण मिलता है। आइए इस समीकरण को हल करें:
\(-3y=27 \दायां तीर y=-9 \)

इस प्रकार, हमने जोड़ द्वारा समीकरणों की प्रणाली का समाधान पाया: \(x=11; y=-9\) या \((11;-9)\)

इस तथ्य का लाभ उठाते हुए कि सिस्टम के समीकरणों में y के लिए गुणांक विपरीत संख्याएं हैं, हमने इसके समाधान को एक समतुल्य प्रणाली के समाधान में बदल दिया (मूल प्रणाली के प्रत्येक समीकरण के दोनों पक्षों को जोड़कर), जिसमें एक समीकरणों में केवल एक चर होता है।

निर्देश

जोड़ विधि.
आपको दो को एक दूसरे के बिल्कुल नीचे लिखना होगा:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
मनमाने ढंग से चुने गए (सिस्टम से) समीकरण में, पहले से पाए गए "गेम" के बजाय नंबर 11 डालें और दूसरे अज्ञात की गणना करें:

एक्स=61+5*11, एक्स=61+55, एक्स=116।
समीकरणों की इस प्रणाली का उत्तर x=116, y=11 है।

ग्राफ़िक विधि.
इसमें व्यावहारिक रूप से उस बिंदु के निर्देशांक ढूंढना शामिल है जिस पर समीकरणों की प्रणाली में रेखाएँ गणितीय रूप से लिखी जाती हैं। दोनों रेखाओं के ग्राफ़ एक ही समन्वय प्रणाली में अलग-अलग खींचे जाने चाहिए। सामान्य दृश्य:- y=khx+b. एक सीधी रेखा बनाने के लिए, दो बिंदुओं के निर्देशांक ढूंढना पर्याप्त है, और x को मनमाने ढंग से चुना जाता है।
मान लीजिए कि सिस्टम दिया गया है: 2x – y=4

Y=-3x+1.
पहले वाले का उपयोग करके एक सीधी रेखा बनाई जाती है, सुविधा के लिए इसे नीचे लिखा जाना चाहिए: y=2x-4। x के लिए (आसान) मान लेकर आएं, इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करें, इसे हल करें और y खोजें। हमें दो बिंदु मिलते हैं जिनके अनुदिश एक सीधी रेखा बनी होती है। (तस्वीर देखने)
x 0 1

य -4 -2
दूसरे समीकरण का उपयोग करके एक सीधी रेखा का निर्माण किया जाता है: y=-3x+1.
एक सीधी रेखा भी बनाएं. (तस्वीर देखने)

य 1 -5
ग्राफ़ पर दो निर्मित रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें (यदि रेखाएँ प्रतिच्छेद नहीं करती हैं, तो समीकरणों की प्रणाली में ऐसा नहीं है)।

विषय पर वीडियो

मददगार सलाह

यदि समीकरणों की एक ही प्रणाली को तीन द्वारा हल किया जाता है विभिन्न तरीके, उत्तर वही होगा (यदि समाधान सही है)।

स्रोत:

• आठवीं कक्षा का बीजगणित
• दो अज्ञातों के साथ एक समीकरण ऑनलाइन हल करें
• दो के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के उदाहरण

प्रणाली समीकरणएक संग्रह का प्रतिनिधित्व करता है गणितीय संकेतन, जिनमें से प्रत्येक में कई चर शामिल हैं। इन्हें हल करने के कई तरीके हैं।

आपको चाहिये होगा

• -रूलर और पेंसिल;
• -कैलकुलेटर।

निर्देश

आइए सिस्टम को हल करने के अनुक्रम पर विचार करें, जिसमें निम्न रूप वाले रैखिक समीकरण शामिल हैं: a1x + b1y = c1 और a2x + b2y = c2। जहां x और y अज्ञात चर हैं, और b,c स्वतंत्र पद हैं। इस पद्धति को लागू करते समय, प्रत्येक प्रणाली प्रत्येक समीकरण के अनुरूप बिंदुओं के निर्देशांक का प्रतिनिधित्व करती है। आरंभ करने के लिए, प्रत्येक मामले में, एक चर को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त करें। फिर वेरिएबल x को किसी भी संख्या में मान पर सेट करें। दो ही काफी है. समीकरण में प्रतिस्थापित करें और y ज्ञात करें। एक समन्वय प्रणाली का निर्माण करें, उस पर परिणामी बिंदुओं को चिह्नित करें और उनके माध्यम से एक रेखा खींचें। सिस्टम के अन्य भागों के लिए भी इसी तरह की गणना की जानी चाहिए।

यदि निर्मित रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं और एक उभयनिष्ठ बिंदु है तो सिस्टम का एक अनूठा समाधान होता है। एक दूसरे के समानांतर होने पर यह असंगत है। और जब रेखाएं एक-दूसरे में विलीन हो जाती हैं तो इसके अनंत रूप से कई समाधान होते हैं।

यह विधि अत्यंत दर्शनीय मानी जाती है। मुख्य नुकसान यह है कि परिकलित अज्ञात का मान अनुमानित होता है। तथाकथित बीजगणितीय विधियों द्वारा अधिक सटीक परिणाम प्रदान किए जाते हैं।

समीकरणों की प्रणाली का कोई भी समाधान जाँचने योग्य है। ऐसा करने के लिए, चर के बजाय परिणामी मानों को प्रतिस्थापित करें। आप कई तरीकों का इस्तेमाल करके भी इसका समाधान पा सकते हैं। यदि सिस्टम का समाधान सही है तो सभी को वैसा ही बनना चाहिए।

अक्सर ऐसे समीकरण होते हैं जिनमें कोई एक पद अज्ञात होता है। किसी समीकरण को हल करने के लिए, आपको इन संख्याओं के साथ क्रियाओं का एक निश्चित सेट याद रखना और निष्पादित करना होगा।

आपको चाहिये होगा

• - कागज़;
• - कलम या पेंसिल.

