Geometri çalışma sayfası "Bir doğrunun ve bir dairenin göreceli konumu. İki dairenin göreceli konumu" (7. sınıf). Düz bir çizginin ve bir dairenin göreceli konumu

Bir düzlem üzerinde bir daire ve bir düz çizgi verilsin. Bu düz çizgiye C çemberinin merkezinden bir dikme bırakalım; bu dikmenin tabanını gösterelim. Bir nokta çembere göre üç olası konumu işgal edebilir: a) çemberin dışındadır, b) çemberin üzerindedir, c) çemberin içindedir. Buna bağlı olarak düz çizgi, aşağıda açıklanan daireye göre olası üç farklı konumdan birini işgal edecektir.

a) Çemberin C merkezinden düz çizgiye bırakılan dikmenin tabanının çemberin dışında kalmasına izin verin (Şekil 197). O zaman düz çizgi daireyi kesmez; tüm noktaları dış bölgede yer alır. Aslında, belirtilen durumda, koşul gereği merkezden yarıçaptan daha büyük bir mesafede çıkarılır). Dahası, sahip olduğumuz bir düz çizgi üzerindeki herhangi bir M noktası için, yani belirli bir düz çizgi üzerindeki her nokta çemberin dışında yer alır.

b) Dikliğin tabanının dairenin üzerine düşmesine izin verin (Şek. 198). O halde a düz çizgisinin çemberle tam olarak bir ortak noktası vardır. Aslında, eğer M doğrunun herhangi bir başka noktası ise, o zaman (eğimli olanlar dikeyden daha uzundur) M noktası dış bölgede yer alır. Çemberle tek ortak noktası olan böyle bir doğruya bu noktada çembere teğet denir. Tersine, eğer bir doğrunun bir daire ile tek bir ortak noktası varsa, o zaman bu noktaya çizilen yarıçapın bu düz çizgiye dik olduğunu gösterelim. Aslında bu doğrunun üzerine merkezden bir dikme bırakalım. Eğer tabanı çemberin içindeyse, c)'de gösterildiği gibi düz çizginin onunla iki ortak noktası olacaktır. Eğer dairenin dışında yer alıyorsa, o zaman a) nedeniyle düz çizginin daire ile ortak noktaları olmayacaktır.

Bu nedenle, dikey çizginin çizginin ve dairenin ortak noktasına - teğet oldukları noktaya düştüğünü varsaymak kalır. Önemli olduğu kanıtlanmış

Teorem. Bir daire üzerindeki bir noktadan geçen düz bir çizgi, ancak ve ancak o noktaya çizilen yarıçapa dik olması durumunda daireye dokunur.

Burada verilen bir daireye teğet tanımının diğer eğrilere taşınmadığına dikkat edin. Düz bir çizginin eğri bir çizgiye teğetinin daha genel bir tanımı, limitler teorisi kavramlarıyla ilişkilidir ve bu derste ayrıntılı olarak tartışılmaktadır. yüksek Matematik. Burada sadece bunun hakkında konuşacağız Genel kavram. Bir daire ve onun üzerinde bir A noktası verilsin (Şekil 199).

Çember üzerinde başka bir A noktası alalım ve AA düz çizgisinin her iki noktasını birleştirelim. Bir daire boyunca hareket eden A noktasının bir dizi yeni konum işgal etmesine ve A noktasına giderek daha fazla yaklaşmasına izin verin. A'nın etrafında dönen AA düz çizgisi bir dizi konum alır: bu durumda, hareket eden nokta A noktasına yaklaşırken , düz çizgi AT teğeti ile çakışma eğilimindedir. Bu nedenle, bir teğetten, belirli bir noktadan geçen bir kesenin ve ona sınırsızca yaklaşan bir eğri üzerindeki bir noktanın sınırlayıcı konumu olarak bahsedebiliriz. Bu formda, teğetin tanımı eğrilere çok uygulanabilir. Genel görünüm(Şek. 200).

c) Son olarak noktanın dairenin içinde kalmasına izin verin (Şek. 201). Daha sonra . C merkezinden a düz çizgisine çizilen ve tabanları bu noktadan iki olası yönden herhangi birinde uzaklaşan eğimli daireleri ele alacağız. Tabanı noktadan uzaklaştıkça eğimin uzunluğu monoton bir şekilde artacaktır; eğimin uzunluğundaki bu artış, keyfi olarak büyük değerlere yakın değerlerden kademeli olarak ("sürekli") meydana gelir, bu nedenle şu açık görünüyor: eğimli tabanların belirli bir konumunda uzunlukları, daire üzerinde yer alacak doğrunun karşılık gelen K ve L noktalarına tam olarak eşit olacaktır.

