Сложни примери с обикновени дроби. Дроби, действия с дроби

Тази статия разглежда операциите с дроби. Ще бъдат формирани и обосновани правила за събиране, изваждане, умножение, деление или степенуване на дроби от вида A B, където A и B могат да бъдат числа, числови изрази или изрази с променливи. В заключение ще бъдат разгледани примери за решения с подробно описание.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Правила за извършване на действия с общи числови дроби

Числови дроби общ изгледимат числител и знаменател, в които има цели числаили числови изрази. Ако разгледаме дроби като 3 5, 2, 8 4, 1 + 2 3 4 (5 - 2), 3 4 + 7 8 2, 3 - 0, 8, 1 2 2, π 1 - 2 3 + π, 2 0, 5 ln 3, тогава е ясно, че числителят и знаменателят могат да имат не само числа, но и изрази от различни видове.

Определение 1

Има правила, по които се извършват действията обикновени дроби. Подходящ е и за общи дроби:

• При изваждане на дроби с подобни знаменатели се добавят само числителите, а знаменателят остава същият, а именно: a d ± c d = a ± c d, стойностите a, c и d ≠ 0 са някои числа или числови изрази.
• Когато добавяте или изваждате дроб с различни знаменатели, е необходимо да го намалите до общ знаменател и след това да добавите или извадите получените дроби със същите показатели. Буквално изглежда така: a b ± c d = a · p ± c · r s, където стойностите a, b ≠ 0, c, d ≠ 0, p ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0 са реални числа, и b · p = d · r = s . Когато p = d и r = b, тогава a b ± c d = a · d ± c · d b · d.
• При умножаване на дроби действието се извършва с числители, след което със знаменатели, тогава получаваме a b · c d = a · c b · d, където a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 действат като реални числа.
• Когато разделяме дроб на дроб, умножаваме първото по второто обратно, т.е. разменяме числителя и знаменателя: a b: c d = a b · d c.

Обосновка на правилата

Има следните математически точки, на които трябва да разчитате, когато изчислявате:

• наклонената черта означава знак за деление;
• делението с число се третира като умножение по неговата реципрочна стойност;
• прилагане на свойството на операции с реални числа;
• приложение на основното свойство на дробите и числовите неравенства.

С тяхна помощ можете да извършвате трансформации на формата:

a d ± c d = a · d - 1 ± c · d - 1 = a ± c · d - 1 = a ± c d ; a b ± c d = a · p b · p ± c · r d · r = a · p s ± c · es s = a · p ± c · r s ; a b · c d = a · d b · d · b · c b · d = a · d · a · d - 1 · b · c · b · d - 1 = = a · d · b · c · b · d - 1 · b · d - 1 = a · d · b · c b · d · b · d - 1 = = (a · c) · (b · d) - 1 = a · c b · d

Примери

В предишния параграф беше казано за операции с дроби. Именно след това фракцията трябва да бъде опростена. Тази тема беше обсъдена подробно в параграфа за преобразуване на дроби.

Първо, нека да разгледаме пример за събиране и изваждане на дроби с еднакъв знаменател.

Пример 1

Като се имат предвид дробите 8 2, 7 и 1 2, 7, тогава според правилото е необходимо да добавите числителя и да пренапишете знаменателя.

Решение

Тогава получаваме дроб от формата 8 + 1 2, 7. След като извършим събирането, получаваме дроб от формата 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3. И така, 8 2, 7 + 1 2, 7 = 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3.

Отговор: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Има и друго решение. Като начало преминаваме към формата на обикновена дроб, след което извършваме опростяване. Изглежда така:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Пример 2

Нека извадим от 1 - 2 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 дроб от формата 2 3 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 .

Тъй като са дадени еднакви знаменатели, това означава, че изчисляваме дроб с еднакъв знаменател. Разбираме това

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

Има примери за пресмятане на дроби с различни знаменатели. Важен момент е свеждането до общ знаменател. Без това няма да можем да извършваме по-нататъшни операции с дроби.

Процесът смътно напомня свеждане до общ знаменател. Тоест търси се най-малкият общ делител в знаменателя, след което към дробите се добавят липсващите множители.

Ако дробите, които се добавят, нямат общи множители, тогава техният продукт може да стане едно.

Пример 3

Нека да разгледаме примера за събиране на дроби 2 3 5 + 1 и 1 2.

