उचित भिन्न 1. उचित भिन्न क्या है? उचित और अनुचित भिन्न: नियम

सभी विज्ञानों की रानी - गणित का अध्ययन करते समय, किसी न किसी बिंदु पर हर किसी का सामना भिन्नों से होता है। हालाँकि यह अवधारणा (जैसे स्वयं भिन्नों के प्रकार या उनके साथ गणितीय संक्रियाएँ) बिल्कुल भी जटिल नहीं है, इसे सावधानी से व्यवहार किया जाना चाहिए, क्योंकि वास्तविक जीवनयह स्कूल के बाहर बहुत उपयोगी होगा. तो, आइए भिन्नों के बारे में अपने ज्ञान को ताज़ा करें: वे क्या हैं, वे किस लिए हैं, वे किस प्रकार के हैं और उनके साथ विभिन्न अंकगणितीय ऑपरेशन कैसे करें।

महामहिम अंश: यह क्या है

गणित में, भिन्न संख्याएँ होती हैं, जिनमें से प्रत्येक में एक इकाई के एक या अधिक भाग होते हैं। ऐसे भिन्नों को साधारण या सरल भी कहा जाता है। एक नियम के रूप में, उन्हें दो संख्याओं के रूप में लिखा जाता है जो एक क्षैतिज या स्लैश रेखा से अलग होती हैं, इसे "फ्रैक्शनल" रेखा कहा जाता है। उदाहरण के लिए: ½, ¾.

इन संख्याओं में ऊपरी, या पहला, अंश है (यह दर्शाता है कि संख्या से कितने भाग लिए गए हैं), और निचला, या दूसरा, हर है (यह दर्शाता है कि इकाई को कितने भागों में विभाजित किया गया है)।

भिन्न पट्टी वास्तव में विभाजन चिह्न के रूप में कार्य करती है। उदाहरण के लिए, 7:9=7/9

परंपरागत रूप से, सामान्य भिन्न एक से कम होते हैं। जबकि दशमलव इससे बड़ा हो सकता है.

भिन्न किस लिए हैं? हाँ, हर चीज़ के लिए, क्योंकि वास्तविक दुनिया में, सभी संख्याएँ पूर्णांक नहीं होती हैं। उदाहरण के लिए, कैफेटेरिया में दो स्कूली छात्राओं ने मिलकर एक स्वादिष्ट चॉकलेट बार खरीदा। जब वे मिठाई बाँटने वाले थे, तो उनकी मुलाकात एक दोस्त से हुई और उन्होंने उसे भी मिठाई खिलाने का फैसला किया। हालाँकि, अब चॉकलेट बार को सही ढंग से विभाजित करना आवश्यक है, यह देखते हुए कि इसमें 12 वर्ग हैं।

सबसे पहले, लड़कियाँ सब कुछ समान रूप से विभाजित करना चाहती थीं, और फिर प्रत्येक को चार टुकड़े मिलते थे। लेकिन, इस पर विचार करने के बाद, उन्होंने अपने दोस्त को चॉकलेट का 1/3 नहीं, बल्कि 1/4 हिस्सा देने का फैसला किया। और चूंकि स्कूली छात्राओं ने भिन्नों का अच्छी तरह से अध्ययन नहीं किया, इसलिए उन्होंने इस बात पर ध्यान नहीं दिया कि ऐसी स्थिति में उनके पास 9 टुकड़े रह जाएंगे, जिन्हें दो में विभाजित करना बहुत मुश्किल है। यह काफी सरल उदाहरण दिखाता है कि किसी संख्या का एक भाग सही ढंग से ढूंढने में सक्षम होना कितना महत्वपूर्ण है। लेकिन जीवन में इसी तरह के मामलेबहुत अधिक।

भिन्नों के प्रकार: साधारण और दशमलव

सभी गणितीय भिन्नों को दो बड़ी श्रेणियों में विभाजित किया गया है: साधारण और दशमलव। उनमें से पहले की विशेषताओं का वर्णन पिछले पैराग्राफ में किया गया था, इसलिए अब दूसरे पर ध्यान देना उचित है।

दशमलव किसी संख्या के अंश का एक स्थितिगत अंकन है, जिसे बिना किसी डैश या स्लैश के, अल्पविराम से अलग करके लिखा जाता है। उदाहरण के लिए: 0.75, 0.5.

वास्तव में, एक दशमलव भिन्न एक साधारण भिन्न के समान होता है, हालाँकि, इसका हर हमेशा एक होता है और उसके बाद शून्य होता है - इसलिए इसका नाम।

अल्पविराम से पहले की संख्या एक पूर्णांक भाग है, और उसके बाद की सभी संख्या एक भिन्न है। मुझे इससे प्यार है साधारण अंशदशमलव में बदला जा सकता है. तो, पिछले उदाहरण में दर्शाया गया है दशमलवहमेशा की तरह लिखा जा सकता है: ¾ और ½।

यह ध्यान देने योग्य है कि दशमलव और साधारण भिन्न दोनों ही धनात्मक या ऋणात्मक हो सकते हैं। यदि उनके पहले "-" चिह्न है, तो यह भिन्न ऋणात्मक है, यदि "+" एक धनात्मक भिन्न है।

साधारण भिन्नों के उपप्रकार

इस प्रकार के सरल भिन्न होते हैं।

दशमलव भिन्न के उपप्रकार

एक साधारण भिन्न के विपरीत, एक दशमलव भिन्न को केवल 2 प्रकारों में विभाजित किया जाता है।

अंतिम - यह नाम इस तथ्य के कारण प्राप्त हुआ कि दशमलव बिंदु के बाद इसमें अंकों की एक सीमित (सीमित) संख्या होती है: 19.25।
अनंत भिन्न वह संख्या है जिसमें दशमलव बिंदु के बाद अंकों की अनंत संख्या होती है। उदाहरण के लिए, 10 को 3 से विभाजित करने पर, परिणाम एक अनंत भिन्न 3.333 होगा...

भिन्न जोड़ना

भिन्नों के साथ विभिन्न अंकगणितीय जोड़-तोड़ करना सामान्य संख्याओं की तुलना में थोड़ा अधिक कठिन है। हालाँकि, यदि आप बुनियादी नियमों को समझते हैं, तो उनके साथ किसी भी उदाहरण को हल करना मुश्किल नहीं होगा।

उदाहरण के लिए: 2/3+3/4. उनके लिए लघुत्तम समापवर्तक 12 होगा, इसलिए यह आवश्यक है कि यह संख्या प्रत्येक हर में हो। ऐसा करने के लिए, हम पहले अंश के अंश और हर को 4 से गुणा करते हैं, यह 8/12 निकलता है, हम दूसरे पद के साथ भी ऐसा ही करते हैं, लेकिन केवल 3 - 9/12 से गुणा करते हैं। अब आप उदाहरण को आसानी से हल कर सकते हैं: 8/12+9/12= 17/12। परिणामी भिन्न एक गलत इकाई है क्योंकि अंश हर से बड़ा है। इसे 17:12 = 1 और 5/12 से विभाजित करके सही मिश्रित में परिवर्तित किया जा सकता है और किया जाना चाहिए।

जब मिश्रित भिन्नों को जोड़ा जाता है, तो संचालन पहले पूर्ण संख्याओं के साथ किया जाता है, और फिर भिन्नों के साथ किया जाता है।

यदि उदाहरण में एक दशमलव भिन्न और एक नियमित भिन्न है, तो दोनों को सरल बनाना आवश्यक है, फिर उन्हें एक ही हर में लाएँ और जोड़ें। उदाहरण के लिए 3.1+1/2. संख्या 3.1 को इस प्रकार लिखा जा सकता है मिश्रित अंश 3 और 1/10 या गलत के रूप में - 31/10। पदों का सामान्य हर 10 होगा, इसलिए आपको 1/2 के अंश और हर को बारी-बारी से 5 से गुणा करना होगा, आपको 5/10 मिलेगा। फिर आप आसानी से हर चीज़ की गणना कर सकते हैं: 31/10+5/10=35/10। प्राप्त परिणाम एक अनुचित कम करने योग्य अंश है, हम इसे सामान्य रूप में लाते हैं, इसे 5: 7/2 = 3 और 1/2, या दशमलव - 3.5 तक कम करते हैं।

