Как да сравняваме по модул положителни цели числа. Сравняване на числа по модул

Продължаваме да изучаваме рационални числа. В този урок ще научим как да ги сравняваме.

От предишните уроци научихме, че колкото по-вдясно на координатната права е разположено едно число, толкова по-голямо е то. И съответно, колкото по-наляво е числото на координатната линия, толкова по-малко е то.

Например, ако сравните числата 4 и 1, веднага можете да отговорите, че 4 е повече от 1. Това е напълно логично твърдение и всеки ще се съгласи с него.

Като доказателство можем да цитираме координатната линия. Това показва, че четиримата лежи вдясно от единицата

За този случай също има правило, което може да се използва при желание. Изглежда така:

От две положителни числа по-голямо е числото, чийто модул е ​​по-голям.

За да отговорите на въпроса кое число е по-голямо и кое е по-малко, първо трябва да намерите модулите на тези числа, да сравните тези модули и след това да отговорите на въпроса.

Например, сравнете същите числа 4 и 1, прилагайки горното правило

Намиране на модулите на числата:

|4| = 4

|1| = 1

Нека сравним намерените модули:

4 > 1

Отговаряме на въпроса:

4 > 1

За отрицателни числаИма още едно правило, то изглежда така:

От две отрицателни числа числото, чийто модул е ​​по-малък, е по-голямо.

Например, сравнете числата −3 и −1

Намиране на модулите на числата

|−3| = 3

|−1| = 1

Нека сравним намерените модули:

3 > 1

Отговаряме на въпроса:

−3 < −1

Модулът на числото не трябва да се бърка със самото число. Често срещана грешкамного новобранци. Например, ако модулът на −3 е по-голям от модула на −1, това не означава, че −3 е по-голямо от −1.

Числото −3 е по-малко от числото −1. Това може да се разбере, ако използваме координатната линия

Може да се види, че числото −3 лежи по-вляво от −1. И знаем, че колкото по-наляво, толкова по-малко.

Ако сравните отрицателно число с положително, отговорът ще се подскаже сам. Всяко отрицателно число ще бъде по-малко от всяко положително число. Например −4 е по-малко от 2

Може да се види, че −4 се намира по-наляво от 2. И знаем, че „колкото по-наляво, толкова по-малко“.

Тук, на първо място, трябва да разгледате знаците на числата. Знакът минус пред число показва, че числото е отрицателно. Ако знакът за числото липсва, значи числото е положително, но можете да го запишете за по-голяма яснота. Спомнете си, че това е знак плюс

Като пример разгледахме цели числа от формата −4, −3 −1, 2. Сравняването на такива числа, както и изобразяването им на координатна линия, не е трудно.

Много по-трудно е да се сравняват други видове числа, като дроби, смесени числаи десетични знаци, някои от които са отрицателни. Тук основно ще трябва да приложите правилата, тъй като не винаги е възможно точно да изобразите такива числа върху координатна линия. В някои случаи ще е необходим номер, за да се улесни сравнението и разбирането.

Пример 1.Сравнете рационални числа

И така, трябва да сравните отрицателно число с положително. Всяко отрицателно число е по-малко от всяко положително число. Затова, без да губим време, отговаряме, че е по-малко от

Пример 2.

Трябва да сравните две отрицателни числа. От две отрицателни числа по-голямо е това, чиято величина е по-малка.

Намиране на модулите на числата:

Нека сравним намерените модули:

Пример 3.Сравнете числата 2,34 и

Трябва да сравните положително число с отрицателно. Всяко положително число е по-голямо от всяко отрицателно число. Затова, без да губим време, отговаряме, че 2,34 е повече от

Пример 4.Сравнете рационални числа и

Намиране на модулите на числата:

Сравняваме намерените модули. Но първо, нека ги приведем в ясна форма, за да улесним сравняването, а именно ще ги преобразуваме в неправилни дроби и ще ги доведем до общ знаменател

Според правилото от две отрицателни числа по-голямо е числото, чиято абсолютна стойност е по-малка. Това означава, че рационалното е по-голямо от , тъй като модулът на числото е по-малък от модула на числото

Пример 5.