Решение

В този случай общият знаменател е произведението на знаменателите. Тогава получаваме, че 2 · 3 5 + 1. След това, когато задаваме допълнителни множители, имаме, че за първата дроб е равно на 2, а за втората е 3 5 + 1. След умножението дробите се редуцират до формата 4 2 · 3 5 + 1. Общото намаление на 1 2 ще бъде 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1. Събираме получените дробни изрази и получаваме това

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Отговор: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Когато имаме работа с общи дроби, тогава обикновено не говорим за най-малкия общ знаменател. Нерентабилно е произведението на числителите да се приема като знаменател. Първо трябва да проверите дали има число, което е с по-малка стойност от техния продукт.

Пример 4

Нека разгледаме примера с 1 6 · 2 1 5 и 1 4 · 2 3 5, когато произведението им е равно на 6 · 2 1 5 · 4 · 2 3 5 = 24 · 2 4 5. Тогава вземаме 12 · 2 3 5 за общ знаменател.

Нека да разгледаме примери за умножение на общи дроби.

Пример 5

За да направите това, трябва да умножите 2 + 1 6 и 2 · 5 3 · 2 + 1.

Решение

Следвайки правилото, е необходимо да пренапишете и да запишете произведението на числителите като знаменател. Получаваме, че 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1. След като една дроб бъде умножена, можете да направите съкращения, за да я опростите. Тогава 5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 · 3 3 2 + 1 · 9 3 10.

Използвайки правилото за преминаване от деление към умножение с реципрочна дроб, получаваме дроб, която е реципрочна на дадената. За да направите това, числителят и знаменателят се разменят. Да разгледаме един пример:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

След това те трябва да умножат и опростят получената дроб. Ако е необходимо, отървете се от ирационалността в знаменателя. Разбираме това

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

Отговор: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

Този параграф е приложим, когато число или числов израз може да бъде представен като дроб със знаменател, равен на 1, тогава операцията с такава дроб се счита за отделен параграф. Например изразът 1 6 · 7 4 - 1 · 3 показва, че коренът на 3 може да бъде заменен с друг израз 3 1. Тогава този запис ще изглежда като умножение на две дроби от формата 1 6 · 7 4 - 1 · 3 = 1 6 · 7 4 - 1 · 3 1.

Извършване на операции върху дроби, съдържащи променливи

Правилата, разгледани в първата статия, са приложими за операции с дроби, съдържащи променливи. Разгледайте правилото за изваждане, когато знаменателите са еднакви.

Необходимо е да се докаже, че A, C и D (D не е равно на нула) могат да бъдат произволни изрази, а равенството A D ± C D = A ± C D е еквивалентно на неговия диапазон от допустими стойности.

Необходимо е да се вземе набор от ODZ променливи. Тогава A, C, D трябва да приемат съответните стойности a 0 , c 0 и d 0. Заместването на формата A D ± C D води до разлика във формата a 0 d 0 ± c 0 d 0 , където, използвайки правилото за добавяне, получаваме формула от формата a 0 ± c 0 d 0 . Ако заместим израза A ± C D, тогава получаваме същата част от формата a 0 ± c 0 d 0. От тук заключаваме, че избраната стойност, която удовлетворява ODZ, A ± C D и A D ± C D се считат за равни.

За всяка стойност на променливите тези изрази ще бъдат равни, т.е. те се наричат ​​идентично равни. Това означава, че този израз се счита за доказуемо равенство от формата A D ± C D = A ± C D .

Примери за събиране и изваждане на дроби с променливи

Когато имате еднакви знаменатели, трябва само да добавите или извадите числителите. Тази дроб може да бъде опростена. Понякога трябва да работите с идентично равни дроби, но на пръв поглед това не се забелязва, тъй като трябва да се извършат някои трансформации. Например x 2 3 x 1 3 + 1 и x 1 3 + 1 2 или 1 2 sin 2 α и sin a cos a. Най-често се изисква опростяване на оригиналния израз, за ​​да се видят едни и същи знаменатели.

Пример 6

Изчислете: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .

Решение

1. За да направите изчислението, трябва да извадите дроби с еднакъв знаменател. Тогава получаваме, че x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . След което можете да разширите скобите и да добавите подобни термини. Получаваме, че x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Тъй като знаменателите са еднакви, всичко, което остава, е да съберем числителите, като оставим знаменателя: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   Добавянето е завършено. Вижда се, че е възможно да се намали фракцията. Неговият числител може да бъде сгънат с помощта на формулата за квадрат на сумата, тогава получаваме (l g x + 2) 2 от формули за съкратено умножение. Тогава разбираме това
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. Дадени са дроби от вида x - 1 x - 1 + x x + 1 с различни знаменатели. След трансформацията можете да преминете към добавяне.

Нека разгледаме двойно решение.