2 दशमलव भिन्नों को जोड़ते समय, यह महत्वपूर्ण है कि दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या समान हो। यदि यह मामला नहीं है, तो आपको बस जोड़ने की जरूरत है आवश्यक राशिशून्य, क्योंकि दशमलव अंशों में यह दर्द रहित तरीके से किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 3.5+3.005. इस समस्या को हल करने के लिए, आपको पहले नंबर में 2 शून्य जोड़ने होंगे और फिर एक-एक करके जोड़ना होगा: 3.500+3.005=3.505।

भिन्नों को घटाना

भिन्नों को घटाते समय, आपको वही करना चाहिए जो जोड़ते समय करते हैं: एक सामान्य हर में घटाएँ, एक अंश को दूसरे से घटाएँ, और, यदि आवश्यक हो, तो परिणाम को मिश्रित भिन्न में बदलें।

उदाहरण के लिए: 16/20-5/10. उभयनिष्ठ हर 20 होगा। आपको इसके दोनों भागों को 2 से गुणा करके इस हर में दूसरा अंश लाना होगा, आपको 10/20 मिलेगा। अब आप उदाहरण हल कर सकते हैं: 16/20-10/20= 6/20। हालाँकि, यह परिणाम कम करने योग्य भिन्नों पर लागू होता है, इसलिए दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करना उचित है और परिणाम 3/10 है।

भिन्नों को गुणा करना

भिन्नों को विभाजित करना और गुणा करना जोड़ और घटाव की तुलना में बहुत सरल कार्य हैं। तथ्य यह है कि इन कार्यों को करते समय किसी सामान्य भाजक की तलाश करने की आवश्यकता नहीं होती है।

भिन्नों को गुणा करने के लिए, आपको बस दोनों अंशों को एक-एक करके गुणा करना होगा, और फिर दोनों हरों को। यदि अंश एक कम करने योग्य मात्रा है तो परिणामी परिणाम को कम करें।

उदाहरण के लिए: 4/9x5/8. वैकल्पिक गुणन के बाद, परिणाम 4x5/9x8=20/72 है। इस भिन्न को 4 से कम किया जा सकता है, इसलिए उदाहरण में अंतिम उत्तर 5/18 है।

भिन्नों को कैसे विभाजित करें

भिन्नों को विभाजित करना भी एक सरल ऑपरेशन है; वास्तव में, यह अभी भी उन्हें गुणा करने के लिए आता है। एक भिन्न को दूसरे से विभाजित करने के लिए, आपको दूसरे को उल्टा करना होगा और पहले से गुणा करना होगा।

उदाहरण के लिए, भिन्नों को 5/19 और 5/7 से विभाजित करना। उदाहरण को हल करने के लिए, आपको दूसरे भिन्न के हर और अंश को बदलना होगा और गुणा करना होगा: 5/19x7/5=35/95। परिणाम को 5 से कम किया जा सकता है - यह 7/19 निकलता है।

यदि आपको किसी भिन्न को अभाज्य संख्या से विभाजित करने की आवश्यकता है, तो तकनीक थोड़ी अलग है। प्रारंभ में, आपको इस संख्या को एक अनुचित भिन्न के रूप में लिखना चाहिए, और फिर उसी योजना के अनुसार विभाजित करना चाहिए। उदाहरण के लिए, 2/13:5 को 2/13:5/1 के रूप में लिखा जाना चाहिए। अब आपको 5/1 को पलटना होगा और परिणामी भिन्नों को गुणा करना होगा: 2/13x1/5= 2/65।

कभी-कभी आपको मिश्रित भिन्नों को विभाजित करना पड़ता है। आपको उनके साथ वैसा ही व्यवहार करना होगा जैसा आप पूर्ण संख्याओं के साथ करते हैं: उन्हें अनुचित भिन्नों में बदलें, भाजक को उल्टा करें और सभी को गुणा करें। उदाहरण के लिए, 8 ½: 3. सभी चीज़ों को अनुचित भिन्नों में बदलें: 17/2: 3/1। इसके बाद 3/1 फ्लिप और गुणन होता है: 17/2x1/3= 17/6। अब आपको अनुचित भिन्न को सही भिन्न में बदलना चाहिए - 2 पूर्ण और 5/6।

इसलिए, यह पता लगाने के बाद कि भिन्न क्या हैं और आप उनके साथ विभिन्न अंकगणितीय ऑपरेशन कैसे कर सकते हैं, आपको इसके बारे में न भूलने की कोशिश करने की आवश्यकता है। आख़िरकार, लोग हमेशा किसी चीज़ को जोड़ने के बजाय भागों में विभाजित करने के लिए अधिक इच्छुक होते हैं, इसलिए आपको इसे सही ढंग से करने में सक्षम होने की आवश्यकता है।

उचित अंश

क्वार्टरों

सुव्यवस्था. एऔर बीएक नियम है जो किसी को उनके बीच तीन संबंधों में से एक और केवल एक को विशिष्ट रूप से पहचानने की अनुमति देता है: "< », « >" या " = ". इस नियम को कहा जाता है आदेश देने का नियमऔर इस प्रकार तैयार किया गया है: दो गैर-नकारात्मक संख्याएं और दो पूर्णांक और के समान संबंध से संबंधित हैं; दो गैर-सकारात्मक संख्याएँ एऔर बीदो गैर-नकारात्मक संख्याओं के समान संबंध से संबंधित हैं और; अगर अचानक एगैर-नकारात्मक, लेकिन बी- फिर नकारात्मक ए > बी. src='/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png' border='0'>
भिन्न जोड़ना
अतिरिक्त कार्रवाई.किसी भी तर्कसंगत संख्या के लिए एऔर बीवहाँ एक तथाकथित है योग नियम सी. इसके अलावा, संख्या ही सीबुलाया मात्रानंबर एऔर बीतथा द्वारा निरूपित किया जाता है, तथा ऐसी संख्या ज्ञात करने की प्रक्रिया कहलाती है योग. योग नियम है अगला दृश्य: .
गुणन संक्रिया.किसी भी तर्कसंगत संख्या के लिए एऔर बीवहाँ एक तथाकथित है गुणन नियम, जो उन्हें कुछ तर्कसंगत संख्या प्रदान करता है सी. इसके अलावा, संख्या ही सीबुलाया कामनंबर एऔर बीतथा द्वारा निरूपित किया जाता है तथा ऐसी संख्या ज्ञात करने की प्रक्रिया भी कहलाती है गुणा. गुणन नियम इस प्रकार दिखता है: .
आदेश संबंध की परिवर्तनशीलता.परिमेय संख्याओं के किसी त्रिक के लिए ए , बीऔर सीअगर एकम बीऔर बीकम सी, वह एकम सी, और अगर एके बराबर होती है बीऔर बीके बराबर होती है सी, वह एके बराबर होती है सी. 6435">जोड़ की क्रमविनिमेयता। तर्कसंगत पदों के स्थान बदलने से योग नहीं बदलता है।
जोड़ की संबद्धता.तीन परिमेय संख्याओं को जोड़ने का क्रम परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।
शून्य की उपस्थिति.एक परिमेय संख्या 0 है जो जोड़ने पर हर दूसरी परिमेय संख्या को सुरक्षित रखती है।
विपरीत संख्याओं की उपस्थिति.किसी भी परिमेय संख्या की एक विपरीत परिमेय संख्या होती है, जिसे जोड़ने पर 0 आता है।
गुणन की क्रमविनिमेयता.तर्कसंगत कारकों के स्थान बदलने से उत्पाद नहीं बदलता है।
गुणन की साहचर्यता.जिस क्रम में तीन परिमेय संख्याओं को गुणा किया जाता है वह परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।
यूनिट की उपलब्धता.एक परिमेय संख्या 1 है जो गुणा करने पर हर दूसरी परिमेय संख्या को सुरक्षित रखती है।
पारस्परिक संख्याओं की उपस्थिति.किसी भी परिमेय संख्या में एक व्युत्क्रम परिमेय संख्या होती है, जिसे गुणा करने पर 1 प्राप्त होता है।
जोड़ के सापेक्ष गुणन की वितरणशीलता।गुणन संक्रिया को वितरण नियम के माध्यम से जोड़ संक्रिया के साथ समन्वित किया जाता है:
जोड़ की संक्रिया के साथ आदेश संबंध का संबंध।बाईं ओर और दाहिनी ओरतर्कसंगत असमानता के लिए, आप वही तर्कसंगत संख्या जोड़ सकते हैं। /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border='0'>
आर्किमिडीज़ का अभिगृहीत.परिमेय संख्या जो भी हो ए, आप इतनी अधिक इकाइयाँ ले सकते हैं कि उनका योग अधिक हो जाए ए. src='/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png' border='0'>

