Lembar Kerja Geometri “Kedudukan relatif suatu garis dan lingkaran. Kedudukan relatif dua lingkaran” (kelas 7). Posisi relatif garis lurus dan lingkaran

Misalkan sebuah lingkaran dan suatu garis lurus diberikan pada sebuah bidang. Mari kita jatuhkan garis tegak lurus dari pusat lingkaran C ke garis lurus ini; mari kita nyatakan dengan alas tegak lurus ini. Sebuah titik dapat menempati tiga kemungkinan posisi relatif terhadap lingkaran: a) terletak di luar lingkaran, b) di atas lingkaran, c) di dalam lingkaran. Bergantung pada hal ini, garis lurus akan menempati salah satu dari tiga kemungkinan posisi berbeda relatif terhadap lingkaran, yang dijelaskan di bawah.

a) Misalkan alas garis tegak lurus turun dari pusat C lingkaran ke garis lurus a terletak di luar lingkaran (Gbr. 197). Maka garis lurus tersebut tidak memotong lingkaran; semua titiknya terletak di daerah terluar. Memang, dalam kasus ini, dengan syarat, ia dipindahkan dari pusat pada jarak yang lebih besar dari jari-jarinya). Selain itu, untuk setiap titik M pada garis lurus a yang kita miliki, yaitu setiap titik pada garis lurus tertentu terletak di luar lingkaran.

b) Biarkan alas tegak lurus jatuh pada lingkaran (Gbr. 198). Maka garis lurus a mempunyai tepat satu titik persekutuan dengan lingkaran. Memang, jika M adalah titik lain pada garis tersebut, maka (titik miring lebih panjang dari titik tegak lurus) titik M terletak di daerah luar. Garis yang mempunyai satu titik persekutuan dengan lingkaran disebut bersinggungan dengan lingkaran di titik tersebut. Mari kita tunjukkan bahwa sebaliknya, jika suatu garis lurus mempunyai satu titik persekutuan dengan lingkaran, maka jari-jari yang ditarik ke titik tersebut tegak lurus terhadap garis lurus tersebut. Memang benar, mari kita jatuhkan garis tegak lurus dari pusat ke garis ini. Jika alasnya terletak di dalam lingkaran, maka garis lurus tersebut mempunyai dua titik persekutuan, seperti ditunjukkan pada c). Jika terletak di luar lingkaran, maka karena a) garis lurus tersebut tidak mempunyai titik persekutuan dengan lingkaran.

Oleh karena itu, tetap diasumsikan bahwa garis tegak lurus jatuh pada titik persekutuan garis dan lingkaran - pada titik singgungnya. Terbukti penting

Dalil. Garis lurus yang melalui suatu titik pada lingkaran menyentuh lingkaran jika dan hanya jika garis tersebut tegak lurus terhadap jari-jari yang ditarik ke titik tersebut.

Perhatikan bahwa definisi garis singgung lingkaran yang diberikan di sini tidak berlaku untuk kurva lainnya. Definisi yang lebih umum tentang garis singgung garis lurus terhadap garis lengkung dikaitkan dengan konsep teori limit dan dibahas secara rinci pada mata kuliah tersebut. matematika yang lebih tinggi. Di sini kita hanya akan membicarakannya konsep umum. Misalkan diberikan sebuah lingkaran dan titik A di atasnya (Gbr. 199).