Karşılıklı düzenleme Doğru ve çember Bir doğru ile bir çemberin, göreceli konumlarına bağlı olarak kaç ortak noktası olabileceğini bulalım. Düz bir çizginin bir dairenin merkezinden geçmesi durumunda, daireyi üzerinde bulunan çapın iki ucunda kestiği açıktır. bu prima.

Düz olmasına izin ver R yarıçap dairesinin merkezinden geçmiyor R. Bir dik çizelim O düz bir çizgiye R ve harfle belirtmek D bu dikin uzunluğu, yani bu dairenin merkezinden düz çizgiye olan mesafe (Şekil 1) ). Arasındaki ilişkiye bağlı olarak bir çizginin ve bir dairenin göreceli konumunu araştırıyoruz. D Ve R.Üç olası durum vardır.

1) d R noktadan N iki bölümü bir kenara bırakın AÇIK Ve NV, eşit uzunluklar (Şekil 1) Pisagor teoremine göre OA=,

0 B= Bu nedenle puan A Ve İÇİNDEçemberin üzerinde yer alır ve dolayısıyla doğrunun ortak noktalarıdır R ve verilen daire.

Doğrunun olduğunu kanıtlayalım R ve bu çemberin başka hiçbir ortak noktası yoktur. Diyelim ki bir ortak C noktası daha var. O halde medyan Aşırı doz ikizkenar üçgen OAS. üsse taşındı AC, bu üçgenin yüksekliği yani HAKKINDADP. Segmentler Aşırı doz Ve O eşleşmiyor

ortasından beri D bölüm AC bir noktaya sığmıyor N - segmentin orta noktası , AB. O noktasından iki dik çizginin çizildiğini bulduk: O Ve OD- düz bir çizgiye R, ki bu imkansızdır. Bu yüzden Eğer mesafe Çemberin merkezinden düz çizgiye olan mesafe çemberin yarıçapından küçüktür (D< р), O düz çizgi ve daireİki ortak nokta var. Bu durumda hat çağrılır sekantçemberle ilgili olarak.

2) d=R. Bu durumda OH=R, yani nokta Nçember üzerinde yer alır ve dolayısıyla doğru ile çemberin ortak noktasıdır (Şekil 1, B). Dümdüz R ve dairenin başka ortak noktası yoktur, çünkü herhangi bir nokta için M dümdüz R. noktadan farklı N, OM>OH= R(eğik OM daha dik O), ve bu nedenle , M noktası çember üzerinde yer almıyor. Yani eğer yarışlarÇemberin merkezinden düz çizgiye olan mesafe yarıçapa eşittir, bu durumda düz çizgi ile çemberin yalnızca bir ortak noktası vardır.

3) d>R Bu durumda -OH> R Bu yüzden . herhangi bir nokta için M dümdüz p 0MON.>R( pirinç . 1,A) Bu nedenle M noktası çemberin üzerinde değildir. Bu yüzden, .eğer dairenin merkezinden olan mesafeDüz çizgiye olan mesafe dairenin yarıçapından büyükse, o zaman düz çizgi ile dairenin ortak noktaları yoktur.

Bir doğru ile bir dairenin bir veya iki ortak noktası olabileceğini ve hiçbir ortak noktasının olmayabileceğini kanıtladık. Bir daire ile düz bir çizgi sadece bir ortak noktaya çemberin teğeti denir, ve onların ortak nokta doğrunun ve çemberin teğet noktası denir.Şekil 2'de düz bir çizgi var R- O merkezli bir daireye teğet, A- bağlantı noktası.

Teğet özelliğe ilişkin teoremi kanıtlayalım.

Teorem. Bir daireye teğet diktirİle temas noktasına çizilen yarıçap.

Kanıt. İzin vermek R- O merkezli bir daireye teğet. A- temas noktası (bkz. Şekil 2). Hadi kanıtlayalım. teğet nedir R yarıçapa dik OA.

Durumun böyle olmadığını varsayalım. Daha sonra yarıçap: OA düz bir çizgiye eğimlidir R. noktasından çizilen dikme nedeniyle HAKKINDA düz bir çizgiye R, daha az eğimli OA, ardından merkeze olan mesafeler HAKKINDA düz çizgiye daire R yarıçapından daha azdır. Bu nedenle düz R ve çemberin iki ortak noktası var. Ancak bu durumla çelişiyor; dümdüz R- teğet. Böylece düz R yarıçapa dik OA. Teorem kanıtlandı.