अतिरिक्त गुण

परिमेय संख्याओं में निहित अन्य सभी गुणों को मूल गुणों के रूप में प्रतिष्ठित नहीं किया जाता है, क्योंकि, आम तौर पर बोलते हुए, वे अब सीधे पूर्णांकों के गुणों पर आधारित नहीं होते हैं, बल्कि दिए गए मूल गुणों के आधार पर या सीधे कुछ गणितीय वस्तु की परिभाषा के आधार पर सिद्ध किए जा सकते हैं। . ऐसी बहुत सारी अतिरिक्त संपत्तियां हैं. उनमें से केवल कुछ को ही यहां सूचीबद्ध करना उचित है।

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एक सेट की गणनीयता

तर्कसंगत संख्याओं की संख्या

परिमेय संख्याओं की संख्या का अनुमान लगाने के लिए, आपको उनके सेट की प्रमुखता ज्ञात करनी होगी। यह सिद्ध करना आसान है कि परिमेय संख्याओं का समुच्चय गणनीय है। ऐसा करने के लिए, एक एल्गोरिदम देना पर्याप्त है जो तर्कसंगत संख्याओं की गणना करता है, यानी, तर्कसंगत और प्राकृतिक संख्याओं के सेट के बीच एक विभाजन स्थापित करता है।

इनमें से सबसे सरल एल्गोरिदम इस तरह दिखता है। एक अंतहीन तालिका बनाई जाती है साधारण अंश, सभी के ऊपर मैं-प्रत्येक में पंक्ति जेवह स्तम्भ जिसमें भिन्न स्थित है। निश्चितता के लिए, यह माना जाता है कि इस तालिका की पंक्तियों और स्तंभों को एक से शुरू करके क्रमांकित किया गया है। तालिका कक्षों को , द्वारा दर्शाया जाता है मैं- तालिका पंक्ति की संख्या जिसमें सेल स्थित है, और जे- कॉलम नंबर.

परिणामी तालिका को निम्नलिखित औपचारिक एल्गोरिदम के अनुसार "साँप" का उपयोग करके पार किया जाता है।

इन नियमों को ऊपर से नीचे तक खोजा जाता है और पहले मैच के आधार पर अगली स्थिति का चयन किया जाता है।

इस तरह के ट्रैवर्सल की प्रक्रिया में, प्रत्येक नई परिमेय संख्या दूसरे से जुड़ी होती है प्राकृतिक संख्या. अर्थात्, भिन्न 1/1 को संख्या 1, भिन्न 2/1 को संख्या 2, आदि को सौंपा गया है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि केवल अप्रासंगिक भिन्नों को क्रमांकित किया जाता है। अपरिवर्तनीयता का एक औपचारिक संकेत यह है कि भिन्न के अंश और हर का सबसे बड़ा सामान्य भाजक एक के बराबर होता है।

इस एल्गोरिथम का अनुसरण करके, हम सभी सकारात्मक परिमेय संख्याओं की गणना कर सकते हैं। इसका अर्थ यह है कि धनात्मक परिमेय संख्याओं का समुच्चय गणनीय है। प्रत्येक परिमेय संख्या को इसके विपरीत निर्दिष्ट करके सकारात्मक और नकारात्मक परिमेय संख्याओं के सेट के बीच एक आक्षेप स्थापित करना आसान है। वह। ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का समुच्चय भी गणनीय है। उनका संघ भी गणनीय समुच्चय के गुण से गणनीय है। परिमेय संख्याओं का समुच्चय एक परिमित समुच्चय के साथ गणनीय समुच्चय के मिलन के रूप में भी गणनीय होता है।

परिमेय संख्याओं के समुच्चय की गणनीयता के बारे में कथन कुछ भ्रम पैदा कर सकता है, क्योंकि पहली नज़र में ऐसा लगता है कि यह प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय से कहीं अधिक व्यापक है। वास्तव में, ऐसा नहीं है और सभी परिमेय संख्याओं की गणना करने के लिए पर्याप्त प्राकृतिक संख्याएँ हैं।

तर्कसंगत संख्याओं का अभाव

ऐसे त्रिभुज का कर्ण किसी से व्यक्त नहीं किया जा सकता तर्कसंगत संख्या

प्रपत्र 1 की तर्कसंगत संख्या / एनअत्याधिक एनमनमाने ढंग से छोटी मात्राएँ मापी जा सकती हैं। यह तथ्य यह भ्रामक धारणा पैदा करता है कि तर्कसंगत संख्याओं का उपयोग किसी भी ज्यामितीय दूरी को मापने के लिए किया जा सकता है। यह दिखाना आसान है कि यह सच नहीं है।

पाइथागोरस प्रमेय से हम जानते हैं कि एक समकोण त्रिभुज का कर्ण उसके पैरों के वर्गों के योग के वर्गमूल के रूप में व्यक्त किया जाता है। वह। समद्विबाहु के कर्ण की लंबाई सही त्रिकोणएक इकाई पैर के साथ बराबर है, यानी, एक संख्या जिसका वर्ग 2 है।

यदि हम मान लें कि किसी संख्या को किसी परिमेय संख्या द्वारा दर्शाया जा सकता है, तो ऐसा एक पूर्णांक होता है एमऔर ऐसी प्राकृतिक संख्या एन, वह , और भिन्न अप्रासंगिक है , अर्थात संख्याएँ एमऔर एन- परस्पर सरल.

तो अगर , अर्थात। एम 2 = 2एन 2. इसलिए, संख्या एम 2 सम है, लेकिन दो विषम संख्याओं का गुणनफल विषम है, जिसका अर्थ है कि संख्या ही एमभी. तो एक प्राकृतिक संख्या है क, जैसे कि संख्या एमरूप में प्रस्तुत किया जा सकता है एम = 2क. संख्या वर्ग एमकिस अर्थ में एम 2 = 4क 2, लेकिन दूसरी ओर एम 2 = 2एन 2 का मतलब 4 है क 2 = 2एन 2, या एन 2 = 2क 2. जैसा कि पहले संख्या के लिए दिखाया गया है एम, इसका मतलब है कि संख्या एन- जैसे भी एम. लेकिन फिर वे अपेक्षाकृत प्रधान नहीं हैं, क्योंकि दोनों द्विभाजित हैं। परिणामी विरोधाभास साबित करता है कि यह एक परिमेय संख्या नहीं है।

हम जीवन में भिन्नों का सामना स्कूल में उनका अध्ययन शुरू करने से बहुत पहले ही कर लेते हैं। यदि हम पूरे सेब को आधा काटते हैं, तो हमें फल का आधा हिस्सा मिलता है। आइए इसे फिर से काटें - यह ¼ होगा। ये भिन्न हैं. और सब कुछ सरल लग रहा था. एक वयस्क के लिए. बच्चे के लिए (और इस विषयप्राथमिक विद्यालय के अंत में अध्ययन शुरू करें) अमूर्त गणितीय अवधारणाएँ अभी भी भयावह रूप से समझ से बाहर हैं, और शिक्षक को स्पष्ट रूप से समझाना चाहिए कि क्या उचित अंशऔर अनियमित, साधारण और दशमलव, उनके साथ कौन से ऑपरेशन किए जा सकते हैं और, सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि इन सब की आवश्यकता क्यों है।

भिन्न क्या हैं?

जान रहा हूं नया विषयस्कूल में इसकी शुरुआत साधारण भिन्नों से होती है। उन्हें ऊपर और नीचे - दो संख्याओं को अलग करने वाली क्षैतिज रेखा द्वारा आसानी से पहचाना जा सकता है। शीर्ष वाले को अंश कहा जाता है, नीचे वाले को हर कहा जाता है। अनुचित और उचित साधारण भिन्नों को लिखने के लिए एक लोअरकेस विकल्प भी है - एक स्लैश के माध्यम से, उदाहरण के लिए: ½, 4/9, 384/183। इस विकल्प का उपयोग तब किया जाता है जब लाइन की ऊंचाई सीमित होती है और "दो-मंजिला" प्रविष्टि फॉर्म का उपयोग करना संभव नहीं होता है। क्यों? हाँ, क्योंकि यह अधिक सुविधाजनक है। हम इसे थोड़ी देर बाद देखेंगे.