Mari kita ambil titik A yang lain pada lingkaran dan hubungkan kedua titik pada garis lurus AA. Misalkan titik A, yang bergerak sepanjang lingkaran, menempati serangkaian posisi baru, semakin mendekati titik A. Garis lurus AA, yang berputar mengelilingi A, mengambil beberapa posisi: dalam hal ini, ketika titik bergerak mendekati titik A , garis lurus cenderung berimpit dengan garis singgung AT. Oleh karena itu, kita dapat menyebut garis singgung sebagai posisi batas suatu garis potong yang melalui suatu titik tertentu dan suatu titik pada suatu kurva yang mendekati titik tersebut tanpa batas. Dalam bentuk ini, definisi garis singgung dapat diterapkan pada kurva pandangan umum(Gbr. 200).

c) Terakhir, biarkan titik tersebut berada di dalam lingkaran (Gbr. 201). Kemudian . Kita akan membahas lingkaran miring yang ditarik ke garis lurus a dari pusat C, dengan alas bergerak menjauhi titik tersebut dalam salah satu dari dua kemungkinan arah. Panjang bidang miring akan bertambah secara monoton seiring dengan menjauhi alasnya dari suatu titik; pertambahan panjang bidang miring ini terjadi secara bertahap (“terus menerus”) dari nilai yang mendekati nilai besar sembarang, oleh karena itu tampak jelas bahwa pada posisi tertentu dari alas miring, panjangnya akan sama persis dengan titik K dan L yang bersesuaian pada garis yang terletak pada lingkaran.

Pengaturan bersama garis dan lingkaran Mari kita cari tahu berapa banyak titik persekutuan yang dimiliki sebuah garis dan lingkaran, bergantung pada posisi relatifnya. Jelaslah bahwa jika sebuah garis lurus melewati pusat lingkaran, maka garis tersebut memotong lingkaran pada kedua ujung diameternya. prima ini.

Biarlah lurus R tidak melewati pusat lingkaran jari-jari R. Mari kita menggambar garis tegak lurus DIA ke garis lurus R dan dilambangkan dengan huruf D panjang tegak lurus ini, yaitu jarak dari pusat lingkaran ini ke garis lurus (Gbr. 1 ). Kami menyelidiki posisi relatif garis dan lingkaran tergantung pada hubungan antara keduanya D Dan R. Ada tiga kemungkinan kasus.

1) d R dari titik N sisihkan dua segmen PADA Dan NV, panjang yang sama (Gbr. 1) Menurut teorema Pythagoras OA=,

0 B= Oleh karena itu, poin A Dan DI DALAM terletak pada lingkaran dan oleh karena itu merupakan titik-titik persekutuan pada garis tersebut R dan lingkaran yang diberikan.

Mari kita buktikan garis itu R dan lingkaran ini tidak mempunyai titik persekutuan lainnya. Misalkan mereka mempunyai satu lagi titik persekutuan C. Kemudian mediannya OD. segitiga sama kaki OAS. dibawa ke pangkalan AC, adalah tinggi segitiga ini, jadi TENTANGDP. Segmen OD. Dan DIA tidak cocok

sejak pertengahan D segmen AC tidak cocok dengan titik N - titik tengah segmen , AB. Kami menemukan bahwa dua garis tegak lurus ditarik dari titik O: DIA Dan OD- ke garis lurus R, yang tidak mungkin. Jadi Jika jarak jarak pusat lingkaran ke garis lurus lebih kecil dari jari-jari lingkaran(D< р), Itu garis lurus dan lingkaranAda dua poin umum. Dalam hal ini saluran tersebut disebut garis potong sehubungan dengan lingkaran.

2) d=R. Pada kasus ini OH=R, yaitu titik N terletak pada lingkaran dan, oleh karena itu, merupakan titik persekutuan dari garis dan lingkaran (Gbr. 1, B). Lurus R dan lingkaran tidak mempunyai titik-titik yang sama, karena untuk titik mana pun M lurus R. berbeda dari intinya N, OM>OH= R(miring OM lebih tegak lurus DIA), dan maka dari itu , titik M tidak terletak pada lingkaran. Jadi jika balapanJarak pusat lingkaran ke garis lurus sama dengan jari-jari, maka garis lurus dan lingkaran hanya mempunyai satu titik persekutuan.