Merkezi olan bir daireye iki teğet düşünün HAKKINDA, noktadan geçerek A ve daireye bazı noktalarda dokunmak İÇİNDE ve C (Şekil 3). Segmentler AB Ve AC Hadi arayalım teğet bölümlernyh, A noktasından çizilmiştir. Kanıtlanmış teoremden çıkan aşağıdaki özelliğe sahiptirler:

Bir noktadan çizilen bir daireye teğet olan parçalar eşittir ve bu noktadan ve dairenin merkezinden geçen bir doğru ile eşit açılar yapar.

Bu ifadeyi kanıtlamak için Şekil 3'e dönelim. Teğet özelliği ile ilgili teoreme göre 1 ve 2 numaralı açılar dik açıdır, dolayısıyla üçgendir. AVO Ve ASO dikdörtgen. Hipotenüsleri ortak olduğundan eşittirler OA ve eşit bacaklar doğum günü Ve İŞLETİM SİSTEMİ. Buradan, AB=AC ve 3=https://pandia.ru/text/78/143/images/image007_40.jpg" width="432 height=163" height="163">

Pirinç. 2 Şek. 3

https://pandia.ru/text/78/143/images/image010_57.gif" genişlik = "101" yükseklik = "19 src = ">.

Çapın temas noktasından çizilmesi BEN, sahip olacak: ; Bu yüzden

Pirinç. 1 Şek. 2

https://pandia.ru/text/78/143/images/image014_12.jpg" genişlik = "191 yükseklik=177" yükseklik = "177">.jpg" genişlik = "227 yükseklik = 197" yükseklik = "197" >

Yaylar, akorlar ve akorların merkezden uzaklıkları arasındaki bağımlılık.

Teoremler. Bir daire içinde veya V eşit daireler :

1) yaylar eşitse, onları oluşturan kirişler eşit ve merkezden eşit uzaklıkta demektir;

2) yarım daireden daha küçük olan iki yay eşit değilse, bunlardan daha büyük olanı daha büyük olan akor tarafından desteklenir ve her iki akordan daha büyüğü merkeze daha yakın yerleştirilir. .

1) Yay olsun AB yaya eşit CD(Şekil 1), AB ve akorlarının kanıtlanması gerekmektedir. CD eşit ve aynı zamanda eşit ve dik OE Ve İLE İLGİLİ, merkezden akorlara indirildi.

Sektörü döndürelim OAJB merkezin etrafında HAKKINDA okla gösterilen yönde yarıçapı o kadar HAKKINDA ile çakıştı İŞLETİM SİSTEMİ. Sonra yay VA. bir yay şeklinde gidecek CD ve eşitlikleri nedeniyle bu yaylar örtüşecektir. Bu, AS akorunun akorla çakıştığı anlamına gelir CD ve dik OE ile örtüşecek İLE İLGİLİ(bir noktadan yalnızca bir dik açı düz bir çizgiye indirilebilir), yani. AB=CD Ve OE=İLE İLGİLİ.

2) Yay olsun AB(Şekil 2) daha az ark CD, ve ayrıca her iki yay da yarım daireden daha küçüktür; akorun olduğunu kanıtlamak gerekiyor AB daha az akor CD, ve dik OE daha dik İLE İLGİLİ. Hadi onu yayın üzerine koyalım CD yay SK, eşittir AB, ve yardımcı bir akor çizin SK Kanıtlanmış olana göre akora eşittir AB ve merkeze eşit uzaklıkta. Üçgenlerde MORİNA. Ve MEYVE SUYU birinin iki tarafı diğerinin iki tarafına eşittir (yarıçaplar gibi), ancak bu kenarlar arasında kalan açılar eşit değildir; bu durumda, bildiğimiz gibi, açılardan daha büyük olana karşı, yani. ICOD, daha büyük olan taraf yalan söylemeli, yani CD>CK, ve bu yüzden CD>AB.

