उल्लेखनीय सीमाएँ. समाधान के उदाहरण. दूसरी उल्लेखनीय सीमा: खोज, समस्याओं और विस्तृत समाधानों के उदाहरण

पहली उल्लेखनीय सीमा निम्नलिखित समानता है:

\begin(समीकरण)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(समीकरण)

चूँकि $\alpha\to(0)$ के लिए हमारे पास $\sin\alpha\to(0)$ है, वे कहते हैं कि पहली उल्लेखनीय सीमा $\frac(0)(0)$ के रूप की अनिश्चितता को प्रकट करती है। सामान्यतया, सूत्र (1) में, चर $\alpha$ के बजाय, किसी भी अभिव्यक्ति को साइन चिह्न के नीचे और हर में रखा जा सकता है, जब तक कि दो शर्तें पूरी होती हैं:

1. साइन चिह्न के नीचे और हर में भाव एक साथ शून्य की ओर प्रवृत्त होते हैं, अर्थात। $\frac(0)(0)$ के रूप में अनिश्चितता है।
2. साइन चिह्न के नीचे और हर में भाव समान हैं।

पहली उल्लेखनीय सीमा से प्राप्त परिणामों का भी अक्सर उपयोग किया जाता है:

\begin(समीकरण) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(समीकरण) \begin(समीकरण) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(समीकरण) \begin(समीकरण) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(समीकरण)

इस पृष्ठ पर ग्यारह उदाहरण हल किए गए हैं। उदाहरण संख्या 1 सूत्र (2)-(4) के प्रमाण के लिए समर्पित है। उदाहरण संख्या 2, संख्या 3, संख्या 4 और संख्या 5 में विस्तृत टिप्पणियों के साथ समाधान शामिल हैं। उदाहरण संख्या 6-10 में वस्तुतः कोई टिप्पणी नहीं के साथ समाधान शामिल हैं, क्योंकि पिछले उदाहरणों में विस्तृत स्पष्टीकरण दिए गए थे। समाधान कुछ त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करता है जिन्हें पाया जा सकता है।

मुझे ध्यान दें कि अनिश्चितता $\frac (0) (0)$ के साथ त्रिकोणमितीय कार्यों की उपस्थिति का मतलब पहली उल्लेखनीय सीमा का अनुप्रयोग नहीं है। कभी-कभी सरल त्रिकोणमितीय परिवर्तन पर्याप्त होते हैं - उदाहरण के लिए, देखें।

उदाहरण क्रमांक 1

साबित करो कि $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) चूँकि $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, तो:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

चूँकि $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ और $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , वह:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

बी) आइए परिवर्तन करें $\alpha=\sin(y)$. चूँकि $\sin(0)=0$, तो स्थिति $\alpha\to(0)$ से हमारे पास $y\to(0)$ है। इसके अलावा, शून्य का एक पड़ोस है जिसमें $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, इसलिए:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

समानता $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ सिद्ध हो चुकी है।

ग) चलिए प्रतिस्थापन $\alpha=\tg(y)$ करते हैं। चूँकि $\tg(0)=0$, तो स्थितियाँ $\alpha\to(0)$ और $y\to(0)$ समतुल्य हैं। इसके अलावा, शून्य का एक पड़ोस है जिसमें $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, इसलिए, बिंदु a के परिणामों के आधार पर, हमारे पास होगा:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

समानता $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ सिद्ध हो चुकी है।

समानताएं ए), बी), सी) अक्सर पहली उल्लेखनीय सीमा के साथ उपयोग की जाती हैं।

उदाहरण क्रमांक 2

सीमा की गणना करें $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) ( x+7))$.

चूँकि $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ और $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, यानी। और भिन्न के अंश और हर दोनों एक साथ शून्य की ओर प्रवृत्त होते हैं, तो यहां हम $\frac(0)(0)$ के रूप की अनिश्चितता से निपट रहे हैं, यानी। हो गया। इसके अलावा, यह स्पष्ट है कि साइन साइन के तहत और हर में भाव मेल खाते हैं (यानी, और संतुष्ट हैं):

तो, पृष्ठ की शुरुआत में सूचीबद्ध दोनों शर्तें पूरी हो गई हैं। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि सूत्र लागू है, अर्थात्। $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7) ))=1$.

उत्तर: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

उदाहरण संख्या 3

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$ खोजें।

चूँकि $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ और $\lim_(x\to(0))x=0$, तो हम फॉर्म की अनिश्चितता से निपट रहे हैं $\frac (0 )(0)$, अर्थात्। हो गया। हालाँकि, साइन चिह्न के नीचे और हर में भाव मेल नहीं खाते हैं। यहां आपको हर में व्यंजक को वांछित रूप में समायोजित करने की आवश्यकता है। हमें अभिव्यक्ति $9x$ को हर में रखने की आवश्यकता है, तभी यह सत्य हो जाएगा। अनिवार्य रूप से, हम हर में $9$ का एक कारक खो रहे हैं, जिसे दर्ज करना इतना कठिन नहीं है - बस हर में अभिव्यक्ति को $9$ से गुणा करें। स्वाभाविक रूप से, $9$ से गुणा की क्षतिपूर्ति के लिए, आपको तुरंत $9$ से विभाजित करना होगा:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$

अब हर में और साइन चिह्न के नीचे के भाव मेल खाते हैं। सीमा $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ के लिए दोनों शर्तें संतुष्ट हैं। इसलिए, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. और इसका मतलब यह है कि:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