साधारण भिन्नों के अतिरिक्त दशमलव भिन्न भी होते हैं। उन्हें अलग करना बहुत आसान है: यदि एक मामले में क्षैतिज या स्लैश का उपयोग किया जाता है, तो दूसरे में संख्याओं के अनुक्रम को अलग करने के लिए अल्पविराम का उपयोग किया जाता है। आइए एक उदाहरण देखें: 2.9; 163.34; 1.953. हमने जानबूझकर संख्याओं को परिसीमित करने के लिए विभाजक के रूप में अर्धविराम का उपयोग किया। उनमें से पहला इस प्रकार पढ़ा जाएगा: "दो दशमलव नौ।"

नई अवधारणाएँ

आइए सामान्य भिन्नों पर वापस लौटें। वे दो प्रकार में आते हैं.

उचित भिन्न की परिभाषा इस प्रकार है: यह एक भिन्न है जिसका अंश उसके हर से कम है। यह महत्वपूर्ण क्यों है? हम अभी देखेंगे!

आपके पास कई सेब हैं, आधे कटे हुए। कुल - 5 भाग. आप कैसे कहेंगे: क्या आपके पास "ढाई" या "साढ़े पांच" सेब हैं? बेशक, पहला विकल्प अधिक स्वाभाविक लगता है, और हम दोस्तों के साथ बात करते समय इसका उपयोग करेंगे। लेकिन अगर हमें यह गणना करने की आवश्यकता है कि प्रत्येक व्यक्ति को कितने फल मिलेंगे, अगर कंपनी में पांच लोग हैं, तो हम संख्या 5/2 लिखेंगे और इसे 5 से विभाजित करेंगे - गणितीय दृष्टिकोण से, यह अधिक स्पष्ट होगा .

इसलिए, उचित और अनुचित भिन्नों के नामकरण के लिए, नियम यह है: यदि किसी भिन्न (14/5, 2/1, 173/16, 3/3) में एक पूर्ण भाग को अलग किया जा सकता है, तो यह अनुचित है। यदि ऐसा नहीं किया जा सकता है, जैसा कि ½, 13/16, 9/10 के मामले में है, तो यह सही होगा।

भिन्न का मुख्य गुण

यदि किसी भिन्न के अंश और हर को एक साथ एक ही संख्या से गुणा या विभाजित किया जाए, तो इसका मान नहीं बदलता है। कल्पना कीजिए: उन्होंने केक को 4 बराबर भागों में काटा और एक आपको दिया। उन्होंने उसी केक के आठ टुकड़े किये और तुम्हें दो टुकड़े दिये। क्या यह वास्तव में मायने रखता है? आख़िरकार, ¼ और 2/8 एक ही चीज़ हैं!

कमी

गणित की पाठ्यपुस्तकों में समस्याओं और उदाहरणों के लेखक अक्सर ऐसे भिन्नों की पेशकश करके छात्रों को भ्रमित करने की कोशिश करते हैं जो लिखने में बोझिल होते हैं लेकिन वास्तव में संक्षिप्त किए जा सकते हैं। यहां एक उचित भिन्न का उदाहरण दिया गया है: 167/334, जो, ऐसा प्रतीत होता है, बहुत "डरावना" लगता है। लेकिन वास्तव में हम इसे ½ के रूप में लिख सकते हैं। संख्या 334 बिना किसी शेषफल के 167 से विभाज्य है - इस ऑपरेशन को करने के बाद, हमें 2 मिलता है।

मिश्रित संख्याएँ

एक अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या के रूप में दर्शाया जा सकता है। यह तब होता है जब पूरे भाग को आगे लाया जाता है और क्षैतिज रेखा के स्तर पर लिखा जाता है। वास्तव में, अभिव्यक्ति एक योग का रूप लेती है: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 इत्यादि।

पूरा भाग निकालने के लिए, आपको अंश को हर से विभाजित करना होगा। विभाजन के शेष भाग को शीर्ष पर, रेखा के ऊपर, और पूरे भाग को - अभिव्यक्ति से पहले लिखें। इस प्रकार, हमें दो संरचनात्मक भाग मिलते हैं: पूर्ण इकाइयाँ + उचित अंश।

आप उलटा ऑपरेशन भी कर सकते हैं - ऐसा करने के लिए, आपको पूर्णांक भाग को हर से गुणा करना होगा और परिणामी मान को अंश में जोड़ना होगा। कुछ भी जटिल नहीं.

गुणन और भाग

अजीब बात है, भिन्नों को गुणा करना जोड़ने की तुलना में अधिक आसान है। बस क्षैतिज रेखा का विस्तार करना आवश्यक है: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5।

विभाजन के साथ, सब कुछ भी सरल है: आपको अंशों को क्रॉसवाइज गुणा करना होगा: (7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16।

भिन्न जोड़ना

यदि आपको जोड़ करने की आवश्यकता है या उनका हर है तो क्या करें अलग-अलग नंबर? गुणन के समान कार्य करना संभव नहीं होगा - यहां आपको उचित भिन्न की परिभाषा और उसके सार को समझना चाहिए। पदों को एक सामान्य हर में लाना आवश्यक है, अर्थात दोनों भिन्नों के निचले भाग में समान संख्याएँ होनी चाहिए।

ऐसा करने के लिए, आपको भिन्न के मूल गुण का उपयोग करना चाहिए: दोनों भागों को एक ही संख्या से गुणा करें। उदाहरण के लिए, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½।

कैसे चुनें कि किस हर से पदों को कम किया जाए? यह वह न्यूनतम संख्या होनी चाहिए जो भिन्नों के हर में दोनों संख्याओं का गुणज हो: 1/3 और 1/9 के लिए यह 9 होगा; ½ और 1/7 - 14 के लिए, क्योंकि शेषफल के बिना 2 और 7 से विभाज्य कोई छोटा मूल्य नहीं है।

प्रयोग

अनुचित भिन्नों का उपयोग किस लिए किया जाता है? आख़िरकार, तुरंत पूरे भाग का चयन करना, एक मिश्रित संख्या प्राप्त करना अधिक सुविधाजनक है - और इसके साथ काम करें! यह पता चला है कि यदि आपको दो अंशों को गुणा या विभाजित करने की आवश्यकता है, तो अनियमित अंशों का उपयोग करना अधिक लाभदायक है।

आइए निम्नलिखित उदाहरण लें: (2 + 3/17) / (37 / 68)।

ऐसा प्रतीत होगा कि काटने के लिए कुछ भी नहीं है। लेकिन क्या होगा यदि हम पहले कोष्ठक में जोड़ के परिणाम को अनुचित भिन्न के रूप में लिखें? देखें: (37/17) / (37/68)

अब सब कुछ ठीक हो गया! आइए उदाहरण को इस तरह लिखें कि सब कुछ स्पष्ट हो जाए: (37*68) / (17*37)।

आइए अंश और हर में 37 को रद्द करें और अंत में ऊपर और नीचे को 17 से विभाजित करें। क्या आपको उचित और अनुचित भिन्नों के लिए मूल नियम याद है? हम उन्हें किसी भी संख्या से गुणा और भाग कर सकते हैं, जब तक कि हम इसे एक ही समय में अंश और हर के लिए करते हैं।

तो, हमें उत्तर मिलता है: 4. उदाहरण जटिल लग रहा था, लेकिन उत्तर में केवल एक संख्या है। गणित में ऐसा अक्सर होता है. मुख्य बात डरना नहीं है और सरल नियमों का पालन करना है।

सामान्य गलतियां

कार्यान्वयन करते समय, एक छात्र आसानी से सामान्य गलतियों में से एक कर सकता है। आमतौर पर वे असावधानी के कारण होते हैं, और कभी-कभी इस तथ्य के कारण कि अध्ययन की गई सामग्री अभी तक सिर में ठीक से संग्रहीत नहीं हुई है।

अक्सर अंश में संख्याओं का योग आपको इसके अलग-अलग घटकों को कम करने के लिए प्रेरित करता है। आइए उदाहरण में कहें: (13 + 2) / 13, कोष्ठक के बिना (क्षैतिज रेखा के साथ) लिखा गया है, कई छात्र, अनुभवहीनता के कारण, ऊपर और नीचे 13 को काट देते हैं। लेकिन ऐसा किसी भी हालत में नहीं करना चाहिए, क्योंकि यह एक घोर गलती है! यदि जोड़ के स्थान पर गुणन चिह्न होता, तो हमें उत्तर में संख्या 2 मिलती। लेकिन जोड़ करते समय, किसी एक पद के साथ कोई संक्रिया करने की अनुमति नहीं होती, केवल संपूर्ण योग के साथ।

