Formun çağrıldığı bir fonksiyon ikinci dereceden fonksiyon.

İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği – parabol.

Durumları ele alalım:

DURUMDA, KLASİK PARABOL

Yani , ,

Oluşturmak için x değerlerini formülde değiştirerek tabloyu doldurun:

Noktaları işaretleyin (0;0); (1;1); (-1;1), vb. koordinat düzleminde (x değerlerini aldığımız adım ne kadar küçükse (bu durumda 1. adım) ve ne kadar çok x değeri alırsak eğri o kadar düzgün olur), bir parabol elde ederiz:

Durumunu alırsak, yani eksene göre simetrik (oh) bir parabol elde ettiğimizi görmek kolaydır. Benzer bir tabloyu doldurarak bunu doğrulamak kolaydır:

II DURUMU, “a” BİRİMDEN FARKLIDIR

, , alırsak ne olur? Parabolün davranışı nasıl değişecek? Başlıkla = " QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

İlk resimde (yukarıya bakın), parabol tablosundaki (1;1), (-1;1) noktalarının (1;4), (1;-4) noktalarına dönüştürüldüğü açıkça görülmektedir. yani aynı değerlerle her noktanın ordinatı 4 ile çarpılır. Bu, orijinal tablonun tüm anahtar noktalarında geçerli olacaktır. Resim 2 ve 3'te de benzer şekilde mantık yürütüyoruz.

Ve parabol parabolden "genişlediğinde":

Özetleyelim:

1)Katsayının işareti dalların yönünü belirler. Başlıkla = " QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Mutlak değer katsayısı (modülü) parabolün “genişlemesinden” ve “sıkışmasından” sorumludur. Ne kadar büyük olursa parabol o kadar dar olur; |a| ne kadar küçükse parabol o kadar geniş olur.

III DURUM, “C” GÖRÜNÜYOR

Şimdi oyuna girelim (yani durumu düşünün), formun parabollerini ele alacağız. Parabolün işarete bağlı olarak eksen boyunca yukarı veya aşağı kayacağını tahmin etmek zor değildir (her zaman tabloya başvurabilirsiniz):

IV DURUM, “b” GÖRÜNÜYOR

Parabol ne zaman eksenden "kopacak" ve sonunda tüm koordinat düzlemi boyunca "yürüyecek"? Ne zaman eşit olmaktan vazgeçecek?

Burada bir parabol oluşturmak için ihtiyacımız olan şey tepe noktasını hesaplamak için formül: , .

Yani bu noktada (yeni koordinat sisteminin (0;0) noktasında olduğu gibi) zaten yapabileceğimiz bir parabol oluşturacağız. Eğer durumla ilgileniyorsak, o zaman tepe noktasından bir birim segmenti sağa, bir yukarıya koyarız - ortaya çıkan nokta bizimdir (benzer şekilde sola bir adım, bir adım yukarı bizim noktamızdır); örneğin ilgileniyorsak, o zaman tepe noktasından bir birim segmenti sağa, iki yukarıya vb. koyarız.

Örneğin bir parabolün tepe noktası:

Şimdi anlaşılması gereken asıl şey, bu tepe noktasında parabol düzenine göre bir parabol oluşturacağımızdır, çünkü bizim durumumuzda.

Bir parabol oluştururken tepe noktasının koordinatlarını bulduktan sonraAşağıdaki noktaları dikkate almak uygundur:

1) parabol kesinlikle noktadan geçecektir . Gerçekten de formülde x=0 yerine şunu elde ederiz. Yani parabolün eksen (oy) ile kesişme noktasının ordinatı . Örneğimizde (yukarıda), parabol ordinatla noktasında kesişiyor, çünkü .

2) simetri ekseni paraboller düz bir çizgi olduğundan parabolün tüm noktaları onun etrafında simetrik olacaktır. Örneğimizde hemen (0; -2) noktasını alıp parabolün simetri eksenine göre simetrik oluşturuyoruz, parabolün geçeceği (4; -2) noktasını elde ediyoruz.

3) Eşitleyerek parabolün eksenle (oh) kesişme noktalarını buluruz. Bunu yapmak için denklemi çözüyoruz. Ayırt ediciye bağlı olarak bir (, ), iki ( title="Rendered by QuickLaTeX.com) elde ederiz." height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Bir önceki örnekte diskriminantın kökü tamsayı değil; oluştururken kökleri bulmamız pek mantıklı gelmiyor ama eksenle iki kesişim noktamızın olacağını açıkça görüyoruz (oh) (title="Rendered by QuickLaTeX.com'dan beri)" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Öyleyse hadi çözelim

Formda verilmişse bir parabol oluşturma algoritması

1) dalların yönünü belirleyin (a>0 – yukarı, a<0 – вниз)

2) formülünü kullanarak parabolün tepe noktasının koordinatlarını buluruz.

3) serbest terimi kullanarak parabolün eksen (oy) ile kesişme noktasını buluruz, parabolün simetri eksenine göre bu noktaya simetrik bir nokta oluştururuz (işaretlemenin kârsız olduğu unutulmamalıdır) bu nokta mesela, değer büyük olduğu için... bu noktayı atlıyoruz...)