उत्तर: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

उदाहरण संख्या 4

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$ खोजें।

चूँकि $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ और $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, यहां हम फॉर्म की अनिश्चितता से निपट रहे हैं $\frac(0)(0)$. हालाँकि, पहली उल्लेखनीय सीमा के स्वरूप का उल्लंघन किया गया है। $\sin(5x)$ वाले अंश में $5x$ के हर की आवश्यकता होती है। इस स्थिति में, सबसे आसान तरीका अंश को $5x$ से विभाजित करना और तुरंत $5x$ से गुणा करना है। इसके अलावा, हम हर के साथ एक समान ऑपरेशन करेंगे, $\tg(8x)$ को $8x$ से गुणा और विभाजित करेंगे:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

$x$ को कम करने और स्थिरांक $\frac(5)(8)$ को सीमा चिह्न से बाहर ले जाने पर, हमें मिलता है:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

ध्यान दें कि $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ पहली उल्लेखनीय सीमा के लिए आवश्यकताओं को पूरी तरह से संतुष्ट करता है। $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ खोजने के लिए निम्नलिखित सूत्र लागू है:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

उत्तर: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

उदाहरण क्रमांक 5

$\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$ खोजें।

चूँकि $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (याद रखें कि $\cos(0)=1$) और $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, तो हम $\frac(0)(0)$ के रूप की अनिश्चितता से निपट रहे हैं। हालाँकि, पहली उल्लेखनीय सीमा को लागू करने के लिए, आपको अंश में कोसाइन से छुटकारा पाना चाहिए, साइन पर आगे बढ़ना चाहिए (फिर सूत्र को लागू करने के लिए) या स्पर्शरेखा (फिर सूत्र को लागू करने के लिए)। यह निम्नलिखित परिवर्तन के साथ किया जा सकता है:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

आइए सीमा पर वापस जाएं:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$

अंश $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ पहले से ही पहली उल्लेखनीय सीमा के लिए आवश्यक फॉर्म के करीब है। आइए अंश $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ के साथ थोड़ा काम करें, इसे पहली उल्लेखनीय सीमा तक समायोजित करें (ध्यान दें कि अंश और साइन के नीचे के भाव मेल खाने चाहिए):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$

आइए प्रश्न की सीमा पर वापस लौटें:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2)=25. $$

उत्तर: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

उदाहरण संख्या 6

$\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$ की सीमा ज्ञात कीजिये।

चूँकि $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ और $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, तो हम अनिश्चितता $\frac(0)(0)$ से निपट रहे हैं। आइए इसे पहली उल्लेखनीय सीमा की सहायता से प्रकट करें। ऐसा करने के लिए, आइए कोसाइन से साइन की ओर बढ़ें। चूँकि $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, तो:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

दी गई सीमा में ज्याओं को पार करने पर, हमारे पास होगा:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x) \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

उत्तर: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

उदाहरण संख्या 7

$\alpha\neq के अधीन सीमा $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ की गणना करें \ बीटा$.

विस्तृत स्पष्टीकरण पहले दिए गए थे, लेकिन यहां हम केवल यह ध्यान देते हैं कि फिर से अनिश्चितता $\frac(0)(0)$ है। आइए सूत्र का उपयोग करके कोसाइन से साइन की ओर बढ़ें

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

इस सूत्र का उपयोग करके, हम पाते हैं:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\दाएं| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ पाप\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

उत्तर: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ अल्फ़ा^2)(2)$.

उदाहरण संख्या 8

$\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$ की सीमा ज्ञात कीजिये।

चूँकि $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (याद रखें कि $\sin(0)=\tg(0)=0$) और $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, तो यहां हम $\frac(0)(0)$ के रूप की अनिश्चितता से निपट रहे हैं। आइए इसे इस प्रकार तोड़ें:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1) ) =\frac(1)(2). $$

उत्तर: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

उदाहरण संख्या 9

$\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$ की सीमा ज्ञात कीजिये।

चूँकि $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ और $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, तो $\frac(0)(0)$ के रूप में अनिश्चितता है। इसके विस्तार के लिए आगे बढ़ने से पहले, वेरिएबल में इस तरह से बदलाव करना सुविधाजनक है कि नया वेरिएबल शून्य हो जाए (ध्यान दें कि सूत्रों में वेरिएबल $\alpha \to 0$ है)। सबसे आसान तरीका वेरिएबल $t=x-3$ का परिचय देना है। हालाँकि, आगे के परिवर्तनों की सुविधा के लिए (यह लाभ नीचे दिए गए समाधान के दौरान देखा जा सकता है), निम्नलिखित प्रतिस्थापन करना उचित है: $t=\frac(x-3)(2)$. मैं ध्यान देता हूं कि इस मामले में दोनों प्रतिस्थापन लागू हैं, बात बस इतनी है कि दूसरा प्रतिस्थापन आपको भिन्नों के साथ कम काम करने की अनुमति देगा। चूँकि $x\to(3)$, तो $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\दाएं| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

उत्तर: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

उदाहरण संख्या 10

सीमा ज्ञात कीजिए $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2 )$.

एक बार फिर हम अनिश्चितता $\frac(0)(0)$ से निपट रहे हैं। इसके विस्तार के लिए आगे बढ़ने से पहले, वेरिएबल में इस तरह से बदलाव करना सुविधाजनक है कि नया वेरिएबल शून्य हो जाए (ध्यान दें कि सूत्रों में वेरिएबल $\alpha\to(0)$ है)। सबसे आसान तरीका वेरिएबल $t=\frac(\pi)(2)-x$ का परिचय देना है। चूँकि $x\to\frac(\pi)(2)$, तो $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\left|\frac(0)(0)\right| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2) ) =\frac(1)(2). $$