Трябва да сравните нула с отрицателно число. Нулата е по-голяма от всяко отрицателно число, така че без да губим време отговаряме, че 0 е по-голямо от

Пример 6.Сравнете рационални числа 0 и

Трябва да сравните нула с положително число. Нула е по-малко от всяко положително число, така че без да губим време отговаряме, че 0 е по-малко от

Пример 7. Сравнете рационалните числа 4,53 и 4,403

Трябва да сравните две положителни числа. От две положителни числа по-голямо е числото, чийто модул е ​​по-голям.

Нека направим броя на цифрите след десетичната запетая еднакъв и в двете дроби. За да направите това, в дробта 4.53 добавяме една нула в края

Намиране на модулите на числата

Нека сравним намерените модули:

Според правилото от две положителни числа по-голямо е числото, чиято абсолютна стойност е по-голяма. Средства рационално число 4,53 е по-голямо от 4,403, защото модулът на 4,53 е по-голям от модула на 4,403

Пример 8.Сравнете рационални числа и

Трябва да сравните две отрицателни числа. От две отрицателни числа числото, чийто модул е ​​по-малък, е по-голямо.

Намиране на модулите на числата:

Сравняваме намерените модули. Но първо, нека ги приведем в ясна форма, за да улесним сравнението, а именно, нека преобразуваме смесеното число в неправилна дроб, тогава привеждаме двете дроби към общ знаменател:

Според правилото от две отрицателни числа по-голямо е числото, чиято абсолютна стойност е по-малка. Това означава, че рационалното е по-голямо от , тъй като модулът на числото е по-малък от модула на числото

Сравняването на десетични числа е много по-лесно от сравняването на дроби и смесени числа. В някои случаи, като разгледате цялата част от такава фракция, можете веднага да отговорите на въпроса коя фракция е по-голяма и коя е по-малка.

За да направите това, трябва да сравните модулите на целите части. Това ще ви позволи бързо да отговорите на въпроса в задачата. В крайна сметка, както знаете, цели части в десетични знациимат по-голямо тегло от дробните.

Пример 9.Сравнете рационалните числа 15,4 и 2,1256

Модулът на цялата част на дробта е 15,4 по-голям от модула на цялата част на дробта 2,1256

следователно фракцията 15,4 е по-голяма от фракцията 2,1256

15,4 > 2,1256

С други думи, не трябваше да губим време да добавяме нули към дробта 15.4 и да сравняваме получените дроби като обикновени числа

154000 > 21256

Правилата за сравнение остават същите. В нашия случай сравнихме положителни числа.

Пример 10.Сравнете рационалните числа −15,2 и −0,152

Трябва да сравните две отрицателни числа. От две отрицателни числа числото, чийто модул е ​​по-малък, е по-голямо. Но ние ще сравним само модулите от цели числа

Виждаме, че модулът на цялата част от дробта е −15,2 по-голям от модула на цялата част от дробта −0,152.

Това означава, че рационалното −0,152 е по-голямо от −15,2, тъй като модулът на цялата част на числото −0,152 е по-малък от модула на цялата част на числото −15,2

−0,152 > −15,2

Пример 11.Сравнете рационалните числа −3,4 и −3,7

Трябва да сравните две отрицателни числа. От две отрицателни числа числото, чийто модул е ​​по-малък, е по-голямо. Но ние ще сравним само модулите от цели числа. Но проблемът е, че модулите на целите числа са равни:

В този случай ще трябва да използвате стария метод: намерете модулите на рационалните числа и сравнете тези модули

Нека сравним намерените модули:

Според правилото от две отрицателни числа по-голямо е числото, чиято абсолютна стойност е по-малка. Това означава, че рационалното −3,4 е по-голямо от −3,7, защото модулът на числото −3,4 е по-малък от модула на числото −3,7

−3,4 > −3,7

Пример 12.Сравнете рационалните числа 0,(3) и

Трябва да сравните две положителни числа. Освен това сравнете периодична дроб с проста дроб.