4) Bulunan noktada - parabolün tepe noktasında (yeni koordinat sisteminin (0;0) noktasında olduğu gibi) bir parabol inşa ediyoruz. If title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Parabolün eksenle (oy) kesişme noktalarını (henüz “yüzeye çıkmamışlarsa”) denklemi çözerek buluruz.

örnek 1

Örnek 2

Not 1. Parabol başlangıçta bize bazı sayıların bulunduğu formda verilmişse (örneğin,), o zaman onu oluşturmak daha da kolay olacaktır, çünkü bize tepe noktasının koordinatları zaten verilmiştir. Neden?

İkinci dereceden bir üç terimliyi alalım ve tam kareyi onun içinde yalnız bırakalım: Bakın, şunu anladık , . Sen ve ben daha önce bir parabolün tepe noktasına, yani şimdi adını vermiştik.

Örneğin, . Parabolün tepe noktasını düzlemde işaretliyoruz, dalların aşağıya doğru yönlendirildiğini, parabolün genişlediğini ('ye göre) anlıyoruz. Yani 1. noktayı uyguluyoruz; 3; 4; Bir parabol oluşturma algoritmasından 5 (yukarıya bakın).

Not 2. Parabol buna benzer bir biçimde verilirse (yani iki doğrusal faktörün çarpımı olarak sunulursa), o zaman parabolün eksen (öküz) ile kesişme noktalarını hemen görürüz. Bu durumda – (0;0) ve (4;0). Geri kalanı için parantezleri açarak algoritmaya göre hareket ediyoruz.

Bu öğretim materyali yalnızca referans amaçlıdır ve çok çeşitli konularla ilgilidir. Makale, temel temel fonksiyonların grafiklerine genel bir bakış sunuyor ve en önemli konuyu ele alıyor - bir grafiğin doğru ve HIZLI bir şekilde nasıl oluşturulacağı. Temel temel fonksiyonların grafikleri hakkında bilgi sahibi olmadan yüksek matematik çalışması sırasında zor olacaktır, bu nedenle parabol, hiperbol, sinüs, kosinüs vb. grafiklerinin neye benzediğini hatırlamak ve bazılarını hatırlamak çok önemlidir. fonksiyonların anlamları. Ayrıca ana fonksiyonların bazı özelliklerinden de bahsedeceğiz.

Materyallerin tam ve bilimsel olduğunu iddia etmiyorum; vurgu her şeyden önce uygulamaya verilecektir. yüksek matematiğin herhangi bir konusunda kelimenin tam anlamıyla her adımda karşılaşılır. Aptallar için çizelgeler mi? Öyle söylenebilir.

Okuyuculardan gelen çok sayıda istek nedeniyle tıklanabilir içindekiler tablosu:

Ayrıca konuyla ilgili çok kısa bir özet var
– ALTI sayfayı inceleyerek 16 tür grafikte ustalaşın!

Cidden altı, ben bile şaşırdım. Bu özet geliştirilmiş grafikler içerir ve cüzi bir ücret karşılığında mevcuttur; demo sürümü görüntülenebilir. Grafiklerin her zaman elinizin altında olması için dosyayı yazdırmak uygundur. Projeyi desteklediğiniz için teşekkür ederiz!

Ve hemen başlayalım:

Koordinat eksenleri doğru şekilde nasıl oluşturulur?

Uygulamada testler neredeyse her zaman öğrenciler tarafından kare şeklinde dizilmiş ayrı defterlerde tamamlanır. Neden damalı işaretlere ihtiyacınız var? Sonuçta, çalışma prensip olarak A4 sayfalarda yapılabilir. Ve kafes sadece çizimlerin yüksek kaliteli ve doğru tasarımı için gereklidir.

Bir fonksiyon grafiğinin herhangi bir çizimi koordinat eksenleriyle başlar.

Çizimler iki boyutlu veya üç boyutlu olabilir.

İlk önce iki boyutlu durumu ele alalım Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemi:

1) Koordinat eksenlerini çizin. Eksen denir x ekseni ve eksen y ekseni . Her zaman onları çizmeye çalışıyoruz düzgün ve çarpık değil. Okların da Papa Carlo'nun sakalına benzememesi gerekiyor.

2) Eksenleri büyük harflerle “X” ve “Y” ile imzalıyoruz. Eksenleri etiketlemeyi unutmayın.

3) Ölçeği eksenler boyunca ayarlayın: bir sıfır ve iki bir çiz. Çizim yaparken en kullanışlı ve en sık kullanılan ölçek şudur: 1 birim = 2 hücre (soldaki çizim) - mümkünse ona sadık kalın. Ancak zaman zaman çizimin defter sayfasına sığmadığı durumlar olur - o zaman ölçeği azaltırız: 1 birim = 1 hücre (sağdaki çizim). Nadiren de olsa çizimin ölçeğinin daha da küçültülmesi (veya arttırılması) gerekebilir.

“Makineli tüfeğe” GEREK YOKTUR…-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Koordinat düzlemi Descartes için bir anıt olmadığı gibi, öğrenci de bir güvercin değildir. Koyduk sıfır Ve eksenler boyunca iki birim. Bazen yerine birimler, diğer değerleri "işaretlemek" uygundur, örneğin apsis ekseninde "iki" ve ordinat ekseninde "üç" - ve bu sistem (0, 2 ve 3) aynı zamanda koordinat ızgarasını benzersiz bir şekilde tanımlayacaktır.

Çizimi oluşturmadan ÖNCE çizimin tahmini boyutlarını tahmin etmek daha iyidir. Yani, örneğin, eğer görev köşeleri olan bir üçgen çizmeyi gerektiriyorsa , , , o zaman popüler 1 birim = 2 hücre ölçeğinin işe yaramayacağı tamamen açıktır. Neden? Gelin şu noktaya bakalım - burada on beş santimetre aşağıyı ölçmeniz gerekecek ve açıkçası çizim bir defter sayfasına sığmayacak (veya zar zor sığacak). Bu nedenle hemen daha küçük bir ölçek seçiyoruz: 1 birim = 1 hücre.

Bu arada, yaklaşık santimetre ve dizüstü bilgisayar hücreleri. 30 defter hücresinin 15 santimetre içerdiği doğru mu? Eğlenmek için not defterinizde 15 santimetreyi bir cetvelle ölçün. SSCB'de bu doğru olabilir... Aynı santimetreyi yatay ve dikey olarak ölçerseniz sonuçların (hücrelerdeki) farklı olacağını belirtmek ilginçtir! Açıkçası, modern defterler kareli değil dikdörtgen şeklindedir. Bu saçma görünebilir, ancak bu gibi durumlarda örneğin pusula ile bir daire çizmek çok sakıncalıdır. Dürüst olmak gerekirse, böyle anlarda yerli otomobil endüstrisi, düşen uçaklar veya patlayan enerji santralleri bir yana, üretimde hack çalışmaları için kamplara gönderilen Stalin Yoldaş'ın doğruluğunu düşünmeye başlıyorsunuz.

Kaliteden bahsetmişken, ya da kırtasiye konusunda kısa bir tavsiye. Bugün satışta olan dizüstü bilgisayarların çoğu, en azından tam bir saçmalık. Sadece jel kalemlerden değil, tükenmez kalemlerden de ıslanmaları nedeniyle! Kağıt üzerinde tasarruf ediyorlar. Testleri tamamlamak için, daha pahalı olmasına rağmen Arkhangelsk Kağıt Hamuru ve Kağıt Fabrikası'ndan (18 sayfa, kare) veya "Pyaterochka" defterlerini kullanmanızı öneririm. Bir jel kalem seçmeniz önerilir; en ucuz Çin jel dolumu bile, kağıdı lekeleyen veya yırtan tükenmez kalemden çok daha iyidir. Hatırlayabildiğim tek "rekabetçi" tükenmez kalem Erich Krause'dur. İster dolu ister neredeyse boş olsun, net, güzel ve tutarlı bir şekilde yazıyor.

bunlara ek olarak: Makalede analitik geometri gözüyle dikdörtgen bir koordinat sisteminin vizyonu ele alınmaktadır. Vektörlerin doğrusal (bağımsız) bağımlılığı. Vektörlerin temeli, koordinat çeyrekleri hakkında detaylı bilgiyi dersin ikinci paragrafında bulabilirsiniz. Doğrusal eşitsizlikler.

3D kasa

Burada da hemen hemen aynı.

1) Koordinat eksenlerini çizin. Standart: eksen uygulaması – yukarıya doğru, eksen – sağa doğru, eksen – aşağıya sola doğru kesinlikle 45 derecelik bir açıyla.

2) Eksenleri etiketleyin.

3) Ölçeği eksenler boyunca ayarlayın. Eksen boyunca ölçek diğer eksenler boyunca olan ölçekten iki kat daha küçüktür. Ayrıca sağdaki çizimde eksen boyunca standart olmayan bir "çentik" kullandığımı unutmayın. (bu olasılık yukarıda zaten belirtilmiştir). Benim açımdan bu daha doğru, daha hızlı ve estetik açıdan daha hoş - mikroskop altında hücrenin ortasını aramaya ve koordinatların kökenine yakın bir birimi "şekillendirmeye" gerek yok.

3D çizim yaparken yine ölçeğe öncelik verin
1 birim = 2 hücre (soldaki çizim).

Bütün bu kurallar ne için? Kurallar çiğnenmek içindir. Şimdi yapacağım şey bu. Gerçek şu ki, makalenin sonraki çizimleri benim tarafımdan Excel'de yapılacak ve koordinat eksenleri, doğru tasarım açısından yanlış görünecektir. Tüm grafikleri elle çizebilirim, ancak Excel bunları daha doğru çizme konusunda isteksiz olduğundan bunları çizmek aslında korkutucu.

Temel fonksiyonların grafikleri ve temel özellikleri

Denklemde doğrusal bir fonksiyon verilmektedir. Doğrusal fonksiyonların grafiği doğrudan. Düz bir çizgi çizebilmek için iki noktayı bilmek yeterlidir.