उत्तर: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

उदाहरण क्रमांक 11

सीमाएँ ज्ञात कीजिए $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

इस मामले में हमें पहली अद्भुत सीमा का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है। कृपया ध्यान दें कि पहली और दूसरी दोनों सीमाओं में केवल त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन और संख्याएँ शामिल हैं। अक्सर इस प्रकार के उदाहरणों में सीमा चिह्न के नीचे स्थित अभिव्यक्ति को सरल बनाना संभव होता है। इसके अलावा, उपरोक्त सरलीकरण और कुछ कारकों में कमी के बाद, अनिश्चितता गायब हो जाती है। मैंने यह उदाहरण केवल एक ही उद्देश्य के लिए दिया है: यह दिखाने के लिए कि सीमा चिह्न के तहत त्रिकोणमितीय कार्यों की उपस्थिति का मतलब पहली उल्लेखनीय सीमा का उपयोग नहीं है।

चूँकि $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (याद रखें कि $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) और $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (मैं आपको याद दिला दूं कि $\cos\frac(\pi)(2)=0$), तो हमारे पास है $\frac(0)(0)$ फॉर्म की अनिश्चितता से निपटना। हालाँकि, इसका मतलब यह नहीं है कि हमें पहली अद्भुत सीमा का उपयोग करने की आवश्यकता होगी। अनिश्चितता को प्रकट करने के लिए, यह ध्यान में रखना पर्याप्त है कि $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

डेमिडोविच की समाधान पुस्तिका (नंबर 475) में एक समान समाधान है। जहां तक ​​दूसरी सीमा का सवाल है, इस खंड में पिछले उदाहरणों की तरह, हमारे पास $\frac(0)(0)$ के रूप में अनिश्चितता है। यह क्यों उत्पन्न होता है? यह इसलिए उत्पन्न होता है क्योंकि $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ और $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. हम इन मानों का उपयोग अंश और हर में भावों को बदलने के लिए करते हैं। हमारे कार्यों का लक्ष्य अंश और हर में योग को गुणनफल के रूप में लिखना है। वैसे, अक्सर एक समान प्रकार के भीतर एक वेरिएबल को बदलना सुविधाजनक होता है, जिसे इस तरह से बनाया जाता है कि नया वेरिएबल शून्य हो जाता है (उदाहरण के लिए, इस पृष्ठ पर उदाहरण संख्या 9 या नंबर 10 देखें)। हालाँकि, इस उदाहरण में प्रतिस्थापित करने का कोई मतलब नहीं है, हालाँकि यदि वांछित है, तो वेरिएबल $t=x-\frac(2\pi)(3)$ को प्रतिस्थापित करना लागू करना मुश्किल नहीं है।

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin) \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3) ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ पाप\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3) ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमें पहली अद्भुत सीमा लागू करने की आवश्यकता नहीं थी। बेशक, यदि आप चाहें तो ऐसा कर सकते हैं (नीचे नोट देखें), लेकिन यह आवश्यक नहीं है।

पहली उल्लेखनीय सीमा का उपयोग करके समाधान क्या है? छिपा हुया दिखाओ

पहली उल्लेखनीय सीमा का उपयोग करते हुए हमें यह मिलता है:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ दाएं))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

उत्तर: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.

उपरोक्त लेख से आप पता लगा सकते हैं कि इसकी सीमा क्या है और इसे किसके साथ खाया जाता है - यह बहुत महत्वपूर्ण है। क्यों? हो सकता है कि आप यह न समझें कि निर्धारक क्या हैं और उन्हें सफलतापूर्वक हल कर लें; हो सकता है कि आप यह बिल्कुल न समझें कि व्युत्पन्न क्या है और उन्हें "ए" के साथ खोजें। लेकिन अगर आप यह नहीं समझेंगे कि सीमा क्या है, तो व्यावहारिक कार्यों को हल करना मुश्किल होगा। नमूना समाधानों और मेरी डिज़ाइन अनुशंसाओं से स्वयं को परिचित करना भी एक अच्छा विचार होगा। सभी जानकारी सरल और सुलभ रूप में प्रस्तुत की गई है।

और इस पाठ के प्रयोजनों के लिए हमें निम्नलिखित शिक्षण सामग्री की आवश्यकता होगी: अद्भुत सीमाएँऔर त्रिकोणमितीय सूत्र. वे पृष्ठ पर पाए जा सकते हैं. मैनुअल को प्रिंट करना सबसे अच्छा है - यह अधिक सुविधाजनक है, और इसके अलावा, आपको अक्सर उन्हें ऑफ़लाइन देखना होगा।

उल्लेखनीय सीमाओं के बारे में ऐसा क्या खास है? इन सीमाओं के बारे में उल्लेखनीय बात यह है कि इन्हें प्रसिद्ध गणितज्ञों के महान दिमागों द्वारा सिद्ध किया गया था, और आभारी वंशजों को त्रिकोणमितीय कार्यों, लघुगणक, शक्तियों के ढेर के साथ भयानक सीमाओं से पीड़ित नहीं होना पड़ता है। अर्थात्, सीमाएँ ज्ञात करते समय, हम तैयार किए गए परिणामों का उपयोग करेंगे जो सैद्धांतिक रूप से सिद्ध हो चुके हैं।

कई अद्भुत सीमाएँ हैं, लेकिन व्यवहार में, 95% मामलों में, अंशकालिक छात्रों के पास दो अद्भुत सीमाएँ हैं: पहली अद्भुत सीमा, दूसरी अद्भुत सीमा. यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि ये ऐतिहासिक रूप से स्थापित नाम हैं, और जब, उदाहरण के लिए, वे "पहली उल्लेखनीय सीमा" के बारे में बात करते हैं, तो उनका मतलब एक बहुत ही विशिष्ट चीज़ से होता है, न कि छत से ली गई कुछ यादृच्छिक सीमा से।

पहली अद्भुत सीमा

निम्नलिखित सीमा पर विचार करें: (मूल अक्षर "वह" के बजाय मैं ग्रीक अक्षर "अल्फा" का उपयोग करूंगा, यह सामग्री प्रस्तुत करने के दृष्टिकोण से अधिक सुविधाजनक है)।

सीमाएं खोजने के हमारे नियम के अनुसार (लेख देखें)। सीमाएँ. समाधान के उदाहरण) हम फ़ंक्शन में शून्य को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं: अंश में हमें शून्य मिलता है (शून्य की ज्या शून्य है), और हर में, जाहिर है, शून्य भी है। इस प्रकार, हमें फॉर्म की अनिश्चितता का सामना करना पड़ता है, जिसे सौभाग्य से प्रकट करने की आवश्यकता नहीं है। गणितीय विश्लेषण के क्रम में यह सिद्ध होता है कि:

इस गणितीय तथ्य को कहा जाता है पहली अद्भुत सीमा. मैं सीमा का विश्लेषणात्मक प्रमाण नहीं दूंगा, लेकिन हम इसके बारे में पाठ में इसके ज्यामितीय अर्थ को देखेंगे अतिसूक्ष्म कार्य.

अक्सर व्यावहारिक कार्यों में कार्यों को अलग ढंग से व्यवस्थित किया जा सकता है, इससे कुछ भी नहीं बदलता है:

- वही पहली अद्भुत सीमा।

लेकिन आप अंश और हर को स्वयं पुनर्व्यवस्थित नहीं कर सकते! यदि प्रपत्र में कोई सीमा दी गई है तो उसे बिना कुछ पुनर्व्यवस्थित किए उसी रूप में हल करना होगा।

व्यवहार में, न केवल एक चर, बल्कि एक प्राथमिक फ़ंक्शन या एक जटिल फ़ंक्शन भी एक पैरामीटर के रूप में कार्य कर सकता है। एकमात्र महत्वपूर्ण बात यह है कि यह शून्य हो जाता है.

उदाहरण:
, , ,

यहाँ , , , , और सब कुछ अच्छा है - पहली अद्भुत सीमा लागू है।

लेकिन निम्नलिखित प्रविष्टि विधर्म है:

क्यों? चूँकि बहुपद शून्य की ओर प्रवृत्त नहीं होता, यह पाँच की ओर प्रवृत्त होता है।

वैसे, एक त्वरित प्रश्न: सीमा क्या है? ? उत्तर पाठ के अंत में पाया जा सकता है।

व्यवहार में, सब कुछ इतना सहज नहीं है; लगभग कभी भी किसी छात्र को निःशुल्क सीमा को हल करने और आसान पास प्राप्त करने की पेशकश नहीं की जाती है। हम्म्म... मैं ये पंक्तियाँ लिख रहा हूँ, और एक बहुत ही महत्वपूर्ण विचार मन में आया - आखिरकार, "मुक्त" गणितीय परिभाषाओं और सूत्रों को दिल से याद रखना बेहतर है, इससे परीक्षा में अमूल्य मदद मिल सकती है, जब प्रश्न आएगा "दो" और "तीन" के बीच निर्णय लिया जाता है, और शिक्षक छात्र से कुछ सरल प्रश्न पूछने या एक सरल उदाहरण को हल करने की पेशकश करने का निर्णय लेता है ("शायद वह अभी भी जानता है क्या?")।

आइए व्यावहारिक उदाहरणों पर विचार करें:

उदाहरण 1

सीमा ज्ञात करें

यदि हम सीमा में कोई साइन देखते हैं, तो इससे हमें तुरंत पहली उल्लेखनीय सीमा लागू करने की संभावना के बारे में सोचना चाहिए।

सबसे पहले, हम सीमा चिह्न के तहत अभिव्यक्ति में 0 को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं (हम इसे मानसिक रूप से या ड्राफ्ट में करते हैं):

इसलिए हमारे पास फॉर्म की अनिश्चितता है इंगित करना सुनिश्चित करेंनिर्णय लेने में. सीमा चिन्ह के नीचे की अभिव्यक्ति पहली अद्भुत सीमा के समान है, लेकिन यह वास्तव में नहीं है, यह साइन के नीचे है, लेकिन हर में है।

ऐसे मामलों में, हमें कृत्रिम तकनीक का उपयोग करके पहली उल्लेखनीय सीमा को स्वयं व्यवस्थित करने की आवश्यकता है। तर्क की पंक्ति इस प्रकार हो सकती है: "हमारे पास साइन के तहत, जिसका अर्थ है कि हमें हर में भी आने की आवश्यकता है।"
और यह बहुत सरलता से किया जाता है:

अर्थात्, इस मामले में हर को कृत्रिम रूप से 7 से गुणा किया जाता है और उसी सात से विभाजित किया जाता है। अब हमारी रिकॉर्डिंग ने एक परिचित आकार ले लिया है.
जब कार्य हाथ से तैयार किया जाता है, तो पहली उल्लेखनीय सीमा को एक साधारण पेंसिल से चिह्नित करने की सलाह दी जाती है:

क्या हुआ? वास्तव में, हमारी गोलाकार अभिव्यक्ति एक इकाई में बदल गई और कार्य में गायब हो गई:

अब जो कुछ बचा है वह तीन मंजिला अंश से छुटकारा पाना है:

जो लोग बहु-स्तरीय भिन्नों के सरलीकरण को भूल गए हैं, कृपया संदर्भ पुस्तक में सामग्री को ताज़ा करें स्कूली गणित पाठ्यक्रम के लिए हॉट सूत्र .