भिन्नों को विभाजित करते समय लोग भी अक्सर गलतियाँ करते हैं। आइए दो उचित अपरिवर्तनीय भिन्न लें और एक दूसरे से विभाजित करें: (5/6) / (25/33)। छात्र इसे मिला सकता है और परिणामी अभिव्यक्ति को (5*25)/(6*33) के रूप में लिख सकता है। लेकिन गुणन के साथ ऐसा होगा, लेकिन हमारे मामले में सब कुछ कुछ अलग होगा: (5*33) / (6*25)। हम जो संभव है उसे कम करते हैं, और उत्तर 11/10 होगा। हम परिणामी अनुचित भिन्न को दशमलव - 1.1 के रूप में लिखते हैं।

कोष्ठक

याद रखें कि किसी भी गणितीय अभिव्यक्ति में संक्रियाओं का क्रम संक्रिया चिह्नों की प्रधानता और कोष्ठकों की उपस्थिति से निर्धारित होता है। अन्य सभी चीजें समान होने पर, कार्यों का क्रम बाएं से दाएं गिना जाता है। यह भिन्नों के लिए भी सत्य है - अंश या हर में अभिव्यक्ति की गणना इस नियम के अनुसार कड़ाई से की जाती है।

आख़िरकार, यह एक संख्या को दूसरे से विभाजित करने का परिणाम है। यदि उन्हें समान रूप से विभाजित नहीं किया जाता है, तो यह एक अंश बन जाता है - बस इतना ही।

कंप्यूटर पर भिन्न कैसे लिखें

चूँकि मानक उपकरण हमेशा दो "स्तरों" से युक्त भिन्न बनाने की अनुमति नहीं देते हैं, इसलिए छात्र कभी-कभी विभिन्न तरकीबों का सहारा लेते हैं। उदाहरण के लिए, वे अंश और हर को पेंट ग्राफ़िक संपादक में कॉपी करते हैं और उन्हें एक साथ चिपका देते हैं, उनके बीच एक क्षैतिज रेखा खींचते हैं। बेशक, एक सरल विकल्प है, जो, वैसे, बहुत कुछ प्रदान करता है अतिरिक्त सुविधाओं, जो भविष्य में आपके काम आएगा।

माइक्रोसॉफ्ट वर्ड खोलें. स्क्रीन के शीर्ष पर मौजूद पैनलों में से एक को "इन्सर्ट" कहा जाता है - इसे क्लिक करें। दाईं ओर, उस तरफ जहां विंडो बंद करें और छोटा करें आइकन स्थित हैं, वहां एक "फॉर्मूला" बटन है। यह वही है जिसकी हमें आवश्यकता है!

यदि आप इस फ़ंक्शन का उपयोग करते हैं, तो स्क्रीन पर एक आयताकार क्षेत्र दिखाई देगा जिसमें आप किसी भी गणितीय प्रतीकों का उपयोग कर सकते हैं जो कीबोर्ड पर नहीं हैं, साथ ही इसमें भिन्न भी लिख सकते हैं क्लासिक लुक. अर्थात् अंश और हर को एक क्षैतिज रेखा से विभाजित करना। आपको यह जानकर आश्चर्य भी हो सकता है कि इतना उचित भिन्न लिखना इतना आसान है।

गणित सीखें

यदि आप ग्रेड 5-6 में हैं, तो जल्द ही कई स्कूली विषयों में गणित का ज्ञान (भिन्नों के साथ काम करने की क्षमता सहित!) की आवश्यकता होगी। भौतिकी की लगभग किसी भी समस्या में, रसायन विज्ञान में, ज्यामिति और त्रिकोणमिति में पदार्थों के द्रव्यमान को मापते समय, आप भिन्नों के बिना नहीं रह सकते। जल्द ही आप अपने मन में हर चीज़ की गणना करना सीख जाएंगे, यहां तक कि कागज पर भावों को लिखे बिना भी, लेकिन अधिक से अधिक जटिल उदाहरण. इसलिए, जानें कि उचित भिन्न क्या है और इसके साथ कैसे काम करना है, साथ जुड़े रहें पाठ्यक्रम, अपना होमवर्क समय पर करें और आप सफल होंगे।

यह आलेख निम्न से संबंधित है सामान्य भिन्न. यहां हम पूर्ण के भिन्न की अवधारणा का परिचय देंगे, जो हमें सामान्य भिन्न की परिभाषा तक ले जाएगा। आगे हम साधारण भिन्नों के लिए स्वीकृत संकेतन पर ध्यान केन्द्रित करेंगे और भिन्नों के उदाहरण देंगे, मान लीजिए किसी भिन्न के अंश और हर के बारे में। इसके बाद हम उचित और अनुचित, धनात्मक और ऋणात्मक भिन्नों की परिभाषा देंगे तथा भिन्नात्मक संख्याओं की स्थिति पर भी विचार करेंगे। समन्वय किरण. निष्कर्ष में, हम भिन्नों के साथ मुख्य संक्रियाओं को सूचीबद्ध करते हैं।

पेज नेविगेशन.

पूरे के शेयर

सबसे पहले हम परिचय कराते हैं शेयर की अवधारणा.

आइए मान लें कि हमारे पास कोई वस्तु है जो कई बिल्कुल समान (अर्थात् बराबर) भागों से बनी है। स्पष्टता के लिए, आप कल्पना कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, एक सेब कई टुकड़ों में कटा हुआ बराबर भाग, या एक नारंगी जिसमें कई समान खंड होते हैं। इनमें से प्रत्येक समान भाग जो संपूर्ण वस्तु का निर्माण करता है, कहलाता है संपूर्ण के भागया केवल शेयरों.

ध्यान दें कि शेयर अलग-अलग हैं। चलिए इसे समझाते हैं. आइए हम दो सेब लें। पहले सेब को दो बराबर भागों में और दूसरे को 6 बराबर भागों में काटें। यह स्पष्ट है कि पहले सेब का हिस्सा दूसरे सेब के हिस्से से अलग होगा।

संपूर्ण वस्तु को बनाने वाले शेयरों की संख्या के आधार पर, इन शेयरों के अपने नाम होते हैं। आइए इसे सुलझाएं धड़कनों के नाम. यदि किसी वस्तु में दो भाग होते हैं, तो उनमें से किसी को पूरी वस्तु का एक दूसरा भाग कहा जाता है; यदि किसी वस्तु में तीन भाग होते हैं, तो उनमें से किसी एक को एक तिहाई भाग कहा जाता है, इत्यादि।

एक सेकंड शेयर का होता है खास नाम - आधा. एक तिहाई को बुलाया जाता है तीसरा, और एक चौथाई भाग - एक चौथाई.

संक्षिप्तता के लिए, निम्नलिखित प्रस्तुत किए गए: प्रतीकों को हराओ. एक दूसरे शेयर को या 1/2 के रूप में नामित किया गया है, एक तिहाई शेयर को या 1/3 के रूप में नामित किया गया है; एक चौथाई हिस्सा - जैसे या 1/4, इत्यादि। ध्यान दें कि क्षैतिज पट्टी वाले अंकन का प्रयोग अधिक बार किया जाता है। सामग्री को सुदृढ़ करने के लिए, आइए एक और उदाहरण दें: प्रविष्टि संपूर्ण के एक सौ साठवें भाग को दर्शाती है।

हिस्सेदारी की अवधारणा स्वाभाविक रूप से वस्तुओं से लेकर मात्राओं तक फैली हुई है। उदाहरण के लिए, लंबाई का एक माप मीटर है। एक मीटर से छोटी लंबाई मापने के लिए मीटर के अंशों का उपयोग किया जा सकता है। तो, उदाहरण के लिए, आप आधा मीटर या मीटर का दसवां या हजारवां हिस्सा उपयोग कर सकते हैं। अन्य मात्राओं के शेयर इसी तरह लागू होते हैं।

सामान्य भिन्न, भिन्नों की परिभाषा और उदाहरण

हमारे द्वारा उपयोग किए जाने वाले शेयरों की संख्या का वर्णन करने के लिए सामान्य भिन्न. आइए हम एक उदाहरण दें जो हमें साधारण भिन्नों की परिभाषा तक पहुंचने की अनुमति देगा।

बता दें कि संतरे में 12 भाग होते हैं। इस मामले में प्रत्येक हिस्सा पूरे संतरे के बारहवें हिस्से का प्रतिनिधित्व करता है, अर्थात। हम दो बीट्स को के रूप में निरूपित करते हैं, तीन बीट्स को हम के रूप में निरूपित करते हैं, और इसी तरह, 12 बीट्स को हम के रूप में निरूपित करते हैं। दी गई प्रत्येक प्रविष्टि को साधारण भिन्न कहा जाता है।

अब आइए एक सामान्य जानकारी दें सामान्य भिन्नों की परिभाषा.