Нека преобразуваме периодичната дроб 0,(3) в обикновена дроби го сравнете с дроб. След преобразуване на периодичната дроб 0,(3) в обикновена дроб, тя става дроб

Намиране на модулите на числата:

Сравняваме намерените модули. Но първо, нека ги приведем в разбираема форма, за да улесним сравнението, а именно, нека ги приведем към общ знаменател:

Според правилото от две положителни числа по-голямо е числото, чиято абсолютна стойност е по-голяма. Това означава, че едно рационално число е по-голямо от 0,(3), защото модулът на числото е по-голям от модула на числото 0,(3)

Хареса ли ви урока?
Присъединете се към нашата нова група VKontakte и започнете да получавате известия за нови уроци

ПЕРВУШКИН БОРИС НИКОЛАЕВИЧ

Частна образователна институция "Санкт Петербург училище "Тет-а-тет"

Учител по математика Най-висока категория

Сравняване на числа по модул

Определение 1. Ако две числа1 ) аИbкогато се раздели настрдават същия остатъкr, тогава такива числа се наричат ​​equiremainder илисравними по модул стр.

Изявление 1. Позволявамстрнякакво положително число. След това всяко числоавинаги и освен това по единствения начин може да бъде представен във формата

Къдетос- номер иrедно от числата 0,1, ...,стр−1.

1 ) В тази статия думата номер ще се разбира като цяло число.

Наистина ли. Акосще получи стойност от −∞ до +∞, след това числатаspпредставлява колекцията от всички числа, които са кратни настр. Нека да разгледаме числата междуspИ (s+1) p=sp+p. защотостре положително цяло число, тогава междуspИsp+pима числа

Но тези числа могат да бъдат получени чрез настройкаrравно на 0, 1, 2,...,стр−1. Следователноsp+r=aще получи всички възможни цели числа.

Нека покажем, че това представяне е уникално. Нека се преструваме, честрможе да се представи по два начинаa=sp+rИa=s1 стр+ r1 . Тогава

или

защотоr1 приема едно от числата 0,1, ...,стр−1, след това абсолютната стойностr1 − rпо-малкостр. Но от (2) следва, чеr1 − rмногократнистр. Следователноr1 = rИс1 = с.

НомерrНареченминус числаапо модулстр(с други думи, числотоrнарича остатък от числоаНастр).

Изявление 2. Ако две числааИbсравними по модулстр, Чеa−bразделена настр.

Наистина ли. Ако две числааИbсравними по модулстр, тогава когато се раздели настримат същия остатъкстр. Тогава

КъдетосИс1 някои цели числа.

Разликата на тези числа

разделена настр, защото дясна частуравнение (3) се разделя настр.

Изявление 3. Ако разликата на две числа се дели настр, тогава тези числа са сравними по модулстр.

Доказателство. Нека означим сrИr1 остатъци от делениеаИbНастр. Тогава

където

Споредa−bразделена настр. Следователноr− r1 също се дели настр. Но защотоrИr1 числа 0,1,...,стр−1, тогава абсолютната стойност |r− r1 |< стр. След това, за даr− r1 разделена наструсловието трябва да бъде изпълненоr= r1 .

От твърдението следва, че сравними числа са тези числа, чиято разлика се дели на модула.

Ако трябва да запишете тези числааИbсравними по модулстр, тогава използваме нотацията (въведена от Гаус):

Примери 25≡39 (mod 7), −18≡14 (mod 4).

От първия пример следва, че 25, когато се раздели на 7, дава същия остатък като 39. Наистина, 25 = 3 7 + 4 (остатък 4). 39=3·7+4 (остатък 4). Когато разглеждате втория пример, трябва да вземете предвид, че остатъкът трябва да бъде неотрицателно число, по-малко от модула (т.е. 4). Тогава можем да запишем: −18=−5·4+2 (остатък 2), 14=3·4+2 (остатък 2). Следователно, −18, когато е разделено на 4, оставя остатък 2, а 14, когато е разделено на 4, оставя остатък 2.