निर्देश

कल्पना कीजिए कि आपके सामने 8 खरगोश हैं, और आपके पास केवल 5 गाजर हैं। इसके बारे में सोचें, आपको अभी भी अधिक गाजर खरीदने की ज़रूरत है ताकि प्रत्येक खरगोश को एक मिल सके।

आइए इस समस्या को एक समीकरण के रूप में प्रस्तुत करें: 5 + x = 8. आइए x के स्थान पर संख्या 3 रखें। वास्तव में, 5 + 3 = 8.

जब आपने x के स्थान पर एक संख्या प्रतिस्थापित की, तो आपने वही किया जो आपने 8 में से 5 घटाने पर किया था। तो, ज्ञात करने के लिए अज्ञातपद, ज्ञात पद को योग से घटाएँ।

मान लीजिए कि आपके पास 20 खरगोश हैं और केवल 5 गाजर हैं। चलो इसे बनाते हैं. एक समीकरण एक समानता है जो इसमें शामिल अक्षरों के केवल कुछ निश्चित मानों के लिए ही मान्य होती है। जिन अक्षरों का अर्थ ज्ञात करना होता है, उन्हें कहते हैं। एक अज्ञात के साथ एक समीकरण लिखें, इसे x कहें। हमारी खरगोश समस्या को हल करते समय, हमें निम्नलिखित समीकरण मिलता है: 5 + x = 20।

आइये 20 और 5 के बीच का अंतर ज्ञात करें। घटाते समय जिस संख्या से घटाया जाता है वही संख्या कम की जाती है। जो संख्या घटाई जा रही है उसे कहते हैं, और अंतिम परिणामअंतर कहा जाता है. तो, x = 20 – 5; x = 15. आपको खरगोशों के लिए 15 गाजर खरीदनी होंगी।

जांचें: 5 + 15 = 20। समीकरण सही ढंग से हल किया गया है। निःसंदेह, जब ऐसे सरल प्रश्नों की बात आती है, तो जाँच करना आवश्यक नहीं है। हालाँकि, जब आपके पास तीन-अंकीय, चार-अंकीय आदि संख्याओं के समीकरण हों, तो आपको निश्चित रूप से अपने काम के परिणाम के बारे में पूरी तरह से आश्वस्त होने के लिए जाँच करने की आवश्यकता है।

विषय पर वीडियो

मददगार सलाह

अज्ञात मीनूएंड को खोजने के लिए, आपको अंतर में सबट्रेंड जोड़ना होगा।

अज्ञात सबट्रेंड को खोजने के लिए, आपको मीनूएंड से अंतर को घटाना होगा।

टिप 4: तीन अज्ञात वाले तीन समीकरणों की प्रणाली को कैसे हल करें

पर्याप्त संख्या में समीकरणों के बावजूद, तीन अज्ञात वाले तीन समीकरणों की प्रणाली में समाधान नहीं हो सकते हैं। आप इसे प्रतिस्थापन विधि या क्रैमर विधि का उपयोग करके हल करने का प्रयास कर सकते हैं। क्रैमर की विधि, सिस्टम को हल करने के अलावा, आपको अज्ञात के मूल्यों को खोजने से पहले यह मूल्यांकन करने की अनुमति देती है कि सिस्टम हल करने योग्य है या नहीं।

निर्देश

प्रतिस्थापन विधि में क्रमिक रूप से एक अज्ञात को दो अन्य के माध्यम से बदलना और परिणामी परिणाम को सिस्टम के समीकरणों में प्रतिस्थापित करना शामिल है। मान लीजिए तीन समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है सामान्य रूप से देखें:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

पहले समीकरण से x व्यक्त करें: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - और दूसरे और तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें, फिर दूसरे समीकरण से y व्यक्त करें और तीसरे में प्रतिस्थापित करें। आप सिस्टम समीकरणों के गुणांकों के माध्यम से z के लिए एक रैखिक अभिव्यक्ति प्राप्त करेंगे। अब "पिछड़े" जाएं: दूसरे समीकरण में z रखें और y ढूंढें, और फिर पहले में z और y रखें और x के लिए हल करें। प्रक्रिया को आम तौर पर z खोजने से पहले चित्र में दिखाया गया है। सामान्य रूप में आगे लिखना बहुत बोझिल होगा; व्यवहार में, प्रतिस्थापित करके, आप तीनों अज्ञात को आसानी से पा सकते हैं।

क्रैमर की विधि में एक सिस्टम मैट्रिक्स का निर्माण करना और इस मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करना, साथ ही तीन और सहायक मैट्रिक्स की गणना करना शामिल है। सिस्टम मैट्रिक्स समीकरणों के अज्ञात शब्दों के गुणांकों से बना है। समीकरणों के दाहिनी ओर की संख्याओं वाला एक स्तंभ, दाहिनी ओर की संख्याओं वाला एक स्तंभ। इसका उपयोग सिस्टम में नहीं किया जाता है, बल्कि सिस्टम को हल करते समय किया जाता है।

विषय पर वीडियो

टिप्पणी

सिस्टम के सभी समीकरणों को अन्य समीकरणों से स्वतंत्र अतिरिक्त जानकारी प्रदान करनी चाहिए। अन्यथा, सिस्टम कमजोर हो जाएगा और कोई स्पष्ट समाधान ढूंढना संभव नहीं होगा।

मददगार सलाह

समीकरणों की प्रणाली को हल करने के बाद, पाए गए मानों को इसमें प्रतिस्थापित करें मूल प्रणालीऔर जांचें कि वे सभी समीकरणों को संतुष्ट करते हैं।

अपने आप में समीकरणतीन के साथ अज्ञातइसके कई समाधान हैं, इसलिए अक्सर यह दो और समीकरणों या शर्तों द्वारा पूरक होता है। प्रारंभिक डेटा क्या है, इसके आधार पर निर्णय की दिशा काफी हद तक निर्भर करेगी।

आपको चाहिये होगा

• - तीन अज्ञातों के साथ तीन समीकरणों की एक प्रणाली।

निर्देश

यदि तीन प्रणालियों में से दो में तीन अज्ञात में से केवल दो हैं, तो कुछ चर को दूसरों के संदर्भ में व्यक्त करने का प्रयास करें और उन्हें प्रतिस्थापित करें समीकरणतीन के साथ अज्ञात. इस मामले में आपका लक्ष्य इसे सामान्य बनाना है समीकरणकिसी अनजान व्यक्ति के साथ. यदि ऐसा है, तो आगे का समाधान काफी सरल है - पाए गए मान को अन्य समीकरणों में प्रतिस्थापित करें और अन्य सभी अज्ञात खोजें।

समीकरणों की कुछ प्रणालियों को एक समीकरण से दूसरे समीकरण में से घटाया जा सकता है। देखें कि क्या किसी एक या एक चर को गुणा करना संभव है ताकि दो अज्ञात एक ही बार में रद्द हो जाएं। यदि ऐसा कोई अवसर है, तो इसका लाभ उठाएं, सबसे अधिक संभावना है, अगला समाधान कठिन नहीं होगा। यह मत भूलिए कि किसी संख्या से गुणा करते समय आपको इस प्रकार गुणा करना होगा बाईं तरफ, और सही वाला। इसी प्रकार समीकरणों को घटाते समय भी यह याद रखना आवश्यक है दाहिना भागभी काटा जाना चाहिए.

यदि पिछली विधियों ने मदद नहीं की, तो उपयोग करें सामान्य तरीके सेतीन के साथ किसी भी समीकरण का समाधान अज्ञात. ऐसा करने के लिए, समीकरणों को a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3 के रूप में फिर से लिखें। अब x (A) के लिए गुणांकों का एक मैट्रिक्स, अज्ञात (X) का एक मैट्रिक्स और मुक्त चर (B) का एक मैट्रिक्स बनाएं। कृपया ध्यान दें कि गुणांकों के मैट्रिक्स को अज्ञात के मैट्रिक्स से गुणा करने पर, आपको मुफ़्त पदों का एक मैट्रिक्स मिलेगा, अर्थात A*X=B।

पहले खोजकर मैट्रिक्स A को घात (-1) तक खोजें, ध्यान दें कि यह शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए। इसके बाद, परिणामी मैट्रिक्स को मैट्रिक्स बी से गुणा करें, परिणामस्वरूप आपको वांछित मैट्रिक्स एक्स प्राप्त होगा, जो सभी मूल्यों को दर्शाता है।

आप क्रैमर विधि का उपयोग करके तीन समीकरणों की प्रणाली का समाधान भी पा सकते हैं। ऐसा करने के लिए, सिस्टम मैट्रिक्स के अनुरूप तीसरे क्रम का निर्धारक ∆ खोजें। फिर क्रमिक रूप से तीन और निर्धारक ∆1, ∆2 और ∆3 खोजें, संबंधित स्तंभों के मानों के बजाय मुक्त पदों के मानों को प्रतिस्थापित करें। अब x खोजें: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

स्रोत:

• तीन अज्ञात वाले समीकरणों का समाधान

समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना शुरू करते समय, पता लगाएं कि वे किस प्रकार के समीकरण हैं। रैखिक समीकरणों को हल करने की विधियों का काफी अच्छी तरह से अध्ययन किया गया है। अरेखीय समीकरण प्राय: हल नहीं होते। केवल एक ही विशेष मामले हैं, जिनमें से प्रत्येक व्यावहारिक रूप से व्यक्तिगत है। इसलिए, समाधान तकनीकों का अध्ययन रैखिक समीकरणों से शुरू होना चाहिए। ऐसे समीकरणों को पूरी तरह एल्गोरिथम से भी हल किया जा सकता है।

निर्देश

दो अज्ञात एक्स और वाई के साथ दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को उन्मूलन द्वारा हल करने का तरीका सीखकर अपनी सीखने की प्रक्रिया शुरू करें। a11*X+a12*Y=b1 (1); a21*X+a22*Y=b2 (2). समीकरणों के गुणांकों को उनके स्थान दर्शाने वाले सूचकांकों द्वारा दर्शाया जाता है। इस प्रकार, गुणांक a21 इस तथ्य पर जोर देता है कि यह दूसरे समीकरण में पहले स्थान पर लिखा गया है। आम तौर पर स्वीकृत संकेतन में, सिस्टम को एक के नीचे एक स्थित समीकरणों द्वारा लिखा जाता है और दाएं या बाएं पर एक घुंघराले ब्रैकेट द्वारा संयुक्त रूप से दर्शाया जाता है (अधिक विवरण के लिए, चित्र 1 ए देखें)।

समीकरणों की संख्या मनमानी है. सबसे सरल चुनें, जैसे कि वह जिसमें किसी एक चर के पहले 1 या कम से कम एक पूर्णांक का गुणांक हो। यदि यह समीकरण (1) है, तो अगला व्यक्त करें, मान लीजिए, अज्ञात वाई को एक्स के संदर्भ में (वाई को बाहर करने का मामला)। ऐसा करने के लिए, (1) को a12*Y=b1-a11*X (या a11*X=b1-a12*Y जब X को छोड़कर)) के रूप में रूपांतरित करें, और फिर Y=(b1-a11*X)/a12 . बाद वाले को समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करते हुए a21*X+a22*(b1-a11*X)/a12=b2 लिखें। X के लिए इस समीकरण को हल करें.
a21*X+a22*b1/a12-a11*a22*X/a12=b2; (a21-a11*a22/a12)*X=b2-a22*b1/a12;
X=(a12* b2-a22*b1)/(a12*a21-a11*a22) या X=(a22* b1-a12*b2)/(a11*a22-a12*a21).
Y और X के बीच पाए गए कनेक्शन का उपयोग करके, आप अंततः दूसरा अज्ञात Y=(a11* b2-a21*b1)/(a11*a22-a12*a21) प्राप्त करेंगे।

यदि सिस्टम को विशिष्ट संख्यात्मक गुणांकों के साथ निर्दिष्ट किया गया होता, तो गणनाएँ कम बोझिल होतीं। लेकिन सामान्य समाधान इस तथ्य पर विचार करना संभव बनाता है कि पाए गए अज्ञात बिल्कुल वही हैं। हाँ, और अंश अपने निर्माण में कुछ पैटर्न दिखाते हैं। यदि समीकरणों की प्रणाली का आयाम दो से अधिक होता, तो उन्मूलन विधि से बहुत बोझिल गणनाएँ होतीं। उनसे बचने के लिए, विशुद्ध रूप से एल्गोरिथम समाधान विकसित किए गए हैं। उनमें से सबसे सरल क्रैमर का एल्गोरिदम (क्रैमर के सूत्र) है। क्योंकि आपको पता लगाना चाहिए सामान्य प्रणाली n समीकरण से समीकरण.

n अज्ञात के साथ n रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली का रूप होता है (चित्र 1a देखें)। इसमें, aij प्रणाली के गुणांक हैं,
xj - अज्ञात, द्वि - मुक्त पद (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n)। ऐसी प्रणाली को मैट्रिक्स रूप AX=B में संक्षिप्त रूप से लिखा जा सकता है। यहां ए सिस्टम गुणांक का मैट्रिक्स है, एक्स अज्ञात का कॉलम मैट्रिक्स है, बी मुक्त शर्तों का कॉलम मैट्रिक्स है (चित्रा 1 बी देखें)। क्रैमर विधि के अनुसार, प्रत्येक अज्ञात xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). गुणांक मैट्रिक्स के निर्धारक ∆ को मुख्य निर्धारक कहा जाता है, और ∆i को सहायक निर्धारक कहा जाता है। प्रत्येक अज्ञात के लिए, मुख्य निर्धारक के i-वें कॉलम को मुक्त पदों के कॉलम से प्रतिस्थापित करके सहायक निर्धारक पाया जाता है। दूसरे और तीसरे क्रम के सिस्टम के मामले में क्रैमर विधि को चित्र में विस्तार से प्रस्तुत किया गया है। 2.

प्रणाली दो या दो से अधिक समानताओं का एक संयोजन है, जिनमें से प्रत्येक में दो या दो से अधिक अज्ञात होते हैं। रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के दो मुख्य तरीके हैं जिनका उपयोग किया जाता है स्कूल के पाठ्यक्रम. उनमें से एक को विधि कहा जाता है, दूसरे को जोड़ विधि कहा जाता है।

दो समीकरणों की प्रणाली का मानक रूप

अतिरिक्त विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करना

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि दो समीकरणों से युक्त एक प्रणाली दी गई है। उनमें से पहले का रूप 2x+4y=8 है, दूसरे का रूप 6x+2y=6 है। कार्य को पूरा करने के विकल्पों में से एक दूसरे समीकरण को -2 के गुणांक से गुणा करना है, जो इसे -12x-4y=-12 के रूप में ले जाएगा। सही चुनावकिसी सिस्टम को जोड़कर हल करने की प्रक्रिया में गुणांक प्रमुख कार्यों में से एक है, क्योंकि यह संपूर्ण को निर्धारित करता है आगे बढ़ेंअज्ञात को खोजने की प्रक्रियाएँ।

अब सिस्टम के दो समीकरणों को जोड़ना जरूरी है। जाहिर है, मान में समान लेकिन चिह्न में विपरीत गुणांक वाले चरों का पारस्परिक विनाश -10x=-4 के रूप में होगा। इसके बाद इस सरल समीकरण को हल करना आवश्यक है, जिससे स्पष्ट रूप से पता चलता है कि x = 0.4.

समाधान प्रक्रिया में अंतिम चरण किसी एक चर के पाए गए मान को सिस्टम में उपलब्ध किसी भी मूल समानता में प्रतिस्थापित करना है। उदाहरण के लिए, पहले समीकरण में x=0.4 को प्रतिस्थापित करके, आप अभिव्यक्ति 2*0.4+4y=8 प्राप्त कर सकते हैं, जिससे y=1.8. इस प्रकार, x=0.4 और y=1.8 उदाहरण प्रणाली की जड़ें हैं।

यह सुनिश्चित करने के लिए कि जड़ें सही ढंग से पाई गईं, सिस्टम के दूसरे समीकरण में पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करके जांचना उपयोगी है। उदाहरण के लिए, इस मामले में हमें फॉर्म 0.4*6+1.8*2=6 की समानता मिलती है, जो सही है।

विषय पर वीडियो

हम पहले से ही दो अज्ञात में एक रैखिक समीकरण की अवधारणा से परिचित हैं। समीकरण एक समस्या में या तो व्यक्तिगत रूप से या एक साथ कई समीकरण मौजूद हो सकते हैं। ऐसे मामलों में, समीकरणों को समीकरणों की एक प्रणाली में जोड़ दिया जाता है।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली क्या है?