साधारण भिन्नों की ध्वनिबद्ध परिभाषा हमें देने की अनुमति देती है सामान्य भिन्नों के उदाहरण: 5/10, , 21/1, 9/4, . और यहाँ रिकॉर्ड हैं साधारण भिन्नों की बताई गई परिभाषा में फिट नहीं बैठते, अर्थात् वे साधारण भिन्न नहीं हैं।

मीटर और विभाजक

सुविधा के लिए, साधारण भिन्नों को अलग किया जाता है मीटर और विभाजक.

परिभाषा।

मीटरसाधारण भिन्न (m/n) एक प्राकृतिक संख्या m है।

परिभाषा।

भाजकसामान्य भिन्न (m/n) एक प्राकृतिक संख्या n है।

तो, अंश भिन्न रेखा के ऊपर (स्लैश के बाईं ओर) स्थित है, और हर भिन्न रेखा के नीचे (स्लैश के दाईं ओर) स्थित है। उदाहरण के लिए, आइए सामान्य भिन्न 17/29 लें, इस भिन्न का अंश संख्या 17 है, और हर संख्या 29 है।

साधारण भिन्न के अंश और हर में निहित अर्थ पर चर्चा करना बाकी है। भिन्न का हर दर्शाता है कि एक वस्तु में कितने भाग हैं, और अंश, बदले में, ऐसे शेयरों की संख्या को इंगित करता है। उदाहरण के लिए, भिन्न 12/5 के हर 5 का अर्थ है कि एक वस्तु में पाँच अंश हैं, और अंश 12 का अर्थ है कि 12 ऐसे अंश लिए गए हैं।

हर 1 के साथ भिन्न के रूप में प्राकृतिक संख्या

एक सामान्य भिन्न का हर एक के बराबर हो सकता है। इस मामले में, हम मान सकते हैं कि वस्तु अविभाज्य है, दूसरे शब्दों में, यह किसी संपूर्ण चीज़ का प्रतिनिधित्व करती है। ऐसे अंश का अंश इंगित करता है कि कितनी संपूर्ण वस्तुएँ ली गई हैं। इस प्रकार, m/1 के रूप का एक साधारण अंश एक प्राकृतिक संख्या m का अर्थ रखता है। इस प्रकार हमने समानता m/1=m की वैधता की पुष्टि की।

आइए अंतिम समानता को इस प्रकार फिर से लिखें: m=m/1। यह समानता हमें किसी भी प्राकृतिक संख्या m को साधारण भिन्न के रूप में निरूपित करने की अनुमति देती है। उदाहरण के लिए, संख्या 4 भिन्न 4/1 है, और संख्या 103,498, भिन्न 103,498/1 के बराबर है।

इसलिए, किसी भी प्राकृतिक संख्या m को 1 के हर के साथ m/1 के रूप में एक साधारण भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, और m/1 के रूप के किसी भी साधारण भिन्न को एक प्राकृतिक संख्या m से प्रतिस्थापित किया जा सकता है।.

विभाजन चिह्न के रूप में भिन्न पट्टी

मूल वस्तु को n अंशों के रूप में प्रस्तुत करना n समान भागों में विभाजन से अधिक कुछ नहीं है। किसी वस्तु को n शेयरों में विभाजित करने के बाद, हम इसे n लोगों के बीच समान रूप से विभाजित कर सकते हैं - प्रत्येक को एक शेयर प्राप्त होगा।

यदि हमारे पास शुरू में m समान वस्तुएं हैं, जिनमें से प्रत्येक को n शेयरों में विभाजित किया गया है, तो हम इन m वस्तुओं को n लोगों के बीच समान रूप से विभाजित कर सकते हैं, प्रत्येक व्यक्ति को प्रत्येक m वस्तुओं से एक हिस्सा दे सकते हैं। इस मामले में, प्रत्येक व्यक्ति के पास 1/n का m शेयर होगा, और 1/n का m शेयर सामान्य अंश m/n देता है। इस प्रकार, सामान्य अंश m/n का उपयोग n लोगों के बीच m वस्तुओं के विभाजन को दर्शाने के लिए किया जा सकता है।

इस प्रकार हमें साधारण भिन्नों और विभाजन के बीच एक स्पष्ट संबंध प्राप्त हुआ (प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करने का सामान्य विचार देखें)। यह संबंध इस प्रकार व्यक्त किया गया है: भिन्न रेखा को विभाजन चिह्न के रूप में समझा जा सकता है, अर्थात m/n=m:n.

एक साधारण भिन्न का उपयोग करके, आप दो प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करने का परिणाम लिख सकते हैं जिनके लिए पूर्ण विभाजन नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 5 सेबों को 8 लोगों द्वारा विभाजित करने का परिणाम 5/8 के रूप में लिखा जा सकता है, अर्थात, प्रत्येक को एक सेब का पांच-आठवां हिस्सा मिलेगा: 5:8 = 5/8।

समान और असमान भिन्न, भिन्नों की तुलना

एक बिल्कुल स्वाभाविक क्रिया है भिन्नों की तुलना करना, क्योंकि यह स्पष्ट है कि एक संतरे का 1/12 भाग 5/12 से भिन्न है, और एक सेब का 1/6 भाग इस सेब के अन्य 1/6 भाग के समान है।

दो साधारण भिन्नों की तुलना करने पर एक परिणाम प्राप्त होता है: भिन्न या तो बराबर या असमान होते हैं। पहले मामले में हमारे पास है समान सामान्य भिन्न, और दूसरे में - असमान साधारण भिन्न. आइए हम समान और असमान साधारण भिन्नों की परिभाषा दें।

परिभाषा।

बराबर, यदि समानता a·d=b·c सत्य है।

परिभाषा।

दो सामान्य भिन्न a/b और c/d सम नही, यदि समानता a·d=b·c संतुष्ट नहीं है।

यहां समान भिन्नों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं। उदाहरण के लिए, सामान्य भिन्न 1/2, भिन्न 2/4 के बराबर है, क्योंकि 1·4=2·2 (यदि आवश्यक हो, तो प्राकृतिक संख्याओं को गुणा करने के नियम और उदाहरण देखें)। स्पष्टता के लिए, आप दो समान सेबों की कल्पना कर सकते हैं, पहला आधे में काटा गया है, और दूसरा 4 भागों में काटा गया है। यह स्पष्ट है कि एक सेब के दो चौथाई हिस्से का आधा हिस्सा बराबर होता है। समान सामान्य भिन्नों के अन्य उदाहरण भिन्न 4/7 और 36/63, और भिन्नों की जोड़ी 81/50 और 1,620/1,000 हैं।

लेकिन साधारण भिन्न 4/13 और 5/14 बराबर नहीं हैं, क्योंकि 4·14=56, और 13·5=65, यानी 4·14≠13·5। असमान उभयनिष्ठ भिन्नों के अन्य उदाहरण भिन्न 17/7 और 6/4 हैं।

यदि, दो सामान्य भिन्नों की तुलना करने पर, यह पता चलता है कि वे बराबर नहीं हैं, तो आपको यह पता लगाने की आवश्यकता हो सकती है कि इनमें से कौन सा सामान्य भिन्न है कमअलग, और कौन सा - अधिक. इसका पता लगाने के लिए साधारण भिन्नों की तुलना करने के नियम का उपयोग किया जाता है, जिसका सार तुलना किए गए भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना और फिर अंशों की तुलना करना है। इस विषय पर विस्तृत जानकारी भिन्नों की तुलना: नियम, उदाहरण, समाधान लेख में एकत्र की गई है।

भिन्नात्मक संख्याएँ

प्रत्येक अंश एक अंकन है भिन्नात्मक संख्या. अर्थात्, एक भिन्न एक भिन्नात्मक संख्या का केवल एक "कोश" है, इसका उपस्थिति, और सारा शब्दार्थ भार भिन्नात्मक संख्या में निहित है। हालाँकि, संक्षिप्तता और सुविधा के लिए, भिन्न और भिन्नात्मक संख्या की अवधारणाओं को संयोजित किया जाता है और बस इसे भिन्न कहा जाता है। यहां एक प्रसिद्ध कहावत की व्याख्या करना उचित है: हम एक भिन्न कहते हैं - हमारा मतलब एक भिन्नात्मक संख्या है, हम एक भिन्नात्मक संख्या कहते हैं - हमारा मतलब एक भिन्न है।