Свойства на модулните сравнения

Имот 1. За всекиаИстрВинаги

Имот 2. Ако две числааИ° Ссравнимо с числоbпо модулстр, ЧеаИ° Ссъпоставими помежду си според един и същи модул, т.е. Ако

Че

Наистина ли. От състоянието на имот 2 следваa−bИb−cсе разделят настр. След това тяхната сумаa−b+(b−c)=a−cсъщо се разделя настр.

Имот 3. Ако

Че

Наистина ли. защотоa−bИm−nсе разделят настр, Че

също се разделя настр.

Това свойство може да бъде разширено до произволен брой сравнения, които имат един и същ модул.

Имот 4. Ако

Че

По-нататъкm−nразделена настр, следователноb(m−n)=bm−bnсъщо се разделя настр, Средства

Така че две числасутринтаИмлрдсравнимо по модул със същото числоbm, следователно те са сравними помежду си (свойство 2).

Имот 5. Ако

Че

Къдетокнякакво неотрицателно цяло число.

Наистина ли. Ние имамеa≡bмод(стр). От свойство 4 следва

Представете всички свойства 1-5 в следното твърдение:

Изявление 4. Позволявамf( х1 , х2 , х3 , ...) е цяла рационална функция с цели коефициенти и нека

Тогава

С разделението всичко е различно. От сравнението

Изявление 5. Позволявам

Къдетоλ Тованай-голям общ делителчисламИстр.

Доказателство. Позволявамλ най-голям общ делител на числатамИстр. Тогава

защотоm(a−b)разделена нак, Че

има нулев остатък, т.е.м1 ( a−b) разделена нак1 . Но числатам1 Ик1 числата са относително прости. Следователноa−bразделена нак1 = k/λи тогава,p,q,s.

Наистина ли. Разликаa≡bтрябва да е кратно наp,q,s.и следователно трябва да бъде кратноч.

В специалния случай, ако модулитеp,q,sвзаимно прости числа, Че

Къдетоh=pqs.

Имайте предвид, че можем да позволим сравнения въз основа на отрицателни модули, т.е. сравнениеa≡bмод(стр) означава в този случай, че разликатаa−bразделена настр. Всички свойства на сравненията остават в сила за отрицателните модули.

За две цели числа хИ приНека въведем отношение на съпоставимост по паритет, ако разликата им е четно число. Лесно е да се провери дали всичките три въведени по-рано условия за еквивалентност са изпълнени. Отношението на еквивалентност, въведено по този начин, разделя цялото множество от цели числа на две несвързани подмножества: подмножество от четни числа и подмножество от нечетни числа.

Обобщавайки този случай, ще кажем, че две цели числа, които се различават с кратно на някакво фиксирано естествено число, са еквивалентни. Това е основата за концепцията за модулна сравнимост, въведена от Гаус.

Номер А, сравнимо с bпо модул м, ако разликата им се дели на фиксирано естествено число м, това е а - бразделена на м. Символично това е написано като:

a ≡ b(mod m),

и се чете така: Асравним с bпо модул м.

Въведената по този начин връзка, благодарение на дълбоката аналогия между сравненията и равенствата, опростява изчисленията, при които числа, различаващи се с кратно м, всъщност не се различават (тъй като сравнението е равенство до някакво кратно на m).

Например, числата 7 и 19 са сравними по модул 4, но не са сравними по модул 5, т.к. 19-7=12 се дели на 4 и не се дели на 5.

Може да се каже също, че броят хпо модул мравен на остатъка при деление на цяло число хНа м, защото

x=km+r, r = 0, 1, 2, ..., m-1.

Лесно се проверява, че съпоставимостта на числата по даден модул има всички свойства на еквивалентност. Следователно наборът от цели числа е разделен на класове числа, сравними по модул м. Броят на тези класове е равен м, и всички числа от същия клас, когато са разделени на мдават същия остатък. Например ако м= 3, тогава получаваме три класа: класът на числата, които са кратни на 3 (даващи остатък 0, когато са разделени на 3), класът на числата, които оставят остатък 1, когато са разделени на 3, и класът на числата, които оставят остатък 2 при деление на 3.

Примерите за използване на сравнения са представени добре известни знациделимост. Общо представяне на числа нчислата в десетичната бройна система има формата:

n = c10 2 + b10 1 + a10 0,

Където а, б, в,- цифри на число, изписано отдясно наляво, т.н А- брой единици, b- брой десетици и др. От 10к ≡ 1(mod9) за всяко k≥0, то от написаното следва, че

n ≡ c + b + a(мод9),

откъдето следва проверката за делимост на 9: нсе дели на 9 тогава и само тогава, когато сумата от неговите цифри се дели на 9. Това разсъждение се прилага и при замяна на 9 с 3.

Получаваме теста за делимост на 11. Сравненията се извършват:

10≡- 1 (mod11), 10 2 ≡ 1(mod11) 10 3 ≡- 1(mod11) и т.н. Ето защо n ≡ c - b + a - ….(мод.11).

следователно нсе дели на 11 тогава и само ако редуващият се сбор от неговите цифри a - b + c -... се дели на 11.

Например редуваща се сума от цифрите на числото 9581 е 1 - 8 + 5 - 9 = -11, то се дели на 11, което означава, че числото 9581 се дели на 11.

Ако има сравнения: , тогава те могат да се добавят, изваждат и умножават член по член по същия начин като равенствата:

Сравнението винаги може да бъде умножено по цяло число:

ако , тогава

Въпреки това, намаляването на сравнението с който и да е фактор не винаги е възможно, например, но е невъзможно да се намали с общ фактор 6 за числата 42 и 12; такова намаление води до неправилен резултат, тъй като .

От определението за съпоставимост по модул следва, че намалението с коефициент е допустимо, ако този коефициент е взаимно прост на модула.

Вече беше отбелязано по-горе, че всяко цяло число е сравнимо mod мс едно от следните числа: 0, 1, 2,... , m-1.

В допълнение към тази серия, има други серии от числа, които имат същото свойство; така, например, всяко число е сравнимо по мод 5 с едно от следните числа: 0, 1, 2, 3, 4, но също така е сравнимо с едно от следните числа: 0, -4, -3, -2, - 1 или 0, 1, -1, 2, -2. Всяка такава поредица от числа се нарича пълна система от остатъци по модул 5.

Така пълната система от остатъци мод мвсяка серия от мчисла, нито две от които не са сравними едно с друго. Често използван цялостна системаостатъци, състоящи се от числа: 0, 1, 2, ..., м-1. Изваждане на числото нпо модул ме остатъкът от делението нНа м, което следва от представ n = km + r, 0<r<м- 1.

Сравняване на числа по модул

Изготвил: Ирина Зутикова

MAOU "Лицей № 6"

Клас: 10 "а"

Научен ръководител: Желтова Олга Николаевна

Тамбов

2016

• проблем
• Цел на проекта
• Хипотеза
• Цели на проекта и план за постигането им
• Сравнения и техните свойства
• Примери за задачи и техните решения
• Използвани сайтове и литература

проблем:

Повечето ученици рядко използват модулно сравнение на числа за решаване на нестандартни и олимпиадни задачи.

Цел на проекта:

Покажете как можете да решавате нестандартни и олимпиадни задачи, като сравнявате числа по модул.

Хипотеза:

По-задълбочено изучаване на темата „Сравняване на числа по модул“ ще помогне на учениците да решат някои нестандартни и олимпиадни задачи.

Цели на проекта и план за постигането им:

1. Проучете подробно темата „Сравнение на числа по модул“.

2. Решаване на няколко нестандартни и олимпиадни задачи чрез сравнение по модул на числа.

3. Създайте бележка за учениците по темата „Сравняване на числа по модул“.

4. Провеждане на урок на тема „Сравняване на числа по модул“ в 10а клас.