örnek 1

Fonksiyonun grafiğini oluşturun. İki nokta bulalım. Noktalardan biri olarak sıfırı seçmek avantajlıdır.

Eğer öyleyse

Başka bir noktayı ele alalım, örneğin 1.

Eğer öyleyse

Görevleri tamamlarken noktaların koordinatları genellikle bir tabloda özetlenir:

Ve değerlerin kendisi sözlü olarak veya bir taslakta, bir hesap makinesinde hesaplanır.

İki nokta bulundu, çizimi yapalım:

Çizim hazırlarken mutlaka grafikleri imzalarız.

Doğrusal bir fonksiyonun özel durumlarını hatırlamak faydalı olacaktır:

İmzaları nasıl attığıma dikkat edin. imzalar çizimi incelerken tutarsızlıklara izin vermemelidir. Bu durumda, çizgilerin kesişme noktasının yanına veya grafiklerin sağ alt kısmına imza koymak son derece istenmeyen bir durumdu.

1) () formunun doğrusal bir fonksiyonuna doğru orantılılık denir. Örneğin, . Doğru orantılılık grafiği her zaman orijinden geçer. Böylece düz bir çizgi oluşturmak basitleştirilmiştir - yalnızca bir noktayı bulmak yeterlidir.

2) Formun bir denklemi eksene paralel bir düz çizgiyi belirtir, özellikle eksenin kendisi denklem tarafından verilir. Fonksiyonun grafiği herhangi bir nokta bulunmadan hemen çizilir. Yani giriş şu şekilde anlaşılmalıdır: "x'in herhangi bir değeri için y her zaman –4'e eşittir."

3) Formun bir denklemi eksene paralel bir düz çizgiyi belirtir, özellikle eksenin kendisi denklem tarafından verilir. Fonksiyonun grafiği de hemen çizilir. Giriş şu şekilde anlaşılmalıdır: "x, y'nin herhangi bir değeri için her zaman 1'e eşittir."

Bazıları soracak, neden 6. sınıfı hatırladınız?! Bu böyledir, belki de öyledir, ancak yıllar süren pratikte veya gibi bir grafik oluşturma görevi karşısında şaşkına dönen bir düzine öğrenciyle tanıştım.

Düz bir çizgi oluşturmak, çizim yaparken en yaygın eylemdir.

Düz çizgi analitik geometri dersinde ayrıntılı olarak tartışılmaktadır ve ilgilenenler bu makaleye başvurabilirler. Düzlemde düz bir çizginin denklemi.

İkinci dereceden, kübik fonksiyonun grafiği, bir polinomun grafiği

Parabol. İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği () bir parabolü temsil eder. Ünlü vakayı düşünün:

Fonksiyonun bazı özelliklerini hatırlayalım.

Yani denklemimizin çözümü: – parabolün tepe noktası bu noktadadır. Bunun neden böyle olduğunu türev hakkındaki teorik makalede ve fonksiyonun ekstremumlarına ilişkin derste bulabilirsiniz. Bu arada karşılık gelen “Y” değerini de hesaplayalım:

Böylece tepe noktası bu noktadadır

Şimdi parabolün simetrisini küstahça kullanarak başka noktalar buluyoruz. Şunu belirtmek gerekir ki, fonksiyon – bile değil ancak yine de hiç kimse parabolün simetrisini iptal etmedi.

Kalan puanların hangi sırayla bulunacağı final masasından anlaşılacaktır diye düşünüyorum:

Bu inşaat algoritması mecazi olarak Anfisa Chekhova ile "mekik" veya "ileri geri" ilkesi olarak adlandırılabilir.

Çizimi yapalım:

İncelenen grafiklerden bir başka faydalı özellik akla geliyor:

İkinci dereceden bir fonksiyon için () aşağıdakiler doğrudur:

Eğer öyleyse parabolün dalları yukarı doğru yönlendirilir.

Eğer öyleyse parabolün dalları aşağıya doğru yönlendirilir.

Eğri hakkında derinlemesine bilgi Hiperbol ve parabol dersinde elde edilebilir.

Fonksiyon tarafından kübik bir parabol verilmektedir. İşte okuldan tanıdık bir çizim:

Fonksiyonun ana özelliklerini listeleyelim

Bir fonksiyonun grafiği

Bir parabolün dallarından birini temsil eder. Çizimi yapalım:

Fonksiyonun ana özellikleri:

Bu durumda eksen dikey asimptot 'deki bir hiperbolün grafiği için.

Bir çizimi çizerken dikkatsizce grafiğin bir asimptotla kesişmesine izin verirseniz, bu BÜYÜK bir hata olur.

Ayrıca tek taraflı limitler bize hiperbolün yukarıdan sınırlı değil Ve aşağıdan sınırlı değil.

Sonsuzdaki fonksiyonu inceleyelim: yani eksen boyunca sola (veya sağa) sonsuza doğru hareket etmeye başlarsak, o zaman “oyunlar” düzenli bir adımda olacaktır. sonsuz yakın sıfıra yaklaşır ve buna göre hiperbolün dalları sonsuz yakın eksene yaklaşın.

Yani eksen Yatay asimptot Bir fonksiyonun grafiği için, eğer “x” artı veya eksi sonsuza eğilimliyse.

İşlev garip ve bu nedenle hiperbol orijine göre simetriktir. Bu gerçek çizimde açıkça görülmektedir, ayrıca analitik olarak da kolayca doğrulanabilir: .

() formundaki bir fonksiyonun grafiği, bir hiperbolün iki dalını temsil eder.

Eğer ise hiperbol birinci ve üçüncü koordinat çeyreğinde bulunur(yukarıdaki resme bakın).

Eğer ise hiperbol ikinci ve dördüncü koordinat çeyreğinde bulunur.

Belirtilen hiperbol yerleşim modelinin grafiklerin geometrik dönüşümleri açısından analiz edilmesi kolaydır.

Örnek 3

Hiperbolün sağ dalını oluşturun

Noktasal inşa yöntemini kullanıyoruz ve değerleri bir bütüne bölünebilecek şekilde seçmek avantajlıdır:

Çizimi yapalım:

Hiperbolün sol dalını oluşturmak zor olmayacak; fonksiyonun tuhaflığı burada yardımcı olacaktır. Kabaca konuşursak, noktasal yapı tablosunda her sayıya zihinsel olarak bir eksi ekliyoruz, karşılık gelen noktaları koyuyoruz ve ikinci dalı çiziyoruz.

Dikkate alınan çizgi hakkında ayrıntılı geometrik bilgi Hiperbol ve parabol makalesinde bulunabilir.

Üstel Fonksiyonun Grafiği

Bu bölümde hemen üstel fonksiyonu ele alacağım çünkü yüksek matematik problemlerinde vakaların %95'inde üstel ortaya çıkıyor.

Bunun irrasyonel bir sayı olduğunu hatırlatayım: Aslında törensiz yapacağım bir grafik oluştururken bu gerekecek. Üç nokta muhtemelen yeterlidir:

Şimdilik fonksiyonun grafiğini burada bırakalım, daha sonra buna daha fazla değinelim.

Fonksiyonun ana özellikleri:

Fonksiyon grafikleri vb. temelde aynı görünür.

İkinci durumun pratikte daha az sıklıkta yaşandığını söylemeliyim ama oluyor, bu yüzden bu yazıya dahil etmeyi gerekli gördüm.

Logaritmik bir fonksiyonun grafiği

Doğal logaritmalı bir fonksiyonu düşünün.
Nokta nokta bir çizim yapalım:

Logaritmanın ne olduğunu unuttuysanız lütfen okul ders kitaplarınıza bakın.

Fonksiyonun ana özellikleri:

İhtisas:

Değer aralığı: .

İşlev yukarıdan sınırlı değildir: Yavaş da olsa logaritmanın dalı sonsuza kadar gider.
Sağdaki fonksiyonun sıfıra yakın davranışını inceleyelim: . Yani eksen dikey asimptot “x” gibi bir fonksiyonun grafiği sağdan sıfıra doğru yönelir.

Logaritmanın tipik değerini bilmek ve hatırlamak zorunludur: .

Prensip olarak, tabana göre logaritmanın grafiği aynı görünür: , , (10 tabanına göre ondalık logaritma), vb. Üstelik taban ne kadar büyük olursa grafik o kadar düz olur.

Durumu dikkate almayacağız, en son ne zaman böyle bir temele dayalı bir grafik oluşturduğumu hatırlamıyorum. Ve logaritma, yüksek matematik problemlerinde çok nadir görülen bir misafir gibi görünüyor.

Bu paragrafın sonunda bir gerçek daha söyleyeceğim: Üstel fonksiyon ve logaritmik fonksiyon– bunlar karşılıklı olarak ters iki fonksiyondur. Logaritmanın grafiğine yakından bakarsanız, bunun aynı üs olduğunu, sadece biraz farklı konumda olduğunu görebilirsiniz.

Trigonometrik fonksiyonların grafikleri

Okulda trigonometrik işkence nerede başlar? Sağ. sinüsten

Fonksiyonun grafiğini çizelim

Bu çizgiye denir sinüzoid.

"Pi"nin irrasyonel bir sayı olduğunu ve trigonometride gözlerinizi kamaştırdığını hatırlatayım.

Fonksiyonun ana özellikleri:

Bu fonksiyon periyodik dönem ile. Bu ne anlama geliyor? Bölüme bakalım. Solunda ve sağında grafiğin tam olarak aynı parçası sonsuza kadar tekrarlanıyor.

İhtisas: yani her “x” değeri için bir sinüs değeri vardır.

Değer aralığı: . İşlev sınırlı: yani tüm "oyunlar" kesinlikle segmentte yer alıyor.
Bu olmuyor, daha doğrusu oluyor ama bu denklemlerin çözümü yok.

Bir parabol nasıl inşa edilir? İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiğini çizmenin birkaç yolu vardır. Her birinin artıları ve eksileri vardır. İki yolu ele alalım.

y=x²+bx+c ve y= -x²+bx+c formunda ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiğini çizerek başlayalım.

Örnek.

y=x²+2x-3 fonksiyonunun grafiğini çizin.

Çözüm:

y=x²+2x-3 ikinci dereceden bir fonksiyondur. Grafik, dalları yukarı doğru olan bir paraboldür. Parabolün köşe koordinatları

(-1;-4) köşesinden y=x² parabolünün bir grafiğini oluşturuyoruz (koordinatların kökeninden itibaren. (0;0) - köşe noktası (-1;-4) yerine. (-1;'den; -4) 1 birim sağa ve 1 birim yukarıya, sonra 1 birim sola ve 1 birim yukarıya gidiyoruz; ayrıca: 2 - sağ, 4 - yukarı, 2 - sol, 4 - yukarı; 3 - sağ, 9 - yukarı, 3 - sol, 9 - yukarı. Bu 7 puan yeterli değilse, o zaman 4 sağa, 16 üste vb.).

İkinci dereceden y= -x²+bx+c fonksiyonunun grafiği, dalları aşağı doğru yönlendirilmiş bir paraboldür. Bir grafik oluşturmak için tepe noktasının koordinatlarını ararız ve bundan bir y= -x² parabolünü oluştururuz.

Örnek.

y= -x²+2x+8 fonksiyonunun grafiğini çizin.

Çözüm:

y= -x²+2x+8 ikinci dereceden bir fonksiyondur. Grafik, dalları aşağı doğru olan bir paraboldür. Parabolün köşe koordinatları

Yukarıdan bir y= -x² parabol oluşturuyoruz (1 - sağa, 1 - aşağı; 1 - sola, 1 - aşağı; 2 - sağa, 4 - aşağı; 2 - sola, 4 - aşağı, vb.):

Bu yöntem hızlı bir şekilde parabol oluşturmanıza olanak tanır ve y=x² ve y= -x² fonksiyonlarının grafiğini nasıl çizeceğinizi biliyorsanız zorluk yaratmaz. Dezavantaj: Tepe noktasının koordinatları kesirli sayılar ise, grafik oluşturmak pek uygun değildir. Grafiğin Ox ekseni ile kesişme noktalarının kesin değerlerini bilmeniz gerekiyorsa, ek olarak x²+bx+c=0 (veya -x²+bx+c=0) denklemini çözmeniz gerekecektir, bu noktalar doğrudan çizimden belirlenebilse bile.

Bir parabol oluşturmanın başka bir yolu da noktalardır, yani grafikte birkaç nokta bulabilir ve bunların içinden bir parabol çizebilirsiniz (x=xₒ çizgisinin simetri ekseni olduğunu dikkate alarak). Genellikle bunun için parabolün tepe noktasını, grafiğin koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını ve 1-2 ek noktayı alırlar.

y=x²+5x+4 fonksiyonunun grafiğini çizin.

Çözüm:

y=x²+5x+4 ikinci dereceden bir fonksiyondur. Grafik, dalları yukarı doğru olan bir paraboldür. Parabolün köşe koordinatları

yani parabolün tepe noktası (-2,5; -2,25) noktasıdır.

Arıyoruz. Ox ekseni ile kesişme noktasında y=0: x²+5x+4=0. İkinci dereceden denklemin kökleri x1=-1, x2=-4 yani grafikte (-1; 0) ve (-4; 0) olmak üzere iki nokta elde ettik.

Grafiğin Oy ekseni x=0 ile kesiştiği noktada: y=0²+5∙0+4=4. (0; 4) noktasını aldık.

Grafiği netleştirmek için ek bir nokta bulabilirsiniz. X=1 alalım, sonra y=1²+5∙1+4=10 yani grafikteki bir diğer nokta (1; 10) olur. Bu noktaları koordinat düzleminde işaretliyoruz. Parabolün tepe noktasından geçen çizgiye göre simetrisini dikkate alarak iki noktayı daha işaretliyoruz: (-5; 6) ve (-6; 10) ve bunların içinden bir parabol çiziyoruz:

y= -x²-3x fonksiyonunun grafiğini çizin.

Çözüm:

y= -x²-3x ikinci dereceden bir fonksiyondur. Grafik, dalları aşağı doğru olan bir paraboldür. Parabolün köşe koordinatları

Tepe noktası (-1,5; 2,25) parabolün ilk noktasıdır.

Grafiğin x ekseni y=0 ile kesiştiği noktalarda yani -x²-3x=0 denklemini çözüyoruz. Kökleri x=0 ve x=-3'tür, yani (0;0) ve (-3;0) - grafikte iki nokta daha. (o; 0) noktası aynı zamanda parabolün ordinat ekseniyle kesişme noktasıdır.

x=1 y=-1²-3∙1=-4'te, yani (1; -4) çizim için ek bir noktadır.

Noktalardan parabol oluşturmak ilkine göre daha emek yoğun bir yöntemdir. Parabol Ox eksenini kesmiyorsa daha fazla ek noktaya ihtiyaç duyulacaktır.

y=ax²+bx+c formundaki ikinci dereceden fonksiyonların grafiklerini oluşturmaya devam etmeden önce, geometrik dönüşümleri kullanarak fonksiyonların grafiklerinin oluşturulmasını ele alalım. Ayrıca bu dönüşümlerden birini (paralel çeviri) kullanarak y=x²+c formundaki fonksiyonların grafiklerini oluşturmak en uygunudur.

Parçanın koordinat eksenindeki uzunluğu aşağıdaki formülle belirlenir:

Koordinat düzlemindeki bir parçanın uzunluğu aşağıdaki formül kullanılarak bulunur:

Üç boyutlu koordinat sisteminde bir parçanın uzunluğunu bulmak için aşağıdaki formülü kullanın:

Segmentin ortasının koordinatları (koordinat ekseni için yalnızca ilk formül kullanılır, koordinat düzlemi için - ilk iki formül, üç boyutlu koordinat sistemi için - üç formülün tümü) aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır:

İşlev– bu formun bir yazışmasıdır sen= F(X) değişken miktarlar arasında, her biri bazı değişken miktarların değerini dikkate aldığından dolayı X(argüman veya bağımsız değişken) başka bir değişkenin belirli bir değerine karşılık gelir, sen(bağımlı değişken, bazen bu değere basitçe fonksiyonun değeri denir). Fonksiyonun bir argüman değerinin varsayıldığını unutmayın. X bağımlı değişkenin yalnızca bir değeri karşılık gelebilir en. Ancak aynı değer en farklı şekilde elde edilebilir X.

İşlev Etki Alanı– bunların hepsi bağımsız değişkenin değerleridir (işlev argümanı, genellikle bu X), işlevin tanımlandığı yer, yani. anlamı mevcuttur. Tanım alanı belirtilir D(sen). Genel olarak bu kavrama zaten aşinasınız. Bir fonksiyonun tanım alanına, izin verilen değerlerin alanı veya uzun süredir bulabileceğiniz VA adı verilir.

Fonksiyon Aralığı belirli bir fonksiyonun bağımlı değişkeninin tüm olası değerleridir. Belirlenmiş e(en).

Fonksiyon artar argümanın daha büyük bir değerinin fonksiyonun daha büyük bir değerine karşılık geldiği aralıkta. Fonksiyon azalıyor argümanın daha büyük bir değerinin fonksiyonun daha küçük bir değerine karşılık geldiği aralıkta.

Bir fonksiyonun sabit işaretinin aralıkları- bunlar, bağımlı değişkenin pozitif veya negatif işaretini koruduğu bağımsız değişken aralıklarıdır.

Fonksiyon sıfırları– bunlar, fonksiyonun değerinin sıfıra eşit olduğu argümanın değerleridir. Bu noktalarda fonksiyon grafiği apsis eksenini (OX ekseni) keser. Çoğu zaman, bir fonksiyonun sıfırlarını bulma ihtiyacı, denklemi basitçe çözme ihtiyacı anlamına gelir. Ayrıca, çoğu zaman işaretin sabitlik aralıklarını bulma ihtiyacı, eşitsizliği basitçe çözme ihtiyacı anlamına gelir.

İşlev sen = F(X) arandı eşit X

Bu, argümanın herhangi bir zıt değeri için çift fonksiyonun değerlerinin eşit olduğu anlamına gelir. Çift fonksiyonun grafiği, op-amp'in ordinat eksenine göre her zaman simetriktir.

İşlev sen = F(X) arandı garip, eğer simetrik bir kümede tanımlanmışsa ve herhangi biri için X tanım alanından eşitlik geçerlidir:

Bu, argümanın herhangi bir zıt değeri için tek fonksiyonun değerlerinin de zıt olduğu anlamına gelir. Tek bir fonksiyonun grafiği her zaman orijine göre simetriktir.

Çift ve tek fonksiyonların köklerinin toplamı (OX ekseninin kesişme noktaları) her zaman sıfıra eşittir, çünkü her pozitif kök için X negatif bir kökü var - X.

Şunu belirtmek önemlidir: Bazı fonksiyonların çift veya tek olması gerekmez. Ne çift ne de tek olan birçok fonksiyon vardır. Bu tür işlevler denir genel işlevler ve onlar için yukarıda verilen eşitliklerin veya özelliklerin hiçbiri sağlanmıyor.