एक समन्वय किरण पर भिन्न

साधारण भिन्नों के अनुरूप सभी भिन्नात्मक संख्याओं का अपना विशिष्ट स्थान होता है, अर्थात भिन्नों और निर्देशांक किरण के बिंदुओं के बीच एक-से-एक पत्राचार होता है।

भिन्न m/n के संगत निर्देशांक किरण पर बिंदु तक पहुंचने के लिए, आपको m खंडों को मूल से सकारात्मक दिशा में अलग रखना होगा, जिसकी लंबाई एक इकाई खंड का 1/n अंश है। ऐसे खंडों को एक इकाई खंड को n बराबर भागों में विभाजित करके प्राप्त किया जा सकता है, जो हमेशा एक कंपास और एक रूलर का उपयोग करके किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, आइए निर्देशांक किरण पर अंश 14/10 के अनुरूप बिंदु M दिखाएं। बिंदु O पर समाप्त होने वाले और उसके निकटतम बिंदु वाले एक खंड की लंबाई, एक छोटे डैश से चिह्नित, एक इकाई खंड का 1/10 है। निर्देशांक 14/10 वाला बिंदु मूल बिंदु से ऐसे 14 खंडों की दूरी पर हटा दिया जाता है।

समान भिन्न समान भिन्नात्मक संख्या के अनुरूप होते हैं, अर्थात समान भिन्न निर्देशांक किरण पर एक ही बिंदु के निर्देशांक होते हैं। उदाहरण के लिए, निर्देशांक 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 निर्देशांक किरण पर एक बिंदु के अनुरूप हैं, क्योंकि सभी लिखित अंश बराबर हैं (यह आधे इकाई खंड की दूरी पर स्थित है) मूल से सकारात्मक दिशा में)।

क्षैतिज और दायीं ओर निर्देशित निर्देशांक किरण पर, वह बिंदु जिसका निर्देशांक बड़ा अंश है, उस बिंदु के दाईं ओर स्थित होता है जिसका निर्देशांक छोटा अंश है। इसी प्रकार, छोटे निर्देशांक वाला एक बिंदु बड़े निर्देशांक वाले बिंदु के बाईं ओर स्थित होता है।

उचित एवं अनुचित भिन्न, परिभाषाएँ, उदाहरण

साधारण भिन्नों में से हैं उचित और अनुचित भिन्न. यह विभाजन अंश और हर की तुलना पर आधारित है।

आइए हम उचित और अनुचित साधारण भिन्नों को परिभाषित करें।

परिभाषा।

उचित अंशएक साधारण भिन्न है जिसका अंश हर से कम है, अर्थात यदि m

परिभाषा।

अनुचित अंशएक साधारण भिन्न है जिसमें अंश हर से बड़ा या उसके बराबर होता है, अर्थात यदि m≥n है, तो साधारण भिन्न अनुचित है।

यहां उचित भिन्नों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं: 1/4, , 32,765/909,003। दरअसल, प्रत्येक लिखित साधारण भिन्न में अंश, हर से कम होता है (यदि आवश्यक हो, तो प्राकृतिक संख्याओं की तुलना करने वाला लेख देखें), इसलिए वे परिभाषा के अनुसार सही हैं।

यहां अनुचित भिन्नों के उदाहरण दिए गए हैं: 9/9, 23/4,। दरअसल, लिखित साधारण भिन्नों में से पहले अंश का अंश हर के बराबर होता है, और शेष भिन्नों में अंश हर से बड़ा होता है।

भिन्नों की एक से तुलना के आधार पर उचित और अनुचित भिन्नों की भी परिभाषाएँ हैं।

परिभाषा।

सही, यदि यह एक से कम है।

परिभाषा।

साधारण भिन्न कहा जाता है गलत, यदि यह या तो एक के बराबर है या 1 से अधिक है।

अतः 7/11 के बाद से सामान्य भिन्न 7/11 सही है<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1, और 27/27=1.

आइए इस बारे में सोचें कि हर से अधिक या उसके बराबर अंश वाली साधारण भिन्नें ऐसे नाम की हकदार कैसे होती हैं - "अनुचित"।

उदाहरण के लिए, आइए अनुचित भिन्न 9/9 लें। इस अंश का अर्थ है कि जिस वस्तु के नौ भाग हों, उसके नौ भाग लिये जाते हैं। अर्थात्, उपलब्ध नौ भागों से हम एक संपूर्ण वस्तु बना सकते हैं। वह है, अनुचित अंश 9/9 अनिवार्य रूप से संपूर्ण आइटम देता है, अर्थात 9/9=1। सामान्य तौर पर, हर के बराबर अंश वाले अनुचित भिन्न एक संपूर्ण वस्तु को दर्शाते हैं, और ऐसे भिन्न को प्राकृतिक संख्या 1 से बदला जा सकता है।

अब अनुचित भिन्न 7/3 और 12/4 पर विचार करें। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि इन सात तिहाई भागों से हम दो पूर्ण वस्तुएँ बना सकते हैं (एक पूर्ण वस्तु में 3 भाग होते हैं, फिर दो पूर्ण वस्तुएँ बनाने के लिए हमें 3 + 3 = 6 भागों की आवश्यकता होगी) और फिर भी एक तिहाई भाग बचा रहेगा . यानी, अनुचित भिन्न 7/3 का अर्थ अनिवार्य रूप से 2 वस्तुएं और ऐसी वस्तु का 1/3 भी है। और बारह चौथाई भागों से हम तीन पूर्ण वस्तुएँ (प्रत्येक चार भागों वाली तीन वस्तुएँ) बना सकते हैं। अर्थात्, भिन्न 12/4 का अर्थ अनिवार्य रूप से 3 पूर्ण वस्तुएँ हैं।

विचार किए गए उदाहरण हमें निम्नलिखित निष्कर्ष पर ले जाते हैं: अनुचित भिन्नों को या तो प्राकृतिक संख्याओं द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, जब अंश को हर द्वारा समान रूप से विभाजित किया जाता है (उदाहरण के लिए, 9/9=1 और 12/4=3), या योग से एक प्राकृतिक संख्या और एक उचित भिन्न का, जब अंश हर से समान रूप से विभाज्य नहीं होता है (उदाहरण के लिए, 7/3=2+1/3)। संभवतः इसी कारण अनुचित भिन्नों को "अनियमित" नाम मिला।

विशेष रुचि एक प्राकृतिक संख्या और एक उचित भिन्न (7/3=2+1/3) के योग के रूप में एक अनुचित भिन्न का प्रतिनिधित्व है। इस प्रक्रिया को अनुचित अंश से पूरे भाग को अलग करना कहा जाता है, और इस पर अलग और अधिक सावधानीपूर्वक विचार करने की आवश्यकता है।

यह भी ध्यान देने योग्य है कि अनुचित भिन्नों और मिश्रित संख्याओं के बीच बहुत घनिष्ठ संबंध है।

सकारात्मक और नकारात्मक भिन्न

प्रत्येक सामान्य भिन्न एक धनात्मक भिन्नात्मक संख्या से मेल खाता है (धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं पर लेख देखें)। अर्थात् साधारण भिन्न हैं सकारात्मक अंश. उदाहरण के लिए, साधारण भिन्न 1/5, 56/18, 35/144 धनात्मक भिन्न हैं। जब आपको किसी भिन्न की सकारात्मकता को उजागर करने की आवश्यकता होती है, तो उसके सामने एक प्लस चिह्न लगाया जाता है, उदाहरण के लिए, +3/4, +72/34।

यदि आप किसी उभयनिष्ठ भिन्न के सामने ऋण चिह्न लगाते हैं, तो यह प्रविष्टि एक ऋणात्मक भिन्नात्मक संख्या के अनुरूप होगी। ऐसे में हम बात कर सकते हैं नकारात्मक भिन्न. यहां ऋणात्मक भिन्नों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं: -6/10, -65/13, -1/18।

धनात्मक और ऋणात्मक भिन्न m/n और −m/n विपरीत संख्याएँ हैं। उदाहरण के लिए, भिन्न 5/7 और −5/7 विपरीत भिन्न हैं।

सकारात्मक भिन्न, सामान्य रूप से सकारात्मक संख्याओं की तरह, जोड़, आय, किसी मूल्य में ऊपर की ओर परिवर्तन आदि को दर्शाते हैं। नकारात्मक अंश व्यय, ऋण या किसी मात्रा में कमी के अनुरूप हैं। उदाहरण के लिए, ऋणात्मक अंश -3/4 की व्याख्या एक ऋण के रूप में की जा सकती है जिसका मूल्य 3/4 के बराबर है।

क्षैतिज और दाहिनी दिशा में, ऋणात्मक भिन्न मूल बिंदु के बाईं ओर स्थित होते हैं। निर्देशांक रेखा के बिंदु, जिनके निर्देशांक धनात्मक अंश m/n और ऋणात्मक अंश -m/n हैं, मूल से समान दूरी पर, लेकिन बिंदु O के विपरीत पक्षों पर स्थित हैं।

यहां 0/n के रूप के भिन्नों का उल्लेख करना उचित है। ये भिन्न संख्या शून्य के बराबर हैं, अर्थात 0/n=0।

धनात्मक भिन्न, ऋणात्मक भिन्न और 0/n भिन्न मिलकर परिमेय संख्याएँ बनाते हैं।

भिन्नों के साथ संचालन

हम ऊपर सामान्य भिन्नों के साथ एक क्रिया - भिन्नों की तुलना - पर पहले ही चर्चा कर चुके हैं। चार और अंकगणितीय फलन परिभाषित हैं भिन्नों के साथ संचालन- भिन्नों को जोड़ना, घटाना, गुणा करना और विभाजित करना। आइए उनमें से प्रत्येक पर नजर डालें।

भिन्नों के साथ संक्रियाओं का सामान्य सार प्राकृतिक संख्याओं के साथ संबंधित संक्रियाओं के सार के समान है। आइए एक सादृश्य बनाएं.

भिन्नों को गुणा करनाइसे भिन्न में से भिन्न खोजने की क्रिया के रूप में सोचा जा सकता है। स्पष्ट करने के लिए, आइए एक उदाहरण दें। मान लीजिए हमारे पास एक सेब का 1/6 भाग है और हमें इसका 2/3 भाग लेना है। हमें जिस भाग की आवश्यकता है वह भिन्न 1/6 और 2/3 को गुणा करने का परिणाम है। दो साधारण भिन्नों को गुणा करने का परिणाम एक साधारण भिन्न होता है (जो एक विशेष स्थिति में एक प्राकृतिक संख्या के बराबर होता है)। इसके बाद, हम अनुशंसा करते हैं कि आप भिन्नों को गुणा करना - नियम, उदाहरण और समाधान लेख में दी गई जानकारी का अध्ययन करें।

ग्रंथ सूची.

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गुसेव वी.ए., मोर्दकोविच ए.जी. गणित (तकनीकी स्कूलों में प्रवेश करने वालों के लिए एक मैनुअल)।

अनुचित अंश

क्वार्टरों

सुव्यवस्था. एऔर बीएक नियम है जो किसी को उनके बीच तीन संबंधों में से एक और केवल एक को विशिष्ट रूप से पहचानने की अनुमति देता है: "< », « >" या " = ". इस नियम को कहा जाता है आदेश देने का नियमऔर इस प्रकार तैयार किया गया है: दो गैर-नकारात्मक संख्याएं और दो पूर्णांक और के समान संबंध से संबंधित हैं; दो गैर-सकारात्मक संख्याएँ एऔर बीदो गैर-नकारात्मक संख्याओं के समान संबंध से संबंधित हैं और; अगर अचानक एगैर-नकारात्मक, लेकिन बी- फिर नकारात्मक ए > बी. src='/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png' border='0'>
भिन्न जोड़ना
अतिरिक्त कार्रवाई.किसी भी तर्कसंगत संख्या के लिए एऔर बीवहाँ एक तथाकथित है योग नियम सी. इसके अलावा, संख्या ही सीबुलाया मात्रानंबर एऔर बीतथा द्वारा निरूपित किया जाता है, तथा ऐसी संख्या ज्ञात करने की प्रक्रिया कहलाती है योग. योग नियम का निम्नलिखित रूप है: .
गुणन संक्रिया.किसी भी तर्कसंगत संख्या के लिए एऔर बीवहाँ एक तथाकथित है गुणन नियम, जो उन्हें कुछ तर्कसंगत संख्या प्रदान करता है सी. इसके अलावा, संख्या ही सीबुलाया कामनंबर एऔर बीतथा द्वारा निरूपित किया जाता है तथा ऐसी संख्या ज्ञात करने की प्रक्रिया भी कहलाती है गुणा. गुणन नियम इस प्रकार दिखता है: .
आदेश संबंध की परिवर्तनशीलता.परिमेय संख्याओं के किसी त्रिक के लिए ए , बीऔर सीअगर एकम बीऔर बीकम सी, वह एकम सी, और अगर एके बराबर होती है बीऔर बीके बराबर होती है सी, वह एके बराबर होती है सी. 6435">जोड़ की क्रमविनिमेयता। तर्कसंगत पदों के स्थान बदलने से योग नहीं बदलता है।
जोड़ की संबद्धता.तीन परिमेय संख्याओं को जोड़ने का क्रम परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।
शून्य की उपस्थिति.एक परिमेय संख्या 0 है जो जोड़ने पर हर दूसरी परिमेय संख्या को सुरक्षित रखती है।
विपरीत संख्याओं की उपस्थिति.किसी भी परिमेय संख्या की एक विपरीत परिमेय संख्या होती है, जिसे जोड़ने पर 0 आता है।
गुणन की क्रमविनिमेयता.तर्कसंगत कारकों के स्थान बदलने से उत्पाद नहीं बदलता है।
गुणन की साहचर्यता.जिस क्रम में तीन परिमेय संख्याओं को गुणा किया जाता है वह परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।
यूनिट की उपलब्धता.एक परिमेय संख्या 1 है जो गुणा करने पर हर दूसरी परिमेय संख्या को सुरक्षित रखती है।
पारस्परिक संख्याओं की उपस्थिति.किसी भी परिमेय संख्या में एक व्युत्क्रम परिमेय संख्या होती है, जिसे गुणा करने पर 1 प्राप्त होता है।
जोड़ के सापेक्ष गुणन की वितरणशीलता।गुणन संक्रिया को वितरण नियम के माध्यम से जोड़ संक्रिया के साथ समन्वित किया जाता है:
जोड़ की संक्रिया के साथ आदेश संबंध का संबंध।एक ही तर्कसंगत संख्या को तर्कसंगत असमानता के बाएँ और दाएँ पक्षों में जोड़ा जा सकता है। /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border='0'>
आर्किमिडीज़ का अभिगृहीत.परिमेय संख्या जो भी हो ए, आप इतनी अधिक इकाइयाँ ले सकते हैं कि उनका योग अधिक हो जाए ए. src='/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png' border='0'>

अतिरिक्त गुण

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एक सेट की गणनीयता

तर्कसंगत संख्याओं की संख्या

इनमें से सबसे सरल एल्गोरिदम इस तरह दिखता है। प्रत्येक पर साधारण भिन्नों की एक अंतहीन तालिका संकलित की गई है मैं-प्रत्येक में पंक्ति जेवह स्तम्भ जिसमें भिन्न स्थित है। निश्चितता के लिए, यह माना जाता है कि इस तालिका की पंक्तियों और स्तंभों को एक से शुरू करके क्रमांकित किया गया है। तालिका कक्षों को , द्वारा दर्शाया जाता है मैं- तालिका पंक्ति की संख्या जिसमें सेल स्थित है, और जे- कॉलम नंबर.

ऐसे ट्रैवर्सल की प्रक्रिया में, प्रत्येक नई परिमेय संख्या किसी अन्य प्राकृतिक संख्या से जुड़ी होती है। अर्थात्, भिन्न 1/1 को संख्या 1, भिन्न 2/1 को संख्या 2, आदि को सौंपा गया है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि केवल अप्रासंगिक भिन्नों को क्रमांकित किया जाता है। अपरिवर्तनीयता का एक औपचारिक संकेत यह है कि भिन्न के अंश और हर का सबसे बड़ा सामान्य भाजक एक के बराबर होता है।

तर्कसंगत संख्याओं का अभाव

ऐसे त्रिभुज के कर्ण को किसी परिमेय संख्या द्वारा व्यक्त नहीं किया जा सकता

पाइथागोरस प्रमेय से हम जानते हैं कि एक समकोण त्रिभुज का कर्ण उसके पैरों के वर्गों के योग के वर्गमूल के रूप में व्यक्त किया जाता है। वह। एक इकाई पैर वाले समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के कर्ण की लंबाई बराबर होती है, अर्थात वह संख्या जिसका वर्ग 2 है।