Bunu kanıtlamak için OE>İLE İLGİLİ, biz yöneteceğiz OLXCK ve kanıtlanmış olanlara göre şunu dikkate alın: OE=OL; bu nedenle karşılaştırmamız yeterli İLE İLGİLİİle OL. Bir dik üçgende 0 FM(şekilde kısa çizgilerle gösterilmiştir) hipotenüs OM daha fazla bacak İLE İLGİLİ; Ancak OL>OM; bu daha da fazlası anlamına geliyor OL>İLE İLGİLİ. ve bu yüzden OE>İLE İLGİLİ.

Bir çember için kanıtladığımız teorem eşit çemberler için de geçerlidir, çünkü bu tür çemberler birbirlerinden yalnızca konum bakımından farklılık gösterir.

Ters teoremler. Önceki paragrafta, aynı yarıçaptaki iki yayın karşılaştırmalı boyutuyla ilgili her türlü birbirini dışlayan durumlar dikkate alındığından ve kirişlerin karşılaştırmalı boyutu ve bunların merkezden uzaklıkları konusunda birbirini dışlayan sonuçlar elde edildiğinden, o zaman bunun tersi önermeler olmalıdır. doğru, ç. Kesinlikle:

İÇİNDE bir daire veya eşit daireler:

1) eşit akorlar merkezden eşit derecede uzaktadır ve eşit yaylara karşılık gelir;

2) merkezden eşit uzaklıktaki akorlar eşittir ve eşit yaylara karşılık gelir;

3) iki eşit olmayan akordan büyük olanı merkeze daha yakındır ve daha büyük olan yayın karşısındadır;

4) merkezden eşit olmayan uzaklıktaki iki akorun merkeze daha yakın olan daha büyüktür ve daha büyük bir yaya karşılık gelir.

Bu önermeler çelişkiyle kolayca kanıtlanabilir. Örneğin, bunlardan ilkini kanıtlamak için şu şekilde mantık yürütüyoruz: eğer bu akorlar eşit olmayan yaylar içeriyorsa, o zaman doğrudan teoreme göre eşit olmazlar, bu da koşulla çelişir; bu, eşit akorların eşit yayları karşılaması gerektiği anlamına gelir; ve eğer yaylar eşitse, o zaman direkt teoreme göre, onları çevreleyen kirişler merkezden eşit derecede uzaktadır.

Teorem. Çap akorların en büyüğüdür .

Merkeze bağlanırsak HAKKINDA merkezden geçmeyen bir akorun uçları, örneğin bir akor AB(Şekil 3) sonra bir üçgen elde ederiz AOB, bir tarafın bu akor olduğu ve diğer ikisinin yarıçap olduğu, Ancak bir üçgende her bir taraf diğer iki tarafın toplamından daha azdır; bu nedenle akor AB iki yarıçapın toplamından daha az; oysa her çap CD iki yarıçapın toplamına eşittir. Bu, çapın merkezden geçmeyen herhangi bir kirişten daha büyük olduğu anlamına gelir. Ancak çap aynı zamanda bir akor olduğundan akorların en büyüğünün çapı olduğunu söyleyebiliriz.

Pirinç. 1 Şek. 2

Teğet teoremi.

Daha önce de belirtildiği gibi, bir noktadan bir daireye çizilen teğet doğru parçaları aynı uzunluğa sahiptir. Bu uzunluğa denir teğet mesafe bir noktadan bir daireye.

Teğet teoremi olmadan, içi yazılı çemberlerle, yani bir çokgenin kenarlarına değen çemberlerle ilgili birden fazla problemi çözmek mümkün değildir.

Bir üçgende teğet uzaklıklar.

Üçgenin kenarlarının eşit olduğu bölümlerin uzunluklarını bulun ABC içinde bir daire yazılı olan teğet noktalara bölünür (Şekil 1,a), örneğin teğet mesafe ta noktadan Açembere. Kenarları ekleyelim B Ve C ve sonra tarafı toplamdan çıkarın A. Bir köşeden çizilen teğetlerin eşitliğini dikkate alarak 2 elde ederiz. ta. Bu yüzden,

ta=(b+C-A)/ 2=P-A,

Nerede p=(a+b+C)/ 2 bu üçgenin yarı çevresidir. Köşelere bitişik yan bölümlerin uzunluğu İÇİNDE Ve İLE, sırasıyla eşittir P-B Ve P-C.

Benzer şekilde, kenara (dışa) teğet olan bir üçgenin dış çemberi için A(Şekil 1, b), teğet mesafeler İÇİNDE Ve İLE sırasıyla eşittir P-C Ve P-B ve üstten A- Sadece P.

Bu formüllerin ters yönde de kullanılabileceğini unutmayın.