5. Дайте на класа домашна работа по темата „Сравнение по модул“.

6. Сравнете времето за изпълнение на задачата преди и след изучаване на темата „Сравнение по модул“.

7. Направете изводи.

Преди да започна да изучавам подробно темата „Сравняване на числа по модул“, реших да сравня как е представена в различни учебници.

• Алгебра и началото на математическия анализ. Напреднало ниво. 10 клас (Ю.М. Колягин и др.)
• Математика: алгебра, функции, анализ на данни. 7 клас (L.G. Peterson и други)
• Алгебра и началото на математическия анализ. Ниво на профил. 10 клас (E.P. Nelin и др.)
• Алгебра и началото на математическия анализ. Ниво на профил. 10 клас (G.K. Muravin и др.)

Както разбрах, някои учебници дори не засягат тази тема, въпреки нивото за напреднали. А темата е представена по най-ясен и достъпен начин в учебника на Л. Г. Питърсън (Глава: Въведение в теорията на делимостта), така че нека се опитаме да разберем „Сравнение на числата по модул“, опирайки се на теорията от този учебник.

Сравнения и техните свойства.

определение: Ако две цели числа a и b имат еднакви остатъци, когато са разделени на някакво цяло число m (m>0), тогава се казва, чеa и b са сравними по модул m, и напишете:

Теорема: тогава и само ако разликата на a и b се дели на m.

Имоти:

1. Рефлексивност на сравненията.Всяко число a е сравнимо със себе си по модул m (m>0; a,m са цели числа).
2. Симетрични сравнения.Ако числото a е сравнимо с числото b по модул m, тогава числото b е сравнимо с числото a по същия модул (m>0; a,b,m са цели числа).
3. Преходност на сравненията.Ако числото a е сравнимо с числото b по модул m, а числото b е сравнимо с числото c по модул на същия модул, тогава числото a е сравнимо с числото c по модул m (m>0; a,b,c ,m са цели числа).
4. Ако числото a е сравнимо с числото b по модул m, то числото aн съпоставими по число bн по модул m(m>0; a,b,m-цели числа; n-естествено число).

Примери за задачи и техните решения.

1. Намерете последната цифра на числото 3 999 .

Решение:

защото последната цифрачислата са остатък от деление на 10, тогава

3 999 =3 3 *3 996 =3 3 *(3 4 ) 249 =7*81 249 7(mod 10)

(Тъй като 34=81 1(mod 10);81 n 1(mod10) (по собственост))

Отговор: 7.

2.Докажете, че 2 4n -1 се дели на 15 без остатък. (Phystech2012)

Решение:

защото 16 1(mod 15), тогава

16n-1 0(mod 15) (по свойство); 16n= (2 4) n

2 4n -1 0 (mod 15)

3. Докажете, че 12 2n+1 +11 n+2 Дели се на 133 без остатък.

Решение:

12 2n+1 =12*144 n 12*11 n (mod 133) (по собственост)

12 2n+1 +11 n+2 =12*11 n +11 n *121=11 n *(12+121) =11 n *133

Число (11n *133) се дели без остатък на 133. Следователно (12 2n+1 +11 n+2 ) се дели на 133 без остатък.

4. Намерете остатъка от числото 2 делено на 15 2015 .

Решение:

От 16 1(mod 15), тогава

2 2015 8 (мод. 15)

Отговор:8.

5. Намерете остатъка от деленето на 17-то число 2 2015 г. (Phystech2015)

Решение:

2 2015 =2 3 *2 2012 =8*16 503

От 16 -1(mod 17), тогава

2 2015 -8 (мод. 15)

8 9 (мода 17)

Отговор:9.

6. Докажете, че числото е 11 100 -1 се дели на 100 без остатък. (Phystech2015)

Решение:

11 100 =121 50

121 50 21 50 (mod 100) (по собственост)

21 50 =441 25

441 25 41 25 (mod 100) (по собственост)

41 25 =41*1681 12

1681 12 (-19) 12 (mod 100) (по собственост)

41*(-19) 12 =41*361 6

361 6 (-39) 6 (mod 100)(по собственост)

41*(-39) 6 =41*1521 3

1521 3 21 3 (mod100) (по собственост)

41*21 3 =41*21*441

441 41(mod 100) (по собственост)

21*41 2 =21*1681

1681 -19(mod 100) (по собственост)

21*(-19)=-399

399 1(mod 100) (по собственост)

Така че 11 100 1 (mod 100)

11 100 -1 0(mod 100) (по собственост)

7. Дадени са три числа: 1771,1935,2222. Намерете такова число, че при деление на него остатъците от трите дадени числа ще бъдат равни. (HSE2016)

Решение:

Тогава нека неизвестното число е равно на а

2222 1935 (мод а); 1935 1771 (мод а); 2222 1771 (mod a)

2222-1935 0(moda) (по свойство); 1935-17710(moda) (по свойство); 2222-17710(moda) (по собственост)

287 0 (mod a); 164 0 (mod a); 451 0 (mod a)

287-164 0(moda) (по свойство); 451-2870(moda)(по собственост)

123 0 (mod a); 164 0 (mod a)

164-123 0(mod a) (по свойство)

41

Определение 1. Ако две числа са 1) аИ bкогато се раздели на стрдават същия остатък r, тогава такива числа се наричат ​​equiremainder или сравними по модул стр.

Изявление 1. Позволявам стрнякакво положително число. След това всяко число авинаги и освен това по единствения начин може да бъде представен във формата

Но тези числа могат да бъдат получени чрез настройка rравно на 0, 1, 2,..., стр−1. Следователно sp+r=aще получи всички възможни цели числа.

Нека покажем, че това представяне е уникално. Нека се преструваме, че стрможе да се представи по два начина a=sp+rИ a=s 1 стр+r 1. Тогава

(2)

защото r 1 приема едно от числата 0,1, ..., стр−1, след това абсолютната стойност r 1 −rпо-малко стр. Но от (2) следва, че r 1 −rмногократни стр. Следователно r 1 =rИ с 1 =с.

Номер rНаречен минусчисла апо модул стр(с други думи, числото rнарича остатък от число аНа стр).

Изявление 2. Ако две числа аИ bсравними по модул стр, Че a−bразделена на стр.

Наистина ли. Ако две числа аИ bсравними по модул стр, тогава когато се раздели на стримат същия остатък стр. Тогава

разделена на стр, защото дясната страна на уравнение (3) е разделена на стр.

Изявление 3. Ако разликата на две числа се дели на стр, тогава тези числа са сравними по модул стр.

Доказателство. Нека означим с rИ r 1 остатък от деление аИ bНа стр. Тогава

Примери 25≡39 (mod 7), −18≡14 (mod 4).

От първия пример следва, че 25, когато се раздели на 7, дава същия остатък като 39. Наистина, 25 = 3·7+4 (остатък 4). 39=3·7+4 (остатък 4). Когато разглеждате втория пример, трябва да вземете предвид, че остатъкът трябва да бъде неотрицателно число, по-малко от модула (т.е. 4). Тогава можем да запишем: −18=−5·4+2 (остатък 2), 14=3·4+2 (остатък 2). Следователно, −18, когато е разделено на 4, оставя остатък 2, а 14, когато е разделено на 4, оставя остатък 2.

Свойства на модулните сравнения

Имот 1. За всеки аИ стрВинаги

не винаги има сравнение

Където λ е най-големият общ делител на числата мИ стр.

Доказателство. Позволявам λ най-голям общ делител на числата мИ стр. Тогава

защото m(a−b)разделена на к, Че

Следователно

И ме един от делителите на числото стр, Че

Където h=pqs.

Имайте предвид, че можем да позволим сравнения въз основа на отрицателни модули, т.е. сравнение a≡bмод( стр) означава в този случай, че разликата a−bразделена на стр. Всички свойства на сравненията остават в сила за отрицателните модули.