Първият метод е, че знаменателят на първата дроб се разлага на множители с помощта на квадрати, с последващото му намаляване. Получаваме част от формата

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Така че x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

В този случай е необходимо да се отървете от ирационалността в знаменателя.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Вторият метод е да умножите числителя и знаменателя на втората дроб по израза x - 1. Така се освобождаваме от ирационалността и преминаваме към събиране на дроби с еднакъв знаменател. Тогава

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x · x - x x - 1

Отговор: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x · x - x x - 1 .

В последния пример открихме, че свеждането до общ знаменател е неизбежно. За да направите това, трябва да опростите дробите. Когато добавяте или изваждате, винаги трябва да търсите общ знаменател, който изглежда като произведението на знаменателите с допълнителни множители, добавени към числителите.

Пример 7

Изчислете стойностите на дробите: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) (2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

Решение

1. Знаменателят не изисква никакви сложни изчисления, така че трябва да изберете техния продукт под формата 3 x 7 + 2 · 2, след това изберете x 7 + 2 · 2 за първата дроб като допълнителен фактор и 3 за втория. Когато умножаваме, получаваме дроб от формата x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. Вижда се, че знаменателите са представени под формата на произведение, което означава, че не са необходими допълнителни трансформации. Общият знаменател ще се счита за произведение от формата x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 . Следователно x 4 е допълнителен множител към първата дроб и ln(x + 1) към втория. След това изваждаме и получаваме:
   x + 1 x · ln 2 (x + 1) · 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x + 1 · x 4 x 5 · ln 2 (x + 1) ) · 2 x - 4 - sin x · ln x + 1 x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​​​x - 4) = = x + 1 · x 4 - sin x · ln (x + 1) ) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​​​x - 4) = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 ​​х - 4)
3. Този пример има смисъл, когато работите със знаменатели на дроби. Необходимо е да се приложат формулите за разликата на квадратите и квадрата на сумата, тъй като те ще позволят да се премине към израз от формата 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x) 2. Вижда се, че дробите са сведени до общ знаменател. Получаваме, че cos x - x · cos x + x 2 .

Тогава разбираме това

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x 2

Отговор:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 · cos x · x + x = 2 · cos x cos x - x · cos x + x 2 .

Примери за умножение на дроби с променливи

При умножаване на дроби числителят се умножава по числителя, а знаменателят по знаменателя. След това можете да приложите свойството за намаляване.

Пример 8

Умножете дробите x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 и 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin 2 · x - x.

Решение

Трябва да се направи умножение. Разбираме това

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

Числото 3 се премества на първо място за удобство на изчисленията и можете да намалите фракцията с x 2, след което получаваме израз на формата

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

Отговор: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 · ln x + 1 · грях (2 · x - x) .

дивизия

Деленето на дроби е подобно на умножението, тъй като първата дроб се умножава по втората реципрочна. Ако вземем за пример дробта x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 и я разделим на 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, тогава тя може да се запише като

x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1: 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin (2 · x - x) , след което заменете с произведение от вида x + 2 · x x 2 · ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x)

степенуване

Нека да преминем към разглеждане на операции с общи дроби със степенуване. Ако има степен с естествен показател, тогава действието се разглежда като умножение на равни дроби. Но се препоръчва да се използва общ подход, основан на свойствата на градусите. Всички изрази A и C, където C не е идентично равно на нула, и всяко реално r на ODZ за израз от вида A C r е валидно равенството A C r = A r C r. Резултатът е дроб, повдигнат на степен. Например, помислете за:

x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2, 5 = = x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 2, 5 x + 1 2, 5

Процедура за извършване на операции с дроби

Операциите с дроби се извършват съгласно определени правила. На практика забелязваме, че един израз може да съдържа няколко дроби или дробни изрази. След това е необходимо да извършите всички действия в строг ред: повишаване на степен, умножение, деление, след това добавете и извадете. Ако има скоби, първото действие се извършва в тях.

Пример 9

Изчислете 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x .

Решение

Тъй като имаме един и същ знаменател, тогава 1 - x cos x и 1 c o s x, но изваждането не може да се извърши според правилото; първо се извършват действията в скобите, след това умножението и след това събирането. След това, когато изчисляваме, получаваме това

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

Когато заместваме израза в оригиналния, получаваме, че 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. При умножаване на дроби имаме: 1 cos x · x + 1 x = x + 1 cos x · x. След като направихме всички замествания, получаваме 1 - x cos x - x + 1 cos x · x. Сега трябва да работите с дроби, които имат различни знаменатели. Получаваме:

x · 1 - x cos x · x - x + 1 cos x · x = x · 1 - x - 1 + x cos x · x = = x - x - x - 1 cos x · x = - x + 1 cos x x

Отговор: 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x = - x + 1 cos x · x .

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Умножение и деление на дроби.

внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които „много...“)

Тази операция е много по-хубава от събиране-изваждане! Защото е по-лесно. Като напомняне, за да умножите дроб по дроб, трябва да умножите числителите (това ще бъде числителят на резултата) и знаменателите (това ще бъде знаменателят). Това е:

Например:

Всичко е изключително просто. И моля, не търсете общ знаменател! Тук няма нужда от него...

За да разделите дроб на дроб, трябва да обърнете второ(това е важно!) дроб и ги умножете, т.е.:

Например:

Ако срещнете умножение или деление с цели числа и дроби, всичко е наред. Както при събирането, правим дроб от цяло число с единица в знаменателя - и давай! Например:

В гимназията често трябва да се справяте с триетажни (или дори четириетажни!) фракции. Например:

Как мога да направя тази дроб да изглежда прилична? Да, много просто! Използвайте разделяне на две точки:

Но не забравяйте за реда на разделяне! За разлика от умножението, тук това е много важно! Разбира се, няма да бъркаме 4:2 или 2:4. Но е лесно да се направи грешка в триетажна част. Моля, обърнете внимание например:

В първия случай (израз вляво):

Във втория (израз вдясно):

Усещате ли разликата? 4 и 1/9!

Какво определя реда на разделяне? Или със скоби, или (както тук) с дължината на хоризонталните линии. Развийте окото си. И ако няма скоби или тирета, като:

след това разделете и умножете по ред, отляво надясно!

И още една много проста и важна техника. В действия със степени ще ви бъде толкова полезно! Нека разделим едно на произволна дроб, например на 13/15:

Кадърът се обърна! И това винаги се случва. Когато разделите 1 на която и да е дроб, резултатът е същата дроб, само обърната.

Това е всичко за операциите с дроби. Нещото е доста просто, но дава повече от достатъчно грешки. Забележка практически съвети, и ще има по-малко от тях (грешки)!

Практически съвети:

1. Най-важното при работа с дробни изрази е точността и вниманието! Не е общи думи, не са добри пожелания! Това е крайна необходимост! Направете всички изчисления на Единния държавен изпит като пълноценна задача, фокусирана и ясна. По-добре е да напишете два допълнителни реда в черновата си, отколкото да се объркате, когато правите умствени изчисления.

2. В примерите със различни видоведроби - отидете на обикновени дроби.

3. Намаляваме всички дроби, докато спрат.

4. Редуцираме многостепенните дробни изрази до обикновени, като използваме разделяне през две точки (следваме реда на разделяне!).

5. Разделете единица на дроб наум, като просто обърнете дробта.

Ето задачите, които определено трябва да изпълните. След всички задачи се дават отговори. Използвайте материалите по тази тема и практически съвети. Преценете колко примера сте успели да решите правилно. Първият път! Без калкулатор! И си направи правилните изводи...

Запомнете - верният отговор е получено от втори (особено трети) път не се брои!Такъв е суровият живот.

Така, решаване в изпитен режим ! Това между другото вече е подготовка за Единния държавен изпит. Решаваме примера, проверяваме го, решаваме следващия. Решихме всичко - проверихме отново от първия до последния. Но само Тогававижте отговорите.

Изчисли:

Реши ли?

Търсим отговори, които отговарят на вашите. Нарочно ги записах безредно, далеч от изкушението, така да се каже... Ето ги и отговорите, написани с точка и запетая.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Сега правим изводи. Ако всичко се получи, радвам се за вас! Основните изчисления с дроби не са ваш проблем! Можете да правите по-сериозни неща. Ако не...

Така че имате един от двата проблема. Или и двете наведнъж.) Липса на знания и (или) невнимание. Но това разрешими проблеми.

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и производни.

За да изразите част като част от цялото, трябва да разделите частта на цялото.

Задача 1.В класа има 30 ученици, четирима отсъстват. Каква част от учениците отсъстват?

Решение:

Отговор:В класа няма ученици.

Намиране на дроб от число

За решаване на проблеми, в които трябва да намерите част от цяло, което е справедливо следващото правило:

Ако част от цяло е изразена като дроб, тогава, за да намерите тази част, можете да разделите цялото на знаменателя на дробта и да умножите резултата по нейния числител.

Задача 1.Имаше 600 рубли, тази сума беше изразходвана. Колко пари похарчихте?