तैयार। अंतिम उत्तर:

यदि आप पेंसिल के निशान का उपयोग नहीं करना चाहते हैं तो समाधान इस प्रकार लिखा जा सकता है:

“

आइए पहली अद्भुत सीमा का उपयोग करें

“

उदाहरण 2

सीमा ज्ञात करें

पुनः हम सीमा में एक भिन्न और एक ज्या देखते हैं। आइए अंश और हर में शून्य प्रतिस्थापित करने का प्रयास करें:

वास्तव में, हमारे पास अनिश्चितता है और इसलिए, हमें पहली अद्भुत सीमा को व्यवस्थित करने का प्रयास करने की आवश्यकता है। सबक पर सीमाएँ. समाधान के उदाहरणहमने इस नियम पर विचार किया कि जब हमारे पास अनिश्चितता होती है, तो हमें अंश और हर को गुणनखंडित करने की आवश्यकता होती है। यहाँ भी वही बात है, हम डिग्रियों को एक उत्पाद (गुणक) के रूप में प्रस्तुत करेंगे:

पिछले उदाहरण के समान, हम उल्लेखनीय सीमाओं (यहाँ उनमें से दो हैं) के चारों ओर एक पेंसिल खींचते हैं, और इंगित करते हैं कि वे एकता की ओर प्रवृत्त हैं:

दरअसल, उत्तर तैयार है:

निम्नलिखित उदाहरणों में, मैं पेंट में कला नहीं करूंगा, मैं सोचता हूं कि नोटबुक में समाधान को सही ढंग से कैसे तैयार किया जाए - आप पहले से ही समझते हैं।

उदाहरण 3

सीमा ज्ञात करें

हम सीमा चिह्न के अंतर्गत अभिव्यक्ति में शून्य प्रतिस्थापित करते हैं:

एक अनिश्चितता प्राप्त हुई है जिसका खुलासा करना आवश्यक है। यदि सीमा में कोई स्पर्शरेखा है, तो इसे प्रसिद्ध त्रिकोणमितीय सूत्र का उपयोग करके लगभग हमेशा साइन और कोसाइन में परिवर्तित किया जाता है (वैसे, वे कोटैंजेंट के साथ लगभग एक ही काम करते हैं, पद्धति संबंधी सामग्री देखें) गरम त्रिकोणमितीय सूत्रपेज पर गणितीय सूत्र, तालिकाएँ और संदर्भ सामग्री).

इस मामले में:

शून्य की कोज्या एक के बराबर होती है, और इससे छुटकारा पाना आसान है (यह चिह्नित करना न भूलें कि यह एक की ओर प्रवृत्त होती है):

इस प्रकार, यदि सीमा में कोसाइन एक गुणक है, तो, मोटे तौर पर बोलते हुए, इसे एक इकाई में बदलना होगा, जो उत्पाद में गायब हो जाता है।

यहां सब कुछ बिना किसी गुणा-भाग के सरल हो गया। पहली उल्लेखनीय सीमा भी एक में बदल जाती है और उत्पाद में गायब हो जाती है:

परिणामस्वरूप अनंत की प्राप्ति होती है और ऐसा होता है।

उदाहरण 4

सीमा ज्ञात करें

आइए अंश और हर में शून्य प्रतिस्थापित करने का प्रयास करें:

अनिश्चितता प्राप्त होती है (शून्य की कोज्या, जैसा कि हमें याद है, एक के बराबर है)

हम त्रिकोणमितीय सूत्र का उपयोग करते हैं। नोट करें! किसी कारण से, इस सूत्र का उपयोग करने वाली सीमाएँ बहुत सामान्य हैं।

आइए स्थिर कारकों को सीमा आइकन से आगे ले जाएं:

आइए पहली अद्भुत सीमा व्यवस्थित करें:

यहां हमारे पास केवल एक उल्लेखनीय सीमा है, जो एक में बदल जाती है और उत्पाद में गायब हो जाती है:

आइए तीन मंजिला संरचना से छुटकारा पाएं:

सीमा वास्तव में हल हो गई है, हम इंगित करते हैं कि शेष ज्या शून्य की ओर प्रवृत्त होती है:

उदाहरण 5

सीमा ज्ञात करें

यह उदाहरण अधिक जटिल है, इसे स्वयं समझने का प्रयास करें:

एक वेरिएबल को बदलकर कुछ सीमाओं को पहली उल्लेखनीय सीमा तक कम किया जा सकता है, आप इसके बारे में लेख में थोड़ी देर बाद पढ़ सकते हैं सीमाएँ हल करने की विधियाँ.

दूसरी अद्भुत सीमा

गणितीय विश्लेषण के सिद्धांत में यह सिद्ध हो चुका है कि:

इस तथ्य को कहा जाता है दूसरी अद्भुत सीमा.

संदर्भ: एक अपरिमेय संख्या है.

पैरामीटर न केवल एक चर हो सकता है, बल्कि एक जटिल फ़ंक्शन भी हो सकता है। एकमात्र महत्वपूर्ण बात यह है कि यह अनंत के लिए प्रयास करता है.

उदाहरण 6

सीमा ज्ञात करें

जब सीमा चिह्न के अंतर्गत अभिव्यक्ति एक डिग्री में होती है, तो यह पहला संकेत है कि आपको दूसरी अद्भुत सीमा लागू करने का प्रयास करने की आवश्यकता है।

लेकिन पहले, हमेशा की तरह, हम अभिव्यक्ति में एक अनंत बड़ी संख्या को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं, जिस सिद्धांत से यह किया जाता है उस पर पाठ में चर्चा की गई है सीमाएँ. समाधान के उदाहरण.