Bırak gitsin köşeye SEN bir daire yazılmıştır ve açının tepe noktasından daireye olan teğet mesafesi eşittirP veyaP- A, NeredeP– bir üçgenin yarı çevresi ABC, A a=BC. Sonra daire çizgiye dokunuyor Güneş(sırasıyla üçgenin dışında veya içinde).

Aslında örneğin teğet mesafesi eşit olsun P-A. Daha sonra dairelerimiz üçgenin iç çemberiyle aynı noktalarda açının kenarlarına değiyor ABC yani onunla örtüşüyor demektir. Bu nedenle çizgiye dokunuyor Güneş.

Çevrelenmiş dörtgen. Teğetlerin eşitliği teoreminden hemen şu sonuç çıkar (Şekil 2a):

Bir daire bir dörtgen içine yazılabilirse, karşıt kenarlarının toplamı eşittir:

AD+ BC= AB+ CD

Tanımlanan dörtgenin mutlaka dışbükey olduğuna dikkat edin. Bunun tersi de doğrudur:

Dörtgen dışbükeyse ve karşıt kenarlarının toplamları eşitse, içine bir daire yazılabilir.

Bunu paralelkenar dışındaki bir dörtgen için kanıtlayalım. Örneğin bir dörtgenin karşılıklı iki kenarı olsun AB Ve DC, devam edildiğinde bir noktada kesişecekler e(Şekil 2,b). Bir üçgenin içine bir daire çizelim ADE. Teğet mesafesi te diyeceğim şey şu ki e formülle ifade edilir

te=½ (AE+ED-AD).

Ancak şarta göre bir dörtgenin karşılıklı kenarlarının toplamları eşittir, yani AD+BC=AB+CD, veya reklam=AB+CD-M.Ö.. Bu değeri ifadede yerine koymak te, alıyoruz

te=½ ((AE-AB)+(ED-CD)+MÖ)= ½ (BE +EC+M.Ö),

ve bu üçgenin yarı çevresi M.Ö.. Yukarıda kanıtlanan teğetlik koşulundan dairemizin birbirine değdiği sonucu çıkar M.Ö..

https://pandia.ru/text/78/143/images/image020_13.jpg" width = "336" height = "198 src = ">

Çemberin dışındaki bir noktadan çembere çizilen iki teğet eşittir ve bu noktayı merkeze bağlayan eşitlikten çıkan düz çizgi ile eşit açılar oluşturur. dik üçgenler AOB ve AOB1

Bir matematik öğretmeni tarafından derlenmiştir

MBOU Ortaokulu No. 18, Krasnoyarsk

Andreeva Inga Viktorovna

Düz bir çizginin ve bir dairenin göreceli konumu

HAKKINDA R - yarıçap

İLE D - çap

AB- akor

• Merkezi bir noktada olan daire HAKKINDA yarıçap R
• Merkezden geçmeyen düz bir çizgi HAKKINDA
• Çemberin merkezinden düz çizgiye olan mesafeyi harfle belirtelim S

Üç durum mümkündür:

• 1) S

• az çemberin yarıçapı, o zaman düz çizgi ve çemberin iki ortak nokta .

Doğrudan AB denir sekant çemberle ilgili olarak.

Üç durum mümkündür:

• 2 ) S = R

• Çemberin merkezinden düz çizgiye olan mesafe ise eşittir çemberin yarıçapı, o zaman düz çizgi ve çemberin tek bir ortak nokta .

S = R

Üç durum mümkündür:

• 3 ) efendim

• Çemberin merkezinden düz çizgiye olan mesafe ise Daha bir dairenin yarıçapı, ardından bir düz çizgi ve bir daire ortak noktaları yok .

Bir daireye teğet

Tanım: P bir çemberle yalnızca bir ortak noktası olan doğruya çembere teğet, ortak noktalarına da doğrunun ve çemberin teğet noktası denir.

S = R

• düz çizgi - sekant
• düz çizgi - sekant
• ortak nokta yok
• düz çizgi - sekant
• düz çizgi - teğet

• r = 15 cm, s = 11 cm
• r = 6 cm, s = 5,2 cm
• r = 3,2 m, s = 4,7 m
• r = 7 cm, s = 0,5 dm
• r = 4 cm, s = 4 0 mm

633 numarayı çözün.

• OABC karesi
• AB = 6 cm
• Yarıçapı 5 cm olan O merkezli daire

OA, AB, BC, AC düz çizgilerinden sekantlar

Teğet özelliği: Bir daireye teğet, teğet noktasına çizilen yarıçapa diktir.

M– merkezli bir daireye teğet HAKKINDA

M- bağlantı noktası

OM- yarıçap

Teğet işareti: Düz bir çizgi, bir daire üzerinde bulunan bir yarıçapın ucundan geçiyorsa ve yarıçapa dik ise, o zaman bu bir asatif.

merkezi olan daire HAKKINDA

yarıçap OM

M- bir noktadan geçen düz çizgi M

M – teğet

Bir noktadan geçen teğetlerin özelliği:

Teğet bölümler

çizilmiş daireler

aynı noktadan eşit ve

eşit açılar yapın

içinden geçen düz bir çizgiyle

bu nokta ve çemberin merkezi.

▼ Teğet özelliğine göre

∆ AVO, ∆ ASO – dikdörtgen

∆ ABO= ∆ ACO – hipotenüs ve kenar boyunca:

OA - genel,

Daire - geometrik şekil belirli bir noktadan belirli bir mesafede bulunan düzlemin tüm noktalarından oluşan.

Bu noktaya (O) denir. dairenin merkezi.
Daire yarıçapı- bu, merkezi daire üzerindeki herhangi bir noktaya bağlayan bir segmenttir. Tüm yarıçaplar aynı uzunluğa sahiptir (tanım gereği).
Akor- bir daire üzerindeki iki noktayı birleştiren bir doğru parçası. Çemberin merkezinden geçen kirişe denir çap. Bir dairenin merkezi herhangi bir çapın orta noktasıdır.
Bir daire üzerindeki herhangi iki nokta onu iki parçaya böler. Bu parçaların her birine denir bir dairenin yayı. Ark denir yarım daire uçlarını birleştiren segment bir çap ise.
Birim yarım dairenin uzunluğu şu şekilde gösterilir: π .
Uçları ortak olan bir dairenin iki yayının derece ölçülerinin toplamı eşittir 360°.
Düzlemin çemberle sınırlanan kısmına denir her yerde.
Dairesel sektör- bir yay ve yayın uçlarını dairenin merkezine bağlayan iki yarıçapla sınırlanan bir dairenin parçası. Sektörü sınırlayan yaya denir sektörün yayı.
Merkezi ortak olan iki çembere denir eşmerkezli.
Dik açılarla kesişen iki çembere denir dikey.

Düz bir çizginin ve bir dairenin göreceli konumu

1. Çemberin merkezinden düz çizgiye olan mesafe çemberin yarıçapından küçükse ( d), o zaman düz çizgi ile dairenin iki ortak noktası vardır. Bu durumda hat çağrılır sekantçemberle ilgili olarak.
2. Çemberin merkezinden düz çizgiye olan mesafe çemberin yarıçapına eşitse, o zaman düz çizgi ile çemberin yalnızca bir ortak noktası vardır. Bu çizgiye denir çembere teğet ve bunların ortak noktası denir bir çizgi ile bir daire arasındaki teğet nokta.
3. Çemberin merkezinden düz çizgiye olan uzaklık çemberin yarıçapından büyükse, o zaman düz çizgi ve çember ortak noktaları yok
.

Merkezi ve yazılı açılar

Merkezi açı tepe noktası çemberin merkezinde olan bir açıdır.
Yazılı açı- Tepe noktası daire üzerinde bulunan ve kenarları daireyle kesişen açı.

Yazılı açı teoremi

Yazılı bir açı, dayandığı yayın yarısıyla ölçülür.

• Sonuç 1.
  Aynı yayı gören yazılı açılar eşittir.


• Sonuç 2.
  Yarım dairenin kapsadığı yazılı açı dik açıdır.

Kesişen akor parçalarının çarpımı üzerine teorem.

Bir dairenin iki kirişi kesişirse, bir akorun bölümlerinin çarpımı diğer akorun bölümlerinin çarpımına eşittir.

Temel formüller

• Çevre:

• Dairesel yay uzunluğu:

• Çap:

• Dairesel yay uzunluğu:

• Bir dairenin alanı:

• Dairesel sektörün alanı:

Bir dairenin denklemi

• İÇİNDE dikdörtgen sistem bir daire yarıçapının koordinat denklemi R bir noktada merkezlenmiş C(x o;y o) şu şekle sahiptir:

• Merkezi orijinde olan r yarıçaplı bir dairenin denklemi şu şekildedir: