गणित पाठ सारांश: "निर्देशांक किरण। निर्देशांक किरण पर साधारण भिन्नों की छवि।" मिश्रित संख्याएँ. एक निर्देशांक किरण पर साधारण भिन्नों की छवि

गणित 5 "बी" वर्ग

दिनांक: 12/14/15

पाठ संख्या 83

पाठ विषय: भिन्नों और मिश्रित संख्याओं का चित्रण समन्वय किरण.

पाठ का उद्देश्य:

1.छात्रों को निर्देशांक किरण की अवधारणा दें।
2.एक समन्वय किरण पर साधारण भिन्नों को चित्रित करने की क्षमता और कौशल विकसित करें।
3. सामूहिकता की भावना और दूसरों को सुनने की क्षमता को बढ़ावा देना।

पाठ का प्रकार: कवर की गई सामग्री का सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण।
शिक्षण विधियों: आंशिक खोज, स्व-परीक्षण विधि।

कक्षाओं के दौरान.

І. आयोजन का समय.

“यहाँ कजाकिस्तान में, जीवन अन्य देशों की तुलना में बेहतर होगा। मैं आपसे यह वादा करता हूँ"
एन.ए.नज़रबायेव

प्रिय विद्यार्थियो!

हमारा पाठ स्वतंत्रता दिवस की पूर्व संध्या पर होता है। - लेकिन राज्य के बारे में बोलते हुए, राज्य के प्रमुख - कजाकिस्तान गणराज्य के राष्ट्रपति - एन.ए. नज़रबायेव के बारे में चुप रहना असंभव है। लैटिन से अनुवादित राष्ट्रपति शब्द का अर्थ है "सामने बैठना"! राष्ट्रपति यह सुनिश्चित करता है कि संविधान के कानूनों का उल्लंघन न हो, राष्ट्रपति राज्य की संप्रभुता की रक्षा करता है! 1 दिसंबर 1991 एन.ए. नज़रबायेव संप्रभु कजाकिस्तान के पहले राष्ट्रपति बने। और कई वर्षों तक नज़रबायेव हमारे राज्य के पहले राष्ट्रपति रहे हैं, इसकी बदौलत हमारे देश का कल्याण बढ़ रहा है, खेल परिसर, किंडरगार्टन, स्कूल, मनोरंजन केंद्र, स्वास्थ्य परिसर.

और मैं अपना पाठ निम्नलिखित कार्य से शुरू करने का प्रस्ताव करता हूं।

आइए समस्या का समाधान करें:

1. निर्धारित करें कि एन. नज़रबायेव की उम्र कितनी है, यदि यह ज्ञात हो कि राष्ट्रपति ने 25 वर्षों तक देश पर शासन किया है, जो उनकी उम्र का 1/3 है। उसकी क्या उम्र है?

25*3/1=75 वर्ष.

होमवर्क की जाँच करना. (कार्ड पर कार्य)

सही और अनुचित भिन्न

1. संपूर्ण भाग का चयन करें.

2. एक अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या के रूप में निरूपित करें

उत्तर: ए) 17; पहले में; सी) 3;

3. मिश्रित संख्या 5 को एक अनुचित भिन्न के रूप में निरूपित करें

उत्तर: ए); में) ; साथ) ;

4. संपूर्ण भाग का चयन करें.

ए) 12 सी) 25 सी) 16 डी) 15

5. अनुचित भिन्न में बदलें.

6. एक अनुचित भिन्न को एक मिश्रित संख्या के रूप में एक अनुचित भिन्न के रूप में निरूपित करें।

उत्तर: ए); में) ; साथ) ; डी)

कुंजी (बोर्ड पर लिखा हुआ):

मौखिक गिनती (कार्डों पर)

गणित सिम्युलेटर (छात्रों को अपने वर्जन के कार्य 5 मिनट में पूरे करने होंगे )

किसी नये विषय की व्याख्या
आइए अपने पाठ के मुख्य भाग पर आगे बढ़ें।

पाठ का विषय लिखिए.
समन्वय किरण. एक निर्देशांक किरण पर साधारण भिन्नों और मिश्रित संख्याओं की छवि।
बुर्किना एस.
सभी प्रकार के भिन्नों की आवश्यकता होती है
सभी भिन्न महत्वपूर्ण हैं
भिन्न सिखाएं
तब आपकी किस्मत चमकेगी,
यदि आप भिन्नों को जानते हैं,
बिल्कुल उन्हें समझने का मतलब
यह और भी आसान हो जाएगा
मुश्किल कार्य।

हम कदम दर कदम सीढ़ियाँ चढ़ेंगे।
जैसे-जैसे हम उठेंगे, हमने जो सीखा है उसे दोहराएंगे और नई चीजें सीखेंगे।

संदर्भ ज्ञान का अद्यतनीकरण

रेखा के ऊपर और नीचे भिन्न के तत्वों को क्या कहते हैं?

भिन्नात्मक रेखा को बदलने के लिए किस क्रिया का उपयोग किया जा सकता है?

अंश और हर को एक ही संख्या से विभाजित करने का क्या नाम है?

नई सामग्री सीखने पर काम करें.
1. फ्लिपचार्ट (निर्देशांक किरण की परिभाषा की पुनरावृत्ति )

2. संदर्भ आरेख के साथ कार्य करना
परिभाषा। किसी निर्देशांक किरण पर किसी बिंदु से संबंधित संख्या को उस बिंदु का निर्देशांक कहा जाता है।

एक निर्देशांक किरण पर एक उचित भिन्न को चित्रित करने के लिए आपको यह करना होगा:

1. एक एकल खंड को हर में मौजूद संख्या के अनुरूप समान भागों में विभाजित करें।

2. उलटी गिनती की शुरुआत से, मात्रा अलग रखें बराबर भाग, भिन्न के अंश में संख्या के अनुरूप।

उदाहरण के लिए:

शारीरिक शिक्षा मिनट
प्रिय मित्रों! हम पहले ही आधी यात्रा पार कर चुके हैं, लेकिन आगे अभी भी कई कठिनाइयां हैं, इसलिए थोड़ा आराम करने और कुछ शारीरिक शिक्षा करने का समय आ गया है।

हमने बहुत अच्छा काम किया

और हमें अच्छा आराम मिलेगा

हम कुछ अभ्यास करेंगे

और चलो फिर से सड़क पर उतरें।

मेरे पीछे सभी गतिविधियाँ दोहराएं।

हाथ पीठ के पीछे, सिर पीछे,

अपनी आँखों को छत की ओर देखने दो।

आइए अपनी आँखें नीची करें और डेस्क की ओर देखें,

और फिर ऊपर - मक्खी कहाँ उड़ रही है?

आइये उसे अपनी आँखों से खोजें,

और हम फिर से निर्णय लेते हैं, थोड़ा और।

अब सभी ने आराम कर लिया है और आप अपने रास्ते पर आगे बढ़ सकते हैं।

पाठ्यपुस्तक से समस्याओं का समाधान।
आपमें से प्रत्येक को एक कार्य हल करना होगा № 888, 889 . (समाधान नोटबुक में किया जाता है)।

बहुस्तरीय कार्य

एक निर्देशांक किरण पर साधारण भिन्नों की छवि।

काउंटाल्किन्स

नोटबुक की 9 कोशिकाओं को एक इकाई खंड के रूप में लेते हुए, एक समन्वय किरण बनाएं। निर्देशांक किरण पर बिंदुओं को चिह्नित करें: यू

रेशल्किन्स

नोटबुक की 10 कोशिकाओं को एक इकाई खंड के रूप में लेते हुए, एक समन्वय किरण बनाएं। निर्देशांक किरण पर संख्याएँ अंकित करें:

सामान्य बुद्धि

नोटबुक की 12 कोशिकाओं को एक इकाई खंड के रूप में लेते हुए, एक समन्वय किरण बनाएं। निर्देशांक किरण पर बिंदु N अंकित करें, एक इकाई खंड के बराबर लंबाई के साथ बिंदु NA और NB के दोनों ओर खंडों को हटा दें। बिंदु A और B के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

पाठ सारांश
क्या आपको लगता है कि भिन्न किसी चीज़ के छोटे से हिस्से का एक अंश है? जिस पर आपको ध्यान नहीं देना चाहिए.

यदि हम आपका घर, जिसमें आप रहते हैं, बना रहे होते तो क्या होता?
वास्तुकार ने गणना में थोड़ी सी गलती कर दी।
क्या हुआ, तुम्हें पता है?
घर खंडहर के ढेर में तब्दील हो जायेगा.
आप पुल पर कदम रखें, यह विश्वसनीय और मजबूत है।
यदि इंजीनियर अपने चित्रों में सटीक न हो तो क्या होगा?
तीन दसवां हिस्सा - और दीवारें तिरछी खड़ी की गई हैं,
तीन दसवां हिस्सा - और कारें ढलान से गिर जाएंगी।
केवल तीन दसवें हिस्से की गलती करें, फार्मासिस्ट,
यह जहरीली दवा बन जाएगी, इंसान की जान ले लेगी.

गृहकार्य . खंड 5.6 से सिद्धांत सीखें, संख्या 890, 891, 892 को हल करें

प्रतिबिंब:अब आपको कक्षा में अपने काम का मूल्यांकन करना चाहिए।

एक चेहरा बनाएं और अपना मूल्यांकन करें.

"5" "4" "3"

की तारीख: 13/02/2017 ___________

कक्षा: 5

वस्तु:अंक शास्त्र

पाठ संख्या: 129

पाठ विषय: "निर्देशांक किरण पर दशमलव भिन्नों की छवि। ».

पाठ के लक्ष्य और उद्देश्य:

शैक्षिक:

एक समन्वय बीम पर बिंदुओं के साथ दशमलव अंशों का प्रतिनिधित्व करने की क्षमता विकसित करना, एक समन्वय बीम पर दर्शाए गए बिंदुओं के निर्देशांक ढूंढना;

शैक्षिक:

- विकसित करने पर काम करना जारी रखें: 1) अवलोकन, विश्लेषण, तुलना, साबित करने और निष्कर्ष निकालने का कौशल; 2) गणितीय और सामान्य दृष्टिकोण; 3) अपने काम का मूल्यांकन करें;

शैक्षिक:

- अपने विचारों को व्यक्त करने, दूसरों को सुनने, संवाद संचालित करने, अपनी बात का बचाव करने की क्षमता विकसित करना; आत्म-सम्मान कौशल विकसित करें।

कक्षाओं के दौरान

I. संगठनात्मक क्षण, बधाई, सार्थक कार्य के लिए शुभकामनाएं।

जांचें कि क्या आपने पाठ के लिए सब कुछ तैयार कर लिया है।

द्वितीय. पाठ लक्ष्य निर्धारित करना.

दोस्तों, आज के पाठ के विषय को ध्यान से देखें। आपको क्या लगता है हम आज कक्षा में क्या करेंगे? आइए मिलकर पाठ के लक्ष्य तैयार करने का प्रयास करें।

तृतीय. ज्ञान को अद्यतन करना।सभी छात्र नोटबुक में लिखते हैं, एक छात्र बंद बोर्ड के पीछे। शिक्षक बोर्ड पर कार्य की जाँच करता है, जिसके बाद सभी छात्र तुलना करते हैं और गलतियों को सुधारते हैं।

1) गणितीय श्रुतलेख।

1. तीन दशमलव एक दसवां.

2. पाँच दशमलव आठ.

3. एक दशमलव पांच.

4. शून्य दशमलव सात.

5. सात दशमलव पच्चीस सौवां.

6. शून्य दशमलव सोलह.

7. तीन दशमलव एक सौ पच्चीस हजारवाँ भाग।

8. पाँच दशमलव बारह.

9. दस दशमलव चौबीस सौवां.

10. एक दशमलव तीन.

उत्तर:

7. 3,125

9. 10,24

2) मौखिक कार्य

(1) दशमलव पढ़ें:

3) चलो याद करते हैं!

किसी निर्देशांक किरण पर एक बिंदु अंकित करने के लिए, आपको...

निर्देशांक किरण पर एक बिंदु को कौन सा अक्षर अंकित करता है?

किसी बिंदु का निर्देशांक कैसे लिखा जाता है?

3. नई सामग्री का अध्ययन.

निर्देशांक किरण पर दशमलव भिन्नों को सामान्य भिन्नों की तरह ही दर्शाया जाता है।

(2) 1)आइए हम निर्देशांक किरण पर चित्रित करें दशमलव 3,2.

संख्या 3.2 में 3 पूर्ण इकाइयाँ और एक इकाई का 2 दसवां हिस्सा शामिल है। सबसे पहले, हम संख्या 3 के अनुरूप निर्देशांक किरण पर एक बिंदु चिह्नित करते हैं। फिर हम अगले इकाई खंड को दस बराबर भागों में विभाजित करते हैं और संख्या 3 के दाईं ओर ऐसे दो भागों को गिनते हैं। इस तरह हमें निर्देशांक किरण पर बिंदु ए मिलता है। , जो दशमलव अंश 3.2 का प्रतिनिधित्व करता है। मूल बिंदु से बिंदु A तक की दूरी 3.2 इकाई खंडों (A = 3.2) के बराबर है।

आइए निर्देशांक किरण पर दशमलव भिन्न 3.2 को चित्रित करें।

2) आइए निर्देशांक किरण पर दशमलव अंश 0.56 चित्रित करें।

4. अध्ययन की गई सामग्री का समेकन।

(3) 1. कराताउ से कोक्तल तक सड़क 10 किमी है। पेट्या 3 किमी चली। वह सड़क पर कितनी दूर तक चला?

1. सम्पूर्ण पथ को कितने बराबर भागों में बाँटा गया है? ( 10 भागों में)

2. पथ का एक भाग किसके बराबर होगा? (1/10 या 0.1)?

3. ऐसे पथ के तीन भाग किसके बराबर होंगे? (0.3)?

1. निर्देशांक रेखा पर कौन-सी संख्याएँ बिन्दुओं द्वारा अंकित होती हैं।

(6) 4. एक निर्देशांक किरण खींचिए। एक खंड के लिए, नोटबुक के 5 सेल लें। निर्देशांक किरण पर बिंदु A (0.9), B (1.2), C (3.0) खोजें

(7) पाठ्यपुस्तक के साथ कार्य करना

(8)5. शारीरिक शिक्षा, ध्यान व्यायाम।

छात्रों के साथ विभेदित कार्य(प्रतिभाशाली और कम उपलब्धि वाले छात्रों के साथ काम करें)।

6. पाठ का सारांश।

दोस्तों, आज आपने कक्षा में क्या नया सीखा?

क्या आपको लगता है कि हम अपने लक्ष्य हासिल करने में कामयाब रहे?

प्रतिबिंब।

आप लोग क्या सोचते हैं, क्या हमने अपना लक्ष्य हासिल कर लिया है?

आपने पाठ में क्या सीखा? - आपने पाठ में क्या सीखा?

आपको पाठ के बारे में क्या पसंद आया? आपको किन कठिनाइयों का सामना करना पड़ा?

(9)7. गृहकार्य:

पाठ के लिए समर्थन पत्रक "निर्देशांक किरण पर दशमलव भिन्नों की छवि».

1. दशमलव पढ़ें:

0,2 1,009 3,26 8,1 607,8 0,2345 0,001 3,07 27,27 0,24 100,001 3,08 3,89 71,007 5,0023

2. आइए निर्देशांक किरण पर दशमलव भिन्न 3.2 को चित्रित करें।

a) संख्या 3.2 में 3 पूर्ण इकाइयाँ और एक इकाई का 2 दसवां हिस्सा शामिल है।

बी) आइए निर्देशांक किरण पर दशमलव अंश 0.56 चित्रित करें।

3. करतौ से कोक्तल तक सड़क 10 किमी है। पेट्या 3 किमी चली। वह सड़क पर कितनी दूर तक चला?

1. सम्पूर्ण पथ को कितने बराबर भागों में बाँटा गया है?

2. पथ का एक भाग किसके बराबर होगा?

3. ऐसे पथ के तीन भाग किसके बराबर होंगे?

4. निर्देशांक रेखा पर बिन्दुओं द्वारा कौन सी संख्याएँ अंकित होती हैं?

5. एक निर्देशांक रेखा पर कुछ बिंदु अक्षरों द्वारा निर्दिष्ट होते हैं। कौन सा बिंदु संख्या 34.8 से मेल खाता है; 34.2; 34.6; 35.4; 35.8; 35.6?

6. एक निर्देशांक किरण बनाएं. एक खंड के लिए, नोटबुक के 5 सेल लें। निर्देशांक किरण पर बिंदु A (0.9), B (1.2), C (3.0) खोजें

7. पाठ्यपुस्तक के साथ कार्य करना: पृष्ठ 89 पर पाठ्यपुस्तक खोलें, संख्या निष्पादित करें: संख्या 1254 (सरलता कार्य)।

8. आकृतियों को इस प्रकार गिनें: "पहला त्रिभुज, पहला कोना, पहला वृत्त, दूसरा कोना, आदि।"

9. गृहकार्य:

1. बोर्ड पर टास्क नंबर

2. एक परी कथा के साथ आएं जो इस तरह शुरू होनी चाहिए: एक निश्चित राज्य में, एक निश्चित राज्य में जिसे "संख्याओं का राज्य" कहा जाता है, वहां भिन्न रहते थे: साधारण और दशमलव

यह आलेख निम्न से संबंधित है सामान्य भिन्न. यहां हम पूर्ण के भिन्न की अवधारणा का परिचय देंगे, जो हमें सामान्य भिन्न की परिभाषा तक ले जाएगा। आगे हम साधारण भिन्नों के लिए स्वीकृत संकेतन पर ध्यान केन्द्रित करेंगे और भिन्नों के उदाहरण देंगे, मान लीजिए किसी भिन्न के अंश और हर के बारे में। इसके बाद हम उचित और अनुचित, धनात्मक और ऋणात्मक भिन्नों की परिभाषा देंगे तथा निर्देशांक किरण पर भिन्नात्मक संख्याओं की स्थिति पर भी विचार करेंगे। निष्कर्ष में, हम भिन्नों के साथ मुख्य संक्रियाओं को सूचीबद्ध करते हैं।

पेज नेविगेशन.

पूरे के शेयर

सबसे पहले हम परिचय कराते हैं शेयर की अवधारणा.

आइए मान लें कि हमारे पास कोई वस्तु है जो कई बिल्कुल समान (अर्थात् बराबर) भागों से बनी है। स्पष्टता के लिए, आप कल्पना कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, कई समान भागों में कटा हुआ एक सेब, या कई समान स्लाइस वाला एक संतरा। इनमें से प्रत्येक समान भाग जो संपूर्ण वस्तु का निर्माण करता है, कहलाता है संपूर्ण के भागया केवल शेयरों.

ध्यान दें कि शेयर अलग-अलग हैं। आइये इसे समझाते हैं. आइए हम दो सेब लें। पहले सेब को दो बराबर भागों में और दूसरे को 6 बराबर भागों में काटें। यह स्पष्ट है कि पहले सेब का हिस्सा दूसरे सेब के हिस्से से अलग होगा।

संपूर्ण वस्तु को बनाने वाले शेयरों की संख्या के आधार पर, इन शेयरों के अपने नाम होते हैं। आइए इसे सुलझाएं धड़कनों के नाम. यदि किसी वस्तु में दो भाग होते हैं, तो उनमें से किसी को पूरी वस्तु का एक दूसरा भाग कहा जाता है; यदि किसी वस्तु में तीन भाग होते हैं, तो उनमें से किसी एक को एक तिहाई भाग कहा जाता है, इत्यादि।

एक सेकंड शेयर का होता है खास नाम - आधा. एक तिहाई को बुलाया जाता है तीसरा, और एक चौथाई भाग - एक चौथाई.

संक्षिप्तता के लिए, निम्नलिखित प्रस्तुत किए गए: प्रतीकों को हराओ. एक दूसरे शेयर को या 1/2 के रूप में नामित किया गया है, एक तिहाई शेयर को या 1/3 के रूप में नामित किया गया है; एक चौथाई हिस्सा - जैसे या 1/4, इत्यादि। ध्यान दें कि क्षैतिज पट्टी वाले अंकन का प्रयोग अधिक बार किया जाता है। सामग्री को सुदृढ़ करने के लिए, आइए एक और उदाहरण दें: प्रविष्टि संपूर्ण के एक सौ साठवें भाग को दर्शाती है।

हिस्सेदारी की अवधारणा स्वाभाविक रूप से वस्तुओं से लेकर मात्राओं तक फैली हुई है। उदाहरण के लिए, लंबाई का एक माप मीटर है। एक मीटर से छोटी लंबाई मापने के लिए मीटर के अंशों का उपयोग किया जा सकता है। तो, उदाहरण के लिए, आप आधा मीटर या मीटर का दसवां या हजारवां हिस्सा उपयोग कर सकते हैं। अन्य मात्राओं के शेयर इसी तरह लागू होते हैं।

सामान्य भिन्न, भिन्नों की परिभाषा और उदाहरण

हमारे द्वारा उपयोग किए जाने वाले शेयरों की संख्या का वर्णन करने के लिए सामान्य भिन्न. आइए हम एक उदाहरण दें जो हमें साधारण भिन्नों की परिभाषा तक पहुंचने की अनुमति देगा।

बता दें कि संतरे में 12 भाग होते हैं। इस मामले में प्रत्येक हिस्सा पूरे संतरे के बारहवें हिस्से का प्रतिनिधित्व करता है, अर्थात। हम दो बीट्स को के रूप में निरूपित करते हैं, तीन बीट्स को हम के रूप में निरूपित करते हैं, और इसी तरह, 12 बीट्स को हम के रूप में निरूपित करते हैं। दी गई प्रत्येक प्रविष्टि को साधारण भिन्न कहा जाता है।

अब आइए एक सामान्य जानकारी दें सामान्य भिन्नों की परिभाषा.

साधारण भिन्नों की ध्वनिबद्ध परिभाषा हमें देने की अनुमति देती है सामान्य भिन्नों के उदाहरण: 5/10, , 21/1, 9/4, . और यहाँ रिकॉर्ड हैं साधारण भिन्नों की बताई गई परिभाषा में फिट नहीं बैठते, अर्थात् वे साधारण भिन्न नहीं हैं।

मीटर और विभाजक

सुविधा के लिए, साधारण भिन्नों को अलग किया जाता है मीटर और विभाजक.

परिभाषा।

मीटरसाधारण भिन्न (m/n) एक प्राकृतिक संख्या m है।

परिभाषा।

भाजकसामान्य भिन्न (m/n) एक प्राकृतिक संख्या n है।

तो, अंश भिन्न रेखा के ऊपर (स्लैश के बाईं ओर) स्थित है, और हर भिन्न रेखा के नीचे (स्लैश के दाईं ओर) स्थित है। उदाहरण के लिए, आइए सामान्य भिन्न 17/29 लें, इस भिन्न का अंश संख्या 17 है, और हर संख्या 29 है।

साधारण भिन्न के अंश और हर में निहित अर्थ पर चर्चा करना बाकी है। भिन्न का हर दर्शाता है कि एक वस्तु में कितने भाग हैं, और अंश, बदले में, ऐसे भागों की संख्या इंगित करता है। उदाहरण के लिए, भिन्न 12/5 के हर 5 का अर्थ है कि एक वस्तु में पाँच अंश हैं, और अंश 12 का अर्थ है कि 12 ऐसे अंश लिए गए हैं।

हर 1 के साथ भिन्न के रूप में प्राकृतिक संख्या

एक सामान्य भिन्न का हर एक के बराबर हो सकता है। इस मामले में, हम मान सकते हैं कि वस्तु अविभाज्य है, दूसरे शब्दों में, यह किसी संपूर्ण चीज़ का प्रतिनिधित्व करती है। ऐसे अंश का अंश इंगित करता है कि कितनी संपूर्ण वस्तुएँ ली गई हैं। इस प्रकार, सामान्य अंशफॉर्म m/1 का अर्थ एक प्राकृतिक संख्या m है। इस प्रकार हमने समानता m/1=m की वैधता की पुष्टि की।

आइए अंतिम समानता को इस प्रकार फिर से लिखें: m=m/1। यह समानता हमें किसी भी प्राकृतिक संख्या m को साधारण भिन्न के रूप में निरूपित करने की अनुमति देती है। उदाहरण के लिए, संख्या 4 भिन्न 4/1 है, और संख्या 103,498 भिन्न 103,498/1 के बराबर है।

इसलिए, किसी भी प्राकृत संख्या m को 1 के हर के साथ m/1 के रूप में एक साधारण भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, और m/1 के रूप के किसी भी साधारण भिन्न को एक प्राकृत संख्या m से प्रतिस्थापित किया जा सकता है।.

विभाजन चिन्ह के रूप में अंश पट्टी

मूल वस्तु को n अंशों के रूप में प्रस्तुत करना n समान भागों में विभाजन से अधिक कुछ नहीं है। किसी वस्तु को n शेयरों में विभाजित करने के बाद, हम इसे n लोगों के बीच समान रूप से विभाजित कर सकते हैं - प्रत्येक को एक शेयर प्राप्त होगा।

यदि हमारे पास शुरू में m समान वस्तुएँ हैं, जिनमें से प्रत्येक को n शेयरों में विभाजित किया गया है, तो हम इन m वस्तुओं को n लोगों के बीच समान रूप से विभाजित कर सकते हैं, प्रत्येक व्यक्ति को प्रत्येक m वस्तुओं से एक हिस्सा दे सकते हैं। इस मामले में, प्रत्येक व्यक्ति के पास 1/n का m शेयर होगा, और 1/n का m शेयर सामान्य अंश m/n देता है। इस प्रकार, सामान्य भिन्न m/n का उपयोग n लोगों के बीच m वस्तुओं के विभाजन को दर्शाने के लिए किया जा सकता है।

इस प्रकार हमें साधारण भिन्नों और विभाजन के बीच एक स्पष्ट संबंध प्राप्त हुआ (प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करने का सामान्य विचार देखें)। यह संबंध इस प्रकार व्यक्त किया गया है: भिन्न रेखा को विभाजन चिह्न के रूप में समझा जा सकता है, अर्थात m/n=m:n.

एक उभयनिष्ठ भिन्न का उपयोग करके, आप दो को विभाजित करने का परिणाम लिख सकते हैं प्राकृतिक संख्या, जिसके लिए अभिन्न विभाजन नहीं किया जाता है। उदाहरण के लिए, 5 सेबों को 8 लोगों द्वारा विभाजित करने का परिणाम 5/8 के रूप में लिखा जा सकता है, अर्थात, प्रत्येक को एक सेब का पांच-आठवां हिस्सा मिलेगा: 5:8 = 5/8।

समान और असमान भिन्न, भिन्नों की तुलना

एक बिल्कुल स्वाभाविक क्रिया है भिन्नों की तुलना करना, क्योंकि यह स्पष्ट है कि एक संतरे का 1/12 भाग 5/12 से भिन्न है, और एक सेब का 1/6 भाग इस सेब के अन्य 1/6 भाग के समान है।

दो साधारण भिन्नों की तुलना करने पर एक परिणाम प्राप्त होता है: भिन्न या तो बराबर या असमान होते हैं। पहले मामले में हमारे पास है समान सामान्य भिन्न, और दूसरे में - असमान साधारण भिन्न. आइए हम समान और असमान साधारण भिन्नों की परिभाषा दें।

परिभाषा।

बराबर, यदि समानता a·d=b·c सत्य है।

परिभाषा।

दो सामान्य भिन्न a/b और c/d सम नही, यदि समानता a·d=b·c संतुष्ट नहीं है।

यहां समान भिन्नों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं। उदाहरण के लिए, सामान्य भिन्न 1/2, भिन्न 2/4 के बराबर है, क्योंकि 1·4=2·2 (यदि आवश्यक हो, तो प्राकृतिक संख्याओं को गुणा करने के नियम और उदाहरण देखें)। स्पष्टता के लिए, आप दो समान सेबों की कल्पना कर सकते हैं, पहला आधे में काटा गया है, और दूसरा 4 भागों में काटा गया है। यह स्पष्ट है कि एक सेब के दो चौथाई हिस्से का आधा हिस्सा बराबर होता है। समान सामान्य भिन्नों के अन्य उदाहरण भिन्न 4/7 और 36/63, और भिन्नों की जोड़ी 81/50 और 1,620/1,000 हैं।

लेकिन साधारण भिन्न 4/13 और 5/14 बराबर नहीं हैं, क्योंकि 4·14=56, और 13·5=65, यानी 4·14≠13·5। असमान उभयनिष्ठ भिन्नों के अन्य उदाहरण भिन्न 17/7 और 6/4 हैं।

यदि, दो सामान्य भिन्नों की तुलना करने पर, यह पता चलता है कि वे बराबर नहीं हैं, तो आपको यह पता लगाने की आवश्यकता हो सकती है कि इनमें से कौन सा सामान्य भिन्न है कमअलग, और कौन सा - अधिक. इसका पता लगाने के लिए साधारण भिन्नों की तुलना करने के नियम का उपयोग किया जाता है, जिसका सार तुलना किए गए भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना और फिर अंशों की तुलना करना है। इस विषय पर विस्तृत जानकारी भिन्नों की तुलना: नियम, उदाहरण, समाधान लेख में एकत्र की गई है।

भिन्नात्मक संख्याएँ

प्रत्येक अंश एक अंकन है भिन्नात्मक संख्या. अर्थात्, एक भिन्न एक भिन्नात्मक संख्या का केवल एक "कोश" है, इसका उपस्थिति, और सारा शब्दार्थ भार भिन्नात्मक संख्या में निहित है। हालाँकि, संक्षिप्तता और सुविधा के लिए, भिन्न और भिन्नात्मक संख्या की अवधारणाओं को संयोजित किया जाता है और बस इसे भिन्न कहा जाता है। यहां एक प्रसिद्ध कहावत की व्याख्या करना उचित है: हम एक भिन्न कहते हैं - हमारा मतलब एक भिन्नात्मक संख्या है, हम एक भिन्नात्मक संख्या कहते हैं - हमारा मतलब एक भिन्न है।

एक समन्वय किरण पर भिन्न

साधारण भिन्नों के अनुरूप सभी भिन्नात्मक संख्याओं का अपना विशिष्ट स्थान होता है, अर्थात भिन्नों और निर्देशांक किरण के बिंदुओं के बीच एक-से-एक पत्राचार होता है।

भिन्न m/n के संगत निर्देशांक किरण पर बिंदु तक पहुंचने के लिए, आपको m खंडों को मूल से सकारात्मक दिशा में अलग रखना होगा, जिसकी लंबाई एक इकाई खंड का 1/n अंश है। ऐसे खंडों को एक इकाई खंड को n बराबर भागों में विभाजित करके प्राप्त किया जा सकता है, जो हमेशा एक कंपास और एक रूलर का उपयोग करके किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, आइए निर्देशांक किरण पर अंश 14/10 के अनुरूप बिंदु M दिखाएं। बिंदु O पर समाप्त होने वाले और उसके निकटतम बिंदु वाले एक खंड की लंबाई, एक छोटे डैश से चिह्नित, एक इकाई खंड का 1/10 है। निर्देशांक 14/10 वाला बिंदु मूल बिंदु से ऐसे 14 खंडों की दूरी पर हटा दिया जाता है।

समान भिन्न समान भिन्नात्मक संख्या के अनुरूप होते हैं, अर्थात समान भिन्न निर्देशांक किरण पर एक ही बिंदु के निर्देशांक होते हैं। उदाहरण के लिए, निर्देशांक 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 निर्देशांक किरण पर एक बिंदु के अनुरूप हैं, क्योंकि सभी लिखित अंश बराबर हैं (यह आधे इकाई खंड की दूरी पर स्थित है) मूल से सकारात्मक दिशा में)।

क्षैतिज और दायीं ओर निर्देशित निर्देशांक किरण पर, वह बिंदु जिसका निर्देशांक बड़ा अंश है, उस बिंदु के दाईं ओर स्थित होता है जिसका निर्देशांक छोटा अंश है। इसी प्रकार, छोटे निर्देशांक वाला एक बिंदु बड़े निर्देशांक वाले बिंदु के बाईं ओर स्थित होता है।

उचित एवं अनुचित भिन्न, परिभाषाएँ, उदाहरण

साधारण भिन्नों में से हैं उचित और अनुचित भिन्न. यह विभाजन अंश और हर की तुलना पर आधारित है।

आइए हम उचित और अनुचित साधारण भिन्नों को परिभाषित करें।

परिभाषा।

उचित अंश एक साधारण भिन्न है जिसका अंश हर से कम है, अर्थात यदि m

परिभाषा।

अनुचित अंशएक साधारण भिन्न है जिसमें अंश हर से बड़ा या उसके बराबर होता है, अर्थात यदि m≥n है, तो साधारण भिन्न अनुचित है।

यहां उचित भिन्नों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं: 1/4, , 32,765/909,003। दरअसल, प्रत्येक लिखित साधारण भिन्न में अंश, हर से कम होता है (यदि आवश्यक हो, तो प्राकृतिक संख्याओं की तुलना करने वाला लेख देखें), इसलिए वे परिभाषा के अनुसार सही हैं।

यहां अनुचित भिन्नों के उदाहरण दिए गए हैं: 9/9, 23/4,। दरअसल, लिखित साधारण भिन्नों में से पहले अंश का अंश हर के बराबर होता है, और शेष भिन्नों में अंश हर से बड़ा होता है।

भिन्नों की एक से तुलना के आधार पर उचित और अनुचित भिन्नों की भी परिभाषाएँ हैं।

परिभाषा।

सही, यदि यह एक से कम है।

परिभाषा।

साधारण भिन्न कहा जाता है गलत, यदि यह या तो एक के बराबर है या 1 से अधिक है।

अतः 7/11 के बाद से सामान्य भिन्न 7/11 सही है<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1, और 27/27=1.

आइए इस बारे में सोचें कि हर से अधिक या उसके बराबर अंश वाली साधारण भिन्नें ऐसे नाम की हकदार कैसे होती हैं - "अनुचित"।

उदाहरण के लिए, आइए अनुचित भिन्न 9/9 लें। इस अंश का अर्थ है कि जिस वस्तु के नौ भाग हों, उसके नौ भाग लिये जाते हैं। अर्थात्, उपलब्ध नौ भागों से हम एक संपूर्ण वस्तु बना सकते हैं। अर्थात्, अनुचित भिन्न 9/9 अनिवार्य रूप से संपूर्ण वस्तु देता है, अर्थात 9/9 = 1। सामान्य तौर पर, हर के बराबर अंश वाले अनुचित भिन्न एक संपूर्ण वस्तु को दर्शाते हैं, और ऐसे भिन्न को प्राकृतिक संख्या 1 से बदला जा सकता है।

अब अनुचित भिन्न 7/3 और 12/4 पर विचार करें। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि इन सात तिहाई भागों से हम दो पूर्ण वस्तुएँ बना सकते हैं (एक पूर्ण वस्तु में 3 भाग होते हैं, फिर दो पूर्ण वस्तुएँ बनाने के लिए हमें 3 + 3 = 6 भागों की आवश्यकता होगी) और फिर भी एक तिहाई भाग बचा रहेगा . यानी, अनुचित भिन्न 7/3 का अर्थ अनिवार्य रूप से 2 वस्तुएं और ऐसी वस्तु का 1/3 भी है। और बारह चौथाई भागों से हम तीन पूर्ण वस्तुएँ (प्रत्येक चार भागों वाली तीन वस्तुएँ) बना सकते हैं। अर्थात्, भिन्न 12/4 का अर्थ अनिवार्य रूप से 3 पूर्ण वस्तुएँ हैं।

विचार किए गए उदाहरण हमें निम्नलिखित निष्कर्ष पर ले जाते हैं: अनुचित भिन्नों को या तो प्राकृतिक संख्याओं द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, जब अंश को हर द्वारा समान रूप से विभाजित किया जाता है (उदाहरण के लिए, 9/9=1 और 12/4=3), या योग से एक प्राकृतिक संख्या और एक उचित भिन्न का, जब अंश हर से समान रूप से विभाज्य नहीं होता है (उदाहरण के लिए, 7/3=2+1/3)। संभवतः इसी कारण अनुचित भिन्नों को "अनियमित" नाम मिला।

विशेष रुचि एक प्राकृतिक संख्या और एक उचित भिन्न (7/3=2+1/3) के योग के रूप में एक अनुचित भिन्न का प्रतिनिधित्व है। इस प्रक्रिया को अनुचित अंश से पूरे भाग को अलग करना कहा जाता है, और इस पर अलग और अधिक सावधानीपूर्वक विचार करने की आवश्यकता है।

यह भी ध्यान देने योग्य है कि अनुचित भिन्नों और मिश्रित संख्याओं के बीच बहुत घनिष्ठ संबंध है।

सकारात्मक और नकारात्मक भिन्न

प्रत्येक सामान्य भिन्न एक धनात्मक भिन्नात्मक संख्या से मेल खाता है (धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं पर लेख देखें)। अर्थात् साधारण भिन्न हैं सकारात्मक अंश. उदाहरण के लिए, साधारण भिन्न 1/5, 56/18, 35/144 धनात्मक भिन्न हैं। जब आपको किसी भिन्न की सकारात्मकता को उजागर करने की आवश्यकता होती है, तो उसके सामने एक प्लस चिह्न लगाया जाता है, उदाहरण के लिए, +3/4, +72/34।

यदि आप किसी उभयनिष्ठ भिन्न के सामने ऋण चिह्न लगाते हैं, तो यह प्रविष्टि एक ऋणात्मक भिन्नात्मक संख्या के अनुरूप होगी। ऐसे में हम बात कर सकते हैं नकारात्मक भिन्न. यहां ऋणात्मक भिन्नों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं: -6/10, -65/13, -1/18।

धनात्मक और ऋणात्मक भिन्न m/n और −m/n विपरीत संख्याएँ हैं। उदाहरण के लिए, भिन्न 5/7 और −5/7 विपरीत भिन्न हैं।

सकारात्मक भिन्न, सामान्य रूप से सकारात्मक संख्याओं की तरह, जोड़, आय, किसी मूल्य में ऊपर की ओर परिवर्तन आदि को दर्शाते हैं। नकारात्मक अंश व्यय, ऋण या किसी मात्रा में कमी के अनुरूप हैं। उदाहरण के लिए, ऋणात्मक अंश -3/4 की व्याख्या एक ऋण के रूप में की जा सकती है जिसका मूल्य 3/4 के बराबर है।

क्षैतिज और दाहिनी दिशा में, ऋणात्मक भिन्न मूल बिंदु के बाईं ओर स्थित होते हैं। निर्देशांक रेखा के बिंदु, जिनके निर्देशांक धनात्मक अंश m/n और ऋणात्मक अंश -m/n हैं, मूल से समान दूरी पर, लेकिन बिंदु O के विपरीत पक्षों पर स्थित हैं।

यहां 0/n के रूप के भिन्नों का उल्लेख करना उचित है। ये भिन्न संख्या शून्य के बराबर हैं, अर्थात 0/n=0।

धनात्मक भिन्न, ऋणात्मक भिन्न और 0/n भिन्न मिलकर परिमेय संख्याएँ बनाते हैं।

भिन्नों के साथ संचालन

हम ऊपर सामान्य भिन्नों के साथ एक क्रिया - भिन्नों की तुलना - पर पहले ही चर्चा कर चुके हैं। चार और अंकगणितीय फलन परिभाषित हैं भिन्नों के साथ संचालन- भिन्नों को जोड़ना, घटाना, गुणा करना और विभाजित करना। आइए उनमें से प्रत्येक पर नजर डालें।

भिन्नों के साथ संक्रियाओं का सामान्य सार प्राकृतिक संख्याओं के साथ संबंधित संक्रियाओं के सार के समान है। आइए एक सादृश्य बनाएं.

भिन्नों को गुणा करनाइसे भिन्न में से भिन्न खोजने की क्रिया के रूप में सोचा जा सकता है। स्पष्ट करने के लिए, आइए एक उदाहरण दें। मान लीजिए हमारे पास एक सेब का 1/6 भाग है और हमें इसका 2/3 भाग लेना है। हमें जिस भाग की आवश्यकता है वह भिन्न 1/6 और 2/3 को गुणा करने का परिणाम है। दो साधारण भिन्नों को गुणा करने का परिणाम एक साधारण भिन्न होता है (जो एक विशेष स्थिति में एक प्राकृतिक संख्या के बराबर होता है)। इसके बाद, हम अनुशंसा करते हैं कि आप भिन्नों को गुणा करना - नियम, उदाहरण और समाधान लेख में दी गई जानकारी का अध्ययन करें।

ग्रंथ सूची.

• विलेनकिन एन.वाई.ए., झोखोव वी.आई., चेसनोकोव ए.एस., श्वार्ट्सबर्ड एस.आई. गणित: 5वीं कक्षा के लिए पाठ्यपुस्तक। शिक्षण संस्थानों।
• विलेनकिन एन.वाई.ए. और अन्य। गणित। छठी कक्षा: सामान्य शिक्षा संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक।
• गुसेव वी.ए., मोर्दकोविच ए.जी. गणित (तकनीकी स्कूलों में प्रवेश करने वालों के लिए एक मैनुअल)।

2. निर्देशांक किरण पर भिन्नों की छवि (पृष्ठ 23) शिक्षक की गतिविधियों के लक्ष्य: साधारण भिन्नों की अवधारणा बनाना; गणितीय भाषण, कार्यशील स्मृति, स्वैच्छिक ध्यान, दृश्य और प्रभावी सोच के विकास को बढ़ावा देना; ललाट और व्यक्तिगत कार्य के दौरान व्यवहार की संस्कृति विकसित करना विषय: अंकगणितीय ऑपरेशन एल्गोरिथ्म के निष्पादन की शुद्धता और पूर्णता का चरण-दर-चरण नियंत्रण। व्यक्तिगत: अपनी सबसे उल्लेखनीय उपलब्धियों के बारे में स्वयं को बताएं, विषय का अध्ययन करने में संज्ञानात्मक रुचि दिखाएं, अपनी गतिविधियों के परिणामों को सकारात्मक मूल्यांकन और आत्म-सम्मान दें। मेटा-विषय:- नियामक: शैक्षिक गतिविधि का लक्ष्य निर्धारित करें, इसे प्राप्त करने के साधन खोजें; – संज्ञानात्मक: निष्कर्षों को "यदि...तो..." नियमों के रूप में लिखें; - संचारी: वे जानते हैं कि अपनी बात का बचाव कैसे करना है, उस पर बहस करना है, तथ्यों के साथ उसकी पुष्टि करना है। संसाधन सामग्री: होमवर्क की जाँच के लिए कार्ड। I. पाठ योजना: संगठनात्मक बिंदु। व्यक्तिगत शैक्षिक कौशल: संज्ञानात्मक रुचि का विकास, ध्यान आकर्षित करना, दूसरों के प्रति सम्मान। अभिवादन, विषय की ध्वनि और पाठ का उद्देश्य। द्वितीय. होमवर्क की जाँच करना. व्यक्तिगत यूयूडी: अर्थ गठन। संचारी यूयूडी: शिक्षक के साथ सहयोग करने की क्षमता। तालिकाओं की जाँच करना। तृतीय. छात्रों के ज्ञान को अद्यतन करना। संचार कौशल: सुनने की क्षमता, संवाद में संलग्न होना। विनियामक प्रबंधन गतिविधियाँ: अपनी गतिविधियों की योजना बनाना, लक्ष्य निर्धारण। मौखिक व्यायाम. उन्हें कक्षा के साथ संचालित किया जाता है, साथ ही पहले डेस्क पर छह लोग और ब्लैकबोर्ड पर चार लोग कार्ड का उपयोग करके निर्णय लेते हैं। मौखिक रूप से: संख्या 910 (सी, डी), 912, 916। पहले डेस्क पर: विकल्प I 1) संख्या को संख्याओं में लिखें: ए) एक नौवां; बी) एक तिहाई. 2) बॉक्स में 18 गेंदें हैं। कुछ काली गेंदें हैं, बाकी सफेद हैं। डिब्बे में कितनी सफेद गेंदें हैं? 3) समीकरण को हल करें: पी - 375 = 2341. - पीला, विकल्प II 1) संख्या को संख्याओं में लिखें: ए) एक सत्रहवाँ; बी) एक नौवां. 2) पर्यटकों ने 36 किमी की यात्रा की। हम रास्ते का कुछ हिस्सा पैदल चले, कुछ रास्ता नाव से तय किया और बाकी रास्ता बस से तय किया। पर्यटकों ने बस से कितने किलोमीटर की यात्रा की? 3) समीकरण हल करें: 85 - z = 36। बोर्ड पर उत्तर देने वालों के लिए कार्ड। कार्ड 1. 1) सामग्री के एक टुकड़े को 12 बराबर भागों में काटा गया। प्रत्येक भाग पूरे टुकड़े का कितना अनुपात बनाता है? शेयर क्या है? 2) समीकरण क्या कहलाता है? कार्ड 2. शेयर किसे कहते हैं? ; ? आधा घंटा क्या है? एक मीटर का कौन सा अंश 1 सेमी के बराबर होता है? 2) समीकरण का मूल क्या है? किसी समीकरण को हल करने का क्या मतलब है? कार्ड 3. 1) वृत्त के छायांकित भाग को भिन्न के रूप में व्यक्त करें। यह विशेष संख्या हर में क्यों लिखी जाती है? यह क्या दर्शाता है? अंश-गणक में ऐसी संख्या क्यों लिखी जाती है? यह क्या दर्शाता है? 2) अज्ञात उपट्रेंड कैसे खोजें? एक उदाहरण दें। कार्ड 4. 1) आकृति के बिना छायांकित भाग को भिन्न के रूप में व्यक्त करें। बताएं कि ये संख्याएं अंश और हर में क्यों लिखी जाती हैं। 2) अज्ञात मीनूएंड का पता कैसे लगाएं? एक उदाहरण दें। चतुर्थ. नई सामग्री सीखना. व्यक्तिगत यूयूडी: नैतिक और नैतिक अभिविन्यास। संचारी यूयूडी: लक्ष्यों को परिभाषित करना, बातचीत के तरीके। अवधारणाएँ: अंश, हर। 1. 1 मी = 10 डीएम = 100 सेमी 1 सेमी = मी; 1 डीएम = एम; 1 किग्रा = 1000 ग्राम 1 ग्राम = किग्रा 2. एक समन्वय किरण पर भिन्नों की छवि। 3. एक साधारण भिन्न लिखना, अंश और हर का निर्धारण करना। 4. हर क्या दर्शाता है? अंश-गणक क्या दर्शाता है? वी. समेकन. 1. मौखिक रूप से क्रमांक 926 (घरेलू व्यायाम), क्रमांक 896. 2. क्रमांक 899, 898 (स्वतंत्र)। 3. निर्देशांक किरण पर बिंदु C अंकित करें; डी और ई. सबसे पहले छात्रों से पूछें: “एक इकाई खंड लेने के लिए कौन सी लंबाई अधिक सुविधाजनक है? क्यों?"। 4. क्रमांक 900 (पढ़ें), क्रमांक 901, 903 (स्वतंत्र)। 5. पुनरावृत्ति के लिए: क्रमांक 920, 924 (1)। VI. गतिविधि का प्रतिबिंब. व्यक्तिगत यूयूडी: नैतिक और नैतिक अभिविन्यास। नियामक शिक्षण गतिविधियाँ: सीखने की प्रेरणा बढ़ाने के लिए मध्यवर्ती परिणामों का मूल्यांकन और स्व-नियमन। स्वयं निर्णय लें: 1. तार के एक टुकड़े की लंबाई 12 मीटर है। एक टेबल लैंप की मरम्मत के दौरान, इस टुकड़े का उपयोग किया गया था। कितने मीटर तार बचे हैं? 2. संयंत्र को 120 नई मशीनें प्राप्त हुईं। प्राप्त मशीनों को प्रथम कार्यशाला में स्थापित किया गया। प्रथम कार्यशाला में कितनी नई मशीनें स्थापित की गईं? सातवीं. गृहकार्य: पृष्ठ 23; क्रमांक 928, 927, 937, अंक 4, 11 दोहराएँ।