यह नोटिस करना आसान है कि कब डिग्री का आधार है, और प्रतिपादक है , यानी, फॉर्म की अनिश्चितता है:

यह अनिश्चितता दूसरी उल्लेखनीय सीमा की सहायता से सटीक रूप से प्रकट होती है। लेकिन, जैसा कि अक्सर होता है, दूसरी अद्भुत सीमा चांदी की थाली में नहीं होती, और इसे कृत्रिम रूप से व्यवस्थित करने की आवश्यकता होती है। आप इस प्रकार तर्क कर सकते हैं: इस उदाहरण में पैरामीटर है, जिसका अर्थ है कि हमें संकेतक में व्यवस्थित करने की भी आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम आधार को घात तक बढ़ाते हैं, और ताकि अभिव्यक्ति न बदले, हम इसे घात तक बढ़ाते हैं:

जब कार्य हाथ से पूरा हो जाता है, तो हम एक पेंसिल से निशान लगाते हैं:

लगभग सब कुछ तैयार है, भयानक डिग्री एक अच्छे पत्र में बदल गई है:

इस मामले में, हम लिमिट आइकन को ही संकेतक पर ले जाते हैं:

उदाहरण 7

सीमा ज्ञात करें

ध्यान! इस प्रकार की सीमा बहुत बार होती है, कृपया इस उदाहरण का बहुत ध्यानपूर्वक अध्ययन करें।

आइए सीमा चिह्न के अंतर्गत अभिव्यक्ति में एक अनंत बड़ी संख्या को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करें:

परिणाम अनिश्चितता है. लेकिन दूसरी उल्लेखनीय सीमा फॉर्म की अनिश्चितता पर लागू होती है। क्या करें? हमें डिग्री का आधार बदलना होगा. हम इस प्रकार तर्क करते हैं: हर में हमारे पास है, जिसका अर्थ है कि अंश में भी हमें व्यवस्थित करने की आवश्यकता है।

कई उल्लेखनीय सीमाएँ हैं, लेकिन सबसे प्रसिद्ध पहली और दूसरी उल्लेखनीय सीमाएँ हैं। इन सीमाओं के बारे में उल्लेखनीय बात यह है कि इनका व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है और इनकी सहायता से अनेक समस्याओं में सामने आने वाली अन्य सीमाओं का पता लगाया जा सकता है। इस पाठ के व्यावहारिक भाग में हम यही करेंगे। समस्याओं को पहली या दूसरी उल्लेखनीय सीमा तक कम करके हल करने के लिए, उनमें निहित अनिश्चितताओं को प्रकट करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि इन सीमाओं के मान लंबे समय से महान गणितज्ञों द्वारा निकाले गए हैं।

पहली अद्भुत सीमाएक अतिसूक्ष्म चाप की ज्या और उसी चाप के अनुपात की सीमा कहलाती है, जिसे रेडियन माप में व्यक्त किया जाता है:

आइए पहली उल्लेखनीय सीमा पर समस्याओं को हल करने की ओर आगे बढ़ें। ध्यान दें: यदि सीमा चिह्न के नीचे कोई त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन है, तो यह लगभग निश्चित संकेत है कि इस अभिव्यक्ति को पहली उल्लेखनीय सीमा तक कम किया जा सकता है।

उदाहरण 1।सीमा ज्ञात करें.

समाधान। इसके स्थान पर प्रतिस्थापन एक्सशून्य अनिश्चितता की ओर ले जाता है:

.

हर साइन है, इसलिए, अभिव्यक्ति को पहली उल्लेखनीय सीमा तक लाया जा सकता है। आइए परिवर्तन शुरू करें:

.

हर तीन एक्स की ज्या है, लेकिन अंश में केवल एक एक्स है, जिसका मतलब है कि आपको अंश में तीन एक्स प्राप्त करने की आवश्यकता है। किस लिए? परिचय कराना 3 एक्स = एऔर अभिव्यक्ति प्राप्त करें.

और हम पहली उल्लेखनीय सीमा की भिन्नता पर आते हैं:

क्योंकि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि इस सूत्र में X के स्थान पर कौन सा अक्षर (चर) है।

हम X को तीन से गुणा करते हैं और तुरंत विभाजित करते हैं:

.

देखी गई पहली उल्लेखनीय सीमा के अनुसार, हम भिन्नात्मक अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करते हैं:

अब हम अंततः इस सीमा को हल कर सकते हैं:

.

उदाहरण 2.सीमा ज्ञात करें.

समाधान। प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन फिर से "शून्य को शून्य से विभाजित" अनिश्चितता की ओर ले जाता है:

.

पहली उल्लेखनीय सीमा प्राप्त करने के लिए, यह आवश्यक है कि अंश में साइन चिह्न के नीचे x और हर में केवल x का गुणांक समान हो। इस गुणांक को 2 के बराबर होने दें। ऐसा करने के लिए, नीचे दिए गए अनुसार x के लिए वर्तमान गुणांक की कल्पना करें, भिन्नों के साथ संचालन करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

.

उदाहरण 3.सीमा ज्ञात करें.

समाधान। प्रतिस्थापित करते समय, हमें फिर से अनिश्चितता "शून्य को शून्य से विभाजित" मिलती है:

.

आप शायद पहले से ही समझते हैं कि मूल अभिव्यक्ति से आप पहली अद्भुत सीमा को पहली अद्भुत सीमा से गुणा करके प्राप्त कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, हम अंश में x के वर्गों और हर में साइन को समान कारकों में विघटित करते हैं, और x और साइन के लिए समान गुणांक प्राप्त करने के लिए, हम अंश में x को 3 से विभाजित करते हैं और तुरंत गुणा करते हैं 3 से। हमें मिलता है:

.

उदाहरण 4.सीमा ज्ञात करें.

समाधान। एक बार फिर हमें अनिश्चितता "शून्य को शून्य से विभाजित" मिलती है:

.

हम पहली दो उल्लेखनीय सीमाओं का अनुपात प्राप्त कर सकते हैं। हम अंश और हर दोनों को x से विभाजित करते हैं। फिर, ताकि साइन और xes के गुणांक मेल खाएँ, हम ऊपरी x को 2 से गुणा करते हैं और तुरंत 2 से विभाजित करते हैं, और निचले x को 3 से गुणा करते हैं और तुरंत 3 से विभाजित करते हैं। हमें मिलता है:

उदाहरण 5.सीमा ज्ञात करें.