समीकरणों की प्रणाली- ये दो या दो से अधिक समीकरण हैं जिनके सभी सामान्य समाधान खोजना आवश्यक है। आमतौर पर, समीकरणों की एक प्रणाली लिखने के लिए, उन्हें एक कॉलम में लिखा जाता है और एक सामान्य घुंघराले ब्रैकेट तैयार किया जाता है। रैखिक समीकरणों की प्रणाली की रिकॉर्डिंग नीचे प्रस्तुत की गई है।

(4x + 3y = 6
(2x + y = 4

इस प्रविष्टि का अर्थ है कि दो चर वाले दो समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है। यदि प्रणाली में तीन समीकरण होते, तो हम तीन समीकरणों की प्रणाली के बारे में बात कर रहे होते। और इसी प्रकार किसी भी संख्या में समीकरणों के लिए।

यदि किसी प्रणाली में मौजूद सभी समीकरण रैखिक हैं, तो हम कहते हैं कि रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है। उपरोक्त उदाहरण में, दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली प्रस्तुत की गई है। जैसा कि ऊपर बताया गया है, सिस्टम में सामान्य समाधान हो सकते हैं। हम नीचे "सामान्य समाधान" शब्द के बारे में बात करेंगे।

क्या निदान है?

दो अज्ञात वाले दो समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान संख्याओं (x,y) की एक जोड़ी है, जैसे कि यदि हम इन संख्याओं को सिस्टम के समीकरणों में प्रतिस्थापित करते हैं, तो सिस्टम का प्रत्येक समीकरण वास्तविक समानता में बदल जाता है।

उदाहरण के लिए, हमारे पास दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली है। पहले समीकरण का हल संख्याओं के वे सभी जोड़े होंगे जो इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

दूसरे समीकरण के लिए, समाधान संख्याओं के जोड़े होंगे जो इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं। यदि संख्याओं का कोई ऐसा युग्म है जो पहले और दूसरे दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है, तो संख्याओं का यह युग्म दो अज्ञात में दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली का समाधान होगा।

ग्राफ़िक समाधान

ग्राफ़िक रूप से, एक रैखिक समीकरण का हल समतल पर एक निश्चित रेखा के सभी बिंदु होते हैं।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के लिए, हमारे पास कई सीधी रेखाएँ होंगी (समीकरणों की संख्या के अनुसार)। और समीकरणों की प्रणाली का समाधान वह बिंदु होगा जिस पर सभी रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं। यदि ऐसा कोई बिंदु नहीं है, तो सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं होगा। वह बिंदु जिस पर सभी रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं वह इनमें से प्रत्येक रेखा से संबंधित होता है, इसलिए समाधान को सामान्य कहा जाता है।

वैसे, सिस्टम समीकरणों के ग्राफ़ बनाना और उन्हें ढूंढना आम बात, यह समीकरणों की प्रणाली को हल करने का एक तरीका है। इस विधि को ग्राफिकल कहा जाता है।

रैखिक समीकरणों को हल करने के अन्य तरीके

दो चर वाले रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के अन्य तरीके भी हैं। दो अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की बुनियादी विधियाँ।

विभिन्न प्रक्रियाओं के गणितीय मॉडलिंग के लिए आर्थिक क्षेत्र में समीकरणों की प्रणालियों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, उत्पादन प्रबंधन और योजना, रसद मार्गों (परिवहन समस्या) या उपकरण प्लेसमेंट की समस्याओं को हल करते समय।

जनसंख्या आकार ज्ञात करने की समस्याओं को हल करते समय समीकरणों की प्रणालियों का उपयोग न केवल गणित में, बल्कि भौतिकी, रसायन विज्ञान और जीव विज्ञान में भी किया जाता है।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली कई चर वाले दो या दो से अधिक समीकरण हैं जिनके लिए एक सामान्य समाधान खोजना आवश्यक है। संख्याओं का ऐसा क्रम जिसके लिए सभी समीकरण सच्ची समानताएँ बन जाते हैं या यह सिद्ध कर देते हैं कि अनुक्रम का अस्तित्व ही नहीं है।

रेखीय समीकरण

ax+by=c रूप के समीकरण रैखिक कहलाते हैं। पदनाम x, y अज्ञात हैं जिनका मान पाया जाना चाहिए, b, a चर के गुणांक हैं, c समीकरण का मुक्त पद है।
किसी समीकरण को प्लॉट करके हल करना एक सीधी रेखा की तरह दिखेगा, जिसके सभी बिंदु बहुपद के समाधान हैं।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के प्रकार

सबसे सरल उदाहरण दो चर X और Y वाले रैखिक समीकरणों की प्रणाली माने जाते हैं।

F1(x, y) = 0 और F2(x, y) = 0, जहां F1,2 फ़ंक्शन हैं और (x, y) फ़ंक्शन वेरिएबल हैं।

समीकरणों की प्रणाली को हल करें - इसका मतलब उन मानों (x, y) को ढूंढना है जिन पर सिस्टम वास्तविक समानता में बदल जाता है या यह स्थापित करना कि x और y के उपयुक्त मान मौजूद नहीं हैं।

मानों की एक जोड़ी (x, y), जिसे एक बिंदु के निर्देशांक के रूप में लिखा जाता है, रैखिक समीकरणों की प्रणाली का समाधान कहा जाता है।

यदि सिस्टम में एक सामान्य समाधान है या कोई समाधान मौजूद नहीं है, तो उन्हें समकक्ष कहा जाता है।

रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणालियाँ वे प्रणालियाँ हैं जिनका दाहिना पक्ष शून्य के बराबर है। यदि समान चिह्न के बाद दाएँ भाग का कोई मान हो या किसी फ़ंक्शन द्वारा व्यक्त किया गया हो, तो ऐसी प्रणाली विषमांगी होती है।

चरों की संख्या दो से कहीं अधिक हो सकती है, तो हमें तीन या अधिक चर वाले रैखिक समीकरणों की प्रणाली के उदाहरण के बारे में बात करनी चाहिए।

जब सिस्टम का सामना होता है, तो स्कूली बच्चे यह मान लेते हैं कि समीकरणों की संख्या आवश्यक रूप से अज्ञात की संख्या से मेल खानी चाहिए, लेकिन ऐसा नहीं है। सिस्टम में समीकरणों की संख्या चर पर निर्भर नहीं करती है; उनमें से जितनी चाहें उतनी हो सकती हैं।

समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की सरल और जटिल विधियाँ

ऐसी प्रणालियों को हल करने के लिए कोई सामान्य विश्लेषणात्मक विधि नहीं है; सभी विधियाँ संख्यात्मक समाधानों पर आधारित हैं। में स्कूल पाठ्यक्रमगणित, क्रमपरिवर्तन, बीजगणितीय जोड़, प्रतिस्थापन, साथ ही ग्राफिकल और जैसी विधियाँ मैट्रिक्स विधि, गॉसियन विधि द्वारा समाधान।

समाधान विधियों को पढ़ाते समय मुख्य कार्य यह सिखाना है कि सिस्टम का सही ढंग से विश्लेषण कैसे किया जाए और प्रत्येक उदाहरण के लिए इष्टतम समाधान एल्गोरिदम कैसे खोजा जाए। मुख्य बात प्रत्येक विधि के लिए नियमों और कार्यों की एक प्रणाली को याद रखना नहीं है, बल्कि एक विशेष विधि का उपयोग करने के सिद्धांतों को समझना है

7वीं कक्षा के कार्यक्रम के रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के उदाहरणों को हल करना माध्यमिक विद्यालयकाफी सरल और बहुत विस्तार से समझाया गया है। किसी भी गणित की पाठ्यपुस्तक में इस अनुभाग पर पर्याप्त ध्यान दिया जाता है। उच्च शिक्षा के पहले वर्षों में गॉस और क्रैमर पद्धति का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के उदाहरणों को हल करने का अधिक विस्तार से अध्ययन किया जाता है।

प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करना

प्रतिस्थापन विधि की क्रियाओं का उद्देश्य एक चर के मान को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त करना है। अभिव्यक्ति को शेष समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, फिर इसे एक चर वाले रूप में घटा दिया जाता है। सिस्टम में अज्ञात की संख्या के आधार पर कार्रवाई दोहराई जाती है

आइए हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके कक्षा 7 के रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के उदाहरण का समाधान दें:

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, चर x को F(X) = 7 + Y के माध्यम से व्यक्त किया गया था। परिणामी अभिव्यक्ति, X के स्थान पर सिस्टम के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित, दूसरे समीकरण में एक चर Y प्राप्त करने में मदद की . समाधान यह उदाहरणकठिनाइयों का कारण नहीं बनता है और आपको Y मान प्राप्त करने की अनुमति देता है। अंतिम चरणयह प्राप्त मूल्यों की जाँच है।

प्रतिस्थापन द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली के उदाहरण को हल करना हमेशा संभव नहीं होता है। समीकरण जटिल हो सकते हैं और चर को दूसरे अज्ञात के रूप में व्यक्त करना आगे की गणना के लिए बहुत बोझिल होगा। जब सिस्टम में 3 से अधिक अज्ञात हों, तो प्रतिस्थापन द्वारा हल करना भी अनुचित है।

रैखिक अमानवीय समीकरणों की एक प्रणाली के उदाहरण का समाधान:

बीजगणितीय जोड़ का उपयोग कर समाधान

जोड़ विधि का उपयोग करके सिस्टम के लिए समाधान खोजते समय, समीकरणों को शब्द दर शब्द जोड़ा जाता है और विभिन्न संख्याओं से गुणा किया जाता है। गणितीय संक्रियाओं का अंतिम लक्ष्य एक चर में एक समीकरण है।

इस पद्धति के अनुप्रयोग के लिए अभ्यास और अवलोकन की आवश्यकता होती है। 3 या अधिक चर होने पर जोड़ विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करना आसान नहीं है। जब समीकरणों में भिन्न और दशमलव हों तो बीजगणितीय जोड़ का उपयोग करना सुविधाजनक होता है।

समाधान एल्गोरिथ्म:

1. समीकरण के दोनों पक्षों को एक निश्चित संख्या से गुणा करें। अंकगणितीय संक्रिया के परिणामस्वरूप, चर का एक गुणांक 1 के बराबर हो जाना चाहिए।
2. परिणामी अभिव्यक्ति को पद दर पद जोड़ें और अज्ञात में से एक खोजें।
3. शेष चर ज्ञात करने के लिए परिणामी मान को सिस्टम के दूसरे समीकरण में रखें।

एक नया चर प्रस्तुत करके समाधान की विधि

यदि सिस्टम को दो से अधिक समीकरणों के लिए समाधान खोजने की आवश्यकता नहीं है तो एक नया चर पेश किया जा सकता है; अज्ञात की संख्या भी दो से अधिक नहीं होनी चाहिए।

इस विधि का उपयोग एक नए चर को प्रस्तुत करके समीकरणों में से एक को सरल बनाने के लिए किया जाता है। प्रस्तुत अज्ञात के लिए नया समीकरण हल किया जाता है, और परिणामी मान का उपयोग मूल चर निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

उदाहरण से पता चलता है कि एक नया चर टी पेश करके, सिस्टम के पहले समीकरण को एक मानक द्विघात ट्रिनोमियल में कम करना संभव था। आप विवेचक ज्ञात करके बहुपद को हल कर सकते हैं।

सुविख्यात सूत्र का उपयोग करके विवेचक का मान ज्ञात करना आवश्यक है: D = b2 - 4*a*c, जहां D वांछित विवेचक है, b, a, c बहुपद के गुणनखंड हैं। दिए गए उदाहरण में, a=1, b=16, c=39, इसलिए D=100। यदि विभेदक शून्य से अधिक है, तो दो समाधान हैं: t = -b±√D / 2*a, यदि विभेदक शून्य से कम है, तो एक समाधान है: x = -b / 2*a।

परिणामी प्रणालियों का समाधान जोड़ विधि द्वारा पाया जाता है।

सिस्टम को हल करने के लिए दृश्य विधि

3 समीकरण प्रणालियों के लिए उपयुक्त। इस विधि में निर्देशांक अक्ष पर सिस्टम में शामिल प्रत्येक समीकरण के ग्राफ़ बनाना शामिल है। वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक तथा होंगे सामान्य निर्णयसिस्टम.

ग्राफ़िकल विधि में कई बारीकियाँ हैं। आइए दृश्यात्मक तरीके से रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के कई उदाहरण देखें।

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, प्रत्येक पंक्ति के लिए दो बिंदुओं का निर्माण किया गया था, चर x के मान मनमाने ढंग से चुने गए थे: 0 और 3. x के मानों के आधार पर, y के मान पाए गए: 3 और 0. निर्देशांक (0, 3) और (3, 0) वाले बिंदुओं को ग्राफ़ पर चिह्नित किया गया और एक रेखा से जोड़ा गया।

दूसरे समीकरण के लिए चरणों को दोहराया जाना चाहिए। रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु सिस्टम का समाधान है।

निम्नलिखित उदाहरण को खोजने की आवश्यकता है ग्राफिक समाधानरैखिक समीकरणों की प्रणाली: 0.5x-y+2=0 और 0.5x-y-1=0.

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है, क्योंकि ग्राफ़ समानांतर हैं और अपनी पूरी लंबाई के साथ प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।

उदाहरण 2 और 3 की प्रणालियाँ समान हैं, लेकिन जब निर्माण किया जाता है तो यह स्पष्ट हो जाता है कि उनके समाधान भिन्न हैं। यह याद रखना चाहिए कि यह कहना हमेशा संभव नहीं होता है कि किसी सिस्टम में समाधान है या नहीं; एक ग्राफ बनाना हमेशा आवश्यक होता है।

मैट्रिक्स और इसकी किस्में

मैट्रिक्स का उपयोग किसके लिए किया जाता है? छोटा लेखरैखिक समीकरणों की प्रणाली. मैट्रिक्स एक तालिका है विशेष प्रकारसंख्याओं से भरा हुआ. n*m में n - पंक्तियाँ और m - कॉलम हैं।

एक मैट्रिक्स वर्गाकार होता है जब स्तंभों और पंक्तियों की संख्या बराबर होती है। मैट्रिक्स-वेक्टर एक कॉलम का मैट्रिक्स है जिसमें पंक्तियों की असीमित संख्या होती है। एक विकर्ण और अन्य शून्य तत्वों वाले मैट्रिक्स को पहचान कहा जाता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स है जिसे गुणा करने पर मूल मैट्रिक्स एक इकाई मैट्रिक्स में बदल जाता है; ऐसा मैट्रिक्स केवल मूल वर्ग मैट्रिक्स के लिए मौजूद होता है।

समीकरणों की प्रणाली को मैट्रिक्स में बदलने के नियम

समीकरणों की प्रणालियों के संबंध में, समीकरणों के गुणांक और मुक्त पदों को मैट्रिक्स संख्याओं के रूप में लिखा जाता है; एक समीकरण मैट्रिक्स की एक पंक्ति है।

एक मैट्रिक्स पंक्ति को गैर-शून्य कहा जाता है यदि पंक्ति का कम से कम एक तत्व शून्य नहीं है। अत: यदि किसी समीकरण में चरों की संख्या भिन्न हो तो लुप्त अज्ञात के स्थान पर शून्य डालना आवश्यक है।

मैट्रिक्स कॉलम सख्ती से चर के अनुरूप होना चाहिए। इसका मतलब यह है कि चर x के गुणांक केवल एक कॉलम में लिखे जा सकते हैं, उदाहरण के लिए पहले, अज्ञात y का गुणांक - केवल दूसरे में।

किसी मैट्रिक्स को गुणा करते समय, मैट्रिक्स के सभी तत्वों को क्रमिक रूप से एक संख्या से गुणा किया जाता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने के लिए विकल्प

व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने का सूत्र काफी सरल है: K -1 = 1 / |K|, जहां K -1 - उलटा मैट्रिक्स, और |के| मैट्रिक्स का निर्धारक है. |के| शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए, तो सिस्टम के पास एक समाधान है।

दो-दो-दो मैट्रिक्स के लिए निर्धारक की गणना आसानी से की जाती है; आपको बस विकर्ण तत्वों को एक-दूसरे से गुणा करना होगा। "तीन बटा तीन" विकल्प के लिए, एक सूत्र है |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + ए 3 बी 2 सी 1। आप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, या आप याद रख सकते हैं कि आपको प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक स्तंभ से एक तत्व लेने की आवश्यकता है ताकि काम में स्तंभों की संख्या और तत्वों की पंक्तियों की पुनरावृत्ति न हो।

मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के उदाहरणों को हल करना

समाधान खोजने की मैट्रिक्स विधि आपको सिस्टम को हल करते समय बोझिल प्रविष्टियों को कम करने की अनुमति देती है बड़ी राशिचर और समीकरण.

उदाहरण में, a nm समीकरणों के गुणांक हैं, मैट्रिक्स एक वेक्टर है x n चर हैं, और b n मुक्त पद हैं।

गॉसियन पद्धति का उपयोग करके सिस्टम को हल करना

में उच्च गणितगॉसियन विधि का अध्ययन क्रैमर विधि के साथ मिलकर किया जाता है, और सिस्टम के समाधान खोजने की प्रक्रिया को गॉस-क्रैमर समाधान विधि कहा जाता है। इन विधियों का उपयोग बड़ी संख्या में रैखिक समीकरणों वाले सिस्टम के चर खोजने के लिए किया जाता है।

गॉस विधि प्रतिस्थापन और बीजगणितीय जोड़ द्वारा समाधान के समान है, लेकिन अधिक व्यवस्थित है। स्कूली पाठ्यक्रम में, गॉसियन विधि द्वारा समाधान का उपयोग 3 और 4 समीकरणों की प्रणालियों के लिए किया जाता है। विधि का उद्देश्य सिस्टम को एक उल्टे ट्रेपेज़ॉइड के रूप में कम करना है। बीजगणितीय परिवर्तनों और प्रतिस्थापनों के माध्यम से, सिस्टम के समीकरणों में से एक चर का मान पाया जाता है। दूसरा समीकरण 2 अज्ञात के साथ एक अभिव्यक्ति है, जबकि 3 और 4 क्रमशः 3 और 4 चर के साथ हैं।

सिस्टम को वर्णित रूप में लाने के बाद, आगे का समाधान सिस्टम के समीकरणों में ज्ञात चर के अनुक्रमिक प्रतिस्थापन तक कम हो जाता है।

ग्रेड 7 के लिए स्कूली पाठ्यपुस्तकों में, गॉस विधि द्वारा समाधान का एक उदाहरण इस प्रकार वर्णित है:

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, चरण (3) पर दो समीकरण प्राप्त हुए: 3x 3 -2x 4 =11 और 3x 3 +2x 4 =7। किसी भी समीकरण को हल करने से आप किसी एक चर x n का पता लगा सकेंगे।

प्रमेय 5, जिसका उल्लेख पाठ में किया गया है, बताता है कि यदि सिस्टम के समीकरणों में से एक को समकक्ष समीकरण से बदल दिया जाता है, तो परिणामी सिस्टम भी मूल के बराबर होगा।

छात्रों के लिए गॉस विधि को समझना कठिन है हाई स्कूल, लेकिन सबसे अधिक में से एक है दिलचस्प तरीकेगणित और भौतिकी कक्षाओं में उन्नत अध्ययन कार्यक्रमों में नामांकित बच्चों की सरलता विकसित करना।

रिकॉर्डिंग में आसानी के लिए, गणनाएँ आमतौर पर निम्नानुसार की जाती हैं:

समीकरणों और मुक्त पदों के गुणांक एक मैट्रिक्स के रूप में लिखे जाते हैं, जहां मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति सिस्टम के समीकरणों में से एक से मेल खाती है। समीकरण के बाएँ पक्ष को दाएँ पक्ष से अलग करता है। रोमन अंक प्रणाली में समीकरणों की संख्या दर्शाते हैं।

सबसे पहले, जिस मैट्रिक्स पर काम करना है उसे लिखें, फिर किसी एक पंक्ति के साथ की गई सभी कार्रवाइयां लिखें। परिणामी मैट्रिक्स को "तीर" चिह्न के बाद लिखा जाता है और परिणाम प्राप्त होने तक आवश्यक बीजगणितीय संचालन जारी रखा जाता है।

नतीजा एक मैट्रिक्स होना चाहिए जिसमें विकर्णों में से एक 1 के बराबर है, और अन्य सभी गुणांक शून्य के बराबर हैं, यानी, मैट्रिक्स एक इकाई रूप में कम हो गया है। हमें समीकरण के दोनों पक्षों की संख्याओं के साथ गणना करना नहीं भूलना चाहिए।

यह रिकॉर्डिंग विधि कम बोझिल है और आपको कई अज्ञात को सूचीबद्ध करके विचलित नहीं होने देती है।

किसी भी समाधान पद्धति के निःशुल्क उपयोग के लिए देखभाल और कुछ अनुभव की आवश्यकता होगी। सभी विधियाँ व्यावहारिक प्रकृति की नहीं होतीं। समाधान खोजने के कुछ तरीके मानव गतिविधि के किसी विशेष क्षेत्र में अधिक बेहतर हैं, जबकि अन्य शैक्षिक उद्देश्यों के लिए मौजूद हैं।