3) d>R Pada kasus ini -OH> R Itu sebabnya . untuk titik mana pun M lurus hal 0MON.>R( beras . 1,A) Jadi titik M tidak terletak pada lingkaran. Jadi, .jika jarak dari pusat lingkaranJika jarak garis lurus lebih besar dari jari-jari lingkaran, maka garis lurus dan lingkaran tidak mempunyai titik persekutuan.

Kita telah membuktikan bahwa suatu garis dan lingkaran dapat mempunyai satu atau dua titik persekutuan dan mungkin tidak mempunyai titik persekutuan. Garis lurus dengan lingkaran hanya satu titik persekutuan disebut garis singgung lingkaran, dan mereka poin umum disebut titik singgung garis dan lingkaran. Pada Gambar 2 terdapat garis lurus R- bersinggungan dengan lingkaran yang berpusat di O, A- titik kontak.

Mari kita buktikan teorema tentang sifat tangen.

Dalil. Garis singgung lingkaran adalah tegak lurus Ke radius ditarik ke titik kontak.

Bukti. Membiarkan R- bersinggungan dengan lingkaran yang berpusat di O. A- titik kontak (lihat Gambar 2). Mari kita buktikan. apa garis singgungnya R tegak lurus terhadap radius OA.

Mari kita berasumsi bahwa hal ini tidak terjadi. Maka jari-jarinya: OA cenderung ke garis lurus R. Karena garis tegak lurus ditarik dari suatu titik TENTANG ke garis lurus R, kurang cenderung OA, lalu jarak dari pusat TENTANG lingkaran ke garis lurus R kurang dari radiusnya. Oleh karena itu, lurus R dan lingkaran mempunyai dua titik persekutuan. Namun hal ini bertentangan dengan kondisi; lurus R- bersinggungan. Jadi, lurus R tegak lurus terhadap radius OA. Teorema tersebut telah terbukti.

Perhatikan dua garis singgung lingkaran yang berpusat TENTANG, melewati titik tersebut A dan menyentuh lingkaran pada titik-titiknya DI DALAM dan C (Gbr. 3). Segmen AB Dan AC ayo menelepon segmen singgungnyh, diambil dari titik A. Mereka memiliki properti berikut, yang mengikuti teorema yang telah terbukti:

Ruas-ruas garis singgung lingkaran yang ditarik dari satu titik adalah sama besar dan membentuk sudut-sudut yang sama besar dengan garis lurus yang melalui titik tersebut dan pusat lingkaran.

Untuk membuktikan pernyataan ini, mari kita lihat Gambar 3. Menurut teorema sifat singgung, sudut 1 dan 2 adalah sudut siku-siku, oleh karena itu segitiga HAI Dan ASO persegi panjang. Keduanya sama karena mempunyai sisi miring yang sama OA dan kaki yang sama OB Dan sistem operasi. Karena itu, AB=AC dan 3=https://pandia.ru/text/78/143/images/image007_40.jpg" width="432 height=163" height="163">

Beras. 2 Gambar. 3

https://pandia.ru/text/78/143/images/image010_57.gif" width="101" height="19 src=">.

Menggambar diameter melalui titik kontak AKU, akan memiliki: ; Itu sebabnya

Beras. 1 Gambar. 2

https://pandia.ru/text/78/143/images/image014_12.jpg" width="191 height=177" height="177">.jpg" width="227 height=197" height="197" >

Ketergantungan antara busur, tali busur dan jarak tali busur dari pusat.

Teorema. Dalam satu lingkaran atau V lingkaran yang sama :

1) jika busur-busurnya sama besar, maka tali busur yang berada di bawahnya adalah sama besar dan berjarak sama dari pusat;

2) jika dua busur yang lebih kecil dari setengah lingkaran tidak sama panjang, maka busur yang lebih besar ditampung oleh tali busur yang lebih besar dan kedua tali busur yang lebih besar terletak lebih dekat ke pusat .

1) Biarkan busur AB sama dengan busur CD(Gbr. 1), perlu dibuktikan bahwa tali busur AB dan CD sama dan juga sama dan tegak lurus OE Dan DARI, diturunkan dari tengah ke akord.