समाधान। और फिर से "शून्य को शून्य से विभाजित करने" की अनिश्चितता:

त्रिकोणमिति से हमें याद है कि स्पर्शरेखा ज्या और कोज्या का अनुपात है, और शून्य की कोज्या एक के बराबर होती है। हम परिवर्तन करते हैं और प्राप्त करते हैं:

.

उदाहरण 6.सीमा ज्ञात करें.

समाधान। किसी सीमा के चिह्न के अंतर्गत त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन फिर से पहली उल्लेखनीय सीमा के उपयोग का सुझाव देता है। हम इसे ज्या से कोज्या के अनुपात के रूप में निरूपित करते हैं।

शब्द "उल्लेखनीय सीमा" का व्यापक रूप से पाठ्यपुस्तकों और शिक्षण सहायक सामग्री में महत्वपूर्ण पहचान को दर्शाने के लिए उपयोग किया जाता है जो महत्वपूर्ण रूप से मदद करते हैं अपना काम सरल करेंसीमाएं खोजने पर.

लेकिन के लिए लाने में सक्षम होआपकी सीमा उल्लेखनीय है, आपको इस पर अच्छी तरह से गौर करने की आवश्यकता है, क्योंकि वे प्रत्यक्ष रूप में नहीं पाए जाते हैं, बल्कि अक्सर अतिरिक्त नियमों और कारकों से सुसज्जित परिणामों के रूप में पाए जाते हैं। हालाँकि, पहले सिद्धांत, फिर उदाहरण, और आप सफल होंगे!

पहली अद्भुत सीमा

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पहली उल्लेखनीय सीमा इस प्रकार लिखी गई है (फॉर्म $0/0$ की अनिश्चितता):

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin x)(x)=1. $$

पहली उल्लेखनीय सीमा से परिणाम

उदाहरण समाधान: 1 अद्भुत सीमा

उदाहरण 1। सीमा की गणना करें $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x).$$

समाधान।पहला चरण हमेशा समान होता है - हम सीमा मान $x=0$ को फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

$$\left[ \frac(\sin 0)(0) \right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

हमें $\left[\frac(0)(0)\right]$ फॉर्म की अनिश्चितता प्राप्त हुई है, जिसका खुलासा किया जाना चाहिए। यदि आप बारीकी से देखें, तो मूल सीमा पहली उल्लेखनीय सीमा के समान है, लेकिन समान नहीं है। हमारा काम इसे समानता में लाना है.' आइए इसे इस तरह रूपांतरित करें - साइन के नीचे अभिव्यक्ति को देखें, हर में भी ऐसा ही करें (अपेक्षाकृत बोलते हुए, $3x$ से गुणा और भाग करें), फिर कम करें और सरल करें:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(3x)\frac(3x)(8x )=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x)\frac(3)(8)=\frac(3)(8). $$

ऊपर बिल्कुल पहली उल्लेखनीय सीमा है: $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x) = \lim\limits_(y\to 0)\frac(\sin ( y) ))(y)=1, \text( ने एक सशर्त प्रतिस्थापन किया) y=3x। $$ उत्तर: $3/8$.

उदाहरण 2. सीमा की गणना करें $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x).$$

समाधान।हम फ़ंक्शन में सीमा मान $x=0$ प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

$$\left[ \frac(1-\cos 0)(\tan 0\cdot \sin 0)\right] =\left[ \frac(1-1)( 0\cdot 0)\right] = \left [\frac(0)(0)\right].$$

हमें $\left[\frac(0)(0)\right]$ के रूप में एक अनिश्चितता प्राप्त हुई। आइए सरलीकरण में पहली अद्भुत सीमा (तीन बार!) का उपयोग करके सीमा को रूपांतरित करें:

$$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac( 2 \sin^2 (3x/2))(\sin 2x\cdot \sin 4x)\cdot \cos 2x = $$ $$ = 2\lim\limits_(x\to 0)\frac( \sin^2 (3x/2) )((3x/2)^2) \cdot \frac( 2x)(\sin 2x) \cdot \frac( 4x)( \sin 4x)\cdot \frac( (3x/2)^2)( 2x \ cdot 4x) \cdot \cos 2x = $$ $$ =2\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac( (9/4)x^2)( 8x^2 ) \cdot \cos 2x= 2 \cdot \frac( 9)( 32) \lim\limits_(x\to 0) \cos 2x=\frac(9)(16). $$

उत्तर: $9/16$.

उदाहरण 3. सीमा ज्ञात कीजिए $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5).$$

समाधान।यदि त्रिकोणमितीय फलन के अंतर्गत कोई जटिल अभिव्यक्ति हो तो क्या होगा? इससे कोई फर्क नहीं पड़ता, और यहां हम उसी तरह से कार्य करते हैं। सबसे पहले, आइए अनिश्चितता के प्रकार की जाँच करें, फ़ंक्शन में $x=0$ स्थानापन्न करें और प्राप्त करें:

$$\left[ \frac(\sin (0+0))(0-0)\right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

हमें $\left[\frac(0)(0)\right]$ के रूप में एक अनिश्चितता प्राप्त हुई। $2x^3+3x$ से गुणा और भाग करें:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x) ^3+3x))((2x^3+3x)) \cdot \frac(2x^3+3x)(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot \frac( 2x^3+3x)(5x-x^5)= \left[\frac(0)(0)\right] = $$

हमें फिर से अनिश्चितता मिली, लेकिन इस मामले में यह सिर्फ एक अंश है। आइए अंश और हर को $x$ से कम करें:

$$ =\lim\limits_(x\to 0) \frac(2x^2+3)(5-x^4)= \left[\frac(0+3)(5-0)\right] =\ फ़्रेक(3)(5). $$

उत्तर: $3/5$.

दूसरी अद्भुत सीमा

दूसरी उल्लेखनीय सीमा इस प्रकार लिखी गई है (फॉर्म $1^\infty$ की अनिश्चितता):

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(1)(x)\right)^(x)=e, \quad \text(or) \quad \lim\limits_( x\to 0) \left(1+x\right)^(1/x)=e. $$

दूसरी उल्लेखनीय सीमा के परिणाम

समाधान के उदाहरण: 2 अद्भुत सीमाएँ

उदाहरण 4. सीमा ज्ञात कीजिए $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3).$$

समाधान।आइए अनिश्चितता के प्रकार की जाँच करें, फ़ंक्शन में $x=\infty$ स्थानापन्न करें और प्राप्त करें:

$$\left[ \left(1-\frac(2)(\infty)\right)^(\infty) \right] = \left.$$

हमें $\left$ के रूप में एक अनिश्चितता प्राप्त हुई। दूसरी उल्लेखनीय बात तक सीमा को कम किया जा सकता है। आइए परिवर्तन करें:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) = \lim\limits_(x\to \infty)\left( 1+\frac(1)((-3x/2))\right)^(\frac(-3x/2)(-3x/2)(x+3))= $$ $$ = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\left(1+\frac(1)((-3x/2))\right)^((-3x/2))\right)^\frac(x+3 )(-3x/2)= $$

कोष्ठक में अभिव्यक्ति वास्तव में दूसरी उल्लेखनीय सीमा है $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, केवल $t= - 3x/2$, तो

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^\frac(x+3)(-3x/2)= \lim\limits_(x\to \infty)e^\ frac(1+3/x)(-3/2)=e^(-2/3). $$

उत्तर:$e^(-2/3)$.

उदाहरण 5. सीमा ज्ञात कीजिए $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x).$ $

समाधान।हम फ़ंक्शन में $x=\infty$ को प्रतिस्थापित करते हैं और $\left[ \frac(\infty)(\infty)\right]$ फॉर्म की अनिश्चितता प्राप्त करते हैं। और हमें $\left$ की आवश्यकता है। तो आइए अभिव्यक्ति को कोष्ठक में रूपांतरित करके प्रारंभ करें:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x) = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\frac(x^3+(x-7)-(x-7)+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x ) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac((x^3+x-7)+(-x+7+2x^2+1))(x^3+x-7 )\दाएं)^(x) = $$ $$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7) \दाएं)^(x) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)\right) ^(\frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8))\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)) = $$

कोष्ठक में अभिव्यक्ति वास्तव में दूसरी उल्लेखनीय सीमा है $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, केवल $t= \ frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8) \to \infty$, इसलिए

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7))= \lim\limits_ (x\to \infty)e^( \frac(2x^2-x+8)(x^2+1-7/x))= \lim\limits_(x\to \infty)e^( \frac (2-1/x+8/x^2)(1+1/x^2-7/x^3))=e^(2). $$

पहली उल्लेखनीय सीमा का उपयोग अक्सर साइन, आर्कसाइन, टेंगेंट, आर्कटेंजेंट और शून्य से विभाजित शून्य की परिणामी अनिश्चितताओं वाली सीमाओं की गणना करने के लिए किया जाता है।

FORMULA

पहली उल्लेखनीय सीमा का सूत्र है: $$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin\alpha)(\alpha) = 1 $$

हम ध्यान दें कि $ \alpha\to 0 $ के लिए हमें $ \sin\alpha \to 0 $ मिलता है, इस प्रकार हमारे पास अंश और हर में शून्य हैं। इस प्रकार, अनिश्चितताओं को प्रकट करने के लिए पहली उल्लेखनीय सीमा के सूत्र की आवश्यकता है $\frac(0)(0) $.

सूत्र को लागू करने के लिए, दो शर्तों को पूरा करना होगा:

1. भिन्न के ज्या और हर में निहित भाव समान हैं
2. किसी भिन्न की ज्या और हर में व्यंजक शून्य की ओर प्रवृत्त होते हैं

ध्यान! $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(2x^2+1))(2x^2+1) \neq 1 $ यद्यपि साइन के नीचे और हर में भाव समान हैं, तथापि $ 2x ^2+1 = 1 $, $ x\से 0 $ के लिए। दूसरी शर्त पूरी नहीं हुई है, इसलिए आप फॉर्मूला लागू नहीं कर सकते!

नतीजे

कार्यों में बहुत कम ही आप शुद्ध पहली अद्भुत सीमा देख पाते हैं, जिसमें आप तुरंत उत्तर लिख सकते हैं। व्यवहार में, सब कुछ थोड़ा अधिक जटिल लगता है, लेकिन ऐसे मामलों के लिए पहली उल्लेखनीय सीमा के परिणामों को जानना उपयोगी होगा। उनके लिए धन्यवाद, आप आवश्यक सीमाओं की तुरंत गणना कर सकते हैं।

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\alpha)(\sin\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin(a\alpha))(\sin(b\alpha)) = \frac(a)(b) $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(tg\alpha)(\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\arcsin\alpha)(\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(arctg\alpha)(\alpha) = 1 $$

समाधान के उदाहरण

आइए पहली उल्लेखनीय सीमा पर विचार करें, त्रिकोणमितीय कार्यों और अनिश्चितता वाली सीमाओं की गणना के लिए इसके समाधान के उदाहरण $ \bigg[\frac(0)(0)\bigg] $

लेख: "पहली उल्लेखनीय सीमा, समाधान के उदाहरण" उन मामलों के बारे में बात करता है जिनमें इस सूत्र और इसके परिणामों का उपयोग करने की सलाह दी जाती है।