Решение:за да намерим 600 рубли или повече, трябва да разделим тази сума на 4 части, като по този начин ще разберем колко пари е една четвърта част:

600: 4 = 150 (r.)

Отговор:похарчени 150 рубли.

Задача 2.Имаше 1000 рубли, тази сума беше изразходвана. Колко пари са похарчени?

Решение:от постановката на проблема знаем, че 1000 рубли се състоят от пет равни части. Първо, нека намерим колко рубли са една пета от 1000, а след това ще разберем колко рубли са две пети:

1) 1000: 5 = 200 (r.) - една пета.

2) 200 · 2 = 400 (r.) - две пети.

Тези две действия могат да се комбинират: 1000: 5 · 2 = 400 (r.).

Отговор:Бяха похарчени 400 рубли.

Вторият начин за намиране на част от цяло:

За да намерите част от цяло, можете да умножите цялото по дробта, изразяваща тази част от цялото.

Задача 3.Според устава на кооперацията, за да бъде отчетното събрание валидно, трябва да присъстват най-малко членове на организацията. Кооперацията има 120 членове. В какъв състав може да се проведе отчетно събрание?

Решение:

Отговор:отчетното събрание може да се проведе, ако има 80 членове на организацията.

Намиране на число чрез неговата дроб

За решаване на задачи, в които трябва да намерите цяло от частта му, важи следното правило:

Ако част от желаното цяло е изразена като дроб, тогава, за да намерите това цяло, можете да разделите тази част на числителя на дробта и да умножите резултата по знаменателя.

Задача 1.Похарчихме 50 рубли, което беше по-малко от първоначалната сума. Намерете първоначалната сума пари.

Решение:от описанието на проблема виждаме, че 50 рубли са 6 пъти по-малко от първоначалната сума, т.е. първоначалната сума е 6 пъти повече от 50 рубли. За да намерите тази сума, трябва да умножите 50 по 6:

50 · 6 = 300 (r.)

Отговор:първоначалната сума е 300 рубли.

Задача 2.Похарчихме 600 рубли, което беше по-малко от първоначалната сума пари. Намерете първоначалната сума.

Решение:Ще приемем, че търсеният брой се състои от три трети. Според условието две трети от броя се равняват на 600 рубли. Първо, нека намерим една трета от първоначалната сума и след това колко рубли са три трети (първоначалната сума):

1) 600: 2 3 = 900 (r.)

Отговор:първоначалната сума е 900 рубли.

Вторият начин да намерите цяло от неговата част:

За да намерите цяло по стойността, изразяваща неговата част, можете да разделите тази стойност на дроба, изразяващ тази част.

Задача 3.Линеен сегмент AB, равно на 42 cm, е дължината на отсечката CD. Намерете дължината на отсечката CD.

Решение:

Отговор:дължина на сегмента CD 70 см.

Задача 4.В магазина донесоха дини. Преди обяд магазинът продаде дините, които донесе, а след обяд останаха 80 дини за продажба. Колко дини донесохте в магазина?

Решение:Първо, нека разберем каква част от донесените дини е числото 80. За да направим това, нека вземем общия брой донесени дини като една и извадим от него броя на дините, които са били продадени (продадени):

И така, научихме, че 80 дини съставляват общия брой на донесените дини. Сега откриваме колко дини от общото количество съставляват и след това колко дини съставляват (броят на донесените дини):

2) 80: 4 15 = 300 (дини)

Отговор:Общо в магазина са докарани 300 дини.

Нека се съгласим, че „действия с дроби“ в нашия урок ще означава действия с обикновени дроби. Обикновена дроб е дроб, която има атрибути като числител, дробна линия и знаменател. Това отличава обикновената дроб от десетичната, която се получава от обикновена дроб чрез намаляване на знаменателя до кратно на 10. десетичнанаписана със запетая, която отделя цялата част от дробната част. Ще говорим за операции с обикновени дроби, тъй като те са тези, които причиняват най-големи затруднения на учениците, които са забравили основите на тази тема, разгледана в първата половина на училищния курс по математика. В същото време, когато трансформирате изразите в висша математикаИзползват се предимно действия с обикновени дроби. Само дробните съкращения си заслужават! Десетичните дроби не създават особени затруднения. Така че, давай!

Две дроби се наричат ​​равни, ако .

Например, тъй като

Дроби и (тъй като), и (тъй като) също са равни.

Очевидно и двете дроби и са равни. Това означава, че ако числителят и знаменателят на дадена дроб се умножат или разделят на едно и също естествено число, ще се получи дроб, равна на дадената: .

Това свойство се нарича основно свойство на дроб.

Основното свойство на дроб може да се използва за промяна на знаците на числителя и знаменателя на дроб. Ако числителят и знаменателят на дроб се умножат по -1, получаваме. Това означава, че стойността на една дроб няма да се промени, ако знаците на числителя и знаменателя се променят едновременно. Ако промените знака само на числителя или само на знаменателя, тогава дробта ще промени знака си:

Намаляване на дроби

Използвайки основното свойство на дроб, можете да замените дадена дроб с друга дроб, която е равна на дадената, но с по-малък числител и знаменател. Това заместване се нарича намаляване на дроба.

Нека например ни е дадена дроб. Числата 36 и 48 имат най-голям общ делител 12. Тогава

.

По принцип намаляването на дроб винаги е възможно, ако числителят и знаменателят не са взаимно прости числа. Ако числителят и знаменателят са взаимни прости числа, тогава дробта се нарича несъкратима.

И така, да намалите дроб означава да разделите числителя и знаменателя на дробта на общ множител. Всичко по-горе се отнася и за дробни изрази, съдържащи променливи.

Пример 1.Намалете фракцията

Решение. За да факторизираме числителя, като първо представим монома - 5 xyкато сбор - 2 xy - 3xy, получаваме

За да разложим знаменателя на множители, използваме формулата за разликата на квадратите:

Като резултат

.

Привеждане на дроби към общ знаменател

Нека две дроби и . Те имат различни знаменатели: 5 и 7. Използвайки основното свойство на дробите, можете да замените тези дроби с други, които са им равни, така че получените дроби да имат еднакви знаменатели. Умножавайки числителя и знаменателя на дробта по 7, получаваме

Умножавайки числителя и знаменателя на дробта по 5, получаваме

И така, дробите се свеждат до общ знаменател:

.

Но това не е единственото решение на проблема: например, тези дроби също могат да бъдат сведени до общ знаменател 70:

,

и като цяло към всеки знаменател, който се дели на 5 и 7.

Нека разгледаме друг пример: нека приведем дробите и към общ знаменател. Като се аргументираме както в предишния пример, получаваме

,

.

Но в този случай е възможно да се сведат дробите до общ знаменател, който е по-малък от произведението на знаменателите на тези дроби. Нека намерим най-малкото общо кратно на числата 24 и 30: LCM(24, 30) = 120.

Тъй като 120:4 = 5, за да напишете дроб със знаменател 120, трябва да умножите и числителя, и знаменателя по 5, това число се нарича допълнителен фактор. Средства .

След това получаваме 120:30=4. Умножавайки числителя и знаменателя на дробта с допълнителен коефициент 4, получаваме .

И така, тези дроби се свеждат до общ знаменател.

Най-малкото общо кратно на знаменателите на тези дроби е възможно най-малкият общ знаменател.

За дробни изрази, които включват променливи, общият знаменател е полином, който е разделен на знаменателя на всяка дроб.

Пример 2.Намерете общия знаменател на дробите и.

Решение. Общият знаменател на тези дроби е полином, тъй като се дели на двете и. Този полином обаче не е единственият, който може да бъде общ знаменател на тези дроби. Може да бъде и полином , и полином , и полином и т.н. Обикновено те вземат такъв общ знаменател, че всеки друг общ знаменател се дели на избрания без остатък. Този знаменател се нарича най-малък общ знаменател.

В нашия пример най-малкият общ знаменател е . Има:

;

.

Успяхме да намалим дробите до най-малкия им общ знаменател. Това стана чрез умножаване на числителя и знаменателя на първата дроб по , а числителя и знаменателя на втората дроб по . Полиномите се наричат ​​допълнителни множители, съответно за първата и втората дроби.

Събиране и изваждане на дроби

Събирането на дроби се дефинира, както следва:

.

Например,

.

Ако b = д, Че

.

Това означава, че за да добавите дроби с еднакъв знаменател, е достатъчно да добавите числителите и да оставите знаменателя същия. Например,

.

Ако събирате дроби с различни знаменатели, обикновено свеждате дробите до най-малкия общ знаменател и след това добавяте числителите. Например,

.

Сега нека разгледаме пример за събиране на дробни изрази с променливи.

Пример 3.Преобразувайте израз в една дроб

.

Решение. Нека намерим най-малкия общ знаменател. За да направим това, първо разлагаме знаменателите на множители.

Учениците се запознават с дробите в 5. клас. Преди хората, които знаеха как да извършват операции с дроби, се смятаха за много умни. Първата дроб беше 1/2, тоест половината, след това се появи 1/3 и т.н. В продължение на няколко века примерите се смятаха за твърде сложни. Сега разработен подробни правилаза преобразуване на дроби, събиране, умножение и други операции. Достатъчно е да разберете малко материала и решението ще бъде лесно.

Обикновена дроб, наречена проста дроб, се записва като деление на две числа: m и n.

M е дивидентът, тоест числителят на дробта, а делителят n се нарича знаменател.

Идентифицирайте правилните дроби (m< n) а также неправильные (m >н).

Правилната дроб е по-малка от единица (например 5/6 - това означава, че от една са взети 5 части; 2/8 - от една са взети 2 части). Неправилна дроб е равна или по-голяма от 1 (8/7 - единицата е 7/7 и още една част се приема като плюс).

И така, едно е, когато числителят и знаменателят съвпадат (3/3, 12/12, 100/100 и други).

Действия с обикновени дроби 6 клас

Можете да направите следното с прости дроби:

• Разширяване на дроб. Ако умножите върха и долна частдроби за всякакви същия номер(но не с нула), тогава стойността на дробта няма да се промени (3/5 = 6/10 (просто умножено по 2).
• Намаляването на дроби е подобно на разширяването, но тук те се делят на число.
• Сравнете. Ако две дроби имат еднакви числители, тогава дробта с по-малък знаменател ще бъде по-голяма. Ако знаменателите са еднакви, тогава фракцията с най-голям числител ще бъде по-голяма.
• Извършвайте събиране и изваждане. С еднакви знаменатели това е лесно да се направи (сумираме горните части, но долната част не се променя). Ако са различни, ще трябва да намерите общ знаменател и допълнителни фактори.
• Умножение и деление на дроби.

Нека да разгледаме примери за операции с дроби по-долу.

Съкратени дроби 6 клас

Да намалиш означава да разделиш горната и долната част на дроб на някакво равно число.

Фигурата показва прости примери за намаляване. В първия вариант можете веднага да познаете, че числителят и знаменателят се делят на 2.

За бележка! Ако числото е четно, то по какъвто и да е начин се дели на 2. Четните числа са 2, 4, 6...32 8 (завършва с четно число) и т.н.

Във втория случай, при разделяне на 6 на 18, веднага става ясно, че числата се делят на 2. Разделяйки, получаваме 3/9. Тази дроб се разделя допълнително на 3. Тогава отговорът е 1/3. Ако умножите двата делителя: 2 по 3, получавате 6. Оказва се, че дробта е разделена на шест. Това постепенно разделяне се нарича последователно съкращаване на дроби с общи делители.

Някои хора веднага ще разделят на 6, други ще трябва да разделят на части. Основното е, че накрая остава една дроб, която не може да бъде намалена по никакъв начин.

Обърнете внимание, че ако едно число се състои от цифри, чието добавяне води до число, делимо на 3, тогава първоначалното може да бъде намалено с 3. Пример: число 341. Съберете числата: 3 + 4 + 1 = 8 (8 не се дели на 3, Това означава, че числото 341 не може да се намали с 3 без остатък). Друг пример: 264. Добавете: 2 + 6 + 4 = 12 (делимо на 3). Получаваме: 264: 3 = 88. Това ще улесни намаляването на големи числа.

В допълнение към метода за последователно намаляване на дроби чрез общи делители, има и други методи.

НОД е най-големият делител на число. След като намерите gcd за знаменателя и числителя, можете веднага да намалите фракцията до желаното число. Търсенето се извършва чрез постепенно разделяне на всяко число. След това те гледат кои делители съвпадат; ако има няколко от тях (както е на снимката по-долу), тогава трябва да умножите.

Смесени дроби 6 клас

Всички неправилни дроби могат да се превърнат в смесени дроби, като се отдели цялата част от тях. Цялото число е написано отляво.

Често идва от неправилна дробнаправи смесено число. Процесът на преобразуване е показан в примера по-долу: 22/4 = 22 делено на 4, получаваме 5 цели числа (5 * 4 = 20). 22 - 20 = 2. Получаваме 5 цели числа и 2/4 (знаменателят не се променя). Тъй като фракцията може да бъде намалена, разделяме горната и долната част на 2.

Смесено число може лесно да се преобразува в не правилна дроб(това е необходимо при деление и умножение на дроби). За да направите това: умножете цялото число по долната част на дробта и добавете числителя към него. Готов. Знаменателят не се променя.

Изчисления с дроби 6 клас

Могат да се добавят смесени числа. Ако знаменателите са еднакви, тогава това е лесно да се направи: добавете целите части и числителите, знаменателят остава на мястото си.

При събиране на числа с различни знаменатели процесът е по-сложен. Първо, намаляваме числата до един най-малък знаменател (LSD).

В примера по-долу за числата 9 и 6 знаменателят ще бъде 18. След това са необходими допълнителни множители. За да ги намерите, трябва да разделите 18 на 9, така намирате допълнителното число - 2. Умножаваме го по числителя 4, за да получим дробта 8/18). Те правят същото с втората фракция. Вече добавяме преобразуваните дроби (цели числа и числители отделно, не променяме знаменателя). В примера отговорът трябваше да се преобразува в правилна дроб (първоначално числителят се оказа по-голям от знаменателя).

Моля, имайте предвид, че когато дробите се различават, алгоритъмът на действията е същият.

Когато умножавате дроби, е важно да поставите и двете под една и съща линия. Ако числото е смесено, тогава го превръщаме в проста дроб. След това умножете горната и долната част и запишете отговора. Ако е ясно, че дробите могат да бъдат намалени, тогава ги редуцираме веднага.

В горния пример не е трябвало да изрязвате нищо, просто сте записали отговора и сте маркирали цялата част.

В този пример трябваше да намалим числата под един ред. Въпреки че можете да съкратите готовия отговор.

При разделянето алгоритъмът е почти същият. Първо превръщаме смесената дроб в неправилна, след което записваме числата под един ред, като заместваме делението с умножение. Не забравяйте да размените горната и долната част на втората дроб (това е правилото за разделяне на дроби).

Ако е необходимо, намаляваме числата (в примера по-долу ги намалихме с пет и две). Преобразуваме неправилната дроб, като подчертаваме цялата част.

Основни задачи с дроби 6 клас

Видеото показва още няколко задачи. За по-голяма яснота се използват графични изображения на решения, за да се визуализират дроби.

Примери за умножение на дроби 6 клас с обяснения

Умножителните дроби се записват под един ред. След това се намаляват чрез разделяне на същите числа (например 15 в знаменателя и 5 в числителя могат да бъдат разделени на пет).

Сравняване на дроби 6 клас

За да сравните дроби, трябва да запомните две прости правила.

Правило 1. Ако знаменателите са различни

Правило 2. Когато знаменателите са еднакви

Например, сравнете дробите 7/12 и 2/3.

1. Гледаме знаменателите, не съвпадат. Така че трябва да намерите общ.
2. За дробите общият знаменател е 12.
3. Първо разделяме 12 на долната част на първата дроб: 12: 12 = 1 (това е допълнителен фактор за 1-вата дроб).
4. Сега разделяме 12 на 3, получаваме 4 - допълнително. фактор на 2-ра дроб.
5. Умножаваме получените числа по числителите, за да преобразуваме дроби: 1 x 7 = 7 (първа дроб: 7/12); 4 x 2 = 8 (втора дроб: 8/12).
6. Сега можем да сравним: 7/12 и 8/12. Оказа се: 7/12< 8/12.

За да представите по-добре фракции, можете да използвате картини за яснота, когато даден обект е разделен на части (например торта). Ако искате да сравните 4/7 и 2/3, то в първия случай тортата се разделя на 7 части и се избират 4 от тях. Във втория разделят на 3 части и вземат 2. С невъоръжено око ще се види, че 2/3 ще е по-голямо от 4/7.

Примери с дроби 6 клас за обучение

Можете да изпълнявате следните задачи като практика.

• Сравнете дроби

• извършва умножение

Съвет: ако е трудно да се намери най-малкият общ знаменател за дроби (особено ако техните стойности са малки), тогава можете да умножите знаменателя на първата и втората дроби. Пример: 2/8 и 5/9. Намирането на техния знаменател е лесно: умножете 8 по 9 и ще получите 72.

Решаване на уравнения с дроби 6 клас

Решаването на уравнения изисква запомняне на операции с дроби: умножение, деление, изваждане и събиране. Ако един от факторите е неизвестен, тогава продуктът (общо) се разделя на известния фактор, т.е. дробите се умножават (вторият се обръща).

Ако дивидентът е неизвестен, тогава знаменателят се умножава по делителя и за да намерите делителя, трябва да разделите дивидента на частното.

Нека си представим прости примерирешения на уравнения:

Тук трябва само да създадете разликата на дробите, без да водите до общ знаменател.

Отговорът излезе като неправилна дроб. Може да се преобразува в 1 цяло и 3/5.

При втория метод числителят и знаменателят бяха умножени по 4, за да се анулира долната част, вместо да се обърне знаменателят.