Doğrusal fonksiyon aşağıdaki formülle verilebilecek bir fonksiyondur:

Doğrusal bir fonksiyonun grafiği düz bir çizgidir ve genel durumda şöyle görünür (durum için bir örnek verilmiştir) k> 0, bu durumda fonksiyon artıyor; bu durum için k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği (Parabola)

Bir parabolün grafiği ikinci dereceden bir fonksiyonla verilir:

İkinci dereceden bir fonksiyon, diğer herhangi bir fonksiyon gibi, OX eksenini kökleri olan noktalarda keser: ( X 1; 0) ve ( X 2; 0). Kök yoksa, ikinci dereceden fonksiyon OX eksenini kesmez; yalnızca bir kök varsa, o zaman bu noktada ( X 0; 0) ikinci dereceden fonksiyon yalnızca OX eksenine dokunur, ancak onunla kesişmez. İkinci dereceden fonksiyon her zaman OY eksenini koordinatların bulunduğu noktada keser: (0; C). İkinci dereceden bir fonksiyonun (parabol) grafiği şu şekilde görünebilir (şekil, olası tüm parabol türlerini tüketmeyen örnekleri göstermektedir):

Burada:

• eğer katsayı A> 0, fonksiyonda sen = balta 2 + bx + C, daha sonra parabolün dalları yukarı doğru yönlendirilir;
• eğer A < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Bir parabolün tepe noktasının koordinatları aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanabilir. X üstleri (P- yukarıdaki resimlerde) paraboller (veya ikinci dereceden üç terimlinin en büyük veya en küçük değerine ulaştığı nokta):

Igrek üstleri (Q- yukarıdaki şekillerde) paraboller veya parabolün dalları aşağıya doğru yönlendirilmişse maksimum ( A < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (A> 0), ikinci dereceden üç terimlinin değeri:

Diğer fonksiyonların grafikleri

Güç fonksiyonu

Güç fonksiyonlarının grafiklerine bazı örnekler:

Ters orantı aşağıdaki formülle verilen bir fonksiyondur:

Sayının işaretine bağlı olarak k Ters orantılı bir bağımlılık grafiğinin iki temel seçeneği olabilir:

Asimptot bir fonksiyonun grafiğinin sonsuz olarak yaklaştığı ancak kesişmediği bir doğrudur. Yukarıdaki şekilde gösterilen ters orantı grafiklerinin asimptotları, fonksiyonun grafiğinin sonsuz yaklaştığı ancak kesişmediği koordinat eksenleridir.

Üstel fonksiyon baz ile A aşağıdaki formülle verilen bir fonksiyondur:

AÜstel bir fonksiyonun grafiğinin iki temel seçeneği olabilir (ayrıca örnekler veriyoruz, aşağıya bakın):

Logaritmik fonksiyon aşağıdaki formülle verilen bir fonksiyondur:

Sayının birden büyük veya küçük olmasına bağlı olarak A Logaritmik bir fonksiyonun grafiğinin iki temel seçeneği olabilir:

Bir fonksiyonun grafiği sen = |X| aşağıdaki gibi:

Periyodik (trigonometrik) fonksiyonların grafikleri

İşlev en = F(X) denir periyodik sıfır olmayan bir sayı varsa T, Ne F(X + T) = F(X), herkes için X fonksiyonun etki alanından F(X). Eğer fonksiyon F(X) periyotlu periyodiktir T, ardından fonksiyon:

Nerede: A, k, B sabit sayılardır ve k sıfıra eşit değil, ayrıca periyotlu periyodik T 1, aşağıdaki formülle belirlenir:

Periyodik fonksiyonların çoğu örneği trigonometrik fonksiyonlardır. Ana trigonometrik fonksiyonların grafiklerini sunuyoruz. Aşağıdaki şekil fonksiyonun grafiğinin bir kısmını göstermektedir sen= günah X(grafiğin tamamı süresiz olarak sola ve sağa devam eder), fonksiyonun grafiği sen= günah X isminde sinüzoid:

Bir fonksiyonun grafiği sen=çünkü X isminde kosinüs. Bu grafik aşağıdaki şekilde gösterilmektedir. Sinüs grafiği OX ekseni boyunca sola ve sağa doğru süresiz olarak devam ettiğinden:

Bir fonksiyonun grafiği sen= tg X isminde teğetsel. Bu grafik aşağıdaki şekilde gösterilmektedir. Diğer periyodik fonksiyonların grafikleri gibi, bu grafik de OX ekseni boyunca sola ve sağa doğru süresiz olarak tekrarlanır.

Ve son olarak fonksiyonun grafiği sen=ctg X isminde kotanjantoid. Bu grafik aşağıdaki şekilde gösterilmektedir. Diğer periyodik ve trigonometrik fonksiyonların grafikleri gibi, bu grafik de OX ekseni boyunca sola ve sağa doğru süresiz olarak tekrarlanır.

Bu üç noktanın başarılı, özenli ve sorumlu bir şekilde uygulanması, CT'de yapabildiğiniz maksimum düzeyde mükemmel bir sonuç göstermenize olanak sağlayacaktır.

Bir hata mı buldunuz?

Eğitim materyallerinde bir hata bulduğunuzu düşünüyorsanız lütfen e-posta ile yazınız. Ayrıca sosyal ağdaki () bir hatayı da bildirebilirsiniz. Mektupta konuyu (fizik veya matematik), konunun veya testin adını veya numarasını, problemin numarasını veya metinde (sayfada) sizce hatanın olduğu yeri belirtin. Ayrıca şüphelenilen hatanın ne olduğunu da açıklayın. Mektubunuz gözden kaçmayacak, hata ya düzeltilecek ya da neden hata olmadığı size açıklanacak.

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve gelecek etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, yasal işlemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu'ndaki devlet kurumlarının talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.