Mari kita putar sektor ini OAJB di sekitar tengah TENTANG ke arah yang ditunjukkan oleh panah sedemikian rupa hingga radiusnya TENTANG bertepatan dengan sistem operasi. Lalu busur VA. akan membentuk busur CD dan karena kesetaraannya, busur-busur ini akan tumpang tindih. Artinya akord AS berimpit dengan akord tersebut CD dan tegak lurus OE akan bertepatan dengan DARI(dari satu titik hanya satu garis tegak lurus yang dapat diturunkan menjadi garis lurus), mis. AB=CD Dan OE=DARI.

2) Biarkan busur AB(Gbr. 2) lebih sedikit busur CD, dan, terlebih lagi, kedua busur tersebut lebih kecil dari setengah lingkaran; diperlukan pembuktian bahwa akord tersebut AB lebih sedikit akord CD, dan tegak lurus OE lebih tegak lurus DARI. Mari kita letakkan di busur CD busur SK, sama dengan AB, dan menggambar tali busur bantu SK, yang menurut buktinya sama dengan tali busur AB dan sama jauhnya dari pusat. Di segitiga IKAN KOD. Dan JUS dua sisi yang satu sama dengan dua sisi yang lain (seperti jari-jari), tetapi sudut antara sisi-sisi ini tidak sama; dalam hal ini, seperti yang kita ketahui, melawan sudut yang lebih besar, yaitu. lCOD, sisi yang lebih besar harus berbohong, yang artinya CD>CK, dan itulah kenapa CD>AB.

Untuk membuktikan itu OE>DARI, kami akan melakukan OLXCK dan memperhitungkan bahwa, menurut apa yang telah dibuktikan, OE=lama; oleh karena itu, cukuplah kita membandingkannya DARI Dengan OL. Dalam segitiga siku-siku 0 FM(ditutupi pada gambar dengan tanda hubung) sisi miring OM lebih banyak kaki DARI; Tetapi OL>Ya ampun; itu berarti lebih dari itu OL>DARI. dan itulah kenapa OE>DARI.

Teorema yang kita buktikan untuk satu lingkaran tetap berlaku untuk lingkaran yang sama besar, karena lingkaran tersebut berbeda satu sama lain hanya pada posisinya.

Kebalikan teorema. Karena pada paragraf sebelumnya semua jenis kasus yang saling lepas mengenai perbandingan ukuran dua busur yang berjari-jari sama telah dipertimbangkan, dan diperoleh kesimpulan yang saling eksklusif mengenai perbandingan ukuran tali busur dan jaraknya dari pusat, maka proposisi kebalikannya haruslah benar, c. tepat:

DI DALAM satu lingkaran atau lingkaran yang sama:

1) tali busur yang sama jaraknya sama dari pusat dan membentuk busur yang sama;

2) tali busur yang berjarak sama dari pusat adalah sama dan membentuk busur yang sama;

3) dari dua tali busur yang tidak sama, tali busur yang lebih besar terletak lebih dekat ke pusat dan berada di bawah busur yang lebih besar;

4) dari dua tali busur yang jaraknya tidak sama dari pusat, yang lebih dekat ke pusat lebih besar dan membentuk busur yang lebih besar.

Proposisi-proposisi ini dapat dengan mudah dibuktikan melalui kontradiksi. Misalnya, untuk membuktikan yang pertama, kita beralasan sebagai berikut: jika tali busur ini membentuk busur yang tidak sama, maka menurut teorema langsung, tali busur tersebut tidak akan sama, yang bertentangan dengan kondisi; ini berarti bahwa tali busur yang sama harus membentuk busur yang sama; dan jika busur-busurnya sama besar, maka menurut teorema langsung, tali busur yang berada di bawahnya mempunyai jarak yang sama dari pusat.

Dalil. Diameter adalah tali busur yang terbesar .

Jika kita terhubung ke pusat TENTANG ujung-ujung tali busur yang tidak melewati titik tengah, misalnya tali busur AB(Gbr. 3) maka kita mendapatkan sebuah segitiga AOB, yang satu sisinya adalah tali busur ini, dan dua sisi lainnya adalah jari-jari, Tetapi dalam sebuah segitiga, masing-masing sisinya lebih kecil dari jumlah dua sisi lainnya; oleh karena itu akordnya AB kurang dari jumlah dua jari-jari; sedangkan setiap diameter CD sama dengan jumlah dua jari-jari. Artinya diameternya lebih besar dari tali busur mana pun yang tidak melewati pusatnya. Namun karena diameter juga merupakan tali busur, maka kita dapat mengatakan bahwa diameter adalah tali busur yang paling besar.

Beras. 1 Gambar. 2

Teorema tangen.

Sebagaimana telah disebutkan, ruas garis singgung yang ditarik pada lingkaran dari satu titik mempunyai panjang yang sama. Panjang ini disebut jarak singgung dari suatu titik ke lingkaran.

Tanpa teorema singgung, mustahil menyelesaikan lebih dari satu soal tentang lingkaran bertulisan, dengan kata lain, tentang lingkaran yang menyentuh sisi-sisi suatu poligon.

Jarak singgung pada suatu segitiga.

Temukan panjang segmen yang merupakan sisi-sisi segitiga ABC dibagi dengan titik singgung dengan lingkaran yang tertulis di dalamnya (Gbr. 1,a), misalnya jarak singgung itu dari titik A ke lingkaran. Mari tambahkan sisinya B Dan C, lalu kurangi sisi dari jumlahnya A. Dengan memperhatikan persamaan garis singgung yang ditarik dari satu titik, kita memperoleh 2 itu. Jadi,

ta=(b+C-A)/ 2=P-A,

Di mana hal=(sebuah+b+C)/ 2 adalah setengah keliling segitiga ini. Panjang ruas sisi yang berdekatan dengan simpul DI DALAM Dan DENGAN, masing-masing sama P-B Dan P-C.

Demikian pula untuk lingkaran luar segitiga yang bersinggungan dengan (di luar) sisinya A(Gbr. 1, b), jarak singgung dari DI DALAM Dan DENGAN masing-masing sama P-C Dan P-B, dan dari atas A- Hanya P.

Perhatikan bahwa rumus ini juga dapat digunakan dalam arah yang berlawanan.

Biarkan sampai ke pojok ANDA sebuah lingkaran tertulis, dan jarak singgung dari titik sudut ke lingkaran adalah sama denganP atauP- A, Di manaP– setengah keliling segitiga ABC, A a = SM. Kemudian lingkaran tersebut menyentuh garis Matahari(masing-masing di luar atau di dalam segitiga).

Faktanya, misalnya, jarak singgungnya sama P-A. Kemudian lingkaran kita menyentuh sisi-sisi sudut pada titik yang sama dengan lingkaran dalam segitiga ABC, yang artinya bertepatan dengan itu. Oleh karena itu, ini menyentuh garis Matahari.

Segiempat berbatas. Dari teorema persamaan garis singgung langsung berikut (Gbr. 2a) bahwa

Jika sebuah lingkaran dapat dimasukkan ke dalam segi empat, maka jumlah sisi-sisi yang berhadapan sama besar:

IKLAN+ SM= AB+ CD

Perhatikan bahwa segiempat yang dijelaskan tentu saja cembung. Hal sebaliknya juga berlaku:

Jika suatu segi empat berbentuk cembung dan jumlah sisi-sisi yang berhadapan sama besar, maka dapat dibuat lingkaran di dalamnya.

Mari kita buktikan untuk segi empat selain jajar genjang. Misalkan ada dua sisi yang berhadapan pada suatu segi empat AB Dan DC, bila dilanjutkan mereka akan berpotongan di suatu titik E(Gbr. 2, b). Mari kita menulis lingkaran menjadi segitiga ADE. Jarak singgungnya te ke titik E dinyatakan dengan rumus

te=½ (AE+ED-IKLAN).

Tetapi menurut syarat, jumlah sisi-sisi yang berhadapan pada suatu segi empat adalah sama, artinya IKLAN+SM=AB+CD, atau IKLAN=AB+CD-SM. Mengganti nilai ini ke dalam ekspresi untuk te, kita mendapatkan

te=½ ((AE-AB)+(ED-CD)+SM)= ½ (MENJADI+EC+SM),

dan ini adalah setengah keliling segitiga SM.. Dari kondisi singgung di atas maka lingkaran kita bersinggungan SM.

https://pandia.ru/text/78/143/images/image020_13.jpg" width="336" height="198 src=">

Dua garis singgung lingkaran dari suatu titik di luarnya adalah sama besar dan membentuk sudut yang sama besar dengan garis lurus yang menghubungkan titik tersebut dengan pusat, yang mengikuti persamaan segitiga siku-siku AOB dan AOB1

Disusun oleh seorang guru matematika

Sekolah Menengah MBOU No.18, Krasnoyarsk

Andreeva Inga Viktorovna

Posisi relatif garis lurus dan lingkaran

TENTANG R - radius

DENGAN D - diameter

AB- akord

• Lingkaran dengan pusat di suatu titik TENTANG radius R
• Garis lurus yang tidak melewati titik tengah TENTANG
• Mari kita nyatakan jarak dari pusat lingkaran ke garis lurus dengan huruf S

Tiga kasus mungkin terjadi:

• 1) S

• lebih sedikit jari-jari lingkaran, maka garis lurus dan lingkaran tersebut mempunyai dua poin umum .

AB langsung disebut garis potong sehubungan dengan lingkaran.

Tiga kasus mungkin terjadi:

• 2 ) S = R

• Jika jarak dari pusat lingkaran ke garis lurus sama jari-jari lingkaran, maka garis lurus dan lingkaran tersebut mempunyai hanya satu poin umum .

S = R

Tiga kasus mungkin terjadi:

• 3 ) sr

• Jika jarak dari pusat lingkaran ke garis lurus lagi jari-jari lingkaran, lalu garis lurus dan lingkaran tidak mempunyai poin yang sama .

Bersinggungan dengan lingkaran

Definisi: P garis yang hanya mempunyai satu titik persekutuan dengan lingkaran disebut garis singgung lingkaran, dan titik persekutuannya disebut titik singgung garis dan lingkaran.

S = R

• garis lurus - garis potong
• garis lurus - garis potong
• tidak ada poin yang sama
• garis lurus - garis potong
• garis lurus - garis singgung

• r = 15 cm, s = 11 cm
• r = 6 cm, s = 5,2 cm
• r = 3,2 m, s = 4,7 m
• r = 7 cm, s = 0,5 dm
• r = 4 cm, s = 4 0 mm

Selesaikan No.633.

• OABC- persegi
• AB = 6cm
• Lingkaran dengan pusat O berjari-jari 5 cm

garis potong dari garis lurus OA, AB, BC, AC

Sifat singgung: Garis singgung lingkaran tegak lurus terhadap jari-jari yang ditarik ke titik singgung tersebut.

M– bersinggungan dengan lingkaran yang berpusat TENTANG

M– titik kontak

OM- radius

Tanda singgung: Jika suatu garis lurus melalui ujung jari-jari yang terletak pada suatu lingkaran dan tegak lurus terhadap jari-jari tersebut, maka garis tersebut adalah a asatif.

lingkaran dengan pusat TENTANG

radius OM

M- garis lurus yang melalui suatu titik M

M – bersinggungan

Sifat garis singgung yang melalui satu titik:

Segmen singgung ke

lingkaran yang digambar

dari titik yang sama, sama dan

membuat sudut yang sama besar

dengan garis lurus yang melewatinya

titik ini dan pusat lingkaran.

▼ Berdasarkan sifat singgungnya

∆ AVO, ∆ ASO – persegi panjang

∆ ABO= ∆ ACO – sepanjang sisi miring dan kaki:

OA - umum,

Lingkaran - sosok geometris, terdiri dari semua titik pada bidang yang terletak pada jarak tertentu dari suatu titik tertentu.

Titik (O) ini disebut pusat lingkaran.
Jari-jari lingkaran- ini adalah segmen yang menghubungkan pusat dengan titik mana pun pada lingkaran. Semua jari-jari memiliki panjang yang sama (menurut definisi).
Akord- segmen yang menghubungkan dua titik pada lingkaran. Tali busur yang melalui pusat lingkaran disebut tali busur diameter. Pusat lingkaran adalah titik tengah dari setiap diameter.
Dua titik mana pun pada lingkaran membaginya menjadi dua bagian. Masing-masing bagian ini disebut busur lingkaran. Busur itu disebut setengah lingkaran, jika ruas yang menghubungkan ujung-ujungnya adalah diameter.
Panjang setengah lingkaran satuan dilambangkan dengan π .
Jumlah derajat dua busur lingkaran yang ujung-ujungnya sama adalah 360º.
Bagian bidang yang dibatasi oleh lingkaran disebut semuanya.
Sektor melingkar- bagian lingkaran yang dibatasi oleh sebuah busur dan dua jari-jari yang menghubungkan ujung-ujung busur dengan pusat lingkaran. Busur yang membatasi suatu sektor disebut busur sektor ini.
Dua lingkaran yang mempunyai pusat yang sama disebut konsentris.
Dua lingkaran yang berpotongan tegak lurus disebut ortogonal.

Posisi relatif garis lurus dan lingkaran

1. Jika jarak pusat lingkaran ke garis lurus lebih kecil dari jari-jari lingkaran ( d), maka garis lurus dan lingkaran mempunyai dua titik persekutuan. Dalam hal ini saluran tersebut disebut garis potong sehubungan dengan lingkaran.
2. Jika jarak pusat lingkaran ke garis lurus sama dengan jari-jari lingkaran, maka garis lurus dan lingkaran hanya mempunyai satu titik persekutuan. Baris ini disebut bersinggungan dengan lingkaran, dan titik persekutuannya disebut titik singgung antara garis dan lingkaran.
3. Jika jarak pusat lingkaran ke garis lurus lebih besar dari jari-jari lingkaran, maka garis lurus dan lingkaran tidak mempunyai poin yang sama
.

Sudut pusat dan tertulis

Sudut tengah adalah sudut yang titik sudutnya berada di pusat lingkaran.
Sudut tertulis- sudut yang titik sudutnya terletak pada lingkaran dan sisi-sisinya memotong lingkaran.

Teorema sudut tertulis

Sudut tertulis diukur dengan setengah busur tempat ia berada.

• Akibat wajar 1.
  Sudut-sudut tertulis yang menghadap busur yang sama adalah sama besar.


• Akibat wajar 2.
  Sudut tertulis yang ditunjang setengah lingkaran adalah sudut siku-siku.

Teorema hasil kali segmen-segmen tali busur yang berpotongan.

Jika dua tali busur suatu lingkaran berpotongan, maka hasil kali ruas tali busur yang satu sama dengan hasil kali ruas tali busur yang lain.

Rumus dasar

• Lingkar:

• Panjang busur lingkaran:

• Diameter:

• Panjang busur lingkaran:

• Luas lingkaran:

• Luas sektor melingkar:

Persamaan lingkaran

• DI DALAM sistem persegi panjang persamaan koordinat jari-jari lingkaran R terpusat pada suatu titik C(x o;y o) berbentuk:

• Persamaan lingkaran berjari-jari r yang berpusat di titik asal berbentuk: