Perkalian aljabar. Mengalikan pecahan aljabar

Untuk melakukan perkalian pecahan aljabar (rasional), Anda perlu:

1) Tuliskan hasil kali pembilangnya pada pembilangnya, dan tuliskan hasil kali penyebut pecahan tersebut pada penyebutnya.

Dalam hal ini, polinomial diperlukan.

2) Jika memungkinkan, kurangi pecahannya.

Komentar.

Saat mengalikan, jumlah dan selisihnya harus diapit tanda kurung.

Contoh perkalian pecahan aljabar.

Saat mengalikan pecahan aljabar, kita mengalikan pembilangnya secara terpisah, dan penyebut pecahan ini secara terpisah:

Kita kurangi 36 dan 45 sebanyak 9, 22 dan 55 sebanyak 11, a² dan a a, b dan b sebanyak b, c⁵ dan c² sebanyak c²:

Untuk mengalikan pecahan aljabar, Anda mengalikan pembilangnya dengan pembilangnya dan penyebutnya dengan penyebutnya. Karena pembilang dan penyebut pecahan ini mengandung polinomial, maka diperlukan.

Pada pembilang pecahan pertama, kita keluarkan faktor persekutuan 3 dari tanda kurung, pembilang pecahan kedua kita faktorkan menjadi faktor selisih kuadrat. Penyebut pecahan pertama adalah kuadrat selisihnya. Dalam penyebut pecahan kedua kita ambil faktor persekutuan 5:

Pecahan tersebut dapat dikurangi dengan (x+3) dan (2x-1):

Kita kalikan pembilangnya dengan pembilangnya, penyebutnya dengan penyebutnya. Kita memfaktorkan penyebut pecahan kedua menggunakan rumus selisih kuadrat:

(a-b) dan (b-a) hanya berbeda tandanya saja. Mari kita keluarkan “minus” dari tanda kurung, misalnya pada pembilangnya. Setelah itu, kurangi pecahan tersebut dengan (a-b) dan dengan a:

Saat mengalikan pecahan aljabar, kita mengalikan pembilangnya dengan pembilangnya, dan penyebutnya dengan penyebutnya. Kami mencoba memfaktorkan polinomial yang termasuk di dalamnya.

Pada pecahan pertama, pembilangnya adalah kuadrat total dari jumlah tersebut, dan penyebutnya adalah jumlah kubus. Pada pecahan kedua di pembilangnya - (bagian dari rumus jumlah kubus), di penyebutnya ada faktor persekutuan 3, yang kita keluarkan dari tanda kurung:

Kita mengurangi pecahan sebesar (x+3)² dan (x²-3x+9):

Dalam aljabar, operasi dengan pecahan aljabar (rasional) dapat terjadi baik sebagai tugas terpisah maupun dalam menyelesaikan contoh lain, misalnya menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan. Itulah mengapa penting untuk mempelajari cara mengalikan, membagi, menjumlahkan, dan mengurangkan pecahan tersebut tepat waktu.

Pada artikel ini kita akan melihat operasi dasar dengan pecahan aljabar:

• mereduksi pecahan
• mengalikan pecahan
• membagi pecahan

Mari kita mulai dengan pengurangan pecahan aljabar.

Tampaknya, algoritma jelas.

Ke mengurangi pecahan aljabar, perlu

1. Faktorkan pembilang dan penyebut pecahan.

2. Kurangi faktor yang sama.

Namun seringkali anak sekolah melakukan kesalahan dengan “mereduksi” bukan faktornya, melainkan istilahnya. Misalnya, ada amatir yang “mengurangi” pecahan dan mendapatkan hasilnya , yang tentu saja tidak benar.

Mari kita lihat contohnya:

1. Kurangi pecahan:

1. Mari kita faktorkan pembilangnya menggunakan rumus kuadrat jumlah, dan penyebutnya menggunakan rumus selisih kuadrat

2. Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan

2. Kurangi pecahan:

1. Mari kita faktorkan pembilangnya. Karena pembilangnya mengandung empat suku, kami menggunakan pengelompokan.

2. Mari kita faktorkan penyebutnya. Kita juga bisa menggunakan pengelompokan.

3. Mari kita tuliskan pecahan yang kita peroleh dan kurangi faktor-faktor yang sama:

Mengalikan pecahan aljabar.

Saat mengalikan pecahan aljabar, kita mengalikan pembilangnya dengan pembilangnya, dan mengalikan penyebutnya dengan penyebutnya.

Penting! Tidak perlu terburu-buru mengalikan pembilang dan penyebut suatu pecahan. Setelah kita menuliskan hasil kali pembilang pecahan di pembilangnya, dan hasil kali penyebutnya di penyebutnya, kita perlu memfaktorkan setiap faktor dan mengurangi pecahannya.

Mari kita lihat contohnya:

3. Sederhanakan ekspresi:

1. Mari kita tuliskan hasil kali pecahan: pada pembilangnya adalah hasil kali pembilangnya, dan pada penyebutnya adalah hasil kali penyebutnya:

2. Mari kita faktorkan setiap tanda kurung:

Sekarang kita perlu mengurangi faktor-faktor yang sama. Perhatikan bahwa ekspresi dan hanya berbeda dalam tanda: dan sebagai hasil membagi ekspresi pertama dengan ekspresi kedua kita mendapatkan -1.

Jadi,

Kami membagi pecahan aljabar menurut aturan berikut:

Itu adalah Untuk membagi dengan pecahan, Anda perlu mengalikannya dengan pecahan yang "terbalik".

Kita melihat bahwa membagi pecahan berarti mengalikan, dan perkalian pada akhirnya berujung pada pengurangan pecahan.

Mari kita lihat sebuah contoh:

4. Sederhanakan ekspresi:

"Transformasi ekspresi aljabar" - Algoritma untuk menjumlahkan dan mengurangkan pecahan aljabar. Berusahalah untuk memperkuat keterampilan penjumlahan, pengurangan, perkalian. Rencana belajar. Ekspresi aljabar dan transformasinya. Lakukan operasi perkalian pecahan. Temukan kesalahan. Ekspresi yang terdiri dari angka dan huruf. Algoritma untuk mereduksi pecahan aljabar menjadi penyebut yang sama. Urutan tindakan. Kurangi pecahan dan temukan pecahan yang sama untuk setiap pecahan.

"Aljabar fungsi kuadrat" - Rumus perkalian yang disingkat. Persamaan kuadrat. Fungsi. Grafik fungsi kuadratnya ditunjukkan pada gambar. Memecahkan kesenjangan. Fungsi kuadrat. Buat grafik fungsinya. Parabola. kamu = x2 + 4x. Materi referensi.

"Masalah kombinatorial dan solusinya" - untuk Shkolnik tentang teori probabilitas. Munculnya garis stokastik. Masalah kombinatorial dan solusinya. Isi program. Persyaratan untuk tingkat pelatihan. Presentasi. Rencana pembelajaran. Memperdalam pengetahuan siswa. Rencana pendidikan dan tematik. Catatan penjelasan.

“Aljabar “Perkembangan geometri”” - Tuliskan lima suku pertama dari perkembangan geometri. Bandingkan objek matematika di setiap kelompok. Kemajuan geometris. Pilih pernyataan yang cocok untuk Anda. Dikte matematika. Tujuan pribadi. menit pendidikan jasmani. Tuliskan barisan angka apa pun pada salah satu kolom. Memeriksa kemajuan. “Anda tidak bisa belajar matematika dengan melihat tetangga Anda melakukannya…” Ivan Niven. Properti utama perkembangan geometris.

“Memecahkan pertidaksamaan dengan dua variabel” - Uji diri Anda sendiri. X2+Y2?9 dan X2+Y2. Area untuk mengatasi kesenjangan. Mari kita pilih sepasang angka yang akan menjadi penyelesaiannya. Konsep pertidaksamaan dengan dua variabel. Aturan titik percobaan. Beberapa arti. Grafik fungsi. Menyelesaikan pertidaksamaan dua variabel. Memecahkan kesenjangan.

“Perkembangan dalam hidup” - Informasi dari sejarah. Urutan: perjalanan ke kedalaman berabad-abad. Berapa banyak log dalam satu tumpukan? Soal konten praktis dari buku teks aljabar modern. biaya rata-rata manufaktur. Tentang rumor desa. Satu tanaman dandelion. Rumus. Kemajuan di bidang perbankan dan industri. kutu daun. Ciliata. Sifat-sifat barisan aritmatika dan geometri. Kemajuan dan penyelesaian bank.

Pelajaran ini akan membahas tentang aturan perkalian dan pembagian pecahan aljabar, serta contoh penerapan aturan tersebut. Mengalikan dan membagi pecahan aljabar tidak berbeda dengan mengalikan dan membagi pecahan biasa. Pada saat yang sama, kehadiran variabel menyebabkan sedikit lebih banyak dengan cara yang rumit penyederhanaan ekspresi yang dihasilkan. Meskipun mengalikan dan membagi pecahan lebih mudah daripada menjumlahkan dan mengurangkannya, kajian topik ini harus didekati dengan sangat bertanggung jawab, karena mengandung banyak jebakan yang biasanya tidak diperhatikan. Sebagai bagian dari pelajaran, kita tidak hanya akan mempelajari aturan perkalian dan pembagian pecahan, tetapi juga menganalisis nuansa yang mungkin timbul saat menggunakannya.

Subjek:Pecahan aljabar. Operasi aritmatika pada pecahan aljabar

Pelajaran:Mengalikan dan membagi pecahan aljabar

Aturan perkalian dan pembagian pecahan aljabar sama sekali sama dengan aturan perkalian dan pembagian pecahan biasa. Mari kita ingatkan mereka:

Artinya, untuk mengalikan pecahan, perlu mengalikan pembilangnya (ini akan menjadi pembilang hasil perkaliannya), dan mengalikan penyebutnya (ini akan menjadi penyebut hasil perkaliannya).

Pembagian dengan pecahan adalah perkalian dengan pecahan terbalik, yaitu untuk membagi dua pecahan harus mengalikan pecahan pertama (pembagi) dengan pecahan kedua yang dibalik (pembagi).

Meskipun aturan ini sederhana, banyak orang membuat kesalahan dalam sejumlah kasus khusus ketika menyelesaikan contoh tentang topik ini. Mari kita lihat lebih dekat kasus-kasus khusus ini:

Dalam semua aturan ini kami menggunakan fakta berikut: .

Mari kita selesaikan beberapa contoh perkalian dan pembagian pecahan biasa untuk mengingat cara menggunakan aturan ini.

Contoh 1

Catatan: Saat mereduksi pecahan, kami menggunakan penguraian bilangan menjadi faktor prima. Izinkan kami mengingatkan Anda akan hal itu bilangan prima ini disebut bilangan bulat, yang hanya habis dibagi oleh dan oleh dirinya sendiri. Nomor-nomor yang tersisa dipanggil gabungan . Bilangan tersebut bukan bilangan prima dan bukan bilangan komposit. Contoh bilangan prima: .

Contoh 2

Sekarang mari kita perhatikan salah satu kasus khusus dengan pecahan biasa.

Contoh 3

Seperti yang Anda lihat, perkalian dan pembagian pecahan biasa, dalam kasus ini aplikasi yang benar Aturannya tidak rumit.

Mari kita lihat perkalian dan pembagian pecahan aljabar.

Contoh 4

Contoh 5

Perhatikan bahwa adalah mungkin dan bahkan perlu untuk mengurangi pecahan setelah perkalian sesuai dengan aturan yang sama yang telah kita bahas sebelumnya dalam pelajaran tentang pengurangan pecahan aljabar. Mari kita lihat beberapa contoh sederhana untuk kasus-kasus khusus.

Contoh 6

Contoh 7

Sekarang mari kita pertimbangkan lebih jauh contoh yang kompleks tentang perkalian dan pembagian pecahan.

Contoh 8

Contoh 9

Contoh 10

Contoh 11

Contoh 12

Contoh 13

Sebelumnya kita telah membahas pecahan yang pembilang dan penyebutnya monomial. Namun, dalam beberapa kasus, pecahan yang pembilang dan penyebutnya polinomial perlu dikalikan atau dibagi. Dalam hal ini aturannya tetap sama, namun untuk mereduksinya perlu menggunakan rumus perkalian yang disingkat dan tanda kurung.

Contoh 14

Contoh 15

Contoh 16

Contoh 17

Contoh 18

Contoh.

Temukan produk pecahan aljabar dan .

Larutan.

Sebelum mengalikan pecahan, kita memfaktorkan polinomial pada pembilang pecahan pertama dan penyebut pecahan kedua. Rumus perkalian singkat yang sesuai akan membantu kita dalam hal ini: x 2 +2·x+1=(x+1) 2 dan x 2 −1=(x−1)·(x+1) . Dengan demikian, .

Jelas, pecahan yang dihasilkan bisa dikurangi (kita membahas proses ini di artikel mereduksi pecahan aljabar).

Yang tersisa hanyalah menuliskan hasilnya dalam bentuk pecahan aljabar, yang mana Anda perlu mengalikan monomial dengan polinomial penyebutnya: .

Biasanya penyelesaiannya ditulis tanpa penjelasan sebagai barisan persamaan:

Menjawab:

.

Terkadang dengan pecahan aljabar yang perlu dikalikan atau dibagi, Anda perlu melakukan beberapa transformasi untuk membuat pengoperasiannya lebih mudah dan cepat.

Contoh.

Bagilah pecahan aljabar dengan pecahan.

Larutan.

Mari kita sederhanakan bentuk pecahan aljabar dengan menghilangkan koefisien pecahannya. Untuk melakukan ini, kita mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan 7, yang memungkinkan kita membuat properti utama dari pecahan aljabar, kita punya .

Sekarang menjadi jelas bahwa penyebut pecahan yang dihasilkan dan penyebut pecahan yang perlu kita bagi adalah ekspresi yang berlawanan. Mari kita ubah tanda pembilang dan penyebut pecahan yang kita punya .